СОСРЕДОТОЧЕННАЯ СИЛА ВБЛИЗИ ВЕРШИНЫ МЕЖФАЗНОЙ

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2011. № 1 (22). С. 191–195
УДК 539.3
СОСРЕДОТОЧЕННАЯ СИЛА ВБЛИЗИ ВЕРШИНЫ МЕЖФАЗНОЙ
ТРЕЩИНЫ С ЖËСТКОЙ НАКЛАДКОЙ НА ЕË БЕРЕГУ
Ю. О. Васильева, В. В. Сильвестров
1
Чувашский государственный университет им. И. Н. Ульянова,
428015, Чебоксары, Московский пр., 65.
2 Российский государственный университет нефти и газа им. И. М. Губкина,
199991, Москва, Ленинский пр., 65.
E-mails: [email protected], [email protected]
Изучается плоское напряжённое состояние вблизи вершины межфазной трещины, порождённое заданной сосредоточенной силой. Один из берегов трещины
частично усилен жёсткой прямолинейной накладкой. Находятся комплексные
потенциалы, коэффициенты интенсивности напряжений в вершине трещины,
приводятся их графики.
Ключевые слова: трещина, жёсткая накладка, сосредоточенная сила, кусочнооднородная упругая плоскость, напряжения, коэффициенты интенсивности напряжений, гипергеометрическая функция.
Пусть в кусочно-однородном упругом изотропном теле, составленном из
разных по упругим свойствам верхней и нижней полуплоскостей, на линии
раздела сред y = 0 расположена полубесконечная открытая трещина [0, +∞),
верхний берег которой на участке [0, l] подкреплён абсолютно жесткой прямолинейной накладкой, присоединённой к телу без натяга, а остальная часть
этого берега и весь нижний берег трещины свободны от напряжений:
u+ (x) + iv + (x) = iεx,
x ∈ (0, l);
−
τxy
(x)
+
iσy− (x)
+
τxy
(x) + iσy+ (x) = 0,
= 0,
x ∈ (l, +∞);
x ∈ (0, +∞),
где u+iv — вектор смещений, τxy +iσy — вектор напряжений, ε — неизвестный
угол поворота накладки, а верхними индексами плюс и минус помечены значения функций на верхнем и нижнем берегах трещины. Вдоль луча (−∞, 0]
полуплоскости жёстко соединены друг с другом, и в точке x = x0 (x0 < 0) действует сосредоточенная сила X0 + iY0 . На бесконечности напряжения и вращение исчезают. На накладку никакие внешние силы не действуют.
Требуется найти комплексные потенциалы, описывающие плоское напряженное состояние тела, и исследовать поведение напряжений вблизи
вершины трещины.
Воспользуемся формулами Колосова—Мусхелишвили для кусочно-одноЮлия Олеговна Васильева, аспирант, каф. математического анализа и дифференциальных уравнений. Василий Васильевич Сильвестров (д.ф.-м.н.), профессор, каф. высшей
математики.
191
В а с и л ь е в а Ю. О., С и л ь в е с т р о в В. В.
родной плоскости [1]:
σx + σy = 4Re Φ∗ (z), z = x + iy,
σy − iτxy = Φ∗ (z) + Ω∗ (z) + (z − z)Φ0∗ (z),
2µj (u + iv)0x = κj Φ∗ (z) − Ω∗ (z) − (z − z)Φ0∗ (z),
Φ∗ (z) =
Φ(z),
Imz > 0,
Ω (z) =
α1 Φ(z) + α2 Ω(z), Imz < 0, ∗
α1 = (1 + µ∗ κ1 )/(1 + κ2 ),
α2 = (1 − µ∗ )/(1 + κ2 ),
µ∗ = µ2 /µ1 ,
(1)
Ω(z),
Imz > 0,
α3 Ω(z) + α4 Φ(z), Imz < 0,
α3 = 1 − α2 ,
κj = (3 − νj )/(1 + νj ),
α4 = 1 − α1 ,
j = 1, 2,
где Φ(z), Ω(z) — кусочно-голоморфные функции (комплексные потенциалы)
с линией разрыва [0, +∞), а µ1 , ν1 и µ2 , ν2 — модули сдвига и коэффициенты
Пуассона верхней (j = 1) и нижней (j = 2) полуплоскостей соответственно.
В точках z = 0 и z = l ± i0 функции Φ(z), Ω(z) могут иметь интегрируемые
особенности, на ∞ они исчезают, а в точке z = x0 имеют простые полюсы
с вычетами P1 = −(X0 + iY0 )/[2π(1 + µ∗ κ1 )] и P2 = κ2 (X0 + iY0 )/[2π(µ∗ + κ2 )]
соответственно [2]. На луче (0, +∞) функции Φ(z), Ω(z) удовлетворяют краевым условиям
κ1 Φ+ (x) − Ω− (x) = 2iµ1 ε, x ∈ (0, l);
Φ+ (x) + Ω− (x) = 0, x ∈ (l, +∞);
α1 Φ− (x) + α2 Ω− (x) + α3 Ω+ (x) + α4 Φ+ (x) = 0,
(2)
x ∈ (0, +∞),
откуда находим [3]:
Φ(z) = H1 (z/l), Ω(z) = H2 (z/l);
Hj (ζ) = A0 +C2 (ζ−t0 )−1 +εµ1 J2 (ζ) χj1 (ζ) + C1 (ζ−t0 )−1 +εµ1 J1 (ζ) χj2 (ζ),
P1 χ2j (t0 ) − P2 χ1j (t0 )
X0 + iY0
A0 = −
, Cj = (−1)j
, t0 = x0 /l,
2πlc3 (α1 + α3 )
l det X + (t0 )
Z
+
−1 +
(−1)j 1 χ2j (t) + α4 α3 χ1j (t)
Jj (ζ) =
dt, j = 1, 2,
κ1 π 0
(t − ζ) det X + (t)
Z
εµ1 = −
1
0
t Re
−1 +
(t)
+
C
(t
−
t
)
χ
(t)
dt
×
A0 + C2 (t − t0 )−1 χ+
1
0
11
12
Z
×
0
c3 =
192
1
−1
+
(t)J
(t)
+
χ
(t)J
(t)
dt
,
t Re χ+
1
2
11
12
c1 ξ2 eiπa Γ(c)Γ(b − a) c2 ξ1 eiπ(a+1−c) Γ(2 − c)Γ(b − a)
+
,
Γ(c − a)Γ(b)
Γ(b + 1 − c)Γ(1 − a)
(1 − ξ1 )Γ(2 − c)e−iπc
(1 − ξ2 )Γ(c)
, c2 =
,
c1 =
Γ(a + 1 − c)Γ(1 − b)
Γ(a)Γ(c − b)
Сосредоточенная сила вблизи вершины межфазной трещины с жёсткой накладкой на её берегу
q
1
α2 κ1 + α4
α1
ξ1,2 =
, α=
, m=
,
−α ± α2 − 4mκ−1
1
2
α 3 κ1
α3
ln ξ1
3
1
1
a=1−
, b= +
(ln m − ln ξ1 ), c = 1 +
(ln ξ2 − ln ξ1 )
2πi
2 2πi
2πi
(0 < arg ξ1 6 π, π 6 arg ξ2 < 2π, Imξ1 > 0, Imξ2 6 0),
где Γ(ζ) — гамма-функция Эйлера и χij (ζ) — элементы канонической матрицы X(ζ) однородной векторной краевой задачи Римана (2) при l = 1. Для
изучения напряжений вблизи вершины трещины z = 0 достаточно знать выражение этой матрицы при Re z < 1:
ln ξ1
c ξ c ξ
η11 (ζ) η12 (ζ)
, λ=−
X(ζ) = ζ λ 1 2 2 1
,
c1 m c2 m
η21 (ζ) η22 (ζ)
2πi
η11 (ζ) = F (a, b; c; ζ), η12 (ζ) = a(1 − ζ)F (a + 1, b; c; ζ),
η21 (ζ) = ζ 1−c F (a − c + 1, b − c + 1; 2 − c; ζ),
η22 (ζ) = (a − c + 1)ζ 1−c (1 − ζ)F (a − c + 2, b − c + 1; 2 − c; ζ)
при |ζ| < 1, ζ 6∈ [0, 1];
−a
η11 (ζ) = a∗ (ζ − 1) F (a, c − b; c; ζ∗ ),
η12 (ζ) = aa∗ (ζ − 1)−a F (a + 1, c − b; c; ζ∗ ),
η21 (ζ) = −c∗ ζ 1−c (ζ − 1)c−a−1 F (a + 1 − c,1 − b; 2 − c; ζ∗ ),
η22 (ζ) = (c − a − 1)c∗ ζ 1−c (ζ − 1)c−a−1 F (a + 2 − c,1 − b; 2 − c; ζ∗ ),
a∗ = eiπa , ζ∗ = ζ/(ζ − 1), c∗ = eiπ(a−c)
при Re ζ < 1/2, ζ 6∈ [0, 1/2].
Здесь F (a, b; c; ζ) — гипергеометрическая функция Гаусса, а у многозначных
функций ζ p и (ζ − 1)q берутся ветви, однозначные в плоскости с разрезами
[0, +∞) и [1, +∞) соответственно, определяемые условиями 0 < arg ζ < 2π и
0 < arg(ζ − 1) < 2π.
Из приведённых формул и формул (1) следует, что вблизи точки z = 0 на
действительной отрицательной полуоси x < 0 вектор напряжений σy − iτxy
имеет асимптотику
KI − iKII
KIII − iKIV
σy (x) − iτxy (x) = √
+√
+ O(1), x → 0−0,
2π|x|γ0 −iδ0
2π|x|1−γ0 −iδ0
√
KI − iKII = 2π(ξ1 + m)D2 e−iπ(γ0 −iδ0 ) ,
√
KIII − iKIV = 2π(ξ2 + m)D1 e−iπ(1−γ0 −iδ0 ) , γ0 − iδ0 = ln ξ2 /(2πi),
−1
λj
Dj = cj [A0 − C2 t−1
0 + εµ1 J2 (0) + (λj − 1)(C1 t0 − εµ1 J1 (0)]l ,
λj = (2πi)−1 ln ξj ,
j = 1, 2
в случае γ0 6= 1/2 и асимптотику
σy (x) − iτxy (x) =
(KI − iKII )|x|iδ2 + (KIII − iKIV )|x|iδ1
p
+ O(1),
2π|x|
√
KI − iKII = − 2π(ξ1 + m)D2 e−πδ2 ,
x → 0−0,
193
В а с и л ь е в а Ю. О., С и л ь в е с т р о в В. В.
√
KIII − iKIV = − 2π(ξ2 + m)D1 e−πδ1 ,
δ1,2 = ln |ξ1,2 |/(2π)
в случае γ0 = 1/2. Таким образом, интенсивность напряжений вблизи точки
z = 0 в любом случае определяется четырьмя коэффициентами KI , KII , KIII ,
KIV , и напряжения в вершине трещины всегда имеют как степенную, так и
осциллирующую особенность. Для значений упругих параметров κ1 = 1,8,
κ2 = 2,2 и µ∗ = 2, когда γ0 = 0,79373, графики зависимости коэффициентов
KI , KII , KIII , KIV и угла поворота накладки ε от расстояния d = |x0 | между
точкой приложения сосредоточенной силы и вершиной трещины и от направления φ силы приведены на рис. 1–4. В первом случае сила X0 + iY0 = −P
(P > 0) постоянна и направлена вдоль действительной оси, а во втором случае сила X0 + iY0 = P (cos φ + i sin φ) составляет угол φ с осью x, x0 = 0,2.
В обоих случаях принято l = 1.
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 10–01–00103).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Черепанов Г. П. Механика разрушения композиционных материалов. М.: Наука, 1983.
296 с. [Cherepanov G. P. Fracture Mechanics of composite materials. Moscow: Nauka, 1983.
296 pp.]
2. Сильвестров В. В. Метод римановых поверхностей в задаче о межфазных трещинах и
включениях при наличии сосредоточенных сил // Изв. вузов. Матем., 2004. № 7. С. 78–
91; англ. пер.: Sil’vestrov V. V. The method of Riemann surfaces in the problem of interfacial
cracks and inlcusions in the presence of point forces. // Russian Math. (Iz. VUZ), 2004.
Vol. 48, no. 7. Pp. 75–88.
3. Хвощинская Л. А. К проблеме Римана в случае произвольного числа особых точек /
В сб.: Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление: Труды международной конференции (16–20 февраля 1996 г.); ред. А. А. Килбас. Минск: Белорус.
194
Сосредоточенная сила вблизи вершины межфазной трещины с жёсткой накладкой на её берегу
ун-т, 1996. С. 377–382. [Khvoshchinskaya L. A. To the Riemann problem in the case of
an arbitrary number of singular points / In: Boundary value problems, special functions
and fractional calculus: Proceedings of the International Conference (February 16–20, 1996);
ed. A. A. Kilbas. Minsk: Belorus. Un-t, 1996. Pp. 377–382].
Поступила в редакцию 27/I/2011;
в окончательном варианте — 14/III/2011.
MSC: 74B05; 74Rxx, 33Cxx
CONCENTRATED FORCE ACTING NEAR THE TIP OF AN
INTERFACE CRACK WITH A RIGID OVERLAY ON ITS SIDE
Yu. O. Vasilyeva, V. V. Silvestrov
1
Ulyanov Chuvash State University,
65, Moskovskiy pr., Cheboksary, 428015, Russia.
2 Gubkin Russian State University of Oil and Gas,
65, Leninskiy pr., Moscow, 199991, Russia.
E-mails: [email protected], [email protected]
Plane stress state near the tip of an interface crack induced by specified concentrated
force is considered. One of the crack faces is partially reinforced by a rigid straight line
overlay. The complex potentials, the stress intensity factors at the crack-tip are found,
corresponding plots are presented.
Key words: crack, rigid overlay, concentrated force, piecewise-homogeneous elastic
plane, stresses, stress intensity factors, hypergeometric function.
Original article submitted 27/I/2011;
revision submitted 14/III/2011.
Yulia O. Vasilyeva, Postgraduate Student, Dept. of Mathematical Analysis & Differential
Equations. Vasiliy V. Silvestrov (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Professor, Dept. of Higher
Mathematics.