Магнитное поле кругового тока

Министерство образования Российской Федерации
Томский политехнический университет
Кафедра теоретической и экспериментальной физики
«УТВЕРЖДАЮ»
Декан ЕНМФ
__________Ю.И. Тюрин
________________2003 г.
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ КРУГОВОГО ТОКА
Методические указания к выполнению лабораторной работы КЭ-18
по курсу «Общая физика» для студентов всех специальностей
Томск-2003
УДК 53.076
Магнитное поле кругового тока. Методические указания к выполнению
лабораторной работы КЭ-18 по курсу общей физики для студентов всех
специальностей. – Томск: Изд-во ТПУ, 2003 – ___ с.
Составитель доцент, к.ф.-м.н. В. А. Дырков
Рецензент
доцент, к.ф.-м.н. Н.С. Кравченко
Методические указания рассмотрены и рекомендованы методическим
семинаром кафедры теоретической и экспериментальной физики
«___»___________2003г.
Зав. кафедрой
Ю.Л. Пивоваров
2
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ КРУГОВОГО ТОКА
Цель работы: изучение метода измерения магнитного поля, измерение
магнитного поля на оси кругового тока, проверка закона Био-СавараЛапласа.
Приборы и принадлежности: два коротких соленоида, планшеты из
оргстекла для фиксации измерительной катушки, датчик магнитного
поля – измерительная катушка, длинный соленоид, источник питания
переменного тока, измерительная система (блок сопряжения,
компьютер).
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ
В соответствии с законом Био-Савара-Лапласа элемент
r
r
магнитное
проводника dl с током
I
создает
в
точке
с
радиус
вектором
r
поле с индукцией dB
r
r µ 0 I dl ⋅ rr
(1.1)
dB =
4π r 3
r
где µ0 - магнитная постоянная, µ0 = 4⋅π 10-7 Гн/м. Векторr dB
r
направленrперпендикулярно плоскости, в которой лежат вектора dl и r .
Модуль dB определяется выражением:
µ Idl sin α
(1.2)
dB = 0 ⋅
2
4π
r
r r
где α - угол между векторами dl и r .
Используя выражение (1.1) и принцип суперпозиции, можно
рассчитать магнитное поле, создаваемое проводником с током любой
формы.
r
Определим магнитную индукцию B на оси кругового тока на
расстоянии z от центра контура (см. рис. 1.1).
[
I
z
О
R
r
dl
]
r
d
B
z
M
β
β
r
B
r
dB
Рис.1.1. Магнитное поле на оси кругового тока. R – радиус витка.
3
r
r
Векторы dB , создаваемые элементами витка drl образуют
симметричный конический веер. Результирующий вектор Brнаправлен
вдоль оси контура. Каждый из составляющих
векторов dB вносит в
r
dBz ,
равный
по
модулю
результирующий
вектор
вклад
r r
π
dB sin β = dB ⋅ (R / r ) . Угол α между векторами dl и r равен , поэтому
2
µ IdlR
R
(1.3)
dB1 = dB = 0 3
4π r
r
Проинтегрировав (1.3) по всему контуру и, заменив z на
R 2 + z 2 , получим:
B=
IR 2
µ0
(1.4)
2 (R 2 + z 2 ) 32
Последнее выражение можно записатьr в векторном виде, используя
r
магнитный момент контура с током Pm = I ⋅ S ⋅ n , здесь S - площадь
r
контура с током, n - вектор нормали к контуру.
r
r µo
2 Pm
B=
(1.5)
4π ( R 2 + z 2 ) 3 2
Выражение (1.5) определяет магнитную индукцию на оси
кругового контура с током на расстоянии z от центра витка. Магнитное
поле не зависит от знака z, следовательно,r в точках на оси,
симметричных относительно центра витка, B имеет одинаковую
величину и направление.
В центре витка, при z = 0 из (1.5) следует:
r
r µ 0 2 Pm
B0 =
(1.6)
4π R 3
µ ⋅I
B0 = 0
(1.7)
2⋅ R
В случае, когда магнитное поле создаётся коротким соленоидом,
содержащим N0 витков, магнитная
r индукцияr увеличивается в N0 раз:
BN 0 = N 0 ⋅ B
(1.8)
МЕТОД ИЗМЕРЕНИЯ
Измерение магнитной индукции в данной работе основано на
явлении электромагнитной индукции (ЭМИ). Явление ЭМИ
заключается в следующем: при изменении магнитного потока в катушке
4
возникает ЭДС индукции пропорциональная скорости изменения
магнитного потока и числу витков катушки N:
dФ
E = −N ⋅
(2.1)
dt
Если магнитная индукция не изменяется по сечению катушки, то
магнитный поток равен:
Ф = B ⋅ S ⋅ cosθ
(2.2)
где В – модуль вектора магнитной индукции, Sr – площадь
поперечного сечения катушки, θ - угол между вектором B и вектором
r
нормали к плоскости витков катушки n .
В данной работе изучается магнитное поле короткого соленоида,
подключенного к источнику переменного тока, магнитное поле
изменяется по закону:
(2.3)
B (t ) = Bm ⋅ cos ω t
где Bm - амплитудное значение магнитной индукции, ω - угловая
частота переменного тока. Из соотношений (2.1), (2.2), (2.3) для ЭДС
индукции следует:
(2.4)
E (t ) = Bm ⋅ S ⋅ N ⋅ ω ⋅ cosθ ⋅ sin ω ⋅ t
Как видно изr выражения (2.4) ЭДС индукции зависит от угла θ
между вектором B и осью катушки. Е максимальна при θ = 0 . В
дальнейшем всюду будем рассматривать случай, когда ось катушки
направлена вдоль силовой линии магнитного поля. ЭДС индукции в
измерительной катушке создаётся интегральным (по площади)
магнитным потоком, поэтому значение магнитной индукции в формуле
(2.4) является усреднённым по площади сечения катушки. Измеренное в
данной точке значение магнитной индукции будет тем ближе к
истинному, чем меньше размеры измерительной катушки. В данной
работе площадь сечения измерительной катушки значительно меньше
(приблизительно в 200 раз) площади сечения короткого соленоида,
создающего поле.
Амплитудное значение ЭДС индукции равно:
(2.5)
E m = Bm ⋅ S ⋅ N ⋅ ω
Отсюда
Em
(2.6)
Bm =
S ⋅ N ⋅ω
Амплитуда магнитной индукции пропорциональна амплитуде
ЭДС индукции:
(2.7)
Bm = K 0 ⋅ E m
5
Коэффициент
пропорциональности
K 0 (тарировочный
коэффициент) в реальном случае зависит от конструктивных
особенностей измерительной катушки. Измерение зависимости
B = f ( E ) и определение тарировочного коэффициента называется
тарированием измерительной катушки.
Тарирование проводят в магнитном поле известной величины. В
данной работе для тарирования используют длинный соленоид.
Магнитная индукция на оси бесконечного соленоида равна:
(2.8)
B = µ0 ⋅ n ⋅ I
где I - сила тока, n - число витков на единицу длины соленоида.
При тарировании измерительную катушку помещают в центре длинного
соленоида и измеряют линейную зависимость E = K 0 B . Тарировочный
коэффициент K 0 находят как угловой коэффициент прямой.
Так как в данной работе для тарирования используют соленоид
конечной длины, магнитная индукция в центре соленоида отличается от
рассчитанной по формуле (2.8), для данного соотношения длины и
диаметра отличие составляет 2.5 %. Уточнённый тарировочный
коэффициент равен:
K0
K=
(2.9)
0,975
Зная K для данной измерительной катушки, можно определить
значение индукции магнитного поля. Для этого необходимо измерить
ЭДС индукции, затем найти B :
E
B=
(2.10)
K
В экспериментах измеряются эффективные значения физических
E
I
B
величин E = m ; I = m ; B = m , где E m , I m , Bm - амплитудные
2
2
2
значения.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА
Экспериментальная установка состоит из двух коротких
соленоидов, на оси одного из которых необходимо исследовать
магнитное поле; планшетов с отверстием для фиксации измерительной
катушки;
измерительной
катушки;
длинного
соленоида,
предназначенного для тарирования измерительной катушки; блока
питания переменного тока; измерительной системы содержащей блок
сопряжения и компьютер.
6
Короткий соленоид имеет диаметр (средний) 300 мм и длину 25
мм, содержит 280 витков медного провода диаметром 1,2 мм.
Длинный соленоид имеет диаметр 90 мм и длину обмотки 400 мм,
плотность намотки составляет 830 витков/м. Отношение длины намотки
к диаметру составляет 4,45, при этом магнитное поле в центре
соленоида на его оси меньше магнитного поля на оси бесконечного
соленоида на 2,5 %.
Для питания соленоидов служит блок питания переменного тока
напряжением 12 В. Регулировка тока осуществляется переключателем.
Измерительная катушка диаметром 6 мм находится в оправе из
органического стекла и залита эпоксидной смолой.
При измерении магнитного поля катушка устанавливается в
отверстия на планшете на различном расстоянии от центра короткого
соленоида с началом 10 мм вдоль оси соленоида.
ЭДС индукции измеряется измерительной системой содержащей
блок сопряжения и компьютер.
ЗАДАНИЕ
1.1 Провести тарирование измерительной катушки.
1.2 Экспериментально исследовать зависимость индукции магнитного
поля на оси короткого соленоида от расстояния до центра соленоида.
1.3 Проверить выполнение закона Био-Савара-Лапласа.
1.4 Оценить погрешности измерений.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1.1 Тарирование измерительной катушки
1.1.1 Поместить измерительную катушку в центре длинного соленоида.
1.1.2 Подключить источник тока к клеммам длинного соленоида.
Включить источник тока.
1.1.3 Указать в параметрах эксперимента направление изменения тока
(увеличение) и первое значение тока 0,5 А. Установить такое же
значение тока на передней панели источника. Записать значение
ЭДС для заданного значения тока в Таблицу, нажав кнопку
«записать в таблицу».
1.1.4 Измерить и записать в таблицу ЭДС токов 1,0; 1,5; 2,0 А,
увеличивая значения тока на источнике тока и на экране
виртуального прибора.
7
1.1.5 Указать направление измерения тока на экране «уменьшение» и,
уменьшая ток источника и на экране виртуального прибора,
измерить и записать в Таблицу значения ЭДС для токов 2,0; 1,5;
1,0 и 0,5 А.
1.1.6 Рассчитать с помощью калькулятора среднее значение ЭДС с
точностью до двух знаков после запятой для каждого значения
тока и записать в таблицу. Для записи в таблицу необходимо
щёлкнуть левой кнопкой мышки в соответствующей ячейке
четвёртого столбца таблицы и напечатать полученное значение.
1.1.7 Рассчитать по формуле (2.8) магнитную индукцию и записать в
пятый столбец таблицы.
1.1.8 Для проверки правильности вычислений нажать кнопку
«Проверить». Ячейки таблицы, в которые вписаны неверные
значения, будут выделены красным цветом. Вы не можете
перейти к следующему пункту, пока все вычисления не будут
верными.
1.1.9 Получить график зависимости ЭДС индукции от магнитной
индукции В (тарировочный график), для этого нажать кнопку
«Повторить графики». Коэффициент К
вычисляется
автоматически. Введите значение К в соответствующее окно.
1.1.10 Заполнить Таблицу 1.1 в рабочей тетради (отчёте)
I
A
0,5
1,0
1,5
2,0
Таблица 1.1 – Результаты тарирования катушки
Eув
Eум
E
B
мВ
мВ
мВ
мТл
K
В/Тл
1.1.11 Построить тарировочный график E=f (B) в рабочей тетради
(отчёте).
1.2 Исследование магнитного поля на оси короткого соленоида
1.2.1 Подключить к источнику тока один короткий соленоид,
находящийся в центре макета.
1.2.2 Выбрать на экране эксперимент « Поле вдоль оси короткого
соленоида». Установить номер точки от 1 до 20.
1.2.3 Поместить измерительную катушку в соответствующее отверстие
на макете и, поворачивая катушку, получить максимальное значение
8
ЭДС. Для записи результата измерения нажать кнопку « Записать в
таблицу»
1.2.4 Выполнить пункт 1.2.3 для двадцати точек, начиная от центра
соленоида.
1.2.5 Вычислить по формуле B = E K магнитную индукцию для
каждого измеренного значения ЭДС индукции.
1.2.6 Для проверки правильности расчётов нажать кнопку «Проверить».
Ячейки таблицы, содержащие неверные значения, будут окрашены в
красный цвет. В этом случае необходимо пересчитать значения В и
повторно нажать кнопку «Проверить».
1.2.7 Построить график экспериментальной зависимости магнитной
индукции от расстояния до центра соленоида, для этого нажать кнопку
«Построить графики».
1.2.8 Построить теоретическую зависимость В(z) нажав кнопку
«Теоретическая кривая».
1.2.9 Сравнить Экспериментальную и теоретическую зависимости В(z).
1.2.10 Заполнить таблицу 1.2 в рабочей тетради (отчёте).
Таблица 1.2 – Результаты измерений магнитного поля
Номер
z
E
B
точки
см
мВ
мТл
1
2
20
1.2.11 Построить график экспериментальной зависимости В(z) в рабочей
тетради (отчёте).
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
1.1 Рассчитать погрешности измерения магнитной индукции, используя
метод оценки погрешности косвенных измерений и формулу (2.10).
В этом случае относительная погрешность ε ( B ) равна:
ε ( B) = ε 2 ( E ) + ε 2 ( K )
(3.1)
Относительная погрешность ε ( E ) составляет 5 %. Для расчёта
относительной
погрешности
тарировочного
коэффициента
ε ( K ) воспользоваться одним из двух способов: методом наименьших
9
квадратов, или методом оценки погрешности косвенных измерений. В
первом случае необходимо рассчитать дисперсию тарировочного
коэффициента, используя экспериментальные данные тарировки. Во
втором способе необходимо использовать формулы (2.8) и (2.10), тогда:
ε ( K ) = ε 2 ( E ) + ε 2 ( n) + ε 2 ( I )
(3.2)
при этом учесть, что относительные погрешности плотности намотки и
силы тока равны: ε (n) =0,5 %, ε ( I ) =5 %.
Доверительные интервалы ∆B рассчитать, занести в таблицу 1.3 и
отложить на графике зависимости В(z).
Таблица 1.3 – Результаты расчёта погрешности измерений
z
B
B-2/3
z2
∆B
∆(B-2/3)
∆(z2)
см мТл мТл (мТл)-2/3 (мТл)-2/3
см2
см2
0
20
1.2 Убедиться в выполнении закона Био-Савара-Лапласа. Для этого
проверить соответствие экспериментальной зависимости B(z)
теоретической (1.4), используя метод линеорезации. С этой целью
1
преобразовать зависимость (1.4) к линейной:
= f ( z 2 ) , тогда
2
B 3
получим:
1
(3.3)
= az 2 + b
2
B 3
где a и b - константы. Используя экспериментальные данные,
1
2
рассчитать значения
и
z
, занести в таблицу 1.3 и построить
2
3
B
1
график зависимости 2 = f ( z 2 ) . Если экспериментальные точки лежат
B 3
на прямой (в пределах погрешности измерений), то экспериментальная
зависимость B = f ( z ) соответствует теоретической, т.е. закону БиоСавара-Лапласа.
⎛ 1 ⎞
Рассчитать погрешности ∆⎜ 2 3 ⎟ и ∆ z 2 , используя методы
⎝B ⎠
оценки погрешности косвенных измерений, занести в таблицу 1.3 и
( )
10
отложить на графике зависимости
1
B
выполнении закона Био-Савара-Лапласа.
2
= f ( z 2 ) . Сделать вывод о
3
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
На каком явлении основан метод измерения магнитной индукции
в данной работе?
В чём заключается процедура тарирования измерительной
катушки?
Почему радиус измерительной катушки должен быть значительно
меньше радиуса короткого соленоида?
Чему равна индукция магнитного поля на оси длинного
соленоида?
По какому закону изменяется магнитное поле вдоль оси короткого
соленоида?
Запишите формулу для расчёта магнитного поля в центре
короткого соленоида, на расстоянии равном радиусу соленоида.
Как проверить соответствие измеренной зависимости В(z)
теоретической, то есть закону Био-Савара-Лапласа?
ЛИТЕРАТУРА
1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.2. Электричество и магнетизм. М.: Наука, 2002.
2. Калашников Э.Г. Электричество. - М.: Наука, 1977.
3. Руководство к лабораторным занятиям по физике. Под ред. Л.Л.
Гольдина. - М.: Наука, 1973.
4. Физический практикум. Под ред. В.И. Ивероновой.- М.: Наука, 1973.
5. Зайдель А.Н. Погрешности измерения физических величин. - Л.:
Наука, 1985.
11