курс лекций по физике ч 2.

Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
1
ШЕМЯКОВ Н.Ф.
КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ФИЗИКЕ
Ч 2.
Электродинамика
Красноярск
2011
Электричество и магнетизм
2
Н.Ф. Шемяков
Шемяков Н. Ф. Физика. Ч. 2 Электродинамика.
Дано систематическое изложение физических основ электродинамики,
электромагнитных колебаний и волн в соответствии с программой общего курса
физики для технических вузов.
Особое внимание уделяется раскрытию физического смысла, содержанию
основных положений и понятий физики, а также практическому применению
рассматриваемых явлений с учетом выводов классической, релятивистской и
квантовой механики.
Предназначено для углубленной самостоятельной работы при изучении
физики студентами технических вузов дневной и заочной форм обучения.
Может быть полезно аспирантам и преподавателям физики.
Электричество и магнетизм
3
Н.Ф. Шемяков
… Заряд и ток несут поля, зовут их электромагнитными не зря,
Дают они тепло и свет, чтоб жил в комфорте человек…
Автор
Лекция 1.
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
ВВЕДЕНИЕ
1. Предмет классической электродинамики
Раздел физики, в котором исследуются свойства электромагнитного
поля и взаимодействующих с ним других видов материи, называют
классической электродинамикой.
Электромагнитное поле представляет собой самостоятельный вид
материи. По историческим причинам термин «поле» в физике имеет два
разных смысла. Во первых, полем называют особый вид материи.
Во вторых, среди физических величин функциями координат считаются
такие, которые называют полями, например, поле скоростей. Словосочетание
«электромагнитное поле» характеризует его особый вид
материи.
Электрическое поле, как и всякий физический объект, характеризуется
состоянием и уравнениями движения. В каждый момент времени состояние
электромагнитного поля описывается двумя полями: электрическим и
магнитным. Уравнения движения для электромагнитного поля содержатся в
микроскопических уравнениях Максвелла. Микроскопические уравнения
Максвелла совместно с уравнениями Лоренца для заряженных частиц
образуют
фундаментальную
систему
уравнений
классической
электродинамики.
Наряду с микроскопическими, используются
макроскопические уравнения Максвелла, макроскопические уравнения
Лоренца и материальные уравнения (например, закон Ома), которые
образуют макроскопическую систему уравнений.
2. Понятие близкодействия
Для описания взаимодействия тел используется понятие силового поля.
Так как взаимодействие заряженных частиц передается с конечной
скоростью посредством близкодействия, то посредником является
электромагнитное поле. Гипотезу о близкодействующем характере
электромагнитных взаимодействий предложил Фарадей в середине 19
столетия. Позднее Максвелл написал свои знаменитые уравнения
электродинамики, содержащие идеи близкодействия и позволившие сделать
предсказание об электромагнитной природе света. Герц экспериментально
установил существование электромагнитных волн что окончательно
подтвердило идею близкодействия.
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
4
4.1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
1.1. Квантование заряда.
Электрические силы относятся к одному из фундаментальных
взаимодействий электромагнитному взаимодействию, которое зависит от
величины электрических зарядов. Существование электромагнитных сил
обнаружено давно. Их действие было известно древним грекам.
Электрический заряд имеют многие элементарные частицы, например,
электрон, протон, ионы или заряженные макротела и т. д.
Электрический заряд частицы является одной из ее характеристик.
Элементарная частица может существовать без заряда, например,
нейтрон, фотон и др., но не существует заряда без частицы.
Например, заряд электрона и протона равен по абсолютной величине
элементарному заряду:
е =1,6 10 19 Кл.
1.
Электрический заряд квантуется, т.е. может принимать величину
заряда, кратную элементарному заряду. Любой макроскопический заряд
можно представить в виде выражения:
n
q
qi
i 1
или
где n
Q=n е ,
число заряженных частиц.
2. Существуют положительный и отрицательный электрические
заряды. Например, электрон отрицательно заряженная частица, протон
положительно заряженная частица.
3. Электрический заряд инвариантен, т. е. его величина не зависит от
системы отсчета, т. е. не зависит от того, движется он или покоится.
4. Закон сохранения заряда открыт Фарадеем
В любой электрически изолированной системе алгебраическая сумма
зарядов есть величина постоянная, т. е.
n
qi
const .
(1.1)
i 1
Фундаментальные свойства заряда имеют важнейшее значение в
современной физике и в естествознании вообще.
Замечание:
Открыты элементарные частицы кварки, которые имеют дробный
заряд, кратный
1
3
e , 2 e . В свободном состоянии кварки не существуют.
3
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
5
1.2. Взаимодействие электрических зарядов. Закон Кулона.
В 1785 г. Кулон экспериментально установил зависимость силы
взаимодействия зарядов от их величины, знака и расстояния между ними.
Сила взаимодействия двух точечных зарядов, находящихся в вакууме,
прямо пропорциональна произведению зарядов и обратно пропорциональна
квадрату расстояния между ними, направлена вдоль прямой
линии,
соединяющей эти заряды (рис. 1.1)..
В СИ закон Кулона запишем в виде
q 1q 2
4 or2
F
где
Рис. 1.1
r
r
о
= 8,85 10
12
Ф
м
r
r ,
(1.2)
электрическая постоянная;
единичный вектор.
При решении задач удобно использовать
величину
1
= 9 109
м
.
Ф
4 o
Согласно третьего закона Ньютона
F12 = F21 = F.
Знак силы взаимодействия зарядов зависит от знака этих зарядов.
Притяжению соответствует знак « », разноименные заряды притягиваются,
отталкиванию « + », одноименные заряды отталкиваются (рис. 1.2, а, б).
По абсолютной величине закон Кулона
q 1q 2 .
(1.3)
F
4 or2
Если заряды находятся в
диэлектрической среде, то
q 1q 2
F
,
(1.4)
4 o r2
где
диэлектрическая
проницаемость среды,
Fвак
а
б
.
(1.5)
F
В СИ заряд измеряют в кулонах (Кл).
Рис. 1.2
На основании экспериментальных
данных установлено, что закон
Кулона справедлив для расстояний от 10 15
м до нескольких километров, а возможно и до бесконечности.
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
6
1.3. Электрическое поле
Взаимодействие
между
зарядами
(согласно
современным
представлениям) осуществляется посредством электрического поля. Если
заряды неподвижны, то поле называют электростатическим.
Любой электрический заряд q
создает в окружающем его
пространстве электрическое поле (изменяет свойства этого пространства).
Электрическое поле проявляет себя в том, что помещенный в любую точку
этого поля «пробный» заряд испытывает действие кулоновской силы со
стороны этого поля. Основной количественной характеристикой
электрического поля является вектор напряженности E .
Напряженность электростатического поля сила, действующая на
единичный, положительный точечный неподвижный пробный заряд.
Замечание: пробный заряд qo должен быть достаточно малым, чтобы
его внесение в электрическое поле не вызывало заметного искажения его.
На основании опытов установлено, что напряженность электрического
поля и кулоновская сила, действующая на внесенный в это поле пробный
заряд, связаны соотношением
E
F
,
q0
(1.6)
где E
вектор напряженности электростатического поля в данной точке.
Напряженность поля E неподвижного точечного заряда q в вакууме
на расстоянии r от него
q
E
4
or
или по модулю
E
2
q
4
o
r2
r
r
(1.7)
,
(1.8)
где r расстояние от заряда q, создающего электрическое поле, до точки
пространства, в которой определяется напряженность этого поля (рис. 1.3).
Если заряд находится в безграничной среде с диэлектрической
проницаемостью , то
q
.
(1.9)
E
2
4 o r
В электрическом поле, создаваемом неподвижным точечным зарядом, сила, действующая
на внесенный пробный заряд, не зависит от того,
покоится пробный заряд или движется. Это
Рис. 1.3
относится и к системе неподвижных зарядов.
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
7
Напряженность в СИ измеряется в вольтах на метр (В/м).
Если мы имеем систему точечных неподвижных зарядов, то можно
определить напряженность E результирующего электрического поля в
произвольной точке этого поля (принцип суперпозиции).
Вектор напряженности поля системы точечных неподвижных
зарядов равен векторной сумме напряженности полей, созданной каждым
из зарядов в отдельности, т. е.
n
E
E 1 E 2 ... E n
n
или
E
i 1
Ei
1
4
0
i 1
n q
i
2
i 1 ri
Ei
(1.10)
r
r ,
(1.11)
где E i вектор напряженность поля, созданного i м точечным зарядом на
расстоянии ri от него.
1.4. Графическое изображение электрических полей.
Зная
вектор
напряженности
электростатического поля в каждой его точке, можно
представить
это
поле
наглядно
с
помощью
силовых
линий
напряженности
(линий
вектора E ). Силовые линии
а
б
напряженности проводят так,
Рис. 1.4
чтобы касательная к ним в
каждой точке совпадала с
направлением вектора напряженности E (рис. 1.4, а).
Число линий, пронизывающих единичную
площадку dS, перпендикулярную к ним, проводят
пропорционально модулю вектора E (рис. 1.4, б).
Рис. 1.5
Силовым линиям приписывают направление, совпадающее с направлением вектора E . Картина распределения линий напряженности позволяет судить о конфигурации данного
электрического поля в разных его точках. Силовые линии начинаются на
положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных зарядах. На рис.
1.5 приведены линии напряженности точечных зарядов (рис. 1.5, а, б);
системы двух разноименных зарядов (рис. 1.5, в) пример неоднородного
электростатического поля и двух параллельных разноименно заряженных
плоскостей (рис. 1.5, г) пример однородного электрического поля.
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
8
1.5. Распределение зарядов
В некоторых случаях для упрощения математических расчетов
истинное распределение точечных дискретных зарядов удобно заменить
фиктивным непрерывным распределением. При переходе к непрерывному
распределению зарядов используют понятие о плотности зарядов линейной
, поверхностной и объемной , т. е.
dq
dq
dq
,
,
,
(1.12)
d
dS
dV
где dq
заряд, распределенный соответственно по элементу длины d ,
элементу поверхности dS и элементу объема dV.
С учетом этих распределений формула (1.11) может быть записана в
другой форме. Например, если заряд распределен по объему, то вместо qi
нужно использовать dq = dV, а символ суммы заменить интегралом, тогда
E
1
4
0
dV r
.
2
r
r
(1.13)
1.6. Электрический диполь
Для объяснения явлений, связанных с зарядами в физике используется
понятие электрического диполя.
Систему двух равных по величине разноименных точечных зарядов,
расстояние между которыми много меньше расстояния до исследуемых
точек пространства, называют электрическим диполем. Согласно
определению диполя +q = q = q.
Прямую, соединяющую разноименные заряды
(полюса), называют осью диполя; точку 0 центром
диполя
(рис.
1.6).
Электрический
диполь
характеризуется плечом диполя: вектором  ,
направленным от отрицательного заряда к
положительному. Основной характеристикой диполя
является электрический дипольный момент
p =q.
(1.14)
По абсолютной величине
р = q .
(1.15)
В СИ электрический дипольный момент измеряется
Рис. 1.6
в кулонах умноженных на метр ( Кл м).
Потенциал электрического поля, созданного системой точечных зарядов в
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
9
произвольной точке, характеризуемой радиус вектором ri , запишем в виде:
q
4
o
q
r2
4
o
r
1
q r1 r2
4 o r1 r2
,
где r1r2 r , r1 r2
r =  cos , так как 
r;
векторами r и p (рис. 1.6). С учетом этого получим
2
=
q
4
or
2
p
cos
4
or
2
угол между радиусcos .
(1.16)
Используя формулу, связывающую градиент потенциала с
напряженностью, найдем напряженность, создаваемую электрическим полем
диполя. Разложим вектор Е электрического поля диполя на две взаимно
 

перпендикулярные составляющие, т. е. E E
E (рис. 1. 6).
Первая их них определяется движением точки, характеризуемой
радиус вектором r (при фиксированном значении угла ), т. е. значение Е
найдем дифференцированием (1.81) по r, т. е.
2p
(1.17)
E
cos .
3
r 4 or
Вторая составляющая определяется движением точки, связанным с
изменением угла
(при фиксированном r), т. е. Е
найдем
p
дифференцированием (1.16) по : E
(1.18)
sin ,
3
r
4 or
где E
, d  = rd .

Результирующая напряженность
подстановки
Замечание: При
E
p
4
or
= 90о
Е2 = Е 2 + Е
3 cos2
3
1.
2
или после
(1.19)
p
E
,
(1.20)
4 or3
т. е. напряженность в точке на прямой проходящей через центр диполя (т. О)
и перпендикулярно оси диполя.
При
= 0о
E
2p
4
or
3
,
(1.21)
т. е. в точке на продолжении прямой, совпадающей с осью диполя.
Анализ формул (1.19), (1.20), (1.21) показывает, что напряженность
электрического поля диполя
убывает
с расстоянием обратно
3
пропорционально r , т. е. быстрее, чем для точечного заряда (обратно
пропорционально r2 ).
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
10
1.7. Диполь в однородном электрическом поле
Рассмотрим
поведение диполя во внешнем,
однородном
электрическом поле. При внесении диполя в такое
поле на заряды q и +q будет действовать пара
сил F1 и F2 (F1 = F2 = F; d =  sin
плечо
пары сил
(рис. 1.7), которая вызывает вращающий момент
пары сил M
rF .
По абсолютной величине М = Fd, где
d =  sin ; сила F = qE; Е электрического
Рис. 1.7
поля;
угол между вектором p и E (рис. 1.7).
C учетом этого М = qE  sin или М = рЕ sin , т. е.
M
pE .
(1.22)
Вывод: в результате действия момента пары сил диполь
поворачивается во внешнем электрическом поле и устанавливается так,
чтобы вектор дипольного момента p был направлен вдоль вектора E
(состояние устойчивого равновесия при = 00, Ммin = 0). При = 900, Ммах =
рЕ.
1.8. Диполь в неоднородном электрическом поле
При внесении диполя во внешнее, неоднородное электрическое поле
на него, кроме вращающего момента,
действует добавочная сила, вызванная
градиентом напряженности поля.
Рассмотрим
случай,
когда
градиент напряженности внешнего
поля происходит вдоль направления
оси Х (рис. 1.8). Согласно рис. 1.8 на
отрицательный заряд диполя действует
большая сила, чем на положительный.
Действительно, F1 F2; F1 = qE1;
F2 = qE2; F1 F2 = F; Е1 Е2 = Е
или
F = q Е. Из-за градиента напряРис. 1.8
женности поля на отрезке х =  сos
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
11
E
Тогда добавочная сила
F
E
x
x
E
 cos .
x
E
q cos
x
E
p cos .
x
(1.23)
При
90о, Fx = F 0.
Под действием этой силы диполь втягивается в область более сильного
поля.
При
90о, Fx 0 диполь выталкивается в область слабого поля.
Наличие добавочной силы при внесении диполя во внешнее
электрическое поле используется в электрических фильтрах, между
электродами которого создается сильное неоднородное электрическое поле.
Эти фильтры устанавливаются в заводских трубах для сбора частиц
пыли и газа при выбросах дыма в атмосферу, что ослабляет вредное
воздействие на окружающую среду в районе завода.
Притяжение мелких кусочков бумаги к наэлектризованной стеклянной
или эбонитовой палочке также объясняется наличием добавочной силы в
неоднородном электростатическом поле, созданного заряженной палочкой.
Замечание: системы из зарядов, имеющих несколько полюсов,
называются мультиполями, например, квадруполь, октуполь и др.
Лекция 2
1. Теорема Гаусса в интегральной форме
Электрическое поле обладает важным свойством: потоком вектора
напряженности (потоком
вектора E ). Для
наглядности воспользуемся геометрической картиной
описания электрического поля: число силовых линий
напряженности равно напряженности электрического
поля. Часть силовых линий будет
пронизывать

элементарную площадку dS, вектор нормали n
Рис. 1
которой составляет угол с вектором E (рис. 1).
Потоком
вектора
напряженности
электрического поля называют интеграл по поверхности от скалярного

произведения векторов E и dS n .
Фe
E dS n
S
EdSn cos E, n
S
E n dS,
(1)
S
Элементарный поток вектора напряженности электростатического поля
Электричество и магнетизм
dФe
Н.Ф. Шемяков
12
E dS n
EdS cos E, n
E n dS ,
(2)

где Еn проекция вектора E на нормаль n .

В замкнутых поверхностях вектор нормали n направлен наружу
(внешняя нормаль), охватываемой этой поверхностью.
Замечание: понятие потока относится к любому векторному полю.
Для того чтобы найти поток вектора E , окружим точечный заряд
произвольной замкнутой поверхностью S (рис. 2).
По определению поток вектора E
Фe
EdS cos
S
q
S
Рис. 2
4
0r
dS cos
где d
2
(3)
q
dS cos
4
d ,
0
телесный угол, опирающийся на
r2
элемент dS поверхности S, с вершиной в точке
расположения заряда q; E
q
4
0
r2
напряженность электрического поля
точечного заряда. Интегрирование (3) по всей поверхности S эквивалентно
интегрированию по всему телесному углу
= 4 . Следовательно, после
интегрирования
q0
Фe
.
(4)
0
Если замкнутая поверхность охватывает систему точечных зарядов
(как положительных, так и отрицательных) q1, q2, ... , qn, то согласно
принципу суперпозиции напряженность результирующего поля
n 
 


Ei ,
E E1 E 2 ... E n
i 1
где Еi
напряженность электрического поля i го точечного заряда.
Полный поток вектора напряженности, созданного системой зарядов,
запишем в виде

1 N

Фe
E dSn
qi
(5)
i 1
S
0
Поток вектора E сквозь произвольную замкнутую поверхность,
охватывающую заряды, пропорционален алгебраической сумме зарядов.
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
13
Если заряды q1, q2, ... , qn находятся вне замкнутой поверхности, то
полный поток вектора E через эту поверхность равен нулю.
Замечание: напряженность электрического поля
зависит
от
расположения всех зарядов в замкнутой поверхности, а поток вектора E
останется неизменным.
2. Теорема Гаусса в дифференциальной форме.
Используя формулу объемной плотности заряда, имеем
n
q
qi
V,
i 1
(6)
где
среднее значение объемной плотности заряда в объеме V.
Значение q из (6) подставим в (2), предварительно разделив правую и
левую части его на объем V:
1 

E dSn
.
(7)
VS
0
При стягивании объема V в интересующей нас точке поля к нулю
(V
0) средняя объемная плотность заряда
будет стремиться к
истинному значению в данной точке электрического поля, т. е. отношение
в левой части (7) будет стремиться к
.
0


E dSn к V при V
Величина, являющая пределом отношения
0,
S
называется дивергенцией поля E .
Дивергенцию поля
определению
E
символом diV E , т. е. по
обозначают

diVE
1
0 V


E dSn .
im
V
(8)
S
Согласно (8) дивергенция является скалярной функцией координат.
Для нахождения отношения потока вектора E к объему V берут
бесконечно малый объем dV
и определяют поток вектора E ,
пронизывающий произвольную замкнутую поверхность, охватывающий
объем dV.
В декартовой системе координат

Ey
Ex
Ez .
(9)
diVE
x
y
z
Электричество и магнетизм
Таким образом, при V
diV E , а правая
к
Н.Ф. Шемяков
14
0 в формуле (8) его левая часть стремится к
.
0
Следовательно,

diVE
.
(10)
0
Формула (10) выражает теорему Гаусса в дифференциальной форме.
Запись формул и действия с ними упрощаются при введении
векторного дифференциального оператора



i
j
k ,
(11)
x
y
z
  
где i , j , k единичные векторы осей Х, У, Z соответственно.
Векторный дифференциальный оператор
приобретает вполне
определенный смысл только в сочетании со скалярной или векторной
функцией, на которую символически умножается, т. е. теорему Гаусса в
дифференциальной форме


Ey
Ex
Ez
E
diVE =
(12)
x
y
z
0
Теорема Гаусса является локальной, т. е. дивергенция поля E в заданной
точке этого поля зависит только от объемной плотности электрического
заряда.
3. Применение теоремы Гаусса.
3.1. Электрическое поле равномерно заряженной плоскости
Пусть бесконечная плоскость равномерно заряжена с поверхностной
плотностью заряда + .
Из свойств симметрии заряженной плоскости следует, что вектор
напряженности
электрического
поля,
созданного
этой
плоскостью,
всюду
перпендикулярен ей.
В симметричных точках этого поля
E
вектор
равен
по
модулю
и
противоположен по направлению. В связи с
этим в качестве замкнутой поверхности
можно выбрать цилиндрическую (рис. 3).
Полный поток вектора E пронизывающий
Рис. 3
Фе = 2ЕS.
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
15
Согласно теореме Гаусса


E dSn
Фe
1
N
0 i 1
S
где
qi ,
n
q
i 1
Таким образом,
2 ES
qi
S.
S
0
или
E
где Еn
En

2
,
0
проекция вектора E на нормаль n ( E
(13)

n , рис. 3).
Если
0, то Еn
0, т. е. вектор E направлен от заряженной
плоскости (линии напряженности начинаются на положительных зарядах).
Если
0, то Еn 0, т. е. вектор форме направлен к заряженной
плоскости (линии напряженности оканчиваются на отрицательных зарядах).
Согласно (13) напряженность электростатического поля, созданного
равномерно заряженной бесконечной плоскостью, не зависит от расстояния
до нее, а поле является однородным справа и слева от плоскости.
3.2. Напряженность электростатического поля двух
разноименно заряженных бесконечно
протяженных плоскостей
Пусть две параллельные бесконечно протяженные плоскости заряжены
равномерно с поверхностной плотностью заряда = +
=
.
Результирующую напряженность электрического поля в этом случае
можно найти, используя принцип суперпозиции
полей, созданных каждой из заряженных
плоскостей в отдельности (рис. 4), где линии
напряженности с двумя стрелками соответствуют
полю положительно заряженной плоскости, а с
одной стрелкой полю отрицательно заряженной
плоскости. В соответствии с рис. 4 слева и справа
от плоскостей электрическое поле равно нулю (Е +
= Е = 0).
Рис. 4
Между плоскостями линии напряженности
направлены в одну сторону, следовательно, с учетом (13) имеем
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
16
E
En
.
(14)
0
Таким образом, электрическое поле между заряженными разноименно
бесконечно протяженными плоскостями однородно, за исключением краевых
эффектов. Если размеры плоскостей (пластин) много больше расстояния
между ними, то полученный результат остается справедливым и для пластин
конечных размеров (плоский конденсатор).
3.3. Поле равномерно заряженной сферической
поверхности
Пусть сферическая поверхность радиуса R заряжена равномерно с
поверхностной плотностью заряда + . Электрическое поле заряженной
сферы
центрально симметричное. Силовые линии напряженности E
направлены от поверхности на продолжение радиусов, а
модуль вектора E должен зависеть только от расстояния r
до поверхности сферы. В качестве замкнутой поверхности
проще всего использовать концентрическую сферу
радиуса r, проходящую через ту точку электрического
поля, в которой требуется определить напряженность
этого поля.
Рассмотрим три случая:
Рис. 5
а) r R.
Внутри сферы зарядов нет. Все заряды расположены на внешней
поверхности сферы, т. е. в любой точке внутри сферы Е = 0 (рис. 5);
б) r R (рис. 6).
В качестве замкнутой поверхности возьмем концентрическую сферу
радиуса r . Найдем напряженность поля, например, в т. Б;

Поток вектора E , т. е. Фе = Е Sr (Е = Еn, E n ),
где Sr = 4 r2 площадь сферической поверхности радиуса r.
Согласно теореме Гаусса поток вектора E

1 N

Фe
E dSn
qi ,
i 1
0
S
или
1 N
Фe
n
Рис. 6
где
q
i 1
qi
0i 1
qi
S ;
R
Электричество и магнетизм
SR = 4 R2
Н.Ф. Шемяков
17
площадь сферической поверхности радиуса R.
Таким образом,
E 4 R2
4 r2
0
Следовательно,
E
0
Рис. 7
R
r
2
.
(15)
Если в формуле (15) поверхностную
плотность заряда , заменить на заряд q,
q
q
т. е.
,
SR 4 R 2
то
q
E
.
4 0r2
Вывод: на любом расстоянии r от заряженной сферы напряженность
электрического поля можно найти по формуле напряженности точечного
заряда, если весь заряд сферы сосредоточить в ее центре (т. 0);
в) r = R. В этом случае нужно в формуле (15) вместо r запишем R,
E
тогда
En
q
E
или
0
.
4 0 R2
График изменения напряженности электрического поля заряженной
сферической поверхности от расстояния r приведен на рис. 7.
4. Работа перемещения заряда в электростатическом поле
Поместим пробный, положительный точечный заряд в неоднородное
электрическое поле. Будем его перемещать из положения 1 в 2 (рис. 8).
Весь путь 1
2 представим в виде
малых элементов d , в пределах которых
электрическое
поле
можно
считать
однородным ( d  i d ).
Из механики известно, что работа силы
2
F d
A
Fd cos
F dr ,
(15а)
где dr = d сos ; r1 и r2
радиус векторы
начального 1 и конечного 2 перемещений.
На пробный заряд q0 в электростатическом
1
Рис. 8
r2
2
1
r1
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
18
поле действует кулоновская сила
F = q0E, где Е напряженность поля,
созданного, например, точечным, положительным зарядом q, т. е.
E
q
4
o
r2
r 2 . Тогда работа
A
r2
Fdr
r1
После интегрирования имеем A
r1
q 0 Edr или
q qo
4 o
1
r
r2
r1
A
q qo
4 o
q qo 1
4 o r1
r2
r1
dr
r2 .
1
. (16)
r2
Знак работы зависит от знака зарядов q и q0 и величин r1 и r2.
Из (15) следует, что работа на конечном участке 1 2 произвольного
пути перемещения заряда q0 не зависит от формы пути (траектории), а
зависит только от координат начального 1 и конечного 2 перемещений (от
радиус векторов)
Следовательно, кулоновская сила является консервативной
(потенциальной), т. е.
электростатическое поле является центральносимметричным и потенциальным. Работа сил потенциального поля равна
убыли потенциальной энергии, т. е.
А = Wp1 Wp2 .
(17)
Из (16) и (17) следует, что потенциальная энергия взаимодействия
зарядов q и q0 может быть записана в виде
q qo
Wp
C,
4 or
где С
постоянная, значение которой выбирается таким, чтобы при
удалении пробного заряда в бесконечность (при r
) потенциальная
энергия обращалась в нуль (Wр = 0). Таким образом,
q qo
(18)
Wp
.
4 or
Если электрическое поле создано системой зарядов q1, q2, ... , qn, то
полная работа по перемещению в вакууме пробного точечного заряда равна
алгебраической сумме работ сил, совершающих перемещение каждого заряда
в отдельности:
n
qq 0 1
1
A
Ai
,
(19)
4
r
r
i1
i2
0
i 1
где ri1, ri2 расстояния от заряда qi до начального и конечного положений
пробного заряда qo.
Следовательно, потенциальная энергия заряда qo в поле системы
зарядов
n
Wp
i 1
qi qo
.
4 o ri
(20)
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
19
5. Циркуляция вектора E
Электростатическое поле является консервативным (потенциальным),
следовательно, работа кулоновских сил на замкнутой траектории должна
равняться нулю. Действительно, из формулы (16) следует, что работа на
замкнутой траектории равна нулю, так как r1 = r2.
Если в качестве пробного заряда, переносимого из 1 в 2 данного
электростатического поля E , взять единичный, положительный заряд
(например, в СИ, qo= +1 Кл), то элементарная работа консервативных
кулоновских сил поля при перемещении его на малый отрезок d
 


A E d  Ed cos E, d 
E  d.
(21)
Полная работа на всем пути 1 2
2
A
 
E d .
(22)
1
Циркуляцией вектора E по произвольному замкнутому пути L
 
E d  . Так как на замкнутой траектории работа
называют интеграл
L
консервативных кулоновских сил равна нулю, то циркуляция вектора E
электростатического поля равна нулю, т. е.
 
E d
0.
(23)
L
Это положение называют теоремой о циркуляции вектора E .
Замечание: справедливо и обратное утверждение: если циркуляция
вектора E электростатического поля равна нулю, то такое поле является
потенциальным.
6. Потенциал электрического поля
Если в одну и ту же точку данного электростатического поля помещать
пробные заряды, например, кратные q0:
qо1 = qo, qo2 = 2qo, ... , qon= nqo,
то они будут характеризоваться различным значением потенциальной
энергии:
Wp1= Wp, Wp2 = 2Wp, ... , Wpn= nWp.
Отношение потенциальной энергии к соответствующей величине
пробного заряда всегда будет величиной постоянной, т. е.
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
20
Wp1
Wp2
...
Wpn
const ,
(24)
q o1
q o2
q on
называют потенциалом электростатического поля в данной
Величину
точке.
Таким образом, для описания электростатического поля, кроме силовой
характеристики
напряженности вектора E , используют скалярную
энергетическую характеристику этого поля потенциал .
Используя формулу (18), найдем потенциал электростатического поля
точечного заряда q на расстоянии r от него в СИ:
q
.
(25)
4 or
Если среда, окружающая заряд безграничный диэлектрик с
проницаемостью , то потенциал электростатического поля точечного заряда
q на расстоянии r
q
.
(26)
4 o r
Если электростатическое поле создано системой точечных зарядов:
q1, q2, ... , qn,
то на основании (18):
потенциал результирующего поля равен алгебраической сумме
потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности,
т. е.
n
i 14
qi
o ri
.
(27)
Из (25) следует, что заряд q0, находящийся в произвольной точке
электростатического поля с потенциалом , характеризуется потенциальной
энергией
Wp = q0 .
(28)
Физический смысл имеет не сам потенциал поля, а разность
потенциалов, поэтому работа сил этого поля над зарядом qo записывается в
виде
А= Wp1 Wp2 = q0( 1
(29)
2),
где 1 и 2 потенциалы электрического поля E начальной и конечной точек
перемещения пробного заряда.
Если заряд q0 из точки с потенциалом удаляется на бесконечность,
где потенциал равен нулю ( = 0) или перемещается из бесконечности в
данную точку поля, то
А = q0 .
(30)
В СИ за единицу потенциала принят вольт (В).
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
21
7. Связь между Е и
Электрическое поле полностью описывается векторной функцией
Е ( r ) . В этом случае можно найти силу, действующую на пробный заряд в
любой точке поля, и вычислить работу поля при любом перемещении
пробного заряда.
Но электрическое поле также характеризуется и потенциалом
r .
Следовательно, между ними существует связь. Действительно,
согласно (21) и (29), для единичного, положительного заряда (qo= +1 Кл)
имеем
2
1
2
 
E d .
(31)
1
Формула (31) остается справедливой
не только для конечных, но и для

элементарных перемещений
d  , т. е.
d
 
E d
d
.
d
E
или
E  d
(32)

d  равна со
Следовательно, проекция вектора Е ( r ) на направление
знаком минус первой производной
потенциала по данному направлению.

 

d  = i dx, где i
Если перемещение d  параллельно оси Х, то
единичный вектор оси Х; dx приращение координаты х. Исходя из этого,
получим


( E d  ) = E i dx = Exdx,
где Ех проекция вектора E на ось Х.
Значит, с учетом (1.55) последнее выражение запишем в виде
Ex
x
,
(33)
где символ частной производной
свидетельствует о том, что функцию
x

r = (х, у, z) необходимо дифференцировать только по х, считая у, и z
постоянными.
Аналогично можно найти выражения для проекций Е у и Еz, т. е.
Ex
x
, Ey
у
, Ez
z
.
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
22
Зная проекции вектора E на оси
вектор,
координат можно найти и сам
E
(34)
i
j
k .
x
x
x
В формуле (34) выражение в скобках является градиентом потенциала
(grad или
). Таким образом,
E=
grad
=
.
(35)
Знак « » означает, что вектор E направлен в сторону убывания
потенциала;
векторный оператор «набла».
8. Эквипотенциальные поверхности
Рис. 9
Для графического изображения потенциала
электростатического поля используют линии
равного
потенциала
(эквипотенциальные
поверхности).
Поверхность,
геометрическое
место
точек которой имеют одинаковый потенциал,
называют эквипотенциальной.
При перемещении по эквипотенциальной
поверхности на произвольный отрезок d
потенциал остается неизменным (d = 0).
Тогда касательная составляющая вектора E к поверхности равна нулю
( E  = 0). Следовательно, вектор E в каждой точке направлен по нормали к
эквипотенциальной поверхности. Действительно, будем перемещать
пробный заряд q0 вдоль эквипотенциальной поверхности из точки 1 в точку
2 (рис. 9). Допустим, что вектор E направлен произвольно к поверхности
под углом . При перемещении пробного заряда в электрическом поле
должна совершаться работа. Используя формулы, (15а) и (29) получаем
q o Ed cos
q od
0 , так как = const.
Из последнего выражения следует, что cos = 0 при = 90о. Следовательно,
вектор E перпендикулярен касательной к эквипотенциальной поверхности в
данной точке.
Таким образом, линии напряженности проводятся всегда
перпендикулярно эквипотенциальной поверхности (рис. 10). Если
эквипотенциальные поверхности проводить так, чтобы разность потенциалов
для любых соседних поверхностей была всюду одна и та же ( 1
2 =1 В), то
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
23
по густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине
напряженности электрического поля.
Существует несколько примеров, убедительно
свидельствующие о том, что потенциал
важная
физическая характеристика и широко используется не
только в физике, но и технике.

Зная функцию
r , можно довольно просто
вычислить работу сил поля при перемещении
точечного заряда q0 из состояния 1 в 2 .
Следовательно,
работа
равна
убыли
потенциальной энергии пробного заряда в поле при
Рис. 10
перемещении из 1 в 2.
Расчет работы не только проще, но и в некоторых случаях является
единственно возможным.
В некоторых задачах для нахождения напряженности электрического
поля E сначала проще определить потенциал
, а затем взять градиент от
него и найти E , так как для вычисления потенциала нужно взять один
интеграл, а для вычисления E три.
И еще, обычно интегралы для определения потенциала много проще,
чем для определения Ех, Еу, Еz.
Лекция 3
1. Проводник в электрическом поле
К проводникам относятся все металлы, их сплавы, электролиты и
плазма. В металлах носителями зарядов являются квазисвободные электроны
проводимости. В электролитах положительные и отрицательные, ионы.
В плазме ионы и свободные электроны.
Например, кристаллическую решетку некоторых металлов образуют
положительно ионы, в пространстве, между которыми хаотически движутся
отрицательно заряженные электроны. Суммарный заряд незаряженного
проводника равен нулю. Концентрация электронов в 1 м3, например, меди
составляет 8,5 1028 м3.Положительно заряженные атомные ядра и электроны
возбуждают в веществе (в том числе и в проводниках) электромагнитное
поле, которое изменяется сложным образом в пространстве и времени.
Такое поле называют микрополем (Емикро). Задание микроскопических
величин в каждой точке пространства и в любой момент времени дало бы
истинное описание поля.
Электричество и магнетизм
24
Н.Ф. Шемяков
Но практически это не осуществимо, так как нет пробного заряда с
зарядом меньше заряда электрона.
Внесение электрона искажает микро
поле, так как электрон сам
участвует в создании этого поля.
Классическая физика допускает, исходя из представлений о микрополе,
возможность использования уравнения для
описания макроскопических процессов в веществе
(макроскопические уравнения электродинамики).
В связи с этим под электрическим полем в
веществе (макрополе) понимают пространственное
усреднение микрополей по физически бесконечно
малому объему, содержащее большое число
атомов (микрочастиц), т. е.
1
E
E мик р о dV .
VV
Следовательно, электрическое поле в
Рис. 1
веществе Е = Емакро= Емикро .
Внесем проводник во внешнее электрическое
поле (рис. 1). Под действием внешнего электрического поля электроны будут
перемещаться против поля, создавая избыточный отрицательный заряд на
левой
поверхности
проводника.
Справа
останется
избыточный
положительный заряд.
Внутри проводника возникнет собственное электрическое поле E о.
Вектор напряженности
собственного электрического поля
Eо
противоположно направлен вектору напряженности
внешнего
E
электрического поля. Электроны в проводнике будут перемещаться до тех
пор, пока напряженность результирующего поля не станет равной нулю(
Е Е Е 0 = 0, Е=Е0).
Следовательно, при внесении проводника в электрическое поле, внутри
проводника поле отсутствует, и нет избыточных зарядов.
Таким образом, влияние вещества на внешнее электрическое поле
приводит к возникновению индуцированных зарядов в веществе, создаюшие
дополнительное электрическое поле. Полное поле есть суперпозиция
электрических полей, возбуждающими всеми первичными
и
индуцированными зарядами.
Явление возникновения индуцированных зарядов на поверхности
проводника во внешнем электрическом поле называют электризацией через
влияние или электростатической индукцией. Согласно (1.47) отсутствие поля
внутри проводника означает, что потенциал в проводнике одинаков во всех
его точках.
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
25
Следовательно, любой проводник в электростатическом поле
представляет собой эквипотенциальный объем, а его поверхность является
эквипотенциальной. Поэтому непосредственно у этой поверхности вектор
напряженности электрического поля направлен по нормали к ней в каждой ее
точке. На рис. 1 сплошные линии
силовые линии напряженности,
пунктирные
линии пересечения эквипотенциальных поверхностей с
плоскостью рисунка (линии равного потенциала).
2. Граничные условия проводник вакуум
Найдем напряженность электростатического поля вблизи поверхности
заряженного проводника.
Напряженность поля вблизи поверхности заряженного проводника
связана с локальной плотностью заряда на его поверхности, что
устанавливается с помощью теоремы Гаусса.
Замечание: Напряженность поля определяется всеми зарядами
проводника, которые распределены с поверхностной плотностью заряда .
Рассмотрим участок поверхности заряженного проводника, который
граничит с вакуумом (рис. 2). Линии напряженности электрического поля
перпендикулярны поверхности проводника.
В качестве замкнутой поверхности можно использовать малый
цилиндр (рис. 2).
Поток вектора E через эту поверхность равен только потоку сквозь
внешнее основание цилиндра (потоки вектора E через нижнее основание,
находящееся внутри проводника и боковую поверхность равны нулю).
По определению потока
Фэ = Еn S.
По теореме Гаусса
n
qi
S
Фэ
,
i 1
o
o
где
локальная поверхностная плотность
заряда проводника;
Еn
проекция вектора напряженности на
Рис. 2
нормаль;
S площадь основания цилиндра.
Из последних равенств получаем, что нормальная составляющая
напряженности электрического поля на границе проводник вакуум
En
.
o
(1)
Электричество и магнетизм
26
Н.Ф. Шемяков
3. Замкнутая проводящая оболочка
В состоянии равновесия избыточных зарядов внутри сплошного
проводника нет. Такое состояние сохраняется, если удалить внутреннюю
часть проводника, т. е. образуется замкнутая полость. Если внутри полости
нет зарядов, то электрическое поле в ней отсутствует. Заряд проводника
всегда располагается на его внешней поверхности и не создает в полости
электрического поля. Это явление было тщательно изучено Фарадеем и
получило название электростатического экранирования. Для защиты, от
влияния внешних постоянных и переменных электрических полей,
измерительных приборов, блоков теле-, радиоаппаратуры и т. д., их
окружают густой проводящей сеткой. Поместим внутри замкнутой полости
произвольное число
зарядов. Пусть внешнее пространство, окружающее
проводник с полостью заполнено проводящей
средой. Электрическое поле в ней при равновесии
равно нулю, т. е. среда электрически нейтральна и не
содержит избыточных зарядов. Поскольку всюду
внутри проводника электрическое поле отсутствует
(Е = 0), то поток вектора Фэ сквозь произвольную
замкнутую поверхность, окружающую полость,
также равен нулю.
Рис. 3
Следовательно, согласно теореме Гаусса,
алгебраическая сумма зарядов внутри полости равна нулю.
Поэтому алгебраическая сумма индуцированных зарядов на внешней
поверхности полости равна по модулю алгебраической сумме зарядов внутри
этой полости. В состоянии равновесия, индуцированные заряды на
внутренней поверхности полости располагаются таким образом, чтобы
полностью компенсировать вне полости электрическое поле, созданное
зарядами находящимися внутри полости (рис. 3). В связи с тем, что
проводящая среда, окружающая полость, всюду электрически нейтральна,
то она никак не влияет на электрическое поле.
Следовательно, ее можно удалить, сохранив только проводящую
оболочку вокруг полости.
Вывод: электрическое поле зарядов внутри замкнутой проводящей
оболочки и зарядов, индуцированных на внутренней поверхности полости,
равно нулю в каждой точке окружающего внешнего пространства.
Любое перемещение зарядов внутри оболочки не вызывает изменений
электрического поля во внешнем пространстве, т. е. распределение зарядов
на наружной поверхности оболочки не нарушится. Это относится и к
электрическому полю внутри полости (при наличии зарядов) и к
распределению зарядов на внутренней поверхности полости, если менять
Электричество и магнетизм
27
Н.Ф. Шемяков
конфигурацию зарядов вне оболочки. Это положение справедливо только для
электростатических полей. Совокупность явлений, связанных с
индуцированием зарядов в веществах, при внесении их во внешнее
электрическое поле, называют теоремой Фарадея. Рассмотренные явления
позволяют зарядить проводники электризацией через влияние, т. е. не касаясь
поверхности проводника заряженным телом.
Например, незаряженный проводник, состоящий из двух частей В 1 и
В2, приблизить к положительно заряженному проводнику А, то слева
индуцируется отрицательный избыточный заряд, а справа положительный
(рис. 4, а). Не удаляя тело А, разъединим В1 и В2. На
теле В1 останется избыточный отрицательный заряд,
а на В2 избыточный положительный заряд (рис. 4,
б). Если заряженное тело А привести в
соприкосновение с таким же по размерам не
заряженным телом Б, то половина заряда с тела А
перейдет на тело Б пока их потенциалы не станут
равными, что имеет решающее значение для
объяснения существования тока в проводниках. В
результате тела будут отталкиваться друг от друга
(рис. 5, а, б). Однако, если тело Б представляет
собой, например, пустотелый шар, а заряд с тела А
Рис. 4
переносится с помощью пробника с изолирующей
ручкой на тело Б (рис. 6), но касаясь его внутренней
поверхности, то в этом случае весь заряд с
пробника полностью перейдет на внешнюю
поверхность тела Б. Для измерения потенциала и
заряда
(поверхностной
плотности
заряда)
используют электрометр (рис. 6). Он состоит из
цилиндрического
металлического
корпуса,
основания которого закрыты стеклом. Корпус
заземляют во время проведения опыта. Внутрь
введен металлический стержень, изолированный от
Рис. 5
корпуса. На нижнем его конце укреплена легкая,
подвижная металлическая стрелка.
На верхний конец стержня можно надевать съемные металлические
проводники различной формы и размеров. При сообщении стержню заряда
стрелка отклоняется от стержня тем сильнее, чем больше возникающая
разность потенциалов между стрелкой и заземленным корпусом
электрометра. Перед измерением электрометр градуируют. Такие
электрометры позволяют измерять разность потенциалов до 1,5 104 В. Для
измерений разности потенциалов до 105 В,
используют струнные и
абсолютные электрометры.
Электричество и магнетизм
28
Н.Ф. Шемяков
Передача проводнику полного заряда с
пробника нашла применение в генераторе Ванде-Граафа (рис. 7), позволяющем получать
электрические поля напряженностью до 107 В .
м
В этом случае используют два генератора:
один заряжают положительно, другой
отрицательно.
Электрические поля применяется для
ускорения электронов и ионов. В электростатическом генераторе для переноса электриРис. 6
ческих зарядов используется диэлектрический
транспортер в виде гибкой бесконечной ленты. С
помощью пластин или щеток заряд с ленты
переносится
на
внутреннюю
поверхность
сферического проводника диаметром 2 м.
Дальнейшее увеличение электрического поля
генератора невозможно из за пробоя воздуха.
Явления, связанные с электризацией, часто
встречаются в природе.
Например, огни святого Эльма; свечение
Анд
красно-сине фиолетовое свечение с
характерным
треском;
коронный
разряд,
наблюдается во время грозы на морских судах при
стекании зарядов с высоких остроконечных
предметов при пробое воздуха (мачт, антенн,
крыльев самолетов и т. д.).
Стекание
зарядов
с
остроконечных
предметов можно наблюдать на ряде опытов:
Рис. 7
вращение легкого цилиндра, колесо Франклина
стекание зарядов с остриев (электрический ветер) приводит во вращение
легкий крест из металлических проволочек. Вращение креста происходит
потому, что воздух вблизи ее острия ионизирован.
В сильном электрическом поле, образовавшиеся ионы и острия
оказываются заряженными одинаково и отталкиваются.
Для защиты зданий от гроз используют молниеотводы
высокие
металлические заземленные мачты. Мощные грозовые явления в атмосфере
Земли заряжают ее отрицательным зарядом.
Атмосферное электричество изучали Ломоносов, Франклин, Рихман
(погиб во время эксперимента) и др. Иногда грозы сопровождаются
образованием шаровых молний.
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
29
4. Уравнения Пуассона и Лапласа
Общая задача электростатики заключается в том, что если неизвестно
распределение зарядов, но известны потенциалы проводников, их
относительное расположение и форма, то можно определить потенциал в
любой точке электростатического поля между проводниками. Зная потенциал
, можно найти напряженность поля E , что даст возможность указать
распределение поверхностных зарядов проводников.
Для
нахождения
дифференциального
уравнения,
которому
удовлетворяет функция
потенциал, воспользуемся дифференциальной
формой теоремы гаусса.
Решив совместно эти уравнения, получим общее дифференциальное
уравнение Пуассона уравнение для потенциала в виде
2
где
2
в виде
,
(2)
o
оператор Лапласа, который в декартовых координатах записывается
2
2
2
2
2
2
2
.
x
y
z
При отсутствии зарядов между проводниками уравнение Пуассона
переходит в уравнение Лапласа, т. е.
2
= 0.
(3)
Уравнения Пуассона и Лапласа позволяют решить общую задачу
электростатики, решение которой является единственным (теорема
единственности).
5. Зеркальное изображение электрических полей
Пусть положительный точечный заряд +q находится на расстоянии r от
безграничной проводящей незаряженной плоскости. Этот заряд индуцирует
на бесконечной проводящей плоскости заряд противоположного знака (рис.
8), где сплошными линиями показаны линии напряженности
электростатического поля. Сама проводящая плоскость является
эквипотенциальной с
= 0. Метод электрического (зеркального)
изображения основан на том, что замена любой эквипотенциальной
поверхности электрического поля бесконечной проводящей плоскости с тем
же потенциалом не вызывает изменения этого поля. Если на расстоянии,
равном расстоянию заряда +q, от плоскости слева поместить «фиктивный»
отрицательный
точечный заряд q*= q [он является «зеркальным»
отражением заряда +q относительно плоскости], то картина линий
напряженности слева от плоскости зеркально совпадет с линиями
напряженности действительного электрического поля справа.
Электричество и магнетизм
30
Н.Ф. Шемяков
В этом случае вектор напряженности результирующего поля зарядов
+q и q во всех точках плоскости будет перпендикулярен ей (картина линий
напряженности точно такая же, как и для
электрического поля, созданного системой
двух
равных
по
величине,
но
противоположных по знаку точечных
зарядов).
Следовательно, электрическое поле
справа от плоскости определяется только
зарядами +q и q.
Сила притяжения заряда +q
к
проводящей плоскости равна кулоновской
силе, которая действует между зарядами
+q и q по закону Кулона,
( q
Рис. 8
зеркальное изображение заряда +q), где
расстояние между зарядами равно удвоенному расстоянию, т. е. 2r.
Замечание:
Теорема о равновесии зарядов. Приведем без доказательства теорему
о равновесии зарядов (теорема Ирншоу):
Любая равновесная конфигурация неподвижных точечных зарядов
неустойчива, если на заряды не действуют другие силы, кроме кулоновских.
6. Электрическая емкость проводников
Рассмотрим проводник, изолированный от влияния других
проводников и заряженных тел. При сообщении заряда q проводнику
возникает потенциал, пропорциональный этому заряду (
q). Опыт
показывает, что отношение заряда проводника к его потенциалу уже не
зависит ни от заряда, ни от потенциала, является для данного проводника
величиной постоянной, которую называют электрической емкостью
проводника С (емкостью), т. е.
С=q/
(4)
Найдем емкость проводящего шара радиуса R.
Потенциал на поверхности заряженного шара можно найти т. е.
 
q
E d
E r dr , где E E r
напряженность поля
2
4
r
R
R
0
заряженной сферы (при r = R);
= 0.
После интегрирования получим
q
4 oR
(5)
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
31
q
или при наличии диэлектрика
,
(6)
4 o R
когда окружающая шар диэлектрическая среда характеризуется
диэлектрической проницаемостью . После подстановки вместо потенциала
его значение [формула (6)] в (5) имеем
С = 4 о R.
(7)
Следовательно, емкость проводника зависит только от размеров и
формы, диэлектрической проницаемости окружающей среды и наличия
вблизи других проводников. В СИ емкость измеряют в фарад: (1 мкФ = 10 6
Ф;
1 пФ = 10 12 Ф). Например, электроемкость Земного шара, С 0,7 мкФ.
7. Конденсаторы
Если вблизи заряженного проводника
находятся другие проводники, то емкость его
будет увеличиваться, так как электрическое поле
вызывает появление на других проводниках
индуцированных зарядов. Например, если заряд
Рис. 9
проводника положительный, то отрицательные
индуцированные заряды на других телах
располагаются ближе к проводнику, что приведет к уменьшению потенциала
данного проводника, а емкость увеличится. Систему двух разноименно
заряженных плоскостей (обкладок) называют плоским конденсатором
(рис.9).
Их заряды равны по абсолютной величине ( +q = q = q).
Если расстояние между обкладками много меньше их размеров, то
электрическое поле является практически однородным и сосредоточено
между обкладками. Вне конденсатора поле практически равно нулю.
Основной характеристикой конденсатора является электрическая
q
C
емкость
,
(8)
где
разность потенциалов между его обкладками.
Напряженность электрического поля между его обкладками
E
,
(9)
o
где q = S; где
поверхностная плотность заряда на обкладках
конденсатора; S площадь его обкладок.
Используя связь напряженности с разностью потенциалов, в виде
=
Еd. После подстановки q, E и
получим
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
32
C
Если
пространство
между
диэлектриком с проницаемостью
oS
.
d
обкладками
, то
(10)
конденсатора заполнено
o S
.
C
d
(11)
Анализ формулы (11) показывает, что емкость плоского конденсатора
зависит только от размеров обкладок, расстояния между ними и
диэлектрической проницаемости вещества между
обкладками. Кроме плоского конденсатора, на
практике
используют
сферический
и
цилиндрический конденсаторы. Найдем емкость
сферического конденсатора, который представляет
собой систему двух концентрических сфер с общим
центром. Пусть радиусы внешней и внутренней
сфер (обкладок) соответственно равны R2 и R1 (рис.
10). Если внутренняя обкладка конденсатора
заряжена положительно, а внешняя отрицательно,
Рис. 10
то электрическое поле создается
вне сферы.
Поэтому результирующее поле вне конденсатора равно нулю. В
пространстве между обкладками поле создается только зарядом внутренней
обкладки.
Применяя теорему Гаусса, найдем напряженность поля между
сферическими обкладками конденсатора по формуле
q
E
, где q заряд конденсатора.
4 o r2
Используя последнее выражение где d = dr, найдем разность
потенциалов между обкладками сферического конденсатора:
R2
q
1
1
.
E r dr
4 o R1 R 2
R1
Рис. 11
Cледовательно,
емкость
сферического
конденсатора, с учетом того, что пространство между
обкладками заполнено диэлектрической средой с
R1R 2
проницаемостью : C 4 o
.
(12)
R 2 R1
Найдем емкость цилиндрического конденсатора,
представляющего собой систему двух цилиндров,
вставленных один в другой с общей осью.
Проводя аналогичные рассуждения, как и в
случае со сферическим конденсатором, получим
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
33
C
2
o
h
,
(13)
R2
n
R1
где h
высота образующей цилиндрического конденсатора;
диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между
обкладками цилиндрического конденсатора; о электрическая постоянная;
R2 и R1 радиусы основания внешней и внутренней его цилиндрических
обкладок (рис. 11).
8. Емкостные коэффициенты
Решения задачи о нахождении электрических полей в системе N
статических заряженных проводников упрощаются, если воспользоваться
следующим свойством: заряды проводников являются линейными,
однородными функциями их потенциалов, а потенциалы
линейными,
однородными функциями зарядов.
Коэффициенты этих линейных зависимостей называют емкостными
коэффициентами, которые определяются размерами, формой и взаимным
расположением проводников. Если пространство между проводниками
заполнено однородным диэлектриком, в котором нет свободных зарядов, то
емкостные коэффициенты прямо пропорциональны его диэлектрической
проницаемости. Согласно линейности и однородности уравнений
электростатики (например, уравнение Лапласа) аналитически это свойство
записывается в виде
N
qi
C ij
j
,
(14)
j 1
где qi
заряд i-го проводника; j
потенциал j-го проводника; Сij
емкостные коэффициенты ( индексы i, j = 1, 2, ... , N).
В свою очередь, емкостные коэффициенты характеризуются
следующими свойствами: 1) Сij = Сji; 2) Сii 0 для всех i. Действительно,
емкостные коэффициенты Сij с одинаковыми индексами (I = j)
положительны. Заземлим все проводники, кроме i -го и j - го, тогда qi = Cii i.
Но величины qi и i имеют одинаковые знаки.
Следовательно, Сii
0. 3) Сij
0, если I
j, т. е. емкостные
коэффициенты с различными индексами
отрицательны. Действительно,
заземлим все проводники, кроме i -го и j- го. Сообщим i -му проводнику
положительный заряд (qi 0), а j-й
останется не заряженным (qj=0),а
потенциалы i и j будут положительными. Причем qj = Сji I + Cjj j = 0, что
возможно, если Сji 0. Во всех случаях потенциал поля в бесконечности
равен нулю. Если число проводников (обкладок конденсатора) равно двум,
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
34
то
q1 = C11 1 + C12 2,
q2 = C21 1 + C22 2,
где +q = q = q.
Решая уравнения (14) относительно
потенциалов и емкость конденсатора:
C 11 C 22
C
C 11 C 12
1
и
2,
(15)
находим разность
C 12 C 21
.
C 21 C 22
(16)
9. Соединение конденсаторов в батарею
Для изменения емкости конденсаторов их соединяют в батарею.
Различают последовательное, параллельное и смешанное соединения.
9.1.
Последовательное соединение конденсаторов
Все
внутренние
Рис. 12
обкладки
при последовательном соединении
электризуются через влияние. Их заряды
равны по величине, но противоположны
по знаку ( +q = q = q; рис. 12).
Следовательно, заряды на всех
конденсаторах при последовательном их
соединении равны, а потенциалы
складываются, т. е.
= 1 2 = 1 + 2 + ... + n,
q
Но
,
C
q
q
q
где
.
,
, ... ,
1 C
2 C
n C
1
2
n
1
1
1
1
Следовательно,
.
(17)
...
C
C
C
C
1
2
n
9.2.
Параллельное
конденсаторов
Рис. 13
соединение
При
параллельном
соединении
все
конденсаторы
имеют
постоянную
разность
потенциалов
= сonst. Полный заряд батареи
1
2
конденсаторов (рис. 1.31): q = q1 + q2 +...+ qn
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
35
По определению емкость батареи конденсаторов
q
,
C
1
где
q1
C
1
1
,C
2
q
2
1
2
2
,..., C
2
q
n
1
n
.
2
Следовательно,
С = С1 + С2 + ... + Сn.
(18)
10. Энергия электрического поля
10.1. Энергия взаимодействия электрических зарядов
Известно, что
т. е.
dW12 =
A12. Для системы из трех зарядов
dW = d(W12 + W13 + W23)=
A,
W = W12 + W13 + W23 .
(19)
Это положение остается справедливым и для произвольной системы
точечных зарядов. Для нахождения энергии взаимодействия системы N
точечных зарядов формулу (19) представим в виде
1
Wij
Wij Wji , где Wij = Wji.
2
1
1 N
Следовательно,
W
W1 W2 ... WN
Wi ,
2
2i 1
где Wi энергия взаимодействия i-го заряда с остальными зарядами.
Известно, что Wi = qi i, где qi
i-й заряд системы; i
результирующий потенциал, создаваемый всеми остальными зарядами
системы вместе нахождения заряда qi. Таким образом,
1 N
W
qi i .
(20)
2i 1
10.2. Полная энергия системы зарядов
Если заряды распределены по объему с объемной плотностью заряда ,
то систему зарядов можно представить как совокупность элементарных
зарядов dq = dV, т. е. dW = dq =
dV.
С учетом этого формула (20) после интегрирования принимает вид
1
W
dV ,
(21)
2V
где
потенциал, созданный всеми зарядами в элементарном объеме dV.
Электричество и магнетизм
36
Н.Ф. Шемяков
Если заряды распределены с поверхностной плотностью заряда , то
1
W
dS .
(22)
2S
Формулы (21) и (22) позволяют найти полную энергию системы, а
формула (20)
только собственную энергию заряда. Действительно,
согласно (21),
W = W1 + W2 + W12, где W1 , W2
собственные энергии
заряда q1 и q2 ; W12 энергия взаимодействия этих зарядов.
10.3. Энергия системы заряженных проводников
Используя формулу (21) найдем энергию изолированного
(уединенного) проводника. Если проводник имеет заряд q и потенциал =
сonst во всех точках, где распределен заряд, то
q
1
q2 C 2
.
(23)
W
dV
2 V
2 2C
2
Так как для плоского конденсатора (два заряженных проводника)
q=C ,
то
q
q2 C 2
W
,
(24)
2
2C
2
где +q = q = q;
разность потенциалов между положительно и
отрицательно заряженными обкладками конденсатора; W полная энергия
взаимодействия не только зарядов одной обкладки с зарядами другой, но и
энергия взаимодействия зарядов внутри каждой из обкладок.
Формула (24) остается справедливой и при наличии диэлектрика между
обкладками конденсатора.
Если использовать емкостные коэффициенты, то
1
1
W
C11 12
C 22 22 C12 1 2 .
(25)
2
2
10.4. Энергия электрического поля
Для нахождения энергии мы использовали только заряды и
потенциалы. Основной характеристикой электрического поля является
вектор напряженности E . Тогда энергию электрического поля между
обкладками плоского конденсатора можно найти, преобразуя формулу (23) с
oS
C
учетом того, что
= Еd;
.
d
После подстановки получим
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
37
W
oE
2
(26)
V.
2
С учетом диэлектрика между обкладками конденсатора
2
o E
(27)
W
V.
2
Известно, что электрическое поле является частным случаем
электромагнитного поля, которое может существовать отдельно от
источников поля, т.е. распространение электромагнитных волн в
пространстве связано с переносом энергии.
Следовательно, электростатическое поле
имеет энергию,
распределенную в нем с объемной плотностью wэл.
В случае однородного электрического поля
W
.
w эл
V
Если электрическое поле неоднородно, то
dW
,
(28)
w эл
dV
2
o E
dW
dV .
где
2
В этом случае объемная плотность энергии электрического поля
2
o E
w эл
.
(29)
2
Следовательно, полная энергия электрического поля
2
o E
W
dV .
(30)
2
V
Таким образом, в отличие от гравитационного поля электростатическое
(электромагнитное) поле характеризуется объемной плотностью энергии, и
можно говорить о локализации электрической энергии в пространстве.
Лекция 4
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ
1. Энергия диполя
Потенциальная энергия точечного заряда qo во внешнем электрическом
поле Wp = qo , где
потенциал поля в точке нахождения заряда.
Диполь
система двух равных по величине разноименных зарядов,
поэтому его потенциальная энергия во внешнем электрическом поле
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
38
Wp
q
2
1
,
где 2 и 1
потенциалы внешнего, однородного электрического поля в
точках расположения положительного (+q) и отрицательного ( q) зарядов.
d
Согласно формуле E E x
, где разность потенциалов 2
1
dx
равна приращению потенциала на отрезке х =  сos (так как потенциал
однородного поля убывает линейно в направлении E ), т. е.
d
x
E cos .
2
1
dx
Следовательно, потенциальную энергию диполя можно записать в виде
Wp
qE cos
pE cos
или
Wp
pE .
(1)
Формула (4.1) остается справедливой и при внесении диполя в
неоднородное поле. Из формулы (4.1) следует, что при
= 0 потенциальная
min
энергия минимальна:
Wp = pE, т. е. диполь находится в состоянии
устойчивого равновесия (M = 0).
При = 90о, Wp=0 (Mmax = pE).
При = 180о , Wpmax = pE (состояние неустойчивого равновесия).
Замечание: Формула (1) не учитывает потенциальную энергию
взаимодействия зарядов, образующих диполь.
2. Типы диэлектриков
Известно, что все вещества в электрическом отношении при
нормальных условиях делятся на проводники, полупроводники и
диэлектрики.
Вещества, при нормальных условиях, не проводящие электрический
ток, называют диэлектриками (изоляторами). Молекулы диэлектриков
электрически нейтральны. Суммарный заряд электронов и ядер, входящих в
состав молекулы равен нулю. Их в первом приближении можно
рассматривать как электрический диполь с дипольным моментом p q  ,
где q – суммарный положительный заряд всех атомных ядер, равный по
абсолютной величине суммарному заряду всех электронов в молекуле; 
вектор, проведенный из «центра тяжести» отрицательного заряда,
созданного всеми электронами в молекуле, в «центр тяжести»
положительного заряда атомных ядер.
В зависимости от внутреннего строения диэлектрики относят к
неполярным, полярным, ионным, сегнетоэлектрикам и др.
Электричество и магнетизм
2.1.
39
Н.Ф. Шемяков
Неполярные диэлектрики
К неполярным диэлектрикам относятся,
например, молекулы водорода Н2, азота N2, кислорода
О2 и др. В таких диэлектриках в отсутствии внешнего
электрического поля (Е = 0) “центры тяжести”
положительных и отрицательных зарядов совпадают
(  = 0) и дипольный момент каждой молекулы равен
нулю. Суммарный дипольный момент диэлектрика в
целом также равен нулю. При внесении неполярного
диэлектрика во внешнее электрическое поле (Е 0)
Рис.1
происходит деформация электронных оболочек
атомов и молекул. «Центры тяжести» положительных и отрицательных
зарядов смещаются друг относительно друга (  0, рис. 1, а, б). Поэтому
молекулы неполярного диэлектрика приобретают наведенный дипольный
момент p E . Молекулы неполярного диэлектрика подобны упругому
диполю. При выключении внешнего электрического поля дипольный момент
исчезает.
2.2. Полярные диэлектрики
К полярным диэлектрикам относятся вода (Н2О), спирты и др.
Молекулы полярных диэлектриков из–за особенностей своего
строения уже в отсутствии внешнего электрического поля (Е = 0, рис. 2, а)
имеют дипольный момент, не равный
нулю ( p
0). Из за теплового
хаотического
движения
молекул
суммарный
дипольный
момент
диэлектрика в целом равен нулю.
При
внесении
полярного
диэлектрика
во
внешнее
Рис. 2
электрическое
поле
молекулы
деформируются, но эта деформация
столь незначительна, что полярную молекулу можно считать жестким
диполем. При Е 0 (рис.2, б), суммарный дипольный момент всех молекул
полярного диэлектрика уже не равен нулю.
2.3. Типы поляризации
В неоднородном поле на такой диполь, кроме вращающего момента,
действует добавочная сила. При внесении диэлектриков в электрическое поле
происходит их поляризация. В зависимости от строения молекул или атомов
Электричество и магнетизм
40
Н.Ф. Шемяков
различают несколько типов поляризации: упругую, релаксационную,
ориентационную дипольную, спонтанную. Упругая поляризация включает
электронную, ионную и структурную поляризации. Если диэлектрик состоит
из неполярных молекул, то в пределах каждой молекулы происходит
смещение зарядов отрицательных против поля, положительных по полю.
Такие молекулы характеризуются
электронной (деформационной)
поляризацией. При этом возникают индуцированные дипольные моменты
молекул, направленные вдоль поля. Тепловое движение почти не влияет на
электронную поляризацию. Если диэлектрик состоит из полярных молекул,
то при отсутствии внешнего электрического поля их дипольные моменты
ориентированы хаотически из-за теплового движения. Под действием поля
дипольные моменты молекул ориентируются преимущественно по полю.
Ориентационная поляризация возникает у полярных диэлектриков, которая
возрастает с увеличением напряженности внешнего электрического поля и
понижения температуры диэлектрика. В жидких и газообразных полярных
диэлектриках электронная поляризация происходит одновременно с
ориентационной. В диэлектрических ионных кристаллах под действием поля
положительные ионы смещаются по полю, отрицательные против поля, т.
е. возникает ионная поляризация. Смещения зарядов всех диэлектриков
весьма малы (плечо диполя молекул 10 13 м) даже по сравнению с
размерами молекул (d 10 10 м). Это связано с тем, что напряженность
внешнего электрического поля, действующего на диэлектрик, много меньше
напряженности внутренних электрических полей в молекулах.
2.4. Поверхностные и объемные связанные заряды
При внесении диэлектриков в электрическое поле на их поверхности и
в объеме появляются некомпенсированные
заряды. Рассмотрим пластинку из нейтрального
неоднородного диэлектрика, у которого плотность
увеличивается с ростом координаты х (рис. 3, а,
б). При отсутствии внешнего электрического поля
в каждой точке такого диэлектрика
, т.
Рис. 3
к. диэлектрик электрически нейтрален (
и
модули объемной плотности положительного и
отрицательного зарядов в диэлектрике).
Однако из-за неоднородности диэлектрика
и
увеличиваются с ростом координаты х
одинаковым образом, т. е. совпадают.
При внесении диэлектрика во внешнее поле оба распределения
(х) и
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
41
(х) сдвинутся относительно друг друга. Это приводит к появлению
некомпенсированных зарядов на поверхности и в объеме диэлектрика (в
объеме диэлектрика появится отрицательный, некомпенсированный заряд,
рис. 6.3). При изменении направления внешнего электрического поля на
обратное произойдет изменение знака всех этих зарядов. Такие
нескомпенсированные заряды, появившиеся в результате поляризации
диэлектрика, называют связанными зарядами (q*).Заряды, которые не входят
в состав молекул диэлектрика, называют сторонними. Эти заряды могут
находиться как вне, так и внутри диэлектрика.
2.5. Поляризованность
Для количественного описания поляризации диэлектрика вводят
вектор поляризации P (поляризованность).
Если внешнее электрическое поле или диэлектрик неоднородны, то
степень поляризации оказывается разной в различных точках диэлектрика.
Чтобы характеризовать поляризацию в данной точке, необходимо выделить
бесконечно малый объем V, содержащий эту точку, затем найти векторную
сумму дипольных моментов молекул в этом объеме, тогда вектор
поляризации
1 n
pi ,
Vi 1
P
(2)
где рi
дипольный момент i-й молекулы.
Поляризованностью называют геометрическую сумму дипольных
моментов молекул единицы объема диэлектрика.
В Си единицей измерения поляризованости является Кл/м2.
На основании экспериментов
установлено, что поляризованность
неполярных диэлектриков линейно зависит от напряженности внешнего
электрического поля, т. е.
=æ o E,
(3)
где æ
диэлектрическая восприимчивость диэлектрика (безразмерна),
зависит от рода диэлектрика и не зависит от напряженности внешнего
электрического поля. Поляризованность можно найти по формуле
P = n0
0E
P = no p i ,
электрический дипольный момент i-й молекулы;
(4)
где рi = 0 iЕ
n
концентрация молекул; n число всех молекул в объеме V;
n0
V
æ = n0
0;
= 4 r3 коэффициент, характеризующий поляризуемость
атома, зависит от свойств атома.
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
42
Поляризованность полярного диэлектрика
1 n
P
pi
Vi 1
где p
n
p .
V
(5)
средний дипольный момент одной молекулы.
В слабых электрических полях
диэлектриков рассчитывают по формуле
поляризованность
p
p2
E.
3kT
полярных
(6)
Диэлектрическую восприимчивость находят по формуле ДебаяЛанжевена
2
æ = n0p .
(7)
3 0 kT
2.6. Основные уравнения электростатики диэлектриков
2.6.1. Теорема Гаусса для поля вектора поляризации ( P )
Пусть
произвольная
замкнутая
поверхность S охватывает некоторую часть
изотропного диэлектрика.
При внесении диэлектрика во внешне
электростатическое поле он поляризуется.
Найдем заряд, который проходит через малый
элемент dS замкнутой поверхности S (рис. 4).
Если  +
и
векторы,

характеризующие смещение положительного и
отрицательного связанных зарядов, то через
Рис. 4
элемент поверхности dS наружу поверхности S
выйдет положительный заряд
dq+* =  +dSсos .
Согласно закону сохранения заряда одновременно через элемент dS
внутрь поверхности S войдет отрицательный заряд
dq *=  dSсos .
Тогда суммарный связанный заряд, выходящий наружу поверхности S
через элемент dS,
 dScos .
dq*=  +dSсos +
С учетом того, что
=
,
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
43
для суммарного заряда получим
dq*=
где  =  + + 
отрицательные
 dScos
,
(8)
расстояние, на которое сместились положительные и
связанные заряды изотропного диэлектрика друг
относительно друга при поляризации. Поскольку
P
=

дипольный
момент единицы объема диэлектрика, или Р =  и dq* = PdSсos , то
суммарный связанный заряд
dq * Pn dS ( P dS n ) .
(9)
Скалярное произведение в формуле (6.9) является элементарным
потоком вектора P сквозь произвольную замкнутую поверхность.
Интегрируя выражение (4.9) по всей замкнутой поверхности S, найдем
полный заряд, который вышел при поляризации из объема, охватываемого
этой поверхностью, т. е.
q* = ( P dS n ) = q*.
(10)
Внутри замкнутой поверхности S останется избыточный связанный
заряд q*. Таким образом, вышедший заряд равен оставшемуся внутри
поверхности S избыточному связанному заряду с обратным знаком.
P сквозь произвольную замкнутую
Вывод: Поток вектора
поверхность равен взятому с обратным знаком избыточному связанному
заряду диэлектрика в объеме, охватываемом этой поверхностью, т. е.
( P dS n ) = q*.
(11)
Следовательно, формула (11) выражает теорему Гаусса для вектора
поляризации P .
В дифференциальной форме теорема Гаусса для вектора поляризации
P записывается в виде
(
P)
*
,
(12)
т. е. дивергенция поля вектора P равна с обратным знаком объемной
плотности избыточного связанного заряда.
Замечание: объемная плотность избыточных связанных зарядов
внутри диэлектрика равна нулю при одновременном выполнении следующих
условий:
1) внутри диэлектрика не должно быть сторонних зарядов ( = 0);
2) диэлектрик должен быть изотропным и однородным.
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
44
2.6.2. Теорема Гаусса для поля вектора электрического смещения
Источниками напряженности электрического поля E являются все
электические заряды связанные и сторонние. Поэтому теорему Гаусса для
поля вектора E запишем в виде
q*
E dS n
o
q
S
внут р
,
(13)
где q* и q связанные и сторонние заряды, охватываемые произвольной
поверхностью S. Согласно формуле (12) следует, что свойства неизвестного
поля E выражаются через связанные заряды q*, которые в свою очередь
определяются неизвестным полем E . Образуется замкнутый круг. Однако из
него можно выйти, если выразить связанный заряд q* через поток вектора P
[см. формулу (11)]. Тогда формулу (13) можно представить в виде
o
E P dS n
q внут р .
(14)
S
Введем обозначение
D
P.
o E
С учетом этого, формулу (14) перепишем в виде
( D dS n )
q внут р .
(15)
(16)
S
Вывод: Поток вектора электрического смещения D
произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической
сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью.
сквозь
сумме
Формула (15) выражает теорему Гаусса для поля вектора D .
Замечание: вектор D
представляет собой сумму двух различных
величин 0 E , P и является вспомогательным вектором, который широко
используется в физике: например, его введение значительно упрощает
изучение электрического поля в диэлектриках.
Формулы (4.15) и (4.16) остаются справедливыми в случае изотропного
и анизотропного диэлектрика. Согласно (15) в СИ электрическое смещение
измеряется, как и поляризованность, в Кл/м2.
В дифференциальной форме теорема Гаусса для D записывается в
виде
(
D)
,
(17)
т. е. дивергенция поля вектора D равна объемной плотности сторонних
зарядов.
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
45
2.7. Связь между векторами D и E
Для изотропных диэлектриков поляризованность
E.
С учетом этого формула (4.15) принимает вид
P =æ
D =
o
0(1+
æ) E
или
D = 0 E,
(18)
где
диэлектрическая проницаемость вещества, т. е.
= 1+ æ.
(19)
Диэлектрическая проницаемость является важной характеристикой
диэлектриков. Безразмерна. Для вакуума =1. Для всех остальных веществ
1.
Величина зависит от природы вещества, например, для воды при
малых частотах = 81. Поле вектора D так же, как и поле вектора E можно
наглядно изобразить с помощью линий электрического смещения. Но
источниками и
стоками поля вектора D являются только сторонние
заряды. Через области электрического поля, где находятся связанные заряды,
линии электрического смещения проходят, не прерываясь. Но поле вектора
D зависит как от сторонних, так и связанных зарядов.
Однако в некоторых случаях поле вектора D определяется только
сторонними зарядами. Формулы (16) и (17) выражают только определенное
свойство поля вектора D , но не само поле D .
2.8. Граничные условия для поля вектора P
Найдем связь между поляризованностью Р и
поверхностной плотностью * связанных зарядов на
границе раздела двух изотропных диэлектриков.
У
таких
диэлектриков
нет
объемного
избыточного связанного заряда, а имеется только
поверхностный связанный заряд.Для того чтобы
использовать свойство поля вектора P в качестве
замкнутой поверхности, возьмем малый цилиндр,
Рис. 5
основания которого находятся по разные стороны
границы раздела диэлектриков (рис. 5).
Электричество и магнетизм
46
Н.Ф. Шемяков
Найдем поток вектора P сквозь цилиндрическую поверхность с
учетом того, что этот поток через боковую поверхность цилиндра равен
нулю.
В этом случае будем учитывать только поток сквозь основания
цилиндра, т. е.
(P1n*+ Р2n) S = * S,
где P1n* и Р2n
проекции вектора P в диэлектрике 1 на нормаль n * и в
диэлектрике 2 на нормаль n .
Вследствие того, что P1n* =
после сокращения на S в виде
P1n, предыдущее равенство перепишем
*
Р2n P1n =
.
(20)
Вывод: На границе раздела двух изотропных диэлектриков нормальная
составляющая вектора P испытывает разрыв.
Если второй средой является вакуум,
то Р2n= 0, тогда формула (20) принимает более простой вид:
Рn = *,
(21)
где Рn проекция вектора P на нормаль к поверхности диэлектрика.
Знак проекции Рn определяет знак поверхностного связанного заряда
*
.
Замечание: Поле вектора P так же, как и поле вектора E , зависит
как от связанных, так и сторонних зарядов.
Связанные заряды определяют не поле вектора P , а поток этого
вектора P , и только те, которые охватывает замкнутая поверхность S.
Лекция 5
Граничные условия на поверхности раздела
диэлектрик диэлектрик
1.1.
Условие для вектора E
Пусть на границе раздела двух диэлектриков находится сторонний
поверхностный заряд. Для нахождения условия будем использовать теорему
E d
о циркуляции вектора E , т. е.
L
D , т. е.
0 , и теорему Гаусса для вектора
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
47
D dS n
q внут р .
S
Электрическое поле вблизи границы раздела в диэлектрике 1
E 2. В качестве замкнутого
обозначим через E 1, а в диэлектрике 2
контура L возьмем прямоугольник (рис. 4.6), стороны которого должны быть
малой длины, чтобы в их пределах напряженность электрического поля Е в
каждом диэлектрике была одинаковой, а высота бесконечно малой.
На основании теоремы о циркуляции вектора E имеем
(Е1 *+ Е2 )
где
Е1 *
и
Е2
 = 0,
проекции вектора E на
единичный вектор касательной
, взяты в
направлении обхода контура (на рис. 1 указан
стрелками). Если использовать в качестве общего
единичный вектор , то
Рис. 1
Е1 * = Е1 .
Тогда предыдущее равенство принимает вид
Е1 = Е2 .
(1)
Вывод: Тангенциальная составляющая вектора E одинакова по разные
стороны границы раздела, т. е. не испытывает скачка.
1.2.
Условие для вектора D
Для нахождения условия для вектора D в качестве замкнутой
поверхности будем использовать малый цилиндр, чтобы в пределах каждого
основания цилиндра вектор D был одинаковым (рис. 2).
где
Используя теорему Гаусса для вектора D , получаем
(D1n* + D2n) S =
S,
поверхностная плотность стороннего заряда на границе раздела.
С учетом того, что
D1n* = D1n
последнее равенство принимает вид:
D2n D1n = .
(2)
Рис. 2
Вывод: нормальная составляющая вектора D
испытывает скачок на границе раздела двух диэлектриков.
Если сторонние заряды отсутствуют на границе
Электричество и магнетизм
раздела, то
48
D2n = D1n,
Н.Ф. Шемяков
(3)
т. е. нормальная составляющая вектора D скачка не испытывает.
Следовательно, если на границе раздела двух диэлектриков нет
сторонних зарядов, то при переходе через границу составляющие Е и Dn
изменяются непрерывно, не испытывая скачка, а составляющие Еn и D
испытывают скачок.
1.3. Преломление линий D и E
Рис. 3
Рис. 4
При переходе через границу линии
напряженности и линии электрического смещения
преломляются (рис. 3).
Если на границе раздела нет сторонних
зарядов, то из (1), (2) и (4.18) следует
Е1 = Е2 , 1Е1n = 2Е2n.
Согласно рис. 6.8 имеем
E 1 E 2n
tg
tg
E 2 E 1n
или
tg
1
.
(4)
tg
2
Следовательно, в диэлектрике с
большим значением
диэлектрической
проницаемости
( 2
линии
1)
напряженности
и
электрического
смещения составляют больший угол с
нормалью к границе раздела (рис. 4).
На рис. 6.9 приведено графическое
изображение поля D и E на границе
раздела двух изотропных, однородных
диэлектриков, у которых нет сторонних
зарядов и 2 1.
Из рис. 4 следует, что Е2 Е1 и D2 D1.
Кроме того, линии напряженности испытывают преломление и терпят
разрыв из за наличия связанных зарядов.
Линии электрического смещения испытывают только преломление, так
как на границе раздела нет сторонних зарядов.
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
49
1.4. Граничные условия на поверхности раздела
проводник диэлектрик
На границе раздела: проводник диэлектрик (среда 1
проводник,
среда 2 диэлектрик) согласно формуле (2) имеем
Dn = ,
(6)
где n внешняя нормаль к поверхности проводника.
Вывод: В состоянии равновесия электрическое поле внутри проводника
отсутствует, следовательно, и его поляризованность, равна нулю.
Поэтому электрическое смещение равно нулю (D = 0) внутри
проводника.
Замечание: Если к поверхности заряженного проводника прилегает
однородный изотропный диэлектрик, то на
их границе появляются
*
связанные заряды плотности
(объемная плотность связанных зарядов * =
0).
Но на границе проводник диэлектрик есть сторонние и связанные
заряды. Поэтому, применяя теорему Гаусса к вектору E , получаем
*
En
.
0
или
En
Dn
0
.
0
Из сравнения последних двух равенств следует, что
*
.
В итоге получим, что
*
.
(7)
1
Вывод: Поверхностная плотность сторонних зарядов на проводнике
однозначно связана с поверхностной плотностью связанного заряда * в
диэлектрике, но знаки этих зарядов противоположны.
1.5. Электрическое поле в диэлектрике
1.6.
При внесении изотропного диэлектрика во внешнее электрическое
поле E 0, например, в пространство между обкладками плоского
конденсатора, он поляризуется (рис. 5).
Внутри диэлектрика связанные заряды компенсируют друг друга.
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
50
Поэтому на левой грани возникает не скомпенсированный связанный
*
отрицательный заряд с поверхностной плотностью
, а на правой
положительный связанный заряд с
*
поверхностной плотностью
+
. В
диэлектрике возникнет свое электрическое
поле
*
*
Е=
0
,
(8)
направленное противоположно внешнему
полю E 0.
Согласно принципу суперпозиции
результирующее электрическое поле
Рис. 5
E= E0+ E*
(9)
или по абсолютной величине
Е = Е0
Е* .
(10)
В отсутствии диэлектрика электрическое поле плоского конденсатора в
вакууме характеризуется электрическим смещением
и напряженностью
D0 =
E0
(11)
0
0
.
(12)
Поскольку внутри диэлектрика напряженность электрического поля
то с учетом (8), (10) и (12) получим, что
Е*,
Е = Е0
*
E
.
(13)
0
Это поле перпендикулярно боковым граням изотропного диэлектрика,
поэтому Еn = E.
Так как, согласно формул (11), (10)
*
(14)
= æ 0Е,
то формулу (13) перепишем в виде
Е = Е0 æЕ
или с учетом (4.19)
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
51
E
E0
.
После умножения правой и левой частей в (4.35) на
электрическое смещение внутри диэлектрика:
D=
0
E=
0E
= D0.
(15)
0
получим
(16)
Следовательно, электрическое смещение внутри диэлектрика совпадает
с электрическим смещением внешнего электрического поля в вакууме D0.
Используя формулу (4.32) на основании (16) получаем, что
D= .
(17)
Вывод: Электрическое смещение численно равно поверхностной
плотности сторонних зарядов.
1.6. Энергия электрического поля при наличии диэлектрика
Если в электрическом поле находится произвольный диэлектрик, то
для нахождения энергии можно использовать формулы (1.80) и (1.81).
Согласно теории энергию W электрического поля при наличии
изотропного диэлектрика можно записать, используя D и E .
Действительно используя формулы (1.87) и (6.18) получим
0E
W
V
2
2
dV
V
( E D)
dV .
2
(4.38)
Так как энергия заключена в некотором объеме, то можно говорить о ее
локализации в самом поле. Это положение нашло экспериментальное
подтверждение в опытах с переменными электромагнитными полями.
Действительно, переменные поля могут существовать независимо от
возбудивших их источников и распространяться в пространстве в виде
электромагнитных волн со скоростью света, т. е. переносят энергию.
Следовательно, носителем энергии является само поле.
Поэтому можно найти распределение электрической энергии в
пространстве с некоторой объемной плотностью
2
( E D)
0E
.
(4.39)
w
2
2
Объемная плотность энергии электрического поля при наличии
диэлектрика в
раз больше, чем при отсутствии диэлектрика, хотя
напряженность поля в обоих случаях одна и та же.
Это связано с тем, что при создании поля в диэлектрике оно совершает
дополнительную работу по его поляризации.
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
52
Следовательно, под энергией поля в диэлектрике следует понимать всю
энергию, затрачиваемую на возбуждение электрического поля, которая
складывается из собственной электрической энергии и энергии, расходуемой
на совершение работы при поляризации. Действительно, если в формулу
(6.39) вместо электрического смещения D подставить величину
w
0E
2
2
(E P)
,
2
0
E P , то
(4.40)
где первое слагаемое соответствует объемной плотности энергии поля E в
вакууме, второе связано с дополнительной объемной плотностью энергии,
расходуемой на поляризацию диэлектрика.
1.7 Диэлектрики в тепловом равновесии
Рассмотрим процесс поляризации изотропных диэлектриков с
точки зрения термодинамики. Диэлектрик будем считать
изотропным как в отсутствие, так и при наличии внешнего
электрического поля. Такие диэлектрики широко распространены
среди жидкостей и газов.
Если диэлектрик неоднороден, то можно выделить столь малый объем
dV, в пределах которого он будет однородным. Соответственно в этом
объеме будет однородным давление и напряженность электрического поля.
Применим первое начало термодинамики к такому объему
диэлектрика:
Q = dU + A,
(8.1)
где Q
количество теплоты, переданное диэлектрику; dU
изменение
внутренней энергии; A
элементарная работа, состоящая из двух
слагаемых: т. е.
A = A1 + A2,
где A1 = РdV работа системы против внешнего давления, которая была
рассмотрена подробно в термодинамике; A2 работа электрического поля.
Работа по перемещению заряда в электрическом поле
A2 = dq, где dq = dS,
=Е , D= .
C учетом этого формула работы электрического поля принимает вид
A2 = ( E d D) dV .
Cчитая объем при поляризации постоянным и полагая его единичным
получаем
A2 =
( E d D) . Поэтому первое начало термодинамики
Электричество и магнетизм
принимает вид
Н.Ф. Шемяков
53
Q = dU ( E d D) ,
(8.2)
где A = ( E dD) dV или A
0 ( E dE)dV ( E dP)dV ,
где первое слагаемое
работа, затрачиваемая на изменение поля; второе
слагаемое работа, затрачиваемая на поляризацию среды, с которой связана
сила, действующая на диэлектрик со стороны поля.
Для дальнейшего рассмотрения вопроса введем энтропию S, температуру
Т и термодинамические функции: свободную энергию
= U TS,
(8.3)
термодинамический потенциал
Ф=
( E D)
(8.4)
и энтальпию
I = U + ( E D) .
(8.5)
Согласно термодинамике для квазистатических процессов Q = TdS и
формула (8.2) принимает вид
dU = TdS + ( E d D) .
(8.6)
Используя формулу (8.6) и взяв дифференциалы от выражений (8.3), (8.4)
и (8.5), получаем ряд следующих уравнений:
d =
dФ =
SdT + ( E d D) ,
SdT
(D d E ) ,
(8.7)
(8.8)
dI = TdS ( D d E ) .
(8.9)
Формулы
(8.7), (8.8) и
(8.9) являются основными уравнениями
термодинамики диэлектриков. Для того чтобы сделать конкретные выводы к
этим уравнениям необходимо добавить уравнение состояния, например, в
виде D = f (Е, Т, ), где
плотность диэлектрика.
После интегрирования выражения (6.47) при постоянных Т и получим
EdD
(8.10)
0 ( T, ),
где 0(Т, ) характеризует свободную энергию диэлектрика при отсутствии
в нем электрического поля. Поскольку
dW =
то энергия
A , где
A=
( E d D) dV,
W
( E d D) dV
(8.11)
V
выражает не внутреннюю, а свободную энергию диэлектрика, точнее, ту ее
часть, которая зависит от напряженности Е электрического поля.
Если в качестве уравнения состояния использовать формулу D
где зависит только от Т и , тогда получим
2
D2
0 E
0
0.
2
2 0
0
E,
(8.12)
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
54
Применяя формулы (8.13) и (8.7), найдем внутреннюю энергию
диэлектрика при
= сonst:
( T ) D,
U=
.
(8.13)
Используя первое начало термодинамики для диэлектриков и последнюю
формулу (8.13), находим, что
2
T
D2
oE
U
1
U 0 T,
T
U 0 T, ,
T 2 0
T
2
(8.14)
где U0(T, ) внутренняя энергия диэлектрика при E = 0 внутри его.
Если диэлектрическая проницаемость
среды не зависит от
температуры, то электрическая составляющая свободной и внутренней
энергий диэлектрика равны. При наличии температурной зависимости
диэлектрической проницаемости это равенство не выполняется.
Адиабатическое и квазистатическое изменение поляризации диэлектрика
приводит
к
изменению
температуры,
т.
е.
наблюдается
электрокалорический эффект. При таком процессе энтропия остается
постоянной. Если ее рассматривать как
функцию напряженности Е и
температуры Т, т. е. S = f(E,T) при постоянной плотности ( = сonst), то
для бесконечно малого процесса получим
S
S
(8.15)
T
E 0.
T E
E T
Известно, что
S
CE
1 T S
1 Q
,
T E T
T E T T E
T
Q
где S
по определению энтропии; СЕ теплоемкость единицы объема
T
диэлектрика при постоянной напряженности электрического поля.
Из формулы (8.8) следует, что
S
D
.
(8.16)
E
E T
T E
T
Следовательно, изменение температуры [см. (6.55)]
T
T
EdE .
CE T
Если напряженность электрического поля изменяется от Е1 до Е2, то
температура диэлектрика изменяется по закону
E2
T1
T2
E1
1
T
CE
T
EdE .
(8.17)
Электричество и магнетизм
55
Н.Ф. Шемяков
1.8. Сегнетоэлектрики
Некоторые кристаллические диэлектрики, твердые растворы, керамики,
пленки и т. д. проявляют удивительные свойства.
В определенном интервале температур такие диэлектрики обладают
самопроизвольной (спонтанной) поляризацией в малых объемах вещества в
отсутствие внешнего электрического поля. Такие вещества называют
сегнетоэлектриками. Это название они получили, потому что такие
необычные свойства впервые были обнаружены у кристаллов сегнетовой
соли КNaC4Y4O6 4H2O.
В настоящее время известны несколько сотен веществ, проявляющие
сегнетоэлектрические свойства. Например, титанат бария ВаTiO3, ниобат
лития LiNbO3 и т. д. Электрические свойства сегнетовой соли изучали
многие ученые, в том числе И.В. Курчатов, Вул, Кобеко и др. Если размеры
кристалла сегнетоэлектрика много больше некоторого характерного размера
области спонтанной поляризации (d
10 6 м), то он имеет доменную
структуру.
Доменом называют объем кристалла, который самопроизвольно
поляризован в одном направлении.
Обычно сегнетоэлектрик не является однородно поляризованным, а
состоит из многих доменов с различным направлением их дипольного
момента. В результате суммарный дипольный момент образца в отсутствии
внешнего электрического поля равен нулю (рис. 6). Равновесная доменная
структура соответствует минимуму свободной энергии кристалла. Домены
сегнетоэлектриков появляются в соответствии с условием минимума энергии
на основании общих принципов термодинамического равновесия. В
идеальном кристалле она определяется балансом между уменьшением
энергии при образовании доменов за счет электростатического
взаимодействия различных частей кристалла и
увеличением энергии доменных границ. Вид
доменной структуры реального кристалла
определяется
природой
и
характером
распределения
его
дефектов,
а
также
предысторией образца. Число доменов и
Рис. 6
взаимная
ориентация
их
спонтанной
поляризации зависят от симметрии кристалла.Под действием внешнего
электрического поля доменные границы смещаются так, что объемы
доменов, поляризованных по полю, увеличиваются за счет доменов,
поляризованных против поля. В реальных кристаллах доменные границы
закреплены на дефектах и неоднородностях, поэтому требуются достаточно
Электричество и магнетизм
56
Н.Ф. Шемяков
сильные электрические поля, чтобы их перемещать по образцу.
При циклическом изменении напряженности
внешнего
электрического
поля
происходит
перестройка
доменной
структуры
сегнетоэлектрика.
Резкое
изменение
его
поляризации под действием электрического поля
происходит за счет смещения доменных границ и
обуславливает большую величину диэлектрической
проницаемости образца. Например, для сегнтовой
соли
10000, для титаната бария
6000
7000.
Таким образом, при внесении сегнетоэлектрика
Рис. 7
во внешнее электрическое поле он поляризуется.
Его поляризация превышает поляризацию обычных
5
диэлектриков в 10 раз. Кроме того, поляризация сегнетоэлектрика зависит
не только от величины напряженности электрического поля, но и от
предыстории процесса поляризации образца и температуры. Зависимость Р
от Е нелинейная.
При циклическом изменении напряженности электрического поля
поляризация сегнетоэлектриков характеризуется электрической петлей
гистерезиса (рис. 7).После включения поля по мере увеличения его
напряженности поляризация увеличивается и описывается кривой ОА. При
достижении некоторой величины напряженности поля ЕS ( например, для
титаната бария ЕS 104 105 В/м), поляризация достигает насыщения (линия
АБ). При уменьшении напряженности поля после достижения точки А
поляризация убывает по линии АВ, т. е. при обращении напряженности поля
в нуль поляризация не исчезает, а имеет некоторое значение, называемое
остаточной поляризацией Ро (отрезок ОВ). Например, для титаната бария Ро
0,3 Кл/м2.
Поляризация исчезает только под действием поля, направленного
противоположно первоначальному при напряженности ЕС, называемой
коэрцитивной силой. При дальнейшем увеличении напряженности поля
опять наступает насыщение (точка Г, рис. 7) и при последующем ее
уменьшении поляризация описывает линию ДГКА, замыкая петлю
гистерезиса. Такое периодическое изменение поляризации связано с затратой
энергии, которая приводит к нагреванию образца. Площадь петли
гистерезиса пропорциональна количеству теплоты, выделяющейся в единице
объема сегнетоэлектрика за один цикл. Описанные выше свойства
сегнетоэлектриков проявляются только в определенном интервале
температур, характерном для данного типа вещества. Поэтому существует
предельная
температура
ТС
(точка
Кюри),
выше
которой
сегнетоэлектрические свойства исчезают. Например, для титаната бария ТС =
Электричество и магнетизм
57
Н.Ф. Шемяков
120 оС, для ниобата лития ТС = 1210 оС. Существуют вещества, имеющие
несколько точек Кюри. Например, сегнетова соль имеет две точки Кюри:
нижнюю ТС = 18оС и верхнюю ТС = 24оС. Объясняется это наличием ряда
кристаллических модификаций сегнетоэлектрического кристалла. В точке
Кюри происходят фазовые превращения вещества из одной модификации в
другую.
Прямую,
параллельную
вектору
спонтанной
поляризации
сегнетоэлектрика, называют полярной осью.
У сегнетовой соли полярная ось одна, у титаната
бария их несколько. При температуре ниже точки
Кюри
сегнетоэлектрики
являются
пироэлектриками, но отличаются от них тем, что
направление спонтанной поляризации в образцах
может быть изменено на противоположное в
относительно слабых полях, чего не наблюдается у
пироэлектриков,
даже
в
сильных
полях.
Рис. 8.
Диэлектрическая
проницаемость
и
восприимчивость æ сегнетоэлектриков зависит не только от природы
кристалла, но и от температуры, напряженности внешнего электрического
поля и предистории состояния его поляризации. На рис. 8. приведена
температурная зависимость диэлектрической проницаемости а сегнетовой
соли вдоль полярной оси а.
У титаната бария в тетрагональной фазе два
главных
значения
диэлектрической
проницаемости: с
вдоль полярной оси и а
вдоль оси перпендикулярной к полярной (рис. 9).
Величина спонтанной поляризации РS сильно
зависит от температуры в области фазового
перехода и в самой точке Кюри исчезает либо
скачком (фазовый переход I рода, например, в
титанате бария), либо постепенно (фазовый
переход II рода, например, в сегнетовой соли).
Температурная зависимость поляризованности Р
сегнетоэлектрика от
Рис. 9
температуры Т во внешнем электрическом поле Е
описывается законом Кюри-Вейсса:
3 0
P
E,
(8.18)
T TC
где
= сonst 0.
Закон Кюри Вейсса выполняется в области температур выше ТС. При
приближении Т
ТС поляризация неограниченно возрастает. Ниже ТС
Электричество и магнетизм
58
Н.Ф. Шемяков
появляется спонтанная поляризация. Всякий сегнетоэлектрик является и
пьезоэлектриком, но не наоборот. Исключение составляет титанат бария,
который при температуре выше 120o C имеет простую кубическую структуру.
Поэтому из за наличия центра симметрии в неполярной фазе он не обладает
пьезоэлектрическими свойствами.
Известно, что сегнетоэлектрические свойства вызваны взаимодействием
ионов кристалла и отсутствием в кристалле центров симметрии.
Установлено, что вблизи фазового перехода наблюдаются изменения в
фононном спектре кристалла. Частота одного из оптических колебаний
кристаллической решетки сильно уменьшается при приближении к точке
Кюри, особенно, если это фазовый переход II
рода. Учение о сегнетоэлектричестве является
обширным и многогранным. В данном учебном
пособии приведены весьма краткие сведения.
Сегнетоэлектрики широко применяются в науке
и технике, например, для увеличения емкости
конденсаторов, для контроля и измерения
температуры, в детекторах электромагнитного
поля и т. д. В некоторых веществах наблюдаются
Рис. 10
антисегнетоэлектрические
свойства.
В
определенной области температур соседние ионы одного типа
самопроизвольно ориентированы не параллельно, а антипараллельно (можно
выделить две подрешетки, вставленные друг в друга, в одной дипольные
моменты ионов параллельно ориентированы в одном направлении, а в другой
в противоположном). Поэтому суммарный дипольный момент равен нулю.
У таких веществ наблюдаются двойные петли гистерезиса (рис. 8.5).
1.9. Пьезоэлектрики и пироэлектрики
Пьезоэлектрики
кристаллы, в которых имеется не менее одной
полярной оси и отсутствуют центры симметрии. Полярная ось
линия в
кристалле, оба конца которой неравнозначны. Пьезоэлектрическими
свойствами обладают 20 из 32 кристаллографических классов. Чем ниже
класс симметрии кристалла, тем богаче его пьезоэлектрические свойства,
больше полярных осей и независимых пьезоэлектрических коэффициентов.
Пьезоэлектрические свойства были обнаружены на кристаллах кварца Ж.
Кюри и П. Кюри в 1880 1881 гг. Существуют прямой и обратный
пьезоэффекты.
Если кристалл кварца сжать, то на его гранях, перпендикулярных
направлению сжатия, возникали разноименные заряды: на одной грани
положительные, на другой
отрицательные. При растяжении кристалла
Электричество и магнетизм
59
Н.Ф. Шемяков
полярность зарядов на гранях изменялась на противоположную (прямой
пьезоэффект).
Пьезоэффект обратим, т.е. если на гранях кварца создать разноименные
заряды, то он либо сжимается, либо растягивался в зависимости от их
полярности (обратный пьезоэффект). С пьезоэлектрическими свойствами
веществ тесно связаны их пироэлектрические свойства.
В кристалле при нагревании возникают внутренние напряжения,
вызванные температурными градиентами. В результате на поверхности
кристалла появляются электрические заряды. Природа пироэлектричества
была открыта в 1756 г. на кристаллах турмалина и объяснена русским
академиком Эпинусом, который впервые объяснил и поляризацию.
Пироэлектричество, по преданию, открыл Фалес Милетский
древнегреческий философ. Он же обнаружил электризацию трением янтаря о
птичий пух и соломинки. Приложение электрического поля к кристаллу
приводит к возникновению деформаций за счет обратного пьезоэффекта:
сжатия и сдвига в различных кристаллографических направлениях. Таким
образом, упругие свойства кристаллов тесно связаны с их электрическими.
На молекулярном уровне структуру пьезокристалла, например кварца, можно
представить с помощью упрощенной модели в виде шестиугольной ячейки,
состоящей из трех отрицательно заряженных ионов кислорода и трех
положительно заряженных ионов кремния. Такая ячейка имеет три полярные
оси (рис. 11, а). В обычном состоянии положительные и отрицательные
заряды в ячейке взаимно компенсируются, и в целом она электронейтральна.
Если такую ячейку сжать (рис. 11, б), то верхний ион кремния вдавливается
между ионами кислорода, в результате суммарный заряд верхней грани
кварца заряжается отрицательно. В нижней части ячейки, наоборот, ион
кислорода вдавливается между ионами кремния, и суммарный заряд нижней
грани кварца заряжается положительно. Возникает электрическое поле с
разностью потенциалов
и напряженностью E , вектор которой направлен
вдоль линии действия сжимающих сил, поэтому возникает продольный
пьезоэффект.
Рис. 11
Если же кварцевую пластинку сжать в направлении, перпедикулярном
Электричество и магнетизм
60
Н.Ф. Шемяков
первоначальному, то возникает поперечный пьезоэффект, т. е. полярность
зарядов на гранях пластинки изменится на обратную, соответственно
изменяется и направление вектора напряженности электрического поля (рис.
11, в).
Причем максимальный заряд возникает на концах полярной оси, что
помогает вырезать из кристалла исследуемую пластинку, плоскость которой
перпендикулярна полярной оси. Эксперименты показали, что пьезоэффект
обратим. Обратный пьезоэлектрический эффект имеет внешнее сходство с
электрострикцией.
Встречается в твердых, жидких и газообразных веществах.
Электрострикция возникает в кристаллах, у которых деформация
диэлектрика пропорциональна квадрату напряженности Е внешнего
электрического поля и возникает за счет поляризации образца.
Обратимый же пьезоэффект зависит линейно от напряженности Е
внешнего электрического поля. В изотропных средах, в том числе в газах и
жидкостях, электрострикция наблюдается как изменение плотности под
действием электрического поля и описывается функцией
V
(8.19)
d
E2 ,
V 2
где V/V
относительная объемная деформация;
сжимаемость;
плотность;
диэлектрическая проницаемость; d
пьезоэлектрический
модуль.Но между этими явлениями есть еще одно существенное различие.
Электрострикция наблюдается во всех диэлектриках при внесении их в
неоднородное электрическое поле.
Напротив, обратный пьезоэффект наблюдается только в некоторых
кристаллах в однородных электрических полях, а возникающие силы
пропорциональны напряженности этого поля и меняют направление на
противоположное при изменении знака электрического поля.
Силы электрострикции появляются в результате действия электрического
поля на поляризованный диэлектрик, вызванной этим же полем.
Поэтому силы электрострикции прямо пропорциональны квадрату
напряженности электрического поля и не изменяются при смене
направления электрического поля на противоположное.
Следовательно, на примере кварца хорошо прослеживается взаимосвязь
упругих, электрических и тепловых свойств кристаллов, а возможно
существует взаимосвязь с магнитными и гравитационными явлениями.
Действительно электрическое поле напряженностью Е возбуждает в
кристалле кварца механические напряжения , которые связаны формулой
пьезоэлектрического эффекта
= d Е,
(8.20)
где d пьезоэлектрический модуль.
Относительная деформация кристалла u вызывает его поляризацию Р,
Электричество и магнетизм
61
Н.Ф. Шемяков
которая описывается формулой прямого пьезоэффекта
Р = u.
(8.21)
Напряженность электрического поля и поляризация связаны через
диэлектрическую восприимчивость æ.
Относительная деформация U связана с механическими напряжениями
через упруго механическую константу s, т. е.
u= s .
(8.22)
В 1883 г. Кундт исследовал пироэлектрические свойства кристалла
турмалина. Нагретый кристалл турмалина он посыпал порошкообразной
смесью серы и сурика, просеянной через шелковое сито.
При трении о шелк частицы
серы зарядились отрицательно, а сурика положительно.
В результате этого один конец турмалина
окрасился в желтый цвет, а другой
в
красный.
При охлаждении кристалла полярность
менялась местами, изменяя окраску концов
турмалина. В кристалле турмалина при
изменении температуры на 1о возникает
электрическое поле Е
4 104 В/м.
Существует обратный пироэлектрический
эффект. При изменении электрического
поля без подвода и отвода тепла
(адиабатический процесс) происходит
Рис. 12
изменение
температуры
пироэлектрического кристалла.
Таким образом, упругие свойства кристалла турмалина связаны не только с
электрическими, но и с тепловыми явлениями.
На рис. 12 схематически представлена связь электрических, механических и
тепловых явлений, где b коэффициент термоупругости;
а температурный коэффициент расширения.
Используя предложенную схему, проследим за изменениями в опыте
Фалеса Платона.
Натирая кусочек янтаря, тем самым увеличиваем его внутреннюю энергию
путем сообщения количества теплоты Q.
При
этом
возрастает
температура
янтаря,
характеризующегося
теплоемкостью С.
Температура Т через пироэлектрическую постоянную р приводит к
поляризации Р янтаря и возникновению на его поверхности разности
потенциалов, за счет возникшего электрического поля.
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
62
Лекция 6
5. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
5.1. Условия существования электрического тока
Из электростатики известно, что на заряд в электрическом поле будет
действовать кулоновская сила, которая перемещает положительные заряды
по полю, отрицательные против поля. Если электрическое поле создать,
например, в металлическом проводнике, (в меди no 1028 м 3) на тепловое
хаотическое движение электронов накладывается упорядоченное движение
под действием сил поля. Возникает электрический ток. В зависимости от
типа проводящей среды электрический ток называют током проводимости (в
металлах), током в электролитах, током в газах, током смещения и т. д. Для
того чтобы в проводнике длительное время существовал электрический ток
необходимо: наличие электрических зарядов; наличие внутри проводника
напряженности электрического поля (разности потенциалов на его концах).
5.2. Сила и плотность тока
Количественной мерой электрического тока является сила тока I
Количество электричества (заряд), протекающее через поперечное
сечение проводника в единицу времени называют силой тока, т. е.
I
dq
.
dt
(5.1)
В Си единицей измерения силы тока является ампер (А).
Если на концах проводника разность потенциалов
= сonst, т. е. с
течением времени не изменяется, то такой ток называют постоянным.
Когда электрический ток распределен в проводнике неравномерно, то
используют понятие вектора плотности тока, модуль которого
dI
j=
.
(5.2)
dS
В СИ плотность тока измеряется в амперах на метр в квадрате (А/м2).
Если известен вектор плотности тока в каждой точке некоторой
поверхности S, то можно найти силу тока через эту поверхность как поток
вектора плотности тока, т. е.
I
j dS n ,
где n единичный вектор нормали к поверхности. За направление вектора j
принято направление упорядоченного движения положительных зарядов.
Графически поле вектора плотности тока изображают с помощью
линий тока. Там, где линии тока проведены гуще, плотность тока больше.
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
63
5.3. Уравнение непрерывности
Если в проводящей среде, где течет ток, выделить замкнутую
поверхность S, то интеграл
характеризует весь заряд,
j dS n
S
выходящий в единицу времени наружу из объема V, охваченного
поверхностью S. На основании закона сохранения заряда этот интеграл
равен убыли заряда в единицу времени внутри объема V, т. е.
dq
.
dt
j dS n
S
(5.3)
Формулу (5.3) называют уравнением непрерывности. Для постоянного
dq
тока I = сonst, т. е.
0. Следовательно, уравнение непрерывности для
dt
j dS n
постоянного тока принимает вид
0.
(5.4)
S
В дифференциальной форме уравнение непрерывности записывается в виде
(
j)
t
или для постоянного (стационарного) тока уравнение непрерывности
(
j)
0.
(5.5)
(5.6)
5.4. Закон Ома для однородного участка проводника
Зависимость силы тока от разности потенциалов (напряжения) на
концах проводника экспериментально получена Омом в 1827 г.,
U
I
,
(5.7)
R
R
где R - cопротивление проводника, зависит от его размеров, формы,
материала проводника и температуры. Для
однородного цилиндрического проводника (рис.
5.1)

R
,
(5.8)
S
где
удельное сопротивление;  длина
проводника; S
площадь его поперечного
сечения.
Рис. 5.1
Зависимость сопротивления металлов от
температуры выражается формулой
R = Ro(1 + t),
(5.9)
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
64
где Ro
сопротивление проводника при температуре t = 0o C;
температурный коэффициент сопротивления; t температура проводника.
В Си сопротивление проводника измеряется в омах (Ом); удельное
сопротивление
в омметрах (Ом м); температурный коэффициент
сопротивления в град 1(К 1).
Замечание: При объемном распределения тока необходимо знать
расположение подводящих проводников, или конфигурацию тока.
Для нахождения связи между плотностью тока и напряженностью
выделим в окрестности произвольной точки проводящей среды
элементарный цилиндрический объем, образующие которого параллельны
вектору плотности тока. Тогда на основании формул (5.2), (5.7), (5.8) и связи
напряженности электрического поля с разностью потенциалов
получим, что
j
E
или
с
j
гE
= Е d
(5.10)
где = 1/
удельная электропроводимость проводника в СИ измеряется в
сименсах на метр (См/м). Формула (5.10) выражает закон Ома в
дифференциальной форме.
Замечание 1: В случае постоянного тока избыточный заряд внутри
однородного проводника равен нулю. Cогласно уравнению непрерывности
для постоянного тока (5.5), с учетом (5.10), получим
j dS n
0.
S
Данный интеграл согласно теореме Гаусса пропорционален
алгебраической сумме зарядов внутри произвольной замкнутой поверхности
S, т. е. пропорционален избыточному заряду внутри этой поверхности. Но
так как интеграл равен нулю (
0), то равен нулю и избыточный заряд
внутри проводника. Избыточный заряд может появиться только на
поверхности
проводника, где он имеет неоднородности.
Замечание 2: Если проводник неоднороден, то
при протекании тока на его поверхности возникает
избыточный заряд. Следовательно, согласно формуле
cнаружи у поверхности проводника имеется
En
0
нормальная
составляющая
вектора
Из
E.
непрерывности тангенциальной составляющей вектора
Рис. 5.2
E следует, что вблизи поверхности проводника
существует его тангенциальная составляющая.
Таким образом, вектор E вблизи поверхности проводника составляет
Электричество и магнетизм
65
Н.Ф. Шемяков
некоторый угол с вектором его тангенциальной составляющей (рис. 5.2). В
случае стационарных токов распределение электрических зарядов в
неоднородной проводящей среде с течением времени не изменяется. Эти
заряды создают кулоновское поле, что и неподвижные заряды.
Следовательно, электрическое поле стационарных токов
поле
потенциальное. Вместе с тем, поле стационарных токов отличается от
электростатического поля, в котором при равновесии зарядов поле внутри
проводников равно нулю. Хотя поле стационарных токов
кулоновское,
однако, его заряды находятся в движении. В связи с этим в случае
стационарных токов электрическое поле существует и внутри проводников с
током.
5.5. Сторонние силы. ЭДС
Под действием кулоновских сил электростатического поля в
проводниках происходит выравнивание потенциалов на концах проводников
(
= 0) и ток прекращается. Поэтому для поддержания длительное время в
цепи постоянного тока, наряду с участками, где положительные носители
тока движутся в сторону уменьшения потенциала, должны иметься участки,
на которых перенос этих зарядов происходит в сторону возрастания
потенциала, т. е. против сил электрического поля. Это возможно лишь под
действием сил не электростатического происхождения. Такие силы называют
сторонними. Физическая природа сторонних сил может быть самой
разнообразной: механической, химической, световой, магнитной и т. д.
Количественной
характеристикой
сторонних
сил
является
напряженность E * поля сторонних сил. Если в проводнике под действием
электрического поля E и поля сторонних сил E * возникает электрический
ток, то согласно принципу суперпозиции полей плотность тока в нем
(5.11)
j
(E E * ) .
Это уравнение называют законом Ома в дифференциальной форме для
неоднородного участка проводника или любой проводящей среды.
Неоднородным называют участок цепи, на котором действуют сторонние
силы (рис. 5.3). Если ток течет вдоль тонких проводов, то направление тока
совпадает с направлением оси их и плотность тока будет практически
одинаковой во всех точках сечения проводников.
Для получения формулы закона Ома для неоднородного участка цепи
правую и левую части формулы (5.11) разделим на коэффициент
электропроводимости и скалярно умножим на вектор элемента длины
проводника d  , а полученное выражение проинтегрируем по всей длине
проводника от сечения 1 до сечения 2
Электричество и магнетизм
2
1
Рис. 5.3
Н.Ф. Шемяков
66
( j d )
2
2
( E * d )
( E d )
1
1
2
или
2
j d
(5.12)
2
E * d .
E d
1
1
1
В последнем выражении интеграл слева преобразуем с учетом того, что
2
2
1
j d
d
I
I
и
. В результате получим
,
j
S
S
1
1
где подынтегральное выражение
сопротивление участка цепи d , а
интеграл полное сопротивление R проводника от точки 1 до точки 2.
Первый интеграл в правой части разность потенциалов
= 1
2,
2
т. е.
E d
1
2.
(5.13)
1
Второй интеграл справа представляет собой электродвижущую силу
(ЭДС)
поля сторонних сил, действующую на данном участке цепи, т. е.
2
E * d
12.
(5.14)
1
Электродвижущая сила численно равна работе сторонних сил по
перемещению единичного, положительного заряда на данном участке цепи.
A 12
Согласно определению
,
(5.15)
12=
q
где q = +1 Кл.
С учетом указанных преобразований формула
(5.14) принимает вид:
IR=( 1
(5.16)
2) +
12.
Таким
образом,
получили
уравнение,
выражающее закон Ома для
неоднородного участка
цепи в интегральной форме.
Замечание 1: Если точки 1 и 2 участка цепи
соединить, т. е. 1= 2, то получим формулу закона
Рис. 5.4
Ома для замкнутой цепи (рис. 5.4):
I R = 12,
(5.17)
где R = R12 + r; R
полное сопротивление замкнутой цепи; R12
сопротивление однородного участка проводника; r
внутреннее
сопротивление источника тока с ЭДС 12 ; А амперметр, включается в
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
67
цепь последовательно (клемма «+» источника тока соединяется с клеммой
«+» амперметра, а клемма « » соединяется с клеммой « » амперметра); V
вольтметр, который подключается параллельно нагрузке, например,
внешнему сопротивлению с соблюдением полярности, как указано для
амперметра.
Распределение потенциала вдоль замкнутой
электрической цепи, содержащей источник ЭДС на участке 1 2 приведено на
(рис. 5.5).
Для наглядности потенциал отложен вдоль
образующих произвольной цилиндрической
поверхности, которая опирается на контур с
током.
Точки 1 и 2 соответствуют положительной
и отрицательной клеммам источника.
Процесс протекания тока происходит
следующим образом: положительные заряды
скатываются по наклонной плоскости от точки с
потенциалом 1 к точке с потенциалом
2 по
Рис. 5.5
внешнему участку цепи ( 1а 2).
Внутри источника ЭДС они поднимаются от 2 к 1 ( 2б 1) за счет
сторонних сил в направлении, указанном стрелкой.
Замечание 2: Если участок цепи содержит
только ЭДС между точками 1 и 2, т. е. источник
тока разомкнут, то I = 0, 2
(рис. 5.6).
1=
Следовательно, ЭДС источника тока можно
определить как разность потенциалов на его
клеммах в разомкнутой цепи, т.е. к клеммам
источника необходимо присоединить вольтметр.
Рис. 5.6
При последовательном соединении
N
одинаковых источников с ЭДС
и внутренним сопротивлением r сила
тока в цепи
I
1
R
N
.
r
При параллельном соединении N одинаковых источников с ЭДС
внутренним сопротивлением r сила тока в цепи
1
.
I
r
R
N
и
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
68
Лекция 7
5.6. Работа, мощность, КПД источника тока
Рассмотрим однородный участок 1 2 проводника, к которому
приложена разность потенциалов 2
1. Если по проводнику течет ток I, то
за время dt через поперечное сечение его будет перенесен заряд dq = Idt.
Следовательно, силы поля совершат элементарную работу
A = dq( 2 1) = I( 2
(5.18)
1)dt = IUdt.
Полезная работа на всем участке 1 2
А= Iut = I2Rt.
(5.19)
Если электрическая цепь замкнута и содержит источника с ЭДС
, то
вся затраченная источником тока работа АЗ = АП + АВНУТ,
где АЗ = I t, АП = IURt, АВНУТ = IUrt.
Тогда
= UR + Ur = IR+ Ir,
(5.20)
где UR
напряжение на внешнем сопротивлении, Ur напряжение на
внутреннем сопротивлении источника тока.
Мощность тока можно найти по формуле
N=
A.
t
(5.21)
Развиваемая источником тока затраченная мощность
NЗ = NП + NВНУТ,
(5.22)
где NЗ= I , NП = IUR, NВНУТ = IUr.
КПД источника тока можно найти по формуле
=
AП
AЗ
NП
NЗ
R
R r
.
Затраченная источником тока мощность
NЗ = I = /(R+r),
где I = /(R + r).
Полезная мощность, выделяемая во внешнем участке цепи
R
N = IU = I2R =
.
П
(5.23)
(5.24)
R
(R r ) 2
Следовательно, затраченная
и полезная мощности являются
функциями от внешнего сопротивления. Если R 0, то NП
0; R
, то
NП
0. В этом случае функция NП = f2 (R) имеет один максимум. Найдем
условие, при котором полезная мощность максимальна, т. е. NП = NП, МАХ.
2
R2 )
Для этого производную dN п приравняем нулю, т. е. dN п ( r
= 0,
4
dR
dR
(R r )
т. е.
(r2 R2) = 0. (
0, то R = r и
= 0,5). Вывод: Если R = r , то
полезная мощность максимальна, а КПД источника тока равно 50%.
Электричество и магнетизм
69
Н.Ф. Шемяков
5.7. Тепловое действие тока. Закон Джоуля-Ленца.
При прохождении тока по проводнику происходит его нагревание, т. е.
выделяется некоторое количество теплоты Q.
Для определения выделяющегося количества теплоты за единицу
времени рассмотрим однородный участок проводника, к которому
приложена разность потенциалов 1
2.
На основании закона сохранения энергии эта работа переходит во
внутреннюю (тепловую) энергию, в результате чего проводник нагревается.
Действительно, в металлах электроны проводимости (носители тока)
под действием сил поля получают дополнительную кинетическую энергию,
которая расходуется на возбуждение колебаний кристаллической решетки
при взаимодействии электронов с ее узлами.
Так как при прохождении тока в металлических проводниках не
происходит изменение внутренней структуры металла, то вся работа
сторонних сил идет на выделение тепла, т. е. А = Q.
На основании закона Ома для однородного участка проводника U = IR
и формулы (5.24) получаем закон Джоуля Ленца:
Q = IUdt = I2Rdt.
(5.25)
Если на участке цепи выделить некоторый объем dV, то с учетом
формул (5.2) и (5.9) последняя формула примет вид
Q = j2dVdt.
Если в последнем выражении левую и правую части разделить на
dVdt,
то получим удельную тепловую мощность:
Qуд = j2,
(5.26)
т. е. удельная тепловая мощность определяет количество теплоты, которое
выделяется в единице объема проводника за единицу времени, и численно
равна произведению удельного сопротивления проводника на квадрат
плотности тока.
Формула (5.26) применима к любым проводникам, не зависит от их
формы, однородности и природы сил, возбуждающих электрический ток.
Если на заряды проводника действуют только электрические силы, то
на основании закона Ома (5.11) имеем
Qуд = Е2.
(5.27)
Если участок цепи неоднородный, то выделяемое количество теплоты
по закону сохранения энергии будет равно алгебраической сумме работ
кулоновских и сторонних сил.
Действительно, умножив правую и левую части формулы (5.16) на силу
тока I получим
I2 R = ( 1
(5.28)
2) I +
12 I.
Следовательно, из уравнения (5.28) следует, что тепловая мощность
Электричество и магнетизм
70
Н.Ф. Шемяков
Q = I2 R ,
(5.29)
выделяемая на участке цепи 1 2, равна алгебраической сумме мощностей
кулоновских и сторонних сил. Если цепь замкнута, то затраченная мощность
N =I .
(5.30)
Таким образом, общее количество теплоты, выделяемой за единицу
времени во всей цепи, равно мощности только сторонних сил.
Электрическое же поле только перераспределяет теплоту по различным
участкам цепи. Закон Джоуля Ленца справедлив и для электролитов, так как
работа электрического поля в них не расходуется на образование ионов,
которые возникают при диссоциации молекул в результате растворения.
Высокая
электропроводность
и
теплопроводность
металлов
объясняется наличием в них «свободных» электронов.
5.8. Переходные процессы в конденсаторах
Законы Ома и Джоуля Ленца во многих случаях можно применять и к
изменяющимся токам, если это изменение происходит не слишком быстро.
В таких цепях во всех их поперечных сечениях мгновенное значение
тока практически одно и то же.
Такие поля и токи называют
квазистационарными. Примером квазистационарных процессов является
разрядка и зарядка конденсатора.
Если конденсатор емкостью С зарядить до разности потенциалов
=U= 1
2
и замкнуть на внешнее сопротивление R, то через него потечет ток.
Обозначим через I
мгновенное значение тока; q
мгновенное
значение заряда на положительной обкладке; U
мгновенное значение
напряжения.
Направление тока будем считать положительным, когда он течет от
положительной обкладки к отрицательной (рис. 5.7, а, б).
Поэтому при разряде ток
dq
I=
.
dt
q
Применив формулу U
,
C
запишем закон Ома
U = IR
для однородного участка цепи в виде
Рис. 5.7
dq
dt
q
RC
0.
(5.31)
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
71
Последнее выражение преобразуем к виду
dq dt
0.
q RC
После интегрирования получим закон изменения заряда в зависимости
от времени
q
где q0
t
q oe
,
(5.32)
заряд конденсатора до разряда;
= RC
постоянная, время релаксации, т. е. время за которое заряд конденсатора
уменьшается в е раз.
Найдем закон изменения тока, продифференцировав (5.32) по времени:
I
Ioe
t
,
(5.33)
где I0
cила тока в момент времени t = 0.
Процесс зарядки конденсатора.
Для этого в цепь конденсатора включим источник тока с ЭДС (рис. 5.8, а).
Электрические заряды на обкладках конденсатора препятствуют
прохождению тока и уменьшают его.
В процессе зарядки конденсатора уравнение
q = CU
остается постоянным. Сила тока изменяется по закону
dq
I=
.
dt
Закон Ома для неоднородного участка
цепи запишем в виде
Рис. 5.8
IR =
U,
где R
сопротивление соединительных
проводов,
включая
внутреннее
сопротивление источника ЭДС.
Направление
тока
считается
положительным, если он течет к
положительной обкладке. Исключив из
последних трех выражений
ток и
напряжение, получим уравнение
dq q
/R.
dt RC
Это неоднородное дифференциальное
уравнение
приведем
к
Электричество и магнетизм
однородному виду:
Н.Ф. Шемяков
72
d
(q
dt
C) + (q
C)/(RC).
t
Решив это уравнение, получим
q = qm (1 e
(5.34)
),
где qm = C максимальное значение заряда на конденсаторе при t
.
Закон изменения тока по времени
t
I
I o (1 e ) ,
(5.35)
где
Io = /R
максимальный ток в начальный момент времени (рис. 5.8, б).
5.9. Правила Кирхгофа
При расчете сложных электрических цепей значительно проще
использовать правила Кирхгофа, чем законы Ома.
5.9.1. Первое правило Кирхгофа
Алгебраическая сумма токов в узле равна нулю,
N
Ik
0.
(5.36)
k 1
Узлом называют соединение не менее трех проводов. Условились
считать, токи подходящие к узлу положительными, а отходящие
отрицательными. Например, на рис. 5.9 а, уравнение, составленное по
первому правилу Кирхгофа, запишется в виде:
I2 + I3 I1 = 0
Первое правило Кирхгофа является следствием условия непрерывности
для постоянного тока (стационарных токов).
5.9.2. Второе правило Кирхгофа
Алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивление
отдельных
участков произвольного замкнутого контура равна
алгебраической сумме ЭДС, действующих на этих участках в замкнутом
контуре:
N
N
Ik R k
k 1
.
k
k 1
(5.37)
Второе правило Кирхгофа применимо к любому замкнутому контуру
разветвленной цепи. Выделим замкнутый контур, состоящий, например, из
трех неоднородных участков цепи (рис. 5.9, б).
Выберем произвольно направление обхода по контуру, например, по
Электричество и магнетизм
73
Н.Ф. Шемяков
часовой стрелке. Применим к каждому из участков цепи закон Ома для
неоднородного участка c учетом внутреннего сопротивления источников:
I1R1 + I1r1 = 1
2 + 1,
I2R2 + I2r2 = 2
3 + 2,
I3R3 + I3r3 = 3
1 + 3.
После сложения левых и правых частей системы уравнений придем к
уравнению, выражающему второе правило Кирхгофа. При составлении
уравнений (5.36) и (5.37) необходимо выполнить ряд простых условий:
1) выбрать направление обхода в
разветвленной цепи общее для всех
замкнутых контуров по часовой, или
против часовой стрелки;
2)
указать
стрелками
предположительное направление токов
от узла до узла с соблюдением условия
непрерывности;
3) указать полярность на зажимах
источников ЭДС;
Риc. 5.9
4) определить число узлов и
замкнутых контуров;
5) если направление обхода контура совпадает с выбранным
направлением тока, то произведение IR в уравнении (5.37) берут со знаком
плюс; если же направление тока противоположно направлению обхода, то
это произведение берут со знаком минус;
6) если ЭДС повышает потенциал в направлении обхода по контуру
(внутри источника ток течет от клеммы минус к клемме плюс), то ее надо
брать со знаком плюс в уравнении (5.37); если ЭДС понижает потенциал в
направлении обхода, то ее берут со знаком минус;
7) если в разветвленной цепи имеется n узлов, то число независимых
уравнений, составленных по первому правилу Кирхгофа равно: n 1;
8) при числе замкнутых контуров равном m, число независимых
уравнений, составленных по второму правилу Кирхгофа равно: m (n 1), т.
е. число независимых уравнений типа (5.37) должно равняться наименьшему
числу разрывов, которые следует сделать в цепи, чтобы нарушить все
контуры;
9) если в результате вычислений после решения системы составленных
уравнений окажется, что какой-то ток отрицательный, то его истинное
направление в цепи противоположно выбранному направлению.
10) общее число составленных уравнений по первому и второму
правилам Кирхгофа должно равняться числу неизвестных в данной задаче.
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
74
Лекция 8
5.10. Классическая теория электропроводности металлов
На основании ряда экспериментальных данных, полученных учеными
Рикке, Мандельштамом и Папалекси, Толменом и Стюартом в начале XX в.
было установлено, что носителями тока в металлах являются электроны.
Некоторые свойства электрона были описаны Томсоном в 1895 97 гг.
Большая концентрация электронов в металлах (no 1028 1029 м 3)
обуславливает в них высокую тепло и электопроводимость. Позднее была
создана классическая теория электропроводности металлов Друде Лоренца.
В основу теории были положены выводы классической молекулярнокинетической теории, в которой электроны проводимости рассматриваются
как электронный газ и его свойства подобны свойствам одноатомного,
идеального газа. Число свободных электронов равно примерно числу
атомов.Согласно классической электронной теории проводимости металлов в
отсутствии электрического поля в них электроны проводимости (электронный газ) находятся в состоянии теплового хаотического движения в кристаллической решетке, образованной положительно заряженными ионами.
Ионы совершают тепловые колебания около положений равновесия узлов
кристаллической решетки. При своем движении электроны испытывают
столкновения с ионами. Длина свободного пробега электронов  10 10 м ,
т. е. по порядку равна периоду кристаллической решетки. В соответствии с
выводами молекулярно кинетической теории средняя кинетическая энергия
теплового движения электронов
Wk
m v кв
2
2
3
kT ,
2
где m масса электрона; vкв
средняя квадратичная скорость теплового
движения. Например, при температуре Т = 273 К, vкв
105 м/c.
При создании электрического поля в металлических проводниках
возникает электрический ток, плотность которого
j
noq e v ,
(5.38)
где n0
концентрация электронов; qe
заряд электрона; v
средняя
скорость упорядоченного движения. Скорость электрона v = <u> + v .
Следовательно, под действием напряженности электрического поля
электроны в проводнике приходят в упорядоченное движение в направлении
противоположном вектору напряженности электрического поля.
При максимально допустимой плотности тока в металлах cредняя
скорость упорядоченного движения v
10 3 м/c, т. е. v
u , что
объясняется малым значением средней длины свободного пробега электрона
между двумя последовательными столкновениями его с ионами.
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
75
5.11. Вывод закона Ома
По классической теории проводимости металлов при соударении
электрона с ионом он полностью теряет свою скорость.
Уравнение движения электрона в электрическом поле в процессе
свободного пробега является равноускоренным.
Поэтому на основании второго закона Ньютона
dv
F = ma = m ,
dt
где F = qeE; Е напряженность электрического поля.
Средняя скорость упорядоченного движения
v =
v мах
2
.
Если средняя продолжительность времени свободного пробега t , то
после интегрирования
dv
F = ma = m
dt
qeE
t
получим, что
vмах =
m
или
qeE
v = 2m t .
Если u всех электронов одинаковы, но v
время пробега электрона

.
t
u
С учетом этого формулу (5.39) перепишем в виде:
qe 
v
E.
2m u
Следовательно, плотность тока
noq e 2 
j
E,
2m u
где
noq e2 
2m u
(5.39)
u , найдем среднее
(5.40)
(5.41)
(5.42)
удельная электропроводимость проводника.
Таким образом, на основании классической теории проводимости
металлов был теоретически получен закон Ома в дифференциальной форме
j = E.
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
76
5.12. Вывод закона Джоуля
Ленца
После соударения электрона с ионами кристаллической решетки его
энергия упорядоченного движения переходит во внутреннюю энергию, что
приводит к нагреванию проводника.
Под действием электрического поля за время свободного пробега
электрон увеличивает свою кинетическую энергию на величину
2
m v мах u
mu 2
Wk
.
(5.43)
2
2
Из за теплового хаотического движения электронов, их средняя
кинетическая энергия
m v 2мах
.
(5.44)
Wk
2
В единице объема проводника содержится n0 электронов, причем
ежесекундно каждый из них испытывает в среднем число столкновений с
ионами
u
z
.
(5.45)

Энергия электрического тока, которая преобразуется во внутреннюю
энергию за 1 с в единице объема, называется объемной плотностью
тепловой мощности
2
u
u m v мах
w no
Wk n o
, (5.46)


2
где
vмах = 2 v .
Используя формулу (5.39) и
t
окончательно получим
w

u
n o q 2e 
2m u
E2
(5.47)
или
w = E2.
Последняя
формула
дифференциальной форме, т. е.
выражает
w
закон
j E
Джоуля Ленца
1
j2
j2 .
(5.48)
в
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
77
5.13. Вывод закона Видемана
Франца.
Основатели классической теории проводимости металлов пытались
теоретически получить закон Видемана Франца:
/ = Const.
(5.49)
При постоянной температуре для всех металлов отношение
коэффициента теплопроводности к коэффициенту электропроводности
является величиной постоянной.
Исследования Лоренца показали, что
/ = L T,
(5.50)
где L константа Лоренца.
Из молекулярно кинетической теории известно, что коэффициент
1
теплопроводности
= сc v u  ,
(5.51)
3
где сv удельная теплоемкость идеального газа при постоянном объеме;
= mn0 плотность одноатомного газа.
Если молярная масса газа
М = mNa, то
3R 3
nok ,
сv = mn o
(5.52)
2M 2
где R универсальная газовая постоянная; k постоянная Больцмана.
Следовательно,
1
= k no u  .
(5.53)
2
Подставив значение коэффициентов теплопроводности из (5.53) и
электропроводности из (5.49) в (5.52), получим закон Видемана Франца в
виде
/ = k m<u>2 / q2
3kT
Из молекулярно-кинетической теории следует, что u
vкв =
.
m
Тогда окончательно получим
/ = 3k2T / q2,
(5.54)
k2
где константа Лоренца
L =3 2 .
qe
Несмотря на то, что классической теории удалось получить законы
Ома и Джоуля Ленца при выводе закона Видемана Франца встретились
серьезные трудности. Значение константы L значительно расходилось с
экспериментальными данными.
Для металлов бериллия и марганца закон Видемана
Франца не
выполняется.
Электричество и магнетизм
78
Н.Ф. Шемяков
Попытки Лоренца уточнить теорию, используя классическую
статистику Максвелла Больцмана, не дали результатов. Действительно,
сильно упрощенная классическая теория проводимости металлов не могла
учесть всех особенностей свойств электрона, которые были получены
позднее. Например, 1) согласно теории удельное сопротивление
1
T,
что противоречит экспериментальным данным; 2) средняя длина свободного
пробега электронов значительно больше и состаляла сотни периодов
кристаллической решетки, т. е. электроны значительно реже испытывают
столкновения с ионами; 3) более значительные затруднения теории возникли
при объяснении теплоемкости металлов.
Молярная
теплоемкость
металлов
определяется
молярной
теплоемкостью кристаллической решетки Среш и молярной теплоемкостью
электронного газа Сэл, т. е.
С = Среш + Сэл. Ионы, образующие
кристаллическую решетку проводника, совершают тепловые колебания
около узлов кристаллической решетки. Любой ион имеет три колебательные
степени свободы и характеризуется в среднем энергией колебательного
движения Wkoл = 3 kT.
Тогда внутренняя энергия одного моля ионов Uреш = Na 3kT = 3RT.
Следовательно, теплоемкость решетки (закон Дюлонга и Пти)
dU р еш
(5.55)
C р еш
3R .
dT
Теплоемкость электронного газа
Сэл = 3R/2,
(5.56)
Таким образом, полная теплоемкость металл
Сэл = 9R/2.
(5.57)
Согласно экспериментальным данным молярная теплоемкость
металлов почти не отличается от молярной теплоемкости кристаллических
диэлектриков при нормальных условиях и находится по формуле С = 3R, т.
е. электронный газ практически не имеет теплоемкости.
Трудности классической теории удалось преодолеть после создания
качественно новой квантовой теории проводимости металлов, предложенной
Зоммерфельдом в 1928 г. В своей теории он использовал статистику ФермиДирака. Согласно выводам квантовой теории константа L в законе Видемана2
k2
Франца
L=
,
(5.58)
3 q 2e
что хорошо согласуется с экспериментальными данными.
В квантовой теории учтено влияние периодического электрического
поля на движение электронов, созданного ионами кристаллической решетки,
нарушения этой периодичности за счет тепловых колебаний ионов, наличия
примесей и т. д.
Электричество и магнетизм
79
Н.Ф. Шемяков
5.14. Основы квантовой теории проводимости металлов
В квантовой механике, как и в классической статистической физике,
закономерности поведения частиц имеют статистический и вероятностный
характер. Однако в квантовой механике необходимость статистического
описания поведения ансамбля частиц является следствием корпускулярноволнового дуализма частиц материи, открытого Луи де Бройлем.
Квантовая теория для объяснения электропроводности металлов учла все
особенности новых свойств электронов:
1) электрон отрицательно заряженная частица qe = 1,6 10- 19 Кл;
2) электрон имеет массу покоя me = 9,11 10- 31 кг;
3) заряд электрона инвариантен и не зависит от скорости движения;
4) электрон имеет двойственную корпускулярно волновую природу;
5) электрон относится к тождественно неразличимым частицам;
6) электрон имеет собственный момент импульса Lsz ≠ 0;
7) электрон имеет спиновое магнитное число ms = 1/2
(5.59)
1) электроны имеют собственный магнитный момент рms ≠ 0;
2) электроны описываются статистикой Ферми Дирака,
являются
фермионами с полуцелым спином.
5.15. Квантовые числа
В квантовой механике состояние электрона описывается
набором квантовых чисел: главное квантовое число n = 1, 2, 3, ... ;
характеризует энергию электрона в атоме; орбитальное
квантовое число  0, 1, 2, 3, ... , n 1; характеризует энергию
взаимодействия электронов; магнитное квантовое число m = 0,
1, 2, 3, ... ,  ; характеризует проекцию момента импульса;
спиновое квантовое число mS = 1/2 ( спин S =1/2).
При заполнении электронами энергетических состояний (уровни энергии)
для фермионов выполняется принцип Паули:В данной системе
тождественных фермионов любые два из них не могут одновременно
находиться в одном и том же состоянии. При равных значениях квантовых
чисел n,  , m  электроны должны иметь противоположно направленные
спины. Заполнение электронами энергетических уровней происходит при
одновременном выполнении трех условий: а) электроны должны иметь
вполне определенные значения квантовых чисел n,  , m , ms;
(5.60)
б) соответствовать минимуму энергии;
в) подчиняться принципу запрета Паули.
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
80
5.16. Основы квантовой статистики
В отличие от классической квантовая статистика строится на принципе
неразличимости тождественных частиц, например, электронов в атоме.
Квантовой статистикой называют метод исследования квантовой
системы, состоящей из большого числа частиц.
Основная задача квантовой статистики
нахождении функции
распределения частиц квантовой системы по координатам, импульсам,
энергиям.
5.16.1. Статистика Бозе
Эйнштейна
Частицы со спином s = 0 или целым кратным  : s = 0,  , 2  , ... ,
[  h / (2 ) ]. Такие частицы называют бозонами: например, фотоны,
квазичастицы фононы, куперовские пары электронов в сверхпроводниках,
ядра атомов и т. д. Собственный момент импульса Lsz =±2mħ/2, где m =0, 1,
2, … . Поведение бозонов описывается статистикой Бозе
Эйнштейна.
Бозоны не подчиняются принципу запрета Паули.
Функция Бозе
Эйнштейна
среднее число частиц в данном
состоянии,
1
fз
,
(5.61)
Wi WF
e kT
где Wi энергия i й частицы; WF
по формуле
энергия Ферми, которую рассчитывают
= WF
5.16.2. Статистика Ферми
Рис. 5.10
1
h 2 3n o 2 3
( ) .
2m 8
(5.62)
Дирака
Частицы с полуцелым спином в единицах 
называют фермионами. Собственный момент
импульса фермионов Lsz = ± (2m +1) ħ / 2.
К фермионам относятся, например,
электроны, протоны, нейтроны и др.
Фермионы
подчиняются
принципу
запрета
Паули.
Состояние
фермионов
описывается статистикой Ферми
Дирака.
Функция распределения Ферми
Дирака
имеет вид:
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
81
fФ
1
e
.
Wi WF
kT
(5.63)
1
На рис. 5.10 приведены графики функций распределения Максвелла –
Больцмана, Бозе Эйнштейна и Ферми Дирака.
5.17. Распределение электронов в металлах
по энергиям при Т = 0 К.
Если квантовая система состоит из не взаимодействующих фермионов,
например, электронов в металлах, то она называется идеальным ферми–
газом.
Газ называют вырожденным, если его свойства отличаются от свойств
классического идеального газа. Температура вырождения
2
Tв
3h 2 3n 0 3
( ) .
40mk
(5.64)
В металлах электронный ферми–газ всегда вырожден, Тв 2 104 К.
Для полупроводников Тв 10 4 К, так как no = 1018 м 3, т. е. электронный
газ в полупроводниках невырожден при нормальных условиях и описывается
статистикой Максвелла-Больцмана.
Кроме электронного газа, невырожденным
является фотонный газ (TВ
).
Дальнейшее развитие квантовой
механики
привело к созданию квантовой теории твердого тела,
позволяющей с единой точки зрения объяснить
Рис. 5.11
электрические, тепловые и др. свойства металлов.
В простейшей модели квантовой теории электроны проводимости в
металлах рассматривались как идеальный ферми-газ в потенциальном ящике
с плоским дном. При Т = 0 К все энергетические состояния равномерно
заполнены попарно электронами с противоположным направлением спинов в
каждом состоянии, начиная от дна потенциальной ямы, вплоть до
максимальной энергии Ферми (WF = 10 эВ), рис. 5.11, где АВ – работа выхода
электрона из металла, отсчитываемая от уровня Ферми, последнего
энергетического уровня, занятого электронами, а не от дна потенциальной
ямы, как в классической теории.
Работа выхода – минимальная энергия, которую необходимо затратить
для удаления электрона из металла в вакуум.
Горизонтальные линии характеризуют разрешенные энергетические
уровни, которые могут занимать электроны. Согласно принципу Паули на
каждом уровне могут находиться не более двух электронов с
противоположными спинами. Если электронный газ содержит N электронов,
Электричество и магнетизм
82
Н.Ф. Шемяков
то последний занятый уровень обозначается N/2 и
называется уровнем Ферми (энергия Ферми) для
вырожденного электронного газа.
Энергия Ферми – максимальная энергия, которую
могут иметь электроны в металле при Т = 0 К.
Энергия Ферми, являясь кинетической энергией
поступательного движения свободных электронов, не
Рис. 5.12
является энергией их теплового движения. Она имеет
чисто квантовую природу и справедлива для фермичастиц. Число уровней, занятых электронами по
порядку величины, равно их концентрации.
На рис. 5.12 приведен график зависимости функции
распределения Ферми–Дирака от энергии электрона при
Т = 0 K. На рис. 5.13 показан график распределения
Рис. 5.13
электронов в металле по энергиям, где dn – число
частиц, энергия которых заключена в интервале (W, W + dW).
5.18. Распределение электронов в металлах
по энергиям при Т 0 К.
С повышением температуры металла электроны подвергаются тепловому
возбуждению и переходят на более высокие энергетические уровни. Однако
в интервале температур при kT WF не все электроны получают энергию.
Действительно, все состояния, кроме тех, что находятся в области энергии
Ферми (в интервале шириной kT), заняты. Например, при Т = 300 К энергия
электронов составляет 0,025 эВ. Поэтому число электронов, подвергнутых
тепловому возбуждению, от общего их числа в металле составляет 1 %.
На рис. 5.14 приведен график зависимости функции распределения
Ферми-Дирака (f = 1) от энергии электрона при Т 0 K, а на рис. 5.15 –
график распределения электронов в металле по энергиям при Т 0 K.
Средняя энергия электрона в металле при Т 0 K
3
5 2 kT
.
(5.65)
W
WF 1
5
12 WF
Так как при комнатной температуре kT
WF, то
3
W
WF .
(5.66)
5
Вывод: Во всем диапазоне температур, в
Рис. 5.14
котором электронный газ является вырожденным,
его распределение по энергиям мало отличается от распределения при Т = 0
К. Тепловому возбуждению подвергается незначительная часть электронов,
находящихся близко к уровню Ферми.
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
83
Концентрация и средняя скорость движения электронов не зависит от
температуры. В квантовой механике доказывается, что с повышением
температуры
значение
энергии
Ферми
незначительно понижается и для металлов можно
пренебречь этим изменением.
Замечание: Однако незначительное понижение
энергии Ферми (химического потенциала ) при
увеличении температуры имеет решающее значение
для термоэлектрических явлений, особенно для
полупроводников.
Строгий вывод закона Ома на основании
Рис. 5.15
квантовой теории является сложной задачей.
Поэтому рассмотрим этот вопрос только качественно. Каждый электрон под
действием электрического поля движется с упорядоченной скоростью. По
квантовой теории закон Ома имеет вид j = E,
(5.67)
где
n o q 2e
m
( F)
u( F)
,
(5.68)
 ( F)
– средняя длина свободного пробега электрона на уровне Ферми; u(F) –
cредняя скорость электрона на уровне Ферми.
В квантовой теории проводимости металлов движение электронов в
металлах рассматривается, как процесс распространения электронных волн
де Бройля, которые рассеиваются при взаимодействии с ионами
кристаллической решетки проводника. Рассеяние электронных волн и
связанное с ним сопротивление проводников возникает, если в
кристаллической решетке существуют центры рассеяния – различные
искажения (дефекты) правильной структуры кристалла, для которых период
кристаллической решетки d больше длины волны де Бройля электрона.
Центрами рассеяния являются флуктуации плотности, возникающие в
кристаллах в результате тепловых колебаний узлов решетки.
Таким образом, причинами появления электрического сопротивления
твердых тел, в том числе и металлов, согласно квантовой теории являются
различные искажения кристаллической решетки, вызывающие нарушение
периодичности ее потенциала, на которых происходит рассеяние
электронных волн и ослабление упорядоченного потока электронов.
Если сила сопротивления движению электронов будет равна силе,
действующей со стороны, приложенного к проводнику электрического поля,
то электроны будут совершать направленное движение с постоянной
дрейфовой скоростью в направлении, противоположном вектору
напряженности электрического поля, т. е.
vд
qe
E,
m эф
(5.69)
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
84
где m'эф – эффективная масса электрона; – время релаксации (для чистых
металлов
10 14 с – характеризует быстроту установления в системе
равновесного состояния).
Отношение дрейфовой скорости к напряженности электрического поля
называют подвижностью:
u
Для электронов un
vд
Е
qe
.
m эф
(5.70)
0. В СИ подвижность измеряют в м2/(B c)
5.19. Теплоемкость электронного газа
Согласно первому началу термодинамики
dU = Q pdV,
(5.71)
где dU
изменение внутренней энергии; Q
количество теплоты,
сообщенное телу; А= pdV работа, совершенная системой.
Согласно второму началу термодинамики
Q = ТdS, где Т
температура металла; dS изменение энтропии системы.
Известно, что энергия системы может изменяться и при изменении числа
частиц N в ней, т. к. каждая частица, покинувшая систему, уносит с собой
определенную энергию. С учетом этого закон сохранения энергии запишется
в виде
dU = ТdS pdV + dN,
(5.72)
где dN число частиц в системе;
химический потенциал системы.
Химический потенциал характеризует изменение энергии изолированной
системы постоянного объема, давления и температуры при изменении в ней
числа частиц на единицу.
Действительно, по определению dS = 0, dV = 0,
dU =
dN, т. е.
распределение электронов
описывается функцией Ферми Дирака, если = WF
при
Т = 0К.
Внутренняя энергия одного моля электронного
газа Uм,э = Nа<W>,
где <W> средняя энергия электрона в металле.
Молярную теплоемкость электронного газа
найдем при V = сonst, no = сonst,
Рис. 5.16
WF = сonst по формуле
U м, э
.
(5.73)
CV
T V
Следовательно,
Электричество и магнетизм
85
Н.Ф. Шемяков
2
3
R kT
.
(5.74)
CV
N a WF
5
2WF
По классической теории теплоемкость электронного газа
3
Скл = R .
2
Найдем отношение теплоемкостей
2
C кв
kT
V
0,015 .
кл
3WF
СV
Таким образом, вырожденный ферми газ
имеет не значительную теплоемкость, так как
квантовое распределение Ферми Дирака мало
чувствительно к температуре.
Рис. 5.17
На рис. 5.16 и
5.17 приведены графики
зависимости внутренней энергии и молярной теплоемкости от температуры.
5.20. Число состояний. Плотность состояний
В классической физике состояние частицы определяется заданием трех
координат Х, У, Z и трех проекций импульса на оси координат рх, ру, рz.
Если рассмотреть 6 мерное пространство с осями координат Х, У, Z, рх,
ру, рz , то состояние частицы в нем в любой момент времени определяется
фазовой точкой с координатами Х, У, Z, рх, ру, рz.
Такое пространство называют фазовым. Элемент этого фазового
пространства координат обозначим
ГV = dx dy dz. Элемент объема
фазового пространства импульсов обозначим Гр = dрх dру dрz.
У квантовых частиц различным элементам объема шестимерного
фазового пространства отвечают различные квантовые состояния
микрочастицы, если размер этих элементов объема не меньше h 3 (h
постоянная Планка). В квантовой статистике элементарный объем
шестимерного фазового пространства (элементарная ячейка)
ГV = h3, а
элемент трехмерного пространства импульсов
h3
Гр
,
(5.75)
V
где V
элементарный объем для свободной частицы, т. е. фазовое
пространство квантуется.
Найдем число состояний частицы из интервала энергий (W, W + dW). Для
этого проведем в пространстве импульсов две сферические поверхности с
радиусами р и р + dp (рис. 5.18).
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
86
Шаровой слой имеет объем V = 4 p2dp.
Число элементарных ячеек в этом слое
4 p 2 dp 4 p 2 dpV
.
(5.76)
z
Гр
h3
Поскольку каждой фазовой ячейке отвечает
одно состояние микрочастицы, то число
состояний, приходящихся на интервал dp,
заключенный между р и p + dp, т. е. g(p) dp = z.
Если свободные частицы не взаимодействуют
p2
друг с другом, то энергия частицы W
;
2
m
Рис. 5.18
p
а ее изменение dW
dp .
m
m
Тогда р2 =2mW; dp dW
.
2W
Следовательно, число состояний
g W dW
2 V
h
3
2m
1
3
2 W 2 dW .
(5.77)
Таким образом, плотность состояний
gW
2 V
3
2m
1
3
2 W2 .
(5.78)
h
Замечание: Для электронов каждой фазовой ячейке соответствуют два
состояния, отличающиеся друг от друга направлением спина, т. е.
существуют спиновые состояния.
Следовательно, для электронов число состояний необходимо удвоить:
8 V 2
(5.79)
g p dp
p dp ,
h3
g W dW
Плотность состояний
gW
Если функцию распределения Ферми
4 V
h3
4 V
h3
2m
1
3
2 W 2 dW .
(5.80)
2m
1
3
2 W2 .
(5.81)
Дирака f ф W
1, W
WF
0, W WF
умножить на число состояний g(W)dW, то получим полную функцию
распределения Ферми Дирака при Т = 0 К
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
87
4 V
N W dW
3
2m
1
3
2 W 2 dW .
(5.82)
h
Так как в интервале энергий от 0 до WF функция распределения ФермиДирака fф = 1, то после интегрирования (5.82) в пределах от 0 до WF получим
число частиц
N
8 V
3
2m
3
3
2
2 WF .
(5.83)
3h
Учитывая, что n0 = N / V концентрация электронного газа в металлах,
получим формулу энергии Ферми:
2
2
3
h 3n 0
.
(5.84)
2m 8
Зная функцию распределения электронов по энергиям можно найти
3
среднюю энергию электрона при Т = 0 К:
W
WF .
5
Максимальная скорость электронов на уровне Ферми
2WF
vF
m
6
или vF 10 м/c.
Средняя квадратичная скорость
2 W
v кв
.
m
WF
5.21. Эффективная масса электрона
Под действием внешней силы в периодическом поле кристаллической
решетки электрон движется так, как двигался бы под действием этой силы
свободный электрон, если бы он имел массу
m эфф
где 
h
2
2
,
d 2 W / dk 2
(5.85)
постоянная Планка;
k=2
волновое число.
Эффективная масса электрона по абсолютному значению может быть
больше или меньше массы электрона m, положительной или отрицательной.
Для свободного электрона
m = mэф.
Иначе обстоит дело с электронами в кристалле, где он имеет не только
кинетическую, но и потенциальную энергии.
Электричество и магнетизм
88
Н.Ф. Шемяков
Чем шире разрешенная зона, тем меньше эффективная масса электронов,
находящихся у дна этой зоны.
Часть работы внешней силы, действующей на электрон, переходит в
кинетическую энергию, остальная часть работы в потенциальную энергию,
т. е.
А = Wk + Wp.
Но скорость и кинетическая энергия возрастают медленнее, чем у
свободного электрона. Такой электрон становится как бы тяжелее.
Если вся работа внешней силы переходит в потенциальную энергию:
А = Wp,
то изменение кинетической энергии и скорости электрона не происходит, и
он ведет себя, как частица с бесконечной, эффективной массой.
Если же при движении электрона в потенциальную энергию переходит не
только вся работа внешней силы, но и кинетическая энергия
Wp = Wk + А,
тогда скорость электрона будет уменьшаться, т. е. он ведет себя, как частица
с отрицательной эффективной массой.
Так ведут себя электроны, расположенные у потолка энергетической зоны.
Если при движении электрона в кинетическую энергию переходит вся
работа внешней силы и потенциальная энергию,
т. е.
Wk = Wp + А,
то его скорость растет быстрее, чем у свободного электрона, и он становится
легче свободного электрона (m mэф).
Лекция 9
5.22. Приближения слабой и сильной связи. Функция Блоха
Дальнейшее развитие квантовая теория проводимости металлов получила
в зонной теории Зоммерфельда.
Согласно этой теории кристаллическое тело рассматривается, как
периодическая структура, в которой ионы, расположенные
в узлах
кристаллической решетки, создают электрическое поле. Для описания
поведения электрона в этом поле используются методы приближения
сильной и слабой связи. По методу «приближения сильной связи» каждый
электрон имеет свою систему дискретных энергетических уровней, а энергия
связи электрона с атомами значительно больше их кинетической энергии
движения в кристалле. Из за сильной связи электрона с атомами только
внешние (валентные) электроны при сближении атомов на расстояние
сравнимое с размерами самих атомов (r 10 10 м), переходят от одного атома
к другому. Согласно метода «приближения слабой связи» считается, что
Электричество и магнетизм
89
Н.Ф. Шемяков
энергия взаимодействия
электрона с решеткой много меньше их
кинетической энергии, что позволяет считать
электроны свободными. Если два изолированных
атома находятся на расстоянии много больше их
диаметра, то потенциальный барьер для внешних
электронов у этих атомов настолько широк, что
вероятность просачивания электрона сквозь
потенциальный барьер близка к нулю (рис. 5.19).
При сближении атомов на расстояние,
Рис. 5.19
сравнимое с периодом кристаллической решетки
твердого
тела
происходит
перекрытие
электрических
полей
из за
сильного
взаимодействия атомов.
Потенциальные кривые накладываются друг на
друга (рис. 5.20), происходит их сужение и
понижение.
Поэтому
получают
свободу
перемещения по кристаллу не только валентные,
Рис. 5.20
но и электроны, расположенные на более глубоких
энергетических уровнях, за счет туннельного
прохождения сквозь потенциальный барьер, отделяющий соседние атомы
друг от друга. Основной задачей теории твердого тела является определение
энергетического спектра электронов в кристалле. Для свободного электрона
все точки пространства эквивалентны и вероятность его обнаружения в той
или иной области этого пространства одинакова и не зависит от координат
электрона.
Иначе обстоит дело с электронами, движущимися в периодическом поле
правильной
кристаллической
решетки,
образованной
ионами,
расположенными в ее узлах (рис. 5.21).
Вероятность обнаружения электрона в данной точке кристалла должна
быть периодической функцией координаты,
например х. Положения, отличающиеся друг
от друга на величину, кратную постоянной
решетки d, для электрона являются одинаково
вероятными. Различными будут только
положения в пределах одного периода.
Следовательно,
амплитуда
волновой
функции электрона
(х), движущегося в
периодическом электрическом поле решетки,
Рис. 5.21
не остается постоянной, а периодически
изменяется (модулирована с периодом, равном d) с течением времени.
Если обозначить амплитуду волновой функции через u(x), то волновую
Электричество и магнетизм
90
Н.Ф. Шемяков
функцию электрона, движущегося в направлении оси Х, можно представить
в виде функции Блоха:
(х) = u(x) e i k x ,
где е основание натуральных логарифмов; i = 1; k = 2 /
волновое
число;
длина волны электрона.
Таким образом, на распределение электронов по энергетическим уровням
в твердых телах влияет: 1. внутреннее периодическое электрическое поле
ионов кристаллической решетки;
2) взаимодействие между атомами
(происходит перекрытие волновых функций валентных электронов).
В
результате
этого
влияния
происходит объединение энергетических
уровней в зоны разрешенных энергий,
разделенных запрещенными зонами
(рис. 5.22).
Вывод: При объединении N атомов
вещества в кристалл вместо отдельных
энергетических
уровней,
в
энергетическом спектре электронов,
возникают зоны разрешенных энергий из
(2  +1)N дискретных уровней ( 
орбитальное квантовое число).
Рис. 5.22
Расстояние между уровнями в
разрешенной зоне кристалла очень мало.Например, при ширине разрешенной
зоны в 1 эВ (1эВ = 1,6 10 19 Дж) это расстояние составляет примерно 10 22 эВ.
Но число уровней в разрешенных зонах конечно, что оказывает влияние на
распределение электронов по энергетическим состояниям.
5.23. Проводники, диэлектрики
и полупроводники в зонной теории
Зонная теория один из основных разделов квантовой теории твердых
тел, которая описывает движение электрона в кристаллах. Согласно этой
теории электроны внешних энергетических зон имеют примерно одинаковую
свободу движения во всех твердых телах независимо от того, являются они
металлами или диэлектриками. Действительно их движение осуществляется
путем туннельного перехода от одного атома к другому. Современные
представления о строении диэлектриков существенно отличаются от
представлений о связанных зарядах, лежащих в основе классической теории.
Наличие свободных электронов является лишь необходимым условием
проводимости у тел, но не достаточным.
В зонной теории проводники, диэлектрики и полупроводники по
электрическим свойствам отличаются расположением разрешенных и
Электричество и магнетизм
91
Н.Ф. Шемяков
запрещенных зон энергии и заполнением этих зон электронами.
Чем больше энергия электрона в изолированном атоме, тем шире
разрешенная зона и меньше ширина запрещенной зоны.
Последняя
полностью
заполненная
электронами зона называется валентной
зоной.
Следующая
за
валентной
зоной
свободная зона или частично заполненная
электронами при Т = 0 К, называется зоной
проводимости.
Электропроводность
твердого
тела
зависит не от числа валентных электронов, а
от отношения числа электронов в зоне
проводимости
к
общему
числу
энергетических уровней в этой зоне.
К проводникам относятся тела, у которых
над полностью заполненной электронами
валентной зоной располагается частично
Рис. 5.23
заполненная
электронами
зона
проводимости.
Такие зоны возникают в том случае, если энергетический уровень, из
которого она возникает, заполнен в атоме не полностью, например, у
щелочных элементов и металлов (рис. 5.23, а).
Частично заполненная электронами зона может образоваться из за
перекрытия валентной зоны и зоны проводимости (гибридная зона), что
имеет место у бериллия и щелочноземельных элементов (рис. 5.23, б).
Следовательно, достаточным условием проводимости тел является
наличие в их энергетическом спектре разрешенных зон, заполненных
электронами лишь частично.
Поэтому даже слабое электрическое поле способно перевести электроны
на свободные энергетические уровни в зоне проводимости, т. е. появится
электрический ток.
К диэлектрикам и полупроводникам относятся тела, у которых при Т = 0
К над полностью заполненными электронами валентными зонами находятся
свободные зоны (зоны проводимости). Эти зоны разделены широкими
запрещенными зонами. К ним относятся химические элементы, например,
алмаз, кремний, германий, а также многие химические соединения окислы
металлов, нитриды и т. д. К диэлектрикам относятся вещества, у которых
валентная зона отделена от зоны проводимости широкой запрещенной зоной
( W 2 3 эB).
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
92
Например, у алмаза
W = 5,2 эB, у нитрида бора
W = 4,6 эB, у Al2O3
W 7 эB и т. д. (рис. 5.24, а). К полупроводникам относятся вещества, у
которых имеется более узкая запрещенная зона между валентной зоной и
зоной проводимости, чем у диэлектриков ее энергия W 2 3 эB.
Например, у германия ширина
запрещенной зоны W = 0,66 эB, у
кремния
W = 1,08 эB, у арсенида
галлия
W =1,4 эB (рис. 5.24, б).
Под действием электрического поля
напряженностью Е = 105 В/м (обычные
источники тока) может быть сообщена
электронам энергия W 10 3 эВ, что
значительно
меньше
ширины
запрещенной зоны в диэлектриках и
полупроводниках. В табл. 5.1 приведены
значения ширины запрещенной зоны
(энергии активации) W и концентрации
Рис. 5.24
электронов n в металлах, диэлектриках
и полупроводниках.
Таблица 5.1
W,
эВ
n,
м 3
10
10
59
5
10
3
29
Диэлектрики
10
2
108
1
0,75
0,5
0,1
0,01
1017
1019
1021
1024
1029
Полупроводники
Металлы
Лекция 10
5.24. Электропроводность собственных полупроводников
Химически чистые идеальные полупроводники называют собственными
полупроводниками. Например, германий Ge, кремний Si, cелен Se, индий In,
фосфор Р и многие химические соединения, например, арсенид галлия,
арсенид индия и др. В собственных полупроводниках при температуре
абсолютного нуля (Т = 0 К) валентная зона заполнена электронами
полностью, а зона проводимости пуста.Валентная зона отделена от зоны
проводимости запрещенной зоной.Уровень Ферми в собственных
Электричество и магнетизм
93
Н.Ф. Шемяков
полупроводниках проходит посередине запрещенной зоны (рис. 5.25, а). С
повышением температуры часть валентных электронов, получивших
энергию W,
переходят в зону проводимости, что
приводит к появлению в ней свободных
электронов, а в валентной зоне свободных
уровней.
Для
полноты
описания
электропроводности
собственных
полупроводников
используют
понятие
“дырки”
квазичастицы,
которым
приписывают положительный заряд, равный
по абсолютной величине заряду электрона.
На освобожденном электроном уровне в
валентной зоне появляется положительно
заряженная дырка. Это вакантное место
могут занимать валентные электроны с
Рис. 5.25
соседних уровней, а на их месте в свою
очередь тоже появляются дырки и т. д. (рис. 5.25, б). При внесении такого
полупроводника в электрическое поле в нем возникает электрический ток за
счет упорядоченного движения электронов из валентной зоны в зону
проводимости и их движения внутри валентной зоны против поля, а также за
счет движения дырок в валентной зоне по полю. По мере повышения
температуры полупроводника растет число носителей тока (электронов и
дырок), что вызывает увеличение электропроводности собственных
полупроводников. Более того, при повышении температуры любой
диэлектрик можно считать полупроводником.
Например, алмаз при Т = 600 К проявляет свойства собственного
полупроводника.
Электропроводность полупроводника, вызванная движением электронов,
называется электронной проводимостью, а вызванная движением дырок дырочной проводимостью.
Замечание: Между металлами и полупроводниками существует
принципиальное различие. Согласно квантовой теории в металлах
электронный газ является вырожденным (не подчиняется законам
классической физики) и его концентрация не зависит от температуры, а их
электропроводность
определяется
температурной
зависимостью
подвижности носителей. В собственных полупроводниках, наоборот,
электронный газ является невырожденным, а концентрация электронов и
дырок зависит от температуры и электропроводность полупроводников
определяется температурной зависимостью концентрации носителей.
Вывод: Проводимость собственных полупроводников является
возбужденной, т. е. возникает под действием внешних факторов, если они
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
94
сообщают электронам валентной зоны энергию, достаточную для перехода в
зону проводимости. Такими факторами являются, например, нагревание
полупроводников, облучение их светом, ионизирующее облучение.
Электронный газ в полупроводниках является невырожденным, т. к.
невырожденное состояние газа может быть достигнуто не только за счет
повышения температуры, но и за счет уменьшения его концентрации, что и
имеет место в полупроводниках (табл. 9.1). В связи с этим состояние
электронного газа в полупроводниках описывается классической статистикой
Максвелла Больцмана. По закону Ома j = E, где j = nqv; j плотность
тока;
удельная электропроводность; n концентрация носителей; q заряд
vд
носителя; vд скорость упорядоченного движения;
Е = u , где u
подвижность носителей. Тогда удельная электропроводность
= qnu.
(5.85)
Так как в собственном полупроводнике носителями являются электроны
и дырки одинаковой концентрации, то полная удельная электропроводность
= n + p = qn(un+ up),
(5.86)
где n
электропроводность, вызванная движением электронов; р
электропроводность, вызванная движением дырок; un
подвижность
электронов;
up подвижность дырок.
Используя
статистику
Максвелла Больцмана
для
удельной
электропроводности твердых тел, получим следующее выражение
oe
W
2 kT ,
(5.87)
где о
удельная электропроводность собственных полупроводников при
Т
, когда все
электроны из валентной зоны перешли в зону
проводимости; k постоянная Больцмана; W ширина запрещенной зоны.
После логарифмирования
n
n o
W
.
2 kT
(5.88)
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
95
На рис. 5.26 приведен график зависимости n от 1/T, который
представляет собой прямую линию, отсекающую на
оси ординат отрезок n o , где
tg
W
.
2k
(5.89)
Следовательно, графически можно определить о
и ширину запрещенной зоны
W (энергию
активации).
Вклад
в
электропроводность
собственных полупроводников электронов и дырок
Рис. 5.26
неодинаков, что обусловлено
их эффективными
массами (табл. 5.2). с уменьшением ширины
запрещенной зоны резко возрастает концентрация свободных носителей в
собственном полупроводнике и уменьшается его удельное сопротивление, а
эффективная масса носителей значительно меньше массы покоя электрона.
Таблица 5.2
Полупроводник
,
Ом м
Кремний
Германий
Антимонид индия
2 103
0,48
6 10 5
n,
м-3
W,
эВ
1016
1,12
19
0,66
3 10
1,4 1022 0,17
Эффективная Эффективна
масса
я
электрона
масса
дырки
1,08 m
0,37 m
0,56 m
0,59 m
0,015 m
0,18 m
5.25. Электропроводимость примесных полупроводников
Монокристаллы
полупроводников
всегда
имеют
различные
неоднородности, дефекты, в том числе и примесные атомы, которые создают
собственные энергетические уровни (примесные уровни). Эти уровни могут
располагаться как в разрешенной, так и в запрещенной зонах. Для придания
полупроводникам необходимых свойств в них специально вводят примеси в
нужных пропорциях.Cуществуют два основных типа примесных
полупроводников: донорные и акцепторные.
5.25.1. Донорные полупроводники
Четырехвалентный германий имеет решетку типа алмаза, в которой
каждый атом окружен четырьмя соседними атомами, связанными с ним
валентными силами. Если внедрить в решетку германия атомы
пятивалентного мышьяка, то пятый электрон его атомов связи не образует
(рис. 5.27, а).
Электричество и магнетизм
Рис. 5.27
96
Н.Ф. Шемяков
Этот электрон будет двигаться в поле атома
мышьяка, ослабленного в поле решетки германия в =
16 раз (
диэлектрическая проницаемость германия),
а энергия связи мышьяка уменьшается в 256 раз и
cоставляет W 0,01 эВ, что соответствует энергии
активации. При сообщении этому электрону такой
энергии он отрывается от своего атома и приобретает
способность свободно перемещаться в решетке
германия, может переходить в зону проводимости.
Образующиеся при этом дырки локализуются на
неподвижных атомах мышьяка и в электропроводности
не участвуют. Примеси, за счет которых возникает
электронная проводимость, называются донорами, а
энергетические уровни, на которых расположены
электроны примеси, донорными уровнями Wд (рис.
5.27, б). Эти уровни располагаются в запрещенной зоне
у дна зоны проводимости, имея энергию активации
Wд
0,01 эВ. Уровень Ферми в донорных
полупроводниках располагается посередине между
донорным уровнем и дном зоны проводимости.
Все полупроводники с донорной примесью,
называются полупроводниками n типа.
5.25.2. Акцепторные полупроводники
Если в решетке четырехвалентного германия часть его атомов замещена
атомами трехвалентного индия (рис. 5.28, а), то для образования связей с
четырьмя ближайшими соседями у атома индия не хватает одного электрона.
Рис. 5.28
Им может быть электрон соседнего атома германия, так как для этого
Электричество и магнетизм
97
Н.Ф. Шемяков
требуется энергия (энергия активации) W 0,01 эВ. На месте ушедшего
электрона в разорванной связи атома германия появляется дырка, поэтому в
валентной зоне появляется вакансия. Незаполненные энергетические уровни
атомов индия располагаются в запрещенной зоне вблизи потолка валентной
зоны на расстоянии, соответствующем энергии активации. Уровень Ферми в
акцепторных
полупроводниках
располагается
посередине
между
акцепторным уровнем и потолком валентной зоны.
Близость примесных уровней к валентной зоне приводит к тому, что при
относительно невысоких температурах электроны из валентной зоны могут
переходить на примесные уровни (рис. 5.28, б). Эти электроны образуют
устойчивую связь с атомами индия, теряют способность перемещаться в
решетке германия и в проводимости не участвуют. Носителями заряда
являются дырки, возникающие в валентной зоне. Примеси, за счет которых
возникает дырочная проводимость, называют акцепторами, а энергетические
уровни акцепторными уровнями Wа (рис. 5.28, б).
Такие
полупроводники
с
акцепторной
примесью
называют
полупроводниками р типа. Преимущество
в применении примесных
полупроводников очевидно, если сравнить энергии активации собственного
полупроводника германия ( W 0,66 эВ) с донорной или акцепторной
примесью ( W 0,01 эВ).
Cледовательно, для возбуждения тока в примесных полупроводниках
требуется меньшая энергия, чем в собственных полупроводниках.
Рис. 5.29
Рассмотрим, как осуществляется электропроводность примесных
полупроводников. При достаточно низких температурах средняя энергия
тепловых колебаний решетки kT значительно меньше ширины запрещенной
зоны собственного полупроводника, поэтому эти колебания не могут
обеспечить возбуждение электронов валентной зоны и перебросить их в зону
проводимости. Но этой энергии достаточно для возбуждения и перехода в
зону проводимости электронов с донорных уровней Wд в полупроводниках n
Электричество и магнетизм
98
Н.Ф. Шемяков
типа (рис. 5.29, а) и дырок с акцепторных уровней Wа в полупроводниках р
типа (рис. 5.29, б). По мере повышения температуры в полупроводниках n типа концентрация электронов в зоне проводимости увеличивается, а их
концентрация на донорных уровнях уменьшается (донорные уровни
истощаются). Аналогично ведут себя и акцепторные уровни в
полупроводниках р типа.
При полном истощении примесей концентрация электронов в зоне
проводимости в полупроводниках n-типа становится равной концентрации
донорной примеси, а концентрация дырок в полупроводниках р
типа
становится равной концентрации акцепторной примеси. Температура
истощения примесей ТS тем выше, чем больше энергия активации примеси
Wд и Wа и ее концентрация.
Например, для германия с концентрацией n 1022 м-3 и Wд= 0,01 эВ
температура истощения примеси ТS = 30 К. При дальнейшем повышении
температуры начинается все боле интенсивное возбуждение собственных
носителей и переход к собственной проводимости полупроводника.
Температура Тi такого перехода тем выше, чем больше энергия
активации W и концентрация примеси в нем. Например, для германия Т i =
450 К.
На рис. 9.21 приведен график зависимости натурального логарифма
концентрации электронов в зоне проводимости полупроводника n типа от
обратной температуры. На графике можно выделить три участка: 1
отвечающий
примесной
проводимости
полупроводника;
2
соответствующий области истощения примеси; 3 отвечающий собственной
проводимости полупроводника. В отличие от собственных полупроводников,
в которых проводимость осуществляется одновременным движением
электронов и дырок, в примесных полупроводниках электропроводность
вызвана носителями одного знака: электронами в полупроводниках n типа
и дырками в полупроводниках р
типа, которые называют основными
носителями. Помимо основных носителей полупроводники всегда содержат
и неосновные носители: донорный полупроводник дырки, акцепторный
электроны, концентрация которых много меньше, чем концентрация
основных носителей в 106 раз. При температуре выше Т = 0 К в
полупроводниках происходит процесс возбуждения (генерация) свободных
носителей заряда. Однако вместе с процессом генерации возникает процесс
рекомбинации свободных носителей. Процесс рекомбинации состоит в том,
что свободный электрон при встрече с вакансией (дыркой) занимает его, в
результате чего происходит исчезновение пары электрон дырка. При любой
температуре между процессом генерации и рекомбинации устанавливается
равновесие, которому соответствует равновесная концентрация носителей.
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
99
Помимо теплового возбуждения возможны и другие способы генерации
свободных носителей в полупроводниках, например, под действием света,
ионизируюшего облучения или введения (инжекции) частиц через контакт
двух полупроводников.
В результате этого появляются дополнительные, избыточные носители,
которые называют неравновесными. Время жизни таких носителей
ограничено до тех пор, пока не произойдет их рекомбинация. Процесс
перехода электрона из зоны проводимости в
валентную зону, при рекомбинации, может
протекать
непосредственно
через
всю
запрещенную зону (межзонная рекомбинация)
или сначала на примесной уровень, а затем с
него в валентную зону (рекомбинация через
примесной уровень).
При
осуществлении
обоих
типов
рекомбинации выделяется одна и та же энергия
W. Различие состоит лишь в том, что в первом
Рис. 9.21
случае энергия выделяется сразу, во втором по
частям. Выделение энергии может происходить в виде квантов света ( =
h ) или в виде тепла (фононов).
В первом случае рекомбинацию называют излучательной, во втором
безызлучательной.
Температурная
зависимость
электропроводности
невырожденных примесных полупроводников, как и собственных,
определяется температурной зависимостью концентрации носителей.
Поэтому качественный характер кривой зависимости (Т) должен быть
аналогичен кривой зависимости n(T), приведенной на рис. 9.21, где показан
график зависимости n ( T) для примесного полупроводника. Участок а б
соответствует низким температурам, вплоть до температуры истощения
примеси ТS. Электропроводность на этом участке обеспечивается за счет
носителей примеси электронов и дырок, где
tg
W
.
2k
(9.30)
Участок б в простирается от температуры истощения примесей ТS до
температуры перехода Тi к собственной проводимости.
На этом участке все примесные атомы ионизированы, но еще не
происходит
заметного
возбуждения
носителей
собственного
полупроводника.
Концентрация носителей остается постоянной, а температурная зависимость электропроводности полупроводника определяяется температурной зависимостью подвижности носителей.
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
100
Если основным механизмом рассеяния носителей в рассматриваемой
области является рассеяние на тепловых колебаниях решетки, для которого
характерно уменьшение подвижности с ростом температуры, то
электропроводимость будет падать, что и наблюдается на графике (рис. 9.22).
Если же основным механизмом является рассеяние на ионизированных
атомов примеси, то электропроводность на участке б в будет увеличиваться
с повышением температуры.
Участок в г соответствует переходу к собственной проводимости
полупроводника.
Концентрация
носителей
примеси равна концентрации носителей
собственных полупроводников и
W
.
2k
tg
Удельная электропроводность примесного
полупроводника
находится
по
формуле
W
W
пр
e
2kT
e
2kT ,
(9.31)
где
первое
слагаемое
отвечает
Рис. 9.22
электропроводности за счет носителей примеси;
второе слагаемое за счет носителей собственного полупроводника.
01
9.12. Понятие о n
02
p переходе
Для выпрямления переменного тока можно использовать контакт двух
примесных полупроводников с различным типом проводимости, например,
n р переход.
Для получения n-р перехода используют метод плавления,
эпитаксиальный метод, метод ионного легирования. В образец чистого
полупроводника, например, германия, вводят две примеси
донорную
(мышьяк) и акцепторную (индий).
В результате в одной половине образца (слева) возникает полупроводник
n типа (электронная проводимость), а в другой (справа) полупроводник р
типа (дырочная проводимость). Между ними возникает переходный слой,
т. е. n р контакт. Если оба полупроводника изготовлены на основе одного и
того же материала, то границы энергетических зон (валентной и
проводимости) в обоих полупроводниках совпадают (рис. 9.23).
Примесные уровни в полупроводнике n
типа расположены в
запрещенной зоне вблизи дна зоны проводимости.
Электричество и магнетизм
101
Н.Ф. Шемяков
В полупроводнике р типа
акцепторные уровни находятся
также в запрещенной зоне, но
вблизи потолка валентной
зоны. Поэтому уровень Ферми
в полупроводнике n
типа
расположен выше, чем в
полупроводнике р
типа.
Соответственно работа выхода
в первом меньше, чем во
втором. Для простоты будем
Рис. 9.23
считать, что концентрации
акцепторов и доноров равны.
Концентрация носителей в собственном
полупроводнике
составляет
1019м 3;
концентрация
неосновных
носителей
16
3
составляет
10 м . Из за большого
различия в концентрации основных и
неосновных носителей при Т
0 К
возникают
диффузионные
потоки:
электронов из полупроводника n типа в
полупроводник р
типа и дырок из
полупроводника р типа в полупроводник
n типа. При этом область полупроводника
n
типа вблизи контакта, заряжается
Рис. 9.24
положительно (рис. 9.24, слева), а область
полупроводника р типа вблизи контакта (рис. 9.24, справа) заряжается
отрицательно.
Поэтому происходит понижение уровня Ферми в полупроводнике n -типа
и повышение его в полупроводнике р типа. Процесс перехода электронов
из полупроводника n типа и дырок из полупроводника р
типа будет
происходить до тех пор пока уровни Ферми не сравняются, и затем
устанавливается динамическое равновесие.
Поток электронов из n (слева) в р (справа) уравновешивается потоком
электронов из р (справа) в n (слева). Аналогичный процесс происходит и с
дырками. Таким образом, уход электронов из приконтактного слоя
полупроводника n -типа приводит к возникновению в этом слое объемного
положительного заряда ионизированных атомов донорной примеси.
Соответственно уход дырок из при контактного слоя полупроводника р
типа вызывает появление в этом слое объемного отрицательного заряда,
локализованного на атомах
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
102
акцепторной примеси. Между
этими слоями возникает контактная
разность потенциалов, создающая в
n p переходе потенциальный барьер
WF n
WF p (рис. 9.25),
рn =
препятствующий
переходу
электронов из полупроводника n
типа в полупроводник р
типа и
дырок из полупроводника р типа в
полупроводник n типа.
Как показывает расчет,
Рис. 9.25
pn
kTn
n no
n po
kTn
p po
p no
,
(9.32)
где nno концентрация электронов основных носителей в полупроводнике n
типа;
рро концентрация дырок основных носителей в полупроводнике р типа;
nро концентрация дырок неосновных носителей в полупроводнике n типа;
рnо концентрация электронов неосновных носителей р типа.
В n-p переходе на основе германия при Т = 300 К
р n 0,45 эВ.
Ширина контактного слоя определяется
высотой потенциального барьера и концентрацией
основных носителей и составляет d 10 8 10 6 м.
Таким образом, в состоянии равновесия ток
через n p переход отсутствует. Приложим к n p
переходу внешнюю разность потенциалов U,
подключив к р области положительный полюс
источника напряжения, а к n области
отрицательный (рис. 9.26). Внешняя разность
Рис. 9.26
потенциалов вызовет понижение потенциального
барьера для основных носителей до рn qеU, где qe заряд электрона.
Ширина контактного слоя уменьшится. Под действием электрического
поля поток электронов из n в р область и поток дырок из р в n область
увеличится, что приведет к возникновению прямого тока за счет движения
основных носителей. В то же время ток не основных носителей останется
неизменным, так как концентрация их не зависит от потенциального барьера
n p перехода.
Если приложить к n p переходу внешнюю разность потенциалов U в
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
103
обратном направлении, подключив к р области отрицательный полюс
источника напряжения, а к n области положительный (рис. 9.27),
Рис. 9.27
то под
действием этой разности
потенциалов потенциальный барьер n p
перехода повысится до рn+ qеU, что вызовет
уменьшение потока основных носителей
(электронов и дырок) и
соответственно
уменьшение тока через контактный слой n p
перехода в прямом направлении. В итоге
возникнет обратный ток, вызванный не
основными носителями.
Плотность тока через n p переход
находят по формуле
qU
j jS e
kT
1,
(9.33)
где jS плотность тока насыщения; знак “+” соответствует прямому току,
знак “ “ обратному току. При внешней разности потенциалов в
e
qU
kT
обратном направлении и с увеличением ее величина
0, а величина
плотности
обратного
тока
стремится
к
предельному значению jS, которая практически
достигается при разности потенциалов U 0,1 В.
Величина тока насыщения определяется
потоком не основных носителей через n p переход.
Например, для германиевых n p переходов
jS 10-2 A/м2.
При Т = 300 К отношение прямого тока к
обратному составляет
109, т. е. n p переход
Рис. 9.28
обладает односторонней проводимостью, что
характеризует хорошие выпрямляющие свойства n p перехода.
На рис. 9.28 приведен график вольтамперной характеристики n p
перехода.
Кроме диодов существует много типов транзисторов, например,
биполярный транзистор, представляющий собой кристалл с двумя р – n
переходами, расстояние между которыми много меньше диффузионной
длины неравновесных носителей, используется как усилитель электрического
сигнала, применяется в интегральных микросхемах.
Электричество и магнетизм
104
Н.Ф. Шемяков
1.12. Электрический ток в вакууме
При любой температуре электроны в металлах совершают тепловые
хаотические движения. Некоторые из них могут покинуть металл. Чтобы
покинуть металл, электрон должен совершить некоторую работу,
называемую работой выхода. Согласно зонной
теории проводимости твердых тел работа выхода
отсчитывается от уровня Ферми до поверхности
металла с вакуумом. После того как электрон
выйдет из металла в вакуум, он индуцирует на
поверхности его заряды противоположного знака.
Поэтому между электроном и поверхностью
возникает
кулоновская
сила
притяжения,
стремящаяся вернуть его обратно. Некоторые из
Рис. 1.8
электронов могут удалиться от поверхности на
расстояние порядка 10 10 м, образуя электронное облако. В результате
возникает двойной электрический слой подобно электрическому полю
конденсатора. На преодоление электрического поля этого слоя и требуется
совершение электроном работы выхода. При повышении температуры
металла (или другого вещества) кинетическая энергия теплового движения
электронов, находящихся вблизи уровня Ферми, увеличивается. Поэтому
возрастает вероятность того, что некоторые из электронов могут преодолеть
задерживающий потенциал на границе металл - вакуум и выходить из него.
Если в вакууме существует электрическое поле, вектор напряженности
которого направлен к поверхности металла, то оно будет увеличивать число
электронов, покидающих металл, и через вакуум потечет электрический ток.
Такой ток называют термоэлектронным, а явление испускания электронов
нагретыми металлами
термоэлектронной эмиссией. В зависимости от
механизма получения электронами энергии, достаточной для совершения
работы выхода, различают несколько видов электронной эмиссии:
термоэлектронную, фотоэлектронную (внешний фотоэффект), вторичную
электронную
эмиссию,
ионно-электронную,
автоэлектронную.
Термоэлектронную эмиссию можно наблюдать в установке с вакуумным
диодом, представляющей собой стеклянный баллон, в который впаяны два
электрода: катод в виде нити и анод. На рис. 1.8 приведена вольт амперная
характеристика такого диода, где IS ток насыщения, когда все испускаемые
катодом электроны достигают анода. Плотность термоэлектрического тока
насыщения зависит от материала катода, увеличивается с повышением его
температуры и описывается формулой Ричардсона Дешмана:
jS
где В
константа; АВ
BT
2
e
Aв
kT
,
работа выхода; k
(1.43)
постоянная Больцмана.
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
105
Если пользоваться моделью идеального электронного газа, который
подчиняется статистике Ферми Дирака, то константа
4 mq e k 2
B
h3
1,2 10 6
A
м2 К
одинакова для всех металлов.
На участке АБ плотность тока описывается формулой Богуславского
jS
Ленгмюра:
1
3
CU
2
,
(1.44)
2q e
;  расстояние между анодом и катодом; U
2
m
9 
приложенное напряжение; m масса электрона.
Для увеличения срока работы используют катоды с косвенным
подогревом и оксидным покрытием веществами, у которых работа выхода
электронов меньше. Например, ВаО и SrO и СаО и др.
где
С =
9.13. Понятие о сверхпроводимости
Сверхпроводимость
свойство многих
веществ, в том числе и проводников и
многих сплавов и др., состоящее в том, что
их электрическое сопротивление скачком
уменьшается до нуля при охлаждении
образцов ниже критической температуры ТС,
характерной для данного материала (рис.
9.29).
Впервые сверхповодимость обнаружена
Рис. 9.29
Камерлинг-Оннесом при охлаждении ртути
ниже ТС = 4,3 К. Удельное сопротивление веществ в сверхпроводящем
состоянии мало ( < 10 22 Ом м), в то время как, например, у чистых образцов
меди или серебра при температуре жидкого гелия
10 11 Ом м.
Классическая
физика не смогла объяснить это явление, и
сверхпроводимость оставалась загадкой до 1957 г., когда оно получило
теоретическое объяснение в работах Бардина, Купера, Шриффера и
Боголюбова с использованием квантовой теории.
Одним из удивительных квантовых свойств микрочастиц является
существенное различие в их поведении в зависимости от того, обладают они
целым или полуцелым спином.
Ансамбль N квантовых частиц с полуцелым спином называют
фермионами, к которым относятся электроны.
Ферми частицы подчиняются принципу Паули.
Электричество и магнетизм
106
Н.Ф. Шемяков
Согласно этому принципу в твердых телах при Т = 0 К на каждом
энергетическом уровне в разрешенной зоне могут находиться одновременно
только два электрона с противоположными спинами.
В металлах число валентных электронов таково, что, разместив все
электроны по разрешенным уровням, начиная с низшего, можно получить
частично заполненную зону (зона
проводимости “С”), в которой
наивысший занятый электронами
уровень называют уровнем Ферми
(рис. 9.30, а).
Электропроводность обычных
металлов
определяется
свойствами ферми электронов и
процессами их рассеяния на
ионах кристаллической решетки,
совершающих
тепловые
колебания;
примесях;
дислокациях
и
других
Рис. 9.30
структурных
несовершенствах
кристалла.
При низких температурах сопротивление кристалла определяется в
основном примесным рассеянием.
Даже в идеальном кристалле сопротивление всегда конечно, хотя и
достаточно мало из за слабого взаимодействия электронов с решеткой, что
действительно наблюдается в серебре, меди и других наилучших
проводниках вплоть до температур Т 10 17 К.
Иначе ведут себя частицы с целым спином (бозоны). При Т = 0 К они
заполняют один, самый низший энергетический уровень, так как бозоны не
подчиняются принципу Паули (рис.9.30, б).
Если спектр возбуждений такой системы удовлетворяет критерию
Ландау, то движение бозе частиц при достаточно слабых возмущениях
(низкие температуры, слабые электрические и магнитные поля и т. д.)
происходит без потерь энергии, что эквивалентно обращению в нуль
электросопротивления и возникновению сверхпроводимости (рис. 9.29).
Электроны в металлах взаимодействуют друг с другом двояко.
Во первых, они отталкиваются как одноименные заряженные частицы
(диэлектрическая проницаемость среды > 1).
Во вторых, электроны взаимодействуют с колебаниями решетки и
обмениваются фононами.
Если один из электронов за счет кулоновского притяжения к
положительным ионам решетки слегка ее деформирует, то второй электрон
Электричество и магнетизм
107
Н.Ф. Шемяков
может взаимодействовать с этой областью деформации решетки,
притягиваясь к ней.
В результате между этими электронами возникает эффективное
притяжение, т. е. кристаллическая решетка является средой, диэлектрическая
проницаемость которой < 1.
Притяжение объединяет электроны в куперовские пары с целым спином
(S = 0), т. е. в бозе частицы.
В теории Бардина-Купера-Шриффера суммарный спин пары равен нулю,
а импульсы электронов, составляющих пару, противоположны.
Причем спаренные электроны могут находить друг друга на расстояниях,
равных многим периодам кристаллической решетки.
За счет принципа Паули спаривание двух электронов с одинаковыми
спинами оказывается энергетически менее выгодным, чем образование пары
с нулевым спином.
В 1950 г. экспериментально обнаружен изотопический эффект. Откуда
следует, что Tc m const , где m
масса одного атома металла; Тc
критическая температура сверхпроводимости.
Следовательно, чем тяжелее металл, тем больше сужается
температурный диапазон 0 < T
Тc, в котором металл находится в
сверхпроводящем состоянии.
Но чем массивнее атомы, тем труднее возбуждать колебания, т. е.
сверхпроводимость связана с колебаниями кристаллической решетки
металла, в которой электроны проводимости взаимодействуют с фононами.
Согласно теории сверхпроводимости, например, один из электронов
притягивая положительные ионы металла, создает вокруг себя повышенную
плотность положительного заряда, который, в свою очередь, притягивает к
себе другой электрон. Возникает как бы слабое притяжение между этими
электронами.
Из за колебаний ионов металла, притяжение между электронами
приводит к их рассеянию на колебаниях кристаллической решетки металла
(эти колебания не прекращаются даже при абсолютном нуле температуры,
при котором они являются нулевыми).
Квантовый механизм рассеяния электронов проводимости заключается в
обмене фононами этими электронами, которые они испускают и поглощают.
Из за вырождения электронного газа в рассеянии участвуют только
электроны с противоположно направленными импульсами из малой
окрестности сферы Ферми (радиусом R = 2m e 0 , равному максимальному
абсолютному значению импульса электрона проводимости при температуре
Т = 0 К), которая находится в импульсном пространстве, и описывается
уравнением
Электричество и магнетизм
108
Н.Ф. Шемяков
Р2 / (2me) = 0,
химический потенциал электронов при температуре абсолютного
где 0
нуля.
Обмен фононами наиболее интенсивен между электронами с
противоположно направленными импульсами и спинами.
Если это притяжение преобладает над кулоновским отталкиванием
электронов, то при низких температурах, при которых разрушающее
действие теплового движения ослабевает, образуются куперовские пары.
Такая пара, не имея спина, подчиняется статистике Бозе Эйнштейна,
имеет энергию связи порядка
10 3 10 4 эВ.
Благодаря этому куперовская пара оказывается носителем тока, которому
металл не оказывает сопротивление.
Это происходит следующим образом. Когда металл охлаждается ниже
критической температуры и в нем создан ток куперовских пар, т. е.
возбуждено движение пар относительно кристаллической решетки
металла.
Если связать это движение с системой отсчета, в которой пары
покоятся, то кристаллическая решетка будет перемещаться.
При выключении электрического поля, создавшего ток, этот ток
прекратиться, если электрическое поле решетки разрушит состояние
покоя куперовских пар. Но для этого нужно затратить конечную энергию.
При слабых токах решетка движется медленно, и у нее нет
необходимого запаса энергии, чтобы разрушить куперовскую пару.
Поэтому ток сохраняется, а металл оказывается сверхпроводником.
Характерный размер куперовской пары
h
0
R
me
2 kTc
определяется длиной когеретности
hv F
,
(9.34)
o
2 kTC
где vF скорость электронов на уровне Ферми; h постоянная Планка; k
постоянная Больцмана; ТС
температура перехода в сверхпроводящее
состояние.
При Тc 10 К и 0 5 эВ значение R 10 6 м, что на четыре порядка
превышает среднее межатомное расстояние в кристалле.
Энергия связи электронов в паре
мала, т. е.
1,7kTC, и определяет
величину щели в плотности состояний
Wg = 2 , образующуюся в
энергетическом спектре на уровне Ферми при переходе в сверхпроводящее
состояние (рис. 9.30, б).
Электричество и магнетизм
109
Н.Ф. Шемяков
Эта щель и отделяет уровень, на котором сконденсировались куперовские
пары (бозе частицы), от ближайшего разрешенного уровня, расположенного
выше уровня Ферми (в результате и оказывается выполненным критерий
Ландау критерий сверхтекучести).
При температурах ниже ТС сопротивление сверхпроводника оказывается
равным нулю.
Другим необычным свойством сверхпроводников является их
способность полностью выталкивать слабое магнитное поле.
Внешнее магнитное поле Не не
проникает в глубь сверхпроводящего
образца независимо от того, было ли это
поле включено выше или ниже ТС.
Вследствие того, что магнитное поле Нi
внутри образца равно сумме внешнего поля
и
поля
намагничивания
4 J,
то
сверхпроводник
представляет
собой
идеальный диамагнетик с Нi = 0 и 4 J =
Не (рис. 9.31). В этом заключается эффект
Рис. 9.31
Мейснера.
Физически эффект Мейснера связан с
тем, что у сверхпроводника, помещенного в слабое магнитное поле, в
поверхностном слое толщиной L
100 1000 Å наводятся круговые
незатухающие токи, которые компенсируют
внешнее магнитное поле (братья Лондоны,
1934 г.).
Такие сверхпроводники характеризуются
механическим
отталкиванием
(“гроб
Магомета”,
рис.
9.
32),
где
над
сверхпроводящими кольцами А и В, в которых
циркулирует ток, зависла сфера С из
сверхпроводника.
Это
явление
используют
для
сверхпроводящих подвесов в гироскопах,
Рис. 9.32
двигателях и т. д. КПД таких машин близок к
100%.
Поскольку сверхпроводимость
бездиссипативное токовое состояние
бозе конденсата куперовских пар, у которых спины электронов направлены
противоположно друг другу, то в достаточно сильном магнитном поле оба
спина стремятся к одинаковой ориентации вдоль, что и приводит к
подавлению сверхпроводимости при
Электричество и магнетизм
110
Н.Ф. Шемяков
Н ≥ Нр,
где Нр парамагнитное критическое поле (парамагнитный эффект).
В сверхпроводниках первого рода, у которых 0 > 1,4 L, при увеличении
магнитного поля до Н = Не энергетически выгоднее разрушить
сверхпроводимость сразу же во всем объеме образца, когда поле скачком
проникает в него и весь образец переходит в нормальное состояние (рис.
9.33, а, б).
Рис. 9.33
Критическое поле НС зависит от температуры: при Т = 0 К оно имеет
максимальное значение, затем монотонно убывает до нуля вплоть до ТС.
В 1952 г. Абрикосовым предложен другой метод разрушения
сверхпроводимости магнитным полем.
Рис. 9.34
При более значительной глубине проникновения магнитного поля в
сверхпроводник (в случае 0 < 1,4 L) поверхностная энергия границы раздела
нормальная фаза сверхпроводник отрицательна и энергетически выгодно
Электричество и магнетизм
111
Н.Ф. Шемяков
не скачкообразное проникновение поля в объем всего образца, и
формирование смешанного состояния (рис. 9. 34, а, б).
В этом состоянии сверхпроводник как бы пронизан нитями диаметром 0
(абрикосовские вихри).
Каждая нить представляет собой тонкую область нормальной фазы,
ориентированной вдоль вектора H , причем каждой нити соответствует один
квант магнитного потока Ф0.
Смешанные состояния реализуются в сверхпроводниках II рода.
В них полное выталкивание силовых
линий магнитного поля происходит только в
полях до НС1.
Выше этого поля начинается рождение
областей нормальной фазы в форме нитей
абрикосовских
вихрей,
их
число
увеличивается вплоть до Н = НС2.
Магнитное поле H > НС2 полностью
разрушает сверхпроводящее состояние.
Хотя существование сверхпроводимости и
ферромагнетизма
невозможно,
их
конкуренция может привести к появлению
Рис. 9.35
нового
типа
магнитного
порядка
в
сверхпроводящей фазе доменной магнитной
структуры. В последнее время существование сверхпроводимости
обнаружено в системах тяжелых фермионов (например, СеСu2Si2, UРt3).
Действительно, при низких температурах эффективная масса
фермиевских электронов велика
[m* (100 1000)m0].
Так как величина эффективной массы электронов обратно
пропорциональна ширине энергетической зоны, то в таких системах на
уровне Ферми имеется очень узкий пик плотности состояний большой
амплитуды, т. е. возникает резонанс (рис. 9. 35). Функция g(W) определяет
число разрешенных энергетических уровней, приходящихся на единичный
интервал энергий состояний. Величину g (при W = WF) можно определить из
данных по измерению теплоемкости образца при низких температурах.
Сверхпроводимость обнаружена и в органических соединениях за счет
экситонного механизма образования куперовских пар электронов. В 1986 г.
открыта высокотемпературная сверхпроводимость в различных соединениях,
критическая температура которых ТС 100 К.
Существуют
различные
модели,
объясняющие
существование
высокотемпературной
сверхпроводимости.
Повышение
ТС
сверхпроводимости несомненно требует меньших затрат энергии.
Электричество и магнетизм
112
Н.Ф. Шемяков
9.14. Эффект Джозефсона
Согласно квантовой теории электроны проводимости проходят через
диэлектрик в результате туннельного эффекта (просачивание сквозь
потенциальный барьер). Если создать туннельный контакт, образованный
двумя сверхпроводниками, пространство между которыми заполнено тонким
слоем диэлектрика ( 10 9 м), то
возможны два различных типа
туннелирования
джозефсоновское и одночастичное. Первое связано с
туннелированием куперовских сверхпроводящих пар электронов сквозь слой
изолятора, где через контакт протекает электрический ток. Второе
одночастичное
представляет собой просачивание сквозь потенциальный
барьер микрочастиц. Когда ток через контакт не превышает критического, то
на контакте отсутствует падение напряжения. Это явление называют
стационарным эффектом Джозефсона.
При прохождении через контакт тока больше критического на нем
возникает падение напряжения, и контакт начинает излучать
электромагнитные волны. Это явление получило название нестационарного
эффекта Джозефсона. Известно, что излучать электромагнитные волны
может переменный ток. Поэтому через контакт при постоянном падении
напряжения
протекает переменный ток. Частота электромагнитного
излучения связана с падением напряжения соотношением
2q e U
(9.35)
,
h
где qe заряд электрона; h постоянная Планка; U падение напряжения.
Электроны, создающие сверхпроводящий ток, объединяются в
куперовские пары и при переходе через контакт получают некоторую
энергию WД = 2qeU. Такое состояние является возбужденным. Поэтому при
переходе куперовской пары электронов в основное состояние
сверхпроводника излучается квант света (фотон) с энергией = h .
Таким образом, нестационарный эффект Джозефсона является
экспериментальным
доказательством
существования
куперовских
электронных пар в сверхпроводниках, о чем свидетельствует удвоенный
заряд электрона в формуле (9.35). В стационарном и нестационарном
эффектах Джозефсона волновая функция электрона, описывающая его
квантово механические свойства, проявляется в макроскопических явлениях
существовании тока и излучения.
Причем плотность тока Джозефсона jД пропорциональна градиенту
волновой функции. В обычных металлах при отсутствии в них
электрического поля ток равен нулю. При случайных изменениях разностей
фаз волновых функций в металлах среднее значение плотности тока также
равно нулю. Аналогичная ситуация наблюдается и в оптике, где при
Электричество и магнетизм
113
Н.Ф. Шемяков
случайных изменениях разности фаз складываемых электромагнитных волн
интерференция отсутствует.
Вывод: В эффекте Джозефсона впервые экспериментально обнаружено,
что макроскопическое явление
электрический ток
определяется
микроскопической характеристикой фазой волновой функции электрона и
квантуется, т. е. принимает лишь дискретные значения.
Следовательно, границы между макро и микрофизикой “размываются”.
9.15. Квантование магнитного потока
Согласно основным положениям квантовой механики следует, что
квантование энергии, заряда, импульса и других физических величин
происходит только в микромире и свойственно процессам, протекающим в
молекулах, атомах, ядрах.
Изучение явлений, происходящих при температурах, близких к Т = 0 К,
показало, что возможно и макроскопическое квантование.
Действительно, экспериментально наблюдается квантование величин,
характеризующих свойства макроскопических тел, размеры которых в 105 раз
превосходят размеры атомов.
Если электрический ток протекает по сверхпроводящему металлическому
кольцу, то он становится незатухающим из за отсутствия сопротивления и
потерь на выделение теплоты Джоуля Ленца.
Классическая теория природу этого явления объяснить не смогла.
Сверхпроводящее кольцо позволило наблюдать в большом масштабе
квантовый эффект.
Сила тока в сверхпроводящем кольце не принимает любые значения и не
изменяется непрерывно.
Как и всякий ток, сверхпроводящий ток создает магнитное поле.
Квантование тока приводит к квантованию индукции магнитного поля, т. е.
она может принимать только ряд дискретных значений, а не любые, как это
следует из классической физики.
Это, в свою очередь, приводит к квантованию магнитного потока сквозь
сечение сверхпроводящего кольца, т. е.
Фм = NФ0,
где N = 1, 2, 3, ...;
h
Ф0 =
(9.36)
2e
Ф0 = 2,0678506(54) 10 15 Вб квант магнитного потока.
Магнитный поток
макроскопическая величина, и возможность его
квантования означает переход к большим, по сравнению с атомными,
масштабам квантования.
Электричество и магнетизм
114
Н.Ф. Шемяков
Экспериментально квант магнитного
потока определен на основе эффекта
Джозефсона. При некоторых условиях
критический ток через сверхпроводящий
контакт
оказывается
периодически
зависящим от внешнего магнитного потока
с периодом, равным кванту магнитного
потока Ф0.
Согласно теории сверхпроводимости
куперовские электроны, создающие ток
(Купера эффект), описываются единой
волновой функцией, характеризующейся
некоторой
фазой
фазовой
когерентностью
сверхпроводящих
электронов, которая и приводит к
квантованию магнитного потока.
Рис. 9.36
В замкнутом сверхпроводящем кольце
(рис. 9.36) разность фаз волновой функции между точками А и В
АВ = А
В,
удовлетворяет соотношению Джозефсона
h
(9.37)
( AB ) 2q e U ,
2
t
где U разность потенциалов между точками А и В контура L (штриховая
линия, рис. 9.36).
Согласно закону электромагнитной индукции напряжение между т. А и
В (рис. 9.36)
Ф
,
(9.38)
U
t
где Ф магнитный поток, охваченный контуром L.
Из уравнений (9.37) и (9.38) следует, что
Ф
2
const .
(9.39)
AB
Ф0
Постоянная интегрирования в этом выражении связана со скоростью
движения
сверхпроводящих
электронов,
что
следует
из
квантово механического выражения для скорости куперовских пар:
4 qe
vs h
A ,
(9.40)
4 m
h
где m
масса электрона; A векторный потенциал электромагнитного поля.
Электричество и магнетизм
Интегрируя
выражение:
vs
115
Н.Ф. Шемяков
по контуру L между точками А и В, получаем следующее
Ф
4 m
(9.41)
VS d L .
Ф0
h
Фундаментальность явления квантования магнитного потока сказывается,
например, в существовании квантовых вихрей в сверхпроводниках II рода,
определяющих магнитные свойства большого класса сверхпроводников.
Квантование магнитного потока наряду с эффектом Джозефсона
составляет основу работы сверхпроводящих квантовых интерферометров.
В настоящее время ведутся работы по созданию суперкомпьютора нового
поколения на основе эффекта Джозефсона.
AB
2
Лекция 11
1.13. Ток в газах
Любые газы в нормальном состоянии, в том числе и пары металлов,
состоят из электрически нейтральных атомов и молекул и поэтому не
проводят электрический ток.
Проводниками электрического тока могут быть ионизированные газы,
которые содержат электроны, положительные и отрицательные ионы.
Ионизация газа происходит под действием высоких температур,
рентгеновских и ультрафиолетовых лучей,
лучей, космических лучей и т.
д. При этом происходит удаление одного или нескольких электронов из
атома или молекулы. Такой процесс называют ионизацией.
Возникшие электроны могут присоединиться к нейтральным атомам
или молекулам, превращая их в отрицательно заряженные ионы. После
прекращения действия ионизатора положительные и отрицательные ионы
газа могут соединиться между собой с образованием нейтральных атомов
или молекул. Такой процесс называют рекомбинацией. В установившемся
режиме наступает динамическое равновесие между ионизацией и
рекомбинацией. Ток в газах можно наблюдать в газонаполненной трубке с
двумя электродами. Если к электродам приложить напряжение, то в газе
возникает электрический ток. При одинаковой концентрации носителей по
всему объему трубки плотность тока в газах описывается формулой
j = no( ++ )E,
(1.45)
+
где
и
подвижности положительных и отрицательных носителей тока
соответственно; Е напряженность электрического поля; no концентрация
носителей.
При движении носителей тока в среде во внешнем электрическом поле
Электричество и магнетизм
116
Н.Ф. Шемяков
на них действуют две силы: кулоновская сила со стороны поля
Fk = qE
и сила сопротивления со стороны среды
mv
FC
.
Следовательно, закон движения, согласно классической теории
dv
mv
m
qE
проводимости, запишется виде
.
dt
mv д
dv
Если режим стационарный, т. е.
,
0 (а = 0), то qE
dt
где дрейфовая скорость носителей
q
E,
m
q
=
,
m
vд
или
где
vд
(1.46)
(1.47)
,
(1.48)
Е
подвижность носителя тока; m масса носителя;
время релаксации
носителей, определяемое как среднее время, когда их движение теряет свою
упорядоченность. В СИ подвижность измеряется в м2/(B c).
При упорядоченном движении положительных и отрицательных
носителей возникает электрический ток, плотность которого
j = q+n+vд++ q n vд ,
(1.49)
или удельная электропроводность
= q+n+ + + q n .
(1.50)
Если носители тока в газах образуются в трубке за счет внешнего
ионизатора, то такая проводимость (газовый разряд) называется
несамостоятельным газовым разрядом. В
относительно слабых электрических полях
для тока в газах выполняется закон Ома. В
более сильных электрических полях закон
Ома уже не выполняется. На рис. 1.9
приведена вольт амперная характеристика
газоразрядной трубки с двумя электродами.
Участок ВС соответствует току насыщения.
Возрастание тока на участке СD связано с
Рис. 1.9
появлением внутренних источников ионов.
Если напряжение между анодом и катодом велико, то ионы приобретают
большую кинетическую энергию и способны выбивать при столкновении с
катодом вторичные электроны (ударная ионизация).
Электричество и магнетизм
117
Н.Ф. Шемяков
Электроны больших энергий при столкновениях с молекулами газа
ионизируют их, также порождая вторичные электроны и ионы, которые, в
свою очередь, ускоряются электрическим полем. Если удалить внешний
ионизатор, то несамостоятельный разряд переходит в самостоятельный,
основным источником которого является ударная ионизация.
Различают несколько видов самостоятельного газового разряда (при
нормальных и больших давлениях).
1. Коронный разряд возникает в неоднородном электрическом поле,
2. При повышении напряжения коронный разряд переходит в
кистевой и искровой, в виде молнии.
3. Дуговой разряд возникает за счет термоэлектронной эмиссии при
малом напряжении между электродами и большом токе.
1.14. Электрический ток в жидкостях
1.14.1. Электрический ток в электролитах
Электролитами называются вещества, в которых электрический ток
осуществляется за счет движения положительных и отрицательных ионов
(ионная проводимость). Ионная проводимость
упорядоченное движение
положительных и отрицательных ионов под действием внешнего
электрического поля. Электролитами являются растворы кислот и щелочей,
солей, а также солевых расплавов. Ионами называются атомы или
молекулы, потерявшие или присоединившие к себе один или несколько
электронов.
Положительные ионы называют катионами, отрицательные ионы
анионами.
Электрическое
поле,
вызывающее
упорядоченное
движение
положительных и отрицательных ионов, создается в жидкостях электродами
проводниками (медь, алюминий и др.). Положительно заряженный
электрод называют анодом, отрицательно заряженный электрод катодом.
Положительно заряженными
ионами (катионы) являются ионы
металлов и водородные ионы. В электрическом поле они движутся к катоду.
Отрицательно заряженными ионами (анионы)
кислотные остатки и
гидроксильные группы ОН
движутся к аноду. Прохождение
электрического тока через жидкость сопровождается электролизом
выделением на электродах веществ, входящих в состав электролита.
Электролиты иногда называют проводниками II рода. В них ток связан с
переносом вещества в отличие от металлических проводников (металлы и их
сплавы) проводников I рода, в которых носителями электрического тока
являются коллективизированные электроны (отрицательно заряженные
Электричество и магнетизм
118
Н.Ф. Шемяков
частицы). Возникновение ионов в электролитах происходит за счет
электролитической диссоциации распада молекул растворенного вещества
на положительные и отрицательные ионы в результате взаимодействия с
растворителем.
Молекулы
растворенных
веществ
состоят
из
взаимосвязанных ионов противоположного знака (полярных молекул).
Например, Na+Cl , H+Cl , Cu++SO4 и т. д.
Силы кулоновского притяжения между этими ионами обеспечивают
целостность таких молекул. Взаимодействие молекул с полярными
молекулами растворителя, например, воды (H2O), приводит к ослаблению
взаимного кулоновского притяжения противоположно заряженных ионов.
В результате теплового хаотического движения молекул (броуновское
движение) растворенных веществ и растворителей происходит их
столкновения, которые вызывают распад молекул (диссоциация) на
положительно и отрицательно заряженные ионы.
Диссоциация молекул характеризуется степенью диссоциации
отношением числа молекул N0, диссоциаировавщих на ионы
противоположного знака, к общему числу молекул N вещества:
N0
(1.51)
N
Степень диссоциации зависит от температуры (Т), концентрации
раствора (С) и диэлектрической проницаемости ( ) растворителя.
Процесс броуновского теплового хаотического движения ионов в
растворе приводит к воссоединению ионов противоположного знака с
образованием нейтральных молекул. Этот процесс называют рекомбинацией
(молизацией) ионов. Между процессами электрической диссоциации и
рекомбинацией ионов при неизменных условиях устанавливается
динамическое равновесие, при котором число молекул, распадающихся на
ионы в единицу времени, равно числу пар ионов, которое за это же время
рекомбинирующих в нейтральные молекулы. В состоянии динамического
равновесия раствор электролита характеризуется определенной степенью
диссоциации , определяет число носителей тока в жидкостях, т. е. ионов
противоположного знака. Ионы в электролитах движутся хаотически до тех
пор, пока в жидкости отсутствует электрическое поле.
При создании внешнего электрического поля в электролитических
ваннах на тепловое хаотическое движение положительно и отрицательно
заряженные ионы накладывается их упорядоченное движение к
соответствующим электродам и в жидкости возникает электрический ток.
Плотность электрического тока j в электролитах подчиняется закону Ома,
т. е.
j = Е = Е/ .
Электричество и магнетизм
119
Н.Ф. Шемяков
1.14.2. Законы электролиза Фарадея
а). Первый закон электролиза
Масса вещества (m), выделившаяся
на электроде, прямо
пропорциональна электрическом заряду (q), прошедшему через электролит.
m = kq или m = kIt,
(1.52)
(поскольку
q = It, где I
сила тока, протекающего через раствор
электролита за время t, где k электрохимический эквивалент вещества.
Электрохимический эквивалент вещества численно равен массе
вещества, которая осаждается на электроде при прохождении тока через
электролит единицы количества электричества (единичный заряд).
б). Второй закон электролиза
Электрохимический эквивалент вещества прямо пропорционален
отношению молярной массы к валентности n.
1
k
,
(1.53)
Fn
где F = 9,648 104 Кл/моль число Фарадея.
в). Объединенный закон электролиза Фарадея
Первый и второй законы электролиза можно объединить. Тогда
получаем
1
1
m
q
It
(1.54)
Fn
Fn
Из объединенного закона электролиза Фарадея следует, что число
Фарадея численно равно электрическому заряду, прошедшему
через
электролит при выделении на электроде массы (кг) вещества, равной
отношению /n.
1.15. Понятие о плазме
Подавляющая часть вещества нашей Вселенной находится в состоянии
плазмы.
Плазмой называют ионизированный газ с высокой концентрацией
заряженных частиц, обладающих свойством квазинейтральности.
Квазинейтральность плазмы заключается в том, что в достаточно
большом объеме плазмы количество положительных и отрицательных
зарядов практически одинаково. Отношение числа ионизированных атомов к
их полному числу в том же объеме называют степенью ионизации плазмы .
Если степень ионизации 10 3, то вещество относят к плазме. В плазменном
состоянии находится вещество галактик, звезд, межзвездной среды и т. п., в
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
120
которых сосредоточена почти вся масса наблюдаемой Вселенной. В звездах
молекулы ионизируются в результате тепловых столкновений. Температура
внутри нашего Солнца
типичной звезды
составляет 1,5 107 К, что
соответствует кинетической энергии kT = 2,72 10 16 Дж и намного превышает
энергию, необходимую для ионизации любой молекулы (атома), поскольку
энергия ионизации молекулы
10 19 10 18 Дж. Межзвездный газ
превращается в плазму из-за сильной разреженности; его плотность
10 20 10 26 кг/м3. Плазма существует и в непосредственной близости от
земной поверхности. Так, ионосфера
внешний слой земной атмосферы
состоит из сильно ионизированного газа. За ионосферой расположена
магнитосфера, в которой находятся радиационные пояса Земли, внутренний
и внешний, заполненные заряженными частицами, в основном электронами и
протонами различных энергий. Основное качественное отличие слабо
ионизированного газа от плазмы проявляется в поведении местных
нарушений нейтральности среды, возникает за счет тепловых флуктуаций. В
газе такие нарушения, после возникновения, развиваются беспорядочно и
могут заполнить весь объем. В плазме же флуктуационные нарушения
нейтральности всегда жестко локализованы в достаточно малом объеме. Так
как масса ионов значительно больше массы электронов, то более
подвижными в плазме являются электроны. Допустим, что область
нарушения электронейтральности образуется в некотором слое небольшой
толщины х (рис. 1.10, а).
При его смещении, например, вправо
относительно такого же слоя ионов на
расстояние
х (рис. 1.10 б), слой (типа
плоского конденсатора) с поверхностной
плотностью заряда
= qen , где qe
заряд
электрона; n
концентрация электронов.
Возникает двойной заряженный слой. Между
обкладками
такого
“плазменного”
Рис. 1.10
конденсатора возникает электрическое поле
напряженности
qen
(1.55)
E
.
0
0
Если площадь обкладок S, тогда внутри конденсатора находится n xS
электронов. На них будет действовать кулоновская сила
q 2e n 2 xS .
(1.56)
F
0
Масса всех электронов m = men xS, а ускорение их движения
Электричество и магнетизм
a
или
где
Н.Ф. Шемяков
121
d2
dt 2
.
Согласно второму закону Ньютона F
d2
2
dt
men xS
dt 2
0,
пл
2
d2
ma
=
q e2n 2 xS
(1.57)
,
(1.58)
0
nq 2e
.
(1.59)
пл
me 0
Колебания, описываемые формулой (1.59 ), называют плазменными.
плазменная частота.
пл
Вывод: При нарушении электронейтральности в какой-либо области
плазмы в ней возникают гармонические колебания плотности заряда с
частотой пл. Но плазменные колебания не имеют волнового характера, т. е.
нарушение электронейтральности не распространяется по плазме.
Характерное время существования нарушения электронейтральности
плазмы в лабораторных условиях 10 13с
tпл
10 3с. Учет столкновений
ионов и электронов (друг с другом и с нейтральными молекулами) приводит
к затуханию плазменных колебаний. Характерный размер областей, в
которых
можно
наблюдать
флуктуационные
нарушения
электронейтральности, определяется дебаевским радиусом (размером)
0 kT
nq 2e
,
(1.60)
который можно найти из условия равенства энергии плазменных колебаний
одного электрона и тепловой энергии, приходящейся на одну степень
свободы электрона, т. е. kT. Дебаевский размер для наиболее
распространенных видов плазмы на несколько порядков превосходит размер
атомов или молекул.
Следовательно, в плазме несущественны квантовые эффекты и ее
поведение описывается законами классической физики.
Если в плазму ввести пробный, например, положительный заряд +q 0, то
расположенные по соседству электроны будут им притягиваться, а
положительные ионы, наоборот, отталкиваться. В результате вокруг
положительного заряда возникает сферически симметричное отрицательно
заряженное облако. Оно будет экранировать действие заряда q0 на
расположенную вокруг плазму, которая возникает в результате суперпозиции
поля положительного заряда q0 и поля, отрицательно заряженного
окружающего его облака. Поэтому на некотором удалении от заряда q0 поле,
Электричество и магнетизм
122
Н.Ф. Шемяков
образованное такой суперпозицией, будет исчезающе мало. Это расстояние и
определяется дебаевским радиусом экранирования. Плазму экранируюет
также и внешнее электрическое поле на расстоянии порядка дебаевского
размера.
Полученные результаты справедливы для плазмы, находящейся в
состоянии термодинамического равновесия. На практике такое состояние не
наблюдается. Поэтому средние кинетические энергии для электронов и
ионов оказываются различными, т. е. температура электронов Те и
температура ионов Тi не равны, причем Те>Тi. Для равновесной плазмы Те =
Тi.
При значении ионной температуры Тi<105 K плазму называют
низкотемпературной, а при Тi>106 K
высокотемпературной. В плазме
взаимодействует большое число частиц. Этим она резко отличается от газов.
Средняя потенциальная энергия взаимодействия частиц плазмы мала по
сравнению с их кинетической энергией. Поэтому тепловое движение частиц
в плазме и идеальном газе имеет большое сходство. Термодинамические
свойства плазмы с хорошей степенью точности описываются уравнением
состояния идеального газа. Таким образом, плазма представляет собой
идеальный газ, состоящий из двух противоположно заряженных частиц
ионов и электронов. Плазменные колебания
упорядоченное движение
зарядов подобно звуку в веществе. Это движение дополняет тепловое
движение, участвуя в котором каждая заряженная частица плазмы
перемещается по плавно извивающейся линии, так как импульс каждой из
них меняется в зависимости от времени очень медленно. Наличие в плазме
заряженных частиц объясняет ее хорошую электропроводность. Время
релаксации плазменных электронов , определяется как среднее время, за
которое движение электрона теряет свою упорядоченность, т. е.
2
o
( kT) 3
.
n( 4 N )
nq 4e
Поэтому удельная электропроводность плазмы
nq 2e
me
4
me
(1.61)
(1.62)
или
3
10 3 T 2
1/(Ом м).
(1.63)
Удельная электропроводность плазмы слабо зависит от концентрации
носителей, так как в ней столкновения носителей практически не играют
роли. Температурная зависимость удельной электропроводности плазмы
растет пропорционально Т3/2.
Следовательно, достаточно разогретая плазма является хорошим
проводником.
Электричество и магнетизм
123
Н.Ф. Шемяков
Например, при температурах Т 108 К, достигаемых в установках для
термоядерных реакций, удельная электропроводность плазмы имеет
значения порядка
109 1/(Ом м), что на порядок превышает проводимость
лучших металлических проводников.
При внесении плазмы в магнитное поле электроны и ионы начинают
двигаться по винтовой линии, закручивающейся вокруг силовых линий
магнитного поля с частотой для электрона
qeB
(1.64)
e
me
и для иона
(1.65)
i q e B / mi ,
где В индукция магнитного поля.
Способность магнитного поля удерживать плазму от растекания
используется в установках для осуществления термоядерного синтеза в
высокотемпературной водородной плазме при Т 108 К.
1.16. Электрические явления в контактах
1.16.1. Контактная разность потенциалов
Если два различных металла привести в соприкосновение, то между
ними возникнет контактная разность потенциалов (Вольта, 1797 г.).
Вольта расположил металлы в ряд: Al, Zn, Sn, Pb, Sb, Bi, Hg, Fe, Cu, Ag,
Au, Pt, Pd так, что при соприкосновении их попарно каждый предыдущий
металл получает более высокий потенциал, чем последующий.
Если привести в контакт более двух металлов
(рис. 12.11, а) то разность потенциалов между
первым и последним металлами не зависит от того,
какими промежуточными металлами они разделены
(закон последовательных контактов Вольта).
Если же контактирующие металлы при
постоянной температуре замкнуть кольцо, то ЭДС в
замкнутой цепи отсутствует (рис. 1.11, b). Для
объяснения возникновения контактной разности
потенциалов можно привлечь модель свободных
электронов.
Рис. 1.11
Приведем два металла 1 и 2 в контакт (рис. 1.12,
где черным кружком обозначены электроны). Так как
уровни Ферми (WF1
WF2) металлов различны, то не равны и
концентрации электронов в них (n01 n02). При Т= 0 К
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
124
все энергетические уровни вплоть до уровня Ферми
будут заполнены электронами.
В случае WF1 < WF2 после приведения металлов в
контакт начнется диффузия электронов из металла 2 в
1, так как работа выхода во втором металле меньше,
чем в первом. В результате металл 2 заряжается
Рис. 1.12
положительно, а металл 1 отрицательно.
Если же контактирующие металлы при постоянной температуре
замкнуть в кольцо, то ЭДС в замкнутой цепи отсутствует (рис. 1.11, b).
Потенциал металла 1 повышается, а металла 2
понижается. Этот
процесс будет продолжаться до тех пор, пока уровни Ферми металлов не
станут равными, и наступит состояние динамического равновесия: WF1 =
WF2. На границе раздела возникает скачок потенциала, т. е. появляется
электрическое поле контакта, препятствующее диффузии.
Разность потенциалов ( i2
i1) называют внутренней контактной
разностью потенциалов.
Внутреннюю
контактную
разность
потенциалов можно найти по формуле
i2
i1
34
h2 3
8mq e
2/3
2
n1 3
2
n23 ,
(1.66)
масса покоя
где h = 6,63 10
Дж с; m
электрона; qe заряд электрона.
Полученный
результат
остается
справедливым при любых температурах.
Если же между металлами имеется зазор АВ
(рис.1.13), то между ними возникнет разность
Рис. 1.13
потенциалов во внешних точках 1 * и 2* ( е2
е1),
называемую внешней контактной разностью потенциалов.
А1)/qe,
(1.67)
е2
е1 = (А2
где А1 и А2 работы выхода электронов из металлов 1 и 2 соответственно.
1.16.2. Термоэлектричество.
а). Явление Зеебека
Согласно закону последовательных контактов в замкнутой цепи их
нескольких металлов (полупроводников) ток в цепи отсутствует, если все
тела находятся при одинаковой температуре. Однако, если в местах контакта
температуры разные, то появляется термоэлектрический ток (Зеебек, 1821
г.).
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
125
Возникновение термоЭДС ( т) в замкнутой электрической цепи,
составленной из последовательно соединенных разных металлов, если места
спая (контакта) находятся при различных температурах, называют явлением
Зеебека
т =
dT ,
(1.68)
L
где
удельная термоЭДС.
Простейшая электрическая цепь (рис. 1.14)
представляет собой термоэлемент (термопару). Если
Та и Тb температуры спаев а и b, то
Рис. 1.14
т =
Тb
12 dT ,
(1.69)
Та
где
Рис. 1.15
= 2
1.
При Тb > Та,
т > 0, то 12 > 0 (ток
течет по часовой стрелке).
При Тb > Та,
т < 0, то 12 < 0 (ток
течет против часовой стрелки).
Возбуждение
термоэлектрического
тока можно наблюдать на опыте, схема
которого приведена на рис. 1.15, где к
пластинке из сурьмы Sb припаяна медная
12
Cu пластинка.
Между ними помещается магнитная стрелка NS. Если один из спаев
нагреть, то появится ток, и магнитная стрелка отклонится.
По направлению отклонения магнитной стрелки можно судить о
направлении тока в цепи. Оказывается, что через нагретый спай ток течет от
меди к сурьме. Если охладить тот же спай, то направление тока меняется на
противоположное.
Явление Зеебека обусловлено следующими причинами:
1.
Преимущественной диффузией носитлей тока в металлах
(полупроводниках) от нагретого конца к холодному ( 0
объемная
составляющая термоЭДС);
2.
Зависимостью контактной разности потенциалов от температуры,
связанной с зависимостью химического потенциала (уровня Ферми) от
температуры ( к контактная составляющая термоЭДС);
3.
Увлечением электронов фононами, преимущественно перемещая
их в том же направлении ( ф фононная составляющая термоЭДС).
Следовательно, удельная термоЭДС
= 0 + к + ф.
(1.70)
Электричество и магнетизм
126
Н.Ф. Шемяков
В металлах электронный газ
вырожден. Концентрация электронов
велика и не зависит от температуры, а их распределение по скоростям
теплового хаотического движения и энергиям мало зависит от температуры.
Поэтому значения удельной термоЭДС металлов составляет несколько
единиц мкВ/град. В полупроводниках электронный газ невырожден.
Значения термоЭДС для полупроводников составляет 102 103 мкВ/град
из за относительно малой концентрации носителей тока (по сравнению с
металлами), которая зависит от температуры. Эффект Зеебека наблюдается и
в сверхпроводниках. Под действием градиента температуры в
сверхпроводниках появляется объемный ток нормальных возбуждений по
природе такой же, как и в обычных проводниках.
Этот ток (объемный ток куперовских пар электронов) компенсирует
ток нормальных возбуждений, т. к. полный объемный ток равен нулю, а
электрическое поле в сверхпроводнике отсутствует. Определить термоЭДС,
связанную с нормальными возбуждениями в сверхпроводнике, можно,
измеряя сверхпроводящую компоненту тока. Явление Зеебека используют
для измерения температур (термогенераторы, термопары и т. д.).
б). Явление Пельтье
Выделяемая или поглощаемая теплота в спае разнородных металлов
при прохождении тока, избыточная над джоулевой теплотой, называтся
теплотой Пельтье. Согласно Пельтье (1854 г.)
Qп = П12It,
(1.71)
где П12 коэффициент Пельтье.
С другой стороны,
П12 = П1 П2 =
(1.72)
12Т,
2
В отличие от джоулевой теплоты (QД
I ) и всегда выделяемой в
проводнике при прохождении тока теплота Пельтье Qп I, а ее знак зависит
от направления тока в спае. Если ток в спае течет из проводника с большим
коэффициентом Пельтье П1 в проводник с меньшим П2 (П1 > П2) и П12 > 0,
то теплота Пельтье выделяется в спае.
В случае противоположного направления тока через спай теплота
Пельтье поглощается в спае, что находится
в согласии со вторым началом термодинамики.
Для поддержания постоянного термотока необходимо к горячему спаю
непрерывно подводить теплоту, а от холодного спая отводить теплоту.
Для количественного исследования явления Пельтье ученый Леру
использовал установку, схема которой приведена на рис. 1.16, где к концам
висмутовой проволоки АВ припаяны медные провода и спаи опущены в два
калориметра. Пропуская через спаи один и тот же ток, Леру измерял тепло,
выделяемое в каждом калориметре, за одно и то же время.
Электричество и магнетизм
127
Н.Ф. Шемяков
Явление
Пельтье
в
полупроводниках
используют
для
создания экономичных холодильных
установок.
в) Явление Томсона
Рис. 1.16
Выделение
или
поглощение
теплоты, избыточной над джоулевой,
при
прохождении
тока
по
первоначально нагретому однородному
проводнику
(полупроводнику)
называют теплотой Томсона.
П
Т
,
(1.73)
Т
Т
где
коэффициент Томсона.
С точки зрения электронной теории явление Томсона объясняется
следующим образом. Рассмотрим полупроводник с электронной
проводимостью. В полупроводнике при Т1 > T2, градиент температуры
направлен от точки 2 к точке 1 (рис. 1.17, а). Из за диффузии концентрация
электронов в точке 1 становится меньше, чем в точке 2. В результате этого
возникает электрическое поле, направленное от 1 к 2. Если по n
полупроводнику течет ток в направлении gradT (рис. 1.17, а), то электроны
перемещаются в направлении, в котором
их движение замедляется
электрическим полем, в результате этого участок 1 2 станет охлаждаться.
Если же ток течет в
обратном направлении, то
произойдет нагревание участка
1 2.
В
дырочном
полупроводнике
явления
будут
протекать
в
обратном
направлении (рис. 1.17, б).
Направление тока и переноса
теплоты противоположны.
Рис. 1.17
Эффект
Томсона
считается положительным, если электрический ток, текущий в направлении
градиента температуры, вызывает нагревание полупроводник, и
отрицательным, если при том же направлении тока происходит охлаждение
полупроводника.
Электричество и магнетизм
128
Н.Ф. Шемяков
Лекция 12
6. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
6.1. Источники магнитного поля
С проявлением магнитных сил люди встретились еще в глубокой
древности. Магнитной стрелкой пользовались в Китае, индейцы в Америке.
В 1600 г. Гильберт писал, что Земля большой магнит.
Магнетизм
особая форма материального взаимодействия между
электрическими токами, движущимися зарядами, между токами и магнитами
и между магнитами; раздел физики, изучающий это взаимодействие и
свойства веществ, в которых оно проявляется. Все магнитные
взаимодействия осуществляются посредством магнитных полей. Особая
материальная среда, в которой проявляется воздействие на физические
приборы (магнитную стрелку, виток с током и т. д.), называют магнитным
полем.Магнитное поле создают движущиеся электрически заряженные тела,
проводники с током, магнитные руды, постоянные магниты и т. д.
Магнитное поле возникает в результате движения заряженных
микрочастиц (электронов, протонов, ионов и др.). Например,
ферромагнетизм объясняется
наличием у электронов собственного
(спинового) магнитного момента. Переменное магнитное поле возникает при
изменении во времени электрического поля. В свою очередь, при изменении
во времени магнитного поля возникает переменное электрическое поле, т. е.
существует единое электромагнитное поле. Электрическое и магнитное поля
являются различными формами его проявления при определенных условиях.
Магнитное поле имеют: Земля, Юпитер, Сатурн и некоторые другие планеты
солнечной системы, звезды, в том числе и наше Солнце, нейтронные звезды
пульсары, галактики и межгалактическое пространство. Магнитные
свойства веществ определяются природой носителей магнетизма и
характером
их
взаимодействия.
Количественной
характеристикой
магнитного поля являются:
1) индукция магнитного поля вектор B . В СИ магнитная индукция
измеряется в теслах (Тл).
2) напряженность магнитного поля вектор H . В Си напряженность
магнитного поля измеряется в амперах на метр (А/м).
Между векторами индукции B и напряженности H существует связь:
B = 0H
или
В = 0Н,
где
магнитная проницаемость среды (в вакууме
магнитная постоянная.
(6.1)
(6.2)
= 1); 0 = 4 10 7 Гн/м
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
129
3.2. Преобразование поперечной силы
При переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой в
теории
относительности
используют
преобразования Лоренца. Используя их, найдем
формулу преобразования
проекции
силы,
например, на ось Z. Пусть материальная точка (м.
т.) массой m движется вдоль оси Z cо скоростью
uz в инерциальной системе отсчета ХУZ (рис.
z
. Другая инерциальная система
t
6.1), т. е. u z
отсчета Х*У*Z* движется относительно ХУZ
Рис. 6.1
равномерно и прямолинейно со скоростью v
вдоль оси Х. Запишем проекцию импульса м. т. на ось Z в виде p z
mu z ,
1
где
1
v
2
. Проекция силы на эту же ось
c2
pz
.
t
W = mc2.
Fz
Полная энергия частицы
Импульс частицы
Тогда
F
dp
dt
p
p
W
c
2
N
(6.4)
(6.5)
m v.
v . На основании второго закона Ньютона
d W
v . Найдем в правой части последнего равенства вторую
dt c 2
F v . Тогда
Если F
m
dv
dt
dW v
dt c 2
F
производную от произведения
dW
dt
(6.3)
1
F
v
c
2
F v
Wdv
,
2 dt
c
.
где
(6.6)
* * *
v поперечная составляющая силы в Х У Z
v2 .
(6.7)
2
c
Следовательно, в отличие от ньютоновской механики, в теории
относительности поперечная сила зависит от скорости, что и позволяет
объяснить происхождение магнитных сил.
Fz*
Fz 1
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
130
6.3. Сила взаимодействия, движущихся зарядов.
Допустим, что два положительных точечных заряда q и Q находятся в
покое относительно инерциальной системы отсчета ХУZ в вакууме на
расстоянии r друг от друга. Между ними действует кулоновская сила
qQ
Fz
отталкивания
.
(6.8)
2
4 or
Найдем, какие силы действуют между этими зарядами в системе
координат Х*У*Z*, которая движется вдоль оси Х со скоростью v (рис. 6.2).
Используя формулы (6.7) и (6.8), получим
v2
qQ
Fz*
.
(6.9)
1
4 or 2
c2
Таким образом, относительно системы
отсчета Х*У*Z* заряды q и Q уже не находятся в
v
покое, а движутся со скоростью v *
параллельно друг другу. Сила взаимодействия
между зарядами в этой системе отсчета меньше,
чем в ХУZ, относительно которой они покоятся.
Представим формулу (4.9) в виде:
1
qQ
Fz*
2
or
4
Рис. 6.2
v2
c2
1
v
2
.
(3.10)
c2
Представим формулу (3.10) в виде двух слагаемых
qQ
1
qQ
v2
*
.
Fz
2
2
2
4 or 2
4
r
v
v
o
2
1
c
1
c2
c2
Первое слагаемое в последнем выражении представляет собой
электрическую составляющую поперечной силы:
Fk*
qQ
4
or
1
2
1
v
qE* ,
2
(6.11)
c2
где
E
*
Fk2
q
Q
4
or
1
2
1
v
2
c2
.
(6.12)
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
131
Второе слагаемое определяет магнитную составляющую поперечной
силы:
Fm*
v2
qQ
4
2
or
c2 1
v2
.
(6.13)
c2
Сравним силы Fk* и Fm* , получим
Fm*
v2
.
Fk* c 2
Для электронов проводимости это отношение
v2
10 24 .
2
c
Следовательно,
магнитная
составляющая
поперечной
силы
значительно меньше электрической. Поэтому при расчете
сил
взаимодействия между свободными зарядами можно пренебречь
магнитными силами и для этого использовать формулы электростатики.
Совершенно другая картина наблюдается, когда заряды движутся в
проводнике. Действительно, в металлах имеются свободные электроны,
движущиеся внутри ионной решетки. Суммарный заряд ионов и электронов
равен нулю, так как заряды в проводнике распределены равномерно.
Следовательно, результирующая напряженность электрического поля
ионной решетки и электронного газа равна нулю, и, значит, вокруг
проводника электрическое поле отсутствует.
Поэтому проводники при отсутствии тока в них не взаимодействуют.
Однако при пропускании тока по параллельно расположенным
проводникам между ними возникает сила магнитного взаимодействия,
потому что вокруг проводников с током возникают магнитные поля. Ток в
проводнике
это упорядоченное движение электронов. Напряженность
поперечного электрического поля движущегося заряда несколько больше
электрического поля неподвижного заряда. Скорость упорядоченного
движения электронов много меньше их тепловой скорости, тем более
скорости света. Значит практически напряженность электрического поля
электронов проводимости и при наличии тока компенсирована
напряженностью электрического поля ионной решетки.
Остается некомпенсированной только магнитная сила взаимодействия
движущихся зарядов. Из-за большого числа носителей в металлах она
становится весьма значительной.
Таким образом, силы взаимодействия между движущимися
электрическими зарядами отличаются от сил взаимодействия между
неподвижными зарядами.
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
132
6.4. Магнитное поле движущегося заряда
Найдем магнитную индукцию движущегося заряда. Для этого
выражение (6.13) перепишем с учетом того, что v *
Fm*
где
B
В формуле (6.15)
qv *
Q
4
v
or
2
c2 1
v
or
2
c2 1
v
qv * B ,
2
(6.14)
c2
v*
Q
4
v , в виде
*
v*
0Q
2
2
4 r
c2
1
v
2
,
(6.15)
c2
1
, где с
скорость света в вакууме
2
c
0
(электродинамическая постоянная). Следовательно, при равномерном
движении электрического заряда Q вокруг него возникает магнитное поле,
индукция которого определяется по формуле
(6.15).При скоростях движения заряда v
c в среде
(
1) формула индукции магнитного поля (3.15)
записывается в виде
0
0q v r
B
4 r
Рис. 6.3
или
B
При
v
0 qv
2
4 r
sin v , r .
(6.17)
r
B мах
Рис. 6.4
(6.16)
3
0 qv
2
.
(6.18)
4 r
Направление
вектора
магнитной
индукции
движущегося заряда определяется правилом правого
винта (рис. 4.3). Графически магнитное поле изображают
с помощью силовых линий.
Силовой линией называют кривую, касательная к
которой в каждой точке совпадает с направлением
вектора индукции магнитного поля.
Силовые линии магнитного поля движущегося заряда
представляют собой концентрические окружности (рис. 6.4).
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
133
6.5. Магнитный поток
Магнитное поле, как и любое векторное может быть наглядно
представлено с помощью силовых линий магнитного поля.
Густота силовых линий прямо пропорциональна модулю вектора
индукции. Если в неоднородное магнитное поле поместить площадку dS, в
пределах которой магнитное поле считается однородн ым, то силовые линии
пронизывают ее. В этом случае площадку dS пронизывает магнитный поток
(рис. 6.5):
(6.19)
dФ m ( B dS n )
или
(6.20)
dФ m = BdScos(B , n) = B n dS .
Полный магнитный поток сквозь произвольную
поверхность найдем интегрированием (6.19):
Фm
( B dS n ) .
(6.21)
Если магнитное поле однородно, то магнитный
поток
Рис. 6.5
Фm= ВScos .
(6.22)
При
= 90 Фm= 0. В этом случае силовые линии магнитного поля
скользят вдоль поверхности, не пересекая ее. При = 0о магнитный поток
максимален, Фm = ВS. В СИ магнитный поток измеряется в веберах (Вб).
Магнитный поток пронизывающий произвольную замкнутую
поверхность, равен нулю (теорема Гаусса для вектора B ).
В качестве примера рассмотрим магнитное поле прямого
тока. Окружим проводник с током цилиндрической
поверхностью произвольного радиуса основания r (рис. 6.6).
Силовые линии магнитного поля прямого тока представляют
собой концентрические окружности с центром на оси
проводника. В данном случае силовые линии не пересекают
цилиндрическую поверхность, поэтому магнитный поток
Рис. 6.6
сквозь ее, равен нулю, т. е. Ф m
(6.23)
( B dS n ) = 0.
о
Вывод: Число силовых линий, выходящих из замкнутой поверхности,
равно числу линий, входящих в область, ограниченную этой поверхностью, и
не зависит от формы и размеров ее. Из данной теоремы следует, что в
природе не существуют магнитные заряды. Однако теория «Великого
Объединения» допускает существование магнитных зарядов
магнитных
монополей Дирака. Согласно квантовой теории магнитный поток квантуется.
Для расширения возможности применения теоремы Гаусса для вектора
B формулу (6.24) записывают в дифференциальной форме:
div B = 0
или
(
B) = 0,
(6.24)
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
134
6.6. Циркуляция вектора индукции магнитного поля
Циркуляцией вектора индукции магнитного поля (циркуляцией вектора
B ) называют криволинейный интеграл по произвольному контуру L
скалярного произведения вектора индукции B и вектора элемента этого
контура d , т. е.
(B d  )
L
где В
Bd cos(B , d)
L
B  d ,
(6.25)
L
проекция B на d .
6.6.1. Теорема о циркуляции B
Циркуляция B по произвольному контуру L в вакууме равна
произведению магнитной постоянной 0 на алгебраическую сумму токов,
охваченных этим контуром.
Ток считается положительным, если его направление связано с
направлением обхода по контуру правилом правого винта, а ток
противоположного направления отрицательным (рис. 6.7, где I1 > 0, I3 >
0, I2 < 0, I4 < 0).
Рассмотрим магнитное поле прямого
проводника с током бесконечной длины (рис. 6.8,
ток направлен к нам). В качестве замкнутой
поверхности используем окружность L радиуса r.
Вектор
индукции
магнитного
поля
B
перпендикулярен радиус-вектору r и совпадает по
Рис.6.7.
направлению с вектором элемента длины d .
Согласно определению циркуляции вектора B имеем
(B d  )
L
Bd ,
(cos =1).
L
Применив формулу индукции прямого
проводника с током бесконечной длины,
последнее равенство перепишем в виде
(Bd  )
L
Рис. 6.8
0I
2 r
2 r
d
0I .
(6.26)
0
Теорема остается справедливой и для
контура
произвольной
формы,
который
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
135
охватывает N проводников с током, т. е.
N
(B d  )
Ik .
0
(6.27)
k 1
L
Формулу (6.27) называют законом полного тока.
Если ток распределен по объему, где расположен контур L, то
I
( j dS n ) .
S
Интеграл берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур L.
Поэтому плотность тока j под интегралом соответствует точке, где
расположена площадка (направление обхода и вектор нормали n связаны
правилом правого винта). С учетом этого теорему о циркуляции запишем в
виде
( Bd  )
( j dS n )
0
L
jn dS .
0
S
(6.28)
S
Замечание 1:
Магнитное поле называют вихревым, или
соленоидальным, поскольку циркуляция вектора B не равна нулю (в отличие
от электростатического поля, которое является потенциальным).
Замечание 2:
Поле вектора B определяется всеми токами, а
циркуляция вектора B
контур.
только теми токами, которые охватывает данный
6.6.2. Дифференциальная форма теоремы о циркуляции B
Рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площадке S,
натянутой на контур L. Ориентация этого контура связана с вектором
нормали n к плоскости контура правилом правого винта. В пределе при S
0, имеем
( B d )
(6.29)
( rot B) n .
im
S
S
0
Формулу (6.29) называют ротором поля B .
Следовательно, этот предел представляет собой скалярную величину,
равную проекции вектора rot B на нормаль. Используя (6.29), формулу (6.28)
представим в виде
S im0
или
( B d)
S
0 jn
(6.30)
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
136
[
B]
n
0
j ,
n
(6.31)
где
векторный дифференциальный оператор.
Следовательно,
[
B]
j.
0
(6.32)
Ротор поля B совпадает по направлению с вектором плотности тока j
в данной точке. Формула (6.32)
дифференциальная форма теоремы о
циркуляции B . Дифференциальная форма теоремы о циркуляции B
расширяет ее возможности для исследования и расчета сложных магнитных
полей.
6.7. Применение теоремы о циркуляции B
6.7.1. Магнитное поле соленоида
Соленоидом называют катушку с током, витки которой намотаны
вплотную друг к другу на цилиндрический каркас (рис. 6.9). Если длина
соленоида много больше его диаметра, то магнитное поле снаружи его
практически равно нулю. Магнитное поле внутри соленоида можно считать
однородным.
Силовые линии магнитного поля направлены вдоль оси, причем
вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинтовую
систему.
Найдем индукцию магнитного поля
соленоида в центре на его оси, используя
Рис. 6.9
теорему о циркуляции B .
Пусть
прямоугольный
контур
охватывает n витков (n число витков на
N
единицу длины соленоида, т. е. n
, где

N полное число витков соленоида; 
длина соленоида, витки с током которого
охвачены прямоугольным контуром).
( B d)
Циркуляция вектора B по данному контуру
Контур охватывает суммарный ток
L
n
k 1
Ik
nI .
B .
Электричество и магнетизм
где
Н.Ф. Шемяков
137
Согласно теореме о циркуляции B , имеем В  = 0n  I.
Следовательно, индукция магнитного поля внутри соленоида
В = 0nI,
(6.33)
nI число ампервитков.
6.8. Проводник с током в магнитном поле
Сила d F , действующая на элемент длины проводника с током в
неоднородном магнитном поле (рис. 6.10) ,
dF
[ I d B ]
(6.34)
или
dF = I d  В sin ( d , B ) .
(6.35)
Формулы (6.34), (6.35) называют
законом Ампера.
Интегрируя
эти
выражения
по
Рис. 6.10
элементам тока, находим силу Ампера,
действующую на линейный или объемный
участок проводника с током (при условии, что ток течет по тонкому
проводнику,
jdV = Id  ),
т. е.
F
IdB sin( d , B ) .
(6.36)
Направление силы Ампера можно найти по
правилу правого винта или по правилу левой
руки (рис. 6.11). В однородном магнитном поле
сила Ампера
Рис. 6.11
F=I
где
 Bsin
,
(6.37)
угол между проводником и B .
6.9. Взаимодействие параллельных токов
Найдем силу взаимодействия двух параллельных проводников с током
бесконечной длины в вакууме ( = 1, рис. 6.12). Каждый элемент проводника
с током I1 находится в магнитном поле индукции В2, созданным
проводником с током I2, и, наоборот, каждый элемент проводника с током I2
находится в магнитном поле индукции В1, созданным проводником с током
I1. Расстояние между проводниками d.
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
138
Индукция магнитного поля проводника с
током I1
o I1
(6.38)
B1
2 d
По закону Ампера на проводник с током
I2 действует сила
F12
I 2 B1 .
(6.39)
На основании третьего закона Ньютона
Рис. 6.12
F 12
F 21 (рис. 6.12).
С учетом (6.38) формулу (6.39) перепишем в виде
o I 1I 2  .
(6.40)
F12
2 d
Так как проводники бесконечной длины, найдем силу, действующую на
единицу длины проводника, в виде
F12
o I 1I 2
(6.41)
.

2 d
Полученную формулу (6.41) используют для определения в Си
единицы силы тока ампера (А).
За единицу силы тока принимают ток, равный 1 А, текущий по двум
параллельным бесконечной длины тонким проводам ничтожно малого
сечения, находящимися на расстоянии одного метра в вакууме,
взаимодействующими между собой с силой 2 10 7 Н на единицу длины.
Если ток течет по проводам в противоположных направлениях, то
они отталкиваются друг от друга.
6.10. Момент сил, действующий на контур с током
Если контур с током (I = const) поместить в неоднородное внешнее
магнитное поле, то на него будет действовать сила Ампера, т. е.
F
I [ d
B ].
(6.42)
L
В однородном магнитном поле результирующая сила Ампера,
действующая на контур с током, равна нулю:
F
IB d
0.
(6.43)
L
Рассмотрим плоский контур с током малых размеров (магнитный
листок), который называют элементарным. Такой контур характеризуют
вектором магнитного момента
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
139
(6.44)
p m IS n ,
где I
сила тока в витке; S
площадь витка
ограниченного контуром L; n вектор нормали,
направление которого связано с направлением
тока в витке правилом правого винта (рис. 6.13).
По модулю рm = IS.
(6.45)
В СИ магнитный момент измеряется в
амперах на метр в квадрате (А м2).
Если контур не плоский, то
(6.46)
p m I dS n ,
Рис. 6.13
S
где интеграл зависит только от выбора контура L, на который натянута
поверхность S. Расчеты показывают, что эту силу можно записать в виде
F
где
рm
pm
модуль магнитного момента контура;
B
,
(6.47)
n
B
частная производная
n
вектора B по направлению вектора нормали n (по направлению вектора p m
).
Проекция силы, например, на направление оси Х
Bx
Fx p m
.
(6.48)
n
B
= 0.
n
Результирующий момент сил Ампера, действующий на контур,
В однородном магнитном поле F = 0, так как
запишем в виде
M
[r
dF]
(6.49)
или в виде
M [ p m B] , где M p m B (рис. 6.14).
(6.50)
Пара сил Ампера действует на стороны b контура; на стороны а
контура действуют силы, стремящиеся только растянуть его, на рис. 6.14 они
не показаны.
По модулю вращающий момент сил Ампера
М = рmВsin = ISBsin ,
(6.51)
где
угол между векторами p m и B .
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
140
При
= 0 о, М = 0
(B
контура устойчиво. При
pm)
положение
= 180о, М = 0 ( B
p m ) положение контура
неустойчиво. Если
магнитное поле неоднородно и размеры контура
малы, то влиянием неоднородности можно
пренебречь.
6.11. Работа перемещения контура с
током в магнитном поле
Рис. 6.14
Рис. 6.15
В
неоднородном
На любой проводник с током в магнитном
поле действует сила Ампера.
В однородном магнитном поле
работа, совершаемая силой Ампера (рис.
6.15),
А = F x,
где
F = IB сила Ампера
т. е.
А = IB(  ) x
или
А = IB S,
где
S =(  ) x
или
А = I Фм, где Фм =B S.
магнитном поле элементарная работа dA,
совершаемая силой Ампера dF при бесконечно малом перемещении dr
элемента проводника с током d ,
dA (dF dr ) I dr [d B] I (B dS) I dФm ,
где
dS
(6.52)
dS n ;
dS
[dr d]
вектор малой площадки, возникающей при перемещении элемента d
проводника с током на малое перемещение dr ; dФ m
поток, пронизывающий эту площадку (рис. 6.16).
( B dS)
магнитный
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
141
Следовательно, при перемещении проводника конечной длины  , по
которому течет ток, в переменном магнитном поле, из состояния 1 в 2
совершается работа
2
A 12
I dФ m
I Фm .
(6.53)
1
6.12. Движение заряженных
частиц в магнитном поле
Рис. 6.16
Пусть заряженная частица влетает
v
со скоростью
в однородное
магнитное поле B под углом
к силовой
линии (рис. 6.17). Разложим скорость v на
составляющие v и v , т. е. v = v + v ,
где v = vsin , v = vcos .
На заряженную частицу, движущуюся в
магнитном поле, действует сила Лоренца
Рис. 6.17
или
F
q vB sin( v , B)
F
q vB sin .
q[ v B ]
(6.54)
(6.55)
v ), т. е. если заряженная частица движется вдоль
При
= 0о F = 0 ( B
силовой линии, на нее не действует сила Лоренца, и она продолжает
B, F =
двигаться равномерно и прямолинейно (v =const). При = 90о, v
q v B. Под действием максимальной силы Лоренца частица описывает
mv 2
mv 2
окружность радиуса R, т. е. F
, или
= q v B. Следовательно,
R
R
R
mv
qB
mv
sin .
qB
(6.56)
Заряженная частица движется по окружности равномерно с постоянной
угловой скоростью (В = const, q = const, v = const), поэтому можно найти
v
2
2 m
период ее обращения Т = , где
, т. е.
.
(6.57)
T
qB
R
Следовательно, при v << c период обращения частицы по окружности
не зависит от скорости движения. Направление силы Лоренца зависит не
только от направлений вектора скорости v и вектора индукции магнитного
поля B , но и от знака движущегося заряда и определяется по правилу
правого винта (рис. 6.18). Участвуя в двух движениях, частица в магнитном
Электричество и магнетизм
142
Н.Ф. Шемяков
поле описывает винтовую кривую вокруг силовой линии (рис. 6.18),
шаг которой
2 m
v cos . (6.58)
H=vT=
qB
Если заряженная частица движется в
неоднородном
магнитном поле в
сторону более сильного поля, то она
навивается на силовую линию. А
радиус
и
период
обращения
Рис. 6.18
уменьшаются.
На этом принципе основана магнитная фокусировка пучков
заряженных частиц, например, в магнитных линзах в электронной оптике.
При движении заряженных частиц в
электрическом и магнитном полях на них
действует обобщенная сила Лоренца,
которую можно найти по формуле
F q E q[ v B ] ,
(6.59)
Влияние электрического и магнитного
Рис. 6.19
полей на движущиеся заряженные частицы
(электроны, протоны, ядра атомов, ионы и т. д.) применяется в ускорителях
заряженных частиц (циклотронах, фазотронах, синхрофазотронах, масс
спектрографах, накопительных кольцах и т. д.). Энергия ускоряемых частиц
увеличивается при их движении в электрическом поле (электростатическом,
индукционном или переменном высокочастотном). Полученные в
ускорителях направленные пучки частиц высоких энергий, используются для
решения многих задач ядерной физики.
6.13. Эффект Холла
Эффект Холла наблюдается в проводниках и полупроводниках. Если
металлическую
(или
полупроводниковую)
пластинку
в
форме
параллелепипеда, по которой течет электрический ток в направлении от
грани 1 к грани 2 поместить в магнитное поле, силовые линии которого
пронизывают образец в направлении от грани 3 к грани 4, то на гранях 5 и 6
возникает разность потенциалов (рис. 6.20). В металлах носителями тока
являются электроны.
При их концентрации n0 и скорости упорядоченного движения <v>
сила тока
I = qen0<v>S,
(6.60)
где S площадь поперечного сечения пластинки (например, квадрат со
стороной a). Для электронов скорость их упорядоченного движения
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
143
противоположна по направлению вектору плотности тока j .
На электроны, движущиеся в магнитном
поле с индукцией
B , действует сила
Лоренца F q e [ v B].
В результате этого они отклоняются к
верхней грани 6, на которой возникает
избыточный отрицательный заряд, а на
нижней
грани
5
избыточный
положительный заряд. Возникает разность
потенциалов
поперечного
электрического поля, вектор напряженности
Рис. 6.20
E которого направлен от грани 5 к грани 6. Поэтому на электроны будет
действовать кулоновская сила, направленная вниз (к грани 5). В состоянии
динамического равновесия полная
сила Лоренца, действующая
на
электроны со стороны электрического и магнитного полей будет равна нулю,
т. е.
F q e E q e [ v B] 0 или по модулю Е = <v>B. Используя связь
разности потенциалов с напряженностью электрического поля в виде
=
Е a с учетом последнего равенства, получаем
= a<v>B или с учетом
I B
j B a
(6.60)
=
(6.61)
,
q e n oa q e n o
где
R=
1
qeno
постоянная Холла.
(6.62)
Напряженность поперечного электрического поля (поля Холла)
складывается с напряженностью электрического поля, которое обуславливает
существование тока в проводнике при отсутствии магнитного поля. Поэтому
напряженность электрического поля образует с направлением вектора
плотности тока j некоторый угол, называемый холловским, т. е.
напряженность электрического поля Холла
Е = RHjsin , где Н
напряженность магнитного поля; sin
sin( H , j ) .
В ферромагнетиках электроны подвергаются совместному действию
внешнего магнитного поля и магнитного поля доменов. Это приводит к
особому ферромагнитному эффекту Холла, т. е. Е = (R H +Ri J)j, где R
нормальная постоянная Холла; Н
напряженность внешнего магнитного
поля; Ri аномальная постоянная Холла; J
величина намагниченности
домена; j плотность тока. Из (6.62) следует, что знак постоянной Холла R
зависит от знака носителя тока. Если R < 0, то проводимость электронная,
если R > 0, то дырочная. В 1988 г. обнаружен квантовый эффект Холла.
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
144
Сопротивление Холла зависит от фундаментальных постоянных, и не
подвержено влиянию нарушений структуры образца, т. е.
h
RH
,
(6.63)
iq e2
где i =1, 2, 3, ... число состояний; RH cопротивление Холла.
Фундаментальные свойства квантового эффекта Холла являются
следствием того факта, что энергетический спектр электронов системы
состоит из дискретных энергетических уровней.
Кроме того, наблюдается дробный эффект квантования холловского
сопротивления, из за частичного заполнения уровней Ландау на
1 2 4 5 2 3 2
при более низких температурах и чистых образцах и
, , , , , ,
3 3 3 3 5 5 7
вызван взаимодействием электронов двухмерного газа между собой,
превращая его в несжимаемую жидкость.
Лекция 13
6.14. Закон Био-Савара-Лапласа
Рис. 6.21
т. е. q = dV, где dV
При своем движении электрические заряды
в проводах создает в окружающем пространстве
магнитное поле. Магнитное поле создает не
только ток проводимости, но и любой ток: ток в
газах, ток смещения. Найдем индукцию
магнитного
поля,
созданного
элементом
проводника с током (рис. 6.21).
Для этого
воспользуемся формулой магнитной индукции
равномерно движущегося заряда. Введем
объемную плотность заряда,
элемент объема, тогда
0 dV[ v r ] .
(6.64)
dB
3
4 r
Плотность тока в элементе проводника j = noqv = N
q
v
dV
v (N=1).
Поэтому формулу (6.64) перепишем в виде
dB
0 dV[ j r ] .
3
(6.65)
4 r
Если ток течет по проводу площадью поперечного сечения S,
то объемный элемент тока jdV равен линейному элементу тока Id , т. е.
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
145
jdV = Id .
С учетом этого формула (6.65) принимает вид
dB
или
 r]
0[I d
3
dB
4 r
 sin(d , r )
0 Id
2
.
(6.66)
(6.67)
4 r
Формулы (6.66) и (6.67) называют законом Био-Савара-Лапласа.
В общем случае расчет индукции магнитного поля тока, текущего в
проводах произвольной формы, по формуле (6.66) довольно сложен. Если же
распределение тока имеет некоторую симметрию, например, магнитное поле
прямого и кругового токов, то расчет индукции магнитного поля значительно
упрощается, если воспользоваться принципом суперпозиции магнитных
n
полей, т. е.
B
Bi .
i 1
6.15. Магнитное поле прямого проводника с током
Найдем индукцию магнитного поля dB произвольного элемента Id
прямого проводника c током конечной длины АС (рис. 6.22).
По закону Био
Савара
Лапласа индукцию магнитного поля,
созданную элементом проводника с током Id в произвольной точке К,
можно найти по формуле
0 Id sin
.
(6.68)
dB
4 r2
В этой формуле три переменные величины: элементом длины
проводника d , r
расстояние до этого
элемента,
угол, под которым виден из
данной точки К элементом длины проводника.
Поэтому приведем формулу к одной
переменной , введя известные величины: d
кратчайшее расстояние от точки К до
проводника с током;
I
сила тока в
проводнике; и углы: 1, 2.
Согласно
рис.
6.22
имеем
r
Рис. 6.22
d
, sin
sin
С учетом
принимает вид
dB
rd
.
d
этого
0 I sin
4 d
d
формула
.
(3.23)
(6.69)
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
146
Используя принцип суперпозиции, находим результирующую
индукцию магнитного поля прямого проводника с током длины АС в точке
К,
2
oI
т. е.
B
dB
sin d .
4 d
1
После интегрирования имеем
oI
B
cos
4 d
или
Н
I
4 d
cos 1
1
cos
2
.
(6.70)
cos 2 .
Если проводник бесконечной длины, то 1 = 0о, 2 =180о.
Следовательно, индукция магнитного поля прямого проводника
бесконечной длины в произвольной точке К окружающего пространства
oI
.
(6.71)
B
2 d
I
Н
или
.
2 d
6.16. Магнитное поле кругового тока
Найдем индукцию магнитного поля кругового тока на оси витка в
произвольной точке А (рис. 6.23). Согласно закону Био Савара Лапласа
индукцию магнитного поля, созданную элементом проводника с током Id i в
произвольной точке А на оси Х, можно найти по формуле
0 Id i sin
d Bi
, где sin = 1.
(6.72)
4 r2
Из за симметрии от элементов витка с током Id в точке А будет
Рис. 6.23
образован конус векторов d B i .
Направление вектора индукции
можно определить по правилу
правого винта: если головку винта
вращать по направлению
тока в витке, то поступательное
движение винта укажет направление
вектора индукции.
Проекция вектора индукции
магнитного
поля,
созданного
элементом проводника с током Id i
на ось Х,
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
147
dB x dB i cos , где dB1 = dB2 =...= dBn = dBi.
Результирующая индукция магнитного поля в точке А витка с током
B
где R
2 R
o I cos
2
dB x
d ,
4 r
радиус витка. Согласно рис. 6.23 имеем
(6.73)
0
= R,
cos
r
r2 = R2 + h2, где
h расстояние от центра витка до точки А. После подстановки в (6.73) и
интегрирования получим
o IR
B
2 R2
h2
3
.
(6.74)
2
IR 2
Н
или
2
2 R2
3
h2 2
При h = 0 индукция в центре витка
oI
B
Н
или
2R
.
(6.75)
I
2R
6.17. Момент сил, действующий на контур с током
Если контур с током (I = const) поместить в неоднородное внешнее
магнитное поле, то на него будет действовать сила Ампера, т. е.
F
I [ d
B ].
(6.76)
L
В однородном магнитном поле результирующая сила Ампера,
действующая на контур с током, равна нулю:
F
IB d
0.
(6.77)
L
Рассмотрим плоский контур с током малых размеров (магнитный
листок), который называют элементарным. Такой контур характеризуют
вектором магнитного момента
(6.78)
p m IS n ,
где I сила тока в витке; S площадь витка ограниченного контуром L; n
вектор нормали, направление которого связано с направлением тока в витке
правилом правого винта (рис. 6.24).
По модулю
рm = IS.
(6.79)
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
148
В СИ магнитный момент измеряется в
амперах на метр в квадрате (А м2).
Если контур не плоский, то
(6.80)
p m I dS n ,
S
где интеграл зависит только от выбора контура L,
на который натянута поверхность S. Расчеты
показывают, что эту силу можно записать в виде
Рис. 6.24
F
где
рm
pm
модуль магнитного момента контура;
B
,
(6.81)
n
B
частная производная
n
вектора B по направлению вектора нормали n (по направлению p m ).
Проекция силы на направление оси Х F x
pm
Bx
.
n
(6.82)
B
= 0.
n
Результирующий момент сил Ампера, действующий на контур,
В однородном магнитном поле F = 0, так как
запишем в виде
или в виде
M
M
[r
dF]
[ p m B] , где
(6.83)
M
pm
B (рис. 6.25).
(6.84)
Пара сил Ампера действует на стороны b
контура; на стороны а контура действуют
силы, стремящиеся только растянуть его, на
рис. 6.25 они не показаны. По модулю
вращающий момент сил Ампера
М = рmВsin = ISBsin ,
(6.85)
где
При
Рис. 6.25
угол между векторами p m и B .
= 0о, М = 0
(B
контура устойчиво. При
pm)
положение
= 180о, М = 0 ( B
p m ) положение контура неустойчиво.
Если магнитное поле неоднородно и размеры контура малы, то
влиянием неоднородности можно пренебречь.
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
149
6.18. Работа перемещения контура с током
в магнитном поле
На любой проводник с током в
магнитном поле действует сила Ампера.
В однородном магнитном поле
работа, совершаемая силой Ампера (рис.
6.26),
А = F x,
где
F = IB сила Ампера
т. е.
А = IB(  ) x
или
А = IB S,
где
S =(  ) x
Рис. 6.26
или
где
А = I Фм,
Фм =B S.
В неоднородном
магнитном
поле
элементарная
работа
dA,
совершаемая силой Ампера dF при бесконечно малом перемещении dr
элемента проводника с током d ,
dA (dF dr ) I dr [d B] I (B dS) I dФm ,
(6.86)
где
dS
dS n ;
dS
[dr d]
вектор малой площадки, возникающей при перемещении элемента d
проводника с током на малое перемещение dr ; dФ m ( B dS) магнитный
поток, пронизывающий эту площадку (рис. 6.27).
Следовательно, при перемещении
проводника конечной длины  , по
которому течет ток, в переменном
магнитном поле, из состояния 1 в 2
совершается работа
2
A 12
I dФ m
1
Рис. 6.27
I Фm .
(6.87)
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
150
Лекция 14
3.17. Закон электромагнитной индукции
Явление электромагнитной индукции открыто Фарадеем в 1831 г.
При изменении магнитного потока, пронизывающего замкнутый
проводящий контур, в нем возникает индукционный ток. Наличие
индукционного тока i вызвано появлением в контуре ЭДС индукции i. При
этом ЭДС индукции не зависит от того, каким образом происходит
изменение магнитного потока, а определяется лишь скоростью его изменения
dФ m
. Закон электромагнитной индукции записывают в виде
dt
i
=
dФ m
,
dt
(3.76)
где « » в этом уравнении связан со знаком магнитного потока и знаком ЭДС
индукции (рис. 3.24, а, б).
Знак магнитного потока связан с
выбором нормали n к поверхности S,
ограниченной рассматриваемым контуром.
Знак ЭДС индукции
с выбором
положительного направления обхода по
n
контуру. Направление нормали
к
поверхности S и положительное направление
обхода контура связаны правилом правого
dФ m
винта, поэтому i и
имеют разные
Рис. 3.24
dt
знаки.
Направление индукционного тока (знак ЭДС индукции) определяется
правилом Ленца:
Индукционный ток имеет такое
направление, что созданное им магнитное
поле противодействует причине, его
вызывающей.
Действительно, индукционный ток в
контуре создает собственное магнитное
поле, которое препятствует изменению
внешнего
магнитного
потока,
вызывающего ЭДС индукции (рис. 3.25, а,
б).
Если, например, постоянный магнит
Рис. 3.25
приближать
северным
магнитным
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
151
полюсом к виткам катушки, замкнутой на гальванометр, то в контуре
возникает индукционный ток, такого направления (стрелка гальванометра
отклоняется влево), что созданное им магнитное поле будет направлено
навстречу нарастающему магнитному потоку, стремясь его уменьшить (рис.
3.25, а).
Если же магнит удалять от катушки северным магнитным полюсом, то
возникает индукционный ток противоположного направления (стрелка
гальванометра отклоняется вправо) и созданное им магнитное поле будет
направлено в сторону убывающего магнитного потока, стремясь замедлить
его уменьшение (рис. 3.25, б).
Силовые линии магнитного поля, созданного индукционным током на
рис. 3.25, а, б, показаны в виде пунктирных линий с двойными стрелками.
Индукционный ток можно вызвать различными способами.
В рассмотренном выше примере контур покоился, его витки
пронизывали силовые линии переменного магнитного поля постоянного
магнита.
В этом случае возникновение индукционного тока свидетельствует о
том, что изменяющееся магнитное поле вызывает в контуре появление
сторонних сил. Ясно, что это не магнитные силы, т. к. привести в движение
покоившиеся заряды (v = 0) они не могут.
Но других сил, кроме силы F q E , нет.
Следовательно, индукционный ток вызван появляющимся в
проводящем контуре электрическим полем E . Это поле и вызывает
появление ЭДС индукции в неподвижном контуре.
Позднее Максвелл предположил, что изменяющееся во времени
магнитное поле приводит к появлению в пространстве переменного
электрического поля независимо от того, есть замкнутый контур или нет.
Этот контур лишь позволяет обнаружить (по возникновению в нем
индукционного тока) существование электрического поля (не путать с
электростатическим полем, создаваемым неподвижными зарядами).
Циркуляция вектора E переменного
произвольному неподвижному контуру
( E d)
L
электрического
Фm
=
t
i
0.
поля
по
(3.77)
Символ частной производной определяет то положение, когда контур и
натянутая на него поверхность, находятся в покое.
Магнитный поток, пронизывающий этот контур,
Фm
( B dS) .
S
Вследствие
того, что интегрирование проводится по произвольной
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
152
поверхности, натянутой на неподвижный контур,
t
( B dS)
(
S
S
B
dS) .
t
С учетом этого выражение (3.77) представим в виде
B
( E d)
(
dS)
t
L
(3.78)
S
или в дифференциальной форме
B
.
(3.79)
t
Уравнение (3.79) выражает локальную связь между электрическим и
rot E = [
E]
магнитным полями: переменное магнитное поле
B
в данной точке
определяет ротор поля E в этой же точке.
Поскольку
циркуляция
переменного
электрического
поля,
возбуждаемого переменным магнитным полем, отлична от нуля, то это
электрическое поле не потенциально, а является вихревым, как и магнитное
поле.
Рассмотрим, что является причиной возникновения индукционного
тока, если проводящий контур движется в постоянном магнитном поле
(рис.3.26).
Пусть одна сторона контура АС является подвижной.
При перемещении АС, например, вправо со скоростью v электроны
проводимости начнут двигаться с такой же скоростью.
На каждый электрон начнет действовать вдоль АС сила Лоренца
q [( v v *) B] ,
e
*
где v скорость упорядоченного движения электронов вдоль проводника
под действием составляющей силы Лоренца.
Электроны начнут перемещаться вниз по линии АС
возникнет
индукционный ток, направленный вверх.
Из-за
перераспределения
зарядов
на
поверхности
проводящего контура возникнет
электрическое поле, которое возбудит ток и в
остальных участках проводника.
Поэтому
напряженность
возникшего
*
стороннего электрического поля (v = 0)
F
E*
[ v B]
q
F
Рис. 3.26
Циркуляция
вектора
E*
стороннего
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
153
электрического поля по контуру дает по определению ЭДС индукции i, т. е.
(3.80)
i = vB  ,
где знак « » взят в соответствии с правилом правого винта (положительное
направление обхода контура по часовой стрелке).
В этом случае стороннее электрическое поле E * направлено против
положительного направления обхода контура и i < 0.
Приращение площади, ограниченной контуром в единицу времени
при движении АС, запишем в виде
dS
dt
v .
Поэтому формула (3.80) принимает вид
dФ m
BdS
,
(3.81)
i=
dt
dt
где dФm изменение магнитного потока сквозь контур;
dФ m
(
> 0).
dt
Закон электромагнитной индукции остается справедливым для контура
произвольной формы и размеров, движущегося в неоднородном магнитном
поле.
Таким образом, возникновение ЭДС индукции при движении контура в
неоднородном постоянном магнитном поле объясняется действием силы
Лоренца. ЭДС индукции возникает в контуре за счет возбуждения
изменяющегося во времени электрического поля или из за действия силы
Лоренца при изменении магнитного потока, пронизывающего контур.
Поэтому закон электромагнитной индукции можно представить в
общем виде:
Фm
( E d)
[ v B ] d .
i
t
L
L
3.18. Индуктивность
Если в контуре существует ток, то полный магнитный поток,
возникшего магнитного поля сквозь собственный контур, прямо
пропорционален силе этого тока
Ф = L I,
(3.82)
где L индуктивность контура.
В соответствии с принятым правилом знаков магнитный поток и сила
тока всегда имеют одинаковые знаки, поэтому L > 0.
Рассмотрим, от чего зависит индуктивность на примере соленоида.
Если пo виткам соленоида течет ток I, то индукцию магнитного поля в
центре его на оси можно найти по формуле
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
154
В = оnI,
(3.83)
где
магнитная проницаемость вещества внутри соленоида; n
число
витков на единицу его длины; 0 магнитная постоянная.
Магнитный поток сквозь один виток соленоида
Ф1 = ВS
или с учетом индукции магнитного поля
Ф1 = оnIS,
(3.84)
где S площадь одного витка.
Полный магнитный поток, пронизывающий N = n  витков,
Ф = NФ1= n  оnIS= о n2IV,
(3.85)
где V = S  объем соленоида.
С учетом формулы (3.83) индуктивность соленоида
L = оn2V.
(3.86)
Таким образом, индуктивность контура зависит от магнитной
проницаемости среды, числа витков на единицу длины в квадрате, размеров
и формы контура и от наличия вблизи других контуров.
В СИ индуктивность измеряется в генри (Гн).
3.19. Явление самоиндукции
Дальнейшее изучение явления электромагнитной индукции показало,
что если в контуре течет изменяющийся во времени электрический ток, то
созданное им переменное магнитное поле вызывает изменение магнитного
потока сквозь этот контур и возбуждается ЭДС самоиндукции.
Явление возникновения ЭДС индукции при изменении тока в контуре
называют самоиндукцией.
Согласно закону электромагнитной индукции с учетом (3.82) имеем
dФ m
dt
S
d ( LI)
dt
или
S
L
dI
,
dt
(3.87)
dI
скорость изменения тока в контуре.
dt
Знак « » показывает, что ЭДС самоиндукции S направлена так, чтобы
препятствовать изменению силы тока в контуре (согласно правилу Ленца).
Явление самоиндукции наблюдается, например, при замыкании и
размыкании электрической цепи.
При отключении обмоток электромагнитов, электромоторов и т. п. с
большой индуктивностью возникает большая ЭДС самоиндукции, что
где L = const;
Электричество и магнетизм
155
Н.Ф. Шемяков
приводит к образованию вольтовой дуги между контактами выключателя и
является весьма опасным для электроустановок (если они не защищены) и
для обслуживающего персонала.
На явлении электромагнитной индукции, например, основано
действие магнитогидродинамического генератора (МГД –
генератора), в котором внутренняя энергия преобразуется
в электрическую энергию. Роль
проводника, движу-щегося в
поперечном магнитном поле
выполняет плазма, нагретая выше
2000 К (рис. 3.27). Сильно
ионизированный газ, в результате
сгорания топлива и обогащенного
парами
щелочных
металлов
(например,
солями
калия),
способствующих
повышению
Рис. 3.27
степени
ионизации
плазмы,
проходит через сопло Лаваля,
которое сначала сужается, где внутренняя энергия переходит в кинетическую
энергию, а затем расширяется, что способствует падению кинетической
энергии и температуры плазмы на выходе из сопла. В качестве дешевого
топлива МГД – генератора можно использовать бурые угли, добываемые
открытым способом или мазут.Часть плазмы преобразуется в кинетическую
энергию. В поперечном магнитном поле под влиянием силы Лоренца
положительные ионы отклоняются вверх к электроду П, электроны – вниз к
электроду О. При замыкании электродов на внешнее сопротивление
(нагрузку) возникает индукционный ток от П к О. Электрический КПД равен
отношению мощности, потребляемой внешней нагрузки, к полной мощности
(3.88)
эл = R/(r + R),
где R – сопротивление внешней нагрузки; r – внутреннее сопротивление
генератора.
Электрический КПД МГД – генератора приближается к 90 %.
Тепловой КПД увеличивается с ростом разницы температур рабочего
тела (плазма) и окружающей среды
(3.89)
т = Тпл – Т0 / Tпл,
где Тпл – температура горячей плазмы; Т0 –температура окружающей среды.
При температуре выше 2000 К тепловой КПД стремится к 90 % .
Росту ЭДС способствует сильное магнитное поле до 2 – 6 Тл.
Для этой цели сопло МГД – генератора помещают в зазоре мощного
электромагнита с железным сердечником и с охлаждаемыми обмотками или
со сверхпроводящими обмотками, в которых плотность тока может достигать
до 108 А/м2.
Электричество и магнетизм
156
Н.Ф. Шемяков
3.20. Взаимная индукция
Возникновение ЭДС индукции можно наблюдать на примере двух
неподвижных контуров 1 и 2 (рис. 3.28). Если в контуре 2 течет ток I2, то он
создает через контур 1 магнитный поток (в
отсутствии ферромагнетиков)
Фm1= L12I2.
(3.90)
Если же в контуре 1 течет ток I1, то он, в
свою очередь, создает сквозь контур 2
магнитный поток
Фm2= L21I1,
(3.91)
где коэффициенты пропорциональности L12 и L21
называют взаимной индуктивностью контуров.
Они зависят от размеров, формы, взаимного
Рис. 3.28
расположения контуров и от магнитной
проницаемости окружающей контуры среды. В теории доказывается, что
при отсутствии ферромагнетиков
L12 = L21.
(3.92)
Это свойство взаимной индуктивности называют теоремой
взаимности. Наличие магнитной связи между контурами проявляется в том,
что при всяком изменении силы тока в одном из них в другом контуре
возникает ЭДС индукции. Это явление называют взаимной индукцией.
Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея ЭДС,
возникающая в контурах 1 и 2, соответственно равна:
dФ m1
dI
1
L12 2 ,
dt
dt
dФ m2
dI
2
L 21 1 .
dt
dt
Так как при этом в контурах наблюдается явление самоиндукции, то
ток, например, в контуре 1 при изменении силы токов в обоих контурах
определяется в соответствии с законом Ома по формуле
dI
dI
1 L1 1 L12 2 ,
R1 I 1
dt
dt
где L1 индуктивность контура 1.
Аналогичную формулу можно написать и для
тока в контуре 2. В отличие от индуктивности контура
L, которая всегда положительна,
коэффициенты
взаимной индуктивности L12 и L21 являются
алгебраическим величинами, в частности, могут
Рис. 3.29
равняться нулю.
При положительных токах в обоих контурах они подмагничивают друг
друга, значит, L12 > 0 (L21 > 0).
В противном случае L12 < 0 (L21 < 0 , рис. 3.29 , а, б).
Электричество и магнетизм
157
Н.Ф. Шемяков
3.21. Трансформаторы
На
практике
широко
используются
магнитные
цепи
последовательность магнетиков, по которым проходит магнитный поток. В
зависимости от характера тока возбуждения различают магнитные цепи
постоянного, импульсного и переменного магнитных потоков. К магнитным
цепям применимы правила Кирхгофа и формула
F = Ф Rm,
(3.93)

где F
магнитодвижущая сила; Ф
магнитный поток; Rm =
0S
магнитное сопротивление, где  длина магнитной цепи; S
поперечное
сечение участка магнитной цепи.
Магнитные цепи используют при расчетах постоянных магнитов,
электромагнитов, магнитных реле, магнитных усилителей, трансформаторов
и др. приборов. Трансформатор устройство для повышения или понижения
переменного напряжения. Он состоит из двух обмоток: первичной N1 и
вторичной N2, которые расположены на замкнутом сердечнике, набранном из
тонких изолированных пластин мягкого железа, для уменьшения потерь на
вихревые токи, (рис. 3.30). Принцип действия трансформатора основан на
том,
что магнитный поток, созданный током в
первичной катушке (обмотке), должен
проходить
через
витки
вторичной
обмотки. Когда на пeрвичную обмотку
подается напряжение U1, возникающий
переменный магнитный поток возбуждает
во вторичной обмотке переменное
напряжение U2 той же частоты.
Напряжение, подаваемое на первичную
обмотку, связано со скоростью изменения
магнитного
потока,
т.
е.
Рис. 3.30
dФ m
.
(3.94)
U1 N 1
dt
Согласно закону Фарадея напряжение во вторичной обмотке
dФ m
.
(3.95)
U2 N 2
dt
U2 N 2
Из (3.94) и (3.95) имеем
(3.96)
k,
U1 N 1
где k коэффициент трансформации.
Если N2 < N1, то трансформатор называют понижающим, если N2 > N1
повышающим. При замыкании вторичной обмотки на нагрузку энергии
выходная мощность
Р2 = I2U2cos 2
(3.97)
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
158
3.22. Энергия магнитного поля
Электрическая цепь, содержит источник тока с ЭДС , индуктивность
L и сопротивление R. В начальный момент времени при возрастании тока в
цепи возникает ЭДС самоиндукции S. По закону Ома
= IR
S.
dФ m
Последнее выражение перепишем в виде Idt = I2Rdt
,
SIdt.
S=
dt
т. е.
dAст = dQ + IdФm,
(3.98)
где Q количество теплоты, выделяемое в цепи при прохождении тока.
Следовательно, в процессе установления тока в цепи, когда магнитный
поток Фm изменяется и dФm > 0 (при I > 0), работа, совершаемая сторонним
источником тока , больше выделяемого количества теплоты Q. Часть этой
работы совершается против ЭДС самоиндукции. После установления тока в
цепи dФm= 0. Таким образом, дополнительная работа, совершаемая
сторонними силами против ЭДС самоиндукции, dAm= IdФm.
(3.99)
В отсутствии ферромагнетиков
dФm = LdI.
(3.100)
Следовательно, dAm = LIdI. Полная работа
LI 2
Аm= L IdI
.
(3.101)
2
По закону сохранения энергии часть работы сторонних сил идет на
увеличение внутренней энергии проводников (выделяется Q), другая часть (в
процессе установления тока) расходуется на возбуждение магнитного поля.
Вывод: При отсутствии ферромагнетиков контур с индуктивностью
L, по которому течет ток I, обладает магнитной энергией (собственной
LI 2
Wm
энергией тока), т. е.
.
(3.102)
2
Найдем энергию магнитного поля на примере
соленоида.
2
Индуктивность соленоида L = 0n V. С учетом этого формулу перепишем
в виде:
2 2
0n I V
W
,
(3.103)
2
или
где B =
B2 V ( B H)
W
V,
(3.104)
2 0
2
0Н. В случае неоднородного магнитного поля в объеме dV его
энергия
dW
B2 dV
2 0
( B H)
dV .
2
(3.105)
Следовательно, магнитная энергия распределена в пространстве с объемной
плотностью
w
B2
2 0
1
(B H)
2
(3.106)
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
159
Лекция 15
6.2. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ
6.2.1. Магнитный момент атома
Все вещества состоят из молекул и атомов.
Атом состоит из ядра, содержащего положительно заряженные
протоны и нейтроны, не имеющие заряда. Вокруг ядра обращаются
отрицательно заряженные электроны. При движении электрона вокруг ядра
по орбите радиуса r со скоростью v возникает микроток
I = qe =
где
qev
2 r
,
(4.41)
частота обращения электрона по орбите; qe заряд электрона.
Движение электрона по орбите характеризуют:
1) орбитальным магнитным моментом p m (рис. 6.11), модуль которого
q vr
рm = IS = e , где S = r2 площадь орбиты; (4.42)
2
2) орбитальным моментом импульса L e ,
модуль которого
Le = mvr,
(4.43)
pm
где m
масса электрона.Вектор
Рис. 4.11
противоположен по направлению вектору L e .
pm
qe
Отношение
(4.44)
Le
2m
называют гиромагнитным отношением.
Кроме орбитального, электрон обладает
собственным (спиновым) моментом импульса
L se , с которым связан собственный магнитный
момент Pms , и характеризуется спиновым гиромагнитным отношением
p ms
qe
.
(4.45)
LS e
m
Элементарным магнитным моментом электрона является магнетон Бора
qeh
.
(4.46)
S
4 m
Чтобы найти полный магнитный момент атома, надо сложить
магнитные моменты всех электронов, входящих в состав атома и магнитный
момент ядра. Магнитный момент ядра в ≈1840 раз меньше магнитного
момента электрона и в дальнейшем его рассматривать не будем.
Электричество и магнетизм
160
Н.Ф. Шемяков
6.2.2. Атом в магнитном поле
При движении электрона вокруг ядра по орбите радиуса r на него
действует центростремительная сила
Fцс m 2o r .
Если атом внести во внешнее магнитное поле, вектор индукции B
которого перпендикулярен плоскости орбиты электрона, то на электрон
начнет действовать сила Лоренца
Fл q e rB ,
где
круговая частота обращения электрона в магнитном поле.
Уравнение движения электрона в магнитном поле запишем в виде
m 2r = Fцс Fл
или
m 2r = m 2o r q e rB ,
где знаки « » выбираются в соответствии с относительной ориентацией
векторов
и B.
После преобразования последнего выражения получим
mr(
= qe rB,
o) ( + o) = 2mr
где
= - o << ; 2
+ o.
Из последнего выражения найдем, что
qeB
=
L=
2m
или в векторном виде
qe B
.
(4.47)
L
2m
Таким образом, в магнитном поле электрон получает дополнительную
угловую скорость вращения, которую называют частотой Лармора.
Причем векторы L и B cовпадают по направлению (рис.4.12).
Частоту
Лармора
приобретают
все
электроны атома, так как она не зависит от
радиуса орбиты и скорости движения электрона.
Скорость электрона при внесении атома в
магнитное поле изменяется, поэтому изменяется
и его кинетическая энергия Wk.
Рис. 4.12
Но так как радиус вращения остается
неизменным, то потенциальная энергия
электрона не изменяется.
За счет чего же изменяется энергия электрона в атоме, если магнитное
поле действует перпендикулярно скорости и не производит работы?
Электричество и магнетизм
161
Н.Ф. Шемяков
Частота Лармора возникает в момент включения магнитного поля.
Следовательно, переменное магнитное поле возбуждает переменное
электрическое поле, которое и сообщает электрону дополнительное
вращение с частотой Лармора.
Таким образом, возникновение ларморовского вращения вызвано
проявлением электромагнитной индукции.
Это явление наблюдается во всех без исключения веществах при
внесении их в магнитное поле. Векторы p m и L e начинают прецессировать
вокруг направления B с частотой Лармора
(вектор p m описывает
коническую поверхность, рис. 4.12.).
Теорема Лармора: Единственным результатом влияния магнитного
поля на орбиту электрона в атоме является прецессия орбиты и вектора
p m с угловой скоростью L вокруг оси, проходящей через ядро атома и
параллельно вектору индукции B внешнего магнитного поля.
В результате прецессии наводится дополнительный орбитальный
магнитный момент электрона, модуль которого
q 2e S
B,
рm = I S =
(4.48)
4 m
где I = qe ,
; S
площадь
L = 2
проекции орбиты электрона на плоскость,
перпендикулярную B (рис. 4.13).
Так как вектор p m противоположен
по направлению вектору B , то
q 2e S
pm=
(4.49)
B.
4 m
Если атом содержит Z электронов, то
наведенный магнитный момент
Рис. 4.13
Zq 2e S
pm=
(4.50)
B,
4 m
где < S > cреднее значение площади S для орбит всех электронов атома.
При суммировании орбитальных и спиновых магнитных моментов
атомов может произойти их полная компенсация.
Тогда результирующий магнитный момент атома равен нулю.
Если такой компенсации не происходит, то атом имеет постоянный
магнитный момент. Вещества, у которых атомы в отсутствие внешнего
магнитного поля имеют постоянный магнитный момент, не равный нулю,
могут быть парамагнетиками, ферромагнетиками, антиферромагнетиками
или ферримагнетиками.
Электричество и магнетизм
162
Н.Ф. Шемяков
6.2.3. Вектор намагничивания
Любое вещество при внесении его во внешнее магнитное поле
намагничивается в той или иной степени. Количественной характеристикой
вещества в магнитном поле является вектор намагничивания J .
Суммарный магнитный момент единицы объема вещества называют
вектором намагничивания.
n
1
(4.51)
J
p mi ,
Vi 1
где p mi магнитный момент i-го атома (молекулы) из их общего числа, в
объeме V. В СИ намагниченность измеряется в А/м.
6.2.4. Магнитное поле в веществе
Любое вещество при внесении его во внешнее магнитное поле B 0
приобретает магнитный момент, т.е. намагничивается. Намагниченное
вещество создает собственное магнитное поле B*. Согласно принципу
суперпозиции результирующее магнитное поле
B 0= B 0 + B*.
(4.52)
Следовательно,
намагничивание
вещества
обусловлено
преимущественной ориентацией магнитных моментов молекул в одном
направлении.
Это положение распространяется и на элементарные молекулярные
токи (гипотеза Ампера).
Такое поведение молекулярных токов приводит к появлению
макроскопических токов I*, называемых токами намагничивания.
Молекулярные токи в однородном магнетике ориентированы, как
показано на рис. 6.14, а. У соседних молекул молекулярные токи в местах их
соприкосновения
текут в противоположных направлениях
и взаимно компенсируют друг друга.
Молекулярные токи, которые
выходят на боковую поверхность
цилиндрического образца оказываются
некомпенсированными
и
создают
поверхностный ток намагничивания I*.
Внутри
неоднородного
намагниченного магнетика компенсации
молекулярных токов нет, так как сила
тока в направлении оси Х возрастает, и
Рис. 4.14
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
163
возникает объемный ток намагничивания. Вектор J направлен за плоскость
рисунка (обозначен символом
) и увеличивается по модулю при
возрастании координаты Х (рис. 4.14, б). Однако распределение токов
намагничивания зависит не только от формы и свойств магнетика, но и от
искомого поля B.0 В общем случае задача о нахождении поля B 0в магнетике
непосредственно решена быть не может.
Для решения этого вопроса необходимо установить связь между током
намагничивания I* и циркуляцией поля вектора намагничивания J .
6.2.5. Циркуляция вектора
J
Теорема: В стационарном состоянии циркуляция намагниченности J
по произвольному замкнутому контуру L равна алгебраической сумме токов
намагничивания I*, охватываемых этим контуром, т. е.
( J d )
L
( j dS)
I* .
(4.53)
S
Натянем на контур L произвольную поверхность S (рис. 4.15).
Из рисунка видно, что одни молекулярные токи пересекают
поверхность S дважды в разных направлениях, поэтому не вносят вклада в
результирующий ток намагничивания через эту поверхность.
Другие молекулярные токи пересекают поверхность S только один раз,
поэтому и создают макроскопический ток намагничивания, пронизывающий
эту поверхность.
Пусть
элементарная
площадь
Sмол
охватывает каждый молекулярный ток Iмол.
Элемент d  контура L (рис. 4.16)
обвивают те молекулярные токи, центры
которых попадают внутрь цилиндра с объемом
dV= Sмолсos
d  , где
угол между
направлением вектора J и элементом d .
Рис. 4.15
Эти молекулярные токи пересекают
поверхность S только один раз и вносят вклад в ток намагничивания
dI* = IмолndV
или
Рис. 4.16
dI* = IмолnSмолсos d  = Jсos  = ( J d ) ,
где n0 концентрация молекул;
рm = IмолSмол
магнитный момент отдельного молекулярного
тока; nIмолSмол
магнитный момент единицы
объема вещества.
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
164
После интегрирования по всему контуру L последнего выражения,
получим формулу (4.53).
Поле вектора J зависит от всех токов, как от тока намагничивания I*,
так и от тока проводимости I.
6.2.6. Циркуляция вектора H
При внесении вещества в магнитное поле возникают токи
намагничивания, поэтому циркуляция вектора B 0 будет определяться не
только токами проводимости I, но и токами намагничивания I*, т. е.
( B d )
0 (I
I* ) .
(4.54)
L
Если циркуляция векторов B 0и J берется по одному и тому же контуру
L, то, решив совместно (4.53) и (4.54), получим
(4.55)
([ B J ] d) I ,
0
L
где
H
B
0
J
(4.56)
напряженность магнитного поля.
Следовательно,
( H d )
I.
(4.57)
L
Эта формула выражает теорему о циркуляции вектора H : циркуляция
вектора H по произвольному контуру L равна алгебраической сумме токов
проводимости, охватываемых этим контуром.
Дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора H
записывается в виде
H]= J ,
[
(4.58)
т. е. ротор вектора H равен плотности тока проводимости в той же точке
вещества. Используя формулы (4.56), (4.57) и (4.58), имеем
(1+ ) H = B .
0
Так как B 0=
0H
, то
=1+ .
(4.59)
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
165
6.2.7. Граничные условия для векторов B и H
Найдем условия для векторов B 0 и H на границе раздела двух
однородных магнетиков.
Для нахождения условия для вектора B 0применим теорему Гаусса, т. е.
( B dS)
0.
(4.60)
S
В качестве замкнутой поверхности возьмем малой высоты цилиндр,
расположенный на границе раздела двух магнетиков (рис. 4.17).
Полный поток вектора B 0 сквозь
цилиндрическую поверхность запишем с
учетом того, что потоком B 0сквозь боковую
поверхность цилиндра можно пренебречь:
(4.61)
B 2n S B * S 0 .
2n
При нахождении обеих проекций
вектора B 0 на общую нормаль получим
B *
B1n и после подстановки в
Рис. 4.17.
1n
предыдущее равенство получим
(4.62)
B1n B2 n .
Следовательно, нормальная составляющая вектора B 0одинакова по обе
стороны границы раздела магнетиков и скачка не испытывает.
При нахождении условия для вектора H используем теорему о
циркуляции H , формула (4.57).
Предположим, что вдоль поверхности раздела двух магнетиков течет
поверхностный ток проводимости с линейной плотностью i.
В качестве замкнутого контура L используем прямоугольник, высота
которого мала по сравнению с его длиной  (рис. 4.18).
Циркуляция вектора H на боковых сторонах контура L практически
равна нулю. Поэтому циркуляцию
вектора H запишем в виде
H2  H *  iN ,
1
Рис. 4.18
где iN проекция вектора i на нормаль
N к контуру (вектор N образует с
направлением
обхода
по
контуру
правовинтовую систему).
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
166
Обе проекции вектора H возьмем на общий орт касательной
магнетике 2), т. е.
H *
H1 .
(в
1
С учетом этого предыдущее уравнение принимает вид
(4.63)
H 2 H1 i N .
Вывод: при переходе границы раздела двух магнетиков тангенциальная
составляющая вектора H испытывает скачок из-за наличия поверхностных
токов проводимости.
Если же на границе раздела токов проводимости нет, то
тангенциальная составляющая вектора H не испытывает скачка, т. е.
H2
H1 .
(4.64)
Таким образом, если на границе раздела двух однородных магнетиков
тока проводимости нет, то составляющие В и Нn испытывают скачок.
Составляющие Вn и Н изменяются н с учетом этого в предыдущем
уравнении (4.64) составляющие Н2 и Н1 не испытывают скачка, т. е.
изменяются непрерывно.
6.2.8. Преломление линий вектора B 0 и H
На границе раздела двух магнетиков с магнитными проницаемостями
1 и
2 ( 1 <
2) линии вектора B 0испытывают скачок, т. е. преломляются
(рис. 4.19, а, б).
Найдем
отношение
тангенсов
углов 1 и 2:
tg
tg
B1 B1n
.
B2 n B2
1
2
(4.65)
Если на границе раздела двух
магнетиков тока проводимости нет, то
Рис. 4.19
B 0и линий H запишем в виде
B2
B1
2
1
, B2n B1n .
(4.66)
Поэтому закон преломления линий
tg
tg
1
1
2
2
.
(4.67)
На явлении преломления силовых линий магнитного поля основана
защита приборов от влияния внешних магнитных полей, если их окружить
экраном из ферромагнитного вещества, например, железа.
Электричество и магнетизм
167
Н.Ф. Шемяков
6.2.9. Природа диамагнетизма
Вещества, у которых в отсутствие внешнего магнитного поля
результирующий магнитный момент равен нулю, называют диамагнетиками.
К ним относятся, например: инертные газы, молекулярный водород,
азот, цинк, медь, золото и др. Диамагнитный эффект можно объяснить на
примере инертных газов. Рассмотрим модель изотопа атома гелия 42 He .
Атом гелия имеет в ядре 2 протона (положительный заряд qп = 2е и два
нейтрона (qн = 0).
Вокруг ядра обращаются два электрона (qе = 2е).
На электроны со стороны ядра действуют кулоновские силы. Если
предположить, что оба электрона вращаются
вокруг ядра с одинаковой скоростью, но в
противоположном направлении и на одном и
том же расстоянии от ядра (рис. 8.8), то их
орбитальные магнитные моменты будут
равны по величине, но противоположны по
направлению, в отсутствие внешнего
магнитного поля. Следовательно, суммарный
магнитный момент атома гелия равен нулю.
При внесении атома гелия в магнитное поле,
на каждый из электронов будут действовать
Рис. 8.8
кулоновская сила и сила Лоренца (рис. 18.9).
Их равнодействующая сообщит каждому электрону центростремительное
ускорение. Уравнения движения электронов в магнитном поле можно
записать в виде
2q е2
2q е2
mv 12
mv 22
,
Fк1 Fл1
q
v
В
F
F
qеv2В .
е 1
к2
л2
2
2
r
r
4 0r
4 0r
Из уравнений следует, что под
действием магнитного поля скорость
движения
первого
электрона
уменьшилась, а второго
возросла. В
связи с этим магнитный момент первого
электрона уменьшится, а второго
увеличится. В результате этого у атома
гелия
индуцируется
(наводится)
дополнительный магнитный момент
qer
Р m Pm 2 Pm1
v 2 v1 . (8.23)
2
Рис. 8.9
Причем индуцированный магнитный
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
168
момент Рм направлен противоположно вектору индукции внешнего
магнитного поля.
Решая совместно уравнения движения электронов, имеем
qеВ r
m 2
или
.
q е В v 2 v1
v 2 v12
v 2 v1
r
m
Подставив в (8.22 ), получим для индуцированного магнитного момента
q e2 B r 2
q е2 r 2
Pm
. В векторном виде
Pm
B
2m
2m
q е2 r 2 2
q е2 S
или
Pm
B
B.
2m 2
4 m
При внесении диамагнетика во внешнее магнитное поле атомы
(молекулы), входящие в его состав, согласно теореме Лармора приобретают
индуцированный магнитный момент p m . В пределах малого объема V
изотропного диамагнетика векторы
p m всех n
атомов одинаковы,
пропорциональны B и противоположны ему по направлению.
Следовательно, вектор намагничивания диамагнетика
n
J
p m n0 p m
B,
v
где n0 концентрация атомов;
восприимчивость.
0
(8.24)
0
магнитная постоянная;
диамагнитная
Так как диамагнитная
восприимчивость
2
S
o n o Zq e
6
Веще- Номер
.
(8.25)
д 10
4
m
ство
атома Опыт Теория
Для всех диамагнитных веществ
Не
2
2,0
1,9
< 0, безразмерна, не зависит от
температуры.
Диамагнитная
Ne
10
7
(5-11)
восприимчивость многих веществ
Ar
18
19,4
(19-25)
имеет значения от
10 6 до 10 5
(табл. 8.1).
Kr
36
28
(32-33)
Стержни
из
диамагнитного
материала
намагничиваются
Xe
54
43
(43-48)
противоположно вектору B внешнего
магнитного поля. В неоднородном
магнитном поле диамагнитные образцы выталкиваются в область более
слабого поля и устанавливаются
перпендикулярно силовым линиям
магнитного поля.
Поскольку В = оН, то
J = H.
(8.26)
Таблица 8.1
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
169
6.2.10. Парамагнетизм
Парамагнетиками называют вещества, у которых атомы, молекулы или
ионы обладают магнитным моментом, не равным нулю.
К парамагнетикам относятся, например, щелочные и щелочноземельные
металлы, некоторые переходные металлы и их сплавы, кислород, и др.
В отсутствие внешнего магнитного поля парамагнетик не намагничен,
из-за теплового движения спиновые магнитные моменты атомов
ориентированы хаотично (J = 0).
При внесении парамагнитного образца в магнитное поле магнитные
моменты атомов ориентируются вдоль поля и образцы в виде стержней
устанавливаются вдоль силовых линий магнитного поля.
По классической теории Ланжевена вектор намагничивания
J
где
n o p 2m o
> 0.
3kT
Парамагнитная
n 0 p 2m
B,
3kT
восприимчивость
подчиняется закону Кюри - Вейсса:
зависит
(8.27)
от температуры
const
,
T Tc
и
где Тс – температура (точка) Кюри.
Парамагнитная восприимчивость веществ имеет значения от 10 5 до
10 3. Природу парамагнетизма объяснила квантовая механика, согласно
которой магнитный момент атома в магнитном поле принимает дискретные
значения, т. е. квантуется.
6.2.11. Ферромагнетизм
Рис. 8.10
Характерной
особенностью
Ферромагнетиками
называют вещества, которые
обладают
самопроизвольной
(спонтанной)
намагниченностью
при
отсутствии
внешнего
магнитного поля в областях,
называемых доменами. К ним
относят, например, железо,
кобальт, никель и их сплавы.
ферромагнетиков
является
Электричество и магнетизм
170
Н.Ф. Шемяков
нелинейная зависимость век-тора индукции магнитного поля и
вектора намагничивания от напряженности магнитного поля
(рис. 8.10, а, б).
Из-за нелинейной зависимости В(Н) для ферромагнетиков магнитная
проницаемость имеет сложную зависимость
(Н) (рис. 8.11, а).
Максимальное значение магнитной проницаемости может достигать
больших значений, например, для чистого железа
= 5000. Для
ферромагнетиков характерно также явление магнитного гистерезиса (рис.
8.11, б). Если не намагниченный ферромагнетик поместить в магнитное поле,
и увеличивая Н от нуля до значения, при котором наступает насыщение В S, а
затем уменьшать Н, то при Н = 0 ферромагнетик будет иметь остаточную
индукцию Вr.
Чтобы Вr = 0 нужно приложить некоторое поле Нс (коэрцитивная сила) в
обратном направлении.
При циклическом изменении поля
от +Н до –Н и обратно возникает петля
магнитного гистерезиса. Площадь
петли
гистерезиса
характеризует
потери
на
перемагничивание
ферромагнетика, что приводит к
выделению тепла. При непрерывном
изменении
магнитного
поля
наблюдается
скачкообразное
изменение
намагниченности
ферромагнетика (эффект Баркгаузена).
При медленном намагничивании в
Рис. 8.11
измерительной
катушке
с
исследуемым образцом возникают в цепи катушки импульсы тока,
вызванные скачкообразным изменением намагниченности ферромагнитного
образца.
Особенно ярко этот эффект проявляется в магнитомягких материалах на
крутом участке кривой намагничивания и петли магнитного гистерезиса, где
доменная структура образца изменяется в результате процессов смещения
доменных границ. Наличие неоднородностей в ферромагнетике препятствует
перестройке доменной структуры.
При увеличении магнитного поля, когда граница домена, смещаясь,
встречает препятствие, она останавливается и остается неподвижной при
дальнейшем увеличении магнитного поля.
При достижении некоторого критического поля граница преодолевает
препятствие и скачком перемещается дольше, до очередного препятствия
уже, но уже без увеличения поля.
Электричество и магнетизм
171
Н.Ф. Шемяков
Из-за множества подобных задержек кривая намагничивания
ферромагнетика имеет ступенчатый вид (рис. 8.12).
Намагниченность образца может быть вызвано не только магнитным
полем, но и другими внешними воздействиями, например, изменением
механических напряжений и температуры, при которых происходит
изменение доменной структуры образца.
Используя
эффект
Баркгаузена
можно
определить объем доменов, который находится в
пределах от 10-6 до 10-9 см3.Этот эффект
позволяет лучше понять динамику изменения
доменной структуры и установить связь между
числом скачков намагниченности и основными
характеристиками петли магнитного гистерезиса
(НС и др.). При повышении температуры Т
намагниченность ферромагнетика уменьшается.
При температуре Т = ТС, называемой точкой
Рис. 8.12
Кюри,
намагниченность
ферромагнетика
обращается в нуль и он приобретает свойства парамагнетика.
Физическую природу ферромагнетизма
удалось объяснить только с помощью
квантовой механики. В ферромагнитных
веществах
возникают обменные силы,
которые ориентируют магнитные моменты
электронов параллельно друг другу.
В
результате
возникают
области
Рис. 8.13
самопроизвольного намагничивания – домены,
размеры которых могут быть от 1 до 10 мкм. В пределах каждого домена
ферромагнетик намагничен до насыщения (рис. 8.13). Но направления
векторов намагничивания, для разных доменов при отсутствии внешнего
магнитного поля различны и суммарный магнитный момент образца равен
нулю. При внесении ферромагнитного образца во внешнее магнитное
поле домены, в которых векторы намагничивания ориентированы по полю
(или составляют острый угол с вектором Н), растут за счет соседних
доменов, у которых векторы намагничивания ориентированы против поля
(или составляют тупой угол с вектором Н, рис. 8.14). В слабых полях такой
рост доменов имеет обратимый характер. В более сильных магнитных полях
происходит одновременная переориентация магнитных моментов в пределах
всего домена. Это приводит к необратимым процессам (из-за наличия
различных дефектов кристаллической решетки образца) и является причиной
магнитного гистерезиса и существования остаточной намагниченности.
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
172
6.2.12. Термодинамика магнетиков
Рассмотрим процессы намагничивания
изотропных магнетиков с точки зрения
термодинамики.
Если магнетик неоднороден, то можно
выделить столь малый объем dV, в пределах
которого он будет однороден.
Применяя первое начало термодинамики для
магнетиков, получаем
dQ = dU –
( H dB) ,
Рис. 8.14
(8.28)
где
dA = – ( H dB) .
Внутренняя энергия магнетиков
(8.29)
dU = TdS + ( H dB) .
(8.30)
Свободная энергия магнетика
dF = – SdT + ( H dB) .
(8.31)
dФ = – SdT – ( B dH ) .
(8.32)
Термодинамический потенциал
Энтальпия магнетика
dI = TdS – ( B dH ) .
(8.33)
Уравнение состояния магнетика запишем в виде
В =f(Н, Т, ),
где Н – напряженность внешнего магнитного поля; Т – абсолютная
температура; – плотность магнетика.
Используя уравнение состояния (8.31) для свободной энергии, получаем
следующее выражение:
F = ( H dB) + F0(Т, ),
(8.34)
где F0 – значение свободной энергии при отсутствии магнитного поля.
После интегрирования (8.34) с учетом того, что В = 0Н (при Т = const;
= const), имеет
0H
F
2
F0
2
B2
2 0
F0 .
(8.35)
После интегрирования (8.30) найдем внутреннюю энергию
магнетика:
U
(1
T
)
dT 2
B2
U 0 (T, ) ,
0
(8.36)
Электричество и магнетизм
173
Н.Ф. Шемяков
где U0 – внутренняя энергия магнетика в отсутствие магнитного поля.
Адиабатическое и квазистатическое изменение намагниченности J
приводит к изменению температуры (магнитокалорический эффект).
Из условия постоянства энтропии можно найти изменение
температуры, если S = f(T, B); = const, т. е.
T B d
(8.37)
dT
dB ,
2
dT
C
0
B
где СВ – теплоемкость единицы объема магнетика при В = const,
0T H d
или
(8.38)
dT
dH ,
CH
dT
где СН – теплоемкость единицы объема магнетика при Н = const.
Применяя формулу (8.38) к парамагнетикам с учетом закона Кюри,
согласно которому магнитная восприимчивость
парамагнитного образца
пропорциональна абсолютной температуре, т. е.
const / T ,
8.39)
d
Получаем
.
(8.40)
dT
T
С учетом этого формула (8.38) принимает вид
0 H
(8.41)
dT
dH .
CH
Следовательно,
при
обратимом
размагничивании парамагнетик охлаждается.
адиабатическом
6.2.13. Магнитное охлаждение
Атомы парамагнитных веществ обладают постоянным магнитным
моментом. При отсутствии внешнего магнитного поля
в результате
теплового движения эти моменты ориентированы хаотично. Количественной
мерой такого состояния является энтропия, которая в данном случае
называется магнитной энтропией SМ. Согласно принципу Больцмана
SМ = k nWМ ,
(8.42)
где Wм – термодинамическая вероятность, равная числу способов
распределения n
атомов парамагнетика по подуровням, на которые
расщепляется каждый уровень атома в магнитном поле. При наложении и
увеличении магнитного поля вплоть до насыщения все магнитные моменты
атомов ориентированы вдоль поля. Магнитная энтропия парамагнетика в
этом состоянии обращается в нуль. Если процесс намагничивания
парамагнитного образца происходит при постоянной температуре, то
уменьшение энтропии на S вызывает выделение теплоты
Q =T S. Эта
Электричество и магнетизм
174
Н.Ф. Шемяков
теплота отводится от образца в окружающую среду. В качестве такой среды
используют жидкий гелий.
После установления равновесия гелий удаляется и образец оказывается
теплоизолированным и подвергается медленному адиабатическому
размагничиванию, при котором его магнитная энтропия вновь повышается на
S.
Такой рост энтропии требует
подвода
тепла,
источником
которого
являются
только
тепловые колебания решетки. В
результате температура образца
понижается (рис. 8.15). Таким
способом
удалось
достичь
температур ниже 0,001 К.
При приближении к абсолютному
нулю
температур
теплоемкость
уменьшается до нуля и, следовательно,
понижение температуры может быть
Рис. 8.15
значительным.
Дебай
и
Джиок
предложили применять обратимое адиабатическое размагничивание для
понижения температуры образца при приближении к абсолютному нулю.
Этот метод стал основным для получения сверхнизких температур.
В качестве парамагнетика используют некоторые парамагнитные
соли, например, квасцы, в которые вводят ионы переходных элементов
группы железа.
Парамагнитная соль помещается в сильное магнитное поле,
предварительно охлажденная до гелиевых температур ( 4,2 К), а затем
магнитное поле снимается. Этот метод позволил достичь температур 3 10 3
К.
Если же вместо электронных использовать “ядерные” парамагнетики, у
которых парамагнетизм обусловлен ориентацией магнитных моментов
атомных ядер, то можно получить температуры 10 5 К.
6.2.14. Квантовомеханические эффекты
При вращении ферромагнетиков в отсутствие магнитного поля они
намагничиваются
(гиромагнитный
эффект
Барнетта)
за
счет
гироскопического момента, который стремится повернуть спиновые или
орбитальные механические моменты атомов вдоль оси вращения магнетика.
Из-за связи механических моментов с магнитными моментами (спин)
Электричество и магнетизм
175
Н.Ф. Шемяков
атомов при вращении образца появляется составляющая магнитного момента
(намагниченность) вдоль оси вращения.
Эффект Барнетта позволяет определить магнитомеханическое
отношение или g – (фактор Ланде) для атомов ряда веществ, т. е.
2m e c
g=
.
(8.43)
qe
Для металлов и их сплавов группы железа экспериментальное
значение g
2, что характерно для спинового магнитного момента
электронов, вызывающего ферромагнетизм, например, Fe, Ni, Co.
Наблюдается и обратный магнитомеханический эффект (эффект
Эйнштейна и де-Хааза), т. е. при намагничивании ферромагнитного образца
он начинает вращаться. Железный цилиндрический образец подвешивается
на тонкой кварцевой нити и помещается внутри соленоида, по обмотке
которого пропускается переменный ток, периодически намагничивая и
размагничивая образец (рис. 18.16).
При намагничивании в магнитном поле
магнитные моменты атомов поворачиваются в
направлении поля, что и вызывает вращение
образца.
Под
действием
механических
напряжений
ферромагнитный
образец
намагничивается
(магнитоупругий
эффект
Виллари, 1865 г.). Объясняется тем, что при
действии механических напряжений изменяется
доменная структура ферромагнетика, векторы
Рис. 8.16
намагничивания JS доменов меняют свою
ориентацию
(без
изменения
абсолютной
величины намагниченности). Эти явления (как и магнитострикция,
Джоуль, 1842 г.) в области технического намагничивания
определяются магнитными силами взаимодействия атомов в
решетке ферромагнетика.
Магнитострикция - изменение формы и размеров тела при его
намагничивании во внешнем магнитном поле.
Наблюдается в ферро- и ферримагнетиках, например, Fe, Ni, Co, Gd,
Tb, Dy и др. Относительное удлинение образца при магнитострикции
достигает величин 10 5 – 10 2. В антиферромагнетиках, парамагнетиках и
диамагнетиках магнитострикция мала.
В теории магнетизма магнитострикция рассматривается как результат
проявления основных типов взаимодействий в ферромагнитных телах:
электрического обменного взаимодействия и магнитного взаимодействия
Электричество и магнетизм
176
Н.Ф. Шемяков
(диполь-дипольного и спин-орбитального). Магнитострикция, обусловленная
обменными силами, в ферромагнетиках наблюдается в области
намагничивания выше технического насыщения, где магнитные моменты
доменов полностью ориентированы в направлении поля и происходит только
рост
абсолютной
величины
намагниченности
J
(парапроцесс).
Магнитострикция в этом случае, например в кубических кристаллах,
изотропна и приводит к изменению объема образца. Магнитострикция,
обусловленная магнитными силами, наблюдается в ферро- и
ферримагнитных образцах в области технического намагничивания, где
намагниченность вызвана процессами смещения границ между доменами и
поворотом магнитных моментов доменов по полю.
Оба эти процесса изменяют энергетическое состояние кристаллической
решетки, что проявляется в изменении равновесных расстояний между ее
узлами. Атомы смещаются, что и приводит к деформации решетки. При этом
наблюдается линейная магнитострикция.
Лекция 16
6.3 УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
6.3.1. Ток смещения
Явление электромагнитной индукции, открытое Фарадеем, получило
дальнейшее развитие в работах Максвелла. Согласно Фарадею явление
электромагнитной индукции состоит в возбуждении электрического тока,
например, в замкнутом проводнике, который движется в постоянном
магнитном поле. Причиной возникновения индукционного тока является
сила Лоренца. Как показал Максвелл, причиной возникновения
индукционного тока в неподвижном проводнике, находящемся в переменном
магнитном поле, является возникшее переменное электрическое поле,
которое является вихревым, а не потенциальным в отличие от
электростатического поля.
Следовательно, электромагнитная индукция может наблюдаться и
тогда, когда в пространстве нет никаких проводников.
В общем случае, при движении проводника в переменном магнитном
поле, индукционный ток возбуждается переменным электрическим полем E,
т. е. электрической силой F = qeE, и магнитной силой Лоренца.
Какая часть индукционного тока вызывается электрической, а какая
магнитной составляющей силы Лоренца зависит от выбора системы отсчета.
Идеи Фарадея получили развитие в работах Максвелла, который
показал, что существует единое электромагнитное поле, составляющее
основу теории классической электродинамики. В основу теории
электромагнитного поля положена идея Максвелла о симметрии магнитного
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
177
и электрического полей. Действительно, согласно теореме о циркуляции
вектора H ,
( H d)
( j dS) .
(5.1)
Применим эту теорему к электрической
цепи,
содержащей
заряженный
плоский
конденсатор, который замкнут на внешнее
сопротивление (рис. 5.1). В качестве замкнутого
контура L возьмем произвольную кривую,
охватывающую провод. На этот контур можно
натянуть разные поверхности S и S*. Через
поверхность S течет ток проводимости I, а через
поверхность S* тока проводимости нет. Ее
Рис. 5.1
пронизывает
только
электрическое
поле
конденсатора, которое убывает при разряде конденсатора. По теореме Гаусса
поток вектора D сквозь замкнутую поверхность
( D dS)
q.
(5.2)
Так как при разряде конденсатора поток вектора D изменяется во
времени, то
(
D
dS n )
t
dq
.
dt
(5.3)
Согласно уравнению непрерывности
D
dS n )
t
Из уравнений (5.3) и (5.4) имеем
(
(j
где слагаемое
D
t
D
) dS
t
dq
..
dt
(5.4)
0,
(5.5)
j см называют плотностью тока смещения.
D
j j полн называют плотностью полного тока.
t
Согласно (5.5) линии полного тока являются непрерывными в отличие
от линий тока проводимости. Токи проводимости, если они не замкнуты,
замыкаются токами смещения (вектор плотности тока смещения и вектор
плотности тока проводимости направлены в одну сторону, см. рис. 5.1).
Сумму
С введением полного тока циркуляция вектора H уже не зависит от
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
178
выбора поверхности, натянутой на контур L. Поэтому
D
) dS
t
(j
I полн .
(5.6)
Таким образом, теорему о циркуляции вектора H можно обобщить и
D
(5.7)
) dS .
t
Справедливость данного выражения подтверждена многочисленными
экспериментальными данными. В дифференциальной форме закон полного
тока записывается в виде
на случай полного тока, т. е.
( H d)
[
H]
j
(j
D
,
t
(5.8)
где ротор вектора H определяется плотностью тока проводимости и
плотностью тока смещения.
Замечание: Ток смещения существует лишь там, где изменяется со
временем электрическое поле, и нет никаких зарядов.
Как и любой ток, ток смещения создает магнитное поле.
При наличии диэлектрика D
0
E P.
Поэтому ток смещения состоит из тока поляризации
P
, вызванного
t
E
, который не связан
t
ни с каким движением зарядов, а целиком обусловлен изменяющимся со
временем электрическим полем, возбуждающим переменное магнитное поле.
движением связанных зарядов, и тока в вакууме
0
6.3.2. Уравнения Максвелла в интегральной форме
Открытие тока смещения позволило Максвеллу создать единую теорию
электромагнитного поля.
Теория не только объяснила все явления электричества и магнетизма с
единой точки зрения, но и предсказала ряд новых явлений, например, что
свет это электромагнитные волны.
Максвеллу удалось составить систему фундаментальных уравнений
электродинамики в неподвижных средах.
Рассмотрим систему уравнений Максвелла в интегральной форме.
B
1. ( E d )
(5.9)
(
dS) .
t
Циркуляция вектора E по любому контуру L равна со знаком минус
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
179
производной по времени от магнитного потока через любую поверхность,
ограниченную контуром. При этом под вектором E понимается не только
вихревое электрическое поле, но и электростатическое.
Уравнение (5.9) выражает закон электромагнитной индукции Фарадея.
Переменное магнитное поле возбуждает переменное электрическое
D
поле. 2. ( H d)
(5.10)
(j
) dS) .
t
Циркуляция вектора H по любому замкнутому контуру L равна
полному току через произвольную поверхность, ограниченную контуром.
Вихревое электрическое поле возбуждает вихревое магнитное поле.
Уравнение (5.10) выражает закон полного тока.
3. ( D dS)
(5.11)
dV .
Поток вектора D сквозь любую замкнутую поверхность равен
алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью,
т. е. выражает теорему Гаусса.
4.
( B dS)
0.
(5.12)
Поток вектора B сквозь произвольную замкнутую поверхность равен
нулю.
Таким
образом,
электромагнитное поле.
уравнения
Максвелла
описывают
единое
Для стационарных полей ( E = const, B = const) уравнения Максвелла
образуют две группы независимых уравнений: для электростатического поля
( E d)
0,
( D dS)
q;
(5.13)
( H d)
I,
( B dS)
0.
(5.14)
для магнитного поля
6.3.3. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме
Уравнения
Максвелла
можно
дифференциальных уравнений, т. е.
представить
в
виде
системы
B
,
t
[
E]
(
D)
,
[
H]
j
(5.15)
D
, (
t
B)
0.
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
180
Bывод: Из уравнений Максвелла следует, что источником
электрического являются как сторонние, так и связанные заряды или
переменное магнитное поле. Источником магнитного поля являются либо
движущиеся электрические заряды (электрические токи), либо переменное
электрическое поле. Решив уравнения Максвелла найдем поля E и B .
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме совместно с
уравнением движения заряженных частиц под действием силы Лоренца
dp
(5.16)
F
q E q[ v B]
dt
составляют фундаментальную систему уравнений электродинамики.
Для нахождения полей по заданным распределениям зарядов и токов
уравнения Максвелла необходимо дополнить материалистическим
уравнениями, характеризующими свойства среды.
В общем виде эти уравнения достаточно сложны. Однако в случае
достаточно слабых электромагнитных полей медленно изменяющихся в
пространстве и времени для изотропных сред, не содержащих
сегнетоэлектриков и ферромагнетиков, материальные уравнения имеют
следующий вид:
D
0 E,
B
0 H,
(5.17)
j
( E E* ),
где ,
и
постоянные, характеризующие электрические и магнитные
свойства среды (
диэлектрическая проницаемость,
магнитная
проницаемость,
электропроводимость); E *
напряженность поля
сторонних сил.
Свойства уравнений Максвелла:1. Уравнения Максвелла линейны.
Уравнения Максвелла содержат уравнение непрерывности, выражающее
закон сохранения заряда. 3. Уравнения Максвелла выполняются во всех
инерциальных системах отчета. 4. Уравнения Максвелла симметричны.
6.3.4. Электромагнитные волны
Из уравнений Максвелла следует, что электромагнитное поле способно
существовать самостоятельно,
без электрических зарядов и токов.
Изменяющееся электромагнитное поле имеет волновой характер и
распространяется в вакууме в виде электромагнитных волн со скоростью
света.
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
181
Существование электромагнитных волн вытекает из уравнений
Максвелла, которые описываются волновыми уравнениями для векторов E и
H соответственно:
2
2
E
x2
2
2
E
y2
2
H
2
E
z2
H
2
c2
E
t2
,
2
H
(5.18)
H
,
(5.19)
x2
y2
z2
c2 t 2
Изменение во времени магнитного поля
возбуждает переменное электрическое поле и,
наоборот,
изменение
во
времени
Рис. 5.2
электрического поля возбуждает переменное
магнитное поле. Вихревое электрическое поле, индуцированное переменным
магнитным полем B , образует с вектором
B
левовинтовую систему (рис.
t
7.2), а вихревое магнитное поле, индуцированное электрическим полем D ,
D
правовинтовую систему (рис. 5.2).
t
Происходит непрерывное их
взаимопревращение, что и дает
возможность
существовать и распространяться им в пространстве и времени при
отсутствии зарядов и токов.
Таким образом, теория Максвелла не только предсказала
существование электромагнитных волн, но и установила их важнейшие
свойства:
1. Скорость распространения электромагнитной волны в нейтральной
непроводящей и неферромагнитной среде
образует с вектором
c
v
1
; c
,
(5.20)
0 0
где c
скорость света в вакууме.
B и v взаимно перпендикулярны и образуют
Векторы E ,
правовинтовую систему (рис.5.3). В этом проявляется внутреннее свойство
электромагнитной волны, не зависящей ни от какой координатной системы.
3. В электромагнитной волне векторы E и B всегда колеблются в
одинаковых фазах (рис. 5.4), причем между мгновенными значениями Е и В
в любой точке пространства
существует связь, а именно: Е = vB
2.
или
0
E
0
H . ( 5.21)
Электричество и магнетизм
Существование
Н.Ф. Шемяков
182
электромагнитных волн позволило Максвеллу
объяснить волновую природу света.
Свет это электромагнитные волны.
6.3.5.
Поток энергии
электромагнитного поля
При
распространении
электромагнитных
волн
в
пространстве и времени они несут с
Рис. 5.3
Рис. 5.4
собой энергию. Она заключена во
взаимно превращающихся электрическом и магнитном полях.
Объемная плотность энергии электрического поля
0E
wэ
2
2
,
(5.22)
где Е
напряженность электрического поля.
Объемная плотность энергии магнитного поля
B2
,
(5.23)
wм
2 0
где В индукция магнитного поля.
Следовательно, объемная плотность энергии электромагнитного поля в
той области пространства, где находится в произвольный момент времени
электромагнитная волна,
2
B2
oE
W = w э+ wм =
.
(5.24)
2
2 o
Или с учетом того, что Е = сВ и c
o
w=
или
w
o
2
oE
EB
1 , имеем
,
(5.25)
o
.
(5.26)
o
Энергию, переносимую электромагнитной волной в единицу времени
через
единичную
площадку,
называют
плотностью
потока
электромагнитной энергии. Вектор плотности потока электромагнитной
энергии называют вектором Пойнтинга.
Направление вектора Пойнтинга П совпадает с направлением
распространения электромагнитной волны, т. е. с направлением переноса
энергии. Скорость переноса энергии равна фазовой скорости этой волны.
Если электромагнитная волна при распространении проходит сквозь
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
183
некотoрую площадку S, перпендикулярную к направлению распространения
ее, например, вдоль оси Х, то за некоторый промежуток времени dt волна
пройдет расстояние dx = cdt, где с скорость распространения волны.
Так как объемная плотность энергии электромагнитной волны
w = oE2,
то полная энергия dW электромагнитной волны, заключенная в объеме
dV = cdtS
dW = wdV = oE2 cdtS.
(5.27)
Следовательно, плотность потока электромагнитной энергии,
проходящей через площадку S за время dt
dW
2
(5.28)
п
o cE .
Sdt
Вектор Пойнтинга П совпадает по направлению со скоростью
распространения электромагнитной волны, которая перпендикулярна E и
B , т. е.
1
П
[ E B ].
(5.29)
о
6.3.6. Потенциалы электромагнитного поля
Для описания электромагнитного поля наряду с силовыми
характеристиками напряженностью электрического поля E и магнитной
индукцией B вводят энергетические характеристики электромагнитного
поля: векторный потенциал A (х, у, z, t) и скалярный потенциал (х, у, z, t).
Функции A (х, у, z, t) и (х, у, z, t) связаны с полями E и B следующими
соотношениями:
E
grad
A
, B
t
rot A .
(5.30)
Из (5.30) следует, что задание четырех функций , Ах, Ау, Аz
полностью определяют шесть функций Ех, Еу, Еz, Bx, By, Bz при условии, что
последние удовлетворяют уравнениям Максвелла. Если из скалярного
потенциала
вычесть производную по времени произвольной скалярной
функции f( r ,t) и одновременно к векторному потенциалу прибавить
градиент той же самой функции, то полученные новые потенциалы будут
описывать то же самое электромагнитное поле. О различных способах
выбора потенциалов, оставляющих неизменными поля E и B , говорят как о
различных калибровках потенциалов. Неизменность (инвариантность) полей
по отношению к различным калибровкам называют свойством градиентной
или калибровочной инвариантности. Поэтому уравнение
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
184
divA
0
0
0
t
(5.31)
называют калибровочным уравнением Лоренца.
Тогда уравнение
2
A
0
0
A
t
grad (div A
2
принимает вид
A
0
0
0
A
t
0
t
0
)
j
0
j
(5.32)
(5.33)
Используя уравнение (5.31) и уравнение Максвелла (7.11), имеем
2
0
0
.
(5.34)
t2
0
Уравнения (5.33) и (5.34) называются уравнениями Даламбера.
Они совместно с уравнением (5.31) эквивалентны системе уравнений
Максвелла, и для них разработаны математические методы решения, что
значительно упрощает проводить расчеты электромагнитных полей.
6.4. ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
6.4.1. Опыты Физо и Майкельсона Морли
После открытия электромагнитного поля, когда Д. Максвелл доказал,
что свет это поперечные электромагнитные волны, распространяющиеся со
скоростью 3 108 м/c, возрос интерес к эфиру. Для проверки справедливости
классического закона сложения скоростей при движении тел со скоростями
близкими к скорости света в 1851 г. Физо провел эксперимент, используя
явление интерференции света. Многократно проверенный опыт давал один и
тот же результат. Оказалось, что скорость света не подчиняется
классическому закону сложения скоростей. Если принять гипотезу о
существовании неподвижного мирового эфира, то опыт Физо можно
объяснить с позиций классической физики. Как показали дальнейшие
научные исследования, гипотеза о существовании неподвижного мирового
эфира оказалась ложной. Однако тогда в 19 веке об этом не знали. Для
проверки гипотезы о существовании неподвижного мирового эфира,
Майкельсон и Морли провели знаменитый эксперимент, согласно которому
наблюдатель на Земле должен был измерить скорость луча света,
движущегося в направлении, совпадающим с направлением движения Земли
вокруг Солнца (по течению эфира) и измерить скорость встречного луча
света.
Электричество и магнетизм
185
Н.Ф. Шемяков
Если эти скорости будут различны, то это подтвердит существование
мирового эфира. Однако опыт дал отрицательный результат
скорости
оказались одинаковыми. Целью опыта Майкельсона
Морли было
обнаружение любого возможного движения Земли относительно эфира. В
1932 г. Кеннеди и Торндайк в течение шести месяцев проводили подобный
эксперимент. Их эксперимент отверг теорию, в которой признавалось лишь
сокращение длин, движущихся предметов и подтвердил теорию, в которой
должно наблюдаться сокращение длин плюс замедление времени. Для
спасения гипотезы неподвижного мирового эфира Г. Лорентц и
Фицджеральд одновременно предложили гипотезу сокращения размеров тел
в направлении движения, если скорость тела приближается к скорости света
(преобразования Лорентца).
Гипотеза Лорентца, правильно описывала факты, но неверно их
объясняла. На смену классической физике пришла релятивистская физика,
основанной на новой геометрии пространства (геометрия Лобачевского с
отрицательной кривизной пространства и геометрия Римана с
положительной кривизной пространства) и принципе относительности
Эйнштейна. Время также не является абсолютным, т. е. в различных
инерциальных системах время течет неодинаково. Анализируя результаты
опытов Физо и Майкельсона Морли в 1905 г. Эйнштейн решил отказаться
от эфира, из за его противоречивых свойств. Нужна была новая теория
относительности.
Эйнштейн
приступил
к
созданию
специальной
теории
относительности (правильнее считать частная теория относительности). В
ее основу он положил два постулата: принцип относительности Эйнштейна и
постоянство скорости света. Но они оказались несовместимы, т. к.
противоречили принципу относительности Галилея.
Однако почти одновременно с теорией относительности в физике
получила развитие квантовая теория поля, которая обнаружила в
пространстве, описанном Эйнштейном, специфическую материальную среду
с необычными свойствами.
Физики пришли к выводу, что новая материальная среда, общая для
теории относительности и для квантовой теории поля, должна называться
физическим вакуумом, с некоторыми, но не полными свойствами.
По современным представлениям физический вакуум
это то, что
остается в пространстве, когда из него удаляется весь воздух и все частицы.
В результате остается первоматерия
Прародитель всего во Вселенной,
рождающий реальные элементарные частицы, из которых образуются атомы,
молекулы, тела. В физический вакуум вкладывается понятие
всепроникающей среды, находящейся между частицами и заполняющей все
межчастичное пространство в ядрах, атомах и молекулах.
Электричество и магнетизм
186
Н.Ф. Шемяков
Следовательно, физический вакуум можно представить как
бесчастичную форму материи, плотность которой изменяется в соответствии
с действующими на физический вакуум силами.
По величине плотность физического вакуума имеет весьма малые
значения по сравнению с привычными для нас значениями плотности
вещества.
Например, плотность физического вакуума, находящегося между
молекулами газа при давлении в 1 атм, составляет 10 18 кг/м3, а плотность
воды при давлении в 1 атм
103 кг/м3. Гравитация (тяготение) присущая
всем массам, присуща и массе физического вакуума.
Следовательно, сила взаимодействия тела с любой частью физического
вакуума будет определяться законом всемирного тяготения.
Все тела притягивают к себе физический вакуум подобно тому, как,
например, Земля притягивает находящиеся на ней тела.
Поэтому при движении тел вместе с ними будет двигаться
(увлекаться) и окружающий тела физический вакуум и физический вакуум,
входящий в состав тел (заполняющий межмолекулярное пространство).
Увлечение физического вакуума будет только в том случае, если на него не
действует большая сила от других тел, удерживающая физический вакуум от
этого увлечения.
Однако физический вакуум не просто увлекается движущимся телом.
Физический вакуум исполняет роль подлинного регулятора всякого
движения, т. е. физический вакуум и контролируемый им объект (тело),
представляют собой замкнутую систему.
Опыты Физо и Майкельсона Морли в действительности объясняют,
что в природе нет абсолютно неподвижного физического вакуума (мирового
эфира). Физический вакуум имеет массу, всегда увлекается тем телом,
гравитационные силы которого преобладают.
В опытах Физо и Майкельсона Морли таким телом является Земля,
увлекающая при своем движении околоземный физический вакуум (опыт
Майкельсона Морли) и не позволяющая, движущемуся телу на Земле
увлекать физический вакуум, находящийся между частицами тела (опыт
Физо).
Согласно современной парадигме физический вакуум представляет
собой сложный квантовый динамический объект, который проявляет себя
через флуктуации.
Таким образом, физический вакуум рассматривают как материальную
среду изотропно (равномерно по всем направлениям) заполняющую все
мировое пространство (свободное пространство и вещество), имеющую
квантовую структуру, ненаблюдаемую в невозбужденном состоянии.
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
187
6.4.2. Законы преобразования и относительности
электрических и магнитных полей
Электромагнитное поле отличается от любой системы частиц тем, что
оно является физической системой с бесконечно большим числом степеней
свободы. Это его свойство связано с определенным состоянием поля.
Действительно, в области существования поля значения независимых
компонент E и B составляют бесчисленное множество величин, так как
любая область пространства содержит бесконечно большое число точек.
Электрическое и магнитное поля являются различными проявлениями
единого электромагнитного поля, которое также подчиняется принципу
суперпозиции. Деление электромагнитного поля на электрическое поле и
магнитное поле имеет относительный характер, так как зависит от выбора
системы отсчета.
Например, заряд движется в инерциальной системе отсчета S с
постоянной скоростью v или при движении одинаковых зарядов навстречу
друг другу с постоянной скоростью v. В данной системе отсчета
наблюдаются как электрическое, так и магнитное поля этого заряда, но
изменяющие во времени. При переходе в другую инерциальную систему
отсчета S*, движущуюся вместе с зарядом, наблюдается только
электрическое поле, так как заряд в ней покоится. Если в S системе отсчета
существует постоянное, неоднородное магнитное поле (например,
подковообразный магнит), то в S* системе, движущейся относительно S
системы, наблюдаются переменные электрическое и магнитное поля.
Соотношения между электрическим и магнитным полями
неодинаковы в различных системах отсчета.
Эксперименты показывают, что заряд любой частицы инвариантен, т.
е. не зависит от скорости движения частицы и от выбора инерциальной
n
1
( E dS n )
qi
системы отсчета. Теорема Гаусса
S
0 i 1
справедлива не только для покоящихся зарядов, но и для движущихся, т. е.
она инвариантна относительно инерциальных систем отсчета.
При переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой
электрическое E и магнитное B поля преобразуются. Пусть имеются две
инерциальные системы отсчета: S и движущаяся относительно нее, со
скоростью v o система S*. Если в некоторой пространственно временной
точке А системы S известны значения полей E и B , то какими будут
значения этих полей E * и B * в той же самой пространственно временной
точке А системы S*? Пространственно
временной точкой А называют
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
188
такую точку, координаты и время которой в обеих системах отсчета связаны
между собой преобразованиями Лоренца, т. е.
x vo t
x*
,
2
1
y*
y,
z
*
z,
t
*
t xv o / c 2
(7.1)
2
1
.
Законы преобразования этих полей согласно специальной теории
относительности выражаются следующими четрьмя формулами:
E
*
E
[ vo B]
2
1
E
*
,
E ,
(7.2)
B
*
B
[ vo
1
B
Символами и
*
E ] / c2
2
,
B .
отмечены продольные и поперечные (по отношению к
вектору v o ) составляющие электрического и магнитного полей; с
скорость света в вакууме;
= vo/c.
Из уравнений видно, что каждый из векторов E * и B * выражается как
B , что свидетельствует о единой природе
через E , так и через
электрического и магнитного полей.
Например, модуль напряженности вектора Е свободно движущегося
релятивистского заряда описывается формулой
1 2
q
(7.3)
E
,
4 o r 2 (1 2 sin 2 ) 32
где
угол между радиус вектором r и вектором скорости v .
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
189
Линии напряженности поля E свободно
движущегося точечного заряда имеют вид,
приведенный на рис. 7.1.
Вектор индукции магнитного поля свободно
движущегося точечного заряда в этой же системе
отсчета описывается формулой
o q[ v
B
и
r]
4 r3
1
2
2
2
3
, (7.4)
2
(1
sin )
При v << c ( << 1) выражения (7.3) и (7.4)
переходят в формулу напряженности точечного
заряда
Рис. 7.1
q
,
E
4 or 2
формулу индукции магнитного поля движущегося заряда
o q[ v
B
r]
3
.
4 r
Инвариантами электромагнитного поля являются также следующие
выражения:
( E B)
E
Их инвариантность
2
inv,
2 2
c B
(7.5)
inv.
следствие формул преобразования полей E и B .
Лекция 17
6.5. КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
6.5.1. Условие малости тока смещения и
квазистационарные электрические цепи
Электрические колебания возникают в цепи при изменении тока в ней
и в каждый момент времени ток неодинаков на различных участках цепи, изза конечности скорости распространения электромагнитных волн.
Если же мгновенные значения тока на всех участках цепи практически
одинаковы, то такой ток называют квазистационарным.
Для периодически изменяющихся токов условие квазистационарности

записывают в виде
T,
c
Электричество и магнетизм
190
Н.Ф. Шемяков
где с – скорость света; Т – период колебаний тока;  – длина электрической
цепи.
Для цепи длиной  = 3 м, время = 10 8 с, поэтому токи можно считать
квазистационарными вплоть до частот колебаний = 106 Гц, т. е. Т = 10 6 с.
В этом случае мгновенные значения токов подчиняются закону Ома и
правилам Кирхгофа.
Условием малости тока смещения является соотношение
jсм / jпр = 0 / << 1,
(6.1)
где – диэлектрическая проницаемость; 0 – электрическая постоянная; –
круговая частота; – проводимость.
Например, для металлов при = 107 (Ом м) 1 и = 1 получаем, что
токи смещения несущественны в области частот
/ 0 = 1018 c 1,
т. е. вплоть до ультрафиолетового света.
6.5.2.. Вихревые токи
Вихревые токи (токи Фуко) – замкнутые электрические токи,
возникающие в массивных проводниках в результате проявления
электромагнитной индукции.
Вихревые токи являются индукционными токами и возникают в
проводящих телах вследствие изменения во времени магнитного поля, в
котором они находится, либо в результате движения тел в магнитном поле,
приводящем к изменению магнитного потока через тела или какую–либо их
часть.
Вихревые токи замыкаются непосредственно в проводящей массе,
образуя вихреобразные контуры (рис. 6.1). Согласно правилу Ленца,
магнитное поле вихревых токов направлено так, чтобы противодействовать
изменению магнитного потока, индуцирующему эти вихревые токи.
Взаимодействие магнитного поля
вихревых токов с основным
магнитным потоком приводит к движению проводящего тела, что
используется, например, в индукционных счетчиках, машинах переменного
тока и т. д.
Вихревые токи вызывают неравномерное распределение магнитного
потока по сечению магнитопровода.
Это объясняется тем, что в центре сечения магнитопровода
напряженность магнитного поля вихревых токов, направлена навстречу
основному магнитному потоку и имеет наибольшую величину. В результате
такого «вытеснения» поля на высоких частотах поток проходит лишь в
тонком поверхностном слое сердечника.
Глубина проникновения магнитного поля в проводник составляет
несколько милиметров и определяется формулой
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
191
d 1/
Рис. 6.1
.
(6.2)
0
Это явление называют магнитным
скин-эффектом (скин– кожа).
В соответствии с законом Джоуля–
Ленца вихревые токи нагревают проводники,
в которых они возникают, что приводит к
потерям энергии.
Для снижения магнитного скин–
эффекта магнитопроводы изготавливают не
из сплошного куска металла, а из отдельных
изолированных пластин или заменяют
ферромагнитные
материалы
магнитодиэлектриками и т. д.
6.5.3. Переходные процессы
Явление
самоиндукции наблюдается, например, при замыкании и
размыкании электрической цепи. При
отключении
обмоток
электромагнитов,
электромоторов и т. п. с большой
индуктивностью возникает большая ЭДС
самоиндукции, что приводит к образованию
вольтовой
дуги
между
контактами
выключателя и является весьма опасным для
электроустановок (если они не защищены) и
Рис. 6.2
для
обслуживающего
персонала.
Возникновение ЭДС самоиндукции можно наблюдать на простой установке,
схема которой приведена на рис. 6.2. При повороте ключа К в положение 2
(источник тока отключен) в цепи основной ток I быстро убывает до нуля.
Из-за явления самоиндукции возникает индукционный ток i такого же
направления (в соответствии с правилом Ленца), стремясь поддержать
убывающий ток. В каждый момент времени ток в цепи можно определить по
dI
закону Ома, т. е.
IR = S= L
dt
dI
R
или
dt .
I
L
Интегрируя данное уравнение по току I (от Io до I) и времени t (от 0 до
t), получаем
t
I
где
I 0e
,
(6.3)
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
192
L
–
R
время релаксации, т. е. время, в течение которого сила тока уменьшается в е
раз. Чем больше время релаксации, тем медленнее уменьшается ток.
Рассмотрим явления, происходящие при замыкании цепи.
В момент времени t = 0 ключ К замкнем в положение 1.
Ток в цепи начнет нарастать, что приведет к возникновению ЭДС
самоиндукции, которая будет противодействовать увеличению тока.
dI
По закону Ома
IR = + S =
(6.4)
L .
dt
Введем новую переменную
U = IR
,
=
–
dU = RdI.
C учетом этого формулу (6.4) представим в виде
dU
dt
.
U
Интегрируя последнее выражение по U (пределы интегрирования: от
до IR – ) и по времени t (пределы интегрирования: от 0 до t), получаем
t
I
I 0 (1
e
),
(6.5)
где I0 – максимальный ток в цепи (t
, I0R = ).
Скорость установившегося тока определяется временем релаксации .
6.5.4. Генератор переменного тока
Электрический ток называют переменным, если он изменяется по
синусоидальному закону со временем, как по величине, так и по направлению
I = I0cos t,
(6.6)
где I0 – амплитуда силы тока.
Устройства, вырабатывающие переменный ток, называют
генераторами переменного тока. В настоящее время существуют
множество конструктивно различных генераторов переменного тока, в
том числе и генераторы трехфазного тока. При этом цепи могут
содержать омическое, индуктивное и емкостное сопротивления.
Анализ и расчет цепей переменного тока сводится к установлению
соотношений между гармонически изменяющими величинами, которые
могут выражаться в комплексной форме (например, метод Хевисайда).
Отношение комплексной амплитуды напряжения к комплексной амплитуде
тока называется импедансом блока Z .
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
193
6.5.5. Цепи переменного тока
Рассмотрим в цепи переменного тока произвольный блок Z , который
может содержать в общем случае резисторы, индуктивности, емкости.
Модуль импеданса определяет отношение действительных амплитуд
напряжения и тока
Z = U0 / I0,
(6.7)
а аргумент импеданса определяет фазовый сдвиг тока и напряжения
arg Z =
.
(6.8)
Найдем напряжение, создаваемое источником тока на резисторе,
индуктивности и емкости:
1. Напряжение, создаваемое источником тока на
индуктивности
(рис.6.3), равно взятой с
обратным знаком ЭДС самоиндукции
UL = L dI/dt.
Импеданс индуктивности найдем по
формуле
Рис. 6.3
Z = L.
Аргумент импеданса индуктивности можно найти по формуле
arg Z L = /2.
Следовательно, на индуктивности напряжение на четверть
периода опережает ток.
1.
Напряжение, создаваемое источником тока на конденсаторе
(рис.6.4)
Uс = q / C.
(6.9)
Импеданс емкости найдем по формуле
Z = 1 / C.
(6.10)
Аргумент импеданса емкости можно
найти по формуле
Рис. 6.4
Рис. 6.5
arg Z С =
/2.
(6.11)
2. Напряжение,
создаваемое
источником тока на активном сопротивлении
(рис. 6.5)
UR = IR.
(6.12)
Импеданс активного сопротивления
действителен
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
194
Z = R,
поэтому фаза тока и напряжения совпадают.
3. Найдем напряжение, создаваемое источником
содержащей резистор, индуктивность и емкость (рис. 6.6).
Ипеданс этой цепи
Z
R2
тока
( L 1 / C) 2 .
в
цепи,
(6.13)
Аргумент импеданса
arg Z =
= arctg{[ L
1/( C)]}/R. (6.14)
Таким
образом,
действительную
амплитуду тока можно найти по формуле
U 0 / R 2 [ L 1 /( C)]2 .
(6.15)
Активную мощность на участке цепи
переменного тока можно найти по формуле
I0
Рис. 6.6
Pa = <P> = IUcos /2.
(6.16)
Замечание: в отличие от активного сопротивления, где происходит
диссипативное
преобразование
энергии
электрического
тока
в
ленц джоулево тепло, в индуктивности и емкости наблюдается без
диссипативное преобразование энергии тока в энергию магнитного и
электрического полей с последующим обратным превращением в энергию
тока.
6.5.6. Плоские электромагнитные волны
Особенности электромагнитных волн, способы их возбуждения и
законы распространения описываются уравнениями Максвелла.
В реальных средах электромагнитные волны, как и волны любой
природы, испытывают отражение и преломление,
интерференцию,
дифракцию, поляризацию.
Вид поляризации и ряд других особенностей электромагнитных волн
задаются, или природой источника излучения, или свойствами среды.
Пространственное распределение электромагнитных полей, временные
зависимости E (t) и H (t), определяют тип волн (плоские, сферические и др.).
Теория электродинамики Максвелла позволила установить, что
радиоволны, видимый свет, рентгеновское, инфракрасное, ультрафиолетовое
и гамма-излучения представляют собой электромагнитные волны с
различной длиной волны (табл. 6.1).
Существование электромагнитных волн было предсказано Фарадеем, а
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
195
затем Максвелл обосновал их существование. Герц экспериментально
подтвердил справедливость теории Максвелла.
Если возбудить с помощью колеблющейся системы (вибратора Герца,
электрического диполя и др.) переменное электромагнитное поле, то в
окружающем пространстве возникнет последовательность взаимно
превращающихся друг в друга переменных электрических и магнитных
полей, распространяющихся от точки к точке в виде электромагнитных волн
(рис.6.7). Этот процесс является
периодическим во времени и в
пространстве.
Таблица 6.1
, Гц
103
1012
3,7 1014
,м
3 105
30 10
8 10
7,5 1014 4 10
3 1017
10 9
3 1020
10
1023
3 10
4
7
7
12
15
Диапазон
Источники возбуждения
Радиоволны Переменные токи в проводниках и
К-излучение П пучках электронов: генераторы
СВЧ и радиочастот
Видимый
Излучение атомов (молекул) при их
свет
нагревании
или
электрическом
воздействии
УФ-излуИзлучение атомов под действием
чение
ускоренных электронов
Рентген
Атомные процессы при воздействии
ускоренных заряженных частиц
- излучение Ядерные процессы, радиоактивные
распады, космические процессы
Существование электромагнитных волн вытекает из уравнений
Максвелла, которые описываются волновыми уравнениями для векторов E и
H соответственно:
2
E
2
E
2
x2
y2
z2
2
2
2
H
z
2
H
2
x
где
H
y
2
vф
Рис. 6.7
2
E
c2
c
c
E
t2
2
.
,
2
H
t
2
(6.17)
, (6.18)
(6.19)
Уравнения
(6.17)
и
(6.18)
неразрывно связаны друг с другом, так как они получены из уравнений
Максвелла. В дальнейшем будем рассматривать плоскую электромагнитную
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
196
волну, распространяющуюся в непроводящей, нейтральной среде, в которой
= const, = const ( = 0, j = 0). Если ось Х направить перпендикулярно к
волновым поверхностям, то E и H ( и их проекции на оси координат) не
будут зависеть от координат У и Z.
Для описания электромагнитной волны в уравнениях
Ey
Hx
,
(6.20)
0
x
t
Ey
Hz
,
(6.21)
0
x
t
которые также получены из уравнений Максвелла, положим Ех = Hy = 0.
Причем Ех = Hх = 0, если отсутствуют постоянные, однородные
электрические и магнитные поля.
Само волновое поле не имеет составляющей вдоль оси Х.
Следовательно, векторы E и H перпендикулярны к направлению
распространения волны, т. е. электромагнитные волны поперечны.
При
Ех = Еz = 0, Нх = Ну = 0, т. е. Еу = Е, Нz = Н.
Если электромагнитная волна распространяется вдоль одной оси Х, то
2
2
E
x
2
т. е.
2
2
H
H
c
2
2
c2
т. е.
2
,
E
0.
t2
2
,
t
E
x2
2
E
(6.22)
2
H
H
0.
(6.23)
x
c
t
x
c
t
Решениями уравнений (4.47) и (4.48) являются соответственно
функции
Е = Е0 Cos ( t kx + 01),
(6.24)
H = H0 Cos ( t kx + 02),
(6.25)
где
циклическая частота волны; k = 2 /
волновое число; 01 и 02
начальные фазы электромагнитных волн в точке с координатой х = 0.
Из анализа уравнений (6.22), (6.23), (6.24) и (6.25) следует, что
2
2
(6.26)
0E 0
0H 0 .
Следовательно, колебания магнитного и электрического векторов в
электромагнитной волне происходят с одинаковой фазой ( 01 = 02 = 0),
одновременно обращаются в нуль и одновременно достигают максимума и
минимума.
При наличии дисперсии скорость переноса энергии (групповая
2
2
2
2
2
2
Электричество и магнетизм
197
Н.Ф. Шемяков
скорость) может отличаться от фазовой скорости.
Плотность потока энергии, переносимой электромагнитной волной,
определяется вектором Пойнтинга П [ E H ] , причем вектор П совпадает
с направлением распространения электромагнитной волны.
6.5.7. Излучение электромагнитных волн
Впервые электромагнитные волны получены Герцем в 1888 г. Он
использовал вибратор, состоящий из двух стержней, разделенных искровым
промежутком. Под действием высокого напряжения в искровом промежутке
вибратора проскакивала искра и возникали колебания.
За время существования искры происходило большое число колебаний,
порождающих цуг (группу) электромагнитных волн с длиной волны от 0,1 м
до 10 м. Он же обнаружил отражение, преломление и взаимную
перпендикулярность E и H электромагнитных волн.
Опыты Герца были продолжены Лебедевым, Поповым, Марккони и др.
Простейшим
излучателем
электромагнитных
волн
является
электрический диполь, у которого электрический дипольный момент
изменяется по закону
p
p 0 cos t ,
(6.27)
где р0 = q  ;  плечо диполя; q абсолютная величина заряда диполя.
Если размеры диполя малы по сравнению с длиной волны (  << ), то
такой диполь называют элементарным.
Картина возникшего электромагнитного поля вблизи диполя довольно
сложна, но на расстоянии r >> (волновая зона диполя) она значительно
упрощается.
Если волна распространяется в однородной изотропной среде, то
волновой фронт в волновой зоне является сферическим.
Eи
H
Векторы
в каждой точке пространства взаимно
перпендикулярны и перпендикулярны лучу, т. е. радиус-вектору r ,
проведенному в данную точку из центра диполя.
Амплитуды E 0 и H 0 зависят от расстояния r до излучателя и от угла
между осью диполя и направлением радиус-вектора, т. е. в вакууме
Е0 Н0 1 sin .
r
Среднее значение плотности потока электромагнитной энергии (вектор
Пойнтинга) пропорционально произведению Е0Н0.
Следовательно, интенсивность электромагнитной волны
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
198
1 sin 2 .
r2
Максимальное излучение диполя происходит в направлении,
перпендикулярном оси диполя ( = 900), рис. 6.8, где показана диаграмма
направленности излучения диполя.
Вторая производная электрического
дипольного момента,
J
<П>
2
p
2
q
r
qa ,
t2
t2
где а ускорение движения заряда.
Рис. 6.8
Тогда средняя мощность
< N > q 2 а2 .
Последнее выражение определяет мощность излучения не только при
колебаниях заряда, но и при произвольном его ускоренном движении, т. к.
любой заряд при ускоренном движении излучает электромагнитные волны.
Заряд,
совершающий
гармонические
колебания,
излучает
монохроматическую волну с частотой, равной частоте колебания заряда.
Электрон же, движущийся с постоянной скоростью, не излучает
электромагнитные волны.
Это справедливо лишь в случае, если скорость электрона не
превосходит скорости света в веществе, в которой движется электрон.
Поэтому при v > vсв в веществе наблюдается излучение Вавилова Черенкова.
6.5.8. Стоячие электромагнитные волны
Пусть распространяются две плоские одинаковые монохроматические
электромагнитные волны навстречу друг другу вдоль оси У.
Векторы напряженности этих волн лежат в одной плоскости и
совершают колебания по гармоническому закону:
E1 = E0 sin ( t – kу),
(6.28)
E2 = E0 sin ( t + kу).
(6.29)
После
сложения
результирующий
вектор
напряженности
электрического поля по модулю электромагнитной волны принимает вид:
Eрез = 2E0 сos kу sin t,
(6.30)
Электричество и магнетизм
199
Н.Ф. Шемяков
Результирующий вектор индукции магнитного поля по модулю
электромагнитной волны принимает вид:
Врез = –2E0/c sin kу cos t. (6.31)
Из анализа полученных уравнений
следует:
1. процесс распространения волн
локализован в некоторой области и
называется стоячей электромагнитной
волной;
2. Волна не является бегущей;
3. В стоячей волне оба поля сдвинуты
по фазе на /2.
Из этого следует, что в стоячей
волне
происходит
превращение
Рис. 6.9
электрической энергии в магнитную
энергию, а затем, магнитной энергии в
электрическую энергию. В бегущей же
волне, из-за сифазности, не происходит
превращение электрической энергии в
магнитной энергию. На рис. 6.9 точки 1 и 3 являются магнитными
пучностями; точки 0, 2, 4 – являются магнитными узлами; точки 0, 6, 8 –
являются электрическими пучностями; точки 5, 7 – являются электрическими
узлами.
Распространенным способом получения стоячих электромагнитных
волн является зеркальное отражение перпендикулярно падающей волны
6.5.9. Оптический эффект Доплера
При движении источника и приемника световых волн относительно
друг друга наблюдается эффект Доплера, который заключается в изменении
частоты волны, регистрируемой приемником.
Закономерности этого явления для электромагнитных волн, в отличие
от эффекта Доплера в акустике (изменение частоты определяется скоростями
движения источника и приемника по отношению к среде, являющейся
носителем звуковых волн), можно установить только на основе специальной
теории относительности. Рассмотрим две инерциальные системы отсчета S и
S* (рис. 6.10).
Начало координат системы S свяжем с источником света, а с
приемником начало координат системы S*. Оси Х и Х* направим вдоль
вектора скорости v , с которой приемник движется относительно источника.
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
200
Уравнение
плоской
электроманитной
волны,
распространяемой
источником
в
вакууме, в системе S имеет вид
x
Е( х, t ) Е 0 cos 0 t
0 , (6.32)
с
где 0 циклическая частота световой
волны колебания источника.
Рис. 6.10
Согласно
принципу
относительности законы природы
имеют одинаковый вид в любых инерциальных системах отсчета, поэтому в
системе S* световая волна описывается уравнением
*
*
Е( х , t )
Е *0
cos
t
*
x*
с
*
0
,
(6.33)
где
циклическая частота, принимаемая приемником.
С помощью преобразований Лоренца, уравнение световой волны в S*
можно получить для системы S, заменяя х и t через х * и t*, т. е.
Е( х * , t * )
Е *0 cos
1 v/c
t*
x*
с
*
0
,
(6.34)
1 v /c
Из анализа (6.33) и (6.34) следует, что
1 v/c
0
1 v / c
1 v/c
или
,
(6.35)
0
1 v / c
Знак «+» сближение источника и приемника, знак « » их удаление.
Если источник и приемник движутся под углом
друг к другу, то
формула (6.35) принимает вид
0
2
2
1 v2 / c2
.
(6.36)
0
1 ( v / c) cos
Если источник движется относительно приемника вдоль прямой их,
соединяющей (
= 0, ), то наблюдается продольный эффект Доплера:
При сближении источника и приемника (
= )
1 v/c
(6.37)
0
0.
1 v/c
В случае их взаимного удаления (
= 0)
Электричество и магнетизм
Н.Ф. Шемяков
201
1 v/c
0 .
1 v/c
При v c формула (6.38) упрощается
0 (1 v/c).
Тогда относительное изменение частоты
/ 0 = v/c,
0
где
=
(6.38)
(6.39)
(6.40)
0.
Из релятивистской теории следует существование поперечного
эффекта Доплера, который наблюдается при
= /2, 3 /2, т. е. в тех
случаях, когда источник движется перпендикулярно линии наблюдения:
1
v2
(6.41)
0.
c2
Поперечный эффект Доплера необъясним в классической физике. Он
представляет собой чисто релятивистский эффект, т. к. связан с замедлением
хода времени в движущейся системе отсчета.
Поперечный эффект Доплера, в отличие от продольного,
квадратичный относительно v/c, т. е. при v
c, тогда отношение частот
0
1 v2
.
(7.16)
2 с2
с2
0
Относительное изменение частоты при поперечном эффекте Доплера
/ 0 = v2/(2c2)
(6.42)
пропорционально квадрату отношения v/c и, следовательно, значительно
меньше, чем при продольном эффекте
В общем случае вектор относительной скорости можно разложить на
две составляющие, одна из которых направлена вдоль луча (продольный
эффект Доплера), а другая перпендикулярно к лучу (поперечный эффект
Доплера). Продольный эффект Доплера используется для определения
радиальной скорости звезд.
Измеряя относительное смещение линий в спектрах звезд, можно
определить v. Вращение источника света вызывает доплеровское уширение
спектральных линий, т. к. точки источника имеют разные лучевые скорости.
Следовательно, с помощью эффекта Доплера можно исследовать
вращение космических тел.
Хаотическое тепловое движение атомов светящегося газа также
вызывает уширение спектральных линий, что можно использовать для
определения температуры раскаленных газов. Величину
(6.43)
D = 2 0v/c
1
v2
1
Электричество и магнетизм
202
Н.Ф. Шемяков
называют доплеровской шириной спектральной линии (v
наиболее
вероятная скорость).
Американский астроном Э. Хаббл в 1929 г. обнаружил
космологическое красное смещение, состоящее в том, что линии в спектрах
излучения внегалактических объектов смещены в сторону меньших частот
(больших длин волн).
Следовательно,
Мегагалактика расширяется и внегалактические
объекты удаляются от нашей Галактики, и космологическое, красное
смещение есть нечто иное как эффект Доплера.
По закону Хаббла следует, что красное смещение Z галактик растет
пропорционально расстоянию r до них, т. е.
vcos
cz = Hr,
(6.44)
где Н = 50 100 км/(с Мпк) постоянная Хаббла.
Существование этого явления было теоретически предсказано русским
ученым А. А. Фридманом в 1922 г. на основе развития общей теории
относительности.
Существование поперечного эффекта Доплера было доказано
экспериментально Г. Айвсом и Д. Стилуэллом (1938 1941 гг.).
Эффект Доплера нашел широкое применение в науке и технике. На
основании доплеровского смещения линий в спектрах звезд, туманностей и
др. светящихся объектов космического пространства можно определить
лучевые скорости vcos этих объектов по отношению к Земле.
На эффекте Доплера основаны радиолокационные и лазерные методы
измерения скоростей, движущихся автомобилей, самолетов и т. д.
Лазерная анемометрия является незаменимым методом изучения
потоков жидкостей и газов.