анализ чувствителüности в кратных критических точках и

ÏÐÎÁËÅÌÛ ÏÐÎ×ÍÎÑÒÈ È ÏËÀÑÒÈ×ÍÎÑÒÈ, âûï. 69, 2007 ã.
ÓÄÊ 539.3
ÀÍÀËÈÇ ×ÓÂÑÒÂÈÒÅËÜÍÎÑÒÈ
 ÊÐÀÒÍÛÕ ÊÐÈÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÒÎ×ÊÀÕ
È ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÅ ÏÐÎÅÊÒÈÐÎÂÀÍÈÅ
ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈ ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ ÊÎÍÑÒÐÓÊÖÈÉ
Î.À. Ñåðãååâ, Â.Ã. Êèñåëåâ
Íèæíèé Íîâãîðîä
Ïðåäñòàâëåí ìåòîä äëÿ îïðåäåëåíèÿ çíà÷åíèé óïðàâëÿåìûõ ïàðàìåòðîâ
ãåîìåòðè÷åñêè íåëèíåéíîé êîíñòðóêöèè, ñîîòâåòñòâóþùèõ ìèíèìàëüíîé
ìàññå êîíñòðóêöèè ïðè îãðàíè÷åíèÿõ íà êðàòíóþ êðèòè÷åñêóþ íàãðóçêó ïîòåðè
óñòîé÷èâîñòè è íà ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ óïðàâëÿåìûõ ïàðàìåòðîâ. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî íà íåëèíåéíóþ óïðóãóþ êîíñòðóêöèþ äåéñòâóþò êîíñåðâàòèâíûå íàãðóçêè. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ íåëèíåéíûõ ïåðåìåùåíèé èñïîëüçóþòñÿ ìåòîäû
ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàãðóæåíèé, îáîáùåííûõ ïåðåìåùåíèé è äëèíû äóãè. Ñèíãóëÿðíîñòü êàñàòåëüíîé ìàòðèöû æåñòêîñòè òðàêòóåòñÿ êàê îáùàÿ ïîòåðÿ óñòîé÷èâîñòè êîíñòðóêöèè. Ïðåäëàãàåòñÿ àíàëèòè÷åñêèé àíàëèç ÷óâñòâèòåëüíîñòè
êðàòíîé êðèòè÷åñêîé íàãðóçêè ïîòåðè óñòîé÷èâîñòè äëÿ ïðåäåëüíîé òî÷êè è
òî÷êè áèôóðêàöèè, è àíàëèç ÷óâñòâèòåëüíîñòè íåëèíåéíûõ ïåðåìåùåíèé.
Ýôôåêòèâíîñòü ïðåäëàãàåìîãî ìåòîäà äåìîíñòðèðóåòñÿ íà ïðèìåðàõ îïòèìàëüíîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ ïðîñòðàíñòâåííîé ôåðìû ñ äâóêðàòíîé è òðåõêðàòíîé
òî÷êàìè áèôóðêàöèè.
1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è îïòèìèçàöèè
Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü òàêèå çíà÷åíèÿ óïðàâëÿåìûõ X* èç îáëàñòè äîïóñòèìûõ
çíà÷åíèé F, äëÿ êîòîðûõ ìàññà êîíñòðóêöèè ìèíèìàëüíà:
W ( X* ) = minW (X) ,
XÎF
(1)
ãäå X − âåêòîð óïðàâëÿåìûõ ïàðàìåòðîâ.
Îáëàñòü äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé F îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèìè îãðàíè÷åíèÿìè:
− íà êðàòíóþ êðèòè÷åñêóþ íàãðóçêó ïîòåðè óñòîé÷èâîñòè êîíñòðóêöèè
Lc ( X ) ³ Ld ,
(2)
ãäå Λc − êðàòíûé êðèòè÷åñêèé ìíîæèòåëü âíåøíåé êîíñåðâàòèâíîé íàãðóçêè P0,
ïðè ïðåâûøåíèè êîòîðîãî êîíñòðóêöèÿ òåðÿåò óñòîé÷èâîñòü; Λd − ðàáî÷èé óðîâåíü
íàãðóçêè P0;
− íà ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ óïðàâëÿåìûõ ïàðàìåòðîâ
X min £ X £ X max ,
(3)
ãäå X min è X max − íèæíèå è âåðõíèå çíà÷åíèÿ äëÿ ïàðàìåòðîâ ïðîåêòèðîâàíèÿ.
59
2. Îñíîâíûå óðàâíåíèÿ
Ðàññìîòðèì íåëèíåéíóþ óïðóãóþ êîíñòðóêöèþ, äëÿ êîòîðîé ïîëíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ Π(u, Λ, X) çàâèñèò îò âåêòîðà íåëèíåéíûõ ïåðåìåùåíèé u, ìíîæèòåëÿ íàãðóçêè Λ, âàðüèðóåìîãî ïàðàìåòðà X. Äëÿ óïðîùåíèÿ óðàâíåíèé ðàññìîòðèì
êîíñòðóêöèþ ñ îäíèì âàðüèðóåìûì ïàðàìåòðîì X. Óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ äëÿ òàêîé
êîíñòðóêöèè èìåþò âèä:
r ( u, L , X ) =
¶P
= 0 , i = 1, n ,
¶ui
(4)
ãäå r(u, Λ, X) − âåêòîð íåâÿçêè èëè âåêòîð íåóðàâíîâåøåííûõ ñèë, åñëè âåêòîð
ïåðåìåùåíèé u íå ÿâëÿåòñÿ èñòèííûì.
Ðàññìîòðèì êðèâóþ äåôîðìèðîâàíèÿ (ðàâíîâåñíóþ êðèâóþ) â çàâèñèìîñòè îò
çíà÷åíèÿ âàðüèðóåìîãî ïàðàìåòðà X â (n+1)-ðàçìåðíîì ïðîñòðàíñòâå (u, Λ). Ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ êðèâîé äåôîðìèðîâàíèÿ çàïèøåì â âèäå:
u = u(t) , L = L (t) ,
(5)
ãäå t − ïàðàìåòð ïðîäâèæåíèÿ âäîëü êðèâîé äåôîðìèðîâàíèÿ.
Ìîæíî ðàññìîòðåòü òðè àëüòåðíàòèâû äëÿ âûáîðà ïàðàìåòðà t: 1) t = Λ; 2) t =
= ui; 3) t = s, ãäå s − äëèíà êðèâîé äåôîðìèðîâàíèÿ.
Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ïàðàìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà (5) íå ïîäõîäèò äëÿ êðèòè÷åñêèõ
òî÷åê, ãäå ïåðåñåêàþòñÿ äâå èëè áîëåå êðèâûõ.
Äèôôåðåíöèðóÿ óðàâíåíèå ðàâíîâåñèÿ (4) ïî ïàðàìåòðó ïðîäâèæåíèÿ t, ìîæíî
çàïèñàòü
r& = Ku& + rL L& = 0 ,
(6)
ãäå òî÷êà ñâåðõó è íèæíèé èíäåêñ îáîçíà÷àþò ñîîòâåòñòâåííî äèôôåðåíöèðîâàíèå
ïî t è ÷àñòíóþ ïðîèçâîäíóþ ïî Λ, r Λ = −P 0 − âåêòîð âíåøíèõ êîíñåðâàòèâíûõ
íàãðóçîê, K = ¶r / ¶u − êàñàòåëüíàÿ ìàòðèöà æåñòêîñòè.
Äèôôåðåíöèðóÿ (6) äâà ðàçà, ïîëó÷àåì åùå äâà óðàâíåíèÿ:
& u& + K&u& + r& L& + r L
&& = 0 ,
&r& = K
L
L
(7)
&u
&& u& + r &L&& + 2r& L
&& + &r& L& = 0 ,
&r&& = K&u&& + 2K
&& + K
L
L
L
(8)
& = (¶K / ¶u) u& + (¶K / ¶L ) L& = Lu& + NL& , r&L = Nu& + rLL L& , L − ïàêåò ìàòðèö,
ãäå K
& u& + N&u& + r& L& + r L
&&
&& = L& u& + L&u& + N
& L& + NL
&& , &r&L = N
K
LL
LL .
Óðàâíåíèå (6) ìîæåò áûòü èñïîëüçî âàíî äëÿ îòñëåæèâàíèÿ êðèâîé
äåôîðìèðîâàíèÿ â (n + 1)-ðàçìåðíîì ïðîñòðàíñòâå (u, Λ) ïî èçâåñòíîé ôîðìóëå
u ( s+1) = u ( s ) + u& ( s) Dt .
(9)
Îäíàêî â íåêîòîðûõ òî÷êàõ êðèâîé äåôîðìèðîâàíèÿ êàñàòåëüíàÿ ìàòðèöà K ÿâëÿåòñÿ ñèíãóëÿðíîé è íàõîæäåíèå âåêòîðà u& (s ) èç (6) è ñîîòâåòñòâåííî ïðèìåíåíèå (9)
íåâîçìîæíî.
60
3. Óñëîâèå ïîòåðè óñòîé÷èâîñòè
Ñèíãóëÿðíîñòü êàñàòåëüíîé ìàòðèöû K òðàêòóåòñÿ êàê ïîòåðÿ óñòîé÷èâîñòè
êîíñòðóêöèè. Ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êè (uc, Λc) êðèâîé äåôîðìèðîâàíèÿ íàçûâàþòñÿ
êðèòè÷åñêèìè òî÷êàìè, à äîñòèãíóòûé ìíîæèòåëü íàãðóçêè Λc(X) íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêèì. Ñëåäîâàòåëüíî, êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà îïðåäåëÿåòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì óñëîâèÿ:
det[K (u c , L c , X )] = 0 .
(10)
Àëüòåðíàòèâíûì ïîäõîäîì äëÿ îïðåäåëåíèÿ êðèòè÷åñêîé òî÷êè ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî
íóëþ ïåðâîãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ êàñàòåëüíîé ìàòðèöû æåñòêîñòè, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåé ïðîáëåìû ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé:
K ( u c , Lc , X ) F1 = 0 ,
(11)
ãäå Φ1 − ïåðâàÿ ôîðìà ïîòåðè óñòîé÷èâîñòè êîíñòðóêöèè.
4. Êëàññèôèêàöèÿ êðàòíûõ êðèòè÷åñêèõ òî÷åê
~
Äëÿ ïðîñòîòû ðàññìîòðèì äâóêðàòíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå l1 = l 2 = l = 0.
Äëÿ äâóêðàòíîé êðèòè÷åñêîé òî÷êè èìååòñÿ áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ñîáñòâåííûõ
âåêòîðîâ Φ1 è Φ2, òî åñòü îíè íå ÿâëÿþòñÿ óíèêàëüíûìè. Ëþáàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ Φ1 è Φ2 áóäåò óäîâëåòâîðÿòü ïðîáëåìå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé (11). Èñïîëüçóåì
~
òàêèå ñîáñòâåííûå âåêòîðû F , êîòîðûå îñòàþòñÿ äèôôåðåíöèðóåìûìè ïî âàðüèðóåìîìó ïàðàìåòðó X. Äëÿ ýòîé öåëè ïðåäñòàâèì ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ ñîáñòâåííûõ
âåêòîðîâ Φ1 è Φ2:
~
F = a1F1 + a2 F 2 ,
(12)
~
ãäå α1 , α2 − íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû. Ñîáñòâåííûå âåêòîðû F íîðìèðóåì òàê,
÷òî èõ äëèíà ðàâíà åäèíèöå, òî åñòü âûïîëíÿåòñÿ
~ ~
F T F = 1,
(13)
a12 + a 22 = 1.
(14)
òîãäà ïîëó÷èì
Äëÿ äâóêðàòíîãî êðèòè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ èìååì
~ ~~
(15)
K (u, L , X )F = lF ,
~
~
ãäå l1 = l 2 = l = 0. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñîáñòâåííûé âåêòîð F ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåí~
öèðóåìûì ïî X â êðèòè÷åñêîé òî÷êå, òî åñòü ïðîèçâîäíàÿ dF / dX ñóùåñòâóåò.
Äèôôåðåíöèðóÿ (15) ïî X, ïîëó÷èì äëÿ êðèâîé êðèòè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé
~
dΦ  ∂K du c ∂K dΛ c ∂K  ~
K
+
+
+
 Φ = 0.
dX  ∂u dX ∂Λ dX ∂X 
(16)
Êëàññèôèêàöèÿ êðèòè÷åñêèõ òî÷åê, êîãäà íóëåâîå ïåðâîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå
ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì, ðàññìàòðèâàåòñÿ â ðàáîòàõ [1−6]. Äëÿ êëàññèôèêàöèè êðàòíûõ
~T
~
êðèòè÷åñêèõ òî÷åê óìíîæèì ñëåâà óðàâíåíèå (6) íà F T1 è F 2 . Òîãäà ìîæíî
çàïèñàòü [7]:
61
~
F T1 ( Ku& 1c + L& 1c rLc ) = 0 ,
~
F T2 (Ku& c2 + L& c2 rLc ) = 0 .
(17)
(18)
Èç (17)−(18) ñëåäóþò óñëîâèÿ ïîòåðè óñòîé÷èâîñòè êîíñòðóêöèè:
~
L& 1c F1T rLc = 0 ,
~
L& 2c F T2 rLc = 0 ,
(19)
(20)
êîòîðûå áóäåì èñïîëüçîâàòü äëÿ êëàññèôèêàöèè äâóêðàòíûõ êðèòè÷åñêèõ òî÷åê.
Òî÷êà, äëÿ êîòîðîé âûïîëíÿåòñÿ
~
~
F 1T rLc = 0 , F 2T rLc = 0 ,
(21)
&c è
íàçûâàåòñÿ îáû÷íîé (ïîñòîÿííîé) äâóêðàòíîé òî÷êîé áèôóðêàöèè. Äëÿ íåå L
1
L& c2 îñòàþòñÿ íåîïðåäåëåííûìè.
Òî÷êà, äëÿ êîòîðîé âûïîëíÿåòñÿ
~
~
F 1T rLc ¹ 0 , F 2T rLc ¹ 0 ,
(22)
L& c1 = L& c2 = 0 ,
(23)
íàçûâàåòñÿ äâóêðàòíîé ïðåäåëüíîé òî÷êîé.
Òî÷êà, äëÿ êîòîðîé âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ
~
~
F 1T rLc ¹ 0 , F 2T rLc = 0 ,
L& c1 = 0
(24)
~
~
F 1T rLc = 0 , F 2T rLc ¹ 0 , L& c2 = 0 ,
(25)
èëè
& c èëè L& c îñòàíàçûâàåòñÿ ñèíãóëÿðíîé äâóêðàòíîé òî÷êîé áèôóðêàöèè. Äëÿ íåå L
2
1
þòñÿ íåîïðåäåëåííûìè.
5. Ïðåäñòàâëåíèå ïðèðàùåíèÿ âåêòîðà íåëèíåéíûõ ïåðåìåùåíèé
â îêðåñòíîñòè êðàòíîé êðèòè÷åñêîé òî÷êè
Ðàññìîòðèì ìåòîäèêó îòñëåæèâàíèÿ ðàâíîâåñíîé êðèâîé ïîñëå êðàòíîé
êðèòè÷åñêîé òî÷êè.  äâóêðàòíîé òî÷êå áèôóðêàöèè B âåêòîð ïåðåìåùåíèé è
ìíîæèòåëü íàãðóçêè ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ u cB è LcB . Íàìè èçó÷åíû ìàëûå îòêëîíåíèÿ ïåðåìåùåíèé è ìíîæèòåëÿ íàãðóçêè â îêðåñòíîñòè òî÷êè áèôóðêàöèè. Äëÿ
ìàëûõ îòêëîíåíèé îò äâóêðàòíîé òî÷êè áèôóðêàöèè ñâÿçü ìåæäó D u cB è DLcB ìîæåò
áûòü ïðåäñòàâëåíà òàê [7]:
~
(26)
Du 1c = A1F 1D s + D L1c y ,
~
Du c2 = A2 F 2 D s + D L c2 y ,
(27)
èëè â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå
~
u& 1c = A1F1 + L& 1c y ,
~
u& c2 = A2 F 2 + L& c2 y ,
62
(28)
(29)
ãäå âåêòîð y îïðåäåëÿåòñÿ êàê
é1
ù
1
y = - ê ( F T3 rLc )F 3 + K +
( FTn rLc )F n ú ,
ln
ë l3
û
(30)
A1, A2 − íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû, ∆s − ïðèðàùåíèå äëèíû êðèâîé ðàâíîâåñíûõ
ñîñòîÿíèé. Âåêòîð y ìîæåò íàõîäèòüñÿ èç ñëåäóþùåé ñèñòåìû óðàâíåíèé, ïîëó÷åííîé ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ (6) ñ ó÷åòîì (28) èëè (29):
Ky = -rLc ,
~
F1T y = 0 ,
~
F T2 y = 0 .
(31)
Èñïîëüçîâàíèå äâóõ ïîñëåäíèõ óðàâíåíèé ñèñòåìû (31) ïîçâîëÿåò îáîéòè ñèíãóëÿðíîñòü êàñàòåëüíîé ìàòðèöû æåñòêîñòè K. Ïðåäñòàâëåíèå (28) èëè (29) àíàëîãè÷íî ðàçëîæåíèþ äâèæåíèÿ êîíñòðóêöèè êàê òâåðäîãî öåëîãî è äåôîðìèðîâàíèÿ
~ ~
êîíñòðóêöèè, ãäå F1 , F 2 − ìîäû äâèæåíèÿ êîíñòðóêöèè êàê òâåðäîãî öåëîãî.
Àíàëîãè÷íî äëÿ äâóêðàòíîé ïðåäåëüíîé òî÷êè èìååì:
~
(32)
u& 1c = A1F1 ,
~
u& c2 = A2 F 2 .
(33)
Îïðåäåëåíèå êîýôôèöèåíòîâ A1, A2 è èññëåäîâàíèå óñòîé÷èâîñòè ðàâíîâåñíûõ
êðèâûõ äëÿ êðàòíîé ïðåäåëüíîé òî÷êè è êðàòíîé òî÷êè áèôóðêàöèè ïîäðîáíî
ðàññìàòðèâàåòñÿ â ðàáîòå [7]. ×òîáû íàéòè êîýôôèöèåíòû A1, A2, äëÿ êðàòíûõ êðèòè÷åñêèõ òî÷åê èñïîëüçóåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà (7), ïîñêîëüêó èç óðàâíåíèÿ (17) èëè (18) íåëüçÿ ïîëó÷èòü ýòó èíôîðìàöèþ.
6. Àíàëèòè÷åñêèé àíàëèç ÷óâñòâèòåëüíîñòè
êðèòè÷åñêîãî ìíîæèòåëÿ íàãðóçêè è íåëèíåéíûõ ïåðåìåùåíèé
äëÿ êðàòíîé ïðåäåëüíîé òî÷êè
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîäíûõ ïî âàðüèðóåìîìó ïàðàìåòðó X
êðèòè÷åñêîãî ìíîæèòåëÿ íàãðóçêè dLc / dX è ïåðåìåùåíèé du c / dX äëÿ äâóêðàòíîé ïðåäåëüíîé òî÷êè. Óìíîæàÿ óðàâíåíèå (16) ñíà÷àëà íà F T1 , à çàòåì íà F T2 ,
ïîëó÷èì ñèñòåìó äâóõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî êîýôôèöèåíòîâ α1, α 2:
é A11
êA
ë 12
A12 ù
A22 úû
ì a1 ü
í ý = 0,
îa 2 þ
(34)
ãäå
Aij = Lij
du c
+ Dij , i = 1, 2 ,
dX
j = 1, 2 , Lij = F Ti
¶K
¶K
F j , Dij = F Ti
F .
¶u
¶X j
Íåíóëåâûå ðåøåíèÿ äëÿ α1 è α2 ñóùåñòâóþò, åñëè îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû (34) ðàâåí
íóëþ:
2
A11 A22 -
2
A12
æ
öæ
ö æ
ö
du c
du c
du c
= çç L11
+ D11 ÷÷ çç L22
+ D22 ÷÷ - çç L12
+ D12 ÷÷ = 0 . (35)
dX
dX
dX
è
øè
ø è
ø
63
Èç îäíîãî óðàâíåíèÿ (35) íåëüçÿ îïðåäåëèòü ïðîèçâîäíóþ du c / dX . Ïîýòîìó
íåîáõîäèìî çàïèñàòü äîïîëíèòåëüíûå óðàâíåíèÿ. Äèôôåðåíöèðóÿ óðàâíåíèå (4)
ïî X, èìååì
du c dLc
¶r c
P
= 0.
0 +
dX
dX
¶X
~
Óìíîæàÿ (36) íà FT , ïîëó÷èì óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ dLc / dX :
K
(36)
~
du c dLc ~ T
~ ¶r c
FT K
F P0 + F T
= 0,
dX
dX
¶X
(37)
~ ¶r c
FT
dL
= ~ T ¶X .
dX
F P0
(38)
îòêóäà
c
Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííóþ ïðîèçâîäíóþ dLc / dX â (36), ïîëó÷èì
~
du c ~ T ¶r c
~
¶r c
F T P0 K
P0 + F T P0
-F
= 0.
(39)
dX
¶X
¶X
Èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå (39) è ñîáèðàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè α1, α2, çàïèøåì äâà äîïîëíèòåëüíûõ óðàâíåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîäíîé du c / dX :
F 1T P0 K
du c
¶r c
¶r c
P0 + F 1T P0
- F1T
= 0,
dX
¶X
¶X
(40)
F T2 P0 K
du c
¶r c
¶r c
P0 + F T2 P0
- F T2
= 0.
dX
¶X
¶X
(41)
Ïðîèçâîäíàÿ ¶u c / ¶L íå ñóùåñòâóåò äëÿ êðàòíîé ïðåäåëüíîé òî÷êè è, ñëåäîâàòåëüíî, äàííûå âûêëàäêè äëÿ êðàòíîé òî÷êè áèôóðêàöèè íåâîçìîæíû.
7. Àíàëèòè÷åñêèé àíàëèç ÷óâñòâèòåëüíîñòè
êðèòè÷åñêîãî ìíîæèòåëÿ íàãðóçêè è íåëèíåéíûõ ïåðåìåùåíèé
äëÿ êðàòíîé òî÷êè áèôóðêàöèè
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîäíûõ ïî âàðüèðóåìîìó ïàðàìåòðó X
êðèòè÷åñêîãî ìíîæèòåëÿ íàãðóçêè dLc / dX è ïåðåìåùåíèé du c / dX äëÿ äâóêðàòíîé òî÷êè áèôóðêàöèè. Ïðîèçâîäíàÿ du c / dX ìîæåò áûòü çàïèñàíà êàê
du c ¶u c dLc ¶u c
=
+
.
(42)
¶L dX
¶X
dX
Îïðåäåëèì ïðîèçâîäíóþ ¶u c / ¶L . Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ïðîöåññ äåôîðìàöèè
& = 1, L
&& = &L&& = ... = 0 . Èç óðàâíåíèÿ (6) èìååì
ïîä íàãðóçêîé, òî åñòü t = L , L
¶u c
+ rLc = 0 .
(43)
¶L
Ìàòðèöà K ÿâëÿåòñÿ ñèíãóëÿðíîé â êðèòè÷åñêîì ñîñòîÿíèè, è íàõîæäåíèå ¶u c / ¶L
èç ëèíåéíîé ñèñòåìû (43) ñòàíîâèòñÿ íåâîçìîæíûì. Òðåáóþòñÿ äâà äîïîëíèòåëüK
64
íûõ óðàâíåíèÿ. Ïîýòîìó îáðàòèìñÿ çà ïîìîùüþ ê óðàâíåíèþ (7) è ïîëó÷èì ýòè
~
~
óðàâíåíèÿ ïîñëå óìíîæåíèÿ (7) ñëåâà íà F1T èëè FT2 . Äâà äîïîëíèòåëüíûõ óðàâíåíèÿ èìåþò âèä:
æ ¶u c ¶uc
¶u c
c ö
÷÷ = 0 ,
+ 2N
+ rLL
F1T çç L
¶L
è ¶L ¶L
ø
(44)
æ ¶uc ¶u c
¶u c
c ö
÷÷ = 0 .
+ 2N
+ rLL
F T2 çç L
¶L
è ¶L ¶L
ø
(45)
Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèÿ (44)−(45) ÿâëÿþòñÿ êâàäðàòè÷íûìè îòíîñèòåëüíî ¶uc / ¶L .
Ñëåäîâàòåëüíî, â äâóêðàòíîé êðèòè÷åñêîé òî÷êå ìîæíî ïîëó÷èòü äî äâóõ ðåøåíèé
äëÿ ïðîèçâîäíîé ¶u c / ¶L .
Òåïåðü íàéäåì ïðîèçâîäíóþ ¶uc / ¶X . Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ïðîöåññ ïðåîáðà& =L
&& = ... = 0 . Äèôôåðåíöèðóÿ óðàâíåíèå (4) ïî X
çîâàíèÿ, òî åñòü L = const, L
èìååì
¶u c
+ rXc = 0 .
(46)
¶X
Äâà äîáàâî÷íûõ óñëîâèÿ ïîëó÷èì ïîñëå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ óðàâíåíèÿ (46) ïî X
~
~
è ïîñëåäóþùåãî åãî óìíîæåíèÿ ñëåâà íà F1T èëè F T2 . Äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ
äëÿ äâóêðàòíîé òî÷êè áèôóðêàöèè òàêæå ÿâëÿþòñÿ êâàäðàòè÷íûìè îòíîñèòåëüíî
¶uc / ¶X è èìåþò âèä:
K
æ ¶u c ¶u c
¶K ¶u c
c ö
÷÷ = 0 ,
+2
+ rXX
F 1T çç L
¶X ¶X
è ¶X ¶X
ø
(47)
æ ¶u c ¶u c
¶K ¶u c
c ö
÷÷ = 0 .
+2
+ rXX
F T2 çç L
¶X ¶X
è ¶X ¶X
ø
(48)
Òåïåðü ðàññìîòðèì îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé dLc / dX . Óìíîæàÿ óðàâíåíèå
(16) ñíà÷àëà íà F 1T , à çàòåì íà F T2 , ïîëó÷èì ñèñòåìó äâóõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
(34) îòíîñèòåëüíî êîýôôèöèåíòîâ α1 è α2, ãäå
Aij = Lij
æ ¶K ¶u c ¶K ö
dL c
÷÷ F j ,
+
+ Dij , i = 1, 2, j = 1, 2, Lij = F Ti çç
¶
u
¶
L
¶
L
dX
è
ø
c
¶K ö
¶K
¶K
T æ ¶K ¶u
+
÷÷ F j , F1T
F 2 = F 2T
F1.
Dij = F i çç
¶u
¶u
è ¶u ¶X ¶X ø
Íåíóëåâûå ðåøåíèÿ äëÿ α1 è α2 ñóùåñòâóþò, åñëè îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû (34) ðàâåí
íóëþ:
A11 A22 -
2
A12
=
æ
( L11 L22 - L212 ) çç
dLc
è dX
2
ö
æ dL c
÷÷ + ( L11 D 22 + L22 D11 - 2 L12 D12 ) çç
ø
è dX
2
+ ( D11 D22 - D12
) = 0.
ö
÷÷ +
ø
(49)
65
Èç óðàâíåíèÿ (49) îïðåäåëÿåì ïðîèçâîäíûå êðàòíîãî êðèòè÷åñêîãî ìíîæèòåëÿ
íàãðóçêè:
dLc1 2 L12 D12 - L11 D22 - L22 D11 - d
,
=
dX
2( L11 L22 - L212 )
(50)
dLc2 2 L12 D12 - L11 D22 - L22 D11 + d
,
=
dX
2( L11 L22 - L212 )
(51)
ãäå äèñêðèìèíàíò d äëÿ (49) îïðåäåëÿåòñÿ êàê
d = ( L11 D22 - L22 D11 ) 2 + 4( L11 D12 - L12 D11 ) ( L22 D12 - L12 D22 ) .
(52)
Ïîñëå íàõîæäåíèÿ dLc1 / dX è dLc2 / dX èç ñèñòåìû óðàâíåíèé (34) íàõîäèì
äâå ïàðû ðåøåíèé äëÿ êîýôôèöèåíòîâ α1 è α2 ñ ó÷åòîì óðàâíåíèÿ (14), à çàòåì
ïðîèçâîäíóþ du c / dX èç óðàâíåíèÿ (42). Äâå ïàðû êîýôôèöèåíòîâ α1 è α2 ïîçâî~
~
ëÿþò ïîëó÷èòü èç (12) äâà ñîáñòâåííûõ âåêòîðà F1 è F 2 , äèôôåðåíöèðóåìûõ ïî
ïàðàìåòðó X â êðèòè÷åñêîé òî÷êå.
Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî êîãäà dLc1 / dX = dLc2 / dX , òî â ýòîì ñëó÷àå âîçíèêàåò
íîâàÿ ïðîáëåìà ñ îïðåäåëåíèåì êîýôôèöèåíòîâ α1 è α2. Äèñêðèìèíàíò d êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ (49) äîëæåí áûòü ðàâåí íóëþ, ÷òîáû ñîõðàíÿòü äâóêðàòíîå êðèòè÷åñêîå ñîñòîÿíèå ïðè âàðüèðîâàíèè ïàðàìåòðà X.
Ïðèìåð
Ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâåííóþ ôåðìó (êóïîë) ñ òðåìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, íàãðóæåííóþ â óçëå 1 ñîñðåäîòî÷åííîé ñèëîé P0 = 3.105 êÃ, ðèñ. 1. Íà ýòîì ðèñóíêå
êóïîë òàêæå ïðåäñòàâëåí ñâåðõó. Âûñîòà êóïîëà Í = 110 ìì, ðàññòîÿíèÿ S1 = 180 ìì,
S2 = 150 ìì, ìîäóëü óïðóãîñòè E = 7028 êÃ/ìì 2, ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà êóïîëà ρ =
= 2,75.10−6 êã/ìì3.
P0
5
1
(a2 )
2
5
4
2
uX
H
uZ
s2/2
(a1 ) 1
(a 2)
(a 1) 4
uY
3
3
Ðèñ. 1
s1 /2
Íà ðèñ. 2 ïîêàçàíû íåêðàòíûå òî÷êè áèôóðêàöèè è ïðîñòûå ïðåäåëüíûå òî÷êè.
 ïåðâîé òî÷êå áèôóðêàöèè ôåðìà òåðÿåò óñòîé÷èâîñòü â ïëîñêîñòè ZY (ðèñ. 3), à
âî âòîðîé òî÷êå áèôóðêàöèè êîíñòðóêöèÿ áóäåò òåðÿòü óñòîé÷èâîñòü â ïëîñêîñòè
ZX (ðèñ. 4).
66
P.105, êÃ
2
1
0
−1
−2
−3
0
B2
B1
L1
50
100
150
200 uZ , ìì
Ðèñ. 2
P. 105, êÃ
P. 105, êÃ
B1
2
2
1
0
−1
−2
−3
1
0
−1
−2
−3
−75 −50 −25
0
25
Ðèñ. 3
50 uY, ìì
B2
−75 −50 −25
0
25
50 uX, ìì
Ðèñ. 4
Ïàðàìåòðàìè ïðîåêòèðîâàíèÿ ÿâëÿþòñÿ ïëîùàäè ïîïåðå÷íûõ ñå÷åíèé a1 è a2
ýëåìåíòîâ ôåðìû. Äîïóñòèìàÿ îáëàñòü F îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèìè îãðàíè÷åíèÿìè
íà ïàðàìåòðû ïðîåêòèðîâàíèÿ (ìì2): 50 £ a1 £ 200 , 50 £ a2 £ 200 , à òàêæå îãðàíè÷åíèåì íà êðèòè÷åñêóþ íàãðóçêó ïîòåðè óñòîé÷èâîñòè ïðîñòðàíñòâåííîé ôåðìû
P c ³ Ld P0 .
Ïîëíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ïðîñòðàíñòâåííîé ôåðìû çàïèñûâàåòñÿ â âèäå:
æ 2 a ( s 2 u 2 + ( u 2X + uY2 - 2 HuZ + u Z2 ) 2 )
P = E çç 1 1 X
+
2
2 3 /2
( 4 H + s1 )
è
+
2a 2 ( s22 uY2 + ( u 2X + uY2 - 2 HuZ + u Z2 ) 2 ) ö
÷÷ - Ld P0u Z .
( 4 H 2 + s22 ) 3 / 2
ø
Îïòèìàëüíûé ïðîåêò ôåðìû îïðåäåëÿåòñÿ äâóêðàòíîé òî÷êîé áèôóðêàöèè {X *} =
= {102,3715; 121,1697} ìì 2 ñ ìàññîé Wopt = 0,1687 êã, ðèñ. 5, ãäå 1, 2 è 3 − êðèâûå
òî÷åê áèôóðêàöèè è ïðåäåëüíîé òî÷êè, êîòîðûå ïîÿâëÿþòñÿ ïðè ñèëå P0 â îáëàñòè
ïîèñêà; 4 − êðèâàÿ óðîâíÿ öåëåâîé ôóíêöèè; 5, 7 − ëèíèè, âäîëü êîòîðûõ ïåðâàÿ è
âòîðàÿ òî÷êè áèôóðêàöèè ñîâïàäàþò ñ ïðåäåëüíîé òî÷êîé; 6 − ëèíèÿ, âäîëü êîòîðîé
òî÷êà áèôóðêàöèè ÿâëÿåòñÿ äâóêðàòíîé. Çàìåòèì, ÷òî ïðè H = 3 s1s 2 /( 2 s12 + s22 )
ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ñîâïàäàåò ñ äâóêðàòíîé òî÷êîé áèôóðêàöèè, òî åñòü èìååì
òðåõêðàòíóþ êðèòè÷åñêóþ òî÷êó Â. Îïòèìàëüíûé ïðîåêò ïðîñòðàíñòâåííîé ôåðìû
(Wopt = 0,1695 êã, ðèñ. 6) íå îïðåäåëÿåòñÿ òðåõêðàòíîé êðèòè÷åñêîé òî÷êîé Â, à
ëåæèò íà ãðàíèöå äîïóñòèìîé îáëàñòè è îïðåäåëÿåòñÿ òî÷êîé ñ êîîðäèíàòàìè a1 =
= 106 ìì2 è a2 = 132 ìì2 .
67
a2 , ìì2
Äîïóñòèìàÿ îáëàñòü
180
160
4
140
Optimum
120 7
1
100
6
80
2
5
60
60
3
80
100
120 140 160
a1, ìì2
Ðèñ. 5
a2, ìì2
Äîïóñòèìàÿ îáëàñòü
180
160
140
Optimum
120
B
2
1
7, 6, 5
100
3
80
4
60
60
80
100
120 140
160
a1, ìì2
Ðèñ. 6
Çàêëþ÷åíèå
Âûïîëíåí àíàëèç ÷óâñòâèòåëüíîñòè êðàòíîé êðèòè÷åñêîé íàãðóçêè ïîòåðè óñòîé÷èâîñòè êîíñòðóêöèè è íåëèíåéíûõ ïåðåìåùåíèé. Äëÿ àíàëèçà ÷óâñòâèòåëüíîñòè ïðèìåíåí ïðÿìîé ìåòîä.  äîïîëíåíèå ê èçâåñòíîé äâóêðàòíîé òî÷êå áèôóðêàöèè îáíàðóæåíû äâóêðàòíàÿ ïðåäåëüíàÿ òî÷êà è ñìåøàííàÿ òî÷êà (ñèíãóëÿðíàÿ
äâóêðàòíàÿ òî÷êà áèôóðêàöèè). Ïðèâåäåíû ïðèìåðû îïòèìèçàöèè ïðîñòðàíñòâåííîé ôåðìû ñ äâóêðàòíîé è òðåõêðàòíîé òî÷êàìè áèôóðêàöèè.
Ëèòåðàòóðà
1. Ñåðãååâ, Î.À. Îïòèìèçàöèÿ ãåîìåòðè÷åñêè íåëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâåííûõ ðàì ñ
ó÷åòîì îãðàíè÷åíèé ïî ïðî÷íîñòè è îáùåé óñòîé÷èâîñòè / Î.À. Ñåðãååâ, Â.Ã. Êèñåëåâ, Ñ.À.
Ñåðãååâà // Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè è ïëàñòè÷íîñòè: Ìåæâóç. ñá. / Íèæåãîðîä. óí-ò. − 2001. −
Âûï. 63. − Ñ. 111−118.
2. Ñåðãååâ, Î.À. Àíàëèç ÷óâñòâèòåëüíîñòè è îïòèìàëüíîå ïðîåêòèðîâàíèå ãåîìåòðè÷åñêè
íåëèíåéíûõ ðàì ñ ó÷åòîì îáùåé ïîòåðè óñòîé÷èâîñòè / Î.À. Ñåðãååâ, Ñ.À. Ñåðãååâà, Â.Ã.
68
Êèñåëåâ // Âåñòíèê ÍÍÃÓ. Ñåðèÿ ìåõàíèêà / Í.Íîâãîðîä: Èçä-âî ÍÍÃÓ. − 2002. − Âûï. 1(4).
− Ñ. 161−175.
3. Sergeyev, O.A. Optimization of 3D frame structures for stress and overall stability constraints
/ O.A. Sergeyev, S.A. Sergeyeva, V.G. Kiselev // Proceedings of the 4-th world congress of structural
and multidisciplinary optimization.− Dalian, China. − 2001. − P. 79−80.
4. Bojczuk, D. Non-linear sensitivity analysis of discrete structures / D. Bojczuk, Z. Mro'z //
Foundations of civil and environmental engineering. − 2002. − 1. − P. 19−41.
5. Mro'z, Z. Sensitivity analysis and optimal design of nonlinear structures / Z. Mro'z, J. Piekarski
// Int. J. Numer. Meth. Engng. − 1998. − 42. − P. 1231−1262.
6. Ñåðãååâ, Î.À. Àíàëèç çàêðèòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêè íåëèíåéíûõ óïðóãèõ
ïðîñòðàíñòâåííûõ ðàì / Î.À. Ñåðãååâ, Â.Ã. Êèñåëåâ // Âåñòíèê ÍÍÃÓ. Ñåðèÿ ìåõàíèêà /
Í.Íîâãîðîä: Èçä-âî ÍÍÃÓ. − 2004. − Âûï. 1(6). − Ñ. 177−190.
7. Ñåðãååâ, Î.À. Àíàëèç óñòîé÷èâîñòè ðàâíîâåñíûõ êðèâûõ íåëèíåéíûõ êîíñòðóêöèé è
àíàëèç ÷óâñòâèòåëüíîñòè â êðàòíûõ êðèòè÷åñêèõ òî÷êàõ / Î.À. Ñåðãååâ, Â.Ã. Êèñåëåâ // Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè è ïëàñòè÷íîñòè: Ìåæâóç. ñá. / Íèæåãîðîä. óí-ò. − 2006. − Âûï. 68. − Ñ. 126−
138.
[27.09.2007]
SENSITIVITY ANALYSIS AT MULTIPLE CRITICAL POINTS
AND OPTIMAL DESIGN OF GEOMETRICALLY NONLINEAR CONSTRUCTIONS
O.A. Sergeyev, V.G. Kiselev
It is presented a method for determination of design variables values of a geometrically nonlinear
structure for which the structure mass attains its minimum subject to the constraints on multiple
buckling loads and on limit values of design variables. It is assumed that a geometrically nonlinear
elastic structure is under conservative loads. The successive loading method, the generalized displacement method and the arc length method are used for the calculation of nonlinear displacements.
The singularity of tangent stiffness matrix is interpreted as overall buckling of a structure. The
analytical sensitivity analysis is proposed for multiple buckling loads and nonlinear displacements
at limit and bifurcation points. The efficiency of suggested method is shown on the examples of
optimal design of a space truss for which the response involves double and triple bifurcation
points.
69