Проводящие сферы

И. В. Яковлев
|
Материалы по физике
|
MathUs.ru
Проводящие сферы
Задача 1. В вершинах правильного треугольника расположены точечные заряды q, 2q и 3q.
Найдите потенциал электростатического поля этих зарядов в центре треугольника. Сторона
треугольника равна a.
ϕ=
√
6kq 3
a
Задача 2. («Росатом», 2013, 11 ) Три одинаковых точечных заряда расположены в вершинах
равностороннего треугольника со стороной a. Напряжённость электрического поля в точке,
находящейся посередине между двумя зарядами, равна E. Найти потенциал электрического
поля в этой точке.
ϕ=
√
6+ 3
Ea
2
Задача 3. По тонкому кольцу радиуса R распределён (произвольным образом) заряд q. Найдите потенциал поля этого заряда в центре кольца.
ϕ=
kq
R
Задача 4. Металлическая сфера радиуса R имеет заряд q. Найдите потенциал поля этого
заряда в центре сферы. Чему тогда равен потенциал сферы?
ϕ=
kq
R
Задача 5. Точечный заряд q расположен на расстоянии r от центра проводящей незаряженной
сферы радиуса R. Найдите потенциал сферы в случаях r > R и r < R.
Если r > R, то ϕ =
kq
;
r
если r < R, то ϕ =
kq
R
Задача 6. Точечный заряд q расположен на расстоянии r от центра проводящей сферы радиуса R. Заряд сферы равен Q. Найдите потенциал сферы в случаях r > R и r < R.
Если r > R, то ϕ =
kq
r
+
kQ
;
R
если r < R, то ϕ =
q1
r2
R
q2
= 27 В/м; вектор направлен от центра шара к точке O
1
O
r2
k(q1 +q2 )
R2
r1
E=
k(q+Q)
R
Задача 7. (Диагн. работа в формате ЕГЭ, 2013 ) Внутри
незаряженного металлического шара радиусом r1 = 40 см имеются две сферические полости радиусами r2 < r1 /2, расположенные таким образом, что их поверхности почти соприкасаются в центре шара. В центре одной полости поместили заряд
q1 = +1 нКл, а затем в центре другой — заряд q2 = +2 нКл
(см. рисунок). Найдите модуль и направление вектора напря~ электростатического поля в точке O, находящейжённости E
ся на расстоянии R = 1 м от центра шара на серединном
перпендикуляре к отрезку, соединяющему центры полостей.
Задача 8. Имеются две концентрически расположенные проводящие сферы. Внутренняя сфера имеет радиус R1 и заряд q1 ; внешняя сфера имеет радиус R2 и заряд q2 . Найдите потенциалы
сфер.
ϕ1 =
kq1
R1
+
kq2
,
R2
ϕ2 =
k(q1 +q2 )
R2
Задача 9. («Физтех», 2013 ) Проводящий шарик радиусом R с зарядом Q имеет потенциал
ϕ1 = 400 В. Каким станет потенциал ϕ2 шарика, если он окажется внутри полого проводящего
шара с радиусами сферических поверхностей 4R и 5R и зарядом 4Q? Центры заряженного
шарика и полого шара совпадают.
ϕ2 =
7
ϕ
4 1
= 700 В
Задача 10. На расстоянии a от центра заземлённой проводящей сферы радиуса R расположен
точечный заряд q. Чему равен заряд сферы?
Если a > R, то Q = −q R
; если a < R, то Q = −q
a
Задача 11. Проводящая сфера радиуса R имеет заряд q. Сферу окружают концентрической
сферической проводящей оболочкой радиуса 3R. Чему станет равен потенциал сферы, если
заземлить оболочку?
ϕ=
2kq
3R
Задача 12. Проводящую сферу радиуса R окружают концентрической сферической проводящей оболочкой радиуса 2R, несущей заряд Q. Чему станет равен потенциал оболочки после
заземления сферы (см. рисунок)?
2R
R
Q
ϕ=
kQ
4R
Задача 13. Металлический шар радиуса r, имеющий потенциал ϕ, окружают сферической
проводящей оболочкой радиуса R. Найдите потенциал шара после того, как он будет на некоторое время соединён с оболочкой.
r
ϕ0 = ϕ R
2
Задача 14. Два небольших проводящих заряженных шара радиусом r расположены на расстоянии a друг от друга. Шары поочерёдно на некоторое время заземляют. Определите потенциал
шара, который был заземлён первым, если первоначально каждый шар имел заряд q.
ϕ = − kq
1−
a
r2
a2
Задача 15. Три концентрические проводящие сферы имеют радиусы R, 2R и 3R. Заряд средней сферы равен q. Внутренняя и
внешняя сферы не заряжены, и их на некоторое время соединяют
проволокой. Какой заряд пройдёт по проволоке?
3R
2R
R
q
q
4
Задача 16. («Росатом», 2013, 11 ) Три металлические концентрические сферы имеют радиусы
R, 2R и 4R. Меньшую сферу заряжают зарядом Q, большую — зарядом −3Q, а среднюю заземляют с помощью длинного и тонкого проводника. Найти потенциал большей сферы. Ёмкостью
проводника пренебречь.
ϕ = − 3kQ
8R
Задача 17. («Росатом», 2012, 11 ) Три металлических концентрических сферы имеют радиусы R, 2R и 3R. Меньшую сферу заряжают
зарядом Q , большую — зарядом 2Q, а среднюю заземляют с помощью проводника малой ёмкости. Найти потенциал меньшей сферы после установления равновесия.
ϕ=
kq
2R
Задача 18. Две концентрические проводящие незаряженные сферы имеют радиусы R и 3R.
На расстоянии 2R от центра сфер расположен точечный заряд q. Какие заряды окажутся на
сферах, если их соединить тонкой проволокой?
− 4q на внутренней сфере,
q
4
на внешней сфере
Задача 19. Имеются три концентрические проводящие сферы радиусов R, 2R и 3R. Среднюю сферу заряжают зарядом q, а внутреннюю и внешнюю сферы заземляют. Какие заряды
появятся на внутренней и внешней сферах?
− 4q на внутренней сфере, − 3q
на внешней сфере
4
Задача 20. Имеются две концентрические проводящие сферы радиусов R и 3R. На расстоянии
2R от центра сфер расположен точечный заряд q. Какие заряды появятся на сферах после их
заземления?
− 4q на внутренней сфере, − 3q
на внешней сфере
4
3
Задача 21. (МФТИ, 2005 ) Между двумя концентрически расположенными проводящими сферами с радиусами r1 и r2 и зарядами Q1 и Q2 расположен точечный заряд q на расстоянии a от
центра сфер (см. рисунок). Какой заряд протечёт через гальванометр G после замыкания ключа K, приводящего к заземлению
внутренней сферы?
r2
r1
Q2
Q1
G
∆Q = − Q1 +
K
r1
Q
r2 2
+
r1
q
a
; знак отвечает направлению вверх
Задача 22. («Росатом», 2014, 11 ) Два металлических одинаковых полушара радиуса R расположены так, что между ними имеется очень небольшой
зазор. Полушары заряжают зарядами −Q и 3Q (Q > 0). Найти напряжённость электрического поля в зазоре между полушарами.
E=
2Q
ε0 πR2
4
a
q