Для получения когерентных световых волн применяют

Глава 16
Волновая оптика
§ 139
Интерференция света
Предположим, что две монохроматические световые волны, накладываются
друг на друга, возбуждают в определенной точке пространства колебания одинакового направления
E1 = E10 cos(ωt + ϕ1 ) и E 2 = E 20 cos(ωt + ϕ 2 ) .
Напряженности электрического поля подчиняются принцип суперпозиций, амплитуда результирующих колебаний в данной точке равна
2
2
E02 = E10
+ E20
+ 2E10E20 cos(ϕ2 − ϕ1 ) .
Так как волны когерентны, то cos(ϕ 2 − ϕ1 ) имеет постоянное во времени (но
свое для каждой точки пространства) значение, поэтому интенсивность результирующей волны ( I ~ E02 )
I = I1 + I2 + 2 I1I2 cos(ϕ2 − ϕ1 ) .
(139.1)
В точках пространства, где cos(ϕ2 − ϕ1 ) > 0 – интенсивность I > I1 + I2 , где
cos(ϕ2 − ϕ1 ) < 0 – интенсивность I < I1 + I2 . Следовательно, при наложении двух
(или нескольких) когерентных световых волн происходит пространственное пе-
рераспределение светового потока, в результате чего, в одних местах возникают
максимумы, а в других – минимумы интенсивности. Это явление называется интерференцией света.
Для получения когерентных световых волн применяют метод разделения
волны, излучаемой одним источником, на две части, которые после прохождения
разных оптических путей накладываются друг на
друга и наблюдается интерференционная картина.
Пусть разделение на две когерентные волны
происходит в определенной точке О (рис. 1). До
точки P, в которой наблюдается интерференцион-
ная картина, одна волна в среде с показателем преломления n1 прошла путь s1 ,
вторая – в среде с показателем преломления n2 – путь s2 . Если в точке О фаза
колебаний равна ωt , то в точке P волны возбуждают колебания
E1 = E10 cos[ω(t − s1 v1 )] и E 2 = E 20 cos[ω(t − s2 v2 )] ,
где v1 = c n1 , v2 = c n2 – соответственно фазовые скорости первой и второй волны. Разность фаз колебаний, возбуждаемых волнами в точке P, равна
s
s  2π
δ = ω 2 − 1  =
(s2n2 − s1n1 ) = 2π (L2 − L1 ) = 2π ∆
λ0
λ0
 v2 v1  λ 0
(учли, что ω c = 2πν c = 2π λ 0 , λ0 – длина волны в вакууме).
Произведение геометрической длины пути световой длины в данной среде на
показатель преломления этой среды называется оптической длиной пути –
L = sn , а ∆ = L2 − L1 – разность оптических длин проходимых волнами путей –
называется оптической разностью хода.
Если оптическая разность хода равна целому числу волн в вакууме
∆ = ± mλ 0
(m = 0, 1, 2,...) ,
(139.2)
то δ = ±2mπ и колебания, возбуждаемые в точке P обеими волнами, будут проходить в одинаковой фазе. Выражение (139.2) является условием интерференционного максимума.
Если оптическая разность хода
∆ = ±(2m + 1)
λ0
2
(m = 0, 1, 2, K) ,
(139.3)
то δ = ±(2m + 1)π и колебания, возбуждаемые в точке P обеими волнами, будут
проходить в противофазе. Выражение (139.3) является условием интерференционного минимума.
§ 140
Методы наблюдения интерференции света
Для осуществления интерференции света необходимо получить когерентные
световые пучки, для чего применяются различные приемы. До появления лазеров
во всех приборах для наблюдения интерференции света когерентные пучки получали разделением и последующим сведением световых лучей, исходящих из одного и того же источника. Практически это можно осуществить с помощью экранов и щелей, зеркал и преломляющих тел.
1. Метод Юнга. Свет от ярко освещенной
щели S падает на две щели S1 и S2, играющие
роль когерентных источников (рис. 2). Интерференционная картина наблюдается на экране,
расположенном на некотором расстоянии параллельно S1 и S2.
2. Зеркала Френеля. Свет от источника S
падает рассеивающимися пучком на два плоских
зеркала А1О и А2О, расположенных под малым
углом φ (рис. 3). Роль когерентных источников
играют мнимые S1 и S2 изображения источника S.
Интерференционная картина наблюдается на экране
Э, защищенном от прямого попадания света заслонкой З.
3. Бипризма Френеля. Свет от источника S
преломляется в призмах (рис. 4), в результате
чего за бипризмой распространяются световые
лучи, как бы исходящие из мнимых когерентных
источников S1 и S2. На поверхности экрана Э в заштрихованной области
происходит наложение когерентных пучков и наблюдается интерференционная
картина.
4. Расчет интерференционной картины от двух источников. Расчет интерференционной картины для рассмотренных выше методов наблюдения интерференции света можно провести, используя две узкие параллельные щели, расположенные достаточно близко друг к другу (рис. 5). Щели S1 и S2 находятся на расстоянии d друг от друга и являются когерентными источниками света. Интерференция наблюдается в произвольной точке А экрана, параллельного обеим щелям
и расположенного от них на расстоянии l , причем l >> d .
Интенсивность в любой точке А экрана, лежащей на
расстоянии x от О, определяется оптической разностью
хода ∆ = s2 − s1 . Из рисунка 5 имеем
s22 = l 2 + (x + d 2) 2 ;
s12 = l 2 + (x − d 2) 2 ,
откуда
s22 − s12 = 2xd ,
или
∆ = s2 − s1 = 2xd (s1 + s2 ) .
Из условия l >> d следует, что s1 + s2 ≈ 2l , поэтому
∆ = xd l .
(140.1)
Подставляя выражение (140.1) в условия (139.2) и (139.3), получим, что
максимум интенсивности будет наблюдаться при
l
xmax = ± m λ 0 (m = 0, 1, 2,...) ,
d
(140.2)
а минимум – при
1 l
xmin = ± (m + ) λ 0 (m = 0, 1, 2,...) .
2 d
(140.3)
Расстояние между двумя соседними максимумами (или минимумами), называемое шириной интерференционной полосы, равно
∆x =
l
λ0 .
d
∆x не зависит от порядка интерференции (величины m ).
(140.4)
§ 141
Интерференция света в тонких пленках
Оптическая разность хода, возникающая между двумя интерферирующими
лучами от точки О до плоскости АВ (рис. 6),
∆ = n(OC + CB ) − (OA ± λ 0 2 ) ,
где показатель преломления окружающей пленку
среды принят равным 1, а член ± λ 0 2 обусловлен
потерей полуволны при отражении света от границы
раздела.
Если
n > n0 ,
то
потеря
полуволны
произойдет в точке О и вышеупомянутый член будет
иметь знак минус, если же n < n0 , то потеря полуволны произойдет в точке С и
λ 0 2 будет иметь знак плюс. Согласно рис. 6 имеем, OC = CB = d cos r ,
OA = OB sin i = 2dtgr sin i . Учитывая для данного случая закон преломления
sin i = n sin r , получим
∆ = 2dn cos r = 2dn 1 − sin 2 r = 2d n 2 − sin 2 i .
С учетом потери полуволны для оптической разности хода получим
∆ = 2d n 2 − sin 2 i ± λ 0 / 2 .
(141.1)
Для случая изображенного на рис. 6 ( n > n0 )
∆ = 2d n 2 − sin 2 i + λ 0 / 2 .
В точке Р будет максимум, если
2d n 2 − sin 2 i + λ 0 / 2 = mλ 0 (m = 0, 1, 2,K) ,
(141.2)
и минимум, если
2d n 2 − sin 2 i + λ 0 / 2 = (2m + 1)
λ0
(m = 0, 1, 2,K) .
2
(141.3)
1. Полосы равного наклона (интерференция от плоскопараллельной
пластинки). Из выражений (141.2) и (141.3) следует, что интерференционная
картина в плоскопараллельных пластинках (пленках) определяется величинами
λ0, d , n и i . Для данных λ0, d и n каждому наклону i лучей соответствует своя
интерференционная полоса. Интерференционные полосы, возникающие в результате наложения лучей, падающих на плоскопараллельную пластинку под одинаковыми углами, называются полосами равного наклона.
Лучи 1’ и 1’’ отразившиеся от верхней и
нижней граней пластинки (рис. 7), параллельны
друг другу, так как пластинка плоскопараллельна. Следовательно, интерферирующие лучи
1’ и 1’’ «пересекаются» только в бесконечности,
поэтому говорят, что полосами равного наклона
локализованы в бесконечности.
2. Полосы равной толщины (интерференция от пластинки переменной
толщины). Пусть на клин (угол α между боковыми гранями мал) падает плоская волна, направление распространения которой совпадает с параллельными лучами 1 и 2 (рис. 8). Как видно из
рисунка, на экране возникает система интерференционных полос. Каждая из полос возникает за
счет отражения от мест пластинки, имеющих одинаковую толщину (лучу 1 соответствует толщина d , лучу 2 – d′ ). Интерференционные полосы, возникающие в результате интерференции от мест одинаковой
толщины, называются полосами равной толщины. Полосы равной толщины
реализуются вблизи поверхности клина.
§ 142
Применение интерференции света
1. Интерференционная спектроскопия. Явление интерференции обусловлено волновой природой света; его количественные закономерности зависят от
длины волны λ0. Поэтому это явление применяется для подтверждения волновой
природы света и для измерения длины волны.
2.
Просветление
интерференции
оптики.
применяется
Явление
также
для
улучшения качества оптических приборов и
получения высокоотражающих покрытий. Для
устранения
потерь
светового
отражение
осуществляют
так
потока
на
называемое
просветление оптики. Для этого на свободные
поверхности линз наносят тонкие пленки с
показателем преломления меньшим, чем у материала линзы. При отражении света
от границ раздела воздух–пленка и пленка–стекло возникает интерференция когерентных луче 1′ и 2′ (рис. 9). Толщину пленки d и показатели преломления
стекла nc и пленки n можно подобрать так, чтобы интерферирующие лучи гасили друг друга. Для этого их амплитуда должна быть равной, а оптическая разность хода – равна (2m + 1)
λ0
. Расчет показывает, что амплитуды отраженных
2
лучей равны, если
n = nc .
(142.1)
Так как nc , n и показатель преломления воздуха n0 удовлетворяют условиям
nc > n > n0 , то потеря полуволны происходит на обеих поверхностях, следова-
тельно, условие минимума при нормальном падении света
2dn = (2m + 1)
λ0
,
2
где dn – оптическая толщина пленки. Обычно принимают m = 0 , тогда
dn = λ 0 4 .
Таким образом, если выполняется условие (142.1) и оптическая толщина
пленки равна λ 0 4 , то в результате интерференции наблюдается гашение отраженных лучей. Так как добиться одновременного гашения для всех длин волн невозможно, то это обычно делается для наиболее восприимчивой глазом длины
волны λ 0 ≈ 0,55 мкм. Поэтому объективы с просветленной оптикой кажутся голубыми.
3. Многолучевая интерферометрия. Многолучевая интерференция возникает при наложении большого числа когерентных световых пучков. Интерференционные максимумы при этом значительно уже и ярче, чем при наложении двух
когерентных световых пучков. Результирующая амплитуда световых колебаний
одинаковой амплитуды в максимуме интенсивности в N раз больше, а интенсивность в N 2 раз больше, чем от одного пучка ( N – число интерферирующих пучков). Многолучевая интерференция осуществляется в дифракционной решетке.
Многолучевую интерференцию можно осуществить в многослойной системе чередующихся пленок с
разными показателями преломления (но одинаковой
оптической толщиной, равной λ 0 4 ), нанесенных на
отражающую поверхность (рис. 10). На границе раздела пленок (между двумя слоями ZnS с большим показателем преломления n1 находится пленка криолита с меньшим показателем преломления n2 ) возникает большое число отраженных интерференционных лучей,
которые при оптической толщине пленок λ 0 4 будут взаимно усиливаться, т.е.
коэффициент отражения возрастает. Характерной особенностью такой высокоотражательной системы является то, что она действует в очень узкой спектральной
области, причем, чем больше коэффициент отражения, тем уже эта область. Например, система из семи пленок для области 0,5 мкм дает коэффициент отражения ρ ≈ 0,95 (при коэффициенте пропускания ≈ 0,035 и коэффициенте поглощения < 0,005 ). Подобные отражатели используются в лазерной технике, а также
используются для создания интерференционных светофильтров.
4. Интерферометр Майкельсона. Явление интерференции применяется в
очень точных измерительных приборах – интерферометрах. На рис. 11 представлена упрощенная схема интерферометра Майкельсона. Монохроматиче-
ский свет от источника S падает под углом 45° на
плоскопараллельную пластинку P1, задняя сторона
которой
покрыта
тонким
полупрозрачным
слоем
серебра. Здесь пучок разделяется на два взаимно
перпендикулярных пучка. Отраженный пластинкой P1,
пучок падает на зеркало M1, отражается назад, вновь
попадает на пластинку P1, где снова разделяется на две
части. Одна из них идет к источнику S и не
представляет интереса, а другая попадает в зрительную
трубу, установленную на бесконечность, или на линзу, в фокальной плоскости
которой расположен экран для наблюдения интерференции. Прошедший сквозь
пластинку P1 пучок от источника падает на зеркало M2, возвращается к P1 и частично отражается в сторону линзы. Таким образом, от одного источника S получаются два пучка примерно одинаковой интенсивности, которые распространяются после разделения пластинкой P1 в разных «плечах» интерферометра, затем
снова встречаются и создают интерференционную картину в фокальной плоскости линзы. Пластинка P2, такая же, как и P1, только без отражающего покрытия,
ставится на пути второго пучка для компенсации разности хода, возникающей изза того, что первый пучок проходит через P1 три раза, а второй - только один раз.
Зеркало M2 неподвижно, а зеркало M1 можно передвигать микрометрическим
винтом так, что его плоскость все время остается перпендикулярной зеркалу M2.
При перемещении зеркала M1 на расстояние λ 0 4 разность хода обоих лучей изменяется на λ 0 2 и происходит смена освещенности экрана. Следовательно, по
незначительному
смещению
интерференционной
картины можно судить о малом перемещении зеркала
M1 и использовать интерферометр Майкельсона для
точного (порядка 10–7 м) измерения длин.
5. Микроинтерферометр. Советский физик В.П.
Линник (1889–1984) использовал принцип действия
интерферометра Майкельсона для создания микроинтерферометра (комбинация
интерферометра и микроскопа), служащего для контроля чистоты обработки поверхности. Основным элементом микроинтерферометра Линника является стеклянный куб А (рис. 12), состоящий из двух половин, склеенных до диагональной
плоскости. Одна из стеклянных поверхностей полупосеребрена. Ход лучей интерферометра показан на рис. 12, где ВС – исследуемая плоская поверхность, а З
– плоское зеркало. Двугранный угол между зеркалом и поверхностью ВС отличается от π 2 на малую величину α. Штриховая
линия DE – мнимое изображение отражающей
поверхности зеркала З в полупосеребренной
диагональной
поверхности
куба
А.
Интерференционные полосы равной толщины
для воздушного клина DE–BC наблюдаются с
помощью микроскопа М. В тех местах
поверхности ВС, где имеются выступы или
углубления, наблюдаются искривления интерференционных полос. С помощью
этого прибора можно обнаружить штрихи на поверхности детали, глубина которых порядка 10–7 м.
6. Интерференционный рефрактометр. Интерферометры – очень чувствительные оптические приборы, позволяющие определять незначительные изменения показателя преломления прозрачных тел (газов, жидких и твердых тел) в зависимости от давления, температуры, примесей и т.д. Такие интерферометры получили название интерференционных рефрактометров. На пути интерферирующих лучей (рис. 13) располагаются две одинаковые кюветы длиной l , одна из
которых заполнена, например, газом с известным ( n0 ), а другая – с неизвестным
( nx ) показателями преломления. Между интерферирующими лучами возникает
дополнительная разность хода ∆ = (nx − n0 )l . Изменение разности хода приведет
к сдвигу интерференционных полос. Этот сдвиг можно характеризовать величиной
m0 =
∆
l
= (nx − n0 ) ,
λ
λ
где m0 показывает, на какую часть ширины интерференционной полосы сместилась интерференционная картина. Измеряя величину m0 при известных l , n0 и λ,
можно вычислить nx или изменение nx − n0 . Например, при смещении интерференционной картины на 1/5 полосы при l = 10 см и λ = 0,5 мкм n x − n 0 = 10 −6 .
§ 143
Принцип Гюйгенса-Френеля
Дифракцией называется огибание волнами препятствий, встречающихся на
их пути, или в более широком смысле – любое отклонение распространения волн
вблизи препятствий от законов геометрической оптики. Благодаря дифракции
волны могут попадать в область геометрической тени, огибать препятствия, проникать через небольшие отверстия в экранах и т.д.
Явление дифракции объясняется с помощью
принципа Гюйгенса, согласно которому, каждый
элемент поверхности, который достигла в данный
момент волна, является поверхностью элементарных
волн, огибающая которых будет волновой поверхностью в следующий момент времени (рис. 14).
Явление дифракции характерно для волновых
процессов. Поэтому если свет является волновым процессом, то для него должна
наблюдаться дифракция, т.е. световая волна, падающая на границу какого-либо
непрозрачного тела, должна огибать его.
Френель вложил в принцип Гюйгенса физический смысл, дополнив его
идеей интерференции вторичных волн.
Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, световая волна, возбуждаемая каким-либо источником S может быть представлена как результат суперпозиции когерентных вторичных волн, «излучаемых» фиктивными источниками.
§ 144
Метод зон Френеля. Прямолинейное распространение света
Принцип Гюйгенса-Френеля в рамках волновой теории должен был ответить
на вопрос о прямолинейном распространение света. Френель решил эту задачу,
рассмотрев взаимную интерференцию вторичных волн и применив прием, получивший название метод зон Френеля.
Найдем в произвольной точке М
амплитуду световой волны, распространяющейся
в
однородной
точечного
источника
S
среде
(рис.
из
15).
Френель разбил волновую поверхность
Ф на кольцевые зоны такого размера,
чтобы
расстояния
от
краев
зоны
до
М
отличались
на
λ / 2,
т.е.
P1M − P0M = P2M − P1M = P3M − P2M = λ 2 . Т.к. колебания от соседних зон прохо-
дят до точки М расстояния, отличающиеся на λ / 2 , то в точку М они приходят в
противоположной фазе и при наложении эти колебания будут взаимно ослаблять
друг друга. Поэтому амплитуда результирующего светового колебания в точке М:
A = A1 − A2 + A3 − A4 + K ± Am ,
(144.1)
где A1 , A2 , …, Am – амплитуды колебаний, возбуждаемых 1-й, 2-й, …, m-й зонами.
Согласно
предположению
Френеля,
действие отдельных зон в точке М тем
меньше, чем больше угол ϕm (рис. 16). Кроме
того, интенсивность излучения, в направлении точки М уменьшается с ростом m и,
вследствие увеличения расстояния от зоны до
точки М. Учитывая оба эти фактора можно записать:
A1 > A2 > A3 > A4 > K
Общее число зон Френеля, уменьшающихся на полусфере, очень велико; например, при a = b = 10 см и λ = 0,5 мкм N = 8 ⋅ 105 . Поэтому в качестве допустимого приближения можно считать, что амплитуда колебаний Am от некоторой тй зоны Френеля равно среднему арифметическому от амплитуд примыкающих к
ней зон, т.е.
Am =
Am −1 + Am +1
.
2
(144.2)
Тогда выражение (144.1) можно записать в виде:
A=
A1  A1
A  A
A 
A
+  − A2 + 3  +  3 − A4 + 5  + K = 1 .
2  2
2   2
2 
2
(144.3)
Радиус внешней границы m-й зоны Френеля равен
rm =
ab
mλ .
a+b
(144.4)
При a = b = 10 см и λ = 0,5 мкм радиус первой зоны r1 = 0,158 мм. Следовательно,
распространение света от S к М происходит так, будто световой поток распространяется внутри очень узкого канала вдоль SM, т.е. прямолинейно. Таким образом, принцип Гюйгенса-Френеля позволяет объяснить прямолинейное распространение света в однородной среде.
§ 145
Дифракция Френеля на круглом отверстии и диске
1) Дифракция на круглом отверстии. Сферическая волна, распространяющаяся из точечного источника S, встречает на своем пути
экран с круглым отверстием. Дифракционную картину наблюдаем на экране (Э) в точке В, лежащей на линии, соединяющей S с центром отверстия (рис. 17). Экран параллелен
плоскости отверстия и находится от него на расстоянии b .
Разобьем открытую часть волновой поверхности Ф на зоны
Френеля. Вид дифракционной картины зависит от числа зон
Френеля, укладывающихся в отверстии. Амплитуда результирующего колебания,
возбуждаемого в точке В всеми зонами равна
A=
A1 Am
±
,
2
2
где знак плюс соответствует нечетному m и минус – четному m .
Когда отверстие открывает нечетное число зон Френеля, то амплитуда в точке В будет больше, чем при свободном распространении волны, если четное, то
амплитуда будет равна нулю. Таким образом, дифракционная картина от круглого отверстия вблизи точки В будет иметь вид чередующихся темных и светлых
колец с центрами в точке В, причем интенсивность максимумов убывает с расстоянием от цента картины. Если Am << A1 и результирующая амплитуда
A = A1 2 , т.е. такая же как и при полностью открытом волновом фронте.
2) Дифракция на диске. В данном случае закрытый диском участок фронта
волны надо исключить из рассмотрения и зоны Френеля
строить, начиная с краев диска. Пусть диск закрывает m
первых зон Френеля. Тогда амплитуда результирующего
колебания в точке В равна
A = Am +1 − Am + 2 + Am + 3 − K =
=
или A =
Am +1  Am +1
A

+
− Am + 2 + m + 3  + K
2
2 
 2
Am +1
,
2
т.к. выражения стоящие в скобках равны нулю. Следовательно, в точке В всегда
наблюдается интерференционный максимум, соответствующий половине действия первой открытой зоны Френеля.
С увеличением радиуса диска первая открытая зона Френеля удаляется от
точки В и увеличивается угол ϕm между нормалью к поверхности этой зоны и
направлением на точку В. В результате интенсивность центрального максимума с
увеличением размеров диска уменьшается. При больших размерах диска за ним
наблюдается тень.
§ 146
Дифракция Фраунгофера на одной щели
Немецкий физик И. Фраунгофер (1787–1826) рассмотрел дифракцию плоских световых волн, или дифракцию в параллельных лучах. Дифракция
Фраунгофера, имеющая большое практическое значение, наблюдается в том
случае, когда источник света и точка наблюдения бесконечно удалены от препятствия, вызывающего дифракцию.
Чтобы этот тип дифракции осуществить, достаточно точечный источник
света поместить в фокусе собирающей линзы, а дифракционную картину исследовать в фокальной плоскости второй собирающей линзы, установленной за препятствием.
Рассмотрим
дифракцию
Фраунгофера
от
бесконечно длинной щели (для этого достаточно,
чтобы длина щели была значительно больше ее
ширины). Пусть плоская монохроматическая волна
падает нормально плоскости узкой щели шириной a
(рис. 19, а). Оптическая разность хода между
крайними лучами МС и ND, идущими от щели в произвольном направлении ϕ,
∆ = NF = a sin ϕ ,
(146.1)
где F – основание перпендикуляра опущенного из точки М на луч ND.
Разобьем открытую часть волновой поверхности в плоскости щели MN на
зоны Френеля. Ширина каждой зоны выбирается так, чтобы разность хода от краев этих зон была ровна λ / 2 , т.е. всего на ширине щели уместиться ∆ : λ 2 зон.
Плоскость щели совпадает с фронтом волны; следовательно, все точки фронта в
плоскости щели будут колебаться в одной фазе. Амплитуды вторичных волн в
плоскости щели будут равны.
Из выражения (146.1) вытекает, что число зон Френеля, укладывающихся
на ширине щели, зависит от угла φ. От числа зон Френеля, в свою очередь, зави-
сит результат наложения всех вторичных волн. При интерференции света от каждой пары соседних зон Френеля амплитуда результирующих колебаний равна нулю. Следовательно, если число зон Френеля четное,
a sin ϕ = ±2m
λ
( m = 1, 2, 3, K ),
2
(146.2)
то в точке В наблюдается дифракционный минимум (полная темнота), если же
число зон Френеля нечетное,
a sin ϕ = ±(2m + 1)
λ
( m = 1, 2, 3, K ),
2
(146.3)
то наблюдается дифракционный максимум, соответствующий действию одной
нескомпенсированной зоны Френеля. Отметим, что в прямом направлении ( ϕ = 0 )
щель действует как одна зона Френеля, и в этом направлении свет распространяется с наибольшей интенсивностью, т.е. в точке В0 наблюдается центральный
дифракционный максимум.
Из условий (146.2) и (146.3) можно найти направление на точки экрана, в
которых
амплитуда
(sin ϕmin = ±(2m + 1)λ
равна
нулю
(sin ϕmin = ± mλ a )
или
максимальна
(2a) ) .
Распределение интенсивности на экране, получаемое вследствие дифракции, называется дифракционным спектром (рис. 19, б).
Сужение щели приводит к тому, что центральный максимум расплывается,
а его яркость уменьшается. Наоборот, чем шире щель (a > λ ) , тем картина ярче,
но дифференциальные полосу уже, а число самих полос большое. При a >> λ в
центре получается резкое изображение источника света, т.е. имеет место прямолинейное распространение света.
Положение дифракционных максимумов зависит от длинны световой волны λ, поэтому рассмотренный вид дифракционная картина имеет место лишь для
монохроматического света. При освещении щели белым светом центральный
максимум имеет вид белой полоски; он общий для всех длин волн (при ϕ = 0
∆ = 0 для всех λ). Боковые максимумы радужно окрашены, т.к. условие максиму-
ма при любых m различно для разных λ. Таким образом, слева и справа от центрального максимума наблюдаются максимумы первого ( m = 1 ), второго ( m = 2 )
и других порядков, обращенные фиолетовым краем к центру дифракционной
картины. Однако они настолько расплывчаты, что отчетливого разделения отдельных длин волн с помощью дифракции на одной щели получить невозможно.
§ 147
Дифракция Фраунгофера на дифракционной решетке
Большое практическое значение имеет дифракция, наблюдаемая при прохождении света через одномерную дифракционную решетку – системы параллельных щелей равной ширины, лежащих в одной плоскости и разделенных равными по ширине непрозрачными промежутками.
Рассматривая дифракцию Фраунгофера на одной щели, мы видели, что распределение интенсивности на экране определяется направлением дифрагированных лучей. Это означает, что перемещение щели параллельно самой себе влево
или вправо не изменит дифракционной картины. Следовательно, если перейти от
одной щели ко многим (к дифракционной решетке), то дифракционные картины,
создаваемые каждой щелью в отдельности, будут одинаковыми.
Дифракционная картина на решетке определяется как результат взаимной
интерференции волн, идущих от всех щелей, т.е. в дифракционной решетке осуществляется многолучевая интерференция когерентных дифрагированных пучков
света, идущих от всех щелей.
Рассмотрим дифракционную решетку (рис. 20).
Если ширина каждой щелей ровна a , а ширина непрозрачного участка между щелями b , то величина
d =a+b
называется
постоянной
(периодом)
дифракционной решетки. Разность хода двух соседних лучей в пределах решетки будет везде одинакова и равна
∆ = CF = (a + b )sin ϕ = d sin ϕ .
(147.1)
Очевидно, что в тех направлениях, в которых ни одна из щелей не распространяет свет, он не будет распространяться и при двух щелях, т.е. прежние
(главные) минимумы интенсивности будут наблюдаться в направлениях, определяемых условием (146.2)
a sin ϕ = ±2m
λ
( m = 1, 2, 3, K ).
2
(147.2)
Кроме того, в результате интерференции лучей, посылаемых разными щелями, будет возникать дополнительные минимумы. Условие дополнительных
минимумов
d sin ϕ = ±(2m + 1)
λ
( m = 0, 1, 2, K ).
2
(147.3)
В тоже время действие одной щели будет усиливать действие другой, если
d sin ϕ = ±2m
λ
( m = 0, 1, 2, K ),
2
(147.4)
т.е. выражение (147.4) задает условие главных максимумов.
Если дифракционная решетка состоит из N щелей, то условием главных
минимумов является условие (147.2), условием главных максимумов – условие
(147.4), а условием дополнительных минимумов
d sin ϕ = ± m′λ / N (m′ = 1,2,K, N − 1, N + 1,K,2N − 1, 2N + 1,K) ,
(147.5)
где m′ может принимать все целочисленные значения, кроме 0, N, 2N, … , т.е.,
кроме тех, при которых условие (147.5) переходит в (147.4). Следовательно, в
случае N щелей между двумя главными максимумами располагается N-1 дополнительных минимумов, разделенных N-2 вторичными максимумами, создающими весьма слабый фон. На рис. 21 качественно представлены дифракционные
картины от четырех (а), восьми (б) и шестнадцати (в) щелей.
Так как − 1 ≤ sin ϕ ≤ 1 , то из (147.4) следует, что число главных максимумов,
mmax ≤
d
λ
определяется отношением периода решетки к длине волны.
Положение
главных
максимумов
зависит от λ . Поэтому, при пропускании
через
решетку
белого
света,
все
максимумы, кроме центрального ( m = 0 ),
разлагаются в спектр, фиолетовая область
которого будет обращена к центру дифракционной картины, красная – наружу. Это
свойство
пользуется
дифракционной
для
решетки
исследования
исспек-
трального состава света (определение длин
волн и интенсивностей всех монохроматических компонентов), т.е. дифракционная решетка может быть использована как спектральный прибор. На рисунке 22
показана оптическая схема такого прибора.
§ 148
Пространственная решетка. Рассеяние света
Дифракция света наблюдается не только на плоской одномерной решетке,
но и на двумерной решетки (штрихи нанесены во взаимно перпендикулярных
направлениях в одной и той же плоскости). Большой интерес представляет также
дифракция на пространственных трехмерных решетках – пространственных
образованиях, в которых элементы структурно подобны по форме, имеют геометрически правильное и периодически повторяющееся расположение, а также постоянные (периоды) решеток, соизмеримые с длинной волны электромагнитного
излучения. Иными словами, подобные пространственные образования должны
иметь периодичность по трем не лежащим в одной плоскости направлениям. В
качестве пространственных дифракционных решеток могут быть использованы
кристаллические тела, т.к. в них неоднородности (атомы, молекулы, ионы) регулярно повторяются в трех направлениях.
Дифракция света может происходить в мутных средах – в средах с явно
выраженными оптическими неоднородностями. К мутным средам относятся аэрозоли (облака, дым, туман), эмульсия, коллоидные растворы и т.д.; т.е. такие
среды, в которых взвешено множество очень маленьких частиц инородных веществ. Свет, проходя через мутную среду, дифрагирует от беспорядочно расположенных микронеоднородностей, давая равномерное распределение интенсивностей по всем направлениям, не создавая какой-либо определенной дифракционной картины. Происходит так называемое рассеянье света в мутной среде. (узкий пучок солнечных лучей, проходя через запыленный воздух, становиться видимым).
Рассеяние света в чистых средах, обусловленное флуктуациями плотности,
анизотропии и концентрации, называется молекулярным рассеянием. Молекулярное рассеяние объясняет голубой цвет неба. Согласно закону Д. Рэлея, интенсивность рассеянного света обратно пропорциональна четвертой степени длины
волны ( I ~ λ−4 ), поэтому голубые и синие лучи рассеиваются сильнее, чем желтые
и красные, обуславливая тем самым голубой цвет неба. По этой же причине свет,
прошедший через значительную толщу атмосферы, оказывается обогащенным
более длинными волнами (сине-фиолетовая часть спектра полностью рассеивается), и поэтому при закате и восходе Солнце кажется красным. Флуктуации плотности и интенсивности света увеличиваются с увеличением температуры. Поэто-
му в ясный летний день цвет неба является более насыщенным по сравнению с
таким же зимним днем.
§ 149
Дифракция на пространственной решетке. Формула Вульфа – Брэггов
Кристаллы являются трехмерными пространственными решетками и имеют
постоянную порядка 10 −10 м и, следовательно, непригодны для наблюдения дифракции в видимом свете ( λ ≈ 5 ⋅ 10 −7 м). Этот факт позволил предложить немецкому физику М. Лауэ (1879–1960) в качестве естественных дифракционных решеток для рентгеновского излучения ( λ = 10 −12 ÷ 10 −8 м) можно использовать кристаллы.
Простой метод расчета дифракции
рентгеновского излучения от кристаллической решетки предложен независимо
друг от друга советским физиком Г.В.
Вульфом
(1963–1925)
и
английским
физиками Г. И Л. Брэггами (отец (1862–1942) и сын (1890–1971)). Они предположили, что дифракция рентгеновских лучей является результатом их отражения от
системы параллельных кристаллографических плоскостей (рис. 23).
Формула Вульфа-Брэггов
2d sin ϑ = mλ
(m = 1,2,K) ,
(149.1)
где d – расстояние между кристаллографическим плоскостями, ϑ – угол скольжения. Из выражения (149.1) следует, что при разности хода между двумя лучами, отраженными от соседних кристаллографических плоскостей, кратной целому числу длин волн λ, наблюдается дифракционный максимум.
При произвольном направлении падения монохроматического рентгеновского излучения на кристалл дифракция не возникает. Чтобы наблюдать ее, надо,
поворачивая кристалл, найти угол скольжения. При произвольном положении
кристалла для наблюдения дифракционной картины пользуются непрерывным
рентгеновским спектром, и при определенных значениях λ будет наблюдаться
дифракция.
Формула Вульфа-Брэггов используется при решении двух важных задачи:
1. Наблюдая дифракцию рентгеновских лучей известной длины волны на
кристаллической структуре неизвестного строения и измеряя ϑ и m , можно найти межплоскостное расстояние d , т.е. определить структуру вещества. Этот метод лежит в основе рентгеноструктурного анализа. Формула Вульфа-Бреггов
остается справедливой и при дифракции электронов и нейтронов. Методы исследования структуры вещества, основанные на дифракции электронов и нейтронов,
называется соответственно электронографией и нейтронографией.
2. Наблюдая дифракцию рентгеновских лучей неизвестной длинны волны
на кристаллической структуре при известном d и измеряя ϑ и m , можно найти
длину волны падающего рентгеновского излучения. Этот метод лежит в основе
рентгеновской спектроскопии.
§ 150
Разрешающая способность оптических приборов
Критерий
Рэлея.
Изображение
двух
близлежащих одинаковых точечных источников или
двух близлежащих спектральных линий с равными
интенсивностями и одинаковыми симметричными
контурами разрешимы (разделены для восприятия),
если
центральный
максимум
дифракционной
картины от одного источника (линии) совпадает с
первым минимумом дифракционной картины от другого.
При выполнении критерия Рэлея интенсивность «провала» между максимумами составляет 80% интенсивности в максимуме, что является достаточным,
для разрешения линий λ1 и λ 2 (рис. 24, а). Если критерий Рэлея нарушен, то наблюдается одна линия (рис. 24, б).
1. Разрешающая способность объектива.
dψ – угловое расстояние между двумя точеными источниками S1 и S2 (например,
звездами).
Можно доказать, что две близлежащие звезды, наблюдаемые в объективе в
монохроматическом свете, разрешимы, если угловое расстояния между ними
ϕ ≥ 1,22λ / D
(150.1)
где λ – длина волны света, D – диаметр объектива.
Разрешающей способностью (разрешающей силой) объектива называется величина R = 1 dψ .
При выполнении критерия Рэлея угловое расстояние между точками dψ
должно быть равно ϕ , т.е. с учетом (150.1)
dψ = ϕ = 1,22λ / D ,
следовательно, разрешающая способность объектива
R = 1 dψ =
D
.
1,22λ
(150.2)
Разрешающей способностью спектрального прибора называют безразмерную величину
R=
λ
,
δλ
(150.3)
где δλ – абсолютное значение минимальной разности длин волн двух соседних
спектральных линий, при которой эти линии регистрируются отдельно.
2. Разрешающая способность дифракционной решетки.
Пусть максимум m-го порядка для длинны волны λ 2 наблюдается под углом ϕ , т.е. согласно выражения d sin ϕ = mλ 2 . При переходе от максимума к соседнему минимуму разность хода меняется на λ / N , где N – число щелей решетки. Следовательно, минимум λ1, наблюдаемый под углом ϕmin , удовлетворяет условию
d sin ϕmin = mλ1 + λ1 / N .
По
критерию
Рэлея,
ϕ = ϕmin ,
то
есть
mλ 2 = mλ1 + λ1 / N или λ1 (λ 2 − λ1 ) = mN . Так как λ1 и λ 2 близки между собой,
т.е. λ 2 − λ1 = δλ , то согласно (150.3)
Rдиф.реш. = mN
§ 151
Естественный и поляризационный свет
r
Световой вектор – это вектор напряженности E электрического поля.
r
Свет со всевозможными равновероятными ориентациями вектора E называется
естественным (рис. 26, а).
Свет, в котором появляется преимущественное (но не исключительное) направr
ление колебаний вектора E , называется частично поляризованным (рис. 26, б).
r
Свет, в котором направления колебаний светового вектора E каким-то образцом
упорядочены, называется поляризованным.
r
Свет, в котором вектор E колеблется только в одном направлении, перпендикулярном лучу, называется плоскополяризованным (линейно поляризованным)
(рис. 26, в).
r
Плоскость, проходящая через направление колебаний светового вектора E и на-
правление распространения этой волны, называется плоскостью поляризации.
r
Свет, для которого вектор E изменяется со временем так, что его конец описыва-
ет эллипс, лежащий в плоскости, перпендикулярной лучу, называется эллиптически поляризованным светом.
Если эллипс вырождается в окружность (при ϕ = ± π 2 и равенстве амплитуд
складываемых волн), то имеем дело с циркулярно поляризованным (поляризованным по кругу) светом.
Степенью поляризации называется величина
P=
Imax − Imin
,
Imax + Imin
где Imax и Imin – максимальная и минимальная интенсивности света, соответстr
вующие двум взаимно перпендикулярным компонентам вектора E .
Для естественного света – Imax = Imin и P = 0 ,
для плоскополяризованного – Imin = 0 и P = 1 .
Устройство, пропускающее колебания только
определенного направления называется поляризатором.
Закон Малюса
I = I0 cos 2 α ,
где I0 и I – соответственно интенсивности света, падающего на второй поляризатор и вышедшего из него.
E = E0 cos α
Интенсивность естественного света, пропущенного
через два поляризатора будет равна
1
I = Iecm cos 2 α ,
2
откуда
1
Imax = Iecm и Imin = 0 .
2
(13.1)
Закон Брюстера: При угле падения луча iB (угол Брюстера), определяемом соотношением tg iB = n21 , отраженный луч является плоскопараллельным,
преломленный луч поляризуется максимально, но не полностью.
Если свет падает на границу раздела под углом iB , то отраженный и преломленный лучи взаимно перпендикулярны
sin iB 
cos iB 
,
sin iB 
n21 =
sin i2 
tgiB =
тогда
cos iB = sin i2 ,
откуда
iB + i2 = π 2
§ 152
Двойное лучепреломление
Все прозрачные кристаллы (кроме
кристаллов кубической системы, которые
оптически
изотропны)
обладают
спо-
собностью двойного лучепреломления, т.е.
раздваивания каждого падающего на них
светового пучка.
Если на толстый кристалл исландского шпата направить узкий пучок света,
то из кристалла выйдут два пространственно разделенных луча, параллельных
друг другу и падающему луча (рис. 30). Даже в том случае,
когда первичный пучок падает на кристалл нормально
(рис. 31), преломленный пучок разделяется на два, причем
один из них является продолжением первичного, а второй
отклоняется. Второй из этих лучей получил название
необыкновенного (е), а первый – обыкновенного (о).
В кристалле исландского шпата имеется единственное направление, вдоль
которого двойное лучепреломление не наблюдается.
Направление в оптически анизотропном кристалле, по которому луч света
распространяется, не испытывая двойного лучепреломления, называется оптической осью кристалла.
В данном случае речь идет о направлении, а не о прямой линии, проходящей
через какую-то точку кристалла. Кристаллы в зависимости от типа их симметрии
бывают одноосные и двуосные, т.е. имеют одну или две оптические оси.
Плоскость, проходящая через направление луча света и оптическую ось кристалла, называется главной плоскостью или главным сечением кристалла.
Анализ поляризации света показывает, что вышедшие из кристалла лучи
плоскополяризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях: колебания свеr
тового вектора E в обыкновенном луче происходит перпендикулярно главной
плоскости, в необыкновенном – в главной плоскости.
Неодинаковое преломление обыкновенного и необыкновенного лучей указывает на различие для них показателей преломления n0 и ne . Показатель преломления n0 является одинаковым по всем направлениям кристалла. Показатель
преломления ne является переменной величиной, зависящей от направления луча. Обыкновенный луч подчиняется закону преломления (отсюда и название
«обыкновенный»), а для необыкновенного луча этот закон не выполняется. После
выхода из кристалла, если не принимать во внимание поляризацию во взаимно
перпендикулярных плоскостях, эти два луча ничем друг от друга не отличаются.
Обыкновенный луч распространяется в кристалле во всех направлениях с
одинаковой скоростью vo = c no , а необыкновенный – с разными скоростями
r
ve = c ne (в зависимости от угла между вектором E и оптической осью). Для луча
распространяющегося вдоль оптической оси, no = ne , vo = ve , т.е. вдоль оптической оси существует только одна скорость распространения света. Различие в ve
и vo для всех направлений, кроме направления оптической оси, и обуславливает
явление двойного лучепреломления в одноосных кристаллах.
На рисунке 32 показано распространение обыкновенного и необыкновенного лучей в кристалле (главная плоскость совпадает с плоскостью чертежа,
ОО’ – направление оптической оси). Волновой поверхностью обыкновенного луча
( vo = const ) является сфера, необыкновенного луча ( ve ≠ const ) – эллипсоид вращения. Наибольшее расхождение поверхностей обыкновенного и необыкновенного лучей наблюдается в направлении, перпендикулярном оптической оси. Если ve < vo ( ne > no ), то одноосный
кристалл называется положительным (рис. 32, а). Если ve > vo ( ne < no ), то одноосный кристалл называется отрицательным (рис. 32, б).
В качестве примера построения необыкновенного и обыкновенного лучей рассмотрим преломление плоской волны на границе анизотропной среды,
например положительной (рис. 33). В точках А и В
построим
сферические
соответствующие
волновые
обыкновенному
поверхности,
лучу,
и
эллипсоидальные – необыкновенному лучу. Согласно принципу Гюйгенса, поверх-
ность касательная к сферам, будет фронтом (а – а) обыкновенной волны, поверхность
касательная к эллипсоидам, – фронтом (b – b) необыкновенной волны. Проведя к точкам
касания прямые, получим направления распространения обыкновенного (о) и необыкновенного (е) лучей. Таким образом, в данном случае обыкновенный луч пойдет вдоль
первоначального направления, необыкновенный же отклонится от первоначального направления.
§ 153
Поляризационные призмы и поляроиды
В основе работы поляризационных приспособлений, служащих для получения поляризованного света, лежит явление двойного лучепреломления. Наиболее часто для этого применяются призмы и поляроиды. Призмы делятся на два
класса:
1. призмы, дающие только плоскополяризованный луч (поляризационные
призмы);
2. призмы, дающие два поляризованных во взаимно перпендикулярных
плоскостях луча (двоякопреломляющие призмы).
Поляризационные призмы построены по
принципу полного отражения одного из лучей от
границы раздела, в то время как другой луч с
другим показателем преломления проходит через
эту границу. Типичным представителем поляризационных призм является призма Николя. Призма Николя (рис. 34) представляет собой двойную призму из исландского шпата, склеенную вдоль линии АВ канадским бальзамом с n = 1,55 .
Оптическая ось ОО' призмы составляет с входной гранью угол 48º. На передней
грани призмы естественный луч, параллельный ребру СВ, раздваивается на два
луча: обыкновенный ( no = 1,66 ) и необыкновенный ( ne = 1,51 ). При соответствующем подборе угла падения, равного или близкого предельного, обыкновенный луч испытывает полное отражение, а затем поглощается зачерненной боко-
вой поверхностью СВ. Необыкновенный луч выходит из кристалла параллельно
падающему лучу, незначительно смещенному относительно него.
Двоякопреломляющие призмы используют различие в показателях преломления no и ne , чтобы развести их возможно дальше друг от друга. Примером
двоякопреломляющих призм могут служить призмы из исландского шпата и
стекла, призмы, составленные из двух призм исландского шпата со взаимно перпендикулярными оптическими осями. Для первых призм (рис. 35) обыкновенный
луч преломляется в шпате и стекле два раза и, следовательно, сильно отклоняется, необыкновенный же луч при соответствующем подборе показателя преломления стекла n ( n ≈ ne ) проходит призму почти не отклоняясь. Для вторых призм
различие в ориентировке оптической оси влияет на угол расхождения между
обыкновенным и необыкновенным лучами.
Двоякоприломляющие
кристаллы
обладают
свойством дихроизма, т.е. различного поглощения света
r
в зависимости от ориентации E , и называется дихроичными кристаллами. Примером сильно дихроичного
кристалла является турмалин, в котором из-за сильного
селективного поглощения обыкновенного луча уже при толщине пластинки 1 мм
из нее выходит только необыкновенный луч. Такое различие в поглощении, зависящее, кроме того, от длины волны, приводит к тому, что при освещении дихроичного кристалла белым светом кристалл по разным направлениям оказывается
различно окрашенным.
Дихроичные кристаллы приобрели еще более важное значение с изобретением поляроидов. Примером поляроида может служить тонкая пленка из целлулоида, в которую вкраплены кристаллики герапатита (сернокислого иод-хинина).
Поляроиды применяются, например, для защиты от слепящего действия солнечных лучей и фар встречного автотранспорта.
Разные кристаллы создают различное по значению и направлению двойное
лучепреломление, поэтому, пропуская через них поляризованный свет и измеряя
его изменение после прохождения кристаллов, можно определить их оптические
характеристики и производить минералогический анализ. Для этой цели используют поляризационные микроскопы.
§ 154
Анализ поляризованного света
Пусть на кристаллическую пластинку,
вырезанную параллельно оптической оси,
нормально падает плоскополяризованный
свет (рис. 36). Внутри пластинки он
разбивается
на
обыкновенный
(о)
и
необыкновенный (е) лучи, которые в кристалле пространственно не разделимы (но
движутся с разными скоростями), а на
выходе из кристалла складываются.
Так как в обыкновенном и необыкновенном лучах колебания светового вектора совершаются во взаимно перпендикулярных направлениях, то на выходе из
пластинки в результате сложения этих колебаний возникают световые волны,
r
вектор E в которых меняется со временем так, что его конец описывает эллипс,
ориентированный произвольно относительно координатной оси. Уравнение этого
эллипса
x 2 2xy
y2
−
cos
ϕ
+
= sin 2 ϕ ,
2
2
Eo Eo Ee
Ee
(154.1)
где Eo и Ee – соответственно составляющие напряженности электрического поля
волны в обыкновенном и необыкновенном лучах, ϕ – разность фаз колебаний.
Таким образом, в результате прохождения через кристаллическую пластинку
плоскополяризованный свет превращается в эллиптически поляризованный.
Между обыкновенным и необыкновенным лучами в пластинке возникает
оптическая разность хода
∆ = (n0 − ne )d ,
или разность фаз
ϕ=
2π
(n0 − ne )d ,
λ0
где d – толщина пластинки, λ 0 – длина волны в вакууме.
Если ∆ = (n0 − ne )d = λ 4 , ϕ = ± λ 2 , то уравнение (154.1) примет вид
x 2 y2
+ 2 = 1,
2
Eo
Ee
т.е. эллипс ориентирован относительно главных оптических осей кристалла. При
Eo = Ee (если световой вектор в падающем на пластину плоскополяризованном
свете составляет угол α = 45° с направлением ОО' ).
x 2 + y2 = Eo2 ,
т.е. на выходе из пластинки свет оказывается циркулярно поляризованным.
Вырезанная параллельно оптической оси пластинка, для которой оптическая разность хода ∆ = (no − ne )d = ±(m + 1 4 )λ 0 ( m = 0,1,2,... ), называется пластинкой в четверть волны. Плоскопараллельный свет, пройдя пластинку λ 4 ,
на выходе превращается в эллиптически поляризованный.
Пластинка, для которой ∆ = (no − ne )d = ±(m + 1 2 )λ 0 ( m = 0,1,2,... ), называется пластинкой в полволны.
В циркулярно поляризованном свете разность фаз ϕ между любыми двумя
взаимно перпендикулярными колебаниями равна ± π 2 . Если на пути такого света поставить пластинку λ 4 , то она внесет дополнительную разность фаз ± π 2 .
Результирующая разность фаз станет равной 0 или π. Следовательно, циркулярно
поляризованный свет, пройдя пластинку λ 4 , становится плоско поляризованным. Если теперь на пути луча поставить поляризатор, то можно добиться полного его гашения. Если же падает свет естественный, то он при прохождении пластинки λ 4 таковым и останется.
Таким образом, если при вращении поляризатора при любом положении
пластинки интенсивность не меняется, то падающий свет естественный. Если интенсивность света меняется и можно достичь полного гашения луча, то падающий свет циркулярно поляризованный, если полного гашения не достичь, то падающий свет представляет смесь естественного и циркулярно поляризованного.
Если на пути эллиптически поляризованного света поместить пластинку
λ 4 , оптическая ось которой ориентирована параллельно одной из осей эллипса,
то она внесет дополнительную разность фаз ± π 2 . Результирующая разность фаз
станет равной 0 или π. Следовательно, эллиптически поляризованный свет, пройдя пластинку λ 4 , повернутую определенным образом, превращается в плоско
поляризованный и может быть погашен поворотом поляризатора. Этим методом
можно отличить эллиптически поляризованный свет от частично поляризованного или циркулярно поляризованный свет от естественного.
§ 155
Искусственная оптическая анизотропия
Двойное лучепреломление имеет место в естественных анизотропных средах. Существуют, однако, различные способы получения искусственной оптической анизотропии, т.е. сообщение оптической анизотропии естественно изотропным веществам.
Оптически изотропные вещества становятся оптически анизотропными под
действием:
1. одностороннего сжатия или растяжения (кристаллы кубической системы);
2. электрического поля (эффект Керра; жидкости, аморфные тела, газы);
3. магнитного поля (жидкости, стекла, коллоиды).
В перечисленных случаях вещество приобретает свойства одноосного кристалла,
оптическая ось которого совпадает с направлением деформации, электрического
или магнитного полей соответственно указанным выше воздействиям.
Мерой возникающей оптической анизотропии служит разность показателей
преломления no и ne в направлении, перпендикулярном оптической оси:
no − ne = k1σ ,
(в случае деформации);
no − ne = k2E 2 ,
(155.1)
(в случае электрического поля);
no − ne = k3H 2 ,
(в случае магнитного поля), где k1 , k2 , k3 , – постоянные характеризующие вещество, σ – нормальное напряжение, E и H – соответственно напряженность электрического и магнитного поля.
На
рисунке
37
представлена
установка для наблюдения эффекта
Керра в жидкостях. Ячейка Керра –
кювета
с
жидкостью,
в
которую
введены пластины конденсатора, помещается между скрещенными поляризатором Р и анализатором А. При отсутствии электрического поля свет через систему
не проходит. При наложении электрического поля жидкость становиться двоякопреломляющей; при изменении разности потенциалов между электродами меняется степень анизотропии вещества, а следовательно, и интенсивность света,
прошедшего через анализатор. На пути l между обыкновенным и необыкновенным лучами возникает оптическая разность хода
∆ = l (no − ne ) = k2lE 2
или соответственно разность фаз
ϕ=
2π
∆ = 2πBlE 2 ,
λ
где B = k2 λ – постоянная Керра.
Эффект Керра – оптическая анизотропия вещества под действием электрического поля – объясняется различной поляризуемостью молекул жидкости по
разным направлениям. Это явление практически безынерционно, т.е. переход вещества из изотропного состояния в анизотропное при включении поля составляет
приблизительно 10–10 с. Поэтому ячейка Керра может служить идеальным световым затвором и применяется в быстропротекающих процессах, в оптической локации, в оптической телефонии и т.д.
Искусственная анизотропия под действие механических воздействий позволяет исследовать напряжения, возникающие в прозрачных телах. В данном
случае о степени деформации отдельных участков изделия (например, остаточных деформаций в стекле при закалке) судят по распределению в нем окраски.
Так как применяемые обычно в технике материалы непрозрачны, то исследование напряжений производят на прозрачных моделях, а потом делают соответствующий пересчет на проектируемую конструкцию.
§ 156
Вращение плоскости поляризации
Некоторые вещества (кварц, сахар, водный раствор сахара, винная кислота,
скипидар), называемые оптически активными, обладают способностью вращать
плоскость поляризации.
Вращение плоскости поляризации можно наблюдать на следующем опыте
(рис. 38). Если между скрещенными поляризатором Р и анализатором А, дающими темное поле зрения, поместить оптически активное вещество, то поле зрения
анализатора просветлеет. При повороте анализатора на некоторый угол ϕ можно
вновь получить темное поле зрения. Угол ϕ и есть угол, на который оптически
активное вещество поворачивает плоскость поляризации света, прошедшего через поляризатор.
Опыт показывает, что угол поворота плоскости поляризации для оптически
активных кристаллов и чистых жидкостей
ϕ = αd ,
для оптически активных растворов
ϕ = [α]Cd ,
(156.1)
где d – расстояние, пройденное светом в оптически активном веществе, α([α]) –
так называемое удаленное вращение, численно равное углу поворота плоскости
поляризации света слоем оптически активного вещества единичной толщины
(единичной концентрации – для растворов), C – массовая концентрация оптически активного вещества в растворе, кг/м3. Удельное вращение зависит от природы
вещества, температуры и длины волны света в вакууме.
Оптически активные вещества в зависимости от направления вращения
плоскости поляризации разделяется на право- и левовращающие.
Явление вращения плоскости поляризации в оптически неактивных телах
под воздействием магнитного поля называется эффектом Фарадея или магнитным вращением плоскости поляризации.
§ 157
Дисперсия света
Дисперсией света называется зависимость показателя преломления n вещества от частоты v (длины волны λ) света или зависимость фазовой скорости v
световых волн от его частоты ν. Дисперсия света представляется в виде зависимости
n = f (λ ) .
(157.1)
Следствием дисперсии является, приведенное
на рисунке, разложение в спектр пучка белого
света при прохождении его через призму (впервые её наблюдал И.Ньютон в 1672 г.).
Рассмотрим дисперсию света в призме. Пусть монохроматический пучок
света падает на призму с показателем преломления n (рис. 39) под углом α1. После двукратного преломления луч оказывается отклоненным от первоначального
направления на угол ϕ. Из рисунка следует, что
ϕ = (α1 − β1 ) + (α 2 − β2 ) = α1 + α 2 − A .
(157.2)
Предположим, что углы А и α1 малы, и тогда углы α2, β1 и
β2 будут также малы и вместо синусов этих углов можно
воспользоваться
их
значениями. Поэтому
α1 β1 = n ,
β2 α 2 = 1 n , а так как β1 + β2 = A , то
α 2 = β2n = n( A − β1 ) = n( A − α1 n) = nA − α1 ,
α1 + α 2 = nA .
(157.3)
Из выражений (157.3) и (157.2) следует, что
ϕ = A(n − 1) ,
(157.4)
т.е. угол отклонения лучей призмой тем больше, чем больше преломляющий угол
призмы.
Из выражения (157.4) вытекает, что угол отклонения лучей призмой зависит от величины n − 1 , а n – функция длины волны, поэтому лучи разных длин
волн после прохождений призмы отклоняются на разные углы, т.е. пучок белого
света при прохождении через призму разлагается в спектр. Таким образом, с помощью призмы, так же как и с помощью дифракционной решётки, разлагая свет в
спектр, можно определить его спектральный состав.
Рассмотрим различия в дифракционном и призматическом спектрах.
1. Дифракционная решётка разлагает свет непосредственно по длине волны,
(sin ϕ = mλ d ),
поэтому по измеренным углам можно вычислить длину
волны. Разложение света в спектр в призме происходит по значениям показателя преломления, поэтому для определения длины волны света надо
знать зависимость n = f (λ ) .
2. Составные
цвета
в
дифракционном
и
призматическом спектрах располагаются различно. В
дифракционной решётке красные лучи, имеющие большую длину волны, чем фиолетовые, отклоняются
сильнее. Призма разлагает лучи в спектр в соответствии
со значениями n , который для всех прозрачных веществ
с увеличением длины монотонно уменьшается (рис. 40). Следовательно, красные
лучи, имеющие меньший показатель преломления, чем фиолетовые, отклоняются
призмой слабее.
Величина D = dn dλ , называемая дисперсией вещества, показывает, как
быстро изменяется показатель преломления с длиной волны. Величина D для
прозрачных веществ с уменьшением λ по модулю будет увеличиваться. Такая
дисперсия называется нормальной. Однако, ход кривой n(λ) – кривой дисперсии вблизи линий и полос поглощения будет иной: n уменьшается с уменьшением λ. Такой ход зависимости n от λ называется аномальной дисперсией.
На явление нормальной дисперсии основано действие призменных спектрографов.
§ 158
Электронная теория дисперсии света
Из электромагнитной теории Максвелла следует, что n = εµ . Но для оптической области спектра для всех веществ µ ≈ 1 , поэтому
n= ε.
(158.1)
Из формулы (158.1) выявляются некоторые противоречия с опытом:
а) величина n являясь переменной, остаётся в то же время равной определённой постоянной
ε;
б) значения n полученное из этого выражения не согласуется с опытными
данными (например для воды).
Эти трудности, возникающие с точки зрения теории Максвелла, легко устраняются с помощью электронной теорией Лоренца. В теории Лоренца дисперсия света
рассматривается как результат взаимодействия электромагнитных волн с заряженными частицами вещества и совершающие вынужденные колебания в переменном электромагнитном поле волны.
Применим электронную теорию дисперсии света для однородного диэлектрика, предположив формально, что дисперсия света является следствием зависимости ε от частоты ω световых волн. По определению
ε = 1 + χ = 1 + P ε0E ,
где χ – диэлектрическая восприимчивость среды; Р – мгновенное значение поляризованности. Следовательно, согласно (158.1) n зависит от Р
n 2 = 1 + P ε0E .
(158.2)
В данном случае основное значение имеет электронная поляризация, т.к. для ориентационной поляризации частота световых колебаний ( ν ≈ 1015 Гц) очень высока.
В первом приближении будем считать, что вынужденные колебания совершают только внешние – оптические электроны. Наведённый дипольный момент
колеблющегося электрона будет равен p = ex , где x – смещение электрона под
действием электрического поля световой волны. Тогда – значение поляризованности будет равно
P = n0p = n0ex ,
(158.3)
где n 0 – концентрация атомов в диэлектрике. Из (158.2) и (158.3) получим
n2 = 1 +
n0ex
.
ε 0E
(158.4)
Определим смещение электрона x под действием поля E = E0 cos ωt
&& + ω0 2 x =
x
F0
e
cos ωt = E0 cos ωt .
m
m
(158.5)
Решая (158.5) найдём ε = n 2 в зависимости от констант ( e , m , ω0 ), где
ω0 = k m – собственная частота колебаний электронов.
Решение (158.5) можно записать в виде
x = A cos ωt ,
где A =
(158.6)
eE0
.
m (ω02 − ω2 )
(158.7)
Подставим (158.6) и (158.7) в (158.4) получим
n0 e 2
1
n =1+
⋅ 2
ε0 m (ω0 − ω2 )
2
(158.8)
Если вещество имеет различные заряды ei , совершающие вынужденные колебания с частотами ω0 i , то
n0
ei2
.
n =1+ ∑
ε0
mi (ω02 i − ω2 )
2
(158.9)
Из выражений (158.8) и (158.9) вытекает, что n
зависит от ω, т.е полученные зависимости действительно подтверждают явление дисперсии света.
Участок АВ на рисунке 41 соответствует
аномальная дисперсия.
§ 159
Поглощение (абсорбция) света
Поглощением (абсорбцией) света называется явление потери энергии световой волной, проходящей через вещество, вследствие преобразования энергии
волны в другие формы.
В результате поглощения интенсивность света при прохождении через вещество уменьшается согласно закону Бугера
I = I0 e − αx ,
(159.1)
где I0 и I – интенсивность плоской монохроматической световой волны на входе
и выходе слоя поглощающего вещества толщиной x , α – коэффициент погло-
щения, зависящий от длинны волны света, химической природы и состояния вещества, и не зависящий от интенсивности света.
Коэффициент поглощения зависит от длины волны λ (или частоты ω) и для
различных веществ различен. Например, одноатомные газы и пары металлов обладают близким к нулю α и лишь для очень узких спектральных областей
( ~ 10−12 − 10−11 м) наблюдаются резкие максимумы
так
называемые
линейчатые
спектры
поглощения (рис. 42). Эти линии соответствуют
частотам собственных колебаний электронов в
атомах.
Спектр поглощения молекул, определяемый колебаниями атомов в молекулах, характеризуются полосами поглощения. ( ~ 10−10 − 10−7 м).
Коэффициент поглощения α для диэлектриков
невелик ( ~ 10−3 − 10−5 см-1), однако у них наблюдается
селективное поглощение света в определенных интервалах длин волн, когда α резко возрастает и
наблюдается сравнительно широкие полосы поглощения,
т.е. диэлектрики имеют сплошной спектр поглощения (рис. 43). Это связано с
тем, что в диэлектриках нет свободных электронов, и поглощение света обусловлено явлением резонанса при вынужденных колебаниях электронов в атомах и
атомов в молекулах.
Коэффициент поглощения α для металлов имеет большое значения
( ~ 103 − 105 см–1), и поэтому металлы являются непрозрачными для света. Чем
выше проводимость металла, тем сильнее в нем поглощается свет, и энергия световой волны превращается в джоулево тепло.
На рисунке 44 представлены зависимости α и n от λ в области полосы поглощения. Зависимостью α от λ объясняется окрашенность поглощающих тел.
Например, стекло, слабо поглощающее красные и оранжевые лучи и сильно поглощающее зеленые и синие, при освещении белым светом будет казаться крас-
ным. Это явление используется для изготовления светофильтров, которые в зависимости от химического состава пропускают свет только определенных длин
волн, поглощая остальные.
Явление поглощения широко используется в абсорбционном спектральном анализе, смеси газов, основанном на измерениях спектров частот и интенсивностей линий (полос) поглощения. Структура спектров поглощения определяется составом и строением молекул, поэтому изучение спектров поглощения является одним из основных методов количественного и качественного исследования вещества.
§ 160
Эффект Доплера
Эффектом Доплера называется изменение частоты колебаний воспринимаемой приемником, при движении источника этих колебаний и приемника относительно друг друга.
1. Эффект Доплера в акустике:
ν=
(v ± v )ν
пр
v ± vист
0
,
(160.1)
где v – скорость распространения волны, vnp – скорость приемника, vucm – скорость источника, νo – частота колебаний источника.
2. Эффект Доплера для световых волн:
Согласно принципу относительности Эйнштейна, уравнения световой волны во всех инерциальных системах отсчета одинаково по форме. Используя преобразования Лоренца, можно получить уравнения волны, посылаемой источником, в направлении приемника в другой инерциальной системе отсчета, а следовательно, и связать частоты световых волн, излучаемых источником (νo) и воспринимаемы приемником (ν). Теория относительности приводит к следующей
форме, описывающей эффект Доплера для электромагнитных волн в вакууме:
1 − (v / c )
1 − β2
,
ν = νo
= vo
1 + (v / c )cos θ
1 + β cos θ
2
(160.2)
где v – скорость источника света относительно приемника, c – скорость света в
вакууме, β = v c , θ – угол между вектором скорости v и направлением наблюдения, измеряемый в системе отсчета, связанной с наблюдателем.
Из выражения (160.2) следует, что при θ = 0
ν = νo
1 − (v / c )
1− β
= vo
.
1+ v c
1+ β
(160.3)
Формула (160.3) определяет так называемый продольный эффект Доплера. При
малых относительных скоростях v << c получим
ν = ν 0 (1 − β) = ν 0 (1 − v c) .
(160.4)
Следовательно, при удалении источника и приемника друг от друга наблюдается сдвиг в область более длинных волн ( ν < ν 0 , λ > λ 0 ) – так называемое
красное смещение. При приближении источника и приемника наблюдается
сдвиг в область более коротких волн ( ν > ν 0 , λ < λ 0 ) – так называемое фиолетовое смещение.
Если θ = π 2 , то выражение (160.2) примет вид
ν = ν o 1 − ( v / c) 2 = ν o 1 − β 2 .
(160.5)
Формула (160.5) определяет так называемый поперечный эффект Доплера. Он имеет второй порядок малости по сравнению с продольным эффектом при
малых β и практически не наблюдается в вакууме. Это чисто релятивистский эффект.
§ 161
Излучение Вавилова-Черенкова
Советский физик П.А. Черенков (1904–1990), работавший под руководством Вавилова, показал, что при движении релятивистских заряженных частиц
в среде с постоянной скоростью v , превышающей фазовую скорость света в этой
среде ( v > c n ), возникает электромагнитное излучение, названное впоследствии
излучением (эффектом) Вавилова–Черенкова. Природа данного излучения,
обнаруженного впоследствии для разных веществ, в том числе и для чистых жидкостей, связана с движением свободных электронов через вещество. Если электрон движется в прозрачной среде со скоростью, превышающей фазовую скорость света в данной среде, то он должен сам излучать
свет.
Отличительной особенностью излучения Вавилова–
Черенкова является его распространение не по всем
направлениям, а лишь по направлениям, составляющим
острый угол ϑ с траекторией частицы (рис. 45), т.е. вдоль образующих конуса,
ось которого совпадает с направлением скорости частицы. Определим угол ϑ
cos ϑ = (c n) / v = c (nv) .
(161.1)
Счетчики для регистрации заряженных частиц, в которых используется излучение Вавилова–Черенкова, получили название черенковских счетчиков.