1.14. Скалярное умножение векторов

1.14. Скалярное умножение векторов. Изучим еще одну операцию с векторами. Эта
операция возникает, в частности, при решении такой важной физической задачи, как задача о
механической работе А, совершаемой силой f при перемещении s некоторого тела (рис.1.50).
Рис.1.50
Известно, что работа А вычисляется по формуле
А=⎟ f ⎟⎟ s ⎟ cosϕ,
(23)
где ϕ - угол между векторами f и s . Число ⎟ f ⎟⎟ s ⎟ cosϕ называется скалярным
произведением этих векторов.
Итак, скалярным произведением двух ненулевых векторов называется
произведение их модулей и косинуса угла между ними (рис.1.51).
Рис.1.51
r
r
Скалярное произведение векторов а и b обычно обозначают а ⋅ b . Таким образом, по
определению
r
r
а ⋅ b =⏐ а ⏐⏐ b ⏐ cosϕ,
(24)
r
где ϕ=∠ а b .
r
r
Если хотя бы один из векторов а , b - нулевой, то полагают а ⋅ b =0.
Отметим два важных частных случая.
r
r
1) а = b . Если вектор а - ненулевой, то угол ϕ=0о, cosϕ=1 и из (23) следует, что
r r
r 2
r r
r
а ⋅ а =⏐ а ⏐ . Произведение а ⋅ а обозначается а 2 и называется скалярным квадратом вектора
r
r r
r
а . Итак, а ⋅ а =⏐ а ⏐2.
r
2) Для ненулевых векторов их скалярное произведение а ⋅ b =0 тогда и только тогда,
r
когда векторы а и b - взаимно перпендикулярны. Действительно, из равенства (24) следует, что
r
а ⋅ b =0 тогда и только тогда, когда cosϕ=0, т.е. тогда и только тогда, когда ϕ=90о.
Операция скалярного умножения векторов позволят находить длины векторов по
формуле
r
⏐ а ⏐= а ⋅ а
(25)
и угол между векторами, выражая cosϕ из равенства (24).
r
r
Выразим скалярное произведение векторов а и b через их координаты. Пусть а =(х1, у1)
r
r
и b =(х2, у2). Отложим эти векторы от начала координат: ОА = а и ОВ = b . Если векторы а и
b неколлинеарны, то получим треугольник ОАВ, угол ϕ которого при вершине О равен углу
r
между векторами а и b (рис.1.52).
Рис.1.52
По теореме косинусов
АВ2=ОА2+ОВ2-2ОА⋅ОВ cosϕ.
(26)
r
r
Произведение ОА⋅ОВ cosϕ= а ⋅ b . Выразим а ⋅ b из равенства (26). Получим
r
1
а ⋅ b = (ОА2+ОВ2- АВ2).
(27)
2
Согласно формуле (19) из п.1.12 для расстояния между точками, имеем
ОА2= х12+ у12, ОВ2= х22+ у22, АВ2=(х2-х1)2+(у2-у1)2.
(28)
Подставив равенства (28) в (27), получим выражение скалярного произведения двух
r
векторов а и b через их координаты:
a ⋅ b = x1 x 2 + y1 y 2
(29)
r
Проверьте самостоятельно, что для коллинеарных векторов а и b , т.е. в случае когда
r
b =α а , формула (29) тоже справедлива.
Словами: скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений
одноименных координат этих векторов.
Из формулы (29) вытекают такие свойства скалярного умножения:
r
r
r
1) а ⋅ b = b ⋅ а для любых векторов а и b ;
r
r
r
2) (α а )⋅ b =α( а ⋅ b ) для любых векторов а и b и любого числа α;
r
r
r
3) ( а + b )⋅ с = а ⋅ с + b ⋅ с для любых векторов а , b и с .
r
Проверим, например, свойство 3. Положим а =(х1, у1) , b =(х2, у2) и с =(х3, у3). Тогда
r
r
а + b = (х1+х2, у1+у2) и ( а + b ) ⋅ с = (х1+х2) х3+( у1+у2) у3= х1х3 + х2х3 + у1у3 + у2у3.
r
r
r
Но и а ⋅ с + b ⋅ с = х1х3 + у1у3 +х2х3 + у2у3. Поэтому ( а + b )⋅ с = а ⋅ с + b ⋅ с .g
Доказанные свойства скалярного умножения вместе со свойствами сложения векторов
позволяют скалярно умножать суммы и разности векторов по правилам обычной алгебры.
Например,
r
r
r
r r
r
r
r
( а + b )2=( а + b )⋅( а + b )= а 2+ а ⋅ b + b ⋅ а + b 2= а 2+2 а ⋅ b + b 2.
Динамические модели
"1_12_Косинус"
"1_13_Определение скалярного произведения векторов"
"1_14_Выражение скалярного произведения через координаты"
Вопросы для самоконтроля
1. Что называется скалярным произведением двух ненулевых векторов?
2. Когда скалярное произведение равно нулю?
3. Как выражается скалярное произведение векторов через их координаты?
4. Какие свойства имеет скалярное умножение? В чем оно похоже на умножение чисел?
А в чем разница?
5. В какой теореме о треугольнике присутствует скалярное произведение?
6. Как зависит знак скалярного произведения от угла между векторами?
7. Чему равно скалярное произведение единичных векторов?
Задачи
Дополняем теорию. 14.1. Докажите, что проекция вектора на ось равна скалярному
произведению этого вектора и единичного вектора оси.
r
r
r
r
r
14.2.Докажите, что: а) а ⋅(х b )=х( а ⋅ b ); б) а ⋅( b + с )= а ⋅ b + а ⋅ с .
r
r
r
r
Работаем с формулой. 14.3. Упростите: а) ( а + b )⋅ ( а - b ); б) ( а + b )2+( а - b )2.
r
r
r
r
14.4.
Преобразуйте
выражения:
а) (2 а + b )⋅( а +2 b );
б) ( а +2 b )⋅( а -2 b );
r
r
r
r
r
r
в) (a + 3b) ⋅ (2a − b) ; г) ( а + b + с )⋅( а - b - с ); д) ( а + b - с )⋅( а - b ); е) ( а + b )⋅( а - b + с ).
Вычисляем. 14.5. Вычислите скалярное произведение двух векторов, если их модули
равны 3 и 4, а угол между ними равен: а) 30о; б) 150о; в) 45о; г) 60о; д) 90о; е) 120о; ж) 135о.
14.6. Дан квадрат АВСD со стороной 2. Вычислите скалярные произведения векторов:
а) АВ и AD ; б) AB и CD ; в) AB и ВС ; г) AB и СА ; д) DB и AC .
14.7. Дан равносторонний треугольник АВС со стороной 2. Точка К – середина его
стороны ВС. Вычислите скалярные произведения векторов: а) AB и ВС ; б) AB и СА ; в) AB и
АК ; г) ВС и АК ; д) СА и АК .
14.8. Вычислите угол между векторами: а) (1, -3) и (2, 6); б) (-2, 2) и (3, 0); в) (3, 4) и
(4, 3); г) (2, -3) и (3, 2); д) (1, 1) и (2, 3).
14.9. а) Найдите вектор, перпендикулярный вектору (3, 4). б) Найдите единичный вектор,
перпендикулярный вектору (3, 4).
14.10. Вычислите длины сторон и углы четырехугольника АВСD с вершинами А(0,1),
В(2, 3), С(4, -3), D(1,-1).
Доказываем. 14.11. Докажите, используя скалярное умножение, что диагонали ромба
взаимно перпендикулярны.
14.12. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме
квадратов его сторон.