ОСРЕДНЕННОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ ВЕКТОРА ОБЪЕМНОЙ

ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2000. Т. 41, N-◦ 4
165
УДК 541.24:532.5
ОСРЕДНЕННОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ ВЕКТОРА
ОБЪЕМНОЙ ПЛОТНОСТИ КАПИЛЛЯРНОЙ СИЛЫ
В СПЕКАЕМОЙ ПОРОШКОВОЙ СМЕСИ
В. П. Бушланов
Томский филиал Института структурной макрокинетики РАН, 634021 Томск
Дополнительным пространственным осреднением известного выражения для объемной
плотности поверхностной силы в среде с развитой межфазной поверхностью получено
удобное для практического использования выражение для этой силы в виде дивергенции
удвоенного тензора плотности поверхностной энергии.
При горячем прессовании порошков, а также при их свободном спекании частицы
порошка плавятся, что приводит к образованию в таких средах развитой межфазной поверхности, подверженной действию сил поверхностного натяжения [1]. В этом случае на
поверхностях частиц действует значительное капиллярное давление, пропорциональное
2Σ/r, где Σ — коэффициент поверхностного натяжения; r — радиус кривизны. Рассмотрим суммарное воздействие капиллярных сил в процессах горячего прессования и спекания в рамках физической модели и полной системы осредненных уравнений механики
гетерогенных сред [2]. Осредненная объемная плотность поверхностной силы P Σ в осредненном уравнении импульса для межфазной границы имеет вид (см. [2], формулы (2.2.33),
(2.3.2))
Z
1
0 0
P Σ = s12 0
Σdl
,
(1)
δ S12
12
δ0 L
где
Σ0 = Στ 12 ,
(2)
s12 — площадь межфазной поверхности в единице объема; δ 0 L — межфазная граница в
объеме осреднения dV , ограничивающая площади элементов, составляющих межфазную
поверхность δ 0 S12 , содержащуюся в объеме dV ; d0 l — элемент длины границы δ 0 L; h · i12 —
осреднение по всей межфазной поверхности, содержащейся в объеме dV ; τ 12 — единичный
вектор, касательный к межфазной поверхности:
τ 12 = l × n,
(3)
где n — единичный вектор нормали к межфазной поверхности; l — единичный вектор,
касательный к межфазной границе δ 0 L. Ниже путем дополнительного пространственного
осреднения (1) в рамках физической модели [2] получено выражение hP Σ i, удобное для
приложений.
Проведем осреднение (1) следующим образом. Пусть dV1 — куб со стороной ∆. Выберем следующие N − 1 кубов dVm (m = 2, 3, . . . , N ) таким образом, чтобы каждый (m + 1)-й
куб содержал m-й куб, а расстояние между поверхностями соседних кубов было равно
δ ∆. На рис. 1 изображены границы граней кубов dVm (сплошная линия) и dVm+1
ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2000. Т. 41, N-◦ 4
166
Рис. 1
Рис. 2
(штриховая линия), перпендикулярные единичному вектору системы координат e3 , заштрихованные области являются пересечением грани куба dVm с расплавленными частицами порошка, содержащимися в его объеме. Запишем осреднение (1) в виде
I
I
N
N
1 X 1
1 X
1
0 0
hP Σ i =
P Σ dV =
s12 0
Σdl
=
N
dVm
N
δ S12,m
12
m=1
m=1
dVm
δ 0 Lm
N
1 X 1 X
=
N
dVm ν
m=1
I
Σ0 d0 l,
(4)
δ 0 Lm (ν)
где δ 0 S12,m — величина межфазной поверхности в объеме dVm . Как и в [2], суммирование
проводится по всем ν-м границам δ 0 Lm (ν), лежащим только на гранях кубов dVm и являющимся линиями пересечений указанных граней с межфазной поверхностью. Интегралы по
частям контуров δ 0 Lm (ν), являющихся общими границами односвязных поверхностей многосвязной межфазной поверхности внутри объемов dVm , при суммировании уничтожаются,
так как единичные векторы τ 12 смежных поверхностей противоположны по направлению.
Пусть
a = δN,
(5)
где δ a ∆. Из (2)–(5) имеем
N
1X 1 X
hP Σ ii =
δ
a
dVm ν
m=1
I
Σ(τ 12 · ei ) d0 l,
(6)
δ 0 Lm (ν)
где ei — единичный вектор ортогональной системы координат; hP Σ ii — i-я компонента
осредненной плотности капиллярной силы (4). Пусть индекс g обозначает грань куба,
нормалью к которой является eg . Имеем
δ = |τg | dτ,
(7)
где τg = τ 12 · eg ; dτ — расстояние, отсчитываемое вдоль межфазной поверхности в направлении τ 12 . На рис. 2 изображен фрагмент частицы порошка, содержащийся в кубе dVm
(сплошная линия), и фрагмент этой частицы, содержащийся между перпендикулярными e3 гранями кубов dVm и dVm+1 (штриховая линия). Так как на грани куба l · eg = 0,
то вектор eg можно разложить только по векторам n и τ 12 :
eg = ng n + τg τ 12 ,
(8)
167
В. П. Бушланов
где ng = n · eg . Умножая (8) скалярно на ei , получим
τi τg = δig − ni ng ,
(9)
где δig — символ Кронекера. Заменив в (6) dVm на dV1 , с погрешностью порядка a/∆ 1
из (6), (7), (9) получим
I
I
3
1X Σ
0
0
hP Σ ii =
(δig − ni ng ) d S −
(δig − ni ng ) d S ,
(10)
a
dV1
g=1
−
S12,g
+
S12,g
+
−
где dS 0 = dl dτ ; S12,g
, S12,g
(g = 1, 2, 3) — межфазные поверхности, содержащиеся в объемах
усеченных пирамид, основаниями которых являются параллельные грани кубов dV1 и dVN
(знак “ + ” cоответствует усеченным пирамидам, построенным на гранях указанных кубов,
имеющих положительные координаты относительно центра куба dV1 ). При выводе (10)
учтено, что для усеченных пирамид со знаком “ + ” δ = τg dτ , а для усеченных пирамид
со знаком “ − ” δ = −τg dτ .
Пусть
I
Σ
Tig =
(δig − ni ng ) d0 S,
(11)
2dV
dS12
где Tig — тензор объемной плотности поверхностной энергии (тензор поверхностной энергии впервые введен в [3]).
Так как из (11) Tgg = Σs12 , то след тензора объемной плотности поверхностной энергии
равен объемной плотности поверхностной энергии.
Используя (11), разложим (10) в ряд по степеням ∆, отбрасывая члены порядка ∆2 и
учитывая, что объемы усеченных пирамид равны приближенно a∆2 . Получим
hP Σ ii = 2
3
X
Tig (t, x + eg ∆/2) − Tig (t, x − eg ∆/2)
g=1
∆
=2
∂Tig
,
∂xg
(12)
где t — время; x — координаты центра куба dV1 ; x±eg ∆/2 — координаты граней куба dV1 .
По аналогии с записью дифференциальных уравнений движения в моделях сплошной
среды с использованием дивергенции тензора напряжений и в соответствии с (12) тензор 2Tig можно назвать тензором капиллярных напряжений.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бальшин М. Ю., Кипарисов С. С. Основы порошковой металлургии. М.: Металлургия,
1978.
2. Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978.
3. Chandrasekhar S. The stability of a rotating liguid drop // Proc. Roy. Soc. London. 1965.
V. A286, N 1404. P. 1–26.
Поступила в редакцию 25/V 1998 г.,
в окончательном варианте — 9/VII 1999 г.