Влияние границ на распространение энергии вдоль одномерной

УДК 536.24.01
ВЛИЯНИЕ ГРАНИЦ НА РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
ВДОЛЬ ОДНОМЕРНОЙ ЦЕПОЧКИ
В.С. Вихренко, С.В. Дубинин
Белорусский государственный технологический университет, Минск, Беларусь
Методом компьютерного моделирования исследована одномерная система (цепочка) частиц, линейно взаимодействующих между собой и с подложкой. Частицы на
границах цепочки, рассматриваемые изолировано, являют собою автоколебательные
системы. Изучено влияние параметров системы на перенос энергии по цепочке, исследовано поведение системы в переходном и установившихся режимах движения. Состояние моделируемой системы характеризуется семью размерными параметрами.
Переход к безразмерным уравнениям движения позволил сократить число параметров
до четырех. Показано, что стационарные состояния системы характеризуются неоднородным распределением средних квадратов скоростей (температуры) частиц по
длине цепочки. Установлена корреляция между увеличением термического сопротивления системы и усилением ее структурирования.
Ключевые слова
Теплопроводность, автоколебания, термостат, одномерная система, компьютерное моделирование.
Условные обозначения
Е – энергия, Дж; N – мощность, Вт; J – поток тепла, Вт/м2; Т – температура, К; c
и c1 – коэффициенты линейного взаимодействия между частицами и с подложкой, Н/м;
k – круговая частота, с–1; kB – постоянная Больцмана, Дж/К; n – количество частиц в
системе, m – масса частицы, кг; и – единицы длинны и времени, соответственно, м и
с; κ – коэффициент теплопроводности, Вт/(Км); – оператор градиента, м–1.
Введение
В настоящее время распространение энергии вдоль одномерных структур широко исследуется [1] как в связи с вопросами обоснования закона теплопроводности Фурье [2,3], так и ввиду необходимости понимания процессов передачи энергии в реальных квазиодномерных системах (биологические и органические молекулы, анизотропные кристаллы, наноразмерные трубки и т.д.) [4 – 6]. При этом основное внимание уделяется именно процессу распространения энергии вдоль одномерной системы, для которой, например, поток энергии представляется как поток тепла и записывается в виде
закона Фурье J
κ Τ.
Конечной целью статистико-механической теории является вывод уравнения,
подобного (1), исходя из “первых принципов”, то есть из уравнений движения, записанных для рассматриваемой механической системы с большим числом степеней свободы, без дополнительных приближений. В полной форме такая задача не решена до
настоящего времени. Для кристалла, где энергия переносится посредством колебаний
решетки (фононов), первая и самая элементарная попытка [7] на основе кинетического
уравнения Больцмана для фононов дала микроскопическую основу для закона Фурье. С
тех пор подход Больцмана стал одним из основных в теории теплопроводности решет-
ки. Одномерные системы привлекают исследователей своей относительной простотой
при решении фундаментальных вопросов теплопроводности, а также ввиду наличия
прототипов среди реальных физических объектов.
При исследовании теплопроводности компьютерным моделированием этого неравновесного процесса часто рассматривают стационарное состояние системы, поддерживаемое с помощью термостатов, расположенных на границах системы. Обычно
изучается именно распространение энергии вдоль системы, тогда как эффекты, возникающие на границах, где система контактирует с термостатами, и влияние параметров
термостатов изучены недостаточно. Эта проблема является актуальной в связи с исследованием процессов теплоотдачи и существующими тенденциями развития и внедрения композиционных и наноструктурированных материалов, поскольку существенную
роль в них играют явления на границах между мезоскопическими образующими элементами. Кроме того, системы, расположенные на концах низкоразмерных систем не
всегда корректно рассматривать как термостаты ввиду их ограниченной теплоемкости
и, зачастую, недостаточно большого числа степеней свободы. В настоящей работе в качестве источника и потребителя энергии рассматриваются автоколебательные подсистемы, способные обеспечить сколь угодно большие потоки энергии, но характеризуемые малым числом степеней свободы и низким уровнем стохастичности.
1. Уравнения движения системы взаимодействующих частиц
Рассматривается одномерная система n+2 частиц одинаковой массы m, линейно
взаимодействующих между собой и с подложкой посредством упругих связей жесткости с и с1, соответственно. Первое и последнее тела цепочки посредством нелинейных
взаимодействий способны обмениваться энергией с источниками неограниченной
мощности, которые ввиду этого могут рассматриваться как специфические термостаты.
В качестве обобщенных координат примем смещения грузов от их положений
,1,2,..., 1). Система n+2 дифференциравновесия, которые обозначим как
xk
альных уравнений движения имеет вид
&
c x0
&&
c xj
&
μ0 x& 0
xj
c xn 1
γ0 & 3
c( x j
x
x
,
,... ,
x j ) c1 x j ,
μn 1 x& n 1
γ n 1 & n3 1
x
1
x
.
(1)
Взаимодействие с термостатами моделируется введением в уравнения движения
нулевой и (n+1)-й частиц двух дополнительных членов, один из которых имитирует отрицательную вязкость (коэффициенты 0 и n 1 ), а второй силы сопротивления, кубические по скоростям (коэффициенты 0 и n 1 ). Таким образом, частицы на границах, рассматриваемые изолировано, являют собою автоколебательные системы, которые могут потреблять или отдавать энергию в окружающую среду. Такие термостаты
близки по своим свойствам к термостату Нозера-Хувера [8,9]. В данном случае имеем 7
параметров ( 0 , n 1 , 0 , n 1 , с, с1, m), характеризующих систему.
Удобно перейти к безразмерному виду, для чего введем τ
/
и
как единицы времени и длинны, соответственно, а также используем не
λ m/ 0
сами параметры, а их безразмерные отношения
с,/
2
/
0
1,
3
0
/
1,
2
0.
c /
4
(2)
Тогда систему дифференциальных уравнений движения представим в виде
&&
0
x& 0 /
&3
4
x
4 0
,
,... ,
&&
&&
xn 1
1
xj
2
xj
xj
α1x j ,
&
4
x& n3 1
.
1
(3)
где ,x& ,&x& – безразмерные координата, скорость и ускорение, соответственн о (
/ ).
Таким образом, задача сводится к исследованию поведения системы в зависимости от четырех безразмерных параметров,,
3 , 4 , а переход к размерным величинам может быть осуществлен на основе теории подобия и размерностей [10,11].
Внутреннюю энергию E системы также представим в безразмерной форме
n 11
2
xE
k
n 11
&
2
x
k 02
(mλ τ
E
x 1
k 12
1 2
2
x0
1 2
2
x 1
n
1
k 12
.
α1 x
(4)
2
E
(5)
где E – безразмерная внутренняя энергия.
Выражения для мощностей диссипативных сил, действующих на нулевое и
(n+1)-е тела имеют вид:
N 3&
μ x0
N 3&
μ
γ
&0 ,
(6)
xn 1 γ n 1 n 1 & n 1 ,
(7)
С учетом соотношений (2) между параметрами запишем эти выражения в безразмерн ой форме
(
&2
4
0
):
α4 ,
α x& 2 1 41
N
nn
α x&
32)
(8)
x& 4 1 (
α4 ) .
(9)
Усредняя по периоду автоколебаний, для средних мощностей получим
2 2
(
0k 1
kn n 1
3α
2 2
0
0
2
2
/ 4) 2 α4 ,
α4 n2 1 n2 1 (
(10)
α4 ) ,
(11)
где a j и k j – безразмерные амплитуда и частота колебаний соответствующего тела
(j=0, n+1). Отметим, что в безразмерной форме амплитуда колебаний изолированного
2
нулевого тела [12,13] определяется зависим
4/ 3α 4 ) , а частота его колеба0is
остью
ний равна единице. При этом правая часть уравнения (10) обращаются в нуль. Поскольку параметры и на левом и правом концах цепочки отличаются, отличаются и
амплитуды установившихся колебаний от их значений для изолированных тел, приводя
к потоку энергии вдоль цепочки. В установившемся режиме
.
n
2. Результаты компьютерного моделирования и их анализ
Полученная система дифференциальных уравнений движения (3) нелинейна, и
возможности ее аналитического исследования ограничены. Поэтому в качестве первого
шага следует изучить особенности ее численных решений в зависимости от выбора
значений безразмерных параметров, что позволит в дальнейшем выработать методы
приближенного аналитического исследования поведения системы. В качестве исследуемых характеристик могут выступать амплитуды, периоды и фазы колебаний отдельных тел системы и, в особенности, крайних тел, привносящих нелинейности в
уравнения движения. Важно рассмотреть переходные процессы, приводящие к установившимся состояниям, а также возможные пространственные распределения характеристик движения в установившихся режимах.
Интегрирование уравнений движения при n = 98 выполнено в среде MatLab по
многошаговому алгоритму Адамса-Башворта-Мултона переменного порядка [14]. В
начальный момент возбуждалась лишь нулевая частица (левый конец цепочки), а остальные находились в покое. На рис 1 представлены результаты для системы с параметрами
,05;
2; 3 0,1; 4 1. Как и следовало ожидать, возбуждение распространяется по цепочке с определенной скоростью.
Рис. 1. Зависимость координаты от времени для нулевого (серый цвет) и n+1-го (более
темный цвет) тел.
В поведении системы четко прослеживаются два исходных периода, в течение которых возмущение сначала достигает правого конца, а затем отраженная волна возвращается к левому концу. При этом первое тело ведет себя стабильно до возвращения от-
раженного от правого конца возмущения. Затем амплитуда его колебаний несколько
увеличивается и почти достигает стационарного значения. Тело на правом конце цепочки выходит на стационарный режим практически сразу после прихода возмущения.
Представляет интерес изучить поведение системы в более крупном масштабе
времени по сравнению с результатами, приведенными на рис. 1. На рис. 2 показан
фрагмент рис. 1, соответствующий установившемуся режиму движения. Четко прослеживается периодичность движения крайних левого и правого тел системы с одинаковым периодом 5,2 безразмерных единиц и постоянным сдвигом фаз примерно на /2.
Другой важной особенностью движения крайних тел является непостоянство их
амплитуд. Наблюдаются биения с периодом, составляющим несколько основных периодов колебаний. Это означает, что движение рассматриваемых тел характеризуется
двумя близкими частотами, причем амплитуда колебаний на основной частоте существенно больше второстепенной, поскольку вариации суммарной амплитуды не велики.
Представляет интерес информация о движении тел системы в зависимости от их
расположения в цепочке. В контексте данной работы важной характеристикой движения тел является их средний квадрат скорости или безразмерная температура.
Рис. 2. Зависимость безразмерной координаты крайних левого (с бóльшей амплитудой)
и правого тел системы от времени при установившемся режиме движения.
На рис. 3 показано влияние параметра 1
1 / на вид зависимости температуры от номера тела в системе (нумерация начинается c левого тела). Распределение
энергии по цепочке характеризуется неоднородностями с предельно малой длиной волны, когда любые две соседние частицы находятся почти в противофазе друг по отношению к другу, и эти коротковолновые колебания модулируются волнами значительно
большей длины. При α1 0,5 период модулирующей волны равен примерно 60, тогда
как при 1 =.0125 период уменьшается примерно до 10. Здесь явление биений наблюдается в пространстве координат, и снова можно отметить, по аналогии с биениями во
времени, что распространяющиеся волны характеризуются двумя близкими волновыми
числами. Каждому волновому числу соответствует своя круговая частота, так что биения в координатном пространстве и во времени взаимосвязаны, а установившееся дви-
жение характеризуется суперпозицией стоячих волн. Посредством линейной цепочки
устанавливается взаимодействие и обратная связь между нелинейными подсистемами
на ее концах, и результирующая система проявляет определенную самоорганизацию.
5.0,
2, 3 = 0 , 4 = 1
Рис. 3. Влияние параметра
1
.0125,
2, 3 = 0 , 4 = 1
на распределение энергии вдоль цепочки.
Параметр 2 влияет на амплитуду коротковолновых колебаний средней кинетической энергии частиц. Увеличение этого параметра на порядок привело к возрастанию
амплитуды примерно на одну треть, тогда как средняя энергия всей системы, контролируемая параметром 4, остается одинаковой для всех систем и равной около 0,25 в
расчете на одну частицу.
Параметр 3 также влияет на амплитуду колебаний средней кинетической энергии по длине цепочки, но в данном случае уже его уменьшение приводит к увеличению
амплитуды. Такое влияние объясняется тем, что коэффициенты и оказывают противоположное влияние на энергообмен системы с окружающей средой. Отметим, что
уменьшение 3 приводит к некоторому увеличению средней энергии всей системы.
Хотя средняя кинетическая энергия претерпевает существенные колебания при
переходе от тела к телу, можно наблюдать градиент температуры, если ввести усреднение по нескольким соседним частицам. Вместе с тем, если определять разность температур по разности средних кинетических энергий крайних левой и правой частиц, то
получим значительно большее значение. Это означает, что граничные эффекты, обусловленные сопряжениями гармонической цепочки с ангармоничными термостатами
увеличивает общее термическое сопротивление системы на порядок величины.
Выполним численные оценки, избегая появления в них параметров термостатов.
Масштаб времен определяется межчастичным взаимодействием и массой частиц. Принимаем характерное молекулярное время =10–13 с. Характерное межчастичное расстояние l0 =3·10–10 м и масса частицы m=10–25 кг. Для коэффициента теплопроводности
запишем κ |J|/ T . Здесь поток тепла отнесен к единице площади, и его
представление через введенный выше безразмерный поток энергии имеет вид
2
J / l0
.
(12)
В свою очередь, для градиента температуры имеемT
/(100l 0 )
0, 1 2
/(
k ) , где T – разность температур на концах цепочки, а 100 l0 – длина
цепочки. Таким образом,
κ
100
/(l τΔT ) .
(13)
Используя здесь J 0,17 и полученную выше оценку T 0,04, для коэффициента теплопроводности находим κ 200 Вт/мК, что сопоставимо с теплопроводностью
алмаза (400 – 1000 Вт/мК [15]), поскольку алмаз в наибольшей мере соответствует рассматриваемой нами модели ввиду низкого уровня его дефектности и ангармоничности.
Полученная оценка коэффициента теплопроводности остается справедливой в
широкой области изменения параметров термостатов и, следовательно, действительно
является характеристикой рассматриваемой одномерной цепочки частиц. Однако в некоторых численных экспериментах безразмерная разность температур на концах цепочки существенно выше по сравнению с другими рассмотренными экспериментами.
Соответственно, коэффициент теплопроводности будет значительно ниже. Причина
этого состоит в более сильной неоднородности распределения температуры по длине
цепочки, что следует из сопоставления левой и правой панелей рис. 3.
В соответствии с теорией теплопроводности кристаллов, основанной на введении представлений о фононах как квазичастицах, тепловое сопротивление обусловлено
рассеянием фононов на различных несовершенствах структуры кристалла: дефектах,
дислокациях, и т.п. В рассматриваемом случае взаимодействие системы с термостатами
приводит к образованию структур, и чем четче эти структуры выражены, тем меньшим
оказывается коэффициент теплопроводности. Можно предположить, что с увеличением
размера системы (количества частиц в цепочке) структуризация системы будет сглаживаться, следствием чего будет увеличение коэффициента теплопроводности. Этот эффект наблюдался во многих численных экспериментах [1].
Кроме этого, следует отметить, что в местах сопряжения термостатов с цепочкой
возникает аномально высокое тепловое сопротивление, способное уменьшить эффективный коэффициент теплопроводности системы на порядок величины. Более подробное исследование этого эффекта позволит изучить природу коэффициента теплопередачи (или теплоотдачи), знание которого необходимо для рассмотрения тепловых процессов, происходящих при контакте различных тел или их частей.
3. Выводы
Выполненное исследование позволило установить ряд особенностей процесса
переноса энергии по одномерной цепочке линейно взаимодействующих частиц.
Выбранные в качестве термостатов расположенные на концах цепочки автоколебательные системы в установившемся режиме способны обеспечить направленный
перенос энергии при соответствующем выборе их параметров. При этом упомянутые
автоколебательные системы движутся в режиме, близком к предельному циклу, но с
размытыми очертаниями вследствие вариаций (близких к периодическим) амплитуд их
колебаний. Параметры предельных циклов существенно отличаются от их значений
для изолированных автоколебательных систем и, более того, устанавливается взаимовлияние термостатов посредством соединяющей их цепочки частиц. Частицы на концах
цепочки колеблются с не зависящей от времени разностью фаз.
По истечении некоторого промежутка времени в системе устанавливается стационарный режим с практически постоянным, при усреднении по периоду автоколеба-
ний, потоком энергии. Продолжительность переходного процесса в несколько раз превышает время пробега возмущения по цепочке. Стационарные состояния системы характеризуются неоднородным распределением средних квадратов скоростей (температуры) частиц по длине цепочки. Основная неоднородность определяется длиной волны,
сопоставимой с удвоенным равновесным межчастичным расстоянием. Эта неоднородность модулируется волной с периодом, составляющим от десяти до шестидесяти межчастичных расстояний, то есть, сопоставимой с размером системы.
Наличие периодических вариаций амплитуд колебаний термостатов и двух масштабов пространственных неоднородностей стационарных состояний системы свидетельствует в пользу того, что перенос энергии осуществляется, в основном, волнами с
двумя близкими друг к другу волновыми числами и частотами, приводящими к биениям как во времени, так и в координатном пространстве. Этот факт может быть использован при построении в дальнейшем приближенной аналитической теории поведения
рассматриваемой нелинейной системы.
Численные оценки коэффициента теплопроводности цепочки показали, что он
сопоставим со значением этого коэффициента для алмаза, кристаллы которого характеризуются низкими уровнями дефектности и ангармоничности. Установлена корреляция
между увеличением термического сопротивления системы и усилением ее структурирования. Сделан вывод о влиянии сопряжений различных подсистем на эффективный
коэффициент теплопроводности и о возможности использования полученных данных
для исследования природы коэффициентов теплопередачи или теплоотдачи.
Литература
1. Lepri S., Livi R., Politi R. Thermal conduction in classical low-dimensional lattices //
Phys. Reps. 2003. V. 377. P. 1 – 80.
2. Де Гроот С. Р., Мазур П. Неравновесная термодинамика. М.: Мир, 1964.
3. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высш. шк., 1967.
4. Smontara F., Lasjaunas J.C., Maynard R. Phonon Poiseuille flow in quasi-onedimensional single crystals // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77. P. 5397 – 5400.
5. Kim P., Shi L., Majumdar A., McEuen P.L. Thermal transport measurements of individual multiwalled nanotubes // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 87. Аrt. no. 215502.
6. Schwarzer D., Hanisch C., Kutne P., Troe J. Vibrational energy transfer in highly excited
bridged azulene-aryl compounds: Direct observation of energy flow through aliphatic
chains and into the solvent // J. Phys. Chem. B 2002. V. 106. P. 8019 – 8028.
7. Пайерлс Р. Квантовая теория твердых тел. М., Издатинлит, 1956.
8. Nose S. A unified formula of the constant temperature molecular dynamics methods //
J. Chem. Phys. 1984. V. 81. P. 511 – 519.
9. Hoover W.G. Canonical dynamics: Equilibrium phase-space distributions // Phys. Rev. А
1985. V. 31. P. 1691 – 1697.
10. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1967.
11. Гухман А.А. Применение теории подобия к исследованию процессов тепломассообмена. М.: Высш. шк., 1974.
12. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981.
13. Вихренко В.С. Устойчивость и нелинейные колебания. Минск: БТИ, 1993.
14. Дьяконов В.П. MatLab: Учебный курс. Санкт-Петербург: ПИТЕР, 2001.
15. Таблицы физических величин / Под ред. И.К. Кикоина. М.: Атомиздат, 1976.