ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ВДОЛЬ ПЛОСКОЙ

УЧЕНЫЕ
Тоя
уд к
ЗАПИСКИ
Х
ЦАГИ
М4
1979
533.6.011.32:532.582.2
РАЗГОННОЕ ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ
ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
ВДОЛЬ ПЛОСКОЙ РЕБРИСТОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Е. С. Виноградов
Рас сматривается ра зг онное ламинарное течен ие вязкой несжи­
ма емой ж и д ко с т и в до л ь р ебер бесконечной пло ской ребрис той по­
верхности . Показвно , что спус тя некоторое время после н а ч а л а
дви жения к оэ ф ф и ц и ен т с о п р о т и в ле н ия трения ребристой поверхност и
стано вится м е н ь ш е , ч ем п ри аналогичном течении около гладкой
поверхности .
t.
Покоящаяся
вязкая
н ес ж им а ем а я жи дкость
з а ним а е т полупространство ,
о г р а н и че нн о е бесконечной п ло ской ребристой поверхностью . Бес конечно тонкие
р е б р а нор мальны к плоскости , являюще йс я их основанием, высота Н и расстоя­
н ие В между ребрами
постоянны
(рис.
1). Рассматривается разгонное течение
ж и д к о с т и , вызва нное внезапно начи наю щи мся д в и ж е н и е м ребристой поверхности
в ее плоскости вдоль ребер с постоянной скоростью
Рис.
U.
1
2. двумерное разгонное ламинарное течение в я з к о й н е с ж и м а е м о й
о п и с ы в а ет ся у р а в н е н и е м теплопрово дности [1]:
да
дt
=
'1
(д 2 и
ду2
+
д 2 а)
az2 '
жидкости
( 1)
115
где u - скорость
в д о л ь ребер), t У,
z-
жидкости
время ,
'1 -
(в рассматри ваемом случае всюду направленна я
кинематический ковффициент вязкости жидкости,
взаимно перпендик улярные
рости
координаты
в
плоскости,
нормальной к ско­
u.
Умно жив обе части ура внения
на Н2/'1И, приведем его к безразмерному
(1)
виду:
2
2
ди
-дt
-- -дду2u- + _дazu2 .'
з де сь и
=
z=
ufИ, у = У/Н,
г/Н, У = t·//H2.
Если неподвижная система
координат
(2)
расположена как показано на
Oxyz
рис. 1, то поставленной выше задаче отвечают сле дующи е
ные условия д ля уравнения (2):
во всем объеме жидкости
начальные и гранич­
и = о при 7.";;:0;
на ребристой границе
по тока
=
и
1 при 7,>0
u= о для у
ние
(З)
'> о.
со при
-+
(4,
(5)
3. Если ребра отсутствуют, течение не зависит от координаты г и уравне­
(2) переходит в одномерное:
дu
д2 u
дУ
Решение уравнения
(6)
ду2 .
=
(6), удовлетворяющее условиям
[2) :
вой задачи Сгокса), имеет вид
и=
1 - erf
Уо:
-
"tJ
Следующие из выражения
щи ны
вытеснения,
сопротивления
~~~ ;
=
2vt
зависимости
(7)
относительной
т р е н ня
имеют
толщины
е
=
2
Se- "J ' d1j.
.. о
от
(7)
времени относительной тол­
потери
v=-
t:::::l,128
импульса
и
ковффициенга
v=-
t;
У2 - I ( =-
У
.
1
t ::::: 0,4674
2
Cj = -
Re H
здесь
t
"J
г:.
вид
-О=у2;;
-
erf"tJ =
(3) - (5) (решение пер ­
V-=-t ;
1,128
V rct
;::о
о
-
Re H
Vt
ReH = ИН !'1.
Ниже это сгоксово
течением
течение
вдоль ребристой
сравнивается
с
соответствующим
разгонным
поверхности.
4. Уравнение (2) решал ось конечно-разностным методом на ЭЦВМ .Минск-2".
Ввиду ограниченности памяти ЭЦВМ граничное условие (5) заменялось следующим: и
=о
при у= у = 6, т. е.
фактически вводилась верхняя
граница потока и рассматривалось разгонное течение в канале.
производились
лишь
до
моментов
времени,
когда
течение
еще
неподвижная
Но вычисления
не
развилось
до
такой степени, чтобы на него влияла верхняя стенка.
Решение u(у, z) уравнения (2) , так как оно обладает симметрией первого
рода относительно плоскостей ребер ,
которой О
< У< у,"
носительным шагом
О ..;
7i =
в ограниченной области S, д ДЯ
S покрывалась квадратной сеткой с от­
h!H и значен ия скорости в узлах сетки для последова­
тельных мо ментов времени с шагом
-и (t+M ) -
_1_
!:J.t = h2/4
(o_u(l)
0-41
116
искалось
z-<. Бj2. Область
находились по формуле
.л, -u (l ) л, -u(l ) л, -u(l» ,
'
2
'
3
'4-
з д е с ь ug+ ~I )
-
времени
Ат, а
7+
значение скорости в некогором внутреннем узле сетки в момент
u\t), ulf),
u~t), и
uit) -
значения скорости в четырех соседних
t.
узлах в момент времени
Выбирая шаг сетки h достаточно малым, указанным
методом можно полу­
чить решение уравнения (2) с любой желаемой точностью [3).
для сравнения рассчитывалось тем же конечно-разностным методом также
разгонное течение в канале с гладкими стенками при том же отношении Y{h,
что и У канала с движущейся ребристой и неподвижной гладкой стенками.
Расчет течения производился для трех значений относительного шага ре­
б е р : В = 0,5; 1 и 2. Ог носитедь ный шаг сетки последовательно уменьшался
в пределах от 0,1 до 0,025, пока решение не получалось с точностью до четвер­
того
знака.
И для ребристой, и для гладкой поверхности вычислялись относительная
толщина потери импульса и коэффициент сопротивления трения по формулам:
Т-
бг.1 =
5u
8{2
и) dy, о;;
(1 -
о
Сjгл =
2 ', (ди
и2
\
дiZ
~
=
в
Т-
s dz 5и
о
о
и) dy,
(1 -
.
) ' С! р = ;~2 S(~~ ) dl.
О
к
о
Здесь К - контур поперечного сечения ребристой поверхности в пределах пе­
риода ( длиной В
2 Н) , dl - элемент длины этого контура, п - координата вдоль
нормали к коитуру К, индексы .р' и .гл· указывают на то, что соответствующие
величины относятся к ребристой и гладкой поверхностям.
+
5. Диапазон значений
7,
в котором
верхняя
н е влияет на течение (.допустимый· диапазон
ческой и расчетных зависимостей 1/С! ReH =
/
t)
граница
виден из
потока практически
сравнения теорети-
(v-r ) для гладкой поверхности
(рис. 2). В указанном диапазоне {, увеличивающемся с ростом У, теоретическая
и расчетная зависимости накладываются одна на другую. При У> 3 .Допусти­
мый" диапазон Т для ребристой поверхности примерно тот же, что и для глад­
кой поверхности, та" как при У> 3 профили скорости ребристой и гладкой по­
верхностей достаточно близки (рис.
3-5).
Результаты вычислений показываюг, : что
в
начальные
моменты движения
коэффициент сопротивления ребристой поверхности С! р примерно в I
б ол ь ш е ,
чем
коэффициент
сопротивления
НО С! р убывает быстрее, чем С! гл . так
что
+ 2(8
гладкой поверхности С! Гд (рис.
со временем
оказывается С! р
раз
6, 7).
< С! гл.
Например, у ребристой поверхности с if = 0,5 коэффициент сопротивления при
i> 2 примерно в 1,4 раза меньше, чем у гладкой поверхности (рис. 7).
Толщи на потери импульса ребристой поверхности 6 р в начале движения
больше , чем у гладкой поверхности 6гл , но с течением времени 8 р
->-
б гл (фиг. 6).
При достаточно малом относительном шаге ребер возможно даже падение Ор на
некотором участке
(рис. 6, В = 0,5).
Зависимость
между обратной
величиной
коэффициента
сопротивления
и толщи ной потери импульса ребристой поверхности для разгонного течения
(рис. 8) имеет тот же характерный вид , что и для стационарного течения около
ребристой поверхности при наличии однородного отсасывания и поперечного
7
движения поверхности ребер [4). Асимптотой при В ->- о для кривых рис. 8 яв­
ляется прямая: - I {cj ReH = 1,8966- + 1{6, которая отличается от аналогичной
прямой для случая ребристой
поверхности
фициента при О.
Таким образом, результаты данного
с отсасыванием лишь величиной коэф­
исследования
и результаты, получен­
ные в [4], согласно свидетельствуют о возможности уменьшения С! или
6
путем
превращения гладкой поверхности в поверхность с продольными ребрами, что
обусловлено вяэким .эапиранием- потока между ребрами. Указанное свойство
я вляется достаточно общим , оно не зависит от таких деталей течения . как Отса­
сывание жид ко сти и поперечное движение поверхности ребер и проявляется как
в
стационарном ,
так
и
в
нестационарном
потоках.
117
u
=:
с,
\
'\l\
\
"\\
I
....
г
"",-
"
I~
u
:о:
с,
1"'"
118
,
..",
I
.",
I
~
~
1<»
1
f'\
-,
\ 11
~
8~"'... ~-
11
IIIq
I
I
J
Гi-
!r-
I
it:
I
I
I
t
1---
~
-..-
dl); ~
r/ ~ ""-~
t:=---V
~
.",
"--
~
.",-
~~'
."
---
!
<"<
.,,fI
1"1
1Q
"11
U
.~
::
а.
1'"
""-'
1::.
.....
",,11
1'"
"-
1,
"'u"
.....
<::"
::
о-
1"'"
119
з -о»
ГЛ
-
р
1,0
l.---
( /
jV
1
ь->
I
2
~
1.---
I
11ft
о
O,S
Рис.
-
t
I,S
1,0
7
1
С./ J{ 1
1,0 f----f---j---j- -fН--fl-- +-----!
!
i
I
I
D,§f---+---:''-I--+f+-++---+--+----i
о
0.50
0,25
Рис.
120
8
2,0
ЛИТЕРАТУРд.
1.
Кочин
Н.
Е.,
Кибель И.
гидромеханика . М., Физматгиз.
2.
3.
Ш л и х т и н г
Г.
4.
В и н о г р а Д о в
1963.
А., Розе
Н. В. Теоретическая
Теория пограничного слоя. М. , .Наука",
1974.
П о л о ж и й Г. Н., Пах а р е в а Н. А., С т е п а н е н к о И. 3.,
Б о н д а р е н к о П. С., в е л и к о и в а н е н к о И . М. Математический
практикум . М ., Физматгиз, 1960.
Е.
С. Об
установившемся ламинарном тече­
нии вязкой несжимаемой жидкости вдоль плоской ребристой поверх­
ности при наличии однородного отсасывания .• Ученые записки ЦАГИ',
т. 10, N! 3, 1979.
Рукопись поступила /б///1
/978
г.