10. Линейные операторы 1. ( ) 2. ( )

35
10. Линейные операторы
До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L
скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов. Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций одного или нескольких векторных аргументов.
Мы ограничимся пока простейшими типами таких функций, а
именно, линейными функциями векторного аргумента. Векторные
линейные функции, называются иначе линейными операторами и
играют важную роль в линейной алгебре, геометрии, механике и
других разделах теоретической физики. Выражение линейный оператор, в литературе по математике часто заменяется на выражение линейное отображение или как её частный случай - линейное
преобразование.
10.1. Линейные преобразования
Определение 10.1. Будем говорить, что в векторном пространстве L задано линейное преобразование (линейный оператор) A ,
если каждому вектору x ∈ L поставлен в соответствие определённый вектор Ax ∈ L
(10.1)
u = Ax .
Итак, линейное преобразование A - это операция переводящая линейное пространство L само в себя
A:L →L .
Вектор u = Ax называется образом вектора x , а вектор x
называется прообразом вектора u .
Преобразование A будет линейным преобразованием, если
для любых векторов x , y ∈ L и любых α ∈ K будут выполнены условия:
1. A(x + y ) = Ax + Ay ,
2. A(αx ) = αAx .
36
Применительно к плоскости, первое условие, определяющее
линейную вектор-функцию, означает, что диагональ параллелограмма, построенного на векторах x и y при линейном преобразовании A переходит в диагональ параллелограмма (рис. 10.1),
построенного на векторах Ax и Ay .
Ay
y
Ax + Ay
A
x+ y
x
Ax
Рис. 10.1.
Второе условие означает, что если длину вектора x увеличили
в α раз, то и длина вектора u = Ax увеличится
(рис. 10.2) в α раз.
αx
x
Таким образом мы видим, что при
линейном преобразовании коллинеарные векторы переходят в коллинеарные
Ax
векторы, а компланарные - в компланарA(αx ) ные.
Рис. 10.2.
Примеры линейных преобразований.
1. Преобразование, ставящее в соответствие вектору x ∈ L
сам этот вектор
x = Ax
является линейным преобразованием. В этом случае A = E - есть
тождественное преобразование.
2. Преобразование, ставящее в соответствие каждому вектору x ∈ L вектор λx ( λ ∈ R ), является линейным преобразованием, т.к.
A(x + y ) = Ax + Ay = λx + λy = λ(x + y ) ;
A(αx ) = λ(αx ) = α(λx ) = αAx .
37
Геометрически, преобразование
Ax = λx
представляет собой однородное растяжение (сжатие) всех векторов пространства L с одинаковым коэффициентом - гомотетию.
При λ < 0 растяжение всех векторов сопровождается их заменой
на противоположные.
3. Преобразование
Ax = x + a , a ≠ θ , a ∈ L ,
не является линейным, т.к.
A(x + y ) = (x + y ) + a ,
с другой стороны
Ax + Ay = x + a + y + a = x + y + 2a
и
A(x + y ) ≠ Ax + Ay .
4. Пусть в двумерном пространстве L 2 задан базис e1, e 2 .
Преобразование A , которое вектору
x = x 1e1 + x 2 e 2
ставит в соответствие вектор
λx 2
u = Ax = x e1 + λx e 2
1
2
представляет собой (рис. 10.3) геометрическое растяжение (сжатие)
плоскости L 2 в направлении, парал-
x2
)
(
x
e2
лельном e2 .
Покажем линейность этого преобразования.
(
u = Ax
O
)
x1
e1
Рис. 10.3.
A(x + y ) = x 1 + y 1 e1 + λ x 2 + y 2 e 2 = x 1e1 + y 1e1 + λx 2 e 2 + λy 2 e 2 =
(
) (
A(αx ) = (αx )e + λ(αx )e
)
= x 1e1 + λx 2e 2 + y 1e1 + λy 2 e 2 = Ax + Ay .
1
2
1
2
(
)
= α x e1 + λx 2 e 2 = αAx .
1
5. Преобразование, которое ставит в соответствие каждому
вектору x ∈ L 2 вектор u = Ax , получающийся из x его поворотом на угол ϕ , будет линейным преобразованием. Его называют
38
x
2
(см. 4.5.2) преобразованием поворота.
6. Преобразование, ставящее в соответствие вектору
u = Ax
x
e2
x = x 1e1 + x 2 e 2
O
e1
x
x + kx
Рис. 10.4.
1
ke1
e2
Ae 2
O
Рис. 10.5.
e1 = Ae1
1
2
вектор
(
)
u = Ax = x 1 + kx 2 e1 + x 2 e 2
является линейным преобразованием
сдвига. При этом преобразовании
(рис. 10.4) конец вектора x перемещается по прямой параллельной оси
Ox 1 на величину kx 2 .
Квадрат, построенный на векторах e1 и e 2 при таком преобразовании переходит (рис. 10.5) в параллелограмм со сторонами e1 и
e 2 + k e1 .
10.2. Матрица линейного преобразования
Пусть в L n задан базис e1, e 2 ,..., e n , тогда произвольный вектор x ∈ l n может быть представлен как
x = x 1e1 + x 2 e 2 + ... + x n e n = x i e i .
(10.2)
Рассмотрим теперь в L n линейное преобразование (линейный оператор) A , сопоставляющий произвольному вектору
x ∈ L n вектор
u = Ax ,
где
u = u1e1 + u 2 e 2 + ... + u n e n = u i e i .
(10.3)
Наша задача заключается в установлении зависимости координат вектора u от координат вектора x при преобразовании A .
39
В силу линейности преобразования A имеем
(
)
Ax = A x 1e1 + x 2 e 2 + ... + x n e n = x 1Ae1 + x 2 Ae 2 + ... + x n Ae n , (10.4)
где
Ae1 = a11e1 + a12 e 2 + ... + a1n e n ,
Ae 2 = a12 e1 + a22 e 2 + ... + a2n e n ,
....................................... ,
Aen = a1n e1 + an2 e 2 + ... + ann e n
или в сокращённой записи с использованием правила Эйнштейна
Ae i = aij e j , i, j = 1...n .
(10.5)
Подставляя (10.5) в (10.4) получим:
Ax = a11 x 1e1 + a12 x 1e 2 + ... + a1n x 1e n +
+ a12 x 2 e1 + a22 x 2e 2 + ... + a2n x 2 e n +
.............................................
+ a1n x n e1 + an2 x n e 2 + ... + ann x n e n =
(
+ (a x
)
+ ... + a x )e
= a11x 1 + a12 x 2 + ... + a1n x n e1 +
2 1
1
+ a22 x 2
2
n
n
2
+
.........................................
(
)
= a1n x 1 + a2n x 2 + ... + ann x n e n .
(10.6)
В сокращённой записи это будет выглядеть так
Ax = aki x k e i , i, k = 1...n .
(10.7)
Сравнивая (10.7) с (10.3) имеем
u1 = a11 x 1 + a12 x 2 + ... + a1n x n ,
u 2 = a12 x 1 + a22 x 2 + ... + an2 x n ,
(10.8)
...................................... ,
u n = a1n x 1 + a2n x 2 + ... + ann x n
или
u i = aki x k , i, k = 1...n ,
(10.9)
40
или
 u 1   a11
  
 u 2   a12
 =
 ...   ...
u n   an
   1
a12
a22
...
a2n
... a1n   x 1 
... an2   x 2 
⋅ 
... ...   ...  .
... ann   x n 
(10.10)
Равенства (10.8)-(10.10) дают возможность определить координаты вектора u , связанного с данным вектором x линейным преобразованием A . Очевидно, что координаты вектора u
выражаются через координаты вектора x линейно и однородно.
Запишем коэффициенты aij в (10.10) в виде матрицы
 a11

a2
A= 1
 ...
 an
 1
a12
a22
...
a2n
... a1n 
... an2 

... ... 
n
... an 
(10.11)
и назовём её матрицей линейного преобразования (линейного
оператора) A в базисе e1, e 2 ,..., e n .
Полученный результат говорит о том, что если в пространстве L n задан базис e1, e 2 ,..., e n , то всякому линейному преобразованию A этого пространства соответствует определённая невырожденная квадратная матрица A порядка n .
Обратно, если задана невырожденная квадратная матрица
порядка n , то при заданном базисе e1, e 2 ,..., e n ей будет соответствовать определённое линейное преобразование A и мы можем
установить взаимно однозначное соответствие между невырожденными матрицами порядка n и линейными преобразованиями
пространства L n в себя.
Примеры.
1. Тождественное преобразование L n .
41
Если в L n задан базис e1, e 2 ,..., e n , тогда u = Ax = x можно запиписать как
u1 = 1 ⋅ x 1 + 0 ⋅ x 2 + ... + 0 ⋅ x n = x 1 ,
u 2 = 0 ⋅ x 1 + 1 ⋅ x 2 + ... + 0 ⋅ x n = x 2 ,
............................................. ,
u n = 0 ⋅ x 1 + 0 ⋅ x 2 + ... + 1 ⋅ x n = x n .
Очевидно, что тождественное преобразование u = Ax = x в
базисе e1, e 2 ,..., e n задано единичной матрицей E порядка n .
2. Преобразование u = Ax = λx в базисе e1, e 2 ,..., e n можно записать как
u1 = λ ⋅ x 1 + 0 ⋅ x 2 + ... + 0 ⋅ x n = x 1 ,
u 2 = 0 ⋅ x 1 + λ ⋅ x 2 + ... + 0 ⋅ x n = x 2 ,
............................................. ,
u n = 0 ⋅ x 1 + 0 ⋅ x 2 + ... + λ ⋅ x n = x n .
Здесь
 λ 0 ... 0 


 0 λ ... 0 
A=
= λE
.
... ... ... ... 


 0 0 ... λ 


3. Преобразование u = Ax = x 1e1 + λx 2 e2 в L 2 можно записать
в базисе e1, e 2 так
u = Ax = x 1e1 + λx 2 e 2 = u1e1 + u 2e 2 ,
откуда
u1 = 1 ⋅ x 1 + 0 ⋅ x 2 ,
u2 = 0 ⋅ x1 + λ ⋅ x 2
и
1 0
 .
A = 
0 λ
42
4. Пусть преобразование A есть поворот в плоскости xOy на
да
угол ϕ , совершаемый против часовой стрелки вокруг оси Oz . Тогда
из (4.25) п. 4.5.2 и рис. 4.15 следует, что
Ae1 = e1 cos ϕ + e 2 sin ϕ ,
Ae 2 = −e1 sin ϕ + e 2 cos ϕ
и
 cos ϕ − sin ϕ 
 .
A = 
 sin ϕ cos ϕ 
5. Для преобразования сдвига
(
)
u = Ax = x 1 + kx 2 e1 + x 2 e 2 = u1e1 + u 2e 2
можем записать
u1 = 1 ⋅ x 1 + k ⋅ x 2 ,
u 2 = 0 ⋅ x 1 +1⋅ x 2 .
Откуда
1 k 
 .
A = 
0 1 
10.3. Линейные отображения. Определение и примеры
Пусть L n и L~ m - два линейных вещественных пространства.
Под отображением A пространства L n в пространство L~m будем понимать закон, по которому каждому вектору x ∈ L n поставлен в соответствие единственный вектор ~x ∈ L~m .
~
A:L →L .
Вектор ~x = Ax ∈ L~ m есть образ вектора x ∈ L n , а вектор x ∈ L n
есть прообраз ~x = Ax ∈ L~ m .
Определение 10.2. Отображение A : L → L~ называется линейным,
43
если для любых векторов x , y ∈ L и любого числа α ∈ K выполнены
равенства
A(x + y ) = Ax + Ay ,
A(αx ) = αAx .
(10.12)
Здесь надо иметь в виду, что (x + y ) ∈ L , а Ax ∈ L~ , Ay ∈ L~ и
(Ax + Ay )∈ L~ , далее (αx ) ∈ L ,
а αAx ∈ L~ . Знак “сложить” в первой
формуле и знак “умножить” во второй - носят символический характер, так как выполняются в разных пространствах.
Если L и L~ совпадают, мы имеем операцию A : L → L линейного преобразования.
Примеры линейных отображений.
1. Отображение, сопоставляющее любому вектору x ∈ L нулевой вектор θ ∈ L~ есть линейное отображение A : L → L~ = {θ} нулевое отображение.
2. Выберем в L n базис e1, e 2 ,..., e n . Сопоставляя каждому
вектору x ∈ L n его первую компоненту ξ1 в разложении x по базису e1, e 2 ,..., e n мы получим отображение L n в линейное пространство вещественных чисел R :
A : Ln → R .
3. Если в L n задан базис e1, e 2 ,..., e n , то любому вектору x ∈ L n
можно сопоставить его координатный столбец
(
ξ = ξ1
ξ2
... ξ n
)
T
∈ Rn ,
где R n арифметическое пространство столбцов высоты n .
Из определения 10.2 вытекает, что при линейном отображении линейная комбинация векторов в L n переходит в линейную комбинацию их образов в L~ m .
44
При этом нулевой вектор θ ∈ L переходит в нулевой вектор
~ ~:
θ∈L
~
A θ = A (0 ⋅ x ) = 0 ⋅ Ax = θ
или
~
θ= θ.
Из этого следует, что при линейном отображении A : L → L~
линейно зависимые векторы в L n переходят в линейно зависимые
векторы в L~m . Обратное неверно, см. пример 1.
Предложение 10.1. При линейном отображении A : L → L~ линейное подпространство L ′ ⊆ L переходит в линейное подпространство A(L ′) ⊆ L~ , причём
dim A(L ′) ≤ dim L ′ .
Для нулевого подпространства это очевидно.
Пусть dim L ′ = k > 0 и пусть e1, e 2 ,..., e k базис в L ′ . Тогда для
любого вектора x ∈ L ′ имеем
x = ξ1e1 + ξ 2 e 2 + ... + ξ k e k
и тогда
(
)
Ax = A ξ1e1 + ξ 2 e 2 + ... + ξ k e k = ξ1 A(e1 ) + ξ 2 A(e 2 ) + ... + ξ k A (e k ) ∈ A (L ′ ) .
(10.13)
Это означает, произвольный элемент множества A (L ′) образов всех векторов из L ′ есть линейная комбинация векторов
A(e1 ), A (e 2 ), ..., A (e k ) ,
(10.14)
и, наоборот, каждая линейная комбинация (10.14) есть образ вектора из L ′ .
Итак, множество A(L ′) - есть линейная оболочка (10.14), и,
таким образом, есть подпространство, размерность которого (см.
предложение 9.13) не более k .
45
Определение 10.3. Множество образов всех векторов из L является
подпространством A(L )∈ L~ . Оно называется множеством значений
отображения и обозначается как Im A .
Определение 10.4. Размерность множества значений отображения A : L → L~ называется рангом отображения и dim Im A = Rg A .
Если ранг отображения A : L → L~ равен m , тогда A(L ) = L~ и
каждый вектор из L~ является образом некоторого вектора из L .
Такое отображение называется сюръективным отображением.
Определение 10.5. Множество векторов из L , отображающихся
в нулевой вектор θ ∈ L~ при отображении A : L → L~ , называется
ядром отображения A : L → L~ и обозначается Ker A .
Предложение 10.2. Ядро Ker A есть линейное подпространство в L .
Во первых - ядро не пустое множество, так как содержит хотя
бы один нулевой вектор.
Во вторых, если
Ax = θ и Ay = θ ,
то
A(αx + βy ) = αAx + βAy = θ .
Пусть теперь ядро Ker A ненулевое, т.е. dim Ker A ≥ 1 . Тогда
любой вектор y ∈ A (L ) имеет бесконечно много прообразов, так
как если y = Ax и x0 ≠ θ ∈ KerA , то и A(x + x 0 ) = Ax + Ax 0 = y + θ = y .
Верно и обратное, если какой-либо вектор y ∈ L~ имеет хотя
бы два различных прообраза в L , то ядро Ker A содержит ненулевой вектор, так как если
Ax 1 = Ax 2 = y при x 1 ≠ x 2 ,
тогда
A(x 1 − x 2 ) = Az = θ
и
z = x1 − x 2
ненулевой вектор в ядре, т.е. в L .
46
Отображение, при котором разные векторы из L имеют разные образы в L~ называется инъективным отображением.
Предложение 10.3. Отображение инъективно тогда и только тогда, когда его ядро Ker A - нулевое подпространство.
Если отображение A : L → L~ инъективно, то линейно независимые векторы переходят в линейно независимые. Пусть образы векторов x 1 , x 2 ,..., x k линейно зависимы:
α1 Ax 1 + α 2 Ax 2 + ... + α k Ax k = θ .
Тогда
A(α1x 1 + α 2 x 2 + ... + α k x k ) = θ
и для инъективного отображения получаем
α1 x 1 + α 2 x 2 + ... + α k x k = θ ,
и, следовательно, x 1 , x 2 ,..., x k линейно зависимы.
10.4. Координатная запись отображений
Рассмотрим линейное отображение A : L n → L~ m и пусть
e1, e 2 ,..., e n базис в L n . Образ произвольного вектора x ∈ L n
x = ξ1e1 + ξ 2 e 2 + ... + ξ n e n
раскладывается в линейную комбинацию
Ax = ξ1 A(e1 ) + ξ 2 A(e 2 ) + ... + ξ n A(e n ) .
(10.15)
Это говорит о том, что Ax может быть определено по координатам вектора x , если известны образы векторов A (e i ) , лежащие в L~ m .
Выберем в L~m базис f1 , f 2 ,..., f m . Каждый из векторов A (e i )
мы можем разложить по базису f :
A(e1 ) = a11f1 + a12 f 2 + ... + a1m f m ,
A(e 2 ) = a12 f1 + a22 f 2 + ... + a2m f m ,
47
.......................................... ,
A(e n ) = a1n f1 + an2f 2 + ... + anm f m
(10.16)
или
(10.17)
A(e i ) = aik f k , i = 1...n , k = 1...m .
Если компоненты вектора Ax ∈ L~m обозначить через
η1 , η 2 ,..., η m , то равенство (10.15) можно переписать так:
ηk f k = aik ξi f k , i = 1...n , k = 1...m .
(10.18)
В силу единственности разложения вектора по базису, получим
ηk = aik ξ i , i = 1...n , k = 1...m
или в матричной форме
η = Aξ ,
или
 η1   a11
 

 η 2   a12
=

 ...   ...
 ηm   a m
  1

(10.19)
(10.20)
a12
a22
...
a2m
a1n   ξ1 
... an2   ξ 2 
⋅ 
... ...   ...  .
... anm   ξ n 
...
(10.21)
Определение 10.6. Матрицей линейного отображения A : L n → L~ m
в паре базисов e и f называется матрица A m×n , столбцы которой,
в их естественном порядке, есть координатные столбцы векторов A (e i ) , i = 1...n в базисе f .
Предложение 10.4. Ранг матрицы A m×n линейного отображения
~
A : L n → L m равен рангу этого отображения
Rg A m×n = dim Im A .
Пусть j1 ,..., j r - номера базисных столбцов матрицы A m×n
линейного отображения A : L n → L~ m . Тогда векторы A(e jk ) ,
k = 1...r линейно независимы и каждый из векторов A (e i ) , i = 1...n
48
по ним раскладывается. Это говорит о том, что мы можем разложить
образ любого вектора Ax только по векторам A(e jk ) , k = 1...r . Таким
образом, эти векторы образуют базис в Im A , и их число равно рангу
отображения A .
Из этого предложения видно, что ранг матрицы A m×n линейного отображения один и тот же, какую бы пару базисов мы
ни взяли.
Предложение 10.5. Сумма ранга отображения и размерности его
ядра равна размерности отображаемого пространства.
Согласно (10.20) ядро отображения определяется однородной системой линейных уравнений
Aξ = θ
с n неизвестными. Ранг матрицы системы равен рангу отображения r . Фундаментальная система решений этой системы состоит из
d =n−r
решений, которые являются координатными столбцами векторов, составляющих базис в ядре.
В частности, равенство r = n необходимо и достаточно, чтобы отображение имело нулевое ядро, т.е. было инъективным.
Отображение является взаимно однозначным, если каждый
вектор y ∈ L~ является образом одного и только одного вектора из
L , иными словами, является как инъективным, так и сюръективным. Для сюръективного отображения r = m .
Предложение 10.6. Линейное отображение A : L → L~ взаимно однозначно тогда и только тогда, когда размерности пространств
совпадают и равны рангу отображения:
n = m = Rg A .
Пример. Линейное отображение n -мерного арифметического
пространства в m -мерное задано в стандартных базисах e и f
этих пространств матрицей A . Вычислить полный прообраз a
элемента b , если:
49
 − 1
 − 1 − 5 − 4 − 3
 


A =  2 − 1 2 − 1 b =  0 
.
и
 1
 5

3
8
1
 


~
Решение. Вид матрицы A говорит нам о том, что A : L4 → L3 и нам
~
едан образ b ∈ L3 элемента a ∈ L4 , так как b = Aa . Нетрудно проверить, что RgA = 2 . Столбцы матрицы A есть линейная оболочкаа
~
пространства L3 по которой элемент b раскладывается с коэффициентами разложения элемента a в пространстве L4 .
(
Пусть a = ξ1 ξ 2
ξ3
ξ4
)
T
∈ L4 , тогда
 ξ1 
 − 1 − 5 − 4 − 3   2   − 1

 ξ   
 2 − 1 2 − 1 ⋅  3  =  0 
ξ
 5
3
8
1   4   1 

ξ 
и мы имеем систему линейных уравнений с 4-я неизвестными, расширенная матрица которой легко приводится к виду
 1 0 14 11 − 2 11 1 11 


 0 1 6 11 7 11 2 11
или
ξ1 =
1 14 3 2 4
− ξ + ξ ,
11 11
11
ξ2 =
2 6 3 7 4
− ξ − ξ .
11 11
11
Положив ξ 3 = ξ 4 = 0 , получим частное решение данной системы уравнений a0 = (1 2 0 0)T . Так как ранг данной системы
уравнений равен 2, фундаментальная система решений будет со-
50
стоять из двух векторов
T
T
f1 = (− 14 − 6 11 0 ) и f 2 = (2 − 7 0 11) .
Прообраз a есть полное решение данной системы, т.е.
 2 
 1   − 14 

 
  
2
6
−

− 7
  
a= +
⋅ c1 +   ⋅ c 2

0
11
0
.

 
  
 11 
0  0 

 
  
10.5. Изоморфизм линейных пространств
Определение 10.7. Взаимно однозначное линейное отображение называется изоморфизмом. Если существует изоморфизм
~
A:L→ L ,
то пространства L и L~ называются изоморфными.
Например, задание базиса e1, e 2 ,..., e n в L n устанавливает изоморфизм L n на n -мерное арифметическое пространство R n , сопоставляющий каждому вектору из L n его координатный столбец
высоты n из R n . Это, так называемый, координатный изоморфизм.
Теорема 10.1. Два линейных пространства изоморфны тогда и
только тогда, когда их размерности равны.
Пусть L и L~ - два пространства размерности n . Если в каждом из них задать базис, то любая невырожденная квадратная
матрица порядка n в силу (10.20) определяет линейное отображение, которое согласно предложению 10.6 будет изоморфизмом.
Значение понятия изоморфизма заключается в следующем.
Линейные пространства могут состоять из чего угодно - природа
элементов при изучении их свойств, связанных с линейными операциями, роли не играет. Если пространства изоморфны, то все
их свойства совершенно одинаковы и мы можем не различать
изоморфные пространства и рассматривать для каждой размер-
51
ности n только одно линейное пространство.
Пример. Линейное преобразование линейного пространства L2
задано матрицей
 9 15 
 .
A = 
15 25 
Найти его ядро и множество значений. Выяснить, является
ли данное преобразование изоморфизмом.
Решение. Ядро преобразования определяется однородной системой линейных уравнений Aξ = θ , или после упрощения заданной матрицы:
3ξ1 + 5ξ 2 = 0 .
Фундаментальное решение этой системы есть вектор
 − 5
f =   ⋅ c1 ,
 3 
который и задаёт Ker A преобразования A .
Ясно, что dim Ker A = 1 .
Множество значений преобразования A есть линейная оболочка векторов, составляющих столбцы матрицы A и нам остаётся составить систему уравнений этой оболочки

 9 15 ξ1   9 15
ξ1


~
15 25 ξ 2   0 0 3ξ 2 − 5ξ1 


 
или
5ξ1 − 3ξ 2 = 0 .
Фундаментальное решение этой системы есть вектор
 3
g =   ⋅ c2 ,
5
который и задаёт Im A .
Так как dim Ker A ≠ 0 , данное преобразование не является
изоморфизмом.
52
10.6. Изменение матрицы линейного отображения при
замене базиса
Рассмотрим линейное отображение A : L → L~ . Если в линейных пространствах L и L~ выбраны базисы e и f , то линейное
отображение A в данной паре базисов, в соответствии с определением 10.6, определяется матрицей A m×n . Выберем в L и L~ другие базисы e′ и f ′ :
e′ = eS и f ′ = fP .
Матрица линейного отображения A в паре базисов e′ и f ′
будет определятся матрицей A′m×n и наша задача будет заключаться в установлении связи между матрицами A m×n и A′m×n .
~
Пусть x - произвольный вектор из L и его образ y = Ax ∈ L .
Пусть координатные столбцы вектора x в базисах e и e′ будут
соответственно о и о′ , а координатные столбцы вектора y в базисах f и f ′ - η и η′ .
Согласно (9.26) мы можем записать, что
ξ = Sξ′ , η = Pη′ .
Подставляя эти выражения в (10.20) получим:
η = Aξ = ASξ′ или η = P η′ = ASξ′ .
Матрица перехода P , как матрица перехода от одного базиса к другому, имеет обратную матрицу P −1 , поэтому
η′ = P −1Pη′ = P −1 ASξ′ .
Так как в соответствии с (9.26)
η′ = A ′ξ′ ,
тогда, в силу единственности матрицы линейного отображения
для данной пары базисов, получим:
(10.22)
A′ = P −1 AS .
53
10.7. Канонический вид матрицы линейного
отображения
Мы установили, что при линейном отображении A : L → L~
вид его матрицы (но не ранг) зависит от выбора пары базисов e
и f в пространствах L и L~ .
Возникает естественный вопрос, как выбрать базисы e и f
в пространствах L и L~ , чтобы матрица A m×n преобразования
~
A : L → L имела бы максимально простой вид?
Ответ на этот вопрос даёт теорема 10.2.
Теорема 10.2. Для любого линейного отображения A : L → L~ ранга r можно так выбрать базисы в L и L~ , что оно будет иметь
матрицу
E
A =  r
 0
0
,
0 
(10.23)
где E r - единичная матрица порядка r .
Поместим векторы базиса
e r +1 , e r +2 ,..., e n
пространства L в Ker A , размерность которого как раз и есть
n − r , а векторы базиса
e1 , e 2 ,..., e r
можем выбрать произвольно. При таком выборе при любом базисе f в L~ последние n − r столбцов матрицы A m×n будут нулевыми. Так как RgA = r , первые r столбцов будут линейно независимыми, в силу чего линейно независимыми будут и образы
A(e1 ), A(e 2 ), ..., A (e r ) в L~ .
Примем их за первые r базисных векторов f1 , f 2 ,..., f r пространства L~ , а остальные векторы f r +1 , f r + 2 ,...,f m этого базиса вы-
54
берем произвольно. В этом случае первые r столбцов A будут первыми r столбцами максимально возможной единичной матрицы порядка m , т.е. матрица A примет вид (10.23).
10.8. Сумма отображений
Рассмотрим два линейных отображения
~
~
A:L→ L и B:L→ L ,
отображающих пространство L в пространство L~ .
Определение 10.8. Линейное отображение C , определённое равенством
Cx ≡ (A + B )x = Ax + Bx ,
(10.24)
для любых элементов x ∈ L , назовём суммой отображений A и
B , и обозначим как
C=A+B.
Линейность отображения C легко проверить. Пусть элемент
x = α 1 x1 + α 2 x 2 ∈ L ,
тогда
(
) (
) (
)
C α1 x1 + α 2 x 2 = A α1 x1 + α 2 x 2 + B α1 x1 + α 2 x 2 =
= α1Ax + α 2 Ax + α1Bx + α 2 Bx =
1
(
2
)
(
1
2
)
= α1 Ax1 + Bx1 + α 2 Ax 2 + Bx 2 = α1Cx1 + α 2Cx 2 .
Выберем в пространствах L и L~ базисы e и f , тогда, в соответствии с определением 10.6, мы можем записать координатные столбцы векторов Ax и Bx через матрицы отображений как
Aξ и Bξ , а Cx будет иметь координатный столбец
Aξ + Bξ = (A + B )ξ = Cξ .
Итак, матрица линейного отображения C в паре базисов e и
равна
сумме матриц A и B .
f
Легко проверить, что для произвольных линейных отобра-
55
жений (операторов) A, B, C и нулевого оператора O будут выполнены равенства:
A+B=B+A,
(A + B ) + C = A + (B + C) ,
A+O=A,
A + (− A ) = O ,
в которых легко увидеть первые четыре аксиомы линейного пространства
10.9. Умножение линейного отображения на число
Пусть A - линейное отображение A : L → L~ и λ - число из
поля K .
Определение 10.9. Линейное отображение B , определённое равенством
Bx ≡ (λA )x = λAx ,
(10.25)
для любых элементов x ∈ L , назовём произведением линейного оператора A на число λ .
Если выбрать в рассматриваемых пространствах пару базисов e и f , то (10.25) можно представить как произведение матрицы линейного отображения на координатный столбец и на
число λ , т.е.
λAξ = (λA )ξ = Bξ ,
где матрица линейного отображения B в паре базисов e и f равна
произведению матрицы A на число λ .
Очевидно, что в этом случае будут выполнены равенства:
1⋅ A = A ,
λ1 (λ 2 A ) = (λ1λ 2 )A ,
(λ1 + λ 2 )A = λ1A + λ 2 A ,
λ (A + B ) = λA + λB ,
в которых мы сразу видим оставшиеся четыре аксиомы линейно-
56
го пространства.
Окончательно мы можем сказать, что совокупность всех линей~
ных отображений (операторов) A : Ln → Lm , действующих из ли~
нейного пространства Ln в линейное пространство Lm , образует новое линейное пространство изоморфное линейному пространству матриц вида A m×n .
10.10. Произведение отображений
Рассмотрим три линейных пространства Ln , Lm′ , Ll′′ и пусть
A : L → L′ , B : L′ → L ′′ .
Определение 10.10. Отображение C : L → L′′ , действующее из линейного пространства Ln в пространство Ll′′ в соответствии с
формулой
(10.26)
Cx ≡ (BA )x = B(Ax ) ,
для любых элементов x ∈ L , назовём произведением отображений A и B , и обозначим как
C = BA .
Заметим, что сначала на вектор x ∈ L действует отображение A , а затем на вектор Ax ∈ L′ действует отображение B .
Построенное таким образом отображение C является линейным отображением, так как
(
) ( (
)) (
)
C α1 x1 + α 2 x 2 = B A α1 x1 + α 2 x 2 = B α1Ax1 + α 2 Ax 2 =
= α1BAx1 + α 2 BAx 2 = α1Cx1 + α 2 Cx 2 .
Пусть теперь в пространствах Ln , Lm′ , Ll′′ выбраны базисы
e , f и g соответственно. Положим, что в паре базисов e , f отображение A имеет матрицу A m×n , а в паре базисов f , g отобра-
57
жение B имеет матрицу B l×m .
Предложение 10.7. Отображение C = BA в паре базисов e , g имеет
матрицу Cl ×n = B l×m A m×n .
Пусть ξ координатный столбец вектора x ∈ Ln в базисе e .
Координатные столбцы Ax ∈ Lm′ и B(Ax ) ∈ Ll′′ обозначим соответственно как η и ζ , тогда
η = Aξ ,
а
ζ = Bη = BAξ .
Заметим, что ранг отображения равен рангу его матрицы, а
потому на основании теоремы 1.6 сформулируем
Предложение 10.8. Ранг произведения отображений не превосходит рангов этих отображений.
Заметим, что свойства умножения отображений следуют из
свойств умножения представляющих их матриц, а с учётом пунктов 10.8 и 10.9 можно сказать, что все свойства отображений содержатся в свойствах представляющих их матриц в силу изоморфизма линейных пространств образованных отображениями и
представляющими их матрицами.
Пусть нам дано линейное отображение
~
A:L→ L .
Линейное отображение
~
B:L → L
назовём обратным по отношению к линейному отображению A
и обозначим как A −1 , если
~
BA = E и AB = E ,
~ - тождественные преобразования пространств L и ~ .
где E и E
L
~
Иначе говоря, для любых векторов x ∈ L и y ∈ L должны быть
выполнены условия
58
(10.27)
B(Ax ) = x , A(By ) = y .
Предложение 10.9. Линейное отображение имеет обратное тогда и
только тогда, когда оно есть изоморфизм.
Пусть A - изоморфизм. Тогда матрица представляющая в
паре базисов e и f отображение A является невырожденной
квадратной матрицей имеющей обратную матрицу A −1 . Отображение B : L~ → L , определяемое матрицей A −1 в паре базисов f и
e , удовлетворяет условиям (10.27) и является обратным для
~
A:L→ L .
В данном случае мы имеем преобразование пространства
самого в себя и, очевидно, что размерности пространств L и L~
совпадают, а ранг матрицы преобразования равен размерности
пространства L .
Пусть A - не изоморфизм. В этом случае либо r < m , либо
r < n . Если r < m , тогда пространство L отображается не на всё
~
пространство L~ и в L~ найдётся вектор y ∈ L , не принадлежащий A( L ) . Если существует обратное отображение A −1 , мы придём к противоречию:
(
)
y = A A −1 y ∈ A( L ) .
Если r < n , то в L найдётся вектор z ≠ θ принадлежащий
ядру преобразования, т.е. z ∈ Ker A . Если существует обратное
отображение A −1 , мы снова приходим к противоречию:
z = A −1 (Az ) = A −1θ = θ .