Методические указания Изучение стоячих волн и определение

Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины
Государственное высшее учебное заведение
«Национальный горный университет»
Методические указания
к лабораторной работе № 4.1
Изучение стоячих волн
и определение собственных частот колебаний струны
г. Днепропетровск
2011
Методические указания к лабораторной работе № 4.1 « Изучение стоячих волн и определение собственных
частот колебаний струны» по разделу «Колебания и волны» курса физики для студентов всех
специальностей.
Сост.: И.П. Гаркуша, А.С.Зайцев.
Днепропетровск: НГУ, 2005 г.
Лабораторная работа № 4.1
Изучение стоячих волн и определение собственных частот колебаний
струны
Принадлежности: 1) генератор электрических колебаний ГЗ; 2) струна на подставке; 3) постоянный
магнит; 4) набор грузиков; 5) аналитические весы.
Цель работы: получение на струне стоячих волн, наблюдение картины
распределения амплитуд и количественная проверка формулы собственных
частот колебаний струны.
Теоретические сведения.
Если натянутую между двумя точками струну вывести из положения
равновесия, она будет совершать колебания. Волна, распространяясь по
струне, отражается от ее концов. Вследствие наложения падающей и
отраженной волн в струне устанавливаются особые колебания.
Особенности состоят в том, что колеблются не все точки струны. Часть
из них остаются неподвижными и называются узлами стоячей волны. На
концах струны в точках закрепления обязательно получаются узлы, а между
ними одна или несколько пучностей – областей, колеблющихся с
максимальной амплитудой.
Между двумя соседними узлами все точки струны колеблются
одновременно (в одинаковой фазе, синфазно), но с разными амплитудами.
Такой тип синфазных колебаний с характерным пространственным
распределением амплитуд – чередованием узлов (нулей) и пучностей
(максимумов) получил название стоячей волны. Расстояние между двумя
соседними узлами равно половине длины волны.
Стоячие волны образуются в результате наложения двух встречных бегущих волн одинаковой
амплитуды и частоты.
Рассмотрим гибкую однородную нить (струну), натянутую между двумя точками. Предположим,
что в состоянии равновесия струна растянута вдоль оси Х. Будем подвергать струну вынужденным
колебаниям. Тогда по ней в обе стороны – вправо и влево – побегут упругие поперечные волны.
Когда бегущая волна достигнет закрепленного конца струны, то на этом конце произойдет
отражение волны. Отраженная волна будет распространяться навстречу падающей.
Напишем уравнения двух волн, распространяющихся вдоль оси Х, вправо (в сторону возрастания х)
1  A cos(t  kx) .
(1)
и влево (в сторону убывания х)
 2  A cos(t  kx) ,
(2)
здесь ξ – поперечное смещение точки струны с координатой х в момент времени t, ω – круговая частота,
k
2

- волновое число, λ – длина бегущей волны. Для простоты начало отсчета х и t выбрано так, чтобы
начальная фаза волн равнялась нулю.
Движение каждой точки колеблющейся струны можно рассматривать как результат
сложения падающей и отраженной волн. Падающая на преграду волна и бегущая ей
навстречу отраженная волна, накладываясь друг на друга, дают в каждой точке струны
смещение
ξ = ξ1 + ξ2 = A cos(t  kx) + A cos(t  kx) .
(3)
Преобразуем эту сумму по формуле для суммы косинусов
cos   cos   2 cos

2
cos
 
2
.
(4)
Тогда уравнение примет вид
ξ = (2 A cos 2
x

) cos t .
(5)
Из формулы (5) следует, что все точки струны совершают гармоническое колебание с одинаковой частотой
ω, той же, что и у бегущих волн. Но так как переменная х входит в выражение для амплитуды, амплитуда
колебаний различна для различных точек пространства – изменяется от точки к точке по закону косинуса.
x
амплитуда = 2 A cos 2

.
(6)
В точках, координаты которых удовлетворяют условию
2
x

  n
( n = 0, 1, 2,…)
(7)
амплитуда колебаний максимальна. Эти точки называются пучностями стоячей волны.
Координаты пучностей
хпучн =  n

2
(n = 0, 1, 2,…).
(8)
Колеблются не все точки струны. В точках, координаты которых удовлетворяют условию
2
x
1
 (n  )

2
( n = 0, 1, 2,…),
(9)
амплитуда колебаний равна нулю. Эти точки называются узлами стоячей волны.
Координаты узлов
хузлов =  (n 
1 
)
2 2
(n = 0, 1, 2,…).
(10)
Из формул (8) и (10) вытекает, что расстояние между соседними пучностями или соседними узлами
равно

.
2
Все точки, находящиеся между соседними узлами, одновременно
достигают максимального отклонения и одновременно проходят через
положение равновесия. На рис. 1 даны «моментальные фотографии»
отклонений точек от положения равновесия в два близких момента времени
t1 и t2. Стрелками указаны направления движения точек струны.
Рис. 1.
На рис. 2 показаны положения струны через каждую восьмую часть
периода
T
. Вначале все точки струны лежат на прямой линии (см. рисунок).
8
Затем между неподвижными узлами происходит вспучивание струны,
которое достигает максимума через четверть периода. После этого
вспучивание спадает, и струна снова становится прямой через пол периода.
Далее вспучивание происходит в другую сторону.
В каждое мгновение видна волна, при
этом волна стоит на месте – отсюда название
этого типа колебаний – стоячая волна.
Другие примеры стоячих волн – стоячая
звуковая волна внутри воздушных труб (орган,
духовые музыкальные инструменты), стоячие
электромагнитные волны в линиях передач или
волноводах.
В отличие от бегущей волны, которая
может двигаться вправо или влево, у стоячей
волны нет направления распространения. Это
отличие видно на двух снимках, относящихся к
близким моментам времени (рис. 3).
Для бегущей волны максимумы и
минимумы волны в каждое следующее
мгновение переходят на новое место, а в
стоячей волне остаются на одном и том же
месте.
Рис. 2.
В стоячей волне в отличие от бегущей не
происходит переноса энергии. Это объясняется тем, что падающая и
отраженная волны имеют одинаковую амплитуду и поэтому переносят
одинаковую энергию в противоположных направлениях. Т. к. узловые точки
неподвижны, через них энергия не
переносится.
Энергия стоячей волны есть
величина постоянная. В тот момент
времени, когда все частицы струны
проходят через положение равновесия,
вся энергия колеблющихся частиц
является кинетической. Наоборот, в
положении максимального отклонения
от положения равновесия, энергия всех
частиц
является
потенциальной.
Происходит
превращение
Рис. 3.
кинетической
энергии
в
потенциальную и наоборот.
На длине струны l будет укладываться всегда целое число стоячих
волн. Отсюда вытекает условие
ln

2
(n = 1, 2,…).
(11)
2l
.
n
(12)
Или
n 
Так как длина волны λ связана со скоростью распространения волны v
и частотой колебания ν соотношением  
v

, то этим длинам волн
соответствуют частоты
n 
v
n

v
n
2l
( n = 0, 1, 2,…).
(13)
Струна, следовательно, может колебаться не с одной частотой, а с
целым спектром частот. Частоты νn называются собственными частотами
струны. Они являются кратными частоте
1 
v
,
2l
(14)
которая называется основной частотой.
Опыт показывает, что скорость распространения упругой волны вдоль
струны определяется величиной натяжения Т струны и линейной плотности ρ
материала струны (массой единицы длины струны)
v
T

.
(15)
Подставляя (15) в (13) с учетом того, что сила натяжения струны равна
весу грузика T = mg, получим формулу для расчета частот колебаний
струны
n 
n
2l
mg

.
(16)
Описание прибора.
Прибор состоит из металлической струны 1 (рис. 4), один конец
которой закреплен, а ко второму концу через неподвижный блок 2
прикреплен груз 3, что обеспечивает натяжение струны.
Рис.4.
По струне пропускают переменный ток от генератора 4 электрических
сигналов ГЗ. Вращая ручку настройки, можно подавать на струну
переменное напряжение синусоидальной формы в широком диапазоне
частот.
Струна размещается над постоянным магнитом 5. На струну с током
действует магнитная сила, направленная перпендикулярно току. Поскольку
ток переменный, то и сила изменяется с той же частотой и раскачивает
струну. Частоту изменения силы можно изменять с помощью генератора.
Когда частота магнитной силы становится близкой к частоте собственных
колебаний струны, возникает резонанс, и колебания усиливаются.
Измерения.
1. Собрать установку по схеме рис.4.
2. Создать натяжение струны, нагрузив струну грузиком массы m.
3. Перемещая магнит, установить его так, чтобы середина струны оказалась
над ним.
4. Включить генератор. После того, как генератор в течение 2-3 мин
прогреется, медленно изменять частоту переменного тока и добиться
устойчивых колебаний при n = 1 (основная частота).
5. Записать показания генератора и зарисовать распределение амплитуд
колебаний точек струны.
6. Затем установить магнит на расстоянии 1/4 и 1/6 длины струны и добиться
устойчивых колебаний струны при n = 2 и n = 3. Записать показания
генератора и зарисовать распределение амплитуд колебаний точек струны.
7. Повторить опыт при другом значении массы грузика.
8. Определить взвешиванием образца проволоки линейную плотность ρ
струны.
9. По формуле (16) рассчитать частоты собственных колебаний для каждого
случая и занести данные в таблицу.
m, кг
n
1
2
3
1
2
3
l, м
ρ, кг/м
ν генератора, Гц
ν расчетная, Гц
Контрольные вопросы.
1. Что называется стоячей волной? Запишите формулу стоячей волны.
2. Что называется узлом (пучностью) стоячей волны?
3. Происходит ли в стоячей волне перемещение колебаний в пространстве (вдоль оси Х)?
4. Наступает ли такое состояние стоячей волны, когда все точки струны лежат на одной
прямой? Будут ли при этом точки неподвижны?
5. Происходит ли перенос энергии в стоячей волне вдоль оси Х?
6. В каких фазах колеблются точки струны между двумя узлами?
7. В каких фазах колеблются точки струны лежащие по обе стороны одного и того же
узла?
8. Как изменяется амплитуда колебаний между двумя узлами?
9. Чем отличается стоячая волна от бегущей?
10. Какие колебания струны называются собственными?
Литература.
1. І. М. Кучерук та ін. Загальний курс фізики. Т.1. К. 1999.
2. Т.И. Трофимова. Курс физики. М. 2005.