И.А. Канымгазиева, У.М. Оразбаева, А.С. Темирбаева

Л.Н. Гумилев атындағы ЕҰУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2012, №4
И. А. Канымгазиева, У. М. Оразбаева, А. С. Темирбаева
Электромагнитное поле электрического и магнитного диполей в одноосном
кристалле
(Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, г. Астана, Казахстан)
Настоящая работа, обобщающая результаты научных работ авторов, посвящена исследованию углового
распределения излучаемой мощности электрического и магнитного диполей в одноосных электрических и магнитных
кристаллах. В данной работе получены асимптотические решения напряжённости электромагнитного поля (ЭМП)
из точного решения уравнений Максвелла для электрического и магнитного диполей в одноосных кристаллах,
расположенных вдоль оси кристалла. С помощью полученных результатов построены диаграммы направленности, а
также исследованы направление векторов электромагнитного поля.
Введение
Оптическая анизотропия среды характеризуется различной по разным направлениям
способностью реагировать на действие падающего света. Реакция эта состоит в смещении
электрических зарядов под действием поля световой волны. В анизотропных средах величина
смещения заряда в поле данной напряженности зависит от ее направления. Это приводит
к тому, что диэлектрическая проницаемость, а,значит, и показатель преломления среды
различны для разных направлений электрического вектора световой волны.
К анизотропным материалам относятся: кристаллы и монокристаллы, заготовки сплавов
и сталей (прокат, штамповки и др.), волокнистые и плёночные материалы, армированные
пластики, пьезокварц, графит и др. [10]
Применение анизотропных материалов с определённым образом ориентированной
неоднородностью свойств позволяет сократить расход материалов и улучшить качество
изделий.
С целью изучения распространения излучемой мощности магнитного диполя в
анизотропной среде выполнены теоретические исследования рядом отечественных и
иностранных ученых. Среди них Потехин А. И. [8], Фельд И. А., Бененсон Л. С. [11], Саутбеков
С. С., [1], Савченко А. О., Савченко О. Я. [9], Федоров Ф. И. [10] и мн. др.
1. Электромагнитное поле точечного электрического диполя в одноосном
кристалле
Постановка задачи
Процесс передачи электромагнитного поля от источника в окружающее его пространство
называется излучением электромагнитных волн [6, c.7]. Электромагнитное поле определяется
векторами E и H , характеризующими электрическое поле, и векторами D и B ,
характеризующими магнитное поле [3, c.11].
Рассмотрим системы уравнений Максвелла для одноосной анизотропной среды:
rotH + iωD = j ,
rotE − iωB = 0,
(1)
где Е , H – напряженности электромагнитного поля, D – вектор электрической индукции,
ε0 = 8, 85·10−12 Ф/м – электрическая постоянная, εb – тензор диэлектрической проницаемости,
j – вектор плотности тока.






Ex
Hx
ε1 0 0
Е =  Ey  , H =  Hy  , εb =  0 ε 0  .
Ez
Hz
0 0 ε
В анизотропной диэлектрической среде линейная связь между индукцией и напряжённостью электрического поля имеет вид [2]:
D = ε0 εbE ,
104
(2)
И. А. Канымгазиева, У. М. Оразбаева, А. С. Темирбаева
вектор магнитной индукции:
B = µ0 µH ,
(3)
Если выбрать систему координат, совпадающую с главными осями тензора диэлектрической
проницаемости, материальное уравнение (2) имеет вид:
Dx = ε0 ε1 Ex ,
Dy = ε0 εEy ,
Dz = ε0 εEz .
В данной работе элементы тензора диэлектрической проницаемости εb соответствует
одноосному кристаллу. Ось кристалла направлена по оси x [6].
Напряженности электромагнитного поля Е и H представленны в виде суммы двух
независимых решений:
E = E 1 + E 2,
H = H 1 + H 2.
(4)
Первая из слагаемых (4) рассматривают напряженности электромагнитного поля,
вектор момента электрического диполя, который направлен вдоль оси кристалла. Вторые
слагаемые рассматривают вектора момента точечного электрического диполя, направленного
перпендикулярно оси кристалла и его асимптотическое решение выходит за рамки данной
статьи.
Требуется определить асимптотическое решение точного решения векторов напряженности
электромагнитного поля для диполя Герца, расположенного вдоль оси одноосного кристалла
анизотропной среды.
Решение задачи Для того, чтобы решить поставленную задачу, рассматриваем первые
составляющие из точного решения (4), которые определяются одной функцией Грина Ψε1 и
вектор момента электрического диполя p , действующих вдоль оси кристалла [1]:

1

E 1 = − (graddiv + k02 )(Ψε1 p),
(5)
εε0

H 1 = iωrot(Ψε1 p).


px
где p =  0  – вектор момента электрического диполя, k – волновое число для изотропной
0
среды:
k02 = ω 2 εε0 µµ0 .
Волновой потенциал Ψ1 для одноосного кристалла [7]:
s
ε 1 exp (ikn r0 )
,
Ψε1 = −
ε1 4π
r0
(6)
и радиус-вектор для одноосного кристалла:
s
ε 2
x + y2 + z2,
ε1
r0 =
волновое число для анизотропной среды:
s
kn = k0
ε1
.
ε
Для того, чтобы получить из точного решения (5) асимптотическое решение, нужно перейти
от прямоугольных координат к сферической системе координат. Так как [8]:
x = r · cosθ,
y = r · sinθcosϕ,
105
z = r · sinθsinϕ,
(7)
Л.Н. Гумилев атындағы ЕҰУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2012, №4
то в сферической системе координат радиус-вектора для одноосного кристалла можно
преобразовать:
r
ε
0
cos2 θ + sin2 θ,
r =r
ε1
и применить к (6):


ε
s
exp ikn r
cos2 θ + sin2 θ
ε
1
ε 1
q
Ψε1 = −
.
ε1 4π
r εε1 cos2 θ + sin2 θ
s
(8)
Переход из декартовой системы координат в сферическую осуществляется с помощью
выражений, приведенных ниже:
i = er cosθ − eθ sinθ,
j = er sinθ · cosϕ + eθ cosθ·cosϕ − eϕ sinϕ,
k = er sinθ · sinϕ + eθ cosθ · cosϕ + eϕ cosϕ.
Так как в данном разделе статьи рассматривается электрический диполь, расположенный
вдоль оси кристалла x , то его составляющие в сферической системе координат равны:
pθ = −p·sinθ.
pr = p·cosθ,
(9)
Асимптотическое решение напряженности ЭМП из точного решения (5) получится
с помощью (8), (9). В ходе решений задачи определили составляющие напряженности
электрического и магнитного полей для элементарного электрического диполя в дальней зоне:
Er = Eϕ = 0,

s
Eθ = −p
s
(10)

ε
cos2 θ + sin2 θ
ε1
!3/2 ,
ε
sin2 θ + cos2 θ
ε1
exp ikn r
ε
sinθ · k02 ·
ε1
4πr · εε0
(11)
Hr = Hθ = 0,
(12)

ε
cos2 θ + sin2 θ
exp ikn r
ε1
! .
Hϕ = −pωk0 · sinθ
ε
4πr · sin2 θ + cos2 θ
ε1
(13)

s
Направленность излучения антенны характеризуют так называемыми диаграммами
направленности. Диаграмма направленности (ДН) передающей(приемной) антенны
характеризует интенсивность излучения (приема) антенной в различных направлениях. Для
передающей антенны используют ДН по напряженности поля в электрической составляющей
электромагнитного поля или по уровню его мощности [5].
С помощью полученных решений (10)-(13) построены сечения диаграммы направленности
точечного электрического диполя в дальней зоне.
На рисунках 1-2 показаны взаимное расположение составляющих векторов напряженности
электромагнитного поля Eθ , Hϕ и вектора Пойнтинга П в дальней зоне. Вектор Пойнтинга,
показывающий направление распространения волн в рассматриваемой точке, так же направлен
вдоль оси радиуса r .
106
И. А. Канымгазиева, У. М. Оразбаева, А. С. Темирбаева
Рисунок1.-Пространственная ДН и взаимное расположение векторов поля в дальней зоне электрического диполя р,
расположенный вдоль оси одноосного кристалла (ε1 /ε = 5)
Рисунок 2.-Пространственная ДН и взаимное расположение векторов поля в дальней зоне электрического диполя р,
расположенный вдоль оси одноосного кристалла (ε1 /ε = 9)
Для достоверности полученных асимптотических решений использовали предельный
переход ε1 → ε . При предельном переходе из решений (10)-(13) получится известное
асимптотическое решение для электрического диполя в дальней зоне изотропной среды.

Er = Eϕ = 0,

(14)
exp(ik0 r)
 Eθ = p · sinθ · k02 ·
,
4πrεε0

Hr = Eθ = 0,

(15)
exp(ik0 r)
 Hϕ = −p · ωk0 ·
.
4πr
Полученные
решения
(14)-(15)
соответствуют
асимптотическому
решению
электромагнитного поля диполя, направленного вдоль оси х в дальней зоне. Асимптотическое
решение, полученное из точного решения уравнений Максвелла, совпадают с решением,
полученным в [8, c.73].
Рисунок 3.- Диаграмма направленности электрического диполя для изотропной среды
2. Точечный магнитный диполь в одноосном магнитном кристалле
Постановка задачи. Элементарный магнитный вибратор отличает от элементарного
электрического только тем, что в проводах с шарами на конце вместо плотности стороннего
электрического тока j e существует плотность стороннего магнитного тока j m . Поле,
107
Л.Н. Гумилев атындағы ЕҰУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2012, №4
создаваемое магнитным вибратором, определяют так же, как и в случае электрического
вибратора [10, с. 270].
В данном разделе статьи рассматривается точные решения уравнений Максвелла
для одноосного магнитного кристалла, точечный магнитный диполь которого направлен
параллельно оси кристалла [2]:
kn2 · pz
· rot(ez Ψµ1 ),
i · εε0 · ω
!
µ
∂ 2 Ψ1
µ
µ1
∂Ψµ1
µ
−1
H 1 = p · Ψ1 + p
− pz ·
· grad
.
µ1
∂z 2
µ
∂z
E1 =
(16)
где p = (0, 0, pz ) - вектор момента магнитного диполя, µ0 = 4π·10−7 Гн/м – магнитная
постоянная, µ
b – тензор магнитной проницаемости, который соответствует одноосному
магнитному кристаллу. Ось кристалла направлена по оси z [1].


µ 0 0
µ
b = 0 µ 0  .
0 0 µ1
Требуется определить асимптотическое решение из обобщенного решения векторов
напряженности электромагнитного поля для точечного магнитного диполя, расположенного
параллельно оси магнитного кристалла z . Здесь ось кристалла направлена по оси z [2].
Решение задачи. Рассмотрим составляющих вектора напряженности ЭМП (16):

∂Ψµ1
1

2


,
· k · pz ·
E =−

 x
εε0 0
∂y
µ
(17)
∂Ψ1
1

· k02 · pz ·
,
Ey =


εε0
∂x


Ez = 0.

∂B



Hx =
,


∂x
∂B
(18)

Hy =
,


∂y


Hz = pz · ∆0 Ψµ1 .
где
∂2
∂2
∂2
∂2
∂2
∂
µ
∆0 =
+
,
B
=
p
(∆Ψ
+
Ψ
),
∆
=
+
+
,
z
0
2
∂x2 ∂y 2
∂z
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
!
!
∂2
∂2
∂2
µ1 µ
µ
µ
Ψ1 = Ψ0 +
+ 2 Ψ2 ,
Ψ0 = Ψ1 +
+ k02 Ψµ2 .
(19)
2
2
µ
∂x
∂y
∂z
Напряженность магнитного поля для точечного магнитного диполя с учетом (19) в (18):

µ1
∂ 2 Ψµ1


H = − · pz
,


 x
µ
∂x∂z
µ
µ1
∂ 2 Ψ1
(20)

H
=
−
·
p
,
y
z


µ
∂y∂z


Hz = −pz · ∆0 Ψµ1 .
Для того, чтобы получить из точного решения (17), (20) асимптотическое решение, нужно
перейти от прямоугольных координат к сферической системе координат. Так как
x = r · cosϕ · sinθ,
y = r · sinθ · sinϕ,
108
z = r · sinθ,
(21)
И. А. Канымгазиева, У. М. Оразбаева, А. С. Темирбаева
то в сферической системе координат радиус-вектор для одноосного кристалла можно
преобразовать:
s
µ
cos2 θ + sin2 θ,
r0 = r
µ1
и применить к Ψµ1 :

s
Ψµ1 = −
s
exp ikn r
µ 1
·
µ1 4π
s
r

µ
cos2 θ + sin2 θ
µ1
.
µ
cos2 θ + sin2 θ
µ1
Используя (21) в выражения (17) и (20) в декартовой системе координат:


ikn2 p


· sinθ · sinϕ · k02 · exp(ikn r0 )
E
=
−

x


εε
ω
0



















Ey =
ikn2 p
· sinθ · cosϕ · k02 · exp(ikn r0 )
εε0 ω
Hx = p · sinθ · cosϕ · cosθ · exp(ikn r0 )
Hy = p · sinθ · sinϕ · cosθ · exp(ikn r0 )







0


 Hz = p · exp(ikn r )
!
ikn
1
−
,
r2 · a3/2 r · a
!
ikn
1
−
,
r2 · a3/2 r · a
Ez = 0.
(22)
ikn
3
3ikn r0
−
− 3 5/2
2
2
3/2
r ·a
r·a
r ·a
!
ikn
3
3ikn r0
−
− 3 5/2
2
2
3/2
r ·a
r·a
r ·a
!
,
,
(23)
!
2
3sin2 θ
2ikn
3ikn sin2 θ ikn sin2 θ
−
−
+
−
,
r2 · a2
r3 · a3/2 r3 · a5/2 r2 · a
r · a3/2
где
a=
µ
cos2 θ + sin2 θ.
µ1
Переход из декартовой системы координат в сферическую осуществляется с помощью
выражений, приведенных ниже [8, с.71 ]:

 Er = Ex cosϕsinθ + Ey sinϕsinθ + Ez cosθ,
Eϕ = Ex sinϕ + Ey cosϕ,

Eθ = Ex cosϕcosθ + Ey sinϕcosθ − Ez sinθ,
(24)
Поскольку в этом разделе рассматривается магнитный диполь, расположенный вдоль оси
кристалла z , соответственно, его составляющие в сферической системе координат равны:
pθ = −p·sinθ.
pϕ = p·cosθ,
(25)
Используя (24) получим решение составляющих векторов напряженности ЭМП для
точечного магнитного диполя в дальней зоне:





Er = Eθ = 0,
sinθ · exp(ikn r0 )
!,
Eϕ =
εε0 ω
µ


2

4πr sin θ + cos2 θ

µ1
pk02
109
(26)
Л.Н. Гумилев атындағы ЕҰУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2012, №4











Hr = Hϕ = 0,
s
Hθ = −p · ik0
µ
µ1
sinθ · exp(ikn r0 )
µ
4πr sin2 θ + cos2 θ
µ1
!3/2 .
(27)
Выше было приведено асимптотическое решение задачи о поле диполя, направленного
параллельно оси z . Полученные выражения можно рассматривать как функцию Грина для
соответствующих задач. Вычислением можно показать, что в дальней зоне вектор Пойнтинга
направлен радиально, как и в случае изотропной среды. Полученные асимптотические решения
совпадают с решениями в [8, с. 73].
С помощью полученных решений построены пространственные диаграммы направленности
магнитного диполя в одноосном магнитном кристалле. На рисунке 4 показаны ДН и взаимное
расположение составляющих векторов напряженностей электромагнитного поля Eϕ , Hθ и
вектора Пойнтинга П в дальней зоне.
Рисунок - 4 ДН и взаимное расположение векторов ЭМП поля точечного магнитного диполя р, расположенный вдоль
оси одноосного магнитного кристалла в дальней зоне
Из всех рисунков можно увидеть, что вдоль оси магнитного диполя излучение отсутствует.
Максимальное излучение происходит в экваториальной плоскости диполя.
Рисунок - 5График точного и асимптотического решения составляющего напряженности магнитного поля Eϕ для
магнитного диполя в дальней зоне
Рисунок - 6 График точного и асимптотического решения составляющего напряженности электрического поля Hθ
для магнитного диполя в дальней зоне
110
И. А. Канымгазиева, У. М. Оразбаева, А. С. Темирбаева
На рисунках (5) и (6) построены графики сравнения точного и асимптотического решения
составляющих векторов напряженности электромагнитного поля в одноосных анизотропных
средах.
Из графиков видно, что отличие между точным и асимптотическим решениями составляющих векторов напряженности электромагнитного поля в одноосных анизотропноых средах
отличается очень мало.
Заключение
В данной работе получены из точного решения уравнений Максвелла асимптотические
решения напряженности ЭМП в одноосных электрических и магнитных кристаллах.
С помощью асимптотических решений можно изучить физические процессы в данных
кристаллах. Построены диаграммы направленности точечного электрического и магнитного
диполей в дальней зоне анизотропной среды. Из рисунков видно, что в дальней
зоне вектор Пойнтинга направлен радиально, как и в случае изотропной среды.
Сравнивая полученные асимптотические выражения для ЭМП в дальней зоне, создаваемого
электрическим и магнитным диполями, замечаем, что поля излучения их будут сдвинуты
между собой по фазе на 900 . Построен график сравнения точного и асимптотического
решений составляющих векторов напряженности ЭМП магнитного диполя в одноосных
анизотропных средах. Из графиков видно, что отличие между точными и асимптотическими
решениями составляющих векторов напряженности ЭМП в одноосных анизотропных средах,
незначительное. Достоверность полученных асимптотических решений проверена путем
предельного перехода из анизотропной среды в изотропную среду, а также результаты
сравнивались с результатами других ученых.
Особенностью работы является ее прикладная направленность, позволяющая использовать
полученные теоретические результаты для решения конкретных задач и изучения физических
процессов.
ЛИТЕРАТУРА
1. S. S. Sautbekov, Radiation of Electric and Magnetic Dipole Antennas in Magnetically
Anisotropic Media
2. S. S. Sautbekov, I. A. Kanymgaziyeva, P. Frangos // Electronics and electrical engineering. No. 1 (97). - 2010. - P. 23-27.
3. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. - М.: Радио и связь, 1988. - 440 с.
4. Драбкин А. Л., Зузенко В. Л., Кислов А. Г. Антенно-фидерные устройства. - М.:
Советское радио, 1974. - 270 с.
5. Драбкин А. Л., Коренберг Е. Б. Антенны. - М.: Радио и связь, 1992. - 144 с.
6. Канымгазиева И. А. Диаграммы направленности магнитного диполя в анизотропных
средах // Математический журнал. - 2009. - №2 (32). - Т. 9. - с. 71-77.
7. Канымгазиева И. А., Саутбеков С. С. Диаграммы направленности излучателя Герца в
одноосном кристалле // - Севастополь, Крым, Украина, 2007. - С. 837-838.
8. Потехин А. И. Излучение и распространение электромагнитных волн в анизотропной
среде. - М.: Наука, 1971. - 76 с.
9. Савченко А. О., Савченко О. Я., Электромагнитное поле диполя в анизотропной среде
// Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 10. - С.118-120.
10. Федоров Ф. И. Оптика анизотропных сред. - М.: УРСС, 2004. - 380 с.
11. Фельд Я. Н., Бененсон Л. С. Антенны сантиметровых и дециметровых волн. - М.:
"Дрофа", 1955. - 206 с.
И. А. Қанымғазиева,
Ү. М. Оразбаева, А. С. Темiрбаева
Бiр өстi кристаллдардағы нүктелiк электрлiк және магниттiк дипольдердiң электромагниттiк өрiсi
111
Л.Н. Гумилев атындағы ЕҰУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2012, №4
Максвелл теңдеулерiнiң нақты шешiмiнен нүктелiк электрлiк және магниттiк дипольдер үшiн электромагниттiк
өрiс кернеулiктерiнiң алыс зонадағы асимптотикалық шешiмдерi алынды және олардың бағытталу диаграммалары
келтiрiлген, сонымен қатар, электромагниттiк өрiстiң векторларының бағыты зерттелiндi
I. A. Kanymgaziyeva ,
U. M. Orazbayeva,
A. S. Temirbayeva
Research of the electromagnetic field point electric and magnetic dipoles in uniaxial crystal
In this paper authors had received asymptotic decisions tension electromagnetic-field (EIF) from exact decision of the
equations of Maxwell for electric and magnetic dipoles in uniaxial crystal, which located parallel axis of the crystal. Results of
research show their radiation pattern and direction of electromagnetic-field vector.
Поступила в редакцию 30.04.2012
Рекомендована к печати 30.05.2012
112