Квантовая механика началась с проблемы описания атомных

Когда и как квантовая механика уступает место механике классической ?
Михаил Фейгельман, Институт теоретической физики им. Л.Д.Ландау
Аннотация
Есть несколько широко известных обстоятельств: i) все, что мы видим вокруг себя,
состоит из атомов. ii) атомы описываются квантовой механикой, с ее странными
понятиями «дуализм волна-частица», «соотношения неопределенностей» и т.п.
iii) мир, который мы наблюдаем вокруг себя, как правило, ничего такого «квантового» не
проявляет – людям надо было сильно постараться, чтобы к концу XIX – началу XX века
обнаружить, что обычная классическая механика описывает не все наблюдаемые явления.
Каким же образом можно совместить эти три перечисленных выше обстоятельства ?
Иначе говоря, почему, составив большую систему из несомненно квантовых объектов, мы
в результате (обычно) получаем систему вполне классическую ? И в каких случаях
большая система остается квантовой? Общий ответ на эти вопросы науке неизвестен.
Этот вопрос не только крайне любопытен с научной точки зрения, но и практически
важен для создания квантовых компьютеров – которые как раз и должны быть очень
большими системами, сохраняющими квантовый характер своего поведения.
Последующий текст – попытка обсудить эту тему в форме, доступной студентам
младших курсов, на относительно простом примере, разобранном в статье автора и его
коллег (E.Cuevas, M. Feigel’man, L.Ioffe, M.Mezard, "Level statistics of disordered spin-1/2
systems”, недавно направлено в Nature).
1. Какую, на самом деле, задачу мы хотим решить.
Квантовая механика началась с проблемы описания атомных спектров оказывалось (экспериментально) , что электроны могут двигаться только по
дискретному набору «траекторий», и каждая из них соответствовала совершенно
определенной энергии, E1, E2…En . Переход электрона с одной «орбиты» на другую
сопровождался излучением фотона с энергией ћω, равной разности энергий электронных
орбит Ei – Ej . Точнее, сначала было экспериментально обнаружено, что излучаются
(например, атомом водорода) фотоны с некоторым повторяющимся набором дискретных
частот ћωij, а уже потом это наблюдение удалось «рационализировать» при помощи
понятия о дискретных уровнях электронов и переходах между ними.
Что изменится, если вместо атома водорода рассмотреть атом азота или рубидия ?
Задача об определении энергий атомных уровней станет много сложней, найти их чисто
теоретически уже нельзя – хотя уравнения известны, но решить их можно только
численно и приближенно. Однако никто не сомневается в главном – электроны
располагаются на дискретных «орбитах», как и в простейшем случае атома водорода.
Посмотрим теперь на кусок металла, например меди, свинца или железа. Он
состоит из огромного количества атомов (порядка 1023 в кубическом сантиметре), часть
электронов которых «коллективизирована», т.е. они могут легко перемещаться от одного
иона к другому. Поэтому по металлу может протекать электрический ток. При этом
выделяется тепло, т.е. имеется диссипация энергии – иначе говоря, в системе есть
трение. Значит, тут уже не может идти речь о дискретных электронных уровнях, спектр
возможных энергий стал непрерывным.
По линейным размерам отличие атома от куска металла, который удобно взять в
руки – 8 порядков величин (типичный размер атома – 1 ангстрем = 10-8 см). Но
современная техника умеет обращаться с очень маленькими кусочками металла. Что
получится, если выделить гранулу меди размером 1 микрон (10-4 см)? Можно ли в этой
крошке обнаружить хотя бы следы от квантования электронных орбит ? Оказывается, до
какой-то степени можно, только для этого надо ее очень сильно охладить – до температур
ниже 1 градуса Кельвина.
Спрашивается, при чем тут температура? В рассуждениях про атом водорода она
никак не возникала. И это не случайно: мы имели дело с небольшим числом
разрешенных для электрона уровней, с типичным “расстоянием” (разностью энергий)
между ними – порядка 1-10 электрон-вольт, что соответствует 104 – 105 градусов. С
точки зрения электрона, локализованного в отдельном атоме, температура – т.е.
типичная энергия окружающих его частиц – ничтожна (в земных условиях). Увеличив
размер нашей системы L от ангстрема до микрона, мы увеличиваем и время «пролета»
электрона τ в 104 раз. А ведь расстояние между электронными уровнями Δ E ~ ћ/τ, и
значит оно уменьшилось на такой же множитель 104, став теперь порядка 1 град.
Кельвина. На самом деле все обстоит еще куда «хуже» для квантовых свойств: наша
крошка меди трёхмерна - а значит, прямолинейная оценка Δ E ~ 1/L применима лишь к
движению по каждой из трех координат x,y,z по отдельности. В действительности, Δ E ~
1/L3 , и для микронных размеров оказывается совершенно ничтожной величиной. Если бы
мы могли рассматривать движение каждого электрона по отдельности, мы бы
«обнаружили» квантование уровней с типичным «расстоянием» между ними 10-7
Кельвин – что уже слишком мало для наблюдения спектральных линий. Но и это еще не
все: в нашей крошке меди очень много электронов, и они взаимодействуют ! Чтобы
понять, к чему это приведет для плотности спектра, мы рассмотрим сильно упрощенный
пример. Но перед тем как даже и к нему переходить, необходимо небольшое введение.
2. Введение: спины классические и квантовые
Пусть есть решетка, в узлах которой (занумеруем их индексами i = 1, 2…. )
расположены стрелки - ↑ или ↓ , будем также обозначать их величинами Si , равными
+1/2 (если ↑ ) и -1/2 (если ↓). Вначале будем считать, что энергия всей системы равна
просто сумме энергий N отдельных стрелок: E = ∑i hiSi где hi - вообще говоря,
различные в разных узлах величины. Будем считать, что величины hi случайны и
распределены равномерно и независимо в каждом узле: плотность вероятности P(h) = 1/W
для -W/2 < h < W/2. Полное число различных состояний этой системы стрелок равно 2N .
Если мы хотим узнать, каково типичное расстояние между уровнями всей этой системы,
мы получим нечто порядка W/2N. Но эта величина не имеет прямого физического
смысла, если стрелки не взаимодействуют – т.е. если энергия системы сводится к сумме
отдельных членов, как написано выше. В этой ситуации имеет смысл говорить о
расстоянии между уровнями для отдельных стрелок – а эта величина порядка W. Именно
она имеет примерно тот же смысл, что расстояние между отдельными электронными
уровнями, о которых мы говорили до того. Теперь «включим» простейшее
взаимодействие между стрелками, вида Eint = ∑ij Jij SiSj. Энергии Jij могут зависеть от
расстояния между стрелками, но это пока нам не важно. К чему приведет появление
такого взаимодействия ? С одной стороны, энергии разных состояний системы
изменятся, они теперь будут зависеть от взаимной ориентации стрелок. С другой
стороны, классификация этих состояний останется прежней: каждая из них задается
просто расстановкой + и - по узлам.
Может ли быть как-то иначе ? В классической
системе – не может. Но теперь перейдем от классических переменных (стрелок) к
квантовым.
Квантовый аналог «стрелки» - это спин ½. Это такой странный объект, который
не имеет наглядного аналога в «классическом» мире. Мы его будем обозначать
вектором S . Магнитный момент покоящегося электрона M = (eћ/mc) S , где μB –
постоянный коэффициент (его называют магнетоном Бора). Если измерить проекцию
вектора S на какую-то ось (например, ось Z), то получится либо +1/2, либо -1/2, что
похоже на «стрелки» S, которые мы обсуждали ранее. Однако можно проделать подобное
же измерение для какой-то другой оси – X или Y – и, опять-таки, получится либо +1/2,
либо -1/2, и ничего другого. Тогда уместно спросить: «с какой вероятностью получится
тот или иной ответ ?». Это определяется квантовым состоянием ψ нашего спина,
которое задается парой комплексных чисел: | ψ > = a | ↑ > + b | ↓ > . Числа a
и b называются амплитудами вероятности состояний «вверх» и «вниз» ,
соответственно – относительно какой-то выбранной оси (будем считать это осью Z). То
есть, |a|2 - вероятность P+ того, что проекция спина равна +1/2, а |b|2 - вероятность
P- того, что она равна -1/2. Поскольку других возможностей нет, а какое-то событие
обязательно произойдет, то сумма этих величин |a|2 + |b|2 =1. Например, состояние |
ψ >1 = ( | ↑ > + | ↓ > )/√2 имеет одинаковую вероятность (по ½) показать
проекцию +1 или -1 на заданную ось. То же самое – и для состояния | ψ >2 = ( | ↑
> - | ↓ > )/√2. Совпадают ли эти два квантовых состояния? Вовсе нет! «Вектор
состояния» | ψ > содержит в себе гораздо больше сведений, чем вероятности P+ и P- .
И что еще важнее, эволюция квантового спина во времени может быть описана только
при помощи эволюции вектора состояния | ψ > - то есть, изменения трёх независимых
величин, остающихся в a и b с учетом условия |a|2 + |b|2 =1.
Чем же отличается (физически) состояние | ψ >1 от состояния | ψ >2 ? Чтобы
это понять, повернем ось квантования: рассмотрим проекцию спина на ось X. Если
проделать несложное вычисление, окажется, что вектор состояния | ψ >1 направлен
строго в положительном направлении оси X – т.е. вероятность найти проекцию -1/2 на
эту ось равна 0. Для состояния же
| ψ >2 вероятность найти проекцию -1/2 на
эту же ось равна единице. Иначе говоря, коэффициенты a и b сообщают нам, куда
направлена такая ось, проекция спина на которую с полной определенностью равна 1.
Теперь мы можем обсудить, что с таким объектом – квантовым спином – может
происходить. Начнем с классификации состояний: определим оператор 2 Sz при помощи
матрицы
| 1 0 |
| 0 -1 |
действующей на 2-х компонентные вектора состояний (a,b) (их также называют
«волновыми функциями»). Проекция спина на ось Z в состоянии описываемом как |
ψ > = a | ↑ > + b | ↓ > , равна Sz = ½ (|a|2 - |b|2)
Теперь введем еще пару операторов и отвечающих им матриц:
2 Sx = |0 1|
| i 0|
и
2 Sy = |0 -i |
|i 0 |
Подействуем матрицей Sx на вектор (1,0) - т.е. состояние | ↑ > - и мы обнаружим, что
он превратился в вектор (0,1) (иначе говоря – состояние | ↑ > превратилось в состояние
| ↓ >). При этом проекция спина изменилась с +1/2 на -1/2 – т.е. спин
«перевернулся». И наоборот – действие Sx на вектор (0,1) переводит его в (1,0). Похожим
образом будет действовать и матрица Sy , но она еще и умножает волновую функцию на
+ i или – i – в зависимости от того, действовали мы на состояние (0,1) или (1,0).
Составим теперь оператор S+ = Sx + i Sy Его действие на вектор (1,0) будет
обескураживающим: вектор обратиться в 0, т.е. состояние исчезнет! В то же время,
действуя S+ на вектор (0,1), мы получим (1,0). Эрмитово сопряженный оператор S- =
Sx - i Sy - наоборот, будет уничтожать состояние (0,1) и переводить состояние (1,0) в
состояние (0,1).
Пока мы имеем дело всего с одним спином, на который действует постоянное магнитное
поле h - все выглядит немного скучно: мы всегда можем выбрать направление этого
поля за ось Z, и вся энергия спина в этом поле состоит из члена - hSz, так что
операторы Sx и Sy вовсе не появляются в деле. Рассмотрим теперь задачу про два спина
и напишем оператор, соответствующий их энергии (его называют «гамильтонианом» и
обозначают буквой H), в таком виде:
H = - h1 S1z - h2S2z - J ( S1+S2- + S1-S2+ ) =
- h1 S1z - h2S2z - 2 J ( S1xS2x + S1yS2y )
Последний член в H - т.е. взаимодействие между спинами – можно понимать двояко
(соответственно записи в верхней и нижней строках). С одной стороны (см. верхнюю
строку) это взаимодействие согласованным образом «переворачивает» спины – т.е. если
спин 1 переходит из состояния | ↑ > в состояние | ↓ >, то второй спин при этом
переходит из | ↓ > в | ↑ > . В результате полная проекция спинов 1 и 2 на ось Z не
изменяется во времени: Sz = S1z + S2z = const .
Однако взаимодействие приводит к
важнейшему свойству квантовой системы из многих частиц: «запутанности» волновой
функции 1). С другой стороны, запись взаимодействия во второй форме (нижняя строка)
показывает, что оно стремится выстроить оба спина параллельно какой-то (произвольной)
оси, лежащей в плоскости (X,Y). Видно, что выражение для H содержит члены с
«противоречивыми наклонностями» - в то время как поля h1 и h2 выстраивают спины
вдоль оси Z, взаимодействие спинов между собой стремиться направить их в
поперечной плоскости. Математически это выражают таким образом: разные члены
гамильтониана H не коммутируют между собой 2). Именно поэтому оказывается
нетривиальной задача поиска «собственных» квантовых состояний - т.е. таких, что в
результате действия оператора H на вектор состояния ψ получается (с точностью до
множителя, равного энергии E) тот же самый вектор состояния: H
ψ=Eψ.
Рассмотрим для начала пару спинов S1 и S2 - и напишем их общий вектор состояния в
виде ψ+ = 1/√2 ( | ↑ ↓ > + ↓ ↑ >) или ψ- = 1/√2 ( | ↑ ↓ > - ↓ ↑ >). Оба эти
состояния имеют полную проекцию спина Sz = 0, при этом проекции на ось Z спинов 1
и 2 по отдельности не определены. В векторе состояния ψ+ содержится доля ( с
амплитудой 1/√2 ) состояния, в котором спин 1 смотрит вверх, а спин 2 - вниз, и точно
такая же амплитуда 1/√2 состояния, в котором эти спины направлены противоположным
образом. Состояние ψ- отличается лишь тем, что те же две составляющие его части
имеют амплитуды противоположного знака 1/√2 и -1/√2.
Теперь посмотрим на гамильтониан H и выясним, когда состояния ψ+ и ψ- являются для
него «собственными» - т.е. когда действие гамильтониана H на вектор состояния ψ+ или
ψ- оставляет эти векторы неизменными (с точностью до общего множителя – который и
есть энергия состояния E). Легко убедиться, что так будет при h1=h2 =h. В этом случае
обе компоненты векторов ψ+ и ψ- обращаются в нуль под действием первых двух
членов в H. Что касается последнего члена (взаимодействия), то он действует так:
Hint ψ+ = - J ψ+ и H ψ- = J ψТаким образом, состояние ψ+ является собственным и имеет, если J > 0, более низкую
энергию E+ = -J , чем второе собственное состояние ψ- с энергией E- = +J.
Теперь полезно вспомнить, что у системы из двух спинов ½ всего должно быть 4
собственных состояния. Каковы же остальные два ? Они очень просты, это
Ф1 = | ↑↑ > и Ф2 = | ↓ ↓ >, и их энергии E1 (E2 ) равны - (+) h соответственно.
Что же мы узнали, рассмотрев эту простую ситуацию с равными величинами «внешних
полей» h1=h2 = h ? Мы выяснили, что среди четырех собственных состояний есть два ψ+ и ψ- , для которых проекции спинов 1 и 2 на ось Z не определены, и два других, Ф1 и
Ф2 , в которых они определены полностью. Эти 4 состояния – аналоги дискретных
электронных орбит в атоме. Пускай теперь поля h1 и h2 различны – что поменяется ?
Качественно – почти ничего! Также останутся точными собственными состояниями Ф1 и
Ф2 (с энергиями –( h1+h2)/2 и + (h1+h2)/2) и будут еще два состояния – аналоги ψ+ и ψ- которые теперь представляют собой линейные комбинации запутанных состояний
| ↑ ↓ > и ↓ ↑ > , только теперь эти два состояния будут взяты с различными по
модулю амплитудами (не равными просто +/- 1/√2, как было ранее). Если разность
|h1 - h2 | >> J , то одно из этих собственных состояний будет близко к | ↑ ↓ >, а другое
– к |↓ ↑ > , но все равно это будет смесь – линейная комбинация - обоих этих состояний.
Сделаем следующий шаг и добавим 3-й спин к нашей системе. Всего состояний
будет теперь 23 = 8. Мы увидим, что по-прежнему имеются 2 простых собственных
состояния | ↑↑↑ > и | ↓↓↓ > и еще 23 -2 = 6 запутанных состояний – тех, вид которых
определяется взаимодействием между различными спинами. Чем большее число
спинов N мы включим в нашу систему, тем больше (экспоненциально по N) будет доля
запутанных состояний. А это значит, что типичное расстояние между уровнями энергии
такой системы будет становиться экспоненциально малым ~ exp(-cN). И вот теперь мы
уже можем сформулировать нашу задачу.
3. Ближе к делу: наша «простая модель» - решетка из квантовых спинов ½ .
Пусть наша система состоит из N >> 1 спинов, и гамильтониан их таков:
H = - Σi hi Siz - J Σ(ij) ( Si+Sj- + Si-Sj+ )
Подразумевается, что (ij) – это всегда какая-то пара спинов, связанных взаимодействием
силы J. Можно считать что узлы i,j и т.д. сидят в решетке (квадратной, кубической, еще
какой-то), и пары (i,j) – это пары ближайших на решетке соседей. А можно представлять
себе произвольный граф, в котором могут быть связаны взаимодействием произвольные
пары спинов (это не значит, что все они связаны, напротив, связанные пары составляют
лишь малую долю всех возможных пар). Важнейшая характеристика такого графа –
«число соседей» K – оно показывает со сколькими другими спинами связан каждый из
них. Мы все время будем подразумевать, что K гораздо меньше, чем N. Мы вообще
будем считать, что N – число очень большое, стремящееся с бесконечности (изучаем
«термодинамический предел»), а все остальные параметры в задаче конечны. Как уже
говорилось выше, величины hi случайны и распределены равномерно: плотность
вероятности P(h) = 1/W для -W/2 < h < W/2. Ранее мы выяснили, что при больших N
абсолютное большинство всех состояний такой системы запутанно – т.е. вектор
состояния нельзя представить в виде произведения состояний различных спинов.
Однако это утверждение имеет очень уж «качественный» характер – непонятна степень
этой запутанности (и даже пока непонятно, может ли вообще запутанность
характеризоваться количественно). Сейчас мы попробуем такую количественную
характеристику отыскать (на самом деле, она окажется даже не одна).
Пусть мы выбрали J K << W, то есть энергия взаимодействие спина с соседями гораздо
меньше типичного значения поля h, действующего на отдельный спин. С одной
стороны, почти все состояния спинов «запутанные». С другой стороны - если J очень
мало, то кажется естественным ожидать, что степень запутанности для всякой пары
спинов Si и Sj быстро убывает по мере увеличения расстояния dij между узлами i и j .
Первый вопрос, на который хочется уметь отвечать: действительно ли запутанность
всякой пары спинов в типичном квантовом состоянии быстро убывает с ростом их
расстояния dij для значений J в каком-то конечном отрезке 0 < J < J1 ? А может ли «в
принципе» быть иначе ? То есть, является ли на самом деле наш «первый вопрос»
содержательным ? Чтобы понять это, сформулируем его в более «математическом» виде:
мы знаем, что при J=0 нет запутанности вовсе, теперь будем рассматривать случай очень
малого J, и попробуем использовать разложение в ряд по степеням J << 1 . Тогда наш
вопрос выглядит вот как: имеет ли ряд по степеням Jn ненулевой круг сходимости
около нуля ? Вообще-то в физике нередко встречаются разложения в ряд с нулевым
кругом сходимости – например, таким является разложение по постоянной тонкой
структуры e2/ћc = 1/137 в квантовой электродинамике. В таких случаях говорят, что ряд
теории возмущений «асимптотический». Однако можно показать, что в нашей задаче
дело обстоит не так: действительно есть критическое значение J1 > 0 - такое, что при J < J1
степень запутанности удаленных спинов экспоненциально падает для всех собственных
состояний системы (независимо от их энергий), т.е. наше много-спиновое квантовое
состояние качественно похоже на состояние невзаимодействующих спинов.
Не очень просто объяснить, как мы пришли к такому ответу – так что я объясню
это в отдельном Приложении для заинтересованных читателей, а пока обсудим второй
вопрос: пусть взаимодействие спинов сильнее, чем критическое значение, J > J1 оказываются ли сразу все состояния (с очень разными энергиями, учтем что полная
ширина зоны порядка NW ) сильно запутанными? Оказывается, ответ на этот вопрос –
отрицательный. Есть целый интервал значений J - между J1 и J2 > J1 – для которого
состояния с низкими энергиями E < Ec(J) – похожи на не-запутанные, в то время как в
состояниях с высокими энергиями E > Ec(J) все спины сильно запутанны. При J=J2
граничная энергия Ec(J) обращается в нуль – запутаны теперь все состояния. Что же мы
увидим, рассмотрев нашу систему при J > J2 ? Это наш третий вопрос: что-либо –
качественно – изменится в поведении спиновой решетки при J > J2 ? Ответ: да,
изменится, и очень существенно. Но обнаружить это «простым» образом можно, лишь
выполнив термодинамический предельный переход к N → ∞ . Мы можем вычислить
среднее значение проекции полного спина системы на какую-то ось, лежащую в
плоскости (X,Y) - например, можно выбрать ось X. Может ли эта величина,
<Sx> = N-1 Σi <Six>, быть отличной от нуля ? На первый взгляд, не может. Потому что
нет никакой причины чтобы отличалась от нуля именно <Sx> а не, к примеру, <Sy> выбранная нами энергия (гамильтониан) системы совершенно симметричен по
отношению к поворотам всех спинов в плоскости (X,Y). Однако на самом деле такие
«беспричинные» явления нам хорошо известны, самое наглядное из них - образование
кристаллической решетки при охлаждении жидкости. Как только решетка возникла,
нарушилась имевшаяся до того в жидкости симметрия по отношению к сдвигу в
пространстве на произвольный вектор. Как это получилось ? В результате случайного
выбора – что в научном обиходе называют «спонтанным нарушением симметрии». Когда
и почему такой выбор может быть устойчив ? Во-первых, система должны быть очень
большой – чтобы, например, кристаллическая решетка не могла сдвинуться вся как целое.
А во-вторых, симметричное состояние этой системы – без всяких таких аномальных
средних – должно оказаться неустойчивым. Именно это и происходит в нашей спиновой
решетке, когда постоянная взаимодействия J превышает свое критическое значение J2
4. При чем же тут переход от квантовой механики к классической ?
Вернемся к началу наших рассуждений (часть 1): в отдельном атоме – дискретные
уровни для электронов, а в куске металла, состоящем из очень большого количества
атомов – нет никакого квантования уровней. «Классический» мир характерен
присутствием трения (т.е. диссипации энергии при сколь угодно медленном изменении
параметров), в то время как в «квантовом» мире энергия излучается и поглощается при
посредстве возбуждений, энергия которых ограничена снизу: при слишком медленном
возмущении такие возбуждения не создаются.
Как же происходит переход от одной картины к другой по мере того как мы –
мысленно – сближаем атомы, создавая из них непрерывный кусок металла ? Понять это
помогает наша спиновая модель: здесь мы увеличиваем меж-спиновое взаимодействие J
- наподобие того, как увеличивается перекрытие электронных орбит соседних атомов,
когда мы их сближаем. Спиновая решетка хороша тем, что задачу для нее много проще
последовательно решить. Действительно, область J < J1. для спиновой решетки – аналог
ситуации почти независимых атомов. Каждый из них имеет свои орбиты электронов, они
лишь «слегка возмущены» присутствием соседей. Пусть в каком-то узле решетки
перевернули один спин (или – возбудили электрон, вращающийся вокруг одного из
атомов, переведя его на более высокий по энергии уровень ). Остальные спины это
почувствовали очень слабо (на языке электронов – не возникло никакого тока и
диссипации энергии).
Теперь рассмотрим область J > J2. Про нее мы знаем, что средний спин куда-то
направлен в плоскости (X,Y). Повернем его чуть-чуть в этой плоскости – т.е. все спины
на малый угол. Энергия от этого не изменится, это похоже на сдвиг кристалла целиком в
пространстве. Теперь попробуем устроить возмущение, похожее на звук в кристалле. У
звуковой волны (или соответствующей частицы - фонона) есть длина волны λ и
волновой вектор k = 2π/λ, а также и частота ω = sk. Соответственно этому, фонон имеет
энергию E(k) = ћ sk - важно, что она может быть сколь угодно малой, для длинных волн.
В нашей спиновой модели при J > J2 есть аналогичные возбуждения, они называются
«спиновые волны». Эти волны пробегают по всей решетке, перенося с собой энергию,
аналогично тому как электроны в металле переносят ток (и энергию тоже). Например,
пусть наша спиновая решетка нагрета с одной стороны (слева) чуть больше, чем с другой
(справа). Это значит, что на левом конце больше плотность возбуждений, и они будут
перетекать (в среднем) направо, переносить энергию и выравнивать температуру. То есть
в решетке нашей есть теплопроводность. Все это похоже на привычное и приличное
классическое поведение, хоть мы его и описываем при посредстве отчасти квантовых
объектов вроде спиновых волн (или фононов в кристалле). Важно то, что эти наши
квантовые возбуждения: а) имеют сколь угодно низкую энергию, и б) распространяются
по всей системе (т.е. де-локализованы в пространстве). Это значит, что приложив к
системе какое-то возмущение (например, медленно зависящее от времени магнитное поле,
локализованное в некоторое области пространства), мы будем создавать такие
возбуждения, которые будут разбегаться по всей системе, унося с собой энергию. Иначе
говоря, в нашей системе присутствует трение – что характерно для классического мира.
Вернемся вновь к области J < J1. Здесь нет вовсе никаких распространяющихся
возбуждений. Мы можем перевернуть какой-то спин, но созданное этим возмущение
будет локализовано в окрестности этого спина. Энергия такого возбуждения не может
быть произвольно малой. А самое главное – эта энергия не может перетечь в другую,
удаленную часть той же системы. Иначе говоря, в такой решетке отсутствует
теплопроводность. Очень странное состояние мы получили: система сколь угодно
велика, элементы ее (спины) меж собой взаимодействуют, а ведет себя система
наподобие атома или молекулы. В такой системе – хоть она и велика - даже трудно ввести
понятие температуры ! Кроме того, в ней отсутствует и трение: при медленном
изменении магнитного поля не появляются возбуждения, потому что их энергия теперь
не может быть произвольно малой.4)
Итак, мы описали два предельных случая - они соответствуют для нашей
спиновой решетки слабому взаимодействию J < J1 и сильному взаимодействию J > J2
Но как происходит переход между этими областями, и какие макроскопические свойства
мы ожидаем увидеть при J1 < J < J2 ? Как было рассказано выше в части 3, в этой
области существует пороговая энергия Ec(J), такая, что состояния с низкой энергией
E < Ec(J) локализованы, в то время как более «энергичные» возбуждения путешествуют
по всей системе. Будет ли в такой системе перенос энергии (теплопроводность) ? Да,
будет – но она будет очень малой при низких температурах T << Ec(J), порядка
exp(-Ec(J)/T). Потому что возбуждений с энергией выше порога именно столь мало – в
согласии со статистическим распределением Гиббса, а более слабые возбуждения –
локализованы в отдельных частях решетки и распространяться не умеют.
Точно также и диссипация энергии (трение) будет в этом состоянии экспоненциально
слабой ~ exp(-Ec(J)/T).
Таким образом, наша спиновая модель может демонстрировать три качественно
различных типа поведения. Иначе говоря переход от чисто квантового поведения к
вполне классическому происходит через два последовательных фазовых перехода
(при J=J1 и J=J2).
5. Зачем все это нужно ?
Мы начали этот текст с рассуждений о атомах и кусочках металла – как
предельных случаях квантового и классического поведения. Потом было рассказано про
модель взаимодействующих спинов ½ и о различных ее состояниях и фазовых переходах
между ними. Оказывается, что подобные вопросы можно сформулировать и в связи с
кусочками металла. Представим себе, что много очень маленьких металлических гранул
(их размеры могут быть 5-10 нм) связаны между собой плохо проницаемыми
контактами через слои изолятора. То, что при этом получается, называется
«гранулированный металл». Теперь можно взять большой кусок гранулированного
металла и спросить: а будет ли он металлом в обычном смысле – т.е. будет ли проводит
электрический ток и иметь какую-то электронную теплопроводность ? Эта задача
качественно похожа на ту, что мы обсуждали для решетки спинов, только она много
сложнее, и еще не решена.
Что же касается задачи про решетку из спинов, то она интересна не только сама по
себе, но и в связи со знаменитой проблемой, которую пытается решить много людей в
мире начиная приблизительно с 1996 г. – создание квантового компьютера. Этот, пока
не существующий, прибор должен состоять из большого количества квантовых битов
(они только названием и отличаются от спинов ½ ) и уметь долго оставаться в квантовом
(не подверженном диссипации) состоянии. Конечно, закон эволюции вектора состояния
(волновой функции) квантового компьютера гораздо сложнее всего того, что мы
обсуждали выше. Тем более важно хорошо понимать, когда сохраняется и как исчезает
квантовое поведение в относительно простых, но больших квантовых системах,
наподобие рассмотренной нами.
_______________________________
1) «Запутанное» квантовое состояние системы из двух спинов можно определить так: его
волновую функцию нельзя представить в виде произведения волновых функций отдельных
спинов.
2) Например, коммутатор операторов Sz и S+ , т.е. [Sz,S+] ≡ SzS+ - S+Sz равен S+
3) Это расстояние - обозначим его dij - надо еще правильно определить: если взаимодействуют
соседи на обычной решетке, то и расстояние можно брать эвклидово; для обобщенного графа dij
будет пропорционально числу связей графа, которые надо пройти, чтобы из узла i попасть в узел j
4) В действительности, наша модель допускает наличие спинов, находящихся в сколь угодно
слабом поле h, поэтому могло бы показаться, что написанное выше неверно. Однако для
создания возбуждения необходимо перевернуть по крайней мере два спина (один – вверх, а другой
– вниз, чтобы полная проекция Sztot не изменилась). Кроме того, эти два спина должны
находиться по соседству, иначе они не взаимодействуют друг с другом. Поэтому для диссипации
необходимо найти пару соседних спинов, которые оба находятся в очень слабом поле, и
вероятность этого чрезвычайно мала.