Document 251870
advertisement
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «УТВЕРЖДАЮ»: Проректор по учебной работе _______________________ /Л.М.Волосникова / __________ _____________ 201__г. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов 010100.62 направления «Математика» профили подготовки «Вещественный, комплексный и функциональный анализ», «Вычислительная математика и информатика», «Дифференциальные уравнения, динамические системы, оптимальное управление», «Алгебра, теория чисел, математическая логика» очная форма обучения «ПОДГОТОВЛЕНО К ИЗДАНИЮ»: Автор (ы) работы _____________________________/В.Е.Мосягин/ «______»___________2011г. Рассмотрено на заседании кафедры МАиТФ, 12.04.2011, протокол №8 Соответствует требованиям к содержанию, структуре и оформлению. «РЕКОМЕНДОВАНО К ЭЛЕКТРОННОМУ ИЗДАНИЮ»: Объем 14 стр. И.о. зав. кафедрой ________/ А.Г.Хохлов / «______»___________ 2011 г. Рассмотрено на заседании УМК (ИМЕНИТ,21.04.2011, протокол №1) Соответствует ФГОС ВПО и учебному плану образовательной программы. «СОГЛАСОВАНО»: Председатель УМК ________________________/И.Н.Глухих/ «______»_____________201__ г. «СОГЛАСОВАНО»: Зав. методическим отделом УМУ____________/С.А.Федорова/ «______»_____________201__ г. РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Институт математики, естественных наук и информационных технологий. Кафедра математического анализа и теории функций. Мосягин В.Е. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов 010100.62 направления «Математика» профили подготовки «Вещественный, комплексный и функциональный анализ», «Вычислительная математика и информатика», «Дифференциальные уравнения, динамические системы, оптимальное управление», «Алгебра, теория чисел, математическая логика» очная форма обучения Тюменский государственный университет 2011 В.Е. Мосягин. Математическая статистика. Рабочая программа для студентов 010100.62 направления «Математика», профили подготовки «Вещественный, комплексный и функциональный анализ», «Вычислительная математика и информатика», «Дифференциальные уравнения, динамические системы, оптимальное управление», «Алгебра, теория чисел, математическая логика»,очная форма обучения Тюмень, 2011, 14 стр. Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки. Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: Математическая статистика [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3.utmn.ru, свободный. Рекомендовано к изданию кафедрой математического анализа и теории функций. Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного университета. ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Хохлов А.Г., и.о. зав кафедрой математического анализа и теории функций, к.ф.-м.н., доцент © Тюменский государственный университет, 2011. © Мосягин В.Е., 2011. 1. Пояснительная записка 1.1. Цели и задачи дисциплины (модуля) Систематично изложить основы современной математической статистики, делая акцент на строгое теоретическое обоснование основных положений разделов курса. Обеспечить усвоение студентами основных статистических методов: оценке неизвестных параметров, проверке статистических гипотез, статистическому анализу эмпирических зависимостей, регрессионному и факторному анализу. Сформировать навыки статистического исследования эмпирических данных. Научить студентов правильной интерпретации статистических выводов и привлечь внимание к богатому многообразию приложений. 1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата Для успешного усвоения курса Случайных процессов студент обязан свободно владеть всеми методами теории вероятностей, математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии, теорией функций комплексного переменного, теорией меры и интеграла Лебега, методами функционального анализа (гильбертовыми пространствами L2 ). 1.3. Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируемые в результате освоения данной ООП ВПО. В результате освоения ООП бакалавриата выпускник должен обладать следующими компетенциями: исследовательские навыки (ОК 6); способность учиться (ОК 7); способность адаптироваться к новым ситуациям (ОК 8); умение находить, анализировать и контекстно обрабатывать научнотехническую информацию (ОК 9); фундаментальную подготовку по основам профессиональных знаний (ОК 10); способность понимать сущность и значение информации в развитии современного информационного общества, сознавать опасности и угрозы, возникающие в этом процессе; соблюдение основных требований информационной безопасности, в том числе защиты государственной тайны (ОК 11); владение основными методами, способами и средствами получения, хранения, переработки информации, имеет навыки работы с компьютером как средством управления информацией (ОК 12); способность к анализу и синтезу (ОК 14); способность к письменной и устной коммуникации на родном языке (ОК 15); умение формулировать результат (ПК 3); умение строго доказать математическое утверждение (ПК 4); умение грамотно пользоваться языком предметной области (ПК 7); умение ориентироваться в постановках задач (ПК 8); знание корректных постановок классических задач (ПК 9); понимание корректности постановок задач (ПК 10); понимание того, что фундаментальное математическое знание является основой компьютерных наук (ПК 12); выделение главных смысловых аспектов в доказательствах (ПК 16); знание проблемы современной информатики, ее категории и связи с другими научными дисциплинами (ПК 20); знание содержания, основных этапов и тенденции развития программирования, математического обеспечения и информационных технологий (ПК 21); знание принципов обеспечения условий безопасности жизнедеятельности при эксплуатации аппаратуры и систем различного назначения (ПК 22); знание направления развития компьютеров с традиционной (нетрадиционной) архитектурой; тенденции развития функций и архитектур проблемноориентированных программных систем и комплексов (ПК 25); знание методов организации работы в коллективах разработчиков ПО, направления развития методов и программных средств коллективной разработки ПО (ПК 29); В результате освоения дисциплины обучающийся должен: Знать: основные понятия распределение; точечные оценки, их несмещенность и состоятельность; методы нахождения оценок: метод максимального правдоподобия и метод моментов; способ построения эффективной несмещенной оценки; R-эффективные оценки, неравенство Рао-Крамера; асимптотическую нормальность оценок максимального правдоподобия; постановку задачи проверки статистических гипотез; понятие о критерии, его размере и мощности; равномерно наиболее мощные критерии; распределения с монотонным отношением правдоподобия, построение равномерно наиболее мощных критериев; критерии Стьюдента, Фишера и др. для сравнения параметров двух генеральных совокупностей; непараметрические критерии Колмогорова, хи-квадрат, омега-квадрат и др.; простейшую и общую модели регрессии; способы оценки параметров линейной регрессии и проверку гипотез об этих параметрах; элементы факторного анализа; математической статистики: выборку, эмпирическое Уметь: строить и исследовать статистические модели реальных процессов и явлений; квалифицированно исследовать выборку эмпирических данных, количественную и качественную оценку результатам исследования; применять статистические методы в практической деятельности и правильно интерпретировать результаты исследований; давать Владеть: 2. решением типовых задач и правильной интерпретацией полученного решения Структура и трудоемкость дисциплины. Семестр 6. Форма промежуточной аттестации экзамен. дисциплины составляет 5 зачетных единиц 144 часа. 3. Общая трудоемкость Тематический план. Таблица 1 Тематический план 2. 3 4 5 6 7 8 1 2 0 4 - - Эмпирическое распределение 2-4 6 6 12 - 0-20 8 6 16 - 0-20 5-7 6 6 12 1 - 812 10 12 20 1 0-30 16 18 32 2 0-30 Всего 1. 2. итого количество баллов Семинарские (практические) занятия* 1. Из них в интерактивной форме Лекции* 2 Модуль 1 Основные понятия и задачи математической статистики Тема 1 Самостоятельн ая работа* Итого часов по теме недели семестра № Модуль 2 Точечное оценивание параметров распределений Интервальное оценивание параметров распределений Всего 1. Модуль 3 Проверка статистических гипотез (параметрическая теория) 1314 4 4 8 - 0-20 2. Проверка статистических гипотез (непараметрическая теория) 1516 4 4 8 - 0-20 3. Регрессионный и факторный анализ 1718 4 4 8 2 0-10 12 36 4 12 36 24 72 2 4 4 0-50 0-100 Всего Итого (часов, баллов): Из них часов в интерактивной форме Таблица 2 Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля № темы Письмен ная работа контрольная работа коллоквиумы Устный опрос Итого количество баллов Модуль 1 1. Основные понятия и задачи математической статистики 2. Эмпирическое распределение - - - 0-10 0-10 0 - 20 Всего Модуль 2 0-20 1. Точечное оценивание параметров распределений 2.Интервальное оценивание параметров распределений 0-15 0-15 0-30 Всего 0-30 Модуль 3 1. Проверка статистических гипотез (параметрическая теория) 2. Проверка статистических гипотез 0-15 0-10 0-20 0-15 0-20 0-10 0-10 0-50 0 – 100 (непараметрическая теория) 3. Регрессионный и факторный анализ Всего Итого 0-40 0-60 Таблица 3 Планирование самостоятельной работы студентов № Модули и темы Виды СРС обязательные дополнительные Неделя семестра Объем часов Кол-во баллов с 1 4 с 2-4 12 0-20 16 0-20 Модуль 1 1.1 Основные понятия и математической статистики 1.2 Эмпирическое распределение задачи Работа литературой, источниками. Работа лекционным материалом, подготовка контрольной работе коллоквиуму к и Всего по модулю 1: Модуль 2 2.1 Точечное оценивание распределений параметров 2.2 Интервальное оценивание параметров распределений Работа лекционным материалом Работа лекционным материалом, подготовка контрольной работе с 5-7 12 с 8-12 20 к и 0-30 коллоквиуму Всего по модулю 2: Модуль 3 Проверка статистических 3.1 гипотез (параметрическая теория) 3.2 3.3 Проверка статистических гипотез (непараметрическая теория) Регрессионный и факторный анализ Работа лекционным материалом Работа лекционным материалом, подготовка контрольной работе коллоквиуму Работа лекционным материалом, подготовка контрольной работе 13-14 8 0-20 с 15-16 8 0-20 17-18 8 0-10 24 72 0-50 100 к и с к Разделы дисциплины и междисциплинарные обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами № п/п 1. 2. 3. Наименование обеспечиваемых ТСП Функции с ограниченной вариацией Нестандартный анализ 0-30 с Всего по модулю 3: ИТОГО: 4. 32 1.1 1.2 2.1 2.2 + + + + + + + + 3.1 связи с 3.2 + + + 5. Содержание дисциплины. Модуль 1 1.1 Основные понятия и задачи математической статистики Выборка из распределения. Двойственный характер выборки. Основные статистические задачи: оценка параметров распределений, проверка статистических гипотез, установление эмпирических зависимостей и др. 1.2 Эмпирическое распределение Вариационный ряд и эмпирическая функция распределения. Группировка наблюдений, гистограммы. Теорема Гливенко-Кантелли. Числовые характеристики эмпирических распределений: выборочное среднее, выборочные дисперсии, выборочные моменты. Сходимость выборочных характеристик к соответствующим теоретическим характеристикам распределений. Модуль 2 2.1 Точечное оценивание параметров распределений Параметрическое семейство распределений. Понятие плотности относительно некоторой меры. Классические параметрические семейства распределений. Экспоненциальное семейство распределений. Понятие точечной оценки неизвестного параметра. Состоятельные оценки. Несмещенные и асимптотически несмещенные оценки. Сравнение оценок. Эффективные оценки в заданном классе оценок. Асимптотически нормальные оценки и их сравнение. Состоятельность асимптотически нормальных оценок. Методы нахождения оценок: метод подстановки (метод моментов), метод максимального правдоподобия. Асимптотическая нормальность оценок максимального правдоподобия. Регулярные модели. Неравенство Рао-Крамера (неравенство информации). R-эффективные оценки. Критерий R-эффективности. Связь R-эффективных оценок с оценками максимального правдоподобия. Условные математические ожидания. Достаточные статистики. Теорема факторизации Неймана-Фишера. Улучшение несмещенной оценки усреднением по достаточной статистике. Полные достаточные статистики. Наилучшие несмещенные оценки. 2.2 Интервальное оценивание параметров распределений Доверительные интервалы и доверительные вероятности. Точные и асимптотические доверительные интервалы. Универсальный способ построения доверительных интервалов. Построение асимптотических доверительных интервалов с помощью асимптотически нормальных оценок. Распределения «хи-квадрат», Стьюдента и Фишера. Выборки из нормального распределения. Теорема Фишера и ее следствие для выборок из нормального распределения. Точные доверительные интервалы для параметров нормального распределения. Доверительные интервалы для одномерных параметров классических семейств распределений. Модуль 3 3.1 Проверка статистических гипотез (параметрическая теория) Основные понятия проверки статистических гипотез: простые и сложные гипотезы, критерии, критические области, вероятности ошибок 1-го и 2-го рода. Размер и мощность критерия. Сравнение критериев. Невозможность построения наилучшего критерия в классе всех критериев. Проверка двух простых гипотез. Наиболее мощные критерии. Лемма Неймана-Пирсона. Равномерно наиболее мощные критерии для проверки сложных гипотез против сложных альтернатив. Распределения с монотонным отношением правдоподобия. Пример экспоненциальных семейств. Равномерно наиболее мощные критерии для проверки сложных гипотез о параметрах нормального и пуассоновского распределений. Сравнение параметров распределений двух выборок. Проверка гипотезы о равенстве средних и дисперсий двух нормальных совокупностей. 3.2 Проверка статистических гипотез (непараметрическая теория) Непараметрические критерии. Критерии согласия. Критерий Колмогорова и «омега-квадрат». Критерии «хи-квадрат» для проверки простых и сложных гипотез. Теорема Пирсона. Проверка гипотезы о независимости признаков. Проверка гипотезы об однородности выборок. Построение критериев согласия с помощью доверительных интервалов. 3.3 Регрессионный и факторный анализ Простейшая и общая модели регрессии с гауссовскими ошибками. Общие линейные модели. Ортогональность регрессоров. Оценка параметров регрессии. Метод наименьших квадратов. Проверка гипотез относительно параметров линейной регрессии. Факторные модели. 6. Планы семинарских занятий. 6.1. Эмпирические распределения Вариационный ряд. Построение эмпирической функции распределения. Группировка наблюдений, построение гистограммы. Выборочные характеристики и их свойства. Сходимость выборочных характеристик к истинным. 6.2. Точечное оценивание параметров распределения Проверка оценок на несмещенность, состоятельность и асимптотическую нормальность. Методы нахождения оценок: метод моментов и метод максимального правдоподобия. Различные подходы к сравнению оценок. Информация по Фишеру о параметре. Вычисление ее количества для различных статистических моделей. Неравенство Рао-Крамера. R-эффективные оценки. Нахождение достаточных статистик, проверка их полноты. Улучшение несмещенной оценки усреднением по достаточной статистике. Нахождение эффективных несмещенных оценок. 6.3. Интервальное оценивание параметров распределения Универсальный способ построения доверительных интервалов. Построение асимптотических доверительных интервалов с помощью асимптотически нормальных оценок, неравенства Чебышева. Построение точных доверительных интервалов для параметров классических семейств распределений. 6.4. Проверка статистических гипотез (параметрическая теория) Нахождение вероятностей ошибок 1-го и 2-го рода, мощности критерия. Естественное сравнение критериев. Построение критериев для проверки двух простых гипотез. Распределения с монотонным отношением правдоподобия. Построение равномерно наиболее мощных критериев для проверки сложных гипотез. 6.5. Проверка статистических гипотез (непараметрическая теория) Критерии согласия. Критерий Колмогорова, «омега-квадрат» и «хи-квадрат» для проверки простых и сложных гипотез. Построение критериев по подходящей статистике. Нахождение размеров критериев, доказательство их состоятельности. Построение критериев согласия с помощью доверительных интервалов. 6.6. Регрессионный и факторный анализ Простейшая и общая линейные модели регрессии с гауссовскими ошибками. Ортогонализация регрессоров. Применение метода наименьших квадратов для оценки параметров регрессии. Оценки максимального правдоподобия. Проверка гипотез относительно параметров линейной регрессии. 7. Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля). Самостоятельная работа студентов организуется в двух формах: - аудиторной – на лекционных и практических занятиях при решении поставленных индивидуальных задач; - внеаудиторной – проработка лекций, изучение рекомендованной литературы; подготовка к собеседованиям, устным опросам, контрольным работам, коллоквиуму; составление структурно-логических схем; выполнение индивидуальных заданий, в том числе с помощью пакетов прикладных программ. Примерные задания контрольных работ 1. Пусть X1,..., Xn - выборка из нормального распределения N(,1) . Исследовать несмещенность и состоятельность оценки n X параметра . 2. Пусть X1,..., Xn - выборка из равномерного распределения на отрезке a, b . Найти оценку максимального правдоподобия для a и b . 3. Пусть X1,..., X n - выборка из экспоненциального распределения Γ1 / . Доказать, что 1 n Xi является эффективной оценкой . n i 1 4. Пусть X ( X1,..., Xn ) - выборка из распределения Бернулли Β , 0 1 . Доказать, что T( X) n Xi - полная достаточная статистика. i 1 5. Найти количество информации Фишера в выборке из экспоненциального распределения Γ . X ,..., X n - выборка из равномерного распределения на интервале (0,), 6. Пусть 1 0 . Построить доверительный интервал для с помощью статистики Х n max Xk k . X ,..., X n - выборка из нормального распределения N(,1) . Построить 7. Пусть 1 доверительный интервал для уровня 1- , основанный на центральной статистике n ( X ) . 8. Пусть X1,..., X n - независимы и имеют плотность распределения exp x , x , рx, 0, x . Построить наиболее мощный критерий размера для Н0 : 0 при альтернативе Н1 : 1 0 . Найти функцию проверки гипотезы мощности. X1,..., X n - независимы и имеют распределение Пуассона Π . Построить Н : 0 равномерно наиболее мощный критерий размера для проверки гипотезы 0 Н : 0 . Найти функцию мощности. при альтернативе 1 9. Пусть Примерные задания к экзамену 1. Пусть X ( X1,..., X n ) – выборка из U[0, ] . Проверить оценки 2X , n 1 ~ X(n) , X(1) X(n) на несмещенность, состоятельность и сравнить n их в среднеквадратическом смысле. 2. Найти количество информации Фишера для показательной модели с плотностью распределения вероятностей f ( x, ) exp( x ) , x . 3. Пусть X ( X1,..., X n ) – выборка из распределения задачи 2. Найти достаточную статистику для неизвестного параметра . Проверить ее на полноту. X1,..., Xn – n наблюдений над случайной величиной с нормальным распределением Ν(,1) . Найти оценку максимального правдоподобия для функции g( ) P( c ) . 5. Пусть X ( X1,..., X n ) – выборка из равномерного распределения на интервале (0, ). Построить по соответствующей выборке X ( X1,..., X n ) 4. Пусть оценку максимального правдоподобия. Найти закон ее распределения и убедиться в состоятельности в среднеквадратическом смысле. 6. Пусть X X1,..., Xn и Y Y1 ,..., Ym - две независимые выборки из экспоненциальных распределений Γ1 и Γ 2 соответственно. Построить 1 . Построить 2 критерий уровня значимости для проверки гипотез: H0: 1 1 и H1: 2 1. 2 7. По выборке X X1,..., Xn из распределения N , построить двусторонний - доверительный интервал для . 8. Пусть X X1,..., Xn - выборка из распределения Γ . Построить наиболее мощный критерий уровня значимости для проверки простых гипотез H0: 0 и H1: 1 , 1 0 . Вычислить его функцию мощности. центральный доверительный интервал для отношения Вопросы к коллоквиуму Коллоквиум 1.2 1. Выборка из распределения. Двойственный характер выборки. Основные задачи математической статистики. 2. Вариационный ряд. Эмпирическая функция распределения. Теорема ГливенкоКантелли 3. Выборочные моменты. Числовые характеристики выборочного среднего и его асимптотическое поведение. 4. Выборочные моменты. Числовые характеристики выборочной дисперсии и ее асимптотическое поведение. Исправленная выборочная дисперсия 5. Классические распределения математической статистики: хи-квадрат, Стьюдента, Фишера 6. Выборки из нормального распределения. Теорема Фишера 7. Теорема Стьюдента (следствие теоремы Фишера) Коллоквиум 2.2 1. Точечные оценки; их состоятельность, несмещенность и асимптотическая несмещенность 2. Сравнение оценок. Эффективные оценки в заданном классе оценок 3. Асимптотически нормальные оценки и их сравнение. Состоятельность асимптотически нормальных оценок 4. Метод моментов нахождения оценок 5. Метод максимального правдоподобия 6. Асимптотическая нормальность оценок максимального правдоподобия 7. Условия регулярности. Неравенство Рао-Крамера. R-эффективные оценки. Пример существования R-эффективной оценки. 8. Достаточные статистики. Теорема факторизации Неймана-Фишера 9. Метод улучшения оценок. Теорема Блекуэла-Рао-Колмогорова. Пример 10. Полная достаточная статистика. Теорема об эффективной оценке. Пример 11. Определение доверительного интервала (ДИ). Точные и асимптотические ДИ 12. Построение асимптотических ДИ с помощью асимптотически нормальных оценок 13. Асимптотический ДИ для неизвестной вероятности «успеха» распределения Бернулли 14. Точный ДИ для неизвестного среднего нормального распределения при известной дисперсии 15. Точный ДИ для неизвестного среднего нормального распределения при неизвестной дисперсии 16. Точный ДИ для неизвестной дисперсии 17. Универсальный способ построения ДИ Коллоквиум 3.2 1. Общая постановка задачи проверки параметрических статистических гипотез. Простые и сложные гипотезы. Понятие о критерии. Ошибки первого и второго рода. Мощность и размер критерия 2. Математическая постановка задачи проверки простых гипотез. Понятие о рандомизированном критерии 3. Фундаментальная лемма Неймана-Пирсона 4. Математическая постановка задачи проверки сложных гипотез. Равномерно наиболее мощные критерии (РНМК). 5. Распределения с монотонным отношением правдоподобия. Экспоненциальное семейство распределений. РНМК для проверки сложных гипотез 6. Примеры построения РНМК для параметров пуассоновского и нормального распределений 7. Построения критериев для проверки сложных гипотез, если отношение правдоподобия не монотонно. Односторонний и двусторонний критерий Стьюдента 8. Односторонний и двусторонний критерий однородности Фишера 9. Непараметрические критерии. Критерий согласия хи-квадрат. Теорема Пирсона 10. Проверка гипотезы о независимости признаков 11. Проверка гипотезы об однородности выборок 12. Критерий Колмогорова. Распределение Колмогорова 13. Критерий «омега-квадрат». Сравнение с критерием Колмогорова 14. Построение критериев согласия с помощью доверительных интервалов Вопросы к экзамену 1. Выборка из распределения. Двойственный характер выборки. Основные задачи математической статистики. 2. Вариационный ряд. Эмпирическая функция распределения. Теорема ГливенкоКантелли 3. Выборочные моменты. Числовые характеристики выборочного среднего и его асимптотическое поведение. 4. Выборочные моменты. Числовые характеристики выборочной дисперсии и ее асимптотическое поведение. Исправленная выборочная дисперсия 5. Классические распределения математической статистики: хи-квадрат, Стьюдента, Фишера 6. Выборки из нормального распределения. Теорема Фишера 7. Теорема Стьюдента (следствие теоремы Фишера) 8. Точечные оценки; их состоятельность, несмещенность и асимптотическая несмещенность 9. Сравнение оценок. Эффективные оценки в заданном классе оценок 10. Асимптотически нормальные оценки и их сравнение. Состоятельность асимптотически нормальных оценок 11. Метод моментов нахождения оценок 12. Метод максимального правдоподобия 13. Асимптотическая нормальность оценок максимального правдоподобия 14. Условия регулярности. Неравенство Рао-Крамера. R-эффективные оценки. Пример существования R-эффективной оценки. 15. Достаточные статистики. Теорема факторизации Неймана-Фишера 16. Метод улучшения оценок. Теорема Блекуэла-Рао-Колмогорова. Пример 17. Полная достаточная статистика. Теорема об эффективной оценке. Пример 18. Определение доверительного интервала (ДИ). Точные и асимптотические ДИ 19. Построение асимптотических ДИ с помощью асимптотически нормальных оценок 20. Асимптотический ДИ для неизвестной вероятности «успеха» распределения Бернулли 21. Точный ДИ для неизвестного среднего нормального распределения при известной дисперсии 22. Точный ДИ для неизвестного среднего нормального распределения при неизвестной дисперсии 23. Точный ДИ для неизвестной дисперсии 24. Универсальный способ построения ДИ 25. Общая постановка задачи проверки параметрических статистических гипотез. Простые и сложные гипотезы. Понятие о критерии. Ошибки первого и второго рода. Мощность и размер критерия 26. Математическая постановка задачи проверки простых гипотез. Понятие о рандомизированном критерии 27. Фундаментальная лемма Неймана-Пирсона 28. Математическая постановка задачи проверки сложных гипотез. Равномерно наиболее мощные критерии (РНМК). 29. Распределения с монотонным отношением правдоподобия. Экспоненциальное семейство распределений. РНМК для проверки сложных гипотез 30. Примеры построения РНМК для параметров пуассоновского и нормального распределений 31. Построения критериев для проверки сложных гипотез, если отношение правдоподобия не монотонно. Односторонний и двусторонний критерий Стьюдента 32. Односторонний и двусторонний критерий однородности Фишера 33. Непараметрические критерии. Критерий согласия хи-квадрат. Теорема Пирсона 34. Проверка гипотезы о независимости признаков 35. Проверка гипотезы об однородности выборок 36. Критерий Колмогорова. Распределение Колмогорова 37. Критерий «омега-квадрат». Сравнение с критерием Колмогорова 38. Построение критериев согласия с помощью доверительных интервалов 39. Простейшая и общая модели регрессии с гауссовскими ошибками. Задача регрессии 40. Общие линейные модели регрессии. Ортогональность регрессоров 41. Оценки параметров простейшей линейной регрессии. Метод наименьших квадратов 42. Проверка гипотез относительно параметров линейной регрессии 43. Понятие о факторной модели 8. Образовательные технологии. При изучении дисциплины используются сочетания видов учебной работы с методами и формами активизации познавательной деятельности бакалавров для достижения запланированных результатов обучения и формирования заявленных компетенций. Лекционные занятия проводятся с использованием наглядных пособий и раздаточных материалов. Целью лекций является изложение теоретического материала и иллюстрация его примерами и задачами. Основным теоретическим положениям сопутствуют пояснения об их приложениях к другим разделам математики, а также экономике, физике, программированию. При проведении практических занятий используются индивидуальные и групповые формы работы; работа в малых группах; выполнение заданий в паре; взаимопроверка выполненных задач. Во время лекционных занятий ведется активный диалог со слушателями, используется проблемное изложение материала. Принципами организации учебного процесса являются: активное участие слушателей в учебном процессе; проведение практических занятий, определяющих приобретение навыков решения практических задач; приведение примеров применения изучаемого теоретического материала к реальным практическим ситуациям. 9. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля). 9.1. Основная литература: Боровков А.А. Математическая статистика (Оценка параметров. Проверка гипотез) – М., Наука, 2004. Боровков А.А. Математическая статистика. Дополнительные главы: Учебное пособие для вузов. – М.: Наука, 1984. Крамер Г. Математические методы статистики. - М.: Мир, 1975. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. – М., “Высшая школа”, 2000. Коршунов Д.А., Чернова Н.И.. Сборник задач и упражнений по математической статистике. Учебное пособие.- Новосибирск: Изд-во Института математики. 2001. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И., Чистяков А.В. Сборник задач по математической статистике. – М., “Высшая школа”, 1999. 9.2. Дополнительная литература: Леман Э. Теория точечного оценивания. – М.: «Наука», 1999. Леман Э. Проверка статистических гипотез. – М.: «Наука», 1979. 9.3. Программное обеспечение и Интернет – ресурсы: 9. http://teorver-online.narod.ru/ (А.Д.Манита, МГУ, Интернет-учебник «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов естественных факультетов) 10. http://www.ksu.ru/infres/volodin/ (И.Н.Володин, Казанский ГУ, лекции по теории вероятностей и математической статистике) 11. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/probability.htm (книги по теории веротяностей и математической статистике) Мосягин Вячеслав Евгеньевич МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Рабочая программа для студентов 010100.62 направления «Математика» профиль подготовки «Вещественный, комплексный и функциональный анализ» очная форма обучения Подписано в печать _____________________ г. Тираж ___________экз. Объем _____________ п.л. Формат 60х84/16 Заказ № ________ Издательство Тюменского государственного университета 625003, г. Тюмень, Семакова, 10