ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И ПЛОТНОСТИ

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И ПЛОТНОСТИ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В ДИСПЕРГИРУЮЩЕЙ СРЕДЕ
М.В. Давидович
Саратовский государственный университет им. Н.Г.Чернышевского,
кафедра радиотехники и электродинамики
410012 Саратов, Россия, e-mail: [email protected]
В монографии рассматриваются и анализируются некоторые противоречия
современной электродинамики сплошных сред, а именно вид плотностей энергии и
импульса поля и системы поле-вещество, тензора энергии-импульса и представление
скоростей переноса энергии и импульса. Делается обзор проблемы, анализируются
различные подходы к определению плотностей энергии и импульса. На основе строгого
нестационарного подхода получены новые нестационарные балансные уравнения для
плотностей энергии и импульса системы поле-вещество, основанные на нестационарных
определениях этих плотностей с зависимостью от предыстории процесса создания поля, а
также в нестационарном случае определены скорости их переноса. Рассмотрен ряд
конкретных законов дисперсии и ряд задач распространения и дифракции
монохроматических и квазимонохроматических волн. Найдены плотности энергии и
импульса монохроматического поля для указанных законов и показано выполнение
локальных и глобальных законов сохранения энергии и импульса, в частности, при
дифракции плоской квазимонохроматической волны (цуга) на идеально прозрачной
пластине и проводящей пластине. Рассмотрены фазовая, групповая и энергетическая
скорости в монохроматической волне. Показано, что для всех рассмотренных законов
групповая скорость в определенных диапазонах превышает скорость света в вакууме и
имеет только кинематический смысл скорости распространения биений двух бесконечно
близких по частоте гармонических волн равной амплитуды. Также показано, что для двух
законов дисперсии (для полярных диэлектриков и проводящих сред на низких частотах)
фазовая скорость совпадает со скоростью переноса энергии в монохроматической волне и
всегда меньше скорости света в вакууме. Рассмотрен вопрос о возможности и
целесообразности введения тензора энергии-импульса в общем случае диспергирующих
сред. Показана предпочтительность использования формы Минковского для сред без
дисперсии, т.е. для медленных (низкочастотных) процессов. Получено выражение для
средней плотности энергии монохроматической волны в бианизотропной среде.
The Conservation Laws and the Densities of electromagnetic field energy and momentum
in dispersive media
M.V. Davidovich
New general nonstationary balance equations for energy and momentum densities of
field-matter system based on rigorous nonstationary approach for their definitions with
dependence from the field creation prehistory have been obtained. Also the transport velocities
of these densities have been derived. The concrete examination and detailed consideration have
been performed for simplest dispersion law which is defined by the conductivity connected with
the dissipation. There are following parameters which have been found for plane monochromatic
wave under this law: the energy density, the phase velocity, the group velocity, and the transport
velocities of energy and momentum. It has been shown that the energy density has the static
form in which the dielectric permittivity must be replaced by its real part, and the energy
transport velocity coincides with the phase velocity. The group velocity in this case may exceed
the light velocity in the vacuum. It has been also shown that correct form of momentum density
is the Minkowski one, and the momentum transport velocity in this case also coincides with
phase velocity. The energy and momentum conservation have been shown for plane
electromagnetic wave in the conducting medium and for plane wave diffraction on the
conducting plate.
2
ВВЕДЕНИЕ
В монографиях и учебниках по электродинамике, а также в
большинстве работ, касающихся затронутых в заглавии данной работы
вопросов, плотность электромагнитной энергии системы поле-вещество
(СПВ) в среде определяется (в системе СИ) так:
{
}
r r
r r
r r
r r
r
r
r
u (r , t ) = ue (r , t ) + um (r , t ) = E (r , t ) ⋅ D(r , t ) + H (r , t ) ⋅ B(r , t ) / 2 ,
(1)
т.е. как в статике (см., например, [1], стр. 422; [2], стр. 255; [3], стр. 608; [4],
стр. 61; [5], стр. 124; [6], стр. 25; [7], стр. 50–53; [8], стр. 216; [9], стр. 10; [10],
стр. 53, 189; [11], стр. 10. Этот список можно легко продолжить и сделать
весьма внушительным (например, добавив [12–22]). Далее иногда слово
“плотность” будем опускать. Выражение (1), правильное в вакууме и в
статике, пошло от Максвелла (1873) и Пойнтинга (1884), а затем Герца,
Минковского и Абрагама, когда дисперсия не рассматривалась. В некоторых
работах (например, [7,23]) входящие в (1) электрическую магнитную
плотности определяют интегралами типа
r r
r& r
r r
r r
r
ue (r , t ) = ∫ E (r , t ) ⋅ D(r , t )dt = ∫ E (r , t ) ⋅ dD(r , t ) ,
(2)
что более правильно, но смысл подобных соотношений обычно не
раскрывается, а часто утверждается, что из соотношений типа (2) следует (1)
[7]. Другой обычно используемый подход – это определение плотности
работы
(энергии)
w,
затраченной
источниками
на
создание
поля,
соответствующими дифференциальными соотношениями [10,23–26], из
которых также не ясна в общем случае ее зависимость от времени. Поэтому,
вместо интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений,
обычно рассматривают монохроматические и квазимонохроматические
r
процессы [11,21,23–26], определяя w(r , t ) для них методом Фурье. В
частности, в достаточно обширном ряде работ (например, [24,26])
приводится результат Бриллюэна (1921):
3
r
r
r
1  d (ωε (ω , r )) r 2 r
d (ωµ (ω , r )) r 2 r
u (r , t ) = ε 0
E (r , t ) + µ0
H (r , t )
2
dω
dω

 .
(3)
Он получен для монохроматических и квазимонохроматических полей при
пренебрежении
потерями
путем
введения
комплексных
амплитуд,
разложением спектрального интеграла от них по малому параметру при
удержании одного члена и усреднением за период (далее обозначаемый
скобками
) [26], т.е. точно так, как вводится первое приближение теории
дисперсии и групповая скорость. Собственно (3) есть соотношение
приближенное и подгоняющее групповую скорость под скорость энергии.
Средние значения монохроматических полей в (3) не зависят от времени. Для
квазимонохроматических
полей
подразумевается,
что
ω
–
некая
“центральная” частота в спектре. Ее, однако, однозначно определить нельзя.
При этом левая часть соотношения (3) становится функцией времени и
указанной частоты, что говорит не в его пользу. Недостатки этого полхода
следующие. Вводятся комплексные спектральные амплитуды (комплексные
r
r
r
r
сигналы) в пренебрежении членами E∂ t D и E ∗∂ t D∗ ([26], стр.381), что строго
верно только для монохроматических сигналов (вообще для нестационарных
процессов следует использовать не комплексные, а аналитические сигналы
[27]). Разложение спектрального интеграла (как и интеграла в приближении
теории дисперсии) асимптотическое, т.е. приближенное и, вообще говоря, не
сходящееся. Для увеличения точности и оценки погрешности необходимо
вводить следующие члены [27]. Для сходимости спектр должен быть
финитным и не выходить за круг сходимости ряда Тейлора [27]. Однако даже
квазигармоническое поле имеет инфинитный спектр, хотя его основная часть
и сосредоточена в узкой полосе. Соотношение (3) (как и групповая скорость)
ничего не определяет при потерях. Однако дисперсия означает потери [26].
Полное отсутствие потерь в конечной полосе означает отсутствие и
дисперсии. Действительно, дисперсия обусловлена обычно несколькими
резонансными частотами вещества (см. ниже), дисперсионные кривые для
которых суммируются (накладываются), при этом квантовое и классическое
4
рассмотрения дают одинаковые результаты [28]. Отсутствие потерь в полосе
означает раздвижение соседних частот на бесконечность, т.е. отсутствие и
дисперсии. В этом единственном случае первое приближение теории
дисперсии есть соотношение точное, а для скоростей в монохроматической
волне имеем ve (ω ) = v p (ω ) = vg (ω ) , где введены: энергетическая, фазовая и
групповая
скорости.
Формула
(3)
заведомо
неверна
при
быстро
изменяющихся полях (широком спектре), сильной дисперсии и потерях.
Трудности определения плотности энергии в диспергирующих средах
отмечены в ряде работ (например, [11], стр. 28; [28], стр. 333, [29,30]). Это, в
частности, связано с невозможностью однозначного в общем случае ее
введения в монохроматическом поле [11,26,30]. В работе [31] использовано
выражение
(3)
и
показана
возможность
отрицательной
рефракции
(антипараллельности групповой и фазовой скоростей) в недиссипативной
среде. Несостоятельность использования (3) для плотности энергии в
диспергирующей среде обстоятельно показана в [30]. В этой же работе
показана ошибочность результатов работы [32], в которой предпринята
попытка введения плотности энергии для произвольного нестационарного
процесса путем разделения собственной энергии и выделенного тепла с
использованием
разложения
спектральных
проницаемостей
в
ряд
с
разделением на четные и нечетные частотные части. Предложенные в [33,34]
выражения для плотности энергии и импульса СПВ также ошибочные (см.
[35]).
Основная трудность связана с разделением энергии на полевую и
диссипированную
части
[30].
Например,
диссипация,
обусловленная
оптическими фононами, с одной стороны носит электромагнитный характер,
а с другой стороны, ее можно отнести к потерям. Нагрев при диссипации
связан с широкополосным тепловым излучением. Сказанное показывает
нестационарность и неравновесность любого процесса распространения
электромагнитного
поля
(ЭМП)
в
веществе.
Оно
также
может
5
сопровождаться нелинейностью, связанной, например, с ударной ионизацией
в сильных полях, эффектом Керра, комбинационным рассеянием и т.п. Ясно,
что в общем случае нельзя разделить плотность энергии на чисто полевую и
материальную, поскольку есть взаимодействие и энергия взаимодействия.
Однако для импульса такое разделение возможно. Перечислим основные
моменты, влияющие на определение плотности энергии СПВ. Первое –
является ли СПВ замкнутой (консервативной), или нет? Второе – является ли
среда
движущейся
(в
том
числе
ускоренно),
рассматриваемые процессы стационарные,
или
нет?
Третье
–
равновесные и линейные, или
нет? Четвертое – однозначно ли вводятся материальные параметры среды,
или нет? И пятое – изменяет ли поле и среда пространство-время, или нет?
Естественно, общий ответ на все вопросы, кроме последнего – нет. Но в
общем случае получить плотность энергии и импульса в замкнутом виде повидимому невозможно (за исключением численного решения всех уравнений
с известными начальными и граничными условиями). Довольно редко
указывается, что при определении u необходимо учитывать кинетическую
энергию частиц вещества [28–30,35–39]. Например, в [36] для плазмы
вводится формула с использованием вектора поляризации
{
}
r r
r r
r r
r
u (r , t ) = ε 0 E (r , t ) + µ0 H (r , t ) / 2 + ∂ t P e (r , t ) / (2ε 0ω p2 ) .
Часто используется лагранжев формализм в пренебрежении потерями и с
абсолютизацией групповой скорости как скорости энергии [26,31,36–38] (см.
также [39,40] и приведенные там ссылки). Что касается выражения (3), то для
консервативных систем с эрмитовым гамильтонианом, квадратичным по
обобщенным координатам и импульсам, доказана теорема ЛеонтовичаЛайтхилла о совпадении групповой скорости со скоростью энергии для
монохроматической волны (см. ссылки в [39,40]). Соответственно формула
(3) тогда дает верный результат, правда, интересно отметить, для каких сред
и структур. Это идеальная бесстолкновительная плазма, волны в ферритах
без диссипации, регулярные и периодические волноводы с идеально
6
проводящими стенками. В последних структурах дисперсия обусловлена
переотражением от стенок и неоднородностей волн, идущих со скоростью
света. В любом случае в монохроматической волне групповой скорости не
соответствует какая-либо частотная группа волн, а для нестационарных
процессов величина vg не характеризует скорость энергии, и вообще
однозначно ввести ее нельзя. Собственно, впервые групповую скорость ввел
Гамильтон для волн в консервативных системах без диссипации. Между тем,
r
именно для нестационарных процессов знание u (r , t ) необходимо для
определения скорости переноса электромагнитной части энергии СПВ
r r
r
r r
r r
r r
r
ve (r , t ) = S / u (r , t ) согласно концепции Н.А.Умова [41], где S (r , t ) = E (r , t )× H (r , t )
есть вектор Пойнтинга.
При
учете
пространственной
дисперсии
также
рассматривают
монохроматические процессы, при этом применяют Фурье-разложение по
r
волновому вектору k
[24,26,42–44]. Магнитное поле из рассмотрения
исключается, соотношение (1) считается верным при µ = 1 , а вектор
r
Пойнтинга приобретает добавку, связанную с градиентом по k (вообще
говоря, в СПВ следует рассматривать и перенос энергии частицами вещества,
если имеет место движение среды). Эти результаты также неприменимы к
нестационарным диссипативным процессам, требуют усреднения за период и
r
r
явно зависят от ω и k . Тем не менее, для модификации S в (24) вводится
низкочастотное
соотношение
между
( )
тензорами
диэлектрической
( )
r
) r
проводимости и проводимости: ε k , ω = Iˆ − j (ε 0ω )−1σˆ k , ω .
При определении плотности электромагнитного импульса (линейного
момента) поля в электродинамике сплошных сред также нет однозначности.
Вот уже более ста с лишним лет сохраняется парадоксальное состояние,
известное
как
контроверсия
Абрагама-Минковского,
когда
нет
определенности в отношении правильного выбора тензора энергии-импульса
(ТЭИ) для СПВ и соответствующих плотностей [45–64]. Для плотности
импульса
имеется
два
основных
определения:
Минковского
[45]
7
r r
r
r r
r r
r
r
r
g M = D(r , t ) × B(r , t ) = n 2 S (r , t ) / c 2 = n 2 g A и Абрагама [46] g A = S / c 2 . Здесь n = εµ –
показатель преломления (индекс рефракции или коэффициент замедления).
Имеется много публикаций как за определение Минковского, например, [57]
и против определения Абрагама, так и наоборот – за Абрагама и против
Минковского (см., например, публикации [47–50], последние обзоры [55,61],
работу [57] и литературу в них). Кроме этого имеется работы, утверждающие
или считающие, что указанные два определения эквивалентны (например,
[47,56]), но все-таки тензор Абрагама более предпочтительный или
правильный. Тем не менее, тензором Минковского тоже можно пользоваться,
он часто более удобен и более соответствует сплошной среде [47]. В других
работах тензор Минковского считается более верным. Есть ряд публикаций
об экспериментальных подтверждениях и опровержениях, как первого, так и
второго из определений [56]. В частности, имеются статьи по измерению
r
силы Абрагама f A – величины, являющейся довеском к производной по
r
времени от плотности импульса по Абрагаму ∂ t g A , в результате которого
r
получается производная ∂ t g M для плотности импульса по Минковскому [47].
Заметим, что сила Абрагама не эквивалентна сумме сил Лоренца,
действующих на электрический и магнитный токи поляризации вещества
[49], а ее измерение произведено для сверхнизких частот [65,66], т.е. не для
динамического ЭМП при отсутствии дисперсии и с невысокой точностью.
Более
того,
фактически
измерена
сила
Лоренца,
действующая
на
электрический ток поляризации диска из титаната бария ( ε = 3620 , µ = 1 ). При
µ =1
она совпадает с силой Абрагама. Для магнитодиэлектрика в
динамическом ЭМП сумма сил Лоренца для обоих токов поляризации не
совпадает с силой Абрагама. Поэтому экспериментально следовало бы
подтвердить либо первый, либо второй результат в динамическом поле. В
большинстве теоретических работ рассмотрен именно случай µ = 1 .
Упомянутая неоднозначность породила также ряд попыток определить
и вывести ТЭИ и плотности по-другому, например, с использованием
8
микроскопической электродинамики [51,52], уравнений движения вещества
[28,39], с использованием лагранжева формализма и теоремы Нётер [57], с
использованием электродинамики движущихся сред [64]. Кстати, в отличие
от волн в диспергирующих средах, электродинамика движущихся сред
рассматривается в приближении отсутствия дисперсии [1,26]. Считается, что
однозначно можно определить только ТЭИ системы поле-вещество, а по
отдельности указанные величины определяются неоднозначно. Между тем,
неоднозначность в определении
плотности импульса поля ведет к
r
неопределенности скорости его переноса vi( EM ) , скорости движения вещества
r
r
v ( M ) и полной скорости переноса импульса поле-вещество vi . Из нее следует
неоднозначность силы давления ЭМП на вещество и импульса фотона
(квазифотона).
Таким
противоречия
образом,
в
в
электродинамике
определении
плотностей
сплошных
энергии
сред
и
имеются
импульса,
а
соответственно и ТЭИ. Так, соотношение (1) даже при очень низких частотах
не верно для плазмы и проводящих сред. Это же утверждение относится и к
соотношению (3) для столкновительной плазмы. Указанное состояние
связано на наш взгляд с тем, что все упомянутые работы (в частности, по
ТЭИ)
используют
материальные
соотношения
r r
r r r
D (r , t ) = ε 0εˆ (r )E (r , t ) ,
r r
r r r
B (r , t ) = µ0 µˆ (r )H (r , t ) , а чаще всего просто со скалярными константами ε и µ ,
т.е. не учитывают дисперсию и нестационарность. Подход, приводящий к
соотношениям типа (3), не учитывает потери, и соответственно дисперсию.
Он неприменим к произвольной зависимости от времени и к процессам с
широким спектром.
В данной работе предложены зависящие от предыстории процесса
создания поля строгие нестационарные значения рассмотренных плотностей,
следующие из нестационарных балансных уравнений. Приведены выражения
для скорости переноса энергии и импульса системы поле-вещество, а также
для скорости переноса импульса поля и вещества. Результаты обобщают
9
ранее опубликованные работы автора [39,67–71]. Рассмотрение ведется для
неподвижной
линейной
равновесной
(находящейся
при
постоянной
температуре) среды в плоском пространстве Минковского. Тем самым мы
предполагаем,
что
амплитуды
волн
достаточно
малые,
так
что
нелинейностями, ускорением и нагревом среды за рассматриваемый отрезок
времени можно пренебречь.
10
1. БАЛАНСНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА
В отличие от статики задача о плотностях энергии и импульса
усложняется тем обстоятельством, что ЭМП, воздействуя на среду (тело),
передает частицам энергию, импульс и момент импульса. Последний случай
для простоты рассматривать не будем. Происходит разогрев и ускорение
среды, т.е. нестационарный во времени процесс становится еще и
неравновесным, причем разогретое вещество дополнительно излучает во
всем спектре, а задача требует решения кинетического уравнения. Если
рассматривать поле в движущейся среде, необходимо привлекать методы
электродинамики движущихся сред, причем в общем случае движущихся
ускоренно. Релятивистки-ковариантные формы таких уравнений весьма
сложны даже без учета дисперсии (см., например, [72]). Поэтому будем
считать, что ЭМП достаточно слабое, теплоемкость вещества достаточно
высока, а процесс квазиравновесный и происходит при постоянной
температуре. Сила, действующая на вещество мала, а его плотность
достаточно велика, чтобы можно было пренебречь движением вещества как
целого. В указанных предположениях задача ставиться так: до некоторого
момента t0 (будем полагать t0 = 0 ) поле отсутствовало, а в момент t0
включаются
сторонние
источники, т.е. появляются
сторонние токи,
создающие поле, его энергию и импульс. Зная уравнения движения частиц
вещества, в принципе можно однозначно решить указанную задачу о
возбуждении. В электродинамике сплошных сред эти уравнения движения
некоторым образом в среднем эквивалентны материальным уравнениям. В
последнее время изучаются искусственные среды (ИС) – метаматериалы,
которые могут иметь одновременно отрицательные компоненты тензоров
проницаемостей εˆ и µ̂ . Такие материалы в общем случае бианизотропные
[73] с сильной пространственной дисперсией. Поэтому возникает вопрос об
указанных плотностях и для них. Обычно материальные уравнения в
11
нестационарных полях рассматриваются в форме Ландау-Лифшица [26,74]. В
r
этой форме описание поляризации возможно только на основе вектора D .
Более общей является форма Казимира [74]. Мы будем исходить из
усредненных
по
некоторому
малому
объему
(например,
ячейке
периодичности) спектральных материальных уравнений для бианизотропных
сред [73]:
(
(
)
)
(
(
)(
) (
)
(
) (
)(
)
)
r r r
rr r
r r r
r r
r r
D r , k , ω = ε 0εˆ r , k , ω E r , k , ω + c −1ξˆ r , k , ω H r , k , ω ,
rr r
r r r
rr r
r r
r r
B r , k , ω = µ0 µˆ r , k , ω H r , k , ω + c −1ςˆ r , k , ω E r , k , ω ,
)
(
(4)
(5)
и соответствующих им наиболее общих интегральных соотношений:
t
r r
D(r , t ) = ε 0
t
r r
r r
r r
r r
−1
3
3
∫ ∫ εˆ(r , r ′, t − t ′)E (r ′, t′)d r ′dt ′ + c ∫ ∫ ξˆ(r , r ′, t − t ′)H (r ′, t′)d r ′dt ′ ,
−∞V
t
r r
B (r , t ) = µ0
∫
(6)
−∞V
t
r r
r r
r r
r r
−1
3
′
′
′
′
′
′
′
′
ˆ
ˆ
(
)
(
)
(
)
(r ′, t′)d 3r′dt′ .
−
+
−
µ
r
,
r
,
t
t
H
r
,
t
d
r
d
t
c
ς
r
,
r
,
t
t
E
∫
∫∫
−∞ V
(7)
−∞ V
Они суть нестационарные обобщения условий Ландау-Лифшица и Казимира
для бианизотропии. В силу однородности процессов во времени тензорные
ядра здесь зависят от разности
t − t′ .
В этих соотношениях объем
r r
r
r
интегрирования V = V (r , r ′, t , t ′) определяется из условия r − r ′ < c(t − t ′) , что
означает наиболее общий учет пространственной дисперсии, при этом явно
учтен
принцип
r r
εˆ (r , r ′, t − t ′) = 0 ,
причинности.
r r
µˆ (r , r ′, t − t ′) = 0
Этот
принцип
означает
также,
что
при t ′ > t . Максимальный размер области
V пространственной дисперсии может быть существенно меньше, чем c(t − t ′) .
Тензоры кросс-поляризаций в (4), (5) при ω = 0 должны обращаться в нуль.
Соотношения (6)–(7) в принципе могут описывать зависимость не только от
полей, но и от их пространственных и временных производных. Например,
r
r r
r
ядро εˆ(r , r ′, t − t ′) содержит член с дельта-функциями δ (t − t ′)δ (r − r ′) , который
r r
дает вклад ε 0 E (r ) в индукцию. Оставшиеся члены учитывают поляризацию.
r
r r
r r
r r
Если ξˆ(r , r ′, t ) = ξˆ(r , r ′, t )δ ′(t ) , где необходимо выполняется ξˆ(r , r ′,0) = 0 , то в D
есть вклад интеграла от
внеинтегральных
членов
r r
∂H (r , t ) / ∂t ,
с
и т.п. Возможно
производными.
введение и
Соотношениям
(6),
(7)
12
соответствует введение векторов электрической и магнитной поляризации
r
r
P (e, m ) (r , t ) в эквивалентных (6) и (7) формах:
r r
r r
r r
r r
r r
r r
D(r , t ) = ε 0 E (r , t ) + P e (r , t ) , B(r , t ) = ε 0 H (r , t ) + P m (r , t ) .
(8)
Соответственно для спектральных величин имеют место соотношения
r
Pe
r
Pm
Во всех
(rr, kr,ω ) = ε [εˆ(rr, kr,ω ) − Iˆ]Er (rr, kr,ω ) + c ξˆ(rr, kr,ω )Hr (rr, kr,ω ),
r
r
r
r
r
(rr, k , ω ) = µ [µˆ (rr, k ,ω )− Iˆ]Hr (rr, k , ω )+ c ςˆ(rr, k , ω )Er (rr, k , ω ) .
(9)
−1
0
(10)
−1
0
r
спектральных соотношениях мы ввели функции от r , что
соответствует неоднородным бинанизотропным средам. Для однородных
сред эта зависимость исчезает, а ядра интегральных операторов становятся
r
r
r
зависимыми от разности r − r ′ . Вектор P m чаще называют намагниченностью.
Следует заметить, что в общем случае вклад в поляризацию (9), (10) могут
вносить не только дипольные, но и высшие мультипольные моменты, что
имеет место при усреднении по ячейке периодичности (здесь описание
отличается от [41–44,74]). Далее для производных по величине x будем
использовать обозначение ∂ x , для векторного дифференциального оператора
∇ ≡ ∂ rr , а для интегралов в (6), (7) соответственно ∂ t−1 и ∂ −r 31 . Запишем
уравнения Максвелла в форме
r r
r r
r r
∇ × H (r , t ) = ∂ t D(r , t ) + J e (r , t ) ,
r r
r r
r r
− ∇ × E (r , t ) = ∂ t B(r , t ) + J m (r , t ) .
(11)
Их смысл достаточно прост: это полный баланс токов, причем в левой части
стоит полная плотность тока (электрического в первом и магнитного во
втором), а в правых частях стоят суммы соответствующих плотностей токов
смещения и сторонних токов. Форма (11) наиболее полная, поскольку все
влияние среды (в частности, токи проводимости) учтено в материальных
соотношениях, т.е. в токах смещения. Например, учет электрической
r r
r r r
проводимости в тензорной форме Jσe (r , t ) = σˆ 0e (r )E (r , t ) (т.е. так как для
постоянного тока) возможен путем следующего представления ядра
[
]
εˆ (r , r ′, t − t ′) = δ (t − t ′) Iˆ + (σˆ e (r ) / ε 0 )∂ t−1 + κˆ e (r , r ′, t − t ′) ,
r r
r
r r
13
r r
где κˆ e (r , r ′, t − t ′) – ядро оператора электрической восприимчивости, Iˆ –
единичный тензор, ∂ t ∂ t−1 = I – единичный оператор. В простом случае только
частотной дисперсии такой учет проводимости соответствует появлению
полюса у спектральной функции диэлектрической проницаемости на нулевой
частоте [26]. В общем случае проводящей среды (столкновительной плазмы)
следует использовать формулу Друде. Во второе уравнение (11) входит
сторонний магнитный ток. Хотя магнитный заряд (монополь Дирака) до сих
r r
пор не обнаружен, введение J m (r , t ) весьма полезно для симметрии,
поскольку
сторонние
магнитные
токи
могут
быть
эквивалентны
определенным конфигурациям сторонних электрических токов.
Пусть при t < 0 поле отсутствовало. Соответственно плотность энергии
и импульса поля и вещества (с точностью до плотности энергии покоя ρc 2
последнего) до момента t0 = 0 были равны нулю. В момент t0 = 0 включаются
источники, которые производят работу по созданию поля и изменению
энергии и импульса поля и вещества. Обычно считается, что энергия
источников
носит
неэлектромагнитный
характер,
что
удобно
чисто
математически, хотя физически часто эта энергия все же электромагнитная,
но действует вне объема рассмотрения поля. Часть произведенной плотности
энергии
диссипируется
в
r
q (r , t ) .
тепло
Эта
энергия
не
является
электромагнитной и не учитывается в балансе. Разогрев вещества не
учитываем, считая процесс квазиравновесным и происходящим при
постоянной температуре, т.е. тепло отводится в термостат. Уравнения
баланса мощности получаем традиционно путем скалярного умножения
каждого из уравнений (1) на вектор другого поля и сложения с
использованием тождества a (∇ × b ) − b (∇ × a ) = −∇ ⋅ (a × b ) . Как обычно здесь
r
r
r
r
r r
точкой обозначено скалярное произведение, а символом “ × ” – векторное.
Указанную точку часто будем опускать. В результате имеем
[
] [
]
r r
r r
r r
r r
r r
r r r r
r r r r
∇ ⋅ S (r , t ) + E (r , t )∂ t D(r , t ) + H (r , t )∂ t B(r , t ) = − E (r , t )J e (r , t ) + H (r , t )J m (r , t ) .
(12)
14
Это хорошо известная балансная форма закона сохранения энергии СПВ. В
его правой части стоит плотность мощности, затрачиваемая источниками на
создание поля и изменение энергии СПВ. Первый член есть плотность
r
вытекающего потока мощности поля, а второй член в левой части ∂ t w(r , t )
есть плотность накапливаемой мощности поля и вещества. Чтобы подсчитать
затраченную на создание поля работу источников, указанную величину надо
проинтегрировать:
[
]
r r
r r
r r
r r
r
w(r , t ) = ∂ t−1 E (r , t ′)∂ t ′ D(r , t ′) + H (r , t ′)∂ t ′ B(r , t ′) .
(13)
r r r r
r r r r
Именно эту величину, а не величину E (r , t )D(r , t ) + H (r , t )B(r , t ) / 2 (как обычно
[
]
r
принято) следует ассоциировать с работой w(r , t ) [39]. Здесь в интеграле ∂ t−1
нижний предел в силу сказанного есть нуль. Работа (13), затраченная на поле
и вещество, зависит от всей предыстории процесса, что для электродинамики
сплошных сред естественно, тогда как для поля в вакууме этого не требуется
[75]. Решая (11) совместно с (6), (7), определим все поля во временном
промежутке (t 0 , t ) . Это позволяет вычислить плотность диссипированной
r
энергии q(r , t ) (выделенное тепло единицы объема). Заметим, что диссипация
связана не только с проводимостью, но и с запаздыванием поляризаций (т.е.
отклика в виде индукций на воздействие полей). Окончательно для
r
r
r
плотности энергии поле-вещество имеем u (r , t ) = w(r , t ) − q(r , t ) . Теперь скорость
r r
r r
r
переноса энергии есть ve (r , t ) = S (r , t ) / u (r , t ) . Она определена в каждой точке
r
для каждого момента времени. Следует заметить, что S есть плотность
потока мощности поля, поскольку в силу предположения средняя скорость
переноса вещества равна нулю.
В работах [67,68] показано, что запись уравнений Максвелла через поля
r r
r r
r r
r
r
и токи поляризации J Pe (r , t ) = ∂ t P e (r , t ) , J Pm (r , t ) = ∂ t P m (r , t ) не позволяет разделить
баланс мощности и получить плотности энергии для поля и вещества по
отдельности. Собственно, учет вещества эквивалентен добавлению к
уравнениям Максвелла в вакууме токов поляризации. Для них получены
балансные соотношения. Указанный результат следует из того, что из
15
величины
r r r r
r r r r
E (r , t )J Pe (r , t ) + H (r , t )J Pm (r , t )
нельзя
однозначно
без
решения
уравнений движения выделить плотность энергии вещества wM (с учетом
r
r
диссипации) и плотность потока его мощности S M (даже если S M ≡ 0 ). Если
решена задача о движении частиц вещества в поле, можно определить
r r
среднюю его скорость v (r , t ) в физически бесконечно малом объеме. Именно,
выбирая некий объем ∆V , ограниченный поверхностью ∆S , окружающей
r
точку r , в нерелятивистском пределе можно определить плотность потока:
r r
1
∇ ⋅ S M (r , t ) = lim ∆V →0
2∆V
r r r r r r r
∫ ρ (r ′, t )v (r ′, t )ν (r ′)⋅ v (r ′, t )d
2
2
r′ .
∆S
Здесь предел следует понимать в смысле перехода к бесконечно малому
r
объему. Отсюда пишем S M (r , t ) = [(1 / 2)ρ (r , t )v 2 (r , t )]ν (r , t ) , где v (r , t ) – скорость
r
r
r r
r r
r r
r
движения вещества, ρ (r , t ) – его плотность. Соответственно полный вектор
потока есть
r r
r r
r r
S FM (r , t ) = S (r , t ) + S M (r , t ) .
В релятивистском случае следует
использовать известную связь энергии с импульсом [76]. Однако такой
подход не очень конструктивен, поскольку он требует самосогласованно
решать уравнения движения и уравнения возбуждения. На уровне
макроскопического описания требуется решать уравнения возбуждения
сторонними источниками и токами поляризации, а также и уравнения для
векторов электрической и магнитной поляризации. Даже в этом случае
полную плотность wFM можно разделить на сумму wF и wM только если
пренебречь энергией взаимодействия поля и вещества, т.е. если положить
[
]
r r
r r
wF = ε 0 E 2 (r , t ) + µ0 H 2 (r , t ) / 2 .
В
нашем
случае
r
SM ≡ 0 ,
что
упрощает
рассмотрение. Заметим, что в балансном уравнении величина wF определена
с точностью до произвольной постоянной. В начале при t = t 0 полная
плотность энергии поля равна нулю. Поэтому равна нулю и указанная
r
постоянная. Величина вектора Пойнтинга S также определена с точностью
r
до произвольного соленоидального вектора S0 . Поток указанного вектора
через любую замкнутую поверхность равен нулю, поэтому его влияние на
общий поток энергии отсутствует. Однако можно показать, что нет никакой
16
циркуляции энергии по замкнутым контурам. Поскольку при t = t 0 поле
отсутствовало, решать приведенное дифференциальное уравнение следует
r r
r r
при условии S 0 (r , t0 ) = 0 , откуда имеем S0 (r , t ) = 0 . Для строгого решения
вопроса о скорости переноса энергии СПВ, т.е. энергии, связанной с
квазифотонами (поляритонами) [47], в общем случае необходимо найти
плотность потока энергии вещества. Согласно теореме Гельмгольца
r
векторное поле S M
представимо в виде суммы его потенциальной и
соленоидальной частей:
r r
r r
r
S M (r , t ) = ∇Φ (r , t ) + ∇ × C (r , t ) .
(14)
Отсюда имеем уравнение Пуассона для определения величины (14) (в
пренебрежении энергией взаимодействия):
r r r r
r r r r
r
r
∇ 2Φ(r , t ) = E (r , t )J Pe (r , t ) + H (r , t )J Pm (r , t ) − ∂ t wM (r , t ) = 0 .
(15)
Заметим, что эта величина плотности потока мощности определена с
r r
точностью до ротора вектора C (r , t ) . Хотя указанный ротор есть вектор
соленоидальный и поток через замкнутую поверхность не создает, в общем
случае
r r
C (r , t ) ≠ 0 .
Более того, может быть
r r
C (r ,0) ≠ 0 ,
т.е. в момент
возникновения поля в веществе могут циркулировать соленоидальные потоки
(вихри). Следовательно, вектор (14) определен неоднозначно. Для того чтобы
решить уравнение (15), необходимо предположить, что вещество находится в
некотором ограниченном объеме (что в нестационарном случае является
r r
r r
требованием естественным). В этом случае, если известны E (r , t ) и H (r , t ) на
всем временном интервале процесса (t 0 , t ) , решение может быть получено,
r r
r r −1
Γ(r , r ′) = (4π r − r ′ )
например, методом функции Грина
Пуассона.
Тогда
[
энергия
переносится
со
для уравнения
скоростью
]
r r
r r
r
r
r
ve( FM ) (r , t ) = S (r , t ) + S M (r , t ) / wFM (r , t ) [41]. По-видимому, указанный подход нельзя
распространить на бесконечную среду.
Рассмотрим теперь баланс импульса. Первое уравнение в (11) умножим
r r
r r
слева векторно на B(r , t ) , а второе – на D(r , t ) и вычтем одно из другого:
17
[Br (rr, t ) × ∇r × Hr (rr, t )r+ Dr (rr, t r) × ∇ × Err(rr, t )]+ ∂ (Dr r(rr, t ) × Br (rr, t )) =
r
r
r
r
r
= −[J (r , t ) × B(r , t ) + D(r , t ) × J (r , t )] = − f (r , t ).
(16)
t
e
m
L
r r
В правой части (16) стоит с обратным знаком сила Лоренца f L (r , t ) ,
действующая на сторонние токи, т.е. это сила, затрачиваемая сторонними
источниками на создание импульса поля и вещества. Второй член слева в (16)
есть
производная
плотности
импульса
поле-вещество
по
времени.
Соответственно сама плотность импульса с точностью до постоянного
r
r
r
r
r r
r r
вектора g0M (r ) есть g M (r , t ) = D(r , t ) × B(r , t ) , т.е. её следует взять в форме
Минковского. Первый член в (16) представим в виде
[
]
r r
r r
r r
r r
r
r
∇ ⋅ Σˆ (r , t ) = ∂ν Σˆ νν ′ (r , t ) = B(r , t ) × ∇ × H (r , t ) + D(r , t ) × ∇ × E (r , t ) .
(17)
r
Здесь ν = x, y, z . Величина Σˆ (r , t ) есть тензор второго ранга в трехмерном
пространстве. Поэтому дивергенция от него (свертка по одному индексу)
есть стоящий в правой части (17) вектор. Указанный тензор также определен
r
с точностью до произвольного тензора, для которого ∇ ⋅ Σˆ 0 (r , t ) = 0 . Поскольку
при t = t0 = 0 поле отсутствовало, следует наложить начальные условия
r r
r
g 0M (r ) = 0 , Σˆ 0 (r ,0) = 0 . При указанных условиях в любой момент времени
r
r r
g M (r , t ) и Σˆ (r , t ) определяются однозначно через решения задачи возбуждения,
r r
r r
т.е. через поля E (r , t ) и H (r , t ) во все предыдущие моменты, при этом для
r
r
определения g M (r , t ) следует вычислить интегралы (1), а для определения
r
Σˆ (r , t ) необходимо еще решить дифференциальное уравнение (17). Для
решения (17) также можно воспользоваться теоремой Гельмгольца и решать
уравнение Пуассона. Таким образом, уравнение баланса записывается так:
r
∂ν Σˆ νν ′ (r , t ) + ∂ t gνM′ = − fνL′ = −∂ t ∂ t−1 fνL′ , ν ′ = x, y, z .
(18)
Здесь первый член есть поток компоненты ν ′ полного импульса. Из этого
уравнения следует, что скорость переноса компоненты ν ′ импульса системы
поле-вещество есть [19]
r
viν ′ = ∂ν Σˆ νν ′ (r , t ) / gνM′ ,
(19)
18
а gνM′ – полная созданная плотность импульса поля и вещества. Если
рассмотреть все бесконечное пространство или объем, ограниченный
поверхностью с радиусом r = ct , то сохраняется полный импульс поля,
вещества и источника Gν ′ = ∂ r−r 1 gν ′ = ∂ r−r 1 (gνM′ + ∂ t−1 fνL′ ) = 0 , поскольку поток через
поверхность равен нулю. Рассмотрим импульс, переданный веществу.
Очевидно, указанная передача производится посредством токов поляризации
(
)
(
)
r
r
r
r
r
r
r r
r
J Pe = ∂ t D − ε 0 E = σE + N pe ∂ t p e , J Pm = ∂ t B − µ0 H = N pm∂ t p m . Как уже было указано, ток
r
r
проводимости σ 0 E = ev N , где N – число носителей заряда в единице объема,
учтен в токе поляризации. Соответственно N pe и N pe – числа электрических и
r
r
магнитных диполей с моментами p e и p m . Переданный веществу удельный
импульс есть
r
r
G( M ) = ∂ t−1 g ( M ) ,
r r
r r
r r
r r
r
r
g ( M ) (r , t ) = J Pe (r , t ) × B(r , t ) + D(r , t ) × J Pm (r , t ) .
(20)
Осталось найти плотность потока вещества. Для этого перепишем уравнения
(11) в виде
r r
r r
r r
r r
r r
r r
r r
r r
∇ × H (r , t ) = ε 0∂ t E (r , t ) + J Pe (r , t ) + J e (r , t ) , − ∇ × E (r , t ) = µ0∂ t H (r , t ) + J Pm (r , t ) + J m (r , t ) (21)
и запишем для этой формы уравнений Максвелла баланс импульса, умножив
r r
первое уравнение (21) слева векторно на µ0 H (r , t ) , а второе – векторно на
r r
ε 0 E (r , t ) и вычтем одно из другого:
r r
r
r r
∇ ⋅ Σˆ ( EM ) (r , t ) + ∂ t g A (r , t ) = − f L (r , t ) .
(22)
Здесь сила Лоренца
r r
r r
r r
r r
r r
f ( ML ) (r , t ) = J Pe (r , t ) × B(r , t ) + D(r , t ) × J Pm (r , t ) ,
действующая на вещество, перенесена в левую часть (22) и учтена в некой
плотности
потока
Σ̂ ( EM ) .
Указанная
плотность
удовлетворяет
дифференциальному уравнению:
[
(
]
r r
r r
r r
r r
r r
r
∇ ⋅ Σˆ ( EM ) (r , t ) = µ0 H (r , t ) × ∇ × H (r , t ) + ε 0 E (r , t ) × ∇ × E (r , t ) + f ( ML ) (r , t ) =
r r
r r
r r
r r
r r
r r
r r
= µ0 ∇H 2 (r , t ) / 2 − H (r , t ) ⋅ ∇ H (r , t ) + ε 0 ∇E 2 (r , t ) / 2 − E (r , t ) ⋅ ∇ E (r , t ) + f ( ML ) (r , t ).
[
)
] [
(
)
]
(23)
19
Рассмотрим
смысл
баланса
(22).
Плотность
Абрагама
r r
g A (r , t )
есть
собственная плотность электромагнитного импульса поля. Она создается
первичными (сторонними) источниками и вторичными источниками (токами
поляризации
вещества),
r
Σˆ ( EM ) (r , t ) .
определяющими
При
отсутствии
r
источников ( f L = 0 ) уравнение (22) есть типичный закон сохранения.
r
Следовательно, тензорная величина Σˆ ( EM ) (r , t ) определяет плотности потоков
компонент собственного импульса поля. Она также определена с точностью
r
до некоторого тензора Σˆ ((0EM) ) (r , t ) , дивергенция которого равна нулю и при
r
начальном условии Σˆ ((0EM) ) (r ,0) = 0 . Поток импульса вещества заданр тензором
r
r
r
Σˆ ( M ) (r , t ) = Σˆ (r , t ) − Σˆ ( EM ) (r , t ) .
Теперь
можно
найти
скорости
переноса
собственного импульса поля и вещества соответственно:
r
ν r
vi(νem′ ) = ∂ν Σˆ ( EM )ν ′ (r , t ) / gνA′ (r , t ) ,
Для
преобразования
( )
(23)
было
r
ν r
vi(νM′ ) = ∂ν Σˆ ( M )ν ′ (r , t ) / g ( M )ν ′ (r , t ) .
использовано
векторное
тождество
( )
r r
r r
r r
r
r r
r
r r
∇ a ⋅ b = (a ⋅ ∇ )b + b ⋅ ∇ a + a × ∇ × b + b × ∇ × a , которое при a = b принимает вид
r
r
r
r
r
∇a 2 = 2(a ⋅ ∇ )a + 2a × ∇ × a . Аналогично для преобразования введенных тензоров,
r
например, тензора Σˆ (r , t ) , можно использовать векторно-тензорное тождество
(
[( )
)
] ( )
r r
r r
r
r
rr r r r r r
r
a × ∇ × b + b × (∇ × a ) = ∇ ⋅ Iˆ ab − a ⊗ b − b ⊗ a + a ∇ ⋅ b + b (∇ ⋅ a ) .
Для одинаковых векторов оно приобретает форму
[
]
r
r
r
r r
r
r
2a × (∇ × a ) = ∇ ⋅ Iˆa 2 − 2a ⊗ a + 2a (∇ ⋅ a ) .
r
Для вакуума тензор Σˆ (r , t ) равен максвелловскому тензору напряжений σˆνν ′ ,
взятому с обратным знаком. Он также может быть преобразован с учетом
того, что согласно (11)
(
)
)
r r
r r
r
r
∇ ⋅ D(r , t ) = −∂ t−1 ∇ ⋅ J e (r , t ′) = ∂ t−1 (∂ t ′ ρ e (r , t ′)) = ρ e (r , t ) ,
r r
r r
r
r
∇ ⋅ B(r , t ) = −∂ t−1 ∇ ⋅ J m (r , t ′) = ∂ t−1 ∂ t ′ ρ m (r , t ′) = ρ m (r , t ) ,
(
(
)
поскольку сторонние источники удовлетворяют уравнению непрерывности
r r
r r
r
r
(закону сохранения зарядов): ∇ ⋅ J e (r , t ) + ∂ t ρ e (r , t ) = 0 , ∇ ⋅ J m (r , t ) + ∂ t ρ m (r , t ) = 0 . Так
r
как сторонних магнитных зарядов нет, т.е. ρ m (r , t ) = 0 , плотность стороннего
20
магнитного тока соленоидальна и может быть представлена как ротор от
плотности некоторого электрического тока.
Итак, если плотность импульса определена по Минковскому, в
недиспергирующей неподвижной среде она есть плотность субстанции полевещество, а скорость ее переноса есть скорость фазовая. Её обобщение на
диспергирующие среды приводит к скорости переноса (19), которая суть
скорость переноса полного импульса поле-вещество. В этом случае для
полного определения всех величин следует строго решать нестационарную
задачу возбуждения, а все рассмотренные выше величины зависят от
предыстории процесса, т.е. могут сложным образом зависеть от времени.
Следует
заметить,
что
полученные
локальные
(дифференциальные)
балансные соотношения могут быть записаны в виде интегральных
r
соотношений для некоторого объема V . Тогда интеграл от u и g M по
указанному объему представляют собой соответственно полную энергию U
r
и полный импульс G M указанного объема, которые сохраняются в смысле
глобального закона сохранения. Может быть два случая. 1) В объеме есть
источники поля. Тогда балансы полной энергии и импульса представляют
собой неоднородные балансные соотношения, в правые части которых
входят величины, соответствующие производству энергии и импульса в
объеме. Отрицательное производство энергии означает диссипацию. 2) В
объеме не было источников до рассматриваемого момента времени t . В этом
случае источники расположены вне объема, и в качестве момента t0 можно
взять момент входа поля в объем. В этом случае энергия и импульс в объеме
сохраняются в том смысле, что величина ∂ t (U + Q ) в каждый момент времени
равна вытекаемой из объема мощности, а изменение полного импульса
объема равно вытекаемому из него импульсу. В случае стационарного
(монохроматического) во времени поля или волны для ряда простых законов
дисперсии можно получить конкретные виды указанных величин. В этом
случае при предельном переходе от квазистационарного возбуждения к
21
стационарному усредненные за период плотности “забывают свои начальные
значения”, т.е. перестают от них зависеть, а электромагнитный процесс
выходит на стационарные значения своих величин. Для вакуума все
полученные величины ТЭИ, плотности энергии и импульса совпадают с
формой Абрагама. Заметим, что в нашем случае все величины определены
r
однозначно. Так, решение дифференциальных уравнений ∇ ⋅ Σˆ 0 (r , t ) = 0 с
r
нулевыми начальными условиями дает нулевые компоненты тензора Σˆ 0 (r , t ) .
22
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИСПЕРСИИ, ДИССИПАЦИИ
И ТЕНЗОРНЫХ ЯДЕР
Приведенные
общие
нестационарные
результаты
нуждаются
в
r
конкретизации введенных величин, в частности, потерь q(r , t ) и тензорных
r r
r r
r r
r r
ядер εˆ(r , r ′, t − t ′) , ξˆ(r , r ′, t − t ′) , µˆ (r , r ′, t − t ′) , ςˆ(r , r ′, t − t ′) в (6), (7). Величину потерь
r
q (r , t ) следует выделять из величины
r r r r
r r r r
r
r
E (r , t )J Pe (r , t ) + H (r , t )J Pm (r , t ) = ∇ ⋅ S M (r , t ) + ∂ t wM (r , t ) .
(24)
Естественно из этой же величины в общем случае выделяются wM = uM + q и
r
r
S M . В нашем случае S M = 0 , и задача упрощается. Если известен некий
временной процесс в интервале (0, t ) , можно определить его мгновенный
спектр. Для этого процесс полагаем равным нулю вне указанного интервала.
Такой мгновенный спектр зависит от момента t как от параметра.
Соответственно если известны ядра в (6), (7), известны и их спектральные
величины (4), (5). Далее для упрощения бианизотропные и даже
анизотропные среды рассматривать не будем. Более того, не рассматриваем
магнитные
и
неоднородные
среды.
Схема
для
получения
общих
соотношений остается той же.
Итак,
r r
J Pm (r , t ) ≡ 0
имеем
и
мгновенные
спектры
r r
E (r , ω , t ) ,
r r
r r
r r
J Pe (r , ω , t ) = jωP e (r , ω , t ) = jωε 0 [ε ′(ω ) − 1 − jε ′′(ω )]E (r , ω , t ) , удовлетворяющие условиям
r r
r r
типа E (r ,−ω , t ) = E ∗ (r , ω , t ) , а также соотношение
r r r r
r r r r
r r r r
r
wM (r , t ) = ∂ t−1 E (r , t )J Pe (r , t ) = E (r , t )P e (r , t ) − ∂ t−1 ∂ t E (r , t )P e (r , t ) .
(25)
[
]
[
]
Подставляя в (25) обратные преобразования Фурье, переставляя интегралы,
выделяя дельта-функцию при интегрировании по времени, получим [26]
r
ε
wM (r , t ) = 0
2π
ε
= 0
2π
∞
r r
∫ ω[ j (ε ′(ω ) − 1) + ε ′′(ω )] E (r , ω, t )
2
dω =
−∞
∞
r r
r r
2
2
ε0 ∞
′
′
′
′
(
)
(
)
(
)
(
)
ω
ε
ω
E
r
,
ω
,
t
d
ω
=
ω
ε
ω
E
r
,
ω
,
t
dω =
∫
∫
−∞
π
(26)
0
23
r r r r
ε
= E (r , t )P e (r , t ) − 0
2π
∞
r r
∫ ω[ j (ε ′(ω ) − 1) + ε ′′(ω )] E (r , ω, t )
2
dω =
−∞
r r r r
r r
2
ε ∞
= E (r , t )P e (r , t ) − 0 ∫ ωε ′′(ω ) E (r , ω , t ) dω.
π
0
r
r
Не следует думать, что соотношение (26) означает wM (r , t ) = q(r , t ) , как обычно
полагают. Из него только получаем
r r
r r r r
r r r r
r r
2
r
ε0 ∞
wM (r , t ) = ∫ ωε ′′(ω ) E (r , ω , t ) dω = E (r , t )P e (r , t ) / 2 = E (r , t )D(r , t ) / 2 − ε 0 E 2 (r , t ) / 2 .
π
(27)
0
Если создаваемое поле все время имеет быстро осциллирующий характер с
плавно изменяющейся амплитудой, то в любой момент t его можно
r r
r r
r r
представить так: E (r , t ) = a (r , t )cos(ϕ (t )) . Здесь a (r , t ) – мгновенная амплитуда, а
ϕ (t )
– мгновенная фаза, определяемые через аналитический сигнал
r
r r
~ r
E (r , t ) = a (r , t )exp( jϕ (t )) и преобразование Гильберта. Он имеет мгновенный
r r
спектр 2 E (r , ω , t ) на положительных частотах и равный нулю при ω < 0 . Тогда
средняя за период плотность потерь соответствующего гармонического
r r
колебания на частоте ω равна ∂ t q(ω , t ) = ωε 0ε ′′(ω ) E (r , ω , t ) / 2 , поэтому для
2
r r
2
полной плотности потерь за все время имеем q(t ) = ε 0 ∂ t−1∂ ω−1 ε ′′(ω ) E (r , ω , t )  / (2π ) .

r r

r r
Здесь 2 E (r , ω , t ) – спектральная интенсивность сигнала E (r , t ) на частоте ω .
2
Запишем для наглядности интеграл для q в явной форме:
q (t ) =
ε0
2π
t ∞
r r
∫ ∫ ωε ′′(ω ) E (r ,ω , t ′) dωdt ′.
2
(28)
0 0
Таким образом, фактически доказано соотношение
[
]
r r r r
r r
r
r
u (r , t ) = E (r , t )D(r , t ) + µ0 H 2 (r , t ) / 2 − q (r , t ) .
(29)
Результат (28), (29) элементарно обобщается на магнитные и анизотропные
r
среды. Следует заметить, что при ε ′′(ω ) ≡ 0 совсем не следует wM (r , t ) = 0 . Вопервых, указанное равенство невозможно на всех частотах (и даже в
некоторой полосе). Оно может иметь место только для вакуума, и тогда
24
r
действительно wM (r , t ) = 0 . Во-вторых, для диспергирующих сред величины
ε ′′(ω ) и ε ′(ω ) − 1 связаны соотношениями Крамерса-Кронига [26]
ε ′(ω ) − 1 = p.v.
т.е.
указанные
ε ′′(ω ′)
dω ′ ,
∫
π −∞ ω′ − ω
1
∞
соотношения
диэлектрическую
ε ′′(ω ) = − p.v.
(27)–(29)
ε ′(ω ′) − 1
dω ′ ,
π −∞ ω′ − ω
1
∞
∫
можно
κ e (ω ) = ε ′(ω ) − 1 .
восприимчивость
(30)
выразить
через
В-третьих,
можно
рассмотреть приближенную модель (которая обычно и рассматривается в
подавляющем
числе
публикаций),
когда
r r
E (r , ω , t ′)
спектр
очень
низкочастотный и сосредоточен в основном там, где почти нет дисперсии
диэлектрической проницаемости и проводимости (при наличии свободных
зарядов). Последнее означает, что плазменная частота ω p и частота
столкновений ωc весьма высоки по сравнению с максимальной учитываемой
частотой
спектра,
при
этом
[
]
r r
r r
r r r
D(r , t ) ≈ ε 0ε (r )E (r , t ) + σ 0∂ t−1 E (r , t ) .
Тогда
приближенно имеем
[
]
[
]
r r r r
r r
r r
r
w(r , t ) ≈ E (r , t )D (r , t ) + µ 0 H 2 (r , t ) / 2 + σ 0∂ t−1 ∂ t E 2 (r , t ) ,
(31)
где первый член справа соответствует u , второй – потерям q . Соотношение
(31) принципиально отличается от (29), в котором индукция определяется как
интеграл (6) от электрического поля за всю предысторию его создания.
Заметим, что на ранних моментах создания поля (при малых временах) его
спектр весьма широк, и вышеуказанное предположение о низкочастотности
заведомо не выполняется. Интересно отметить, что соотношения КрамерсаКронига (30) те же самые, как и для сопряженных по Гильберту процессов.
Далее по аналогии с [77] рассмотрим несколько простых законов
дисперсии, характерных для сплошных сред. Эти законы в некотором роде
идеальные (модельные), поскольку дисперсия реальных сред обычно очень
сложна. Она обусловлена несколькими резонансными частотами, колебания
для которых нельзя считать полностью несвязанными, внутренним полем и
рядом других факторов. Однако рассмотренные простые модели получаются
как при классическом, так и при квантовом рассмотрении [28] и весьма
25
наглядны. Для
газа
жестко
связанных
диполей
с ориентационным
механизмом поляризации при постоянной температуре имеем формулу Дебая
ε (ω ) = ε ′(ω ) − jε ′′(ω ) = 1 +
κ (1 − jωτ ) 1 + κ + ω 2τ 2
κωτ
=
−j
.
2 2
2 2
1+ ω τ
1+ ω τ
1 + ω 2τ 2
(32)
Этой формулой, например, достаточно точно описывается дисперсия в
дистиллированной воде в диапазоне линейных частот от нуля примерно до
100 ГГц, при этом восприимчивость κ ≈ 80 , а время релаксации τ = ωr−1 ~ 10−1
сек. Для столкновительнной односкоростной однокомпонентной плазмы
имеем
ω p2
ω p2 (ω + jωc ) 
ω p2 
ω p2ωc
− j
= 1−
= 1 −
ε (ω ) = 1 −
.
ω (ω − jωc )
ω (ω 2 + ωc2 )  ω 2 + ωc2  ω (ω 2 + ωc2 )
(33)
Для полупроводниковой плазмы в (33) можно учесть электронную и
дырочную
компоненты,
а
также
диэлектрическую
восприимчивость
кристаллической решетки, которую можно считать частотно-независимой в
широком диапазоне. Для электронной плазмы в металлах также можно
вместо единицы в (33) взять проницаемость решетки ε g , которая слабо
влияет на результат до оптических частот. На низких частотах ω << ωc из (33)
следует закон дисперсии
ε (ω ) = ε ′(ω ) − jε ′′(ω ) = ε g − jω p2 / (ωωc ) = ε g − jσ 0 / (ωε 0 ) ,
(34)
характерный для металлов и проводящих сред в указанном частотном
диапазоне. Здесь величиной ε g , обычно малой и постоянной в указанном
диапазоне, можно пренебречь. Дисперсии (32) и (33) могут присутствовать
одновременно. Это, например, характерно для морской воды, в которой
присутствуют ионы проводимости. Наконец, рассмотрим газ осцилляторов
(упруго связанных диполей) с частотой собственных колебаний ω0 [28]:
ω p2
ε (ω ) = ε ′(ω ) − jε ′′(ω ) = 2
=
ω − jωωc − ω02
=1−
(ω
ω p2 (ω 2 − ω02 )
2
)
− ω02 + (ωωc )
2
2
−j
(ω
(35)
ω p2ωωc
2
)
− ω02 + (ωωc )
2
2
.
26
В соотношении типа (35) можно учесть несколько резонансных частот [77],
что не принципиально для дальнейшего. Из него как предельные случаи
следуют все вышеперечисленные законы дисперсии [39]. В частности, при
ω0 = 0 (газ свободных осцилляторов или несвязанных диполей) имеем (33).
Для всех законов получаются соответствующие ядра интегрального
преобразования (6). Так для (32) имеем
ε (t ) = δ (t ) + χ (t )κωr exp(− ωr t ) .
(36)
Этот результат получается путем вычисления интеграла методом теории
вычетов. Для (35)
ε (t ) = ω χ (t )exp(− ωct / 2)
2
p
(
sin t ω02 − ωc2 / 4
ω −ω /4
2
0
2
c
).
(37)
Полагая в (37) ω0 = 0 , получаем для (33)
ε (t ) = 2 χ (t )ω p2 / ωc exp(− ωct / 2 )sinh (tωc / 2) = χ (t )ω p2 / ωc [1 − exp(− ωct )] .
(38)
В законах (33), (34) имеется полюс на нулевой частоте. Поэтому формула
(38) не совсем корректно описывает электромагнитную волну в плазме.
Именно, функция (38) не убывает при t → ∞ , поскольку не учтено
распределение частиц по скоростям. Такой учет, как известно, приводит к
затуханию Ландау. В работе Ландау [78] показано, что кинетические
эффекты, в частности распределение частиц по скоростям, не позволяют
получить универсальное дисперсионное уравнение, и следует учесть
начальные условия, т.е. нестационарный подход. Нестационарный расчет
поляризации с использованием начальных условий возможен на основе
решения уравнений (11) с материальным соотношением (6), в котором явно
введено затухание с декрементом τ L (t ) = 1 / ω L (t ) , т.е. частота ω L , вообще
говоря, зависит от времени. При этом τ L (0) = ∞ , поскольку нулевому времени
задержки соответствуют бесконечные частоты, т.е. отсутствие дисперсии.
Проблема здесь в определении указанной зависимости. В частности, для
затухания Ландау на
низких частотах имеет место соотношение [78]
ω L = ω p π / 8 exp(− 1 / (2k02 a 2 ))/ (k03a 3 ), которое можно использовать в (33). Здесь
27
(
a = ε 0 kT / 2 Ne 2
)
– радиус Дебая для двух сортов зарядов. Поскольку обычно
ωL << ωc < ω p , фазовая постоянная плоской монохроматической волны от нее
практически не зависит, а постоянная затухания заметно изменяется только
на низких частотах. При этом в (33) следует круговую частоту ω в
знаменателе
заменить
на
ω − jω L .
Полюс
сдвигается
в
верхнюю
полуплоскость, и
ε (t ) = χ (t )ω p2 / ωc [exp(− ω Lt ) − exp(− ωct )] .
Можно показать, что из ядра (37) при предельном переходе ω0 → ∞ и
конечных постоянных отношениях ωc / ω02 = τ и ω p2 / ω02 = κ следует формула
(36) [39]. Другой подход к рассмотрению плазмы согласно Друде может быть
основан на введении зависящей от частоты проводимости σ (ω ) = σ 0 / ( jω / ωc + 1) ,
откуда σ (t ) = σ 0ωc χ (t )exp(− ωct ) . Соответственно
t
re r
r r
J P (r , t ) = σ 0ωc ∫ exp(− ωc (t − t ′))E (r , t ′)dt ′ .
(39)
0
Эту величину удобнее использовать в соотношениях (24), (25).
Таким образом, в диспергирующих средах имеются взаимосвязанные
соотношения спектральных величин и ядер интегральных преобразований,
явно удовлетворяющих принципу причинности, что непосредственно
отражено в наличии функции Хевисайда и учтено пределами интегрирования
в (6), (7). Это же имеет место и для законов дисперсии в структурах.
Непосредственно проверяется, что все приведенные спектральные законы
дисперсии удовлетворяют соотношениям (30), что также есть следствие
принципа причинности. Например, для плазмы имеем
ε (ω ) − 1 = ε ′(ω ) − 1 − jε ′′(ω ) = −
jω p2
 1
1 
j
−

 = p.v.
ω c − ω L  ω − jω c ω − jω L 
π
ε (ω ′) − 1
dω ′ .
′
−
ω
ω
−∞
∞
∫
Это выражение справедливо и при ωL → 0 . Однако если сразу положить
ωL = 0 , возникает полюс в нуле, которому соответствует член σ 0 / (ε 0ω ) от
полувычета. Его необходимо добавить во второе соотношение (30) [26],
28
иначе был бы неверный результат с отрицательными потерями и нулем в
начале координат: ε ′′(ω ) = −ωω p2 /[ωc (ω 2 + ωc2 )]. Наличие полюса в нуле приводит,
как было видно, к нефизическому результату ε (t ) ≠ 0 при t → +∞ . Интересно
рассмотреть бесстолкновительную плазму ωc = 0 . Тогда ε ′′(0) = 0 во всей
бесконечной полосе частот, чего быть не должно [26]. В этом случае
соотношения Крамерса-Кронига формально выполняются: ε (ω ) = ε ′(ω ) ≡ 1 , но
дают
неверный
результат.
Это
еще
раз
показывает
физическую
ограниченность указанной модели.
Приведенные
результаты
обобщаются
на
тензорные
величины
(например, для замагниченной плазмы и ферритов в магнитном поле), а
также на бианизотропные материалы. Возможно рассмотрение и нелинейных
диспергирующих сред. При этом исходными являются материальные
соотношения (6), (7), ядра которых зависят от полей. Эти соотношения уже
не связаны Фурье преобразованиями с аналогичными
спектральными
величинами, которые вообще ввести проблематично в силу линейности
преобразования Фурье и явной немонохроматичности нелинейных задач. В
ряде случаев такое приближенное введение возможно [39]. Определение
явного вида нелинейных зависимостей типа (6), (7) для каждого момента
требует, вообще говоря, совместного решения уравнений возбуждения и
кинетического уравнения.
29
3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ВОЗБУЖДЕНИЯ И РАСПРОСТРАНЕНИЯ
МОНОХРОМАТИЧЕСКИХ И КВАЗИМОНОХРОМАТИЧЕСКИХ
ВОЛН
Рассмотрим квазистационарное (квазимонохроматическое) поле. Пусть
имеется заполненный средой объем V с идеально проводящей границей S и
включенными в момент t0 = 0 источниками. Для простоты рассмотрим
электрический диполь с моментом I x , ориентированный вдоль оси x :
re r
(r , t ) = xr0 χ (t )I xδ (rr − rr′)[1 − exp(− Ωt )]sin (ωt ) .
J inc
(40)
Очевидно, квазистационарность наступит при t >> 1 / Ω , если Ω << ω . Все
предыдущие результаты эквивалентны решению задачи о возбуждении
указанного резонатора источником (40) и нахождении плотности энергии в
r
нем при S ≡ 0 . Теорию возбуждения в известной форме Вайнштейна с
комплексными частотами здесь, однако, применять нельзя, поскольку задача
не
самосопряженная.
Необходимо
использовать
ортонормированные
собственные функции и действительные собственные частоты пустого
объема и учитывать дополнительно токи поляризации вещества. Такая
нестационарная теория возбуждения в релятивистки ковариантной форме
получена в работах [79,80] и сводится к интегродифференциальным
уравнениям на основе тензорных функций Грина. В простейшем случае для
куба в пределе t → ∞ решения этих уравнений могут быть получены (если ω
не совпадает с какой-либо из собственных частот) т.е. может быть
определена
плотность
u
для
рассмотренных
законов
дисперсии.
Соответствующие выкладки весьма громоздки, поэтому не приводятся. В
работе [39] указанная плотность для сред с дисперсией Дебая получена двумя
независимыми путями: 1) для гармонической волны с учетом кинетической
энергии осцилляторов, описываемых законом (35) [28] с предельным
переходом от него к закону дисперсии (32); 2) путем решения задачи
возбуждения поля распределенными источниками с временным законом (40)
с предельным переходом
t → ∞ и вычислением спектральных интегралов
30
методом вычетов. Оба подхода дают результат для средней за период
плотности
r
r
u = ε 0ε ′(ω ) E 2 / 2 + µ0 H 2 / 2 , т.е. перенос энергии
с фазовой
скоростью. Здесь средние значения квадратов полей равны половине
амплитудных. Аналогичные результаты получены в [68] для закона (34). Для
него энергия переносится с фазовой скоростью v p (ω ) = c / n~(ω ) < c . Здесь
показатель n~ (ω ) = ε ′µ , т.е. такой, как при σ = 0 . Кроме него вводим
комплексный показатель преломления n(ω ) = n′(ω ) − jn′′(ω ) = ε (ω ) . Импульс же
переносится с фазовой скоростью, если
σ = 0.
В случае большой
проводимости (когда ток проводимости существенно больше тока смещения)
импульс переносится с половинной фазовой скоростью. Именно, путем
рассмотрения свободной плоской волны Ex = E , H y = H :
∂ z H = −ε 0ε ′∂ t E − σE ,
∂ z E = − µ0 µ∂ t H ,
(41)
где все материальные параметры – положительные константы, а также из
решения задачи о возбуждении с плотностью тока в первом уравнении (41) в
виде
плоскости
диполей
при
большой
σ получены
соотношения
ve (ω ) = 2vm (ω ) = v p (ω ) и рассмотрен случай, когда vg (ω ) > c . Для µ = 1 это имеет
место около частоты ω~ = σ / (ε 0ε ) . Соответственно


(
β (ω ) 
ω~ / ω )2

v (ω ) = β ′(ω ) =
1 −

ω  21 + 1 + (ω~ / ω )2  1 + (ω~ / ω )2 
−1
g


[

ω =ω~
=
ε′ /c
1.0663
,
]
здесь β (ω ) = (ω / c ) ε ′µ 1 + 1 + σ 2 / (ε 02ε ′2ω 2 ) / 2 . Указанное превышение наступает
при ε ′ < 1.137 , что может выполняться, например, в ионизированном газе при
условии ωc >> ω~ . Для гармонических полей в однородной плазме в [68]
найдено соотношение
ve (ω ) = c
2
1+ δ
< v p (ω ) ,
ε ′µ 1 + ς + δ
где δ = 1 + ς 2 , ς = σ / (ε 0ε ′ω ) Если выполнены условия ω << ωc и σ >> ε 0ε ′ωc , то
вторым слагаемым в знаменателе (43) можно пренебречь, и получается
31
ve (ω ) ≈ c
2
= v p (ω ) << c .
ε ′µ 1 + δ
При указанных приближениях единицей под корнем также можно
пренебречь, и тогда
ve (ω ) = v p (ω ) =
c
ε ′µ
2ε 0ε ′ω
σ
=
2ω
µ0 µσ
= v g (ω ) / 2 .
Такие скорости характерны, например, в морской воде ( σ = 4 См/м) при
сверхнизких частотах от нескольких до десятков
КГц, на которых
осуществляется связь с подводными лодками.
Рассмотрим вопрос о скорости переноса электромагнитного импульса
поля. В вакууме плотность импульса определяется однозначно вектором
r
r
Абрагама g A (t , z ) = z0 S (t , z ) / c 2 . В сплошной среде традиционно имеется две
r
r
r
r
формы: Абрагама g A и Минковского g M (t , z ) = z0 n 2 S (t , z ) / c 2 = n 2 g A (t , z ) . В обеих
формах n не может быть комплексным, что означает отсутствие дисперсии.
Тогда оба определения приводят к одинаковым законам сохранения для
соответствующих ТЭИ поля в форме Минковского и Абрагама, которые
эквивалентны [47]. Считается, что выбор вида для плотности импульса
невозможен без решения уравнений движения вещества в поле и определения
ТЭИ среды. Однако без определения плотности импульса и его потока, а
также хотя бы одной из этих величин в общем случае невозможно
определить и скорость переноса импульса. Подобные неоднозначности
вообще характерны для электродинамики сплошных сред. Так, введение
электродинамических потенциалов в среде также неоднозначно [81], что
связано не только с калибровочными преобразованиями. В нашем случае
r
r
плоской волны g M (t , z ) и g A (t , z ) имеют вид
r
r
r
z E2
g A (t , z ) = z0 g A (t , z ) = 02 0 cos(ωt − β (ω )z )cos(ωt − β (ω )z − ϕ )exp(− 2α (ω )z ) ,
c Z
r
rM
r M
z0 n~ 2 E02
g (t , z ) = z0 g (t , z ) = 2
cos(ωt − β (ω )z )cos(ωt − β (ω )z − ϕ )exp(− 2α (ω )z ) .
cZ
(42)
(43)
32
Мы введем еще одно определение, которое ближе к определению
r r
Минковского: g~ = z0 g~ M , где g~ M = S / v 2p = n′2 (ω )g A . При σ = 0 имеем g M = g~ M ,
α = 0 , β = ω ε ′µ / c , при этом импульс в среднем веществу не передается (за
исключением случаев отражения от границ разделов), поскольку сила
r
r
Лоренца и ток электрической поляризации J Pe = ε 0 (ε ′ − 1)∂E / ∂t сдвинуты по
фазе на π / 2 , и импульс движется с фазовой скоростью vi = v p = c / n~ [68]. Это
r
r
же относится к силе Лоренца ε 0ε ′E × J Pm для магнитного тока поляризации
r
r
J Pm = µ0 (µ − 1)∂H / ∂t .
В диссипативных средах за счет поглощения фотонов происходит
передача импульса веществу, поток импульса направлен по z, поэтому
уравнение баланса для вектора плотности импульса можно записать в виде
[67,68]
− ∂ t [g (t , z ) + gσ (t , z )] = ∂ z [vi (t , z )g (t , z )] = vi (t , z )∂ z g (t , z ) ,
(44)
где введен переданный веществу импульс gσ (t , z ) . Здесь предположено, что в
силу однородности среды vi не зависит от z. Для любой из трех форм имеем
функциональную зависимость g (t , z ) = G (ωt − βz )exp(− 2αz ) . Скорость изменения
импульса, передаваемого слою вещества толщины
dz
с единичной
площадью, есть разность потоков g через сечения z и z + dz , поэтому
− ∂ t gσ (t , z ) = 2αvi (t , z )g (t , z ) .
(45)
Величина (45) равна давлению поля на слой единичной толщины. Для
получения давления на конечный слой (45) следует интегрировать в пределах
его координат. В бесконечном слое весь импульс поля передается веществу.
Подставляя (45) в (44), получим, что скорость переноса импульса постоянна
и равна половине фазовой скорости:
vi (t , z ) = −∂ t g (t , z ) /[∂ z g (t , z ) + 2α (ω )g (t , z )] = ω / (2β (ω )) = v p (ω ) / 2 .
(46)
Здесь форма записи импульса не конкретизирована. Это же соотношение
можно получить из следующего рассуждения. Уравнения Максвелла
записываются в форме (24). Отсюда следует уравнение баланса
33
[
]
∂ z ε 0ε ′E 2 / 2 + µ0 µH 2 / 2 = −∂ t g M − µ0 µσEH .
Поскольку
∂S / ∂t = −v p (∂S / ∂z + 2αS ) ,
то
единственный
(47)
вид
g = ηS / c 2 ,
компенсирующий действующую на заряды силу Лоренца µ0 µσS , получается
при форме g~ M . Действительно, требуем выполнения уравнения баланса
2αηSv p / c 2 = µ0 µσS . Указанный баланс записан для зарядов среды, откуда
η = c 2ωµ0 µσβ / (2αω 2 ) = c 2 / v 2p . Поэтому в правой части (47) делаем замену
(
)
cos(ϕ ) / (2 Zv ) = E / (2v µ µ ) .
~
~
∂g M / ∂t = ∂g~ M / ∂t + f , где f = c −2 n~ 2 − n′2 ∂S / ∂t . Средняя плотность энергии в (47)
имеет вид u = S / v p = E02
формы импульса имеем
p
2
0
2
p
0
Аналогично для третьей
g~ M = n′2 S / c 2 = n′2 E02 / (2v p µ0 µ ) . Поэтому скорость
переноса импульса g~ M есть
(
)
v~i M = u / g~ M = c 2 / n′2v p = v p (ω ) .
(48)
~
В этом случае в уравнении баланса появляется дополнительный член f . Он
подобен силе Абрагама и действует на среду. Однако появление указанной
силы (как и силы Абрагама) не должно приводить к каким-то возражениям
по невыполнению уравнений баланса, поскольку
∂S / ∂t = 0 для любого
фазового сдвига ϕ . Поэтому как указанная сила, так и сила Абрагама
~
импульс веществу в среднем не передают. В непроводящей среде f = 0 ,
g~ M = g M , а энергия и импульс распространяются с фазовой скоростью
v p = ω / β = c / n~ , не зависящей от частоты. Перенося дивергентную часть g~ M в
левую часть равенства (47), получаем другое уравнение баланса u − S / v p = 0 ,
~
которое есть тождество. Оставшийся член в его правой части f есть сила,
действующая на среду, но не передающая в среднем за период ей импульс.
Заметим, что использование традиционного вектора плотности импульса по
Минковскому не приводит к какому-либо физически ясному выражению для
скорости
его
переноса
в
проводящей
среде.
Однако
если
есть
r
локализованный сторонний электрический ток, а σ = 0 , то введение g M более
удобно
и
приводит
к
переносу
полного
импульса
со
скоростью
34
vi = v p = vg = ve = c / n~ , что тривиально, поскольку при этом нет дисперсии.
Собственно так традиционно и вводится ТЭИ в среде [47–50].
В большом числе работ принято определять правильную плотность
импульса по Абрагаму g A (t , z ) = S (t , z ) / c 2 [47–49,64]. При этом дополнительно
необходимо вводить объемную силу Абрагама f A = c −2 (ε ′µ − 1)∂S / ∂t . Такое
определение считается более строгим, хотя для электродинамики сплошных
сред определение Минковского часто более удобно [47,48,56], соответствует
его
каноническому
определению
из
лагранжева
формализма
с
использованием теоремы Нетер, следующим из уравнений Максвелла
балансным соотношениям, и экспериментам по давлению света. Уравнение
баланса (47) можно переписать так
[
]
∂ z ε 0ε ′E 2 / 2 + µ0 µH 2 / 2 = −∂ t g A − f A − µ0 µσS .
(49)
Теперь изменение плотности импульса в секунду, воздействующее на
вещество, есть (2αωε ′µ / β )S / c 2 . Это есть результат вклада первого и второго
членов в правой части (49). Но оно не компенсирует последнее слагаемое,
поскольку n~ ≠ n′ . Очевидно, использование первого или второго членов в
правой части (49) порознь тоже не приводит к какой-либо подобной
компенсации. Используя в качестве плотности импульса величину g A , также
не удается получить какое-либо разумное определение скорости его
движения, которая бы не превышала c в случае среды с дисперсией.
Исключение составляет случай непроводящей недисперсивной среды с n~ = n′ .
Поскольку c −2 (ε ′µ − 1)∂ t S = −v p c −2 (ε ′µ − 1)∂ z S , то, внося дивергентную часть f A в
плотность потока, имеем
v =
A
i
u − v p (ε ′µ − 1)S / c 2
g
A
[
]
= c 2 S / v p − v p (ε ′µ − 1) S / c 2 / S = cn~ − v p (n~ 2 − 1) = v p = c / n~ .
Таким образом, и в этом случае импульс поля переносится с фазовой
скоростью, которая меньше скорости света и совпадает со скоростью энергии
в недиспергирующей среде.
35
Рассмотрим передаваемый среде в единицу времени (секунду) импульс.
Для этого запишем уравнение баланса в форме
[
]
∂ z ε 0 E 2 / 2 + µ0 H 2 / 2 = −∂ t g A − µ0σS − c − 2 (ε ′ − 1)H∂ t E − c − 2 (µ − 1)E∂ t H .
(50)
Оно также получено из уравнений Максвелла, когда среда учитывается в
виде токов поляризации: электрического J Pxe = ε 0 (ε ′ − 1)∂ t E и магнитного
m
J Py
= µ0 (µ − 1)∂ t H . Такой подход присущ микроскопической электродинамике
[51,52], при этом описание становится достаточно сложным. Сила Абрагама
не полностью характеризует воздействие на среду, а четыре последних члена
в (50) правильно отражают такое воздействие. Именно fσL = µ0σS = σEB′ есть
сила Лоренца, действующая на ток проводимости, f PeL = c −2 (ε ′ − 1)H∂ t E = J Pxe B′
есть сила Лоренца, действующая на ток электрической поляризации среды, а
L
m
f Pm
= c −2 (µ − 1)E∂ t H = Dx′ J Py
– сила Лоренца, действующая на ток магнитной
поляризации среды (здесь B′ = µ0 H , D′ = ε 0 E ). Впервые эти силы введены
Эйнштейном и Лаубом (1908). Для первой силы мы имеем усредненное
значение
(
)
(
)
fσL = µ0σ S = σE02 β / 2ω µ = n′σE02 / 2c µ . Для второй и третьей сил
соответственно имеем
(
f PeL = (ε ′ − 1)E02σ / 23 / 2 n′c
)
и
(
)
L
f Pm
= (µ − 1)E02σ / 23 / 2 n′c .
Поскольку обычно замедление n′ >> 1 , первый член играет решающую роль в
передаче импульса подвижным зарядам. Они, рассеиваясь на молекулах и
атомах вещества, передают импульс ему. В единицу времени через
единичную поверхность переносится энергия S = v pu . Теряемая в единице
объема мощность σE02 cos 2 (ωt − βz ) , усредненная за период, есть σE02 / 2 . С
другой стороны, эту же величину можно определить так: ∂uσ / ∂t = v −p1 ∂Sσ / ∂t ,
что равно 2α S = αE02 cos(ϕ ) / Z = σE02 / 2 . Потерянной энергии соответствует
переданный импульс ∂gσ / ∂t . Для трех введенных определений плотности
импульса соответственно имеем:
( )
( )
∂ t gσM = 2αn~ 2v p E02 cos(ϕ ) / c 2 Z = σn~ 2 E02v p / 2c 2 ,
( )
( )
∂ t gσA = 2αv p E02 cos(ϕ ) / c 2 Z = σn~ 2 E02v p / 2c 2 ,
36
( )
∂ t g~σM = 2αn′2v p E02 cos(ϕ ) / c 2 Z = σE02 / (2v p ) .
Поскольку свободные заряды удовлетворяют уравнению движения
Nex& (t ) = σE0 cos(ωt − β (ω )z )exp(− α (ω )z ) , может показаться, что у вещества есть
колеблющаяся x-компонента импульса. Однако это не так. Коль скоро мы
предполагаем вещество электрически нейтральным, всегда имеются заряды,
смещающиеся
в
противоположную
сторону,
которым
и
передается
противоположный импульс (например, в металлах это кристаллическая
решетка). Может возникнуть вопрос: откуда взялся у поля, возбуждаемого
диполем или системой диполей (в нашем случае плоскостью диполей)
импульс,
коль скоро источники его не
имели? Здесь ответ тривиален:
источник возбуждает две волны в сторону положительных и отрицательных
z, импульсы которых равны и противоположны.
Следует заметить, что в веществе элементарные кванты импульса поля
переносится фотонами между актами их рассеяния на частицах вещества со
скоростью
света
коллективный
c.
Перенос
результат
импульса
указанных
с
фазовой
элементарных
скоростью
актов
с
есть
учетом
соответствующих фазовых задержек и интерференций, что приводит к
описанию в терминах квазифотонов. Формально учет влияния вещества
может
быть
осуществлен
введением
токов
поляризации.
Для
недиссипативных сред (т.е. в отсутствии дисперсии ε ′ и µ ) сдвиг между
ними и полями есть π / 2 , при этом импульс среде посредством этих токов не
передается. Наличие проводимости изменяет сдвиг фаз, и импульс
передается электронам проводимости и среде. Уравнение баланса (50) (и
аналогичное
(
для
баланса
мощности)
с
введением
плотности
)
u0 = ε 0 E 2 + µ0 H 2 / 2 также не удобно для определения явлений переноса в
монохроматической волне в среде.
Балансные соотношения с введением токов поляризации и сторонних
токов,
создающих
поле,
весьма
продуктивны
при
нестационарном
возбуждении [79,80]. В этом случае накопленная в некотором объеме энергия
37
и импульс зависят от предыстории процесса создания поля. Например, в
плазме следует учитывать энергию и импульс системы поле-вещество. Для
плазмы это означает учет кинетической энергии колебаний заряженных
частиц и передаваемый частицам импульс. Решая уравнения движения
системы поле-вещество, в принципе можно определить ТЭИ поля и вещества
r r
r r
в любой момент и соответственно мгновенные величины ve (r , t ) и vi (r , t ) . В
случае макроскопической электродинамики сплошной среды усреднение по
физически
бесконечно
малому
объему
(гомогенизация)
приводит
к
материальным уравнениям, являющимся аналогом уравнений движения.
Например, одномерные нестационарные уравнения (24) в однородной среде
запишем с учетом только временной (частотной) дисперсии:
− ∂H / ∂z = ∂D / ∂t + J e ,
− ∂E / ∂z = ∂B / ∂t + J m .
(51)
Все величины в (51) есть функции времени и одной координаты z, что
упрощает рассмотрение. Возьмем материальные уравнения, определяющие
дисперсию, в форме
t
D( z , t ) = ε 0 ∫ ε ( z , t − t ′)E ( z , t ′)dt ′ ,
0
t
B( z , t ) = µ0 ∫ µ ( z , t − t ′)H ( z , t ′)dt ′ .
(52)
0
считая, что поле отсутствовало при t < 0 . Если источники расположены в
плоскости z = 0 , то в момент t поле будет расположено в пределах z ≤ ct .
Наличие проводимости соответствует полюсу в нуле у спектральной
комплексной диэлектрической проницаемости
∞
t
−∞
0
ε ( z, ω ) = ∫ ε ( z, t )exp(− jωt )dt = ∫ ε ( z, t ′)exp(− jωt ′)dt ′ .
Здесь учтено, что ε (z, t ) = 0 при t < 0 . Наиболее удобно использовать модель
плазмы. Для волны в плазме вводим затухание Ландау и исключаем
указанный полюс. Записывая уравнение баланса для импульса, получим
такую форму
∂ z u0 ( z , t ) = −[µ0 H∂ t D( z , t ) + ε 0 E∂ t B( z , t )] − µ0 HJ e − ε 0 EJ m .
(53)
38
Последние два члена и создают импульс поля и вещества. Однако они
соответствуют силе Лоренца в вакууме, а не в веществе. Подразумевая, что в
квадратной скобке должна стоять величина типа ∂ t g (z, t ) , получаем после
интегрирования соотношение
g ( z , t ) = ∂ t−′1 (ε 0 E ( z , t ′)∂ t ′ B( z , t ′) + µ0 H ( z , t ′)∂ t ′ D( z , t ′)) =
= ε 0ε ( z ,0)E ( z , t ) + µ0 µ ( z ,0)H (z ,0) + ∂ t−′1 (ε 0∂ tε (z , t − t ′)E ( z , t ′) + µ0∂ t µ ( z , t − t ′)H ( z , t ′)) = (54)
= µ0 H ( z , t )D( z , t ) + ε 0 E ( z , t )B( z , t ) − ∂ t−′1 (µ0∂ t ′ H ( z , t ′)D( z , t ′) + ε 0∂ t ′ E ( z , t ′)By ( z , t ′)).
Из него следует, что эта z-компонента (54) в момент t зависит не только от
значений полей в данный момент, но и от всех их предыдущих их значений.
Для
волны
в
однородной
плазме
µ (z , t ) = δ (t ) ,
ε ( z, t ) = δ (t ) + (ω p2 / ωc )(1 − exp(− ωct ))exp(− ω Lt ) , где последняя экспонента определяет
затухание Ландау, причем в окончательных результатах можно считать
ωL → 0 . Тогда ε (ω ) = 1 − ω p2 / (ω 2 − jωωc ) . Задавая плотность электрического тока в
виде J e = I [1 − exp(− t / τ )]sin (ωt ) , можно решить уравнения (51) и определить
плотность (54) при больших значениях t, когда процесс становится
квазистационарным. Однако соотношение (54) не соответствует импульсу в
сплошной среде. Для вакуума оно становится тривиальным: g = g A = S / c 2 .
Сплошной среде более соответствует плотность g = g M = DB и уравнение
баланса импульса, имеющее для (51) вид
∂ z Σ + ∂ t g M = − By J xe − Dx J ym .
Здесь ∂ z Σ = B∂ z H + D∂ z E ,
g M = DB ,
Σ
(55)
– плотность потока импульса в
направлении z, а в правую часть (55) входят реальные силы Лоренца с учетом
коллективного влияния движения всех зарядов сплошной среды. Повидимому, соотношение (55) более приемлемо для сплошной среды,
поскольку при отсутствии дисперсии, т.е. при материальных соотношениях
D = ε 0εE , B = µ0 µH имеем g M = εµS / c 2 , Σ = u = (ε 0εE 2 + µµH 2 )/ 2 , viM = c / εµ = v p ,
т.е. мы получили обобщение плотности импульса в форме Минковского.
Трудность в нестационарном случае состоит в том, что вычисление g M = DB
как и Σ требует знания всей предыстории электромагнитного процесса, при
39
этом Σ еще надо находить из решения дифференциального уравнения. В
одномерном случае дифракции на пластине для этого достаточно выполнить
интегрирование по z. Введение же силы Абрагама в (55) как довесок к
плотности импульса по Абрагаму (чтобы фактически получить импульс по
Минковскому) только запутывает рассмотрение. Приведем соответствующее
(51)
аналогичное
уравнение
баланса
мощности
p = ∂ t w = ∂ t (u + q ) :
∂ t w + ∂ z S = − EJ xe − HJ ym . Здесь q (z , t ) – диссипированная работа источников поля
(тепло), которую всегда можно вычислить. Для простейшего случая
проводящей среды q(z , t ) = σ∂ t−1 (E 2 (z , t ′)) .
40
4. ДИФРАКЦИЯ КВАЗИМОНОХРОМАТИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ
НА ПЛАСТИНЕ
В качестве примера покажем выполнение закона сохранение импульса
для формы Минковского при дифракции на пластине. Пусть плоский
длинный c длиной l квазистационарный (квазимонохроматический) цуг или
волновой пакет с прямоугольной огибающей и несущей частотой ω (импульс
в смысле нестационарной волны) в момент t0 = 0 подошел к границе слоя
толщины d с постоянными проницаемостями ε , µ . Квазистационарность
означает, что
l >> λ0 = 2π / k0 = 2πc / ω .
Она нужна, чтобы можно было
использовать квазимонохроматические значения величин. Длина волны в
слое λ = λ0 / n , n = εµ . Пусть для простоты толщина d подобрана так, что на
момент t1 весь цуг вошел в слой и полностью его заполнил. Поскольку
скорость движения есть v p = c / n , для этого времени получаем t1 = d / v p = nd / c .
Для того, чтобы это имело место, должно выполняться l = nd . Большую
длину l для простоты подберем так, чтобы на ней укладывалось целое M
число длин волн: l = Mλ0 , M >> 1 , при этом d / λ = M . Имеется и отраженный
импульс. На момент t1 он расположен в области − l ≤ z ≤ 0 также как
падающий импульс в момент t0 . Коэффициент отражения по электрическому
полю нормально падающей плоской монохроматической волны от границы
раздела есть R = (ρ0 − 1) / (ρ0 + 1) , где ρ0 = µ / ε – нормированный к Z 0 импеданс,
а для коэффициента прохождения внутрь пластины имеем T = 2 ρ0 / (ρ0 + 1) .
Падающая волна имеет вид (41) при α = 0 , ϕ = 0 . Далее будем рассматривать
баланс для единичной площадки и средних значений плотностей импульсов.
На момент t0 поле имело импульс G0M = g M l = S0 l / c 2 в направлении оси z, а
импульс пластины был нулевым. Рассмотрим сначала идеальный случай
согласованной пластины (stealth) ε = µ . В этом случае отражения нет, и
импульс пластине не передается. При интегрировании плотности импульса
по z или после усреднения за
период возникает множитель ½
у
41
амплитудных
значений. Соответственно
g M = Z 0 n 2 E02 / (2c 2 ) = u n / c ,
где
u = ε 0εE02 / 2 . В момент полного заполнения пластины t1 = l / c импульс поля
равен G1M = g M d = dn 2 S1 / c 2 = dn u1 / c = nG0M . После того, как цуг полностью
вышел из пластины, т.е. в момент t2 = 2t1 и после вновь имеем G1M = G0M .
Импульс Минковского как бы не сохраняется, поскольку пластина
неподвижна. Такое “несохранение импульса в форме Минковского”
выдвигается в [48] как основной аргумент против него и в пользу импульса
Абрагама. Посмотрим, что будет с импульсом Абрагама. При t0 имеем:
G0A = G0M = S0 l / c 2 = u0 l / c ,
а
при
соответственно
t1
G1A = S1 d / c 2 = u0 d / c = G1M / n 2 . Получили парадокс: ни импульс Минковского,
ни импульс Абрагама не сохраняются, при этом для первого сначала
возникает, а затем исчезает дополнительный импульс, а для второго сначала
часть импульса пропадает, а затем появляется вновь! В чем же дело? Всегда
когда возникают парадоксы, необходимо искать, где произошла подмена
понятий или неправомерное их использование. В [48] аналогичные
рассуждения приведены для цуга и пластины с µ = 1 , n = ε , причем
предполагается,
что
пластина
идеально
согласованная
с
помощью
просветляющего слоя. Идеально согласовать пластину нельзя, но для
монохроматического процесса получить достаточно малый коэффициент
отражения
путем
создания
многослойного
или
неоднородного
просветляющего слоя можно. Естественно, этот слой надо учитывать. Но у
нас цуг с прямоугольными фронтами, имеющий все частоты, а процесс
нестационарный!
Конечно,
основная
спектральная
интенсивность
сосредоточена вблизи несущей частоты, но, тем не менее, пластина получит
некоторый малый импульс. В случае ε = µ отражения нет, но это условие
может быть выполнено для дисперсивных ИС в достаточно узкой полосе, при
этом дисперсия сильная, а спектральные проницаемости всегда комплексные.
Это означает, что реальная пластина из stealth материала также получит
42
некий импульс. Далее мы от этого абстрагируемся. Заметим, что формула
(1.13) из [48], якобы показывающая сохранение импульса Абрагама, на самом
деле показывает его нарушение: G = Ew / nc . В ней Ew – полная энергия цуга.
Она едина при любом его положении. В вакууме Ew = u0 l . В среде Ew = u d ,
при этом, поскольку цуг сжимается в n раз, u = n u0 , что непосредственно
видно из (41). При этом полный импульс в обоих случаях есть G = Ew / c .
Так как же разрешить парадокс? Ясно, что для нашего случая в
отсутствии силы Лоренца локальное уравнение баланса имеет вид
∂u / ∂z = −∂g M / ∂t ,
(56)
что следует из (41). Если выполняется локальный баланс, выполняется и
глобальный (интегральный) баланс и его просто надо честно вычислить. Для
этого заметим, что u (z, t ) имеет скачки u0 (0, t )(n − 1) при 0 ≤ t ≤ t1 и u0 (d , t )(1 − n )
при t1 ≤ t ≤ t2 . Соответственно в (56) появляются в указанные промежутки
члены с дельта-функциями u0 (0, t )(n − 1)δ (z ) и U 0 (d , t )(1 − n )δ (z − d ) . Импульс в
момент t1 следует вычислять так:
t1 d


G1M = − ∫  ∫ u ( z , t )dz + u0 (0, t )(n − 1) dt =nG0M − (n − 1)G0M = G0M .
0 0

(57)
Указанный вывод о несохранении G M в [48] основан на постоянстве скорости
центра
масс
системы
электромагнитный
цуг
неподвижная
(фотон).
Первая
пластина
не
–
обладает
движущийся
скоростью,
а
движущийся в одном направлении цуг (точнее совокупность фотонов) не
обладает массой [76]! Между тем вводится “масса фотона” из соотношения
m = Ew / c 2 и его импульс в виде G = mv p = Ew / (cn ) ! Говоря о цуге или фотоне в
среде, следует иметь в виду, что плотность энергии возрастает в n раз,
следовательно, возрастает и число фотонов, а скорость переноса энергии
падает. Это значит, что в пластине имеются фотоны обоих направлений,
движущиеся в вакууме со скоростью c между актами элементарных
взаимодействий с частицами вещества, а фотон с импульсом nhω / c есть, по
43
сути, квазичастица [47]. Полный интерференционный результат для
макроскопической волны с большой энергией, в которой содержится много
фотонов, есть следствие теоремы погашения, согласно которой волна в среде
идет в прямом направлении с фазовой скоростью. В общем случае
отражения от непоглощающей пластины при t > t2 имеем баланс энергии:
2
2
1= R + T .
(
Здесь
)
((
введены
)
R = ρ 02 − 1 tan (θ ) / ρ 02 + 1 tan (θ ) − 2 jρ 0
(
(
)
полный
)
и
коэффициент
коэффициент
отражения
прохождения
)
T = cos(θ ) + j sin (θ ) Z 2 + 1 / (2Z ) , θ = γl = 2πl / λ0 , поэтому отраженный импульс
−1
2
2
есть GrM = Ew R / c , а прошедший – соответственно GtM = Ew Т / c , т.е. пластине
(
2
2
)
передается импульс Ew 1 + R − T / c . Если R = 0 , то T = 1 , и пластина
неподвижна. Если же σ ≠ 0 , то величина γ комплексная, баланс энергии
2
2
такой: R + T < 1 , и часть импульса внутри слоя передается ему. При очень
малом
R
и большой толщине весь проходящий импульс передается
пластине. При σ → ∞ имеем R → −1 , T → 0 , и пластина получает удвоенный
импульс.
Здесь
квазистационарным
мы
опять
процессам
применили
вместо
стационарные
решения
формулы
более
к
сложной
нестационарной задачи, что оправдано для длинного цуга. В стационарном
(
2
2
)
же случае имеет смысл говорить лишь о давлении u 1 + R − T / c или о
переданном в секунду импульсе, при этом формулы уже точные. Что касается
импульса G A , то в рассмотренном случае он сохраняется, только если к нему
прибавлен импульс, обусловленный силой Абрагама. Указанная сила для
недиспергирующей среды возникает только при входе и выходе цуга из
пластины [49]. Именно необходимость дополнения G A неким импульсом для
выполнения закона сохранения является основным аргументом против него.
Другой аргумент против импульса Абрагама в среде состоит в том, что сила
Абрагама точно не равна силам Лоренца, действующим на токи поляризации
вещества.
44
Рассмотрим в качестве примера два атома с массами m1 и m2 ,
неподвижных в лабораторной системе при t < 0 . Энергия системы имеет вид
e = e1 + e2 ,
e1 = m1c 2 ,
e2 = m2c 2 .
Первый атом находится в возбужденном
состоянии с энергией возбуждения hω и расположен в начале координат, а
второй – в точке (0,0, z ) , z > 0 . Возбужденный атом неподвижен (как
квантовая частица) в том смысле, что его волновая функция не зависит от
времени (точнее имеет множитель exp(− ie1t / h ) , i = − j ). При этом вероятность
обнаружения атома в начале координат максимальна и выполняется
соотношение неопределенности ∆z∆pz ≥ h / 2 . Это же относится и ко второму
атому в точке z. Поскольку взаимодействия нет, полная волновая функция
есть произведение волновых функций атомов и не зависит от времени до
момента t0 = 0 . В момент t0 = 0 первый атом испускает фотон с энергией hω и
r
r
r
r
импульсом p = z0 p = z0hω / c . Атом получает импульс − p и движется влево, что
означает появление зависимости его волновой функции от времени.
Указанная волновая функция приобретает вид волнового пакета в виде
собственной функции оператора импульса. Этот волновой пакет смещается
влево
(v1 / c ) /
со
скоростью,
2
1 − (v1 / c ) = p / (m1′c ) , при этом
удовлетворяющей
m1′ =
соотношению
(e1 − hω )2 / c 4 − pr 2 / c 2
= m1 1 − 2 p / (m1c )
есть изменение массы в результате взаимодействия. Величина энергии
возбуждения атома hω играет роль внутренней неэлектромагнитной энергии,
создающей поле. Пусть в момент t1 фотон точке z = ct1 поглощается другим
r
атомом. Указанный атом получает импульс p , переходит в возбужденное
состояние с
масса:
энергией e2 + hω = m′2c 2 / 1 − (v2 / c )2 , при этом изменяется его
m2′ = m2 1 + 2 p / (m2c ) .
соотношения
(v2 / c ) /
Скорость
2
1 − (v2 / c ) = p / (m2′ c ) .
атома
До
также
момента
определяется
t0
система
из
двух
невзаимодействующих атомов имела нулевой импульс, массу m1 + m2 и
энергию (m1 + m2 )c 2 . В промежутке t0 < t < t1 масса атомов равна m1′ + m2 и
меньше их исходной массы, масса фотона равна нулю, но масса всей системы
45
поле-вещество не изменилась и равна m + m0 , поскольку её полный импульс
есть нуль. При этом энергия и импульс сохраняются, а положение фотона не
определено. Фотон локализуется (а поле исчезает) в момент поглощения
(взаимодействия) в точке z. Масса всей системы опять равна m1 + m2 и далее
сохраняется, полный импульс также сохраняется и равен нулю. Сохраняется
также и полная энергия
e = m1′c 2 / 1 − (v1 / c ) + m2′ c 2 / 1 − (v2 / c ) ,
2
2
при этом
суммарная масса атомов равна m1′ + m2′ < m1 + m2 . Образуется дефект массы,
связанный
с
тем,
что
после
взаимодействия
атомы
приобрели
противоположные импульсы. Полные же величины энергии, массы и
импульса всей замкнутой системы поле-вещество остались неизменными.
Если 2 p / (mi c ) << 1 , i = 1,2 , то можно воспользоваться разложениями по малому
параметру. Как видно, в первом порядке дефекта массы нет. Данный
качественный пример, основанный на представлении нестационарного
взаимодействия
стационарными
процессами
с
двумя
точечным
взаимодействиями, приведен для того, чтобы показать необходимость учета в
балансе сторонних источников поля, в том числе и если оно имеет момент
импульса. Он также полезен в связи с вышеприведенным примером из [48]. В
сплошной среде распространение волны на микроскопическом уровне
основано на подобных многочисленных актах взаимодействия, при этом
скорость распространения зависит от времен жизни атомов в возбужденных
состояниях, т.е. от характера рассеяния: упруго оно или нет, и насколько. В
такой волне всегда есть преимущественный поток фотонов в направлении
движения энергии, но возможны и обратные фотоны. Абсолютно упругое
рассеяние фотонов на плазме свободных носителей происходит в пределе
бесконечной проводимости, т.е. при ω p2 / ωc → ∞ , или при ω → 0 , что
соответствует
отражению
от
идеальной
электрической
стенки.
Из
изложенного следует, что процессы обмена фотонами всегда, по крайней
мере, квазистационарные. Поэтому монохроматическая волна есть в
некотором роде удобная абстракция, которая принципиально в эксперименте
46
получена быть не может. На макроскопическом описании волна создает токи
поляризации, которые ее и поддерживают.
47
5. ДАВЛЕНИЕ ПЛОСКОЙ МОНОХРОМАТИЧЕСКОЙ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ НА ПРОВОДЯЩУЮ ПЛАСТИНУ,
РАСПОЛОЖЕННУЮ В ПРОЗРАЧНОЙ СРЕДЕ
5.1. Введение
Хотя
световое
давление
впервые
экспериментально
измерено
П.Н.Лебедевым в 1899 (т.е. более 110 лет назад), вопрос о силах (давлении),
действующих на среду со стороны электромагнитного поля, вот уже более
ста лет до сих пор дискуссионный [45–69,71,82–143] и связан с так
описанной
выше
литературу
в
контроверсией
указанных
Абрагама-Минковского
работах).
Публикации
по
(см.
этому
также
поводу
продолжаются вплоть до настоящего времени [124–142], причем их число
возрастает. Следует отметить сравнительно недавние работы в поддержку
формы Абрагама (например, [64,125–127]) и формы
Минковского (в
частности, [85,86, 129,133,139,140]). Есть ряд работ, предлагающих свой
подход, например, [52,61,62,71,96,133,139]. Во всех известных работах
временная (частотная) дисперсия фактически не учитывается.
В недавних работах [68–71] предложен новый нестационарный подход
с учетом дисперсии к построению плотности энергии, импульса (линейного
момента) и ТЭИ для СПВ, заключающийся в учете всей предыстории
процесса создания поля сторонними источниками. При этом СПВ является
незамкнутой, а замкнутой она становится при добавлении сторонних
источников (токов, создающих поле и связанных с ними объектов). При
отсутствии частотной дисперсии результаты [68–71] приводят к плотности
импульса по Минковскому. Далее под прозрачной средой будем понимать
отсутствие дисперсии (следовательно, и потерь [26,30]) и рассматривать
плотности сил, энергии и импульса.
В данной главе с целью решения указанной проблемы использован
подход из монографии [1] для определения давления и импульса (количества
движения)
поля.
В
отличие
от
[1],
где
рассмотрена
бесконечная
48
металлическая немагнитная пластина в вакууме, здесь рассматривается
проводящая пластина конечной толщины, расположенная в веществе без
дисперсии, т.е. в среде с простейшими и используемыми обычно при
r
r
r
r
рассмотрении ТЭИ материальными уравнениями D = ε 0εE , H = µ0 µH . Такая
зависимость характерна для очень медленных процессов (низких частот),
когда
несущественно
запаздывание
в
электрической
поляризации
и
магнитной поляризации (синоним намагниченности). Как частный случай
рассмотрена прозрачная пластина с нулевой проводимостью, а также и
бесконечная пластина. Будем пренебрегать связанными с неоднородностью
пондеромоторными (стрикционными) эффектами (см. [96–98, 106,110,11]),
считая проницаемости положительными константами, среду однородной и
неподвижной, а ее плотность и температуру неизменной. Сначала
проанализируем
силы,
действующие
на
пластину,
затем
выведем
соответствующие законы сохранения, найдем скорости переноса энергии и
импульса и соотнесем полученные результаты с ними.
5.2. Анализ пондеромоторных сил
Пусть в рассмотренной среде в области
0< z<d
расположена
проводящая пластина. Проводимость связана со свободными зарядами, т.е. с
плазмой, диэлектрическая восприимчивость которой есть κ = −ω p2 /[ω (ω − jωc )].
Плазменная
частота
ωp
определяется
концентрацией
электронов
проводимости, поскольку влиянием массивной кристаллической решетки
(или тяжелых ионов) можно пренебречь. Частоту столкновений (в связи с
нашем предположением о малости ω ) считаем большой: ω << ωc . Из этого
следует κ = − jσ / (ωε 0 ) , где σ = ε 0ω p2 / ωc – проводимость при постоянном токе
(для
ω = 0 ).
Пусть
на
пластину
из
среды
слева
падает
плоская
монохроматическая волна частоты ω . Материальные соотношения для
r
r
r
r
пластины запишем в виде D = (ε 0ε1 + σ∂ t−1 )E , H = µ0 µ1H , ∂ t = ∂ / ∂t , где ∂ t−1 –
оператор интегрирования, т.е. обратный к ∂ t . Для определенности можно
49
рассматривать
интегрирование
в
пределах
(− ∞, t )
(0, t )
или
(если
r
квазистационарное поле начинает создаваться с момента t = 0 ). Тогда ∂ t D
есть электрический ток смещения в уравнениях Максвелла, которые
однородные в пространственно-временной области, где источников нет.
Материальные параметры кристаллической решетки пластины также суть
константы: ε1 > 1 , µ1 ≥ 1 . Для немагнитных металлов обычно ε1 ~ 10 , µ1 ~ 1 , а
для ферромагнетиков, например, для железа, µ1 может достигать значений
нескольких сотен и более. Далее также считаем, что ε ≥ 1 , µ ≥ 1 и что
пластина достаточно массивна, или же она жестко закреплена в среде, масса
которой бесконечна, т.е. пластина неподвижна, несмотря на давление. Можно
для этого также предположить, что амплитуда волны достаточно (или
бесконечно) мала. Эти же предположения позволяют считать, что пластина
не нагревается, т.е. температура среды постоянна. Непосредственное
нагревание среды не происходит в силу ее прозрачности и однородности.
Единственная сила, действующая в данной модели на вещество пластины –
это сила Лоренца f L в пластине с единственной z-компонентой. Эта сила, в
отличие от силы Абрагама f A = ∂ t (ε1µ1 − 1)S z / c 2 , не вызывает никаких сомнений
(здесь S z – единственная z-компонента вектора Пойнтинга). При большой
проводимости силой Абрагама, если она существует, можно пренебречь. В
любом случае без ограничения общности можно положить
ε1 = 1 , µ1 = 1 ,
рассматривая плазменный слой с заведомо нулевой силой Абрагама f A = 0 .
Сформулированная задача (модель) имеет строгое аналитическое
решение, поэтому точно определяется импульс, передаваемый пластине. Мы
также рассмотрим два предельных случая бесконечно малой и бесконечно
большой проводимости. Удобно рассмотреть и предельный случай пластины
r
r
r
r
r
r
бесконечной толщины. Для плоской волны имеем E = x0 E , H = y0 H , D = x0 D ,
r r
r r
B = y0 B ( x0 , y0 – орты поперечных осей) и уравнения Максвелла
∂ z H = −ε 0ε1∂ t E − σE ,
∂ z E = − µ0 µ1∂ t H .
(58)
50
Здесь ∂ z = ∂ / ∂z . Для среды индекс 1 надо опустить и положить σ = 0 . Решение
(58) можно записать как в более удобном комплексном, так и в физически
более наглядном действительном виде. В последнем случае для пластины
имеем [2]
(
)
(
)
E ( z , t ) = E1+ cos ωt − βz + ϕ + exp(− αz ) + E1− cos ωt + βz + ϕ − exp(αz ),
(
)
(
)
H ( z , t ) = H cos ωt − βz − ϕ + ϕ exp(− αz ) − H cos ωt + β z + ϕ + ϕ − exp(αz ).
+
1
+
−
1
(59)
Здесь β – фазовая постоянная, α – постоянная затухания, ϕ = arctan(α / β ) –
фазовый сдвиг. Эти параметры определены формулами (6.28), (6,29) и (6.32)
из монографии [2], все амплитуды действительные, а их отношения дают
действительный
импеданс,
определяемый
Z = E1± / H1± = ωµ0 µ1 / α 2 + β 2 = Z 0 ρ1 ,
формулой
ρ1 = µ1 / (ε1ς )
где
(6.31)
и
из
[2]:
обозначено
ς = 1 + σ 2 / (ωε 0ε1 )2 , Z 0 = µ0 / ε 0 . В среде слева от пластины имеем
E ( z , t ) = E0 [cos(ωt − β 0 z ) + R cos(ωt + β 0 z + ψ )],
H ( z , t ) = H 0 [cos(ωt − β 0 z ) − R cos(ωt + β 0 z − ψ )],
(60)
а справа от нее поля в среде определены так:
E ( z , t ) = E0T cos(ωt − β 0 ( z − d ) + θ ),
H ( z , t ) = H 0T cos(ωt − β 0 ( z − d ) + θ ).
(61)
Здесь β 0 = k0 / εµ , k0 = ω / c , H 0 = E0 / (ρ 0 Z 0 ) , ρ 0 = µ / ε , R ,ψ – модуль и фаза
коэффициента отражения, а T , θ
– модуль
и фаза коэффициента
прохождения (по электрическому полю). Соответствующие им комплексные
величины определяются так (далее все комплексные величины обозначаем
тильдой):
~
R = R ⋅ exp( jψ ) = (ρ~ − ρ 0 ) / (ρ~ + ρ0 ) ,
~
−1
T = T ⋅ exp( jθ ) = [cos(γ~d ) + j sin (γ~d )(ρ~1 / ρ 0 + ρ 0 / ρ~1 ) / 2] ,
( ) [
( ) ]
~
~
exp( jϕ ) = E [1 + R − (1 − R )ρ~ / ρ ]/ 2 ,
~
~
~
E1+ = E1+ exp jϕ + = E0 1 + R + 1 − R ρ~1 / ρ 0 / 2 ,
~
E1− = E1−
(62)
−
0
1
0
ρ~1 = ρ1 exp( jϕ ) .
51
ρ~ = ρ~1 (ρ 0 + jρ~1 tan (γ~d )) / (ρ~1 + jρ 0 tan (γ~d ))
Здесь
импеданс
в
сечении
Таким
пропорциональны
амплитуде
электромагнитной
γ~ = β − jα
z =0,
распространения.
энергии
–
образом,
–
все
E0 ,
нормированный
входной
комплексная
постоянная
амплитудные
параметры
которая
определяет
u = ε 0εE 2 ( z , t ) = µ0 µH 2 ( z , t )
и
плотность
соответствующую
среднюю за период плотность ε 0εE02 / 2 в падающей волне. Величины для
среды обозначены индексом “0” снизу. Плотность единственной zкомпоненты силы Лоренца, действующей на электроны проводимости
внутри пластины, имеет вид f L (z , t ) = µ0 µ1σE (z, t )H (z , t ) , где поля определены
соотношением (59). Если σ = 0 , то этой силы нет, но пластина испытывает
давление за счет отраженного импульса поля. Поля (59), (60) и (61)
непрерывны. На пластину также действуют плотности сил Лоренца
f Le = µ0 µ1 J Pe H
f Lm = ε 0ε1 J Pm E
и
для электрического и магнитного токов
поляризации. Плотности этих токов суть J Pe = ε 0 (ε1 − ε )∂ t E и J Pm = µ0 (µ1 − µ )∂ t H
соответственно. Кажется естественным рассматривать дополнительную
поляризацию к поляризации среды и брать индукции внутри пластины (далее
этот вопрос будет обсужден и показано, что это не так). Если существует
сила Абрагама, то должна действовать и она, причем ее результат не
эквивалентен действию сил Лоренца [96–98]:
f Le + f Lm = c −2 [µ1ε1 (H∂ t E + E∂ t H ) − µ1εH∂ t E + ε1µE∂ t H ] ,
f A = c −2 (ε1µ1 − 1)(H∂ t E + E∂ t H ) .
Для средних значений гармонического поля согласно (59) имеем
H∂ t E = − E∂ t H =
=
ω
2
[sin (ϕ
=
+
)(
[2E E sin(ϕ
2Z ρ
ω
0
+
1
−
1
(
)
(
)]
+
)]
− ϕ − − ϕ − 2β z − sin (ϕ ) E1+ exp(− 2αz ) + E1− exp(2αz ) .
2
2
1
Отсюда следует
f Le + f Lm
)
− ϕ − − ϕ − 2β z H1+ E1− + H1− E1+ − sin (ϕ ) H1+ E1+ exp(− 2αz ) + H1− E1− exp(2αz ) =
f
A
= 0,
f Le + f Lm = −c −2 (µ1ε − ε1µ ) H∂ t E . При
отсутствует только если
σ ≠0
сила
µ1 / ε1 = µ / ε или ρ1 = ρ0 . Если σ = 0 , то
52
пластина при ρ1 = ρ0 идеально согласована, т.е. на нее не действует никакая
сила (точнее отсутствует ее среднее значение), и импульс пластине не
передается. Для полубесконечной пластины отраженной волны нет ( E1− = 0 ),
поэтому H∂ t E = 0 , если σ = 0 . При этом на пластину в среднем плотность
указанной силы не действует и импульс ей как бы не передается. Парадокс
заключается в том, что отсутствие отраженной волны (условие излучения)
означает наличие бесконечно малых потерь и фазового сдвига. При этом весь
входящий в пластину при z = 0 импульс (как будет показано далее) ей на
самом деле передается. На бесконечную среду без потерь сила в среднем не
действует, что связано со сдвигом фаз ± π / 2 между каждым из полей и
производной по времени другого. Эта сила возникает при σ ≠ 0 и 0 < ϕ ≤ π / 4 .
В работах [109,110] показано, что в этом случае для полностью прозрачной
~
пластины ( R = 0 ) определенный по Минковскому импульс G M в пластине
сохраняется, а импульс, определенный по Абрагаму – нет. Импульс и энергия
в этом случае переносятся с фазовой скоростью c / ε1µ1 . Уравнение баланса
импульса при этом имеет вид ∂ zu + ∂ t g M = 0 . Средняя плотность энергии в
прозрачной пластине изменяется в ε1 / ε = u / u0
раз. Поэтому на границах
z = 0 и z = d возникают две дельта-функции: ∂ z u = (ε1 − ε )δ ( z ) − (ε1 − ε )δ ( z − d ) .
Соответственно
d
∂tG M =
∫ ∂ g (z, t )dz
M
t
= 0,
0
т.е. импульс пластине не передается (см., например, соответствующие
утверждения в [48] для импульса Абрагама и Минковского, а также и
ошибочную
работу
[144,145]).
Напомним,
что
в
[48]
квазимонохроматическому цугу приписывается масса, и рассмотрение
процесса его дифракции ведется в системе центра масс поля и пластины (как
и в [144,145]). Принцип неподвижности центра масс с приписыванием
фотонам одного направления массы является базовым для выводов [48].
Между тем цуг (и соответствующие ему фотоны) массы не имеют [76]. Для
53
рассмотренного в [48] примера и для случая ρ 0 = ρ1 в [71] показано
несохранение импульса Абрагама и его сохранение в форме Минковского.
Единичной
площадке
конечной
диэлектрической
пластины
монохроматическая волна диэлектрической среды передает в секунду
импульс
d
∫
f Le dz =
ε 0 (ε1 − ε )
2
0
[
)]
(
E1+ E1− 1 − cos ϕ + − ϕ − − 2k0 ε1 d .
(63)
~
~
Если k0 ε1 d = mπ , то ρ~ = ρ0 , R = 0 , ϕ + = ϕ − = 0 , E1− = 0 . В соответствие с (63)
импульс согласованной пластине не передается. В силу непрерывности полей
(59)–(61) на границах имеем соотношения
E0 [cos(ωt ) + R cos(ωt + ψ )] = E1+ cos(ωt + ϕ + ) + E1− cos(ωt + ϕ − ) ,
E1+ cos(ωt − βd + ϕ + ) + E1− cos(ωt + β d + ϕ − ) = E0T cos(ωt + θ ) .
Однако диэлектрическая проницаемость имеет скачки. Для средних значений
квадратов полей на границах записываем равенства
[
]
E02 1 + R 2 + R cos(ψ ) = E1+ + E1− + E1+ E1− cos(ϕ + − ϕ − ) ,
2
2
2
2
(
)
E1+ + E1− + E1+ E1− cos ϕ + − ϕ − − 2β d = E02T 2 .
Скачки имеет и средняя за период плотность электромагнитной энергии.
Именно
(
)
u (− 0, t ) = ε 0εE02 1 + R 2 / 2 ,
(
)
u (+ 0, t ) = u (d − 0, t ) = ε 0ε1 E1+ + E1− / 2 ,
2
2
u (d + 0, t ) = ε 0εE02T 2 / 2 .
В нашем случае единственная z-компонента плотности потока
импульса совпадает с плотностью энергии u [33]. Поскольку сторонних
источников нет, одна из форм уравнения баланса должно иметь вид
∂ z u + ∂ t g = − f L , где f L = f L + f Le + f Lm – полная сила Лоренца, действующая на
токи поляризации среды, включая и ток проводимости. Здесь пока вид
плотности импульса g мы не конкретизируем. Поскольку эта сила передает
импульс веществу, ее следует включить в производную плотности импульса
54
∂ t g СПВ [71], если в правой части баланса имеется сторонняя сила − f inL ,
соответствующая сторонним токам, создающим поле и импульс СПВ. Сила
f inL передает импульс сторонним источникам. Его в балансе обычно не
учитывают (хотя он должен быть учтен в полном балансе), поскольку, как
правило, рассматривают уже созданные свободные поля в среде. В этом
случае для прозрачной среды получается импульс по Минковскому, а для
проводящей диспергирующей среды имеем g M = DB , где индукция D
определена с учетом зависимости диэлектрической проницаемости от
проводимости, (а в общем случае с учетом запаздывания поляризации от
воздействия поля). Во всех этих случаях энергия поля переносится со
скоростями, близкими к фазовой скорости ω / β [67–71], которая всегда
меньше c . Нетрудно проверить, что в соответствие с уравнением баланса
величина (63) может быть представлена так:
u (− 0, t ) − u (+ 0, t ) + u (d − 0, t ) − u (d + 0, t ) = u (− 0, t ) − u (d + 0, t ) .
Для полубесконечной прозрачной пластины
(64)
u (+ 0, t ) = ε 0ε1E02T 2 / 2 , причем
T 2 = 1 − R 2 . При ε1 → ∞ имеем R → 1 , ψ → π . На такую пластину, как и на
однородную прозрачную среду, сила Лоренца не действует, как не действует
и сила Абрагама, поскольку α = 0 , ϕ = 0 и производная по времени одного из
полей находится в квадратуре другого и наоборот. Внутри пластины
плотность силы осциллирует, а ее среднее значение за период равно нулю.
Поэтому давление на нее равно ε 0εE02 , т.е. такое же, как для идеальной
металлической пластины. Нетрудно видеть, что указанное давление
соответствует определению импульса по Минковскому, что согласуется и с
опытами по давлению света на зеркало, помещенное в прозрачную среду и на
малые частицы в веществе [97–98].
Рассмотрим вопрос о давлении поля плоской волны на проводящую
пластину. Если σ = ∞ , то поле в пластине отсутствует, и ее можно считать
~
бесконечно тонкой. В этом случае R = −1 и по пластине течет поверхностный
55
ток J x = 2 H 0δ (z ) = 2 E0δ (z ) / ρ 0 . Слева на пластине имеем магнитное поле
2 H 0 cos(ωt ) , а справа оно равно нулю. Для определения давления следует взять
среднюю
µ0 µH 0 cos(ωt ) ,
индукцию
p = 2 µ0 µE02 cos 2 (ωt ) / (Z 0 ρ 0 ) = 2ε 0εE02 cos 2 (ωt ) .
2
что
дает
p = ε 0εE02 ,
Соответственно
что
согласуется с опытными данными по давлению и с законом сохранения
импульса по Минковскому, поскольку скорость переноса энергии и импульса
равна c / εµ .
Для общего случая конечной проводимости и толщины пластины
следует учитывать полную силу Лоренца f L = f L + f Le + f Lm и определять
давление двумя способами: за счет действия сил Лоренца p(t ) = pL (t ) , и за счет
разности плотности энергии слева и справа от пластины p(t ) = pu (t ) , где
pu (t ) = u (0, t ) − u (d , t ) и
d
[
]
p L (t ) = pL (t ) + pLe (t ) + pLm (t ) = ∫ f L ( z , t ) + f Le ( z , t ) + f Lm ( z , t ) dz .
(65)
0
Естественно, оба определения должны совпадать. Далее для простоты будем
вычислять средние значения. Тогда
d
pL (t ) = ∫ f L ( z , t ) dz =
0
[
]
2
µ0 µ1σ cos(ϕ ) + 2
E1 (1 − exp(− 2αd )) − E1− (exp(2αd ) − 1) ,
4 Z 0 ρ1α
d
pLe (t ) = ∫ f Le ( z , t ) dz = A
0
ωµ0 µ1ε 0 (ε1 − ε )
,
4 Z 0 ρ1
d
pLm (t ) = ∫ f Lm ( z , t ) dz = − A
0
(67)
ωε 0ε1µ0 (µ1 − µ )
,
4 Z 0 ρ1
(
(66)
(68)
)
pu (t ) = ε 0εE02 1 + R 2 − T 2 / 2 ,
(69)
где введена величина
A=
−
sin (ϕ )
α
2 E1+ E1− sin (β d )
(E
+2
1
β
(
)
sin ϕ + − ϕ − − ϕ − β d −
(1 − exp(− 2αd )) + E (exp(2αd ) − 1)).
.
(70)
−2
1
56
Видно, что тривиальный случай p(t ) = 0 при d = 0 выполняется. Однако в
общем случае pu (t ) ≠ p L (t ) . Это соотношение выполняется, если в pL (t ) и
pLe (t ) положить µ1 = µ , а в
среде. Тогда
pLm (t ) положить ε1 = ε , т.е. взять все индукции в
p(t ) = pu (t ) = p L (t ) .
Этот факт будет объяснен ниже.
Соответствующие проверки весьма громоздки, поэтому не приводятся.
Для упрощения рассмотрим предельный случай αd → ∞ дифракции
плоской волны на полубесконечной пластине, частными видами которого
являются пределы d → ∞ или σ → ∞ . Тогда в пластине нет обратной волны, и
мы
имеем
такой
ряд
~
~
~
соотношений: tan (γ~d ) → − j , ρ~ → ρ~1 , R → (ρ~1 − ρ0 ) / (ρ~1 + ρ0 ) , T → 0 , E1− → 0 , причем
E1− exp(2αd ) → 0 . Из них следует следующий набор соотношений:
2
A = − sin (ϕ )E1+ / α , ϕ + = ϕ − arctan(ρ1 sin (ϕ ) / (ρ1 cos(ϕ ) + ρ 0 )) , ϕ − = 0 ,
2
E1+ = 2E0 ρ1 / 

(ρ1 cos(ϕ ) + ρ0 )2 + ρ12 sin 2 (ϕ )  ,
(71)

pL (t ) =
µ0 µσ cos(ϕ ) + 2
E1 ,
4Z 0 ρ1α
pLe (t ) = − sin (ϕ )
ωε 0 µ0 µ (ε1 − ε ) + 2
E1 ,
4Z 0 ρ1α
pLm (t ) = sin (ϕ )
(72)
ωε 0 µ0ε (µ1 − µ ) + 2
E1 ,
4 Z 0 ρ1α
( )
− 2ρ ρ cos(ϕ ))/ (ρ + ρ + 2ρ ρ
p (t ) = ε εE (1 + R )/ 2 ,
pu (t ) = ε 0εE02 1 + R 2 / 2 ,
R 2 = (ρ12 + ρ02
1
u
2
1
0
0
2
0
2
0
1 0
cos(ϕ )) .
(73)
2

k0 
ε 0 E02 ρ1
µσ
p (t ) = 2
+ sin (ϕ )(εµ1 − ε1µ ) .
cos(ϕ )
2
ρ1 + ρ 0 + 2 ρ1ρ 0 cos(ϕ ) α 
ωε 0

L
(74)
Здесь на индукции в силах Лоренца наложены вышеуказанные условия. Для
соотношений (71)–(74) в общем случае имеет место
p L (t ) = pu (t ) = p L (t ) .
Сначала мы для простоты проверим это для двух предельных случаев. Пусть
σ
стремится
к
нулю,
но
так,
что
αd → ∞ .
Тогда
ς ≈ 1,
ϕ ≈ 0,
57
R = (ρ 0 − ρ1 ) / (ρ 0 + ρ1 ) ,
α / σ = Z 0 ρ1 / 2 .
E1+ = 4 E02 ρ1 / (ρ1 + ρ 0 ) ,
2
Полный
(
2
передаваемый
p L (t ) = ε 0εE02 1 − 2 ρ1 / (ρ1 + ρ 0 )
2
2
)
R 2 + E1+ = 1 ,
пластине
pu (t ) .
и равен
sin (ϕ ) = α / β ,
2
2
импульс
здесь
есть
Если пластина идеально
согласована ( ρ1 = ρ0 ), то давление в два раза меньше, чем для идеально
отражающей пластины ( ρ1 = 0 ). Известно, что давление света на идеально
отражающее зеркало в два раза больше, чем на идеально поглощающую
поверхность. Такой поверхности соответствует T = 0 , поскольку поля за ней
нет. Поглощение обычно происходит на небольшой длине (порядка
нескольких длин волн) из-за запаздывая поляризации (при этом угол ϕ мал),
а не за счет передачи импульса электронам проводимости. Для радиоволн
такие поглощающие (stealth) покрытия основаны на условиях ε~1 = µ~1 , ε~1 >> 1
при наличии дисперсии проницаемостей. Естественно, строго нулевой
коэффициент отражения получить нельзя, но он может быть очень близок к
нулю, при этом из-за малой длины волны дополнительное согласование
обеспечивает шероховатая (матовая) поверхность.
Пусть теперь проводимость большая, но конечная, а d → ∞ . Тогда
~
ς >> 1 , ϕ ≈ π / 4 , R = (ρ 0 − ρ~1 ) / (ρ0 + ρ~1 ) ,
α / σ = Z 0 ρ1 / 2 . Здесь величина
2
(
)
2
E1+ = 4 E02 ρ1 / ρ 02 + ρ12 + 2 ρ 0 ρ1 , R 2 + E1+ = 1 ,
2
ρ~1 = (1 + j ) ωε 0 µ1 / (2σ )
мала по модулю и
выступает в роли нормированного поверхностного импеданса. В этом случае
также
p L (t ) = pu (t )
(
и
полный
передаваемый
импульс
есть
)
ε 0εE02 (1 + R 2 )/ 2 ≈ ε 0εE02 1 − 2 ρ1 / ρ 0 . Рассмотренный выше случай бесконечной
проводимости получается отсюда при ρ1 = 0 . Наконец, можно рассмотреть
еще случай конечной толщины d в пределе σ → ∞ и ω → ∞ но при условии,
что отношение σ / ω остается постоянным. Тогда поверхностный импеданс
~
Z s = Z 0 ρ1 exp( jϕ ) , где ϕ = arctan(σ / (ωε 0ε1 )) / 2 , конечен и не обязательно мал, а
бесконечна электрическая толщина
sin (ϕ ) =
βd .
Поскольку
cos(ϕ ) =
(ς + 1) / (2ς ) ,
(ς − 1) / (2ς ) , то в общем случае имеем
58
(
p L (t ) = pu (t ) = ε 0εE02 1 − 2 ρ1ρ 0
(ς + 1) / (2ς ) / (ρ12 + ρ02 + 2 ρ1ρ0 (ς + 1) / (2ς ) )) .
Из этой формулы следуют оба вышеприведенных примера. Предполагая
σ → 0 и ω → ∞ , в рамках использованной модели следует полагать ω p → ∞ и
ωc → ∞ . В общем случае, особенно для оптического диапазона, необходим
учет дисперсии проводимости и диэлектрических проницаемостей. Если
немагнитная пластина находится в вакууме,
при большой проводимости
получаем результат [1].
2. Анализ балансных соотношений
Попытаемся интерпретировать приведенные результаты. Используя
уравнения Максвелла (68) и известные подходы [47], запишем два закона
сохранения:
(
)
∂ z (EH ) = −∂ t ε 0ε 1E 2 + µ0 µ1H 2 / 2 − σE 2 ,
(
(75)
)
∂ z µ0 µ1 H 2 + ε 0ε1 E 2 / 2 + ∂ t (ε 0ε 1µ0 µ1HE ) = −σEµ0 µ1H .
(76)
Первое соотношение – закон сохранения энергии, а второе – закон
сохранения импульса. Их компактно можно записать так: ∂ z S z + ∂ t u = −σE 2 ,
∂ z u + ∂ t g M = − f L , где
D = ε 0ε 1E ,
балансное
B = µ0 µ1H ,
g M = DB
– плотность импульса по Минковскому,
f L = σEB . Обозначим
уравнение
для
D = D + σ∂ t−1E ,
импульса
еще
g M = D B . Тогда
записывается
∂ z u + ∂ t g M = σ∂ t−1E∂ t B . Записывая первое уравнение (58) через
D
так:
в виде
∂ z H = −∂ t D , придем к такому балансу: ∂ z u + ∂ t g M = 0 , где ∂ z u = B∂ z H + D ∂ z E .
Таким образом, плотность потока u импульса g M здесь определяется как
решение дифференциального уравнения, в котором индукция D в общем
нестационарном случае нелокально (интегрально) связана с полем E .
Уравнение
баланса
можно
записать
и
так:
∂ zu + ∂t g = 0 ,
где
g = DB + σ∂ t−1 (EB ) . Оно, по сути, также есть закон сохранения плотности
импульса g в отсутствие сторонних источников, создающих поле. Плотность
энергии u здесь означает плотность потока z-компоненты импульса. Встает
59
вопрос: какую из плотностей g M или g следует использовать в проводящей
среде?
Рассмотрим силы, действующие на среду пластины. Для этого
уравнения (58) запишем в эквивалентном виде
∂ z H + ε 0ε∂ t E = −ε 0 (ε1 − ε )∂ t E − σE ,
∂ z E + µ0 µ∂ t H = − µ0 (µ1 − µ )∂ t H .
(77)
Уравнения (77) выражают принцип вторичных источников, заключающийся
в том, что пластина конечного размера d может быть учтена как действие
дополнительных токов поляризации J pe и J pm в бесконечной однородной
среде с параметрами ε , µ . Уравнение баланса импульса для формы
уравнений Максвелла (77) получим, умножая первое уравнение на B = µ0 µH ,
второе – на D = ε 0εE и складывая:
∂ z u0 + ∂ t (DB ) = − f L = − f L − f Le − f Lm .
Здесь
u0 = (ε 0εE 2 + µ0 µH 2 )/ 2 ,
бесконечной
среде,
т.е.
(78)
а все переменные и силы соответствуют
при
определении
сил
следует
брать
для
проницаемостей значения ε и µ . Теперь понятно, почему в силе Лоренца f L
(66) в этом случае и в соотношении (67), следует полагать µ1 = µ , а в (68)
соответственно ε1 = ε . При этом для плотности потока надо использовать u0 .
Впервые члены типа (67), (68) введены в работе [82]. Затем последовала
дискуссия, брать ли в соответствующих выражениях индукции, или поля. Эта
дискуссия хорошо описана в работе [114]. Вводя плотность g 0 = DB + ∂ t−1 f L ,
получаем закон ее сохранения ∂ z u0 + ∂ t g 0 = 0 . Следовательно, из локальных
законов сохранения однозначно нельзя определить, какая из величин: g M ,
g M , g или g 0 есть “правильная” плотность импульса для проводящей среды
(ясно только, что это не есть плотность Абрагама). Это связано с тем, что
однозначно нельзя разделить дивергенцию плотности потока и производную
по времени от плотности: добавляя что-то к величине ∂ t g , мы тем самым,
вычитаем это из ∂ z u (аналогичные рассуждения по поводу разбиения суммы
сил
(пондеромоторных и сил, связанных с плотностью импульса по
60
Минковскому и Абрагаму) на части можно посмотреть в работах Обухова
[59,133,139]. Но силу, действующую на пластину, определить можно.
Соответственно определяется и глобальный баланс импульса. Если в
качестве среды взять вакуум ( ε = µ = 1 ), получим уравнение ∂ zu0 + ∂ t g A = − f L ,
где все силы и величины определены в вакууме, а g A = EH / c 2 – импульс по
Абрагаму. Таким образом, на пластину в вакууме действует давление
p(t ) = u0 (0, t ) − u0 (d , t ) , которое эквивалентно передаваемому в секунду элементу
пластины импульсу, т.е. величине
∫ [∂ g (z, t ) + f (z, t )]dz .
d
A
L
t
В силу того, что
0
∂ t g A = 0 , импульс пластине передает только сила Лоренца, а плотность
импульса в ней есть g 0 = g A + ∂ t−1 f L . Если ε1 = µ1 = 1 , то f L = f L и мы имеем
плазменный слой в вакууме (при условии ω << ωc ). Его плотность импульса
есть g 0 = g A + σµ0∂ t−1 (EH ) . Ясно, что добавка к импульсу Абрагама здесь есть
t
импульс, переданный плазме: σµ0 ∫ E (z, t ′)H (z, t ′)dt ′ (считаем, что поле возникло
0
при t = 0 ). Теперь ясно, почему в [1] при определении силы Лоренца
положено µ1 = 1 . В этом контексте для пластины представляется более
удачным определение g = DB + σ∂ t−1 (EB ) (соответственно для прозрачной среды
g = DB = g M ).
Ясно
также,
что
строгое
рассмотрение
требует
учета
нестационарности и временной дисперсии, т.е. нелокальных связей D, B c E и
H.
Правильным
в
g M = c −2 µ1H (ε1E + (σ / ε 0 )∂ t−1E ) .
этом
Для
случае
прозрачной
является
среды
определение
также
gM = gM .
Проводимости в диспергирующей среде может не быть, и тогда g M = DB , где
индукции интегрально связаны с полями.
5.3. Анализ скоростей переноса
Рассмотрим плоскую волну (69) в бесконечной среде, соответствующей
среде пластины. Следует положить E1− = 0 , H1− = 0 . Тогда имеем
61
[ (
)
)]
(
D = ε 0ε 1E1+ cos ωt − β z + ϕ + + σ / (ωε 0ε1 )sin ωt − β z + ϕ + exp(− αz ) ,
E 2 ( z, t ) = E1+ exp(− 2αz ) / 2 , H 2 ( z , t ) = H1+ exp(− 2αz ) / 2 ,
2
2
S z = E (z , t )H ( z , t ) = E1+ cos(ϕ )exp(− 2αz ) / (2 Z 0 ρ1 ) ,
2
u = u = ε 0ε 1 (1 + ς )E1+ exp(− 2αz ) / 4 ,
2
(
)
u0 = ε 0εE1+ 1 + (µ / ε ) ςε1 / µ1 exp(− 2αz ) / 4 ,
2
σ∂ t−1 (EB ) = c −1ε 0ε1 ςε1µ1 E1+ (πσ / (ωε 0ε1 ))exp(− 2αz ) / 2 ,
2
∂ t−1 (EH ) = E1+ cos(ϕ )π / (2Z 0 ρ1ω ) .
2
g
M
=
ε 0ε 1 ςε1µ1 E1+
2
2c
g
=
M
[cos(ϕ ) + σ / (ωε 0ε1 )sin (ϕ )]exp(− 2αz ) ,
ε 0ε1 ςε1µ1 E1+
2c
2
cos(ϕ ) exp(− 2αz ) ,
2
g
g =
g
0
=
ε 0 E1+
A
ε ε ς E1+
= 0 1
cos(ϕ ) exp(− 2αz )
2c ε 1µ1
ε 0ε1 ςε1µ1 E1+
2c
2
[cos(ϕ ) + (πσ / (ωε 0ε1 ))]exp(− 2αz ) ,
2
ςε1
{εµ cos(ϕ ) + π [cos(ϕ )µσ / (ωε 0 ) + sin (ϕ )(εµ1 − µε1 )]}exp(− 2αz ) .
2c µ1 ρ1
Получим скорости движений в такой волне: фазовую скорость v p = ω / β ,
скорость переноса энергии ve и импульса vm . Далее найдем приближения при
большой и малой проводимости. Согласно концепции Н.А.Умова скорость
переноса энергии плоской волной в бесконечной пластине есть
ve = S z / u = c cos(ϕ )
2 ς
≈ c 2ωε 0 / µ1σ ≈ v p .
ε1µ1 (1 + ς )
(79)
Для скорости переноса импульса vm можно написать несколько соотношений:
vm = u / g M = c
vm = u / g = c
2
(1 + ς )
≈
ςε1µ1 [cos(ϕ ) + σ / (ωε 0ε1 )sin (ϕ )]
2 cos(ϕ )
v
c
= p,
2σµ1 / (ωε 0 ) 2
v
c
ε1 (1 + ς )
≈
≈ p ,
µ1ε1ς (ε1 + σπ / (ωε 0 )) π 2 µ1σ / (ωε 0 ) 2π
(80)
(81)
62
vm = u0 / g 0 =
(
)
c εµ1 + µ ςε1µ1
≈
2ςε1{εµ cos(ϕ ) + π [cos(ϕ )µσ / (ωε 0 ) + sin (ϕ )(εµ1 − µε1 )]}
≈
c µ1 / ε1
π 2ε1 [σ / (ωε 0ε1 )]2
vm = u0 / g A = c
(ε
,
) (
)
µ1 / ε1 + µ
ε µ1 / ε1 + µ
,
≈c
2 cos(ϕ )
2
(83)
ε1µ1 (1 + ς )
≈ c ςε 1µ1 / 2 ,
2 ς cos(ϕ )
vm = u / g A = c
vm = u / g M = c
(82)
(1 + ς )
2 ςε1µ1 cos(ϕ )
≈c
(84)
ς
.
2ε 1µ1
(85)
Эти формулы могут представлять “правила отбора” (термин из [63]). Именно,
g A и g M не годятся, т.к. могут приводить к значениям vm > c и стремящимся к
бесконечности при σ → ∞ . Формула (82) в этом случае дает очень низкую
скорость, но при σ → 0 может превышать c. Формулы (79)–(81) при σ = 0
дают vm = c / µ1ε 1 , поскольку ς = 1 , ϕ = 0 , однако плотность g M представляется
более правильной. Результат (80) ясен из следующих рассуждений. При
высокой проводимости α ≈ β . Квадратичные величины имеют множитель
exp(− 2αz ) ,
а
также
зависимость
от
величины
− 2βz
под
знаком
тригонометрических функций. Поэтому ∂ z u ≈ −2α u . Также ∂ t g M = ω g M .
В
силу
уравнения
баланса
∂ zu + ∂t g M = 0
имеем
vm = u / g M ≈ ω / (2α ) .
Физический смысл здесь таков. Из-за сдвига фаз π / 4 часть импульса поля
ω g M = 2α u в секунду передается с помощью силы Лоренца среде, которая
остается неподвижной. Переносят импульс только квазифотоны поля с
фазовой скоростью, а результирующий эффект есть v p / 2 . Энергия тоже
переносится
квазифотонами
с
фазовой
скоростью,
но
при
этом
диссипированная энергия (тепло) не учитывается в полной ее плотности,
поэтому получается фазовая скорость ее переноса. Заметим, что при
воздействии поля на отдельный атом следует исходить из микроскопической
электродинамики и рассматривать не квазифотоны, а фотоны.
63
5.4. Выводы
Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы.
Давление плоской монохроматической волны на пластины (проводящую и
прозрачную), расположенные в среде или в вакууме, определяется разностью
средних за период плотностей энергии перед каждой из пластин и за ней и
всегда направлено в сторону движения энергии. Если пластина полностью
поглощает вошедшую в нее волну, указанное давление определяется
плотностью энергии перед ней. Это давление также полностью определяется
действием сил Лоренца с учетом того, что индукции в них следует
определять как в среде, т.е. опуская соответствующие индексы 1 в (9)–(11).
Поскольку плотность энергии в среде выше, чем в вакууме, давление в среде
больше, чем в вакууме, что согласуется с экспериментом. Это соответствует
большей плотности квазифотонов (поляритонов) в среде по сравнению с
вакуумом. При вхождении квазистационарного цуга в оптически более
плотную среду увеличение плотности происходит за счет замедления. При
микроскопическом описании атомы вещества поглощают и испускают
(рассеивают) фотоны, как имеется и рассеяние фотонов на плазме свободных
электроной. Макроскопическому же описанию соответствует введение
квазичастиц. Для плотности импульса системы поле плюс неподвижное
вещество (прозрачная однородная недиспергирующая среда) правильной
является форма Минковского. Скорость переноса импульса выступает здесь в
качестве правила отбора. Плотность импульса Абрагама не зависит от
свойств среды и является плотностью импульса поля в вакууме. Для
прозрачной среды ∂ t g M = ∂ t g A + f A и, кроме того, ∂ t g M = ∂ t g A = 0 ,
f
A
=0
поскольку фазовый сдвиг ϕ = 0 . Поэтому добавление силы Абрагама к
величине ∂ t g A дает правильный закон сохранения, но это закон сохранения
импульса по Минковскому! Против силы Абрагама говорит и тот факт, что
она постулируется, и даже для проводящей пластины f A = 0 . Кроме того, не
64
совсем ясно, как вводить эту силу для проводящей пластины в среде, а тем
более в общем случае для диспергирующих сред, тогда как для силы Лоренца
такой вопрос не стоит. Единственно, что здесь изменяется, это
fL
необходимость
использования
строго
нестационарного
подхода
с
нелокальными связями индукций с полями. Кроме того, эти силы появляются
как результат получения балансного уравнения (закона сохранения импульса)
из уравнений Максвелла и материальных уравнений. Если материальные
уравнения правильно описывают среду, они в некотором роде (в среднем по
физически бесконечно малому объему) эквивалентны уравнениям движения
частиц в поле. В работах [65–66] сообщается об измерении силы Абрагама. В
этих работах определяются крутильные колебания диска из титаната бария
µ ~ 1)
( ε ~ 3620 ,
в
постоянном
магнитном
поле
и
низкочастотном
электрическом поле с частотой 0.4 Гц. Фактически там измерена сила
f Le = ωc −2 (ε − 1)HE0 cos(ωt ) ,
Лоренца
где
E0
-
амплитуда
электрических
колебаний E0 sin (ωt ) . Множитель перед произведением HE0 в этом случае
имеет порядок 0.303 ⋅ 10−4 с/м2. После публикации этих результатов появилась
дискуссия по поводу правильности их интерпретации. В диспергирующем
веществе имеется сдвиг фаз между полями плоской волны, поэтому средние
∂t g M ,
значения
∂t g A
и
fL
не равны нулю. Однако
f
A
= 0 из-за
симметричного вхождения в нее полей, т.е. сила Абрагама (если она
существует)
существенна только в нестационарном случае. Если для
определения переданного в секунду импульса расположенной в вакууме
пластине пользоваться величиной
∂ t g A , то для получения правильного
результата следует добавлять плотность
f
A
f L , а не постулированную силу
. При этом надо учитывать дополнительное слагаемое ∂ z (u − u0 ) ,
связанное с изменением плотности энергии в пластине по сравнению с
вакуумом.
Плотность
(
)
импульса
тогда
необходимо
определять
так:
g = g A + ∂ t−1 f L + ∂ z (u − u0 ) . Правильный результат дает и плотность ∂ t g M , где
65
g M = DB , а индукция D определена с учетом нелокальных (интегральных)
связей типа D(t ) = ε 0∂ t−1[ε (t − t ′)E (t ′)]. При рассмотрении мы не учли тепловое
излучение. Можно ужесточить модель, положив температуру равной нулю.
Однако при постоянной температуре однородности теплового давления на
плоскую пластину нет.
В нестационарном трехмерном случае в силу закона сохранения
r r
r r
r r
импульса величина g (r , t ) = D(r , t ) × B(r , t ) есть плотность импульса в среде, а
тензор плотности его потока Σ̂ λv определяется из уравнения ∂ λ Σˆ νλ = Cν ,
ν , λ = x, y, z , где вектор с компонентами Cν определен соотношением [71]
r r
r r
r r
r r
r r
C (r , t ) = B(r , t ) × ∇ × H (r , t ) + D(r , t ) × ∇ × E (r , t ) .
(86)
Во всех случаях векторы индукций зависят от предыстории процесса
создания электромагнитного поля и определяются интегральными связями с
полями. Соответственно поле до некоторого момента (скажем, t = 0 )
отсутствовало, а затем возникают сторонние источники, его создающие. Без
ограничения общности можно считать, что вначале импульс у вещества
r
также отсутствовал, т.е. g = 0 , u = 0 (с точностью до энергии покоя вещества)
r
при t < 0 . В процессе создания поля вещество приобретает импульс, и в g и
Σ̂ λv следует добавлять соответствующие величины для вещества (см. [71]),
чем мы пренебрегли. В частности, в нашем случае отсутствия переноса
энергии вещества вектор Пойнтинга играет роль плотности потока энергии
СПВ. При пространственной дисперсии возникает добавочный вектор [30]. В
рассмотренных средах нет запасенной кинетической энергии частиц,
обусловленной полем. Для неподвижной плазмы такой учет в u уже
необходим [28], что дает правильный результат для скорости переноса
энергии
[39,70].
Для
получения
правильного
результата
в
монохроматическом случае можно использовать предельный переход,
отодвигая начальный момент далеко в прошлое [39].
Получающийся в общем случае ТЭИ для СПВ несимметричный. В ряде
работ требование симметричности ТЭИ для СПВ выдвигается как
66
необходимое условие его правильности, при этом обычно ссылаются на курс
Ландау-Лифшица [147]. Это требование связано с тем, что тензор момента
импульса (углового момента) должен получаться из ТЭМ по законам
механики. Однако в [147] это требование выдвигается для свободного
электромагнитного поля в вакууме, которое является замкнутой системой. В
нашем нестационарном случае СПВ незамкнутая. Например, радар,
излучающий волновой пакет (цуг) и, следовательно, импульс поля, получает
импульс отдачи (который мы не учитываем в балансе), а если имеет место
сканирование, то и момент импульса. Точно также излучающий фотон атом
(как сторонний источник поля) получает импульс отдачи и, возможно,
момент импульса. ТЭИ излученного радаром в атмосферу и ионосферу поля
вместе с их веществом в силу незамкнутости не обязан быть симметричным.
При
рассмотрении
расположены
на
плоской
электромагнитной
бесконечности,
т.е.
вне
волны
объема,
ее
для
источники
которого
рассматривается баланс. Формально такую волну можно возбудить и
r
r
плоскостью тока J (z , t ) = x0δ (z + l )I sin (ωt ) , расположенной при z = −l , т.е. на
расстоянии l от пластины. Если пластина идеально согласована, отраженной
от нее волны нет, и стороннему источнику импульс не передается, поскольку
нет взаимодействия отраженной волны с ним. Это имеет место и в
однородной среде (т.к. источник излучает равные плотности в направлениях
± z ), а также при l → ∞ и наличии бесконечно малых потерь в среде. В
нестационарном случае источник к моменту рассмотрения баланса может
исчезнуть, или же он отсутствует в рассматриваемом объеме. Соответственно
поле отсутствовало до момента его вхождения в объем, для которого
рассматривается баланс. Определяемый так ТЭИ для вещества в объеме не
является симметричным, однако баланс импульса в форме Минковского (с
учетом сделанных замечаний) имеет место для любого момента времени.
В работе [64] также проведено рассмотрение сил, действующих на
среду, и возможности определения ТЭИ на основе них и требования
67
удовлетворения принципам электродинамики движущихся сред, при этом
опять пренебрегая дисперсией. Кроме того, рассмотрение в [64] основано на
нестационарном
движении
прозрачно, а также
вещества
(среды),
весьма
громоздко,
не
требует ряда подгоночных предположений. Как
утверждают авторы [64], введя нестационарно движущуюся среду, им
удалось снять неопределенность в выборе ТЭИ для покоящейся среды,
высказанную в [49]. Заметим, что Гинзбург и Угаров считали ТЭИ Абрагама
и Минковского эквивалентными (при добавлении силы Абрагама), хотя
отдавали предпочтение первому. Имеется много работ с противоположным
мнением. Предложенный в настоящей работе подход для покоящейся среды
представляется более простым и однозначно свидетельствующим в пользу
Минковского. Кроме того, он обобщает импульс по Минковскому.
По
поводу
рассмотрения
движущихся
сред
следует
заметить
следующее. Хотя предположение о существовании бесконечного числа
инерциальных
систем
отсчета
имеет место
быть, реально выбрать
инерциальную (лабораторную) систему отсчета, связанную с конкретным
веществом (например, равномерно движущуюся относительно некоторой
среды), нельзя. Так, Земля вращается вокруг своей оси, центра масс ЗемляЛуна и центра массы солнечной системы. Та вращается в нашей Галактике,
галактики движутся ускоренно (концепция вращающейся и расширяющейся
Вселенной) и т.п. Вещество и энергия поля искривляют пространство.
Взаимодействие сильной волны ( E ~ 1016 В/м) с физическим вакуумом может
приводить к рождению пар частица-античастица (эффект Швингера) и
образовывать электрон-позитронную плазму, т.е. вид ТЭИ поля в вакууме
зависит от амплитуды даже при микроскопическом рассмотрении. При
макроскопическом
рассмотрении
нелинейные
свойства
вещества
проявляются куда при более слабых и реально достижимых полях, а их учет
реально провести только при нестационарном подходе. Релятивистки
ковариантный вид уравнений Максвелла уже во вращающейся системе
координат очень сложен. Даже в рассмотренном нами случае поле, вообще
68
говоря, ускоряет и разогревает вещество. Частицы вещества переносят
энергию и импульс, и соответствующие им вклады надо учитывать, как и
учитывать нестационарное тепловое излучение. Так, вектор Пойнтинга
соответствует плотности потока энергии поля и должен быть дополнен
плотностью потока кинетической энергии частиц. В плотности энергии
кроме энергии поля и кинетической энергии частиц следует учитывать
энергию взаимодействия поля и вещества. Разделить плотность энергии поля
и вещества, используя балансные соотношения и материальные уравнения, в
общем случае нельзя, а для импульса это сделать можно [71]. Необходимо
требовать однозначности ТЭИ. В микроскопической электродинамике с
решением уравнений движения это выполняются. В нашем случае он тоже
однозначен, поскольку определяется через вычисление интегралов и из
решения дифференциальных уравнений с начальными условиями. Однако до
момента создания поля в веществе могут циркулировать вихри, создающие
ненулевой момент импульса, но не переносящие импульс. Поэтому тензор
момента импульса СПВ не полностью определяется через ТЭИ.
Как же разрешить парадокс Абрагама-Минковского? Ясно, что ТЭИ
Абрагама
соответствует
свободному
линейному
классическому
электромагнитному полю в вакууме. Он прост и симметричен, что и
определило его притягательность. Законы сохранения с его применением
ν
имеют вид ∂ν Tˆ Aλ = 0 . Для СПВ один он непригоден и требует введения
дополнительных величин типа силы Абрагама, чтобы удовлетворить законам
сохранения. Он также непригоден для сверхсильных полей, порождающих
вещество
и
изменяющих
пространство-время.
ТЭИ
Минковского
соответствует СПВ при отсутствии дисперсии и движения вещества. Он
ν
удовлетворяет уравнению ∂ν Tˆ M λ = 0 в среде без источников. В случае
нестационарного переноса диспергирующего вещества и нестационарного
поля ТЭИ весьма сложен и требует решения кинетического уравнения с
учетом разогрева вещества и его нестационарного теплового излучения. Он
69
может быть определен и с учетом энергии (отрицательной) и импульса,
который получают источники. Тогда наложение условия симметрии
обосновано. Сам по себе вид ТЭИ не важен и является величиной
вспомогательной. Важны плотности энергии и импульса, их законы
сохранения и скорости переноса, а также силы, действующие на вещество.
По поводу последних следует заметить, что для монохроматической волны
наряду
со
средней
за
период
компонентой
имеется
компонента,
осциллирующая с частотой 2ω . Такие осциллирующие силы имеют место в
силу того, что плотность энергии волны в некой точке выражается через
квадраты косинусов. Формально и скорости переноса можно определять в
каждой точке в любой момент. Так, например, для переноса энергии плоской
волной в проводящей среде получаем
ve ( z , t ) =
[
(
)]
2c cos(ϕ ) + cos 2ωt − 2 β z − ϕ + 2ϕ + / ε1µ1
[(1 + ς ) + cos(2ωt − 2βz + 2ϕ )]/
+
ς + ς cos(2ωt − 2 βz − 2ϕ + 2ϕ + )
,
где обозначено ς = 1 + σ 2 / (ωε 0ε1 )2 . При σ = 0 ς = 1 , и ve (z, t ) = c / ε1µ1 = v p .
Однако
в
пределе
σ →∞
ve ( z , t ) = (ω / β )(1 + cos(Φ ) / (1 + sin (Φ )))
и
эта
формула
принимает
имеет
значения
вид
± ∞ при
Φ = 2ωt − 2βz + 2ϕ + = (4m − 1)π / 2 , что приводит к необходимости усреднения. Это
связано с тем, что плотность энергии в такой волне сосредоточена в
магнитном поле и может принимать нулевые значения при ненулевой
плотности
ее
потока,
что
говорит
о
некоторой
ограниченности
рассмотренной модели дисперсиии в пользу отхода от одночастотности
(перехода к нестационарному определению свободной энергии полевещество с учетом кинетики). В некотором роде примененный в [39,72]
подход сродни теории возбуждения объема. При этом возможно как
макроскопическое рассмотрение с решением уравнений возбуждения и
учетом материальных уравнений среды, так и микроскопическое с
самосогласованным решением уравнений движения частиц и возбуждением
полого
объема.
Подобные
численные
нестационарные
подходы
70
применяются, например, в электронике СВЧ и при моделировании плазмы.
Достоинством нестационарности является однозначность определения всех
величин. К чему приводит пренебрежение нестационарностью и дисперсией
показывают абсурдные выводы работ [144–145] об отрицательном давлении
и о том, что ”излучатель в среде с отрицательным преломлением не теряет
массу, а приобретает ее”. Часть ошибок [145] аналогична [48], а другая
зиждется
на
пренебрежении
дисперсией
(как
временной,
так
и
пространственной) и абсолютизации групповой скорости, однако их разбор
есть предмет отдельной работы.
71
6. О ВОЗМОЖНОСТИ ВВЕДЕНИЯ ТЕНЗОРА ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА
В ДИСПЕРГИРУЮЩЕЙ СРЕДЕ
Получены общие представления плотностей энергии и импульса в
нестационарном случае, а также для монохроматического поля для ряда
законов дисперсии, включая и случай дисперсии, определяемой только током
проводимости. Показано, что в этом случае энергия плоской волной
переносятся с фазовой скоростью, которая меньше скорости света c в
вакууме, а импульс – с половинной фазовой скоростью, тогда как групповая
скорость может превышать скорость света. Это же относится и к дисперсии,
определяемой формулой Дебая. В общем случае ни фазовая, ни групповая
скорости не определяют перенос энергии в монохроматической волне.
Рассмотрено несколько форм представления плотности импульса и показано,
что форма Минковского в рассмотренном случае предпочтительнее, чем
форма Абрагама. Для формы Минковского доказан глобальный закон
сохранения импульса при дифракции плоской квазимонохроматической
волны на прозрачной и проводящей пластинах. Результат для скорости
переноса энергии получен несколькими способами, в частности использован
закон дисперсии для газа осцилляторов. Выводы обобщаются и при наличии
нескольких резонансных частот осцилляторов, а также и для наличия
внутреннего поля. Существенным здесь является подсчет поляризуемости с
использованием уравнения движения частиц, которое имеет первый порядок.
В этом случае потенциальная энергия в веществе не накапливается, а его
собственные колебания (кинетическая энергия) отсутствуют. Приведенные
результаты могут быть обобщены для проводящих полярных диэлектриков,
например, для воды, содержащей ионы проводимости. В идеально
дистиллированной воде замедление изменяется от 9 примерно до 1 (без учета
влияния резонансов в инфракрасной и ультрафиолетовой части спектров), а
скорость энергии совпадает с фазовой скоростью. В содержащей ионы
проводящей воде в области сверхнизких частот коэффициенты замедления и
72
потерь стремятся к бесконечности. В морской воде на частоте около 900 МГц
ток смещения равен току проводимости, а на существенно более низких
частотах вода ведет себя подобно металлу. Знание скорости движение
энергии и соответственно импульсов важно для передачи сообщений,
например, при связи с подводными лодками, которая осуществляется на
сверхнизких частотах, при этом сигнал передается со скоростью, примерно
равной фазовой, а групповая скорость в два раза больше. Например, импульс
с несущей частотой 1 кГЦ и длительностью 2 мс (два периода) достигает
подводной лодки на глубине 100 м от поверхности за 2 мс (замедление 6000)
и детектируется по максимуму огибающей (без учета времени срабатывания
детектора). Начало фронта сильно размытого и уширенного в несколько раз
импульса приходит с групповой скоростью через 1 мс и не может быть
продетектировано [27].
Вопрос о форме ТЭИ в электродинамике сплошных сред и о
соответствующих плотностях до сих пор остается дискуссионным (см.
дополнительно [57–64]). В одной из последних работ утверждается [64], что
он окончательно решен в пользу Абрагама. Однако в ней, хотя и применена
электродинамика движущихся сред, дисперсия также не учитывается, т.е.
r
r
r
r
используются материальные уравнения D = ε 0εE , B = µ0 µH . В различных
модельных примерах как за определенную форму ТЭИ, так и против неё
часто содержаться неточности, разбирать которые в данной работе нет
возможности (см. [58]). Основное возражение против ТЭИ Минковского
состоит в том, что он несимметричен и для него якобы не выполняется закон
сохранения импульса [48]. В обеих формах ТЭИ компонента T00 определена
как в статике, т.е. в виде T00 = u = (ε 0εE 2 + µ0 µH 2 )/ 2 , тогда как в динамике
r
r
имеется взаимодействие поля с веществом, т.е. следует использовать
выражения типа (55) [67,68]. Не понятно, почему плотность энергии в среде
r
должна зависеть от параметров среды, а плотность импульса g A – нет, и быть
такой же, как в вакууме. Ясно, что взаимодействие между полем и веществом
73
может приводить к асимметрии ТЭИ поля и вещества. Эта система
незамкнутая: замкнутой она становится при учете в балансе сторонних
источников, создавших поле. Следует также учитывать поток энергии и
импульса вещества. Выше было показано, что плотность импульса зависит от
временного процесса и определяется его предысторией. O конкретной форме
ТЭИ для СПВ в виде алгебраических соотношений, по-видимому, можно
говорить только для гармонических процессов в средах с определенными
законами дисперсии, когда эти гармонические процессы получены как
предельный
переход
от
соответствующих
квазимонохроматических
процессов создания поля, при котором усредненные за период компоненты T̂
выходят на стационарный уровень. Полный ТЭИ системы поле-вещество при
пока не построен, и вопрос о требовании для него симметричности открыт в
силу незамкнутости. Требование симметричности обычно возникает из
требования однозначности определения ТЭИ и условия, что тензор момента
следует определять через ТЭИ по стандартным формулам, при этом
используется связь компонент импульса с компонентами ТЭИ такая, как для
поля в вакууме ([147], стр. 107). Очевидно, такой ТЭИ есть тензор поля в
вакууме,
совпадающий
с
тензором
Абрагама.
В
нашем
случае
нестационарного возбуждения в среде ТЭИ определяется однозначно, и
дополнительного условия не требуется. Тензор же момента импульса
системы поле-вещество следует определять отдельно. При этом необходимо
учитывать, обладало или нет вещество моментом импульса до создания поля,
а также момент импульса и импульс, передаваемые сторонним источникам
при генерации поля, поскольку замкнутой системой является только СПВ
плюс источники поля.
Реальные законы дисперсии конкретных веществ достаточно сложны.
Необходимо
рассматривать
внутреннюю
молекулярную
или
кристаллическую структуру, внутреннее поле, несколько (или несколько
десятков) собственных резонансных частот, имеющуюся пространственную
дисперсию, а также применять нестационарный подход. Это означает, что в
74
ТЭИ поле-вещество не определяется только значениями полей в данный
момент, т.е. должна быть учтена предыстория создания поля источниками и
соответственно предыстория воздействия на вещество сил источников и
поля. Если источников в рассматриваемом объеме нет, такая предыстория
должна
быть
учтена
с
момента
вхождения
созданного
внешними
источниками поля в указанный объем. Поэтому следует брать плотность
r
r
r
импульса в виде g M = D × B с учетом вычислений (1), а для плотности энергии
вычислять соотношения типа (13), если считать всю диссипированную
энергию как электромагнитную. Если же рассматривать диссипированную
энергию как теряемую полем, то это означает, что она приобретается
веществом, т.е. (13) есть энергия СПВ. Если мы используем приближение,
что частицы вещества не ускоряются, а его температура неизменна, то
следует из (13) вычесть соответствующие потери. Тогда получаем энергию
именно поля в веществе, перенос которой связан с вектором Пойнтинга. Это
означает отвод тепла от вещества (наличие термостата), т.е. незамкнутость
системы. При этом ТЭИ для СПВ в обоих случаях несимметричен. В случае
отсутствия дисперсии он переходит в ТЭИ Минковского. В общем случае
использование только материальных уравнений позволяет разделить импульс
поля и вещества и соответствующие им потоки. Для плотности потока
энергии такое разделение без решения уравнений движения вещества, повидимому, не имеет места. Это связано с тем, что плотность мощности токов
поляризации, содержащая производные по времени, скорее относится к
полной плотности мощности, нежели является дивергенцией некого вектора.
К тому же указанный вектор определяется неоднозначно. Кроме этого
энергию взаимодействующей системы поле-вещество в общем случае
невозможно разделить на энергию поля и вещества без учета энергии
взаимодействия.
Приведенные выражения для ТЭИ зависят от формы материальных
уравнений. Если материальные соотношения взять в другой форме, получим
75
другие соотношения. Если обе формы материальных соотношений правильно
отражают микроскопические движения вещества, количественное различие
должно быть незначительным. В последнее время встает вопрос о ТЭИ и о
соответствующих
плотностях (и скоростях) в ИС с пространственной
дисперсией, включая и бианизотропные левые среды (см., например,
вышеупомянутую подобную неудачную попытку в [144,145]). Модели таких
сред весьма сложны, но используемый в [144,145] подход очень примитивен.
Формальное ведение отрицательного показателя преломления в таких
обычно бианизотропных средах с сильной пространственной и частотной
дисперсией с использованием ТЭИ Минковского для бездисперсионной
среды приводит к абсурдному результату – отрицательному давлению света.
На это же указывается и в [148,149]. С другой стороны, в [149] показано, что
для среды без дисперсии ТЭИ в форме Минковского является релятивистки
инвариантным, а тензор Абрагама – нет. Поскольку в замкнутой системе ТЭИ
должен быть симметричным [150,151], то сразу следует, что ТЭИ
Минкоского
соответствует
незамкнутой
СПВ
(уже
упоминалась
необходимость дополнение СПВ источниками поля). Поскольку дивергенция
такого тензора равна нулю [148–151], мы имеем нулевую сумму трех сил:
f i (in ) + f i (m ) + f i ( f ) = 0 , соответствующую источникам, веществу и полю. При
этом следует положить fi (α ) = ∂Tik(α ) / ∂xk , где части тензора соответствуют
источникам, среде и полю ( α = in, m, f ). Проблема только в разделении ТЭИ
на части. Она связана с энергией взаимодействия поля и вещества. Если она
мала, то разделение имеет место. Если ее считать чисто электромагнитной и
отнести к энергии поля, то имеем тот же результат. Поскольку ТЭИ – объект
локальный, то возможны области, где нет источников, либо поля, либо
среды, либо любых двух из этих компонент. Естественно, там, где есть,
например, только поле в вакууме, ТЭИ есть ТЭИ поля в форме Абрагама.
Поэтому говорить о симметрии можно лишь в интегральном смысле.
76
В ряде случаев законы дисперсии в определенных частотных областях
можно описать более простыми соотношениями (моделями), что и
использовано. В частности, в работах [28,30,39,70] приведены явные
выражения для плотности энергии для монохроматической волны в средах с
дисперсией Лоренца, Дебая и с дисперсией, описываемой проводимостью.
77
7. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ЭНЕРГИЯ ПОЛЯ И ВЕЩЕСТВА
7.1. Введение
В главе на основе изложенного выше рассматривается вопрос об
электромагнитной энергии поля и вещества. Ряд подобных аспектов изложен
в работе [35]. В частности, там показано, что предложенные в [34]
определения энергии ошибочны. В частности, автор [34] утверждает об
ошибочности формулы (1) в статике, и предлагает использовать для
плотности собственной энергии ЭМП аналогичную формулу для вакуума.
Несостоятельность
этих
утверждений
очевидна
и
подробно
проанализирована в [35]. Одна из ошибок связана с тем, что в работе [34]
рассматривается
тело
как
целое
(а
не
среда)
и
не
учитывается
нестационарность. Из сказанного и приведенных публикаций следует, что
очень проблематично (и, по-видимому, в общем случае невозможно) ввести
точные замкнутые определения плотности энергии СПВ. Однако в ряде
приближений это возможно. Это, в основном, случаи неподвижной среды
при постоянной температуре в монохроматическом ЭМП. Важным моментом
является использование тех или иных законов дисперсии и материальных
уравнений. Ясно, что материальные уравнения, в среднем описывающие
движение частиц среды в поле, не могут быть на зависимы о поля и процесса
его движения в среде. Поэтому сформулировать абсолютно общие
материальные уравнения сложно. Можно использовать материальные
уравнения с той или иной степенью совершенсва соответствующих зазаче.
Использованные материальные уравнения (4)–(7) достаточно общие, но
записаны для неподвижной среды. Однако уравнения для индукции (5), (7)
введены несколько искусственно. Пространственную
r
дисперсию можно
r
описать только соотношениями (4), (6), считая В = µ0 H [42–44]. Однако это
не удобно, поскольку вещество может обладать магнитным моментом,
который можно описать соленоидальной частью плотности электрического
78
тока. Следует отметить, что учет правой части в (4), (6), связанной с
r
влиянием магнитного поля на вектор D , весьма важен. Этот член, обычно
очень малый в природных веществах [26,147], может быть существенным
для ИС - метаматериалов и фотонных кристаллов (ФК). Для природных
веществ дисперсия магнитной проницаемости весьма сильно падает и
прекращается с ростом частоты. В работе [146] сделано утверждение, что
вклад в магнитную проницаемость может быть получен от диэлектрических
включений в фотонных кристаллах. Это утверждение можно считать
r
спорным, т.к. описать такие ФК можно с помощью только вектора D [44,74].
Однако описывать пространственную дисперсию в ИС удобнее на основе
обобщенных соотношений типа Ландау-Лифшица (4–7). Другой подход – это
использование материальных соотношений Казимира. В связи с широким
интересом к ИС – метаматериалам вопрос об плотностях энергии и импульса
для них приобретает особую важность. В указанных средах возможно
накопление энергии в виде колебаний поля в резонаторах – элементах
включений
в
ИС.
Соответствующая
энергия
электромагнитного
происхождения (в отличие, скажем, от колебаний частиц в плазме), но не
переносится полем. В ИС и ФК для определения энергии и импульса
используются
отрицательные
в
ИС
с
отрицательной
проницаемости
ε,
µ
и
рефракцией
используются
отрицательный
показатель
преломления. Почему отрицательный показатель преломления (и вообще
один скалярный показатель преломления) не может быть введен в таких
средах, показано в работах [152–154]. Так же приведены оценки
колебательной энергии гипотетических сред с ε = µ = −1 . В работах автора
[155,156] рассмотрены методы гомогенизации, т.е. получения эффективных
материальных параметров периодических метаматериалов (ФК). Рассмотрено
несколько процедур гомогенизации: на
основе вычисления дипольных и
мультипольных моментов, на основе решения дисперсионных уравнений, и
путем решения задач дифракции на полуплоскости вакуум-метаматериал. Все
79
они не приводят к однозначным результатам, зависят от метолов усреднения,
применяемых материальных уравнений и собственно постановки задачи о
гомогенизации.
7.2. Плотность энергии нестационарного поля
в естественных и искусственных средах
В природных материалах и средах характерные структурные размер
существенно меньше длины волны видимого света, так что пространственная
дисперсия проявляется слабо [43]. Тем не менее, ее следует учитывать, а
также и учитывать влияние магнитного поля на индукцию, которое тоже
обычно мало. При возбуждении вещества светом в нем возбуждаются
различные колебания, обычно называемые экситонами. Поэтому следует
решить, к какому типу энергии следует их отнести. По-видимому,
целесообразно считать их как энергию СПВ. К ним также следует отнести и
механические колебания частиц. В кристалле им соответствуют фононы, в
модели Лоренца – колебания с резонансными частотами, в плазме –
движение, связанное с кинетической энергией газа заряженных частиц.
Обычно при рассмотрении подобных вопросов полк считается либо
монохроматическим, либо квазимонохроматическим. Воздействие поля
приводит к колебаниям вещества – фононам, а нагретое вещество излучает, и
поглощает, т.е. обладает электромагнитной энергией, распределенной при
высоких температурах примерно как для абсолютно черного тела, т.е. по
закону
Планка
и
имеет
широкий
спектр.
Такую
энергию
для
монохроматического поля можно считать диссипированной, т.к. большая ее
часть распределена вне спектра поля. При этом частицы вещества
колеблются, но направленного их переноса нет (в слабом поле). Но для поля,
зависящего от времени произвольным образом, эту энергию следует учесть.
Соответственно вектор Пойнтинга в пренебрежении пространственной
дисперсии отвечает за перенос энергии поля. В выражение (13), таким
образом, входит кинетическая и потенциальная энергии поля и вещества,
80
включая и тепловую энергию. Для определения чистой электромагнитной
энергии из нее следует вычесть кинетическую и потенциальную энергии
частиц вещества. Естественно энергия определена с точностью до начальной
энергии вещества в момент создания поля. Уравнение (13) интегрированием
по частям может быть переписано так:
r r r r
r r r r
r
w(r , t ) = E (r , t )D(r , t ) + H (r , t )B(r , t ) −
(87)
r r
r r
r r
r r
− ∂ t−1 D(r , t ′)∂ t ′ E (r , t ′) + B(r , t ′)∂ t ′ H (r , t ′) .
r r
r r
Очевидно, зная поля E (r , t ) и H (r , t ) , можно по формулам (6) и (7) вычислить
[
]
индукции и, вычислив интегралы в (87), определить эту плотность. Поэтому
в нестационарном случае основная задача состоит в определении полей по их
источникам – сторонним токам. Это классическая задача электромагнетизма
о возбуждении сред и структур. Она может быть решена разными методами,
поскольку начальные условия известны. Уравнения Максвелла (11) могут в
общем виде быть записаны так:
r r
r r
r r
r r
r r
r r
∇ × H (r , t ) − ε 0∂ t E (r , t ) = J e (r , t ) , − ∇ × E (r , t ) − µ0∂ t H (r , t ) = J m (r , t ) .
(88)
Здесь в правых частях стоят заданные сторонние токи и токи поляризаций:
r
r
r
r
r
r
J e = J Pe + J ine и J m = J Pm + J inm , в которых индексом P отмечены поляризационные
члены (токи поляризации). Поскольку сторонние магнитные токи могут быть
представлены как токи электрические, указанная форма уравнений вполне
резонна и также представляет собой баланс токов. Она удобна тем, что все
источники (первичные и вторичные) стоят справа. Слева стоят разности
полных
плотностей
токов
и
соответствующих
токов
смещения
(электрического и магнитного) в вакууме. Все движение среды описывают
токи поляризации, а токи проводимости включены в векторы (6), (7).
Принципиально решить уравнения (88) можно методом функций Грина
уравнений Максвелла в вакууме. Тензорные функции Грина уравнений (88)
известны [157], а решения имеют вид
[
]
t
r r
r r
r r
r r
r r
E (r , t ) = − ∫ ∫ Γˆ ee (r ,′ r ′, t − t ′)J e (r ′, t )d 3r ′ + Γˆ em (r ,′ r ′, t − t ′)J m (r ′, t )d 3r ′ dt ′ ,
(89)
0V
81
[
]
t
r r
r r
r r
r r
r r
H (r , t ) = − ∫ ∫ Γˆ me (r ,′ r ′, t − t ′)J e (r ′, t )d 3r ′ + Γˆ mm (r ,′ r ′, t − t ′)J m (r ′, t )d 3r ′ dt ′ .
(90)
0V
r
r
Токи поляризаций определяются через поляризации J P( e, m ) = ∂ t P (e, m ) , которые
r
r
r
r
r
r
выражаются так: P e = D − ε 0 E , P m = B − µ0 H , т.е. зависят в общем случае от
обоих полей. Поэтому соотношения (89)–(90) являются в общем случае (с
учетом (6), (7)) интегродифференциальными уравнениями. Для частных
случаях материальных соотношений они могут быть сведены к интегральным
уравнениям. Решив эти уравнения, мы получаем общий вид полной
плотности энергии СПВ (87). В принципе можно численно решать
совместные дифференциальные уравнения (88) и уравнения для поляризаций.
В соотношениях (89), (90) объем V – это тот объем, в котором расположено
поле на момент t . Поскольку время возбуждения и скорость света конечна,
этот объем тоже конечен и расположен внутри сферы радиуса R + сt , где R –
радиус сферы, в котором расположены источники.
7.3. Плотность энергии нестационарного поля
при возбуждении объема
Часто необходимо рассматривать ЭМП в заданном (фиксированном)
объеме, при этом потоком мощности через его поверхность можно
пренебречь. Например, поверхность может быть металлической с конечной
толщиной стенок. Тогда при возбуждении источниками, спектр которых
расположен в основном в области, непрозрачной для стенок, мы имеем
возбуждение резонатора. Конечно, конечность возбуждения приводит к
инфинитности спектра. Всегда есть некий малый поток (например, тепловой)
через
поверхность. Если мы им пренебрегаем, соотношения становятся
приближенными. Теория возбуждения полого резонатора представляется в
виде (89)–(90) [11,79]. Внутри резонатора могут среды и структуры. Тогда
опять возникают интегродифференциальные или интегральные уравнения.
Следует отметить, что при учете пространственной дисперсии на границах
82
раздела сред граничные условия изменяются [43]. Однако рассмотрение на
основе токов в объемных уравнениях позволяют получить общее решение без
детализации граничных условий. В обще случае следует учитывать поток
мощности через поверхность объема. Соответственно балансные уравнения в
этом случае в интегральной форме однозначно определяют полную энергию
объема. Таким образом, решение полностью нестационарных задач о
возбуждении ограниченных объемов позволяет определить интегральную
энергию в них, если считать, что энергия источников подведена к указанным
объемам извне. В принципе такие источники могут быть введены в объем
через его поверхность. Также можно выбрать границы объема там, где нет
поля. Тогда нет и потока его энергии. Таким образом, использование только
балансных
соотношений
материальных
соотношений
теоремы
в
Пойнтинга
принципе
с
позволяет
использованием
определить
как
дифференциальные, так и интегральные соотношения плоя плотности
энергии. Это же имеет место и для импульса и его плотности для СПВ [67–
71].
7.4. Балансные соотношения для квазистационарных процессов
В данном разделе рассмотрим наиболее интересный случай балансных
соотношений и плотности энергии для квазистационарных процессов. Как
было отмечено выше, для строго стационарных процессов получить общие
выражения для плотности энергии нельзя. В частности, нельзя выразить
квадратичные по электрическому полю выражения, используя тензор εˆ(ω ) и
разделить диссипацию и собственную энергию [30]. В [30] рассматривалась
среда, описываемая одним тензором εˆ(ω ) . В общем случае таких тензоров
четыре. Правда, они должны быть подчинены условиям симметрии. В ИС и
ФК при высоких частотах магнитными свойствами можно пренебречь и
описывать диэлектрические ФК только двумя тензорами εˆ и ξˆ , что не
83
мешает вводить и магнитные проницаемости. Для природный сред удобно
использовать общий вид приведенных уравнений. Для поляризаций в
однородной среде соотношения (9), (10) пишем так:
( )
( )
(( ) ) ( ) ( ) ( )
(( ) ) ( ) ( )( )
r
r
r r
r r
r r
P e k , ω = ε 0 εˆ k , ω − Iˆ E k , ω + c −1ξˆ k , ω H k , ω ,
r
r
r r
r r r
r r
P m k , ω = µ0 µˆ k , ω − Iˆ H r , k , ω + c −1ςˆ k , ω E k , ω .
(91)
(92)
Наша задача получить соотношения для плотности энергии в плоской
монохроматической волне, распространяющейся в указанной среде. Считаем
амплитуду волны очень малой, т.е. неспособной нагреть и ускорить среду.
Для того, чтобы возбудить указанную волну, предположим, что в плоскости
z=0
находятся
источники
поля.
Для
возбуждения
плоской
необходимо иметь плоскость тока. Конечно, такой источник
волны
физически
невозможен, и результат следует рассматривать как некую абстракцию в виде
математического решения. Рассмотрим источник с плотностью (см.,
например, [158])
r
r
J ine ( z , t ) = I 0 χ (t )δ (z )[1 − exp(− αt )]sin (ω0t ) .
Источник
поверхностной
квазимонохроматическую
плотности
волну,
тока
(93)
r
I0
(93)
распространяющуюся
в
создает
обоих
направлениях оси z. Он в целом не передает импульс ни полю, ни веществу.
Однако если рассматривать область z > 0 , то такой области импульс
передается. Будем рассматривать область (z0 , z0 + ∆z ) далеко справа от
указанной плоскости источников. Для того, чтобы определить, что означает
“далеко справа”, рассмотрим два характерных временных масштаба,
соответствующих формуле (93). Это T0 = 2π / ω0 и τ = 1 / α . В рассматриваемой
области источников нет, и уравнения поля однородные. В общем случае из
уравнений Максвелла следует матричное уравнение [152–156,159]
 εˆ

ςˆ − kˆ / k 0
kˆ / k 0 + ξˆ   A   0 
 =   ,
 ⋅ 
µˆ
  Z 0C   0 
эквивалентное двум ДУ в формах
[(k
) (
) ]
kˆ + ξˆ µˆ −1 k0−1kˆ − ςˆ + εˆ A = 0 ,
−1
0
[(k
) (
) ]
kˆ − ςˆ εˆ −1 k0−1kˆ + ξˆ + µˆ C = 0
−1
0
(94)
84
и двум ДУ в формах
((
) (
) )
((
det k 0−1kˆ + ξˆ µˆ −1 k 0−1kˆ − ςˆ + εˆ = 0 ,
) (
) )
det k 0−1kˆ − ςˆ εˆ −1 k 0−1kˆ + ξˆ + µˆ = 0 .
(95)
Суда входят тензоры кросс-поляризации ξˆ, ςˆ и определены матрицы:
 0

kˆ =  k z
− k y

− kz
0
kx
ky 

− kx  ,
0 
− k z2 − k y2

kˆ 2 =  k x k y
 kzkz

kxk y
−k −k
kxk y
2
z


kxk y  ,
− k y2 − k x2 
kz kz
2
x
(96)
а жирным шрифтом обозначены векторы. Решение этих уравнений можно
r
r
найти в виде волновых векторов ki = f (k0 ) . Очевидно, таких векторов не более
чем четыре. В нашем случае плоской волны эти векторы имеют только одну
компоненту:
k zi = f i (k0 ) ,
что
существенно
упрощает
ДУ.
Даже
для
диагональных εˆ и µ̂ указанные ДУ весьма сложные, и мы их не приводим.
Из четырех решений два соответствуют волнам, идущим в отрицательном
направлении, т.е. распространяющихся влево. Однако определить, какая из
волн распространяется в данном направлении по реальной части k z′ нельзя
(следует использовать мнимую
часть, которая должна соответствовать
диссипации). Волна может быть обратной, соответствующей отрицательной
рефракции. Для определения направления следует вычислить z-компоненту
вектора Пойнтинга. Одна из волн в положительном направлении быстрая, а
другая медленная. Под этим мы понимаем только, что одна быстрее другой,
не рассматривая их фазовые скорости по отношению к скорости света c. При
этом волна может быть обратной. В принципе обе фазовые скорости могут
быть больше c. Поэтому использовать фазовые скорости v pi не целесообразно
при определении характерных дистанций. Здесь следует отметить, откуда
берутся обратные волны. Если источник, расположенный слева работает
долго, то при данном t сигнал давно достиг точки z0 (это момент t0 = z0 / c ,
поскольку в нестационарных процессах всегда есть волны с большими
частотами, для которых дисперсии нет) и распространился далеко вправо.
Поскольку рассматриваемые среды имеют микроструктуру, от ее элементов
имеют
место
отражения.
Обратная
волна
образуется
в
результате
85
интерференции этих волн, если при этом на некоторой частоте фаза
распространяется влево. Поэтому должно быть t >> t0 . Выражение “далеко
справа” означает также, что поле в указанной точке должно быть почти
монохроматическим. Подходящий в момент t0 предвестник не обладает этим
свойством. Следует ввести скорость переднего фронта v1 и определить
момент t1 = z0 / v1 . Квазигармоническим поле в рассматриваемой точке станет в
момент t1 + Nτ , N >> 1 . Введенную скорость можно было бы оценить, если бы
была известна скорость распространения энергии в монохроматической
волне. Но для этого надо знать ее плотность, что мы и хотим определить. В
точку z0 к рассматриваемому моменту придут и отраженные волны слева.
Они тоже участвуют в интерференции и образовании прямых и обратных
волн. Таким образом, со временем установится стационарная картина, а поле
станет почти монохроматическим. Далее мы установим другие условия,,
определяющие момент t . Для рассматриваемой задачи можно выписать
интегродифференциальные
пространственно-временные
уравнения.
Их
решения и определяют все процессы. Мы, однако, этого делать не будем,
поскольку решить эти уравнения для произвольных материальных уравнений
нельзя. Достаточно констатировать, что эти решения в принципе могут быть
получены. Когда процессы становятся установившимися, амплитуды волн
при
z = 0 должны
быть такими, чтобы обеспечить заданный скачок
касательного магнитного поля, равный листу тока (93). Если используемые
тензоры в материальных уравнениях комплексные, а среда диссипативная, то
амплитуды всех полей будут убывать вправо и влево. Это соответствует
тому, что поле передает энергию и импульс источника при своем движении.
При этом импульс передается от источника, и соответственно давление поля
никак не может быть отрицательным (даже при некоторых отрицательных
реальных частях проницаемостей). Теперь мы можем посчитать разность
потока энергии через единичную поверхность в точках z0 и z0 + ∆z , т.е.
определить полную энергию
источника, переданную с помощью поля в
86
указанный объем. Взяв
∆z
бесконечно малым и разделив на него
вычисленную величину, получим ее плотность. Очевидно, эта процедура есть
ни что иное, как производная по z. В рассмотренной диспергирующей среде
есть потери, связанные с выделением тепла. Если считать эту энергию чисто
электромагнитной, мы получаем искомую плотность энергии. Однако для
монохроматической волны указанная энергия распределена по всему спектру
и не попадает в бесконечно узкую спектральную линию рассматриваемого
поля. Поэтому имеет смысл вычесть тепловую энергию из электромагнитной.
Для этого заметим, что поле в момент t в рассмотренном объеме известно.
Амплитуды волн в каждой точке сохраняются, но изменяются от точки к
точке.
Очевидно,
в
установившемся
режиме
разность
потока
электромагнитной мощности через рассматриваемые две поверхности равна
теряемой
тепловой
мощности.
Однако
в
начале
нестационарного
возбуждения это не так, поскольку электромагнитная энергия может
накапливаться. Очевидно, ее можно вычислить, проинтегрировав по времени
r
r
r
r
величину wP (z0 , t ) = J Pe (z0 , t )E (z0 , t ) + J Pm (z0 , t )H (z0 , t ) , т.е. вычислив интеграл
[
]
t r
r
r
r
EP ( z0 , t ) = ∫ J Pe (z0 , t ′)E ( z0 , t ′) + J Pm ( z0 , t ′)H ( z0 , t ′) dt ′ .
(97)
t0
При больших временах она колеблется с частотой 2ω0 и линейно растет со
временем. Также при больших временах электрическое и магнитное поля,
следовательно, и токи поляризацией, имеют вид синусоидальных колебаний.
Эти колебания сдвинуты по фазе [2]. Имеются сдвиги фаз и токов
поляризаций относительно полей. Сдвиги обусловлены комплексными
значениями тензоров в (91), (92) и связаны с диссипацией. Выражение (97)
выражает энергию, переданную полем веществу. При больших временах из
него можно выделить амплитуду колебаний с частотой 2ω0 и линейно
возрастающий со временем член. Чистая энергия поля согласно балансному
соотношению при правых частях J Pe , J Pm есть (ε 0 E + µ0 H )/ 2 . Хотя при больших
r
r
r
r
временах выражение (97) стремиться к полной плотности отданной полем
87
энергии, а потерям за период соответствует линейный по времени член
(потери постоянны за период и растут линейно со временем), это не значит,
что (97) можно отнести к диссипативной части энергии. К рассматриваемому
времени реактивная энергия в СПВ уже накоплена и содержится в (97). Но
среднее значение wP (z0 , t ) как раз и дает плотность мощности потерь за
период, которую можно определить также через вектор Пойнтинга, имеющий
одну компоненту S z . Поэтому имеем уравнение − ∂ z S z (z0 , t ) = wP (z0 , t ) .
Собственно, это и есть основное условие (кроме вышеперечисленных) для
определения момента t .
Итак, (97) есть плотность энергии, переданная полем среде. Она
включает электромагнитную (накопленную реактивную) часть СПВ и
плотность диссипированного тепла Q(z0 , t ) . Таким образом, наша задача
определить последнее. Докажем справедливость высказанного утверждения
по-другому. В гармонических полях передаваемая за период плотность
мощности вычисляется по известным соотношениям [11]:
[
r
r
r
r
w( z0 , ω , t ) = J Pe ( z0 , ω , t )E * ( z0 , ω , t ) + J Pm ( z0 , ω , t )H * ( z0 , ω , t ) +
r*
r
r *
r
+ J Pe ( z0 , ω , t )E ( z0 , ω , t ) + J Pm ( z0 , ω , t )H ( z0 , ω , t ) / 4
]
(98)
В этих соотношениях введены мгновенные спектры, которые могут быть
вычислены для каждого момента времени. Соответственно в (98) входят
спектральные плотности (относящиеся к диапазону 2π Гц). Они зависят от
времени как от параметра. Спектральные плотности у указанных мгновенных
спектров при малых временах весьма широкополосные, тогда как при
больших временах они в основном расположены в окрестностях частот ± ω0 .
Обратные преобразования Фурье для мгновенных спектров справедливы для
каждого момента времени (считается, что сигнал имеет ненулевое значение
во временном промежутке (t0 , t ) ). Например,
t r
r
E ( z0 , ω , t ) = ∫ E ( z0 , t ′)exp(− jωt ′)dt ′ ,
t0
r
1
E ( z0 , t ) =
2π
∞
r
E
∫ (z0 ,ω , t )exp( jωt )dω .
(99)
−∞
88
Поэтому для полной плотности переданной энергии в момент t в точке z 0
имеем
E P ( z0 , t ) = 2 E P ( z 0 , t ) =
1
π
∞
∫
w( z0 , ω , t )dω =
−∞
4
π
∞
∫ Re(w(z ,ω , t ))dω .
(100)
0
0
Соотношение (100) можно переписать через поля и токи поляризации, или их
спектры. Рассмотрим Электрический ток поляризации в гармоническом поле
[(
]
)
r
r
r
J e (k z , ω ) = jωε 0 εˆ (k z , ω ) − Iˆ E (k z , ω ) + c −1ξˆ(k z , ω )H (k z , ω ) .
(101)
Соответствующая (101) усредненная спектральная плотность мощности
потерь имеет вид
P e (k z , ω , t ) =
(
)
r
r
r
2
ω
ε 0εˆ ′′(k z , ω ) E (z 0 , ω , t ) + c −1ξˆ′′(k z , ω ) Re E ( z 0 , ω , t )H ∗ (z 0 , ω , t )  .
2 
(102)
Поскольку величина (102) должна быть положительная, а первая ее часть
положительная всегда, это накладывает определенные условия на тензоры в
(91)–(92). Интегрируя (102) по частотам и времени, получаем среднюю
диссипированную плотность тепловых потерь:
Q e (z0 , t ) =
1
2π
t ∞
∫
e
∫ P (z0 ,ω , t ′)dωdt ′ =
t0 − ∞
1
2π
t ∞
∫ ∫ P (z ,ω , t ′)dωdt ′ .
e
0
(103).
t0 0
Указанная средняя плотность зависит от времени, но она должна стремиться
к постоянному значению при больших временах, поскольку спектральные
плотности
полей
все
лучше
приближаются
к
дальта-функциям.
В
колебательной части величины (97) присутствует как часть, связанная с
накопленной энергией, так и с потерями. Естественно, ее средняя за период
величина минус значение (103) есть средняя плотность энергии, накопленная
в веществе. Добавляя к ней среднюю “чистую” энергию поля, получаем для
средней за период плотности энергии значение на момент t :
1
u ( z0 , t ) =
Т0
e
t +T0
∫
t
r
r

 ε 0 E 2 ( z0 , t ′) + µ 0 E 2 ( z0 , t ′)
+ EP ( z0 , t ′) dt ′ − Q e ( z0 , t ) − Q m ( z0 , t ) . (104)

2


Величину (104) при зависимости (93) следует рассматривать как предельную
при больших временах ( t → ∞ ). Зависимость выражения (104) от координаты
связана с тем, что рассматриваемая среда диссипативная, и при возбуждении
89
плоской волны она распространяется с затуханием. В ряде случаев для
простых законов дисперсии указанную величину (104) можно получить явно
[35,39,70]. Она в общем случае зависит от волновых векторов. Эта
зависимость
поляризацией
определяется
волны,
а
направлением
также
ее
возбуждающего
ориентацией
тока
и
относительно
кристаллографических осей ФК. В случае возбуждения диполем (точечным
источником) получающаяся сферическая волна разлагается по плоским
волнам, а плотность энергии а некоторой точке определяется как
соответствующая суперпозиция выражений (104). Таким образом, имеет
место
учет
пространственной
и
частотной
дисперсий
в
виде
пространственных и частотных пакетов волн.
90
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В заключении еще раз заметим, что ТЭИ есть вспомогательная и
необязательная конструкция [49]. Существенна сила воздействия поля на
вещество (сила Лоренца), определяемая токами поляризации, давление
электромагнитной волны на среду и баланс импульса и энергии в заданном
объеме. Свободное ЭМП в вакууме удовлетворяет волновому уравнению,
инвариантному относительно преобразования Лоренца, и для него удобно
ввести ТЭИ в форме Абрагама. Для диспергирующей среды с учетом (6) и (7)
уже ввести одно волновое уравнение невозможно, имеем систему связанных
уравнений, вид которых слабо соответствует понятию волнового уравнения,
а указанная инвариантность не имеет места. Полученные плотности зависят
от предыстории процесса. Это же относится и к компонентам тензора
напряжения СПВ. Если же учесть разогрев и ускорение вещества полем,
тепловое и радиационное излучение разогретого и ускоренного вещества, а
также энергию взаимодействия этих субстанций, то система координат,
связанная со средой или равномерно движущаяся относительно нее перестает
быть инерционной, и в такой системе подобным образом сконструированный
объект уже не преобразуется как 4-тензор в плоском пространстве
Минковского. Часто используют подходы электродинамики движущейся
сплошной
недиспергирующей
среды.
Однако
во
вращающейся
и
расширяющейся Вселенной такой среды быть не может. Правда, указанные
эффекты слабые. Наиболее сильная неинерционность связана с вращением
земли вокруг своей оси, затем центра массы Земля-Луна и центра массы
солнечной системы. Поэтому строго нельзя ввести инерционную систему
координат, по отношению к которой среда движется равномерно. Повидимому, правильный подход указан в [150,151] построения полного ТЭИ,
~
удовлетворяющего условию ∂ν Tνν′ = 0 . Он должен включать в себя и энергию и
импульс замкнутой системы поле плюс вещество плюс источники поля,
91
учитывать энергию поля, энергию вещества, энергию взаимодействия и
диссипации, включая тепловое излучение, а также энергию источников со
знаком минус. Тогда полная энергия и импульс сохраняются и
равны
энергии и импульсу вещества до существования поля. Соответственно такой
тензор учитывает только ЭМП и справедлив при слабых полях, не
взаимодействующих
с
физическим
вакуумом
и
не
искривляющих
пространство. Интересно отметить, что указанные свойства получаются при
микроскопическом рассмотрении и введении ТЭИ и законов сохранения
[51,52,150–151,160], когда среда рассматривается как движение точечных
заряженных частиц в вакууме.
92
Библиографический список
1. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1976. 616 с.
2. Гольдштейн Л.Д., Зернов Н.В.. Электромагнитные волны. М.: Сов. Радио,
1971. 662 с.
3. Калашников С.Г. Электричество. М.: Наука. 1964. 668 с.
4. Никольский В.В. Электродинамика и распространение радиоволн. М.:
Наука, 1973. 608 с
5. Стрэттон Дж. Теория электромагнетизма. М.–Л.: ОГИЗ. 1948. 540 с.
6. Кисунько Г.В. Электродинамика полых систем Л.: ВКАС, 1949. 428 с.
7. Зоммерфельд А. Электродинамика. М: ИЛ, 1958. 502 c.
8. Джексон Дж. Классическая электродинамика. М.: Мир, 1965. 702 с.
9. Каценеленбаум Б.З. Высокочастотная электродинамика. М: Наука, 1966.
240 с.
10.Власов А.А. Макроскопическая электродинамика. М.: ФИЗМАТЛИТ,
2005. 240 с.
11.Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. М.: Радио и связь, 1988. 440 с.
12.Абрагам-Беккер. Теория электрическтва. Л.–М.: ОНТИ, 1936. 281 с.
13.Баскаков С.И. Основы электродинамики. М.: Сов. Радио, 1973. 248 с.
14.Федоров Н.Н. Основы электродинамики. М.: Высшая школа, 1980. 400 с.
15.Галицкий В.М., Ермаченко В.М. Макроскопическая электродинамика. М.:
Высшая школа, 1988. 159 с.
16.Измайлов С.В. Курс электродинамики М.: Государственное учебнопедагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1962. 394
с.
17.Матвеев А.Н.Электричество и магнетизм. М.: Высшая школа, 1983. 464 с.
18.Новожилов Ю.В., Яппа Ю.А. Электродинамика. М.: Наука, 1978. 352 с.
19.Пановский В., Филипс М. Классическая Электродинамика. М.: Физматгиз,
1963. 432 с.
20.Семенов Н.А. Техническая электродинамика. М.: Связь, 1973. 480 с.
93
21.Терлецкий Я.П., Рыбаков Ю.П. Электродинамика. М.: Высш. шк., 1990.
352 с.
22.Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики. Т. 2. Электричество и
магнетизм. М.: Наука, 1972. 367 с.
23.Сивухин Д.В. Общий курс физики. Электричество, Т. 3. Москва, Наука,
1977. 688 с.
24.Бредов
М.М.,
Румянцев
В.В.,
Топтыгин
И.Н.
Классическая
электродинамика. М.: Наука, 1985. 400 с.
25.Рязанов М.И. Электродинамика конденсированного вещества. М.: Наука,
1984. 304 с.
26.Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука,
1982. 624 c.
27.Вайнштейн Л.А., Вакман Д.Е. Разделение частот в теории колебаний и
волн. М.: Наука, 1983. 288 с.
28.Ахиезер А.И., Ахиезер И.А. Электромагнетизм и электромагнитные
волны. М: Высшая школа, 1985. 504 с.
29.Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. М.:
Наука, 1967. 550 c.
30.Бараш Ю.С., Гинзбург В.Л.
выделяющегося
тепла
в
О выражении для плотности энергии и
электродинамике
диспергирующей
и
поглощающей среды // УФН. 1976. Т. 118. Вып. 3. С.523–537.
31.Сивухин Д.В. Энергия электромагнитной волны в диспергирующей среде
// Оптика и спектроскопия. 1957. Т. 3. С. 308–312.
32.Пекар И.С. Энергия произвольного электромагнитного поля в среде с
дисперсией электрической и магнитной проницаемостей // 1975. Т. 68. № 3.
С. 866–880.
33.Краснов И.П. Об энергии и импульсе электромагнитного поля // Письма в
ЖТФ. 2009. Т. 35. В. 3. С. 89–96.
34.Краснов И.П. Об электромагнитной энергии поля и вещества // Письма в
ЖТФ. 2010. Т. 36. В. 16. С. 34–40.
94
35.Давидович М.В. Об электромагнитной энергии поля и вещества.
www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/11445/html
36.Островский Л.А., Потапов А.И. Введение в теорию модулированных волн.
М.: Физматлит, 2003. 400 с.
37.Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука,
1973. 175 с.
38.Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных дисперсных средах. М.
Мир, 1983. 136 с.
39.Давидович М.В. О плотности электромагнитной энергии и ее скорости в
среде с аномальной положительной дисперсией // Письма в ЖТФ. 2006. Т.
32. Вып. 22. С. 53–63.
40.Давидович
М.В.
О
парадоксе
Хартмана,
туннелировании
электромагнитных волн и сверхсветовых скоростях (отклик на статью
Шварцбурга А.Б. “Туннелирование электромагнитных волн – парадоксы и
перспективы”) // УФН. 2009. Т. 179. Вып. 4. С. 443.
41.Umov
N.A.
Albeitung
der
Bewegungsgleichungen
der
Energie
in
continuirlichen Kopern. Zeitschrif für Mathematik und Physik. 1874. Slomilch.
Vol. (Bd.) 19. H. 5 (Умов Н.А. Избранные сочинения. М.–Л. 1950).
42.Рухадзе А.А., Силин В.П. Электродинамика сред с пространственной
дисперсией // УФН. 1961. Т. 74. № 2. С. 223–267.
43.Агранович
В.М.,
Гинзбург
В.Л.
Кристаллоптика
с
учетом
пространственной дисперсии и теория экситонов. М.: Наука, 1965. 376 c.
44.Агранович
В.М., Гарштейн
Ю.Н. Пространственная
дисперсия
и
отрицательное преломление света. УФН. 2006. Т. 176. № 10. С. 1052–1068.
45.Minkowski H. Die Grungleichungen für die electromagmetischen Vorgänge in
bewegten Körpern // Nachrichten von der Koniglichen Gesellschaft der
Wissenschaften und der Georg-Augustin-Universität zu Göttingen. 1908. P. 53–
111.
46.Abraham M. Zur Electrodynamik bewegter Körper // Rendiconti Circolo
Matematico di Palermo. 1909. V. 28. P. 1–28.
95
47.Гинзбург В.Л. О законах сохранения энергии и импульса при излучении
электромагнитных волн (фотонов) в среде и о тензоре энергии-импульса в
макроскопической электродинамике // УФН. 1973 . Т. 110. Вып. 2. С. 309–
319.
48.Скобельцын Д.В. О тензоре импульс-энергии электромагнитного поля //
УФН. 1973. Т. 110. Вып. 2 С. 253–292.
49.Гинзбург В.Л., Угаров В.А. Несколько замечаний о силах и тензоре
энергии-импульса в макроскопической электродинамике // УФН. 1976. Т.
118. Вып. 1. С. 175–188.
50.Brevik I. Electromagnetic energy-momentum tensor within material media. II.
Discussion on various tensor forms // Mat.Phys. Medd. Dan. Vid. Selsc. 1970.
V. 37. No. 13. P. 1–79.
51.De Groot S., Suttorp L. The relativistic energy-momentum tensor in polarized
media: III. Statistical theory of the energy-momentum laws // Physica. 1968. V.
39. Issue 1. P. 28–40.
52. де Гроот С.Р., Сатторп Л.Г. Электродинамика. М.: Наука, 1982. 530 с.
53.Скобельцын Д.В. Парадоксы квантовой теории эффектов ВавиловаЧеренкова и Доплера // УФН. 1977. Т. 122. С. 295
54.Гинзбург
В.Л.
Замечания
к
статье
Д.В.Скобельцина
«Парадоксы
квантовой теории эффектов Вавилова-Черенкова и Допплера» // УФН
1977. Т. 122. С. 325.
55.Brevik I. Electromagnetic energy-momentum tensor within material media. I.
Minkovski tensor // Mat. Phys. Medd. Dan. Vid. Selsc. 1970. V. 37. No. 11. P.
1–52.
56.Brevik I. Electromagnetic energy-momentum tensor within material media //
Mat.Phys. Medd. Dan. Vid. Selsc. 1970. V. 37. No. 11. P. 1–52.
57.Leonhardt U. Momentum in an uncertain light // Nature. 2006. V. 444. P. 823–
824.
96
58.Pfeifer Robert N., Nieminen T.A., Heckenberg N.R., Rubinsztein-Dunlop H.
Momentum of an electromagnetic wave in dielectric media // Rev. Mod. Phys.
2007. V. 79. P. 197.
59.Obukhov Yu.N. Electromagnetic energy and momentum in moving media //
Annalen der Physik. 2008. № 8. P. 1–22.
60.Hinds E.A., Barnett S.M. Momentum exchange between light and single atom:
Abraham or Minkowski // Phys Rev Lett. 2009. V. 102 (5). P. 050403.
61.Marklund M. Radiation transport in diffractive media // J. Phys. A, Math. Gen.
2005. V. 38. No.19. P. 4265–4273.
62.Garrison J.C., Chiao R.Y. Canonical and kinetic forms of the electromagnetic
momentum in ad hoc quantization scheme for a dispersive dielectric // Phys.
Rev. A. 2004. V. 70. No. 5. P. 053826.
63.Leonhardt U. Energy-momentum balance in quantum dielectrics // Phys. Rev.
A. 2006. V. 73. P. 032108.
64.Макаров В.П., Рухадзе А.А. Сила, действующая на вещество в
электромагнитном поле // УФН. 2009. Т. 179. № 9. С. 995–1027.
65.Walker G.B., Lahoz D.G., Walker G. Measurement of the Abraham Force in
Barium Titanate Specimen // Can. J. Phys. 1975. V. 53. P. 2577.
66.Walker G.B., Lahoz D.G. Experimental observation of Abraham force in a
dielectric // Nature 1975. V. 253. P. 339.
67.Davidovich M.V. On conservation laws for electromagnetic field energy and
momentum in media and for plane wave diffraction on conducting medium plate
// Modeling in Applied Electromagnetics and Electronics. Saratov University
Press. 2009. Issue 9. P. 13–25.
68.Давидович
М.В.
О
законах
сохранения
энергии
и
импульса
электромагнитного поля в среде и при дифракции плоской волны на
проводящей пластине // Известия Саратовского университета. Новая серия.
2009. Серия Физика. Т. 9. В. 2. С. 2–17.
69.Давидович М.В. О тензоре энергии-импульса электромагнитного поля и
скоростях переноса энергии и импульса в среде с дисперсией // Проблемы
97
оптической физики и биофотоники: материалы 13 – ой Междунар.
Молодежной научн. Школы по оптике, лазерной физике и биофотонике.
Саратов: Изд-во «Новый ветер». 2009. С. 99–104.
70.Давидович М.В. О плотности электромагнитной энергии и ее скорости в
среде с дисперсией, обусловленной проводимостью // ЖТФ. 2010. Т. 80.
Вып. 5. С. 40–44.
71.Давидович
М.В.
О
законах
сохранения
энергии
и
импульса
электромагнитного поля в среде и при дифракции на проводящей пластине
// УФН. 2010. Т. 180. № 6. С. 623–638.
72.Петров Б.М. Прикладная электродинамика вращающихся тел. М.: Горячая
линия –Телеком, 2009. 288 с.
73.Graglia R.D., Uslenghi P.L.E., Zich R.E. Dispersion relations for bianisotropic
materials and its symmetry properties // IEEE Trans. 1991. V. AP-39, no. 1. P.
83–90.
74.Виноградов
А.П.
К
вопросу
о
форме
материальных
уравнений
электродинамики. УФН. 2002. Т.172. № 3. С. 363–370.
75.Гайтлер В. Квантовая теория излучения. М.: ИЛ, 1956. 492 с.
76.Окунь Л.Б. Понятие массы (Масса, энергия, относительность) // УФН.
1989. Т. 158. Вып. 3. С. 511–530.
77.Вайнштейн Л.А. Распространение импульсов // УФН. 1976. Т. 118. Вып. 2.
С. 339–367.
78.Ландау Л.Д. О колебаниях электронной плазмы // ЖЭТФ. 1946. Т. 16. С.
574.
79.Давидович М.В. К нестационарной теории возбуждения резонатора // РЭ.
2001. Т. 46. № 10. С. 1198–1205.
80.Давидович М.В. К нестационарной теории возбуждения волноводов // РЭ.
2001. Т. 46. 11. С. 1285–1292.
81.Mayergoyz I.D. Some remarks concerning electromagnetic potentials // IEEE
Trans. 1993. V. Magn. 29, No. 2. P. 1301–1305.
98
82.Einstein A., Laub J. Uber die im elektromagnetischen Felde auf ruhende Körper
ausgeübten pondermotorischen Kräfte // Ann. Phys. (Leipzig), 1908. Vol. 26. P,
541.
83.Abraham M. Sullelettrodinamica di Minkowski // Rend. Circ. Mat. Palermo.
1910. Vol. 30. P. 33.
84.Abraham
M.
Zur
Frage
der
Symmetrie
des
elektromagnetischen
Spannungstensors // Ann. Phys. (Leipzig). 1914. Vol. 44/ P. 537.
85.Laue M. Zur Dynamik der Relativitatstheorie // Ann. d. Phys. 1911. Vol. 35. P,
524.
86.Laue M. Zur Minkowskischen Elektrodynamik der bewegten K¨orper // Z.
Phys. 1950. Vol. 128. P. 387.
87.Møller C. The theory of relativity, Clarendon Press, Oxford, 1972.
88.Ott
H.
Zum
energie-impulstensor
der
Maxwell-Minkowskischen
elektrodynamik // Ann. Phys. (Leipzig). 1951. Vol. 11. P. 33.
89.Beck F. Die allgemeing¨ultigkeit des trägheitsgesetzes der energie in der
planckschen fassung // Z. Phys. 1953. Vol. 134. P.136.
90.Balazs N.L. The energy-momentum tensor of the electromagnetic field inside
matter // Phys. Rev. 1953. Vol. 91. P. 408.
91.Marx G., Györgyi G. Der energie-impuls-tensor des elektromagnetischen feldes
und die ponderomotorischen kräfte in dielektrika // Acta. Phys. 1954. Vol. 3. P.
213.
92.Marx G., Györgyi G. Uber den energie-impuls-tensor des elektromagnetischen
feldes in dielektrika // Ann. d. Phys. (Leipzig). 1955. Vol. 16. P. 241.
93.Gyorgyi G. Elementary considerations on the dynamics of light waves // Am. J.
Phys. 1960. Vol. 28, 2. P. 85.
94.De Beauregard 0.C. A new law in electrodynamics // Phys. Lett. 1967. Vol.
24A. P. 177.
95.Agudin J. The electromagnetic energy-momentum tensor in a material medium:
A crucial thought experiment // Phys. Lett. 1967. Vol. A24. P. 761.
99
96.De Groot S.R., Suttorp L.G. The relativistic energy-momentum tensor in
polarized media: IV. The macroscopic material energy-momentum tensor //
Physica. 1968. Vol. 38. P. 84.
97.James R.P. Force on permeable matter in time-varying fields, Ph.D. Thesis,
Dept. of Electrical Engineering, Stanford Univ. (1968).
98.James R.P. A "simplest case" experiment resolving the Abraham-M1inkowski
controversy on electromagnetic momentum in matter // Proc. Nat. Acad. Sci.
USA. 1968. Vol. 61. P. 1149.
99.Haus H.A. Momentum, energy, and power densities of TEM wave packet //
Physica. 1969. Vol. 43. P. 77.
100.Furutsu K. Energy-momentum tensor of electromagnetic field in moving
dispersive media and instability: Relativistic formulation // Phys. Rev. 1969.
Vol. 185. P. 257.
101.Schröder U.E. Der aus dem Noetherschen theorem folgende energieimpulstensor für das elektromagnetische feld in materie // Z. Naturforsch. 1969.
Vol. 24a. P. 1356.
102.Brevik I. Electromagnetic energy-momentum tensor within material media //
Phys. Lett. 1970. Vol. A31. P. 50.
103.Brevik I. Experiments in the phenomenological electrodynamics and the
electromagnetic energy-momentum tensor // Phys. Rept. 1970. Vol. 52. P. 133.
104.Brevik I. Comment on “Electromagnetic momentum in static fields and the
Abraham-Minkowski controversy” // Phys. Lett. 1982. Vol. A88. P. 335.
105.Brevik I. Photon-drag experiment and the electromagnetic momentum in
matter // Phys. Rev. 1986. Vol. B33. P. 1058.
106.Burt M.G., Peierls R. The momentum of a light wave in a refracting medium //
Proc. Roy. Soc. Lond. 1973. Vol. A333. P. 149.
107.Gordon J.P. Radiation forces and momenta in dielectric media // Phys. Rev.
1973. Vol. A8. P. 14.
108.Arnaud J.A. Momentum of photons // Am. J. Phys. 1974. Vol. 42. P, 71.
100
109.Robinson F.N.H. Electromagnetic stress and momentum in matter // Phys.
Rept. 1975. P. 16 313.
110.Robinson F.N.H. Electromagnetic stress and momentum in matter, in NorthHolland Lad Publishing, Physic reports, (Section C of Physic Letters),
Amsterdam. 1975. Vol. 16. No. 6. P. 313.
111.Peierls R. The momentum of light in a refracting medium // Proc. Roy. Soc.
Lond. 1976. Vol. A347. P. 475.
112.Wong H.K., Young K. Momentum of light in a refracting medium // Am. J.
Phys. 1977. Vol. 45. No. 2. P. 195.
113.Israel W. Relativistic effects in dielectrics: An experimental decision between
Abraham and Minkowski? // Phys. Lett. 1977. Vol. B67. P. 125.
114.Павлов В.И. О дискуссии по поводу пондеромоторных сил // УФН. 1978.
Т. 124. Вып. 2. С. 345.
115.Kranys M. A Minkowski-Abraham-Eckart unified energy-momentum tensor //
Phys. Scripta. 1979. Vol. 20. P. 685.
116.Kranys M. About the equivalence of Abraham’s and Minkowski’s
electrodynamics // Can. J. Phys. 1979. Vol. 57. P. 1022.
117.Lai H.M. Electromagnetic momentum in static fields and the AbrahamMinkowski controversy // Am. J. Phys. 1980. Vol. 48. P. 658.
118.Lorrain P. The Abraham force: comments on two recent experiments // Can. J.
Phys. 1980. Vol. 58. P. 683.
119.Novak M.M. Interaction of photons with electrons in dielectric media //
Fortschr. Phys. 1980. Vol. 28. P. 285.
120.Maugin G.A. Further comments on the equivalence of Abraham’s,
Minkowski’s, and others’ electrodynamics // Can. J. Phys. 1980. Vol. 58. P.
1163.
121.Lai H.M. Abraham-Minkowski controversy in static fields: An example // Am.
J. Phys. 1981. Vol. 49. P. 366.
101
122.Lai H.M. Reply to “comment on ’electromagnetic momentum in static fields
and the Abraham-Minkowski controversy’” // Phys. Lett. 1984. Vol. A100. P.
177.
123.Nelson D.F. Momentum, pseudomomentum, and wave momentum: Toward
resolving the Minkowski-Abraham controversy // Phys. Rev. 1991. Vol. A44. P.
3985–3996.
124.Loudon R., Allen L., Nelson D.F. Propagation of electromagnetic energy and
momentum through an absorbing dielectric // Phys. Rev. 1997. Vol. E55. P.
1071–1085.
125.Antoci S., Mihich L. A forgotten argument by Gordon uniquely selects
Abraham’s tensor as the energy-momentum tensor for the electromagnetic field
in homogeneous, isotropic matter // Nuovo Cim. 1997. Vol. B112. P. 991–1001.
126.Antoci S., Mihich L. Does light exert Abraham’s force in a transparent
medium? // Eur. Phys. J. 1998. Vol. D3. P. 205–217.
127.Antoci S., Mihich L. Detecting Abraham’s force of light by the Fresnel-Fizeau
effect // Eur. Phys. J. 1998. Vol. D3. P. 205–210.
128.Rubinsztein-Dunlop H., Nieminen T.A., Friese M.E.J., Heckenberg N.R.
Optical trapping of absorbing particles // Advances in Quantum Chemistry.
1998. Vol. 30. P. 469–492.
129.Brito H.H. Propellantless propulsion by electromagnetic inertia manipulation:
theory and Experiment // Space technology and applications international forum.
Edited by Mohamed S. El-Genk. The American Institute of Physics, 1999. P.
994–1004.
130.Heckenberg N.R., Friese M.E.J., Nieminen T.A., Rubinsztein-Dunlop H.
“Mechanical effects of optical vortices”. P. 75–105 in M. Vasnetsov (ed) Optical
Vortices (Horizons in World Physics 228), Nova Science Publishers, 1999.
131.Antoci S., Mihich L. Electrodynamic forces in elastic matter // Nuovo Cim.
2000. Vol. B115. P. 77–88.
102
132.Nieminen
T.A.,
Heckenberg
N.R.,
Rubinsztein-Dunlop
H.
Optical
measurement of microscopic torques // Journal of Modern Optics. 2001. Vol. 48.
P. 405–413.
133.Obukhov Y.N., Hehl , F.W. Electromagnetic energy-momentum and forces in
matter // Phys. Rev. 2003. Vol. A. 311. P. 277–294.
134.Loudon R. Radiation pressure and momentum in dielectrics // Fortschr. Phys.
2004. Vol. 52. P. 1134.
135.Mansuripur M. Radiation pressure and the linear momentum of the
electromagnetic field // Optics Express 2004. Vol. 12. P. 5375.
136.Parkin S.J., Nieminen T.A., Heckenberg N.R., Rubinsztein-Dunlop H. Optical
measurement of torque exerted on an elongated object by a non-circular laser
beam // Phys. Rev. 2004. Vol. A 70 (2), P. 023816.
137.Branczyk A.M., Nieminen T.A., Heckenberg N.R., Rubinsztein-Dunlop H.
Optical trapping of a cube. In Australian Institute of Physics (AIP) // 17th
National Congress 2006: Refereed Papers, ed. by R. Sang and J. Dobson,
Australian Institute of Physics. 2006.
138.Walker G.B., Lahoz D.G. Experimental observation of Abraham force in a
dielectric // Nature 1975. V. 253. P. 339–340.
139.Obukhov Yu.N., Hehl F.W. Electrodynamics of moving magnetoelectric
media: variational approach // Phys. Lett. 2007. Vol. A371. P. 11.
140.Ravndal F. Effective electromagnetic theory for dielectric media, arXiv:quantph/0804.4013.
141.Ravndal
F.
Electromagnetic
energy-momentum
tensors
in
media,
arXiv:0805.2606. 2008 (http://arxiv.org/pdf/0805.2606v2).
142.Pfeifer R.N.C., Nieminen T.A., Heckenberg N.R., Rubinsztein-Dunlop H.
Constraining validity of the Minkowski energy–momentum tensor // Phys. Rev.
2009. Vol. A 79. No. 2. P. 023813.
143.Makarov V.P., Rukhadze A.A. Minkowski’s tensor or Abraham’s tensor? //
Bulletin of the Lebedev Physics Institute. 2009. Vol. 36. No. 2. P. 54. $$$
103
144.Веселаго В.Г. Перенос энергии, импульса и массы при распространении
электромагнитной волны в среде с отрицательным преломлением //
http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2009/028.pdf .
145.Веселаго В.Г. Перенос энергии, импульса и массы при распространении
электромагнитной волны в среде с отрицательным преломлением // УФН.
2009. Т. 179. 689–694.
146.Merlin R. Metamaterials and the Landau-Lifshitz permeability argument: large
permittivity begets high-frequency magnetism // PNAS. 2009. Vol. 10. No. 6. P.
1693–1698.
147.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука, 1973. 504 с.
148.Веселаго В.Г. Волны в метаматериалах: их роль в современной физике //
УФН. 2011. Т. 181. № 11. С. 1201–1205.
149.Веселаго В.Г., Щавлев В.В. О релятивисткой инвариантности тензоров
энергии-импульса в форме Минковского и в форме Абрагама // УФН. 2010.
Т. 180. 331–332.
150.Мёллер К. Теория относительности. М.: Атомиздат, 1975. 400 с. 67
151.Новаку В. Введение в электродинамику. М.: ИЛ, 1963. 304 с.
152.Давидович М.В. Почему не может быть использован отрицательный
показатель преломления // Известия Саратовского университета. Новая
серия. 2009. Серия Физика. Т. 11. В. 1. С. 42–47.
153.Davidovich M.V. Why the refraction index can not be negative // Modeling in
Applied Electromagnetics and Electronics. Saratov University Press. 2011. Issue
10. P. 6–19.
154.Давидович М.В. Почему показатель преломления не может быть
отрицательным // Проблемы оптический физики и биофизики. 2010. Изд-во
Саратовского ун-та, Саратов. С. 154–164.
155.Davidovich M.V., J.V. Stephuk. Homogenization of periodic artificial media //
Modeling in Applied Electromagnetics and Electronics. Saratov University
Press. 2007. Issue 8. P. 67–75.
104
156.Давидович
М.В.,
Савин
А.Н.,
Стефюк
Ю.В.
Гомогенизация
периодических метаматериалов в виде проволочных включений //
Излучение и рассеяние электромагнитных волн ИРЭМВ-2009. Труды
конференции, Таганрог, ТРТУ. 2009. C. 370–375.
157.Фелсен Л., Маркувиц И. Излучение и рассеяние волн. М.: Мир, 1978. Т.1.
548 с.
158.Марков Г.Т., Чаплин А.Ф. Возбуждение электромагнитных вон. М.:
Радио и связь, 1983. 296 с.
159.Graglia R.D., Uslenghi P.L.E., Zich R.E. // IEEE Trans. 1991. V. AP-39, No.
1. P. 83–90.
160.De Groot S., Suttorp L. The relativistic energy-momentum tensor in polarized
media: I. The atomic energy-momentum conservation laws // Physica. 1967.
Vol. 37. Issue 2. P. 284–296.
105
Использованные аббревиатуры (обозначения)
ЭМП – электромагнитное поле
СПВ – система поле-вещество
ТЭИ – тензор энергии-импульса
ИС – искусственная среда
ФК – фотонный кристалл
УДК [537.8:517.96]
ББК [22.336:22.161.6]я73
Д13
106