В ядре - Ядерная физика в интернете

Атомное ядро –
связанная
система
протонов и
нейтронов
(A,Z)
Z – заряд ядра – число протонов в ядре.
А – массовое число – суммарное число
протонов и нейтронов в ядре.
A=Z+N
N – число нейтронов в ядре
40Ca
Характеристики протона,
нейтрона и электрона
Характеристика
Протон
Нейтрон
Электрон
938.272
939.565
0.511
Электрический заряд
(в единицах
элементарного заряда)
+1
0
−1
Спин (в единицах ћ)
½
½
½
Чётность
+1
+1
Масса mс2, МэВ
Статистика
Ферми-Дирака
Магнитный момент
(для нуклонов - в
ядерных магнетонах,
для электрона - в
магнетонах Бора)
+2.79
Время жизни
> 1032
лет
Тип распада
−1.91
+1.001
>4.6⋅1026
885.7±0.8 с
лет
n → p+e−+ν е
N-Z диаграмма
атомных ядер
Каждое атомное ядро, имеющее Z протонов и N
нейтронов, занимает определенное положение на
N-Z диаграмме атомных ядер. Стабильные ядра,
образующие узкую полосу, показаны тёмным цветом.
Известно порядка 300 стабильных ядер. Красным
+
цветом показаны β -радиоактивные ядра, синим —
β − -радиоактивные ядра, желтым — α -радиоактивные
ядра. Известно около 3500 радиоактивных ядер. Это
только часть радиоактивных ядер. Всего их может
быть порядка 7000.
Атомные ядра
Стабильные ядра
известно около 300 стабильных ядер
Радиоактивные ядра
известно около 3000 радиоактивных ядер
Изотопы Ядра с одинаковым Z
Изобары Ядра с одинаковым A
Каждому ядру соответствует определённое положение на
N,Z диаграмме. Стабильные и долгоживущие ядра
образуют узкую полосу, называемую линией или долиной
стабильности.
Легкие стабильные ядра (А < 40) имеют приблизительно
равные числа нейтронов и протонов. В области более
тяжелых ядер отношение числа нейтронов к числу
протонов начинает возрастать и достигает величины 1.6 в
районе А = 250. Это изменение отношения N/Z обусловлено
короткодействующим
характером
ядерных
сил
и
возрастающей
ролью
кулоновского
отталкивания
протонов с ростом А. Тяжелые ядра оказываются
энергетически более устойчивыми, если содержат
большее число нейтронов N по сравнению с числом
протонов Z. Наиболее тяжелыми стабильными ядрами
являются изотопы свинца (Z = 82) и висмута (Z = 83). Для
ядер долины стабильности характерно следующее
отношение числа нейтронов к числу протонов:
N
2/3
≈ 1 + 0.015·A
Z
Вопрос
До открытия нейтрона считали, что
ядро состоит из A протонов и
( A − Z ) электронов.
Какие факты опровергают эту
гипотезу?
Размер
атомного ядра
Размер ядра
Радиальное распределение плотности заряда
в различных ядрах
ρ (r ) =
ρ (0)
1+ e
r −R
a
R = 1.2⋅A1/3 Фм
t = 4.4a = 2.5 Фм
Размер ядра
Плотность распределения электрического заряда
ρ (r ) , обеспечивающая наилучшее согласие с
экспериментом даётся формулой Ферми
ρ (r ) =
ρ (0)
1+ e
r −R
a
R — расстояние от центра, на котором ρ =
a — параметр, характеризующий толщину
поверхностного слоя ядра.
R = 1.2⋅A1/3 Фм
t = 4.4a = 2.5 Фм
R( 40Ca)=4.1 Фм
R(208Pb)=7.1 Фм
ρ (0)
2
;
Масса
атомного ядра
Масса атомного ядра
Основные методы определения масс ядер.
• Метод магнитного анализа. Магнитная жесткость B ρ , масса
ядра M , его скорость V и заряд Q связаны соотношением
Bρ =
MV
.
Q
B - напряженность магнитного поля,
ρ - радиус поворота иона в магнитном поле.
• Метод времени пролета. Масса иона определяется из
соотношения B ρ =
M L
,
QT
T — время пролета расстояния L между детекторами.
• Измерение циклотронной частоты. Частота ω иона,
вращающегося в постоянном магнитном поле B , связана с
его массой M и зарядом Q соотношением
B
ω
=
M
.
Q
• Измерение энергии реакции Q .
В двухчастичной реакции A + a → B + b массы ядер связаны
соотношением M A + M a = M B + M b +
Q
. Если известны
2
c
массы трех частиц, то масса четвертой частицы
определяется по результатам измерения энергии реакции Q
• Измерение α -спектров. Для α -радиоактивных ядер масса
ядра определяется из анализа энергетических спектров
α -частиц.
A → B +α ,
M A = M B + Mα +
Q
,
c2
Eα = Q
MB
.
MA
• Измерение энергии β -распада Qβ . Масса ядра,
испытывающего β -распад, определяется из соотношения
A → B + e (e ) + ν (ν ) ,
−
+
M A = M B + me +
Qβ
c2
.
Масса атомного ядра
Масса m и энергия покоя E частицы
связаны соотношением
E = mc 2 .
Когда протон и нейтрон соединяются в ядро
дейтрон, происходит рождение γ -кванта с
энергией 2,2 МэВ.
p + n → d + γ (2, 2 МэВ)
Т.е. энергия дейтрона на 2,2 МэВ меньше
суммы энергий покоя протона и нейтрона.
Следовательно, масса дейтрона меньше
суммы масс протона и нейтрона на 2,2 МэВ/с2.
Зная величины m p , mn и md , можно
определить величину энергии выделяющейся
при слиянии протона и нейтрона в дейтрон.
Источником энергии, выделяющейся на
4
Солнце, является образование ядра He при
слиянии 4 протонов.
4 p → He + 2e + 2ν e
4
ядра
He на 0,6% меньше
4
+
массы
Масса
4
четырёх протонов. В результате синтеза He
в процессе
4 p → 4 He + 2e + + 2ν e
выделяется энергия E ≈ 25 МэВ.
Энергия связи
ядра
Энергия связи ядра W(A,Z)
Энергия связи ядра W(A,Z) –
энергия,
которую
необходимо
затратить
для
того,
чтобы
разделить
атомное
ядро
на
отдельные
составляющие
его
нейтроны и протоны.
M ( A, Z )c + W ( A, Z ) =
2
= Z ⋅ m p c + ( A − Z )mn c
2
2
Энергия связи ядра
В таблицах свойств атомных ядер часто
приводятся не массы атомных ядер M ядра , а
массы нейтральных атомов M ат . M ядра и M ат
связаны между собой соотношением
M ядра = M ат − Zme ,
Zme
— полная масса электронов атома,
соответствующего данному ядру.
Энергией связи электронов с ядром можно
пренебречь, т.к. она значительно меньше
энергии связи нуклонов в ядре.
Формулу энергии связи ядра
W ( A, Z ) = ⎡⎣ Zm p + ( A − Z )mn ⎤⎦ c 2 − M ядра ( A, Z )c 2
можно переписать в виде
W ( A, Z ) = Z (mn − me )c 2 − ( A − Z )mn c 2 − ( M ат − Zme )c 2
или
W ( A, Z ) = [ Zmн + ( A − Z ) mn ] с 2 − M ат c 2 .
Атомная единица массы.
Дефект массы
Атомная единица массы (а.е.м.) равна
1/12 массы атома углерода 12С.
−24
1 а.е.м. = 1,6582 ⋅10
или
931,44 МэВ.
г
Разность Δ между массой ядра в
атомных
единицах
массы
и
его
массовым числом называется дефектом
массы
Δ=
M
1
12
M ( C)
12
−A
.
Удельная энергия связи ядра ε(A,Z)
Удельная энергия связи ядра ε (A,Z) – средняя
энергия связи, приходящаяся на один нуклон.
W(A, Z)
ε(A, Z) =
A
Зависимость удельной энергии связи ε = W/A от
массового числа А
Пример
Масса нейтрального атома 16O
Mат. ( A, Z ) = 15,9949 а.е.м. Определить удельную
энергию связи ε ядра 16O.
Удельная энергия связи ядра
Eсв. ( A, Z )
ε ( A, Z ) =
, где Eсв. ( A, Z ) — энергия связи
A
ядра, A — массовое число. Полная энергия связи
ядра
Eсв. ( A, Z ) = ⎡⎣Zmp + ( A − Z )mn − M я ( A, Z )⎤⎦ c2 =
= ⎡⎣Zmp + ( A − Z )mn − Mат. ( A, Z ) − Zme ⎤⎦ c2 .
Используя энергетические единицы для масс
1 а.е.м.= 931,49 МэВ, получаем для ядра 16O
ε=
Zmp + ( A − Z )mn − Mат. ( A, Z ) − Zme
=
A
8 × 938,27 МэВ + (16 − 8) × 939,57 МэВ −15,9949 × 931,49 МэВ − 8 × 0,511 МэВ
=
=
16
= 7,5 МэВ/нуклон.
Энергия связи ядра W(A,Z)
Энергия связи ядра W(A,Z) – энергия, которая
необходима для того, чтобы разделить ядро
на отдельные составляющие его нуклоны.
W ( A, Z ) = αА − β А
23
Z ( Z −1)
−γ
A1 3
A − 2Z )
(
+ ζ А−3 4
−δ
2
A
α = 15.6 МэВ,
β = 17.2 МэВ,
γ = 0.72 МэВ,
δ = 23.6 МэВ.
ζ = +34 МэВ – чётно-чётные ядра;
ζ=
0
– нечётные ядра;
ζ = −34 МэВ – нечётно-нечётные ядра.
W(A,Z)
ε (A,Z)=
A
Энергия связи ядра
W ( A, Z ) = αА − βА
23
Z (Z − 1)
(
A − 2Z )2
−3 4
−γ
−
δ
+
ζ
А
A
A1 3
Объемная энергия
Если пренебречь быстрым уменьшением удельной
энергии связи в легчайших ядрах и медленным в
тяжелых, можно считать, что в первом приближении
удельная энергия связи для большинства ядер
остается постоянной. Поэтому энергия связи
большинства ядер приближенно пропорциональна
числу нуклонов:
Wобъемная = α A ,
α − коэффициент пропорциональности. Это далеко
идущее утверждение о линейной зависимости энергии
связи от А, означает, во-первых, что ядерные силы,
удерживающие
нуклоны
вместе,
обладают
свойством насыщения, при котором каждый нуклон
имеет только одну связь, с помощью которой он
может взаимодействовать с другими нуклонами.
Если бы нуклон обладал несколькими такими
связями, то зависимость энергии связи от А
неизбежно была бы нелинейной, по крайней мере
квадратичной, поскольку число взаимодействующих
пар равнялось бы А(А-1)/2. Плотность ядра при
насыщающих ядерных силах не должна зависеть от
числа нуклонов и, следовательно, объём ядра должен
быть
приближенно
пропорциональным
его
массовому числу А.
1/ 3
R∼ A
Энергия связи ядра
W ( A, Z ) = αА − β А
23
Z ( Z − 1)
(
A − 2Z )2
−3 4
−γ
−
δ
+
ζ
А
A
A1 3
Поверхностная энергия
Существование поверхности должно уменьшать
энергию связи, так как связи нуклонов вблизи
поверхности насыщаются меньше, чем внутри
ядра. Поверхностная энергия тем больше, чем
больше поверхность ядра, и записывается в
виде
Eповерхностная = β А
23
.
Энергия связи ядра
W ( A, Z ) = αА − β А
23
(
Z (Z − 1)
A − 2Z )2
−3 4
−γ
−
δ
+
ζ
А
A
A1 3
Кулоновская энергия
Кулоновское отталкивание протонов уменьшает
энергию ядра. Для ядра с равномерным
распределением протонов по объёму энергия
кулоновского отталкивания пропорциональна
Z ( Z − 1) / R или Z ( Z − 1) / A1/ 3 . Кулоновская энергия
записывается в виде
Eкулоновская
Z ( Z − 1)
=γ
13
A
Энергия связи ядра
W ( A, Z ) = αА − β А 2 3 − γ
Z ( Z − 1)
( A − 2 Z ) + ζ А −3 4
δ
−
A
A1 3
2
Энергия симметрии
Энергия симметрии является следствием
действия принципа Паули для тождественных
фермионов. В состав ядра входят фермионы
двух типов – протоны и нейтроны. Если,
например, попытаться создать устойчивое
ядро только из А нейтронов, то нужно будет
разместить
их
по
самым
нижним
энергетическим состояниям. Поскольку лишь
ограниченное число фермионов каждого сорта
могут занять определенный энергетический
уровень, то часть нейтронов придется
поместить на уровни, лежащие при более
высоких энергиях. Это уменьшает энергию
связи ядра по сравнению с тем случаем, когда
ядро из А нуклонов содержит одинаковые
количества протонов и нейтронов, на
величину энергии симметрии
Eсимметрии = δ ( A − 2Z )
2
A.
Энергия связи ядра
Энергия спаривания
В зависимости энергии связи от А наблюдаются
«пульсации» на уровне 1-3 МэВ, которые объясняются
специфическим свойством взаимодействия в системе
связанных нуклонов. В атомных ядрах возникает
дополнительная связь между двумя нуклонами одного
типа (двумя протонами или двумя нейтронами),
занимающими один и тот же энергетический уровень.
Этот эффект, называемый спариванием, невелик − чтобы
разорвать эту дополнительную связь нужна энергия
≈ 1-3 МэВ
Наличие сил спаривания разбивает все ядра на три
группы:
− чётно-чётные ядра. Все нуклоны в основном
состоянии спарены и положительная добавка к энергии
связи за счёт этого наибольшая;
− нечётно-нечётные ядра. В основном состоянии не
спарены по одному нуклону каждого типа и добавка к
энергии связи наименьшая;
− нечётные ядра. В основном состоянии не спарен
один нуклон.
Ярким проявлением сил спаривания является то, что
среди 300 стабильных ядер почти 2/3 являются чётночётными, а нечётно-нечётных всего четыре
14
2
10
6
N
H
1
3 Li 5 B 7
Энергию спаривания записывают
нечётных ядер она была равна нулю.
так,
Eспаривания = ζ А
чтобы
−3 4
.
для
Магические
числа
Энергия связи ядра
Формула
W ( A, Z ) = α A − β A
2/3
Z ( Z − 1)
( A − 2Z )2
−3/ 4
−γ
−
+
A
δ
ς
A1/ 3
A
позволяет по известным значениям A и Z вычислить
энергию связи ядра с точностью ≈10 МэВ. При A = 100 это
даёт
относительную
ошибку
Наибольшее
≈ 10−2 .
расхождение с экспериментом Δ обнаруживается в районе
магических чисел. Это указывает на важность учёта
оболочечной структуры атомных ядер.
Магические числа
2, 8, 20, 28, 50, 82, 126
Магические ядра
Магические ядра — это ядра, в которых
число протонов Z или нейтронов N равно
одному из магических чисел.
Z , N = 2, 8, 20, 50, 82
N = 126
Магические ядра отличаются повышенной
устойчивостью, большей
распространенностью.
Энергии
отделения
нейтрона,
протона, двух нейтронов вблизи магических
чисел имеют характерные особенности.
Существование
магических
ядер
послужило одним из основных аргументов в
построении оболочечной модели ядра.
Ядра
имеющие
одновременно
магические числа N и Z называют дважды
магическими.
Так,
например,
дважды
40
магическими ядрами являются ядра
Ca
208
( N = Z = 20 ) и
Pb ( Z = 82, N = 126 ).
Энергия α-распада Qα(A,Z)
Зависимости энергии α-распада Eα изотопов
Z = 85, 87, 89, 91, 93 от числа нейтронов в ядре.
Энергия отделения двух
нейтронов E2n(A,Z)
Зависимость энергии отделения двух
нейтронов E2n(A,Z) изотопов
Z = 55, 57, 59, 61, 63, 65 от числа
нейтронов в ядре.
Вопрос
Получите соотношение,
связывающее массовое число A и
заряд Z для ядер расположенных
в долине стабильности.
Энергия
отделения
нуклона
Энергия отделения нуклона
Энергию отделения нуклона определяют через
энергию связи ядра.
Отделению нейтрона отвечает процесс
(А, Z) → (А−1, Z) + n.
Энергия, необходимая для этого, определяется
разностью масс начального ядра и конечных
продуктов (конечного ядра и нейтрона) в
энергетических единицах, т. е.
Bn = [М(А−1, Z) + mn − М(А, Z)]c2 = W(А, Z) − W(А−1, Z).
Аналогично, энергия отделения протона
Bp = [М(А−1, Z−1) + mp − М(А, Z)]c2 = W(А, Z) − W(А−1, Z−1)
Ядро
перестает
быть
связанным
и,
следовательно, существовать, когда энергия
отделения нуклона становится меньше нуля:
Bn < 0,
Bp < 0,
т.е. существование ядра (А, Z) энергетически не
выгодно.
Пример
Массы нейтральных атомов в атомных единицах
массы: 16O — 15,9949, 15O — 15,0030,
15
N — 15.0001. Чему равны энергии отделения
нейтрона и протона в ядре 16O?
Энергия отделения нейтрона
ε n ( A, Z ) = mn + M ( A − 1, Z ) − M ( A, Z ) ,
протона — ε p ( A, Z ) = m p + M ( A − 1, Z − 1) − M ( A, Z ) .
В обеих формулах массы должны быть в
энергетических единицах.
Для ядра 16O
ε n = 939,6 МэВ +
+(15,0030 а.е.м. − 15,9949 а.е.м.) × 931,5 МэВ = 15,6 МэВ;
ε p = 938,3 МэВ +
+ (15,0001 а.е.м. − 15,9949 а.е.м.) × 931,5 МэВ = 11,6 МэВ.
Вопрос
Вычислите энергию отделения
α-частицы (ядра 4He) из ядра (A,Z).
Зеркальные
ядра
Зеркальные ядра
∆Е
Зеркальные ядра — это ядра, имеющие
одинаковое массовое число A и переходящие друг
в друга при замене протонов нейтронами и
нейтронов протонами. Примерами зеркальных ядер
7
7
13
являются ядра Li(3 p 4n) — Be(4 p3n) , C(6 p 7 n)
13
— N(7 p 6n) . Так как сильные взаимодействия
обладают свойством изоспиновой инвариантности,
свойства зеркальных ядер близки. Так, например,
они имеют похожие спектры возбужденных
состояний — практически одинаковые энергии
возбуждения, одинаковые значения квантовых
чисел спина J и четности P . Различие в массах
зеркальных
ядер
обусловлено
различием
кулоновской энергии и разностью масс нейтронов и
протонов.
Пример
Считая,
что
разность
энергий
связи
зеркальных ядер определяется только различием
энергий кулоновского отталкивания в этих ядрах,
вычислить радиусы зеркальных ядер 23Na, 23Mg.
Eсв ( 23 Na) = 186,56 МэВ, Eсв ( 23 Mg) = 181,72 МэВ.
Кулоновская энергия равномерно заряженного
шара радиуса R определяется соотношением
3 Z ( Z − 1)e 2
Ec =
. Обозначим заряд ядра 23Na как Z ,
R
5
23
а ядра Mg — как Z + 1. Тогда разность энергий
связи ядер 23Na и 23Mg будет
3 2 Ze 2 6 Ze 2
ΔEсв = Eсв ( A, Z ) − Eсв ( A, Z + 1) = −ΔEc =
=
.
5 R
5 R
Для радиуса ядра получаем
6 Ze 2
6 × 11× 1, 44 МэВ ⋅ Фм
R=
=
≈ 3,9 Фм.
5 ΔEсв 5 × (186,56 − 181,72) МэВ
На
основе
эмпирической
R = 1, 2 A1/ 3 Фм получаем
зависимости
23
1/ 3
R ( 12
Mg ) = R ( 23
Na
=
1,
2
×
23
= 3, 4 Фм.
)
11
Пример
Разность энергий связи ядер 7Li и 7Be равна ΔW
3
4
= 1.7 МэВ. Определить радиус этих ядер.
Из формулы для энергии связи ядер следует,
что энергии связи ядер 7Li и 7Be отличаются
3
4
кулоновской энергией Екул = γ⋅Z(Z−1) А−1 3.
Заменим А−1 3 = 1.2Фм⋅ R−1.
Радиус ядер 37Li и 47Be зависит только от А.
Поэтому разность энергий связи ΔW ядер 7Li и
3
7Be , равная разности кулоновских энергий:
4
γ
R
Откуда
ΔW = Екул (Be) − Екул (Li) =
(1.2Фм)[Z Be (Z Be − 1) − Z Li (Z Li − 1)] =
γ
= R (1.2Фм) ⋅ 6
6γ
0.72МэВ ⋅1.2Фм ⋅ 6
1.2
Фм
=
R( Li, Be) = ΔW
≈ 3 Фм.
1.7 МэВ
Пример
Оценить плотность ядерной материи.
Масса
одного
нуклона
в
ядре
Плотность
mN = 1 а.е.м. = 1,66 ⋅10−24 г .
ядерной материи есть масса ядра, деленная
на его объем
mN A
3mN A
3 × 1,66 ⋅10−24 г
=
=
=
ρ=
3
−13
3
4 3 4π r0 A 4 × 3,14 × (1,3 ⋅10 см)
πR
3
млн. тонн
14
3
= 1,8 ⋅10 г/см = 180
.
3
см
Плотность ядерной материи не зависит
от A .
Дейтрон
Дейтрон
Дейтрон — связанная система,
состоящая из одного протона и одного
нейтрона.
D≡ H
2
1
Энергия связи дейтрона
W = ε p = ε n = 2, 2 МэВ
Спин J, чётность P дейтрона
+
J =1
P
Магнитный момент дейтрона
μ = 0,86 μ яд
μ
Квадрупольный момент дейтрона
Q0 = +0, 28 Фм 2
I
I =0
Изоспин дейтрона
Q0
Вопрос
Как определить спин и
энергию связи дейтрона?
Волновая функция дейтрона
V (r ), u (r )
e −γr
Sin kr
u (r )
r, Фм
0
−W
(−2.2 МэВ)
2
4
6
8
− V0
Уравнения Шредингера и его решения для дейтрона
в областях 1 (r < R) и 2 (r > R) имеют вид
d 2u1
2
+
k
u1 = 0,
2
dr
d 2 u2
2
−
γ
u2 = 0,
2
dr
u1 = A sin kr ,
u2 = Ce
−γ r
,
k=
γ=
2 μ (V0 − W )
2 μW
.
.
Радиусом дейтрона называют величину
Rd = 1/ γ ≈ 4,3 Фм,
что наряду со сравнительно малой величиной его
энергии связи W ≈ 2.2 МэВ указывает на «рыхлость»
дейтрона. Он имеет такой же радиус, как и ядро с
A = 40-50.
Спиновые состояния дейтрона
J = L p + Ln + s p + sn
L = 0, J = 1
L = 0, J = 0
Состояние отсутствует
Антипараллельные спины нейтрона
и протона в дейтроне s p + sn = 0
невозможны, т.к. в этом случае
L = J = 1 и чётность дейтрона
должна быть отрицательной, что не
соответствует экспериментальным
данным.
Потенциал нуклон-нуклонного
взаимодействия
L = 0, J = 0
Динейтрон не существует
L = 0, J = 0
Дипротон не существует
То, что дейтрон существует в состоянии с
параллельными спинами протона и нейтрона и
не существует связанных состояний двух
нейтронов (динейтрон) и двух протонов
(дипротон) является указанием на то, что
ядерные силы между нуклонами зависят от
спина
V ( r ) = V1 ( r ) + V2 ( r )( s1s2 )
Вопрос
Почему не существует связанных
состояний из двух протонов или двух
нейтронов?
Магнитный момент дейтрона
L=0
μ = μ (g
0
L
)
( p ) Lp + g L (n) Ln + g s ( p ) s p + g s (n) sn =
= μ 0 [ 0 + 0 + 2 ⋅ 2, 79 ⋅1/ 2 + 2 ⋅ (−1,91) ⋅1/ 2] = 0,88μ 0
Отличие рассчитанной величины магнитного момента
μ = 0,88μ 0 в состоянии с L = 0 от экспериментального
значения μ = 0,86 μ 0 свидетельствует о том, что в
основном
состоянии
дейтрона
имеется
примесь
компонента L p = Ln = 1.
L =1
Величина
Lp = Ln = 1.
магнитного
момента
состояния
нейтрона
μ = μ0 ( g L ( p) Lp + g L (n) Ln + g s ( p) s p + g s (n) sn ) =
= μ0 [1 + 0 − 2 ⋅ 2,79 ⋅1/ 2 − 2 ⋅ (−1,91) ⋅1/ 2] = 0,12μ0
Долю состояния L p = Ln = 1 можно определить, сравнивая
результирующую величину магнитного момента дейтрона
2
с экспериментальным значением. Величина L1 = 0,96 , т,е.
примесь состояния L = 1 составляет всего 4%.
2
2
2
1
2
⎧⎪α ⋅ 0,88 + α ⋅ 0,12 = 0,86
α1
⎨ 2
2
⎪⎩α1 + α 2 = 1
= 0,96
Квадрупольный момент
дейтрона
Q0 = +0, 28 Фм
2
V = V3 (r )( s1 ⋅ n )( s2 ⋅ n )
Примесь компоненты L = 1 в основное
состояние дейтрона и положительная
величина
квадрупольного
момента
Q0 = +0,28 Фм2 означает, что дейтрон
имеет форму отличную от сферически
симметричной, и что ядерные силы между
нуклонами
зависят
от
того,
как
направлены спины нуклонов s1, s2
относительно вектора n , направленного от
одного нуклона к другому, т.е. ядерные
силы – нецентральные.
Потенциал нуклон-нуклонного
взаимодействия
V = V1 (r ) + V2 (r )( s1s2 ) +
+ V3 (r )( s1 ⋅ n )( s2 ⋅ n ) + …
Ядерный
потенциал
Ядерный потенциал
В первом приближении можно считать
потенциал сферически симметричным. В
потенциалов используют
ядерный
качестве
пямоугольную потенциальную яму Vnя
⎧⎪ −V ,
Vпя(r) = ⎨
⎪⎩ 0,
r ≤ R,
0
r ≥ R.
осцилляторный потенциал VОСЦ,
1
V
Vосц(r) = − 0 + Mω2r2,
2
потенциал Вудса-Саксона VBC.
VВС (r ) = −
V0
r −R .
1+ e a
В легких ядрах (A = 10) реалистический потенциал
лучше воспроизводится осцилляторным, а в
тяжелых (A = 200) – прямоугольным.
Ядерный потенциал
Решение уравнения Шредингера для кулоновского
потенциала, потенциала прямоугольной ямы и
потенциала гармонического осциллятора.
HΨ = EΨ
d
L(L +1) 2m
+ 2 [E −V ]}U (r) = 0
{ 2−
2
dr
r
2
Последовательность одночастичных состояний
зависит от потенциала V (r ) .
Потенциал гармонического
осциллятора
Уровни
гармонического
осциллятора
эквидистантны. Расстояние между ними
даётся выражением
2 ⎞1/ 2
⎛ 2V0
ω = ⎜⎜
2 ⎟
⎟
MR
⎝
⎠
−1 3
≈ 41⋅ А
МэВ
С ростом числа нуклонов A расстояние
между оболочками уменьшается.
A ≈ 20 → ћω ≈ 15 МэВ,
А ≈ 200 → ћω ≈ 8 МэВ.
Для уровней гармонического осциллятора
характерно вырождение по орбитальному
моменту l нуклона.
Модель
оболочек
Заполнение ядерных оболочек
Заполнение оболочек нуклонами происходит
в соответствии с принципом Паули. В
основном состоянии заняты самые нижние
уровни. Одночастичные уровни для протонов
и нейтронов заселяются независимо.
Число нуклонов
подоболочке
νl
одного
νl
типа
= 2(2l + 1),
(2l + 1) – число ориентаций вектора
l
,
1
s
=
2 – число ориентаций спина нуклона
2.
на
Спин орбитальное
взаимодействие
Спин-орбитальное взаимодействие
Спин-орбитальные силы играют существенную роль
в атомных ядрах. С учётом спин-орбитального
взаимодействия ядерный потенциал имеет вид
V(r) = V1 ( r ) + V2 ( r ) ⋅ ls
При учете спин – орбитального взаимодействия
снимается вырождение по полному моменту j
нуклона в пределах одной оболочки, который при
данном l в зависимости от ориентации спина
нуклона, принимает два значения:
j = l ± 1/2.
Происходит расщепление состояния данного l на два
состояния с разной взаимной ориентацией l и s .
Каждый одночастичный уровень расщепляется на
два. Ниже по энергии опускается уровень с j = l + 1/2,
так
как
в
этом
случае
нуклон
сильнее
взаимодействует
с
остальными.
Состояние
характеризуется полным моментом нуклона j.
Величину j указывают в качестве нижнего индекса
при l.
Так, вместо уровня 1p появляются два уровня 1р1 2 и
1р 3 2 .
Величина расщепления, тем больше, чем
больше l. Начиная с уровня 1g, затем 1h и т. д., lsрасщепление становится сравнимым с расстоянием
между соседними осцилляторными оболочками.
Расщепление уровней с l ≥ 4 настолько велико, что
нижний уровень оболочки с максимальным j и l
сильно опускается вниз по энергии и оказывается в
предыдущей оболочке. Это относится к уровням
1g 9 2 , 1h11 2 , 1i13 2
и 1 j15 2 , которые попадают
соответственно в 4-ю, 5-ю, 6-ю и 7-ю оболочки. В
результате происходит перегруппировка уровней в
оболочках.
Спин орбитальное взаимодействие
Vls ∼ V (r)ls
j = l −1/ 2
l
j = l +1/ 2
Состояние |n,l,lz,s, sz >
Число частиц N(l) одного типа на уровне с
орбитальным моментом l
N(l)=(2l+1)·2
Состояние |n,l,j=l+s,jz >
Число частиц одного типа N(j) на уровне nlj
N(j)=2j+1
Пример
Определить число частиц одного типа в
состояниях 1d,1d3/21d5/2
1d
10
1d 3 / 2
4
1d 5 / 2
6
d →l=2
N(l=2) = 2(2l+1)=10
N(j=5/2) = 2j+1=6
N(j=3/2) = 2j+1=4
В состоянии 1d может находится 10
протонов и 10 нейтронов.
В состоянии 1d3/2,может находится 4
протона и 4 нейтрона.
В состоянии 1d5/2,может находится 6
протонов и 6 нейтронов.
Полное число нуклонов в состоянии 1d
равно суммарному числу нуклонов в
состояниях 1d3/2 и 1d5/2
Ядерный потенциал
|l, s , j, jz >
n=2j+1
Спин-орбитальное взаимодействие приводит к
перераспределению ядерных уровней между
оболочками. В результате число нуклонов,
заполняющих оболочки, оказывается в согласии с
экспериментальными значениями магических
чисел.
Спин-орбитальное взаимодействие
Ярким
проявлением
спин-орбитального
взаимодействия
4
является поляризация протонов при рассеянии на ядре He .
Неполяризованный пучок протонов проходит через щель I и
4
He(I) . Протоны, проходящие через точку а,
имеют орбитальный момент L = [ r ⋅ p ] , направленный вверх
относительно плоскости рассеяния. Направление вектора L ,
рассеивается на ядре
проходящего через точку b противоположно. Если считать, что
преимущественно
рассеиваются
протоны
с
параллельно
ориентированными орбитальными и спиновыми моментами, то
выделение части пучка протонов, прошедшего через щель II,
означает отбор протонов, имеющих спины, направленные
преимущественно вверх. Т.е. происходит частичная поляризация
пучка протонов. В этом можно убедиться, если вторично
рассеивать этот частично поляризованный пучок протонов на
4
втором ядре He(II) . При это оказывается, что при вторичном
рассеянии
проявляется
асимметрия
пучка
протонов
—
интенсивность пучка будет больше с той стороны, где
4
орбитальный момент L протонов по отношению к He(II) имеет
такое же направление, как и спин протонов. Т.е. протоны будут
чаще попадать в детектор I по сравнению с детектором II, если
детекторы
расположены
симметрично
по
отношению
к
направлению пучка протонов, проходящего через щель II.
Потенциал нуклон-нуклонного
взаимодействия
V = V1 (r ) + V2 (r )( s1s2 )
+V3 (r )( s1 n)( s2 n)
+V4 (r )( Ls )
Нуклон-нуклонное взаимодействие можно описать с
помощью потенциала, зависящего от нескольких
величин
• расстояния между нуклонами,
• взаимной ориентации спинов нуклонов,
• нецентрального характера ядерных сил,
• величины спин-орбитального взаимодействия.
Все
члены
в
потенциале
нуклон-нуклонного
взаимодействия сравнимы по величине. Основной
вклад имеет потенциал центральных сил V1 ( r ) , спин-
орбитальные V4 ( r ) и тензорные V3 ( r ) силы меньше
в несколько раз. Для сравнения следует помнить, что
для
кулоновского
взаимодействия
в
атоме
зависящие от спинов части потенциала составляют
~1% от центральной части потенциала
q1q2
.
r
Ядерная модель оболочек
Maria Goeppert-Meyer
(1906-1972)
J. Hans D. Jensen
(1906-1973)
j = l −1/ 2
l
j = l +1/ 2
Нобелевская премия по физике
1963 г. — М. Гепперт-Майер и Г. Йенсен
За открытия в области ядерной модели оболочек.
Модель оболочек
Одночастичные уровни
в сферически-симметричном потенциале.
Нейтронные одночастичные
состояния
Зависимость энергии нейтронных
одночастичных состояний от массового числа A
Спин
атомного ядра
Спин ядра J
J = s 1 + s 2 + ... + s A + l 1 + l 2 + ... + l A =
= j1 + j 2 + ... + j A
Атомное
ядро
в
каждом
состоянии
характеризуется
полным
моментом
количества движения J. Этот момент в
системе покоя ядра называется спином
ядра.
Для спинов атомных ядер выполняются
следующие закономерности:
• A − чётное J = n (n = 0, 1, 2, 3,...), т. е. целое;
• A – нечётное
J = n + 1/2, т. е.
полуцелое.
•Чётно-чётные
ядра
в
основном
состоянии имеют J = 0. Это указывает на
взаимную компенсацию моментов нуклонов
в основном состоянии ядра – особое
свойство межнуклонного взаимодействия.
Силы спаривания
1P3/2
Между любой парой нуклонов одного типа на уровне
действует дополнительное взаимодействие не сводящееся к
центрально симметричному V(r). Это взаимодействие Vост
называется остаточным. Свойства Vост таковы, что паре
нуклонов одного сорта на одном уровне выгодно иметь
результирующий момент равный нулю. Vост снимает
вырождение по J этой пары так, что низшим оказывается
состояние с J = 0, что является проявлением сил
спаривания. Дополнительная энергия связи ядра за счёт сил
спаривания 1-3 МэВ.
Возникновение сил спаривания в ядрах обусловлено
особенностями взаимодействия в системе нуклонов. На
характерных ядерных расстояниях нуклоны притягиваются,
и им энергетически выгодно находиться на одном и том же
уровне в состояниях, характеризуемых одними и теми же
числами nlj. Энергетически наиболее выгодно нахождение в
одном состоянии нуклонов одного типах. Наиболее
устойчивой при этом оказывается пара нуклонов с
противоположно направленными моментами, т. е. с + j z и
− j z . Такая пара нуклонов обладает максимально возможным
набором совпадающих квантовых чисел, и, соответственно,
волновые функции нуклонов этой пары характеризуются
наибольшим перекрытием. Результирующий полный момент
и чётность такого состояния
J Р = 0+.
Чётность
ядерных
состояний
Четность ядра P
Четность ядра Р как системы нуклонов определяется
произведением четностей отдельных нуклонов р :
i
P = р ⋅ р ⋅⋅⋅ р
1 2 А
четность нуклона в центральном поле
πi
l
р = π p = π ⋅(−1) i ,
i i i i
− внутренняя четность нуклона, равная +1. Поэтому
четность ядра в сферически симметричном состоянии
определяется произведением орбитальных четностей
l
(−1) α
нуклонов в этом состоянии:
l
l
l
∑lα
Р = (−1) 1 (−1) 2 ⋅⋅⋅ (−1) A = (−1)α
Четность ядерного состояния Р указывает на
симметрию волновой функции Ψ ядерного состояния
относительно операции зеркального отображения
пространства Р.
Pˆ Ψ = pΨ
На схемах ядерных уровней обычно указывают
энергию, спин и чётность каждого уровня. Спин
указывается числом, а чётность знаком плюс для
чётных и минус для нечётных уровней. Этот знак
ставится справа сверху от числа, указывающего спин.
Например, символ 1/2+ обозначает чётный уровень со
спином 1/2, а символ 3− обозначает нечётный уровень со
спином 3.
Спины J и чётности P
основных состояний ядер
− чётно-чётное ядро
− нечётное ядро
− нечётно-нечётное ядро
J P = 0+;
l
J = j; P = (−1) ;
j p - jn ≤ J ≤ j p + jn ;
l p + ln
P = (-1)
j, l, jp , lp , jn , ln - полный и орбитальный
моменты нечётного протона или нейтрона.
Пример
На основании одночастичной модели
оболочек определить значения спинов и
четностей
J P основных состояний
изотопов кислорода — 15O, 16O, 17O, 18O.
Изотопы 16O и 18O четно-четные, то
есть имеют в основном состоянии спин и
P
+
четность J = 0 . Спин и четность ядра
15
O определяются «нейтронной дыркой»
(по отношению к четно-четному ядру 16O)
в состоянии 1p1/ 2 . Спин ядра J равен
полному моменту «нейтронной дырки» в
этом состоянии J = 1/ 2 , а четность
определяется орбитальным моментом l
нуклона
в
данном
состоянии
l
1
P
−
P = (−1) = (−1) = −1, то есть J = 1/ 2 .
Спин и четность ядра 17O определяется
одним нейтроном в состоянии 1d 5/ 2 сверх
четно-четного остова ядра 16O. Для ядра
P
+
17
O J = 5/ 2 .
Магнитный
дипольный
момент ядра
Магнитный дипольный
момент ядра
Величина
магнитного
дипольного
момента ядра μ определяет его
энергию
взаимодействия
с
E
магнитным полем H .
Магнитный дипольный момент ядра
имеет орбитальную
и
спиновую
компоненты
A
i
i
я
0
l i
s i
i =1
Магнитный момент протона
μ =μ
∑( g l + g s )
μ p = +2, 79 μ 0
Магнитный момент нейтрона
μ n = −1,91μ0
e
−18 МэВ
μ0 =
= 3.15 ⋅10
Гаусс
2m p c
Магнитный дипольный
момент ядра
E = −μ H
⎛
⎞
μ = ⎜ ∑ gl li + ∑ g s si ⎟ μ 0
A
⎝ A
⎠
⎧1 p
gl = ⎨
⎩0 n
⎧2 ⋅ (2,79) p
gs = ⎨
⎩2 ⋅ (−1,91) n
e
−24 эрг
−18 МэВ
μ0 =
= 5 ⋅10
= 3,15 ⋅10
2m p c
Гаусс
Гаусс
Среднее значение результирующего вектора
μ = μl + μ s из-за квантовых флюктуаций
имеет отличную от нуля составляющую μ J ,
направленную по направлению спина ядра
J или против направления спина ядра J .
Магнитные моменты ядер
1
2
1
j =l−
2
j =l+
Нечётное Z
1
2
Нечётное N
μ = j − + μp
μ = j+
j ⎛1
⎞
μ
−
p ⎟
⎜
j +1⎝ 2
⎠
μn
−
j
μn
j +1
В одночастичной модели ядра магнитный момент
нечётных ядер обусловлен магнитным моментом
неспаренной нечётной частицы.
Изоспин
атомных ядер
Изоспин атомных ядер
Полный изоспин A нуклонов
A
I = ∑ Iα .
α =1
Все состояния ядра имеют проекцию
изоспина I3 =
Z −N
2 .
В ядре A нуклонов, каждый из которых
1
имеет изоспин I = 2 . Поэтому
возможные
значения изоспина
Z −N
A
≤I≤ .
2
2
Минимальное
Максимальное
значение
значение
равно
I
I = I3 .
A
2 и
отвечает всем I α , направленным в одну
сторону.
Опытным путём установлено, что энергия
возбуждения ядерного состояния тем выше,
чем больше значение изоспина. Поэтому
изоспин ядра в основном состоянии Igs
имеет минимальное значение
I gs
= I3 =
Z−N
2
.
Аналоговые состояния ядер
Изоспины основных состояний ядер 7Li , 7Be
3
4
I gs = 1/2. Основные состояния этих ядер
образуют изодублет. Для того, чтобы из ядра
7Li ( I = −1/2), находящегося в основном
3
3
состоянии, получить ядро 7Be ( I
3
4
= +1/2) в
основном
состоянии,
нужно
совершить
поворот в изопространстве, в результате
которого один из нейтронов ядра лития
превратится в протон. При таком повороте все
остальные квантовые характеристики у
преобразованного нейтрона (орбитальный
момент, проекция спина, четность и др.)
сохраняются
и
переходят
к
протону.
Остальные нуклоны при этом преобразовании
не изменяют свои квантовые характеристики.
В итоге получается система из четырех
протонов и трех нейтронов – ядро 7Be в
4
которой все нуклоны остались в тех же
индивидуальных состояниях, в которых они
были до поворота в ядре 7Li т. е. ядро
3
бериллия окажется в основном состоянии, как
и ядро лития. То, что основные состояния
бериллия
и
лития
эквивалентны,
доказывается одним и тем же значением
спинов и четностей (3/2−) их основных
состояний.
Аналоговые состояния
ядер 7Li, 7Be
∆Е
Изодублеты (I = 1/2) уровней ядер 7Li и 7Be
3
4
Аналоговые состояния ядер
14С, 14N, 14O
0
2,31 МэВ
0
0
Зеркальные ядра являются частным случаем
ядерных состояний, принадлежащих к одному
изомультиплету. Примерами аналоговых состояний
могут служить основные состояния ядер
14
C(6 p, 8n, J P = 0+ , T = 1, T3 = −1) ,
14
и
первое
O(8 p, 6n, J P = 0+ , T = 1, T3 = +1)
возбужденное
состояние
ядра
14
N(7 p, 7 n, J P = 0+ , T = 1, T3 = 0) с энергией 2,31 МэВ.
Таким образом, в изомультиплет входят состояния с
одинаковыми значениями J P и T в соседних ядрах
изобарах. Так как проекция изоспина T3 принимает
2T + 1
значение,
изомультиплет
образуют
2T + 1 ядерных уровней.
Пример
В ядре 90Zr (Z = 40) возбуждается состояние,
имеющее изоспин I = 6. Показать, что распад
этого состояния в основное состояние ядра 89Zr с
испусканием нейтрона невозможен.
Величины изоспинов основных состояний ядер
89
Y и 89Zr:
I( Y) =
89
39 − 50 11
= ,
2
2
I( Zr) =
89
40 − 49 9
= .
2
2
Величины изоспина протона и нейтрона
1
I(p) = I(n) = 2 .
Распады состояния I = 6 ядра 90Zr с испусканием
протона и нейтрона происходят в результате
сильного взаимодействия. Поэтому из закона
сохранения изоспина следует невозможность
распада состояния ядра 90Zr I = 6 с испусканием
нейтрона
9 1
I( Y)+I(n)= + = 4, 5 ≠ 6
2 2
89
Вопрос
Какие возможны значения изоспина
ядра A′ , образующегося в реакции
d + A → p + A′ ,
• если ядро A является
самоспряженным ( N = Z ),
• если ядро A имеет изоспин I = 3/ 2 ?
Симметрия атомных ядер
Eugene Wigner
(1902-1995)
Нобелевская премия по физике
1963 г. — Э. Вигнер
За вклад в теорию атомного ядра и
элементарных частиц, в частности, за
открытие и применение фундаментальных
принципов симметрии.
Деформированные
ядера
Квадрупольный момент ядра
1
2
2
Q0 = ∫ ρ(r)(3Z − r )dV
e
Q0 — собственный квадрупольный момент,
Q — наблюдаемый квадрупольный момент.
J (2J −1)
Q=
Q0
(J +1) ⋅ (2J + 3)
Квадрупольные моменты ядер
Электрический квадрупольный момент ядра.
1
1 2
2
2
Q0 = ∫ (3z − r ) ρ (r )dv = ∫ r (3cos2 θ − 1) ρ (r )dv
e
e
ρ( r ) − распределение плотности заряда в ядре, е − величина
элементарного электрического заряда.
Для сферически симметричного распределения заряда, т. е. при
ρ( r ) ≡ ρ(r), квадрупольный момент Q0 обращается в нуль. Отличие
величины Q0 от 0 характеризует отличие распределения заряда
ядра от сферически симметричного, т. е. характеризует форму
ядра.
Подавляющее большинство несферических ядер имеет форму
аксиально-симметричного эллипсоида.
Q0 > 0 ядро – вытянутый вдоль оси z эллипсоид.
Q0 < 0, ядро сплюснутый вдоль оси эллипсоид. Знак Q0 определяет
характер отклонения формы ядра от сферической (его
вытянутость или сплюснутость), т. е. характер деформации ядра.
Квадрупольный момент, как и эффективное сечение, измеряется
в барнах (1б = 10−24 см2 = 100 Фм2).
Наблюдаемые значения моментов всегда меньше собственных
значений. Что является неизбежным следствием квантовых
эффектов.
Собственный квадрупольный момент однородно заряженного
эллипсоида
Q0 =
2
Z⋅(b2 − a2),
5
где b и a – длинная и короткая полуоси эллипсоида.
Для оценки степени отклонения формы ядра от сферической
вводят параметр деформации β и средний радиус ядра R ,
определяемые соотношениями
b−a
1 b2 − a 2
=
β=
2
1
2
R
(b + a)
2
,
1
R = (b + a) ,
2
2
4
Q0 = Z (b2 − a 2 ) = ZR 2 β .
5
5
Квадрупольные моменты ядер
Наблюдаемые квадрупольные моменты ядер Q
Q=
J (2 J − 1)
( J + 1) ⋅ (2 J + 3)
Q0
Квадрупольные моменты ядер
Наблюдаются следующие
закономерности квадрупольных
моментов ядер.
1). Квадрупольные моменты магических
ядер (Z, N = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126) равны
нулю . Эти ядра сферические или близки
к ним.
2). Квадрупольные моменты растут при
отходе от магических ядер, достигая
наибольших значений в середине между
магическими числами.
3). Большие величины квадрупольных
моментов характерны для вытянутых
ядер (Q > 0). Число вытянутых ядер
больше, чем сплюснутых.
Форма ядра
Форма атомных ядер может изменяться в
зависимости от того в каком возбужденном
состоянии оно находится. Так, например, ядро
186Pb в основном состоянии (0+) сферически
симметрично, в первом возбужденном
состоянии 0+ имеет форму сплюснутого
эллипса, а в состояниях 0+ , 2+ , 4+ , 6+ форму
вытянутого эллипсоида.
Пример
Известно, что внутренний электрический
квадрупольный момент Q0 ядра 175Lu равен
+5,9 Фм2. Какую форму имеет это ядро? Чему
равен параметр деформации этого ядра?
Для равномерно заряженного аксиально
симметричного эллипсоида, имеющего заряд Ze
2
Q0 = Z (b 2 − a 2 ) , где b — полуось эллипсоида,
5
направленная по оси симметрии z , a a — по осям
1 b2 − a 2
,
x и y . Параметр деформации ядра β =
2
2 R
(b + a )
где R =
— средний радиус ядра. Тогда
2
Q0
5
5 × 5,9
β=
=
= 0,002.
2
1/
3
2
4 Z ( r A1/ 3 )
4 × 71× (1, 2 × 175 )
0
Здесь учтено, что при малых деформациях
R ≈ R = r0 A1/ 3 . Так как Q0 > 0 , то b > a , и ядро
представляет из себя эллипсоид вытянутый
вдоль оси симметрии z .
Пример
Внешний наблюдаемый квадрупольный
момент ядра 85Rb Q = 0,7 б. Определить
собственный квадрупольный момент ядра Q0 ,
если спин ядра 85Rb равен J = 5 / 2 .
Внешний
наблюдаемый
электрический
квадрупольный момент ядра в лабораторной
системе координат Q связан с собственным
Q0
квадрупольным
моментом
ядра
соотношением
J (2 J − 1)
Q=
Q0 ,
( J + 1)(2 J + 3)
где J — спин ядра. Отсюда
7 / 2×8
Q0 =
Q = 1,96 б.
5/ 2× 4
Одночастичные состояния в
деформированных ядрах
Для того, чтобы получить одночастичные состояния в
деформированных ядрах, необходимо решить уравнение
Шредингера для нуклона, находящегося в потенциальной яме,
имеющей форму вытянутого или сплюснутого аксиальносимметричного эллипсоида. Конкретные расчеты были
выполнены
для
аксиально-симметричного
потенциала
гармонического осциллятора – потенциала Нильссона.
VНильс (r ) =
1
M ⎡⎣ω xy2 ( x 2 + y 2 ) + ω z2 z 2 ⎤⎦ + Cls + Dl 2 ,
2
Положение
одночастичных
уровней
в
потенциале
Нильссона зависит от величины и знака параметра
деформации β.
⎛
⎝
2
⎞
⎠
ω z = ω0 ⎜1 + β ⎟ ,
3
⎛
⎝
1
⎞
⎠
ω xy = ω 0 ⎜1 + β ⎟ .
3
В сферически-симметричной потенциальной яме состояния
нуклона характеризуются квантовыми числами орбитального l и
полного моментов j = l ± 1/ 2 , причем уровни вырождены по
проекции момента j на ось z , т.е. кратность вырождения равна
2 j + 1. В деформированном ядре состояния нуклона нельзя
характеризовать квантовыми числами l и j . Однако так как
сохраняется симметрия относительно поворотов вокруг оси z
(аксиальная симметрия), то момент количества движения,
создаваемый нуклоном, характеризуют квантовым числом K
проекции момента j на ось симметрии z .
Деформация частично снимает вырождение, присущее
одночастичным уровням сферического потенциала, расщепляя
состояния с разными значениями модуля K . В силу симметрии
ядра относительно отражения в плоскости симметрии состояния
с + K и − K остаются вырожденными, и их характеристики
P
описываются квантовыми числами K .
Одночастичные состояния в
деформированных ядрах
2
1
2
2
2
2 2
VНильс (r) = M(ωxy (x + y ) + ωz z ) + Cls + Dl
2
Возбужденные
состояния
атомных ядер
Характеристики ядерных
состояний
Диаграмма уровней ядра строится следующим
образом. Состояние с наибольшей энергией
связи ядра, т. е. с наименьшей полной энергией
Е,
называют
основным
(ground
state).
Состояния с большей полной энергией –
возбуждённые. Нижнему по энергии состоянию
приписывается нулевой индекс и энергия
E0 = 0 .
E0 → Mc = ( Zm p + Nmn )c − W0 ,
2
2
W0 — энергия связи ядра в основном состоянии
Энергии Ei ( i = 1, 2, …) возбуждённых состояний отсчитываются от основного состояния.
Нижние уровни ядра дискретны. При
увеличении энергии возбуждения среднее
расстояние между уровнями уменьшается.
На схемах ядерных уровней обычно
указывают энергию, спин и чётность каждого
уровня. Спин указывается числом, а чётность
знаком плюс для чётных и минус для нечётных
уровней. Этот знак ставится справа сверху от
числа, указывающего спин. Например, символ
1/2+ обозначает чётный уровень со спином 1/2, а
символ 3− обозначает нечётный уровень со
спином 3.
Пример.
Характеристики ядерных
состояний
МэВ
1,96
52
+
1,61
72
+
32
+
0,58
12
+
0,00
52
+
0,98
25
Mg
Схема нижних уровней ядра
25
12 Mg
Одночастичные
возбуждения атомных ядер
Одночастичные возбуждённые
состояния ядер возникают при переходе
одного или нескольких нуклонов на
более высокие одночастичные орбиты.
Одночастичные нейтронные
состояния
В одночастичной модели оболочек наиболее
просто выглядит спектр возбуждённых
состояний ядер с одним нуклоном или
«дыркой» сверх заполненных оболочек.
Нижние возбуждения такого ядра образуются
перемещением этого внешнего нуклона на
более
высокие
подоболочки
ядра.
Примерами
возбуждений
такого
типа
являются нижние возбужденные состояния
ядер
207
82 Pb
и
209
82 Pb .
Коллективные возбуждения
атомных ядер
Ряд факторов свидетельствует о
существовании
коллективных
степеней свободы ядер. Так, при
малых
энергиях
возбуждения
Eвозб ≤ 4 МэВ у многих ядер
наблюдаются
последовательности
уровней, отвечающие гармоническим
колебаниям ядерной поверхности,
либо как вращательные полосы
энергии,
возникающие
из-за
вращения деформированного ядра
как целого. Коллективная природа
этих
уровней
подтверждается
интенсивными
квадрупольными
электромагнитными
переходами
между ними, а также большой
величиной квадрупольного момента
ядер,
имеющих
постоянную
деформацию.
Колебательные состояния
сферических ядер
J=0
монопольные
J=1
J=2
дипольные
квадрупольные
J=3
октупольные
Примеры колебаний ядра как целого. Сплошной
линией показана равновесная (сферическая)
форма ядра, а пунктиром − одно из двух крайних
(различающихся половиной периода) состояний,
которые принимает ядро в процессе колебаний.
Дипольные колебания J=1 не относятся к
внутренним возбуждениям ядра.
Энергии квадрупольных и октупольных
возбуждений в квантовой теории могут принимать
дискретные значения
Еквадр = n2 ω 2 ,
Еокт = n3 ω3 ,
Энергия
возбуждения
ядра,
в
котором
одновременно
происходят
различные
поверхностные колебания формы, имеет вид
Е = ∑ nJ ω J
nJ
J ≥2
− число фононов определенного типа,
ωJ
− энергия фонона.
Колебательные состояния
сферических ядер
n = 3, Е = 3ћω2
0+,2+,3+,4+,6+
n = 2, E = 2ћω2
0+,2+,4+
n = 1, Е = 1ћω2
2+
n = 0, E = 0
0+
Спектр квадрупольных колебаний поверхности
четно-четных ядер.
Пример.
Колебательные состояния сферических
ядер
Взаимодействие γ-квантов с ядрами
Сечение фотопоглощения для четно-четных изотопов неодима.
В коллективной модели ядра гигантский резонанс описывается как
дипольное колебание протонов относительно нейтронов.
В деформированных ядрах с аксиальной симметрией гигантский
дипольный резонанс расщепляется на две компоненты. Величина
расщепления пропорциональна деформации ядра.
На рисунке экспериментальные сечения аппроксимируются
сплошными линиями резонансных кривых Лоренца
σ=
2
σ
π
( E 2 − E0 2 )2
Γ+
E 2Γ
с параметрами, приведенными в таблице.
142
Е0, МэВ
σ0, ферми2
Г, МэВ
Nd
14.9
36
4.4
144
Nd
15.0
32
5.3
146
150
Nd 148Nd
Nd
14.8
14.7
12.3 16
31
26
17
22
6
7.2
3.3
5.2
Сечение для ядра 150Nd аппроксимируется суммой двух
резонансных кривых.
Вопрос
Почему гигантский дипольный
резонанс в сильно деформированных
ядрах расщепляется на два
максимума?
Вращательные состояния
деформированных ядер
Eвращ =
2
2I
J ( J + 1)
.
Волновой
функцией
вращающегося
ядра является собственная функция
оператора квадрата полного момента
Ĵ 2 , имеющего собственные значения
2
J ( J + 1) , т.е. сферическая функция
YJM (θ ,ϕ ) . Волновая функция ядра,
имеющего
форму
аксиальносимметричного
эллипсоида,
не
изменяется
при
пространственной
инверсии, т. е. переходит сама в себя.
Поэтому волновая
функция ядра,
имеющего
форму
эллипсоида
симметрична, что исключает состояния
с J = 1, 3, 5, … Чётность P сферической
функции равна ( −1) . Поэтому чётность
вращательных состояний четно-четного
ядра всегда положительна.
J
Пример.
Вращательные состояния
ядра 180Hf
8+
1085 (1120)
6+
642 (653)
4+
2+
0+
Нижние
180
72 Hf
вращательные
309 (311)
93 кэВ
0
уровни
ядра
. Рядом с экспериментальными
значениями
энергии
в
скобках
приведены энергии, рассчитанные по
формуле Евращ = ћ2J(J+1)/2I с моментом
инерции I, оцененным по энергии
состояния 2+
Вращательные спектры
бесспиновых ядер
EJ =
2
2J
J ( J + 1)
Пример
Показать, что спектр
возбужденных состояний
деформированного ядра 180Hf
представляет собой
«вращательную полосу».
Для четно-четных
деформированных ядер энергия
вращательных состояний
E=
2
J ( J + 1)
,
2I
J — спин состояния, который принимает лишь
четные значения J = 0, 2, 4,... ,
I — момент инерции ядра. Отношение энергий
уровней должно быть следующим:
E2+ : E4+ : E6+ : E8+ =
= J 2+ ( J 2+ + 1) : J 4+ ( J 4+ + 1) : J 6+ ( J 6+ + 1) : J 8+ ( J 8+ + 1) =
= 2(2 + 1) : 4(4 + 1) : 6(6 + 1) : 8(8 + 1) = 3 :10 : 21: 36.
Подставим приведенные
энергий и получим:
на
рисунке
значения
E2+ : E4+ : E6+ : E8+ = 93 : 307 : 637 :1079 =
93 307 637 1079
= :
= 3 : 9,90 : 20 : 55 : 34,81.
:
:
31 31 31 31
Полученные отношения, а также отсутствие в
спектре в спектре уровней с J = 1,3,5,... указывают,
что это «вращательная полоса» ядра.
Кулоновское возбуждение
вращательных состояний атомных
ядер
Многие ядра имеют несферическую форму.
Несферические ядра, обладающие осевой
симметрией, имеют вращательную степень
свободы, которой соответствует система
вращательных уровней. Поскольку в тяжелых
ядрах масса и размер ядра велики, даже при
небольших
деформациях
вращательный
уровень
обычно
является
наиболее
низколежащим.
Энергии
вращательных
уровней Евр аппроксимируются соотношением
Eвр = α J ( J + 1) + β J 2 ( J + 1)2 .
В реакциях с тяжёлыми ионами возбуждаются
вращательные состояния ядра-мишени с
большими угловыми моментами. Отклонение
теоретически
рассчитанного
спектра
возбуждения для аппроксимации
Е(кэВ) = 7,45I ( I + 1)
от экспериментально наблюдаемых значений
максимально для состояния 14+ и составляет
~10%.
При двухпараметрической аппроксимации
−3 2
2
=
7,
45
I
(
I
+
1)
−
3,
4
⋅
10
I
(
I
+
1)
Е(кэВ)
экспериментальный
спектр
в пределах точности измерений.
описывается
Кулоновское возбуждение
вращательной полосы ядра 238U
Вопрос
Какую информацию о свойствах
атомных ядер можно извлечь из
экспериментов по кулоновскому
возбуждению ядер?
Возбужденные состояния 2+
1.
Квадрупольные колебания
E=2 ω
E= ω
0 + , 2+ , 4 +
2+
E =0
0+
2. Вращение деформированного ядра
8+
6+
4+
2+
0+
E=
2
2ℑ
J ( J + 1)
3. Одночастичные возбуждения
p
n
3
3
3/2- J = + = 0,1, 2,3
2 2
P = (−1)(−1) = +1
Возбужденные состояния 2+
В зависимости положения первого 2+
уровня
от
массового
числа
А
отчётливо
проявляются
эффекты,
обусловленные
деформацией
атомного ядра. Энергия первого 2+
уровня в деформированных ядрах
имеет гораздо меньшие значения, чем
энергия колебательного 2+ уровня. В
ядрах,
имеющих
заполненные
+
оболочки,
энергия
2
уровня
превышает 1 МэВ.
Пример.
Возбужденные состояния 2+
62
28
Ni
118
50
Sn
Колебательные
состояния чётно-чётных
сферических атомных
ядер
178
82
Hf
234
92
U
Вращательные
состояния
деформированных
чётно-чётных атомных
ядер
Обобщенная модель ядра
В простейшем варианте обобщенной модели ядер
учитываются
два
типа
ядерных
движений:
коллективное вращение ядра относительно внешней
системы координат ( x, y , z ), обусловленное его
деформацией, и одночастичное движение нуклонов
относительно внутренней, вращающейся системы
координат (1, 2, 3) в деформированной потенциальной
яме.
Полный момент количества движения ядра J
складывается
из
коллективного
вращательного
момента ядра R и внутреннего момента нуклонов J ′ .
J = R + J′
Моменты J ′ и R прецессируют вокруг направления
полного момента количества движения J . Так как
аксиально-симметричное эллипсоидальное ядро может
вращаться только вокруг оси перпендикулярной к оси
симметрии 3, то из этого вытекает, что вектор R
перпендикулярен оси 3 и проекции полного и
внутреннего угловых моментов на ось симметрии
должны быть равны между собой.
J 3 = J 3′ = K
Обобщённая модель ядра
Aage Niels Bohr
р. 1922
Ben Roy Mottelson Leo James Rainwater
р. 1926
1917-1986
H = Hодн + Hвращ + Hодн⋅вращ
Нобелевская премия по физике
1975 г. — О. Бор, Б. Моттельсон и
Дж. Рейнуотер
За открытие связи между коллективным и
одночастичным движением в атомном ядре и
создание на базе этой связи теории структуры
атомного ядра.
Мезоны – кванты
ядерного поля
Теория Юкавы
Теория
Юкавы
ядерных
сил
основана
на
симметрии
между
нейтроном и протоном и их взаимных
превращений
в
ядре.
Квантовый
процесс
уничтожения
протона
и
рождения
нейтрона
приводил
к
рождению квантов поля сильного
взаимодействия
—
мезонов.
Превращение нейтрона в протон должно
сопровождаться
рождением
отрицательного мезона, превращение
протона в нейтрон — положительного.
Для
того,
чтобы
обеспечить
изоспиновую
симметрию
взаимодействия нуклонов и мезонов, в
ядре должны были происходить и такие
переходы, которые оставляли протоном
протоном, а нейтрон – нейтроном. Таким
образом, теория Юкавы предсказывала
не одну частицы, а три — две
заряженные
частицы
и
одну
нейтральную. Взаимодействие между π мезоном и нуклоном зависит от спина
частиц. При нулевом спине мезонов
обменное взаимодействие ведет к
притяжению нуклонов.
Потенциал Юкавы
V , МэВ
100
отталкивание
50
1
3
2
0
r, Фм
− 50
притяжение
− 100
Радиальная зависимость
нуклон-нуклонного потенциала
Потенциал, создаваемый облаком испускаемых
нуклоном мезонов, носит название потенциала
Юкавы
V (r ) = g N
где а =
тс
,а
gN
e
− ar
r
,
− ядерный заряд нуклона. Именно
такой радиальной зависимостью характеризуется
форма межнуклонного потенциала на участке r > 0.8
Фм
Радиальная
зависимость
юкавского
потенциала переходит в радиальную зависимость
кулоновского потенциала (1/r) при нулевой массе m
переносчика взаимодействия.
Нуклон-нуклонное
взаимодействие – обмен
мезонами
Нуклон-нуклонные взаимодействия можно
описать как обмен виртуальными мезонами.
Мезоны бесцветны и состоят из кваркантикварковых пар. Бесцветность мезонов
позволяет избежать проблемы конфайнмента,
а спектр мезонных масс обеспечивает
реализацию NN-взаимодействия на всей
физической шкале межнуклонных расстояний
– от долей ферми до нескольких ферми.
хорошо
Концепция мезонного обмена
работает на расстояниях r ≥ 2 Фм, на которых
можно не учитывать внутреннюю структуру
мезонов и рассматривать их как точечные
частицы.
p
n
π
p
n
π-мезоны, кванты ядерного поля
Используя связь между радиусом ядерных
сил
а
и
массой
m
переносчика
взаимодействия
а=
,
тс
которая
следует
из
соотношения
неопределенностей
для
виртуальной
частицы,
получаем
для
характерном
ядерном расстояниях а ≈ 1.5 Фм
тπ с 2 =
с 200 МэВ ⋅ Фм
≈ 130 МэВ.
≈
а
1 .5 Фм
Положительные,
отрицательные
и
нейтральные пионы ( π + , π 0 , π − ) описывают
взаимодействие между nn-, np-, pp-парами на
характерных внутриядерных расстояниях
1.5-2.0 Фм.
p
n
n
π
p
n p
Однопионное np-взаимодействие
u
u
d
du
d
u
π
u
du
u
u
d
du
p
n
Кварковая диаграмма np-взаимодействия
Диаграммы N-N взаимодействий
N
N
N
N
N
π(140МэВ) η(549МэВ)
N
N
N
N
N
N
N
ρ(770МэВ)
N
N
ω
N
(782МэВ)
N
Пионы описывают NN взаимодействие на
расстояниях 1.5 – 2 Фм.
На меньших расстояниях должен происходить
обмен более тяжёлыми мезонами − ω ( тω с 2 = 782
МэВ), η ( тη с 2 = 549 МэВ) и ρ ( т ρ с 2 =770 МэВ).
Особую роль в этой области расстояний играет
обмен ω-мезоном. Характер взаимодействия
зависит
от спина
частицы,
переносящей
взаимодействие. Обмен векторными частицами
J=1 приводит к отталкиванию между нуклонами.
Это
отталкивание
является
аналогом
отталкивания двух одноимённых зарядов в
электростатике. Обмен скалярными мезонами J=0
приводит к притяжению между нуклонами.
π
η
ρ
ω
Jp(I) 0-(1) 0-(0) 1-(1) 1-(0)
Вопрос
Предложите эксперименты, из которых
можно было бы сделать вывод,
является ли мюон тем переносчиком
ядерного взаимодействия, который
был предложен Юкавой.
Экзотические ядра
Антиядра
Гиперядра
Антиядра
Античастицы были предсказаны в
1928 г.
П. Дираком.
Существование
античастиц приводит к естественному
вопросу, не могут ли из античастиц
образовываться
антиядра.
Самым
простым ядром является ядро изотопа
1
Н, представляющее отдельный протон.
Открытие
антипротона
и
затем
антинейтрона
по
существу
дало
положительный ответ на вопрос о
возможности существования антиядер.
Антидейтрон,
состоящий
из
антипротона и антинейтрона, был
получен в лабораторных условиях в
3
1966 г. Ядро антигелия He , состоящее
из двух антипротонов и одного
нейтрона, было получено в 1970 г. При
создании соответствующих условий
принципиально возможно получить
антиядра всех обычных ядер. Антиядро
окруженное соответствующим числом
позитронов, образует антиатом. Первые
антиатомы водорода были получены в
1998 г.
Вопрос
Предложите эксперимент по
наблюдению ядер антигелия.
Кластеры
в атомных ядрах
Кластеры в лёгких ядрах
12
9
C 0.1265 s
8
10
C 19.2 s
11
C 20.38 m
10
6
Li 7.5 %
Be 53.3 d
7
Li 92.5 %
12
C 98.89 %
11
B 0.769 s
7
N 11.0 ms
9
B 540 eV
8
Be 6.8 eV
B 80.2 %
B 19.8%
9
Be 100%
Атомное
ядро
представляет
собой
связанную систему протонов и нейтронов. В
результате
взаимодействия
между
нуклонами в ядре образуются компактные
структуры, состоящие из двух или большего
числа частиц, которые могут возникать
внутри атомного ядра. Кластерная структура
атомных ядер проявляется в процессах
α -распада, в различных ядерных реакциях.
d-α-кластеры в лёгких ядрах
50V(0.25%)
14N(99.634%)
10B(19.9%)
d
6Li(7.5%)
Кластерная модель описывает
структуру некоторых ядер, как
своеобразный аналог молекул,
состоящих из альфа-частиц, дейтронов
и др.
Clustering building blocks:
more than one nucleon bound,
stable & no exited states below
particle decay thresholds –
4He, deuterium, tritium, and 3He
nuclei
3
He
t
6
Li
6
He
Clu7stering in10 Light Nuclei
12
Li
7
Be
B
8
B
C
12
N
Γ=0.092 MeV
A=6
“Are you Boromean too?”