Топологические и физические эффекты вращения и спина в

В.Г. КРЕЧЕТ
Топологические и физические эффекты вращения и спина в общерелятивистской теории
гравитации
В рамках общерелятивистской теории гравитации, в качестве которой рассматриваются
ОТО и ТЭК (теория Эйнштейна-Картана) исследуются вопросы взаимосвязи внутреннего
момента импульса (спина) и вращения материальных распределений и собственного момента
импульса гравитационного поля. Показано, что вектор плотности спина гравитационного поля
sgi с точностью до множителя 1/κ равен вектору ротора тетрадного репера ωi = εiklmek(a)e(a)l,m/2(sgi
= ωi/κс ). Показано, что вектор sgiоказывается пропорциональным вектору плотности спина
гравитирующего спинорного поля si(ψ) =hc(ψγi γ5 ψ) /2, как и псевдовектор кручения Qi
пространства-времени в теории Эйнштейна-Картана, что в обоих случаях индуцирует
кубическую нелинейность у спинорнoго поля. Получено выражение для тензора плотности
энергии-импульса вихревого гравитационного поля. Далее показано, что свободное вихревое
гравитационное поле с поляризованным спином может индуцировать образование «кротовых
нор». Аналогичный эффект может вызвать быстро вращающаяся самогравитирующая
идеальная жидкость Получены соответствующие точные решения совместных систем
уравнений Эйнштейна и вращающейся идеальной жидкости.
В данной работе рассматриваются вопросы взаимосвязи внутреннего момента импульса
(спина)и вращения материальных распределений и собственного момента импульса
гравитационного поля в рамках общерелятивистской теории гравитации, в качестве которой
рассматриваются ОТО и теории Эйнштейна-Картана (ТЭК). В качестве материальных
распределений используются дираковское спинорное поле и вращающаяся идеальная
жидкость.
Рассмотрим сначала дираковское спинорное поле, описываемое спинорной функцией
ψ(xi). Общерелятивистский лагранжиан спинорного поля имеет вид:
L(ψ) = (hc/2)[Di ψ+ γi ψ – ψ+ γi Di ψ – 2µψ+ ψ ]
(1)
ЗдесьDi ψ=ψ,i – Γi ψ, – ковариантная производная спинорной функции в аффиннометрическом пространстве, а Γi – коэффициенты спинорной связности аффинно-метрического
пространства [1], γi – матрицы Дирака аффинно-метрического пространства, удовлетворяющие
условию фундаментальной связи пространства и спина: γiγk + γk γi= 2gik.
В формализме тетрад вышеприведенному условию удовлетворяют следующие
выражения для матриц Дирака: γi = eaiγa, где eai – компоненты локального ортонормированного
репера (тетрады), γa – матрицы Дирака пространства Минковского, a, b, c…. – локальные
индексы, i, j, k…. – мировые индексы. С учетом этих формул для ковариантной производной
спинорной функции и матриц Дирака лагранжиан спинорного поля (1) в пространстве РиманаКартана примет вид:
L(ψ) = (hc/2)( ψ+,i γi ψ – ψ+ γi ψ,I+ (ωi+ 3Qi )(ψ + γi γ5 ψ) – 2µψ+ψ )
(2)
Здесь ωi = εiklm eak eal,m /2 – ротор тетрады, то есть вихревая составляющая
гравитационного поля. С кинематической точки зрения вектор ωiравен угловой скорости
вращения тетрадного репера в каждой точке, или системы отсчета, определяемой этим
репером. Далее Qi= εiklmQklm /6- псевдослед тензора кручения Qklm пространства-времени, а
аксиальный вектор ψ+γiγ5ψ пропорционален вектору плотности собственного момента импульса
(спина) спинорного поля si (ψ) = hc(ψ+γi γ5ψ)/2. Поэтому можно считать, что лагранжиан
взаимодействия Lint = ωisi(ψ), входящий в спинорный лагранжиан (2), описывает спин-спиновое
взаимодействие спинорного и гравитационного полей. Следовательно, вектор и плотность
спина гравитационного поля si (g) с точностью до коэффициента1/κ равен ротору тетрады ωi:
si (g) = εiklm eak eal,m /2κc.(κ = 8π G/c4 )
(3)
Это выражение для плотности внутреннего момента импульса (спина) гравитационного
поля совпадает с тем, что получено В.И. Родичевым, но другим способом [2]. Такое совпадение
позволяет считать верным полученное выражение (3) для вектора плотности спина
гравитационного поля.
Из формулы (2) видно, что спинорное поле совершенно одинаковым образом
взаимодействует как с вихрем гравитационного поля, так и с псевдоследом кручения
прстранства-времени, то есть для спинорного поля они не различимы.
Чтобы получить связь между аксиальными векторами вихря гравитационного поля ωi,
кручения пространства-времени (если оно существует)Qiи плотности спина спинорного поля si
(ψ), необходимо, исходя из принципа наименьшего действия, проварьировать полное действие
системы гравитационного и спинорного полей в пространстве Римана-Картана U4 с
лагранжианом
L = - R/2κ + L(ψ)(4)
по ωiиQi. Используя разложение для скалярной кривизны пространства-времени R в
лагранжиане (4) на неприводимые компоненты в рамках монадного формализма [3], в
результате получим:
ωi=κ si (ψ)/2, Qi=κ si (ψ)/2 (5)
Из (5) видно, что и вихрь гравитационного поля, и псевдослед кручения совершенно
одинаково зависят от плотности спина спинорного поля si (ψ) и пропорциональны ему Это еще
раз говорит о том, что в рамках спинорной гравидинамики вихрь гравитационного поля ωiи
псевдослед кручения Qi эквивалентны и оба приводят к одинаковым эффектам, в частности, к
индуцированию псевдовекторной нелинейности у спинорного поля. Так, если подставить
выражения (5) для рассматриваемых величин в спинорный лагранжиан (1), то в нем появятся
две псевдовекторных нелинейности, одна из которых индуцирована вихрем гравитационного
поля, а другая кручением пространства-времени:
L(ψ) =(hc/2)(ψ+,i γi ψ- ψ+ γi ψ,i) +(κhc/4)(ψ +γi γ5ψ)2+ (3κhc/4)(ψ+ γ i γ5 ψ)2.
(6)
Таким образом, мы получили аналог теоремы В.И. Родичева [2] об индуцировании
псевдовекторной нелинейности у спинорного поля кручением пространства-времeни, с тем
отличием, что здесь псевдовекторную нелинейность у спинорного поля индуцирует также и
вихревая составляющая гравитационного поля.
Здесь еще надо добавить, что, как видно из формулы (5), взаимодействие между вихрем
гравитационного поля и плотностью спина спинорного поля является контактным, то есть
вихрь гравитационного поля существует лишь в том месте, где есть момент импульса материи.
Это значит, что в рамках теории гравитации с линейным по R лагранжианом не существует
распространяющегоя в пространстве свободного вихревого гравитационного поля.
Распространяющееся вихревое гравитационное поле может существовать лишь в рамках
теории гравитации с квадратичными по кривизне лагранжианами, но такие теории пока не
находят экспериментального подтверждения.
Простейшим примером пространства-времени, где существует стационарное вихревое
гравитационное поле, есть пространство-время с цилиндрической симметрией, описываемое
стационарной метрикой вида:
ds2 = D(x)dt2 – A(x)dx2 – B(x)dα2 – A(x)dz2 – 2E(x)dtdα
(7)
При этом геометрические свойства пространства определяются 3-мерным линейным
элементом:
dl2=Adx2 + ((BD+E2)/D)dα2 + Adz2,
(8)
а интенсивность стационарного гравитационного вихря (угловая скорость вращения системы
отсчета, определяемой тетрадой с времени-подобным вектором τi = (D-1/2 , 0, 0, 0)) определяется
выражением:
ω = (E‫ ا‬D – D‫ ا‬E)/2DA1/2 (E2 + BD)1/2 (9),
|
где символ ( ) обозначает дифференцирование по координате х. В рассматриваемом случае
вектор вихря направлен вдоль оси Оz, которая, следовательно, является осью вращения
тетрады(системы отсчета).
Возникает вопрос об источниках такой метрики. В нашей работе [5] мы показали, что
источником метрики (7) может быть дираковское спинорное поле с вектором плотности спина,
поляризованным вдоль оси вращения Oz, то есть метрические коэффициенты A, B, D, Е этой
метрики определяются решением совместной системы уравнений Эйнштейна-Дирака в
пространстве-времени с метрикой (7). При этом геометрия эффективного 3D-пространства (8)
оказалась совпадающей с геометрией «кротовой норы», то есть гравитационный вихрь и
вращение материи, а также поляризованный спин могут индуцировать образование «кротовых
нор»!
Ниже мы покажем, что источником метрики вида (7) и средством образования «кротовых
нор» может также являться быстро вращающаяся самогравитирующая идеальная жидкость с
осью вращения, совпадающей с осью симметриии. Выбираем сопутствующую систему отсчета,
так что 4-скорость жидкости Viбудет совпадать с монадным вектором системы отсчета τi = (D-
1/2
, 0,0 0). Тогда выражение для угловой скорости ω вращения жидкости будет определяться
формулой (9).Тензор энергии-импульса для идеальной жидкости имеет вид: Tik = (p+ε)Vi Vk –
pgik, где р – давление, а ε – плотность энергии жидкости. Решается совместная система
уравнений Эйнштейна и идеальной жидкости в пространстве-времени с метрикой (7):
Rik – Rgik /2 = κ[(p+ε)Vi Vk – pgik ].
(10)
При данной постановке задачи и при использовании формулы (9) для угловой скорости
вращения ω из системы уравнений Эйнштейна (10) можно получить уравнение для
метрического коэффициента R(x) = (E2 + BD)/D при dα2 в эффективной пространственной
метрике (8), определяющего расстояние до оси симметрии (вращения):
A-1[R''/R + (D'/D - R'/R)R'/2R =κ(p – ε) + 4ω2/c2,
(11)
а для угловой скорости получается интеграл движения:
ω = ω0/AD1/2.
(12)
Здесь ω0 – константа интегрирования, определяющая граничное значение угловой
скорости, в тех точках, где AD = 1.
Из уравнения (11) следует, что когда
4ω2/c2 > κ(ε – p),
(13)
то R'' > 0 в точке, где R' = 0, то есть в этой точке функция R(x) имеет минимум при R≠ 0, а это
есть условие существования «кротовой норы».
Таким образом, при достаточно быстром вращении сплошной среды, когда выполняется
условие (13), может образоваться «кротовая нора»! В частности, в случае предельно жесткого
уравнения состояния (р = ε ) условие (12) заведомо выполняется, то есть вращающаяся
жидкость с предельно жестким уравнением состояния индуцирует образование «кротовой
норы».Соответствующее точное решение уравнений Эйнштейна для самогравитирующей
вращающейся идеальной жидкости с предельно жестким уравнением состояния следующее:
p = ε = ω0 2/κс2 = const., A = D = 1, ω = ω0 = const, R(x) = b2cosh(ω0x/c),
(14)
где b – постоянная интегрирования. Решение (14) показывает, что самогравитирующая
вращающаяся идеальная жидкость с предельно жестким уравнением состояния вращается как
твердое тело, то есть везде имеет одинаковое значение угловой скорости, и образует «кротовую
нору», так как метрический коэффициент R(x), определяющий расстояние до оси вращения,
везде больше нуля и имеет минимум при х = 0 и нигде не обращается в нуль. Форма «кротовой
норы» определяется гиперболическим косинусом, радиус ее горловины – значение R(x) при х =
0, равен b и является произвольным. Это показывает также уравнение (11) для функции R(x),
которое инвариантно относительно преобразования: b→ λb (λ = const). Получившаяся
«кротовая нора» соединяет два плоских пространства, так как метрические коэффициенты A(x),
D(x) = 1 везде (- ∞ < x < ∞ ).
В стационарном пространстве с метрикой типа (7), где существует вращение
конгруэнций времени-подобных мировых линий, то есть существует стационарное вихревое
гравитационное поле, возможно существование «кротовой норы» без материи, геометрия
которой определяется решением вакуумных уравнений Эйнштейна для метрики (7): Rik = 0.
Соответствующее решение следующее:
ω = ω0/AD1/2 , A = c/bω0(x2/b2 + 1)2, D = exp(arcsin(x2/b2 + 1)-1)/(x2 /b2 + 1),
R(x) = exp(arcsin(x2/b2 + 1)-1)(x2 + b2), (b = const., с – скорость света) (15)
Из данного решения видно, что угловой метрический коэффициент R(x), как и в
предыдущем примере, везде больше нуля и нигде в нуль не обращается и имеет точку
минимума, т.е. опять получилась геометрия «кротовой норы». Это решение еще раз показывает,
что вихревое гравитационное поле может образовывать «кротовые норы», а его источником
может служить достаточно быстро вращающася сплошная среда, и возможно также
образование «кротовой норы» вихревым гравитационным полем и в пустом пространстве.
Отметим также, что вращающаяся самогравитирующая пылевая материя (р = 0)
«кротовую нору» не образует, а образует замкнутое по радиальной координате пространство,
то есть при интенсивном вращении пылевой материи с сохранением цилиндрической
симметрии пространство может свернуться вокруг оси вращения. Соответствующее решение
уравнений Эйнштейна для указанной физической ситуации в пространстве-времени с метрикой
типа (7) следующее:
ω = ω0exp(ω02x2/2c2), ε = ω02exp(ω02x2/c2)/κc2 ,
D(x) = 1, R(x) = x2, A(x) = exp(- ω02x2/c2).
(16)
Из данного решения видно, что линейное расстояние l(x) вдоль радиальной координаты х
является конечным при бесконечном увеличении значения координаты х: l = 0∫∞A(x)1/2dx =
2 2
∞
2
1/2
0∫ exp(-ω0 x /2c )dx = (π/2) c/ω0, то есть получилось замкнутое по радиальной координате
пространство, причем плотность материи экспоненциально быстро возрастает с удалением от
оси вращения.
Приведенные выше примеры показывают, что достаточно быстрое вращение сплошной
среды может индуцировать образование пространств с нетривиальной топологией – типа
замкнутых вселенных и «кротовых нор». Это объясняется тем, что в общерелятивистской
теории гравитации, как мы показали [4], энергия вращения описывается тензором плотности
вращательной энергии Tik(ω2), все компоненты которого пропорциональны квадрату угловой
скорости ω2. Для него выполняется также закон сохранения: Tik;k = 0.Структура тензора
плотности вращательной энергии соответствует структуре тензора энергии-импульса
идеальной жидкости с анизотропным давлением р3 вдоль оси врашения:
Tik(ω2) =(p+ε)ViVk + (p – π)BiBk – pgik
(17)
i
Здесь V – 4-cкорость системы отсчета – монада (ViVi = 1), Bi – вектор анизотропии,
направленный вдоль оси вращения (BiBi = -1, ViBi = 0), причем давление p = -ω2./κ, то есть
давление у тензора вращательной энергии (он же тензор энегии-импульса вихревого
гравитационного поля) всегда отрицательно, и для него нарушается слабое энергетическое
условие (ε + р)> 0, т.е. тензор плотности вращательной энергии имеет свойства «фантомной
материи», что и приводит к возможности образования «кротовых нор» с помощью достаточно
быстрого вращения сплошной среды или вихревым гравитационным полем.
В рассматриваемом случае для пространства с вихревым гравитационным полем типа (7)
компоненты тензора плотности вращательной энергии следующие (они же компоненты тензора
энергии-импульса вихревого гравитационного поля):
Tik(ω) = (ω2/κc2)diag(-1, 1, 1, 3).
(18)
Из результатов этой работы можно сделать также вывод, что если для полного
гравитационного поля, имеющего деформационную и вихревую составляющие, определение
энергии является до конца еще не решенной проблемой, то для его вихревой
составляющейпроблема энергии решается. Энергия вихревого гравитационного поля
описывается вполне определенным тензором плотности энергии-импульса вида (17), все
компоненты которого пропорциональны квадрату ротора тетрады ω2.
В заключение автор выражает благодарность участникам научного семинара Российского
гравитационного общества Ю.С. Владимирову, К.А. Бронникову, В.Д. Захарову, В.Д. Захарову,
А.В. Каганову, В.В. Кассандрову, А.С. Соловьёву, М.Л. Фильченкову, Б.Н. Фролову и др. за
интерес к данной работе, стимулирующее обсуждение и полезные замечания.
Библиографический список
1.
2.
3.
4.
Кречет В.Г. // Изв. вузов. Физика. 1985. N 12. C. 9-14.
Родичев В.И. Теория тяготения в ортогональном репере. М.: Энергоатомиздат, 1974.
Владимиров Ю.С. Системы отсчета в теории гравитации. М.: Энергоатомиздат, 1982.
Кречет В.Г. // Изв. вузов. Физика. 2005. № 3. С. 3-6.