Производная функции, её геометрический и механический смысл.

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Сибирский государственный индустриальный университет»
Кафедра высшей математики
Производная функции, её геометрический
и механический смысл.
Методические указания для практических занятий
Новокузнецк
2014
УДК 517.54(07)
П 801
Рецензент
доктор физико-математических наук, профессор
кафедры физики имени профессора В.М. Финкеля
Громов В.Е.
П 801 Производная функции, её геометрический и механический смысл: метод. указ. / Сиб. гос. индустр. ун-т; сост. В. И. Зимин. – Новокузнецк : Изд. центр СибГИУ, 2014. – 10 с.
Изложена краткая теория, рассмотрены примеры решения
задач, приведены задания для самостоятельного решения.
Предназначены для студентов всех специальностей и
направлений подготовки.
Печатается по решению Совета института фундаментального образования
2
1. Понятие производной
Теоретические сведения
1. Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, то есть
. Используя
это определение, получают формулы дифференцирования (таблица
производных) и правила дифференцирования.
2. Таблица производных:
2.1 Степенная функция:
1) c’=0, 2) x’=1, 3) (x2)’=2x, 4)
2.2 Показательная функция:
1)
2.3 Логарифмическая функция:
2.3 Тригонометрические функции:
2.4 Обратные тригонометрические функции:
2.5 Гиперболические функции:
3. Правила дифференцирования.
3.1 Производная суммы (разности)
3.2 Производная произведения
3.3 Производная частного
3.3 Производная сложной функции
3
.
3.3.1 Двухзвенная сложная функция y=U(V(X)),
3.3.2 Трехзвенная сложная функция
2. Геометрический смысл производной
Теоретические сведения
1. Геометрический смысл производной функции y=f(x) состоит в том,
что значение производной в точке х0 равно тангенсу угла наклона
касательной к графику функции, проходящей через точку графика с
абсциссой х0 (рисунок 1).
.
2. Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х 0
имеет вид у=у’(x0)(x-x0)+y(x0).
3. Уравнение нормали к графику функции в точке с абсциссой х0 имеет вид у=
(x0)(x-x0)+y(x0).
у
y=f(x)
y=y’(x0)(x-x0)+y(x0)
x
(x-x0)+y(x0)
y=
Рисунок 1 – Геометрический смысл производной
Примеры решения задач
1) В какой точке касательная к графику функций у=х3-х параллельна
прямой у=5х+2?
Решение
В точках, в которых касательная параллельна прямой у=5х+2, её угловой коэффициент равен 5, поэтому, и 3x 2  1  5 ,
. Так, как
3
2  2.
точка лежит на графике функции, то y  ( 2)
Ответ: М1,2(
4
2) Чему равен угловой коэффициент касательной, проведенный к
окружности (х-1)2+(у+3)2=17, проведенной в точке М0(2;1)
Решение
Угловой коэффициент касательной в данной точке равен значению производной в этой точке. Находим производную.
2(х-1)+2(у+3)у,=0, у,=
Ответ:-1/4
3) Найти угловой коэффициент касательной к данной линии в данной
точке:
Решение
Угловой коэффициент касательной равен значению производной в
этой точке. Отметим, что в данной точке параметр имеет два значения t1=0, t2=1. Это говорит о том, кривая, заданная параметрически
самопересекается (рисунок 2).
у
0
х
Рисунок 2 – График заданной функции
Поэтому в данной точке будет две касательные и два угловых коэффициента. Находим производную к=ух/=
к1=у(0)=0, к2=у(1)=1/3. Ответ: 0; 1/3.
5
Задачи для решения в аудитории
1) Составить уравнение касательной к графику у=х2 в точке
М(2;4). Построить параболу и касательную.
2) Составить уравнения касательных к графику функции у= 4х2
х в точках пересечения его с осью абсцисс. Сделать чертеж.
3) В точках М1(0; 0), М2(2; 1), М3(4; 0) проведены касательные к
параболе у=(4х-х2)/4. Написать их уравнения и определить углы
наклона к оси ОХ. Сделать чертеж.
4) Под каким углом пересекаются парабола у=х2 и прямая 3х-у2=0?
5) Под каким углом пересекаются парабола у=х2 с параболой
у= ?
6) Написать уравнение касательной и нормали к кривой у=х3 в
точке с абсциссой 2.
Задачи для домашнего задания
7) В какой точке касательная к параболе у=х2 7.1) параллельна
прямой у=4х-5; 7.2) перпендикулярна прямой 2х-6у+5=0; 7.3) образует с прямой 3х-у+1=0 угол 450?
8) Написать уравнения касательных к окружности х2+у2-4х=0 в
точках её пересечения с осью ОХ. Сделать чертеж.
9) Написать уравнение касательных к окружности х 2+у2-6х-8у=0
в точках её пересечения с осью ОХ. Сделать чертеж.
10) Найти угловые коэффициенты касательных к данным линиям в данных точках:
.
Ответы
1)у=4х-4; 2) у=4х, у=-4х-16, 3)у=х, у=2,у=-х+4,
; 4)
, 6) у=12х-16, у
5)
7.1) х=2, х=2; 7.3) х=-1, х= ; 8) х=0, х=4; 9)
10.1) 1; 10.2)
.
6
3. Механический смысл производной
Теоретические сведения
1. Если тело движется по закону S=S(t)( S- пройденный путь, tвремя от начала движения), то из определения производной следует,
что скорость равна производной от пути по времениV=S’= , а ускорение- производная от скорости по времени w=V’= .
2. Если некоторая величина меняет свое значение в зависимости
от времени, то производная от этой величины по времени является
скоростью процесса, который характеризуется данной величиной.
Например, при радиоактивном процессе масса является величиной,
зависящей от времени, а производная от функции массы по времени
является скоростью радиоактивного распада.
3. Если стержень I помещен на ось ОХ (рисунок 3), а масса его
участка [0;x] равна м=м(х), то производной от этой функции по х будет являться плотность стержня в точке х.
*0
I
*
x
Рисунок 3 – Изображение стержня на оси Ох
Пример решения задач
1. Точка движется по окружности
. Найти скорость
изменения абсциссы и ординаты точки, если полярный радиус вращается со скоростью . Полярная ось служит осью абсцисс, пoлюс началом системы декартовых координат.
Решение
Находим координаты точки окружности по формулам
Тогда
. Находим скорость изменения координат:
. Полученные выражения
определяют скорости изменения абсциссы и ординаты точки.
7
Задачи для решения в аудитории
1) Точка движется по логарифмической спирали
.
Найти скорость изменения полярного радиуса, если известно, что он
изменяется со скоростью .
2) Тело движется по прямой по закону x=t3/3-2t2+3t. Определить
скорость и ускорение движения. В какие моменты тело меняет
направление движения?
3) Колебательное движение точки совершается по закону
Определить скорость и ускорение движения в точках
. Показать, что ускорение и отклонение связаны дифференциальным уравнением
.
4) Вращающееся маховое колесо, задерживаемое тормозом, за t
секунд поворачивается на угол
, где а, b, сположительные постоянные. Определить угловую скорость и ускорение вращения. Когда колесо остановится?
Задачи для домашнего задания
5) Колесо радиуса a катится по прямой. Угол
поворота колеса
за t сек. Определяется уравнением
.Определить скорость и
ускорение движения центра колеса.
6) Точка движется прямолинейно так, что v2=2ax, где vскорость, х-пройденный путь и a постоянная. Определить ускорение
движения.
7) Круг радиуса R катится без скольжения по прямой. Центр
круга движется с постоянной скоростью v, найти скорость изменения
абсциссы x и ординаты у для точки, лежащей на границе круга.
Ответы
1) a e ; 2)t1=1, t2=3; 3) v1,2=-a,v3=0, w1,2=0, w3=-a; 4)
5) v=a(1+t), w=a; 6) w=a; 7) vx=v(1+
vy=v
aφ
8
;
Библиографический список
1. Игнатьева А.В. Курс высшей математики / А.В. Игнатьева,
Т.И. Краснощекова, В.Ф. Смирнов. – М.: Высшая школа, 1998. – 692с.
2. Шипачев В.С. Высшая математика: учебник для вузов / В.С.
Шипачев. М.: Высшая школа, 1998. – 479 с.
3. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике / В.С. Шипачев. М.: Высшая школа, 1998. – 304 с.
4. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах.
Т.1. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – Москва : Высшая школа, 2003. – 304 с.
9
Учебное издание
Составитель
Зимин Владимир Иванович
Производная функции, её геометрический
и механический смысл
Методические указания для практических занятий
Напечатано в полном соответствии с авторским оригиналом
Подписано в печать 28.03.2014г.
Формат бумаги 60х84 1/16. Бумага писчая. Печать офсетная.
Усл.-печ. 0,58 л. Уч.-изд. 0,65. л. Тираж 50 экз. Заказ
.
Сибирский государственный индустриальный университет
654007, г. Новокузнецк, ул. Кирова, 42.
Типография СибГИУ
10