ЛЕКЦИЯ 13 Гармонические колебания. Колебания

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Колебания
Лекция 13
ЛЕКЦИЯ 13
Гармонические колебания. Колебания математического маятника. Колебания физического маятника. Фазовый портрет
маятника. Адиабатические инварианты.
Гармонические колебания
1
Довольно распространенный тип движения механических систем представляют собой так называемые малые колебания, которые система
совершает вблизи своего положения устойчивого равновесия. Мы рассмотрим эти движения в наиболее простом случае, когда система имеет всего лишь одну степень свободы. Это значит, что для однозначного
определения положения системы в пространстве достаточно задать всего
одно число. Это не обязательно должна быть декартова координата, а
в зависимости от условий задачи может оказаться более удобным выбор
какой-то другой величины. Такая величина, однозначно характеризующая положение системы, называется ее обобщенной координатой.
Устойчивому равновесию соответствует такое положение системы, в
котором ее потенциальная энергия U (q) как функция некоторой обобщенной координаты q имеет минимум. Отклонения от этого минимума
приводят к возникновению силы −dU/ dq, стремящейся вернуть систему
обратно. Обозначим соответствующее минимуму значение координаты
q через q0 . Поскольку при малых колебаниях разность q − q0 предполагается малой, то потенциальную энергию можно разложить в ряд по
степеням q − q0 , оставив в ней только первый неисчезающий член.
В общем случае справедливо следующее разложение функции U (q) в
так называемый ряд Тейлора вблизи значения q = q0 :
1
1
U (q) = U (q0 ) + U 0 (q0 )(q − q0 ) + U 00 (q0 )(q − q0 )2 +
1!
2!
1
+ . . . + U [n] (q0 )(q − q0 )n + . . .
(1)
n!
В математике доказывается теорема, согласно которой, если точка q0
не является особой точкой функции U (q) и функция бесконечно кратно дифференцируема в этой точке, так что ни одна из производных не
обращается в бесконечность (U [k] (q0 ) 6= ∞), то формула, записанная выше, является точной. В это нетрудно поверить, потому что фактически
1
Смотри видео http://lms.physics.spbstu.ru/mod/forum/discuss.php?d=217
1
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Колебания
Лекция 13
справа записана функция, которая при q = q0 принимает то же значение,
что и функция U (q), и все производные от этой функции совпадают с
соответствующими производными от U (q) при q = q0 .
В нашем случае первое слагаемое есть просто константа U (q0 ), которую можно без ограничения общности считать равной нулю (это есть
начало отсчета потенциальной энергии). Второе слагаемое равно нулю в
силу того, что в положении минимума равна нулю производная, определяющая силу,
¯
¯
dU
¯
= 0.
(2)
U 0 (q0 ) =
dq ¯q=q0
Поэтому первый неисчезающий член в разложении — это квадратичный:
k
U (q) − U (q0 ) ∼
= (q − q0 )2 ,
2
(3)
k = U 00 (q0 ) > 0
(4)
где
— положительная величина. Считая, что U (q0 ) = 0, и вводя обозначение
x = q − q0 ,
(5)
получим
k
U (x) = x2 .
(6)
2
Кинетическая энергия системы с одной степенью свободы есть квадратичная функция обобщенной скорости q̇ и в общем случае имеет
вид
1
1
a(q)q̇ 2 = a(q)ẋ2 .
(7)
2
2
В том же приближении малых колебаний, которое мы использовали ранее, достаточно заменить функцию a(q) на ее значение при q = q0 . Вводя
для краткости обозначение 2
a(q0 ) = m,
(8)
получим окончательно для полной энергии системы выражение
mẋ2 kx2
+
,
(9)
E =T +U =
2
2
то есть выражение, формально совпадающее с энергией механической
системы “грузик+пружинка” — рис. 1. В механике доказывается теорема, что если выражение для полной энергии двух систем как функция
2
Величина m совпадает с массой, только если x есть декартова координата частицы!
2
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Колебания
Лекция 13
их обобщенных координаты и скорости совпадают, то совпадают и уравнения их движения.
m
k
Рис. 1: Простейшая модель гармонического осциллятора — грузик на пружинке.
Уравнение движения грузика, как известно, имеет вид ma = F , где
возвращающая сила F = −kx, или
mẍ + kx = 0 (ma = −kx).
(10)
Сокращая на m, его можно переписать в виде
ẍ + ω 2 x = 0,
где
(11)
r
k
.
(12)
m
Дифференциальное уравнение ẍ+ω 2 x = 0 является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка. Согласно общей теории линейных дифференциальных уравнений, оно имеет два линейно независимых решения. В данном конкретном случае легко проверить, что это функции
ω=
sin ωt и
cos ωt.
(13)
Общее решение представляет собой линейную комбинацию этих двух решений: 3
x = c1 cos ωt + c2 sin ωt,
(14)
где c1 и c2 — произвольные постоянные. Это выражение можно переписать в виде
x = a cos (ωt + α).
(15)
Линейное однородное уравнение обладает таким свойством, что если x(t) — решение, то C · x(t)
— тоже решение. Если x1 (t) и x2 (t) — два решения, то их сумма x1 (t) + x2 (t) — тоже решение.
3
3
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Колебания
Лекция 13
Поскольку cos (ωt + α) = cos ωt cos α − sin ωt sin α, то, сравнивая с (14),
получаем
q
c2
a = c21 + c22 , tg α = − ,
(16)
c1
где c1 = a cos α, а c2 = −a sin α.
Таким образом, вблизи положения устойчивого равновесия система совершает гармоническое колебательное движение. Коэффициент a
называется амплитудой колебаний, а аргумент косинуса — их фазой,
α есть начальное значение фазы, зависящее, очевидно, от выбора начала отсчета времени. Величина ω называется циклической частотой
колебаний, или просто частотой.
Частота ω является основной характеристикой колебаний, не зависящей от начальных условий
движения, и в частности от энергии. Согласно
p
формуле (12), ω = k/ m, то есть она полностью определяется свойствами механической системы как таковой 4 . Необходимо, однако, подчеркнуть, что это свойство частоты связано с предполагаемой малостью
колебаний. Оно исчезает при переходе к более высоким приближениям.
С математической точки зрения независимость частоты от энергии системы связана с квадратичной зависимостью потенциальной энергии от
координаты. Оно не имеет места, если, например, функция U (x) имеет
при x = 0 минимум более высокого порядка: U (x) ∝ xn , n > 2.
Энергия системы, совершающей малые колебания, есть
mẋ2 kx2
m
m
E=
+
= (ẋ2 + ω 2 x2 ) = ω 2 a2 .
(17)
2
2
2
2
Она пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.
В случае гармонических колебаний зависимость координаты колеблющейся системы от времени часто оказывается удобным представлять в
виде вещественной части комплексного выражения
©
ª
x = Re Aeiωt ,
(18)
где A — комплексная постоянная. Записав ее в виде
A = aeiα ,
где a и α — вещественные, мы вернемся к старому выражению
x = Re aeiωt+iα = a cos (ωt + α).
4
5
Смотри видео http://lms.physics.spbstu.ru/mod/forum/discuss.php?d=219
Напомним знаменитую формулу Эйлера: eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ.
4
(19)
5
(20)
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Колебания
Лекция 13
Постоянную A называют комплексной амплитудой. Ее модуль a совпадает с обычной амплитудой, а аргумент α — с начальной фазой колебаний.
Оперирование с экспоненциальными множителями в математическом
отношении проще, чем с тригонометрическими, так как дифференцирование (и интегрирование) не изменяет их вида. При этом пока мы
производим лишь линейные операции (сложение, умножение на постоянные множители, дифференцирование, интегрирование), можно вообще опускать знак вещественной части, переходя к последней лишь в
окончательном результате вычислений.
Колебания математического маятника
Рассмотрим в качестве примера колебания математического маятника — материальной точки или грузика, размерами которого можно пренебречь и который подвешен на нерастяжимой невесомой нити.
Положение нити вертикально вниз является положением устойчивого
l
j
l cos j
h=l (1-cos j)
Рис. 2: Математический маятник.
равновесия. Если отклонить направление нити от вертикали, то возникнет сила, возвращающая ее в прежнее положение. Попробуем описать
движение такого маятника математически.
В качестве обобщенной координаты удобно выбрать угол ϕ отклонения
нити от вертикали. Потенциальная энергия тогда определяется выражением
U = mgh = mgl(1 − cos ϕ).
(21)
5
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Колебания
Лекция 13
Кинетическая энергия равна
1
1
1
T = mv 2 = m(lϕ̇)2 = ml2 ϕ̇2 .
(22)
2
2
2
В результате полная энергия равна
1
E = ml2 ϕ̇2 + mgl(1 − cos ϕ).
(23)
2
Она остается постоянной в процессе движения. Если мы интересуемся
малыми колебаниями ϕ ¿ 1, то cos ϕ можно разложить в ряд Тейлора:
cos ϕ ≈ 1 −
ϕ2
.
2!
(24)
Тогда
1
1
1
g
E = ml2 ϕ̇2 + mglϕ2 = ml2 (ϕ̇2 + ϕ2 ).
2
2
2
l
Сравнивая это с выражением (9),
(25)
mẋ2 kx2
m
E=
+
= (ẋ2 + ω 2 x2 ),
(26)
2
2
2
мы приходим к выводу, что математический маятник колеблется с частотой
r
g
ω=
,
(27)
l
хорошо известной из начального курса физики. Уравнение колебаний
имеет следующий вид, аналогичный (11):
ϕ̈ + ω 2 ϕ = 0.
(28)
Его можно получить, воспользовавшись, например, законом сохранения
энергии. Дифференцируя (25) по времени и приравнивая производную
нулю, мы приходим к нужному результату
1 2 d ³ 2 g 2´
dE
= ml
ϕ̇ + ϕ = ml2 ϕ̇(ϕ̈ + ω 2 ϕ) = 0.
(29)
dt
2
dt
l
Поскольку в общем случае ml2 ϕ̇ 6= 0, то должно обращаться в нуль
выражение в круглых скобках.
Колебания физического маятника
6
Рассмотрим теперь малые колебания физического маятника. Так в
общем случае называется твердое тело произвольной формы, которое
6
Смотри видео http://lms.physics.spbstu.ru/mod/forum/discuss.php?d=214
6
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Колебания
Лекция 13
может качаться вокруг неподвижной горизонтальной оси C (рис. 3). Положение тела в каждый момент времени характеризуется, как и в случае
математического маятника, его углом отклонения из положения равновесия ϕ. Кинетическая энергия физического маятника определяется выражением
1
T = I ϕ̇2 ,
(30)
2
где I — момент инерции маятника относительно оси вращения C. Обозначим расстояние от оси вращения до центра инерции тела через a.
Тогда потенциальная энергия при малых ϕ определится выражением:
1
U = mga(1 − cos ϕ) = mgaϕ2 .
2
В результате полная энергия маятника равна
(31)
ось вращения
C
центр инерции
a
j
Рис. 3: Физический маятник.


1
1
1 
mga 2 
E = I ϕ̇2 + mgaϕ2 = I ϕ̇2 +
ϕ ,
2
2
2
I
| {z }
(32)
ω2
а частота малых колебаний
ω=
r
mga
=
I
r
g
lпр
,
где lпр = I/ma — приведенная длина физического маятника.
7
(33)
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Колебания
Лекция 13
Фазовый портрет маятника
Вернемся опять к колебаниям грузика на пружине. Как мы видели, энергия системы определяется выражением
mẋ2 kx2
E=
+
= const.
2
2
Введем вместо скорости импульс p = mẋ. Тогда
(34)
p2
kx2
+
= E.
2m
2
Разделив это равенство на E, его можно переписать в виде
p2
x2
+
= 1,
2mE 2E/k
или
µ
p
√
2mE
Ã
¶2
x
p
2E/k
+
(35)
(36)
!2
= 1.
(37)
В “пространстве”√ с координатными
осями x и p это уравнение эллипp
са с полуосями 2mE и 2E/k. Пространство с осями “координата –
p
2mE
x
2E/k
Рис. 4: Траектория гармонического осциллятора в фазовом пространстве.
импульс” называется фазовым пространством системы.
Таким образом, траектория гармонического осциллятора в фазовом
пространстве представляет собой эллипс. Поскольку площадь эллипса,
задаваемого уравнением x2 /a2 + y 2 /b2 = 1, как известно, равна πab, то в
нашем случае площадь под фазовой траекторией определяется выражением
r
r
√
E
2E
m
= 2πE
= 2π ,
(38)
S = π 2mE ·
k
k
ω
8
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
или
Физика Колебания
S
E
= .
2π
ω
Лекция 13
(39)
Адиабатические инварианты
Величина площади S, заключенной внутри фазовой траектории частицы, деленная на 2π, имеет в физике специальное название адиабатического инварианта. Для гармонического осциллятора адиабатический
инвариант определяется выражением
I=
S
E
= .
2π
ω
(40)
Возникает вопрос, почему величина I была удостоена такого названия.
Здесь все дело в том, что до сих пор мы рассматривали движение при
неизменных параметрах системы, то есть в нашем случае колебаний
грузика на пружинке неизменными параметрами движения были масса
грузика m и упругая постоянная k (а значит и частота ω).
Вообразим теперь ситуацию, когда параметры системы медленно (как
говорят, адиабатически) меняются со временем. Медленность изменения означает, что за время, равное периоду движения, эти параметры
мало изменяются по сравнению со своей первоначальной величиной. Например, если меняется упругая постоянная k, то за время ∆t = T (T —
период движения) она изменяется на величину
dk
∆t = k̇T.
dt
Это изменение должно быть много меньше самой величины k:
∆k =
k̇T ¿ k.
(41)
(42)
В этом случае оказывается, что величина адиабатического инварианта
I остается в процессе движения постоянной. Например, если меняется
k, то
E
E
E
=p
= const, или √ = const.
I=
(43)
ω
k
k/ m
В том случае, когда, например, упругая константа
√ k медленно увеличивается, увеличивается и энергия системы E ∝ k, или так как
1
1
E = mω 2 a2 = ka2 ,
2
2
9
(44)
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Колебания
Лекция 13
√
√
то E/ k = ka2 /2 = const. Таким образом, при увеличении k амплитуда колебаний падает по закону
1
(45)
a ∼ 1/4 .
k
Мы не будем доказывать в общем виде утверждение о сохранении
адиабатического инварианта при медленном изменении параметров системы. Однако для частного случая гармонического осциллятора (грузика на пружине) такое доказательство будет представлено. Оно показывает способ, которым это утверждение может быть доказано в других
ситуациях.
Запишем выражение для полной энергии системы
m 2 kx2
E = ẋ +
.
(46)
2
2
Пусть k меняется медленно. Продифференцируем это равенство по времени:
dE
1
= mẋẍ + kxẋ + k̇x2 =
dt
2
1
= ẋ(mẍ + kx) + k̇x2 .
(47)
2
Величина, стоящая в круглых скобках, в силу второго закона Ньютона,
равна нулю, так что
dE
1
= k̇x2 ,
(48)
dt
2
то есть скорость изменения энергии системы оказывается пропорциональной малому параметру k̇.
В первом приближении по k̇ сюда вместо x можно подставить решение
уравнения
mẍ + kx = 0,
(49)
где k считается постоянной, то есть x = a cos (ωt + α). В результате
1
dE
= k̇a2 cos2 (ωt + α).
(50)
dt
2
Усредним теперь это равенство по быстрым колебаниям грузика 7 . Учитывая, что k̇ — медленная функция времени, и считая ее константой, а
среднее значение cos2 (ωt + α) = 1/2, получим
1
dE
1
= k̇a2 .
dt
2
2
7
(51)
”Быстрым” в том смысле, что за период колебаний величина k практически не изменяется.
10
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Колебания
Лекция 13
В случае гармонических колебаний E = mω 2 a2 /2. Выражая отсюда a2
и подставляя в выражение (51), получим
dE
1 E
1 k̇E
= k̇
=
.
(52)
dt
2 mk
2 k
m
Здесь в том же приближении под E нужно понимать среднее по периоду
значение энергии E. В результате
dE
1 dk E
=
.
dt
2 dt k
Сокращая на dt, мы приходим к дифференциальному уравнению
dE
1 dk
=
.
2 k
E
Интегрируя это уравнение, получим
1
ln E = ln k + const,
2
или
³ √ ´
√
ln E − ln k = const, =⇒ ln E/ k = const,
(53)
(54)
(55)
(56)
или
E
√ = const.
(57)
k
p
Так как ω = k/m, а m — константа, то мы и приходим к утверждению,
что в процессе движения
E
= const,
(58)
ω
то есть при медленном изменении параметров осциллятора его энергия
изменяется пропорционально частоте. Это утверждение остается в силе,
если вместо k медленно меняется масса осциллятора m (или медленно
меняются обе величины).
Замечательно то, что это равенство справедливо не только для колебаний грузика на пружине, но и для любой другой системы, совершающей
гармонические колебания, параметры которой испытывают медленные
вариации со временем. Например, это может быть математический маятник, изображенный на рис. 2, длина которого l медленно меняется со
временем. Более того, сохранение адиабатического инварианта имеет место для любой системы, совершающей финитное движение, при медленном изменении параметров последней. Конкретная его форма, однако,
I=
11
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Колебания
Лекция 13
зависит от типа движения. В общем случае одномерного периодического
движения адиабатический инвариант определяется выражением
I
1
I=
pdq,
(59)
2π
где p — обобщенный импульс, а q — обобщенная координата и интеграл
берется по области изменения этой координаты туда и обратно (на что
указывает кружок ◦ на значке интеграла).
Для примера рассмотрим систему, представляющую собой шарик (в
невесомости), который помещен в коробку, где он движется от стенки
к стенке, упруго отражаясь от них, совершая тем самым колебательное
движение (но колебания эти не гармонические) (рис. 5). Траектория этой
m
v
L
Рис. 5: Частица, движущаяся между двумя стенками.
системы в фазовом пространстве имеет вид прямоугольника, изображенного на рис. 6. Площадь под ней равна 2pL, где p = mv — импульс. В
итоге адиабатический инвариант имеет следующий вид:
1
1
I=
· 2pL = pL
(60)
2π
π
и его сохранение означает, что
pL = const.
(61)
В данном случае единственным параметром колебательной системы
является длина коробки L. Это значит, что если L медленно меняется со
временем, то импульс частицы изменяется по закону
1
.
(62)
L
Другое доказательство этого факта, исходя из известных законов упругого отражения шарика от медленно движущейся стенки, предоставляется
вам самим.
p∼
12
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Колебания
Лекция 13
px
p
-L/2
L/2
x
-p
Рис. 6: Траектория в фазовом пространстве для частицы, движущейся между двумя стенками.
Задачи
1. К концам пружины жесткостью k прикреплены грузы с массами m
и 3m. Чему равна частота колебаний системы ω?
Ответ:
r
4k
.
ω=
3m
2. Частица массы m движется в потенциале U (x) = ax4 /4 − f x. Найти
частоту малых колебаний ω, как функцию приложенной силы f .
Ответ:
r
k
, где k = 3a1/3 f 2/3 .
ω=
m
В результате ω ∝ f 1/3 .
3. Проинтегрировать уравнения движения частицы массы m в поле
U (r) = kr2 /2. По какой траектории происходит движение? Найдите
ее характерные размеры.
Ответ:
r
v0
k
r(t) = r0 cos ωt +
sin ωt, где ω =
,
ω
m
а r0 ≡ r(0) и v0 ≡ v(0) — начальные значения координаты и скорости
частицы соответственно. Движение частицы происходит в плоскости,
образованной векторами r0 и v0 . Траекторией частицы является эллипс с полуосями r1 и r2 :
sµ
µ
¶
¶
³ r · v ´2
2
2 2
1 2 v0
v
1
0
0
0
2
r1,2 =
r0 − 2 + 4
.
r0 + 2 ±
2
ω
2
ω
ω
13
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Колебания
Лекция 13
Этот эллипс вырождается в окружность (r1 = r2 ), если v0 = ωr0 и
v0 ⊥ r0 , или в отрезок прямой (r2 = 0), если v0 k r0 .
4. Однородная пластинка в форме равностороннего треугольника со
стороной l подвешена на шарнире за одну из своих вершин и совершает малые, незатухающие колебания в поле силы тяжести в вертикальной плоскости, совпадающей с плоскостью пластинки. Найти
частоту этих колебаний.
Ответ:
s √
r
4 3g
g
≈ 1, 18
.
ω=
5 l
l
5. Массы m1 , m2 и m3 находятся в вершинах треугольника и скреплены невесомыми спицами длины l1 , l2 и l3 , расположенными против
каждой из вершин соответственно. Найти частоту малых колебаний
этой системы в вертикальной плоскости (совпадающей с плоскостью
треугольника) в поле силы тяжести, когда треугольник подвешен на
шарнире в одной из своих вершин.
Ответ: Пусть треугольник подвешен за вершину с массой m1 . Тогда
частота колебаний равна
r
g
m2 l32 + m3 l22
, где l1, = p
,
ω1 =
l1,
(m2 + m3 )(m2 l32 + m3 l22 − µ23 l12 )
а µ23 = m2 m3 /(m2 + m3 ) — соответствующая приведенная масса.
Аналогичные выражения получаются и для двух других частот ω2
и ω3 .
6. Математический маятник длины l совершает малые незатухающие
колебания вблизи своего положения равновесия в поле силы тяжести
g находясь все время на гладкой наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. В этой же плоскости расположена и нить
маятника. Найти частоту этих колебаний. Как будет меняться энергия E и амплитуда малых колебаний ϕ0 , если медленно изменять
угол наклона плоскости α к горизонту?
Ответ:
r
√
g sin α
ω=
, E ∝ ω ∝ sin α, ϕ0 ∝ sin−1/4 α.
l
7. Частица массы m совершает финитное движение в потенциале U (x) =
k|x|. Как зависит период колебаний T от энергии частицы E? Как
14
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Колебания
Лекция 13
будет изменяться период колебаний, их амплитуда x0 и энергия частицы, если коэффициент k есть медленная функция времени?
Ответ:
√
4 2√
T =
mE, x0 = E/k.
k
Траектория частицы в фазовом пространстве (x, p) является комбинацией двух парабол, симметричная относительно оси p. В I и IV
квадрантах она описывается уравнением x = x0 − p2 /2mk. Поэтому
сохраняющийся адиабатический инвариант равен
√
I
4 2√
E 3/2
1
3/2
I=
p dx =
km x0 ∝
= const.
2π
3π
k
Следовательно, при медленном изменении коэффициента k
√
E
E
E ∝ k 2/3 , T ∝
∝ k −2/3 , x0 =
∝ k −1/3 .
k
k
8. Найдите адиабатический инвариант I для периодического движения
с энергией E частицы массы m в потенциале U (x) = ax4 /4.
9. Как будет изменяться амплитуда малых колебаний математического
маятника ϕ0 , если его длина l будет медленно уменьшаться со временем? Трение в системе отсутствует.
Ответ: амплитуда колебаний (по углу) будет увеличиваться:
ϕ0 ∝ l−3/4 .
10. Однородный стержень массы M и длины L закреплен на шарнире у
одного из своих концов и совершает незатухающие малые колебания
в вертикальной плоскости в поле силы тяжести относительно своего положения равновесия. По стержню туда-сюда медленно ползает
муха массы m. Определить как будет меняться энергия и амплитуда
колебаний стержня с мухой в зависимости от положения мухи.
Ответ: Пусть x — координата мухи, отсчитываемая от точки подвеса
(0 < x < L). Тогда частота колебаний
v
r u
u1+2 m x
3g u
M L.
u
ω=
t
2L
m x2
1+3
M L2
15
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Колебания
Лекция 13
Поскольку при адиабатическом изменении параметров гармонического осциллятора энергия E ∝ ω, то
v
u
u1+2 m x
u
M L,
E(x) = E(0) u
t
m x2
1+3
M L2
где E(0) = (M gL/4)ϕ20 (0) — энергия осциллятора при x = 0 (см.
ниже). Амплитуда колебаний по углу ϕ0 (x)
·³
µ
¶¸−1/4
m x´
m x2
ϕ0 (x) = ϕ0 (0) 1 + 2
1+3
,
ML
M L2
где ϕ(0) — амплитуда колебаний при x = 0.
11. Найти адиабатические инварианты для задачи Кеплера.
Решение: Кинетическая и потенциальная энергия в задаче Кеплера:
¢
m¡ 2
α
K=
ṙ + r2 ϕ̇2 , U = − .
2
r
Обобщенные импульсы равны:
pϕ =
∂K
= mr2 ϕ̇,
∂ ϕ̇
pr =
∂K
= mṙ.
∂ ṙ
Из второго закона Кеплера вытекает, что
pϕ = mr2 ϕ̇ = M = const.
Поэтому
1
Iϕ =
2π
Z2π
1
Ir =
2π
pϕ dϕ = M,
0
I
1
pr dr =
2π
I
mṙdr.
Отсюда:
1
Iϕ + Ir =
2π
µI
¶
I
mr2 ϕ̇dϕ +
mṙdr
1
=
2π
ZT
¡
¢
m r2 ϕ̇2 + ṙ2 dt,
0
где T — период движения. Принимая во внимание выражение для
кинетической энергии, получаем
1
Iϕ + Ir =
π
ZT
K(t)dt =
0
16
TK
,
π
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Колебания
Лекция 13
где K — среднее по периоду значение кинетической энергии. По теореме вириала K = −E, поэтому
Iϕ + Ir =
|E|T
,
π
или Ir =
|E|T
− M.
π
12. Выразить параметр p и эксцентpиситет ε эллиптической орбиты через адиабатические инварианты задачи Кеплера.
Ответ:
s
µ
¶2
2
Iϕ
Iϕ
p=
, ε= 1−
.
mα
Iϕ + Ir
В силу адиабатической инвариантности величин Ir и Iϕ , при медленном изменении коэффициента α или массы m эксцентpиситет орбиты
остается неизменным, а ее размеры меняются обратно пропорционально m и α.
Анекдот
Томсон (лорд Кельвин) однажды вынужден был отменить свою лекцию
и написал на доске: ”Professor Tomson will not meet his classes today”
(Профессор Томсон не сможет встретиться сегодня со своими учениками). Студенты решили подшутить над профессором и стёрли букву ”с”
в слове ”classes”. На следующий день, увидев надпись, Томсон не растерялся, а, стерев ещё одну букву в том же слове, молча ушёл 8 .
8
Classes — классы, lasses — любовницы, asses — ослы.
17