Изучение движения тел, брошенных под углом к горизонту

Министерство общего и профессионального образования
Российской Федерации
ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра физики
Т.М. Чмерева
М.Р. Ишмеев
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к лабораторной работе №104 по механике
«Изучение движения тел, брошенных под углом к горизонту»
Оренбург 1999
ББК 22.2я7
Ч 42
УДК 531.13(07)
Лабораторная работа №104
Изучение движения тел, брошенных под углом к горизонту
Цель работы:
1. Изучить основные понятия раздела кинематики.
2. Познакомиться с методами определения скорости скатывающихся
тел в момент отрыва от наклонной плоскости.
3. Измерить скорости в момент отрыва для двух разных тел.
1 Введение
Раздел механики, изучающий движение тела относительно других тел
независимо от причин, вызывающих это движение, называется кинематикой.
Материальная точка – тело, размерами которого в условиях данной задачи
можно пренебречь. При своем движении материальная точка описывает некоторую кривую, называемую траекторией. Пусть материальная точка пеρ
реместилась из положения 1, характеризуемого радиус-вектором r1 (радиусвектор – вектор, проведенный из начала координат в данную точку), в полоρ
жение 2, характеризуемое радиус-вектором r2 , как показано на рисунке 1.
ρ
Расстояние между точками 1 и 2, отсчи- y
V
1
танное вдоль траектории, называется
траектория
ρ
путем, обозначим его ∆S. А вектор, проρ
r1
∆r
веденный из точки 1 в точку 2, называρ
ется перемещением ∆r (перемещение
2
есть приращение радиус-вектора, см. рисунок 1).
ρ
r2
Под средней скоростью материальной точки понимают отношение пеρ
ремещения ∆r к промежутку времени
x
∆t, за который произошло это перемеРисунок 1
щение:
ρ
ρ
∆r
.
Vср =
∆t
(1)
ρ
Мгновенной скоростью V материальной точки называется векторная
ρ
величина, равная пределу отношения перемещения ∆r к промежутку времени ∆t, за который это перемещение произошло, когда промежуток времени
2
стремится к нулю. Т.е. скорость есть производная радиус-вектора по времени:
ρ
ρ
ρ
∆r dr
.
V = lim
=
∆t →0 ∆t
dt
(2)
Поскольку в пределе, при ∆t → 0 , перемещение совпадает с касательной к траектории, то вектор скорости направлен по касательной к траектории.
Вычислим модуль скорости (2), учтя, что в пределе бесконечно малого
ρ
промежутка времени модуль вектора перемещения равен пути ∆S = ∆r :
ρ
ρ
∆r
∆S
V = V = lim
= lim
.
∆t →0 ∆t
∆t →0 ∆t
(3)
Таким образом, модуль скорости равен производной пути по времени.
Если модуль скорости при движении материальной точки не изменяется, то движение будет равномерным, причем направление скорости может
изменяться. Когда направление вектора скорости неизменно, то движение –
прямолинейное, в противном случае – криволинейное.
Скорость материальной точки может изменяться по величине
и по наρ
правлению. Предел отношения изменения вектора скорости ∆V к промежутку времени ∆t, за который произошло это изменение, когда промежуток времени стремится к нулю, называется ускорением; или ускорение есть производная скорости по времени:
ρ
ρ
∆V dV
ρ
.
=
a = lim
∆t →0 ∆t
dt
ρ
V
ρ
τ
Рисунок 2
(4)
Вектор скорости можно представить в виде
произведения модуля скорости V на единичный
ρ
ρ
вектор τ , направленный вдоль вектора V (см. рисунок 2):
ρ
ρ
V =V ⋅τ.
(5)
Подставив в формулу (4) выражение (5), получим:
ρ
ρ
dτ ρ ρ
ρ d (V ⋅ τ ) dV ρ
a=
=
⋅ τ + V ⋅ = aτ + an .
dt
dt
dt
(6)
3
Т.е. вектор ускорения представим в виде суммы двух векторов.
Один
ρ
ρ
из них коллинеарен с вектором τ и соответственно с вектором V , и носит наρ
звание тангенциального ускорения a τ . Тангенциальное ускорение равно
ρ dV ρ
aτ =
τ,
dt
(7)
dV
, т.е. характеризует быстроту изменения величины
dt
dV
ρ
скорости. Если
< 0 , то движение является замедленным и вектор a τ наdt
ρ
dV
правлен противоположно вектору V ; если
> 0 , движение – ускоренное и
dt
ρ
ρ
вектора a τ и V сонаправлены.
Другое слагаемое в выражении (6), равное
а его модуль равен
ρ
dτ
ρ
an = V ,
dt
(8)
ρ
называется нормальным ускорением a n . Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению.
Можно показать, что векρ
ρ
тор a n перпендикулярен вектору скорости V (см. главу 1 учебников /1/, /2/,
ρ
ρ ρ
/3/). Расположение векторов a , a τ и a n показано на рисунке 3.
ρ
ρ ρ
Если a τ =0, то a = a n , движение будет равномерным по окружности. Величиρ
на нормального ускорения определяется
aτ
формулой:
V2
,
an =
R
(9)
ρ
an
ρ
a
V – величина скорости точки,
Рисунок 3
R – радиус окружности.
Формула (9) справедлива при любом криволинейном движении, в этом
случае R является радиусом кривизны траектории. Радиус кривизны представляет собой радиус окружности, которая сливается в данном месте с кривой на бесконечно малом ее участке.
ρ
ρ ρ
ρ
В случае a n = 0 , a = a τ и величина a τ не изменяется, движение будет
прямолинейным равноускоренным. При этом зависимость скорости материальной точки и пути, пройденного ею, от времени выражается следующими
формулами:
где
4
V = V0 + at ,
(10)
at 2
S = V0 t +
,
2
(11)
V0 – скорость материальной точки в начальный момент времени.
В качестве примера рассмотрим движение
тела, брошенного под углом
ρ
α к горизонту с начальной скоростью V0 (рисунок 4). Движение тела происρ
ходит с ускорением свободного падения g , поэтому полное ускорение тела
во время движения остается постоянным по величине и направлению. А нормальное и тангенциальное ускорения в каждой точке
траектории различны. В частности, в верхней точке траектория
ρ
Рисунок 4
перпендикулярна вектору g , следовательно, в ней существует
ρ
ρ
только нормальное ускорение a n = g .
где
2 Методы определения скорости скатывающегося тела в момент
отрыва от наклонной плоскости
После отрыва от наклонной плоскости движение тела является свободным падением, т.к. происходит только под действием силы
тяжести. Скоρ
рость в момент отрыва будет начальной скоростью тела V0 . Свяжем с точкой
В на рисунке 5 систему координат. Движение тела происходит с постоянным
ρ
ускорением свободного падения g , направленным вдоль оси y. Поэтому
вдоль оси y движение будет равноускоренным, а вдоль оси x – равномерным.
Разложим начальную скорость на
две составляющие V0 x = V0 cos α и
V0 y = V0 sin α . Тогда высота, с которой
падает тело, равна:
gt 2
gt 2
= (V0 sin α ) ⋅ t +
, (12)
H = V0 y t +
2
2
а дальность полета S
Рисунок 5
S = V0 x t = (V0 cos α ) ⋅ t .
(13)
5
Выражая из уравнения (13) время t и подставляя его в (12), получим
формулу для вычисления начальной скорости тела:
V0 =
S
g
cos α 2(H − S ⋅ tgα )
(14)
Таким образом, зная угол наклона плоскости α, высоту падения H и
дальность полета S, можно найти скорость тела в момент отрыва от наклонной плоскости.
Скорость в момент отры- A
ва также можно определить,
используя закон сохранения h
ρ
энергии. В верхней точке наV
клонной плоскости (в точке А
l
B
на рисунке 6) тело обладает запасом потенциальной энергии
Рисунок 6
E пот = mgh ,
(15)
где
m – масса тела,
h – высота наклонной плоскости,
g – ускорение свободного падения.
В точке В скатывающееся тело обладает кинетической энергией поступательного и вращательного движений
E кин
где
mV 2 Iω 2
=
+
,
2
2
(16)
ω - угловая скорость тела,
I – момент инерции тела.
Если качение происходит без проскальзывания, то
V = ωR ,
(17)
где R – радиус тела.
Моменты инерции сплошного цилиндра, шара и полого цилиндра
можно найти по следующим формулам:
I шара =
2
mR 2 ,
5
I спл .цил . =
6
1
mR 2 ,
2
(18)
(19)
I пол .цил . =
(
)
1
m R02 + R 2 ,
2
(20)
где R0 – внутренний радиус полого цилиндра.
По закону сохранения энергии (без учета потерь на трение) имеем
Eпот=Екин или
mV 2 Iω 2
mgh =
+
,
2
2
(21)
Отсюда, используя формулу (17), можно найти скорость V в момент
отрыва от наклонной плоскости
V=
2 gh
.
I
1+
mR 2
(22)
В случае скатывания сплошного цилиндра и шара формулу (22) можно
упростить, подставив в нее выражения для моментов инерции (18) и (19)
Vшара =
10
gh ,
7
(23)
4
gh .
3
(24)
Vспл.цил . =
3 Экспериментальная часть
3.1 Установить по заданию преподавателя наклонную плоскость в
одно из трех положений и измерить ее высоту h .
3.2 Измерить длину основания наклонной плоскости l .
3.3 Вычислить угол наклона α по формуле α = arctg h .
l
3.4 На откидной столик положить чистый лист бумаги и накрыть
сверху копировальной бумагой.
3.5 Пустить с вершины наклонной плоскости сплошной цилиндр и
по следу, оставленному на листе бумаги, определить дальность полета S. Это
задание проделать 7 раз.
3.6 Вычислить среднее значение S , абсолютную ошибку ∆S и относительную ошибку ε по формулам:
( )
7
S=
∆S = 3 ⋅
σ 2пр
S1 + S 2 + ... + S 7
,
7
2
2
2
(
S1 − S ) + (S 2 − S ) + ... + (S 7 − S )
,
+
7⋅6
За σ пр принять половину цены деления линейки,
ε=
∆S
S
Результаты измерений S и вычислений S , ∆S и ε занести в таблицу 1.
Таблица 1
№ опыта
1
2
3
4
5
6
7
Si (м)
S = ... (м),
∆S = ... (м),
ε = ...,
S = S ± ∆S = ... ± ... (м)
3.7 Измерить высоту падения цилиндра H и найти скорость V0 в
момент отрыва по формуле
V0 =
S
cos α
g
.
2(H − S tg α )
3.8 Принять относительную ошибку измерения скорости равной относительной ошибке измерения дальности полета, т.к. другие величины, входящие в формулу для V0 , измерены с большей точностью. Вычислить абсолютную ошибку ∆V0 = V0 ⋅ ε и записать результат в виде доверительного интервала V0 = V0 ± ∆V0 .
3.9 Вычислить скорость цилиндра в момент отрыва от наклонной
плоскости по формуле
V =
4
gh .
3
3.10 Вычислить абсолютную ошибку ∆V
1 ∆h
∆V = V
,
2 h
8
абсолютную ошибку измерения высоты наклонной плоскости ∆h принять
равной 0,5 см. Результат записать в виде доверительного интервала
V = V ± ∆V .
3.11 Сравнить полученные результаты измерений V0 и V и сделать
вывод.
3.12 Повторить пункты 3.5-3.11 для шара (в пункте 3.9 для вычисле10
gh ).
ния скорости V использовать формулу V =
7
4 Контрольные вопросы
Вопрос 1. Дать определения траектории, пути и перемещения.
Вопрос 2. Что называется средней скоростью материальной точки?
Вопрос 3. Что называется мгновенной скоростью, как она направлена?
Вопрос 4. Что такое ускорение?
Вопрос 5. Какое ускорение называется тангенциальным, а какое нормальным? Как они направлены?
Вопрос 6. В каком случае движение будет равномерным по окружности, а в каком случае – прямолинейным равноускоренным?
Вопрос 7. Написать формулы зависимости скорости и пути от времени при прямолинейном равноускоренном движении.
Вопрос 8. Написать формулу для величины нормального ускорения.
Вопрос 9. Рассказать о двух способах определения скорости скатывающегося тела в момент отрыва от наклонной плоскости.
9
Список использованных источников
1 А.А.Детлаф, Б.М.Яворский. Курс физики.-М.:Высш.шк.,1989 - 608 с.
2 И.В.Савельев. Курс общей физики. т.1.-М.:Наука,1988-432 с.
3 Г.А.Зисман, О.М.Тодес. Курс общей физики. т.1.-М.:Наука,1972 - 340 с.
10