RC-генератор с поворотом фазового угла на 180 электрических

RC-генератор с поворотом фазового угла на 180 электрических градусов
Если в цепи ОС происходит поворот фазы на ± 1800 для определенной частоты
и усилитель инвертирует фазу входного сигнала, то можно получить избирательный
усилитель или автогенератор. Цепь ОС подобного вида выполняется в виде
соединения цепочек из R и С. Так как каждая ячейка такой цепи на конечной частоте
дает фазовый сдвиг, равный ±900. Для дифференцирующей цепи имеем:
На низких частотах фаза поворачивается на 90 градусов (точнее, стремится к 90
градусам). Но при этом коэффициент передачи стремится к 0 (на рисунке – 40дБ на
частоте 10 Гц).
Если включить последовательно 2 такие цепочки, то сдвиг фаз будет стремиться
к 180 градусам
Но двух цепочек не достаточно для получения генератора. Фазовый сдвиг лишь
стремится к 180 градусам, но не достигает его. А в той области, где фазовый сдвиг
близок к 180 градусам коэффициент передачи очень мал (в этом примере -80дБ). Это
значит, что критический коэффициент усиления такого генератора будет не менее
10 000. Т.е. генератор на двух фазосдвигающих RC-цепях реализовать невозможно,
поскольку баланс фаз не выполняется.
Практическое применение получили генераторы, в которых используется 3 или 4
фазосдвигающих RC-звена.
Гц.
Баланс фаз (сдвиг на 180 градусов) в этом примере выполняется на частоте 400
Коэффициент передачи на этой частоте составляет 1/29 (т.е. примерно 0.033).
Если C1=C2=C3=C и R1=R2=R3=R, то частота ω0 определяется формулой:
ω0 =
Тогда f=
1
6 RC
1
1
=
2π 6 RC 15,4 RC
Совмещенные АЧХ и ФЧХ трех последовательных RC-цепей:
Таким образом, для соблюдения баланса фаз в генераторе нужно использовать
инвертирующий усилитель. В этом случае суммарный фазовый сдвиг станет равным
360 град.
Запишем для этой схемы следующие уравнения:
U1 = I1(R1+X1) – I2R1
I1(R1+R2+X2)-I1R1-I3R2 = 0
I3(R2+R3+X3)-I2R2=0.
Пусть
R1=R2=R3=R;
C1=C2=C3=C.
Из этих трех уравнений найдем ток I3, а затем напряжение U2.
Тогда К = U1/U2. Находим характеристическое уравнение, его корни, критический коэффициент усиления и
частоту, на которой фазовый сдвиг составит 180 градусов.
Перепишем уравнения с учетом допущения в следующем виде:
U1 = I1(R +X) – I2R
I1(2R+X)-I1R-I3R = 0
I3(2R+X)-I2R=0.
Или
(1)
U1 = I1R(1 +X/R) – I2R,
(2)
I2R(2+X/R) - I1R - I3R = 0,
(3)
I3R(2+X/R) - I2R = 0.
Из выражения (2) определим
(4)
I1R = I2R(2+X/R) - I3R.
В выражении 4 вместо I2R заменим его значением из выражения (3)
I1R = I3R(2+X/R) (2+X/R) - I3R = I3R[(2+X/R)2 -1].
Подставим полученное значение I1R в выражение (1).
U1 = I3R[(2+X/R)2 -1] (1 +X/R) - I3R(2+X/R).
Так как I3R = U2, то
U1/U2 = [(2+X/R)2 -1] (1 +X/R) - (2+X/R).
Раскроем скобки в правой части полученного выражения:
U1/U2 = (4+4 X/R+( X/R)2 – 1)(1 + X/R) - 2 - X/R=
= 4+4 X/R+( X/R)2 – 1 + 4 X/R + 4 (X/R)2 + (X/R)3 - X/R - 2 - X/R =
= 5 (X/R)2 + 6 (X/R) + 1 + (X/R)3.
Так как X = 1/jωC, то
U1/U2 = -
(
5
6
1
− 1) - j(
−
)
2
ϖRC (ϖRC )3
(ωRC )
Второй член этого выражения на частоте квазирезонанса должен быть равен нулю, а фазовый угол – 180
градусов.
Тогда
U1/U2 = -
(
5
− 1) .
(ωRC ) 2
(5)
Для определения частоты квазирезонанса приравняем мнимую часть нулю
6
1
= 0.
−
ϖRC (ϖRC )3
1
и критический коэффициент усиления, равный U1/U2 = 30 – 1 = 29.
6RC
1
Итак, условие возникновения колебаний – Ku>29. Частота колебаний ω0 =
6 RC
Отсюда находим частоту ω0 =
Поскольку коэффициент передачи звена частотно-зависимой ОС на частоте ω0
равен 1/29, то для соблюдения баланса амплитуд коэффициент усиления усилителя
должен быть больше 29. Критический коэффициент усиления ККР=29.
Частотнозависимая
ц епь ОС
Инвертирущ ий
усилитель
с коэ фф. усил.
K>=29
Выход
Рис. Структурная схема генератора с тремя RC-цепями
При практической реализации такой схемы на операционном усилителе к его
инвертирующему входу подключают и цепь частотно-независимо обратной связи
(резистивный делитель, задающий коэффициент усиления) и частотно-зависимую
цепь (3 RC-звена).
VC
C1
C
R1
R
C2
C
R2
R
C3
C
R3
R
R4
R
DA1
Out
VE
R5
50*R
Рис.5.11. Практическая схема автогенератора.
Коэффициент усиления усилителя в этой схеме определяется коэффициентом
усиления ОУ в неинвертирующем включении:
KU=R5/R4
Если КU < 29 то генерация в системе не возникает. При этом усилитель вместе с
цепью обратной связи будет обладать избирательными свойствами. Поэтому такую
схему можно использовать в качестве избирательного усилителя. Это следует из
того, что на частоте ω0 сдвиг по фазе равен 1800 и, следовательно, напряжение,
подаваемое на вход усилителя со стороны его выхода через цепь ОС оказывается в
фазе с входным сигналом. Поэтому напряжение непосредственно на входе будет
максимальным. Для другой частоты напряжение непосредственно на входе и,
следовательно, Uвых, быстро убывают. Частотная характеристика усилителя имеет
вид, похожий на резонансную кривую LC-контура. Чем ближе КU к 29, тем более
избирательной становится частотная характеристика усилителя. А при КU=29
возникает генерация. Как и в предыдущих случаях устойчивая работа генератора при
отсутствии искажений синусоидального напряжения обеспечивается применением в
цепи ООС нелинейных элементов, автоматически регулирующих коэффициент
усиления усилителя и поддерживающих амплитуду выходного сигнала на стабильном
уровне.