1.1. Векторы и скаляры

Задачник школьника. Fizportal.ru
МЕХАНИКА
1.1. Векторы и скаляры
Скалярами (скалярными величинами) называются величины, характеризуемые
только численным значением; векторами (векторными величинами) – величины, характеризуемые не только численным значением, но и направлением в пространстве.


Длина (модуль) вектора a обозначается как | a | a . Единичным называется
вектор, длина которого равна единице; нулевым – длина которого равна нулю; направление нулевого вектора считается неопределенным. Два вектора считают равными, если их модули
равны и направления совпадают.
  
Если i , j , k – единичные векторы, направленные вдоль осей Ox, Oy, Oz прямоугольной декартовой системы координат (в их положительном направлении), то

любой вектор a может быть представлен в виде




a  ax i  a y j  az k .

где числа ax, ay, az называют декартовыми координатами вектора a ; единичные век 
торы i , j , k называют ортами координатных осей Ox, Oy, Oz.
Любой вектор
 однозначно определен своими декартовыми координатами. Если



a  ax i  a y j  az k , то для вектора а может быть использовано обозначение. Операции a  ax , a y , az  над векторными величинами удобно производить с использова-
нием декартовых координат. В частности, если a  ax , a y , az  и b  bx , by , bz  , а  и
 – скалярные величины, то
 a   ax ,  a y ,  az  ,
a  b  ax  bx , a y  by , az  bz  ;
в общем случае
 a   b   ax   bx ,  a y   by ,  az   bz  .
Скалярное произведение векторов a  ax , a y , az  и b  bx , by , bz  равно
   
 
a  b  (a , b ) | a |  | b | cos   axbx  a yby  az bz ,
 
где  – угол между направлениями векторов a и b ;
| a | ax2  a 2y  az2 .
1.11. Как направлены два вектора, модули которых одинаковы и равны a, если
модуль их суммы равен: а) 0; б) 2а; в) а; г) a 2 ; д) a 3 ?
  
1.21. Если a  a1  a2 ориентации векторов, то что можно сказать о взаимной


ориентации векторов a1 и a2 , если: а) a = a1 + a2; б) a 2  a12  a22 ; в) a1 + a2 = a1 – a2?




1.31. Вектор a  3i  4 j . Какова должна быть скалярная величина c, чтобы |c a |
= 7,5?
1


1.41. Векторы a1 и a2 имеют прямоугольные декартовы координаты {6, 0, 2} и

  
{1, 4, 3} соответственно. Найдите вектор a3 такой, что: а) a1  a2  a3  0 ; б)
  
a1  a2  a3  0 .
1.51. Посыльный проходит 30 м на север, 25 м на восток, 12 м на юг, а затем в
здании поднимается на лифте на высоту 36 м. Чему равны пройденный им путь S и
перемещение L?


1.61. Угол  между двумя векторами a1 и b равен 60°. Определите длину век 
 
тора c  a  b и угол  между векторами a и c . Величины векторов равны a = 3,0 и
b = 2,0.


1.71.Для векторов
a и b , определенных
в предыдущей задаче, найдите длину

 

вектора d  a  b угол  между a и d .



1.82. Найдите проекцию вектора a  4,0i  7,0 j на прямую, направление кото
рой составляет угол  = 30° с осью Ox. Вектор a и прямая лежат в плоскости xOy.
   


1.92. Известно, что d  a  b  c . Векторы d и c заданы графически, известны также прямые MN и M1N1,

вдоль которых направлены векторы a и b (см. рис. 1).

Найдите построением векторы a и b .
плоскости xOy графически
1.102. На координатной
Рис. 1


и
(см.
рис.
2).
Найдите
длины
векзаданы векторы
a
b
     
торов c1  a  b и c2  a  b .

1.112. Вектор a составляет угол  = 30° с прямой
АВ, a = 3,0. Под каким углом  к прямой АВ нужно на
  
править вектор b ( b  3 ), чтобы вектор c  a  b был

параллелен АВ? Найдите длину вектора c .
 
 
a  3i  2 j  k ;
1.121. Заданы три вектора:




 
 

 
b  2i  j  k ; c  i  3 j . Найдите а) a  b ; б) a  b ; в)
 
     
Рис. 2
( a , b ) ; г) (a , c )b  (a , b )c .


a и b равен  = 60°, a = 2,0, b = 1,0. Найдите
1.132. Угол между векторами

 
 

длины векторов c  (a , b )a  b и d  2b  a / 2 .


1.142. Докажите, что векторы a и b перпендикулярны, если a = {2, 1, –5} и b =
{5, –5, 1}.


1.152. Найдите угол  между векторами a и b , если
a = {1, 2, 3}, b = {3, 2, 1}.

1.162. Вектор a составляет с осью Ox угол  = 30°,
проекция
этого вектора на ось Oy равна ay = 2,0. Вектор


вектору a и b = 3,0 (см. рис.
b перпендикулярен

 3). Век 
тор c  a  b . Найдите: a) проекции вектора b на оси Ox

и Oy; б) величину c и угол  между вектором c и осью
 
 
Ox; в) ( a , b ); г) ( a , c ).
Рис. 3
Задачник школьника. Fizportal.ru
Ответы:
1.1. Векторы и скаляры.
1.1. Угол  между векторами равен: а) 180о; б) 0; в) 120о; г) 90о; д) 60о.
 
 

1.2. а) a1 || a2 ; б) a1  a2 ; в) a2 – нулевой вектор.
1.3. c = 1,5.


1.4. а) a3  {7;  4;  5} ; б) a3  {5; 4; 1} .
1.5. S = 103 м, L = 47,4 м.
1.6. c  4,4;   41о.
1.7. d  2,6;   41о.
1.8. a1  ax cos   a y sin   7,0 .
1.10. c1  5,8; c2  7,1.
1.11.  = 300о; c = 3,5.
1.12. а) 5i  j ; б) i  3 j  2k ; в) 15i  18 j  9k .
1.13. c = 2,6; d = 1,7.
1.15.  = 44,4о.
1.16. а) bx  1,5; by  2,6 ; б) c  5;   67o ; в) 0; г) 16,0.
3