ЛЕКЦИЯ 26 Поляризация в переменных полях (модель Дебая

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 26
ЛЕКЦИЯ 26
Поляризация в переменных полях (модель Дебая). Закон Ома
в дифференциальной форме. Граничные условия на границе
двух проводников. Закон Джоуля-Ленца. Максвелловское время релаксации. Микроскопическая теория проводимости в нормальных металлах. Плазменные колебания.
Поляризация в переменных полях (модель Дебая)
Рассмотрим теперь поляризацию неполярных молекул в переменных полях. Для этого воспользуемся так называемой моделью Дебая. Будем
рассматривать атомы (или молекулы) не обладающие собственным дипольным моментом в отсутствие поля. Это значит, что центр положительных и отрицательных зарядов совпадают. При наложении электрического поля они смещаются друг относительно друга, причем величина
смещения пропорциональна приложенному электрическому полю. Иными словами система ведет себя подобно грузику на пружинке или гармоническому осциллятору. Поэтому возникает соблазн применить эту простую модель для вычисления электронной восприимчивости атома (или
молекулы).
Для этого будем считать, что центр электронного заряда атома в электрическом поле подчиняется уравнению гармонического осциллятора
mẍ + k0 x = eE
(1)
где k0 = mω02 — постоянная жесткости системы, ω0 — частота собственных колебаний, m — масса электрона, e — заряд электрона. Знак заряда
нам сейчас не важен. Если электрическое поле меняется во времени по
гармоническому закону с частотой ω
E = E0 cos ωt,
(2)
то решение уравнения (1) будет следующим
x=
eE
eE0
cos
ωt
=
.
2
m(ω0 − ω 2 )
m(ω02 − ω 2 )
(3)
Если умножим смещение x на заряд e, то получим дипольный момент
1
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 26
связанный с 1 электроном
p = ex =
e2 E
= αE,
m(ω02 − ω 2 )
(4)
где поляризуемость α
e2
α=
.
(5)
m(ω02 − ω 2 )
В общем случае нескольких электронов надо поставить сумму по всем
электронам
X
e2
α=
(6)
2 − ω2) .
m(ω
0i
i
Мы видим, что частотная зависимость поляризуемости становится существенной лишь при частотах ω сравнимых с частотами ω0i , лежащими в
видимой и ультрафиолетовой области спектра.
Если ω ¿ ω0i , то частотной зависимостью α можно пренебречь и по
порядку величины
e2
.
α'
mω02
Для грубой оценки по этой формуле можно взять для частоты ω0 величину энергии связи электрона в атоме (деленную на постоянную Планка)
me4
~ω0 ' 2 .
~
(7)
Тогда
µ 3 ¶2
µ 2 ¶3
~
~
e2
~6
α'
=
=
≡ a3B .
(8)
4
3
6
2
m me
me
me
То есть мы получили оценку, которую мы уже получали ранее (см. Лекцию 24, формула (6)). Разумеется, для строгого расчета поляризуемости
атомов и молекул необходимо пользоваться квантовой теорией. Однако
наш простой расчет дает правильную оценку по порядку величины.
Закон Ома в дифференциальной форме
В заключение, прежде чем переходить к магнитостатике рассмотрим
некоторые вопросы, связанные с протеканием электрического тока в нормальных металлах за счет присутствия в них электронов проводимости.
Как уже было сказано, в электростатике электрическое поле в объем
проводника не проникает, а заряды распределяются только по поверхности проводника. Связано это с тем, что электрическое поле в проводнике
2
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 26
приводит к появлению электрического тока, который в конце концов переходит в тепло. Поэтому для поддержания электрического поля и тока
в проводнике надо непрерывно подводить энергию (например, от батареи). Мы как раз и рассмотрим сейчас эту стадию, когда ресурсы батареи
еще не исчерпаны и в проводнике течет постоянный электрический ток.
Возникает вопрос, какими законами описывается протекание электрического тока в проводниках.
Первый закон, это конечно закон сохранения заряда, который, как вы
знаете, выражается уравнением непрерывности
∂ρ
+ div j = 0.
(9)
∂t
Здесь ρ — плотность заряда, а j — плотность электрического тока. Однако мы будем интересоваться стационарной ситуацией, когда от времени
ничего не зависит, в этом случае уравнение для тока сводится к уравнению
div j = 0.
(10)
В этом случае пространственное распределение j не зависит от времени.
Электрическое поле внутри проводника, по которому течет постоянный ток, тоже постоянно и поэтому удовлетворяет уравнению
rot E = 0.
(11)
Это означает, что электрическое поле потенциально, то есть
E = −grad ϕ,
что автоматически этому уравнению удовлетворяет.
К уравнениям (10) и (11) для тока и поля необходимо добавить еще
одно уравнение, связывающее j и E. В отсутствие электрического поля
в нормальных металлах (не сверхпроводниках) ток не течет. Поэтому
в приближении слабых электрических полей и изотропной проводящей
среды эта связь линейна
j = σE.
(12)
Это есть так называемый закон Ома, а величина σ называется коэффициентом электропроводности, или просто проводимостью тела.
В анизотропной среде (монокристалле) направление векторов j и E вообще говоря не совпадают и линейная связь между ними выражается в
виде:
ji = σik Ek ,
(13)
3
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 26
где величины σik являются симметричным тензором второго ранга —
тензором проводимости.
Если речь идет об однородном и изотропном проводнике, где j = σE,
то из уравнения div j = 0 получаем
div E = 0
(σ = const).
(14)
Поэтому в этом случае потенциал ϕ удовлетворяет уравнению Лапласа
∆ϕ = 0. Плотность ρ электрического заряда согласно этому уравнению
равна нулю (вспомните, что в общем случае div E = 4πρ).
j1
E1
j2
E2
s1
s1
s2
s2
Рис. 1: Условия на границе раздела двух проводников.
Рассмотрим теперь вопрос о граничных условиях, когда в контакте
находятся проводники с разными значениями удельной проводимости σ.
На границе раздела двух сред с разной проводимостью должна быть
непрерывна нормальная компонента тока (поскольку div j = 0) и тангенциальная компонента электрического поля (поскольку rot E = 0) —
рис. 1. В итоге
jt2
jt1
= .
(15)
jn1 = jn2 ,
σ1
σ2
Эти условия можно записать для напряженности поля E
σ1 En1 = σ2 En2 ,
Et1 = Et2 .
(16)
На границе проводника с непроводящей средой имеем jn =0 или En = 0.
Здесь нужно обратить внимание на то, что уравнения описывающие
стационарное протекание тока,
rot E = 0 и div(σE) = 0,
вместе с граничными условиями (16) аналогичны с уравнениями описывающими статическое электрическое поле в диэлектриках с заменой σ
на ε
rot E = 0 и div(εE) = 0
4
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 26
с граничными условиями
ε1 En1 = ε2 En2 ,
Et1 = Et2 .
Поэтому можно находить решения задач о распределении тока в неограниченной проводящей среде, пользуясь решениями соответствующих электростатических задач. Здесь имеется лишь одно исключение. При наличии границы с непроводящей средой, где σ = 0, эта аналогия не приводит
к цели, так как не имеется сред с ε = 0.
Электрический ток в металле, как известно, создается электронами
проводимости. Если обозначить концентрацию электронов через n, а их
среднюю скорость движения через v, то
j = env.
(17)
Произведение скорости на силу со стороны электрического поля, т. е.
v · eE — есть работа совершаемая электрическим полем в единицу времени над зарядом e. Поэтому величина
j · E = nv · eE
(18)
есть работа, совершаемая в единицу времени над электронами в единице
объема проводника. Вся эта механическая работа превращается в конечном счете в тепло. Таким образом, количество тепла, выделяющееся в
единицу времени в единице объема однородного проводника, определяется формулой
j2
2
Q = j · E = σE = .
(19)
σ
Это есть так называемый закон Джоуля-Ленца.
Чему равна размерность проводимости? Согласно закону Ома
[q]
[j]
1
[L]2 [t]
[σ] =
=
= сек−1 .
=
[q]
[E]
[t]
2
[L]
То есть размерность проводимости это обратное время, то есть иными
словами σ можно выражать в герцах. Величина обратная σ, то есть σ −1 ,
имеет размерность времени. Что же это за время и каков его физический
смысл?
Оказывается, это время характеризует время “рассасывания” флуктуации плотности заряда в однородном проводнике. Предположим, что в
5
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 26
некоторый начальный момент времени t = 0 плотность зарядов в проводнике стала отличной от нуля и равняться ρ0 . За счет отличного от
нуля ρ возникнет электрическое поле E и электрический ток j, который
приведет в конце концов к тому, что спонтанно возникшая флуктуация,
как говорят, рассосется.
Для исследования этого вопроса запишем, уравнение непрерывности
∂ρ
+ div j = 0.
∂t
Подставим сюда j = σE и учтем, что согласно уравнениям Максвелла
div E = 4πρ. Тогда
∂ρ
+ σdiv E = 0,
∂t
или
∂ρ
+ 4πσρ = 0.
∂t
Решением этого уравнения с начальным условием ρ0 является функция
ρ(t) = ρ0 e−4πσt = ρ0 e−t/τM .
Время
1
4πσ
называется Максвелловским временем релаксации. Оно характеризует
то, за какое время в объемном проводнике рассосется флуктуация заряда.
Однако этой формулой надо пользоваться с некоторой осторожностью.
Например, для типичных металлов σ ' 105 ом−1 · см−1 . Учитывая, что
1 ом =1 СГСЭ/9·1011 , мы получаем, что
τM =
σ ' 105 · 9 · 1011 ' 1017 сек−1 ,
что для Максвелловского времени релаксации дает величину τM ' 10−18 сек−1 .
Это очень маленькое время. Оно ставит под вопрос применимость в этом
случае формулы j = σE, в которой под σ понимается статическая проводимость.
С другой стороны, если вместо хорошего металла взять полупроводник или слабоионизованный газ с σ ' 10−8 ом−1 · см−1 , то и время τM ≈
10−5 сек, что по-видимому приемлемо, так как электрические поля изменяющиеся на таком масштабе времени можно считать квазистатическими и пользоваться формулами для проводимости на постоянном токе.
6
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 26
Размерность сопротивления
Как вы знаете сопротивление проводника определяется формулой
l
R=ρ ,
S
где ρ = 1/σ — удельное сопротивление, l — длина проводника, а S — площадь поперечного сечения проводника. Поскольку ρ имеет размерность
времени, то в системе СГСЭ размерность сопротивления равна
[R] =
сек
1
= ,
см
[v]
то есть она обратна размерности скорости. Иными словами можно спросить какой скорости соответствует 1 ом . Пользуясь соотношениями между единицами СИ и СГСЭ получаем, что
1
1 ом =
(20)
см ,
9 · 10
сек
т. е. 1 ом соответствует скорости в 30 раз больше скорости света. Соответственно скорость света равна
11
1
1
ом−1 =
.
30
30 ом
Вопрос: что это за сопротивление в 30 ом и где его нужно учитывать?
c≈
Элементарная микроскопическая теория проводимости в нормальных металлах
Попробуем теперь оценить удельную проводимость σ нормального металла. Носителями тока в металле являются, как известно, электроны
проводимости. Обозначим их концентрацию через n, а среднюю направленную скорость движения в электрическом поле через v, тогда, как мы
уже писали, плотность электрического тока j равна:
j = env.
Эта формула точная. Дальнейший расчет должен установить связь между v и электрическим полем E. Здесь уже нужно использовать какую-то
модель. Однако в общем случае ясно, что при малых полях связь между
средней скоростью v и электрическим полем E должна быть линейной.
7
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 26
В изотропной среде направления векторов v и E должны совпадать, так
что можно записать
v = µE.
Коэффициент µ называется подвижностью электронов.
Рассмотрим следующую модель. Электрон свободно двигающийся в
металле под действием силы со стороны электрического поля eE приобретает скорость v, которая в случае отстутствия сопротивления среды
линейно растет со временем:
eE
t.
(21)
mv̇ = eE
=⇒
v=
m
Однако через некоторое время τ свободное движение электрона прерывается его столкновением с каким-либо дефектом кристаллической решетки металла. В результате электрон теряет свою направленную скорость
v. Это можно изобразить графически следующим образом — рис. 2. В
v
u
t
t
2t
3t
Рис. 2: Зависимость скорости электрона от времени.
результате средняя скорость электрона
1
1 eE
v= u=
τ.
(22)
2
2m
Иными словами подвижность по порядку величины
eτ
µ=
.
2m
Время τ называют временем релаксации электронов проводимости.
В типичных металлах при комнатной температуре это время составляет
τ ≈ 10−13 ÷ 10−14 сек.
Средняя скорость теплового движения электрона в металле vT ' 108 см/сек.
Она не определяется из формулы mvT2 /2 ≈ 3kT /2, так как электроны в
металле подчиняются не статистике Больцмана, а статистике Ферми.
Средняя длина свободного пробега
l = vT · τ ' 10−5 ÷ 10−6 см ≈ 103 ÷ 102 Å.
8
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 26
Как видно отсюда она намного превышает постоянную решетки. Проводимость σ равна
eτ
e2 nτ
σ = enµ ' en =
.
m
m
Типичная концентрация электронов в металле n ≈ 1022 см−3 . Подставляя
τ = 3 · 10−14 сек, m ≈ 10−27 г. получим
¡
¢2
5 · 10−10 · 1022 · 3 · 10−14
25 · 10−20 · 1022 · 3 · 10−14
σ =
'
=
10−27
10−27
= 3 · 2.5 · 1016 сек−1 = 7.5 · 1016 ≈ 1017 сек−1 ,
(23)
т. е. оценку, которую мы уже приводили.
Вопрос о том, почему так велика длина свободного пробега электронов
в металле (по сравнению с постоянной решетки) находит свое разрешение лишь в квантовой теории. С помощью квантовой механики можно
расчитать величину τ за счет рассеяния электрона на примесях, тепловых колебаниях решетки и других дефектах.
Закон Ома нарушается в сильных полях, когда скорость направленного движения v сравнивается со скоростью хаотического движения электронов. Однако соответствующие электрические поля так велики, что
не достижимы на практике — металл раньше расплавится от выделения
Джоулева тепла.
Наибольшая допустимая плотность тока в медных проводах
j ' 103 А/см2 = 3 · 1012 СГСЭ
(1 А = 3 · 109 СГСЭ). Проводимость меди σ ' 5 · 1017 сек−1 , поэтому
электрическое поле
j
3 · 1012
' 0.5 · 10−5 СГСЭ ≈ 0.15 В/м.
E' =
17
σ
5 · 10
Это соответствует скорости (nмеди ≈ 9 · 1022 см−3 )
j
3 · 1012
v=
=
' 0.05 см/сек ¿ 108 см/сек.
−10
22
en 5 · 10 · 9 · 10
Время релаксации электронов τ зависит от температуры. В типичных
металлах при комнатных температурах τ ∼ 1/T (рассеяние на колебаниях решетки).
9
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 26
Плазменные колебания
Рассмотрим теперь вопрос о так называемых плазменных колебаниях
электронов в металле. В равновесии кусок металла электрически нейтрален. Число электронов проводимости в единице объема равно числу положительно заряженных ионов. Однако, если если эта электронейтральность каким-то образом будет нарушена, то на электроны будет действовать возвращающая сила со стороны положительно заряженных ионов.
В системе возникнут колебания, которые в отсутствие диссипации будут продолжаться неограниченно долго. Эти колебания носят название
плазменных колебаний. Рассмотрим этот вопрос количественно и найдем
частоту этих колебаний. Воспользуемся для этого уравнением непрерывности и выражением для тока
∂ρ
+ div j = 0,
j = env.
∂t
Поскольку у нас столкновения электронов с дефектами отсутствуют, то
ускорение электрона, в соответствие со вторым законом Ньютона, пропорционально приложенной силе со стороны электрического поля
mv̇ = eE.
Продифференцируем это уравнение непрерывности по времени
∂ 2ρ
∂
+
div j = 0.
∂t2 ∂t
Учитывая, что
получим
∂j
e2 n
= env̇ =
E,
∂t
m
∂ 2 ρ e2 n
+
div E = 0.
∂t2
m
Учитывая, что в соответствие с уравнением Максвелла электрическое
поле определяется плотностью заряда ρ (div E = 4πρ), получим уравнение для плотности заряда ρ
∂ 2 ρ 4πe2 n
+
ρ = 0.
∂t2
m
Это есть уравнение гармонического осциллятора. А частота осциллятора
ωp
4πe2 n
2
ωp =
m
10
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электростатика
Лекция 26
называется плазменной частотой колебаний. По порядку величины она
равна
¢
¡
−10 2
¢
10
·
5
·
10
· 1022 ¡
15 2
2
'
5
·
10
;
ωp ' 5 · 1015 сек−1 .
ωp '
−27
10
11