Теория Бора

ТЕМА 3. БОРОВСКАЯ ТЕОРИЯ АТОМА ВОДОРОДА
3.1. Спектр излучения атомов водорода
Итак, в 1900 г. была сформулирована квантовая гипотеза М. Планка,
согласно которой свет излучается атомами не непрерывно, но порциями
(квантами), названными позже фотонами. Развивая эту гипотезу,
А.Эйнштейн предположил, что свет не только излучается, но
распространяется и поглощается веществом тоже квантами, и на основе этого
объяснил законы внешнего фотоэффекта. Следующий толчок в развитии
квантовая физика получила в связи с решением задачи о спектре испускания
атомарного водорода.
Спектром излучения (поглощения) вещества называется график
зависимости интенсивности ЭМИ, испускаемого (поглощаемого) атомами
этого вещества от частоты либо длины волны. Атомы газа в нормальном
состоянии практически не взаимодействуют между собой, поэтому спектры
газообразного вещества, в том числе водорода, представляют собой набор
узких линий (спектральных линий). Первоначально была обнаружена группа
линий в видимой части спектра; швейцарский физик Бальмер установил, что
их длина волны подчиняется простому соотношению:
  0
n2
n2  4
(здесь  0 – константа, n  3,4,5,... ). Если вместо длины волны использовать
циклическую частоту, эта формула принимает вид:
1 
 1
  R 2  2 , n  3,4,5...
n 
2
(3.1)
Здесь R  2,07  1016 1/с – константа, которая называется постоянной Ридберга.
Равенство (3.1) называется формулой Бальмера, а группа спектральных
линий в видимой части спектра испускания атомов водорода – серией
Бальмера. По мере совершенствования спектральной аппаратуры
впоследствии были обнаружены серии линий в инфракрасной и
ультрафиолетовой части спектра. Так, в УФ области находятся линии серии
Лаймана; их частоты удовлетворяют формуле
1 
1
  R 2  2 , n  2,3,4,5...
n 
1
В ИК области расположены спектральные линии серии Пашена, Брэкета,
Пфунда и Хэмфри; их частоты удовлетворяют аналогичным соотношениям:
1 
 1
  R 2  2 , n  4, ,5,6... (серия Пашена),
n 
3
1 
 1
  R 2  2 , n  5,6,7... (серия Брэкета),
n 
4
1 
 1
  R 2  2 , n  6,7,8... (серия Пфунда),
n 
5
1
1 
 1
  R 2  2 , n  7,8,9,... (серия Хэмфри).
n 
6
Физики понимали, что ключ к разгадке спектральных закономерностей
находится внутри атома водорода. Иначе говоря, для того чтобы объяснить
характер спектра испускания газообразного водорода, необходимо было
установить, как «устроен» атом водорода.
В те времена была известна модель атома, которую называли моделью
Томсона (того самого, который в 1897 году открыл существование
электрона). Согласно Томсону, атом представляет собой шарик с
равномерно распределенным положительным зарядом. По этому шарику
равномерно размещены электроны, причем их суммарный заряд по модулю
равен положительному заряду. В модели Томсона атом напоминал пудинг, в
котором роль бисквита принадлежала шарику, а роль изюминок –электронам.
Именно поэтому модель Томсона стала называться пудинговой моделью.
3.2. Ядерная модель атома
С целью проверки справедливости пудинговой модели английский
физик Э. Резерфорд провел исследования распределения положительного
заряда в атоме. В опытах Резерфорда узкий параллельный пучок  -частиц
направлялся на очень тонкую (толщиной порядка 0,5 мкм) металлическую
фольгу. В те времена уже было известно, что  -частицы испускаются
некоторыми атомами в процессе радиоактивного распада; они обладают
положительным зарядом 2 e и в результате присоединения двух электронов
превращаются в атом гелия.
Схема установки, которая использовалась в опытах Резерфорда,
показана на рис. 3.1. Попадая на фольгу,  -частицы изменяли траекторию
движения, отклоняясь от первоначального направления на различные углы  .
Отклонение исследовалось с помощью экрана, покрытого слоем ZnS . В том
месте экрана, куда попадала  -частица, возникала световая вспышка,
экран
фольга
источник   часиц


Рис. 3.1.
которая наблюдалась в микроскоп. Поворачивая экран относительно фольги,
можно было найти долю частиц, рассеянных под разными углами.
Резерфорд обнаружил, что подавляющее число  -частиц отклонялось
на небольшие углы. Вместе с тем одна из 20000 частиц испытывала
отклонение на 900, одна из 40000 частиц – на угол 1200, одна из 70000 частиц
2
– на угол 1500. Проанализировав результаты своих опытов, Резерфорд
пришел к выводу, что внутри атома имеется чрезвычайно сильное
электрическое поле, которое создается зарядом, связанным с большой массой
и сконцентрированном в малом объеме. Основываясь на этом, Резерфорд в
1911 г. предложил ядерную модель, в которой атом представляет собой
электронейтральную систему зарядов. В центре ее расположено массивное
положительно заряженное ядро с зарядом Ze ( Z – порядковый номер атома
как химического элемента в периодической системе). Размер ядра в диаметре
не превышает 10-14 м, в нем сосредоточена практически вся масса атома.
Вокруг ядра расположены Z электронов, которые распределены по всему
объему атома. Согласно теореме Ирншоу система неподвижных
электрических зарядов не может находиться в устойчивом равновесии.
Поэтому Резерфорду пришлось предположить, что электроны движутся
вокруг ядра подобно тому, как Земля и другие планеты Солнечной системы
движутся вокруг Солнца.
Ядерная модель позволила объяснить результаты опытов по рассеянию
 -частиц, однако она оказалась в противоречии с законами классической
электродинамики. В самом деле, электрон, движущийся вокруг ядра,
обладает нормальным ускорением. Поэтому атом должен испускать
электромагнитное излучение, частота которого совпадает с частотой
вращения электрона. В результате этого энергия атома и частота излучения
должны быстро уменьшаться, а электрон – упасть на ядро. В
действительности же атомы вещества представляют собой очень устойчивые
образования. В пользу этого свидетельствует то, что если вещество не
подвергается никаким внешним воздействиям, его спектры испускания не
изменяются.
3.3. Постулаты Бора
Как уже отмечалось, ядерная модель атома, сформулированная
Резерфордом, противоречила классической электродинамике и не смогла
объяснить устойчивость атома и линейчатый характер спектров испускания
газообразного водорода. Для того чтобы «примирить» ядерную модель,
данные по спектрам испускания атомарного водорода и квантовую гипотезу
Планка, датский физик Н. Бор в 1913 г. сформулировал два положения,
которые впоследствии стали называться постулатами Бора. Согласно
первому из них, из бесчисленного множества электронных орбит,
допускаемых классической физикой, реализуются лишь те, на которых
электрон имеет строго определенное значение момента импульса и энергии.
Такие орбиты называются стационарными; находясь на них, электрон не
испускает и не поглощает электромагнитное излучение. Возможные значения
модуля момента импульса электрона на орбите определяются условием
(3.2)
L  n ,
где n  1, 2, 3... – номер орбиты,   h / 2 . Позже величина n получила
название главного квантового числа.
3
Согласно второму постулату, испускание или поглощение кванта
электромагнитного излучения происходит в результате скачкообразного
перехода электрона с одной орбиты на другую; энергия кванта при этом
равна разности энергий соответствующих стационарных состояний:
mn  Wm  Wn .
Понятно, что если Wm  Wn , то квант испускается, в противном случае –
поглощается.
Существование стационарных состояний электрона в атоме со строго
определенными значениями энергии было подтверждено в 1914 г. в опытах
Франка и Герца. В трубке, заполненной парами ртути при низком давлении
(~1 мм.рт.ст.), имелись три электрода – катод, сетка и анод (рис. 3.2).
Электроны, вылетающие из раскаленного катода, ускорялись в
электрическом поле между катодом и сеткой; разность потенциалов между
ними можно было регулировать реостатом. В промежутке между сеткой и
анодом создавалось слабое электрическое поле, тормозящее электроны,
двигающиеся к аноду.
В экспериментах Франка и Герца измерялась сила анодного тока в
зависимости от напряжения между катодом и сеткой. На рис. 3.3 видно, что
катод

сетка
анод



V

реостат


A



Рис. 3.2
I
4,9
9,8
14,7
U, B
Рис. 3.3
4
при повышении напряжения сила тока вначале увеличивалась. При U  4,9
В она достигала максимального значения, после чего резко уменьшалась,
затем опять увеличивалась и т.д. Такая зависимость обусловлена тем, что
вследствие дискретности энергетических состояний электроны в атомах
ртути могут воспринимать энергию, поступающую извне, только строго
определенными порциями (квантами): W  W2  W1 (здесь W1 и W2 – энергия
электрона в стационарных состояниях с наименьшим и следующим
возможным значением энергии). До тех пор, пока энергия электронов,
движущихся к аноду, меньше разности W , их соударения с атомами ртути
являются упругими. Поэтому часть электронов движется в цепи сетки,
остальная часть создает анодный ток. Чем больше ускоряющее напряжение
между катодом и сеткой, тем больше скорость электронов и тем большая их
часть достигает анода (на рис. 3.2 это соответствует увеличению силы тока с
повышением напряжения). Когда электроны, двигаясь в промежутке между
катодом и сеткой, приобретают энергию, равную W , их соударения с
атомами ртути становятся неупругими: сталкиваясь с атомами ртути, они
передают им свою энергию. Поэтому количество электронов, попадающих
на анод, уменьшается, что приводит к уменьшению силы тока после
достижения максимального значения. Атомы ртути, получившие энергию от
электронов, переходят из стационарного состояния с энергией W1 в
состояние с энергией W2 (на языке квантовой физики – из основного в
первое возбужденное состояние). Затем, спустя примерно 10-9…10-8 с, атомы
ртути возвращаются в основное состояние, испуская кванты света с энергией,
равной W . При дальнейшем увеличении напряжения до 9,8 В электроны
набирают энергию, достаточную для перевода в возбужденное состояние
двух атомов ртути. При напряжении 14,7 В один электрон передает свою
энергию уже трем атомам ртути, и т.п. Именно поэтому кривая на рис. 3.3
имеет ряд максимумов, которым соответствую значения напряжения,
кратные 4,9 В.
Таким образом, в экспериментах Франка и Герца получено
подтверждение существования дискретных энергетических состояний
электронов в атомах.
3.4. Полуклассическая теория Бора
Первая попытка построения неклассической теории простейшего атома
– водорода была предпринята в 1913 г. датским физиком Н.Бором. Как уже
отмечалось, в этой теории Бор попытался связать воедино планетарную
модель атома, линейчатый характер спектров испускания атомарного
водорода и квантовую гипотезу Планка. В теории Бора не содержалось
принципиального отказа от описания движения электрона по законам
классической физики; вместе с тем Бору пришлось ввести ряд ограничений
на возможные состояния электрона в атоме, сформулированных в виде двух
5
постулатов. Поскольку в этой теории сочетаются элементы классической и
квантовой физики, она получила название полуклассической теории.
Итак, пусть электрон движется в поле ядра с зарядом Ze . При Z  1
такая система зарядов соответствует атому водорода, при иных значениях –
водородоподобному иону, у которого удалены все электроны, кроме одного.
Динамическое уравнение движения электрона имеет вид:
me  2
Ze 2

r
40 r 2
(3.3)
(здесь me – масса электрона,  – его скорость, r – радиус орбиты). Исключив
из уравнений (3.3) и (3.2) переменную  , найдем радиусы разрешенных
орбит:
rn 
40  2 2
n .
Ze 2 me
(3.4)
В частности, при Z  1 и n  1 r1  0,53  10 10 м – т.н. первый боровский радиус
(эта величина обычно принимается в качестве характеристики размера атома
водорода). Полная энергия электрона в атоме водорода:
W
me  2
e2

.
2
40 r
Имеем:
me  2 me  2 r
e2
r
e2
e2
e2
e2

 
 
;W


.
2
r
2 40 r 2 2 80 r
80 r 40 r
80 r
Сделаем в этом равенстве замену (3.4):
e 4 me
1
1 e 4 me
Wn   2
 2 2 2.
n 32 2  0 2  2
n 8h  0
При переходе электрона из состояния с энергией W n в состояние с энергией
Wm испускается квант света с энергией   Wn  Wm :
  
 1 e 4 me  e 4 me  1
1 e 4 me
1 



 2 ;
2
2
2
2 
2 
2
2
2
2

n 8h  0
n 
 m 8h  0  8h  0  m
e4m  1
1 
  3 e2  2  2  .
n 
8h  0  m
Из сопоставления последней формулы с формулой Бальмера
имеем:
R
e 4 me
8h 3  0
2
.
6
Подстановка в правую часть этого равенства всех констант дает значение
постоянной Ридберга, совпадающее с найденным из данных по спектрам
испускания атомарного водорода.
Таким образом, полуклассическая теория Бора явилась серьезным
успехом в развитии атомной физики. Она позволила вскрыть закономерности
спектров испускания и поглощения водородоподобных ионов и вычислить
постоянную Ридберга. Вместе с тем в теории Бора имелись серьезные
недостатки, и прежде всего – невозможность построить аналогичную теорию
следующего за водородом атома гелия.
7