Разработка и исследование математической модели

Секция 4 «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ АВТОТРАНСПОРНЫХ
СРЕДСТВ».
Разработка и исследование математической модели
динамической системы оператор - рабочее пространство
подвижного транспортного средства в экстренных ситуациях
Шмаков В.С.
ГОУ ВПО Владимирский государственный университет
Постановка задачи: анализ взаимодействия водителя
с внешней средой в
экстремальных для объекта ситуациях. Под внешней средой подразумевается замкнутое
пространство кабины водителя. Процесс взаимодействия описывается в декартовой
системе координат. В докладе рассматривается построение кинематической модели
водителя, как многозвенной системы. Контролируемые и анализируемые координаты: x,
y, z, x’, y’, z’, x”, y”, z”. Со стороны объекта на водителя в экстремальных ситуациях
(резкие угловые и линейные ускорения)действуют возмущения (усилия). Представим
вектор возмущения в виде
P = f ( q , q& , q&&), q ∈ ( x, y , z )
Рассмотрим плоскую модель. При этом водитель представлен в виде многозвенной
системы с кинематической схемой представленной на рисунке. Звенья будем считать
абсолютно жесткими.
Относительное перемещение i-го звена относительно связанного с ним (i—1)-го звена
представляет собой регулируемую переменную qi. Вектор q = [q1 , q2,…, qN ]T является
вектором обобщенных координат системы. Пренебрегаем силами трения в
кинематических парах и считаем связи идеальными, голономными и удерживающими.
Тогда описание динамики многозвенного механизма может быть получено с помощью
уравнений Лагранжа 2-го рода.
Для системы тел, находящейся в потенциальном поле сил тяжести, уравнения
Лагранжа 2-го рода записываются в векторной форме
так:
Здесь φ— вектор обобщенных скоростей (NX1),
; Т — кинетическая энергия
причем
механизма; П — потенциальная энергия механизма;
М — вектор обобщенных неконсервативных сил
(NX1) представляющий собой сумму вектора сил
Мпр, передаваемых от исполнительных двигателей на
звенья механизма через устройства передачи
движения (механические передачи), и вектора
внешних сил Мвн. Таким образом,
Везде для вращательных движений М, Мдв, Мвн понимаются как векторы моментов сил.
Кинетическая энергия механизма
связана с вектором обобщенных скоростей с помощью симметрической матрицы инерционных характеристик A(q), компоненты которой зависят от обобщенных координат:
Обозначим составляющую
через вектор статических сил Мст.
Материалы международной научно-технической конференции ААИ «Автомобиле- и
тракторостроение в России: приоритеты развития и подготовка кадров», посвященной 145-летию
МГТУ «МАМИ».
120
Секция 4 «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ АВТОТРАНСПОРНЫХ
СРЕДСТВ».
Преобразуем его к виду:
где:
Вычислим потенциальную энергию системы:
.
Таким образом, получили модель манипуляционного
дифференциальных уравнений Лагранжа 2-го рода:
механизма
в
виде
Вычисление кинетической энергии:
Кинетическая энергия многозвенной системы определяется как сумма кинетических
энергий звеньев:
Вычислим кинетическую энергию системы, включающей плоский трехзвенник и груз
на конце (голова).
Кинетическая энергия первого звена:
Кинетическая энергия второго звена:
x2, y2—координаты центра масс с2 звена
в абсолютной системе координат; угловая скорость звена
.
Кинетическая энергия третьего звена:
,
Кинетическая энергия четвертого звена (головы):
Где m0—суммарная масса четвертого звена; x0, y0—координаты центра масс с0 этой
системы тел.
Находим кинетическую энергию механической системы:
Декартовы координаты центров масс звеньев:
Найдем и подставим частные производные от кинетической и потенциальной эергий в
выражение уравнений Лагранжа 2-го рода…
Тогда получим систему уравнений:
Из полученной системы уравнений видно, что движения первого и второго звеньев
динамически взаимосвязаны.
Кроме того, инерционные характеристики (величины а11, …,а33) зависят от
обобщенных координат, а следовательно, от конфигурации механизма.
Материалы международной научно-технической конференции ААИ «Автомобиле- и
тракторостроение в России: приоритеты развития и подготовка кадров», посвященной 145-летию
МГТУ «МАМИ».
121
Секция 4 «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ АВТОТРАНСПОРНЫХ
СРЕДСТВ».
Полученные дифференциальные уравнения являются нелинейными. Их анализ, а тем
более использование при синтезе исполнительных систем затруднительны, так как нет
хорошо разработанной теории нелинейных систем.
Поэтому дальнейшими шагами исследования являются линеаризация исходных
уравнений и анализ линеаризованной модели манипуляционного механизма.
Заключение: в настоящее время выполняется моделирование в среде MathLab и
исследование
Литература
1. Игнатьев М.Б., Кулаков Ф.М., Покровский А.М. Алгоритмы управления роботамиманипуляторами (2-е издание). Л., Машиностроение, 1977. 248 с.
2. Игнатьев М.Б. Голономные автоматические системы. Л., АН СССР, 1963. 204 с.
3. Игнатьев М.Б., Кулаков Ф.М., Покровский А.М. Алгоритмы управления роботамиманипуляторами (1-е издание). Л., Машиностроение, 1972. 247 с.
Материалы международной научно-технической конференции ААИ «Автомобиле- и
тракторостроение в России: приоритеты развития и подготовка кадров», посвященной 145-летию
МГТУ «МАМИ».
122