С.М. Алексеев, магистр 2 курса института физико-математического образования, научный руководитель – д-р физ.-мат.наук, проф. Ю.Н.Мальцев ГОУВПО «Алтайская Государственная Педагогическая Академия» (г.Барнаул, Россия) О некоторых условиях коммутативности ассоциативных колец В статье [1] был получен следующий результат: Теорема 1. Пусть R – ненулевое ассоциативное кольцо с единицей и существуют фиксированные положительные целые числа ai , bi , ci , di такие, что для любых x и y из кольца R выполняется тождество вида x a1 y b1 x ar y br xc1 y d1 xcs y ds . Предположим, что r r s s ai bi c j d j i1 i1 j 1 j 1 r s i 1 j 1 и целое число u ai (bi bi 1 ... br ) c j (d j d j 1 ... d s ) 0. Тогда существует целое N , зависящее только от ai , bi , ci , di такое, что если R без N кручения, то R коммутативное кольцо. Цель данной работы – обобщить основной результат работы [1]. Справедлива следующая теорема. Теорема 2. Пусть R – ненулевое ассоциативное кольцо с единицей и существуют фиксированные положительные целые числа ai , bi , ci , d i , mi , ni такие, что для любых x и y из кольца R выполняется тождество вида x a y b x a y b Ax c y d x c y d ( A 1) x m y n x y 1 1 r r 1 1 s s 1 1 mp np 0, (1) p p r r s s где ai bi c j d j mk nk и А ─ некоторое i1 i1 j 1 j 1 k 1 k 1 фиксированное целое число. Предположим, что s s p p r r ai bi ( A 1) mk nk A c j d j и целое число i1 i1 k 1 k 1 j 1 j 1 r s u ai (bi bi 1 ... br ) A c j (d j d j 1 ... d s ) i 1 j 1 p ( A 1) mk (nk nk 1 ... n p ) 0. Тогда существует целое число N , k 1 зависящее только от ai , bi , ci , d i , mi , ni такое, что если N кручения, то R коммутативное кольцо. Доказательство. Сделаем замену x на 1 tx в тождестве (1), где t положительное целое число. Получим (1 tx) a1 y b1 (1 tx) ar y br A(1 tx) c1 y d1 (1 tx) cs y d s ( A 1)(1 tx) m y n (1 tx) 1 1 mp y np R без 0 для любых x, y из R. (1 a1tx ...)y b1 (1 a2tx ...)y b2 (1 ar tx ...)y br A(1 c1tx ...)y d1 (1 c2tx ...)y d2 (1 cstx ...)y ds ( A 1)(1 m1tx ...)y n1 (1 m2tx ...) y n2 (1 m p tx ...) y np 0. Это тождество можно переписать в виде M i t i 0 , где i 0 i из кольца R , не зависящее от t и M Max ai , ci , mi . Запишем получившееся тождество для t 1,2,..., M 1. Получим матричное уравнение 1 1 1 2 22 1 1 M 1 ( M 1) 2 ... 1 ... 2M ... ( M 1) M 0 1 M 0 0 . 0 Обозначим через матрицу 1 1 ... 1 1 2 M 2 2 ... 2 1 F ,а 1 M 1 ( M 1) 2 ... ( M 1) M A21 A31 ... AM 1 1 A11 A A A ... AM 1 2 12 22 32 * через F присоединённая A 1 M 1 A2 M 1 A3 M 1 ... AM 1 M 1 матрица, составленная из алгебраических дополнений к матрице F . d 0 0 ... 0 0 d 0 ... 0 * F F , где d определитель Вандермонда, который 0 0 0 ... d равен M !(M 1)!2!1! . Умножим матричное уравнение на F * слева и получим, что d i 0. Следовательно, M !(M 1)! 2!1!i 0. Предположим, что в кольце R нет M ! кручения, то (M 1)! 2!1!i 0. При домножении равенства на M , получим (M 2)! 2!1!i 0. Продолжая этот процесс, мы получим, что i 0 . Итак, i 0 для всех i 0,..., M . В частности, если 1 0 , то a1 xyb1b2 ...br a2 y b1 xyb2 b3 ...br ... ar y b1b2 ...br 1 xybr A(c1 xy d1d2 ...ds c2 y d xy d d ...d ... cs y d d ...d xy d ) ( A 1)( m1 xy 1 2 n1 n2 n3 ... n p m2 y xy 3 s 1 ... m p y Сделаем замену a1 x(1 ty) b1 b2 ...br y s 1 2 n1 n2 ... n p 1 s xy np a2 (1 ty) x(1 ty) 0. на 1 ty , где t b1 n1 n2 ... n p положительное целое число. b2 b3 ...br ... ar (1 ty)b1b2 ...br 1 x (1 ty)br A(c1 x(1 ty) d1d2 ...ds c2 (1 ty)d1 x(1 ty)d2 d3 ...ds ... cs (1 ty) d d ...d x(1 ty) d ) ( A 1)( m1 x(1 ty) 1 2 s 1 m2 (1 ty) x(1 ty) n1 s n2 n3 ... n p ... m p (1 ty) n1 n2 ...n p n1 n2 ... n p 1 x(1 ty) np 0. Запишем получившееся тождество для t 1,2,...,Max( bi , di , ni ) 1 и повторим рассуждения Вандермонда для аргумента y , получим, что существует такое натуральное число l , что если кольцо R не имеет l кручения, то в нём справедливо следующее тождество: a1 (b1 b2 ... br ) xy a2b1 yx a2 (b2 b3 ... br ) xy ... ar (b1 b2 ... br 1 ) yx ar br xy A(c1 (d1 d 2 ... d s ) xy c2 d1 yx c2 (d 2 d3 ... d s ) xy ... cs (d1 d 2 ... d s1 ) yx cs d s xy) ( A 1) (m1 (n1 n2 ... n p ) xy m2 n1 yx m2 (n2 n3 ... n p ) xy ... m p (n1 n2 ... n p 1 ) yx m p n p xy) 0, xy(a1 (b1 b2 ... br ) a2 (b2 b3 ... br ) ... ar br A(c1 (d1 d 2 ... d s ) c2 (d 2 d 3 ... d s ) ... cs d s ) ( A 1)( m1 (n1 n2 ... n p ) m2 (n2 n3 ... n p ) ... m p n p )) (a2b1 ... ar (b1 b2 ... br 1 ) A(c2 d1 ... cs (d1 d 2 ... d s1 )) ( A 1)( m2 n1 ... m p (n1 n2 ... n p 1 ))) yx 0, xyu1 v1 yx 0. Далее, имеем, что u1 v1 a1 (b1 b2 ... br ) a2 (b2 ... br ) ... ar br A(c1 (d1 ... d s ) c2 (d 2 d 3 ... d s ) ... cs d s ) ( A 1)( m1 (n1 n2 ... n p ) m2 (n2 ... n p ) ... m p n p ) a2b1 ... ar (b1 b2 ... br 1 ) A(c2 d1 ... cs (d1 ... d s1 )) s s r r ( A 1)( m2 n1 ... m p (n1 n2 ... n p1 )) ai bi A c j d j i1 i1 j 1 j 1 p p ( A 1) mk nk 0 . Положим u u1 v1. Тогда u[ x, y] 0 и если в k 1 k 1 кольце R нет u кручения, то xy yx. Положим N [M!, l, u] наименьшее общее кратное чисел M !, l , u и предположим, что R не имеет N кручения, тогда R коммутативное кольцо. В дальнейшем будем рассматривать ненулевое ассоциативное кольцо с единицей. Следствие 1 ([1]). Пусть n 1 натуральное число и R кольцо без n! кручения. Если R удовлетворяет тождеству ( xy) n x n y n для любых x и y из кольца R , то R коммутативное кольцо. Следствие 2 ([2]). Если R удовлетворяет тождеству x n y n x n1 y n x , то R коммутативное кольцо, если оно без n! кручения. Следствие 3 ([2]). Если R удовлетворяет тождеству ( xy) n yx n y n1 , то R коммутативное кольцо, если оно без n! кручения. Следствие 4 ([2]). Если R удовлетворяет тождеству ( xy) n ( yx)(xy) n1 , то R коммутативное кольцо, если оно без n! кручения. Следствие 5 ([2]). Если R удовлетворяет тождеству [ x, ( xy) n ] 0 , то R коммутативное кольцо, если оно без n! кручения. 1. 2. Литература Nagaraj,D.S., Sury,B. On commutativity of rings / D.S. Nagaraj, B. Sury. // Journal of the Ramanujah Mathematical Society. – Vol.8, 2003. – 175-180 с. Алексеев, С.М. Некоторые тождества, которые влекут за собой коммутативность ассоциативных колец / С.М. Алексеев. // Наука и образование: проблемы и перспективы. – Бийск ГОУВПО «АГАО», 2011. – 61-66 с.