Глава 7. Параметрическая · модель рынка Для инвестирования капитала лишь в актив одного вида необхо­ димо, чтобы из всех имеющихся на рынке активов он бьm наилуч­ ший, т.е. его ожидаемый риск (дисперсия) бьш наименьшим, а ожи­ даемая доходность наибольшей. Что же Должен делать инвестор, если такого актива на финансовом рынке не существует? В . этом случае выгоднее купить не один актив, а несколько, стремясь перераспреде,­ лить (диверсифицировать) риск с целью уменьшения его количе­ ственной оценки. Степень возможности такой диверсификации за" висит от характеристики, служащей мерой связи между случайными величинами, представляющими доходности активов. Речь идет о ко- . вариации и корреляции. На важность учета связи в поведении доход­ ности различных активов при формировании оптимальных портфе­ лей впервые обратил внимание создатель современной теории порт­ феля американский экономист, лауреат Нобелевской премии по эко­ номике 7.1. (1990 г.) Гарри Марковиц. Коэффициенты ковариации и корреляции Пусть имеются активы А 1 , ~' А3 и пусть задана таблица годовых доходностей для этих активов в каждом из состояний рынка. Годовые доходности активов, заданные в таблице, измеряются в процентах. Состояния Вероятности Доходность Доходность Доходность активаА 1 (%) актива А2 ( % ) актива А 3 ( %) s1 p(s) '11 . '12 r!З s2 p(s2) r21 r22 Г23 sз р(sз) 'з1 'з2 rзз Пусть доходность актива 98 Ai задается случайной величиной R;. Глава 7. Параметрическая модель рынка Тогда коэффициентом ковариации двух случайных величин Ri и Rjназы­ вается величина cov(R. ,R.) =(r1 . - E(R.))(r1 . - E(R.))p(s ) + (r. . - E(R.))(r. . -E(R.))p(s )+ 2 2'J 2 1 J J } 1 1 1 } 1 + (r3; - 1 E(R))(r3j - E(R))p(s3) . (7.1) В дальнейшем коэффициент ковариации двух случайных величин и R; Rj будем обозначать: cov (R; ,R) = ci/ Например, для двух случайных величин с 12 = (R; ,R) = (r11 - R 1 и ~ (i - 1, j = 2) получаем: E(R1))(r12 - Е(~)) p(s) + + (r21 -E(R1))(r22 -E(~))p(s2 ) + (r31 -E(R1))(r32 -E(~))p(s3 ). (7.2) Свойства коэффициента ковариации: 1. Для любых i иj верно угверждение о симметричности коэффи­ циентов ковариации: cov(R.1 ,R.) =cov(R.J ,R.) или } l с".= с)1... 1) 2. Для любых i диагональные коэффициенты ковариации с;; пред­ ставляют собой вариации доходностей активов: си= cov(R; ,R) = V(R) = cr/. Чтобы вьщелить собственно меру связи между случайными вели­ чинами прибегают к нормированию коэффициента ковариации. Та­ кая нормированная величина называется коэффициентом корреляции а"= 1) cor(R.1 ,R.) } ~ cov(R;,R) (j . . (j . 1 . (7.3) } ·В статистике коэффициент корреляции часто обозначают греческой буквойр. Так коэффициент корреляции двух · случайных величин можно обозначить символом р 1).. : Ri и Rj . cor(R; ,R) = Ри. Свойства коэффициента корреляции: Коэффициент корреляции любых двух случайных величин по модулю (по абсолютной величине) меньше R; и Rj 1: IPul = \cor(R; ,R)\ ~ 1, или, что то же самое, -1 Пример 7* ~ Ри = cor(R; ,R) ~ 1. 7.1. Пусть задана таблицагодовыхдоходностей (см. при99 . .. . мер 6.1.) для _./" .... -- некоторых трех активов в каждом из состояний рынка. Годовые доходности активов, заданные в таблице, измеряются в про­ центах. Доходность Доходность Доходность активаА 1 (%) актива~(%) актива А3 ( %) Состояния Вероятности s1 0,3 20 30 -10 s2 0,6 20 5 15 sз 0,1 5 -20 15 Найти коэффициент ковариации с 12 и коэффициент корреля­ ции Р12· Решение. Так как ожидаемые доходности первых двух активов (см. пример 6.1): ··--E(R1) = 18,5 и E(R) = 10, то, пользуясь формулой с 12 (7.2), получаем = cov (R1 ,~) = (20 - 18,5)(30-10)0,3 + + (20 - 18,5)(5 - 10)0,6 + (5 - 18,5)(-20-10)0,1=45. А пользуясь результатами примера 6.2. cr(R 1) = ~D(R 1) = 4,5; cr(~) = ~D(R 2 ) =15; По формуле (7.3) получаем cov(R1' .Rz) Р12 = а1а2 Итак, коэффициентс 12 45 - 4,5·15 = 0,67. = 45, коэффициент Pi2 = 0,67. Обычно вероятностные характеристики активов и их портфелей при совместном рассмотрении записывают в матричном (табличном) виде. Так совокупность всех попарных ковариаций трех активов представляет собой матрицу размера ЗхЗ, т.е. таблицу из 3 строк и 3 столбцов. Для нашего примера она будет иметь вид: Ковариационная матрица AI ~ Аз Аз AI 20,25 45 ~ 45 -11,25 225 -150 -11,25 -150 131,25 Аналогичную структуру имеет и матрица корреляций. Для наше- 100 Глава 7. Параметрическая модель рынка го примера она имеет вид: Корреляционная матрица · А1 ~ Ar ~ 1,00 о 67 0,67 1 00 ' Аз -О ' Аз -О ' 87 22 · -О 22 ' -О 87 . ' 1,00 ' Парам.етрическая модель рынка. Рассмотрим снова вероятностную модель из главы · 6 для рынка с множеством состояний ми вероятностями Рр р 2 , ~" , S, с заданны­ Рт их реализаций и множеством А ={А 1 , ~, ••• ,А) обращающихся на рынке активов. Тогда рынок в це­ лом можно охарактеризовать двумя наборами параметров: вектором ожидаемых доходностей активов где mk .= E(Rk) - т = (тl' т 2 , ". т)~ . оЖИдаемая доходность актива Rk, и матрицей кова­ риации С= С11 С12 cln с21 с21 Сzп = (cij)nxn' ". cnl сп2 спп где с11.. = cov(R.,1 R. ) ~ · ковариация случайных величин R.,1 R.) ~доходно) стей активов R. и R.·. l ) Множество активов А ={Ар~,"., Ап}, обращающихся на рынке и (векторные) параметры вектор ожидаемых доходностей - т и матрица ковариаций С составляют параметриче­ скую модель рынка. Как будет показано ниже, для решения большин­ ства инвестиционных проблем инвестору не нужно знать ни множе­ ство состояний рынка, ни их вероятностей, ни даже распределение доходностей активов. Все что нужно - это знание указанных выше параметров. Но эти пара.метры определены нами исходя из заданных: структуры состояний рынка, вероятностей их реализаций и распреде­ ления доходностей активов. И хотя эти понятия играют ключевую роль в финансовой теории, на практике У!\азанные параметры рынка получаются не на основе теоретическИх формул, приведенных выше, а на основе статистической оценки этих параметров. 101 7.2. Статистическая модель рынка Доходность актива рассмотрена нами как дискретная случайная величина. Если бы мы знали возможные значения случайной величи­ ны и вероятности, с которыми она принимает эти значения, т.е. зна­ ли бы распределение случайной величины, то мы могли бы найти ее вероятностные характеристики: математическое ожидание, и вариа­ цию (дисперсию), И стандартное отклонение. Однако на практике распределение случайной величины неизвестно. Вместо этого из­ вестны ее реализации в серии наблюдений. Так, мы можем не знать распределение доходности некоторой акции, однако могут быть из­ вестны месячные доходности · за несколько последних лет. Наблюдаемые значения случайной величины могут быть исполь­ зованы для оценивания ее вероятностных характеристик .. В отличие от точных (теоретических) значений вероятностных характеристик, по­ лучаемых по распределению случайной величины, статистические оценки являются лишь приближенными значениями этих характе­ ристик, причем эти оценки тем точнее, чем большим числом наблю­ даемых значений мы располагаем. Наблюдаемые значения (стати­ стические данные) часто называют выборо11ными значениями, а набор таких значений - выборкой. Поэтому оценки вероятностных характе­ ристик случайной величины назЬ1вают выборочными характеристи­ ками. Так говорят о выборочном среднем (выборочном математическом ожидании), выборочной вариации (дисперсии) и т. д. Перейдем теперь к описанию выборочных характеристик случайной величины. Будем предполагать, что известны Nзначений rl' r 2 ,"., rNслучай­ ной величины R, полученных в результате набл:Юдения, опыта, экс­ перимента и т. д. По этим значениям мы можем получить характеристики случай­ ной величины: 1) Выборочное математическое ожидание случайной величины R есть просто среднее арифметическое наблюдаемых значений: - 1 N r=N~'i. (7.4) Таким обра3ом, мы имеем оценку математического · ожидания: E(R) ~ 'r. 2) Выборочная вариация (дисперсия) случайной величины 2 V(R):=:s (R)= 102 1 N -1 R- N I,(r;-r)2 • i==t (7.5) Глава 7. Параметричес.кая модель рынка Выборочная вариация дает оценку: V(R) z V(R) = s2(R). 3) Выборочное среднеквадратическое отклонение случайной вели­ чины R: (7.6) aR =s(R)~)V(R) Выборочное средне:квадратическое отклонение дает оценку: <J R ~ <J R = S (R). На практике вместо знака приближенного равенства часто пи­ шут просто знак равенства, что конечно неверно, но допустимо, если помнить что статистическая оценка , (выборочцая характеристика) есть лишь приближенное значение дЛя . точной · (теоретической) ха­ рактеристики. Ниже для выборочных характеристик мы будем пс­ .пользовать теоретические (а не специальные, надчер:кнутые) обозна­ чения, однако всегда следует помнить о приближенном характере ста­ тистических оценок. Вариация (7 .5) характеризует "степень отклонения" случайной величины от ее среднего значения. Из. определения вариации видно, что она имеет размерность .:квадрата размерности . величины R. Чтобы использовать в качестве меры разброса характеристику той же раз­ мерностй, вместо дисперсии ' часто используют среднеквадратиче­ ское отклонение (7.6). В nортфельной теории Марковица математическое ожидание есть формальный аналог поНЯтИя "ожидаемой доходности актива", а вариация, или, что rio суЩеству то же самое, стандартное от:Клонение служит мерой риска актива. . Таким образом, если известен ряд доходностей актива (такие ря­ ды часто называ.19т временными рядами), то по нему можно найти статистические хараК:Теристиюг аКТИва: его выборочные среднюю, вариацию (дисперсию) и квадратическое отклонение. Эти выбороч­ ные . характеристики являются .оценками теоретических характери­ стик, ожидаемой доходности и риска. Пример 7 .2. Известен ряд ежемесячных доходностей · акций AМBRND (в%) за 1987 . год. Значения доходностей приведены в та­ блице ниже. Вычислить ожидаемую доходность · и риск акции AMBRND: . Я:нв. Февр. . 17 6 20 ' ' Map-r AnP· Май . -3 7 '"0,5 ' - 87 ' Июнь Июль . Авг. 7,1 Сен. ' 7,2 · ·16,9 . ' -3,9 Окт. Нqяб. Дек. -22 5- -12 6 19,4 ' ' 103 Часть //. Оптимальные портфели ценных бумаг Решение. Е[ R] = ( 17, 6 + 2, О - 3, 7 - 8, 7 - -3,9 - 22,5 ~ О, 5 + 7, 1 + 7, 2 + 16,9 - 12,6 + 19,4)/12 = 1,53 Ожидаемая доходность акции 1,53%. График месячной доходности акции AМBRND приведен на рис. 7 .1 Rt зо 20 10 o--i-::~~~~~~~~~--J__- t -10 1 -20 2 3 4 6 5 11 -30 Рис. 7.1 Для вычисления ожидаемого риска составим ряд значений (ri - Е[ R]): l 16,1 I 0,5 l -5,21-10,21 -2 \ 5,6 \ 5,7 \ 15,4 \ -S,4 Возведя в квадрат каждое значение ряда значений (r.1 - E[R]) 2 I -24 \-14,1 l 17,9 I (r; -E[R]), получим ряд : l2ss,41 0,2 1 2,1 1104,61 4,1 l з1,1 l з2,2 !2зб,4129,4 l.s11,2l199,s/з19,sl Складывая все значения ряда (r1 - E[R]) 2 , и деля Полученный ре­ зультат на N- 1=11, получим 165,45. Это есть значение ожидаемого риска для нашей акции ~V[R] =12,87%. crR= J1 R] . .Средне~адратическое Ожидаемая доходность риск . . AMBRND . равна отклонение . 1,53%, ожидаемый - 12,87%. Выборочные коэффициенты ковариации и корреляции для. статистиче­ ской модели рынка. Выше определены статистические (выборочные) характеристики случайной величины. Для двух случайных величин можно дать определение выборочной ковариации и корреляции слу­ чайных величин. Пусть имеется две выборки из N значений случайных величин R1: ~: r 12 , r22 , "., rт· Обозначим математические ожидания этих случайных величин Е [R 1], E,'[~J, а выборочные средние Yl' 2 со­ r 11' r21' ••. , rМ' r ответственно. Тогда выборочным · коэффициентом ковариации слу- чайных величин 104 R1, ~ называют величину: Глава 7~ Параметрическая модель рынка - - -. cov(Rl'~) = 1N l<r; -1j)(r; -r N -1 1 2 2) (7.7.) • i=1 Выборочный коэффиц:И:ент ковариации дает оценку: cov(Rl'~) = eov(RPR 2 ). При: R 1 =~=R выборочный· коэффициент ковариации совпадает с выборочной дисперсией: cov(R, R) = Отметим, что 1 N N -1 - - L/lf - r )('i -- - r) = V[R] . i=1 ; cov(RPR2 ) = cov(R 2 ,R1). Выборочным коэффициентом корреляции случайных величин · называют величину: R 1, ~ (7.8) Напомним, что а я = ~V[R] . Выборочный коэффициент корреляции дает оценку: Р12::::: Р21· Ниже мы для выборочной ковариации и корреляции будем ис­ пользовать те же обозначения, что и для их теоретических аналогов. Пример 7.3. Ежемесячные доходности акций PEPSI (R1) и MOBIL (~)за 1987 год приведены ниже. Найти коэффициенты кова­ риации и корреляции. Акция янв. PEPSI 19,7 MOBIL 3,2 фев. 6,8 3 март апр. май июнь июль 3,5 -6 ' 6 9,4 3,3 -8 2 -17 8 -15 .15,9 ' ' 8,3 9,3 авг. сен. окт. нояб. 2,4 -14 ,8 -8 ' 5 -2 1 12,4 -О ' 7 -О ,3 о ' дек. 8,2 9 Решение. Найдем средние ожидаемые доходности, ожидаемый риск и среднеквадратическое отклонение для каждой акции по фор­ мулам (7.4), (7.5), (7.6). Для ожидаемой (Сllедней) доходности и риска (вариации и стан­ дартного отклонения) получим следу:Ющие значения PEPSI MOBIL E(R) V(R) cr(R) 2,64 0,73 85,35 109,19 9,24 10,45 Коэффициент ко вариации вычисляется по формуле (7. 7): 105 1 N cov(Rl'~) = 12 _ 1 :t<'i,-2,64) ( ri 1 2- 0,73) = 23,12. Коэффициент корреляции вычисляем по формуле cov(R1 ,~) 23,12 2 cov(Rp~)= О/У = 9,24·10,45 (7 .8): = О, 24 · Таким образом, ковариационная и корреляционная матрицы имеют соответственно вид~ ( 85 , 35 23 ,12 ) _ ._ ( . 1 . о, 24 ) С - Cov - 23, 12 109 ,19 и Р - Corr - О, 24 1 · Графики доходностей акций вид, изображенный на рис. 30 PEPSI (ось х) и МОВ~(ось у) имеют 7.2: RI 20 10 t о 1 2 12 ',~ '' -10 \ \ ' -20 \ ' .... " - -.. PEPSI -------- MOBIL Рис 7.2 Диаграмма (рассеяния) для доходностей акций приведена на рис. 7.3: 20 15 10 • • 5 -20 -5 • • 10 о -10 • • -15 • -20 Рис. 106 PEPSI и MOBIL 7.3 • 20 30 Глава 7. Параметрическая модель рынка Итак, параметрическая модель рынка задается парой параме­ тров: т и С. Часто, однако, в качестве рисковых характеристик рьп~­ ка вместо ковариационной матрицы С используют вектор станадарт­ ных отклонений доходностей активов cr = ( crl' cr2,". cr) и корреляционную матрицу где cr .. = cor(R.,1 R.) J и корреляции доходностей активов А.1 и АJ.. . . Заметим, что по этим данным легко найти все элементы ковариационной матрицы. В самом деле вариация доходности есть по опре­ делению квадрат стандартного отклонения т.е. V(R) = cr/, i =1,2, ... п, а ковариация как это следует из определения (7.9) (7.3) коэффициента корреляции равна cov(R., R.) J 1 = cor(R.,1 R.)·a.;a., i,}=1,2,."n. J J 1 (7.10) Перейдем теперь к важнейшей задаче портфельного анализа: оценке ожидаемой и риска произвольных портфелей. 7.3. Характеристики портфелей в параметрической модели рынка Пусть на рынке имеются различные активы и известны статисти­ ческие данные для каждого актива, представляющие собой временные ряды доходностей за последовательные периоды в прошлом. Доход­ ность за период вычисляется исходя из начальной и конечной цены актива и текущего дохода за период. Для каждого актива МО)JСНО вьтчи­ слить его характеристики: среднюю ожидаемую доходность, диспер­ сию и среднеквадратическое отклонение. Для каждой пары активов можно ВJ?rчислить коэффициенты ковариации и корреляции. Инве­ стор из имеющихся активов выбирает те, в покупку которых он соби­ рается вложить свой инвестиционный капитал. Будем называть такой набор активов - пакетом активов. С практической точки зрения пакет активов просто некоторый сегмент рынка, интересующий или досту­ пный для инвестора. Начнем с анализа пакета из двух активов. 107 Часть 11. Оптимальные портфели ценных бумаг Пусть А = {А 1 , А) - пакет из 2 различных активов. Пусть доход­ ность каждого актива А., i = 1, 2 - случайная величина R1.. Будем обоз/ начать характеристики этой случайной величины - т., V,1 cr. (ожида1 l емая доходность, ожидаемый риск, среднеквадратическое отклоне- ние). Характеристиками . .1акета активов А= {А 1 , ~} задаются параме­ трами: вектором средних- т = (тр т 2 ), v матрицеи ковариации С12) -_ (с ..), 1,1.. _ 1,2. - с-(С11 С21 С22 lJ где с/}..= cov(R.,1 R.) - коэффициент ковариации случайных величин R., RJ.. } Пример 7. 4. Найти характеристики пакета, составленного из ак­ ций РЕРS/и MOBIL за 1987 год (см. пример 7.3.) Решение. Пусть Ai = PEPSI, а~= MOBIL. Воспользуемся резуль­ татами примера 7 .3. Средняя ожидаемая доходность акции РEPSI 2,64, а акции MOBIL - О, 73. Значит т 1 = 2,64, т 2 =О, 73. Поэтому век­ тор средних т = (2,64; О, 73). Дисперсия для первого актива- 85,35, для второго - 109,19, коэффи­ циент ковариации - 23,12, т.е. с 11 = 85,35, с22 = 109,19, с 12 = 23,12. Ответ: вектор средних- т = (2,64; 0,73), ковариационная матри1 · ца пакета с= (85,35 23, 12 ) 23,12 109,19 . Выбрав тот или иной пакет активов, инвестор должен сформиро­ вать инвестиционный портфель, т.е. указать части инвестиционного капитала, который он собирается вложить в Покупку того или иного актива, выбранного им пакета акций. Если обозначить начальный инвестиционный капитал капитал, вложенный в покупку актива вложенного в покупку актива А1. , Ai, - - W/W l 0 • JJ?; 0 , - W 0, а то доля капитала, Будем обозначать долю капитала, вложенного в покупку актива А;, или, как еще говорят, вес актива Ai - хг Тогда, имея пакет из 2 активов А= {А 1 , ~},мы можем задать портфель 1t с помощью вектора весов (см. гл.3) х = (xl' х2 ), х 1 = ~о /W 0 , их2 = 108 ;w0 ,. = (xl' х2) всегда равна 1: W10/W 0 + W20/W 0 =(W10 + W20 )/W 0 = W 0 /W 0 -l • Сумма весов портфеля п с вектором весов х х1 +х2 = ~о Глава 7. Параметрическая модель рынка Доходность портфеля за некоторый период времени случайная - величина, зависящая от доходностей активов, из которых составлен портфель. Определим, как связаны между собой случайные величи­ ны, задающие доходность портфеля и доходности активов, входящих в этот портфель. Обозначим через R ~r случайную величину, пред- ставляющую доходность портфеля, а через величину - Ri обо.значим случайную доходность актива А1.. Как показано в конце предыдущей главы, доходность портфеля задается случайной величиной: R1C = x 1R1 + х2 ~. (7.11) Вероятностные характеристики случайной величины R1C - мате­ матическое ожидание и вариация вычисляются по формулам: E[R1C] = Е[х] = x 1E[R 1] + х2 Е[~] = m1x 1 .+ т~2 • V[R1C] = V[x] = (х1 ) 2 ~ + (х2 ) 2 (7.12) v; + 2х1х2 с12 = = с 11 х1 2 + с22х/ + 2с 12 х1 х2 • Через стандартные отклонения (7.13) crl' cr2 и коэффициент корреляции р 12 'активов риск (вариация) портфеля выражается формулой V[Rn] = V[x] = (cr 1x1) 2 + (cr2x2) 2 + 2pO}J 2 х 1 х2 . (7.14) Оценка портфеля. Оценкой портфеля п, задаваемого вектором ве­ сов х = (xl' х2 ), называется пара чисел ожидаемая доходность портфеля, (E[R1t], V[R1t]), где E[R1t] V[ Rп] - ожидаемый риск портфе­ ля. Для удобства будем обозначать ожидаемую доходность портфеля и риск портфеля Пример - Е[х] и V[x] соответственно. 7.5. Найти характеристики портфелях= (0,5; 0,5) для па­ кета, составленного из акций PEPSI и MOBIL за 1987 год. Решение. Пакет состоит из двух активов - А 1 и ~· Пусть актив А 1 = PEPSI, а~= MOBIL. Тогда (см. пример 9.2) средняя ожидаемая доходность акции PEPSI - 2,64, а аКции MOBIL - О, 73. Значит, т 1 =.2,64; т 2 = 0,73. , Вариация первого актива- V(Rл 1 ) = 85,35, второго V(Rл 2 )=109,19, коэффициентковариации- 23,12, т.е. · = 85,35; с22 = 109,19; с 12 = 23,12. (0,5; 0,5), т.е. х1 = 0,5; х2 = 0,5. Согласно с 11 Портфель х = формулам (7 .12), (7.13) , имеем: Е[х] = х1 • m1 + х2 • т2 = 0,5 · 2,64 + 0,5 · 0,73 = 1,685 - ожидаемая доходность портфеля, 109 .. _ . ... " -J""'"'_.., V{x] = с11<х1)2 + с22(х)2 + 2х1х2с12 = = (0,5) 2 • 85,35 + (0,5) 2 • 109,19 + 2 (0,5) 2 . 23,12 = 60,20 ожидаемый риск (вариация) портфеля. Ответ: Ожидаемая доходность портфеля риск портфеля - 60,20. - 1,685, ожидаемый Ot4emcu 1шртфелей в общей параметрической модели. Рассмотрим рынок сп активами АР~,.", Ап, и пусть портфель 11: с вектором весов х = (хр х2 , "., x,J Как бьmо показано выше, между реализованной до­ ходностью портфеля и реализованными доходностями активов имеется соотношение: rтt = Х{1 Здесь + X2r2 +".+ ХпГп. r.1 - доходность актива А"1 Из этой формулы следует аналогичное соотношение между до- ходностями портфеля и активов как случайных велич:йн: ~ = x 1R1 + x2R,_ + ". +xnRn . (7.15) Это соотношение позволяет получить уже вероятностные (ожи­ даемые) характеристики портфеля, используя аналогичные характе­ ристики активов. Так, используя свойство линейности математического ожидания, получим Е[~] = x 1E[R1] + x2.E[R,_]+".+ хпЕ[Rп], (7 .16) т.е. ожидаемая доходность Портфеля есть линейная комбинация ожидаемых доходностей активов с коэффициентами, равными весам этих активов в портфеле. Применяя оператор дисперсии к обеим частям равенства (7.15), получим: V[~] = x/V[RJ + x/V[R2]+".+ x}V[RJ + + 2x1x2cov(RI' R) +".+ 2x1x2cov(R _p R,), 11 (7.17) или, в сокращенной записи 11 JT[Rд]= LX; ·Xj ·COV(R;,R) (7.18) i,j=l Эти равенства следуют из двух свойств дисперсии: J!ТaR] =а2 V[R] и V[R 1 + ~] = V[R 1] + V[~] + 2cov(R1' ~), которые легко доказать прямыми вычислениями (см. [9]). Так, для портфеля, состоящего из трех активов Al' ~ , А 3 , с пара­ метрами рынка 110 Глава 7. Параметрическая модель рынка по.JiуЧаем выражения для доходности и риска: Е(х) = т 1 х1 + т;х2 + m3x3 V(x) = с 11 х/ + с22 х/ +с33х/ + 2с 12 х 1 х2 + 2с 13 х 1 х3 + 2с23 XzX3 • · Матричная запись характеристик портфелей. В :rеоретическом фи­ нансовом анализе для доходности и риска портфе.Лей часто использу­ ют матричные выражения. Пусть т = (т 1 , т2 , •" , т п) - вектор средних (математических ожиданий) доходностей активов, где т .=Е[R . ], а 1 - 1 ковариационная матрицадоходностей,. с с ..= и Тогда формулу cov(R1.. R.). 1 (7 .16) для ожидаемой доходности портфеля мож- но переписать в виде Е[~] = Е(х) = т 1 х 1 + т 2 х2 + ... + тпхп = (т,х), (7.19) где (т,х). - обозначение стандартного скалярного произведения двух векторов столбцов (или строк) т и х. Соответственно,· равенство (7 .17) перепишется в виде: п V[Rл] = Lc!i ·Xi ·Х1 =(Сх,х), (7.20) i,)=I где (7.21) · - произведение ковариационной матриды С на вектор-столбец х, ( Сх,х) - скалярное произведение полученного вектора Сх их. а Замечание. Используя матричные обозначения и операции, мы (если не оговорено противное) под векторами будем понимать векто­ ры - столбцы. По типографским соображениям выписывать эти век­ торы мы бvдем в строку (понимая, что речь идет все же о столбце!). Если же в матричных в·ыраженliях необходимо подчеркнуть, что век­ тор рассматривается как строка, то Для этого используется символ оnератора транспонирования "'t". Так · если ·х xi - - вектор-столбец, то вектор-строка. 111 Часть 11. Оптимальные портфели ценных бумаг Используя матричную запись, можно предыдущие формулы за­ писать также в виде: (т,х) E[Rn] = = т-с х (7.22) и V[R1t] . ( Сх,х) = xt Сх. (7.23) Приведем теперь примеры вычислений характеристик портфе­ лей непосредственно по параметрам рынка, т.е. по вектору т и ма­ трице С. 7.6. Для рынка трех активов А 1 , А2 , А3 из примера 7.1. най­ дем характеристики портфеля с вектором весов х = (1/4, 1/4, 1/2) Пример Решепие. Вычисленные в примере 7.4 параметры этой модели имеют вид: = (18,5; 10; 7,5) т - для вектора средних и . С= ] ~ 20,25 45 -1~ 25 45 225 -150 . -Jl,25 -150 131,25 . ( Следовательно, сформированный портфель · имеет следующие характеристики: доходность Е =(т,х) = 18,5·1-+10.l+7,5. l= 10,88% . 4 4 2 и риск . V =(Сх,х)=хтСх=(~, ~·~) (20,25 1 45 -11,25 -150 45 225 -11,25 -150 131,25 J _!_4 ~ =13,45. 2 Равенства (7 .19) -(7 .20) говор~ о том, что ожидаемая доходность портфеля есть линейная форма от его компонент, тогда как его риск или дисперсия есть . квадратичная форма от компонент портфеля. Та­ ким образом, мы имеем два критерия оценки выбираемых портфе­ лей: линейный (доходность) и квадратичный (риск).· Желательно значение первого сделать как можно большим, а второго - как мож­ но меньшим. Но, чтобы строго поставить задачу выбора оптимально­ го портфеля, нам нужно обсудить еще одну тему, свя~анную с этим понятием. Речь идет о видах (моделях) портфельной стратегии. Этот nonpoc 112 v :МIJ рйССМlУГрИМ В СЛеЛУЮШеИ ГЛаВе. Глава Задачи к главе 7 1. Для рынка из задачи 7. Параметрическая модель рынка 1 гл.6 найти ковариационную и корреля.­ ционную матрицы. Найти ковариацию и корреляцию портфеля за­ данного вектором весов (0,2; 0,5; 0,3) с каждым активом. 2. Для рынка из задачи 2 гл.6 найти ковариационную и корреля­ ционную матрицы. Найти ковариацию и корреляцию портфеля за­ данного вектором весов 3. с каждым активом. (0,4; -1,4) Пусть задана таблица годовых доходностей для некоторых трех активов в каждом из состояний рынка. Годовые доходности активов, заданные в таблице, измеряются в процентах. Состояния Вероятности s1 0,4 0,3 0,3 s2 Sз Доходность актива А 1 (%) Доходность актива~(%) Доходность актива А ( %) 25 30 35 40 -10 30 40 10 5 3 Для всех i иj найти коэффициенты c!i и p!i. 4. · Ежемесячные доходности акций АМЕХ, CBS, EXXON за 1987 год приведены ниже. акция янв. фев. · март АМЕХ 20 8,8 1 апр. -8 4 -0,9 ' 9,9 15,8 -5 4 7,5 CBS ' EXXON 18 - 4 2 9,4 ' май 1 июнь июль 2 авг. сен. окг. нояб. дек. 7,6 0,7 -3 4 -32 ' 2 -7 ' 3 22 ' ' ' 1 11,3 3,9 11,6 -23 ' 5 9,5 0,9 7 -2 ' 4 -12,3 12,6 3,7 ' -О ' 45 1,5 8,2 7,2 а) Найти оценку для каждой акции. б) Найти ковариационную и корреляционную матрицы для рын­ ка из этих акций. 5. По данным задачи доходности портфелей 4 найти найти последовательные месячные п 1 = 2 АМЕХ +3 СВSи п 2 = 2 CBS- 5 EXXON, при условии, что начальные цены акц:Ий АМЕХ, CBS, EXXON равны $50, $80, $100 соответственно. Найти оценку этих портфелей, а также их ковариацию и корреляцию. 6. Ниже приведены-ежемесячные доходности акций АМЕХ, CBS, EXXON за 1987 год. 6. По данным задачи 4 найти: 1) характеристики (вектор средних и матрицу ковариаций) пакетов: {АМЕХ, СВ~, {EXXON, СВ~, {EXXON, АМЕХ} 2) характеристики (доходность и риск) портфелей: а) х 8175 = (0,4; 0,6), составленного из акций АМЕХ и CBS; 113 Часть 11. Оптuмал"t,>ные портфели ценных бумаг 6) х = (1; О), составленного из акций ЕХХОNи CBS; в) х = (0,7; 0,3), составленного из акций ЕХХОNи АМЕХ 7. В начале года акции $40 за одну акцию. Business Adventures продавались по цене Вероятный размер вьiплаты дивидендов и цена на конец года зависят от состояния экономики в конце года. Эта зави­ симость имеет следующий вид: Состояние экономики Дивиденды ( в $) Цена акций (в Экономический подъем 2,00 50 Нормальное развитие 1,00 43 Экономический спад 0,50 34 $) а) Вычислите ожидаемую доходность акции за год и ее стан­ дартное отклонение. Все три сценария равновероятны. б) Вычислите ожидае~ доходность и стандартное отклонение портфеля, средства которого вкладывается поровну в акции Business Ad11entures и в казначейские векселя. Доходность казначейских вексе­ лей составляет 4% в год . Казначейские векселя не имеют риска и не коррелируют с акциями Business Adventures.