Документ 251586

1. МОДЕЛЬ АТОМА БОРА
В соответствии с постулатами Бора, электрон в атоме водорода может двигаться лишь по круговым орбитам, для которых момент импульса L  me vr удовлетворяет условию me vr  n , где me – масса
электрона; r – радиус орбиты; v – линейная скорость движения электрона; ћ = h/2π = 1,0546·10–34 Дж·с ;n = 1,
2, 3,… – целое число.
Радиус орбиты с номером n равен

rn  4 0 2 n 2
 m Ze  ,
2
e
(1.1)
где Z e– заряд ядра атома; e – заряд электрона. При этом энергия электрона зависит от n:

En   me e 4 Z 2
 24
0
2  2 n 2 .
(1.2)
При переходе электрона с орбиты n1 на орбиту n2 (n1>n2) излучается фотон, частота которого
определяется обобщенной формулой Бальмера
 1
1 
 n2 , n1  RZ 2  2  2  .
 n2 n1 

Здесь R  mee 4
 44
0
2 3  = 3,291015 c–1
(1.3)
- постоянная Ридберга. Длина волны излученного фотона
находится из аналогичного соотношения для волнового числа
 1
1 RZ 2  1
1 
1 

 2   RZ 2  2  2  ,
2


c  n2 n1 
 n2 n1 
(1.4)
где R  = 1,09107м–1. Экспериментально наблюдаемые спектральные серии определяются числами n2:
n2 = 1 – серия Лаймана, n2 = 2 – Бальмера, n2 = 3 – Пашена и т.д. Внутри серии линии отличаются числами n1.
Движущийся электрон на атомной орбите эквивалентен элементарному току, обладающему магнитным моментом pm, пропорциональным орбитальному моменту импульса:
pm  eL 2m e .
(1.5)
При попадпнии атома во внешнее магнитное поле В, электрон начинает прецессировать вокруг
направления магнитного поля с частотой
Л  eB 2me ,
(1.6)
которая называется ларморовой частотой.
3
Примеры решения задач
L
1. Определите для атома водорода а) радиус первой боровской
v
орбиты, б) скорость движения электрона по этой орбите и в) частоту
e
вращения электрона.
Решение. Кулоновская сила, действующая на электрон в атоме во-
  4 r . С другой
дорода, является центростремительной me v r  Ze
2
2
r
pm
2
0
стороны в соответствии с постулатом Бора me vr  n . Решая совместно
Рис.1.1
эти два уравнения и подставляя для атома водорода значения Z = 1 и n = 1, найдем радиус первой орби-

ты и скорость: r1  4 0 2
 m e  и
2
e
v1   me r1  . Частота вращения определяется из соотношения
f1 = v1/(2πr1). Подставляя численные значения, получим r1 = 52,8 пм, v1 = 2,19106 м/с и f1 = 6,61015 Гц.
2. Определите энергию фотона, испускаемого при переходе электрона в атоме водорода с
третьего энергетического уровня на второй.
Решение. В соответствии с формулой Бальмера (1.3), при переходе электрона с уровня n1 на
    
уровень n2 испускается фотон частотой  n2 , n1  R 1 n22  1 n12 . Энергия такого фотона равна
E  h n2 ,n1 . Подставляя n2 = 2 и n1 = 3, получаем Е = 1,89 эВ.
3. Используя теорию Бора, определите орбитальный магнитный момент электрона, движущегося по третьей орбите атома водорода.
Решение. Магнитный орбитальный момент электрона, движущегося по круговой орбите с
линейной скоростью v (рис.1.1), равен pm = I∙S, где S = πr2 – площадь поверхности орбиты электрона,
I = e/T – эквивалентный ток, создаваемый движением электрона. Здесь Т – период обращения электрона по орбите, равный T = 2πr/v. Подставляя эти выражения, имеем pm = evr/2. Используя постулат
Бора mevr = nћ, получаем pm  en 2me . Для n = 3 магнитный момент равен pm = 2,810–23 А∙м2.
4. Энергия ионизации атома водорода Ei = 13,6 эВ. Определите первый потенциал возбуждения
этого атома φ1.
Решение. Энергия ионизации соответствует переходу электрона из основного состояния n = 1 в состояние с n = ∞: Ei = e∙φi = h∙R. Возбуждение соответствует переходу невозбужденного атома n = 1 в состояние n = 2: e1  h 2,1  hR1 4  1  3Ei 4 . Отсюда первый потенциал возбуждения φ1 = 10,2 В.
5. Электрон выбит из атома водорода, находящегося в основном состоянии, фотоном с энергией
Е = 17,7 эВ. Определите скорость электрона v за пределами атома.
Решение. Энергия фотона уходит на ионизацию атома и сообщение вырванному электрону кинетической
энергии
v = 1,2106 м/с.
4
E = Ei + mev2/2.
Отсюда
v  2E  Ei  me .
Подставляя
Ei = 13,6 эВ,
получим
Задачи для самостоятельного решения
1. На какой из боровских орбит (первой или второй) электрон в соответствии с законами классической электродинамики (I ~ ω2, где I – интенсивность излучаемого света, ω – угловая скорость движения по орбите) излучал бы сильнее? Во сколько раз?
2. Определите изменение орбитального механического момента электрона при переходе его из
возбужденного состояния в основное с испусканием фотона длиной волны 1,0210–7 м.
3. Определите орбитальный магнитный момент электрона, движущегося по второй орбите атома
водорода.
4. Вычислить частоту ларморовой прецессии электронных оболочек атомов: а) в магнитном поле
Земли В = 510–5 Тл.
5. Определите изменение орбитального магнитного момента электрона при переходе его с третьей боровской орбиты на первую.
6. Найти для иона He+ радиус и скорость электрона на первой боровской орбите.
7. Определите длину волны, соответствующую переходу электрона в атоме водорода с шестой
орбиты на вторую. К какой серии относится эта спектральная линия?
8. Вычислить частоту ларморовой прецессии электронных оболочек атомов в магнитном поле
В = 50 Тл.
9. Каково расстояние между частицами системы в основном состоянии и соответствующая энергия связи, если ядром системы служит протон, а вместо электрона движется мезон, имеющий тот же заряд, что и электрон, но массу в 207 раз большую?
10. Какие линии содержит спектр поглощения атомарного водорода в диапазоне длин волн 94,5
до 130 нм?
11. У какого водородоподобного иона разность длин волн между основными линиями серий Бальмера и Лаймана равна 59,3 нм?
12. Найти квантовое число n, соответствующее возбужденному состоянию He+, если при переходе в
основное состояние этот ион испустил последовательно два фотона с длинами волн 121,4 нм и 30,35 нм.
13. Какому элементу принадлежит водородоподобный спектр, длины волн линий которого в четыре раза короче, чем у атомарного водорода?
14. Линии каких длин волн возникнут при переходах атома водорода из состояния n=3?
15. Потенциал ионизации водородного атома равен 13,6 эВ. Исходя из этого, определить, сколько линий серии Бальмера попадает в видимую часть спектра.
16. В излучении звезды обнаружен водородоподобный спектр, длины волн которого в 9 раз
меньше, чем у атомарного водорода. Определите элемент, которому принадлежит данный спектр.
17. Какую скорость приобретает первоначально покоившийся атом водорода при испускании
фотона, соответствующего основной линии серии Бальмера?
5
18. Определите, какая энергия требуется для полного отрыва электрона от однократно ионизированного атома гелия, если электрон находится в основном состоянии.
19. Фотон с энергией 15 эВ выбивает электрон из атома водорода, находящегося в основном состоянии. С какой скоростью движется электрон вдали от ядра?
20. Определить для иона He+ потенциал ионизации, первый потенциал возбуждения и длину
волны основной линии серии Лаймана.
21. Определить работу, которую необходимо совершить, чтобы удалить электрон со второй боровской орбиты атома водорода за пределы притяжения его ядром.
22. Первый потенциал возбуждения атома водорода φ1 = 10,2 эВ. При какой температуре Т средняя
кинетическая энергия атомов водорода равна энергии возбуждения?
23. Определить  электрона на 2-й круговой боровской орбите иона He+.
24. Определите, какая энергия требуется для полного отрыва электрона от однократно ионизированного атома гелия, если электрон находится в состоянии с n = 3.
25. Определите частоту света, излучаемого атомом водорода при переходе электрона на уровень
n = 2, если радиус орбиты электрона изменился в 9 раз.
2. ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ
Де Бройль сопоставил свободной частице, имеющей импульс p, монохроматическую волну с
длиной волны
  h p  2 p .
(2.1)
Примеры решения задач
1. Найти длину волны де Бройля пули массой 9 г, летящей со скоростью 100 м/с.
Решение. Длина волны де Бройля определяется по формуле λ = h/p = h/mv. Подставляя численные значения, получим λ = 7,3610–32 м.
2. Кинетическая энергия протона в четыре раза меньше его энергии покоя. Вычислить дебройлевскую длину волны протона.
Решение. Длина волны де Бройля λ определяется по формуле λ = h/p, где p – импульс частицы.
Так как по условию задачи Ек = E0/4, то кинетическая энергия Ек протона сравнима с его энергией покоя
Е0. В этом случае импульс р и кинетическая энергия Ek связаны релятивистским соотношением
p  1 c  Ek Ek  2 E0  , где с – скорость света в вакууме. Отсюда найдем p = 3E0/4c. Учитывая это, по-
лучим дину волны λ = 4hc/(3E0) = 1,77∙10-15 м.
6
Задачи для самостоятельного решения
1. При какой скорости электрона его дебройлевская длина волны будет равна а) 500 нм; б)
0,1 нм?
2. Какой кинетической энергией должен обладать электрон, чтобы дебройлевская длина волны
была равна его комптоновской длине волны?
3. Чему должна быть равна кинетическая энергия протона, чтобы дебройлевская длина волны
совпадала с его комптоновской длиной волны?
4. При каком значении скорости дебройлевская длина волны частицы равна ее комптоновской
длине волны?
5. Кинетическая энергия электрона в три раза меньше его энергии покоя. Чему равна дебройлевская длина волны электрона?
6. Масса движущегося электрона в два раза больше его массы покоя. Вычислить дебройлевскую
длину волны электрона.
7. Чему равна дебройлевская длина волны протона, движущегося со скоростью 0,6с (с – скорость
света в вакууме)?
8. Вычислить дебройлевскую длину волны электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов 511 кВ.
9. Вычислить дебройлевскую длину волны протона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов 120 кВ.
10. Чему равна дебройлевская длина волны теплового нейтрона, обладающего энергией, равной
средней энергии теплового движения при температуре 300 К?
11. Средняя кинетическая энергия электрона в невозбужденном атоме водорода, равна 13,6 эВ.
Вычислить дебройлевскую длину волны электрона.
12. Кинетическая энергия нейтрона равна его энергии покоя. Определить дебройлевскую длину
волны нейтрона.
13. Найти дебройлевскую длину волны молекул водорода, соответствующую их наиболее вероятной скорости при комнатной температуре.
14. Найти дебройлевскую длину волны молекул СО2, соответствующую их средней скорости при
комнатной температуре.
15. Найти дебройлевскую длину волны молекул азота, соответствующую их наиболее вероятной
скорости при температуре 77 К.
16. Найти дебройлевскую длину волны молекул кислорода, соответствующую их средней скорости при температуре –70 ºС.
17. Найти дебройлевскую длину волны молекул воды, соответствующую их средней скорости
при комнатной температуре.
7
18. Вычислить дебройлевскую длину волны электрона, имеющего кинетическую энергию 100 эВ.
19. Вычислить дебройлевскую длину волны протона, имеюще-
E
U
го кинетическую энергию 200 эВ.
20. Вычислить дебройлевскую длину волны атома урана, имеющего кинетическую энергию 100 эВ.
Рис.2.1
21. Частица движется слева направо в одномерном потенциальном поле, показанном на
рис.2.1. Левее барьера, высота которого U = 15 эВ, полная энергия частицы равна 20 эВ. Как изменится дебройлевская длина волны частицы при переходе через барьер?
22. Частица движется справа налево в одномерном потенциальном поле, показанном на рис.2.1.
Правее барьера, высота которого U = 15 эВ, кинетическая энергия частицы равна 5 эВ. Как изменится дебройлевская длина волны частицы при переходе через барьер?
23. Какую энергию необходимо дополнительно сообщить электрону, чтобы его дебройлевская
длина волны уменьшилась со 100 до 50 пм?
24. Как нужно изменить энергию нейтрона, чтобы его дебройлевская длина волны увеличилась с
50 до 100 пм?
25. Как изменится дебройлевская длина волны частицы, если ее кинетическая энергия уменьшится в 3 раза?
3. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
ГЕЙЗЕНБЕРГА
Соотношение неопределенностей для координаты x и проекции импульса px на ось x
x  px   ,
(3.1)
где Δx и Δpx – неопределенность координаты и проекции импульса частицы, ћ = h/2π; h – постоянная
Планка. Соотношение неопределенностей для энергии E и времени t имеет вид
E  t   .
(3.2)
Примеры решения задач
1. Масса движущегося электрона в три раза больше его массы покоя. Чему равна минимальная
неопределенность координаты электрона?
Решение. Учитывая, что p  mv , где m – масса, v – скорость частицы, получим из (3.1)
x   mv x  . Поскольку неопределенность скорости vx, как и сама скорость, не может превышать
8
скорость света c в вакууме, то xmin   mc . Согласно условию m = 3m0. Подставляя, получим
xmin   3m0c = 1,2810–13 м.
2. Среднее время жизни возбужденных состояний атома составляет 10 нс. Вычислить естественную ширину спектральной линии ( = 0,7 мкм), соответствующую переходу между возбужденными
уровнями атома.
Решение. При переходе электрона из одного стационарного состояния в другое излучается (или
поглощается) энергия, равная hc/λ = En – Ek, где En и Ek – энергии соответствующих состояний атома;  –
длина волны излучения. Отсюда следует, что неопределенность  длины волны излучения связана с
неопределенностью энергии уровней En и Ek атома соотношением hcΔλ/λ2 = ΔEn + ΔEk. Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга (3.2), Et   , где t – неопределенность момента времени перехода атома из одного стационарного состояния в другое. Поскольку t не превышает среднего времени
жизни возбужденного состояния атома τ, то минимальная неопределенность энергии возбужденных уровней
равна Emin    . Минимальная неопределенность длины волны излучения (естественная ширина спек-


тральной линии) равна  min  2 2c 1 n  1 k  . Если одно из состояний (k), между которыми совершается переход, является основным, то Δλmin = λ2/(2πcτn), так как для основного состояния τk = ∞. Для возбужденных состояний с одинаковым временем жизни τn = τk = τ имеем Δλmin = λ2/(πcτ). Подставляя числовые данные, получим Δλmin = 5,210–14 м.
Задачи для самостоятельного решения
1. Среднее расстояние электрона от ядра в невозбужденном атоме водорода равно 52,9 пм. Вычислить минимальную неопределенность скорости электрона.
2. Используя соотношение неопределенностей, показать, что в ядре не могут находиться электроны. Линейные размеры ядра принять равными 5,810–15 м.
3. Чему равна неопределенность координаты покоящегося электрона?
4. Вычислить неопределенность координаты покоящегося протона?
5. Кинетическая энергия протона равна его энергии покоя. Чему равна при этом минимальная
неопределенность координаты протона?
6. Масса движущегося электрона в два раза больше его массы покоя. Вычислить минимал ьную неопределенность координаты электрона.
7. Чему равна минимальная неопределенность координаты фотона, соответствующего вид имому излучению с длиной волны 0,55 мкм.
8. Среднее время жизни эта-мезона составляет 2,410–19 с, а его энергия покоя равна 549 МэВ.
Вычислить минимальную неопределенность массы частицы.
9
9. Среднее время жизни возбужденного состояния атома равно 12 нс. Вычислить минимальную неопределенность длины волны λ = 0,12 мкм излучения при переходе атома в основное состояние.
10. Естественная ширина спектральной линии λ = 0,55 мкм, соответствующей переходу атома в
основное состояние, равна 0,01 пм. Определить среднее время жизни возбужденного состояния атома.
11. Ширина следа электрона (обладающего кинетической энергией 1,5 кэВ) на фотопластинке,
полученного с помощью камеры Вильсона, составляет Δх = 1 мкм. Определите, можно ли по данному
следу обнаружить отклонение в движении электрона от законов классической механики.
12. Электронный пучок ускоряется в электронно-лучевой трубке разностью потенциалов
U = 1 кВ. Известно, что неопределенность скорости составляет 0,1 % от ее числового значения. Определите неопределенность координаты электрона. Являются ли электроны в данных условиях квантовой
или классической частицей?
13. Определите отношение неопределенностей скорости электрона, если его координата установлена с точностью до 10–5 м, и пылинки массой m = 10–12 кг, если ее координата установлена с такой
же точностью.
14. Электронный пучок ускоряется разностью потенциалов U = 200 В. Определить, можно ли
одновременно измерить траекторию электрона с точностью до 100 пм (с точностью порядка диаметра
атома) и его скорость с точностью до 10 %.
15. Электрон движется в атоме водорода по первой боровской орбите. Принимая, что допускаемая неопределенность скорости составляет 10 % от ее числового значения, определите неопределенность координаты электрона. Применимо ли в данном случае для электрона понятие траектории?
16. Используя соотношение неопределенностей в форме (3.1), оцените минимально возможную
полную энергию электрона в атоме водорода. Примите неопределенность координаты равной радиусу
атома.
17. Оцените размытость энергетического уровня в атоме водорода: а) для основного состояния;
б) для возбужденного состояния (время его жизни равно 10–8 с).
18. Длина волны λ излучаемого атомом фотона составляет 0,6 мкм. Принимая время жизни
возбужденного состояния Δt = 10–8 с, определите отношение естественной ширины энергетического
уровня, на который был возбужден электрон, к энергии, излученной атомом.
19. Принимая, что электрон находится внутри атома диаметром 0,3 нм, определите (в электронвольтах) неопределенность энергии данного электрона.
20. При движении вдоль оси х скорость оказывается определенной с точностью Δvx = 1 см/с.
Оценить неопределенность координаты Δx: а) для электрона, б) для броуновской частицы массы m = 10–
13
г, в) для дробинки массы m = 0,1 г.
21. Электрон с кинетической энергией Е = 4 эВ локализован в области размером L = 1 мкм. Оце-
нить относительную неопределенность его скорости.
10
22. Оценить наименьшие ошибки, с которыми можно определить скорость электрона, протона и шарика массы 1 мг, если координаты частиц и центра шарика установлены с неопределенностью 1 мкм.
23. Свободный электрон в момент времени t = 0 локализован в области Δx0 = 0,1 нм. Оценить
ширину области локализации этого электрона спустя t = 1 с.
24. След пучка электронов на экране электронно-лучевой трубки имеет диаметр d = 0,5 мм. Расстояние от электронной пушки до экрана L = 20 см, ускоряющее напряжение U = 10 кВ. Оценить неопределенность координаты электрона на экране.
25. Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимальную кинетическую энергию
электрона, локализованного в области размером L = 0,20 нм.
4. ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ МЕХАНИКУ.
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
Поведение частицы в микромире описывается волновой функцией ψ, которая в общем случае
является комплексной величиной. Квадрат модуля этой функции определяет вероятность того, что частица находится в бесконечно малом объеме dV вблизи рассматриваемой точки с координатами x,y,z:
dw  x  dV   * x x dV
2
(4.1)
где ψ* – комплексно сопряженная величина. Вероятность найти частицу в конечном объеме V равна
W   dw    dV
2
(4.2)
V
Волновая функция однозначна, непрерывна, ограничена и на бесконечности стремится к нулю.Так как
вероятность найти частицу во всем пространстве равна 1, то имеет место условие нормировки

2
dV  1 ,
(4.3)
V
где интегрирование ведется по всему пространству.
Каждой физической величине q, характеризующей состояние частицы с волновой функцией ψ,

ставится в соответствие оператор q такой, что среднее значение q вычисляется по формуле

q   *qdV .
(4.4)
V

Оператор координаты x (и оператор любой функции, зависящей только от координат) совпадает

с самой координатой х (функцией). Действие оператора импульса p  i d dx  i (i – мнимая еди-
ница) сводится к дифференцированию. Действие оператора полной энергии
11
 p 2
2 2
H
 Û  
 U.
2m
2m
(4.5)
на волновую функцию дает энергию частицы Е и т.д.
Волновая функция удовлетворяет временнóму уравнению Шредингера – аналогу второго закона
Ньютона

2 2

.
   U  i
2m
t
(4.6)
Здесь m – масса частицы, U – функция координат и времени, градиент которой, взятый с обратным знаком, равен силе, действующей на частицу. Если U не зависит явно от времени, то она имеет смысл потенциальной энергии. В этом случае волновая функция может быть представлена в виде произведения
двух множителей, один из которых зависит только от координат, а второй – от времени:
x, y, z , t   x, y, z exp  i Et   ,
(4.7)
где Е – полная энергия частицы. Временнóе уравнение Шредингера (4.3) при этом переходит в стационарное
 2 
2m
2
E  U   0 .
(4.8)
Решение уравнения Шредингера означает отыскание собственных функций ψi (i – нумерует собственные

функции) оператора H и их собственных значений Ei. Если движение частицы ограничено в пространстве, то решения уравнения существуют лишь при дискретных значениях энергии Е. В случае отсутствия пространственных ограничений уравнение имеет решения, соответствующие любым значениям Е.
Пусть ψ1, ψ2, …, ψi,…, ψn есть набор собственных функций частицы. В каждом из этих состояний
ψi физическая величина q имеет определенное значение qi. Однако частица может находиться и в состоянии  
n
C 
i 1
i
i
, где Ci – не зависящие от координат числа. Число слагаемых в сумме равно числу
различных собственных функций. Величина q в этом состоянии не имеет определенного значения – при
2
измерениях будет получаться одно из значений qi. Вероятность получить результат qi равна C i , сумма
n
всех таких вероятностей равна единице:
C
i 1
2
i
 1 . Зная вероятности различных значений величины q,
можно найти среднее значение этой величины в состоянии ψ: q 
n
C
i 1
принципа суперпозиции в квантовой механике.
12
2
i
q i . Это есть выражение
Примеры решения задач
U
En
1. Записать уравнение Шредингера для гармонического осциллятора.
Решение. Гармоническим осциллятором называют частицу,
совершающую одномерное движение под действием квазиупругой
E0
силы F = –kx. Потенциальная энергия такой частицы равна (рис.4.1)
U = kx2/2. Собственная частота классического гармонического осциллятора равна   k m , где m – масса частицы. Выразив k через
0
x
ψ
m и ω, получим U = mω2x2/2. В одномерном случае  2  d 2 dx 2 .
Поэтому уравнение Шредингера для осциллятора имеет вид
d 2
dx2

x
2m 
m2 x 2 
E

  0.
2 
 2 
Рис.4.1
Можно показать, что собственные значения этого уравнения суть En  кол n  1 2 , где кол – собственная частота колебаний. Энергия при n = 0 называется энергией нулевых колебаний. Как видно
на рис.4.1, спектр собственных энергий эквидистантный, т.е. расстояния между соседними уровнями
не зависят от n. Волновая функция основного состояния


0  4   exp  x2 2 ,
где   m  . Она также приведена на рис.4.1. Как видно, в отличие от классического случая, существует
конечная вероятность обнаружения частицы за пределами дозволенной области, показанной пунктиром на
рис.4.1.
2. Волновая функция основного состояния атома водорода имеет вид   A exp  r a  , где a – константа (радиус Бора). Найти: а) значение константы А; б) плотность вероятности нахождения электрона на
расстоянии r от ядра; в) наиболее вероятное расстояние rвер электрона от ядра; г) среднее расстояние r
электрона от ядра; д) вероятность того, что электрон находится на расстоянии от ядра, превышающем ηа
(η – константа).
Решение. а) Значение константы А найдем из условия нормировки

2
dV  1 .
V
Отметим, что волновая функция сферически симметрична, т.е. не зависит от углов. Поэтому элементарный объем равен dV  4r 2dr . Подставляя выражения для объема и волновой функции в условие нормировки, получим
13

A e
2
2r a

4r dr  4A
2
2
0
r
2
e 2 r a dr  1 .
0
Интеграл равен

2  2r a
 r e dr 
0
Тогда 4A2
2!
a3
.
4

2 a 3
1
a3
.
 1 . Отсюда A 
4
a3
б) Вероятность
найти
электрон
на
расстоянии
от
r
до
r + dr
от
ядра
dW   dV  4A2r 2e2r a dr . Плотность вероятности нахождения электрона на расстоянии r от ядра
2
w
dW
 4A2r 2e 2r
dr
a
4

a
3
r 2e  2 r a .
в) Наиболее вероятное расстояние электрона от ядра соответствует максимуму функции w(r):
dw
 0 . Беря производную, получим
dr
8rвер
a3
e
 2 rвер a 
r 
1  вер   0 .
a 

Отсюда rвер = a.

г) Среднее расстояние электрона от ядра равно r   r  dV . Подставим выражения для объема и
2
0
волновой функции

r  r
0
1
a
e  2 r a 4r 2 dr 
3
4
a
3

3  2r a
r e
dr .
0
Используя интегрирование по частям
x
e dx  1 b x n ebx  n b  x n 1ebxdx ,
n bx
получим для среднего расстояния электрона от ядра r = 3a/2.
д) Используем полученное значение константы А для нахождения вероятности того, что электрон расположен от ядра на расстоянии большем, чем ηa:
W   dW 



4 2  2r a
4
2  2r a
 a3 r e dr  a3  r e dr .
a
a

Беря интеграл, получим W  e 2 1  2  22 .
14
3. Волновая функция, описывающая состояние частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, имеет вид ψ(x) = Asin(kx). Определите а) вид собственной волновой функции ψn(x); б) коэффициент А, исходя из условия нормировки.
Решение. Схема такой ямы приведена на рис.4.2. Так как стенки
ямы бесконечно высоки, то за пределами потенциальной ямы частица оказаться не может и волновая функция равна нулю: ψ(x < 0) = 0
E
U→∞
и
ψ(x > L) = 0.
а) Внутри ямы волновая функция не равна нулю: ψ(0 x < L) ≠ 0. В
силу непрерывности волновой функции на границах должны выполняться
соотношения ψ(0) = ψ(L) = 0. Подставим выражение для волновой функции
0
ψ(L) = Asin(kL) = 0. Это возможно в том случае, если аргумент синуса
L
x
Рис.4.2
kL  n . Отсюда k = πn/L, и собственные волновые функции равны ψn(x) = Asin(πnx/L).
L
  n x 
б) Запишем условие нормировки
2
dx  1 . Подставляя собственные волновые функции,
0
получим
L
A
2
sin 2 nx L dx  A2 L 2  1 .
0
Отсюда A  2 L .
4. Состояние частицы, находящейся в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме
шириной L, задано волновой функцией x    30

L5  xL  x  . Обладает или нет определенной энер
гией частица в этом состоянии? В случае отрицательного ответа сформулировать общее выражение для:
а) вероятности найти при измерении энергию частицы Е равной энергии собственного состояния с номе-


ром n En  n 2 2mL2 ; б) средней энергии частицы E .
Решение. Так как эта функция не является собственной функцией уравнения Шредингера для частицы в яме, то частица не имеет определенной энергии в этом состоянии. Это состояние является суперпозицией нескольких собственных состояний  
C 
i
i
.
i
а) Вероятность получить при измерении энергию частицы, равной En,
2
Pn  Cn
2
L

   *ndx .
 0

Используя собственные функции n  2 L sin nx L , получим

Pn  2 15 L
3
 sin nx LxL  x dx .
L
0
15
б) Средняя энергия частицы находится как взвешенное среднее E 
n
E
i 1
2
i
Ci .
Задачи для самостоятельного решения
1. Записать уравнение Шредингера для свободной частицы.
2. Записать уравнение Шредингера для электрона в атоме водорода.
3. Волновая функция, описывающая некоторую частицу, может быть представлена как произведение координатной функции ψ и временного множителя, т.е. имеет вид  x, t   x exp  iEt   . Покажите, что плотность вероятности нахождения частицы определяется только координатной ψфункцией.
Для волновой функции основного состояния водородного атома, имеющей вид ψ = Aexp(–r/a),
где a – боровский радиус:
4. Найти среднее значение потенциальной энергии электрона.
5. Найти среднее значение модуля кулоновской силы, действующей на электрон.
6. Найти средний электростатический потенциал, создаваемый электроном в центре атома водорода.
7. Вычислить вероятность того, что электрон в этом состоянии находится от ядра на расстоянии, превышающем а) 2а; б) 5а и в) 10а.
8. Вычислить вероятность того, что электрон в этом состоянии находится от ядра на расстоянии
a < r < 2a.
9. Найти наиболее вероятное расстояние частицы от центра.
10. Найти среднее расстояние частицы от центра.
11. Рассматривая математический маятник массой m = 100 г и длиной L = 0,5 м в виде гармонического осциллятора, определите классическую амплитуду А маятника, соответствующую энергии нулевых колебаний этого маятника, находящегося в поле тяготения Земли.
Волновая

функция

основного
состояния
гармонического
осциллятора
имеет
вид
0  4   exp  x2 2 , где α = m/ħ:
12. Найти среднее значение координаты х.
13. Найти среднее значение импульса для этого состояния.
14. Найти среднее значение потенциальной энергии этого состояния.
15. Найти среднюю энергию (в электронвольтах) электромагнитного колебания при температуре
3000 К для длин волн λ, равных: а) 500 мкм, б) 50 мкм, в) 5 мкм, г) 0,5 мкм. Сравнить найденные значения с величиной kT.
16
16. Показать, что в основном состоянии гармонического осциллятора ΔpΔx = ħ/2, где Δp и Δx –
среднеквадратичные отклонения импульса и координаты от их средних. Учесть, что Δx2 = x2 – x2 и
Δp2 = p2 – p2.
Волновая функция некоторой частицы имеет вид ψ = Aexp(–r2/2a2), где r – расстояние от частицы до силового центра; а – константа:
17. Найти наиболее вероятное расстояние частицы от центра.
18. Найти среднее значение координаты x.
Частица в момент времени t = 0 находится в состоянии ψ = Aexp(–x2/a2 + ikx), где А и а – некоторые положительные постоянные:
19. Найти среднее значение проекции импульса px.
20. Найти нормировочный коэффициент А и область, в которой частица локализована.
21. Определить энергию электрона атома водорода в состоянии, для которого волновая функция
имеет вид ψ(r) = A(1 + ar)exp(–αr), где А, а и α – некоторые постоянные.
22. Известно, что нормированная собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, имеет вид
n x   2 L sin nx L  , где L – ширина ямы. Определите среднее значение координаты х электрона.
23. Состояние частицы, находящейся в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме
ширины L, задано волновой функцией ψ(x) = Ax(L – x). Найти нормировочный коэффициент А.
24. Состояние частицы, находящейся в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме
шириной L, задано волновой функцией x    30

L5  xL  x  . Найти вероятность того, что при из
мерении энергия частицы окажется равной Е1. Чему равна вероятность получить при измерении отличное от Е1 значение энергии частицы?
25. Волновая функция основного состояния частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме имеет вид 1 x   2 L sin x L  , где L – ширина ямы. Покажите, что Δx2Δp2 ~ ħ2. Учесть, что
Δx2 = x2 – x2 и Δp2 = p2 – p2.
5. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА И ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР.
Решение уравнения Шредингера для частицы в прямоугольной бесконечно глубокой потенциальной яме (рис.5.1) шириной L дает для энергии лишь дискретные значения
En 
n 2 2 2
2mL2
,
5.1)
где число n нумерует возможные значения энергии, n = 1, 2, 3,…-целое число. При этом волновая функция
17
 n x   2 L sin nx L  .
(5.2)
Расстояние между уровнями с номерами n и n + 1 зависит от n
E  En 1  En   2 2 2n  1 2mL2 .
(5.3)
Рассмотрим движение частицы с энергией Е в поле потенциального барьера бесконечной ширины (рис.5.2) и высоты U0. Если
E < U0, то в стационарном режиE
ме вся энергия падающей волны
U→∞
U0
отражается, однако под ступенькой (x > 0) волновая функция не
E
I
II
равна нулю, а экспоненциально
затухает с ростом координаты x.
0
L
x
Рис.5.1
0
x
Это соответствует наличию ко-
Рис.5.2
эффициента преломления
n  1  2  k 2 k1 ,
(5.4)
где k12  2mE  2 и k22  2mE  U 0   2 – волновые числа, соответствующие движению частицы в областях I и II.
Если U0 < E, то частица частично отражается, а частично проходит через барьер. Поэтому можно
ввести коэффициент отражения R и коэффициент прохождения D.
Коэффициент отражения барьера
R  k1  k2  k1  k2  .
2
(5.5)
Коэффициент пропускания барьера D равен отношению доли прошедшей волны к падающей:
D  4k1k2 k1  k2 2 .
(5.6)
Для коэффициентов отражения и прохождения выполняется соотношение R + D = 1. В классическом случае для E > U0 всегда D = 1 и R = 0.
Если кантовая частица массой m, двигаясь в области I с энергией Е, встречает на своем пути потенциальный барьер (рис.5.3) шириной L и высотой U0, то она может отразиться и остаться в области I.
Однако существует конечная вероятность того, что она окажется в области III, даже если E < U0. Этот эффект называется туннельным эффектом. В области II происходит затухание волновой функции.
Вероятность прохождения частицы через барьер – коэффициент прозрачности потенциального
барьера D равен
 2L
D  D 0 exp 
2mU 0  E 
 
18

,

(5.7)
где m и Е – масса и энергия частицы, падающей на барьер; U0 –
рьера; коэффициент D0 опреде-
U(x)
высота барьера; L – ширина ба-
I
II
III
E
E
ляется природой барьера и обычно слабо отличается от единицы
0
x
L
D0 ≈ 1.
x1
Рис.5.3
Если барьер имеет произ-
x2
x
Рис.5.4
вольную форму (рис.5.4), то его можно разбить на ряд прямоугольных барьеров. Суммарное действие
таких барьеров приводит к формуле
x2


D  D0 exp 2    2mU  E  dx .


x1


(5.8)
Пределы интегрирования определяются из условия U(x) = E.
Примеры решения задач
1. Электрон находится в потенциальной яме, шириной L. Найти вероятность того, что электрон,
находящийся в возбужденном состоянии (n = 2), будет обнаружен в средней трети ямы.
Решение. Вероятность найти частицу в интервале x1 < x < x2 есть W 
x2
  n x 
2
dx , где ψn(x) –
x1
нормированная собственная волновая функция. Для прямоугольной ямы  n x   2 L sin nx L  . Учиx2
тывая, что n = 2, получим W  2 L   sin 2 2x L dx . По условию x1 = L/3 и x2 = 2L/3. Проведем замену
x1
sin 2 2x L   1  cos4x L  2 и разобьем интеграл на два
W
2
L
2L 3
2L 3
8
4 
1 
 4x   1 1 
2  2x 
sin
dx

dx

cos
 sin


dx  
 sin
.
 


L
L
L
3
4

3
3








L3
L3
L3

2L 3
Вычисляя, получим W = 0,195.
2. Частица находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной L на втором энергетическом уровне. В каких точках ямы плотность вероятности обнаружения частицы совпадает с классической плотностью вероятности.
Решение. Волновая функция ψ, описывающая состояние частицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной L, имеет вид  n x   2 L sin nx L  , где n – номер энергетиче19
ского уровня (n = 1, 2, …); x – координата частицы в яме (0 ≤ x ≤ L). Согласно физическому смыслу волновой функции, плотность вероятности w обнаружения частицы в точке с координатой x, равна w = |ψ|2. Если
частица находится на втором энергетическом уровне (n = 2), то w2 = (2/L)sin2(2πx/L). Следуя принципу
соответствия Бора, выражение для классической плотности вероятности получается при n → ∞:
w∞ = 1/L. Приравнивая, получим sin2(2πx/L) = 1/2. Решая это уравнение, найдем x  k  1 4 L 2 , где k
принимает значения 0, ±1, ±2, … В пределах ямы таких точек четыре x = (L/8; 3L/8; 5L/8; 7L/8).
3. Электрон с энергией Е = 4,9 эВ движется в положительном направлении оси x и падает на потенциальный барьер высотой U0 = 5 эВ и шириной L. При какой ширине барьера вероятность W прохождения электрона через барьер будет равна 0,2?
Решение. Вероятность прохождения W частицы через барьер по смыслу есть не что иное, как его


коэффициент прозрачности D. Поэтому W  D  exp  2 L   2me U 0  E  . Для удобства вычислений
логарифмируем ln W  2 L   2me U 0  E  . Поменяем знаки правой и левой частей и найдем
L
 ln 1 W 
2 2me U 0  E 
= 4,9510–10 м.
4. Поток электронов, каждый из которых имеет энергию Е = 100 эВ, падает на барьер бесконечной ширины высотой U0 < E. Определить высоту потенциального барьера U0, если известно, что 4 % падающих на барьер электронов отражаются.
Решение. Коэффициент отражения барьера R  k1  k2  k1  k2  , где k1 и k2 – волновые чис2
ла электрона, отвечающие движению электрона в областях I и II соответственно. Так как координата
электрона точно не известна, то в соответствии с принципом неопределенностей Гейзенберга точно известен импульс электрона и, соответственно, его кинетическая энергия. В левой области
k1  1   2me E . В правой области кинетическая энергия равна E – U0 и k 2  1   2me E  U 0  . Под-
ставив в выражение для R и разделив на




2me E , получим R  1  1  U 0 E

разуем 1  U 0 E  1  R 1  R . Выразим отсюда U 0  1  1  R 1 

 1  1  U E 
R   E = 55,6 эВ.

2
2
0
. Преоб-
2
Задачи для самостоятельного решения
1. Альфа-частица находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Чему равна
ширина ямы, если минимальная энергия частицы составляет 6 МэВ.
2. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной 0,1 нм. Вычислить длину волны излучения при переходе электрона со второго на первый энергетический уровень.
3. Протон находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной 0,01 пм. Вычислить длину волны излучения при переходе протона с третьего на второй энергетический уровень.
20
4. Атом водорода находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной
0,1 м. Вычислить разность энергий соседних уровней, соответствующих средней энергии теплового
движения атома при температуре 300 К.
5. Частица находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной L в основном состоянии. В каких точках ямы плотность вероятности обнаружения частицы совпадает с классической плотностью вероятности?
6. Частица находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной L в основном состоянии. Чему равно отношение плотности вероятности обнаружения частицы в центре ямы к
классической плотности вероятности?
7. Частица находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной L в первом возбужденном состоянии. В каких точках ямы плотность вероятности обнаружения частицы максимальна, а в каких минимальна?
8. Определите среднее значение импульса в основном состоянии электрона в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.
9. Определите среднее значение квадрата импульса в основном состоянии электрона в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.
10. Частица находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной L на втором энергетическом уровне. Определить вероятность обнаружения частицы в пределах от 0 до L/3.
11. Частица находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной L в основном состоянии. Найти отношение вероятностей нахождения частицы в пределах от 0 до L/4 для первого и второго энергетических уровней.
12. Частица находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной L в основном состоянии. Найти отношение вероятностей нахождения частицы в пределах от 0 до L/3 и от L/3
до 2L/3.
13. Оценить разность ΔEn двух соседних уровней энергии при n >> 1 для молекулы газа, находящегося в сосуде, приняв массу молекулы m = 10–26 кг, а размер сосуда L = 10 см (считать сосуд бесконечно глубокой потенциальной ямой). Сравнить со средней кинетической энергией молекул при комнатной температуре Т = 300 К.
14. Оценить разность ΔEn двух соседних уровней энергии при n >> 1 для электрона, локализованного в атоме с линейными размерами L ~ 10–10 м (атом считать бесконечно глубокой потенциальной
ямой).
15. Для электрона с энергией E = 1 эВ оценить эффективную глубину его проникновения под барьер высоты U0 = 5 эВ.
16. Прямоугольный потенциальный бартер имеет ширину L = 0,1 нм. Определите (в электронвольтах)
разность энергий U0 – E, при которой вероятность прохождения электрона сквозь барьер равна 0,5.
17. Протон с энергией 5 эВ движется вдоль оси х, встречая на своем пути прямоугольный потенциальный барьер высотой U0 = 10 эВ и шириной L = 0,1 нм. Определите вероятность прохождения про21
тоном этого барьера. Во сколько раз следует сузить барьер, чтобы веро-
U0
ятность прохождения его протоном была такой же, как для электрона в
этих же условиях.
E
18. Прямоугольный
потенциальный
барьер
имеет
ширину
L = 0,1 нм. Для электрона разность U0 – E = 5 эВ. Определите, во сколько
x
раз изменится коэффициент прозрачности D потенциального барьера, ес-
L
ли разность U0 – E возрастает в 4 раза.
Рис.5.5
19. Частица с энергией E = 10 эВ движется вдоль оси х, встречая
на своем пути бесконечно широкий прямоугольный потенциальный барьер высотой U0 = 5 эВ. Определите коэффициент преломления n на границе потенциального барьера.
20. Электрон с длиной волны де Бройля λ1 = 100 пм, двигаясь вдоль оси х, встречает на своем пути бесконечно широкий прямо-
U
U
угольный потенциальный барьер
U0
U0
высотой U0 = 100 эВ. Определите
длину волны де Бройля после
E
E
–L
0
L
–L
x
Рис.5.6
0
L
прохождения барьера.
21. Частица
x
Рис.5.7
с
энергией
Е = 50 эВ, двигаясь в положительном
направлении
оси
х,
встречает на своем пути бесконечно широкий прямоугольный потенциальный барьер высотой
U0 = 20 эВ. Определите вероятность отражения частицы от этого барьера.
22. Частица массой m = 10–19 кг, двигаясь вдоль оси х со скоростью v = 20 м/с, встречает на своем
пути бесконечно широкий прямоугольный потенциальный барьер высотой U0 = 100 эВ. Определите коэффициент отражения R на границе потенциального барьера.
23. Электрон с энергией Е движется в положительном направлении оси х, встречая на своем пути
барьер, ширина которого L и высота U0., если барьер имеет форму, показанную на рис.5.5.
24. Найти вероятность прохождения протона с энергией Е сквозь потенциальный барьер на
рис.5.6.
25. Найти вероятность прохождения частицы с массой m и энергией Е сквозь потенциальный барьер (рис.5.7), где U(x) = U0(1 – x2/L2).
6. СТРОЕНИЕ АТОМА
Решая уравнение Шредингера для электрона в кулоновской яме ядра, показывает, чтоэлектрон в
атоме может иметь следующие энергии:
22
En  
me Z 2e4
240 
1
,
 n2
2 2
(6.1)
где me – масса электрона, Z – атомный номер, n = 1, 2, 3… – главное квантовое число. Наиболее вероятное
расстояние электрона в состоянии n от ядра:
rn 
40 2 2
n .
me Ze 2
(6.2)
При n = 1 и Z = 1 это расстояние совпадает с радиусом первой боровской орбиты.
Модуль момента импульса электрона в атоме может принимать значения
L     1 .
(6. 3)
Число ℓ = 0, 1, 2,…n – 1.. называется орбитальным квантовым числом. Проекция момента импульса на
любую ось (например, z) тоже может принимать лишь определенные значения
Lz  m  ,
(6.4)
где mℓ = 0, ±1, ±2, …, ±ℓ и называется магнитным квантовым числом. Магнитное квантовое число определяет также проекцию магнитного момента, создаваемого движением электрона вокруг ядра:
 z   B m .
(6.5)
    B   1 ,
(6.6)
Модуль магнитного момента электрона
где  B  e 2me = 0,927∙10–23 Дж/Тл – магнетон Бора. Отношение модулей орбитальных магнитного и механического моментов называется гиромагнитным отношенеим
 L  z Lz   B   e 2me  .
(6.7)
Электрон обладает также собственным механическим моментом импульса, равным
L s   ss  1 ,
(6.8)
где s = 1/2–спиновое квантовое число. Соответствующий ему магнитный момент также квантован
 s  2 B ss  1 .
(6.9)
Проекции спинового момента импульса и магнитного момента на направление z внешнего магнитного
поля равны
Lsz  ms и  sz  2 B ms ,
(6.10)
где ms – спиновое квантовое число, может принимать значения ±1/2.
23
ханического моментов оказывается в два раза больше, чем для орбитальных моментов
Lℓ
μℓ
Гиромагнитное отношение для спиновых магнитного и ме-
j
Ls
 s L s   sz Lsz  2 B   e m e .
(6.11)
Орбитальный Lℓ и спиновый Ls моменты импульса электрона
μj
μs
складываются и дают полный момент импульса электрона j (рис.6.1).
μΣ
Он квантуется так же
Рис.6.1
j   j  j  1 ,
(6.12)
где j    s    1 2 – внутреннее квантовое число. Проекция полного момента на направление внешнего магнитного поля
jz  m j ,
(6.13)
где mj может принимать 2j + 1 значение от –j до j. Для описания состояния электрона в атоме используют четыре квантовых числа: n, ℓ, mℓ и ms. или n, ℓ, j, mj. Обычно для орбитального квантового числа используют буквенные обозначения:
ℓ
0
1
2
3
4
Обозначение
s
p
d
f
g
При втором способе описания термов используют следующие обозначения: состояния с ℓ = 0, 1,
2, 3,… обозначаются соответственно s, p, d, f, … Справа внизу указывается значение квантового числа j,
а слева наверху величина 2s + 1 – мультиплетность терма. Например, 3p0 означает, что ℓ = 1, s = 1, j = 0.
Из-за разных гиромагнитных отношений для спинового и орбитального моментов суммарный магнитный момент оказывается непараллельным суммарному механическому моменту. Поэтому вводится
специальный коэффициент gЛ – фактор Ланде, который есть не что иное, как коэффициент пропорциональности между j и μj:
 j   g Л B j ,
gЛ  1 
(6.14)
j  j  1  ss  1    1
.
2 j  j  1
(6.15)
Чтобы описать структуру сложного атома, надо знать состояния всех его электронов. В легких и
средних атомах орбитальные моменты отдельных электронов складываются в суммарный орбитальный
момент
L  L1  L 2  L3     Li ,
i
24
(6.16)
а спиновые – в суммарный спиновый:
S   L si
(6.17)
J  L S.
(6.18)
i
и полный момент
В тяжелых атомах полный момент равен сумме полных моментов отдельных электронов
J   ji ,
(6.19)
i
где ji  L i  L si .
Магнитный момент атома
 J  g Л J J  1  B .
(6.20)
Состояния атомов обозначаются так же, как это делается для отдельных электронов, но большими буквами. Например, 3P0 означает, что L = 1, S = 1, J = 0.
Порядок заполнения энергетических уровней в атоме определяется эмпирическими правилами
Клечковского. Первое правило Клечковского: сначала будут заполняться уровни с наименьшей суммой
квантовых чисел n + ℓ. Второе правило Клечковского: если два уровня имеют одинаковую сумму квантовых чисел n + ℓ, то первым будет заполняться уровень с меньшим n.
Электроны подчиняются принципу Паули: каждый энергетический уровень может быть заселен
не более чем двумя электронами с противоположными спинами. Энергии некоторых состояний могут
совпадать, т.е. может иметь место вырождение. В этом случае электроны заселяют состояния таким образом, чтобы спин S атома был максимален и, при этом по возможности максимальным было значение L
– правило Гунда.
При попадании атома во внешнее магнитное поле В с полем взаимодействуют как орбитальный,
так и спиновый магнитные моменты электронов. Кроме того, эти моменты взаимодействуют между собой
(спин-орбитальное взаимодействие). В случае слабого поля взаимодействие магнитных моментов с внешним полем меньше, чем спин-орбитальное взаимодействие, и атом приобретает дополнительную энергию
E  B   g Л B mJ B ,
(6.21)
которая зависит от квантового числа mJ, т.е. снимается вырождение по mJ.
В сильном магнитном поле спин-орбитальным взаимодействием можно пренебречь, связь между L и
S разрывается, и они проецируются на направление поля независимо друг от друга. В этом случае
E   B BmL  2mS  .
(6.22)
25
Примеры решения задач
1. Определите максимальное число электронов, находящихся в состояниях, описываемых данным главным квантовым числом n.
Решение. Каждому квантовому числу n соответствует n различных значений орбитального квантового числа ℓ: ℓ = 0, 1, 2,…, (n – 1). В свою очередь каждому значению ℓ соответствуют 2ℓ + 1 значения
магнитного квантового числа: mℓ = 0, ±1, ±2,…, ±ℓ. На каждом уровне mℓ могут быть 2 электрона со спиновыми квантовыми числами ms = ±1/2. Полное количество электронов на оболочке n равно
N
n 1
 22  1  2n 2 .
 0
2. Электрон в атоме находится в d-состоянии. Определите: а) орбитальный момент импульса
электрона; б) максимальное значение проекции момента импульса на направление внешнего магнитного
поля.
Решение. Электрон в d-состоянии описывается орбитальным квантовым числом ℓ = 2. Модуль орбитального момента при этом равен L     1   6 . Проекция момента импульса на направление
внешнего магнитного поля может принимать значения Lz  m , соответствующие различным величинам
магнитного квантового числа mℓ: mℓ = 0, ±1, ±2. Максимальная проекция орбитального момента соответствует максимальному значению mℓ = 2: Lz  2 .
3. Найти максимально возможный полный механический момент и соответствующее спектральное обозначение терма атома натрия, валентный электрон которого имеет главное квантовое
число n = 4.
Решение. Атом натрия имеет один электрон на внешней оболочке и спин этого электрона равен
1/2. Поэтому мультиплетность равна 2S + 1 = 2. Механический момент будет максимальным, если максимальным будет и орбитальное квантовое число. Данному n = 4 соответствует максимальное значение
L = 3. Внутреннее квантовое число J = L + S = 3 + 1/2 = 7/2. Максимально возможный механический момент будет равен J   J J  1   7  9 2  2   63 2 . Обозначение соответствующего терма 2F7/2.
4. Найти полное расщепление терма 2D3/2 в магнитном поле В = 2 Тл, считая его а) слабым,
б) сильным полем.
Решение. Состояние 2D3/2 означает, что J = 3/2, L = 2, S = 1/2. Фактор Ланде
gЛ  1 
3 2 5 2  1 2 3 2  2  3  4 .
2  3 2  5 2
5
а) Дополнительная энергия этого состояния в слабом магнитном поле E 
4 eB
mJ . Квантовое
5 2me
число mJ может принимать 2J + 1 значений от –J до J. Полное расщепление соответствует разности
26
энергий уровней с mJ = –3/2 и mJ = 3/2   2E  2
4 eB 3
. Подставляя численные данные, получим
5 2me 2
Δε = 276,910–6 эВ.
б) Энергетический сдвиг в сильном магнитном поле ΔE = μBB(mL + 2mS). Квантовые числа mL и
mS могут иметь значения от –2 до 2 и от –1/2 до 1/2 соответственно. Величина (mL + 2mS) будет иметь
максимальное значение 3 и минимальное значение –3. Максимальное расщепление будет равно
  2E  2
eB
3 . Подставляя численные значения, получим Δε = 692,310–6 эВ.
2me
Задачи для самостоятельного решения
1. Заполненной электронной оболочке соответствует главное квантовое число n = 3. Определите
число электронов на этой оболочке, которые имеют одинаковые квантовые числа: а) ms = –1/2; б) mℓ = 0;
в) mℓ = –1, ms = 1/2.
2. Заполненной электронной оболочке соответствует главное квантовое число n = 4. Определите
число электронов на этой оболочке, которые имеют одинаковые квантовые числа: а) mℓ = –3; б) ms = 1/2,
mℓ = 2; в) ms = –1/2, mℓ = 1.
3. Сколько электронов в атоме могут иметь одинаковые квантовые числа: а) n, ℓ, mℓ, ms; б) n, ℓ,
mℓ.
4. Валентный электрон атома Na находится в состоянии с n = 3, имея при этом максимально возможный полный механический момент. Каков его магнитный момент в этом состоянии?
5. Определите во сколько раз орбитальный момент импульса Lℓ электрона, находящегося в fсостоянии, больше, чем для электрона в р-состоянии.
6. 1s электрон атома водорода, поглотив фотон с энергией Е = 12,1 эВ, перешел в возбужденное
состояние с максимально возможным орбитальным квантовым числом. Определите изменение момента
импульса ΔLℓ орбитального движения электрона.
7. Определите суммарное максимальное число s-, p-, d-, f- и g-электронов, которые могут находиться на N- и O-оболочках атома.
8. Найти кратность вырождения 2p, 3d и 4f состояний с максимально возможными полными механическими моментами.
9. Написать электронную формулу элемента №79 и объяснить порядок заполнения уровней.
10. Написать электронную формулу элемента № 47 и объяснить порядок заполнения уровней.
11. У какого элемента заполнены K-, L- и M-оболочки и 4s-подоболочка, а также наполовину заполнена 4p-подоболочка?
12. Найти с помощью правила Гунда полный механический момент атома в основном состоянии,
если его незаполненная подоболочка содержит: а) три d-электронов, б) семь d-электронов.
27
13. Найти с помощью правила Гунда полный механический момент атома в основном состоянии,
если его незаполненная подоболочка содержит: а) три p-электронов, б) четыре p-электронов.
14. Определить спиновый механический момент атома в состоянии D2, если максимальное значение проекции магнитного момента в этом состоянии равно 4μВ.
15. Найти с помощью правила Гунда магнитный момент основного состояния атома, незамкнутая подоболочка которого заполнена ровно наполовину пятью электронами.
16. Возбужденный атом имеет электронную конфигурацию 1s22s22p3d и находится при этом в
состоянии с максимально возможным полным механическим моментом. Найти магнитный момент атома в этом состоянии.
17. Найти полный механический момент атома в состоянии с S = 3/2 и L = 2, если известно, что магнитный момент его равен 0.
18. Найти возможные значения полных механических моментов атомов, находящихся в состояниях 4P и 5D.
19. Сколько и какие значения квантового числа J может иметь атом в состоянии с квантовыми
числами S и L, равными соответственно а) 2 и 3; б) 3 и 3; в) 5/2 и 2
20. На сколько подуровней расщепится в слабом магнитном поле терм: а) 3P0; б) 2F5/2; в) 4D1/2?
Привести схему уровней.
21. Атом находится в слабом магнитном поле с индукцией В = 0,25 Тл. Найти полную величину
расщепления в электрон-вольтах следующих термов: а) 1P; б) 3F4. Привести схему уровней.
22. Атом находится в слабом магнитном поле с индукцией В = 1,0 Тл. Найти полную величину
расщепления в электрон-вольтах следующих термов: а) 1S; б) 2D5/2. Привести схему уровней.
23. Определить максимальную энергию ΔЕ магнитного взаимодействия атома, находящегося в
состоянии 1D с магнитным полем, индукция которого а) B = 1 Тл (слабое поле), б) В = 50 Тл (сильное
поле). Привести схемы уровней.
24. Атом находится в сильном магнитном поле с индукцией В = 5 Тл. Найти полную величину
расщепления в электрон-вольтах следующих термов: а) 1P; б) 3F4. Привести схему уровней.
25. Написать спектральное обозначение терма, кратность вырождения которого равна 7, а квантовые числа L и S связаны соотношением L = 3S.
7. РЕНТГЕНОВСКИЕ СПЕКТРЫ АТОМОВ
Экспериментально строение атомов изучают, исследуя спектры испускания и поглощения атомами электромагнитного излучения. Переходам валентных электронов соответствует оптический диапазон излучения,а при переходах электронов на внутренних оболочках возникает характеристическое
рентгеновское излучение. Схема переходов приведена на рис.7.1.
Частоты и длины волн соответствующего излучения можно определить, используя закон Мозли:
28
 1
1 
  RZ   2  2  2  ,
n

 2 n1 
(7.1)
 1
1
1 
 RZ   2  2  2  ,
n


 2 n1 
(7.2)
n
N
4
Kγ
M
где Z – порядковый номер элемента в системе Менделеева, R и R' –
3
Возбуждение
L-серии
Kβ
L
постоянные Ридберга для частот и волнового числа (R = 3,291015 c–1
2
L-серия
Возбуждение
К-серии
Kα
и R' = 1,10107 м–1), n1 – главное квантовое число уровня, с которого
уходит электрон, n2 – главное квантовое число уровня, на который
К
1
К-серия
переходит электрон. Величина σ учитывает экранировку внутрен-
Рис.7.1
ними электронами кулоновского взаимодействия ядра и рассматриваемого электрона и называется постоянной экранирования.
При переходах атома из одного состояния в другое с поглощением или испусканием электромагнитного излучения допустимы такие перходы при которых выполняются следующие соотношения,
называемые правилами отбора:
Δj = 0, ±1; Δmj = 0, ±1; Δℓ = ±1; Δmℓ = 0, ±1; Δms = 0
ΔJ = ±1, 0, при Jнач ≠ 0 и Jкон ≠ 0
ΔJ = ±1 при Jнач = 0 или Jкон = 0, ΔmJ = ±1, 0
ΔS = 0 ΔmS = 0
ΔL = ±1, 0, при Lнач ≠ 0 и Lкон ≠ 0
ΔL = ±1 при Lнач = 0 или Lкон = 0, ΔmL = ±1, 0.
(7.3)
В магнитном поле В вследствие снятия вырождения уровни расщепляются. Величина расщепления соответствующих спектральных линий в слабом поле равна
  mJ 1g Л 1  mJ 2 g Л 2  B B /  ,
(7.4)
где mJ1, gЛ1 и mJ2, gЛ2 – квантовые числа и факторы Ланде соответствующих энергетических уровней.
При излучении вдоль магнитного поля зеемановские компоненты, обусловленные переходами
mJ1 → mJ2, отсутствуют.
При наличии большого количества атомов и при Т ≠ 0 в каждый момент времени часть атомов
будет находиться в возбужденных состояниях. Доля атомов, имеющих в термодинамическом равновесии энергию Е, при температуре Т определяется распределением Больцмана
N  g g 0  exp  E  E0  kT  ,
(7.5)
где g и g0 – кратности вырождения возбужденного и основного состояний, E0 – энергия основного состояния.
29
Примеры решения задач
1. Длина волны линии Lα вольфрама равна 0,148 нм. Найти постоянную экранирования.
Решение. Используем закон Мозли (7.2) с учетом того, что Z = 74 – порядковый номер вольфрама, n1 = 3 для Lα-линии, n2 = 2 – номер уровня, на который переходит электрон, для L-серии. Отсюда
находим σ = 7,4.
2. Определить энергию фотона Кα-линии рентгеновского спектра, излучаемого вольфрамом при
бомбардировке его быстрыми электронами.
Решение. Кα-линия возникает при переходе электрона с L-слоя на К-слой. Частота этой линии определяется по закону Мозли (7.1). В нашем случае n1 = 2, n2 = 1 и σ = 1. Для вольфрама Z = 74.
Отсюда энергия фотона равна EK  h = 54,4 кэВ.
3. Найти зеемановское расщепление спектральной линии 2D3/2 → 2P1/2. Указать число компонент
в расщепленной линии.
Решение. Состояние 2D3/2 означает, что J = 3/2, L = 2, S = 1/2. Фактор Ланде
g Л1  1 
3 2  5 2  1 2  3 2  2  3  4 .
2  3 2  5 2
5
Дополнительная энергия этого состояния в магнитном поле E1 
4 eB
mJ 1 .Аналогично для со5 2me
стояния 2P1/2: J = 1/2, L = 1, S = 1/2;
g Л2  1 
3 4  3 4  2  2 ,
3 2
3
E2 
2 eB
mJ 2 .
3 2me
Возможны переходы с изменением квантового числа mJ на 0,1 и –1. Рассматривая эти варианты,
1  eB
 13 11
получим, что возможны расщепления    ,  ,  
.
 15 15 15  2me
4. Атомарный Li с концентрацией n = 3,6 1018 см–3 находится при температуре Т = 1500 К. При
этом мощность излучения резонансной линии λ = 671 нм (2P → 2S) в расчете на единицу объема газа
Р = 0,3 Вт/см3. Найти среднее время жизни атомов лития в состоянии резонансного возбуждения.
Решение. Среднее время жизни определяется вероятностью перехода атома из резонансного состояния в основное   1 w . Вероятность перехода есть отношение среднего количества излучающих
(переходящих) атомов к общему числу атомов в резонансном состоянии: w = N2P,изл/N2P. В резонансном
состоянии находятся N 2 P  g 2 P g 2 S N 2 S exp  E2 P  E2 S  kT  атомов, где g2S = 2 и g2P = 6 кратности
вырождения основного и резонансного уровней, и hν = hc/λ. Мощность излучения складывается из количества испущенных фотонов в единицу времени N2P,изл = P/hν. Таким образом, среднее время жизни
 1 w 
30
g 2 P hc
 hc 
n exp 
 . Подставляя численные данные, получим τ = 65 нс.
g 2 S P
 kT 
Задачи для самостоятельного решения
1. Установить, какие из ниже перечисленных переходов запрещены правилами отбора: а)
2
D3/2 → 2P1/2, б) 3P1 → 2S1/2, в) 3F3 → 3P2, г) 4F1/2 → 4D5/2.
2. Установить, какие из ниже перечисленных переходов запрещены правилами отбора: а) 2S1/2 → 2P3/2,
б) 2S1/2 → 2D3/2, в) 2D5/2 → 2P1/2, г) 2F7/2 → 2D3/2.
3. Какую наименьшую разность потенциалов нужно приложить к рентгеновской трубке с вольфрамовым анодом, чтобы в спектре характеристического рентгеновского излучения были все линии К-серии?
4. Вычислить с помощью закона Мозли разность энергий связи К- и L-электронов ванадия.
5. Сколько элементов содержится в ряду между теми, у которых длины волн Кα-линии равны 250
и 179 пм?
6. У какого легкого элемента в спектре поглощения разность частот К- и L-краев поглощения
рентгеновских лучей составляет Δω = 6,851018 с–1?
7. У некоторого легкого атома длины волн Кα- и Кβ-линий равны соответственно 275 и 251 пм.
Что это за атом?
8. Электрон переходит в атоме молибдена с М-слоя на L-слой. Определить длину волны и
энергию рентгеновского излучения. Постоянная σ = 5,6.
9. Электрон переходит в атоме циркония с М-слоя на К-слой. Определить длину волны и энергию рентгеновского излучения. Постоянная σ = 1.
10. Длина волны, соответствующей Кα-линии рентгеновского излучения, λ = 7,510–2 нм. Определить элемент, из которого сделан антикатод. Постоянная σ = 1.
11. К рентгеновской трубке с серебряным антикатодом приложено напряжение, достаточное
для возбуждения всей К-серии. Определить суммарную энергию двух квантов, соответствующих α- и
β-линиям этой серии. Постоянная σ = 1.
12. При переходе электрона в атоме меди с М-слоя на L-слой испускаются лучи с длиной 1,2 нм.
Вычислить постоянную экранирования в формуле Мозли.
13. Длина волны Кα-линии характеристического рентгеновского излучения равна 0,194 нм. Из какого
материала сделан антикатод?
14. При исследовании характеристического спектра некоторого элемента было найдено, что длина волны Кα-линии равна 76 пм. какой это элемент?
15. Определите порядковый номер элемента в системе Менделеева, если граничная частота Ксерии составляет 5,55∙1018 Гц. Принять σ = 1.
16. Определить энергию фотона, соответствующего линии Кα в характеристическом спектре марганца.
17. Определите постоянную экранирования для L-серии рентгеновского излучения, если при переходе электрона в атоме вольфрама с М-оболочки на L-оболочку длина волны испущенного фотона составляет 140 пм.
31
18. Какую наименьшую разность потенциалов надо приложить к рентгеновской трубке, а нтикатод которой покрыт ванадием, чтобы в спектре рентгеновского излучения появились все линии
К-серии ванадия? Граница К-серии ванадия λ = 226 пм.
19. Спектральная линия, обусловленная переходом 3D1 → 3P0, испытывает расщепление в слабом
магнитном поле. При наблюдении перпендикулярно к направлению магнитного поля интервал между
соседними компонентами зеемановской структуры линии составляет Δω = 1,321010 с–1. Найти индукцию
В магнитного поля в месте нахождения источника.
20. Определить спектральный символ синглетного терма атома, если полная ширина расщепления этого терма в слабом магнитном поле с индукцией В = 0,3 Тл составляет 104 мкэВ.
21. Длины волн дуплета желтой линии натрия (2P → 2S) равны 589,59 и 589,00 нм. Найти отношение интервалов между соседними подуровнями зеемановского расщепления термов 2P3/2 и 2P1/2 в слабом магнитном поле.
22. Известно, что спектральная линия λ = 612 нм атома обусловлена переходом между синглетными термами. Вычислить интервал Δλ между крайними компонентами этой линии в магнитном поле с
индукцией В = 1,0 Тл.
23. Какая относительная часть атомов водорода находится в состоянии с главным квантовым
числом n = 2 при T = 3000 K?
24. Определить отношение числа атомов газообразного натрия в состоянии 3Р к числу атомов в
основном состоянии 3S при температуре Т = 2400 К. Известно, что переходу 3P → 3S соответствует
спектральная линия с длиной волны λ = 589 нм.
25. Разреженные пары ртути, атомы которой практически все находятся в основном состоянии,
осветили светом с длиной волны λ = 253,65 нм, соответствующей резонансной линии ртути. При этом
оказалось, что мощность испускания данной линии парами ртути оказалась равной Р = 35 мВт. Найти
число атомов в состоянии резонансного возбуждения, среднее время жизни которого τ = 0,15 мкс.
8. СПЕКТРЫ МОЛЕКУЛ
При сближении двух атомов между ними начинают действовать как силы отталкивания, так и
силы притяжения. Силы отталкивания более короткодействующие, т.е. быстрее изменяются с изменением расстояния между атомами, чем силы притяжения. Это приводит к тому, что на некотором расстоянии r0 обе силы уравновешивают друг друга, а потенциальная энергия U принимает наименьшее значение Umin = –D (рис.8.1, кривая 1). Такая ситуация соответствует образованию молекулы с энергией связи
D и возможна только при антипараллельных спинах. При параллельных спинах (рис.8.1, кривая 2) потенциальная энергия всюду положительна, показывая отсутствие выигрыша в энергии при образовании
молекулы.
32
В пренебрежении энергией поступательного движения центра инерции молекулы и энергией
ядер атомов в молекуле, энергия молекулы складывается из трех составляющих: а) энергии движения
электронов в атомах молекулы, б) энергии колебательного движения ядер атомов, составляющих молекулу, в) энергии вращательного движения молекулы, как целого, вокруг некоторой оси.
Колебания двухатомной молекулы можно представить как гармонический осциллятор. Колебательная энергия двухатомной молекулы равна
En  кол n  1 2 ,
U(r
)
(8.1)
где n – колебательное квантовое число, принимающее значения
0,1,2, …, ωкол – собственная частота колебаний молекулы. При переходах между колебательными уровнями выполняются правила от-
0
бора Δn = ±1. Энергия нулевых колебаний
2
r0
r
1
D
E0  кол 2 .
(8.2)
Жесткость молекулы
Рис.8.1
k
2mc 2
2
2
 2mc 2

m c  
m ,
 



2 2 2
(8.3)
где m – масса электрона; α = 1/137 – постоянная тонкой структуры; ћ = h/2π, h – постоянная Планка; с –
скорость света в вакууме.
Частота собственных колебаний
кол  k  
2mc 2
m ,

(8.4)
где μ – приведенная масса молекулы АВ: 1/μ = 1/μА + 1/μВ, μА и μВ – масса атомов А и В соответственно.
Если молекул много, то количество молекул, имеющих колебательную энергию Еi, определяется
распределением Больцмана:
Ni  N 0 exp  Ei kT  .
(8.5)
С увеличением амплитуды колебаний проявляется отклонение колебаний от гармоничности.
Энергия колебаний ангармонического осциллятора
Еv =  (v + 1/2) – γ(v + 1/2)2,
(8.6)
где v – колебательное квантовое число (v = 0, 1, 2,…); γ – коэффициент ангармоничности. Правил отбора
для v нет. Ангармонизм может привести к разрушению (диссоциации) молекулы. Максимальное колебательное квантовое число
vmax  1 2    1 .
(8.7)
33
Энергия вращательного движения квантована
E J  J J  1  2 2 I ,
(8.8)
где I – момент инерции молекулы; J – вращательное квантовое число, принимающее значения 0, 1, 2,…
Расстояние между вращательными уровнями растет по мере увеличения квантового числа J:


E  E J  E J 1   2 2I JJ  1  J(J  1)  2J  2 2I .
(8.9)
Величина
B   2 2I .
(8.10)
называется вращательной постоянной. Вращательные уровни вырождены, т.е. несколько уровней имеют
одинаковые энергии. Степень вырождения равна
g = 2J + 1.
(8.11)
I  r02 ,
(8.12)
Момент инерции молекулы
где r0 – расстояние между атомами молекулы, μ – приведенная масса молекулы.
Характерную частоту вращательного движения можно оценить как
вр 
2
2
 m 2c 2 2
.


2 I 2r02 2  2
(8.13)
Соотношение между характерными частотами (энергиями) электронов в атомах, образующих
молекулу, колебаний атомов друг относительно друга и вращательной энергии молекулы
 эл : кол :  вр   : m  : m  .
(8.14)
Фотон с частотой ω0, попадая на атом, может испытать неупругое рассеяние – комбинационное
рассеяние света. Если фотон отдает молекуле часть своей энергии (стоксова линия, красный спутник), то
частота рассеянного света уменьшается
1 = 0 – Δ.
(8.15)
Если фотон отбирает энергию от молекулы (антистоксова линия, фиолетовый спутник), то частота
рассеянного света увеличивается
ω2 = ω0 + Δω.
34
(8.16)
Примеры решения задач
1. В основном колебательном состоянии молекулы CO собственная частота колебаний
кол = 4,09∙1014 с–1, а равновесное расстояние между ядрами r0 = 0,112 нм. Найти а) число вращательных
уровней, заключенных между основным и первым возбужденным колебательными уровнями;
б) отношение энергии ΔEкол, необходимой для перевода молекулы на первый возбужденный колебательный уровень, к энергии ΔEвр, необходимой для перевода молекулы на первый возбужденный вращательный уровень.
Решение. Колебательный спектр является эквидистантным, т.е. расстояние между энергетическими уровнями одинаково и равно ΔЕкол = ћωкол. Подставляя численные значения, получим
ΔEкол = 0,27 эВ. Расстояние между вращательными уровнями растет по мере увеличения квантового числа J: ΔEвр = EJ – EJ – 1 = ħ2J/I. Найдем момент инерции молекулы СО. Для этого определим приведенную
массу молекулы: 1/μ = 1/A(C) + 1/A(O), где А – атомный вес. Отсюда    A(C ) A(O)   A(C )  A(O)  . Момент инерции молекулы I  r02 A(C ) A(O)  A(C )  A(O)  . Характерная энергия вращательного движения
для молекулы СО равна ћ2/I = 0,4810–3 эВ. Расстояние между вращательными энергетическими уровнями
вр  J  2 I  J  2 A(C )  A(O) A(C ) A(O)r02 .
а) Чтобы найти число вращательных уровней, заключенных между основным и первым возбужденным колебательными уровнями сложим энергетические зазоры вращательного спектра от уровня с
квантовым числом J = 1 до уровня с квантовым числом х и приравняем сумму энергетическому зазору
колебательного спектра: ħ2(1 + 2 + 3 +…+ x)/I = ΔEкол. Решая это уравнение относительно х и подставляя
численные значения, получим х = 32
б) Отношение энергии ΔEкол, необходимой для перевода молекулы на первый возбужденный колебательный уровень, к энергии ΔEвр, необходимой для перевода молекулы на вращательный уровень с
J = 1 равно ΔEкол/ΔEвр = 0,27/(0,48∙10–3) = 553.
2. Собственная угловая частота ω колебаний молекулы HCl равна 5,63∙1014 с–1, коэффициент ангармоничности γ = 0,0201. Определить максимальную колебательную энергию Emax и энергию диссоциации Ed.
Решение. Максимальную колебательную энергию найдем, если используем максимальное коле-


бательное квантовое число vmax = 1/(2γ) – 1: Emax   1 2  1  1 2   1 2  1  1 22 . Пренебрегая
γ/4 по сравнению с 1/(4γ), получим Emax   4  = = 7,3810–19 Дж = 4,61 эВ.
Энергия диссоциации есть энергия, которую необходимо затратить, чтобы отделить атомы в молекуле друг от друга и удалить их без сообщения кинетической энергии на расстояние, на котором взаимодействие атомов пренебрежимо мало. Эта энергия соответствует переходу с нулевого колебательно35
го уровня на самый высокий, соответствующий
vmax. Тогда
Ed  Emax  E0   4   2 
 1  2   4  Emax 1  2  . Подставляя численные значения, получим Ed = 4,43 эВ.
3. Найдите отношение интенсивностей фиолетового и красного спутников в колебательном
спектре комбинационного рассеяния света на молекулах Cl2 при температуре 300 К.
Решение. Интенсивность излучения с энергетического уровня пропорциональна среднему количеству молекул, имеющих соответствующую энергию. Iф/Iкр = Nф/Nкр. Среднее количество молекул с
энергией Ei равно Ni = N0exp(–Ei/kT). Для фиолетового и красного спутников, имеющих частоты
 + Δ и 0 – Δ соответственно (величина Δ представляет собой изменение частоты падающего
излучения 0, вызванное поглощением (излучением) кванта колебаний), получим
Iф
I кр

N 0 exp 0   k T 
 exp 2 k T  .
N 0 exp 0   k T 
Поскольку газ находился в невозбужденном состоянии, то частота колебаний молекул была равна частоте нулевых колебаний, т.е. ωкол/2, и Δω = ωкол/2. Поэтому I ф I кр  exp кол kT  . Частоту колебаний ωкол найдем из выражения кол  2mc 2 m   , где m – масса электрона; μ – приведенная масса
молекулы; α = 1/137 – постоянная тонкой структуры. Подставляя численные значения, для собственных
колебаний молекулы хлора получим ωкол = 1,0641014 с–1. Теперь легко найти искомое отношение
Iф/Iкр = 0,067.
Задачи для самостоятельного решения
1. Газ, состоящий из молекул CN, находится в термодинамическом равновесии при температуре
Т = 400 К. Собственная частота колебаний молекулы CN ωкол = 3,901014 с–1. Определить отношение числа Ni+1 молекул, находящихся на (i + 1)-м колебательном уровне, к числу Ni молекул, находящихся на i-м
колебательном уровне.
2. Расстояние между ядрами молекулы HCl r0 = 0,127 нм. Найти угловую скорость вращения ωr
молекулы, находящейся на первом возбужденном вращательном уровне.
3. Расстояние между линиями вращательной полосы молекулы CN Δω = 7,191011 с–1. Определить
равновесное расстояние r0 между атомами.
4. Первый потенциал возбуждения электронной оболочки молекулы СО равен 6,0. В основном
электронном состоянии молекулы собственная частота колебаний ωкол = 4,091014 с–1. Найти число колебательных уровней, заключенных между основным и первым возбужденным электронными уровнями.
5. Первый потенциал возбуждения электронной оболочки молекулы СО равен 6,0. В основном
электронном состоянии молекулы собственная частота колебаний ωкол = 4,091014 с–1. Найти отношение
36
энергии ΔEэл, необходимой для перевода молекулы на первый возбужденный электронный уровень, к
энергии ΔEкол, необходимой для перевода молекулы на первый возбужденный колебательный уровень.
6. Найти отношение энергий, которые необходимо затратить для возбуждения двухатомной молекулы Н2 на первый колебательный и первый вращательный уровни. Расстояние между ядрами молекулы r0 = 0,74110–10 м.
7. Вычислить отношение энергий, которые необходимо затратить, для возбуждения молекулы
йода I2 на первый колебательный и первый вращательный уровни. Межъядерное расстояние r0 = 2,710–
10
м, а длина волны, соответствующая частоте собственных колебаний λ = 215 см.
8. Найти отношение энергий, которые необходимо затратить для возбуждения двухатомной мо-
лекулы НI на первый колебательный и первый вращательный уровни. Расстояние между ядрами молекулы r0 = 1,60410–10 м.
9. Определить для молекулы HCl вращательные квантовые числа двух соседних уровней, разность энергий которых равна 7,8610–3 эВ. Расстояние между ядрами молекулы r0 = 1,27510–10 м.
10. При комбинационном рассеянии линии ртути с длиной волны 365 нм молекулами кислорода
наблюдается спутник с длиной волны 387 нм. Определить частоту собственных колебаний молекулы
кислорода.
11. Найти собственную частоту колебаний ωкол и коэффициент квазиупругой силы k молекулы
S2, если в колебательном спектре комбинационного рассеяния света длины волн красного и фиолетового
спутников равны 346,6 и 330,0 нм.
12. Вычислить длины волн красного и фиолетового спутников в колебательном спектре комбинационного рассеяния молекул F2, если длина волны падающего света λ0 = 404,7 нм.
13. Интервал между соседними вращательными линиями вблизи середины колебатель новращательной полосы испускания молекул HCl равен Δω = 0,791013 с–1. Вычислить расстояние между ядрами.
14. Определить угловую скорость вращения молекулы S2, находящейся на первом возбужденном
вращательном уровне.
15. Найти механический момент молекулы кислорода, вращательная энергия которой Евр = 2,16
мэВ.
16. Двухатомная молекула с моментом инерции I = = 1,1610–39 г∙см2 находится в состоянии с
вращательной энергией Евр = 1,8 мэВ. Найти частоту ω фотона (принадлежащего чисто вращательному
спектру), который может испустить данная молекула при переходе из этого состояния.
17. Найти момент инерции и расстояние между ядрами молекулы СН, если интервалы между соседними линиями чисто вращательного спектра этих молекул Δω = 5,471012 с–1.
18. Оценить сколько линий содержит чисто вращательный спектр молекул СО, момент инерции
которых I = 1,4410–39 г∙см2.
37
19. Найти для молекулы HF число вращательных уровней, расположенных между нулевым и
первым возбужденным колебательными уровнями, считая вращательные состояния не зависящими от
колебательных.
20. Длины волн двух соседних спектральных линий в чисто вращательном спектре молекулы
HCl соответственно равны 117 и 156 мкм. Вычислить вращательную постоянную для молекулы HCl.
21. Будет ли излучение с длиной волны λ = 3 мкм возбуждать вращательные и колебательные
уровни молекулы HF, находящейся в основном состоянии?
22. Найти межъядерное расстояние CH, если интервалы Δν между соседними линиями чисто
вращательного спектра испускания данной молекулы равны 29 см–1.
23. Определить угловую скорость вращения молекулы O2, находящейся на втором возбужденном
вращательном уровне.
24. Определить энергию диссоциации молекулы СО, если ее собственная частота колебаний
ωкол = 4,081014 с–1 и γ = 5,8310–3.
25. Молекула NO переходит из низшего возбужденного состояния в основное. Определить длину
волны испущенного при этом фотона, если собственная частота ωкол = 3,591014 с–1 и γ = 8,7310–3.
9. СТАТИСТИКА КВАНТОВЫХ ЧАСТИЦ.
ЭЛЕКТРОНЫ В МЕТАЛЛЕ
Квантовые частицы в зависимости от спина s делятся на бозоны (целый спин, s = 1,2,…, фотоны,
фононы) и фермионы (полуцелый спин, s = 1/2, 3/2,…, электроны). Для бозонов справедлив закон распределения Бозе-Эйнштейна: вероятность заполнения уровня с энергией Е равна
f (E) 
1
,
expE  EF  kT  1
(9.1)
где k – постоянная Больцмана; Т – термодинамическая температура; EF – уровень Ферми, это энергетический уровень, вероятность заполнения которого равна 0,5.
Для фермионов справедлив закон распределения Ферми-Дирака:
f(E)
1
T=0
0,5
0
f (E) 
kT
Рис.9.1
f(E) = 1, если E < EF
E
и f(E) = 0, если E > EF. (рис.9.1). Если
exp E  EF  kT   1 , то единицей в знаменателе можно пренебречь, и
оба распределения переходят в
f E  A exp  E kT .
38
(9.2)
При Т = 0 К функция Ферми (9.2) обладает следующими свойствами:
T>0
EF
1
.
expE  EF  kT  1
(9.3)
Это так называемое распределение Максвелла-Больцмана. Температура, ниже которой квантовые
эффекты становятся существенными, называется температурой вырождения Тв.
Типичным представителем фермионов является совокупность электронов проводимости в
металле. Энергия Ферми не зависит от объема металла, а определяется только концентрацией свободных электронов. При Т = 0 К положение уровня Ферми в металле
EF 
 
23
2
32n ,
2mn
(9.4)
где mn – масса электрона в металле ("эффективная" масса), n-концентрация электронов.
Интервал между соседними уровнями энергии свободных электронов в металле
E 
2 3
4V 2mn 3 2
.
(9.5)
E
Распределение свободных электронов по энергиям в металле определяется не только вероятностью заполнения уровней f(E), но и числом состояний, приходящихся на единичный интервал энергии в
единице объема (плотностью состояний) N(E):
dn( E )  N ( E ) f ( E )dE .
(9.6)
где dn – число электронов, приходящихся на энергетический интервал от E до E + dE,

N ( E )  4 2mn  2

32
E.
(9.7)
При Т ≠ 0 К
1  2m 
dnE   2  2n 
2   
32
E dE
.
 E  EF 
exp
 1
 kT 
(9.8)
Вблизи Т = 0 К:
dn( E ) 
1  2mn 


2 2   2 
32
E dE .
(9.9)
Общую концентрацию электронов в металле можно найти путем интегрирования по всем заполненным
состояниям:
n
EF
 N ( E) f ( E)dE 
0
8  2mn 


3  2 
32
EF3 2 .
(9.10)
Электронный газ в металлах является вырожденным, т.е. подчиняется статистике Ферми-Дирака,
вплоть до температур ~104 К. Вследствие этого в процессе электропроводности могут принимать уча39
стие не все свободные электроны, а только небольшая их часть, имеющая энергию, близкую к энергии
Ферми. Ускоряясь электрическим полем на длине свободного пробега, эти электроны приобретают добавочную скорость направленного движения:
v F   F eE mn  eE mn u F  ,
(9.11)
где τF – время свободного пробега; λ – длина свободного пробега; uF – тепловая скорость быстрых
электронов, обладающих энергией, близкой к EF. С учетом этого удельная электрическая проводимость металла:
13
e 2 n e 2 n 2 3  8 


 
mnu F
h  3 
.
(9.12)
В большинстве случаев можно считать, что эффективная масса электронов в металле равна массе свободного электрона mn = me.
Примеры решения задач
1. Считая, что квантовые свойства "свободных" электронов проводимости в металле становятся
существенными в том случае, когда их дебройлевская длина волны становится сравнимой с постоянной
решетки а, получить оценку температуры вырождения электронного газа в кристалле с концентрацией
атомов n.
Решение. Длина волны де Бройля определяется выражением   2 p . Учитывая тепловую
энергию kT и связь импульса с энергией p  2me E  2me kT , получим   2

2me kTв . Считая

λ ~ a, имеем Tв  22 2 me ka2 . Учитывая, что постоянная кристаллической решетки а и концентрация
n электронов в простом металле связаны соотношением a ~ (V/N)1/3 ~ n1/3, окончательно имеем
Tв ~ 22  2 n 2 3 me k  .
2. Найти среднюю энергию свободных электронов в металле при Т ≈ 0 К.
Решение. При Т ≈ 0 К уровень Ферми характеризует максимальную энергию электронов в металле. Распределение электронов по энергиям дается выражением (9.6). В соответствии с распределением
Ферми-Дирака (рис.9.1) при E < EF функция f(E) = 1, а при E > EF функция f(E) = 0. Для определения
средней энергии электронов необходимо суммарную энергию всех электронов, находящихся в единице
объема, разделить на их концентрацию n:
E 
Учитывая, (9.7) и (9.10), имеем
40
1
n
EF
 Edn( E) 
0
1
n
EF
 EN ( E) f E dE 
0
1
n
EF
 EN E dE .
0
32
3   2 
E  
8  2mn 
1
EF

EF3 2 0
32
 2m 
E 4 2n 
  
E dE 
3
EF
E
2EF3 2 0
E dE 
3EF
.
5
3. Рассчитать положение уровня Ферми и среднее энергетическое расстояние между разрешенными энергетическими уровнями зоны проводимости в 1 см3 серебра при температуре вблизи абсолютного нуля, полагая, что число свободных электронов равно количеству атомов серебра. Плотность серебра ρ = 10,49103 кг/м3.
Решение. Концентрация свободных электронов равна концентрации атомов n 
N Am N A
, где

AV
A
NA –число Авогадро; А – атомная (или молекулярная) масса; m – масса образца; V – объем образца; ρ –
h 2  3N A 
плотность материала. Отсюда энергия Ферми EF 


8m  A 
23
. Подставляя численные значения ве-
личин, получаем EF = 8,810–19 Дж = 5,5 эВ. Среднее энергетическое расстояние между разрешенными
уровнями E  EF N , где N – число уровней, заполненных электронами. Концентрация электронов свя32
8  2m 
зана с энергией Ферми выражением (9.10) n   2n 
3 h 
EF3 2 . Все уровни, лежащие ниже уровня Фер-
ми, практически полностью заполнены электронами, причем согласно принципу Паули на каждом
уровне находятся два электрона. Отсюда следует, что
E 
EF

nV 2
3E F
 2m 
V 4 2n 
 h 
3h3

32
4V 2mn 3 2 EF
EF3 2
= 0,18810–21 эВ.
4. Вычислить длину свободного пробега электронов в меди при Т = 300 К, если ее удельное сопротивление при этой температуре равно 0,017 мкОм∙м.
Решение. Удельное сопротивление металлов связано с длиной свободного пробега электронов λ
соотношением
13
 3 
 
 8 
Концентрация свободных электронов в меди n 
h
e n 
2 23
.
mN A
, где m/V = 8,92103 кг/м3 – плотность кристалла;
VA
NA – число Авогадро; А – атомный (молекулярный) вес. Используя численные данные, получим
n = 8,451028 м–3. Отсюда следует, что длина свободного пробега   3 81 3 h e 2 n 2 3 . Подставляя
численные данные, получим λ = 3,8910–8 м.
5. Определить время, в течение которого электрон пройдет расстояние L = 1 км по медному проводу, если удельное сопротивление меди 0,017 мкОмм, а разность потенциалов на концах проводника
41
U = 220 В. За какое время электрон пролетит это же расстояние, двигаясь без соударений, при той же
разности потенциалов? Каково время передачи сигнала?
Решение.
Из
закона
Ома
следует,
что
удельная
проводимость
  env E .
Отсюда
v = E/(ρen) = U/(ρenL). Используя значение концентрации, полученное в предыдущем примере, получим
среднюю скорость дрейфа электронов v = 9,610–4 м/с. Время дрейфа электрона по проводу
t = L/v = 106 c. При отсутствии столкновений с узлами кристаллической решетки электрон движется равноускоренно (с ускорением а) и время пролета равно tпр  2L a  2L2m eU . Передача энергии вдоль
проводов линии осуществляется электромагнитным полем, распространяющимся со скоростью света с.
Полагая, что средой, окружающей провод, является воздух, получим для времени передачи сигнала
tc = L/c = 3,3310–6 с.
Задачи для самостоятельного решения
1. Атомарный газообразный водород находится в равновесном состоянии при Т = 6∙103 К. Пользуясь распределением Больцмана, найти отношение числа атомов, находящихся в состоянии с n = 2, к их
числу в основном состоянии(n = 1). Учесть, что кратность вырождения состояния с квантовым числом n
составляет gn = 2n2.
2. Атомарный газообразный водород находится в равновесном состоянии при Т = 6∙103 К. Пользуясь распределением Больцмана, найти отношение числа атомов, находящихся в состоянии n = 3, к их
числу в состоянии n = 2. Учесть, что кратность вырождения состояния с квантовым числом n составляет
gn = 2n2.
3. Так называемая "холодная плазма" характеризуется температурой Т = 104 К и концентрацией
частиц n = 1018 м–3. Оценить температуру вырождения протонной составляющей водородной плазмы.
Классической или квантовой статистикой описывается состояние частиц в этой плазме?
4. Какому условию должна удовлетворять концентрация n заряженных частиц в плазме, для того
чтобы последняя могла считаться идеальным газом? Удовлетворяет ли условию идеальности так называемая "горячая плазма"?
5. Оценить температуру вырождения электронного газа в меди.
6. Оценить температуру вырождения для газа электронов с n = 1018 м–3.
7. Определить вероятность заполнения электронами энергетического уровня в металле, расположенного на 10kT выше уровня Ферми.
8. Определить как и во сколько раз изменится вероятность заполнения электронами в металле
энергетического уровня, расположенного на 0,1 эВ выше уровня Ферми, если температуру металла повысить от 300 до 1000 К.
42
9. Определить температуру, при которой вероятность нахождения электрона с энергией
E = 0,5 эВ выше уровня Ферми в металле равна 1 %.
10. Вычислить минимальную длину волны де Бройля для свободных электронов в медном проводнике, где энергия Ферми составляет 7 эВ.
11. Энергия Ферми в кристалле серебра составляет 5,5 эВ. Найти максимальную и среднюю скорости электронов проводимости при Т ≈ 0 К. При расчете принять эффективную массу электронов равной массе свободного электрона.
12. Найти максимальную и среднюю скорости теплового движения свободных электронов в металле при Т ≈ 0 К, если концентрация электронов равна 8,5∙1018 м–3.
13. Положению уровня Ферми для алюминия при Т ≈ 0 К соответствует энергия 11,7 эВ. Рассчитать число свободных электронов, приходящихся на один атом. Эффективную массу электронов проводимости принять равной массе свободного электрона.
14. Вычислите, какая часть электронов проводимости в металле при Т ≈ 0 К имеет кинетическую
энергию, большую EF/2.
15. Как изменится интервал между соседними уровнями энергии свободных электронов в металле, если объем кристалла уменьшить в 10 раз?
16. Вычислить удельное сопротивление проводника, имеющего плотность 970 кг/м3 и молекулярную массу 0,023 кг/моль, если известно, что средняя скорость дрейфа электронов в электрическом
поле напряженностью 0,1 В/м составляет 5∙10–4 м/с, а на каждый атом кристаллической решетки приходится один электрон.
17. В металлическом проводнике с площадью поперечного сечения 10–2 мм2 и сопротивлением
10 Ом концентрация свободных электронов равна 8,5∙1028 м–3. Определить среднюю скорость дрейфа
электронов при напряжении 0,1 В.
18. К медной проволоке длиной 6 м и диаметром 0,56 мм приложено напряжение 0,1 В. Сколько
электронов пройдет через поперечное сечение проводника за 10 с, если удельное сопротивление меди
равно 0,017 мкОм∙м?
19. Определить концентрацию свободных электронов в металле при температуре T = 0 K. Энергию
Ферми принять равной 1 эВ.
20. Электроны в металле находятся при температуре Т = 0 К. Найти относительное число N N
свободных электронов, кинетическая энергия которых отличается от энергии Ферми не более чем на 2 %.
21. Удельная проводимость металла равна 6∙103 (Ом∙м)–1. Вычислить среднюю длину свободного
пробега электронов в металле, если концентрация n свободных электронов равна 1023 м–3. Среднюю скорость
u хаотического движения электронов принять равной 106 м/с.
22. Во сколько раз изменится при повышении температуры от 300 до 310 К электропроводность
металла? Каков характер этого изменения?
23. Чему равна сумма средних чисел заполнения свободными электронами в металле уровней с
энергией большей и меньшей энергии Ферми на одну и ту же величину Δε.
43
24. Объем металла равен 1 см3. Вычислить интервал (в эВ) между соседними уровнями энергии
свободных электронов для значений энергии Е, равных: а) 0,1 эВ, б) 1 эВ, в) 3 эВ, г) 5 эВ.
25. Полагая, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон, определить среднюю кинетическую энергию свободных электронов при абсолютном нуле. Какая часть свободных электронов в металле имеет при абсолютном нуле кинетическую энергию, превышающую среднюю энергию?
10. ФОНОНЫ И ТЕПЛОЕМКОСТЬ
Теплоемкость твердых тел определяется энергией тепловых колебаний частиц, находящихся в
узлах кристаллической решетки. В классической теории эти частицы рассматриваются как независимые
частицы, колеблющиеся с одинаковой частотой. Это приводит к независимости молярной теплоемкости
от температуры и природы вещества – правилу Дюлонга и Пти:
Сv = 3R ≈ 25 Дж/(моль∙К).
(10.1)
Однако экспериментально эта зависимость не подтверждается. Качественное и количественное
согласие с экспериментом достигается, если рассматривать кристалл как N атомов, упруго связанных
друг с другом и обладающих 3N степенями свободы. Тогда в кристалле могут существовать 3N типов
простейших коллективных колебаний – мод с энергиями
i  ni  1 2  ,
(10.2)
где ni = 0,1,2…3N. Средняя энергия такого осциллятора
 


.

2 exp kT   1
(10.3)
Каждой моде можно сопоставить квазичастицу – фонон, обладающую соответствующей энергией и квазиимпульсом:
i  h   и p  k   vзв ,
(10.4)
где vзв – скорость звука в кристалле; в случае, когда скорости поперечных волн v и продольных v║ волн
не равны, используют среднюю скорость. Фононы подчиняются статистике Максвелла – Больцмана.
Число фононов с частотами в интервале от ν до ν + dν
122 d
1
.
exph kT  1 vзв3
(10.5)
Ni  expi kT  11 .
(10.6)
dN 
Среднее число фононов с энергией εi в кристалле
44
Энергия кристаллической решетки объема V
3 V
E
3
2 2 vзв
max

0
3d
,
e kT  1
(10.7)
где ωmax – максимальная (дебаевская) частота колебаний, равная
3
D   зв 62 n ,
(10.8)
n – количество частиц в единице объема (концентрация). Для простых кубических решеток n = 1/a3; а –
постоянная решетки.
Характеристическая температура Дебая
 D   D k .
(10.9)
Молярная изохорная теплоемкость кристаллической решетки
Cv  dE dT .
(10.10)
При температурах T << θD
3
CV 
12 4  T 
 .
R
5
 D 
(10.11)
При температурах T >> θD
C v  3Nk ,
(10.12)
C v  3R ,
(10.13)
где k – постоянная Больцмана. Если N = NA, то
где NA – число Авогадро; R – газовая постоянная.
Примеры решения задач
1. Молярная изохорная теплоемкость аргона при температуре 4 К равна 0,174 Дж/(моль∙К).
Определить значение молярной изохорной теплоемкости аргона при температуре 2 К.
Решение. Согласно теории Дебая, теплоемкость кристаллической решетки при низких температурах
T << θD (квантовая область, θD – характеристическая температура Дебая), пропорциональна кубу термодина-


мической температуры, Cv  12 4 R 5 T  D 3 , где Cv – молярная изохорная теплоемкость; R – газовая
постоянная. При высоких температурах T >> θD (классическая область), теплоемкость кристаллической
решетки описывается законом Дюлонга и Пти С = 3R = 25 Дж/(моль∙К). Поскольку при Т1 = 4 К теплоемкость аргона С1 = 0,174 Дж/(моль∙К) много меньше, чем 25 Дж/(моль∙К), выполняется закон Т3 Дебая,
согласно
которому


C1  12 4 R 5 T1  D 3
и


C2  12 4 R 5 T2  D 3 . Отсюда
C2/C1 = (T2/T1)3 или
C2 = C1(T2/T1)3. Подставляя числовые данные, получим С2 = 0,022 Дж/(моль∙К).
45
2. Дебаевская температура кристалла равна 150 К. Определить максимальную частоту колебаний
кристаллической решетки. Сколько фононов такой частоты возбуждается в среднем в кристалле при
температуре 300 К?
Решение. Дебаевская температура θD = hνmax/k, где νmax – максимальная частота колебаний кристаллической решетки; h – постоянная Планка; k – постоянная Больцмана. Отсюда найдем νmax = kθD/h. Подставляя численные значения, получаем νmax = 3,12∙1012 Гц. Среднее число фононов с энергией εi:
Ni  expi kT  11 , где Т – термодинамическая температура кристалла. Энергия фонона, соответствующая
частоте
колебаний
νmax,
равна
εi = hνmax = kθD.
Учитывая
это,
находим
Ni  expD T   11  1,54 .
3. Одинаковые массы свинца 207Pb и кремния 28Si охлаждают при помощи жидкого гелия (температура кипения при нормальном давлении равна 4,2 К) от температуры Т1 = 20 К до Т2 = 4,2 К. Оценить
отношение масс жидкого гелия, необходимых для охлаждения свинца и кремния, если известно, что дебаевские температуры равны θD(Pb) = 95 K, θD(Si) = 645 K соответственно.
Решение. Так как начальная температура много меньше температур Дебая обоих веществ, то
справедливо низкотемпературное приближение. В этой области температур энергии хватает только на
возбуждение акустических фононов. Поэтому в выражении для энергии кристалла верхний предел в интеграле можно заменить на ∞
E
3 k 4T 4
3
2  3 2 vзв

x 3dx
2 k 4
4

 e x  1 103v3 T ,
зв
0
где vзв – скорость звука в кристалле, k – постоянная Больцмана. Теплота, отбираемая при охлаждении у тел, равна Q 


2 k 4
2 k 4 4
3
4
4
T

T

T . Используя D   зв 62 n , где n – количество
1
2
3 3
3 3 1
10 vзв
10 vзв
атомов в единице объема (n = 1/a3; а – постоянная решетки) и θD = ћωD/k, это выражение можно записать
3
в виде
Q 
34 N  T 
  kT . Так как масса кристалла M = NA, где А – атомная масса, то
5 
3
mPb  ASi   D (Si ) 

 . Подставляя численные значения, получим mPb/mSi ≈ 42.

mSi  APb   D (Pb) 
Задачи для самостоятельного решения
1. Вычислить молярные теплоемкости алмаза и цезия при температуре 200 К. Температура Дебая
для алмаза и цезия соответственно равна 1860 и 38 К.
2. Вычислить удельную теплоемкость рубидия при температурах 3 и 300 К. Температура Дебая
для рубидия 56 К.
46
3. Молярная теплоемкость селена при температуре 5 К равна 0,333 Дж/(моль∙К). Вычислить по
значению теплоемкости дебаевскую температуру селена.
4. Удельная теплоемкость молибдена при температуре 25 К равна 3,47 Дж/(кг∙К). Вычислить по
значению теплоемкости дебаевскую температуру молибдена.
5. Найти количество теплоты, необходимое для нагревания 50 г железа от 10 до 20 К. Температура
Дебая для железа равна 470 К.
6. Какое количество теплоты необходимо для нагревания 1 моля никеля от 5 до 15 К? Температура
Дебая для никеля равна 450 К.
7. Определите энергию U0 нулевых колебаний охлажденного до затвердевания моля аргона
(θD = 92 К).
8. Вычислить энергию нулевых колебаний, приходящуюся на один грамм меди с дебаевской
температурой θD = 330 К.
9. Найти отношение среднего числа фононов в кристалле, имеющих энергию в два раза меньше
максимальной, к среднему числу фононов с максимальной энергией при температуре 300 К. Дебаевская
температура кристалла равна 150 К.
10. Определите в электронвольтах энергию Е фонона, который может возбуждаться в кристалле
NaCl, характеризуемом температурой Дебая θD = 320 К. Фотон какой длины волны обладал бы такой
энергией?
11. При давлении р = 1013∙102 Па аргон затвердевает при T = 84 К, θD(Ar) = 92 К. Экспериментально установлено, что при Т1 = 4 К молярная теплоемкость аргона С1 = 0,174 Дж/(моль∙К). Определить
значение молярной теплоемкости С2 при Т2 = 2 К.
12. Атомная масса серебра Ar = 107,9, плотность ρ = 10,5 г/см3. Исходя из этих данных, оценить
максимальное значение pm импульса фонона в серебре.
13. Какое число фононов максимальной частоты возбуждается в среднем при температуре
Т = 400 К в кристалле, дебаевская температура которого θD = 200 К?
14. Определить θD для Be, если концентрация равна n = 1,231029 м–3, v = 8830 м/с и v║ = 12550
м/с.
15. Определить θD для Ag, если концентрация равна n = 0,5861029 м–3, v = 1590 м/с и v║ = 3600
м/с.
16. Определить θD для Pb, если концентрация равна n = 0,3281029 м–3, v = 700 м/с и v║ = 2160
м/с.
17. Определить температуру Дебая для Al, если v = 3130 м/с и v║ = 6400 м/с.
18. Приняв для Ag θD = 208 К определить максимальное значение энергии фонона и среднее количество фононов с этой энергией при Т = 300 К.
19. В кристалле NaCl при температуре Т = 10 К теплоемкость единицы объема CV = 83010–
4
Дж/(м3∙К). Оценить скорость звука в кристалле и его θD. Постоянная решетки NaCl равна а = 0,3 нм.
47
20. Определить среднюю скорость распространения акустических колебаний в алюминии, дебаевская температура которого θD = 396 К
21. Найти максимальную частоту ωmax собственных колебаний в железе, если при Т = 20 К его
удельная теплоемкость cV = 2,7 мДж/(кг∙К) и Т << θD.
22. Можно ли считать температуры 20 и 30 К низкими для кристалла, теплоемкость которого при
этих температурах равна 0,226 и 0,760 Дж/(моль∙К)?
23. При нагревании кристалла меди массы m = 25 г от Т1 = 10 К до Т2 = 20 К ему было сообщено
количество тепла Q = 0,80 Дж. Найти θD для меди, если θD >> T1 и T2.
24. Оценить энергию нулевых колебаний моля алюминия, если межатомное расстояние
а = 0,3 нм и скорость распространения акустических колебаний vзв = 4 км/с.
25. Оценить максимальные значения энергии и импульса фонона в меди, дебаевская температура
которой равна 330 К.
11. ПОЛУПРОВОДНИКИ И ДИЭЛЕКТРИКИ
Неметаллы отличаются от проводников наличием зоны запрещенных энергий Eg для электронов.
Структуры энергетических зон собственного полупроводника приведена на рис.11.1 а. Состояния, лежащие выше запрещенной зоны, называются зоной проводимости СВ и при Т=0 К пусты. Состояния,
а
б
лежащие ниже запрещенной зоны,
в
называются валентной зоной VB и
Ec
EF
Ec
Ed
EF
Eg
EV
EV
Рис.11.1
Ec
при T=0 K полностью заполнены.
Распределение электронов по энер-
EF
Ea
EV
гиям в общем случае подчиняется
статистике Ферми-Дирака. Однако
при комнатных температурах энер-
гии электронов и дырок значительно отличаются от энергии Ферми E-EF>3kT, поэтому единицей в знаменателе функции распределения можно пренебречь и перейти к статистике Максвелла-Больцмана. Таким образом, электронный газ в полупроводнике не вырожден, но при этом продолжает действовать
принцип Паули.
При T>0 K существует конечная вероятность перехода электрона из валентной зоны в зону проводимости, появляются свободные электроны и дырки в зонах. Однако идет и обратный процесс – возврат электронов из зоны проводимости в валентную зону и исчезновение пары электрон-дырка. Этот
процесс называется рекомбинацией. В результате устанавливается динамическое равновесие. Равновесная концентрация ni, pi собственных свободных носителей заряда в кристалле с шириной запрещенной
зоны Eg при температуре Т равна
48
32
 E g  2  kT 
  3   m n m p 3 4 exp  E g 2kT 
n i  p i  N c N v exp  
 2kT    2 
(11.1)
Здесь Nc - эффективная плотность энергетических состояний в зоне проводимости

N c  2 m n k T 2 2

32
,
(11.2)
mn – эффективная масса электронов. Коэффициент 2 учитывает, что на энергетическом уровне могут
находиться два электрона. Эффективная плотность состояний в валентной зоне Nv равна

N v  2 m p kT 2 2

32
,
(11.3)
а mp – эффективная масса дырок.
Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике определяется температурой - при Т=0
К уровень Ферми расположен посередине запрещенной зоны, с ростом температуры смещается
EF 
Ec  Ev kT N v
.

ln
2
2
Nc
(11.4)
Подставляя в это выражение соотношения (11.2) и (11.3) получим
EF 
mp
Ec  Ev 3
,
 kT ln
2
4
mn
(11.5)
При введении примесей (легировании) в запрещенной зоне возникают примесные энергетические уровни, которые в зависимости от типа примеси располагаются либо вблизи дна зоны проводимости
Ec (донорные уровни, рис.11.1, б), либо вблизи потолка валентной зоны Ev (акцепторные уровни,
рис.11.1, в). Примеси также могут поставлять свободные носители зараяда.
В случае донорных полупроводников концентрация примесных электронов nd определяется количеством ионизированных доноров и эффективным числом состояний в зоне проводимости Nc
nd  N c N d exp  Ec  Ed  2kT  .
(11.6)
В случае акцептроных полупроводников концентрация примесных дырок определяется количеством ионизированных акцепторов, и эффективным числом состояний в валентной зоне Nv
na  N v N a exp  Ea  Ev  2kT  .
(11.7)
Равновесная полная концентрация свободных электронов n определяется соотношением
n  N c exp  Ec  EF  kT  ,
(11.8)
а полная концентрация дырок в валентной зоне p, соответственно, равна
p  N v exp  EF  Ev  kT  .
(11.9)
49
Положение уровня Ферми EF в полупроводнике зависит как от температуры, так и от концентрации примесей. Для полупроводника n-типа с концентрацией доноров Nd
EF 
Ec  Ed kT N d
.

ln
2
2
Nc
(11.10)
Ev  Ea kT N a
.

ln
2
2
Nv
(11.11)
Для полупроводника р-типа с концентрацией акцепторов Na
EF 
Обычно положение уровней в полупроводнике отсчитывается от потолка валентной зоны Ev (или
от дна зоны проводимости Ec).
При изменении степени легирования изменяется и положение уровня Ферми и концентрация
свободных носителей заряда в зонах. В случае невырожденного полупроводника увеличение концентрации одного типа свободных носителей (например, электронов), приводит к увеличению скорости рекомбинации и соответствующему уменьшению концентрации второго типа свободных носителей (дырок).
Поэтому при термодинамическом равновесии справедлив закон "действующих масс":
 E  EF 
 E  EF 
n  p  N c exp   c
 N v exp  v
  n i2 .
kT
kT




(11.12)
Экспериментально ширину запрещенной зоны полупроводника и концентрацию примесей определяют по измерениям электропроводности и спектров поглощения.
Электропроводность кристалла
  enn  ep p ,
(11.13)
где μn и μр – подвижности электронов и дырок соответственно. Собственная проводимость зависит от
температуры как


   0 exp  Eg 2kT .
(11.15)
При освещении кристалла светом поглощение начинается только тогда, когда энергия кванта
света равна или больше ширины запрещенной зоны
  2c   Eg .
(11.16)
Поэтому, в спектрах поглощения наблюдается пороговая длина волны λпор, соответствующая краю
собственного поглощения.
Тип основных носителей заряда и их подвижность обычно определяют с помощью эффекта Холла. При помещении кристалла с током I толщиной d в поперечное магнитное поле В появляется разность
потенциалов
U H  RH IB d ,
50
(11.17)
где RH – постоянная Холла. Для полупроводников со структурой алмаза или сфалерита, обладающих
носителями одного вида (n или p):
RH  1 en .
(11.18)
Знак UH позволяет определить тип преобладающих носителей заряда.
Примеры решения задач
1. Найти положение уровня Ферми в собственном германии при 300 К, если известно, что ширина его запрещенной зоны Eg = 0,665 эВ, а эффективные массы плотности состояний для дырок и электронов равны соответственно mv = 0,388me, mc = 0,55me, где me – масса электрона.
Решение. Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике определяется выражением
EF 
Ec  Ev kT N v
. Эффективные плотности состояний для электронов в зоне проводимости и для

ln
2
2
Nc
дырок в валентной зоне

N c  2 m n k T 2 2

32
и

N v  2 m p kT 2 2

32
. В данном случае
Nv = 6,04∙1024 м–3 и Nc = 1,021025 м–3. Таким образом, EF  Ev  Eg 2  kT ln N v Nc  . Подставляя численные данные, получим EF – Ev = 0,326 эВ.
2. Вычислить для температуры Т = 40 К концентрацию дырок и удельное сопротивление кремния, легированного бором до концентрации Na = 1022 м–3, если эффективная масса плотности состояний
mv = 0,56me, положение энергетического уровня бора Ea = Ev + 0,045 эВ, а подвижность дырок равна
μp = 0,928 м2/(В∙с).
Решение. Оценим энергию теплового возбуждения при температуре 40 К kT = 8,62510–
5
40 эВ = 3,510–3 эВ. Эта величина много меньше энергии активации акцептора ΔEa = Ea – Ev =
= 0,045 эВ >> 3,510–3 эВ. Поэтому концентрация собственных носителей (дырок) пренебрежимо мала и
концентрации дырок определяется только примесями: p  na  N v N a exp  Ea 2kT  . Эффективная плот-

ность состояний для дырок валентной зоны Nv  2 m p kT 2 2

32
. Подставляя численные значения, полу-
чим Nv = 5,11023 м–3. Тогда для концентрации дырок имеем p = 1,051020 м–3. Удельное сопротивление
материала   1 e p p . Окончательно получим ρ = 6,4∙10–2 Ом∙м.
3. Прямоугольный образец полупроводника n-типа с размерами a = 50 мм, b = 5 мм, d = 1 мм помещен в магнитное поле с индукцией B = 0,5 Тл. Вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости образца. Под действием напряжения Ua = 0,42 В, приложенного вдоль образца, по нему протекает
ток I = 20 мА. Измерения показывают ЭДС Холла UH = 6,25 мВ. Найти удельную проводимость, подвижность и концентрацию носителей заряда для этого полупроводника, полагая, что электропроводность обусловлена носителями только одного знака.
51
Решение. Удельное сопротивление полупроводника   U abd Ia . Подстановка численных величин
дает ρ = 2,110–3 Омм. Отсюда следует, что удельная проводимость γ = 1/ρ = 480 (Омм)–1. Коэффициент
Холла найдем по формуле RH  U H d IB = 6,2510–4 м3/Кл. Концентрация электронов n  1 eRH , что дает n = 1022 м–3. Из выражения   en n следует, что подвижность электронов  n  RH . Подставляя численные значения, получим μn = 0,3 м2/(Вс).
Задачи для самостоятельного решения
1. Как изменится положение уровня Ферми относительно потолка валентной зоны в беспримесном полупроводнике, если Eg уменьшится в 2 раза?
2. Во сколько раз энергия Ферми электронов в беспримесном полупроводнике при Т2 отличается
от энергии Ферми электронов при Т1, если ширина запрещенной зоны увеличилась на 0,5Eg?
3. Определить уровень Ферми при комнатной температуре, в собственном полупроводнике, если
ширина запрещенной зоны Eg равна 1,12 эВ. За нулевой уровень отсчета энергии электронов принять
уровень потолка валентной зоны. Эффективная масса дырок в два раза больше эффективной массы
электронов.
4. Определите Eg германия, пользуясь данными рис.11.2.
5. Собственный полупроводник имеет при некоторой температуре удельное сопротивление
ρ = 0,48 Омм. Определить концентрацию собственных носителей
ln γ
заряда, если подвижность электронов в германии 0,36 м2/(Вс), а
–2,3
подвижность дырок равна 0,16 м2/(Вс).
6. Определить уровень Ферми при комнатной температу-
–5,4
ре, в собственном полупроводнике, если ширина запрещенной
2,5
Рис.11.2
3,3 10–3, 1/Т К-1
зоны Eg равна 0,7 эВ. За нулевой уровень отсчета энергии электронов принять уровень дна зоны проводимости. Эффективная
масса дырок в три раза больше эффективной массы электронов.
7. Найти минимальную энергию образования пары электрон-дырка в беспримесном полупроводнике, проводимость которого возрастает в 5 раз при увеличении температуры от Т1 = 300 К до
Т2 = 400 К.
8. Ширина запрещенной зоны германия Eg = 0,72 эВ. Определите, во сколько раз возрастает его
удельная проводимость, если образец нагревают от 0 до 17 ºС.
9. Определить ширину запрещенной зоны полупроводника, график зависимости логарифма проводимости от обратной температуры (Т, кК) показан на рис.11.3.
52
10. Определить концентрацию собственных носителей в GaAs при Т = 300 К, если ширина запрещенной зоны Eg = 1,424 эВ, а эффективные массы электронов и дырок равны соответственно
mn = 0,067me и mp = 0,48me (me – масса электрона).
собственную
проводимость в Si при Т = 300 К, если
6
6
4
4
2
2
0
11. Определить
α·10-4, м–1
ln γ
20 К
300 К
Eg = 1,424 эВ,
mn = 0,067me
и
mp = 0,48me, а подвижности μn = 0,13 и
μp = 0,05 м2/(Вс).
1
2
3
4
1/T
Рис.11.3
0
12. Найти энергию активации
4
5
6
7 λ, мкм
Рис.11.4
донорных
уровней
полупроводника,
график зависимости lnγ от 1/T (Т в кК)
показан на рис.11.3.
13. Определить примесную электропроводность алмаза, содержащего бор с концентрацией
21021 м–3 и мышьяк с концентрацией 11021 м–3. Подвижность электронов и дырок для алмаза соответственно равна 0,18 и 0,12 м2/(Вс).
14. Определить примесную электропроводность кремния, содержащего бор с концентрацией
2∙1022 м–3 и сурьму с концентрацией 3∙1021 м–3. Подвижность электронов и дырок для кремния соответственно равна 0,13 и 0,05 м2/(Вс).
15. Определить сдвиг Δλ края собственного поглощения германия при изменении температуры
от Т1 = 77 К до Т2 = 273 К. Зависимость ширины запрещенной зоны германия от температуры имеет вид
Eg = 0,782 – 3,910–4T эВ.
16. На рис.11.4 показан спектр собственного поглощения антимонида индия для двух различных
температур. Найдите ширину запрещенной зоны при указанных температурах.
17. При изменении температуры Т1 = 100 К до Т2 = 300 К край собственного поглощения сдвинулся на Δλ = 0,195 мкм. Найти температурный коэффициент ширины запрещенной зоны материала,
если ширина запрещенной зоны при Т1 равна 0,743 эВ.
18. Вычислить минимальную длину световой волны, для которой GaAs, имеющий Eg = 1,43 эВ
при температуре 300 К, является оптически прозрачным. Как изменяется ширина запрещенной зоны с
понижением температуры?
19. Вычислить удельную проводимость кремния n-типа, если постоянная Холла для него RH = –
2,710–4 м3/Кл, а подвижность электронов равна 0,13 м2/(Вс).
20. Найти постоянную Холла кристалла кремния р-типа, если концентрация примесей 21022 м–3, а
подвижность дырок 0,05 м2/(Вс).
21. При измерении эффекта Холла пластинку из полупроводника р-типа ширины d = 10 мм и
длины L = 50 мм поместили в магнитное поле с индукцией B = 0,5 Тл. К концам пластинки приложили
53
разность потенциалов U = 10 В. При этом холловская разность потенциалов UH = 50 мВ и удельное сопротивление ρ = 2,5 Ом∙см. Найти концентрацию дырок.
22. При измерении эффекта Холла пластинку из полупроводника р-типа ширины d = 10 мм и
длины L = 50 мм поместили в магнитное поле с индукцией B = 0,5 Тл. К концам пластинки приложили
разность потенциалов U = 10 В. При этом холловская разность потенциалов UH = 50 мВ Найти подвижность дырок.
23. При измерении эффекта Холла в магнитном поле с индукцией B = 0,5 Тл поперечная напряженность электрического поля в чистом беспримесном германии оказалась в 10 раз меньше продольной
напряженности электрического поля. Найти разность подвижностей электронов проводимости и дырок в
данном полупроводнике.
24. В некотором полупроводнике, у которого подвижность электронов проводимости в 2 раза
больше подвижности дырок, эффект Холла не наблюдался. Найти отношение концентраций дырок и
электронов проводимости в этом полупроводнике.
25. Удельная проводимость кремния с примесями равна  = 112 (Омм)–1. Определить подвижность дырок и их концентрацию, если постоянная Холла RH = 3,66∙10–4 м3/Кл. Принять, что полупроводник обладает дырочной проводимостью.
12. КОНТАКТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
12.1. Контакт двух проводников и термоэлектрические
явления
Электроны в металле не могут самопроизвольно покинуть объем кристалла, т.е. находятся в потенциальной яме. Для выхода электрона из этой ямы необходимо затратить энергию, равную работе выхода А (рис.12.1, а). При соприкосновении двух металлов с разными работами выхода А1 и А2, электроны с более высоких уровней металла 1 будут переходить на более низкие уровни металла 2. В итоге металл 1 зарядится положительно, а металл 2 – отрицательно. Описанный процесс будет происходить до
а
установления равновесия, которое
б
1
2
А
+
1
–
2
А2
E F2
EF1
сти к их поверхности (точки А и
E F2
В), будет различной, т.е. между
e
54
гия электронов, лежащих вне металлов в непосредственной близо-
А1
Рис.12.1
выравниванием
уровней Ферми в обоих металлах
e
А2
EF1
характеризуется
(рис.12.1, б). Потенциальная энер-
0
А1
B
точками А и В устанавливается
внешняя контактная разность потенциалов, которая равна
   A2  A1  e ,
(12.1)
где e – заряд электрона. Экспериментально установлены два закона:
1. Контактная разность потенциалов зависит лишь от химического состава и температуры соприкасающихся металлов.
2. Контактная разность потенциалов последовательно соединенных различных проводников,
находящихся при одинаковой температуре, определяется только крайними проводниками.
В двойном электрическом слое (толщиной ~10–10 м) в приконтактной области наблюдается также
внутренняя контактная разность потенциалов, которая равна


  EF2  EF1 e .
(12.2)
Зависимость внутренней контактной разности потенциалов от температуры обусловливает появление термоэлектрических эффектов.
1. Эффект Зеебека. В проводнике, изготовленном из металла А, при наличии разности температур на его концах возникает разность потенциалов. Ее значение, отнесенное к этой разности температур,
называют абсолютной удельной термоЭДС  аА . В замкнутой цепи, состоящей из последовательно соединенных нескольких различных проводников, если температура контактов не одинакова, возникает
электрический ток, называемый термоэлектрическим. ЭДС, вызывающая появление тока, для многих
пар металлов приблизительно прямо пропорциональна разности температур Тг и Тх горячего и холодного спаев соответственно:
   (Тг – Тх),
(12.3)
где коэффициент пропорциональности  называют относительной дифференциальной, или удельной
термоЭДС. Оценить значение  можно по формуле
  k e   ln n1 n2  ,
(12.4)
где k-постоянная Больцмана, e-заряд электрона, n1 и n2-концентрации электронов в первом и втором металлах соответственно. Можно доказать, что в термопарном контуре удельная термоЭДС  представляет собой разность абсолютных термоЭДС  аА и  аВ – проводников А и В, составляющих контур:
   аА   аВ .
(12.5)
2. Эффект Пельтье. При прохождении через контакт двух различных проводников (или полупроводников) электрического тока помимо теплоты Джоуля – Ленца выделяется или поглощается (в зависимости от направления тока) дополнительная теплота – эффект Пельтье (обратен эффекту Зеебека). Количество
выделившегося (поглощенного) в спае тепла пропорционально заряду q, прошедшему через спай:
Q AB  PAB  q  PAB  It ,
(12.6)
55
где PAB – коэффициент Пельтье (последовательность АВ указывает направление тока); I – сила тока; t –
время его пропускания. Из законов термодинамики вытекает, что коэффициент Пельтье и удельная термоЭДС связаны соотношением
PAB    T .
(12.7)
12.2. Контакт металл – полупроводник
Свойства контакта металл-полупроводник зависят от соотношения работ выхода из полупроводника А и из металла Ам и от типа электропроводности полупроводника.
Энергетические диаграммы для контакта металла с полупроводником n-типа при Ам > А до и после
приведения в контакт показаны соответственно на рис.12.2, а и рис.12.2, б. Поскольку Ам > А, электроны
будут из полупроводника перехоа
дить в металл, вследствие чего
б
п- полупроводник
металл
0
0 0
произойдет обеднение прикон-
0
тактного
Ам–А
А
Ам
п-полупроводник
металл
E FM
E FM
полупроводника
электронами и он зарядится по-
ED
EF
Eg
слоя
ED
EF
d
Eg
ложительно, а металл – отрицательно, образуется двойной электрический
слой
(толщиной
d ~ 107 м), напряженность элек-
A<Aм
трического поля в препятствует
Рис.12.2
дальнейшему выходу электронов из полупроводника. Такой слой называют запирающим, а потенциальный барьер называют барьером Шоттки.
Энергетическое диаграммы для случаев а) Ам < А, полупроводник n-типа; б) Ам > А, полупроводник p-типа; в) Ам < А, пометалл
в
б
а
п- полупроводник
металл
р- полупроводник
металл
лупроводник p-типа покар- полупроводник
ющий слой возникает при
ED
A–Aм
d
d
Eg
E FM
EF
заны на рис.12.3. Запира-
E FM
EF
d
EF
EА
Eg
Aм–A
EА
Aм<A
A<Aм
Рис.12.3
контакте полупроводника
Eg
E FM
А–Aм
A<Aм
n-типа с меньшей работой
выхода, чему металла, и у
полупроводника p-типа – с
большей работой выхода,
чем у металла. При этом
для запирающего слоя на границе металла с полупроводником n-типа (Ам > А) пропускным является
направление тока из металла в полупроводник, а для запирающего слоя на границе металла с полупро56
водником p-типа (Ам < А) – из полупроводника в металл. Зависимость плотности тока от приложенного
напряжения (вольт-амперную характеристику ВАХ) барьера Шоттки можно записать в виде
j  j0 exp eU kT   1 ,
(12.8)
где j – плотность тока через p-n-переход; j0 – плотность тока насыщения; U – приложенное к p-nпереходу внешнее электрическое напряжение, которое при прямом включении барьера считается положительным, а при обратном – отрицательным; k – постоянная Больцмана, Т – термодинамическая температура.
12.3. Контакт электронного и дырочного полупроводников (p-n-переход)
Если в пределах одного твердого тела сформировать области, имеющие по одну сторону от
условной (металлургической) границы p-тип электропроводности, а по другую – n-тип, то электроны из n-области, будут диффундировать в p-область, а дырки –
а
++
n-тип
+
++
+
б 0
++
An +
E Fn
Eдифф
в обратном направлении. В результате у контакта образуется
-–- – - p-тип
-–-
двойной электрический слой (толщиной d ~ 10–6-10–7 м), электрическое поле которого имеет порядок E ~ 106 В/м, направ0
лено из n-области в p-область и препятствует дальнейшей диффузии электронов и дырок. Равновесие наступает при выравни-
Ap
Eg
вании уровней Ферми обоих областей.
Eg
EF p
Высота потенциального барьера p-n-перехода определяется первоначальной разностью положений уровней Ферми и равна

в
E Fn

e  kT  ln p p nn ni2 ,
e
EF p
Eg
d1
d2
d
Рис.12.4
(12.9)
где pp и nn – равновесные концентрации основных носителей заряда в
p- и n-областях; ni – собственная концентрация носителей заряда;  –
контактная разность потенциалов. При обычных температурах носители заряда не способны преодолеть этот потенциальный барьер и p-
n-переход обладает односторонней проводимостью. При комнатной температуре все атомы примеси обычно
ионизованы, а концентрация основных носителей заряда мала. Поэтому можно считать, что pp = Na, а nn = Nд,
где Na и Nd – концентрации акцепторной и донорной примесей в соответствующих областях. Определять
параметры p-n-перехода можно с учетом соотношения «действующих масс»:
nn pn  ni2 , и p p n p  ni2 ,
(12.10)
где pn и np – концентрации неосновных носителей заряда – дырок в n-области и электронов в p-области.
Толщина p-n-перехода d может быть рассчитана по формуле
57
d
20 ( N à  N d )
(  U ) ,
eN a N d
(12.11)
где  – относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника;  0 – электрическая постоянная;
e – заряд электрона;  – контактная разность потенциалов p-n-перехода; U – приложенное к p-nпереходу внешнее электрическое напряжение. При прямом включении (прямом смещении) p-n-перехода
это напряжение считается положительным, а при обратном включении (обратном смещении) – отрицательным.
Переход p-n можно рассматривать как плоский конденсатор с емкостью
С   0 S d .
(12.12)
Это барьерная емкость. Здесь S – площадь p-n-перехода. Вольт-амперная характеристика p-n-перехода
j  j0 exp eU kT   1 ,
(12.13)
где j – плотность тока через p-n-переход; j0 – плотность тока насыщения; U – приложенное к p-nпереходу внешнее электрическое напряжение; k – постоянная Больцмана; Т – термодинамическая температура. Плотность обратного тока насыщения j0 определяется неосновными носителями, и ее можно
оценить по выражению

 

j0  e D p pn L p  Dn n p Ln ,
(12.14)
где Dp и Dn – коэффициенты диффузии для дырок и электронов; Lp и Ln – диффузионные длины неосновных носителей заряда – дырок и электронов соответственно. Коэффициенты диффузии можно найти из
соотношения Эйнштейна:
D p   p kT e , Dn   n kT e ,
(12.15)
а диффузионные длиныLp и Ln зависят от времени жизни неосновных носителей  p – для дырок и n –
для электронов:
L p  D p  p , и Ln  Dn n .
(12.16)
Примеры решения задач
1. Определить напряженность электрического поля, возникающего в зазоре между пластинами
плоского конденсатора, одна из которых изготовлена из алюминия, а другая – из платины. Пластины
соединены между собой медным проводом, ширина зазора d = 5 мм. Работа выхода электронов из алю-
58
миния, меди и платины составляет соответственно 4,25 эВ, 4,4 эВ и 5,32 эВ. Как изменится напряженность поля, если алюминиевую и медную пластины соединить проводом из платины?
Решение. Разность потенциалов на концах разнородной цепи, состоящей из последовательно соединенных проводников, определяется различием в работах выхода электронов из крайних проводников
и не зависит от количества и состава промежуточных звеньев. Поэтому E1   AP t  AAl  ed = 214 В/м. Во
втором случае E2   ACu  AAl  ed = 30 В/м.
2. Удельная термоЭДС контакта двух проводников равна  = 10 мкВ/К. Через контакт пропускают ток силой I = 1 А. Каково должно быть сопротивление R контакта, чтобы в результате проявления
эффекта Пельтье можно было наблюдать охлаждение контакта при комнатной температуре T?
Решение. Коэффициент Пельтье найдем как P  T и учтем, что выделяемое на контакте за
время t тепло Джоуля – Ленца должно быть по абсолютной величине меньше тепла Пельтье, поглощаемого на том же контакте при надлежащем направлении тока за то же время, т.е. I 2 Rt  T  It , откуда
находим, что R  T I . Приняв комнатную температуру равной 293 К, получим R < 2,9310–3 Ом.
3. В германиевом p-n-переходе удельная проводимость p-области p = 104 См/м и удельная проводимость n-области n = 100 См/м. Подвижности электронов  n и дырок  p в германии равны соответственно 0,39 м2/(Вс) и 0,19 м2/(Вс). Получить выражение, связывающее контактную разность потенциалов с
отношением концентраций основных и неосновных носителей заряда в полупроводнике и найти по нему
контактную разность потенциалов в переходе при температуре Т = 300 К. Собственная концентрация
носителей заряда при этой температуре в германии ni = 2,51019 м–3
Решение. Для p-области удельная проводимость р определяется основными носителями заряда –
дырками:  p  ep p p , где p p и р – концентрация и подвижность дырок в р-области. Отсюда
p p   p e p = 3,291023 м–3. Аналогично, для n-области nn = n/en = = 1,61021 м–3. Из закона действую-
щих масс nn  pn  ni2 видно, что ni2 nn  pn . Используя выражение для потенциального барьера p-




n-перехода e  kT  ln p p nn ni2 , получим искомый результат:   kT eln p p pn = 0,35 В.
4. Используя данные и результаты предыдущей задачи, найти: а) плотность обратного тока
насыщения, б) отношение дырочной составляющей обратного тока насыщения к электронной, если
диффузионная длина для электронов и дырок Ln = Lp = 1 мм, в) напряжение, при котором плотность
прямого тока j = 100 кА/м2
Решение. Используя данные предыдущей задачи, найдем концентрации неосновных носителей –
дырок в n-области и электронов в p-области из закона действующих масс: pn  ni2 nn = 3,911017 м–3,
n p  ni2 p p = 1,91015 м–3.
59
а) В выражение для плотности тока насыщения (12.14) подставим коэффициенты диффузии,
определяемые

из
 
соотношения
Эйнштейна:
D p   p kT e
и
Dn   n kT e .
Тогда
получим:

j0  kT p pn L p  kTn n p Ln = 0,31 А/м2.
б) В последней из полученных формул первое слагаемое, очевидно, представляет собой
плотность тока jp, связанного с движением дырок в n-области, а второе – плотность тока jn,

связанного с движением электронов в p-области, поэтому j p jn   p pn Ln
 nn p Lp  = 100.
в) Искомое напряжение определим из выражения (12.13) j  j0 exp eU kT   1 . Логарифмированием находим, что eU/kT = 12,7 и, следовательно, U = 0,328 В.
Задачи для самостоятельного решения
1. Определить внутреннюю контактную разность потенциалов, возникающую при соприкосновении двух металлов с концентрациями свободных электронов 51028 м–3 и 1029 м–3.
2. Ток в цепи, состоящей из термопары сопротивлением 5 Ом и гальванометра сопротивлением
8 Ом, равен 0,5 мА в случае, когда спай термопары помещен в сосуд с кипящей водой. Чему равна
удельная термо ЭДС термопары при температуре окружающей среды 20 С?
3. Один спай термопары помещен в печь с температурой 200 С, второй находится при комнатной температуре (20 С). Измеряемое при этом значение термо ЭДС 1,8 мВ. Чему будет равна термо
ЭДС, если второй спай поместить в сосуд: а) с тающим льдом, б) с кипящей водой?
4. Контакт металл-полупроводник с барьером Шоттки, имеющий обратный ток насыщения
I0 = 10 мкА, соединен последовательно с источником напряжения Uист = 10 В и резистором сопротивлением R = 1 кОм. Найти прямой ток, прямое напряжение и сопротивление контакта при комнатной температуре.
5. Германиевый p-n-переход имеет обратный ток насыщения 1 мкА, измеренный при обратном напряжении 5 В. Через этот p-n-переход при его прямом включении течет ток 0,1 А. Определить
прямое и обратное сопротивления p-n-перехода при комнатной температуре Т = 293 К.
6. Кремниевый p-n-переход имеет обратный ток насыщения в 10 –8 А, измеренный при обратном напряжении 5 В. Через этот p-n-переход при его прямом включении течет ток 0,1 А. Определить
прямое и обратное сопротивления p-n-перехода при Т = 293 К.
7. При разнице температур 100 К на концах металлической проволоки А появилась разность потенциалов 1,4 мВ, а на концах проволоки В в аналогичных условиях появилась разность потенциалов
0,6 мВ. Каковы будут показания вольтметра, включенного в термопарный контур из этих проволок, если
горячий спай термопары находится при температуре 400 С, а холодный – при комнатной температуре?
8. Оценить значение коэффициента Пельтье при комнатной температуре для контакта двух металлов, в которых концентрации свободных электронов отличаются на 10 %.
60
9. Во сколько раз эффективней происходит охлаждение за счет эффекта Пельтье на контакте PtNi, чем на контакте Pt-Cu при комнатной температуре и токе 1 А? Сопротивление каждого из контактов
1 мОм.
10. В замкнутую цепь, состоящую из Cu, Al и Pt проводников между медным и алюминиевым
проводниками включен милливольтметр. Температуры контактов: Cu-Al – +20 С, Al-Pt – +200 С, PtCu – +100 С. Абсолютные удельные термо ЭДС для Cu, Al и для Pt соответственно имеют значения:
+1,8 мкВ/К, –1,3 мкВ/К, –5,1 мкВ/К. Каковы показания милливольтметра?
11. При изменении обратного напряжения от 0,1 до 1 В на контакте Шоттки, изготовленного с
использованием донорного полупроводника и металла, емкость контакта уменьшилась в 2 раза. Работа
выхода из металла равна 4,4 эВ. Найти работу выхода из полупроводника.
12. Обратный ток насыщения контакта металл – полупроводник с барьером Шотки равен 2 мкА.
Контакт последовательно соединен с резистором и источником постоянного напряжения 0,2 В. Определить сопротивление резистора, если падение напряжения на нем 0,1 В. Контакт находится при температуре 300 К.
13. Металл, работа выхода из которого равна 4,3 эВ, образует контакт с донорным полупроводником, работа выхода из которого равна 4,1 эВ. Какова толщина двойного электрического слоя, возникающего на контакте? Концентрация примеси в полупроводнике Nd=1022м-3, а его относительная диэлектрическая проницаемость ε=12.
14. Акцепторный полупроводник с работой выхода 4,5 эВ и металл с работой выхода 4,2 эВ образуют контакт. Найти удельную емкость контакта при приложении к нему обратного напряжения 0,5 В.
Концентрация примеси в полупроводнике Na=1022м–3, а его относительная диэлектрическая проницаемость ε=10.
15. В германиевом p-n-переходе концентрация донорной примеси в n-области в 1000 раз больше,
чем концентрация акцепторной примеси в p-области. При этом на каждые 108 атомов германия приходится
один атом акцепторной примеси. Определить контактную разность потенциалов этого p-n-перехода при
температуре 300 К. Общая концентрация собственных атомов германия 4,41028 м–3, а концентрация
ионизированных атомов германия при данной температуре – 2,5ּ1019 м–3.
16. Удельное сопротивление p-области германиевого p-n-перехода 2 Омсм, а удельное сопротивление n-области – 1 Омсм. Вычислить высоту потенциального барьера p-n-перехода при температуре
300 К.
17. В структуре с кремниевым p-n-переходом удельное сопротивление p-области 10–4 Омм, а
удельное сопротивление n-области 10–2 Омм. Вычислить контактную разность потенциалов при температуре 300 К, если подвижности дырок и электронов равны соответственно 0,05 и 0,14 м2/(Вс), а собственная концентрация в данных условиях составляет 1,381016м-3.
18. Концентрации доноров и акцепторов в n- и p-областях резкого p-n-перехода соответственно
равны 51016 см–3 и 1017 см–3. Определить контактную разность потенциалов и плотность обратного тока
61
насыщения при комнатной температуре. Считать, что коэффициенты диффузии для неосновных электронов и дырок соответственно равны 100 и 50 см2/с, а диффузионная длина электронов и дырок одинакова и составляет 0,8 см. Собственная концентрация носителей заряда 1013 см–3.
19. Резкий p-n-переход сформирован из материала p-типа с удельным сопротивлением 1,3 мОмּм
и из материала n-типа с удельным сопротивлением 4,6 мОмм при температуре 300 К. Время жизни неосновных носителей заряда в материалах p- и n-типов 100 и 150 мкс соответственно, площадь p-nперехода 1 мм2. Вычислить обратный ток насыщения в предположении, что протяженность p- и nобластей много больше диффузионной длины. Подвижности дырок и электронов соответственно равны
0, 048 и 0,135 м2/(Вּс), собственная концентрация 6,5ּ1016м–3.
20. Ток, проходящий через p-n-переход при большом обратном напряжении и T = 300 К, равен 0,2 мкА. Найти ток через p-n-переход при прямом напряжении 0,1 В.
21. Найти прямое напряжение на p-n-переходе при токе 1 мА, если обратный ток насыщения при
комнатной температуре равен 1 нА.
22. При прямом напряжении 0,1 В на p-n-переходе и t = 20 С через него проходит некоторый
ток. Каким должно быть напряжение, чтобы ток увеличился в 2 раза?
23. В равновесном состоянии высота потенциального барьера германиевого p-n-перехода равна
0,2 эВ, концентрация акцепторных примесей в p-области 3ּ1014 см-3, что много меньше концентрации донорных примесей в n-области. Найти барьерную емкость p-n-перехода при обратном напряжении 0,1 В. Площадь p-n-перехода 1 мм2, относительная диэлектрическая проницаемость германия равна 16.
24. Барьерная емкость p-n-перехода равна 25 пФ при обратном напряжении 5 В. На сколько она
изменится при увеличении обратного напряжения до 7 В?
25. Ток насыщения p-n-перехода при комнатной температуре равен 0,01 мкА. Рассчитать его сопротивление при близком к нулю напряжении в этих условиях.
13. СТРОЕНИЕ АТОМНЫХ ЯДЕР
Ядро обозначается тем же символом, что и нейтральный атом
A
Z X
, где X – символ химического
элемента; Z – зарядовое число (атомный номер); А – массовое число (число нуклонов в ядре). Радиус
ядра определяется соотношением
R  R0 A1 3 ,
(13.1)
где R0 – коэффициент пропорциональности, который можно считать для всех ядер постоянным и равным
1,4∙10–15 м. Число нейтронов в ядре равно N = A – Z.
62
Примеры решения задач
1. Определите плотность ядерного вещества в ядре с массовым числом А.
Решение. Плотность выражается числом нуклонов в 1 см3: N = A/V, где объем ядра V = 4R3/3.
Радиус связан с массовым числом соотношением (13.1). Отсюда N 
A
4AR03
3

3
4R03
. Подставляя чис-
ленные данные, получим N = 8,71037 см–3.
2. Ядро нетпуния
234
93 Np
захватило электрон из К-оболочки атома (К-захват) и испустило α-
частицу. Ядро какого элемента получилось?
Решение. При К-захвате ядро захватывает электрон из ближайшей к ядру электронной оболочки
(К-оболочки) атома. В результате этого протон в ядре превращается в нейтрон (одновременно из ядра выбрасывается нейтрино, однако для решения данной задачи это существенной роли не играет). Общее число
нуклонов в ядре не изменяется, а зарядовое число уменьшится на единицу. Поэтому промежуточное ядро
будет иметь зарядовое число 93 – 1 = 92; массовое число остается прежним – 234. По таблице Менделеева
определяем, что промежуточным ядром является изотоп урана
234
92 U
. Промежуточное ядро испустило α-
частицу. Так как α-частица содержит два протона и два нейтрона, то промежуточное ядро при акте испускания α-частицы уменьшит зарядовое число на две единицы и массовое число на четыре единицы. Таким
образом, конечное ядро будет иметь Z = 90 и A = 230, что соответствует изотопу тория
230
90Th
.
Задачи для самостоятельного решения
1. Какую часть массы нейтрального атома плутония составляет масса его электронной оболочки?
2. Укажите сколько нуклонов, протонов и нейтронов содержат следующие ядра: а) 23 He ; б)
23
11 Na
; г)
54
104
26 Fe ; д) 47 Ag
; е)
; в)
26
12 Mg
в)
238
92 U .
3. Найти число протонов и нейтронов, входящих в состав ядер трех изотопов магния: а)
25
12 Mg
10
5B;
24
12 Mg
; б)
.
4. Определите атомные номера, массовые числа и химические символы зеркальных ядер, которые получаются, если в ядрах 74 Be , 23 He и
15
8O
протоны заменить нейтронами, а нейтроны – протонами.
Привести символическую запись получившихся ядер.
125
64
5. Определить диаметры следующих ядер: а) 83 Li ; б) 27
13 Al ; в) 29 Cu ; г) 50 Sn .
6. Во сколько раз объем ядра изотопа плутония
9
4 Be
243
94 Pu
больше объема ядра изотопа бериллия
?
63
7. Во сколько раз радиус ядра бора 85 B меньше радиуса ядра никеля
64
28 Ni
?
8. Оценить какую часть от объема кобальта составляет объем его ядра. Плотность кобальта равна
4,5 103 кг/м3.
9. Определить концентрацию нуклонов в ядре.
10. Используя соотношение Z = A/2 которое справедливо для многих легких ядер, определить
среднюю объемную плотность заряда ядра.
11. Ядро радия
226
88 Ra
выбросило α-частицу. Найти массовое число А и зарядовое число Z вновь
образовавшегося ядра.
12. Ядро азота
14
7N
захватило α-частицу и испустило протон. Найти массовое число А и заря-
довое число Z вновь образовавшегося ядра.
13. Ядро цинка
65
30 Zn
захватило электрон из К-оболочки атома (К-захват). Найти массовое число
А и зарядовое число Z вновь образовавшегося ядра.
14. Ядро 74 Be захватило электрон с К-оболочки атома. Какое ядро образовалось в результате Кзахвата?
15. Ядро изотопа кобальта
60
27 Co
выбросило отрицательно заряженную β-частицу. В какое ядро
превратилось ядро кобальта?
16. Сколько α- и β-частиц выбрасывается при превращении ядра урана
209
83 Bi
233
92 U
в ядро висмута
?
17. Вследствие радиоактивного распада
238
92 U
превращается в
206
82 Pb
. Сколько α- и β-
превращений он при этом испытывает?
18. В какое ядро превратилось ядро изотопа фосфора
30
15 P ,
выбросив положительно заряженную
бета-частицу?
19. Определить порядковый номер и массовое число изотопа, который получится из тория
232
90Th
после трех α- и двух β-превращений.
20. В ядре изотопа углерода
14
6C
один из нейтронов превратился в протон (β-распад). Какое ядро
получилось в результате такого превращения?
21. Два ядра гелия 42 He слились в одно ядро, и при этом был выброшен протон. Укажите, ядро
какого элемента образовалось в результате такого превращения.
22. В ядре атома изотопа кремния
27
14Si
один из протонов превратился в нейтрон (β+-распад). Ка-
кое ядро получилось в результате такого превращения?
23. Ядро цинка
62
30 Zn
захватило электрон из К-оболочки атома (К-захват) и спустя некоторое
время испустило позитрон. Какое ядро получилось в результате таких превращений?
64
24. Ядро плутония
238
94 Pu
испытало шесть последовательных α-распадов. Написать цепочку
ядерных превращений с указанием химических символов, массовых и зарядовых чисел промежуточных
ядер и конечного ядра.
25. В результате нескольких α- и β-распадов радиоактивный атом
212
83 Bi
232
90Th
превратился в атом
Сколько произошло α-распадов? β-распадов?
14. РАДИОАКТИВНОСТЬ
Закон радиоактивного распада
N  N 0 exp  t  ,
(14.1)
где N0 – начальное число радиоактивных ядер в момент времени t = 0; N – число нераспавшихся радиоактивных ядер в момент времени t;  – постоянная распада. Время, за которое распадается половина
первоначального количества ядер, называется периодом полураспада:
T  n2 /   0,693 /  .
(14.2)
Среднее время жизни радиоактивного ядра:   1  . Число распадов ядер вещества в единицу времени
называется активностью вещества:
A   dN dt  N  N 0 exp  t   A0 exp  t  .
(14.3)
Удельной активностью вещества называют активность, отнесенную к единице массы вещества.
Примеры решения задач
1. Сколько атомов распадается в 1 г трития 31 H за среднее время жизни этого изотопа.
Решение. Согласно закону радиоактивного распада, N  N 0 exp  t  , где N0 – начальное число
радиоактивных ядер в момент времени t = 0; N – число нераспавшихся радиоактивных ядер в момент времени t; λ – постоянная радиоактивного распада. Среднее время жизни τ радиоактивного изотопа – величина,
обратная постоянной распада:   1  . По условию t = τ. Подставляя это значение, получим N = N0/e, где е –
основание
натурального
логарифма.
Число
атомов,
распавшихся
за
время
t = τ,
N   N 0  N  N 0 1  1 e  . Найдем число атомов N0, содержащихся в массе m = 1 г изотопа
равно
3
1H
:
65
N 0  mN A M , где M = 3∙10–3 кг/моль – молярная масса изотопа 31 H , NA – число Авогадро. Учитывая это,
запишем N   mN A M 1  1 e  . Подставляя числовые значения, получим N  = 1,27 1023.
2. Определить начальную активность А0 радиоактивного магния
27
Mg массой m = 0,2 мкг, а также
активность А по истечении времени t = 1 ч. Предполагается, что все атомы изотопа радиоактивны.
Решение. Начальная активность изотопа A0 = λN0, где λ – постоянная радиоактивного распада; N0
– количество атомов изотопа в начальный момент времени. Если учесть, что λ = ln2/T и N0 = mNA/M, то
начальная активность равна A0 = (mNA/MT)ln2. Подставляя численные значения, получим А0 = 5,15
1012 Бк. Со временем активность уменьшается по закону A = A0exp(–λt). Заменив постоянную распа-
 
да λ ее выражением, получим A  A0 exp  t ln 2 T    A0 eln 2
t T
 A0 2 t T = 8,05 1010 Бк.
Задачи для самостоятельного решения
1. Какая часть атомов радиоактивного вещества остается нераспавшейся по истечении времени t,
равного трем средним временам жизни τ атома?
2. Какая часть атомов радиоактивного вещества распадается за время t, равное трем периодам
полураспада Т?
3. Какая доля радиоактивных ядер кобальта распадется за месяц, если период полураспада кобальта равен 71,3 сут.?
4. Среднее время жизни атомов радиоактивного вещества τ = 1 с. Определить вероятность того,
что ядро распадется за время t, равное: а) 1 с, б) 10 с, в) 0,1 с.
5. Чтобы определить возраст t древней ткани, была определена концентрация в ней атомов радиоуглерода 14С. Она оказалась соответствующей 9,2 распадам в минуту на один грамм углерода. Концентрация 14С в живых растениях соответствует 14 распадам в минуту на один грамм углерода. Период
полураспада 14С равен 5730 лет. Исходя из этих данных, оценить t.
6. В настоящее время в природном уране содержится k8 = 99,28% 238U и k5 = 0,72% 235U. Какое соотношение между 238U и 235U было в момент образования Земли, если ее возраст равен 4 106 лет? Периоды полураспада 238U и 235U равны соответственно Т8 = 4,51∙109 лет и Т5 = 0,713∙109 лет. Считать, что в период образования Земли в природе не было других более короткоживущих изотопов урана.
7. Определить возраст древних деревянных предметов, если удельная активность изотопа
Су
14
них составляет  = 3/5 удельной активности этого же изотопа в только что срубленных деревьях. Период
полураспада 14С равен 5730 лет.
8. В урановой руде отношение числа ядер
возраст руды, считая, что весь свинец
206
риод полураспада 238U равен 4,5∙109 лет.
66
U к числу ядер
238
Pb составляет  = 2,8. Оценить
206
Pb является конечным продуктом распада уранового ряда. Пе-
9. В кровь человека ввели небольшое количество раствора, содержащего
Na с активностью
24
А = 2,0 103 Бк. Активность 1 см3 крови через t = 5,0 ч оказалась A = 0,267 Бк/см3. Период полураспада
данного радиоизотопа Т = 15 ч. Найти объем крови человека.
10. За какое время распадается 87,5 % атомов
45
20 Ca
?
11. Какая доля первоначального количества радиоактивного изотопа распадается за время жизни
этого изотопа?
12. Найти период полураспада радиоактивного препарата, если за сутки его активность уменьшается в три раза.
13. Каков период полураспада изотопа, если за сутки распадается в среднем а) 900 атомов из
1000; б) 750 атомов из 1000; в) 1 атом из 1000 ?
14. Период полураспада радиоактивного йода-131 равен восьми суткам. За какое время количество
атомов уменьшится в 1000 раз?
15. В образцах урановой руды всегда содержится некоторое количество атомов тория -234,
образовавшихся в результате -распада урана-238 (период полураспада ТU = 4,5 109 лет). Торий также
радиоактивен (период полураспада ТTh = 24 сут). Сколько атомов тория содержится в урановой руде, в
которой находится m = 0,5 г урана-238?
16. Период полураспада радиоактивного изотопа один год. Определить среднюю продолжительность жизни этого изотопа.
17. Определить период полураспада радиоактивного полония
Po, если 1 г этого изотопа обра-
210
зует в год 89,5 см гелия при нормальных условиях.
3
18. На сколько процентов снизится активность иридия 92Ir через месяц?
19. Какая доля радиоактивных ядер кобальта, период полураспада которых 71,3 сут, распадется
за месяц?
20. Сколько -частиц испускает за один час 1,0 мкг 24Na, период полураспада которого Т = 15 ч?
21. При изучении -распада 23Mg в момент времени t = 0 был включен счетчик. К моменту времени t = 2,0 с он зарегистрировал N1 частиц, а к моменту времени t2 = 3t1 в 2,66 раз больше. Найти среднее время жизни данных ядер.
22. Активность некоторого изотопа уменьшается в 2,5 раза за 7,0 сут. Найти его период полураспада.
23. В начальный момент времени активность радиоизотопа составляла 10,8 Бк. Какова будет его
активность по истечении половины периода полураспада?
24. Найти постоянную распада и среднее время жизни радиоактивного 55Co, если его активность
уменьшается на 4,0 % за час.
25. Вычислить удельные активности
Na и
24
235
U, периоды полураспада, которых равны 15 ч и
7,1∙108 лет.
67
15. ЭЛЕМЕНТЫ ДОЗИМЕТРИИ ИЗЛУЧЕНИЙ
Закон поглощения гамма-излучения веществом
I  I 0 exp  x  ,
(15.1)
где I0 – интенсивность гамма-излучения на входе в поглощающий слой, I – интенсивность гаммаизлучения после прохождения поглощающего слоя вещества толщиной х; μ – линейный коэффициент
поглощения, зависящий от природы вещества и от энергии гамма-
μ, см–1
фотона (рис.15.1). Слоем половинного ослабления называется слой,
толщина x1 2 которого такова, что интенсивность проходящих че-
0,7
рез него γ-лучей уменьшается в 2 раза: x1 2  ln 2   0,693  .
0,6
Дозой излучения (поглощенной дозой излучения) называют
0,5
отношение энергии ионизирующего излучения, переданной облуча-
0,4
емому веществу, к массе этого вещества: D  W m . Мощностью
0,3
дозы излучения (поглощенной дозы) называется отношение дозы
0,2
излучения ко времени t, в течение которого происходило погло-
0,1
Pb
Fe
Al
Бетон
H 2O

щение: D  D t .
0
Экспозиционная доза фотонного излучения это величина,
1
2
3
4
ε, МэВ
Рис.15.1
равная отношению суммы электрических зарядов Q всех ионов одного знака, созданных электронами,
освобожденными в облученном воздухе при условии полного использования ионизирующей способности
электронов, к массе m этого воздуха: X  Q m . Мощностью экспозиционной дозы излучения называется физическая величина, равная отношению экспозиционной дозы фотонного излучения к интервалу

времени t, за которое получена эта доза: Х  X t .
Вероятность протекания того или иного типа взаимодействия между падающим на мишень излучением и мишенью оценивается с помощью так называемого сечения взаимодействия (измеряется в
барнах, 1 барн = 10–28 м2):
  nd N N ,
(15.2)
где N – количество вступивших во взаимодействие падающих частиц; N – количество частиц, попавших на мишень; n – плотность ядер мишени; d – толщина мишени.
Выход реакции определяется долей падающих частиц, вступивших во взаимодействие:
w  N N  n S , где S – площадь мишени.
68
Примеры решения задач
1. На поверхность воды падает гамма-излучение с длиной волны 0,414 пм. На какой глубине интенсивность излучения уменьшится в 2 раза?
Решение. Согласно закону поглощения I  I 0 exp  x  , где I0 – интенсивность падающего гаммаизлучения; I = I0/2 – интенсивность гамма-излучения на глубине х; μ – линейный коэффициент поглощения.
Решая это уравнение относительно x, найдем x  1  ln I 0 I  . Вычислим энергию гамма-фотонов:
  hc  = 4,8∙10–13 Дж = 3 МэВ. По графику зависимости μ от ε (рис.15.1), находим μ = 0,04 см–1. Подстав-
ляя числовые значения, получим x = 17,3 см.
2. Для регистрации медленных нейтронов широко используют счетчики, наполненные газообразным 3 He . Счетчик представляет собой цилиндр диаметра D = 25 мм, наполненный газом при давлении 10 атм и температуре 300 К. В счетчике происходит реакция 3Не(п, р)3Н, сечение которой для регистрируемых нейтронов равно  = 5400 барн. Рассчитать долю регистрируемых нейтронов, предполагая,
что нейтроны в счетчике движутся вдоль его диаметра.
Решение. Пусть на 1 см2 поверхности счетчика падает N нейтронов, из которых при прохождении слоя dx вступают в реакцию (т.е. регистрируются) Nndx , где n – концентрация атомов 3Не в счетчике. Изменение потока нейтронов при прохождении расстояния dx составляет dN   Nndx . Интегрируя
N
это соотношение, получаем
D

N0
dN
 n  dx или N  N 0 exp  nD  . Именно такое число нейтронов пойN
0
дет через счетчик, не зарегистрировавшись. Значит, зарегистрированная часть нейтронов составит
  N 0  N  N 0   1  exp nD  . Так как n = 2,71020 см–3, то nD = 3,63 и  = 0,974. Эта оценка пока-
зывает, что эффективность рассматриваемого счетчика близка к 100 %.
Задачи для самостоятельного решения
1. Космическое излучение на уровне моря на экваторе в воздухе V = 1 см3 образует в среднем
N = 24 пары ионов за время t1 = 10 c. Определите экспозиционную дозу Х, получаемую человеком за
время t2 = 1 год.
2. Какая доля всех молекул воздуха при нормальных условиях ионизируется рентгеновским излучением при экспозиционной дозе Х = 1000 Рентген.
3. Определить мощность экспозиционной дозы космического излучения на уровне моря на экваторе, если в 1 см3 воздуха образует в среднем N = 24 пары ионов за время t1 = 10 c.
4. Воздух при нормальных условиях облучается γ-излучением. Определить энергию W, поглощаемую воздухом массой 5 г при экспозиционной дозе излучения Х = 258 мкКл/кг. Считать, что в одном акте поглощается энергия 6,8 эВ.
69
5. Под действием космических лучей в воздухе объемом V = 1 см3 на уровне моря образуется в
среднем N = 120 пар ионов за промежуток времени t = 1 мин. Определить экспозиционную дозу излучения, полученную человеком за время t = 1 сутки.
6. Эффективная вместимость V ионизационной камеры карманного дозиметра равна 1 см3,
электроемкость С = 2 пФ. Камера содержит воздух при нормальных условиях. Дозиметр был заряжен до
потенциала 1 = 150 В. Под действием излучения потенциал понизился до 2 = 110 В. Определить экспозиционную дозу Х излучения.
7. Определить дозу облучения D, полученную за время t = 30 мин человеком массой 80 кг, если
энергия падающего излучения  = 2 МэВ, а поток частиц составляет 103 с–1. Считать, что все падающее
излучение поглощается человеком.
8. Сколько слоев половинного ослабления требуется, чтобы уменьшить интенсивность I узкого
пучка γ-излучения в 100 раз?
9. Интенсивность узкого пучка γ-лучей после прохождения через слой свинца толщиной 4 см
уменьшилась в восемь раз. Определить энергию γ-квантов и толщину слоя половинного ослабления.
10. Узкий пучок γ-лучей ( = 2,4 МэВ) проходит через бетонную плиту толщиной x = 1 м. Какой
толщины плита чугуна дает такое же ослабление данного пучка γ-лучей?
11. Вычислить толщину слоя половинного поглощения свинца для гамма-лучей, длина волны которых равна 0,775 нм.
12. Чему равна энергия -фотонов, если при прохождении через слой железа толщиной 3 см интенсивность излучения ослабляется в три раза.
13. Во сколько раз изменится интенсивность γ-излучения ( = 2 МэВ) при прохождении экрана,
состоящего из двух плит – Pb (d1 = 2 см) и Al (d2 = 5 см)?
14. Рассчитать толщину защитного слоя свинца, который ослабляет интенсивность излучения фотонов с энергией 2 МэВ в 5 раз.
15. На какую глубину нужно погрузить в воду источник узкого пучка -излучения ( = 1,6 МэВ),
чтобы интенсивность пучка, вышедшего из воды, была уменьшена в 1000 раз?
16. Через свинец проходит узкий пучок -излучения. При каком значении энергии -фотонов
толщина x1/2 слоя половинного ослабления будет максимальной? Определить максимальную толщину
xmax слоя половинного ослабления для свинца.
17. Чугунная плита уменьшает интенсивность пучка -излучения ( = 2,8 МэВ) в 10 раз. Во
сколько раз уменьшит интенсивность этого пуска такая же свинцовая плита?
18. Определить для бетона толщину слоя половинного ослабления узкого пучка -излучения
с энергией фотонов  = 0,6 МэВ.
19. Вычислить толщину слоя половинного ослабления x1 2 параллельного пучка -излучения для
воды, если линейный коэффициент ослабления  = 0,047 см–1.
70
20. Из реактора выходит поток нейтронов j = 1014 с–1см–2 и попадает на пластину толщиной 1 см,
вызывая реакцию в мишени. Поперечное сечение реакции  = 10–27 см2, плотность ядер мишени
n = 1022 см–3. Определить скорость протекания реакции, т.е. количество актов взаимодействия, происходящих на единице поверхности мишени в единицу времени.
21. Узкий пучок тепловых нейтронов проходит через пластинку (толщина 0,5 см) из Fe, для которого сечение поглощения равно  = 2,5 барн. Определить относительную долю нейтронов, выбывающих из пучка в результате поглощения.
22. Узкий пучок нейтронов проходит через пластинку из железа, для которого сечение рассеяния
равно  = 11 барн. Определить относительную долю нейтронов, выбывающих из пучка в результате рассеяния, если толщина пластины d = 0,5 см.
23. Узкий пучок нейтронов ослабляется в 360 раз при прохождении пластинки Cd толщиной
d = 0,5 мм. Определить сечение взаимодействия нейтронов с ядрами Cd.
24. Во сколько раз уменьшится интенсивность узкого пучка тепловых нейтронов после прохождения слоя тяжелой воды толщиной d = 5,0 см? Сечения взаимодействия ядер дейтерия и кислорода равны соответственно 1 = 7,0 барн и 2 = 4,2 барн.
25. Золотую фольгу массы m = 0,2 г облучали в течение t = 6 ч потоком тепловых нейтронов, падающих по нормали к поверхности. Через  = 12 ч после окончания облучения активность фольги оказалась А = 1,9 107 Бк. Найти плотность потока нейтронов, если сечение образования ядра радиоизотопа
 = 96 барн, а период полураспада Т = 2,7 сут.
16. ДЕФЕКТ МАСС И ЭНЕРГИЯ СВЯЗИ
АТОМНЫХ ЯДЕР. ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ
Дефект масс ядра
m  Zm p   A  Z mn  mя  ZmH   A  Z mn  ma
(16.1)
где mH, mp, mn, ma и mя – масса атома водорода, протона, нейтрона, атома и ядра соответственно; Z и A –
зарядовое и массовое числа.
Энергия связи ядра
Есв  c2m .
(16.2)
Удельная энергия связи – энергия связи, приходящаяся на один нуклон:
св = Есв/А.
(16.3)
Энергия ядерной реакции
71
Q  c2 m1  m2   mi 
где m1 и m2 – массы покоя частиц, вступающих в реакцию,
 mi
(16.4)
– сумма масс покоя частиц, образовав-
шихся в результате реакции.
Примеры решения задач
1. Вычислить дефект массы, энергию связи и удельную энергию связи ядра
Решение. Массовое и зарядовое числа для ядра
16
8O
16
8O .
равны Z = 8 и A = 16. Дефект массы ядра Δm
определяется по формуле m  Zmp   A  Z mn  mя . Из справочных таблиц находим mp = 1,00783 а.е.м.;
mn = 1,00867 а.е.м.; m16 O = 15,99492 а.е.м. Подставляя числовые данные, получим Δm = 0,13708 а.е.м.
8
Энергия связи определяется по формуле Eсв = c2∙Δm. Если дефект массы выражать в а.е.м., а энергию
связи – в МэВ, то формула принимает вид Eсв = 931∙Δm. Подставляя числовые значения, получим
Eсв = 128 МэВ. Удельная энергия связи вычисляется по формуле св = Есв/А = 8 МэВ.
2. Вычислить энергию ядерной реакции 42 He  42 He 11 p  73 Li . Выделяется или поглощается энергия
при этой реакции?
Решение. Энергия ядерной реакции определяется по формуле Q  c2 m1  m2   mi   c2m , где
Δm – дефект массы реакции. При вычислении энергии ядерной реакции можно использовать вместо масс
ядер
массы
соответствующих
атомов.
Из
справочных
данных
находим:
m 4 Не = 4,00260 а.е.м.;
2
mp = 1,00783 а.е.м.;
m 7 Li = 7,01601 а.е.м. Дефект массы реакции равен т = 2 m 4 Не – тр – m 7 Li = –
3
2
3
0,01864 а.е.м. Это дает Q = –17,3 МэВ. Отрицательный знак говорит о том, что энергия в результате реакции поглощается.
3. Найти энергию реакции
9
4
Be + 11 H = 42 He = 63 Li, если известно, что кинетические энергии про-
тона 5,45 МэВ, ядра гелия 4 МэВ и что ядро гелия вылетело под углом 90 к направлению движения
протона. Ядро-мишень 94 Be неподвижно.
Решение. Энергия реакции есть разница между суммой кинетических энергий ядер-продуктов
реакции и кинетической энергии налетающего ядра: Q = TLi + THe + TH. В этом выражении неизвестна
кинетическая энергия лития. Для ее определения воспользуемся законом сохранения импульса pH = pHe+pLi.
Векторы pH и pHe по условию взаимно перпендикулярны и, следовательно, вместе с вектором pLi образуют
2
2
прямоугольный треугольник. Поэтому pLi
 pHe
 pH2 . Выразим импульсы ядер через их кинетические энер-
гии. Так как кинетические энергии ядер, по условию много меньше энергий покоя этих ядер, то можно вос-
72
пользоваться классической формулой p 2  2mT . Заменяя квадраты импульсов и упрощая, получим
mLiTLi  mHeTHe  mHTH , откуда TLi = 3,58 МэВ и соответственно Q = 2,13 МэВ.
Задачи для самостоятельного решения
1. Оценить разность масс Δm атома водорода в состояниях 2P и 1S.
2. Воспользовавшись таблицей масс изотопов, определить энергию связи (в мегаэлектронвольтах) на один нуклон для ядер: а) 4He; б) 20Ne; в) 207Pb; г) 235U.
3. Вычислить дефект массы, энергию связи и удельную энергию связи дейтерия.
4. Вычислить дефект массы, энергию связи и удельную энергию связи α-частицы.
5. Вычислить дефект массы, энергию связи и удельную энергию связи а)
 ;
B
б)

;
 Ca
в) 
;
 U
г)  C .
6. Определить минимальную энергию (в мегаэлектронвольтах), необходимую для разделения ядра 12С на три α-частицы.
7. Определить энергию, которую нужно затратить для отрыва нейтрона от 
.
 Na
8. Найти энергию связи ядер: а)  H ; б)  He . Какое из этих ядер наиболее устойчиво?
9. Сравнить удельную энергию связи ядер  Li и 
 Al . Какое из этих ядер наиболее устойчиво?
10. Какое количество термоядерной энергии содержится в 1 л обычной воды?
11. Определить энергию, освобождающуюся в водородной бомбе при синтезе 1 кг гелия.
12. В процессе термоядерного синтеза 5∙104 кг водорода превращаются в 49644 кг гелия. Определить, сколько энергии выделяется при этом.
13. При обстреле ядер фтора
19
9
F протонами образуется кислород
16
8
O . Сколько энергии осво-
бождается при этой реакции и какие еще ядра образуются?
14. При использовании дейтерия, содержащегося в литре обычной воды, в реакции термоядерного синтеза выделяется столько же энергии, сколько получается при сжигании 350 л бензина. Подсчитать
эту энергию.
15. Какую массу воды, взятой при t = 0 С, можно довести до кипения, используя энергию термоядерного синтеза гелия из дейтерия и трития, если КПД преобразования энергии равен 10 %? Масса
синтезированного гелия равна 1 г.
16. Определить энергию, выделяющуюся в акте синтеза дейтерия: p + n → 2H.
73
17. При делении одного ядра
235
92
U на два осколка выделяется около 200 МэВ энергии. Какое ко-
личество энергии освобождается при «сжигании» в ядерном реакторе 11 г этого изотопа? Какое количество каменного угля надо сжечь для получения такого же количества энергии?
18. Вычислить энергию ядерной реакции и выяснить, выделяется или поглощается энергия в
этой реакции 01 n 105 B 73 Li  42 He .
19. Вычислить энергию ядерной реакции и выяснить, выделяется или поглощается энергия в
этой реакции 42 He 147 N178 O11 p .
20. При бомбардировке алюминия
27
13
Al -частицами образуется фосфор
30
15
P . Записать эту ре-
акцию и подсчитать выделенную энергию.
21. Определить максимальную кинетическую энергию электрона, испускаемого при распаде
нейтрона.
22. Найдите минимальную энергию и частоту гамма-кванта, способного «разбить» ядро дейтерия
на протон и нейтрон.
23. Какую минимальную кинетическую энергию должна иметь  -частица для осуществления ядерной реакции 73 Li  42 He  105B  01n ?
24. В результате взаимодействия ядер дейтерия и трития образуется ядро гелия и нейтрон:
2
3
4
1
1 H  1H  2 He  0 n .
Какую часть выделяющейся энергии уносит с собой нейтрон? Кинетическими энер-
гиями дейтерия и трития до реакции можно пренебречь.
25. Мишень
7
3
Li подвергают бомбардировке нейтронами. Какова кинетическая энергия, этих
нейтронов, если в направлении движения нейтронов вылетают  -частицы с кинетической энергией
3,0 МэВ? Энергией испускаемых  -квантов можно пренебречь.
74
ПРИЛОЖЕНИЯ
Основные физические постоянные
Физическая величина
Численное значение
Скорость света в вакууме
с = 2,9979250(10)108 м/с
Гравитационная постоянная
G = 6,67210–11 м3/(кгс2)
Постоянная Авогадро
NA = 6,021023 моль–1
Стандартный молярный объем газа
Vm = 22,41 л/моль
Постоянная Больцмана
k = 1,380710–23 Дж/К
Молярная газовая постоянная
R = 8,314 Дж/(Кмоль)
Элементарный заряд
e = 1,60210–19 Кл
Масса электрона
me = 0,91110–30 кг = 0,511 МэВ
Удельный заряд электрона
e/me = 1,761011 Кл/кг
Масса протона
mp = 1,67210–27 кг
Удельный заряд протона
e/mp = 0,959108 Кл/кг
Постоянная Планка
h = 6,62610–34 Джс
ћ = h/2π = 1,0546·10–34
15
Дж·с = 0,659·10–
эВ·с
Постоянная Стефана-Больцмана
 = 5,6710–8 Вт/(м2К4)
Постоянная закона смещения Вина
b = 0,29 смК
Постоянная Ридберга
R = 3,29·1015 с–1
R' = 1,10 107 м–1
Первый боровский радиус
a = 0,52910–10 м
Энергия связи электрона в H2
Е = 13,56 эВ
Классический радиус электрона
r = 2,8210–15 м
Магнетон Бора
μВ = 9,2710 –24 Дж/Тл
Ядерный магнетон
μN = 5,0510 –27 Дж/Тл
Магнитный момент протона
μp = 2,7928μ N
Магнитный момент нейтрона
n = –1,913 μN
Атомная единица массы
1 а.е.м. = 1,66010–27 кг
Электрическая постоянная
ε0 = 8,8510-12 Фм–1, 1/(40) = 9109 м/Ф
Магнитная постоянная
0 = 1,25710–6 Гн/м, 0/(4) = 10–7 Гн/м
75
Период решетки ,нм
термоЭДС, мкВ К-1
Абсолютная удельная
Работа выхода, эВ
К-1
сопротивления,  106
эффициент удельного
Температурный ко-
ление, мкОмм
Удельное сопротив-
расширения,  106 К-1
Температурный ко-
эффициент линейного
ния, С
Температура плавле-
Плотность, Мг/м3
Металл
Физические параметры чистых металлов (Т = 20с)
Алюминий
2,7
660
21,0
0,027
4,1
4,25
–1,3
0,404
Вольфрам
19,3
3400
4,4
0,055
5,0
4,54
+2,0
0,316
Железо
7,87
1540
10,7
0,097
6,3
4,31
+16,6
0,286
Золото
19,3
1063
14,0
0,023
3,9
4,30
+1,5
0,407
Медь
8,92
1083
16,6
0,017
4,3
4,40
+1,8
0,361
Молибден
10,2
2620
5,3
0,050
4,3
1,30
+6,3
0,314
Натрий
0,97
98
72,0
0,042
5,5
2,35
–8,7
0,428
Никель
8,96
1453
13,2
0,068
6,7
4,50
–19,3
0,352
Олово*
7,29
232
23,0
0,113
4,5
4,38
–1,1
Платина
21,45
1770
9,5
0,098
3,9
5,32
–5,1
0,392
Свинец
11,34
327
28,3
0,190
4,2
4,00
–1,2
0,494
Серебро
10,49
961
18,6
0,015
4,1
4,30
+1,5
0,408
Тантал
16,6
3000
6,6
0,124
3,8
4,12
–2,5
0,330
Хром
7,19
1900
6,2
0,130
2,4
4,58
+18,0
0,288
Цинк*
7,14
419
30,0
0,059
4,1
4,25
+1,5
*
Гексагональная структура
Плотности некоторых веществ
, г/см3
Ртуть
13,6
Алмаз
3,5
Спирт
0,79
Графит
1,6
Тяжелая вода
1,10
Кадмий
8,65
Газы (при н.у.)
Кобальт
8,9
Азот
1,25
0,916
Аммиак
0,77
Титан
4,5
Водород
0,09
Уран
19,0
Воздух
1,293
Кислород
1,43
Твердые вещества
Лед
Жидкости
76
, г/см3
, кг/м3
Бензол
0,88
Метан
0,72
Вода
1,00
Углекислый газ
1,98
Керосин
0,80
Хлор
3,21
а = 0,583
с = 0,318
а = 0,266
с = 0,494
0,39
0,39
0,19
16,0
Si
0,542
2,33
1451
2,3
1,12
0,28
0,14
0,05
12,5
GaAs
0,565
5,32
1238
5,4
1,43
0,40
0,95
0,045
13,1
InSb
0,648
5,78
525
4,9
0,18
0,30
7,8
0,075
17,7
GaSb
0,610
5,65
710
6,1
0,72
0,36
0,4
0,14
15,7
InAs
0,606
5,67
942
4,7
0,36
0,35
3,3
0,046
14,6
GaP
0,545
4,07
1467
4,7
2,26
0,47
0,019
0,012
11,1
ZnS
0,541
4,09
1020*
–
3,67
0,53
–
–
5,2
4,10
1780
6,2
3,74
0,38
0,014
0,0005
5,2
6,11
1700
5,7
3,40
0,39
0,03
–
12,2
а = 0,382
ZnS*
с = 0,626
а = 0,319
GaN*
С = 0,518
*
dEg/dT, эВ/К
зоны Eg, эВ
м2/(Вс)
Низкочастотная диэлек-
дырок
0,66
Подвижность ,
трическая проницаемость
электронов
5,8
Ширина запрещенной
937
 106 К–1
5,43
нейного расширения,
Температура плавления, С
0,565
Темп. коэффициент ли-
Плотность, Мг/м3
Ge
Полупроводник
Период решетки
Физические параметры полупроводников (Т = 300 К)
Структура вюрцита
**
Температура фазового перехода
Константы двухатомных молекул
Межъядерное
Частота ко-
Межъядерное
Частота ко-
расстояние d,
лебаний ω,
10 –8 см
10 14 c –1
расстояние d,
лебаний ω,
10 –8 см
10 14 c –1
H2
0,741
8,279
НF
0,917
7,796
N2
1,094
4,445
HCl
1,275
5,632
O2
1,207
2,977
НВr
1,413
4,991
F2
1,282
2,147
НI
1,604
4,350
S2
1,889
1,367
СО
1,128
4,088
Cl2
1,988
1,064
NО
1,150
3,590
Br2
2,283
0,609
ОН
0,971
7,035
I2
2,666
0,404
Молекула
Молекула
77
Массы некоторых изотопов и нейтральных атомов
Элемент
Изотоп
Масса, а.е.м.

H
1,00783
Алюминий
27
12
Al
26,98135
2
1
H
2,01410
Фосфор

 P
32,97174

H
3,01605
Сера
3
2
He
3,01605
Кремний

 Si

 He
4,00260
Медь
64
19
Cu
63,5400
Литий

 Li
7,01601
Кальций

 Ca
47,95236
Бериллий
7
4
7,01169
Железо

 Fe
55,94700
Бор
10
5
B
10,01294
Серебро
108
47
Ag
107,869
11
5
B
11,00931
Барий
137
56
Ba
136,9058
Азот

N
14,00307
Вольфрам
184
74
Кислород
16
8
O
15,99492
Радий

 Ra
226,0254

O
16,99913
Торий

Th
232,038
Неон

 Ne
19,99244
Свинец

 Pb
206,9759
Магний

 Mg
23,98504
Уран

 U
238,0508
27
12
26,98436
Водород
Гелий
78
Be
Mg
Элемент
Изотоп
33
16
S
W
Масса, а.е.м.
32,97146
26,81535
183,8500
Периодическая система химических элементов Д.И.Менделеева
Период
Ряд
Группы элементов
I
1
I
II
H
III
IV
V
1
1,00797
Водород
II
2
Li
3
Be
4
6,939
Литий
III
3
Na
11
IV
4
K
Бор
Mg
Al
12
24,305
Ca
20
39,102
Калий
5
29
40,08
63,546
30
6
Rb
37
Sr
38
8
47
48
Cs
55
Цезий
79
Au
10
Fr
Cd
Ba
140,12
80
90
Th 91
138,91
81
[227]
Nd 61
U 93
238,03
Торий Протакти-
Sn
50
[237]
72
Hf
41
Nb
Ниобий
Sb
51
121,75
73
Ta
180,948
Гафний
Pb
82
Тантал
Bi
207,19
104
Rf
105
Db
Дубний
Eu 64
151,96
Самарий
208,980
[262]
Sm 63
150,35
83
Висмут
Pm 62
[244]
74,9216
Сурьма
[261]
Np 94
33
118,69
Резерфордий
[147]
As
Цирконий
Актиний
Неодим Прометий
Ванадий
92,906
Свинец
Ac**
89
[226]
Pa 92
[231]
Zr
204,37
Таллий
V
Мышьяк
178,49
Tl
88
144,24
40
Лантан
Hg
Pr 60
140,907
232,038
La*
23
75,59
Олово
57
Ртуть
Церий Празеодим
**
Индий
Радий
Ce 59
15
114,82
137,34
Ra
Франций
58
49
200,59
87
Ge
91,22
In
56
[223]
*
88,905
15
30,9738
50,942
Титан
Иттрий
Кадмий
Золото
Ti
Германий
Y
Барий
196,967
VII
Галлий
112,40
132,905
9
31
P
Фосфор
47,90
39
87,62
Серебро
VI
22
Ga
Цинк
Стронций
107,868
14
21
44,956
14,0067
28,086
69,72
Рубидий
Ag
Si
Кремний
Sc
7
Азот
Алюминий
65,37
85,47
7
Углерод
13
N
12,011115
Скандий
Zn
Медь
V
6
26,9815
Кальций
Cu
C
10,811
Бериллий
Магний
19
5
9,0122
22,9898
Натрий
B
Gd
157,25
Европий Гадолиний
Pu 95
Am 96
[243]
Уран Нептуний Плутоний Америций
Cm
[247]
Кюрий
ний
79
VI
VII
VIII
He
2
Гелий
O
8
F
9
15,9994
Фтор
S
Cl
16
17
Cr
51,996
25
Хром
34
Mn
Mo
95,94
Br
35
Tc
74
W
I
53
75
Re
85
[210]
107
Sg
[263]
Tb
158,924
66
Bh
[262]
162,50
Тербий
97
Bk
[247]
Cf
Xe
Никель
Rh
46
Pd
106,4
Родий
Палладий
54
131,30
76
Os
77
Ir
192,2
Осмий
Rn
78
Pt
195,09
Иридий
Платина
86
[222]
108
Борий
67
Ho
Hs
Хассий
Er
Es
Эйнштейний
Mt
110
Мейтнерий
69
[147]
Tm
150,35
Гольмий
99
109
[266]
68
[254]
Калифорний
45
102,905
[265]
Диспрозий
98
Ru
Рутений
144,24
[252]
Берклий
80
Dy
Кобальт
Радон
Сиборгий
65
44
[210]
106
58,71
83,80
190,2
At
Астат
Ni
36
Рений
Полоний
28
Ксенон
Вольфрам
84
Kr
126,9044
186,2
Po
Co
Железо
Технеций
Йод
183,85
27
58,9330
101,97
127,60
Теллур
Fe
Криптон
43
Молибден
52
26
79,904
[99]
Te
39,948
55,847
Бром
42
18
Марганец
78,96
Селен
Относительная атомная масса
Аргон
54,9380
Se
Ar
3
6,939
Литий
20,173
35,453
Хлор
24
10
Неон
32,064
Сера
Li
Ne
18,9984
Кислород
Атомный
номер
Обозначение
элемента
4,0026
Эрбий
101
[257]
[257]
Yb
151,96
Тулий
100 Fm
Фермий
70
Md
Менделеевий
71
Lu
157,25
Иттербий
102
No
[255]
Лютеций
103
Lr
[256]
Нобелий
Лоуренсий
Некоторые математические формулы
sin   1
sin 2   cos2   1
1  ctg 2
sin     sin  cos   cos  sin 
cos   1
cos    cos  cos   sin  sin 
sin   
tg    
tg  tg
1  tgtg
cos 2 
1  tg 2
  cos  
1  cos   2
sin   sin   2 sin    2cos   2 exp ia   cos   i sin 
sin   sin    cos   sin    

sin   ei  e i
 2i 
cos   cos   2 cos   2cos   2


cos   ei  e i 2
cos   cos    sin    sin    
x
n
  n  1  C
dx  x n 1
a
x
n  1
dx  a x ln a  C , если а = е, то
 dx x  ln x  C
e
x
dx  e x  C
 sin xdx   cos x  C  cos xdx  sin x  C
n0
1,

  2, n  1 2
n x
 x e dx  1, n  1

0
2,
n2


2,31,
 2
 6 ,
 n
x dx 
 e x  1  2,405,
 4
0
 15 ,
24,9,
n ax
 x e dx 
n 1 2
n 1
n2
n3
n4
  2,

1 2 ,
n  x2
 x e dx    4 ,

0
1 2 ,


n0
n 1
n2
n3
0,225,   1
1,18,
2
 3
x dx 
 e x  1  2,56,   3
4,91,
0
5

6,43,
  10
 x2 2x 2 
1 n ax n n 1 ax
x e   x e dx  x 2e axdx  e ax   2  3 
a
a
a 
 a a
ax
 xe dx 
eax
a2
ax  1
81
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Модель атома Бора
3
2. Волны де Бройля
6
3. Соотношение неопределенностей Гейзенберга
8
4. Введение в квантовую механику. Уравнение Шредингера
11
5. Потенциальная яма и потенциальный барьер.
17
6. Строение атома
22
7. Рентгеновские спектры атомов.
28
8. Спектры молекул.
32
9. Статистика квантовых частиц. Электроны в металле.
38
10. Фононы и теплоемкость
44
11. Полупроводники и диэлектрики
48
12. Контактные явления
54
13. Строение атомных ядер
62
14. Радиоактивность
65
15. Элементы дозиметрии излучений
68
16. Дефект масс и энергия связи атомных ядер. Ядерные реакции
71
17. Приложения
75
82