Нестолкновительные причины уширения резонансов

Нестолкновительные причины уширения резонансов насыщения
поглощения (продолжение).
4). Уширение сферичностью встречных волн.
Есть две причины уширения сферичностью встречных световых волн.
Первая причина проявляется, если встречная волна формируется в
результате отражения света от плоского зеркала. В этом случае выпуклости
фронтов встречных волн направлены навстречу друг другу:
,
что приводит к тому, что угол между встречными волнами изменяется
при перемещении поперек пучка лучей. Отличный от нуля средний угол между
встречными волнами приводит к соответствующему уширению резонансов
углом между встречными волнами.
Вторая причина уширения резонансов проявляется даже в том случае,
если угол между встречными волнами нулевой во всех точках пучка лучей:
.
В этом случае, если молекула сначала движется перпендикулярно
встречным световым волнам, как и нужно для формирования резонанса, то по
мере прямолинейного движения скорость молекулы перестает быть
перпендикулярной свету. Уширение резонанса в этом случае является
комбинацией пролетного уширения и уширения углом между встречными
волнами.
5). Квадратичный эффект Доплера.
Если устранены все другие аппаратные причины уширения резонансов
насыщения поглощения, то последняя неустранимая причина — это
квадратичный эффект Доплера.
Пусть встречные световые волны имеют одинаковую частоту ω в
лабораторной системе отсчета, тогда в приближении линейного эффекта
Доплера их частоты в системе отсчета молекулы будут равны:
 '
 Vz 
ω 1 = ω − kVz = ω 1 − c 



.

V


'
ω = ω + kV = ω 1 + z
z


 2
c 

Если учитывать эффект Доплера без ограничения на линейное
приближение, то формулы для частот встречных волн в системе отсчета
молекулы примут следующий вид:
Vz

−
1
 '
c
ω 1 = ω
V2

−
1

c2

.

V
z

1+
ω ' = ω
c
 2
V2

1−

c2
В условиях резонанса просветления среды обе частоты встречных волн в
системе отсчета молекулы равны частоте перехода ω21 :
Vz

−
1

c =ω
ω
21
V2

 1− 2
c

.

V
 1+ z
ω
c =ω
21

2
V
 1−

c2
Оба равенства одновременно могут быть выполнены только при условии
Vz = 0 . Тогда
V2
V⊥2
ω = ω 21 1 − 2 = ω 21 1 − 2 .
c
c
Для каждого значения величины составляющей скорости молекулы в
плоскости перпендикулярной лучу V⊥ резонанс наступает на своей частоте
V⊥2
ω = ω 21 1 − 2 лазерного излучения.
c
Это приводит к уширению резонанса с относительной величиной:
δωкв U 2
м
≈
, где U ≈ 300 — наиболее вероятная скорость молекул при
ω
с
c2
комнатной температуре, c = 3*108
δωкв
≈ 10−12 .
ω
м
— скорость света в пустоте. Тогда
с
Для видимого света λ ≈ 0.5мкм
δν кв ≈ 600 Гц .
=>
ν=
c
λ
= 6 *1014 Гц
=>
Интересно отметить, что в пролетных условиях, когда основной вклад в
резонанс
вносят
молекулы,
движущиеся
с
малыми
скоростями
перпендикулярно лучу, оказывается подавлен и квадратичный эффект Доплера.
Резонансы с шириной в десятки Герц экспериментально наблюдаются
только в инфракрасной области спектра, а в ближней инфракрасной области —
только при охлаждении газа.
Уменьшение уширения резонансов, вызванного квадратичным эффектом
Доплера возможно только путем охлаждения исследуемого газа.
В ниже следующей работе приведен расчет формы второй производной
резонанса в пролетных условиях с учетом квадратичного эффекта Доплера и
экспериментальная зависимость.
Bagayev S.N., Chebotayev V.P., Dmitriyev A.K., Om A.E., Nekrasov Yu. V.,
Skvortsov B.N. Second-order Doppler-free spectroscopy. // Appl. Phys. B. 1991. V.
52. N. 1. P. 63-66.
Лазерное охлаждение.
Рассмотрим оптическую схему опыта.
Пусть частота излучения лазера ω меньше центральной частоты линии
поглощения ω 21 , но их разница не превышает доплеровскую ширину
спектральной линии. Поглощенный средой свет частично переизлучается вдоль
луча, и частично излучается спонтанно равновероятно во все стороны. Нас
будет интересовать только спонтанное излучение во все стороны.
Для молекул резонансно поглощающих свет:
ω < ω 21
ω − ω 21
=> Vz =
< 0.

ω
kV
ω
−
=
k
z
21

То есть свет поглощают молекулы, летящие навстречу лучу.
В этом случае происходит лазерное охлаждение газа.
Явление охлаждения можно объяснить двумя способами.
1). Объяснение лазерного охлаждения через рассмотрение импульса.
Свет поглощается молекулами, летящими навстречу лучу. При
поглощении света молекулы испытывают отдачу и замедляются. То есть
импульс фотона складывается с лучевой проекцией импульса молекулы и в
результате лучевая проекция импульса уменьшается по модулю.
При излучении света молекулы газа снова испытывают отдачу, но
спонтанное излучение равновероятно по направлениям. Поэтому импульс
молекулы при излучении фотона почти равновероятно уменьшается и
увеличивается.
В результате двух актов, поглощения фотона и спонтанного излучения
фотона, модуль импульса молекулы в среднем уменьшается. Уменьшение
импульса — это уменьшение кинетической энергии молекул, а средняя
3
кинетическая энергия связана с температурой соотношением Eкин = k Б T .
2
Уменьшение кинетической энергии молекул — это охлаждение газа.
2). Объяснение лазерного охлаждения через рассмотрение энергии.
Частота генерации лазера по условию эксперимента меньше частоты
перехода ω < ω 21 . Следовательно, ℏω < ℏω 21 , где ℏω — энергия
поглощенного фотона, а ℏω 21 — средняя энергия излученного фотона, которая
имеет одинаковую величину в системе отсчета молекулы и в лабораторной
системе отсчета.
И действительно. В системе отсчета молекулы поглощается и излучается
одна и та же энергия ℏω 21 , но при переходе в лабораторную систему отсчета
поглощаемый и излучаемый свет испытывают разный доплеровский сдвиг.
Излучаемый молекулой свет произвольным образом ориентирован
относительно скорости молекулы, поэтому доплеровский сдвиг частоты
излучения при переходе в лабораторную систему отсчета почти равновероятен
в сторону уменьшения и в сторону увеличения частоты. Частота излучения, при
этом, в системе отсчета молекулы равна ω 21 , а в лабораторной системе отсчета
частота излучения в среднем равна ω 21 .
Поглощается свет лазера с частотой ω < ω 21 , так как другой частоты в
излучении лазера нет по условию. В результате на каждой паре процессов
поглощения и излучения света молекула в лабораторной системе отсчета
получает энергию ℏω меньше, чем в среднем излучает ℏω 21 . Молекула в
среднем теряет энергию, и газ охлаждается.
--------Рассмотрим предел лазерного охлаждения.
Качественно предел охлаждения связан с тем, что при низкой
температуре при поглощении фотона молекула может совсем остановиться за
счет отдачи. Тогда при излучении фотона молекула снова приобретет прежний
импульс, и температура газа не уменьшится.
hν
В этом случае импульс фотона
равен импульсу молекулы p . Через
c
средний импульс молекулы можно выразить кинетическую энергию молекулы
p2
, которая связана с температурой газа:
2m
p2 3
= k БT .
2m 2
Подставим сюда импульс фотона
hν
p=
c
и получим T =
h 2ν 2
3k Б mc 2
.
Подставим численные значения:
mc 2 ≈ A ⋅ 109 эВ ≈ A ⋅ 1.6 ⋅ 10−10 Дж , где A — вес молекулы в атомных
единицах. Например, для молекулы водорода A = 2 .
hν ≈ 6.6 ⋅ 10−34 ⋅ 6 ⋅ 1014 ≈ 4 ⋅ 10−19 Дж ,
Дж
k Б ≈ 1.38 ⋅ 10−23
, тогда
К
1
1.6 ⋅ 10−38
1
T≈ ⋅
≈
(К ).
3 A ⋅ 1.6 ⋅ 10−10 ⋅ 1.38 ⋅ 10−23 40000 A
Найдем, какая скорость молекул соответствует этой температуре:
U=
2k БT 0.6  м 
≈
 .
m
A с 
--------Дальнейшее охлаждение газа возможно по принципу охлаждения
открытого стакана с водой. С поверхности воды вылетают преимущественно
молекулы, которые случайно получили бо́льшую энергию, чем средняя энергия
молекул воды. В таком случае средняя энергия оставшихся молекул
уменьшается, и температура воды в стакане оказывается меньше температуры
окружающего воздуха.
Роль стакана при лазерном охлаждении играет потенциальная яма.
Объемная решетка из таких потенциальных ям создается в пространстве
шестью лазерами, которые парами светят навстречу друг другу, формируя три
взаимно ортогональных стоячих волны. Молекулы втягиваются в пучности
светового поля, так как энергия наведенного диполя в электрическом поле
1 равна W = − p, E . Наведенный световым полем диполь пропорционален
2
1
полю p = α E . Тогда энергия наведенного диполя в световом поле W = − α p 2 .
2
1
Сила равна минус градиенту потенциальной энергии F = −∇W = α ⋅ ∇ E 2 .
2
2
Градиент E направлен в сторону увеличения электрического поля, то есть
молекула втягивается в поле световой волны.
Таким образом, шесть лазеров формируют систему потенциальных ям, в
которых скапливаются молекулы охлажденного лазером газа.
Излучение лазеров при этом далеко отстоит по частоте от линии
поглощения газа. То есть обсуждаемое выше лазерное охлаждение газа
прекращено.
В каждой пучности светового поля собирается много молекул газа.
Молекулы, находясь в потенциальной яме, толкают друг друга. Получая
случайным образом в результате столкновений достаточную энергию, молекула
вылетает из потенциальной ямы, унося с собой энергию выше среднего уровня
энергии молекулы в яме.
Тогда у молекул, оставшихся в потенциальной яме, уменьшается средняя
энергия, и газ в этой потенциальной яме испытывает дальнейшее охлаждение.
Лишние молекулы откачиваются насосом.
(
)
( )
Резонанс насыщения плотности возбужденных частиц.
Рассмотрим следующую схему уровней энергии:
.
Лазерное световое поле перебрасывает молекулы с уровня энергии 1 на
уровень 3. С уровня 3 наблюдаются спонтанные переходы на уровень 2.
Оптическая схема для наблюдения резонансов плотности возбужденных
частиц представлена на нижеследующем рисунке:
.
Зависимость интенсивности (или мощности) света на приемнике от
частоты генерации лазера имеет следующий вид:
.
Здесь по вертикали отложена интенсивность света на частоте близкой к
частоте спонтанного перехода ω32 , а по горизонтали — частота генерации
лазера в окрестности линии поглощения на другом переходе с частотой ω31 .
Интенсивность I света спонтанных переходов на частоте ω32
пропорциональна заселенности уровня 3:
+∞
I ~ N3 =
∫
−∞
N3V dVz .
z
Резонанс насыщения плотности возбужденных частиц — это узкий
провал в центре контура I (ω ) . Резонанс плотности — это резонансное
уменьшение заселенности верхнего уровня энергии, когда частоты встречных
световых волн совпадают с центром доплеровски уширенной линии
поглощения.
Наблюдение флуоресценции — это один из возможных способов
регистрации резонанса плотности. Другой, оптогальванический способ
регистрации рассмотрим чуть позднее.
Качественное объяснение резонанса плотности состоит в следующем.
Встречные световые волны с одинаковой частотой обычно поглощаются двумя
разными наборами молекул с лучевыми скоростями Vz , удовлетворяющими
двум равенствам ω ∓ kVz = ω 31 . Когда частота световых волн ω совпадает с
центром линии поглощения ω31 , обе встречные волны поглощаются одним и
тем же набором молекул с нулевой лучевой скоростью Vz = 0 . Поглощающих
молекул при этом становится вдвое меньше, что ведет к уменьшению
поглощения. В результате уменьшается заселенность верхнего уровня
перехода. Это и есть резонанс плотности.
Для сравнения напомним, что резонанс насыщения поглощения — это
резонанс просветления среды для прошедшей среду пробной волны, то есть
резонанс в зависимости мощности прошедшей волны от частоты.
--------Рассмотрим количественное описание резонанса насыщения плотности
возбужденных частиц в приближении скоростных равнений.
i

 Ω1 
 Ω2  
0
 N 1Vz + γ1N1Vz = γ1N1V − N1Vz − N3Vz ⋅  J1 ⋅ σ 0 ⋅ L 
 + J2 ⋅σ 0 ⋅ L 

z
 Γ 
 Γ 


i

 Ω1 
 Ω2  
N + γ N
0
N
N
N
J
L
J
L
γ
σ
σ
=
+
−
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
3




3
3
3
1
3
1
0
2
0

V
3

Vz
Vz
Vz
z
Vz
 Γ 
 Γ 


Здесь скоростные уравнения записаны для распределений по лучевой
скорости Vz заселенностей N1 и N3 уровней энергии 1 и 3 с учетом двух
встречных световых волн 1 и 2 с плотностями потока фотонов J1 и J 2 и
частотными расстройками Ω1 и Ω 2 :
Ω1 = ω − kVz − ω 31
.

ω
ω
Ω
=
+
−
kV
2
31
z

Напомним, что плотность потока фотонов J связана с интенсивностью
I
света I соотношением J =
.
ℏω
Решим скоростные уравнения в стационарном случае, когда производные
)
(
(
)
i
i
по времени от заселенностей равны нулю N 1 = N 3 = 0 . Тогда вместо двух
дифференциальных уравнений получаем
относительно двух неизвестных N1V и N3V .
z
два
линейных
уравнения
z
Введем для краткости следующее обозначение:
Ω 
Ω 
ξ = J1 ⋅ σ 0 ⋅ L  1  + J 2 ⋅ σ 0 ⋅ L  2  .
 Γ 
 Γ 
Тогда решение системы скоростных уравнений для интересующей нас
величины N3V будет иметь следующий вид:
z
ξ
N3V = N30 + ⋅
Vz
z
γ3
N10 − N30
Vz
Vz
.
1 1 
1 +  + ξ
 γ1 γ 3 
Зависимость N3V от ξ нелинейная.
z
Чтобы получить аналитический результат рассмотрим решение в случае
слабых интенсивностей встречных световых волн ξ << γ i и получим

 ξ  1 1  
N3V = N30 +  N10 − N30  ⋅ ⋅ 1 −  +  ξ  .
Vz
Vz  γ
z
 Vz
3 
 γ1 γ 3  
Здесь зависимость N3V от ξ квадратичная.
z
Найдем теперь заселенность верхнего уровня N3 , как интеграл от
распределения заселенности по лучевой скорости:
+∞
N3 =
∫
−∞
N3V dVz .
z
Интеграл, как и само распределение заселенности N3V , будет иметь три
z
слагаемых
с
подынтегральными
выражениями
соответственно
2
пропорциональными: ~ 1 , ~ ξ , ~ ξ . Обсудим каждое из этих трех слагаемых в
отдельности.
Слагаемое пропорциональное единице ~ 1 :
+∞
∫
−∞
N30V dVz = N30
z
дает заселенность уровня три в нулевом световом поле.
Слагаемое пропорциональное ~ ξ
+∞
 0
0  ξ
−
N
N

∫  1Vz 3Vz  ⋅ γ 3 ⋅ dVz
−∞
имеет под интегралом две дельта-функции относительно узких Лоренцев
Ω 
Ω 
Ω 
Ω 
L  1  и L  2  внутри сомножителя ξ = J1 ⋅ σ 0 ⋅ L  1  + J 2 ⋅ σ 0 ⋅ L  2  .
 Γ 
 Γ 
 Γ 
 Γ 
Интеграл от произведения некоторой функции f ( x ) на дельта-функцию
δ ( x ) равен значению первой функции в той точке, в которой аргумент дельтафункции обращается в ноль:
+∞
∫ f ( x ) ⋅ δ ( x − x0 ) ⋅ dx = f ( x0 ) .
−∞
Подынтегральный сомножитель
(
)
V2
− z2
⋅e U
1
N10 − N30 = N10 − N30 ⋅
Vz
Vz
πU
представляет собой распределение Максвелла по лучевой скорости
молекул. Интеграл от произведения этого сомножителя на дельта-функцию в
нашем случае Лоренца равен этому сомножителю при таком значении Vz , при
котором аргумент дельта-функции равен нулю:
ω − ω31

=
+
V
z
ω
−
kV
−
ω
=
0


z
31
Ω1 = 0
k
=>
.
=>



−
+
−
=
0
ω
ω
ω
ω
kV
Ω 2 = 0
31
z
31

V = −
 z
k
В результате:
+∞
 0
0
 N1V − N3V

z
z
−∞
∫
2
 ξ
 ⋅ ⋅ dVz = π
 γ3
(
 ω −ω31 
−

Γ σ0
N10 − N30
( J1 + J 2 ) e  kU  .
γ 3 kU
)
Это заселенность верхнего уровня за счет доплеровской линии
поглощения.
Обсудим теперь интеграл, в котором подынтегральное выражение
пропорционально ~ ξ 2 . Соответствующий интеграл имеет вид:
+∞
1  1 1  0
0  2
 +  N1V − N3V  ξ dVz
γ γ γ 3  z
z 
−∞ 3  1
Сомножитель
Ω 
Ω  Ω 
Ω 
ξ 2 = J12 ⋅ σ 02 ⋅ L2  1  + 2 J1J 2 ⋅ σ 02 ⋅ L  1  ⋅ L  2  + J 22 ⋅ σ 02 ⋅ L2  2 
 Γ 
 Γ   Γ 
 Γ 
содержит два квадрата Лоренцев, которые ведут себя, как дельтафункции, и произведение Лоренцев.
Интегралы от квадратов Лоренцев, как и интегралы просто от Лоренцев,
−
∫
2
 ω −ω 31 
−

kU 

дают величину пропорциональную e
. Причем в рассматриваемом
нами случае малой интенсивности света ξ << γ 3 интегралом от квадратов
Лоренцев можно просто пренебречь по сравнению с интегралом от самих
Лоренцев.
Интеграл от произведения двух Лоренцев (свертка Лоренцев)
+∞
1  1 1  0
Ω  Ω 
0 
2
∫ γ 3  γ1 + γ 3  N1Vz − N3Vz  2 J1J 2 ⋅ σ 0 ⋅ L  Γ1  ⋅ L  Γ2  dVz ,
−∞
наезжающих друг на друга по лучевой скорости при изменении частоты
лазера, равен Лоренцу той же ширины 2Γ в шкале частот:
−
2
 ω −ω 31 
−

1  0
Γ
kU   ω − ω 31 
2 1  1
0

−
J1J 2σ 0  +  N1 − N 3 e
L
.
γ 3  γ1 γ 3 
Γ
π kU


(
)
Этот провал лоренцевской формы и является резонансом плотности
возбужденных частиц.
В таком случае заселенность верхнего уровня N 3 , как и
пропорциональная заселенности интенсивность флуоресценции I с уровня 3 на
частоте ω32 , как функция частоты лазера, будет иметь следующий вид
.
Здесь
2
N3 = N30 + π
(
 ω −ω31 
−

σ
Γ
0 e  kU   J + J − J J  1 + 1  σ 0 L  ω − ω31  
N10 − N30
 1

2
1 2

 
γ 3 kU
 γ1 γ 3  π  Γ  

)
Оптогальванический метод регистрации резонанса плотности
возбужденных частиц.
Преимущество оптогальванического метода регистрации резонанса
плотности состоит в том, что при такой регистрации не требуется приемник
излучения. Схема опыта представлена на следующем рисунке:
Резонанс плотности наблюдается в зависимости тока разряда от частоты
генерации лазера и имеет следующий вид:
Объяснение резонанса плотности в токе разряда состоит в следующем.
Чем больше молекул в разрядной трубке находится на верхнем уровне энергии,
тем эффективнее происходит ионизация газа электронным ударом. Чем
эффективнее происходит ионизация, тем больше ионов и электронов в разряде,
и тем меньше сопротивление разряда. Чем меньше сопротивление разрядной
трубки, тем больше ток разряда.
В результате оказывается, что к току разряда есть добавка
пропорциональная заселенности верхнего уровня энергии. Резонанс плотности
частиц на верхнем уровне энергии повторяется в токе разряда.
Эталоны частоты и длины.
1
С незапамятных времен 1 секунда равна
части суток.
24 ⋅ 60 ⋅ 60
1
часть парижского меридиана.
С 1792 года 1 метр равен
40 000 000
С 1889 года принят платиновый эталон метра.
С 1960 года 1 секунда равна определенной части 1900-го года.
С 1960 года 1 метр равен 1 650 763.73 длин волн в вакууме излучения
между уровнями энергии 2p10 и 5d5 атома криптона Kr86.
С 1967 года принят цезиевый стандарт частоты (и времени) на магнитных
подуровнях цезия Cs133: ν 0 = 9 192 631 770 Гц . Воспроизводимость
δν
< 10−11 .
ν
С 1983 года эталоны частоты и длины совмещены. В качестве скорости
м
света в пустоте принято неподлежащее уточнению значение: c = 299 792 458 .
с
При этом в оптическом диапазоне частотный репер получается с помощью
радиооптического частотного моста. В оптическом диапазоне репером частоты
служила частота генерации гелий-неонового лазера стабилизированного по
резонансу насыщения поглощения в ячейке с метаном: He-Ne / CH4. Длина
волны генерации примерно λ ≈ 3.39 мкм . Частота: ν = 88 376 181 603 000 Гц .
В настоящее время эталоном частоты служит цезиевый эталон частоты на
основе так называемого цезиевого фонтана. Подробнее смотрите нобелевскую
лекцию по физике 2005 года:
Дж.Л.Холл. Определение и измерение оптических частот: перспективы
оптических частот - и не только. // УФН, 2006, Т.176, N12, С.1353-1367.
Там же смотрите вопросы, связанные с режимом синхронизации
лазерных мод, световой пулей, спектром оптической гребенки фемтосекундных
стабилизированных лазеров на кристалле титаната сапфира. Лазер активно
стабилизируется в режиме целочисленного отношения несущей частоты и
частоты следования импульсов.
Подробнее о цезиевом фонтане смотрите работу:
http://www.quantum-electron.ru/pdfrus/fullt/2004/12/2749.pdf
Радиооптический мост.
Для сравнения оптической частоты и частоты в радиочастотном
диапазоне служит так называемый радиооптический мост. Принципиальная
схема радиооптического моста приведена на нижеследующем рисунке.
ν = 88,376,181,603,000 Гц ≈ 88 ТГц
Для сравнения почти кратных частот лазеров используется приемник
излучения типа "кошачий ус".
Это приемник, который реагирует на напряженность электрического поля
световой волны, а не на интенсивность, как остальные приемники оптического
диапазона. Например, в фототоке приемника можно получить сигнал на частоте
ν1 − 3ν 2 , если эта частота достаточно низкая.