Актуальность - Курчатовский институт

На правах рукописи
Кравец Екатерина Михайловна
КИНЕТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К РАССМОТРЕНИЮ
ПРОЦЕССОВ ИОНИЗАЦИИ, РЕКОМБИНАЦИИ И
ПОЛЯРИЗУЕМОСТИ В СТАТИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
АТОМА
Специальность 01.04.02. – «Теоретическая физика»
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Москва – 2010
Работа выполнена во Всероссийском научно-исследовательском
институте экспериментальной физики, г. Саров
Научный руководитель:
доктор физико-математических
Гаранин Сергей Флорович
наук
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор
Виноградов
Александр
Владимирович
доктор физико-математических наук,
доцент Лисица Валерий Степанович
Ведущая организация:
Институт
прикладной
математики
им. М. В. Келдыша РАН (г. Москва)
Защита состоится « 28 » июня 2010 г. в 15.00 часов на заседании
диссертационного
совета
Д 520.009.03
при
РНЦ
«Курчатовский
институт» по адресу: 123182, г. Москва, пл. Акад. Курчатова, д. 1, РНЦ
«Курчатовский институт».
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке РНЦ «Курчатовский
институт».
Автореферат разослан « 25 » мая 2010 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
д.ф.м.н.
А.Л. Барабанов
Актуальность
Решение многих квантовомеханических задач для многоэлектронных
атомов, таких как получение сечений их взаимодействия с фотонами и
электронами, сопряжено со значительными трудностями, поскольку для
получения точного результата необходимо решать проблему многих тел.
Поэтому обычно для решения этих задач используются различные упрощения и
приближения, которые зачастую не имеют последовательного теоретического
обоснования, и применение которых не основано на использовании тех или иных
малых параметров, а мотивируется либо необходимостью упростить вычисления,
либо использовать разумные или полуэмпирические интерполяции с
правильными предельными зависимостями. Примерами таких задач являются
расчет сечений фотопоглощения многоэлектронных атомов и расчеты свойств
малоплотной корональной плазмы, включая скорости ионизации и
рекомбинации, определение равновесного состояния корональной плазмы и ее
излучения.
Сечения фотопоглощения атомов в ультрафиолетовом и рентгеновском
диапазонах являются одной из важнейших характеристик, определяющих
процессы взаимодействия излучения с веществом, и необходимы для многих
областей науки и техники, таких, как описание процессов в плазме со всеми ее
приложениями, диагностика плазмы с помощью рентгеновского излучения,
физика и техника получения и применения рентгеновского излучения.
Излучательные свойства атомов высокотемпературной малоплотной
плазмы представляют большой интерес, как для термоядерного синтеза, так и для
многих астрофизических задач. Линейчатое излучение примесей тяжелых
элементов может приводить к значительному остыванию водородной плазмы в
установках термоядерного синтеза (в частности в экспериментах МАГО),
поэтому необходимо знание интенсивностей его излучения. Кроме того,
необходимо уметь рассчитывать излучаемые спектры, для того чтобы судить о
свойствах плазмы по измерениям этих спектров.
Сразу же после создания статистической модели атома Томасом и Ферми
возник вопрос об использовании этой модели для описания динамических
свойств сложного многоэлектронного атома, в частности для описания его
оптических характеристик. Упрощающим обстоятельством при этом являлось то,
что, поскольку движение атомных электронов является нерелятивистским, для
рассматриваемых характерных атомных частот длины волн электромагнитного
излучения оказываются много большими, чем характерные размеры атома.
Поэтому можно считать, что на атом действует переменное во времени и
независящее от координат электрическое поле, а отклик атома на
воздействующее поле описывается только одной величиной – дипольной
динамической поляризуемостью атома    .
Попытки решения задачи об использовании модели Томаса-Ферми для
описания оптических характеристик многоэлектронного атома начались с работы
Блоха (1933) [1], предложившего гидродинамический подход к описанию
вырожденного электронного газа атома. Однако представление о вырожденном
электронном газе атома как о среде, обладающей гидродинамическими
3
характеристиками, такими как давление и скорость звука, и описание колебаний
электронного газа с помощью этих характеристик являются чисто модельными и
не имеют последовательного теоретического обоснования, кроме того, что они
дают разумное поведение сечения фотопоглощения и удовлетворяют правилу
сумм.
Тем не менее, основываясь на этом подходе, в работе Лундквиста (1965)
[2], использующей дополнительные модельные представления о локальном
отклике электронной плотности на действующее поле, и работе Болла и др.
(1973) [3], последовательно для всего атома проводящей подход Блоха,
проводились расчеты динамических свойств атома, которые в случае атома
Томаса-Ферми представляются в универсальной автомодельной форме,
пригодной для любых тяжелых атомов. Для предельных случаев частот, низких и
высоких по сравнению с характерной частотой обращения большинства
электронов в тяжелых атомах Zme4 / 3 (Z – атомный номер), эти работы
определяют правильные для томас-фермиевского атома степенные зависимости
   0   const ,      ~ 1/  2 , однако коэффициенты при этих
зависимостях, вообще говоря, неправильны. К универсальной автомодельной
форме зависимости от частоты и атомного номера приводит также плазменный
подход к теории фотопоглощения и поляризуемости тяжелых атомов [4], в
котором в электронный газ предполагается диэлектрической средой с локальной
диэлектрической проницаемостью, определяемой плазменной формулой. Обзор
поляризационных эффектов в атомных переходах представлен в работе [5], а
обзор плазменных моделей атома – в работе [6].
Одновременно развивался подход, не учитывающий автомодельность
характеристик тяжелых атомов и использующий статическое приближение, т. е.
предполагающий, что потенциал, в котором движется каждый из электронов,
является постоянным, и пренебрегающий экранировкой поля из-за динамической
поляризации других электронов. Каждый из электронов описывался при этом
своей волновой функцией, которая определялась с помощью численного решения
уравнения Шредингера в потенциале Томаса-Ферми или Хартри-Фока-Слэтера
(например, [7]). При этом для частот , меньших или порядка частоты Zme4 / 3 ,
ошибка составляет величину порядка единицы, хотя в задаче имеется малый
параметр Z 1 , используемый для приближения Томаса-Ферми или Хартри-Фока.
В то же время для атомов и ионов с большим числом электронов N  1
можно попробовать использовать для описания кинетики имеющийся в
статистической модели атома малый параметр – обратную величину
характерного квантового числа n, поскольку для многоэлектронных атомов
характерные квантовые числа n ~ N 1/ 3 также велики. При этом движение
электронов можно описывать квазиклассически, а для описания совокупности
электронов в ионе использовать модель электронного газа. Точность расчетов в
рамках этого подхода не является очень высокой, однако для многих задач она
оказывается достаточной, и к тому же этот подход позволяет определять общие
зависимости и примерные величины, что особенно важно для тех явлений, для
которых в настоящее время нет более точных моделей.
4
В дальнейшем этот подход может быть применен и к другим кинетическим
задачам для многоэлектронных систем, включая кинетику кластерной плазмы,
обобщение задачи о расчете сечений фотопоглощения многоэлектронных атомов
на случай многоэлектронных ионов и многие другие явления. Задача о расчете
сечений фотопоглощения многоэлектронных ионов необходима для определения
радиационных свойств плазмы, состоящей из этих ионов, включая такие ее
характеристики, как интенсивность излучения в равновесном и неравновесном
случаях и росселандовы пробеги в условиях локального термодинамического
равновесия (ЛТР).
Наряду с расчетами сечения фотопоглощения, статистическое описание
атомов может быть использовано при рассмотрении процессов столкновительных
ионизации и рекомбинации и излучательных переходов для сложных атомов и
ионов.
Для заселенностей состояний ионов в малоплотной плазме несправедливо
локальное термодинамическое равновесие, поэтому их состояние должно
описываться кинетикой переходов электронов и их излучательными
характеристиками. Низкоплотная плазма, не находящаяся во внешних потоках
излучения и прозрачная к собственному излучению, обычно находится в
состоянии «коронального равновесия», когда скорость электронной
столкновительной ионизации уравновешивается скоростью рекомбинации,
которая для частично ионизованных ионов является, в основном, диэлектронной.
Обычные подходы к описанию излучательных свойств корональной плазмы
(например, [8-11]) предполагают использование многочисленных квантовых
состояний ионов и радиационных и столкновительных переходов между ними,
описание которых для сложных атомов затруднено. В результате этого модели,
описывающие корональное равновесие, сложны и ненадежны, так как нет
уверенности, что в них учтены и правильно описаны все квантовые состояния
ионов, а также переходы между ними. С другой стороны, возможен подход,
основанный на функции распределения электронов, использующий
статистическое описание электронов в атомах и ионах. Для описания кинетики в
этом подходе также применяется малый параметр – обратная величина
характерного квантового числа, а для описания электронов в ионе – модель
электронного газа, основанная на этом параметре. В этом подходе точность
может быть не очень велика из-за погрешностей статистической модели, но, так
как количество рассматриваемых здесь процессов ограничено, этот подход
является надежным, должен правильно описывать основные эффекты, и с его
помощью можно получить результаты, имеющие правильное поведение и
асимптотики.
Цель диссертационной работы
В диссертации решаются две задачи: 1) расчет сечений фотопоглощения
многоэлектронных атомов (находятся низкочастотная и высокочастотная
асимптотики, и вычисляется сечение во всем томас-фермиевском диапазоне
частот) и 2) расчеты свойств малоплотной корональной плазмы, включая
скорости ионизации и рекомбинации, определение равновесного состояния
5
корональной плазмы с любыми многозарядными ионами, интенсивность и спектр
ее излучения.
Научная новизна
Основная новизна полученных в настоящей работе результатов
заключается в следующем:
1. Решена задача о классическом излучении заряженной частицы при ее
финитном движении в произвольном центрально-симметричном потенциале.
Получено, что в этом случае частоты, присутствующие в разложении в ряд
интенсивности излучения, являются целыми кратными основной частоты,
сдвинутыми на некоторую величину. Сдвиг частот появляется из-за
незамкнутости траектории.
2. Вычислено сечение фотопоглощения нейтрального атома Томаса-Ферми и
получено, что это сечение как функция частоты имеет несколько
особенностей (минимум при частоте   0.13 Z me4 / 3 , скачок при частоте
  0.267 Z me4 / 3 и небольшой максимум при частоте   0.35 Z me4 / 3 ),
которые несколько размываются при учете поляризации. Полученная функция
   и значение логарифмической средней энергии возбуждения I
согласуются с экспериментальными данными.
3. Изучено влияние поляризации на значения сечения фотопоглощения.
Получено, что влияние поляризации на значения сечения фотопоглощения
заметно сказывается только на низких частотах. Найдено, что на величину I
поляризация влияет не сильно.
4. Получена формула для скорости ионизации в зависимости от потенциала
ионизации I и температуры T . Сделана оценка для скорости рекомбинации.
Вычислены средние значения степени ионизации корональной плазмы.
Предложено качественное (а для больших Z и количественное) объяснение
низких по сравнению с уравнением Саха значений I / T , получаемых в
корональной модели плазмы, и уменьшения этой величины по мере
увеличения Z.
5. Проведено рассмотрение излучения корональной плазмы, которое показывает,
что вклад линейчатого спектра в высокочастотную область   I очень
невелик и уменьшается резко, так, что его нельзя представлять, например,
взяв полную интенсивность излучения, и распределив его пропорционально
exp    /T  .
6. Найдено, что полная интенсивность коронального излучения канала,
вносящего основной вклад, достаточно хорошо совпадает с данными,
полученными по многоуровневой корональной модели.
Достоверность
Сечение фотопоглощения нейтрального атома Томаса-Ферми найдено
двумя разными способами (с учетом и без учета поляризации), но результаты
согласуются как между собой, так и с экспериментальными данными.
6
Вычисленные значения логарифмической средней энергии возбуждения также
согласуются с экспериментом.
Найденные значения скоростей ионизации и рекомбинации и степени
ионизации корональной плазмы находятся в разумном согласии с имеющимися
данными.
Полная интенсивность коронального излучения канала, вносящего
основной вклад, достаточно хорошо совпадает с данными, полученными по
многоуровневой корональной модели.
Использование полученных спектров для описания данных эксперимента
МАГО-IX показало, что расчетные сигналы диодов согласуются с
экспериментальными, если в расчетах предполагается загрязнение плазмы
примесями меди и легких элементов со стенок.
Практическая ценность результатов
Проведенный анализ позволяет универсальным образом описывать сечения
для любых тяжелых элементов, хотя в конкретных случаях точность описания
сечений может оказаться не очень высокой. Тем не менее, для понимания общих
зависимостей и примерных величин сечений необходимо иметь общую основу
описания сечений, опираясь на которую можно было бы изучать конкретные
детали. Полученные результаты могут помочь в оценках сечений в тех
диапазонах частот, где важную роль играют эффекты поляризации, поскольку в
настоящее время не существует методов их учета в прямых
квантовомеханических расчетах. Кроме того, представленный метод позволяет
вычислять росселандовы пробеги веществ в условиях ЛТР.
Представленные результаты для скоростей ионизации и рекомбинации
корональной плазмы по разным каналам выражаются в замкнутом аналитическом
виде и их можно использовать в других работах и моделях.
В работе найден спектр излучения произвольной многозарядной плазмы в
случае коронального равновесия для всего диапазона энергий квантов.
Использование полученных спектров для описания данных эксперимента МАГОIX показало, что расчетные сигналы диодов согласуются с экспериментальными,
если в расчетах предполагается загрязнение плазмы примесями меди и легких
элементов со стенок, и позволило сделать вывод о степени загрязненности
плазмы в этом эксперименте.
Научные положения диссертации
1. Разработаны два подхода к описанию динамического отклика
многоэлектронного атома на действие электромагнитной волны:
квазиклассический расчет спектра поглощения с помощью нахождения
компонент Фурье дипольного момента электронов без учета поляризации
атома и метод расчета сечения фотопоглощения на сложных атомах,
основанный на решении кинетического уравнения методом частиц с учетом
поляризации. Использование этих подходов дает возможность описывать
любые оптические свойства (сечения фотопоглощения, рассеяния и т. д.)
произвольных многоэлектронных атомов и ионов.
7
2. Решена задача о классическом излучении заряженной частицы при финитном
движении в произвольном центрально-симметричном потенциале.
3. Найдено распределение сил осцилляторов (сечение фотопоглощения)
нейтрального атома Томаса-Ферми для всего томас-фермиевского диапазона
частот 27.2эВ    27.2 Z 2эВ , а также низкочастотная и высокочастотная
асимптотики как с учетом, так и без учета поляризации атома. Получено, что
влияние поляризации заметно сказывается только на низких частотах.
4. Разработан статистический подход к рассмотрению плазмы в случае
коронального равновесия. С помощью этого подхода:
 Получена формула для скорости ионизации в зависимости от потенциала
ионизации I и температуры T . Сделана оценка для скорости рекомбинации.
Вычислены средние значения степени ионизации корональной плазмы.
Найденные значения скоростей ионизации и рекомбинации и степени
ионизации корональной плазмы находятся в разумном согласии с
имеющимися данными.
 Найден спектр излучения произвольной многозарядной плазмы в случае
коронального равновесия для всего диапазона энергий квантов. Полная
интенсивность излучения достаточно хорошо совпадает с расчетами
интенсивности излучения, полученными по многоуровневой корональной
модели. Использование полученных спектров для описания данных
эксперимента МАГО-IX показало, что расчетные сигналы диодов согласуются
с экспериментальными, если в расчетах предполагается загрязнение плазмы
примесями меди и легких элементов со стенок.
Апробация (признание) научных результатов и положений
В рамках данной работы были сделаны 3 доклада на конференциях,
выпущено 7 публикаций, в том числе 2 – в ЖЭТФ, 2 – в «Физике плазмы».
Результаты работы докладывались на следующих конференциях:
 II и VII научно-технические конференции «Молодежь в науке» (Россия,
г. Саров Нижегородской обл., 2003, 2008)
 XXXV Звенигородская конференция по физике плазмы и УТС (Россия,
г. Звенигород Московской обл., 2008).
Структура диссертации
Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка
использованной литературы и приложения. Общий объем составляет 118
страниц, включая 39 иллюстраций, 6 таблиц, и 47 названий цитируемой
литературы.
Содержание диссертации
Во введении дается общая характеристика работы, описаны подходы к
решению квантовомеханических задач для многих атомов, разработанные к
настоящему времени, и отличие от них подхода, развитого в диссертации,
обоснована актуальность работы, приведено описание содержания диссертации и
сформулированы основные результаты, вынесенные автором на защиту. На
8
протяжении всей диссертации, кроме некоторых окончательных формул,
используются атомные единицы e   m  1.
В разделе 1.1 главы 1 представлен квазиклассический метод описания
динамического отклика многоэлектронного атома (или любой многоэлектронной
системы: иона, сжатого атома и т. д.) на действие электромагнитной волны без
учета поляризации атома (модель независимых электронов, МНЭ).
Для характеристики динамических свойств атомов рассматривается
сечение фотопоглощения  ( ) или распределение сил осцилляторов df / d . Эти
величины связаны соотношением (в обычных единицах)
4
2 2e2 df
.

Im ( ) 
c
mc d
Согласно приведенному методу в фотопоглощении принимают участие
электроны, лежащие на ферми-поверхности, и задача нахождения распределения
сил осцилляторов df / d сводится к определению компонент Фурье
интенсивности d n классического излучения электронов с энергией    F (  F –
энергия Ферми), движущихся в потенциале Томаса-Ферми:
df
2 2  2
M
dM
 2   d n  M      n  p F
dV .
(1)
d 3 n0
M m2  r   M 2 M m  r 
Здесь pF – граничный импульс распределения Ферми, M – момент электрона,
максимальное значение которого на данном радиусе r равно
M m  r   r 2U  r 
(предполагаем, что энергия Ферми  F  0 ).
Показано, что при этом выполняется правило сумм

df
0 d d  N .
Была решена задача о классическом излучении заряженной частицы при
финитном движении в произвольном центрально-симметричном потенциале.
Получено, что в этом случае частоты n и n , присутствующие в разложении в
2
ряд дипольного момента, являются целыми кратными основной частоты 0 
,
T
где T – период движения по радиусу, сдвинутыми на некоторую величину  , так
что
n  0n   , n  0n   ,
где

,
T
 – изменение угла за период T. Сдвиг частот появляется из-за незамкнутости
траектории.
Траектории электронов с нулевой энергией, движущихся в потенциале
Томаса-Ферми, для произвольного момента представляют собой незамкнутые

9
розетки (рис. 1). В этом поле существует также траектория электронов с
U
максимальным моментом M 0  0.928 , для которой сила 
, действующая на
r
электрон, равна центробежной и поэтому электроны с этим моментом движутся
по замкнутой круговой траектории с радиусом r0  1.863 .
12
y
8

4
x
0
-12
-8
-4
0
4
8
-4
-8
Рис. 1 – Траектории электронов с нулевой энергией с моментами M = 0.630 и
M 0  0.928 в потенциале Томаса-Ферми.
С помощью интегрирования по траекториям электронов рис. 1 можно найти
величины d n2 в формуле (1) и, взяв сумму и интеграл в этой формуле, найти
распределение сил осцилляторов df / d , которое, как легко показать, для любых
атомов зависит только от переменной    / Z .
Вычислено распределение сил осцилляторов df / d нейтрального атома
Томаса-Ферми для всего томас-фермиевского диапазона частот 1    Z 2
(рис. 2). На рис. 2 также показаны вклады в распределение сил осцилляторов от
 df 
нескольких первых гармоник излучения 
 .
 d n
10
1
0.1
0.01
минимум Купера
11+
df /d 
0
1+
2+
2+
0.001
0.0001
0.01
0.1
1

Рис. 2 – Распределение сил осцилляторов
10
100
df
 df   df   df 
и величины 
 ,
 , 

d
 d 0  d 1  d 1
 df 
и
 . Пунктирной линией показана асимптотика (2) при высоких частотах.
 d  2 
10
Рис. 2 показывает, что распределение сил осцилляторов в рассматриваемом
подходе является немонотонной функцией частоты, и имеет несколько
особенностей в области  ~ 0.1  0.4 . Имеется минимум при частоте   0.13 ,
скачок при частоте   0.267 , и небольшой максимум при частоте   0.35 .
Такое поведение функции df / d объясняется поведением нескольких первых
гармоник, которые дают основной вклад в df / d в указанной области частот
 ~ 0.1  0.4 . Полученный минимум наблюдается экспериментально у многих
элементов и называется минимум Купера [12, 13].
Такое поведение значительно отличается от поведения монотонных
плавных кривых df / d , получаемых в различных модельных подходах: подходе
Болла и др. (1973) [3], в котором электронный газ считается упругой
поляризуемой средой, и плазменной модели Виноградова (1989) [4], в которой
атом описывается с помощью зависящей от радиуса диэлектрической
проницаемости однородного электронного газа.
Отметим, что в работе [14] найдены коллективные уровни атома ТомасаФерми 1  0.505 и  2  1.32 . Рис. 2 показывает, что распределение сил
осцилляторов для этих частот является гладкой функцией частоты. Таким
образом, найденные в [14] коллективные уровни не приводят к появлению какихлибо резонансов в динамическом отклике атома Томаса-Ферми.
С помощью квазиклассических формул для сечения фотопоглощения на
электронных оболочках в кулоновском потенциале получена асимптотика
распределения сил осцилляторов при высоких частотах   1:
df
8 1
.
(2)
   
2
d
3 3 
С учетом асимптотической формулы для потенциала в атоме ТомасаФерми на больших расстояниях отдельно найден низкочастотный предел   1
величины df / d . Он получается равным
df
   0   36.24 .
d
В разделе 1.2 учтена поляризация атома и вычислено сечение
фотопоглощения атома Томаса-Ферми, решая кинетическое уравнение методом
частиц (прямой метод частиц, ПМЧ), для произвольной частоты излучения.
Задача о динамическом отклике однородного вырожденного электронного
газа уже рассматривалось ранее в работе Ю. Л. Климонтовича и В. П. Силина.
Для ее решения вводится диэлектрическая проницаемость как функция частоты и
волнового вектора [15]. Эту диэлектрическую проницаемость можно
использовать для определения спектров электромагнитных волн и колебаний в
плазме (см., например, [16]). Задача об атоме усложняется тем, что здесь
приходится рассматривать существенно неоднородную систему, и, значит,
введение диэлектрической проницаемости как функции частоты и волнового
вектора, вообще говоря, не дает преимуществ для последовательного
квазиклассического решения задачи.
Поскольку движение электронов в тяжелом атоме квазиклассично (с
точностью ~ Z 2 / 3 ), их можно описывать классической функцией распределения f
11
и применять для их описания уравнения Власова. Электрическое поле падающей
электромагнитной волны считаем малым по сравнению с атомными полями.
Линеаризуем уравнения Власова относительно поля падающей волны E . В
результате получаем
f1
f
f
f
(3)
 v  1  0  1  1  0 ,
t
r
p
p
1  41 ,
(4)
1    f1 d p ,
где индекс «0» относится к равновесным величинам, «1» - к возмущенным.
Поскольку длина волны падающего излучения велика по сравнению с размерами
атома, на бесконечности считаем E не зависящим от координаты: E  E0 g  t  .
Для реализации численного расчета кинетического уравнения (3) методом
частиц можно использовать следующую его интерпретацию: левая часть (3)
описывает движение частиц в томас-фермиевском потенциале 0  r  , а правая
соответствует рождению частиц – электронов (если f1  0 ) и дырок (если f1  0 ).
Получено, что электроны и дырки рождаются с нулевой энергией, с
ламбертовским распределением по углам вылета, дырки вылетают вдоль поля, а
электроны – против. Найдена зависимость скорости рождения электронов (и
дырок) в единице объема от потенциала 1 .
Поскольку потенциал 1 в нашей задаче может зависеть только от двух
векторов, E и r , а вектор E должен входить в выражение для 1 линейно, 1
должен иметь вид
1   E0  r   r , t  .


Интересующее нас сечение фотопоглощения можно найти как отношение
поглощенной в атоме энергии q к потоку энергии, прошедшему через единицу
площади:
q
.
(5)

cE 2
 4 dt
Здесь зависимость электрического поля от времени g  t  для заданной
частоты имеет синусоидальный колебательный характер, а интеграл в
знаменателе и числитель следует, вообще говоря, рассматривать за сколь угодно
большой промежуток времени, включающий бесконечное число периодов
колебаний.
Получена формула для полной энергии, поглощенной атомом за время t
q   E dP .
(6)
Зная зависимость дипольного момента атома от времени, можно с
помощью формул (5), (6) вычислить сечение фотопоглощения.
Получены формулы для распределения вероятностей рождения частиц по
радиусу и по углу. При решении кинетического уравнения (3) по начальным
координатам и углам вылета дырок и электронов относительно поля, полученным
12
в результате розыгрыша вероятностей, определялась плоскость движения частиц.
Положения дырки и электрона в этой плоскости в произвольный момент времени
t находились интегрированием уравнений движения. Таким образом вычислялись
координаты частиц в трехмерном пространстве, необходимые для нахождения
дипольного момента P. Зная зависимость дипольного момента от радиуса P  r , t 
и используя граничное условие   r     g  t  , с помощью уравнения Пуассона
(4) находилась зависимость   r , t  во всем пространстве.
Поскольку в численных расчетах решалась динамическая задача отклика
атома на действие электрического поля падающей волны, для определения
сечения фотопоглощения на заданной частоте излучения  необходимо было
задавать фиксированную гармонику и рассматривать ее действие в течение
достаточно большого времени. Фактически, однако, для наименьшего искажения
спектра воздействующего поля по сравнению с монохроматическим
синусоидальное поле включалось и выключалось постепенно, так чтобы спектр
воздействующего поля был сосредоточен вблизи несущей частоты и не имел
далеких высокочастотных крыльев.
Результаты расчетов df / d для различных частот излучения представлены
в таблице 1.
Таблица 1 – Результаты расчетов распределения сил осцилляторов df / d для
различных частот излучения с указанием погрешностей.

df / d

df / d
0.001
0.01
0.03
0.05
0.07
0.1
0.12
0.15
0.2
0.25
10.0  0.2
5.5  0.1
3.50  0.03
2.62  0.08
2.06  0.07
1.34  0.04
0.63  0.01
0.24  0.02
0.57  0.01
0.95  0.02
0.28
0.3
0.34
0.5
1
2
5
8
10
15
0.732  0.015
0.58  0.02
0.630  0.012
0.453  0.010
0.200  0.005
0.071  0.004
0.0148  0.0007
0.0062  0.0003
0.0041  0.0003
0.0018  0.0003
Как и в случае отсутствия поляризации, низкочастотный предел сечения
фотопоглощения рассмотрен отдельно. При решении кинетического уравнения в
этом случае также предполагалось, что рождающиеся частицы движутся в
потенциале, определяемом асимптотическим поведением потенциала ТомасаФерми. В результате было получено
df
   0   17.3 .
d
В разделе 1.3 проведено сравнение результатов, найденных методом МНЭ,
с результатами, полученными с учетом поляризации, что позволило оценить
величину эффектов поляризации.
13
По полученным в расчетах значениям df / d подобрана интерполяционная
формула, позволяющая вычислять распределение сил осцилляторов с учетом
поляризации при любой частоте излучения. Значения df / d из таблицы 1,
результаты расчета по этой формуле и функция df / d , вычисленная без учета
поляризации, представлены на рис. 3.
10
df / d
1
0.1
минимум Купера
0.01
0.001
0.01
0.1
1
10
100

Рис. 3 – Распределение сил осцилляторов df / d , полученное в численных
расчетах с учетом поляризации (точки), по интерполяционной формуле (синяя
линия), и вычисленное без учета поляризации (розовая линия). Пунктирной линией
показана асимптотика (2) при высоких частотах.
Рис. 3 показывает, что при учете поляризации, как и в случае ее отсутствия,
df / d является немонотонной функцией частоты излучения. Поляризация
сказывается только на низких частотах. В частности, низкочастотный предел
df / d , найденный с учетом поляризации, в 2.1 раза меньше величины,
вычисленной без учета поляризации. Кроме того, особенности функции df / d в
области частот  ~ 0.1  0.4 несколько размываются при учете поляризации. При
высоких частотах  >> 1 функция df / d в обоих случаях стремится к
асимптотике (2).
На средние характеристики, в том числе на логарифмическую среднюю
энергию возбуждения, поляризация влияет не сильно. При учете поляризации эта
величина получается равной I = 8 Z эВ и находится вблизи экспериментально
найденного диапазона.
Проведено сравнение результатов расчетов df / d с экспериментальными
данными. На рис. 4 представлено вычисленное по интерполяционной формуле
df / d в сравнении с функцией, полученной усреднением экспериментальных
значений df / d [17] для ряда элементов (Cu, Xe, Au, Rn, U). При усреднении
предполагалось, что вес значений df / d элемента в общей сумме
пропорционален порядковому номеру элемента Z.
14
df / d
10
1
0.1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2

df / d , вычисленное по
Рис. 4 – Распределение сил осцилляторов
интерполяционной формуле (пунктирная линия), и полученное при усреднении
экспериментальных данных [17] (сплошная линия).
Из рис. 4 видно, что, хотя модель Томаса-Ферми не учитывает сложную
структуру атомных уровней и поэтому не может описать связанные с ней
особенности сечения фотопоглощения конкретных элементов, функция df / d ,
полученная в наших расчетах, в общем согласуется с усредненными
экспериментальными значениями. Из-за того, что в реальных веществах
минимум Купера находится в несколько различающихся значениях
автомодельной частоты , глубина этого минимума на усредненной
экспериментальной кривой оказывается меньше, чем у атома Томаса-Ферми,
однако его положение оказывается близким к минимуму, найденному для томасфермиевского атома. Максимумы при частотах  = 0.25 и  = 0.35 функции
df / d , полученные в расчетах, не видны в экспериментальных данных. Таким
образом, полученные нами результаты позволяют описывать распределение сил
осцилляторов тяжелых атомов, хотя не все особенности df / d атома ТомасаФерми в области частот  ~ 0.1  0.4 имеют место в реальных веществах.
Причина этого состоит в том, что даже для самых тяжелых элементов квантовые
числа все еще остаются не слишком большими.
Знание распределения сил осцилляторов для холодного атома позволяет не
только находить его сечение фотопоглощения, но также определять
излучательные свойства плотного вещества. Это также показано в разделе 1.3.
В главе 2 представлен статистический подход к рассмотрению плазмы в
случае коронального равновесия. Движение электронов в тяжелом атоме
квазиклассично, и образование дырок (незаполненных электронами состояний) в
электронных оболочках атомов, оже-эффект, ионизацию и рекомбинацию в этом
приближении можно представлять как процессы парных столкновений
электронов, а электроны в атоме – как электронный газ. Столкновения
электронов следует рассматривать в борновском приближении. Число
столкновений в единицу времени находится из кинетического уравнения.
Раздел 2.1 посвящен рассмотрению процессов ионизации и рекомбинации
в плазме при столкновениях ионов со свободными электронами. Рассмотрены
15
каналы, по которым происходит ионизация и рекомбинация в результате
выбивания из иона связанного электрона свободным, характеризующиеся
различными распределениями электронов по энергии до и после столкновения.
Число столкновений свободных электронов со связанными электронами
одного иона в единицу времени равно
dN
(7)
 ne  v d f1 f 2 dp1 dp2 dV2 ,
dt
где v – относительная скорость электронов, d – дифференциальное сечение
рассеяния, ne – концентрация свободных электронов в плазме, f1 – их
максвелловская функция распределения по энергии, f 2 – фермиевская функция
распределения электронов в ионе.
При нахождении числа столкновений, происходящих в единицу времени в
каждом из каналов, определялись области возможных значений угла рассеяния,
определяющего величину d, энергии свободного электрона E и энергии
связанного электрона  в каждом канале. Интегрирование по радиусу во всех
каналах проводилось в пределах от 0 до Z /  – максимального значения радиуса,
на котором может находиться электрон с энергией  .
Скорость ионизации определяется зависимостью вида
Z3
WIoniz  ne 3 g ( s ) ,
(8)
T
I
где s  , а функция g  s  представлена на Рис. 6 (кривая 1). При I >> T эта
T
функция пропорциональна exp   I / T  .
На рис. 5 показана скорость ионизации  v для иона O3 , найденная по
формуле Лотца [18] и с помощью формулы (8) с учетом замены Z на z + 1 (z –
заряд иона), что позволяет уточнить результаты. Из рис. 5 видно, что в области
T
~ 1 скорость ионизации (8) хорошо согласуется с формулой Лотца (значения
I
различаются не более чем на 30%).
< v >, см3/с
1.E-08
1.E-09
1.E-10
0.1
1
10
T/ I
Рис. 5 – Скорость ионизации  v для иона O 3 , вычисленная по формуле Лотца
[18] (сплошная линия), и найденная с помощью формулы (8) (пунктирная линия).
16
В предлагаемом подходе удается вычислить скорость рекомбинации для
иона с большим Z, а при произвольных Z делается оценка скорости
рекомбинации. После вычислений по формуле (7) для числа столкновений в
единицу времени в канале рекомбинации получим выражение вида
2s
Z3 
 dN 
R  s, y  dy ,

  ne 3
T 3 s
 dt  Rec
где подынтегральное выражение
функции, y 
R  s, y 
выражается через специальные

.
T
Этот интеграл логарифмически расходится при стремлении  к I. Эта
расходимость является следствием того, что далекие кулоновские столкновения,
вносящие большой вклад в сечение рассеяния, при малых значениях энергии
свободных электронов E и значениях , близких к I , могут передавать энергию,
достаточную для рекомбинации. Реально расходимость будет обрезаться из-за
того, что энергия, передаваемая связанному электрону, не может быть меньше
расстояния между соседними уровнями в ионе. Для оценки интеграла нами
предлагается процедура, определяемая величиной главного квантового числа n на
 dN 
уровне потенциала ионизации. Величину 
 , обрезанную с помощью этой
 dt  Rec
процедуры, обозначим WRec  n, s  .
На рис. 6 представлены графики зависимостей скоростей ионизации и
величины WRec  n, s  , выраженных в единицах ne Z 3 / T 3 , от s. В области s  1
величина WRec  n, s  заметно превышает скорость ионизации, поскольку
выражение для скорости рекомбинации не содержит экспоненциально
убывающих множителей.
10
1
3
2
0.1
1
0.01
0.5
1
1.5
2
s
Рис. 6 – Функции WIoniz  s  – (1), WRec  2, s  – (2), WRec  3, s  – (3), выраженные в
единицах ne Z 3 / T 3 .
Не все столкновения в канале рекомбинации, число которых дается
величиной WRec  n, s  , приводят к рекомбинации. Возможны тройные
столкновения образовавшихся возбужденных электронов со связанным, в
17
результате которых будут происходить неупругие столкновения, не изменяющие
зарядового состояния иона. Рекомбинация произойдет, если ион перейдет в
невозбужденное состояние радиационным образом. Скорость рекомбинации
находится с учетом относительной вероятности радиационной релаксации wRec .
Можно попытаться описать эту вероятность простой формулой
C0 Z eff4
,
wRec 
1  C0 Z eff4
где C0  const , Z eff – эффективный заряд, в поле которого движутся электроны.
Используя найденные скорости ионизации и рекомбинации, решалось
уравнение баланса для многоэлектронных ионов с использованием одного
подгоночного коэффициента C 0 . Найденные при этом значения величины I / T и
среднего заряда иона согласуются с табличными данными, полученными в
многоуровневой корональной модели.
Показано, что полученные при этом подгоночном параметре значения
скорости рекомбинации находятся в разумном согласии с имеющимися данными.
Рассматриваемая в работе модель дает объяснение низких по сравнению с
уравнением Саха значений I / T , получаемых в корональной модели плазмы, и
уменьшения этой величины по мере увеличения Z .
Кроме того, модель обладает тем преимуществом, что вычисления в ней
удается провести аналитически почти до окончательных формул (исходные
шестикратные интегралы удается привести к однократным интегралам от
специальных функций, а для некоторых каналов вычислить аналитически). В
итоге окончательные результаты для скоростей ионизации и рекомбинации по
разным каналам выражаются в замкнутом аналитическом виде и их можно
использовать в других работах и моделях.
В разделе 2.2 рассмотрен оже-эффект для атомов и ионов на основе
статистической модели атома. Оже-эффект возможен, только если энергия дырки
 > 2I. Скорость заполнения дырки (оже-ширина) в потенциальной яме
определяется из кинетического уравнения
1
3
w   2   v d f 2 f1 d p1 .
2
Здесь f1 и f 2 – равновесные функции распределения электронов в яме, p1 –
импульс оже-электрона. Для нахождения оже-ширины в ионе это выражение
усреднялось по траектории движения дырки.
Зависимость оже-ширины в ионе w от величины q 
рис. 7.
18

I
представлена на
w
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
2
2.5
3
3.5
q
4
4.5
5
Рис. 7 – Зависимость оже-ширины w от величины q.
Вблизи порога оже-эффекта ширина уровней зависит от энергии
квадратично, а при больших по сравнению с потенциалом ионизации I энергиях
дырки  оже-ширина растет линейно с ростом энергии. Показано, что ожеширина в сложных атомах растет с увеличением атомного номера как Z 1/ 3 .
В разделе 2.3 построен спектр излучения плазмы с многозарядными
ионами. Тормозная и рекомбинационная части спектра найдены, используя
квазиклассические формулы. Отметим, что в работах [19-21] рассматривается
тормозное излучение электрона в томас-фермиевском потенциале атома и иона,
что позволяет проводить вычисление тормозного излучения за пределами
рассматриваемой квазиклассической точности ~ N 1/ 3 .
Рассмотрено характеристическое излучение, возникающее после выбивания
свободным электроном связанного из глубокого уровня атома и заполнения
образовавшейся дырки в результате радиационного перехода электрона с более
высоких уровней, и вычислена его интенсивность при высоких частотах. При
образовании дырки на глубоком уровне   2I заполнение ее электроном с
подавляющей вероятностью происходит в результате оже-эффекта. Поэтому
спектральная интенсивность излучения из единицы объема плазмы будет
определяться скоростью генерации дырок, умноженной на отношение
вероятности излучения кванта с заданной энергией, к полной скорости
заполнения дырки, которую в этом случае можно считать равной w , и, таким
образом, будет равна
dW dN h
Ch
dI   nZ   
dM d ,
w dM d
где nZ – концентрация положительных ионов с зарядом ядра Z, dW –
dN h
– число
dM d
дырок с энергией – и моментом M, образующихся в ионе в единицу времени.
Поскольку высокочастотные кванты  ~  соответствуют высоким
гармоникам и испускаются дырками с малыми моментами, для нахождения
вероятности dW можно воспользоваться асимптотической формулой для
интенсивности очень высоких гармоник при движении по близкой к параболе
вероятность испускания кванта с энергией  в интервале d ,
19
орбите.
dN h
определяется числом столкновений свободных
dM d
электронов со связанными электронами одного иона, находящимися на радиусах
от r2 до r2  dr2 и имеющими модуль энергии в интервале от  до   d , в
единицу времени, которое находится из кинетического уравнения
dN h
(9)
 ne  v d f1 f 2 p2r22d p1 d  p2 d r2 ,
d dr2
где f1 – функция распределения свободных электронов, f 2 – функция
распределения электронов в ионе.
Вычисления показывают, что при подходе к порогу оже-эффекта   2I
Ch
dI 
1
Ch
интенсивность
пропорциональна
. Полученная для dI  формула
d
I
определяет эту величину для частот   I , при которых вероятность оже-эффекта
превышает вероятность радиационной релаксации. При больших частотах   T
спектральная интенсивность характеристического излучения экспоненциально
спадает с ростом частоты, а полная его интенсивность по порядку величины
совпадает с тормозным и рекомбинационным излучением.
Полная интенсивность высокочастотного характеристического излучения
расходится логарифмически при приближении  к I. Эта расходимость связана с
тем, что мы считали вероятность заполнения дырки определяющейся только ожеэффектом, вероятность которого при приближении энергии дырки к I обращается
в нуль. Учет вероятности радиационного заполнения дырки приведет к
устранению этой расходимости. Для вычисления полной интенсивности с
логарифмической точностью можно обрезать расходимость на величине
  I   I I , где малая величина  I берется такой, чтобы по порядку величины
Величина
dI 
I 
выполнялось
  ~ , где I ( L) – характерная интенсивность линейчатого
d

излучения,   1   I  I . Величина  I при этом получается порядка 0.001.
Полученные результаты показывают, что вклад линейчатого спектра в
высокочастотную область   I очень невелик и уменьшается резко, так, что его
нельзя представлять, например, взяв полную интенсивность излучения, и
распределив его пропорционально exp   /T  . Поэтому для сравнения
расчетных сигналов с экспериментальными в экспериментах МАГО необходимо
знать распределение линейчатого излучения в области   I , т. е. необходимо
определение полного спектра излучения плазмы.
Рассмотрен наиболее существенный для генерации излучения канал
столкновений свободных электронов с многозарядным ионом, в результате
которого происходит возбуждение иона и последующая радиационная
релаксация, дающая вклад в низкочастотную часть линейчатого спектра  < I.
Полная интенсивность энергии, излучаемой в этом канале из единицы
объема плазмы, находится по формуле
Ch
L
20
I 0  nZ   h   e 
dN
d e d h ,
d e d h
dN
– число столкновений в единицу времени, приводящих к появлению в
d ed h
ионе возбужденного электрона с энергией  e и дырки с энергией  h . Общую
зависимость интенсивности линейчатой части спектра  < I излучаемой энергии
от Z, T и I можно выразить в виде
4  Z3
I 
I 0  ne nZ
F
 ,n ,
3
T I 3/ 2  T 
где безразмерная функция F зависит от отношения I /T и главного квантового
числа n электронов на уровне потенциала ионизации рассматриваемых ионов.
Обращаем внимание на то, что эта интенсивность, в отличие от тормозного,
рекомбинационного и характеристического излучения, не содержит множителя
c 3 . Это объясняет подавляющий вклад этой части спектра в полную
интенсивность излучения.
На рис. 8 для ряда значений температур представлены величина I 0 и
интенсивность излучения из таблиц Поста-Йенсена в случае медной плазмы.
Рис. 8 показывает, что для оценок интенсивности излучения можно пользоваться
величиной I 0 , поскольку она согласуется с табличными значениями, отличия не
превышают 3 раз.
где
100
I PJ
10
I0
1
0.1
0
100
200
300
400
500
600
700
800
T , эВ
Рис. 8 – Величина I 0 и интенсивность излучения из таблиц Поста-Йенсена для
медной плазмы. Величины приведены в расчете на один свободный электрон и один
ион.
Искомый спектр линейчатого излучения находится интегрированием
спектров всех образующихся пар частиц.
Энергия, излучаемая из единицы объема плазмы в единицу времени в
dN
гармонике k в интервале частот от  до  + d, находится с учетом
и
dM e d  e
dN
– чисел электронов и дырок одного иона с заданными значениями
dM h d  h
21
моментов и энергий, рождающихся в единицу времени
e
h
 dE 
dN
 dI   dI 
 dI 
dM e d  e 
  ,  e , M e 

 
 
  nZ  
d

dM
d

 d k  d  k  d  k

k
e
e
 dE 
dN
 nZ  
dM h d  h .
  ,  h , M h 
dM h d  h
 d k
 dE 
где 
 – энергия, излучаемая при релаксации частицы гармоникой k в
 d k
интервале частот от  до  + d. Искомый спектр линейчатого излучения плазмы
находится суммированием вкладов от всех гармоник:
L
dI    dI 
 
 .
d
k 1  d   k
dN
dN
Величины
и
определяются числом столкновений
dM h d  h
dM e d  e
свободных электронов с энергией E со связанными электронами одного иона,
находящимися на радиусах от r2 до r2  dr2 и имеющими модули энергий в
интервале от  h до  h  d  h , в единицу времени, которое вычисляется по формуле
(9) (вместо  надо подставить  h ).
Спектр излучения рассматриваемого канала зависит от двух величин –
I

, где частота  0 соответствует основной частоте излучения на уровне
s и
0
T
энергии  I
3/ 2
2I 

0 
.
Z
Можно ожидать, что полученные спектры линейчатого излучения
правильно передают зависимости от основных параметров задачи (они зависят от
степени квазиклассичности, определяемой главным квантовым числом n
электронов на уровне потенциала ионизации рассматриваемых ионов, и
отношения I / T ). Спектры состоят из слабо выраженных пиков вблизи гармоник,
кратных  0 .
Спектральная интенсивность излучения спадает с ростом частоты
достаточно медленно (теоретическое рассмотрение показывает, что она спадает
по закону  5 / 3 ). Это приводит к тому, что в область частот  < I попадает очень
небольшое число гармоник, и интеграл по спектру в интересующей нас области
частот  < I заметно меньше величины I 0 , при вычислении которой учитываются
вклады от всех гармоник. Таким образом, остается вопрос, как распределить
остающуюся энергию по спектру. Это сделано на примере медной плазмы.
Для описания экспериментов МАГО мы рассматривали водородную плазму
с медными примесями и примесями легких элементов (C, N, O). Полный спектр
излучения такой плазмы строился следующим образом.
22
Для медной плазмы линейчатый спектр, полученный для области  < I,
сшивался с линейчатым спектром в области  > I, вычисленным по формулам
для характеристического излучения. Разница между интенсивностью I 0 и
интегралом по вычисленному в области  < I спектру помещалась в 2 линии,
излучаемые при радиационной релаксации после столкновительных переходов
электронов n  n  1 и n  1  n . К полученному суммарному линейчатому
спектру добавлялся непрерывный спектр (тормозное и рекомбинационное
излучение).
Спектр медных примесей, полученный для температуры T = 0.3 кэВ,
представлен на рис. 9.
1.E+02
1.E+01
1.E+00
1.E-01
1.E-02
1.E-03
1.E-04
1.E-05
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
 , кэВ
Рис. 9 – Спектр излучения медной плазмы
1 dI
при T  0.3 кэВ .
nZ ne d
На рис. 10 приведено сравнение интеграла от спектра по энергии
1 dI
d с результатами расчетов по программе на основе радиационноne nZ 0 d
столкновительной кинетики CC-9 [22]. Наше значение отложено на левой оси, а
результат СС-9 – на правой.

8
1.2
7
1
6
0.8
5
0.6
4
3
0.4
2
0.2
1
0
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
 , кэВ

dI
1
d , полученная в наших расчетах (график,

ne nZ 0 d
относящийся к левой оси), и вычисленная по программе СС-9 (график, относящийся
к правой оси) для меди при T  0.3 кэВ .
Рис. 10 – Величина
23
Рис. 10 показывает, что распределения энергии по спектру оказываются

1 dI
d отличаются значительно.
близкими, хотя абсолютные значения
ne nZ 0 d
Отличие интегральной величины радиационных потерь для наших расчетов от
данных Поста-Йенсена оказывается меньшим, чем у программы CC-9 (величина
потерь Поста-Йенсена для этой температуры I PJ  5.3 , наша величина I 0  7.0 , а
программа CC-9 дает I CC9  1.2 ). Средний заряд иона z = 16.3 в нашем подходе
при этой температуре фактически совпадает с результатами Поста-Йенсена
z = 16.4, а расчеты по CC-9 дают z = 18.4.
Потенциал ионизации водородной плазмы при рассматриваемых нами
температурах I H  T , поэтому ее спектр излучения сводится к тормозному
излучению.
При построении спектра легких элементов разница между результатом
Поста-Йенсена и интегралом по непрерывному спектру (интенсивность
линейчатого спектра) помещалась в линию 2p → 1s.
Найденные спектры корональной плазмы применены к анализу
результатов, полученных в одном из экспериментов МАГО.
В эксперименте МАГО-IX формирование плазмы производилось в одном
из вариантов медной плазменной камеры, состоящей из трех отсеков (рис. 11),
соединенных соплами. Третий отсек, в котором регистрировалось рентгеновское
излучение, представлял собой полый цилиндр длиной 15 см с наружным
диаметром 10 см и внутренним 1.6 см. Камера заполнялась ДТ смесью (50%
дейтерия, 50% трития) при начальном давлении 5 Торр.
Рис. 11 – Схема камеры в эксперименте МАГО-IX. Показано положение линии
наблюдения спектрометра “DANTE”.
Камера запитывалась от спирального взрывомагнитного генератора с узлом
разрыва. Вначале камера относительно медленно запитывалась предварительным
«замагничивающим» током, величина которого в этом эксперименте составила к
моменту работы быстрого источника 1.25 МА. После срабатывания узла разрыва
ток на входе в камеру за 3 мкс нарастал до 7.7 МА. В то же время ток в первом
отсеке вырос примерно до 4 МА.
24
Совокупность экспериментальных и расчетных результатов показала, что в
третьем отсеке камеры была создана плазма с температурой ~ 0.3 кэВ и временем
жизни около 0.5 мкс.
В этом отсеке камеры производились спектрально-временные измерения
мягкого рентгеновского излучения при помощи спектрометра “DANTE” в
диапазоне 0.2–1.5 кэВ.
Для получения расчетной величины сигналов были проведены двумерные
МГД расчеты движения плазмы в этом эксперименте в двух различных
постановках: в одном расчете предполагалось, что плазма является чисто
водородной, без примесей, а в другом использовалась модель смытия плазмой
примесей меди и легких элементов (CO) со стенок и предполагалось, что
водородная плазма содержит 3% примесей азота (по массе). Расчетная
интенсивность излучения получалась интегрированием интенсивности излучения
в единице объема плазмы по хорде, вдоль которой в эксперименте были
направлены детекторы. Расчетная величина сигнала находилась по формуле
dI
 d K d dt ,
где K  – спектральное пропускание канала.
Отношение расчетных и экспериментальных величин сигналов диодов,
представленное в таблице 2, показывает степень описания экспериментальных
данных по спектру (для идеального описания спектра это отношение должно
быть одинаковым для всех каналов). Для плазмы с примесями наблюдается
отличие от константы, которое составляет около 2 раз. Однако это все же лучше,
чем отношение расчетных и экспериментальных сигналов для чисто водородной
плазмы, отличие от константы для которого составляет около 6 раз. К тому же,
если расчетная длительность сигналов, полученных с учетом смытия медных
примесей, составляет, также как в эксперименте, доли микросекунды, то
расчетные сигналы для чисто водородной плазмы оказываются длящимися
многие микросекунды, имея примерно постоянный уровень. Таким образом,
степень согласия расчетов с экспериментом в расчетах с учетом загрязнения
плазмы примесями меди и легких элементов со стенок значительно лучше, чем
при сравнении с расчетами для чистой плазмы.
Таблица 2 – Отношение расчетных и экспериментальных сигналов рентгеновских
диодов. Величины приведены относительно их значений в канале 0.2 кэВ.
Канал
Отношение расчетного сигнала
для плазмы с примесями к
экспериментальному
Отношение расчетного сигнала
для чистой плазмы к
экспериментальному
0.2 кэВ
1
1
0.4 кэВ
1.48
1.6
1.25 кэВ
0.73
5.8
В заключении приведены основные результаты, полученные в работе.
25
В приложении показано, как при решении кинетического уравнения
методом частиц находились траектории электронов и дырок по заданным
начальным координатам и углам вылета относительно поля.
Результаты, приведенные в диссертации, получены автором или при его
основном участии.
Список использованных источников
1. F. Bloch, Bremsvermögen von Atomen mit mehreren Electronen, Z. Phys., v. 81, p.
363, 1933.
2. W. Brandt and S. Lundqvist, Atomic Oscillations in the Statistical Approximation,
Phys. Rev. A, v. 139, p. 612, 1965.
3. J. A. Ball, J. A. Wheeler, and E. L. Firemen, Photoabsorption and Charge
Oscillation of the Thomas-Fermi Atom, Rev. Mod. Phys., v. 45, p. 333, 1973.
4. А. В. Виноградов, О. Н. Толстихин, Плазменный подход к теории
фотопоглощения и поляризуемости сложных атомов, ЖЭТФ, т. 96, с. 1204,
1989.
5. В. А. Астапенко, Л. А. Буреева, В. С. Лисица, Поляризационные эффекты в
атомных переходах, УФН, т. 172, с. 155, 2002.
6. V. A. Astapenko, L. A. Bureyeva and V. S. Lisitsa, "Plasma models of atom and
radiative-collisional processes", Review of Plasma Physics, edit. by
V. D. Shafranov, v. 23 (Klower/Publishing Corporation), 2003.
7. А. Ф. Никифоров, В. Г. Новиков, В. Б. Уваров, Квантово-статистические
модели высокотемпературной плазмы, М.: Наука, 2000.
8. D. E. Post, R. V. Jensen, C. B. Tarter et al., Steady-State Radiative Cooling Rates
for Low-Density High-Temperature Plasmas, Atom. Data and Nucl. Data Tables,
v. 20, № 5, p. 397, 1977.
9. Г. А. Вергунова, Е. М. Иванов, В. Б. Розанов, Расчет оптических
характеристик неравновесной плазмы алюминия и меди, Препринт ФИАН,
№ 74, 1999.
10.Г. А. Вергунова, С. Ф. Гаранин, Е. М. Иванов и др., Рентгеновское излучение
легких примесей в плазме МАГО/MTF, Препринт ФИАН, № 43, 2001.
11.П. Д. Гаспарян, А. А. Горшихин, Приближение линейного шума для
вычисления неравновесных флуктуаций чисел заполнения в радиационностолкновительных моделях среднего иона, Физика плазмы, т. 29, № 4, с. 458,
2003.
12.У. Фано, Дж. Купер, Спектральное распределение сил осцилляторов в атомах,
М.: Наука, 1972.
13.М. Я. Амусья, Атомный фотоэффект, М.: Наука, 1987.
14. Г. В. Гадияк, Д. А. Киржниц, Ю. Е. Лозовик, Коллективные возбуждения
тяжелого атома, ЖЭТФ, т. 69, с. 122, 1975.
15. Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский, Физическая кинетика, М.: Наука, 1979.
16. В. Д. Шафранов, Электромагнитные волны в плазме, Вопросы теории плазмы,
под ред. М. А. Леонтовича, вып. 3, с. 3-140, М., Госатомиздат, 1963.
26
17. B. L. Henke, P. Lee, T. J. Tanaka et. al., Low-Energy X-Ray Interaction
Coefficients: Photoabsorption, Scattering, and Reflection, Atomic Data and Nuclear
Data Tables, v. 27, p. 1, 1982.
18. W. Lotz, Electron-Impact Ionization Cross-Sections and Ionization Rate
Coefficients for Atoms and Ions, Astrophys. J. Suppl. Ser., v. 14, p. 207, 1967.
19. В. И. Коган, А. Б. Кукушкин, Излучение квазиклассических электронов в
атомном потенциале, ЖЭТФ, т. 87, с.1164-1181, 1984.
20. Иванов В.В., Кукушкин А.Б., Коган В.И., Аналитическое описание спектров
тормозного излучения электронов плазмы на многоэлектронных ионах,
Физика плазмы, т. 15, с.1531-1535, 1989.
21. V. I. Kogan, A. B. Kukushkin, V. S. Lisitsa, Kramers Electrodynamics and
Electron-Atomic Radiative-Collisional Processes, Phys.Reports, v. 213, № 1-2,
pp. 1-116, 1992.
22. Б. А. Воинов, П. Д. Гаспарян, Ю. К. Кочубей, В. И. Рослов, Программа СС9,
ВАНТ, сер. Методики и программы численного решения задач
математической физики, Вып. 2, с. 65, 1993.
Список научных работ автора по теме диссертации
1. С. Ф. Гаранин, Е. М. Палагина, Сечение фотопоглощения на атоме ТомасаФерми, «Молодежь в науке». Сб. докладов Второй научно-технической
конференции (г. Саров, 12-14 ноября 2003 г.), РФЯЦ-ВНИИЭФ, Саров, с. 170,
2003.
2. С. Ф. Гаранин, Е. М. Палагина, Сечение фотопоглощения на атоме ТомасаФерми, ЖЭТФ, т. 125, с. 1258, 2004.
3. С. Ф. Гаранин, Е. М. Палагина, Фотопоглощение в статистической модели
атома. Модель независимых электронов и влияние поляризации, ЖЭТФ, т.
131, с. 594, 2007.
4. С. Ф. Гаранин, Е. М. Палагина, Сечение фотопоглощения на атоме ТомасаФерми, Труды РФЯЦ-ВНИИЭФ, Вып. 11, Саров, с. 46-57, 2007.
5. С. Ф. Гаранин, Е. М. Палагина, Рассмотрение процессов ионизации и
рекомбинации на основе статистической модели атома в случае коронального
равновесия, Физика плазмы, т. 33, № 8, с. 750, 2007.
6. С. Ф. Гаранин, Е. М. Кравец, В. И. Мамышев, В. А. Токарев, Статистический
подход к рассмотрению излучения многозарядной плазмы в случае
коронального равновесия, «Молодежь в науке»: Сб. докладов Седьмой
научно-технической конференции (г. Саров, 28-30 октября 2008 г.), Саров, с.
125-130, 2009.
7. С. Ф. Гаранин, Е. М. Кравец, В. И. Мамышев, В. А. Токарев, Статистический
подход к рассмотрению излучения многозарядных ионов в случае
коронального равновесия плазмы, Физика плазмы, т. 35, № 8, с. 744, 2009.
27