Группа И-101

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Âàð.:853344601. Ãðóïïà: È-101 ×èñëî/Ìåñ./Ãîä: 10/04/11
Âàð.:853344602. Ãðóïïà: È-101 ×èñëî/Ìåñ./Ãîä: 10/04/11
Ô.È.Î.:
Àáðîñèìîâ Àëåêñàíäð
Àáðîñèìîâ Àëåêñàíäð
Ô.È.Î.:
Íàéòè ïÿòü ðàçëè÷íûõ ðåøåíèé ñèñòåìû

1 · x1 +4 · x2 +3 · x3 +11 · x4 = 1



1 · x1 +2 · x2 +2 · x3 +5 · x4 = 1
 −1 · x1 −1 · x2 −1 · x3 −1 · x4 = −1


1 · x1 +3 · x2 +3 · x3 +9 · x4 = 1
óðàâíåíèé:
Íàéòè
êîîðäèíàòû
òî÷êè,
ñèììåòðè÷íîé
A = (−7, 11, 5) îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé,
ðåç òî÷êè B = (−2, 2, 4) è C = (−5, 6, 5).
֌-
Îòâåò:
Îòâåò:
Íàéòè
êîîðäèíàòû
òî÷êè,
ñèììåòðè÷íîé
A = (1, −6, 1) îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè,
íèåì 2 · x + 3 · y − 1 · z + 3 = 0.
Íàéòè îáðàòíóþ ìàòðèöó


1 0 0 1 −1
 1 1 1 1 −1 


 0 1 2 0
0 


 0 0 0 1 −1 
0 0 0 0
1
òî÷êå
ïðîõîäÿùåé
ê:
òî÷êå
çàäàííîé óðàâíå-
Îòâåò:
Ïåðâàÿ
ïðÿìàÿ
ïðîõîäèò
÷åðåç
B = (3, 6, 2). Âòîðàÿ ïðÿìàÿ
C = (−2, 10, 5) è D = (−3, 12, 6).
òî÷êè
ïðîõîäèò
A = (2, 5, 2)
÷åðåç
è
òî÷êè
Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷-
êè ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ïðÿìûõ.
Îòâåò:
Îòâåò:

3
 −1
det 
 1
0
−1
−1
−1
−1
2
0
1
0

A = (7, 9, 8) äî ïëîñêîñòè, ïðîB = (−6, −8, −4) ïåðïåíäèêóëÿðíî
α
~ = (−4, −4, −2).
Íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè
−5
0 
=
−5 
0
õîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó
âåêòîðó
Îòâåò:
−1
 A
1
A =  −1
0
Íàéòè
è ðåøèòü ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå.
1
0
0

1
−1  ;
1

1
A · X =  −1
0

2
3
−1 −2 
0
1
Äàíû
äâå
ïðîòèâîïîëîæíûå
(4, 5, 2), C = (2, −11, −6)
êâàäðàòà
A =
E = (−14, −13, 2)
ëåæà-
âåðøèíû
è òî÷êà
ùàÿ â òîé æå ïëîñêîñòè, ÷òî è êâàäðàò. Íàéòè êîîðäèíàòû
äâóõ îñòàâøèõñÿ âåðøèí.
Îòâåò:
Ïåðâàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè
(5, −2, −1). Âòîðàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷(0, −5, −1) è (2, −3, 1). Òðåòüÿ ïðÿìàÿ
ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè (3, −3, −1) è ïåðåñå-
(9, 2, 1)
è
A = (−34, 49, 47) è
B = (−205, −185, 263). Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè C , êîòîðàÿ ëåæèò íà îòðåçêå AB è äåëèò åãî â îòíîøåíèè 5 : 4,
|AC|
5
ò.å. òàê, ÷òî
|CB| = 4 .
êè ñ êîîðäèíàòàìè
Îòâåò:
Îòâåò:
Äàíû
êîîðäèíàòû
äâóõ
òî÷åê
~a, ~b â îðòîíîðìèðîâàííîì áà~a = (5, −3), ~b = (−3, 2). Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ ~c, d~ â
áàçèñå ~
a, ~b: ~c = (−1, 3), d~ = (−3, 3).
Íàéòè: ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ~
c è d~.
Äàíî: Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ
çèñå:
êàåò ïåðâóþ è âòîðóþ ïðÿìóþ. Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè
ïåðåñå÷åíèÿ ïåðâîé è òðåòüåé ïðÿìîé.
Íàéòè êîîðäèíàòû âåðøèí êâàäðàòà, åñëè èçâåñòíû êîîðäèíàòû îäíîé âåðøèíû
ðîíû
(−24, 0)
è óðàâíåíèå îäíîé ñòî-
10
22
y=
·x+
3
3
Îòâåò:
Îòâåò:
Íàéòè êîðíè óðàâíåíèÿ:
Äàíû êîîðäèíàòû òî÷åê
A, B , C , D , E
â ¾îáûêíîâåí-
(1 − 1 · i) · x2 + (2 − 4 · i) · x + (1 − 7 · i) = 0
íîé¿ ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò: A =
(−2, −1), B = (−3, 2), C = (−4, 2), D = (4, 3), E = (10, −9). Îòâåò:
Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè E â íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ñ
~
Íàéòè ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîáñòâåííûå âåêòîðà ìàòðèöû
íà÷àëîì êîîðäèíàò â òî÷êå D è áàçèñíûìè âåêòîðàìè AB
12
7
~ .
è BC
−14 −9
Îòâåò:
~a, êîòîðûé îðòîãîíàëåí
√ âåê~c = (−3, 6, 6) è èìååò äëèíó 17.
Íàéòè êîîðäèíàòû âåêòîðà
òîðàì
~b = (−8, 1, 6)
Îòâåò:
A ñ ïîëîæèòåëüíûè
ñîáñòâåííûìè ÷èñëà

−2 −3 −3
1
0 
A·A= 0
6
6
7
Íàéòè ìàòðèöó
è
ìè òàêóþ, ÷òî
Îòâåò:
............................................................
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Âàð.:853344603. Ãðóïïà: È-101 ×èñëî/Ìåñ./Ãîä: 10/04/11
Âàð.:853344604. Ãðóïïà: È-101 ×èñëî/Ìåñ./Ãîä: 10/04/11
Ô.È.Î.:
Àðêàòîâà Êñåíèÿ
Ô.È.Î.:
Íàéòè ïÿòü ðàçëè÷íûõ ðåøåíèé ñèñòåìû

11 · x1 −8 · x2 +1 · x3 −7 · x4 = 11



1 · x1 +2 · x2 +6 · x3 +3 · x4 = 1
7
· x1 −5 · x2 +1 · x3 −4 · x4 = 7



−1 · x1 −1 · x2 −4 · x3 −2 · x4 = −1
óðàâíåíèé:
Àðêàòîâà Êñåíèÿ
Íàéòè
êîîðäèíàòû
òî÷êè,
ñèììåòðè÷íîé
֌-
Îòâåò:
Îòâåò:
Íàéòè
êîîðäèíàòû
òî÷êè,
ñèììåòðè÷íîé
A = (−5, 6, 6) îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè,
íèåì 1 · x − 1 · y − 1 · z + 8 = 0.
Íàéòè îáðàòíóþ ìàòðèöó


1 0
0
0
0
 0 1 −1 −1
1 



 0 0
1
1
−1


 1 0
0
1
0 
0 1 −1 −1
2
òî÷êå
A = (9, 8, −5) îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé
ðåç òî÷êè B = (−4, 4, −3) è C = (0, 5, −2).
ê:
òî÷êå
çàäàííîé óðàâíå-
Îòâåò:
Ïåðâàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè
B = (−4, 5, −1). Âòîðàÿ ïðÿìàÿ
C = (−3, 4, −2) è D = (−4, 5, −3).
A = (−3, 4, −1)
ïðîõîäèò
÷åðåç
è
òî÷êè
Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷-
êè ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ïðÿìûõ.
Îòâåò:
Îòâåò:


A = (−6, −2, 7) äî ïëîñêîñòè,
B = (8, −1, 4) ïåðïåíäèêóëÿðíî
Íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè
−1
0
1
−1
2
0 
=
0 −1
1 
1
0 −2
1
 2
det 
 −1
−1
ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó
âåêòîðó
α
~ = (6, −3, −6).
Îòâåò:
−1
 A
−1
A= 0
1
Íàéòè
è ðåøèòü ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå.

−1 −1
1
0 ;
1
2

−1
A·X = 0
2

−2 −2
1
1 
2
3
Äàíû
äâå
ïðîòèâîïîëîæíûå
(1, 30, 15), C = (−7, −34, −17)
êâàäðàòà A =
E = (33, 34, −1)
âåðøèíû
è òî÷êà
ëåæàùàÿ â òîé æå ïëîñêîñòè, ÷òî è êâàäðàò. Íàéòè êîîðäèíàòû äâóõ îñòàâøèõñÿ âåðøèí.
Îòâåò:
Ïåðâàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè
(1, 3, −3)
(−3, 5, 1). Âòîðàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷(−2, 4, −1) è (1, −2, −7). Òðåòüÿ ïðÿìàÿ
ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè (−1, 3, −2) è ïåðåñåè
A = (−46, 42, 34) è
B = (−131, −13, 94). Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè C , êîòîðàÿ
ëåæèò íà îòðåçêå AB è äåëèò åãî â îòíîøåíèè 3 : 2, ò.å.
|AC|
3
òàê, ÷òî
|CB| = 2 .
êè ñ êîîðäèíàòàìè
Îòâåò:
Îòâåò:
Äàíû
êîîðäèíàòû
äâóõ
òî÷åê
~a, ~b â îðòîíîðìèðîâàííîì áà~a = (1, −1), ~b = (1, 0). Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ ~c, d~ â
áàçèñå ~
a, ~b: ~c = (−2, −1), d~ = (−1, 3).
Íàéòè: ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ~
c è d~.
Äàíî: Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ
çèñå:
êàåò ïåðâóþ è âòîðóþ ïðÿìóþ. Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè
ïåðåñå÷åíèÿ ïåðâîé è òðåòüåé ïðÿìîé.
Íàéòè êîîðäèíàòû âåðøèí êâàäðàòà, åñëè èçâåñòíû êîîðäèíàòû îäíîé âåðøèíû
(5, 22) è óðàâíåíèå îäíîé ñòîðîíû
−1
11
y=
·x+
20
5
Îòâåò:
Îòâåò:
Íàéòè êîðíè óðàâíåíèÿ:
Äàíû êîîðäèíàòû òî÷åê
A, B , C , D , E
â ¾îáûêíîâåí-
(1 + 1 · i) · x2 + (−1 + 1 · i) · x + (−16 + 2 · i) = 0
íîé¿ ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò: A =
(−2, 4), B = (−3, 5), C = (−7, 5), D = (−2, −2), E = (4, 0). Îòâåò:
Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè E â íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ñ
~
Íàéòè ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîáñòâåííûå âåêòîðà ìàòðèöû
íà÷àëîì êîîðäèíàò â òî÷êå D è áàçèñíûìè âåêòîðàìè AB
−10 −6
~ .
è BC
12
8
Îòâåò:
~a, êîòîðûé îðòîãîíàëåí
√ âåê~c = (−5, −9, 5) è èìååò äëèíó 70.
Íàéòè êîîðäèíàòû âåêòîðà
òîðàì
~b = (3, 3, 1)
Îòâåò:
A ñ ïîëîæèòåëüíûè
ñîáñòâåííûìè ÷èñëà

10 −9 −9
1
0 
A·A= 0
6 −6 −5
Íàéòè ìàòðèöó
è
ìè òàêóþ, ÷òî
Îòâåò:
............................................................
............................................................
Âàð.:853344605. Ãðóïïà: È-101 ×èñëî/Ìåñ./Ãîä: 10/04/11
Âàð.:853344606. Ãðóïïà: È-101 ×èñëî/Ìåñ./Ãîä: 10/04/11
Ô.È.Î.:
Áåðåãîâåíêî Àëåêñåé
Ô.È.Î.:
Íàéòè ïÿòü ðàçëè÷íûõ ðåøåíèé ñèñòåìû

−2 · x1 +1 · x2 −1 · x3 +3 · x4 = −2



3 · x1 −1 · x2 +2 · x3 −5 · x4 = 3
6
· x1 −2 · x2 +3 · x3 −11 · x4 = 6



6 · x1 −2 · x2 +2 · x3 −12 · x4 = 6
óðàâíåíèé:
Íàéòè
Áåðåãîâåíêî Àëåêñåé
êîîðäèíàòû
òî÷êè,
ñèììåòðè÷íîé
Íàéòè
êîîðäèíàòû
òî÷êè,
ñèììåòðè÷íîé
A = (−2, 5, −6) îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè,
íåíèåì −2 · x + 1 · y − 2 · z + 6 = 0.
îáðàòíóþ ìàòðèöó ê:
Ïåðâàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè A = (0, −5, 6) è
B = (−1, −6, 7). Âòîðàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè
C = (10, 3, 4) è D = (13, 5, 5). Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ïðÿìûõ.
Îòâåò:

1
 0
det 
 1
0
òî÷êå
çàäàííîé óðàâ-
Îòâåò:

−1 −1
0
0 

1
1 

1
0 
0
1
0 0
1 1
1 2
0 0
0 0
֌-
Îòâåò:
Îòâåò:
Íàéòè

1
 0

 −1

 0
0
òî÷êå
A = (4, −9, −1) îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé
ðåç òî÷êè B = (−3, −4, −3) è C = (0, −7, −2).
Îòâåò:

Íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè
−1 −1 −10
0
0
5 
=
−1
0
0 
1
0 −10
ñòè, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó
ëÿðíî âåêòîðó
A = (−9, −1, −9) äî ïëîñêîB = (−2, 2, −2) ïåðïåíäèêó-
α
~ = (10, 10, 5).
Îòâåò:
−1
 A
1
A =  −1
0
Íàéòè
è ðåøèòü ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå.
1
0
0

1
−1  ;
1

1
A · X =  −1
1

3
1
−2 −1 
1
1
Äàíû
äâå
ïðîòèâîïîëîæíûå
(8, 17, 16), C = (−10, −19, −20)
êâàäðàòà A =
E = (8, −10, −38)
âåðøèíû
è òî÷êà
ëåæàùàÿ â òîé æå ïëîñêîñòè, ÷òî è êâàäðàò. Íàéòè êîîðäèíàòû äâóõ îñòàâøèõñÿ âåðøèí.
Îòâåò:
Ïåðâàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè
B = (168, −288, −189).
Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè
(1, −2, 3) è (4, −5, −3). Âòîðàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè (−1, −1, 5) è (2, −1, −1). Òðåòüÿ ïðÿìàÿ
ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè (1, −2, 2) è ïåðåñå-
ðàÿ ëåæèò íà îòðåçêå
AB
êàåò ïåðâóþ è âòîðóþ ïðÿìóþ. Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè
Äàíû
êîîðäèíàòû
ò.å. òàê, ÷òî
|AC|
|CB|
=
äâóõ
òî÷åê
è äåëèò
A = (33, −45, −45) è
C , êîòîåãî â îòíîøåíèè 4 : 5,
4
5.
ïåðåñå÷åíèÿ ïåðâîé è òðåòüåé ïðÿìîé.
Îòâåò:
Îòâåò:
~a, ~b â îðòîíîðìèðîâàííîì áà~a = (−1, −1), ~b = (1, 0). Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ ~c, d~ â
áàçèñå ~
a, ~b: ~c = (−1, 1), d~ = (1, 1).
Íàéòè: ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ~
c è d~.
Äàíî: Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ
çèñå:
Íàéòè êîîðäèíàòû âåðøèí êâàäðàòà, åñëè èçâåñòíû êîîðäèíàòû îäíîé âåðøèíû
ðîíû
(−26, 9)
è óðàâíåíèå îäíîé ñòî-
7
21
y=
·x+
16
16
Îòâåò:
Îòâåò:
Äàíû êîîðäèíàòû òî÷åê
Íàéòè êîðíè óðàâíåíèÿ:
A, B , C , D , E
â ¾îáûêíîâåí-
(1 − 1 · i) · x2 + (0) · x + (17 + 7 · i) = 0
íîé¿ ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò: A =
(4, −4), B = (6, −8), C = (10, −8), D = (−1, −3), E = Îòâåò:
(−11, 1). Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè E â íîâîé ñèñòåìå êîÍàéòè ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîáñòâåííûå âåêòîðà ìàòðèöû
îðäèíàò ñ íà÷àëîì êîîðäèíàò â òî÷êå D è áàçèñíûìè âåê
4 −18
~ è BC
~ .
òîðàìè AB
3 −11
Îòâåò:
~a, êîòîðûé îðòîãîíàëåí âåê~c = (−2, 3, −8) è èìååò äëè-
Íàéòè êîîðäèíàòû âåêòîðà
~
√ b = (−4, −9, −1)
33.
òîðàì
íó
è
ìè òàêóþ, ÷òî
Îòâåò:
Îòâåò:
A ñ ïîëîæèòåëüíûè
ñîáñòâåííûìè ÷èñëà

1
6
6
7
6 
A·A= 0
0 −3 −2
Íàéòè ìàòðèöó
............................................................
............................................................
Âàð.:853344607. Ãðóïïà: È-101 ×èñëî/Ìåñ./Ãîä: 10/04/11
Âàð.:853344608. Ãðóïïà: È-101 ×èñëî/Ìåñ./Ãîä: 10/04/11
Ô.È.Î.:
Áóðëà÷åíêî Ñåðãåé
Ô.È.Î.:
Íàéòè ïÿòü ðàçëè÷íûõ ðåøåíèé ñèñòåìû

−1 · x1 −3 · x2 +3 · x3 −1 · x4 = −1



1 · x1 −4 · x2 +2 · x3 +7 · x4 = 1
1
· x1 +7 · x2 −6 · x3 −2 · x4 = 1



2 · x1 +7 · x2 −7 · x3 +2 · x4 = 2
óðàâíåíèé:
Íàéòè
Áóðëà÷åíêî Ñåðãåé
êîîðäèíàòû
òî÷êè,
ñèììåòðè÷íîé
A = (5, 1, 2) îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé,
òî÷êè B = (2, 4, −1) è C = (4, 0, 0).
ïðîõîäÿùåé
÷åðåç
Îòâåò:
Îòâåò:
Íàéòè
êîîðäèíàòû
òî÷êè,
ñèììåòðè÷íîé
A = (−6, 0, −6) îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè,
íåíèåì 1 · x + 1 · y + 3 · z + 2 = 0.
Íàéòè îáðàòíóþ ìàòðèöó


1
0
0 1
0
 0
1
0 0 −1 


 1
0
1 1
0 


 0
0
0 1
0 
0 −1 −1 0
2
òî÷êå
ê:
òî÷êå
çàäàííîé óðàâ-
Îòâåò:
Ïåðâàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè A = (−9, 12, 11) è
B = (−10, 15, 13). Âòîðàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè
C = (−6, 0, 3) è D = (−8, 3, 5). Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè
ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ïðÿìûõ.
Îòâåò:
Îòâåò:


−2
 4
det 
 −3
4
A = (8, 5, 3) äî ïëîñêîñòè,
B = (6, 6, 6) ïåðïåíäèêóëÿðíî
Íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè
−5
2 −4
3 −3
0 
=
0
2
2 
4 −3
2
ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó
âåêòîðó
α
~ = (4, −4, −2).
Îòâåò:
−1
 A
−1
A= 1
0
Íàéòè
è ðåøèòü ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå.

−1 −1
2
2 ;
0
1

−2
A·X = 4
1

−1 −2
1
3 
0
1
Äàíû äâå ïðîòèâîïîëîæíûå âåðøèíû êâàäðàòà A =
(2, 20, 8), C = (0, −16, −4) è òî÷êà E = (17, −33, −16) ëåæàùàÿ â òîé æå ïëîñêîñòè, ÷òî è êâàäðàò. Íàéòè êîîðäèíàòû
äâóõ îñòàâøèõñÿ âåðøèí.
Îòâåò:
Ïåðâàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè
B = (−210, −196, 236).
Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè
(−1, 2, 0) è (−3, 2, −2). Âòîðàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè (−4, −1, −1) è (−4, −3, −1). Òðåòüÿ
ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè (−3, 1, −1) è
ðàÿ ëåæèò íà îòðåçêå
AB
ïåðåñåêàåò ïåðâóþ è âòîðóþ ïðÿìóþ. Íàéòè êîîðäèíàòû
Äàíû
êîîðäèíàòû
ò.å. òàê, ÷òî
|AC|
|CB|
=
äâóõ
òî÷åê
è äåëèò
A = (−35, −49, 33) è
C , êîòîåãî â îòíîøåíèè 6 : 1,
6
1.
òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ïåðâîé è òðåòüåé ïðÿìîé.
Îòâåò:
Îòâåò:
~a, ~b â îðòîíîðìèðîâàííîì áà~a = (3, 1), ~b = (−1, 0). Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ ~c, d~ â
áàçèñå ~
a, ~b: ~c = (2, −1), d~ = (−2, 1).
Íàéòè: ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ~
c è d~.
Äàíî: Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ
çèñå:
Íàéòè êîîðäèíàòû âåðøèí êâàäðàòà, åñëè èçâåñòíû êîîðäèíàòû îäíîé âåðøèíû
(9, 0)
è óðàâíåíèå îäíîé ñòîðîíû
−5
8
y=
·x−
6
3
Îòâåò:
Îòâåò:
Íàéòè êîðíè óðàâíåíèÿ:
Äàíû êîîðäèíàòû òî÷åê
A, B , C , D , E
â ¾îáûêíîâåí-
(−1 − 1 · i) · x2 + (−2 + 2 · i) · x + (−6 + 2 · i) = 0
íîé¿ ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò: A =
(1, −4), B = (0, −6), C = (−2, −6), D = (−1, −3), E = Îòâåò:
(−1, −11). Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè E â íîâîé ñèñòåìå
Íàéòè ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîáñòâåííûå âåêòîðà ìàòðèöû
êîîðäèíàò ñ íà÷àëîì êîîðäèíàò â òî÷êå D è áàçèñíûìè
7
−6
~ è BC
~ .
âåêòîðàìè AB
12 −11
Îòâåò:
~a, êîòîðûé îðòîãîíàëåí
√ âåê~c = (6, 4, 2) è èìååò äëèíó 192.
Íàéòè êîîðäèíàòû âåêòîðà
òîðàì
~b = (−5, 4, −9)
Îòâåò:
A ñ ïîëîæèòåëüíûè
ñîáñòâåííûìè ÷èñëà

7 0 −3
6 
A · A =  −12 1
6 0 −2
Íàéòè ìàòðèöó
è
ìè òàêóþ, ÷òî
Îòâåò:
............................................................
............................................................
Âàð.:853344609. Ãðóïïà: È-101 ×èñëî/Ìåñ./Ãîä: 10/04/11
Âàð.:853344610. Ãðóïïà: È-101 ×èñëî/Ìåñ./Ãîä: 10/04/11
Ô.È.Î.:
Ãàëèìüÿíîâà Îêñàíà
Íàéòè ïÿòü ðàçëè÷íûõ ðåøåíèé ñèñòåìû

4 · x1 +3 · x2 −2 · x3 −1 · x4
=4



16 · x1 +12 · x2 −3 · x3 −9 · x4 = 16
7 · x1 +5 · x2 −1 · x3 −5 · x4
=7



−10 · x1 −7 · x2 +1 · x3 +8 · x4 = −10
Ô.È.Î.:
óðàâíåíèé:
Íàéòè
Ãàëèìüÿíîâà Îêñàíà
êîîðäèíàòû
òî÷êè,
ñèììåòðè÷íîé
Íàéòè
êîîðäèíàòû
òî÷êè,
ñèììåòðè÷íîé
A = (5, 4, 1) îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè,
íåíèåì −1 · x − 2 · y − 1 · z − 4 = 0.
ìàòðèöó ê:
1
0
1
0
1
2
 0
det 
 0
3
çàäàííîé
òî÷êå
óðàâ-
Îòâåò:

Ïåðâàÿ





ïðÿìàÿ
ïðîõîäèò
÷åðåç
B = (6, 0, 1). Âòîðàÿ ïðÿìàÿ
C = (14, 4, −2) è D = (16, 4, −3).
òî÷êè
ïðîõîäèò
A = (5, 2, 2)
÷åðåç
è
òî÷êè
Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷-
êè ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ïðÿìûõ.
Îòâåò:

֌-
Îòâåò:
Îòâåò:
Íàéòè îáðàòíóþ

1 0
0 −1
 0 1 −1
0

 1 1
0
−1

 0 0
0
1
0 0
0
0
òî÷êå
A = (6, 5, −4) îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé
ðåç òî÷êè B = (−1, 1, −4) è C = (1, 2, −3).
Îòâåò:

A = (6, 7, −6) äî ïëîñêîñòè,
B = (−3, −9, 7) ïåðïåíäèêóëÿðíî
Íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè
−4 −3 10
−2 −2 5 
=
1
1 0 
−8 −6 20
ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó
âåêòîðó
α
~ = (−2, −6, 9).
Îòâåò:
−1
 A
−1
A= 0
−1
Íàéòè
è ðåøèòü ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå.

−1 −1
1
1 ;
−1
0

−1
X · A =  −1
0
0
0
0

1
0 
0
Äàíû
äâå
ïðîòèâîïîëîæíûå
(10, 3, 4), C = (−8, −1, −8)
êâàäðàòà
A =
E = (12, 12, −2)
ëåæà-
âåðøèíû
è òî÷êà
ùàÿ â òîé æå ïëîñêîñòè, ÷òî è êâàäðàò. Íàéòè êîîðäèíàòû
äâóõ îñòàâøèõñÿ âåðøèí.
Îòâåò:
Ïåðâàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè
Äàíû
êîîðäèíàòû
äâóõ
òî÷åê
A = (−46, 41, 37) è
B = (−82, −22, 124). Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè C , êîòîðàÿ
ëåæèò íà îòðåçêå AB è äåëèò åãî â îòíîøåíèè 2 : 1, ò.å.
|AC|
2
òàê, ÷òî
|CB| = 1 .
(0, −3, −1) è (6, −3, 2). Âòîðàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè (−1, −1, −2) è (0, −1, −2). Òðåòüÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè (−1, −2, −2) è
ïåðåñåêàåò ïåðâóþ è âòîðóþ ïðÿìóþ. Íàéòè êîîðäèíàòû
òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ïåðâîé è òðåòüåé ïðÿìîé.
Îòâåò:
Îòâåò:
~a, ~b â îðòîíîðìèðîâàííîì áà~a = (1, 1), ~b = (−1, 0). Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ ~c, d~ â
áàçèñå ~
a, ~b: ~c = (−1, 1), d~ = (1, 3).
Íàéòè: ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ~
c è d~.
Äàíî: Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ
çèñå:
Íàéòè êîîðäèíàòû âåðøèí êâàäðàòà, åñëè èçâåñòíû êîîðäèíàòû îäíîé âåðøèíû
ðîíû
(−21, 7)
è óðàâíåíèå îäíîé ñòî-
19
y=
· x + 24
2
Îòâåò:
Îòâåò:
Äàíû êîîðäèíàòû òî÷åê
Íàéòè êîðíè óðàâíåíèÿ:
A, B , C , D , E
â ¾îáûêíîâåí-
(1 + 1 · i) · x2 + (0) · x + (17 − 7 · i) = 0
íîé¿ ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò: A =
(−2, 2), B = (−3, 4), C = (−7, 4), D = (2, 1), E = (14, 9). Îòâåò:
Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè E â íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ñ
~
Íàéòè ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîáñòâåííûå âåêòîðà ìàòðèöû
íà÷àëîì êîîðäèíàò â òî÷êå D è áàçèñíûìè âåêòîðàìè AB
1 1
~ .
è BC
−2 4
Îòâåò:
~a, êîòîðûé îðòîãîíàëåí âåê~c = (−8, 2, −6) è èìååò äëè-
Íàéòè êîîðäèíàòû âåêòîðà
~
√ b = (−7, −8, −2)
56.
òîðàì
íó
è
ìè òàêóþ, ÷òî
Îòâåò:
Îòâåò:
A ñ ïîëîæèòåëüíûè
ñîáñòâåííûìè ÷èñëà

−2 −3
3
7 −6 
A·A= 6
0
0
1
Íàéòè ìàòðèöó
............................................................
............................................................
Âàð.:853344611. Ãðóïïà: È-101 ×èñëî/Ìåñ./Ãîä: 10/04/11
Âàð.:853344612. Ãðóïïà: È-101 ×èñëî/Ìåñ./Ãîä: 10/04/11
Ô.È.Î.:
Êëåùåâà Åëåíà
Ô.È.Î.:
Íàéòè ïÿòü ðàçëè÷íûõ ðåøåíèé ñèñòåìû

5 · x1 −2 · x2 −1 · x3 +12 · x4 = 5



−3 · x1 +2 · x2 +1 · x3 −8 · x4 = −3
 −4 · x1 +2 · x2 +1 · x3 −10 · x4 = −4


−5 · x1 +3 · x2 +1 · x3 −14 · x4 = −5
óðàâíåíèé:
Íàéòè
Êëåùåâà Åëåíà
êîîðäèíàòû
òî÷êè,
ñèììåòðè÷íîé
Íàéòè
êîîðäèíàòû
òî÷êè,
ñèììåòðè÷íîé
A = (−4, −2, 0) îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè,
íåíèåì −1 · x − 1 · y + 2 · z − 12 = 0.
îáðàòíóþ ìàòðèöó ê:
òî÷êå
çàäàííîé óðàâ-
Îòâåò:

0 0 0
−1 1 1 

0 1 1 

0 1 1 
0 0 1
0
1
1
0
0
֌-
Îòâåò:
Îòâåò:
Íàéòè

1
 0

 0

 −1
0
òî÷êå
A = (−6, 0, 4) îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé
ðåç òî÷êè B = (−4, −4, 1) è C = (−5, −3, 2).
Ïåðâàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè A = (−1, 0, 4) è
B = (−1, 2, 5). Âòîðàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè
C = (−3, 0, 3) è D = (−4, 1, 3). Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè
ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ïðÿìûõ.
Îòâåò:
Îòâåò:


A = (−9, 5, 7) äî ïëîñêîñòè,
B = (4, 1, 6) ïåðïåíäèêóëÿðíî
Íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè
−2 −3
0
2
0 −5 
=
4
0 −10 
−3
2
10
3
 0
det 
 −1
−1
ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó
âåêòîðó
α
~ = (−2, −1, 2).
Îòâåò:
−1
 A
1
A =  −1
0
Íàéòè
è ðåøèòü ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå.

0 0
1 1 ;
−1 0

−1
X · A =  −1
0
0
1
0

1
1 
1
Äàíû
äâå
ïðîòèâîïîëîæíûå
(19, 12, 14), C = (−13, −4, −18)
âåðøèíû
è òî÷êà
êâàäðàòà A =
E = (27, 28, −2)
ëåæàùàÿ â òîé æå ïëîñêîñòè, ÷òî è êâàäðàò. Íàéòè êîîðäèíàòû äâóõ îñòàâøèõñÿ âåðøèí.
Îòâåò:
Ïåðâàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè
(−2, −4, −3)
(4, −1, −6). Âòîðàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç
(−3, −1, −1) è (0, −1, −4). Òðåòüÿ
ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè (−3, −3, −2)
è
A = (−48, −43, −36) è
B = (−139, 153, 90). Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè C , êîòîðàÿ
ëåæèò íà îòðåçêå AB è äåëèò åãî â îòíîøåíèè 6 : 1, ò.å.
|AC|
6
òàê, ÷òî
|CB| = 1 .
òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè
Îòâåò:
Îòâåò:
Äàíû
êîîðäèíàòû
äâóõ
òî÷åê
~a, ~b â îðòîíîðìèðîâàííîì áà~a = (1, 1), ~b = (−1, 0). Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ ~c, d~ â
áàçèñå ~
a, ~b: ~c = (−2, −1), d~ = (3, 2).
Íàéòè: ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ~
c è d~.
Äàíî: Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ
çèñå:
è ïåðåñåêàåò ïåðâóþ è âòîðóþ ïðÿìóþ. Íàéòè êîîðäèíàòû
òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ïåðâîé è òðåòüåé ïðÿìîé.
Íàéòè êîîðäèíàòû âåðøèí êâàäðàòà, åñëè èçâåñòíû êîîðäèíàòû îäíîé âåðøèíû
(16, 8) è óðàâíåíèå îäíîé ñòîðîíû
−19
50
y=
·x−
7
7
Îòâåò:
Îòâåò:
Íàéòè êîðíè óðàâíåíèÿ:
Äàíû êîîðäèíàòû òî÷åê
A, B , C , D , E
â ¾îáûêíîâåííîé¿
(−1 + 1 · i) · x2 + (−9 + 1 · i) · x + (−14 − 8 · i) = 0
ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò: A = (1, 1),
B = (−1, 0), C = (0, 0), D = (1, 3), E = (−5, 1). Íàéòè Îòâåò:
êîîðäèíàòû òî÷êè E â íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ñ íà÷àëîì
~ è BC
~ .
Íàéòè ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîáñòâåííûå âåêòîðà ìàòðèöû
êîîðäèíàò â òî÷êå D è áàçèñíûìè âåêòîðàìè AB
−9 8
−4 3
Îòâåò:
~a, êîòîðûé îðòîãîíàëåí √
âåêè ~
c = (8, −6, −7) è èìååò äëèíó 6.
Íàéòè êîîðäèíàòû âåêòîðà
òîðàì ~
b = (−8, −2, 3)
A ñ ïîëîæèòåëüíûè
ñîáñòâåííûìè ÷èñëà

−2 −3 0
7 0 
A·A= 6
3
3 1
Íàéòè ìàòðèöó
ìè òàêóþ, ÷òî
Îòâåò:
Îòâåò:
............................................................
............................................................
Âàð.:853344613. Ãðóïïà: È-101 ×èñëî/Ìåñ./Ãîä: 10/04/11
Âàð.:853344614. Ãðóïïà: È-101 ×èñëî/Ìåñ./Ãîä: 10/04/11
Ô.È.Î.:
Êîáëîâ Ñåðãåé
Ô.È.Î.:
Íàéòè ïÿòü ðàçëè÷íûõ ðåøåíèé ñèñòåìû

1 · x1 +2 · x2 −2 · x3 −7 · x4 = 1



2 · x1 −1 · x2 +2 · x3 −5 · x4 = 2
 −2 · x1 +1 · x2 −2 · x3 +5 · x4 = −2


1 · x1 +1 · x2 −1 · x3 −5 · x4 = 1
óðàâíåíèé:
Íàéòè
Êîáëîâ Ñåðãåé
êîîðäèíàòû
òî÷êè,
ñèììåòðè÷íîé
A = (−2, −7, −5) îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé,
÷åðåç òî÷êè B = (−1, −2, 1) è C = (0, 1, 2).
Îòâåò:
Îòâåò:
Íàéòè
êîîðäèíàòû
òî÷êè,
ñèììåòðè÷íîé
A = (−2, 1, 4) îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè,
íèåì −1 · x + 2 · y + 2 · z + 6 = 0.
Íàéòè îáðàòíóþ ìàòðèöó


1 0
0 0
0
 0 1
0 0 −1 


 0 0
1 0
0 


 0 0 −1 1
0 
1 1
0 1
0
ê:
5
 4
det 
 2
4
òî÷êå
çàäàííîé óðàâíå-
Îòâåò:
A = (−4, 2, −3) è
B = (−5, 3, −3). Âòîðàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè
C = (−1, −1, −2) è D = (−3, 1, −1). Íàéòè êîîðäèíàòû
Ïåðâàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè
òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ïðÿìûõ.
Îòâåò:

òî÷êå
ïðîõîäÿùåé
Îòâåò:
1
1
0
0
−2
−2
−1
−2

A = (7, 3, −8) äî ïëîñêîñòè,
B = (3, −7, −6) ïåðïåíäèêóëÿðíî
Íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè
−4
−3 
=
−2 
−3
ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó
âåêòîðó
α
~ = (−3, 6, 6).
Îòâåò:
−1
 A
−1
A =  −1
0
Íàéòè
è ðåøèòü ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå.

−1 1
0 1 ;
0 1

−2
X · A =  −2
0

−1 2
−1 3 
0 1
Äàíû
äâå
ïðîòèâîïîëîæíûå
(13, 11, 15), C = (−5, −5, −9)
âåðøèíû
è òî÷êà
êâàäðàòà
E = (6, 1, 51)
A =
ëåæà-
ùàÿ â òîé æå ïëîñêîñòè, ÷òî è êâàäðàò. Íàéòè êîîðäèíàòû
äâóõ îñòàâøèõñÿ âåðøèí.
Îòâåò:
Ïåðâàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè
Äàíû
êîîðäèíàòû
äâóõ
òî÷åê
A = (44, −37, −34) è
B = (248, 263, 266). Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè C , êîòîðàÿ
ëåæèò íà îòðåçêå AB è äåëèò åãî â îòíîøåíèè 7 : 5, ò.å.
|AC|
7
òàê, ÷òî
|CB| = 5 .
(−1, 0, −1) è (−2, 0, 0). Âòîðàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè (−5, 2, −4) è (−7, 2, −4). Òðåòüÿ ïðÿìàÿ
ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè (−2, 1, −3) è ïåðåñåêàåò ïåðâóþ è âòîðóþ ïðÿìóþ. Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè
ïåðåñå÷åíèÿ ïåðâîé è òðåòüåé ïðÿìîé.
Îòâåò:
Îòâåò:
~a, ~b â îðòîíîðìèðîâàííîì áà~a = (−1, −1), ~b = (3, 2). Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ ~c, d~ â
áàçèñå ~
a, ~b: ~c = (−3, −3), d~ = (2, −2).
Íàéòè: ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ~
c è d~.
Äàíî: Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ
çèñå:
Íàéòè êîîðäèíàòû âåðøèí êâàäðàòà, åñëè èçâåñòíû êîîðäèíàòû îäíîé âåðøèíû
ðîíû
(−19, 16)
è óðàâíåíèå îäíîé ñòî-
15
3
y=
·x+
19
19
Îòâåò:
Îòâåò:
Íàéòè êîðíè óðàâíåíèÿ:
Äàíû êîîðäèíàòû òî÷åê
A, B , C , D , E
â ¾îáûêíîâåí-
(1 + 1 · i) · x2 + (1 − 1 · i) · x + (−8 + 12 · i) = 0
íîé¿ ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò: A =
(−3, −2), B = (−1, 1), C = (−2, 1), D = (4, 4), E = (9, 7). Îòâåò:
Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè E â íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ñ
~
Íàéòè ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîáñòâåííûå âåêòîðà ìàòðèöû
íà÷àëîì êîîðäèíàò â òî÷êå D è áàçèñíûìè âåêòîðàìè AB
−11 8
~ .
è BC
−16 13
Îòâåò:
~a, êîòîðûé îðòîãîíàëåí
√ âåê~c = (6, −6, 3) è èìååò äëèíó 296.
Íàéòè êîîðäèíàòû âåêòîðà
òîðàì
~b = (−5, −7, 2)
Îòâåò:
A ñ ïîëîæèòåëüíûè
ñîáñòâåííûìè ÷èñëà

−2 −6 −12
7
12 
A·A= 3
0
0
1
Íàéòè ìàòðèöó
è
ìè òàêóþ, ÷òî
Îòâåò:
............................................................
............................................................
Âàð.:853344615. Ãðóïïà: È-101 ×èñëî/Ìåñ./Ãîä: 10/04/11
Âàð.:853344616. Ãðóïïà: È-101 ×èñëî/Ìåñ./Ãîä: 10/04/11
Ô.È.Î.:
Êîìóõèíà Åêàòåðèíà
Ô.È.Î.:
Íàéòè ïÿòü ðàçëè÷íûõ ðåøåíèé ñèñòåìû

2 · x1 −1 · x2 +1 · x3 −3 · x4 = 2



−5 · x1 +7 · x2 −2 · x3 −1 · x4 = −5
 4 · x1 −5 · x2 +4 · x3 +2 · x4 = 4


−4 · x1 +6 · x2 −3 · x3 −3 · x4 = −4
óðàâíåíèé:
Êîìóõèíà Åêàòåðèíà
Íàéòè
êîîðäèíàòû
òî÷êè,
ñèììåòðè÷íîé
A = (−1, −1, −5) îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé,
÷åðåç òî÷êè B = (2, −1, 1) è C = (6, 0, 2).
òî÷êå
ïðîõîäÿùåé
Îòâåò:
Îòâåò:
Íàéòè
êîîðäèíàòû
òî÷êè,
ñèììåòðè÷íîé
A = (−5, −5, 12) îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè,
óðàâíåíèåì 3 · x + 2 · y − 2 · z − 2 = 0.
Íàéòè îáðàòíóþ ìàòðèöó ê:


1
1 0
0
0
 0
1 0
0
0 



 0
0
1
−1
−1


 −1 −1 1
0
0 
0
0 0
0
1
òî÷êå
çàäàííîé
Îòâåò:
Ïåðâàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè A = (0, 18, 16) è
B = (−1, 22, 19). Âòîðàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè
C = (4, 4, 5) è D = (4, 6, 6). Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ïðÿìûõ.
Îòâåò:
Îòâåò:


A = (−6, 5, −8) äî ïëîñêîñòè,
B = (6, −2, 5) ïåðïåíäèêóëÿðíî
Íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè
3 −1 −12
8 −5 −24 
=
4 −2 −12 
−2
1
8
1
 −1
det 
 0
0
ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó
âåêòîðó
α
~ = (−4, 4, −2).
Îòâåò:
−1
 A
1
A =  −1
0
Íàéòè
è ðåøèòü ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå.
1
0
0

1
0 ;
1

2
A · X =  −1
0

2
1
−1 −1 
1
0
Äàíû
äâå
ïðîòèâîïîëîæíûå
âåðøèíû
(18, 22, 25), C = (−14, −14, −23)
è òî÷êà
êâàäðàòà A =
E = (−2, 8, 97)
ëåæàùàÿ â òîé æå ïëîñêîñòè, ÷òî è êâàäðàò. Íàéòè êîîðäèíàòû äâóõ îñòàâøèõñÿ âåðøèí.
Îòâåò:
Ïåðâàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè
(2, 0, −2)
(6, 0, 0). Âòîðàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè
(−3, 1, −3) è (−4, 2, −3). Òðåòüÿ ïðÿìàÿ
÷åðåç òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè (−2, 1, −3) è ïåðå-
è
A = (−33, 39, 34) è
B = (−123, 171, 136). Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè C , êîòîðàÿ
ëåæèò íà îòðåçêå AB è äåëèò åãî â îòíîøåíèè 5 : 1, ò.å.
|AC|
5
òàê, ÷òî
|CB| = 1 .
ñ êîîðäèíàòàìè
Îòâåò:
Îòâåò:
Äàíû
êîîðäèíàòû
äâóõ
òî÷åê
~a, ~b â îðòîíîðìèðîâàííîì áà~a = (−1, −3), ~b = (1, 2). Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ ~c, d~ â
áàçèñå ~
a, ~b: ~c = (−1, −2), d~ = (−2, 1).
Íàéòè: ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ~
c è d~.
Äàíî: Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ
çèñå:
ïðîõîäèò
ñåêàåò ïåðâóþ è âòîðóþ ïðÿìóþ. Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè
ïåðåñå÷åíèÿ ïåðâîé è òðåòüåé ïðÿìîé.
Íàéòè êîîðäèíàòû âåðøèí êâàäðàòà, åñëè èçâåñòíû êîîðäèíàòû îäíîé âåðøèíû
ðîíû
(−22, 12)
è óðàâíåíèå îäíîé ñòî-
4
1
y = ·x−
3
3
Îòâåò:
Îòâåò:
Äàíû êîîðäèíàòû òî÷åê
Íàéòè êîðíè óðàâíåíèÿ:
A, B , C , D , E
â ¾îáûêíîâåí-
(1 − 1 · i) · x2 + (5 − 3 · i) · x + (16 − 2 · i) = 0
íîé¿ ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò: A =
(−1, −4), B = (1, −6), C = (3, −6), D = (−4, 4), E = Îòâåò:
(−6, −2). Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè E â íîâîé ñèñòåìå êîÍàéòè ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîáñòâåííûå âåêòîðà ìàòðèöû
îðäèíàò ñ íà÷àëîì êîîðäèíàò â òî÷êå D è áàçèñíûìè âåê
7
4
~ è BC
~ .
òîðàìè AB
−8 −5
Îòâåò:
~a, êîòîðûé îðòîãîíàëåí √
âåê~b = (−5, −7, 2) è ~c = (−9, 7, −16) è èìååò äëèíó 27.
Íàéòè êîîðäèíàòû âåêòîðà
òîðàì
Îòâåò:
A ñ ïîëîæèòåëüíûè
ñîáñòâåííûìè ÷èñëà

−2 −3
3
7 −6 
A·A= 6
0
0
1
Íàéòè ìàòðèöó
ìè òàêóþ, ÷òî
Îòâåò:
............................................................
............................................................
Âàð.:853344617. Ãðóïïà: È-101 ×èñëî/Ìåñ./Ãîä: 10/04/11
Âàð.:853344618. Ãðóïïà: È-101 ×èñëî/Ìåñ./Ãîä: 10/04/11
Ô.È.Î.:
Ëóêàøåâè÷ Äìèòðèé
Ô.È.Î.:
Íàéòè ïÿòü ðàçëè÷íûõ ðåøåíèé ñèñòåìû

−10 · x1 −6 · x2 −2 · x3 +4 · x4 = −10



−7 · x1 −4 · x2 −1 · x3 +4 · x4 = −7
−1
· x1 −1 · x2 −1 · x3 −2 · x4 = −1



11 · x1 +6 · x2 +2 · x3 −6 · x4 = 11
óðàâíåíèé:
Ëóêàøåâè÷ Äìèòðèé
Íàéòè
êîîðäèíàòû
òî÷êè,
ñèììåòðè÷íîé
A = (−5, 11, 7) îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé,
ðåç òî÷êè B = (3, 1, 4) è C = (0, 4, 5).
֌-
Îòâåò:
Îòâåò:
Íàéòè
êîîðäèíàòû
òî÷êè,
ñèììåòðè÷íîé
A = (−3, 1, −3) îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè,
íåíèåì −3 · x − 2 · y − 2 · z + 4 = 0.
Íàéòè îáðàòíóþ ìàòðèöó


1 0 0
0
0
 0 1 0
0
0 



 1 1 1
0
−1


 0 0 1
1 −1 
0 0 0 −1
1
òî÷êå
ïðîõîäÿùåé
ê:
òî÷êå
çàäàííîé óðàâ-
Îòâåò:
Ïåðâàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè A = (9, −7, 4) è
B = (11, −9, 5). Âòîðàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè
C = (1, 3, −1) è D = (2, 3, −1). Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè
ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ïðÿìûõ.
Îòâåò:
Îòâåò:


A = (6, −8, −2) äî ïëîñêîñòè,
B = (−6, 2, 9) ïåðïåíäèêóëÿðíî
Íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè
−3 −2 −2
8
5
8 
=
−1 −1 −2 
−6 −4 −6
3
 −9
det 
 3
7
ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó
âåêòîðó
α
~ = (−4, 8, 8).
Îòâåò:
−1
 A
1
A= 0
−1
Íàéòè
è ðåøèòü ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå.
0
1
1

0
−1  ;
0

0
X · A =  −1
0
2
1
1

−1
0 
−1
Äàíû äâå ïðîòèâîïîëîæíûå âåðøèíû êâàäðàòà A =
(20, 31, 29), C = (−12, −33, −35) è òî÷êà E =
(−92, −97, −3) ëåæàùàÿ â òîé æå ïëîñêîñòè, ÷òî è êâàäðàò. Íàéòè êîîðäèíàòû äâóõ îñòàâøèõñÿ âåðøèí.
Îòâåò:
Ïåðâàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè
(0, 4, 2)
(0, 4, 1). Âòîðàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè
(−3, 3, 3) è (−1, 5, 3). Òðåòüÿ ïðÿìàÿ ïðî÷åðåç òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè (−2, 3, 3) è ïåðåñåêàåò
è
A = (43, −49, 39) è
B = (−111, −175, 207). Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè C , êîòîðàÿ ëåæèò íà îòðåçêå AB è äåëèò åãî â îòíîøåíèè 2 : 5,
|AC|
2
ò.å. òàê, ÷òî
|CB| = 5 .
ñ êîîðäèíàòàìè
Îòâåò:
Îòâåò:
Äàíû
êîîðäèíàòû
äâóõ
òî÷åê
~a, ~b â îðòîíîðìèðîâàííîì áà~a = (1, −1), ~b = (1, 0). Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ ~c, d~ â
áàçèñå ~
a, ~b: ~c = (−1, 2), d~ = (−1, −2).
Íàéòè: ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ~
c è d~.
Äàíî: Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ
çèñå:
õîäèò
ïåðâóþ è âòîðóþ ïðÿìóþ. Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ïåðâîé è òðåòüåé ïðÿìîé.
Íàéòè êîîðäèíàòû âåðøèí êâàäðàòà, åñëè èçâåñòíû êîîðäèíàòû îäíîé âåðøèíû
(7, 11) è óðàâíåíèå îäíîé ñòîðîíû
6
50
y = ·x−
7
7
Îòâåò:
Îòâåò:
Äàíû êîîðäèíàòû òî÷åê
Íàéòè êîðíè óðàâíåíèÿ:
A, B , C , D , E
â ¾îáûêíîâåííîé¿
(−1 − 1 · i) · x2 + (1 − 1 · i) · x + (−4 + 2 · i) = 0
ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò: A = (3, 3),
B = (4, 6), C = (3, 6), D = (−1, 4), E = (−1, −5). Íàéòè Îòâåò:
êîîðäèíàòû òî÷êè E â íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ñ íà÷àëîì
~ è BC
~ .
Íàéòè ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîáñòâåííûå âåêòîðà ìàòðèöû
êîîðäèíàò â òî÷êå D è áàçèñíûìè âåêòîðàìè AB
9
24
−4 −11
Îòâåò:
~a, êîòîðûé îðòîãîíàëåí âåê~c = (−1, −1, −1) è èìååò äëè-
Íàéòè êîîðäèíàòû âåêòîðà
òîðàì ~
√ b = (−9, −7, −6)
íó
126.
Îòâåò:
è
A ñ ïîëîæèòåëüíûè
ñîáñòâåííûìè ÷èñëà

1 0
0
A · A =  3 10 −6 
3 9 −5
Íàéòè ìàòðèöó
ìè òàêóþ, ÷òî
Îòâåò:
............................................................
............................................................
Âàð.:853344619. Ãðóïïà: È-101 ×èñëî/Ìåñ./Ãîä: 10/04/11
Âàð.:853344620. Ãðóïïà: È-101 ×èñëî/Ìåñ./Ãîä: 10/04/11
Ô.È.Î.:
Îâîäîâ Áîðèñ
Ô.È.Î.:
Íàéòè ïÿòü ðàçëè÷íûõ ðåøåíèé ñèñòåìû

1 · x1 +3 · x2 −1 · x3 −6 · x4 = 1



2 · x1 +1 · x2 −1 · x3 +2 · x4 = 2
 −3 · x1 −4 · x2 +3 · x3 +3 · x4 = −3


3 · x1 +5 · x2 −3 · x3 −6 · x4 = 3
óðàâíåíèé:
Îâîäîâ Áîðèñ
Íàéòè
êîîðäèíàòû
òî÷êè,
ñèììåòðè÷íîé
Íàéòè
êîîðäèíàòû
òî÷êè,
ñèììåòðè÷íîé
A = (−7, 4, 3) îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè,
íèåì −1 · x + 3 · y + 3 · z + 10 = 0.
ê:

det 

0
1
0
−1
òî÷êå
çàäàííîé óðàâíå-
Îòâåò:
A = (−2, −1, −1) è
B = (−1, −1, −1). Âòîðàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè
C = (8, −4, 8) è D = (12, −5, 11). Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷-
Ïåðâàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè
êè ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ïðÿìûõ.
Îòâåò:

֌-
Îòâåò:
Îòâåò:
Íàéòè îáðàòíóþ ìàòðèöó


1
0 0 0
0
 0
1 0 0
0 



 0
0
1
1
−1


 −1
0 1 2 −2 
0 −1 0 0
1
òî÷êå
A = (8, 8, −2) îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé
ðåç òî÷êè B = (4, 1, −2) è C = (3, −1, −1).
Îòâåò:

A = (1, 5, −3) äî ïëîñêîñòè,
B = (−8, −1, −6) ïåðïåíäèêóα
~ = (−8, 8, 4).
Íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè
1 0 5
1 0 5 
=
0 1 0 
−1 1 0
ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó
ëÿðíî âåêòîðó
Îòâåò:
−1
ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå.
 A è ðåøèòü



1 1 1
2 3 4
A =  1 2 2 ; X · A =  0 0 1 
0 0 1
2 3 3
Íàéòè
Äàíû
äâå
ïðîòèâîïîëîæíûå
(12, 4, 7), C = (−20, 0, −9)
êâàäðàòà
A =
E = (10, −12, 15)
ëåæà-
âåðøèíû
è òî÷êà
ùàÿ â òîé æå ïëîñêîñòè, ÷òî è êâàäðàò. Íàéòè êîîðäèíàòû
äâóõ îñòàâøèõñÿ âåðøèí.
Îòâåò:
Ïåðâàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè
(1, −6, 0)
(−2, −3, −3). Âòîðàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç
(−3, −2, −3) è (0, −11, 3). Òðåòüÿ
ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè (−2, −2, −3)
è
A = (−32, −48, 31) è
B = (−228, 71, −137). Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè C , êîòîðàÿ ëåæèò íà îòðåçêå AB è äåëèò åãî â îòíîøåíèè 5 : 2,
|AC|
5
ò.å. òàê, ÷òî
|CB| = 2 .
òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè
Îòâåò:
Îòâåò:
Äàíû
êîîðäèíàòû
äâóõ
òî÷åê
~a, ~b â îðòîíîðìèðîâàííîì áà~a = (1, 1), ~b = (−1, 0). Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ ~c, d~ â
áàçèñå ~
a, ~b: ~c = (−1, −2), d~ = (−2, −2).
Íàéòè: ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ~
c è d~.
Äàíî: Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ
çèñå:
è ïåðåñåêàåò ïåðâóþ è âòîðóþ ïðÿìóþ. Íàéòè êîîðäèíàòû
òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ïåðâîé è òðåòüåé ïðÿìîé.
Íàéòè êîîðäèíàòû âåðøèí êâàäðàòà, åñëè èçâåñòíû êîîðäèíàòû îäíîé âåðøèíû
(3, 13) è óðàâíåíèå îäíîé ñòîðîíû
−1
22
y=
·x+
3
3
Îòâåò:
Îòâåò:
Äàíû êîîðäèíàòû òî÷åê
Íàéòè êîðíè óðàâíåíèÿ:
A, B , C , D , E
â ¾îáûêíîâåí-
(−1 − 1 · i) · x2 + (1 − 1 · i) · x + (2 − 4 · i) = 0
íîé¿ ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò: A =
(−4, −4), B = (−7, −3), C = (−6, −3), D = (2, −4), Îòâåò:
E = (12, −7). Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè E â íîâîé ñèñòåìå
Íàéòè ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîáñòâåííûå âåêòîðà ìàòðèöû
êîîðäèíàò ñ íà÷àëîì êîîðäèíàò â òî÷êå D è áàçèñíûìè
−13 −8
~ è BC
~ .
âåêòîðàìè AB
16 11
Îòâåò:
~a, êîòîðûé îðòîãîíàëåí âåê~c = (−7, 2, 25) è èìååò äëè-
Íàéòè êîîðäèíàòû âåêòîðà
~
√ b = (−3, −5, −1)
126.
òîðàì
íó
è
ìè òàêóþ, ÷òî
Îòâåò:
Îòâåò:
A ñ ïîëîæèòåëüíûè
ñîáñòâåííûìè ÷èñëà

1 −6
6
A · A =  0 13 −12 
0
9 −8
Íàéòè ìàòðèöó
............................................................
............................................................
Âàð.:853344621. Ãðóïïà: È-101 ×èñëî/Ìåñ./Ãîä: 10/04/11
Âàð.:853344622. Ãðóïïà: È-101 ×èñëî/Ìåñ./Ãîä: 10/04/11
Ô.È.Î.:
Ïëå÷èíòà Àëåêñàíäðà
Ô.È.Î.:
Íàéòè ïÿòü ðàçëè÷íûõ ðåøåíèé ñèñòåìû

3 · x1 −7 · x2 −1 · x3 −15 · x4 = 3



4 · x1 −5 · x2 −1 · x3 −8 · x4 = 4
 1 · x1 −4 · x2 −1 · x3 −8 · x4 = 1


−2 · x1 +1 · x2 −1 · x3 +4 · x4 = −2
óðàâíåíèé:
Íàéòè
Ïëå÷èíòà Àëåêñàíäðà
êîîðäèíàòû
òî÷êè,
ñèììåòðè÷íîé
A = (3, 5, −1) îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé,
ðåç òî÷êè B = (1, 2, 1) è C = (2, 4, 2).
Íàéòè
êîîðäèíàòû
òî÷êè,
ñèììåòðè÷íîé
A = (−5, −7, 6) îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè,
íåíèåì 2 · x + 2 · y − 1 · z + 12 = 0.
ê:

det 

òî÷êå
çàäàííîé óðàâ-
Îòâåò:
Ïåðâàÿ
ïðÿìàÿ
B = (−3, 9, 4).
C = (−1, 3, −3)
ïðîõîäèò
Âòîðàÿ
è
÷åðåç
ïðÿìàÿ
D = (−2, 3, −4).
òî÷êè
A = (−1, 7, 3)
ïðîõîäèò
÷åðåç
è
òî÷êè
Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷-
êè ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ïðÿìûõ.
Îòâåò:

֌-
Îòâåò:
Îòâåò:
Íàéòè îáðàòíóþ ìàòðèöó


1 0 1 0
0
 0 1 0 0
0 


 0 0 1 0
0 


 0 1 0 1 −1 
1 0 1 1
0
òî÷êå
ïðîõîäÿùåé
Îòâåò:

−1
2
2
0
A = (6, −3, 1) äî ïëîñêîñòè,
B = (6, −5, 3) ïåðïåíäèêóëÿðíî
Íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè
−2
1
5
3 −2 −10 
=
2 −1 −5 
−1
1
10
ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó
âåêòîðó
α
~ = (7, −4, −4).
Îòâåò:
−1
 A
1
A =  −1
0
Íàéòè
è ðåøèòü ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå.
1
0
0

−1
1 ;
1

0
X · A =  −1
1
1
0
1

1
1 
−1
Äàíû äâå ïðîòèâîïîëîæíûå âåðøèíû êâàäðàòà A =
(8, 11, 16), C = (−10, −5, −8) è òî÷êà E = (6, 13, −32) ëåæàùàÿ â òîé æå ïëîñêîñòè, ÷òî è êâàäðàò. Íàéòè êîîðäèíàòû
äâóõ îñòàâøèõñÿ âåðøèí.
Îòâåò:
Ïåðâàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè
Äàíû
êîîðäèíàòû
äâóõ
òî÷åê
A = (−42, 49, −36) è
B = (−172, 174, 69). Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè C , êîòîðàÿ
ëåæèò íà îòðåçêå AB è äåëèò åãî â îòíîøåíèè 3 : 2, ò.å.
|AC|
3
òàê, ÷òî
|CB| = 2 .
(−1, −2, 3) è (1, −4, 3). Âòîðàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè (−1, −3, 3) è (1, −3, 7). Òðåòüÿ ïðÿìàÿ
ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè (−1, −3, 2) è ïåðåñåêàåò ïåðâóþ è âòîðóþ ïðÿìóþ. Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè
ïåðåñå÷åíèÿ ïåðâîé è òðåòüåé ïðÿìîé.
Îòâåò:
Îòâåò:
~a, ~b â îðòîíîðìèðîâàííîì áà~a = (5, −3), ~b = (−3, 2). Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ ~c, d~ â
áàçèñå ~
a, ~b: ~c = (3, 1), d~ = (1, −3).
Íàéòè: ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ~
c è d~.
Äàíî: Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ
çèñå:
Íàéòè êîîðäèíàòû âåðøèí êâàäðàòà, åñëè èçâåñòíû êîîðäèíàòû îäíîé âåðøèíû
(6, 19) è óðàâíåíèå îäíîé ñòîðîíû
1
y = ·x+1
2
Îòâåò:
Îòâåò:
Íàéòè êîðíè óðàâíåíèÿ:
Äàíû êîîðäèíàòû òî÷åê
A, B , C , D , E
â ¾îáûêíîâåí-
(−1 + 1 · i) · x2 + (−4 + 6 · i) · x + (−4 + 12 · i) = 0
íîé¿ ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò: A =
(−2, −1), B = (−6, −3), C = (−4, −3), D = (−2, 4), Îòâåò:
E = (8, 8). Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè E â íîâîé ñèñòåìå
Íàéòè ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîáñòâåííûå âåêòîðà ìàòðèöû
êîîðäèíàò ñ íà÷àëîì êîîðäèíàò â òî÷êå D è áàçèñíûìè
−23 −12
~ è BC
~ .
âåêòîðàìè AB
36
19
Îòâåò:
~a, êîòîðûé îðòîãîíàëåí
√ âåê~c = (3, −7, −2) è èìååò äëèíó 294.
Íàéòè êîîðäèíàòû âåêòîðà
òîðàì
~b = (1, 7, 4)
Îòâåò:
A ñ ïîëîæèòåëüíûè
ñîáñòâåííûìè ÷èñëà

10
3 0
A · A =  −18 −5 0 
−18 −6 1
Íàéòè ìàòðèöó
è
ìè òàêóþ, ÷òî
Îòâåò:
............................................................
............................................................
Âàð.:853344623. Ãðóïïà: È-101 ×èñëî/Ìåñ./Ãîä: 10/04/11
Âàð.:853344624. Ãðóïïà: È-101 ×èñëî/Ìåñ./Ãîä: 10/04/11
Ô.È.Î.:
Ïÿòûãèí Èëüÿ
Ô.È.Î.:
Íàéòè ïÿòü ðàçëè÷íûõ ðåøåíèé ñèñòåìû

−2 · x1 +1 · x2 +2 · x3 +4 · x4 = −2



−1 · x1 −3 · x2 −3 · x3 +1 · x4 = −1
 5 · x1 +2 · x2 +1 · x3 −7 · x4 = 5


−3 · x1 −4 · x2 −4 · x3 +3 · x4 = −3
óðàâíåíèé:
Íàéòè
Ïÿòûãèí Èëüÿ
êîîðäèíàòû
òî÷êè,
òî÷êå
ïðîõîäÿùåé
֌-
Îòâåò:
Îòâåò:
Íàéòè
êîîðäèíàòû
òî÷êè,
A = (−2, −3, 7) îòíîñèòåëüíî
íåíèåì 2 · x + 1 · y − 3 · z = 0.
Íàéòè îáðàòíóþ ìàòðèöó


1
0 0 0
0
 0
1 1 1
1 


 1 −1 0 0 −1 


 0
0 0 1
0 
0
0 0 0
1
ñèììåòðè÷íîé
A = (8, 5, −1) îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé,
ðåç òî÷êè B = (−2, −2, 1) è C = (1, 0, 2).
ê:
ñèììåòðè÷íîé
òî÷êå
ïëîñêîñòè, çàäàííîé óðàâ-
Îòâåò:
Ïåðâàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè
B = (−1, 0, −10).
C = (−7, −3, −7)
Âòîðàÿ
è
ïðÿìàÿ
A = (−2, −1, −8)
ïðîõîäèò
D = (−8, −3, −8).
÷åðåç
è
òî÷êè
Íàéòè êîîðäèíàòû
òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ïðÿìûõ.
Îòâåò:
Îòâåò:


A = (6, −9, −5) äî ïëîñêîñòè,
B = (1, −6, 9) ïåðïåíäèêóëÿðíî
Íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè
3 −2 −6
3 −2 −3 
=
−1
1
0 
−1
1
3
5
 5
det 
 −1
−2
ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó
âåêòîðó
α
~ = (6, −3, 6).
Îòâåò:
−1
 A
−1
A= 1
0
Íàéòè
è ðåøèòü ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå.

−1 −1
2
1 ;
0
1

0
X · A =  −1
0

1 0
−1 0 
1 0
Äàíû
äâå
ïðîòèâîïîëîæíûå
(0, 9, 4), C = (−8, −7, −12)
êâàäðàòà
A =
E = (20, 25, −4)
ëåæà-
âåðøèíû
è òî÷êà
ùàÿ â òîé æå ïëîñêîñòè, ÷òî è êâàäðàò. Íàéòè êîîðäèíàòû
äâóõ îñòàâøèõñÿ âåðøèí.
Îòâåò:
Ïåðâàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè
A = (−38, −42, −41) è
C , êîòîðàÿ ëåæèò íà îòðåçêå AB è äåëèò åãî â îòíîøåíèè 5 : 4, ò.å. òàê,
|AC|
5
÷òî
|CB| = 4 .
Äàíû
êîîðäèíàòû
B = (79, 75, 85).
äâóõ
òî÷åê
Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè
(5, 5, −7) è (11, 9, −11). Âòîðàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè (−11, −2, 3) è (−2, 1, −3). Òðåòüÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè (−3, 1, −2) è
ïåðåñåêàåò ïåðâóþ è âòîðóþ ïðÿìóþ. Íàéòè êîîðäèíàòû
òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ïåðâîé è òðåòüåé ïðÿìîé.
Îòâåò:
Îòâåò:
~a, ~b â îðòîíîðìèðîâàííîì áà~a = (1, 1), ~b = (1, 2). Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ ~c, d~ â áàçèñå ~
a, ~b: ~c = (1, 3), d~ = (2, 1).
Íàéòè: ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ~
c è d~.
Äàíî: Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ
çèñå:
Íàéòè êîîðäèíàòû âåðøèí êâàäðàòà, åñëè èçâåñòíû êîîðäèíàòû îäíîé âåðøèíû
ðîíû
(−12, 10)
è óðàâíåíèå îäíîé ñòî-
−3
29
y=
·x−
8
8
Îòâåò:
Îòâåò:
Íàéòè êîðíè óðàâíåíèÿ:
Äàíû êîîðäèíàòû òî÷åê
A, B , C , D , E
â ¾îáûêíîâåí-
(1 + 1 · i) · x2 + (1 − 3 · i) · x + (6 − 12 · i) = 0
íîé¿ ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò: A =
(−1, 4), B = (0, 7), C = (4, 7), D = (−2, −3), E = (9, −6). Îòâåò:
Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè E â íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ñ
~
Íàéòè ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîáñòâåííûå âåêòîðà ìàòðèöû
íà÷àëîì êîîðäèíàò â òî÷êå D è áàçèñíûìè âåêòîðàìè AB
11
−7
~ .
è BC
14 −10
Îòâåò:
~a, êîòîðûé îðòîãîíàëåí âåê~c = (3, −7, −30) è èìååò äëè-
Íàéòè êîîðäèíàòû âåêòîðà
~
√ b = (−6, −9, −9)
76.
òîðàì
íó
è
ìè òàêóþ, ÷òî
Îòâåò:
Îòâåò:
A ñ ïîëîæèòåëüíûè
ñîáñòâåííûìè ÷èñëà

1 6 −3
A · A =  0 7 −3 
0 6 −2
Íàéòè ìàòðèöó
............................................................
............................................................
Âàð.:853344625. Ãðóïïà: È-101 ×èñëî/Ìåñ./Ãîä: 10/04/11
Âàð.:853344626. Ãðóïïà: È-101 ×èñëî/Ìåñ./Ãîä: 10/04/11
Ô.È.Î.:
Ñàáàíæèåâ Âëàäèìèð
Ô.È.Î.:
Íàéòè ïÿòü ðàçëè÷íûõ ðåøåíèé ñèñòåìû

−1 · x1 −1 · x2 −1 · x3 −2 · x4 = −1



4 · x1 +4 · x2 +2 · x3 +2 · x4 = 4
1
· x1 +2 · x2 +1 · x3 +3 · x4 = 1



−2 · x1 −3 · x2 −1 · x3 −2 · x4 = −2
óðàâíåíèé:
Ñàáàíæèåâ Âëàäèìèð
Íàéòè
êîîðäèíàòû
òî÷êè,
ñèììåòðè÷íîé
Íàéòè
êîîðäèíàòû
òî÷êè,
ñèììåòðè÷íîé
A = (4, −5, 9) îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè,
íèåì 3 · x − 1 · y + 3 · z + 13 = 0.
ê:

det 

òî÷êå
çàäàííîé óðàâíå-
Îòâåò:
Ïåðâàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè A = (10, 10, −3) è
B = (13, 13, −5). Âòîðàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè
C = (9, 9, −1) è D = (11, 11, −2). Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ïðÿìûõ.
Îòâåò:

֌-
Îòâåò:
Îòâåò:
Íàéòè îáðàòíóþ ìàòðèöó


1 0 −1 1
0
 1 1 −1 1 −1 


 0 1
1 0 −1 


 0 0
0 1
0 
0 0
0 0
1
òî÷êå
A = (0, 8, −1) îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé
ðåç òî÷êè B = (−4, 1, −1) è C = (−3, 3, 0).
Îòâåò:

1
1
1
−2
A = (−3, −7, 8) äî ïëîñêîñòè,
B = (2, 4, 7) ïåðïåíäèêóëÿðíî
Íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè
0
0
0
−1
1
0 
=
0 −1 −4 
1 −2 −8
ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó
âåêòîðó
α
~ = (3, −6, −6).
Îòâåò:
−1
 A
−1
A= 1
0
Íàéòè
è ðåøèòü ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå.

0 0
1 1 ;
−1 0

0
A·X = 0
0

−1
0
3
1 
−1 −1
Äàíû
äâå
ïðîòèâîïîëîæíûå
(12, 3, 5), C = (−6, −1, −7)
êâàäðàòà A =
E = (−11, 15, −25) ëå-
âåðøèíû
è òî÷êà
æàùàÿ â òîé æå ïëîñêîñòè, ÷òî è êâàäðàò. Íàéòè êîîðäèíàòû äâóõ îñòàâøèõñÿ âåðøèí.
Îòâåò:
Ïåðâàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè
(−3, 3, −1)
(−6, 3, −7). Âòîðàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç
(−1, 4, 5) è (−3, 2, 1). Òðåòüÿ ïðÿìàÿ
÷åðåç òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè (−2, 3, 2) è ïåðåñåè
A = (−41, 43, 41) è
B = (92, 134, −120). Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè C , êîòîðàÿ
ëåæèò íà îòðåçêå AB è äåëèò åãî â îòíîøåíèè 2 : 5, ò.å.
|AC|
2
òàê, ÷òî
|CB| = 5 .
òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè
Îòâåò:
Îòâåò:
Äàíû
êîîðäèíàòû
äâóõ
òî÷åê
~a, ~b â îðòîíîðìèðîâàííîì áà~a = (−1, −1), ~b = (3, 2). Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ ~c, d~ â
áàçèñå ~
a, ~b: ~c = (−1, −2), d~ = (−3, 3).
Íàéòè: ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ~
c è d~.
Äàíî: Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ
çèñå:
ïðîõîäèò
êàåò ïåðâóþ è âòîðóþ ïðÿìóþ. Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè
ïåðåñå÷åíèÿ ïåðâîé è òðåòüåé ïðÿìîé.
Íàéòè êîîðäèíàòû âåðøèí êâàäðàòà, åñëè èçâåñòíû êîîðäèíàòû îäíîé âåðøèíû
ðîíû
(−25, 7)
è óðàâíåíèå îäíîé ñòî-
5
10
y = ·x+
3
3
Îòâåò:
Îòâåò:
Íàéòè êîðíè óðàâíåíèÿ:
Äàíû êîîðäèíàòû òî÷åê
A, B , C , D , E
â ¾îáûêíîâåí-
(−1 + 1 · i) · x2 + (−4 + 6 · i) · x + (−7 + 9 · i) = 0
íîé¿ ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò: A =
(−1, 1), B = (−2, −3), C = (−3, −3), D = (−1, 3), E = Îòâåò:
(−3, −13). Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè E â íîâîé ñèñòåìå
Íàéòè ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîáñòâåííûå âåêòîðà ìàòðèöû
êîîðäèíàò ñ íà÷àëîì êîîðäèíàò â òî÷êå D è áàçèñíûìè
−11 −7
~ è BC
~ .
âåêòîðàìè AB
14 10
Îòâåò:
~a, êîòîðûé îðòîãîíàëåí√âåê~c = (−8, −9, 13) è èìååò äëèíó 81.
Íàéòè êîîðäèíàòû âåêòîðà
òîðàì
~b = (6, −7, 4)
Îòâåò:
A ñ ïîëîæèòåëüíûè
ñîáñòâåííûìè ÷èñëà

−2
3 −3
1
0 
A·A= 0
6 −6
7
Íàéòè ìàòðèöó
è
ìè òàêóþ, ÷òî
Îòâåò:
............................................................
............................................................
Âàð.:853344627. Ãðóïïà: È-101 ×èñëî/Ìåñ./Ãîä: 10/04/11
Âàð.:853344628. Ãðóïïà: È-101 ×èñëî/Ìåñ./Ãîä: 10/04/11
Ô.È.Î.:
Ñåìåíîâûõ Íèêîëàé
Íàéòè ïÿòü ðàçëè÷íûõ ðåøåíèé ñèñòåìû

−2 · x1 −4 · x2 −2 · x3 +8 · x4 = −2



1 · x1 +2 · x2 +1 · x3 −4 · x4 = 1
3
· x1 +1 · x2 +2 · x3 +4 · x4 = 3



4 · x1 +4 · x2 +3 · x3 −3 · x4 = 4
Ô.È.Î.:
óðàâíåíèé:
Íàéòè
Ñåìåíîâûõ Íèêîëàé
êîîðäèíàòû
òî÷êè,
ñèììåòðè÷íîé
Íàéòè
êîîðäèíàòû
òî÷êè,
ñèììåòðè÷íîé
A = (−5, −3, −1) îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè,
óðàâíåíèåì 2 · x + 3 · y + 2 · z − 13 = 0.
ê:
0
 0
det 
 −2
1
òî÷êå
çàäàííîé
Îòâåò:
A = (17, 19, −10) è
B = (22, 23, −13). Âòîðàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè
C = (5, 11, −2) è D = (7, 13, −3). Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷-
Ïåðâàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè
êè ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ïðÿìûõ.
Îòâåò:

֌-
Îòâåò:
Îòâåò:
Íàéòè îáðàòíóþ ìàòðèöó


1
0
0 1 −1
 1
1 −1 1 −1 


 0 −1
2 0
0 


 0
0
0 1 −1 
0
0
0 0
1
òî÷êå
A = (1, −9, 2) îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé
ðåç òî÷êè B = (−2, −2, −3) è C = (−1, −6, −2).
Îòâåò:
2
3
2
0
1
1
1
0

A = (−5, 3, −2) äî ïëîñêîñòè,
B = (−6, 5, 5) ïåðïåíäèêóëÿðíî
Íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè
1
2 
=
0 
1
ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó
âåêòîðó
α
~ = (3, −2, −6).
Îòâåò:
−1
 A è ðåøèòü
 ìàòðè÷íîå
 óðàâíåíèå.

1 0 −1
0 1 0
0 ; A · X =  1 0 1 
A= 0 1
1 1
0
1 1 2
Íàéòè
Äàíû
äâå
ïðîòèâîïîëîæíûå
(0, 19, 10), C = (−8, −17, −14)
êâàäðàòà A =
E = (−44, −25, 10)
âåðøèíû
è òî÷êà
ëåæàùàÿ â òîé æå ïëîñêîñòè, ÷òî è êâàäðàò. Íàéòè êîîðäèíàòû äâóõ îñòàâøèõñÿ âåðøèí.
Îòâåò:
Ïåðâàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè
(4, −3, −4)
(5, −3, −6). Âòîðàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç
(3, −2, −2) è (3, 0, 2). Òðåòüÿ ïðÿïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè (3, −3, −3) è
è
A = (−49, 43, −39) è
B = (95, 187, −135). Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè C , êîòîðàÿ
ëåæèò íà îòðåçêå AB è äåëèò åãî â îòíîøåíèè 7 : 1, ò.å.
|AC|
7
òàê, ÷òî
|CB| = 1 .
òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè
Îòâåò:
Îòâåò:
Äàíû
êîîðäèíàòû
äâóõ
òî÷åê
~a, ~b â îðòîíîðìèðîâàííîì áà~a = (−1, 1), ~b = (−1, 0). Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ ~c, d~ â
áàçèñå ~
a, ~b: ~c = (−1, 2), d~ = (−2, −2).
Íàéòè: ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ~
c è d~.
Äàíî: Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ
çèñå:
ìàÿ
ïåðåñåêàåò ïåðâóþ è âòîðóþ ïðÿìóþ. Íàéòè êîîðäèíàòû
òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ïåðâîé è òðåòüåé ïðÿìîé.
Íàéòè êîîðäèíàòû âåðøèí êâàäðàòà, åñëè èçâåñòíû êîîðäèíàòû îäíîé âåðøèíû
ðîíû
(−9, 23)
è óðàâíåíèå îäíîé ñòî-
−1
3
y=
·x−
2
2
Îòâåò:
Îòâåò:
Íàéòè êîðíè óðàâíåíèÿ:
Äàíû êîîðäèíàòû òî÷åê
A, B , C , D , E
â ¾îáûêíîâåí-
(1 − 1 · i) · x2 + (3 − 5 · i) · x + (12 − 6 · i) = 0
íîé¿ ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò: A =
(−1, 2), B = (−3, 5), C = (−7, 5), D = (2, −2), E = (2, −14). Îòâåò:
Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè E â íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ñ
~
Íàéòè ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîáñòâåííûå âåêòîðà ìàòðèöû
íà÷àëîì êîîðäèíàò â òî÷êå D è áàçèñíûìè âåêòîðàìè AB
28 −75
~ .
è BC
10 −27
Îòâåò:
~a, êîòîðûé îðòîãîíàëåí
√ âåê~c = (1, −5, −10) è èìååò äëèíó 38.
Íàéòè êîîðäèíàòû âåêòîðà
òîðàì
~b = (2, 8, 7)
Îòâåò:
A ñ ïîëîæèòåëüíûè
ñîáñòâåííûìè ÷èñëà

−2 −3 3
1 0 
A·A= 0
−6 −6 7
Íàéòè ìàòðèöó
è
ìè òàêóþ, ÷òî
Îòâåò:
............................................................
............................................................
Âàð.:853344629. Ãðóïïà: È-101 ×èñëî/Ìåñ./Ãîä: 10/04/11
Âàð.:853344630. Ãðóïïà: È-101 ×èñëî/Ìåñ./Ãîä: 10/04/11
Ô.È.Î.:
Ñèë¼âà Ìàðèíà
Ô.È.Î.:
Íàéòè ïÿòü ðàçëè÷íûõ ðåøåíèé ñèñòåìû

3 · x1 +2 · x2 −1 · x3 −1 · x4 = 3



4 · x1 +3 · x2 −3 · x3 −2 · x4 = 4
 −2 · x1 −1 · x2 +2 · x3 +3 · x4 = −2


3 · x1 +2 · x2 −3 · x3 −3 · x4 = 3
óðàâíåíèé:
Íàéòè
Ñèë¼âà Ìàðèíà
êîîðäèíàòû
òî÷êè,
ñèììåòðè÷íîé
òî÷êå
A = (6, −3, −5) îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé
ðåç òî÷êè B = (4, −2, −3) è C = (3, 0, −2).
֌-
Îòâåò:
Îòâåò:
Íàéòè
êîîðäèíàòû
òî÷êè,
ñèììåòðè÷íîé
A = (2, −3, 2) îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè,
íèåì 2 · x − 2 · y + 3 · z + 1 = 0.
Íàéòè îáðàòíóþ ìàòðèöó ê:


1
0
0 0
0
 −1
1
0 0
0 



 0
0
1
1
−1


 0 −1 −1 0
1 
0
0
0 0
1
òî÷êå
çàäàííîé óðàâíå-
Îòâåò:
Ïåðâàÿ
ïðÿìàÿ
ïðîõîäèò
B = (13, −4, −9).
êè C = (−3, 14, −3)
è
÷åðåç
òî÷êè
A = (11, −3, −8)
Âòîðàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷è
D = (−4, 17, −3).
Íàéòè êîîðäèíàòû
òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ïðÿìûõ.
Îòâåò:
Îòâåò:


A = (5, 2, −9) äî ïëîñêîñòè,
B = (4, −6, −3) ïåðïåíäèêóëÿðíî
Íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè
−1
0 −5
2 −1
0 
=
−3
2 10 
−1
0
0
0
 1
det 
 −2
−1
ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó
âåêòîðó
α
~ = (−6, 3, −6).
Îòâåò:
−1
 A
1
A =  −1
0
Íàéòè
è ðåøèòü ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå.

0
1
1 −1  ;
−1
1

1
A·X = 0
0

2 0
−1 0 
0 0
Äàíû
äâå
ïðîòèâîïîëîæíûå
(2, 1, −2), C = (0, −3, −6)
êâàäðàòà
A =
E = (1, −4, −10)
ëåæà-
âåðøèíû
è òî÷êà
ùàÿ â òîé æå ïëîñêîñòè, ÷òî è êâàäðàò. Íàéòè êîîðäèíàòû
äâóõ îñòàâøèõñÿ âåðøèí.
Îòâåò:
Ïåðâàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè
Äàíû
êîîðäèíàòû
äâóõ
òî÷åê
A = (−49, 34, −41) è
B = (−253, 358, 127). Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè C , êîòîðàÿ
ëåæèò íà îòðåçêå AB è äåëèò åãî â îòíîøåíèè 7 : 5, ò.å.
|AC|
7
òàê, ÷òî
|CB| = 5 .
(0, 6, −1) è (0, 21, −10). Âòîðàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè (−2, 2, 2) è (−2, 8, −2). Òðåòüÿ ïðÿìàÿ
ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè (−1, 3, 1) è ïåðåñåêàåò ïåðâóþ è âòîðóþ ïðÿìóþ. Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè
ïåðåñå÷åíèÿ ïåðâîé è òðåòüåé ïðÿìîé.
Îòâåò:
Îòâåò:
~a, ~b â îðòîíîðìèðîâàííîì áà~a = (1, 1), ~b = (−1, 0). Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ ~c, d~ â
áàçèñå ~
a, ~b: ~c = (−2, −1), d~ = (−1, −1).
Íàéòè: ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ~
c è d~.
Äàíî: Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ
çèñå:
Íàéòè êîîðäèíàòû âåðøèí êâàäðàòà, åñëè èçâåñòíû êîîðäèíàòû îäíîé âåðøèíû
ðîíû
(18, −12)
è óðàâíåíèå îäíîé ñòî-
−11
13
y=
·x+
4
4
Îòâåò:
Îòâåò:
Íàéòè êîðíè óðàâíåíèÿ:
Äàíû êîîðäèíàòû òî÷åê
A, B , C , D , E
â ¾îáûêíîâåí-
(−1 − 1 · i) · x2 + (−5 − 5 · i) · x + (−12 − 8 · i) = 0
íîé¿ ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò: A =
(2, −3), B = (0, −4), C = (−3, −4), D = (−4, −4), E = Îòâåò:
(−9, −5). Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè E â íîâîé ñèñòåìå êîÍàéòè ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîáñòâåííûå âåêòîðà ìàòðèöû
îðäèíàò ñ íà÷àëîì êîîðäèíàò â òî÷êå D è áàçèñíûìè âåê
−3 2
~ è BC
~ .
òîðàìè AB
−4 3
Îòâåò:
~a, êîòîðûé îðòîãîíàëåí
√ âåê~c = (9, 1, −5) è èìååò äëèíó 150.
Íàéòè êîîðäèíàòû âåêòîðà
òîðàì
~b = (9, 3, −6)
Îòâåò:
A ñ ïîëîæèòåëüíûè
ñîáñòâåííûìè ÷èñëà

−2 −3 −3
7
6 
A·A= 6
0
0
1
Íàéòè ìàòðèöó
è
ìè òàêóþ, ÷òî
Îòâåò:
............................................................
............................................................
Âàð.:853344631. Ãðóïïà: È-101 ×èñëî/Ìåñ./Ãîä: 10/04/11
Âàð.:853344632. Ãðóïïà: È-101 ×èñëî/Ìåñ./Ãîä: 10/04/11
Ô.È.Î.:
Òêà÷ Åêàòåðèíà
Òêà÷ Åêàòåðèíà
Ô.È.Î.:
Íàéòè ïÿòü ðàçëè÷íûõ ðåøåíèé ñèñòåìû

1 · x1 −2 · x2 −1 · x3 +8 · x4 = 1



−1 · x1 +1 · x2 +3 · x3 −11 · x4 = −1
 −1 · x1 +2 · x2 +2 · x3 −11 · x4 = −1


−1 · x1 +2 · x2 +1 · x3 −8 · x4 = −1
óðàâíåíèé:
Îòâåò:
Íàéòè
êîîðäèíàòû
òî÷êè,
ñèììåòðè÷íîé
êîîðäèíàòû
òî÷êè,
ñèììåòðè÷íîé
A = (2, 9, 10) îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè,
íåíèåì 3 · x + 3 · y + 3 · z − 9 = 0.
ìàòðèöó ê:
0
0
1
0
2
5
 −5
det 
 4
3
çàäàííîé
òî÷êå
óðàâ-
Îòâåò:

A = (−4, 3, −2) è
B = (−5, 4, −3). Âòîðàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè
C = (1, −2, 4) è D = (1, −2, 5). Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè
Ïåðâàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè





ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ïðÿìûõ.
Îòâåò:

֌-
Îòâåò:
Íàéòè
Íàéòè îáðàòíóþ

1
0 0 0
 0
1 0 0

 0
0 1 0

 0 −1 0 1
−1
0 1 1
òî÷êå
A = (9, −7, −2) îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé
ðåç òî÷êè B = (−4, −2, −1) è C = (−8, 0, 0).
Îòâåò:

A = (6, −7, 9) äî ïëîñêîñòè,
B = (−1, 6, −6) ïåðïåíäèêóëÿðíî
Íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè
−3
0
3
3 −1 −3 
=
−2
1
3 
−2
0
0
ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó
âåêòîðó
α
~ = (8, 8, −4).
Îòâåò:
−1
óðàâíåíèå.
 A è ðåøèòü
 ìàòðè÷íîå 

1 −1 −1
−1 0 0
1
1 ; A · X =  1 1 1 
A= 0
1 −1
0
−1 1 1
Íàéòè
Äàíû
äâå
ïðîòèâîïîëîæíûå
(−2, 7, 7), C = (−4, −9, −1)
êâàäðàòà A =
E = (−21, −19, 3) ëå-
âåðøèíû
è òî÷êà
æàùàÿ â òîé æå ïëîñêîñòè, ÷òî è êâàäðàò. Íàéòè êîîðäèíàòû äâóõ îñòàâøèõñÿ âåðøèí.
Îòâåò:
Ïåðâàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè
(1, 2, 1)
(4, 2, 1). Âòîðàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè ñ
(2, 3, 3) è (2, 0, 3). Òðåòüÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò
òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè (2, 2, 2) è ïåðåñåêàåò ïåðâóþ
è
A = (−32, 32, −49) è
B = (−257, −193, −166). Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè C , êîòîðàÿ ëåæèò íà îòðåçêå AB è äåëèò åãî â îòíîøåíèè 4 : 5,
|AC|
4
ò.å. òàê, ÷òî
|CB| = 5 .
êîîðäèíàòàìè
Îòâåò:
Îòâåò:
Äàíû
êîîðäèíàòû
äâóõ
òî÷åê
~a, ~b â îðòîíîðìèðîâàííîì áà~a = (−1, 3), ~b = (−1, 2). Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ ~c, d~ â
áàçèñå ~
a, ~b: ~c = (−3, 3), d~ = (1, 2).
Íàéòè: ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ~
c è d~.
Äàíî: Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ
çèñå:
÷åðåç
è âòîðóþ ïðÿìóþ. Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ
ïåðâîé è òðåòüåé ïðÿìîé.
Íàéòè êîîðäèíàòû âåðøèí êâàäðàòà, åñëè èçâåñòíû êîîðäèíàòû îäíîé âåðøèíû
(16, 9) è óðàâíåíèå îäíîé ñòîðîíû
−1
y=
·x+1
3
Îòâåò:
Îòâåò:
Íàéòè êîðíè óðàâíåíèÿ:
Äàíû êîîðäèíàòû òî÷åê
A, B , C , D , E
â ¾îáûêíîâåííîé¿
(−1 + 1 · i) · x2 + (3 + 3 · i) · x + (8 − 4 · i) = 0
ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò: A = (2, 3),
B = (0, 7), C = (3, 7), D = (4, −2), E = (5, 2). Íàéòè êî- Îòâåò:
îðäèíàòû òî÷êè E â íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ñ íà÷àëîì
~ è BC
~ .
Íàéòè ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîáñòâåííûå âåêòîðà ìàòðèöû
êîîðäèíàò â òî÷êå D è áàçèñíûìè âåêòîðàìè AB
−6 4
−8 6
Îòâåò:
~a, êîòîðûé îðòîãîíàëåí
âåê√
è ~
c = (6, −2, 4) è èìååò äëèíó 227.
Íàéòè êîîðäèíàòû âåêòîðà
òîðàì ~
b = (1, 7, 4)
A ñ ïîëîæèòåëüíûè
ñîáñòâåííûìè ÷èñëà

7 −3 −9
A · A =  6 −2 −9 
0
0
1
Íàéòè ìàòðèöó
ìè òàêóþ, ÷òî
Îòâåò:
Îòâåò:
............................................................
............................................................
Âàð.:853344633. Ãðóïïà: È-101 ×èñëî/Ìåñ./Ãîä: 10/04/11
Âàð.:853344634. Ãðóïïà: È-101 ×èñëî/Ìåñ./Ãîä: 10/04/11
Ô.È.Î.:
Òðóáåöêîé Àðòóð
Ô.È.Î.:
Íàéòè ïÿòü ðàçëè÷íûõ ðåøåíèé ñèñòåìû

2 · x1 −1 · x2 −1 · x3 −6 · x4 = 2



−1 · x1 +1 · x2 +1 · x3 +3 · x4 = −1
 −1 · x1 +1 · x2 +1 · x3 +3 · x4 = −1


3 · x1 −1 · x2 −2 · x3 −12 · x4 = 3
óðàâíåíèé:
Òðóáåöêîé Àðòóð
Íàéòè
êîîðäèíàòû
òî÷êè,
ñèììåòðè÷íîé
Íàéòè
êîîðäèíàòû
òî÷êè,
ñèììåòðè÷íîé
A = (−12, 4, 5) îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè,
íèåì −3 · x + 1 · y + 2 · z − 8 = 0.
ê:

det 

òî÷êå
çàäàííîé óðàâíå-
Îòâåò:
Ïåðâàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè A = (13, 10, 5) è
B = (16, 13, 7). Âòîðàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè
C = (3, 0, −2) è D = (5, 2, −1). Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè
ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ïðÿìûõ.
Îòâåò:

֌-
Îòâåò:
Îòâåò:
Íàéòè îáðàòíóþ ìàòðèöó


1
0 0 0 0
 0
1 0 0 0 


 1 −1 1 1 1 


 0
0 1 2 2 
0
0 0 0 1
òî÷êå
A = (2, 0, −1) îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé
ðåç òî÷êè B = (−2, −2, −4) è C = (−5, −3, −3).
Îòâåò:

A = (−7, 2, 2) äî ïëîñêîñòè,
B = (−9, −1, −2) ïåðïåíäèêóα
~ = (−9, −6, −2).
Íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè
−1
1 −1
0
1
1 
=
−1
1
0 
0 −1 −2
3
3
1
−2
ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó
ëÿðíî âåêòîðó
Îòâåò:
−1
 A
−1
A= 0
−1
Íàéòè
è ðåøèòü ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå.
1
1
1

1
1 ;
2

−1
X · A =  −2
−2
2
2
2

2
3 
3
Äàíû
äâå
ïðîòèâîïîëîæíûå
(−2, 20, 7), C = (−4, −16, −5)
êâàäðàòà A =
E = (−41, −36, 1)
âåðøèíû
è òî÷êà
ëåæàùàÿ â òîé æå ïëîñêîñòè, ÷òî è êâàäðàò. Íàéòè êîîðäèíàòû äâóõ îñòàâøèõñÿ âåðøèí.
Îòâåò:
Ïåðâàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè
(4, 2, 3)
(2, 4, 1). Âòîðàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè ñ
(−2, 3, 0) è (1, 3, 0). Òðåòüÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò
òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè (2, 2, 2) è ïåðåñåêàåò ïåðâóþ
è
A = (37, 33, −37) è
B = (−131, 131, 40). Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè C , êîòîðàÿ
ëåæèò íà îòðåçêå AB è äåëèò åãî â îòíîøåíèè 5 : 2, ò.å.
|AC|
5
òàê, ÷òî
|CB| = 2 .
êîîðäèíàòàìè
Îòâåò:
Îòâåò:
Äàíû
êîîðäèíàòû
äâóõ
òî÷åê
~a, ~b â îðòîíîðìèðîâàííîì áà~a = (3, 1), ~b = (−1, 0). Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ ~c, d~ â
áàçèñå ~
a, ~b: ~c = (3, 3), d~ = (−1, −3).
Íàéòè: ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ~
c è d~.
Äàíî: Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ
çèñå:
÷åðåç
è âòîðóþ ïðÿìóþ. Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ
ïåðâîé è òðåòüåé ïðÿìîé.
Íàéòè êîîðäèíàòû âåðøèí êâàäðàòà, åñëè èçâåñòíû êîîðäèíàòû îäíîé âåðøèíû
ðîíû
(−1, 27)
è óðàâíåíèå îäíîé ñòî-
−2
1
y=
·x+
3
3
Îòâåò:
Îòâåò:
Íàéòè êîðíè óðàâíåíèÿ:
Äàíû êîîðäèíàòû òî÷åê
A, B , C , D , E
â ¾îáûêíîâåííîé¿
(−1 + 1 · i) · x2 + (−1 − 3 · i) · x + (14 + 8 · i) = 0
ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò: A = (3, 3),
B = (6, 7), C = (5, 7), D = (3, −1), E = (−7, −9). Íàéòè Îòâåò:
êîîðäèíàòû òî÷êè E â íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ñ íà÷àëîì
~ è BC
~ .
Íàéòè ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîáñòâåííûå âåêòîðà ìàòðèöû
êîîðäèíàò â òî÷êå D è áàçèñíûìè âåêòîðàìè AB
9
5
−10 −6
Îòâåò:
~a, êîòîðûé îðòîãîíàëåí √
âåêè ~
c = (5, 9, −3) è èìååò äëèíó 56.
Íàéòè êîîðäèíàòû âåêòîðà
òîðàì ~
b = (−6, −5, −8)
A ñ ïîëîæèòåëüíûè
ñîáñòâåííûìè ÷èñëà

−2 3 −3
A · A =  −6 7 −6 
0 0
1
Íàéòè ìàòðèöó
ìè òàêóþ, ÷òî
Îòâåò:
Îòâåò:
............................................................
............................................................
Âàð.:853344635. Ãðóïïà: È-101 ×èñëî/Ìåñ./Ãîä: 10/04/11
Âàð.:853344636. Ãðóïïà: È-101 ×èñëî/Ìåñ./Ãîä: 10/04/11
Ô.È.Î.:
Ôèðñîâ Ìèõàèë
Ô.È.Î.:
Íàéòè ïÿòü ðàçëè÷íûõ ðåøåíèé ñèñòåìû

1 · x1 +3 · x2 +2 · x3 −4 · x4 = 1



−2 · x1 −2 · x2 −1 · x3 +1 · x4 = −2
 −2 · x1 −4 · x2 −3 · x3 +5 · x4 = −2


−1 · x1 −2 · x2 −2 · x3 +3 · x4 = −1
óðàâíåíèé:
Ôèðñîâ Ìèõàèë
Íàéòè
êîîðäèíàòû
òî÷êè,
ñèììåòðè÷íîé
A = (−4, 10, −1) îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé,
÷åðåç òî÷êè B = (−1, 1, −1) è C = (1, −3, 0).
Îòâåò:
Îòâåò:
Íàéòè
êîîðäèíàòû
òî÷êè,
ñèììåòðè÷íîé
A = (3, −6, 4) îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè,
íèåì 2 · x + 3 · y − 3 · z + 2 = 0.
Íàéòè îáðàòíóþ ìàòðèöó


1 0 −1
0
0
 0 1
0 −1
1 



 0 0
1
0
0


 0 0
0
1 −1 
1 1 −1 −1
2
òî÷êå
ïðîõîäÿùåé
ê:
òî÷êå
çàäàííîé óðàâíå-
Îòâåò:
A = (−2, −7, 2) è
B = (−2, −10, 4). Âòîðàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè
C = (−2, 6, −6) è D = (−2, 8, −7). Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷-
Ïåðâàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè
êè ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ïðÿìûõ.
Îòâåò:
Îòâåò:

−2
 −1
det 
 −1
−4
1
2
2
0

A = (−9, 8, 4) äî ïëîñêîñòè,
B = (1, 3, 5) ïåðïåíäèêóëÿðíî
Íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè
−1 4
−1 4 
=
0 4 
−3 4
ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó
âåêòîðó
α
~ = (3, −6, −6).
Îòâåò:
−1
 A
−1
A= 1
0
Íàéòè
è ðåøèòü ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå.

0
1
1 −1  ;
−1
1

0
X ·A= 1
1
1
1
1

0
−1 
−1
Äàíû
äâå
ïðîòèâîïîëîæíûå
(14, 10, 15), C = (−18, −6, −17)
êâàäðàòà A =
E = (−18, 18, −65)
âåðøèíû
è òî÷êà
ëåæàùàÿ â òîé æå ïëîñêîñòè, ÷òî è êâàäðàò. Íàéòè êîîðäèíàòû äâóõ îñòàâøèõñÿ âåðøèí.
Îòâåò:
Ïåðâàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè
(0, 3, −1)
(−1, 2, 0). Âòîðàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷(−3, 2, 3) è (−3, 2, 0). Òðåòüÿ ïðÿìàÿ
÷åðåç òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè (−2, 2, 1) è ïåðåñå-
è
A = (−37, 33, −42) è
B = (−109, 102, 27). Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè C , êîòîðàÿ
ëåæèò íà îòðåçêå AB è äåëèò åãî â îòíîøåíèè 2 : 1, ò.å.
|AC|
2
òàê, ÷òî
|CB| = 1 .
êè ñ êîîðäèíàòàìè
Îòâåò:
Îòâåò:
Äàíû
êîîðäèíàòû
äâóõ
òî÷åê
~a, ~b â îðòîíîðìèðîâàííîì áà~a = (−1, −3), ~b = (1, 2). Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ ~c, d~ â
áàçèñå ~
a, ~b: ~c = (2, −3), d~ = (3, 1).
Íàéòè: ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ~
c è d~.
Äàíî: Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ
çèñå:
ïðîõîäèò
êàåò ïåðâóþ è âòîðóþ ïðÿìóþ. Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè
ïåðåñå÷åíèÿ ïåðâîé è òðåòüåé ïðÿìîé.
Íàéòè êîîðäèíàòû âåðøèí êâàäðàòà, åñëè èçâåñòíû êîîðäèíàòû îäíîé âåðøèíû
ðîíû
(−9, 13)
è óðàâíåíèå îäíîé ñòî-
13
16
y=
·x−
9
9
Îòâåò:
Îòâåò:
Íàéòè êîðíè óðàâíåíèÿ:
Äàíû êîîðäèíàòû òî÷åê
A, B , C , D , E
â ¾îáûêíîâåí-
(1 + 1 · i) · x2 + (−6 − 4 · i) · x + (9 + 7 · i) = 0
íîé¿ ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò: A =
(−3, 4), B = (1, 2), C = (5, 2), D = (4, 3), E = (12, −3). Îòâåò:
Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè E â íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ñ
~
Íàéòè ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîáñòâåííûå âåêòîðà ìàòðèöû
íà÷àëîì êîîðäèíàò â òî÷êå D è áàçèñíûìè âåêòîðàìè AB
−7 −36
~ .
è BC
3
14
Îòâåò:
~a, êîòîðûé îðòîãîíàëåí
√ âåê~c = (7, 7, −21) è èìååò äëèíó 106.
Íàéòè êîîðäèíàòû âåêòîðà
òîðàì
~b = (−7, 9, 9)
Îòâåò:
A ñ ïîëîæèòåëüíûè
ñîáñòâåííûìè ÷èñëà

10 −3 0
A · A =  18 −5 0 
−9
3 1
Íàéòè ìàòðèöó
è
ìè òàêóþ, ÷òî
Îòâåò:
............................................................
............................................................
Âàð.:853344637. Ãðóïïà: È-101 ×èñëî/Ìåñ./Ãîä: 10/04/11
Âàð.:853344638. Ãðóïïà: È-101 ×èñëî/Ìåñ./Ãîä: 10/04/11
Ô.È.Î.:
Öåìäÿéêèí Äàíèë
Ô.È.Î.:
Íàéòè ïÿòü ðàçëè÷íûõ ðåøåíèé ñèñòåìû

−3 · x1 +4 · x2 −2 · x3 +4 · x4 = −3



4 · x1 −3 · x2 +1 · x3 +1 · x4 = 4
4
· x1 −5 · x2 +2 · x3 −4 · x4 = 4



−3 · x1 +3 · x2 −1 · x3 +1 · x4 = −3
óðàâíåíèé:
Îòâåò:
Öåìäÿéêèí Äàíèë
Íàéòè
êîîðäèíàòû
òî÷êè,
ñèììåòðè÷íîé
êîîðäèíàòû
òî÷êè,
ñèììåòðè÷íîé
A = (−8, −1, −6) îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè,
óðàâíåíèåì 1 · x + 1 · y + 3 · z − 6 = 0.
ê:

det 

òî÷êå
çàäàííîé
Îòâåò:
ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè A = (−2, −2, −2)
B = (0, −3, −3). Âòîðàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè
C = (−9, 14, −1) è D = (−10, 17, −1). Íàéòè êîîðäèíàòû
Ïåðâàÿ
è
òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ïðÿìûõ.
Îòâåò:

֌-
Îòâåò:
Íàéòè
Íàéòè îáðàòíóþ ìàòðèöó


1 0 0
0 1
 1 1 1
0 1 


 0 0 1
0 0 


 0 1 1
1 0 
0 0 0 −1 1
òî÷êå
A = (0, −2, −1) îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé
ðåç òî÷êè B = (−2, −2, −2) è C = (−1, −3, −1).
Îòâåò:

−1
0
0
0
A = (−4, −9, 1) äî ïëîñêîñòè,
B = (−1, −6, −5) ïåðïåíäèêóα
~ = (−1, 2, 2).
Íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè
−7 −6 −20
1
0
0 
=
−2 −2 −5 
−4 −3 −10
ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó
ëÿðíî âåêòîðó
Îòâåò:
−1
 A
−1
A= 1
0
Íàéòè
è ðåøèòü ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå.
0
1
1

1
−1  ;
1

0
A·X = 0
1

−1 −1
1
2 
0
1
Äàíû
äâå
ïðîòèâîïîëîæíûå
(18, 31, 34), C = (−14, −33, −30)
êâàäðàòà A =
E = (−46, −1, 98)
âåðøèíû
è òî÷êà
ëåæàùàÿ â òîé æå ïëîñêîñòè, ÷òî è êâàäðàò. Íàéòè êîîðäèíàòû äâóõ îñòàâøèõñÿ âåðøèí.
Îòâåò:
Ïåðâàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè
(1, −1, 3)
A = (47, 49, −43) è
B = (263, 265, −268). Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè C , êîòîðàÿ
ëåæèò íà îòðåçêå AB è äåëèò åãî â îòíîøåíèè 5 : 4, ò.å.
|AC|
5
òàê, ÷òî
|CB| = 4 .
Äàíû
êîîðäèíàòû
äâóõ
òî÷åê
(−2, −1, −3). Âòîðàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç
(0, −2, 1) è (0, −5, −5). Òðåòüÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè (1, −2, 2) è ïåðåè
òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè
ñåêàåò ïåðâóþ è âòîðóþ ïðÿìóþ. Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè
ïåðåñå÷åíèÿ ïåðâîé è òðåòüåé ïðÿìîé.
Îòâåò:
Îòâåò:
~a, ~b â îðòîíîðìèðîâàííîì áà~a = (−1, 1), ~b = (−1, 0). Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ ~c, d~ â
áàçèñå ~
a, ~b: ~c = (−2, 1), d~ = (−2, −2).
Íàéòè: ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ~
c è d~.
Äàíî: Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ
çèñå:
Íàéòè êîîðäèíàòû âåðøèí êâàäðàòà, åñëè èçâåñòíû êîîðäèíàòû îäíîé âåðøèíû
ðîíû
(−20, 5)
è óðàâíåíèå îäíîé ñòî-
5
4
y = ·x+
6
3
Îòâåò:
Îòâåò:
Íàéòè êîðíè óðàâíåíèÿ:
Äàíû êîîðäèíàòû òî÷åê
A, B , C , D , E
â ¾îáûêíîâåííîé¿
(−1 − 1 · i) · x2 + (−1 − 5 · i) · x + (−4 − 6 · i) = 0
ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò: A = (3, 2),
B = (4, 4), C = (1, 4), D = (−1, 2), E = (−10, −4). Íàéòè Îòâåò:
êîîðäèíàòû òî÷êè E â íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ñ íà÷àëîì
~ è BC
~ .
Íàéòè ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîáñòâåííûå âåêòîðà ìàòðèöû
êîîðäèíàò â òî÷êå D è áàçèñíûìè âåêòîðàìè AB
−1
1
−2 −4
Îòâåò:
~a, êîòîðûé îðòîãîíàëåí
√ âåêè ~
c = (−6, 3, 0) è èìååò äëèíó 61.
Íàéòè êîîðäèíàòû âåêòîðà
òîðàì ~
b = (6, −7, 6)
A ñ ïîëîæèòåëüíûè
ñîáñòâåííûìè ÷èñëà

−5 −18 −12
10
6 
A·A= 3
0
0
1
Íàéòè ìàòðèöó
ìè òàêóþ, ÷òî
Îòâåò:
Îòâåò:
............................................................
Thu Apr 07 18:27:48 Óðàëüñêîå âðåìÿ (ëåòî) 2011