Двумерная корреляционная функция сигнала

Двумерная корреляционная функция сигнала

Rm (τ, ) 
U
m
(t )U m* (t  τ) exp  jt dt 



1
*
 Sm  jω Sm  jω  j  exp  jωτ dω.
2π 
(1)
Двумерная корреляционная функция имеет следующие свойства:
1) максимальное значение ее Rm(0,0) достигается в начале координат =0, =0:

Rm (0, 0) 
 U

m  t   dt 
2

1
 S m  jω 
2π 


2
dω  2 Е,
где Е  энергия сигнала (для реальных сигналов со спектрами в диапазоне частот 
Rm(0,0)=E);
2) она симметрична относительно максимума или начала координат =0, =0:
Rm  τ,    Rm  τ,  
Обычно переходят к нормированной ДКФ:
ρ  τ,   
Rm  τ,   Rm  τ,  

Rm  0, 0 
2Е
(2)
Модуль нормированной ДКФ называется функцией неопределенности зондирующего сигнала
(ФНЗС), обозначается (иногда принимают за ФНЗС 2) и широко используется для
анализа свойств зондирующего сигнала..
Основные свойства ФНЗС:
 максимальное значение в начале координат всегда равно единице, т.е. (0,0) = 1;
 ФНЗС  фигура центрально-симметричная
;
– объем тела 2() (ФНЗС) постоянен:
v  1/ 2    2  ,   d d   1.
Найдем ФНЗС с гауссовской огибающей
U m  t   U 0exp  t 2 / τи2  ,
воспользовавшись формулами (4.1, 4.2) для расчета,
2
2

 1  τ и   τ   

χ  τ,    exp   
(3)
    
2  2   τ и   




jω0t
Для прямоугольного радиоимпульса ( U m  t   U m0e при   и / 2  t   и / 2 ) ФНЗС
описывается выражением
χ(τ, F ) 
sin  πF  τ и  τ  
.
πFτи
1
(4)
a)
б)
в)
Рис.1. Тело функции неопределенности одиночного прямоугольного радиоимпульса (а) и его
сечения () (б) и () (в)
При внутриимпульсной линейной частотной модуляции (ЛЧМ) выражение для ФНЗС
имеет вид
1
 fτ  
  fτ   
χ  τ,    sin 
  (τи  τ )  
  τи  ,
 2τи 2 
  2τ и 2  
(5)
Сечение ФНЗС при =, т.е. , совпадает по форме с временной корреляционной
функцией зондирующего сигнала и определяется амплитудно-частотным спектром сигнала:
χ(τ) 
1
U m (t )U m* (t  τ)dt 

2E
 S  jω
m
2
exp  jωτ dω .
(6)
Сечение ФНЗС при , т.е. () , является частотной корреляционной функцией
зондирующего сигнала
() 
1
1
2
Sm*  jω  Sm  jω  j  dω
U m (t ) exp  jt dt 


4πЕ
2E
(7)
или ее нормированной спектральной плотностью и определяется законом амплитудной
модуляции.
Диаграммы неопределенности
Для радиоимпульса с гауссовской огибающей сечение тела неопределенности плоскостью,
параллельной 0f имеет форму эллипса
τ2
(τи 2ln  c  ) 2

F2
 1

2ln  c  

 πτ и

2
2
1,
(8)
где с  уровень, на котором проведена секущая плоскость. Эллипс, симметричный
2
относительно начала координат, имеет оси 2a  2 и  2lnc  и 2b 
 2lnc  . Площадь
 и
эллипса не зависит от длительности импульса: S   a b  2lnc  . Диаграмма неопределенности
короткого импульса вытянута вдоль оси 0F, а длинного  вдоль оси 0.
Для прямоугольного радиоимпульса ДН при с >0,5 по форме близка к эллипсу.
0.5
0.5
f
0.5
0.5
f
0.25
0.25

Y 2(  )
Y 1(  )
6
3
0
3
6
6
3
0
3
6
0.25
0.25
 0.5
 0.5
0.5
0.5
6
X 1(  )
6
6
X 2(  )
6
Диаграммы неопределенности короткого (1мкс) и длинного (5мкс) импульсов
При внутриимпульсной линейной частотной модуляции ЛЧМ выражение для сигнала и ФНЗС
имеет вид


ft 2
 
U exp  j  2πf 0 t  π
U (t )   m 0
τи

 

0


τи
τ

t  и
  при 
2
2


при других t.

(9)

sin  π  fτ  Fτи  1   τ / τ и  


χ(τ, F ) 
 π  fτ  Fτи  
Рис.5.Диаграммы неопределенности прямоугольного импульса без модуляции (а) и с
внутриимпульсной ЛЧМ (б)
3
Таблица.1. Примеры одиночных сигналов, их спектров и ДНЗС
Фазо-кодо-модулированные (ФКМ) и фазо-манипулированные (ФМ) сигналы.
 U  t  exp  j  ω t   

U t   

0

N
mi
0
i
при 0  t  Nτ к ,
i 1
при других t .




Коды Баркера обеспечивают уровень боковых лепестков ДКФ i0 , равный 1/N, т. е.
 1 при i  0
1/N при i  0
i0 
M-последовательности или коды максимальной длины, которые образуются с помощью
рекуррентных соотношений, что позволяет формировать их на регистрах сдвига, охваченных
обратными связями. Для основания 2 значение текущего символа dj кодовой последовательности
зависит от m предыдущих символов и рассчитывается по формуле
dj=
m
a d
j
m j
 a1d j 1  ...  a m d j m ,
j 1
где dj и aj могут быть равны 0 или 1.
4
Таблица. Последовательности кодов Баркера
Основные свойства M - последовательностей:
1) M-последовательности содержат 2m1 элементов и имеет длительность Тс=к(2m1);
2) сумма двух M-последовательностей по модулю 2 в символах di дает снова Mпоследовательность;
3) уровень боковых лепестков ДКФ для периодической последовательности с периодом
Tn=Nτк равен 1/N, а для одиночной (усеченной) непериодической последовательности
длительностью Nτк равен 1/ N ;
4) число различных максимальных линейных рекуррентных последовательностей при
одинаковом m определяется алгоритмом Nп=(1/m)(2m1), где (x)  функция Эйлера.
Для формирования кодирующей (модулирующей) M-последовательности обычно используют
регистры сдвига, охваченные по определенным правилам обратными связями с отводов регистров.
Правила осуществления обратных связей в регистрах, формирующих код на основе рекуррентных
линейных последовательностей максимальной длины, можно определить, используя так
называемые характеристические полиномы кодовых последовательностей:
P(x)=x0+a1x1+…+amxm=1+a1x1+…+amxm,
где учтено, что коэффициент a0 всегда равен 1.
Из теории линейных рекуррентных последовательностей известно, что для формирования Мпоследовательности размера N=2m1 необходимо использовать неразложимые примитивные
полиномы степени m с коэффициентами аi , равными 0 или 1. Неприводимый полином не может
быть разложен на множители. Примитивный полином является делителем двучлена x+1 при
условии, что N=2m1.
5
Обработка в оптимальном фильтре ФКМ-радиоимпульса с 7-элементным кодом Баркера: а
― вид ФКМ-радиоимпульса; б ― бинарный код начальных фаз дискретов; в ― структурная схема
устройства обработки (оптимального фильтра); г ― последовательность суммирования дискретов;
д ― результат суммирования дискретов; е ― выходной сигнал
Функции неопределенности повторяющихся сигналов.
Rm 2 (τ, F )   δ  τ   i  k  TП δ( F  kFП ) 
i
k
 δ  τ  iT  δ  F  i  k  F 
П
i
П
k
ФНЗС (а) и ДН (б) функции повторяемости сигналов
ДКФ Rm(,f) повторяющегося в бесконечных пределах сигнала U1(t) можно найти с помощью
интеграла свертки:
Rm Σ  τ, F  


i 
k 
 Rm1  τ  iTП , F   δ  F  (i  k ) FП 
6
Функция неопределенности пачки сигналов
Rmп  τ, F    Rm  τ, v  Rmoг  τ, F  v  dv 



  R τ  iT ,(k  i) F  R τ, F  (k  i) F 
i  k 
m1
п
п
moг
ФНЗС (а) и ДН (б) пачки импульсов
Таблица 2
7
п
ДНЗС пачки радиоимпульсов а) и сечения вертикальными плоскостями вдоль оси  б)
и оси F () в)
Потенциальная точность измерения tR
σ 2τ 
 f 2  S ( f ) 2 df

где f ск  
  S ( f ) 2 df
 
1
Е
N 0  2πf ск 
(14)
2
1/ 2




 среднеквадратическая ширина спектра сигнала; Е N 0 
отношение сигнал/шум на входе оптимального измерителя.
Аналогично, потенциальная точность измерения fд
σ 2f 
1
Е
N 0  2πtск 
2
,
(15)
12
 t 2  U (t ) 2 dt 


где tск  
  U (t ) 2 dt 
 

 среднеквадратическая длительность сигнала.
Среднеквадратическая ошибка измерения дальности  R  0,5c  и радиальной скорости
   0,5 f .
8