R3 R2 dim F + dimG ь dim E + dimF ∩ G ? LA ∈ L(E,E ∀O, M ∈ E

Université Rennes I
Liene STS-Mention Mathématiques
F. Nier
Cours GEAF
Contrle ontinu du 4/11/2008, 1 heure.
Donner des réponses onises.
a) 1 pt L'intersetion de deux sous-espaes anes est-elle toujours un sous-espae ane ? Dans
la négative donner un ontre-exemple.
b) 0,5 pt Qu'est-e qu'un repère artésien dans R3 ?
) 0,5 pt Qu'est-e qu'un repère ane dans le plan ane R2 ?
d) 0,5 pt Quelle ondition sur le orps ommutatif K permet de dénir le milieu de deux
points dans un K-espae ane ?
e) 0.5 pt Si deux sous-espaes anes de E , F et G dirigés respetivement par F et G, ne
s'intersetent pas, quelle relation vérient les quantités
Questions de ours :
dim F + dim G
et
dim E + dim F ∩ G ?
Soit E et E ′ des K-espaes anes dirigés par E et E ′ . Dans le ours on
a montré que toute appliation ane A : E → E ′ admettait une appliation linéaire assoiée
LA ∈ L(E, E ′ ) telle que
Exerie 1 (3pts)
~
A(M) = A(O) + LA (OM)
∀O, M ∈ E ,
Il s'agit ii de vérier la réiproque. Montrer que pour O ∈ E , O ′ ∈ E ′ et L ∈ L(E, E ′ ),
l'appliation donnée par
~ )
f (M) = O ′ + L(OM
dénit une appliation ane, au sens de la dénition ave les baryentres, de E dans E ′ telle
que f (O) = O ′ .
Exerie 2 (6 pts)
On onsidère dans R2 l'appliation ane S : (x, y) → (x′ , y ′) donnée par
(
x′ =
y′ =
√
2
x
√2
2
x
2
√
2
y
√2
− 22 y
+
+
+
√1 − 1
2
√1 .
2
Montrer que l'appliation linéaire assoiée, LS est une symétrie vetorielle dont on
préisera les axes.
b) 2pts Caluler S(−1, 0) et montrer que S est une symétrie ane en préisant par rapport à
quelle droite et parallèlement à quelle diretion.
) 2pts Est-e que l'appliation T : R2 ∋ (x, y) → (x′′ , y ′′ ) ∈ R2 donnée par
a) 2pts
(
x′′ =
y ′′ =
√
2
x+
√2
2
x−
2
est une symétrie ane ?
1
√
2
y
√2
2
y
2
√
+
2
√
+ 2− 2.