Колебания и волны.

Запись (Ч 6.34) означает, что это задача 6.34 из задачника Чертова (5-ое издание, 1988 г.), там можно посмотреть ответы. Ответы к задачам, взятым не из этого
задачника, приведены после задачи.
Колебания и волны.
1. (Ч 6.34) Найти возвращающую силу F в момент t = 1 c полную энергию Е материальной точки, совершающей колебания по закону x = А cos(ωt), где А = 20 см;
ω = 2π/3с−1 . Масса m материальной точки равна 10 г. Определите максимальные значения силы, кинетической и потенциальной энергии.
2. (Ч 6.17) Точка участвует в двух одинаково направленных колебаниях: x1 =
А1 sin(ωt) и x2 = А2 cos(ωt), где А1 = 1 см; А2 = 2 см; ω = 1с−1 . Определить
амплитуду результирующего колебания, его частоту и начальную фазу. Написать уравнение этого движения.
3. (Ч 6.30) Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями x = A1 cos(ωt) и y = A2 sin(0, 5ωt), где A1 =
2 см, А2 = 3 см. Найти уравнение траектории точки. Определить максимальные
значения скорости и ускорения. Ответы: Vx (t) = ẋ = dx
= −A1 ω sin(ωt) ⇒
dt
Vx max = A1 ω, Vy max = 0, 5A2 ω, ax max = . . ., ay max = . . ..
4. (Ч 6.44) Тонкий обруч, повешенный на гвоздь, вбитый горизонтально в стену,
колеблется в плоскости, параллельной стене. Радиус R обруча равен 30 см. Вычислить период Т колебаний обруча.
5. (Ч 6.60) Гиря массой m = 500 г подвешена к спиральной пружине жесткостью
k = 20 Н/м и совершает упругие колебания в некоторой среде. Логарифмический
декремент колебаний λ = 0, 004. Определить число N полных колебаний, которые должна совершить гиря, чтобы амплитуда колебаний уменьшилась в n = 2
раза. За какое время t произойдет это уменьшение?
6. (Ч 6.63) Найти число N полных колебаний системы, в течение которых энергия
системы уменьшилась в n = 2 раза. Логарифмический декремент колебаний
λ = 0, 01.
7. Гиря массой m = 400 г, подвешенная на спиральной пружине жесткостью k =
40 Н/м, опущена в масло. Коэффициент сопротивления r для этой системы составляет 0, 5 кг/с. На верхний конец пружины действует вынуждающая сила,
изменяющаяся по закону F = cos(Ωt) H. Определите: 1) уравнение установившихся вынужденных колебаний, если частота вынуждающей силы вдвое меньше собственной частоты колебаний; 2) частоту вынуждающей силы, при которой
амплитуда вынужденных(колебаний (
максимальна;
3) резонансную амплитуду.
))
4β
см; 2)Ωрез = 9, 96 с−1 ; 3)Aрез = 20 см.
Ответы: 1)x(t) = 3, 3·cos Ωt − arctg 3ω0
8. (Ч 7.8) Две точки находятся на расстоянии ∆х = 50 см друг от друга на прямой, вдоль которой распространяется волна со скоростью v = 50 м/с. Период Т
колебаний равен 0, 05 с. Найти разность фаз ∆φ колебаний в этих точках.
9. (Ч 7.7) Волна с периодом T = 1, 2 с и амплитудой колебаний A = 2 см распространяется со скоростью v = 15 м/с. Чему равно смещение ξ(х, t) точки, находящейся на расстоянии x = 45 м от источника волн, в тот момент, когда от начала
колебаний источника прошло время t = 4 с?
10. (Ч 7.21) Найти положения (расстояния от границы раздела сред) узлов и пучностей стоячей волны. Скорость распространения звуковых колебаний равна
340 м/с и частота ν = 3, 4 кГц.
Оптика.
1. (Ч 30.10) Расстояние d между двумя щелями в опыте Юнга равно 1 мм, расстояние от щелей до экрана равно 3 м. Определить длину волны λ, испускаемой
источником монохроматического света, если ширина ∆x полос интерференции
на экране равна 1, 5 мм.
2. (Ч 30.17) Пучок монохроматических (λ = 0, 6 мкм) световых волн падает под
углом α = 30◦ на находящуюся в воздухе мыльную пленку (n = 1, 3). При какой
наименьшей толщине d пленки отраженные световые волны будут максимально
ослаблены интерференцией? максимально усилены?
3. (Ч 30.20) На тонкий стеклянный клин в направлении нормали к его поверхности
падает монохроматический свет (λ = 600 нм). Определить угол θ между поверхностями клина, если расстояние b между смежными интерференционными
минимумами в отраженном свете равно 4 мм.
4. (Ч 30.20) Расстояние ∆r2,1 между вторым и первым темным кольцами Ньютона
в отраженном свете равно 1 мм. Определить расстояние ∆r10,9 между десятым и
девятым кольцами.
5. (Ч 30.29) Между стеклянной пластинкой и лежащей на ней плоско-выпуклой
стеклянной линзой налита жидкость, показатель преломления которой меньше
показателя преломления стекла. Радиус r8 восьмого темного кольца Ньютона
при наблюдении в отраженном свете (λ = 700 нм) равен 2 мм. Радиус R кривизны выпуклой поверхности линзы равен 1 м. Найти показатель преломления
n жидкости.
6. Дифракция наблюдается на расстоянии 1 м от точечного источника монохроматического света (λ = 0, 5 мкм). Посередине между источником света и экраном
находится диафрагма с круглым отверстием. Определите радиус отверстия, при
котором центр дифракционных колец на экране является наиболее темным. Ответ: m = 2, поэтому получаем r = 0, 5 мм.
7. (Ч 31.16) Дифракционная решетка содержит N = 200 штрихов на 1 мм. На решетку падает нормально монохроматический свет (λ = 0, 6 мкм). Максимум какого наибольшего порядка дает эта решетка?
8. (Ч 31.18) При освещении дифракционной решетки белым светом спектры второго и третьего порядков отчасти перекрывают друг друга. На какую длину волны
в спектре второго порядка накладывается фиолетовая граница (λ = 0, 4 мкм)
спектра третьего порядка?
9. На щель шириной a = 20 мкм падает нормально параллельный пучок монохроматического света (λ = 500 нм). Найти ширину изображения щели на экране,
2lλ
удаленном от щели на расстояние l = 1 м. Ответ:
= 0, 005 м.
a
10. (Ч 32.5) Предельный угол полного отражения пучка света на границе жидкости
с воздухом равен 43◦ . Определить угол Брюстера для падения луча из воздуха
на поверхность этой жидкости.
11. (Ч 32.12) Угол а между плоскостями пропускания поляризатора и анализатора равен 45◦ . Во сколько раз уменьшится интенсивность света, выходящего из
анализатора, если угол увеличить до 60◦ ?
12. (Ч 32.13) Во сколько раз ослабляется интенсивность света, проходящего через два николя (поляризатора), плоскости пропускания которых образуют угол
φ = 30◦ , если в каждом из николей в отдельности теряется 10 % интенсивности
падающего на него света?
Квантовая физика.
1. (Ч 34.8) Определить установившуюся температуру Т зачерненной металлической пластинки, расположенной перпендикулярно солнечным лучам вне земной
атмосферы на среднем расстоянии от Земли до Солнца. Солнечная постоянная
C = 1, 4 кДж/(м2 · с).
2. (Ч 34.18) Вследствие изменения температуры черного тела максимум спектральной плотности (испускательной способности -r(λ, T )) сместился с λ = 2, 4 мкм на
λ2 = 0, 8 мкм. Как и во сколько раз изменились энергетическая светимость тела
и максимальная спектральная плотность энергетической светимости (испускательная способность -r(λ, T ))?
3. (Ч 34.13) Мощность Р излучения шара радиусом R = 10 см при некоторой постоянной температуре Т равна 1 кВт. Найти эту температуру, считая шар серым
телом с коэффициентом теплового излучения (коэффициент серости) a = 0, 25.
4. Фотоэлектроны, вырываемые с поверхности металла, полностью задерживаются
при приложении обратного напряжения U0 = 3 В. Фотоэффект для этого металла начинается при частоте падающего монохроматического света ν0 = 6 · 1014 с−1 .
Определите: 1) работу выхода электронов из этого металла; 2) частоту применяемого излучения. Ответы: 1) Aвых. = 2, 48 эВ, 2) ν = 1, 32 · 1015 с−1 .
5. (Ч 36.11) Монохроматическое излучение с длиной волны λ = 500 нм падает нормально на плоскую зеркальную поверхность и давит на нее с силой F = 10 нН.
Определить число N1 фотонов, ежесекундно падающих на эту поверхность.
6. (Ч Пример 2. стр. 371) Фотон с энергией Eф = 0, 75 МэВ рассеялся на свободном
электроне под углом θ = 60◦ . Принимая, что кинетическая энергия и импульс
электрона до соударения с фотоном были пренебрежимо малы, определить: 1)
энергию Eф′ рассеянного фотона; 2) кинетическую энергию K электрона отдачи;
3) направление его движения.
7. (Ч 38.9) Атомарный водород, возбужденный светом определенной длины волны,
при переходе в основное состояние испускает только три спектральные линии.
Определить длины волн этих линий и указать, каким сериям они принадлежат.
8. В каких пределах должны лежать длины воли монохроматического света, чтобы
при возбуждении атома водорода квантами этого света наблюдались три спектральные линии. Ответы: 102, 6 ≤ λ ≤ 121, 5 нм.
9. (Ч 45.5) Найти длину волны де Бройля протона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U : 1) 1 кВ; 2) 1, M B.
10. (Ч 45.12) Параллельный пучок электронов, движущихся с одинаковой скоростью v = 1 Мм/с, падает нормально на диафрагму с длинной щелью шириной
a = 1 мкм. Проходя через щель, электроны рассеиваются и образуют дифракционную картину на экране, расположенном на расстоянии l = 50 см от щели и
параллельном плоскости диафрагмы. Определить линейное расстояние b между
первыми дифракционными минимумами.
11. (Ч 45.27) Используя соотношение неопределенностей, оценить низший энергетический уровень электрона в атоме водорода. Принять линейные размеры атома
l ∼ 0, 1 нм.
12. (Ч 46.24) Вычислить отношение вероятностей P1 /P2 нахождения электрона на
первом и втором энергетических уровнях в интервале 1/4, равноудаленном от
стенок одномерной потенциальной ямы шириной l.
13. (Ч 46.42) Электрон с энергией E = 100 эВ попадает на потенциальный барьер
высотой U0 = 64 эВ. Определить вероятность P того, что электрон отразится от
барьера.
14. (Ч 46.75) Электрон с энергией E = 9 эВ движется в положительном направлении
оси x. Оценить вероятность P того, что электрон пройдет через потенциальный
барьер, если его высота U0 = 10 эВ и ширина d = 0, 1 нм.