Лабораторная работа N 2.6а - Белорусский государственный

Министерство образования Республики Беларусь
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра физики
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2.6а
ИЗУЧЕНИЕ ИНДУКЦИИ
МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ОСИ
СОЛЕНОИДА
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
Минск 2013
1
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2.6а
ИЗМЕРЕНИЕ ИНДУКЦИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
НА ОСИ СОЛЕНОИДА
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
1. Изучить магнитное поле катушки с током. Ознакомиться с одним из
методов измерения индукции магнитного поля.
2. Исследовать зависимость индукции магнитного поля на оси катушки от
координат и силы тока в обмотке.
3. Проверить справедливость принципа суперпозиции магнитных полей.
4. Изучение эффекта Холла.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
2.6.1. Основные понятия и величины
Магнитным полем B называют силовое поле, действующее на
движущуюся в нем заряженную частицу с силой F qV B , где V скорость
частицы, q ее заряд.
Источниками магнитного поля являются движущиеся заряды (токи) и
изменяющиеся со временем электрические поля.
Принципиальное отличие магнитного поля от электростатического и
гравитационного полей состоит в его непотенциальности:

 
rot B( r )
0 j ( r ),
для электрического поля:
 
rotE( r ) 0.
Векторное поле, ротор которого не равен тождественно нулю, называется
вихревым. Таким образом, магнитное поле является вихревым.
Линия,
 
касательная к которой в некоторой точке содержит вектор B( r ) , называется
силовой линией магнитного поля. Силовые линии магнитного поля замкнуты.
В общем случае магнитная индукция является
функцией координат и


времени, т.е. B B( x, y, z, t ) B(r , t ) . Если B B( r , t ) , то магнитное поле


называется нестационарным. В случае B B( r ) магнитное поле называют
 
стационарным, или статическим. Если же в любой точке r r ( x, y, z)

B const , то магнитное поле называют однородным.
Магнитного аналога электрическому заряду в природе не существует.
Пробным объектом, пригодным для определения и измерения магнитного поля,
может быть элементарный контур с током, магнитным полем которого можно
пренебречь (рис. 2.6.1).

pm

n
S
I
Рис. 2.6.1
2
Контур должен иметь малые размеры по сравнению с расстояниями, на
которых магнитное поле заметно изменяется.

Магнитный момент p m пробного контура с током I, ограничивающего
поверхность площадью S, равен


p m ISn ,

где n – единичный вектор положительной нормали к контуру, направление
которого связано с направлением тока I в контуре правилом правой руки (или
правого винта): если четыре пальца правой руки согнуть по направлению тока I
в контуре, то отогнутый большой палец укажет направление положительной

нормали n . Размерность [pm] = А·м2 (ампер на метр в квадрате).
2.6.2. Свойства магнитных полей
Магнитное поле может существовать как в вакууме, так и в любом
веществе. При этом магнитное поле, созданное в различных веществах, может
быть сильнее или слабее, чем поле, созданное теми же источниками в вакууме.
Поля, силовые линии которых замкнуты, называются вихревыми.
Для магнитных полей, справедлив принцип суперпозиции:
Магнитная индукция поля создаваемого N источниками, равна
векторной сумме магнитных индукций полей, создаваемых каждым
источником в отдельности (т.е. при отсутствии всех других):
N 
 

B( r , t )
Bi ( r , t ) .
i 1
Магнитное поле, так же как и электрическое, можно изображать
графически при помощи линий
 индукции – воображаемых линий, касательные
к которым содержат вектор B в данной точке поля (рис. 2.6.2). Подобно линиям
напряженности электрического поля линии магнитного поля проводят с такой
густотой, чтобы число линий, пересекающих единицу поверхности,
перпендикулярную к ним, было равно (пропорционально) индукции
магнитного поля (магнитному потоку) в данном месте.
I
I
r1 r2 r3 r

B(r3 )

B
(r2 )

B(r1 )
Прямой проводник с током
I
I
Кольцевой проводник с током
Соленоид
Рис. 2.6.2
На примере прямого провода с током (рис. 2.6.2) можно видеть, что
линии индукции магнитного поля представляют собой замкнутые
3
концентрические окружности. Эрстед назвал такие воображаемые линии
вихрями.
Вспомним, что линии напряженности электрического поля разомкнуты,
они начинаются на положительных зарядах (заряженных телах), а
заканчиваются на отрицательных. Такое векторное поле мы называем
потенциальным.
Поскольку линии индукции магнитного поля не прерываются, то (по
этому случаю) все векторные поля, обладающие непрерывными линиями,
называют соленоидальными (вихревыми). В этой ситуации нет оснований
говорить о магнитных зарядах. Магнитную среду такие линии пронизывают,
также не прерываясь.
2.6.3. Закон Био–Савара–Лапласа и его применение к расчету поля
Для расчета индукции магнитного поля тонкого провода вводится

понятие вектора элемента тока Idl , направление, которого совпадает с
направлением тока в проводнике, а модуль равен произведению силы тока на
малый элемент длины проводника (рис. 2.6.3).
Рис. 2.6.3
Поле, создаваемое элементом тока Idl в точке P, находящейся на
расстоянии R от него равно
 

0 I [dl , R]
dB
.
(2.6.1)
4
R3
Формулa (2.6.1)
 выражаeт закон Био-Савара-Лапласа.
Тогда поле B , создаваемое всем проводником с током, в соответствии с
принципом суперпозиции определяется интегрированием (2.6.1) по всему
проводнику:
I dl R
.
4 L R3
0
B
(2.6.2)
Применяя закон Био-Савара-Лапласа, можно найти магнитное поле на оси
круглого витка радиуса R с током I на расстоянии z от его центра.
B
Bz
0
2( z 2
4
IR 2
.
R 2 )3/ 2
(2.6.3)
2.6.4. Поле катушки с током конечной длины
C помощью (2.6.3) и принципа суперпозиции магнитных полей найдем
поле на оси катушки. Пусть длина катушки L, общее число витков N, радиус
каждого витка R.
Y
L
0
x
x0
X
dx
Рис. 2.6.4
Рассмотрим, настолько малый элемент длины катушки dx, чтобы число
витков dN, расположенных на этом элементе, можно было рассматривать как
один тонкий виток с током. Систему координат выберем так, как показано на
рис. 2.6.4. Координата центра выбранного элемента соленоида x. В этом
N
элементе течет ток dI = Id(nx)=Indx = I L dx (I – ток в одном витке, n – число
витков на единицу длины катушки). В точке на оси с координатой x0 ( = 1)
выбранный элемент создает магнитное поле
R 2 dI
nIR 2 dx
0
0
.
(2.6.4)
dB( x 0 )
2[R 2 ( x x 0 ) 2 ]3 / 2 2[R 2 ( x x 0 ) 2 ]3 / 2
Для нахождения значения магнитной индукции в точке x0 необходимо
проинтегрировать выражение (2.6.4) по x от 0 до L:
L
0
B( x 0 )
0
2[R
2
nIR 2 dx
( x x 0 ) 2 ]3 / 2
nI
2
L
0
R
2
x0
(L
x0
x0 )
2
R2
x0
2
. (2.6.5)
Формула (2.6.5) позволяет вычислить значение магнитной индукции в
любой точке оси однослойной катушки. Если провод намотан в несколько
слоев, то индукция магнитного поля в любой точке оси x выражается формулой
R2
R 22 (L x 0 ) 2
R2
R 22 x 02
nIk
0
B( x )
(L x 0 )ln
x 0ln
, (2.6.6)
2(R 2 R1 )
R1
R12 (L x 0 ) 2
R1
R12 x 02
где k – число слоев, R1 и R2 – внутренний и внешний радиусы намотанного
провода.
2.6.5. Измерение индукции магнитного поля
Для практического измерения величины индукции магнитного поля на
оси соленоида используется так называемый датчик Холла. Принцип работы
датчика основан на явлении, которое открыл в 1879 г. Э. Холл (Холл Эдвин
Герберт (1855 – 1938), американский физик).
Э. Холл
 обнаружил, что в металле (или в полупроводнике) с током
плотностью j , помещенном в магнитное поле, возникает электрическое поле


E , линии которого перпендикулярны линиям индукции B магнитного поля и
вектору плотности тока.
5
Рассмотрим однородную пластинку, которая имеет вид параллелепипеда
размерами а, b, d и расположенную
 в однородном магнитном поле так, что
вектор индукции магнитного поля B перпендикулярен вектору плотности тока
(рис. 2.6.5).
Если пластинка металлическая, то свободными носителями тока являются
электроны, на которые в магнитном поле действует
силa Лоренца:
 
Fm = e[ v, B ],
где e =1,6 10-19 Кл элементарный заряд.

Смещение свободных электронов под действием Fm приводит к
увеличению их концентрации у верхней грани пластинки и уменьшению
концентрации электронов у нижней грани пластинки. Поэтому между верхней и
нижней гранями пластинки возникает
дополнительное поперечное

электрическое поле с напряженностью E , направленной снизу вверх
(рис. 2.6.5).
Y

Fm
1
a

E

j
d

v

B

j
X
0
2

Fe
b
Z
Рис. 2.6.5
Стационарное распределение зарядов в поперечном направлении

установится при таком значении напряженности электрического поля E , что
его действие на заряды будет уравновешивать магнитную составляющую силы
Лоренца.
Для измерения магнитного поля измеряют разность потенциалов между
гранями пластинки. Поперечную разность потенциалов
= 1
2 можно
вычислить из условия установившегося стационарного распределения зарядов:
eE = e( 1
2)/a = evB,
откуда
1
2 = vBa,
где а высота пластинки.
Учитывая, что сила тока в пластинке
I jS envS ,
где S = ad площадь поперечного сечения пластинки, получим
6
1
2
Величина R = 1/ne
Окончательно получим
I
Ba
enS
1 IBa
en ad
1 IB
en d
R
IB
,
d
(2.6.7)
постоянная Холла, зависящая от вещества.
IB
.
d
Поскольку разность потенциалов пропорциональна индукции магнитного
поля, то в измерительной технике используются датчики Холла
для измерения индукции магнитного поля B.
1
R
2
2.6.6. Описание установки
Измерительный блок (система регистрации) лабораторной установки
представляет собой микропроцессорную систему. Измерение выходного
значения напряжения с интегрального датчика Холла производят с помощью
аналого-цифрового преобразователя (АЦП) в каждом положении датчика.
Датчик Холла в виде тоненькой пластинки из полупроводника
прикреплен на торце штока, который перемещается внутри соленоида (рис.
2.6.8) автоматически с шагом 1 или 10 мм.
Рис. 2.6.8
Внешний вид передней панели установки представлен на рисунке 2.6.9.
На экран графического дисплея с разрешением 320х240 точек выводится
зависимость индукции магнитного поля от положения датчика внутри
соленоида или от силы тока при фиксированном положении датчика.
Установка может работать в двух автоматических и одном ручном
режимах.
В первом автоматическом режиме двигатель перемещает датчик Холла на
штоке внутри соленоида. При этом на графическое табло выводится график
зависимости индукции от расстояния, а на числовое табло – соответствующие
значения этих величин.
7
ЭКРАН
Режим
Ход
Шаг
Ход
1 / 10
I1
Обзор
I2
Печать
Сброс
Ввод
Рис. 2.6.9
Во втором автоматическом режиме при фиксированном положении
датчика, выбранном и введенным с помощью рукоятки на панели, изменяется
значение силы тока в катушке с шагом 0,08 А, а на экран выводится график
зависимости величины индукции магнитного поля от тока.
В ручном режиме работы установки соответствующими клавишами по
экрану передвигается реперная линия с заданным шагом, а на цифровом табло
высвечиваются соответствующие значения величин.
8
Задание
1. Подключить лабораторную установку в сеть, нажав выключатель на
задней панели.
2. Переключателем Режим на передней панели включить Режим 1 по
изучению зависимости индукции магнитного поля на оси первой катушки от
расстояния от ее края. На экране графического дисплея высветится надпись
I
I
Mode 1. Кнопками 1 и 2 установить силу тока в обмотках I1 1A и I 2 0 A .
Кнопкой «ввод» запустить работу установки в заданном режиме.
3. Подождать до окончания работы установки и высвечивания на экране
графического дисплея графика процесса. C помощью клавиши
установить шаг, с которым будет двигаться реперная линия, 10 мм или 1мм.
Клавиши  и  управляют движением реперной линии по экрану. Передвигая
реперную линию, снять показания прибора и построить график зависимости
магнитной индукции от расстояния.
4.
С помощью этих же клавиш установить реперную линию на графике
в положениях, соответствующих максимальному и половине максимального
5. значениям индукции. Выписать соответствующие значения величин с
экрана цифрового дисплея.
6. Вычислить по формуле (2.6.6) соответствующие значения магнитной
индукции и сравнить с измеренными экспериментально. Параметры катушки:
n = 2000 м-1, L = 10 мм, k = 50, R1 = 25 мм, R2 = 50 мм.
7. Кнопкой «сброс» подготовить установку к работе.
8. Повторить пункты 2-6 для второй катушки, установив силу тока в
обмотках I1 0 A и I 2 1A .
9. Повторить пункты 2-6 для двух катушек, установив силу тока в
обмотках I1 1A и I 2 1A . Сравнив графики, полученные в п.3 и п.7 с п.8
проверить справедливость принципа суперпозиции магнитных полей.
10. Переключателем на передней панели включить Режим 2 по изучению
зависимости индукции магнитного поля в фиксированном положении датчика
от силы тока в катушке. C помощью клавиши
установить шаг, с которым
Ход
Ход
будет двигаться датчик. С помощью клавиш
и
установить датчик
в положение, где индукция магнитного поля имеет значение, равное половине
от максимального. Кнопкой «ввод» запустить работу установки в заданном
режиме.
11. Подождать до окончания работы установки и высвечивания на экране
графического дисплея графика процесса. Передвигая реперную линию (как в
п.3) снять показания прибора и построить график зависимости магнитной
индукции от силы тока.
12. Повторить работу в положении переключателя Режим 2 при
расположении датчика внутри катушки, где магнитное поле имеет
максимальное значение. Сравнить полученные результаты для двух положений
датчика.
9
Содержание отчета
1. Формулировка цели работы.
2. Приборы и принадлежности, используемые в процессе выполнения
работы (в виде таблицы).
3. Схема используемой установки.
4. Рабочие формулы.
5. Результаты измерений и расчетов (в виде таблиц).
6. Графический материал, полученный в результате проведенных
измерений и расчетов.
6. Выводы по работе, окончательные результаты.
Контрольные вопросы
1. Дать определение магнитного поля. Назвать его источники.
Сформулировать принцип суперпозиции магнитных полей.
2. Написать и проанализировать выражение для электромагнитной силы,
действующей на движущийся заряд q.
3. Записать
закон Био Савара Лапласа. Как определить направление

вектора B ?
4. Используя закон Био Савара Лапласа и принцип суперпозиции
магнитных полей, получить формулу (2.6.3).
5. Перечислить все физические явления, лежащие в основе предложенного
метода исследования магнитного поля катушек.
6. В чем заключается сущность эффекта Холла? Как объяснить
возникновение холловской разности потенциалов с точки зрения электронной
теории? Вывести формулу для ЭДС Холла.
Литература
1. Иродов И. Е. Основные законы электромагнетизма. / И. Е. Иродов – М.
Высш. шк., 1983. С. 226 – 228.
2. Савельев, И. В. Курс общей физики. В 5 кн. / И. В. Савельев. – М. :
Астрель, АСТ, 2004.
3. Сивухин, Д. В. Общий курс физики. В 5 т. / Д. В. Сивухин. – М.
Физматлит, МФТИ, 2002 – 2005.
10