Изучение физического маятника

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
УТВЕРЖДАЮ
Проректор-директор ФТИ
_____________________ О.Ю. Долматов
« »
2013 г.
ИЗУЧЕНИЕ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
Методические указания к выполнению
лабораторной работы Э-28
по курсу «Общая физика» для студентов всех специальностей
Составители Ю.А. Сивов, Г.В. Ковалёнок
Издательство
Томского политехнического университета
2013
УДК 53.01
Изучение физического маятника. Методические указания к
выполнению лабораторной работы Э-28 по курсу «Общая физика»
«Колебания и волны» / сост. Ю.А. Сивов, Г.В. Ковалёнок.– Томск: Издво Томского политехнического университета, 2013. – 8 с.
Методические указания рассмотрены и рекомендованы
к изданию методическим семинаром кафедры
теоретической и экспериментальной физики ФТИ.
«___»___________2012 г.
Зав. кафедрой ТиЭФ
доктор физ.-мат. наук,
профессор
___________
В.Ф. Пичугин
Председатель
учебно-методической комиссии
___________
С.И. Борисенко
Рецензент
доцент к.ф.-м.н. С.И. Твердохлебов
© ГОУ ВПО НИ ТПУ, 2012
© Ю.А. Сивов, Г.С. Коваленок, 2012
© Оформление. Издательство Томского
политехнического университета, 2013
ИЗУЧЕНИЕ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
2
Цель работы: определение методом кольца ускорения силы
тяжести, сравнение теоретического значения момента инерции для
физического маятника, вычисленного с помощью теоремы Гюйгенса –
Штейнера, с результатами эксперимента.
Приборы и принадлежности: физические маятники, (кольца,
диски), стойка, штангенциркуль, секундомер.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Физический маятник – твердое
тело, совершающее колебания
относительно неподвижной точки
O, называемой центром вращения,
не совпадающей с его центром
тяжести C ﴾рис. 1﴿. В положении
равновесия
центр
тяжести
расположен ниже центра вращения
и на одной вертикали. Если
маятник отклонить от положения
равновесия на малый угол α, то
возникает вращающий
Рис. 1
момент M , стремящийся вернуть его в положение равновесия. Запишем
уравнение динамики вращательного движения маятника
(1)
M  [rF ]  [rmg ].
Обозначив r  l расстояние между точкой подвеса и центром
масс, преобразуем уравнение (1)
(2)
Iα  lmg sin α,
где I  момент инерции твердого тела относительно оси, проходящей
через точку подвеса O. При малых углах sin α  α и уравнение (2) после
несложных преобразований принимает вид
mgl
(3)
α
α  0.
I
mgl
Введя обозначение
= ω02 , придем к уравнению
I
(4)
α  ω02α  0.
3
Уравнение (4) представляет собой уравнение гармонического
осциллятора, решение которого
(5)
α  α0 cos(ω0t  ) ,
где ω0 − собственная циклическая частота колебаний физического
маятника. Воспользовавшись уравнением (3), представим выражение
для циклической частоты в виде
g
ω0 
.
(6)
I / ml
Тогда период колебаний физического маятника
2π
I
.
(6)
T
 2π
ω0
mgl
Решая уравнение (6) относительно g, получим
4π 2 I
.
(7)
g
mlT 2
Рис. 2
Применим полученную формулу для частного случая, когда в качестве
физического маятника используется качающееся кольцо (рис 2, a, б, в).
Можно показать, что момент инерции кольца относительно оси,
проходящей через центр тяжести С, равен:
1
I C  m(R12 +R22 ) .
(8)
2
Момент инерции кольца относительно оси, проходящей через точку O и
параллельной оси, проходящей через центр масс, по теореме Гюйгенса –
Штейнера:
I 0  IC  mR12
(9)
или, учитывая (8),
4
1
1
I O  m(R12 +R22 )+ mR12  m(3R12 +R22 ).
2
2
Решая совместно уравнения (7) и (10) относительно g, получим
(10)
2π 2 (3R12 +R22 )
.
(11)
g
R1T 2
Таким образом, по формуле (11), при известных периоде T колебания,
внутреннем радиусе R1 и внешнем радиусе R2 кольца, можно определить
ускорение силы тяжести.
Период колебаний математического маятника определяется формулой
l
(12)
T  2π
,
g
где l− длина нити маятника. Из сопоставления формул (6) и (12)
математический маятник с длиной
I
(13)
lпр 
ml
Будет иметь такой же период колебания, что и данный физический
маятник. Величину (13) называют приведенной длиной физического
маятника. Таким образом, приведенная длина физического маятника −
это
длина
такого
математического
маятника,
период колебания которого
равен
периоду
колебаний
данного
физического
маятника.
СХЕМА УСТАНОВКИ
Установка представлена
на рис. 3. Горизонтальный
стержень, укрепленный на
стойке,
играет
роль
горизонтальной
оси,
проходящей через точку О
кольца. Кольцо отклоняют на
небольшой
угол,
под
действием силы тяжести оно
будет
совершать
гармонические колебания.
Рис. 3
5
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Упражнение № 1
Определение ускорения силы тяжести методом кольца
1. Измерить штангенциркулем внутренний и внешний диаметры кольца
не менее 3-х раз в разных положениях кольца, результаты измерений
занести в таблицу № 1, в соседние колонки занести значения
радиусы R1 и R2.
2. Секундомером измерить время t, в течение которого совершается
n  100 полных колебаний, вычислить среднее время tср из 3-х
опытов, определить Tср. – период колебаний данного кольца,
результаты занести в таблицу № 1.
3. Подставив в формулу (11) средние значения R1 , R2 и Т , вычислить
ускорение силы тяжести g .
4. Опыты провести с двумя кольцами, вычислить среднее значение g
для всей серии опытов.
5. Вычислить погрешность Δ g , записать результат измерений
ускорения силы тяжести в виде: ( g  Δ g ) м/с2 при α =0,95.
6. Определить относительную погрешность измерения.
Таблица № 1
g
№ D1
D2
t100
T
D1
R1
D2
R2
(с) (м/с2)
(м) (м) (м) (м) (м) (м)
(с)
Кольцо 1
№1
2
3
Кольцо 1
№2
2
3
Упражнение № 2
Определение момента инерции физического маятника.
Проверка теоремы Гюйгенса – Штейнера.
В качестве объекта измерения использовать диск с отверстием из
материала с известной плотностью материала ρ (рис. 2в). Момент
инерции такого диска относительно горизонтальной оси, проходящей
6
через точку O, определяется формулой (вывести эту формулу
самостоятельно)
1
3
(14)
I теор  πhρ[R 2 ( R 2 +l 2 ) − r 4 ] ,
2
2
где h – толщина диска.
Используя
(7),
получим
формулу
для
определения
экспериментального значения момента инерции
mдlT 2 g  М  m  lT 2 g lhρgT 2 (R 2  r 2 )
,
(15)
I эксп. 


4π 2
4π 2
4π
где mд = M −m= − масса диска, M  πR 2hρ – масса сплошного диска,
m = πR 2hρ – масса диска радиусом r.
Порядок выполнения упражнения № 2
1. Экспериментальное значение момента инерции диска определяем по
результатам измерения периода колебаний. Для этого, используя
такую же процедуру, что и при выполнении упр. 1, найти период Т
колебаний диска. Измерить параметры R, x  l  R  x  . Результаты
измерений занести в табл. 2. Найти средние значения измеренных
величин. Подставить найденные значения в формулу (13) и
вычислить экспериментальное значение момента инерции диска Iэксп.
Значение ускорения свободного падения g взять из таблицы № 1.
Таблица № 2
№
D
x l Rx
h t100 T
Iтеор
Iэксп
r
R
(кг· м )
(кг ·м )
(м)
(м)
(м)
(м)
(с)
(с)
(м )
(м)
1.
2
2
2.
3.
Сред.
знач.
2. Iтеор. вычислить из соотношения (19), для чего используйте
результаты измерений h, R, l и r, представленные в таблице № 2.
Табличные значения плотности материала диска:
ρлатуни=8550 кг/м3, ρстали=7870 кг/м3.
3. Сравните экспериментальное и теоретическое значения моментов
инерции физического маятника, сделайте выводы относительно
справедливости выполнения теоремы Гюйгенса – Штейнера.
7
4. По формуле (13), используя I теор и I эксп , вычислите приведенную
длину физического маятника. Сравните полученные результаты.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какая физическая величина является мерой инертности при
вращательном движении твердого тела относительно неподвижной
оси?
2. Сформулируйте теорему Гюйгенса – Штейнера.
3. Какие колебания называют гармоническими?
4. В чем состоит отличие физического маятника от математического?
5. Дайте определение приведенной длины физического маятника.
ЛИТЕРАТУРА
1. Савельев И. В. Курс общей физики, т. 1. − М.: Наука, 2002. − 432 с.
Учебное издание
ИЗУЧЕНИЕ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
Методические указания к выполнению лабораторной работы Э-28
Составители
Сивов Юрий Александрович
Коваленок Галина Васильевна
Отпечатано в Издательстве ТПУ в полном соответствии
с качеством предоставленного оригинал-макета
Подписано к печати _____ ___ 2013. Формат 60х84/16. Бумага «Снегурочка».
Печать XEROX. Усл. печ. л. 9,01. Уч.-изд. л. 8,16.
Заказ . Тираж ____ Экз.
Национальный исследовательский Томский политехнический
университет
Система менеджмента качества
Томского политехнического университета сертифицирована
NATIONAL QUALITY ASSURANCE по стандарту ISO 9001:2008
. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 30
Тел./факс: 8(3822)56-35-35, www.tpu.ru
8