Занятия 5&6

Занятие 5 и 6
СОХРАНЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ И МОМЕНТА
ИМПУЛЬСА ПРИ ДВИЖЕНИИ ТЕЛА В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ
1. (Задача из произведений Жюля Верна) Спутник вращается вокруг сферической планеты по
низкой круговой орбите такой, что радиус орбиты и радиус сферической планеты
фактически совпадают. Период обращения спутника равен T . Атмосфера у планеты
отсутствует. Оцените среднюю плотность вещества планеты ρ .
2.
Планета массы m движется вокруг Солнца по эллиптической орбите. Масса Солнца M C .
Механическая энергия планеты известна и равна E = − E , модуль момента импульса равен
r
L . Найти максимальное rmax и минимальное rmin расстояния между планетой и Солнцем.
r
При каком соотношении m , M C , E и L планета движется по круговой орбите?
3.
Планета массы m движется вокруг Солнца по гиперболической орбите. Масса Солнца
M C . Скорость планеты на бесконечности известна V∞ , прицельный параметр ρ известен.
Найти минимальное rmin расстояние между планетой и Солнцем.
4. Астероид массы m притягивается к Солнцу из глубин вселенной. Масса Солнца M C .
Скорость астероида на бесконечности относительно Солнца V∞ = 0 , модуль момента
r
импульса астероида равен L . Найти минимальное rmin расстояние между астероидом и
Солнцем при прохождении астероида вблизи Солнца.
5. Космическая станция массы m движется к планете массы M и радиуса R . Атмосфера у
планеты отсутствует. Скорость станции на бесконечности равна V∞ . Найдите минимально
возможный прицельный параметр ρmin , при котором станция ещё не упадет на
поверхность планеты.
6. Искусственный спутник обращается вокруг Земли по окружности на расстоянии R=36000
км от поверхности Земли. Определить: а) линейную скорость v спутника на орбите; б)
полную энергию спутника в гравитационном поле Земли. Радиус Земли 6400 км.
7. Метеорит падает на Солнце с очень большого расстояния, которое практически можно
считать бесконечно большим. Начальная скорость метеорита пренебрежимо мала. Какую
скорость v будет иметь метеорит в момент, когда его расстояние от Солнца равно 1.49×1011
м? Масса солнца М=1.98×1030 кг.
8. На какую высоту h над поверхностью Земли поднимется ракета, пущенная вертикально
вверх, если ее начальная скорость равна первой космической скорости? Чему равна в этом
случае полная энергия ракеты в гравитационном поле Земли?
9. Ракета массой m=10 т пущена с Земли с начальной скоростью v0=15 км/с. Чему будет равна
скорость ракеты: а) на расстоянии от поверхности Земли равном ее радиусу Rз=6400 км? б)
на бесконечно большом расстоянии от Земли? Чему равна полная энергия ракеты?
10. Космонавт, масса которого с обмундированием составляет 120 кг, работает в открытом
космосе на расстоянии 180 м от корабля, с которым его связывает трос, длина которого как
раз и равна 180 м. Неожиданно на короткое время включается ранцевый двигатель
1
космонавта, который сообщает ему тангенциальную скорость 2.5 м/с. Для того, чтобы
вернуться на корабль, космонавт начинает медленно выбирать трос с постоянной
скоростью. С какой силой должен космонавт тянуть трос на расстоянии а) 50 м от корабля;
б) 5 м от корабля. Чему в этих точках равна тангенциальная скорость космонавта?
11. Расстояние от Земли до Луны равно 360000 км. Считая, что Луна движется вокруг Земли по
круговой орбите и пользуясь законом всемирного тяготения найти: а) период обращения
Луны вокруг Земли; б) момент импульса Луны относительно центра Земли; в) вес человека
на Луне, если его масса равна 80 кг. Масса Луны равна 7.33×1022 кг. Радиус Земли Rз=6400
км. Радиус Луны Rл=1740 км Ускорение силы тяжести на поверхности Земли принять 10
м/с2.
12. На каком расстоянии от поверхности Земли должен находиться спутник, чтобы он все
время висел над одной точкой земной поверхности (такие орбиты называются
геостационарными)? Считать, что спутник движется вокруг Земли по круговой орбите.
Вычислить также: а) скорость движения спутника по геостационарной орбите; б) момент
импульса спутника относительно центра Земли; в) полную энергию спутника. Масса
спутника равна 100 т. Радиус Земли R=6400 км. Ускорение силы тяжести на поверхности
Земли принять 10 м/с2.
13. Спутник, вращаясь по круговой орбите радиуса R=1.5 RЗ (RЗ=6400 км-радиус Земли)
получает с помощью тормозного двигателя импульс, который направлен вдоль траектории
его движения в направлении его скорости. Какую дополнительную скорость v приобрел
спутник, если в результате полученного импульса радиус его орбиты увеличился на 20%?
14. Ракета массой m=10 т пущена с Земли под углом α=45° к горизонту с начальной скоростью
v0=10 км/с. Найти: а) полную энергию ракеты и ее момент импульса относительно центра
Земли; б) скорость ракеты на расстоянии равном 2R от поверхности Земли. Радиус Земли
R=6400 км, ускорение силы тяжести на поверхности Земли g=10 м/с2.
15. Ракета массой m=10 т пущена с Земли вертикально с начальной скоростью v0=10 км/с.
Найти: а) скорость ракеты на расстоянии от поверхности Земли равном ее радиусу; б)
максимальное расстояние, на которое ракета может удалиться от Земли; в) полную энергию
ракеты. Радиус Земли R=6400 км, ускорение силы тяжести на поверхности Земли g=10 м/с2.
16. Спутник, вращается по круговой орбите радиуса R=1.5 RЗ (RЗ=6400 км-радиус Земли).
Найти: а) скорость вращения спутника; б) минимальную дополнительную скорость
направленную по радиусу от центра Земли, которую нужно сообщить спутнику чтобы он
мог покинуть область земного притяжения.
17. Какую скорость будет иметь ракета на большом расстоянии от Земли, запущенная с Земли
со скоростью v=15 км/с под углом 45° к горизонту? Чему будет равна полная энергия
ракеты и ее момент импульса относительно центра Земли?
18. На какое расстояние от Земли удалится тело массой m=100 т, запущенное с ее поверхности
с первой космической скоростью под углом 90° к горизонту, то есть, по вертикали к
поверхности? Чему будет равна полная энергия такого тела ?
2