Министерство образования и науки Республики Казахстана

Министерство образования и науки Республики Казахстана
Государственный университет имени Шакарима города Семей
Физико-математический факультет
Кафедра информатики и информационных технологий
Учебно-методический комплекс дисциплины
«Численные методы»
Семей 2014г
«Численные методы»
Учебная программа дисциплины «Численные методы» разработана для
студентов
1
курса
магистратуры
по
направлению
6М060200
-
«Информатика», в соответствие с требованиями ГОСО РК по данному
направлению. Дисциплина «Численные методы» входит в обязательную
часть дисциплин общенаучного цикла. Учебным планом предусмотрены
лекционные
занятия
(15
часов)
практические
занятия
(30
часов),
самостоятельная работа студента 45 часа). Дисциплина реализуется на 1
курсе магистратуры в 1 семестре.
Дисциплина
направлена
на
формирование
общенаучных
и
профессиональных компетенций выпускника.
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
Цель дисциплины – формирование у студентов системы знаний, умений
и навыков, необходимых для применения современных численных методов к
решению задач механики деформируемого твердого тела и механики
жидкости.
Задачи дисциплины
- систематизация и структурирование основных представлений в
области приближенных методов решения задач механики;
- освоение студентами основных методов решения задач механики
деформируемого твердого тела и механики жидкости;
- выработка у студентов навыков самостоятельной работы с основными
современными пакетами прикладных программ.
Для освоения курса "Современные численные методы" требуется знание
следующих
разделов
прикладной
математики:
линейная
алгебра,
математический анализ, механика сплошных сред, теории упругости,
уравнения математической физики, вариационное исчисление, численные
методы.
Освоение данной дисциплины направлено на формирование у студента
следующих компетенций:
Общекультурные компетенции:
-
Совершенствовать
и
развивать
свой
интеллектуальный
и
общекультурный уровень, владеть культурой мышления, иметь способности
к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору
путей ее достижения (ОК-1);
- Самостоятельно
приобретать
с
помощью
информационных
телекоммуникационных
технологий
и
использовать
в
и
практической
деятельности новые знания и умения, в том числе, и в новых областях
знаний, непосредственно не связанных со сферой деятельности (ОК-5);
Профессиональные компетенции:
- Выявлять сущность научно-технических проблем, возникающих в ходе
профессиональной
деятельности,
и
привлекать
для
их
решения
соответствующий физико-математический аппарат, вычислительные методы
и компьютерные технологии (ПК-1);
- Применять физико-математический аппарат, теоретические, расчетные
и экспериментальные методы исследования,
методы математического и
компьютерного моделирования в процессе профессиональной деятельности
(ПК-2);
- Самостоятельно осваивать и применять научные теории, физикоматематические и вычислительные методы,новые системы компьютерной
математики и системы компьютерного проектирования и компьютерного
инжиниринга
(CAD/CAE
системы),
для
эффективного
решения
профессиональных задач (ПК-4);
- Самостоятельно
выполнять
научные
исследования
в
области
прикладной механики для различных отраслей промышленности, топливноэнергетического комплекса, транспорта и строительства; решать сложные
научно-технические
задачи,
которые
для
своего
изучения
требуют
разработки и применения математических и компьютерных моделей,
применения программных средств мультидисциплинарного анализа (CAE
системы мирового уровня), (ПК-5);
- Проводить учебные занятия, лабораторные работы, вычислительные
практикумы, принимать участие в организации научно-исследовательской
работе студентов младшихкурсов, быть способным преподпвать в школах и
средне-технических учреждениях (ПК-9);
- Самостоятельно адаптировать и внедрять современные наукоемкие
технологии прикладной механики с элементами мультидисциплинарного
анализа для решения сложных научно-технических задач создания техники
нового поколения: машин, конструкций, композитных структур, сооружений,
установок, агрегатов, оборудования, приборов и аппаратуры (ПК-11);
- Формулировать технические задания и применять программные
системы компьютерного проектирования (CAD системы), в процессе
конструирования деталей машин и элементов конструкций с учетом
обеспечения их прочности, жесткости, устойчивости, долговечности,
надежности
и
износоустойчивости,
готовить
необходимый
комплект
технической документации в соответствии с ЕСКД (ПК-12);
- Участвовать
в
организации
и
проведении
инновационного
образовательного процесса (ПК-22).
Результаты освоения дисциплины:
В результате освоения учебной дисциплины обучающиеся должны
демонстрировать следующие результаты образования:
Знать:
-
основы
математики,
механики
и
информатики,
основы
информационных и коммуникационных технологий;
- идеологию компьютерного моделирования механических систем
и
принципы построения математических моделей механических систем;
- основные системы CAD-CAE моделирования.
Уметь:
применять знания для освоения основных методов приближенного
решения задач механики;
- выбрать адекватный и эффективный метод решения профессиональных
задач;
–
правильно
применять
основные
алгоритмы
вычислительной
механики, использовать её методы в технических приложениях;
––
использовать языки и системы программирования для решения
профессиональных
задач,
квалифицированно
применяя
программное
обеспечение и математические пакеты для компьютерного моделирования
механических систем.
Владеть:
-навыками
применения
вычислительных
средств
к
решению
профессиональных задач;
-навыками
работы
с
современными
средствами
компьютерной
математики.
I. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЧАСТИ КУРСА
МОДУЛЬ
1.
Численные
методы
решения
обыкновенных
дифференциальных уравнений (10 час).
Тема 1. Основные подходы к построению разностных схем. (2 час.).
Численное дифференцирование. Аппроксимационные формулы. Задача
Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка.
Метод Эйлера, метод Эйлера с итерациями. Метод Рунге-Кутты
Тема 2. Краевые задачи для обыкновенного дифференциального
уравнения 2-го порядка, метод прогонки (2 час.).
Ортогональное преобразование неизвестных. метод последовательной
прогонки метод обратной прогонки.
Тема 3. Метод сеток для уравнений в частных производных. (2 час.).
Явные и неявные разностные схемы. Порядок аппроксимации,
сходимость, устойчивость
Тема 4. Устойчивость разностной схемы. (2 час.).
Условие устойчивости Неймана. Проверка на устойчивость для явной
четырехточечной схемы, схемы Лакса, шеститочечной схемы
Тема 5. Эволюционные задачи с двумя пространственными
переменными. (2час.).
Схема переменных направлений. Схема расщепления. Неявная схема
второго порядка
Модуль 2. Асимптотические методы решения сингулярных задач
механики (4 час.).
Тема
1.
Основы
асимптотических
методов,
асимптотическое
разложение. (2 час.).
Понятие
сингулярности
асимптотических
решений
задачи.
Основные
дифференциальных
методы
построения
уравнений.
Прямые
разложения и источники неравномерности:- малый параметр при старшей
производной;- изменение типа дифференциального уравнения в частных
производных
Тема 2. Пограничный слой для обыкновенных дифференциальных
уравнений с ненулевой правой частью. (2 час.).
Построение асимптотических решений для пограничного слоя
II. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКОЙ ЧАСТИ КУРСА
Занятие 1. Численное дифференцирование. (4 час.).
Аппроксимационные формулы. Порядок аппроксимации .
Занятие 2. Задача Коши для обыкновенного дифференциального
уравнения 1-го порядка. (4 час.).
Метод Эйлера. Метод Эйлера –Коши с итерациями. Метод Рунге Кутты.
Использование
встроенных
процедур
для
решения
обыкновенных
дифференциальных уравнений в пакете Mathcad, MAPLE
Занятие 3. Редукция краевой задачи к задаче Коши. (4 час.).
Метод прогонки для решения краевой задачи для ОДУ второго порядка.
Занятие 4. Метод сеток. (6 час.).
Решение уравнения теплопроводности с помощью явной схемы,
неявной схемы, схема Лакса. Погрешность аппроксимации, устойчивость.
Занятие 5. Исследование на устойчивость разностной схемы. (6 час.).
Критерий Неймана.
Занятие 6. Решение задач для уравнения колебаний методом сеток.
(4 час.).
Решение уравнения Пуассона для плоских областей, сходимость
Лимбмана
Занятие 7. Задачи для уравнения диффузии-теплопроводности
с
двумя пространственными переменными. (6 час.).
Схема переменных направлений. Схема расщепления
Занятие 8. Прямые разложения и источники неравномерности. (6
час.).
Малый
параметр
при
старшей
производной.
Использование
вычислительных пакетов Mathcad, MAPLE для решения задач ОДУ
Занятие 9. Метод сращивания асимптотических разложений. (4 час.)
Построение асимптотических решений краевой задачи. Метод Пуанкаре
построения равномерно пригодных асимптотических решений уравнения
Дюффинга.
Использование встроенных процедур для аппроксимации,
определение параметров.
Занятие 10. Исследование поведения точного и асимптотического
решения уравнения Дюффинга. (4 час.)
Метод многих масштабов. Примеры применения метода многих
масштабов для уравнения Дюффинга, уравнения Ван дер Поля.
Модуль 11. Основы метода конечных элементов (10 час.).
Занятие 12. Теоретические основы метода конечных элементов (4
час.)
Теоретические основы метода конечных элементов для задач механики.
Базисные функции. Примеры решения простейших одномерных задач.
Занятие 13. Применение конечно-элементных пакетов (6час.)
Применение конечно-элементных пакетов ANSYS Workbench, Fluent,
Inventor для решения задач механики деформируемого твердого тела,
механики жидкости.
III. КОНТРОЛЬ ДОСТИЖЕНИЯ ЦЕЛЕЙ КУРСА
Вопросы к экзамену
1. Аппроксимационные формулы для приближения производных.
Порядок аппроксимации. Вывод с использованием формулы Тейлора.
2. Методы решения задачи Коши для ОДУ (М. Эйлера, М. РунгеКутта).
3. Порядок точности метода, сходимость, аппроксиация разностной
схемы, устойчивость.
4. Оценка
погрешности.
Практическое
правило
для
оценки
погрешности (двойной пересчет). Зависимость погрешности от шага.
5. Метод прогонки для решения СЛАУ с трехдиагональной матрицей.
6. Решение краевой задачи для ОДУ 2-го порядка с помощью метода
прогонки.
7. Задача интерполяции. Интерполяционный многочлен.
8. Метод наименьших квадратов. Линейная, квадратичная регрессия.
9. Скалярное произведение функции. Ортогональность функций.
Ортогональные
системы
функций.
(Тригометрическая,
многочлены
Лежандра). Многочлены Чебышева.
10. Метод сеток для различных типов уравнений математической
физики. Физический смысл. Начально-краевые задачи.
11. Примеры сеточных аппроксиаций для модельного уравнения
теплопроводности. Реализация неявных схем.
12. Сходимость и устойчивость разностной схемы.
13. Исследование устойчивости разностных схем для модельного
уравнения переноса.
14. Исследование устойчивости разностных схем для модельного
уравнения теплопроводности.
15. Эволюционные задачи с двумя пространственными переменными.
Явная схема. Неявная схема второго порядка точности.
16. Схема переменных напрвлений для уравнения теплопроводности.
17. Схема расщепления для уравнения теплопроводности.
18. Сационарные краевые задачи. Уравнение Пуассона. Явные методы.
19. Модельное уравнение конвективного переноса. Явные методы.
Неявные схемы.
20. Основы метода конечных элементов. Современные конечноэлементные пакеты.
IV. ТЕМАТИКА И ПЕРЕЧЕНЬ КУРСОВЫХ РАБОТ И РЕФЕРАТОВ
Индивидуальные задания на курсовое проектирование
При выполнении курсового проекта выдается индивидуальное задание
по проектированию программного модуля, решающего определенную
вычислительную задачу. Задается вид дифференциального уравнения,
плоская область, ограниченная кривой, граничные и начальные условия,
метод расчета. При этом следует выполнить следующие этапы работы:
- разработка математической модели с входными
и выходными
данными решаемой задачи и её общего описания;
- обоснование выбора разностной схемы, анализ ее устойчивости;
- разработка программного модуля на базе программного комплекса
MAPLE;
- проведение асимптотического анализа структуры решения задачи, если
это возможно;
- получение количественных результатов и их визуализация с помощью
программных средств MAPLE;
- оценка погрешности решения с использованием правила Рунге;
- по результатам вычислений определить область параметров, в
которой решение задачи устойчиво.
Темы индивидуальных заданий:
1.
Проектирование
статически
неопределимой
ферменной
конструкции с использованием программного комплекса MAPLE.
2. Проект программного модуля для численного решения задачи о
нестационарном
распределении
температур
в
плоской
области
с
использованием метода расщепления.
3. Проект программного модуля для численного решения задачи о
нестационарном
распределении
температур
в
плоской
области
с
использованием метода поперечных направлений.
4. Проект программного модуля для численного решения задачи о
нестационарном
распределении
температур
в
плоской
области
с
использованием метода расщепления (неявная шеститочечная схема).
5. Проект программного модуля для численного решения задачи о
нестационарном
распределении
температур
в
плоской
области
с
использованием метода расщепления (неявная четырехточечная схема).
6. Проект программного модуля для численного решения задачи о
нестационарном
распределении
температур
в
плоской
области
с
использованием метода поперечных направлений (неявная четырехточечная
схема).
7. Проектирование программного модуля для численного решения
задачи о нестационарном распределении температур в плоской области с
использованием метода поперечных направлений (неявная шеститочечная
схема).
8. Проектирование программного модуля использующего метод
начальных параметров для расчета нагруженных балок с использованием
программного комплекса MAPLE.
9. Проектирование программного модуля для решения смешанной
краевой задачи для уравнения колебаний разностным методом, оценка
устойчивости разностной схемы.
10. Проектирование программного модуля, использующего метод
прогонки, как способ реализации неявной разностной схемы для уравнения
теплопроводности
(разностная
схема
Лакса).
Оценка
устойчивости
разностной схемы.
11. Проектирование программного модуля
для численного решения
задачи о нестационарном массообмене в плоской области с заданными
граничными и начальными условиями, на основе неявной четырехточечной
схемы. Для построения разностной схемы использовать метод расщепления.
12. Проектирование программного модуля
для численного решения
задачи о нестационарном массообмене в плоской области с заданными
граничными и начальными условиями, на основе неявной шеститочечной
схемы. Для построения разностной схемы использовать метод поперечных
направлений.
13. Проектирование программного модуля
для численного решения
задачи о нестационарном распределении температур в плоской области с
заданными граничными и начальными условиями, на основе двухшаговой
двухслойной схемы. Для построения разностной схемы использовать метод
расщепления.
14. Проектирование программного модуля
для численного решения
задачи о нестационарном распределении температур в плоской области с
заданными граничными и начальными
условиями, на основе неявной
шеститочечной схемы с весами. Для построения разностной схемы
использовать метод поперечных направлений.
15. Проект программного модуля для численного решения задачи о
потенциальном течении
в плоской области с заданными граничными
условиями, с использованием итерационного метода верхней релаксации.
16. Проектирование программного модуля численного решения задачи
о пограничном слое около вертикальной поверхности с использованием
асимптотического анализа и автомодельного решения.
17. Проектирование
программного
модуля
использующего
при
решении задачи для уравнения массопереноса регуляризацию схем второго
порядка точности методом явного сглаживания, «искусственной вязкости».
18. Проект программного модуля реализующего численное решение
модельного уравнения переноса с помощью явной четырехточечной схемы и
неявной
шеститочечной
симметричной
схемы.
Оценка
устойчивости
разностной схемы.
19. Проект программного модуля реализующего численное решение
модельной задачи для уравнения переноса с малым параметром при старшей
производной с использованием центрально-разностной аппроксимации
конвективного члена. Оценка погрешности решения в области пограничного
слоя.
20. Проект программного модуля реализующего численное решение
краевой задачи для бигармонического уравнения в плоской области с
помощью метода последовательной верхней релаксации.
V. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Основная литература
1. Бочарова А.А., Луппова Е.П., Ратников А.А. Вычислительная
математика. ДВГТУ, Владивосток, 2008. – 167 с.
2. Бахвалов Н. С. Численные методы. Уч. пособие. - М: БИНОМ.
2008. – 636 с.
3. Демидович Б. П. Численные методы анализа. Уч. пособие. Спб.:
Лань – 2010. – 400 с.
4. Чупрынин В. И. Моделирование динамических систем. Уч.
пособие. Вл-к, Изд-во ДВФУ – 2010 г. - 71 с.
Дополнительная литература
1. Кукуджанов В.Н. Численные методы в механике сплошных сред. Курс
лекций. М.: МАТИ, 2006. - 324с.
2. Кукуджанов В.Н. Компьютерное моделирование деформирования,
повреждаемости и разрушения неупргугих материалов и конструкций. М.:
МФТИ, 2008. - 421с.
3. Ясницкий Л.Н., Данилевич Т.В. Современные проблемы науки:
Учебное пособие. - М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. - 294 с.
4. Бахвалов Н. С., Жидков, Г. М. Кобельков. Численные методы: учебное
пособие. Москва : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003. - 632 с.
Интернет-ресурсы
1. Численные методы, параллельные вычисления и информационные
технологии: Сборник научных трудов / Под ред. Вл.В. Воеводина и Е.Е.
Тыртышникова. - М.: Изд-во МГУ им. М.В. Ломоносова, 2008. - 320 с.
http://window.edu.ru/resource/505/52505
2. Баландин Д.В., Городецкий С.Ю. Классические и современные методы
построения регуляторов в примерах. Электронное учебно-методическое
пособие. - Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2012. - 122 с.
http://window.edu.ru/resource/223/79223
3. Анкилов, А. В. Решение линейных задач математической физики на
основе методов взвешенных невязок: учебное пособие / А. В. Анкилов, П. А.
4. Вельмисов, А. С. Семенов; под общ. ред. П. А. Вельмисова. - 2-е изд. Ульяновск: УлГТУ, 2010. - 179 с. http://window.edu.ru/resource/511/74511