Использование метода инвариантного погружения для

Использование метода инвариантного
погружения для исследования
нестационарного динамического объекта
В. М. Понятский
ГУП “Конструкторское бюро приборостроения”, Тула1
В работе рассмотрен подход, основанный на методе инвариантного погружения для идентификации нестационарного динамического объекта. Проведен синтез непрерывного и дискретного алгоритмов идентификации нестационарного динамического объекта в виде апериодического и колебательного
звеньев. Проведено тестирование полученных алгоритмов и сформированы
рекомендации по их настройке. С использованием полученных алгоритмов
проведена оценка коэффициента передачи и постоянной времени сервопривода вращающегося беспилотного летательного аппарата. Для сравнения проведена оценка с использованием алгоритмов фильтрации Калмана.
1.
Введение
Важной задачей при исследовании систем управления (СУ) является оценка характеристик ее элементов по результатам измерений информационных сигналов. При стендовых и натурных испытаниях получают сигналы с элементов объектов СУ, функционирующей в условиях пассивного или активного эксперимента. Эти
сигналы обладают рядом особенностей (зашумленность сигналов,
нестационарность сигналов), которые необходимо учитывать при
идентификации параметров элементов СУ.
В общем случае объект управления может быть описан следующей системой нелинейных дифференциальных уравнений:
dx/dt
y
=
=
f (x, u, t) + G(x, t)w(t);
H(t)x(t) + v(t),
(1)
где u — вектор управляющих воздействий; y — вектор наблюдаемых
сигналов; x — расширенный вектор состояния, включающий параметры динамического объекта; w — вектор формирующих шумов
интенсивностью R1(t); v — вектор шумов измерения интенсивностью R2(t); G(x, t) — матрица коэффициентов.
1 В.
c
М. Понятский, 2007
85
Дискретная стохастическая модель с линейным наблюдателем
в пространстве состояний может быть представлена следующими
векторно-матричными уравнениями:
x(k + 1) = F (k)x(k) + B(k)u(k) + G(k)w(k);
y(k)
(2)
= H(k)x(k) + v(k),
где x(k) — вектор состояния; u(k) — вектор управления; y(k) —
вектор наблюдений; F (k) — матрица состояния; B(k) — матрица
управления; H(k) — матрица наблюдения; w(k) — вектор формирующих шумов интенсивностью R1(k); v(k) — вектор случайных
помех интенсивностью R2(k), G(k) — матрица коэффициентов.
Предполагается, что исследуемая система является детерминированной, полностью управляемым и полностью наблюдаемым динамическим объектом. Необходимо по измеряемым векторам управления u и наблюдения y провести оценивание вектора состояния x
и матриц коэффициентов f (x, u, t), G(x, t) и h(x, u, t).
2.
Методы идентификации
нестационарного динамического объекта
Рассмотрим два подхода к идентификации параметров нестационарных динамических объектов, основанные на методе инвариантного погружения [1–3] и фильтрации Калмана [4–9].
2.1.
Метод инвариантного погружения для идентификации нестационарного динамического объекта
Непрерывный алгоритм инвариантного погружения для одновременной оценки состояния и параметров динамических объектов (1) имеет вид [1]:
dxo /dt = f (xo , u, t) + P
dP/dt = GR1GT + P
∂hT (xo , u, t)
{y − h(xo , u, t)} /R2;
∂xo
(3)
∂f T (xo , u, t) ∂f (xo , u, t)
+
P + P HR2−1 H T P,
∂xo
∂xo
где xo — оценка расширенного вектора состояний; P — корреляционная матрица ошибок фильтрации.
86
Алгоритм инвариантного погружения в дискретном виде представляется следующим образом:
xo (k + 1, k) = F (k)xo (k) + B(k)u(k);
xo (k + 1) = xo (k, k − 1) + P (k)H T (k) y(k) − H T (k)xo (k, k − 1) /R2.
Уравнение для априорной дисперсии:
P (k + 1/k) = G(k)R1GT (k) + ∂F (k)/∂xo P (k)∂F T (k)/∂xo .
Уравнение для дисперсии ошибки для линейного случая:
P (k+1) = P (k+1/k)−P (k+1/k)H T [HP (k+1/k)H T +R2]HP (k+1/k).
2.2.
Метод фильтрации Калмана для идентификации
нестационарного динамического объекта
Известные методы параметрической идентификации такие, как
метод наименьших квадратов, фильтрация Калмана, подразумевают задание искомой структуры динамического объекта в виде разностного уравнения (2). Тогда в качестве исходных данных для разработки алгоритма идентификации используется входная модель:
Q(k + 1) = F (k)Q(k) + w(k);
y(k) = f T (k)Q(k) + v(k),
(линейная регрессия), где y(k) — сигнал с выхода динамического
объекта; Q(k) = |a1 , . . . , aka , b1 , . . . , bkb , c1 , . . . , ckc |T — вектор параметров; f (k) = |−y(k −1), . . . , −y(k −ka ), u(k −1), . . . , u(k −kb ), c(k −
1), . . . , c(k − kc )|T — вектор данных из входного и выходного сигналов; F (k) — матрица перехода состояний; w(k) — формирующий
шум интенсивностью R1 = Ew(k)wT (k); v(k) — шумы измерения
интенсивностью R2 = Ev(k)v T (k).
Алгоритм фильтрации Калмана для оценки параметров динамического процесса имеет вид [5–9]:
Qo (k + 1/k) = F (k)Qo (k);
Qo (k) = Qo (k/k − 1) + L(k){y(k) − yo (k)};
yo (k) = foT (k)Qo (k/k − 1),
87
где Qo (k + 1/k) — прогнозирование оценки вектора параметров;
Qo (k) = |ao1 aoka , bo1 . . . bokb , co1 . . . cokc |T — вектор оценок параметров; yo (k) — оценка сигнала с выхода динамического объекта; fo (k) =
| − yo (k − 1), . . . , −yo (k − ka ), u(k − 1), . . . , u(k − kb ), c(k − 1), . . . , c(k −
kc )|T — вектор данных с оценками выходного сигнала; L(k) — матрица коэффициентов фильтра:
P (k + 1/k) = F (k)P (k)F T (k) + R1;
L(k) = P (k/k − 1)fo (k)/{foT (k)P (k/k − 1)fo (k) + R2)};
P (k) = P (k/k − 1) − L(k)foT (k)P (k/k − 1),
где P (k + 1/k) — дисперсионная матрица ошибок прогнозирования
оценки вектора параметров; P (k) — дисперсионная матрица ошибок оценки вектора параметров. R1(k) вычисляется по следующей
зависимости: R1(k + 1) = R1(k) + {w(k)wT (k) − R1(k)}t(k), t(k) —
коэффициент забывания предыдущих значений.
Идентификация нестационарных параметров динамических объектов осуществляется на интервалах времени T i = sT d, где T d —
шаг дискретизации по времени, s = 0, 1, 2, . . . , N . В начале каждого интервала осуществляется расчет начальных значений Qic (k) =
|aic1 . . . aicka , bic1 . . . bickb |T и R1ic(k) методом наименьших квадратов [6]:
R1ic(k) = D/(ΦT Φ);
Qic (k) = R1ic(k)ΦT Y m,
где Φ — матрица наблюдений, Y m = |y(k), . . . , y(k + m)|T — вектор
выходных сигналов.
Осуществляется смещение временного окна T i на величину dT i,
не превышающую размер этого окна. В конце каждого интервала
времени в диапазоне T i − dT i, . . . , T i в соответствии с (6)–(7) получаются текущие оценки параметров.
Рассмотрим процесс конструирования алгоритмов идентификации динамического объекта в виде апериодического и колебательного звеньев на основе метода инвариантного погружения и фильтрации Калмана.
88
3.
Синтез алгоритмов идентификации
3.1.
Синтез алгоритмов идентификации
на основе метода инвариантного погружения
Алгоритм инвариантного погружения для оценки состояния (y)
и параметров (K, ω = 1/T ) динамического объекта в виде апериодического звена определяется следующими векторами и матрицами:
xo = |yo , Ko , ωo |T ; h(x, u, t) = Hx; H = |1, 0, 0|; R2 = r2;
Kro ωro 0 0 0
1 0 ;
G(xo , t) = 0
0 1 −yo ωro + Kro ωro u ;
0
f (t) = 0
−ωro ωro u −yro + Kro u ∂f
.
0
0
= 0
∂xo
0
0
0
Уравнения идентификации будут иметь следующий вид (см. рис. 1):
dyo /dt = −yo ωro + Kro ωro u + p11 (y − yo )/r2;
dKo /dt = p( 12)(y − yo )/r2;
dωo /dt = p( 13)(y − yo )/r2,
где Kro = Ko + Kpr ; ωro = ωo + ωpr ; Kpr , ωpr — программные значения параметров.
Уравнение для дисперсии ошибки:
dp11
−p211
2 2
=
+ 2{−p11ωro + p12 ωro u + p13 (−yo + Kro u)} + Kro
ωro r11 ;
dt
r2
dp12 /dt = −p11 p12 /r2 − p12 ωro + p22 ωro u + p23 (−yo + Kro u);
dp13 /dt = −p11 p13 /r2 − p13 ωro + p23 ωro u + p33 (−yo + Kro u);
dp22 /dt = −p212 /r2 + r12 ; dp23 /dt = −p12 p13 /r2;
dp33 /dt = −p213 /r2 + r13 .
89
Рис. 1: Алгоритм инвариантного погружения для идентификации
динамического объекта в виде апериодического звена.
90
Для случая идентификации динамического объекта в виде колебательного звена алгоритм инвариантного погружения для оценки
состояния (y, V y) и параметров (K, ω = 1/T, ξ) имеет следующие
вектора и матрицы:
xo = |yo , V yo , Ko , ωo , ξo |T ; h(x, u, t) = Hx; H = |1, 0, 0, 0, 0|; R2 = r2;
1
0
0 0 0 2
0 Kro ωro
0 0 0 0
1 0 0 ;
G(xo , t) = 0
0
0
0 1 0 0
0
0 0 1 V yro
2
2
−yoωro
−
2ξ
ω
V
y
+
K
ω
u
ro
ro
o
ro
ro
;
0
f (t) = 0
0
0
1
0
0
0
2
2
−ωro
−2ξro ωro ωro u 2(−ωroyo − ξro V yro −2ωro V yro ∂f
+Kroωro u)
.
= 0
0
0
0
∂xo
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Алгоритм инвариантного погружения для идентификации динамического объекта в виде колебательного звена имеет вид (см. рис. 2):
dyo /dt = V yo + p11 (y − yo )/r2;
2
2
dV yo /dt = −yo ωro
− 2ξro ωro V yro + Kro ωro
u + p12 (y − yro )/r2;
dKo /dt = p13 (y − yo )/r2;
dωo /dt = p14 14(y − yo )/r2;
dξo /dt = p15 (y − yo )/r2,
где ξro = ξo + ξpr ; ξpr — программное значение параметра.
Предложенные алгоритмы идентификации, основанные на методе инвариантного погружения, позволяют непосредственно получать оценки состояния и оценки значений нестационарных параметров нелинейного нестационарного динамического объекта.
91
Рис. 2: Алгоритм инвариантного погружения для идентификации
динамического объекта в виде колебательного звена.
92
Рис. 3: Алгоритм фильтрации Калмана для идентификации динамического объекта в виде апериодического звена.
3.2.
Синтез алгоритмов идентификации
на основе метода фильтрации Калмана
Проведена разработка алгоритмов фильтрации Калмана для
идентификации параметров сервопривода, исходя из представления модели объекта в виде апериодического звена [8].
Пусть динамический объект описывается следующим линейным
разностным уравнением:
y(k) + a1y(k − 1) = b1u(k − 1) + e(k),
где a1 = −(1 − T d/T (k)), b1 = K(k)T d/T (k). Тогда алгоритм идентификации динамического объекта в виде апериодического звена
имеет вид:
Qo (k + 1/k) = Qo (k);
93
Рис. 4: Исходные сигналы с входа сервопривода и с датчика углового положения рулей для идентификации сервопривода.
Qo (k) = Qo (k/k − 1) + L(k){y(k) − yo (k)};
yo (k) = foT (k)Qo (k/k − 1);
L(k) = P (k − 1)f o(k)/{R2 + foT (k)P (k − 1)fo (k)};
P (k) = P (k − 1) − L(k)foT (k)P (k − 1) + R1,
где Qo (k) = |a1o , b1o |T , fo (k) = | − yo (k − 1), u(k − 1)|T .
Искомые величины апериодического звена Ko (k) и To (k) определяются в соответствии с матрицей дискретных параметров Qo (k)
по зависимостям:
To (k) = T d/(1 + a1o ), Ko (k) = b1o /(1 + a1o ).
Разработаны алгоритмы идентификации динамического объекта в виде апериодического и колебательного звеньев.
4.
Результаты
На рис. 4 и 5 приведены соответственно исходные данные (сигнал управления и сигнал с датчика углового положения рулей) и
результаты оценки постоянной времени и коэффициента передачи
94
Рис. 5: Результаты оценки постоянной времени и коэффициента передачи сервопривода с помощью метода инвариантного погружения
(Тип, Кип) и фильтрации Калмана (Тфк, Кфк).
сервопривода беспилотного вращающегося летательного аппарата.
Как следует из приведенных данных, оценка, полученная с помощью метода инвариантного погружения (Тип, Кип) по сравнению
с фильтрацией Калмана (Тфк, Кфк) [6–9], дает более гладкий и
с меньшими флюктуациями закон изменения параметров. Однако,
метод фильтрации Калмана более устойчив, а при использовании
метода инвариантного погружения возможен срыв синхронизации.
Таким образом, в работе рассмотрены два подхода: метод инвариантного погружения и метод фильтрации Калмана для оценки параметров нестационарного динамического объекта. Проведен
синтез алгоритмов идентификации нестационарного динамического объекта в виде апериодического и колебательного звеньев. Проведенное сравнение полученных оценок коэффициента передачи и
постоянной времени сервопривода показало, что метод инвариантного погружения дает более гладкую и с меньшими флюктуациями оценку параметров. Однако, метод фильтрации Калмана более
устойчив, а при использовании метода инвариантного погружения
возможен срыв синхронизации.
95
Список литературы
[1] Сейдж Э. П., Мелса Дж. Л. Идентификация систем управления. — М.: Наука. 1974.
[2] Сейдж Э. П., Мелса Дж. Л. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении. — М.: Связь. 1976.
[3] Эйпховф П. Основы идентификации систем управления. — М.:
Мир. 1976.
[4] Понятский В. М. Использование метода инвариантного погружения для оценки параметров электротехнических объектов //
Труды четвертой Всероссийской научно-практической конференции “Системы управления электротехническими объектами”.
— Тула: ТулГУ. 2007.
[5] Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. —
М.: Наука. 1991. 432 с.
[6] Понятский В. М. Идентификация многомерных нестационарных динамических объектов методом фильтрации Калмана
// Математическое моделирование физических процессов. —
М: ФГУП РФЯЦ-ВНИИЭФ. Вып. 1. 2004.
[7] Фатуев В. А., Юдаев А. В., Понятский В. М., Каргин А. В.,
Оберман М. С. Структурно-параметрическая идентификация
многомерных нестационарных динамических систем // Материалы III Международной конференции “Идентификация систем
и задачи управления”. — М.: ИПУ. 2004.
[8] Понятский В. М. Компьютерная технология идентификации
методом фильтрации Калмана параметров линейной нестационарной модели динамического объекта // Труды международной конференции “Третьи Окуневские чтения”. Ч. 3. — СПб.:
БГТУ. 2003. С. 146–150.
[9] Понятский В. М., Оберман М. С. Программа для идентификации методом фильтрации Калмана параметров линейной нестационарной модели динамического объекта // Труды международной конференции “Третьи Окуневские чтения”. Ч. 3. — СПб.:
БГТУ. 2003. С. 151–158.
96