А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
системы координат
ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович
shymanchuk@mail.ru
Санкт-Петербургский государственный университет
Факультет прикладной математики – процессов управления
Санкт-Петербург — 2013г.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
1 / 24
Аффинные пространства
Определение
Аффинное пространство — это множество L элементов произвольной природы,
называемых точками, для которых:
1) задан некоторый, ассоциированный с L, линеал L;
2) задано соответствие, сопоставляющее любым двум точкам A, B ∈ L
−→
некоторый элемент AB ∈ L с началом в A и концом в B;
3) выполняются следующие две аксиомы:
10. Для произвольной точки A ∈ L и любого элемента u ∈ L существует
−→
единственная точка B ∈ L, такая что AB = u.
11. Для произвольных трёх точек A, B, C имеет место равенство
−→ −
−→ −→
AB + BC = AC.
В аффинной геометрии, изучающей объекты аффинных пространств, имеются
два основных понятия — вектор и точка, и три основных отношения:
1
отношение между тремя векторами a, b, c: c = a + b;
2
отношение между двумя векторами a, b и вещественным числом α: b = αa;
−→
отношение между двумя точками A, B и вектором u: AB = u.
3
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
2 / 24
Аффинные системы координат I
Определение
Аффинная система координат Oe1 , e2 , . . . , en в аффинном пространстве Ln есть
совокупность, состоящая из произвольной точки O, называемой началом
координат, и базиса e1 , e2 , . . . , en из ассоциированного с Ln линеала Ln .
Определение
Аффинными координатами произвольной точки A ∈ Ln называют координаты
соответствующего элемента (радиус-вектора)
−→
−→
OA ∈ Ln (OA = x1 e1 + x2 e2 + . . . + xn en ) и обозначают символов A(x1 , x2 , . . . , xn ).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
3 / 24
Аффинные системы координат II
−→
Произвольный вектор AB ∈ Ln можно представить как разность соответствующих радиус-векторов:
−→
AB = rB − rA .
−→
Если вектор AB задан координатами своего начала A(x1 , x2 , . . . , xn ) и конца
B(y1 , y2 , . . . , yn ) относительно базиса,то:
−→
AB = (y1 − x1 )e1 + (y2 − x2 )e2 + . . . + (yn − xn )en ,
и обозначают
−→
AB(y1 − x1 , y2 − x2 , . . . , yn − xn ).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
4 / 24
Аффинные системы координат III
Определение
Прямой в аффинном пространстве, задаваемой точкой A0 ∈ Ln и отличным от
нулевого вектора u ∈ Ln , называется множество всех точек P ∈ Ln , для которых
−−→
A0 P = tu, t ∈ (−∞, +∞).
Определение
Прямые в рассматриваемых пространствах, определяемые началом координат O
и соответствующими базисными векторами, называются осями координат.
Определение
В трёхмерном аффинном пространстве рассматривают также координатные
плоскости, которые определяются соответствующими парами координатных
осей.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
5 / 24
Аффинные системы координат IV
Определение
−
−
−
Тройка базисных векторов →
e1 , →
e2 , →
e3 называется правой (левой), если по этим
векторам после приведения их к общему началу можно направить
соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой
(левой) руки.
Определение
−
−
Пара базисных векторов →
e1 , →
e2 называется правой (левой), если кратчайший
поворот от первого базисного вектора ко второму происходит против (по)
часовой стрелке.
Определение
Система координат правая (левая), если её базис правый (левый).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
6 / 24
ДПСК на прямой, плоскости и в трёхмерном пространстве I
Определение
Базис называется ортонормированным, если базисные векторы единичные и
попарно перпендикулярные.
Определение
Аффинная система координат с ортонормированным базисом называется
декартовой прямоугольной системой координат.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
7 / 24
ДПСК на прямой, плоскости и в трёхмерном пространстве II
→
−
→
−
→
−
−
−
при n = 3 : →
a = x i + y j + z k , или →
a (x, y, z);
→
−
→
−
→
−
→
−
при n = 2 : a = x i + y j , или a (x, y);
→
−
−
−
при n = 1 : →
a = x i , или →
a (x).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
8 / 24
ДПСК на прямой, плоскости и в трёхмерном пространстве III
Декартовы координаты произвольной точки относительно заданной системы
координат суть декартовы координаты соответствующего радиус-вектора этой
точки относительно той же системы координат.
→
−
−−→
→
−
→
−
r→
В пространстве при n = 3: −
M = OM = xM i + yM j + zM k , M (xM , yM , zM );
−−→
→
−
→
−
r→ = ON = x i + y j , N (x , y );
На плоскости при n = 2: −
N
N
N
N
N
−
−→
→
−
На прямой при n = 1: −
r→
Q = OQ = xQ i , Q(xQ ).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
9 / 24
ДПСК на прямой, плоскости и в трёхмерном пространстве IV
Определение
В трехмерном пространстве координаты точки относительно первого, второго и
−
→
− →
− →
третьего базисных векторов i , j , k называют соответственно абсциссой,
ординатой и аппликатой.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
10 / 24
ДПСК на прямой, плоскости и в трёхмерном пространстве V
−→
Произвольный вектор AB в рассматриваемых пространствах V1 , V2 , V3 определяется как разность соответствующих радиус-векторов
→
−
→
−
−→ →
→
−
→
−
→
−
→
−
−
AB = −
rB −→
r A = (xB i + yB j + zB k ) − (xA i + yA j + zA k ) =
→
−
→
−
→
−
= (xB − xA ) i + (yB − yA ) j + (zB − zA ) k .
Тогда при
−
→ = x B − x A , y−
−
→ = yB − yA , z −
−
→ = zB − zA ,
n = 3 : x−
AB
AB
AB
−→
AB(xB − xA , yB − yA , zB − zA );
−→
−
→ = yB − yA ,
−
→ = x B − x A , y−
AB(xB − xA , yB − yA );
n = 2 : x−
AB
AB
−→
−
→ = xB − xA ,
AB(xB − xA );
n = 1 : x−
AB
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
11 / 24
Геометрический смысл декартовых координат на прямой I
Определение
Алгебраической мерой вектора декартовой оси называют относительное число,
абсолютное значение которого есть отношение длины этого вектора к единице
измерения длин, причём знак «+» берётся, если этот вектор и направляющий
вектор оси являются сонаправленными, и «–», когда указанные векторы имеют
−→
противоположные направления. Алгебраическую меру вектора AB обозначают
−→
символом AB (|AB| = |AB|).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
12 / 24
Геометрический смысл декартовых координат на прямой II
Теорема.
−→
−→
→
−
→
−
Всякий вектор AB на оси может быть представлен в виде AB = AB i , где i —
−→
направляющий вектор оси, AB — алгебраическая мера вектора AB.
Следствие 1. Координата произвольного вектора на декартовой оси равна его
алгебраической мере, а координата произвольной точки на оси равна
алгебраической мере соответствующего ей радиус-вектора.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
13 / 24
Геометрический смысл декартовых координат на прямой III
Лемма (Шаля).
При любом расположении точек A, B, C на оси алгебраические меры векторов
−→ −
−→ −→
AB, BC, AC связаны соотношением AB + BC = AC.
Следствие 2. Координата произвольного вектора декартовой оси равна разности
координат его конца и начала.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
14 / 24
Геометрический смысл декартовых координат на плоскости I
Определение
−→
→
−
Геометрической проекцией вектора AB на ось O i называют вектор, имеющий
началом проекцию Ax начала A данного вектора на эту ось, а концом —
проекцию Bx конца B данного вектора на эту ось.
−−−→
g −→
P rojO
→
− AB = Ax Bx ,
i
−−−→
g −→
P rojO
→
− AB = Ay By .
j
Определение
Алгебраической проекцией вектора на ось называется алгебраическая мера
геометрической проекции данного вектора на эту ось.
a −→
P rojO
→
− AB = Ax Bx ,
i
a −→
P rojO
→
− AB = Ay By .
j
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
15 / 24
Геометрический смысл декартовых координат на плоскости II
Теорема 1.
Декартовы прямоугольные координаты вектора на плоскости равны
алгебраическим проекциям вектора на оси координат.
Теорема 2.
Алгебраическая проекция суммы векторов на некоторую ось равна сумме
алгебраических проекций на ту же ось слагаемых векторов. Алгебраическая
проекция на некоторую ось произведения вектора на вещественное число равна
произведению данного вещественного числа на алгебраическую проекцию на ту
же ось данного вектора:
−
−
−
−
P rojla (→
c1 + →
c2 ) = P rojla →
c1 + P rojla →
c2 ,
−
−
P rojla α→
c1 = αP rojla →
c1 .
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
16 / 24
Геометрический смысл декартовых координат на плоскости III
Определение
Углом наклона вектора к оси называют угол, на который следует повернуть
направляющий вектор оси до совмещения его с ортом заданного вектора,
приведенным в начало координат на оси.
Теорема 3.
Алгебраическая проекция вектора на ось равна произведению его длины на
−→
−→
косинус угла наклона этого вектора к данной оси, т. е. P rojla AB = |AB| cos α, где
−→
α — угол наклона вектора AB к оси l.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
17 / 24
Геометрический смысл декартовых координат в трёхмерном
пространстве
Определение
Проекцией некоторой точки пространства на данную ось параллельно данной
плоскости называется точка пересечения с заданной осью плоскости,
проходящей через рассматриваемую точку и параллельной данной плоскости.
−−−→
g −→
P rojO
→
− AB = Ax Bx ,
i
g −→
P rojO
→
− AB
j
−−−→
= Ay By ,
−−−→
g −→
P rojO
→
− AB = Az Bz .
k
Теорема.
Декартовы прямоугольные координаты вектора в трёхмерном пространстве
равны алгебраическим проекциям данного вектора на оси координат.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
18 / 24
Полярная система координат на плоскости I
Определение
Полярной системой координат на плоскости называется система,
определяющими элементами которой являются:
точка O — полюс;
луч Oρ — полярная ось;
единица измерения длин на полярной оси;
единица измерения углов;
положительное направление отсчёта углов.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
19 / 24
Полярная система координат на плоскости II
Определение
Полярным радиусом ρ точки M называется расстояние от этой точки M до
полюса O: ρ = d(O, M ), 0 ≤ ρ < +∞.
Определение
Полярным углом ϕ некоторой точки M , отличной от полюса, называется угол
между полярной осью Oρ и лучом OM :
ϕ = ∠(Oρ, OM ),
0 ≤ ϕ < 2π.
Определение
Упорядоченная пара чисел (ρ, ϕ), взятых в указанном порядке, называется
полярными координатами точки M на плоскости, при этом используется
обозначение M (ρ, ϕ).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
20 / 24
Полярная система координат на плоскости III
Полярные координаты (ρ, ϕ) и декартовы (x, y) связаны соотношениями
x = ρ cos ϕ,
или
ρ=
p
x2 + y 2 ,
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
cos ϕ = p
y = ρ sin ϕ
x
,
x2 + y 2
sin ϕ = p
y
.
x2 + y 2
2013г.
21 / 24
Обобщённые полярные координаты на плоскости
Определение
Полярные координаты, в которых допускаются отрицательные значения для
полярного радиуса, называются обобщёнными полярными координатами.
Для любой точки M плоскости можно рассмотреть как обычные полярные
координаты (ρ, ϕ), так и обобщённые (ρ0 , ϕ0 ):
ρ0 = −ρ,
ϕ0 = ϕ + π.
Формулы связи с декартовыми остаются прежними:
x = ρ0 cos ϕ0 ,
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
y = ρ0 sin ϕ0 .
2013г.
22 / 24
Цилиндрические координаты в трёхмерном пространстве I
Определим в фиксированной плоскости π полярную систему координат с по→
−
люсом O и полярной осью Oρ, а через точку O проводится ось O k с началом в
→
−
точке O, направляющим вектором k и перпендикулярная плоскости π.
Определение
Упорядоченная тройка чисел (ρ, ϕ, z), взятая именно в таком порядке,
называется цилиндрическими координатами точки M , при этом используются
обозначения M (ρ, ϕ, z).
ρ ∈ (0, +∞),
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
ϕ ∈ [0, 2π),
z ∈ (−∞, +∞).
2013г.
23 / 24
Цилиндрические координаты в трёхмерном пространстве II
Цилиндрические координаты (ρ, ϕ, z) и декартовы (x, y, z) связаны соотношениями
x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, z = z.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
24 / 24
Сферические координаты в трёхмерном пространстве I
Зафиксируем в некоторой плоскости π точку O — полюс и через неё проведём
→
−
→
−
луч Om в плоскости π и ось O k с направляющим вектором k ⊥ π.
ρ — сферический радиус, т. е. ρ = d(O, M ); ρ ∈ [0, +∞). Угол ϕ — долгота,
ϕ = ∠(Om, ON ); ϕ ∈ [0, 2π), угол θ — широта, θ = ∠(ON, OM ); θ ∈ [−π/2, π/2].
Определение
Упорядоченная тройка чисел (ρ, ϕ, θ), взятая именно в таком порядке,
называется сферическими координатами точки M , при этом используются
обозначения M (ρ, ϕ, θ).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
25 / 24
Сферические координаты в трёхмерном пространстве II
Цилиндрические координаты (ρ, ϕ, θ) и декартовы (x, y, z) связаны соотношениями
x = ρ cos θ sin ϕ, y = ρ cos θ sin ϕ, z = ρ sin θ.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
26 / 24