Свободные колебания системы с одной степенью свободы

Свободные колебания системы с
одной степенью свободы
Задача D35
Механизм, состоящий из пяти тел и двух одинаковых
пружин с жесткостью c = 12 Н/м, расположен в горизонтальной плоскости. Стержни 4 и 5 жестко скреплены с
блоком 2, вращающимся на неподвижной опоре. Однородный цилиндр 1 входит в зацепление с внешним ободом блока, внутренний радиус блока зацеплен с рейкой 3, свободно скользящей в направляющих. Даны массы m1 = 8 кг,
m2 = 2 кг, m3 = 10 кг, m4 = 4 кг, m5 = 1 кг и относительные размеры: радиусы R2 = 1,5r2 , радиус инерции блока 2
ρ2 = r2 , длины стержней l4 = 2R2 , l5 = 4R2 . Массой пружин
пренебречь. Найти частоту собственных колебаний механизма.
4
1
5
x-
3
2
Рис. 1
Решение
Используем уравнение Лагранжа 2-го рода, выбрав за
обобщенную координату смещение x рейки 3
d ∂T
∂T
∂Π
=−
.
(1)
−
dt ∂ ẋ
∂x
∂x
Кинетическая энергия системы имеет вид
T =
J1 ω12 J2 ω22 m3 ẋ2 J4 ω22 J5 ω22
+
+
+
+
,
2
2
2
2
2
где J1 = m1 R12 /2, J2 = m2 ρ2 , J4 = m4 l42 /3, J5 = m5 l52 /3.
Очевидно,
ω2 = |ẋ|/r2 , ω1 = ω2 R2 /R1 .
(2)
Отсюда
ẋ2
T =
2
m1 R22 m2 ρ2
m4 l42 m5 l52
+
+
m
+
+
3
2r22
r22
3r22
3r22
=
ẋ2 µ
.
2
C учетом числовых данных µ = 45.
Найдем потенциальную энергию системы, соответствующую силам натяжения двух пружин
Π=c
∆2
∆24
+ c 5,
2
2
где ∆4 , ∆5 — удлинения пружин, связанные с обобщенной
координатой x,
∆4 = ϕ2 l4 , ∆5 = ϕ2 l5 .
Интегрируя первое уравнение (2), получим угол поворота блока 2: ϕ2 = |x|/r2 , откуда получаем
Π = cx2
l42 + l52
x2
=
C
,
2r22
2
где с учетом данных соотношений R2 = 1,5r2 , l4 = 2R2 , l5 = 4R2
имеем C = 9(9 + 36) = 405.
Уравнение Лагранжа (1) примет вид
µẍ + Cx = 0,
Находим частоту свободных колебаний
p
p
k = C/µ = 405/45 = 3 с−1.