Теория ожидаемого эффекта

Смоляк С.А.
ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИОННЫХ
ПРОЕКТОВ В УСЛОВИЯХ РИСКА И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
(теория ожидаемого эффекта)
(интернет-версия)
Москва
2012
Настоящая публикация несколько отличается от печатного издания этой
книги (Москва: Наука, 2002; ISBN 5-02-006175-1). В текст внесен ряд
редакционных поправок, исправлены некоторые ошибки и опечатки и
добавлены ссылки на более позднюю литературу.
Смоляк С.А. Оценка эффективности инвестиционных проектов в условиях
риска и неопределенности (теория ожидаемого эффекта).
Представлена теория ожидаемого эффекта — новая теория оценки
эффективности
инвестиционных
проектов
в
условиях
риска
и
неопределенности, ориентированная на рассмотрение различных сценариев
реализации проекта. Даны формализованные описания различных видов
неопределенных величин, в том числе: интервальных, нечетких, наделенных
правдоподобием, случайных и интервально-случайных. Для установления
общего вида критериев сравнения проектов с неопределенными результатами
использован аксиоматический подход (в частности, такие критерии должны
быть монотонными и аддитивными). Этот подход позволяет также исследовать
проблему учета разновременности неопределенных затрат и результатов
проекта.
Научный редактор д.ф.-м.н. Беленький В.З. (ЦЭМИ РАН)
Ключевые слова: неопределенность, инвестиционный проект, ожидаемый
эффект, аксиоматика, монотонность, аддитивность
JEL: D81, C18, D04, D92
Smolyak S.A. Investment Project Evaluation under Risk and Uncertainty
(Expected Effect Theory).
A new expected effect theory of investment projects evaluation under risk and
uncertainty is represented. This theory is oriented on the analysis of various scenarios
of the project realization. The set, fuzzy, likelyhooded, random, set-random and other
types of uncertain values are considered. The general form of comparison criteria of
projects with uncertain outcomes is established with the help of axiomatic approach
(in particular, such criteria should be monotone and additive). This approach has
allowed also to investigate the situation when uncertain project outcomes are
occurring at different times.
Scientific editing by professor Belenky V.Z., Doctor of Mathematics (CEMI
RAS).
Key words: uncertainty, investment project, expected effect, axiomatic,
monotonicity, additivity
JEL: D81, C18, D04, D92
2
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ....................................................................................................................5
1. ИНВЕСТИЦИОННЫЕ ПРОЕКТЫ И ИХ ЭФФЕКТИВНОСТЬ ...................7
1.1. Инвестиционные проекты и их особенности .........................................................................7
1.2. Эффективность проекта .........................................................................................................12
1.3. Денежные потоки ....................................................................................................................13
1.4. Два подхода к оценке эффективности проектов ..................................................................14
1.5. Векторная модель проекта .....................................................................................................16
1.6. Дисконтирование денежных потоков ...................................................................................20
1.7. Проекты в непрерывном времени .........................................................................................23
1.8. Инвестиционный проект в системе управления активами фирмы ....................................29
2. РИСК И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ. 36
2.1. Понятия неопределенности и риска ......................................................................................36
2.2. Учет неопределенности и риска в проектной практике ......................................................40
3. ВНЕШНЯЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ .............................................................. 48
3.1. Однородное пространство состояний природы ...................................................................49
3.2. Аддитивные монотонные функционалы в пространстве ограниченных функций ..........50
3.3. Правильные критерии ожидаемого эффекта ........................................................................53
3.4. Пространство состояний природы, наделенное вероятностной мерой .............................56
3.5. Пространство состояний природы, наделенное осуществимостью ...................................58
3.6. От внешней неопределенности — к внутренней .................................................................62
4. ИНТЕРВАЛЬНАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ.................................................. 64
4.1. Операции над множествами и отношения между ними. Выпуклые множества и
опорные функции ....................................................................................................................64
4.2. Критерий Гурвица ...................................................................................................................69
4.3. Обсуждение критерия Гурвица. Теорема Каннаи-Пелега ...................................................71
4.4. Принцип максимума энтропии ..............................................................................................77
4.5. Проекты с векторными интервальными результатами .......................................................79
4.6. Смешанная — внешняя и интервальная неопределенность ...............................................82
5. ПРОЕКТЫ С НЕЧЕТКИМИ РЕЗУЛЬТАТАМИ ........................................... 84
5.1. Нечеткие величины и нечеткие альтернативы .....................................................................84
5.2. Правильные критерии ожидаемого эффекта ........................................................................89
5.3. Асимптотически финитные нечеткие альтернативы ...........................................................93
5.4. Проекты с нечеткими векторными результатами ................................................................94
5.5. Интервально-нечеткая неопределенность ............................................................................96
5.6. Нечеткие альтернативы, зависящие от состояния природы ...............................................96
6. ПРОЕКТЫ С РЕЗУЛЬТАТАМИ, НАДЕЛЕННЫМИ
ПРАВДОПОДОБИЕМ ......................................................................................... 99
6.1. Величины и альтернативы, наделенные правдоподобием. Правильные критерии
ожидаемого эффекта ...............................................................................................................99
3
6.2. Многомерный случай............................................................................................................107
6.3. Слабо непрерывные и состоятельные критерии ожидаемого эффекта ...........................109
6.4. П-альтернативы, зависящие от состояния природы ..........................................................112
7. ВЕРОЯТНОСТНАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ............................................. 114
7.1. Случайные альтернативы и критерии их оценки ...............................................................114
7.2. Случайные альтернативы, зависящие от состояния природы ..........................................119
7.3. Интервально-вероятностная неопределенность ................................................................120
7.4. Нечеткая вероятностная неопределенность .......................................................................125
7.5. Случайные альтернативы, наделенные правдоподобием .................................................126
7.6. Критерий Массе ....................................................................................................................130
7.7. Проекты со случайными векторными результатами .........................................................138
7.8. Предпочтение времени .........................................................................................................140
7.9. Вероятностно-интервальная неопределенность ................................................................142
8. ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ ........................ 148
8.1. Интеграл Римана-Минковского ...........................................................................................148
8.2. Процессы с независимыми интервальными приращениями ............................................151
8.3. Процессы с независимыми нечеткими приращениями .....................................................152
8.4. Процессы с независимыми приращениями, наделенными правдоподобием .................154
9. ЗАКЛЮЧЕНИЕ ................................................................................................... 156
ЛИТЕРАТУРА ......................................................................................................... 158
4
ВВЕДЕНИЕ
Устойчивое развитие российской экономики невозможно без реализации
инвестиционных проектов в реальном секторе экономики. При этом перед
проектными, строительными и финансирующими организациями, заказчиками и
органами государственного управления встают задачи выбора наиболее
рациональных строительных, технических и финансовых проектных решений.
Кроме того, инвесторы хотят по возможности полнее и точнее оценить
получаемые результаты реализации проекта и соотнести их со своими целями и
интересами. В этих целях выполняются так называемые расчеты
эффективности инвестиционных проектов. Исходные принципы таких
расчетов достаточно просты, но адекватный учет влияния отдельных факторов
нередко приводит к серьезным методическим проблемам. В данной книге,
адресованной как экономистам, так и математикам, рассматриваются те из них,
которые связаны с учетом факторов риска и неопределенности.
Не останавливаясь на причинах высокого риска реализации
инвестиционных проектов в России и значительной неопределенности исходной
информации для оценки их эффективности, мы уделим особое внимание трем
вопросам:
 как следует понимать термины “неопределенность” и “риск”?
 правомерно
ли
рассматривать
неопределенные
характеристики
инвестиционного проекта как случайные величины или процессы? Существуют
ли иные виды неопределенности?
 как учесть факторы неопределенности и риска при разработке проектов и
оценке их эффективности? Надо ли здесь использовать упрощенные или,
наоборот, более сложные методы?
Обоснованием корректных правил сравнения объектов, вообще говоря,
произвольной природы, занимается теория полезности. Однако применять ее в
инвестиционном проектировании затруднительно. Во-первых, критерии
эффективности здесь должны обладать рядом специфических свойств, которым
в теории полезности уделяется не слишком большое внимание. Во-вторых,
некоторые виды риска и неопределенности описываются такими
математическими объектами, которые в этой теории пока не рассматривались.
Поэтому мы возьмем на вооружение принятый в теории полезности
аксиоматический подход, слегка изменив его. А именно, примем, что с позиций
данного хозяйствующего Субъекта все инвестиционные проекты сравнимы и
существует некоторый критерий, позволяющий их сравнивать. Чтобы
экономическое поведение Субъекта было рациональным, этот критерий должен
удовлетворять определенным требованиям (аксиомам). Это приводит к чисто
математической задаче установления структуры (вида) подходящих критериев.
Такой подход позволяет с единых позиций и при минимальном количестве
исходных аксиом обосновать входящие в проектную практику критерии
математического ожидания и оптимизма-пессимизма Гурвица, предложить
5
новые критерии для отдельных типов неопределенности и показать
некорректность ряда критериев, рекламируемых в популярной литературе. В
данной книге дается систематизированное изложение полученных на этом пути
результатов (при этом учтен опыт чтения соответствующих лекций на
факультете инноваций и высоких технологий МФТИ и экономическом
факультете МГУ). Её можно рассматривать как описание некоторых “языков”,
на которых удобно описывать риск и неопределенность в инвестиционном
проектировании.
Исходные позиции нашего подхода и экономическое содержание основных
требований к критерию эффекта обсуждаются в главе 1 применительно к
детерминированным проектам. В главе 2 уточняются понятия неопределенности
и риска и критически рассматриваются существующие подходы к их учету (в
частности, обосновывается недопустимость учета рисков путем введения так
называемой “премии за риск” в ставку дисконтирования). Далее
рассматриваются
постепенно
усложняющиеся
различные
виды
неопределенности (при этом наиболее сложной оказывается вероятностная
неопределенность). В главе 8 излагаются некоторые модели неопределенных
величин, зависящих от непрерывно меняющегося времени (неопределенных
процессов).
Автор выражает искреннюю благодарность своим коллегам по работе —
В.З. Беленькому, взявшему на себя нелегкий труд редактирования этой книги, и
В.И. Аркину, П.Л Виленскому, И.В. Евстигнееву, В.Н. Лившицу, В.М.
Полтеровичу, Э.Л. Пресману, В.И. Ротарю, А.Д. Сластникову, И.М. Сонину,
активно участвовавшим в обсуждении отдельных затронутых в книге проблем.
6
1.
ИНВЕСТИЦИОННЫЕ ПРОЕКТЫ И ИХ ЭФФЕКТИВНОСТЬ
1.1. Инвестиционные проекты и их особенности
Понятие “проект” люди понимают по-разному. В ряде работ и в
строительных нормах под проектом понимается документ (например, ТЭО)
определенного состава и содержания. Но тогда говорить о реализуемости и
эффективности проекта бессмысленно, поэтому далее под проектом понимается
совокупность намечаемых действий и управленческих решений,
направленных на достижение определенных целей. Документы, содержащие
описание этих действий, их обоснование и исполнителей, мы называем
проектными материалами, а лиц, которые их разрабатывают —
проектировщиками.
Проекты, предусматривающие инвестиции (вложения в основной и
оборотный капитал), мы называем инвестиционными. Обычно их подразделяют
на реальные и финансовые. Реальные проекты предусматривают инвестиции в
основные фонды (здания, сооружения, машины, оборудование и др.), запасы
или нематериальные активы, финансовые — в ценные бумаги или иные
финансовые инструменты. Многие положения этой книги относятся к обоим
типам проектов, поэтому определения “реальный” и “финансовый” мы
используем только там, где это вызвано необходимостью.
При оценке эффективности проекта его “физическое” содержание
несущественно, и проект формализуется, т.е. заменяется своей экономикоматематической моделью — некоторым математическим объектом. Поэтому мы
обычно отождествляем сам проект и его модель, говоря о “проекте”, а не о
“модели проекта”.
Реализация реальных инвестиционных проектов может занимать десятки
лет, что обусловливает необходимость учета разнородных аспектов влияния
фактора времени (динамичность цен, валютных курсов, процентных ставок и
технико-экономических показателей объектов, разновременность затрат и
результатов, физический и моральный износ основных фондов, разрывы во
времени между производством продукции и ее оплатой и др.). В этих целях ход
реализации проекта моделируется. В непрерывных моделях (используемых
обычно в аналитических целях) процесс осуществления затрат и получения
результатов рассматривается в непрерывном времени (см. п.1.7). Чаще, однако,
применяют дискретные модели. Здесь период реализации проекта разбивается
на конечное число шагов (чаще всего годовой длительности), и принимается,
что затраты и результаты каждого шага осуществляются в какой-то один
момент времени (например, в начале или в конце шага). Дискретные модели не
учитывают распределения результатов и затрат внутри шага, зато позволяют
представить экономику проекта и расчеты его эффективности в наглядной
табличной форме.
При оценке проекта важно знать, где его начало и конец. По нашему
7
мнению, началом проекта следует считать начало выполнения первого из
действий, предусмотренных проектными материалами, а концом — момент
завершения последнего из таких действий. На практике, однако, часто
поступают иначе, считая началом проекта момент осуществления первых затрат
по нему. Это может привести к ошибке, если проект начинается не с затрат, а с
получения займа или дотации. Если проект предусматривает достройку
незавершенного строительством объекта, его началом надо считать начало
достройки, а не строительства. Значительно хуже дело обстоит с моментом
завершения проекта. Следуя принятым в советское время традициям, проектам
даются обычно названия типа “Проект строительства (расширения,
реконструкции) ...”. Тем самым неявно подразумевается, а на практике и
декларируется, что подобный проект оканчивается при завершении
строительства. Между тем, на этом этапе лишь осуществляются основные
затраты по проекту, тогда как “отдача” от них достигается позднее — в ходе
эксплуатации соответствующего объекта. Более того, прекращение
производства подчас требует значительных (ликвидационных) затрат, о которых
проектировщики, как правило, забывают. В результате при ликвидации шахт
или АЭС общество сталкивается с серьезными проблемами. Поэтому проектные
материалы должны предусматривать комплекс действий не только по
сооружению объекта, но и по его эксплуатации и ликвидации, и концом проекта
следует считать не момент ввода объекта в эксплуатацию, а момент его
ликвидации (в ряде случаев имеет смысл рассматривать неограниченно
продолжающиеся проекты).
Характерно, что многие реальные инвестиционные проекты н е д е л и м ы и
н е т и р а ж и р у е м ы . Нельзя реализовать половину проекта, хотя вложить в него
меньше средств можно — тогда остальные средства должен вложить какой-то
другой участник. Однако за половину средств нельзя построить объект
половинной мощности и получать половинный доход (для обычных
финансовых проектов положение иное: так, за меньшие средства можно
приобрести меньше акций, дающих соответственно меньший доход). С другой
стороны, подобные проекты обычно нельзя и удваивать — за вдвое большие
средства можно построить два однотипных объекта, но эти объекты будут в
разных местах, они будут конкурировать между собой за рынок сбыта и в
общем случае суммарные затраты и результаты по двум таким проектам не
станут вдвое больше. Как правило, за вдвое большие средства нельзя построить
и объект удвоенной мощности — сказывается эффект концентрации
производства. Другими словами, изменение масштабов проекта не приводит к
пропорциональному изменению затрат и результатов, оно должно
рассматриваться как самостоятельный новый проект и требует разработки
самостоятельных проектных материалов. В то же время операции
тиражирования проектов можно дать несколько иную интерпретацию, что
приводит к довольно простым и удобным математическим моделям.
Важно отметить, что инвестиционные проекты в определенном смысле
8
этого слова у н и к а л ь н ы (э к с к л ю з и в н ы): каждый такой проект ориентирован
на использование новых знаний о природе, техносфере и обществе в целях
занятия определенной ниши на рынке и последующего извлечения выгод из
этого. Эти компоненты присутствуют в разных проектах, хотя и в разных
пропорциях. Использование новых знаний характерно не только для проектов,
предусматривающих производство новой продукции или применение новой
техники, но и для проектов организации “обычных” производств в новом
регионе (здесь нужны знания о рыночной конъюнктуре в этом регионе).
Эксклюзивность проекта понимают и строители, говоря, что двух одинаковых
зданий не существует: даже если они построены по одному и тому же типовому
проекту, “привязка” к местности, а следовательно, и подземные коммуникации у
них разные. В любом случае инвестиционный проект предполагает удачное
использование сложившейся или ожидающейся в перспективе рыночной
конъюнктуры и, как правило, “вывод из игры” конкурентов. Сказанное
относится и к финансовым проектам — в самой операции, например, по
покупке ценных бумаг ничего эксклюзивного нет, зато правильно выбрать
объект вложений и время покупки можно, только обладая определенной
информацией, доступной, к тому же, не всем.
Субъектов, осуществляющих предусмотренные проектом действия, мы
именуем участниками проекта. В реальных инвестиционных проектах их, в
отличие от финансовых, обычно несколько (к тому же иногда в состав
участников включаются государство и общество). В ходе реализации проекта
каждый участник осуществляет какие-то затраты и получает какие-то
результаты. Строго определить эти понятия затруднительно. В проект можно
вложить денежные средства, имущество, собственный труд, знания и связи, а от
его реализации получить денежные поступления, нужный товар, расположение
чиновника или вредные выбросы в атмосферу. Однако чаще всего к затратам
субъекта можно отнести материальные и денежные ресурсы, отвлекаемые от его
“основной” деятельности для выполнения запроектированных действий
(например, передаваемые им другим субъектам), а к результатам — ресурсы,
получаемые им от других субъектов при выполнении таких действий. И затраты
и результаты могут иметь не только денежное, но и натуральное выражение.
Далее нам будет удобно говорить только о результатах проекта, рассматривая
затраты по нему как отрицательные результаты.
При совместном рассмотрении нескольких проектов возникает понятие их
совместной реализации. Здесь мы предполагаем, что каждый проект не только
обеспечивает получение определенных результатов, но и содержит некоторый
механизм, позволяющий эти результаты измерить и, тем самым, как бы
отделить “проектную” деятельность участника от “прочей”, “обычной”. Такой
механизм удобно представлять как некую “бухгалтерию”, созданную
специально для учета “проектных” доходов и расходов. Поэтому при
совместной реализации нескольких проектов будет работать соответствующее
число “бухгалтерий”, каждая из которых измерит результаты (вообще говоря,
9
векторные) своего проекта. Назовем теперь совместной реализацией проектов
“большой вектор”, компонентами которого являются так измеренные
результаты этих проектов. Как именно устроен этот “большой вектор”, зависит
от отношений между совместно реализуемыми проектами.
Наиболее важное из них — отношение независимости. На качественном
уровне оно определяется так.
Проекты называются взаимно независимыми, если реализация одного из
них или отказ от этого не влияет на результаты и затраты других проектов.
Таким образом, результаты каждого из независимых проектов не изменятся
от того, какое решение о реализации других будет принято. Поэтому, например,
если проекты X и Y, имеющие результаты x и y, независимы, то те же результаты
они будут иметь и при совместной реализации, т.е. последняя будет
характеризоваться вектором (x, y).
Строго говоря, независимых проектов не существует: реализация любого
проекта изменяет характеристики общей для всех проектов экономической
среды, меняя условия реализации остальных (см. также п. 3.1). Поэтому весь
комплекс рассматриваемых Субъектом проектов должен рассматриваться как
единое целое на верхнем уровне управления! Очевидно, что этому отвечает
только диктатура — единоличное управление всей деятельностью
соответствующей структуры, будь то фирма или общество. Однако практика
показала неэффективность такого механизма в решении многих социальных,
экономических и даже технических проблем. Поэтому обычно органы
государственного и корпоративного управления построены по иерархическому
принципу: в них выделяются подразделения, самостоятельно решающие
определенный круг вопросов (так, решения по приобретению не очень крупного
оборудования каждое предприятие крупной корпорации принимает
независимо). Это означает, что фирма или общество считают, что некоторые
управленческие или инвестиционные решения могут оцениваться одними
подразделениями независимо от решений, принимаемых другими. Такое
допущение может быть оправдано, только если соответствующие решения —
малые, локальные. Не случайно в действующих системах управления решения о
более крупных проектах рассматриваются на более высоких иерархических
уровнях. Поэтому, говоря далее о независимых проектах, мы будем
подразумевать их малость, локальность, понимая эти характеристики как
относительные, а не абсолютные: проект, крупный с точки зрения поселка или
города, может быть малым с точки зрения региона. Тем самым вопрос о методах
оценки эффективности крупных проектов просто выносится за рамки
рассмотрения: если проект крупный, он вообще не подлежит оценке на данном
уровне управления и должен быть рассмотрен на более высоком уровне, где уже
станет малым.
Если каждый из независимых проектов реализуем и эффективен, то все их
целесообразно реализовать. Для зависимых проектов такой рекомендации дать
уже нельзя, поэтому понятия реализуемости и эффективности в общем случае
10
применимы только по отношению к независимым проектам. Зависимость между
проектами может иметь разные формы. Укажем две наиболее важные из них.
Проекты называются взаимоисключающими (альтернативными), если
реализация одного из них делает невозможной реализацию остальных (чаще
всего такими бывают проекты, преследующие одну и ту же цель).
Невозможность совместной реализации альтернативных проектов мы будем
понимать как получение нулевых результатов от каждого из них. Каждый из
альтернативных проектов должен поэтому рассматриваться и оцениваться
самостоятельно, без связи с другими проектами — все они могут быть
реализуемыми и эффективными, но реализовать из них можно только один.
Проекты называются взаимодополняющими, если они могут быть
реализованы или отвергнуты только одновременно (например, из-за
невозможности достижения поставленной цели при осуществлении только
некоторых из взаимодополняющих проектов). Здесь каждый из
взаимодополняющих проектов дает нулевые (или малые) результаты, а их
совместная реализация приводит к некоторому положительному результату.
Более того, каждый из взаимодополняющих проектов в отдельности может быть
нереализуем и/или неэффективен, а вся их совокупность — реализуема и
эффективна. Совокупность взаимодополняющих проектов должна оцениваться
совместно, как один “сводный” проект (программа).
Рассмотрим некоторую совокупность проектов A, B,... . Объединив
соответствующие “бухгалтерии” в одну, мы превратим совместную реализацию
этих проектов в один “сводный” проект, который назовем слиянием проектов A,
B,... и обозначим AB... . Далее, однако, мы будем сливать только
независимые проекты (иногда даже не подчеркивая эту независимость),
поскольку, как мы видели, и как показывает история крупных советских строек,
результаты слияния взаимозависимых проектов могут оказаться какими угодно.
В разных моделях проектов операция слияния формализуется по-разному,
выражая одно и то же свойство аддитивности: при слиянии независимых
проектов их результаты и затраты суммируются. Это свойство, очевидное для
результатов типа прибыли или объемов производства продукции, с
очевидностью же не выполняется для результатов типа удельного расхода сырья
или производительности труда. Поэтому “затраты” и “результаты” мы понимаем
как “объемные”, а не “удельные” характеристики проекта. Неаддитивны и такие
результаты проекта, как вредные выбросы, поскольку разные загрязнители
окружающей среды могут реагировать между собой. Однако для сравнительно
малых, локальных независимых проектов свойство аддитивности обычно
выполняется.
Некоторые проекты допускают “повторение”, причем все повторяемые
“копии” проекта можно считать независимыми. Примером является проект,
предусматривающий приобретение и последующее использование грузового
автомобиля или микроавтобуса: фирма может купить одну такую машину, две,
три и т.п., причем использование одной машины никак не влияет на
11
использование других. Такие проекты можно назвать “тиражируемыми”.
1.2. Эффективность проекта
Каждый участник проекта имеет свои цели и интересы и ему важно знать, в
какой мере участие в проекте находится в согласии с ними. В этой связи
возникает понятие эффективности проекта, под которой мы, в общем случае,
понимаем категорию, отражающую соответствие проекта целям и
интересам его участников1. Поэтому показателей эффективности много —
каждый участник проекта оценивает его по-своему. При этом расчеты
эффективности проекта (производимые обычно проектировщиками) становятся
частью проектных материалов, увязанной со всеми остальными их частями.
Как правило, мы обозначаем проекты прописными курсивными
латинскими буквами, например, A, X, Y, и говорим об оценке их эффективности
с позиций определенного Субъекта. Сам факт такой оценки предполагает, что
все инвестиционные проекты для него сравнимы. Мы понимаем это так, что
существует некоторый количественный критерий, с помощью которого Субъект
(или — по его заказу — проектировщик) сравнивает проекты и выбирает
лучший из них. Такой критерий назовем пока (интегральным) эффектом2.
Эффект проекта X будет обозначаться через E(X). Далее мы будем изучать
структуру подобных критериев. Пока же отметим важнейший принцип,
увязывающий структуру критерия с задачей оценки эффективности проектов.
Принцип неотрицательности и максимума эффекта. Проект X
эффективен, если E(X) > 0 и неэффективен, если E(X) < 0. Из нескольких
альтернативных проектов более эффективен тот, у которого эффект больше.
Проекты с одинаковым эффектом будем называть равноэффективными.
Как уже отмечалось, интересы участников проекта могут быть различными.
Однако чаще всего участники оценивают проекты исходя из своих
коммерческих интересов. Соответствующие показатели коммерческой
эффективности проектов отражают соответствие выраженных в денежной
форме затрат и результатов целям и коммерческим интересам субъекта. Оценке
проекта с точки зрения общества отвечают показатели общественной
эффективности, с точки зрения государственного бюджета — бюджетной
эффективности.
Один и тот же проект можно формализовать по-разному, в зависимости от
того, какие его аспекты и характеристики, какие факторы мы хотим при этом
учесть. Формализованное описание проекта, используемое для оценки его
эффективности, мы будем называть альтернативой, с тем или иным
По-видимому, впервые близкое определение было дано в Методических указаниях по
планированию научно-технического прогресса в Миннефтегазстрое (РД-102-75-87), утвержденных в
1987 году, разработанных при участии автора.
2
Термин “интегральный” обычно используется, когда проект оценивается за весь период его
реализации, при сопоставлении же затрат и результатов проекта за год или квартал обычно говорят о
годовом или квартальном эффекте. Поэтому далее слово “интегральный” иногда будет опускаться.
1
12
добавлением, отражающим специфику учитываемых факторов. В частности, для
учета факторов неопределенности результатов проекта в следующих разделах
будут рассматриваться неопределенные альтернативы.
1.3. Денежные потоки
Для оценки коммерческой эффективности затраты и результаты
выражаются в денежной форме и именуются обычно расходами и доходами.
При этом проект формализуется в виде денежного потока. Рассмотрим вначале
соответствующую дискретную модель.
Пусть
t0 < t1 < t2 < . . .
—
некоторая
(возможно,
бесконечная)
последовательность моментов времени. Принимается, что все расходы по
проекту могут осуществляться, а все доходы могут получаться только в эти
моменты времени. Такой проект характеризуется денежным потоком —
последовательностью {fn}, в которой положительная или отрицательная
величина fn отражает чистый доход (разность между доходами и расходами) в
момент tn.
Экономическая теория и нормативные документы (см. [1, 2, 3])
рекомендуют в качестве основного критерия эффективности проекта принимать
чистый дисконтированный доход (ЧДД, NPV):
fn
ЧДД = 
,
(1.1)
tn  t 0
n 1  E 
где t0 — базовый момент (обычно t0 = 0), к которому приводятся
разновременные чистые доходы, E — (годовая) ставка дисконтирования,
отражающая неравноценность разновременных денежных потоков.
В частном случае, когда чистый доход получается только в базовый момент
времени, он совпадает с ЧДД. Поэтому в соответствии с (1.1) денежный поток
проекта считается эквивалентным доходу в размере ЧДД (или расходу -ЧДД,
если ЧДД отрицателен) в момент t0.
В другом частном случае, когда время измеряется в годах, чистые доходы
осуществляются в начале года, а моментом приведения является начало отсчета
времени в проекте (t0 = 0), эта формула принимает вид, обычно приводимый в
популярной литературе:
fn
ЧДД = 
.
(1.2)
n
1

E

n 
Чтобы представить реальные денежные потоки в указанном виде, период
реализации проекта разбивают на конечное число шагов (обычно —
длительностью 1 год), относя чистый доход fn на n-м шаге к началу, концу или
середине шага.
Для практики важно правильно определять доходы и расходы. Во многих
случаях они имеют привычный смысл. Например, выручка от продажи
продукции или собственного имущества — это доход, а затраты на
13
строительство или закупку сырья — расход. Однако есть и существенные
отличия от системы бухгалтерского учета, например:
 в состав расходов включаются и капитальные (инвестиционные,
единовременные) и текущие затраты, но не включается амортизация, поскольку
за ней не стоят какие-либо платежи “на сторону”;
 вложения собственных средств в проект рассматривается как расход.
Собственное имущество, вкладываемое в натуральной форме, при этом
оценивается по его альтернативной стоимости (грубо говоря, по максимальной
из цены возможной продажи или интегрального дисконтированного дохода от
сдачи в аренду, см. например, [3]);
 вложения собственных средств на депозиты или в ценные бумаги
рассматриваются как расходы, получение средств при закрытии депозитов или
продаже ценных бумаг — как доходы;
 получаемые займы учитываются как доходы, погашение долгов (включая
и проценты) — как расходы;
 получение имущества в аренду (лизинг) не рассматривается как доход или
увеличение активов, предоставление имущества в аренду (лизинг) не считается
расходом. В обоих случаях в чистых доходах отражаются только арендные
(лизинговые) платежи.
Таким образом, величина чистого дохода отражает порождаемое проектом
изменение собственных средств Субъекта: уменьшение в случае, когда эти
средства направляются на финансирование операционной, инвестиционной или
финансовой деятельности, и увеличение — при поступлении доходов от этих
видов деятельности.
При наличии разрывов во времени между производством (или отгрузкой)
продукции и оплатой этой продукции или использованного при ее производстве
сырья эта схема изменяется. Теоретически наиболее корректно относить
каждый платеж к тому моменту, в котором он осуществляется (так и поступают
при аналитическом рассмотрении модельных проектов). Но тогда доходы от
продажи продукции и расходы на сырье, необходимое для ее производства,
могут быть отнесены к разным моментам времени. В дискретных моделях это
учитывается так: вначале к каждому шагу относят суммарные доходы и
расходы, относящиеся к произведенной (или реализованной) на этом шаге
продукции, а для учета платежей, “вышедших за границу” шага, вводят
“компенсирующие” денежные потоки, которые, как будет показано в п. 1.7,
могут трактоваться как изменения текущих активов или текущих пассивов.
1.4. Два подхода к оценке эффективности проектов
Приведенная выше формула ЧДД может быть обоснована с помощью
математических моделей инвестиционного проекта. При этом могут
использоваться два подхода к таким обоснованиям [4].
Первый, ординалистский подход ориентирован на задачу сравнения
14
разного рода объектов, исследуя отношения предпочтения между ними. Чтобы
решения о выборе лучшего объекта согласовывались со “здравым смыслом” и
обеспечивали
“рациональное
экономическое
поведение”,
отношения
предпочтения должны обладать определенными свойствами. Эти свойства
описываются некоторой системой аксиом, и возникает проблема установления
структуры удовлетворяющих им отношений предпочтения, составляющая
предмет теории полезности (см. [5]). Оказывается, что при разумной системе
аксиом на множестве объектов существует функция “полезности”,
принимающая более высокие значения для более предпочтительного объекта.
Такая функция определяется с точностью до монотонного преобразования, что
не сказывается на решении задач оптимизации проектных решений, но не
позволяет придать ей какой-либо экономический смысл.
Ординалистский подход является, вообще говоря, более общим и
современным, однако специфика инвестиционных проектов в теории
полезности должным образом не учитывается. Кроме того, проектировщикам
нужно не только правильно сравнивать разные проекты, но и оценивать
эффективность отдельного проекта. Для этого важно знать не только структуру
отношения предпочтения между проектами, но и конкретный функционал,
порождающий эти отношения. Именно эта задача становится основной при
втором, марджиналистском подходе. Другими словами, здесь постулируется,
что каждому проекту X отвечает некоторое число E(X) — эффект проекта X, по
величине которого осуществляется сравнение проектов и выбор лучшего. При
этом проекты с E(X)> 0 называются эффективными, проекты с E(X)<0 –
неэффективными. Тогда, чтобы обеспечить рациональное экономическое
поведение Субъекта, критериальный функционал E(X) должен удовлетворять
определенным требованиям. Вводимые нами требования ориентированы
прежде всего на оценку эффективности инвестиционных проектов, а не какихто иных альтернатив, и тем более — не на оценку хозяйственной деятельности
Субъекта в целом.
Более общий подход предложен в [4 (п. 9.12), 6, 7]. А именно, для сравнения
альтернатив достаточно знать любой функционал u(X, Y), который будет
положительным (отрицательным) только, когда альтернатива X будет лучше
(хуже) Y — в [8] такой функционал назван “интенсивностью предпочтения”.
Вид функционала подбирается так, чтобы результат сравнения альтернатив
отвечал “здравому смыслу”. Однако именно для инвестиционных проектов
такой подход представляется нам менее “наглядным” и мы не будем его
рассматривать.
Разница между ординалистским и марджиналистским подходами с
экономической точки зрения примерно та же, что и между теориями
сравнительной и общей эффективности (если понимать эти термины в смысле
А.Л.Лурье [9], а не Т.С.Хачатурова [10]). При первом подходе формируются
разумные инструменты, позволяющие выяснить, какой из двух проектов лучше,
при втором каждый проект оценивается в отдельности, безотносительно к
15
другим проектам. Представляется, что и в условиях неопределенности
марджиналистский подход удобнее, позволяя работать не с правилами
сравнения проектов, а с показателями их эффективности, которые можно
использовать при переговорах между участниками проекта, с банками и т.п.
1.5. Векторная модель проекта
В данной модели объектами оценки эффективности являются векторные
альтернативы (ВА): проект X формализуется как вектор X = (x1 , . . . , xm).
Компоненты вектора будем трактовать как различные виды результатов
проекта. Приведем три таких трактовки:
1) xi — чистый доход, получаемый в момент времени ti;
2) xi — объем производства i-го вида продукции (если xi > 0) или расхода
i-го вида ресурсов (если xi < 0);
3) проект может обеспечивать позитивные или негативные экономические,
социальные, экологические и т.п. результаты, и xi — величина i-го из
них, измеренная в своих единицах.
Эффект ВА при этом становится некоторой функцией от ее результатов:
E(X) = E(x0 , . . . , xm). Свойства этой функции мы сформулируем в виде следующих
аксиом.
Согласованность. Интегральный эффект должен измеряться в шкале,
понятной Субъекту. Это обеспечивается, если измерять его в тех же единицах,
что и один из результатов проекта (x1). В этом случае при любом b ВА
Ib = (b, 0, . . . , 0) должна иметь эффект b:
E(Ib) = E(b, 0, . . . , 0) = b b.
(1.3)
Отсюда, в частности, следует, что любая ВА X равноэффективна с одной
ВА такого типа, а именно: E(X) = E(IE(X)) = E( E(X), 0, . . . , 0) X.
Следующая аксиома формализует (применительно к данному типу
проектов) естественное требование, чтобы при “явном улучшении” проекта он
не становился менее эффективным.
Монотонность. При увеличении любого результата проекта эффект не
уменьшается.
Для формализации этой аксиомы введем на классе ВА отношение
доминирования (»), имеющее смысл “не хуже” и аналогичное отношению “>”
между числами. Скажем, что ВА X = (x1, . . . , xm) доминирует ВА Y = (y1, . . . , ym), и
обозначим это X » Y, если любой результат X не меньше соответствующего
результата Y, т.е. если xi > yi i. Тогда аксиому монотонности можно
представить так:
X » Y  E(X) > E(Y).
(1.4)
При слиянии независимых проектов их соответствующие результаты
суммируются. Поэтому определим слияние ВА как покомпонентное
суммирование векторов:
16
(x1,. . . , xm)  (y1,. . . , ym) = (x1 + y1,. . . , xm + ym).
(1.5)
Аксиома децентрализации, которую мы сейчас введем (в теории
полезности близкое требование именуется аксиомой независимости), отражает
принципиальную возможность децентрализованного разделения эффективных
и неэффективных проектов. Вначале мы дадим ее содержательную
формулировку, пригодную не только в детерминированном случае, но и в
условиях неопределенности разного типа.
При слиянии проекта с другим, независимым эффективным
(неэффективным) проектом эффективность не уменьшается (не увеличивается):
Е(Y) > 0  Е(X Y) > Е(X), Е(Y) < 0  Е(X Y) < Е(X).
(1.6)
Отсюда вытекает очевидное следствие:
Е(Y) = 0  Е(X Y) = Е(X).
(1.6)
Другими словами, оценка проекта как эффективного или неэффективного
не зависит от того, рассматривается ли проект изолированно или как
"дополнение" к другому, не зависящему от него проекту. Данная аксиома
представляется чрезвычайно важной, позволяя в определенной мере
игнорировать влияние окружающей экономической среды и децентрализовать
принятие решений. Объясним это подробнее.
Заметим вначале, что в мире все время реализуются какие-то проекты. Если
Субъект, сравнивая и оценивая “свои” проекты, будет при этом учитывать и все
одновременно реализуемые “чужие” проекты, процесс принятия решений
чрезвычайно усложнится. Поэтому обычно во внимание принимаются только те
“чужие” проекты, которые могут сказаться на реализации “своих”. Данная
аксиома и оправдывает такое поведение, позволяя исключить из рассмотрения
“чужие” проекты, не влияющие на результаты “своих” (по нашей терминологии
— “не зависящие” от них).
Теперь — о децентрализации. В крупных фирмах решения об участии в
реализации одних проектов принимаются высшими руководителями, другими
проектами занимаются низшие уровни управления. Процесс принятия решений
здесь децентрализован. Однако решения, принимаемые “внизу”, не должны
противоречить целям и интересам фирмы в целом, поэтому на всех уровнях
управления проекты должны оцениваться согласованно, и проекты,
равноэффективные на одном уровне управления, должны оцениваться так же и
на других уровнях. Пусть на одном уровне управления установлено, что эффект
проекта X равен b. Поскольку ВА Ib и X равноэффективны в силу (1.3), они
должны быть равноэффективны и на другом уровне управления, так что эффект
проекта X и здесь будет равен b. Поэтому при экономически рациональной
децентрализации управления оценка проектов на всех уровнях управления
должна производиться по одному и тому же критерию. Это позволяет
децентрализовать и процесс оптимизации проектов. Пусть, например, крупный
проект U включает реализацию подразделениями фирмы независимых малых
проектов X и Y. Если исполнители последних будут их оптимизировать по
17
единому критерию при установленных ограничениях, то в силу (1.6) эффект для
фирмы в целом возрастет.
Допустим, что критерий эффективности в некоторой фирме не
удовлетворяет аксиоме децентрализации. Тогда найдутся, например, такие
независимые проекты X и Y, что Y будет эффективен, а слияние X Y — менее
эффективно, чем X. Пусть теперь в одном из подразделений фирмы оценивают
проект Y, тогда как другое подразделение решает реализовать не зависящий от Y
проект X. Очевидно, что первое подразделение решит участвовать в проекте Y,
что будет противоречить интересам фирмы в целом (реализация X и Y менее
эффективна, чем реализация только X). Поэтому, если фирма хочет поступать
экономически рационально, все решения об участии в реализации проектов
должны приниматься только на высшем уровне управления. Однако, как
показывает опыт крупных фирм, процесс принятия решений при этом
тормозится, а результаты деятельности ухудшаются. Таким образом, аксиома
децентрализации может не выполняться, если эффективность проекта оценивает
физическое лицо или мелкая фирма, однако для разумного экономического
поведения “обычных” участников инвестиционных проектов необходимо,
чтобы используемые ими критерии удовлетворяли данной аксиоме.
Заметим теперь, что зависимость или независимость проектов определяется
их содержанием, а не векторами результатов (для любых векторов X, Y, . . .
можно построить как зависимые, так и независимые проекты с этими
результатами). Поэтому импликации (1.6) должны выполняться для любой пары
векторов X и Y, поскольку она может быть порождена независимыми проектами.
Далее нам понадобится следующее общее утверждение.
Утверждение 1.1. Согласованный и монотонный критерий эффекта
удовлетворяет аксиоме децентрализации тогда и только тогда, когда он
аддитивен, т.е. когда
Е(X Y) = Е(X) + Е(Y).
(1.7)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Тот факт, что (1.6) есть следствие (1.7), очевиден. Для
доказательства обратного возьмем произвольные ВА X и Y и положим Е(X) = a,
Е(Y) = b. Замечая, что Е(X) = Е(Ia), Е(Y) = Е(Ib) в силу аксиомы согласованности, и
используя (1.6), получаем:
Е(Y) = b  Е(Ib I-b  Y) = Е(Ib)  Е(I-b  Y) = 0.
(1.8)
Теперь из (1.8) и (1.6) имеем: Е(X  I-b Y) = Е(X) = a, что в силу (1.8) влечет
за
собой
Е(I-a I-b X  Y) = 0.
Отсюда
в
силу
(1.8)
имеем:
Е(Ia+b I-a I-b X  Y) = Е(Ia+b), что после упрощений дает искомое:
Е(X  Y) = a + b = Е(X) + Е(Y). ■
Проведенное доказательство проходит и для других рассматриваемых ниже
формализаций проектов, от критериев оценки которых мы также будем
требовать
соблюдения
аксиом
согласованности,
монотонности
и
децентрализации. Поэтому, опираясь на Утверждение 1.1, мы будем далее
18
заменять аксиому децентрализации эквивалентной ей аксиомой аддитивности
(1.7). При этом согласованные, монотонные и аддитивные критерии
эффективности проектов мы будем называть правильными.
Аддитивность критерия эффекта существенно используется и в процессе
оптимизации проектов. Пусть Y — вариант проекта X, отличающийся, скажем,
размещением оборудования в цехе. Обычно проектировщики могут легко
оценить, как новое проектное решение изменит результаты проекта. Рассмотрим
(быть может, не существующий “в чистом виде”) проект Z, результатами
которого будут именно эти изменения. Тогда мы можем формально записать
Y = X  Z. Отсюда следует, что новое решение будет предпочтительнее, если и
только если Е(Z) > 0. Поэтому вместо оценки эффективности проекта в полном
объеме при разных проектных решениях мы можем ограничиться анализом
приростов результатов проекта, обусловленных изменением этих решений. В
этом суть приростного метода оценки эффективности проектных решений,
которым часто пользуются на практике (в [1, 3] этот метод применен и для
оценки эффективности проектов, реализуемых на действующих предприятиях).
В данном случае правильная функция E(x1,..., xm) монотонно не убывает по
каждому переменному и аддитивна. Легко видеть, что такая функция может
быть только линейной, т.е. должна иметь вид:
E(x1, . . . , xm) = p1x1 + . . . + pmxm,
(1.9)
где pi — некоторые неотрицательные коэффициенты.
Кроме того, как видно из (1.3) и (1.9), p1 = E(1, 0,. . . , 0) = 1. Поэтому эффект
проекта отражает суммарные его результаты, “пересчитанные в одну и ту же
размерность” с применением коэффициентов pi.
Из полученного, достаточно простого результата вытекает ряд чрезвычайно
важных для теории эффективности следствий.
Как правило, в качестве основных результатов проекта рассматриваются
экономические, измеряемые в денежном выражении. В этом случае
коэффициенты pi осуществляют перевод всех результатов проекта в денежное
выражение и потому трактуются как цены. Таким образом, при оценке
эффективности проекта все виды результатов должны приводиться к денежному
выражению, вопреки широко распространенному мнению, что оценка
социальных и экологических результатов может быть только неэкономической.
С нашей точки зрения, любые виды важных для общества результатов, включая
и уничтожение популяций животных, и экономию свободного времени
населения, и гибель людей, должны учитываться в расчетах общественной
эффективности в денежном выражении. Разумеется, для этого должны быть
установлены соответствующие “цены”, например, стоимость человеко-часа
свободного времени или цена человеческой жизни, как ни кощунственно это
звучит.
При оценке коммерческой эффективности смысл коэффициентов pi
становится яснее. Пусть компонента xi отражает объем производства (при xi > 0)
19
или расхода (при xi < 0) i-го товара, свободно обращающегося на рынке и
имеющего цену qi. Тогда “обычная операция” по производству продукции из
имеющихся ресурсов, т.е. проект X = (x1, . . . , xm) будет коммерчески невыгоден,
если и только если цена произведенной продукции меньше затрат на “сырье”,
т.е. при q1x1 + . . . + qmxm< 0. С другой стороны, условие неэффективности проекта
здесь принимает вид: 0 > Е(X) = p1x1 + . . . + pmxm. Поскольку критерий Е отражает
коммерческую эффективность, то оба неравенства эквивалентны, что возможно
только, если p1 : p2 : ...= q1 : q2: ... . Иными словами, в расчетах коммерческой
эффективности должны использоваться рыночные или пропорциональные им
цены товаров.
Заметим, кстати, что в рыночной экономике цены одних и тех же товаров
зависят от объемов их купли/продажи (при покупке большей партии товара
продавцы обычно предлагают скидки). В изложенной модели это не отражено,
что еще раз свидетельствует об ее применимости только для малых, локальных
проектов3.
Важно иметь в виду, что рыночная цена потребляемого ресурса по
отношению к данному проекту носит альтернативный характер, т.е. отражает
доход от альтернативного использования товара (в данном случае — от его
продажи). Более того, речь здесь должна идти не о любом, а о наиболее
выгодном альтернативном использовании, поскольку более высокий эффект мог
бы быть получен не при продаже товара, а, скажем, при сдаче его в аренду (это
характерно для машин и зданий). Альтернативный характер имеют цены и при
оценке общественной эффективности, хотя наилучшей альтернативой здесь
может быть не продажа товара, а его использование, например, для
производства другой продукции или для решения социальных проблем.
Поэтому эффект проекта оказывается сравнительным показателем, отражая
преимущество использования ресурсов в данном проекте по сравнению с
альтернативным их использованием.
1.6. Дисконтирование денежных потоков
Применим полученный выше результат к дискретной модели
инвестиционного проекта. В этой модели проект характеризуется двумя
векторами: (x1,. . . , xm) и (t1,. . . , tm), отражающими чистые доходы и моменты их
получения (они могут быть произвольными, а их количество не фиксируется).
Здесь “цена” pi отражает “ценность” 1 рубля, полученного в момент ti, по
сравнению с таким же доходом в базовый момент t1 (поэтому p1 = 1). Такие
“цены” позволяют приводить разновременные доходы к одному моменту
времени и они называются коэффициентами приведения или дисконтирования.
Имеется в виду, что проект должен быть малым только на данном уровне управления. Например,
в проекте, рассматриваемом на уровне крупной корпорации, доходы от продажи продукции или
расходы на приобретение ресурсов по проекту должны быть малыми по сравнению с доходами и
расходами корпорации в целом.
3
20
В данном случае они являются функциями pi(t1,. . . , tm). Установим их вид,
приняв для упрощения, что t1 = 0.
Пусть вначале m = 2, t2 = t. Здесь в общей формуле эффекта останется только
один коэффициент дисконтирования p2. Обозначим его через (t), положим
(0) = 1, и назовем функцию (t) дисконтирующей. Тогда у проекта, дающего
чистые доходы x1 и x2 в моменты времени 0 и t2, эффект составит x1 + (t2)x2. Но
этот проект дает нулевые доходы в моменты времени t3,. . . , tm, и его эффект, в
соответствии с (1.9), будет равен x1 + p2(t1,. . . , tm)x2. Отсюда получаем, что
p2(t1,. . . , tm) = (t2). Аналогично убеждаемся, что pi(t1,. . . , tm) = (ti) при всех i.
Таким образом, каждый коэффициент pi зависит только от “своего” момента
времени, а формула (1.9) принимает вид:
m
E  X    ti  xi .
(1.10)
i 1
При этом доход в момент 0 может быть и нулевым, что позволяет
использовать (1.10) при произвольном выборе моментов t1,. . . , tm — важно лишь,
что за единицу измерения эффекта принят 1 рубль чистого дохода, получаемого
в момент 0.
Практически применимые дисконтирующие функции (t) удовлетворяют
дополнительным аксиомам. Первая из них отражает тот факт, что доходы
"сегодня" экономические субъекты предпочитают тем же по величине доходам
"завтра". Обозначим через Ut проект, предусматривающий получение дохода 1 в
момент t.
Предпочтительность более ранних доходов. Е(Us) > Е(Ut) при любых s < t.
Из этой аксиомы в силу (1.10) вытекает, что (s ) > (t) при любых s < t.
Таким образом, функция (t) неотрицательная и строго убывающая, поэтому
она положительна при всех конечных t (откуда, кстати, вытекает и
предпочтительность более поздних расходов).
Данная аксиома выглядит вполне естественно для финансовых ресурсов. Для других
видов ресурсов положение иное. Так, преждевременное получение скоропортящегося товара
или остекление строящегося производственного здания до установки в нем оборудования
может быть чревато потерями.
Следующая аксиома обеспечивает малое изменение эффекта при
небольшом изменении моментов получения доходов.
Непрерывность. Эффект (t) проекта Ut непрерывно зависит от t.
В литературе часто рассматривают модельные инвестиционные проекты, в
которых единовременные инвестиции в момент 0 дают последующий
ежегодный постоянный доход — мы назовем их бессрочными депозитами. Сам
факт сравнения таких проектов с "обычными" говорит о том, что эффект
бессрочного депозита считается конечным. Однако мы рассматриваем проекты
с конечным жизненным циклом, и указанное свойство удобно выразить
следующей аксиомой. Пусть D(K,T) — проект, требующий затрат K в момент 0
21
и дающий доходы 1 в моменты времени 1, 2, . . . , T.
Соизмеримость единовременных и текущих (чистых) доходов.
Существует такое K, что проект D(K,T) неэффективен при любом T.
Учитывая, что Е(D(K,T)) = -K + (1) + . . . + (T), отсюда следует, что все
суммы (1) +. . . + (T) равномерно ограничены, так что ряд (1) + (2) + . . .
сходится. Поскольку функция (t) монотонная, из этого вытекает и ее
суммируемость на оси времени:

   t  dt   .
(1.11)
0
Таким образом, с ростом t функция (t) убывает достаточно быстро.
Поэтому для дисконтирования нельзя использовать предлагавшиеся
некоторыми экономистами функции типа (t) = 1/(1+Et), ориентированные на
формулу “простых процентов”.
Привычный вид коэффициентов дисконтирования обеспечивается, если
отбросить три предыдущие аксиомы, заменив их следующей.
Невыгодность задержки. При задержке начала реализации эффективного
проекта он становится менее эффективным:
m
m
m
 ti xi  0   ti  sxi   ti xi
i 1
i 1
при любом s > 0. (1.12)
i 1
Эта аксиома также не универсальна. Дело в том, что проект, начатый позже, будет
реализовываться в других внешних условиях и при другой системе цен. Если при этом цена
производимой продукции растет быстрее цены потребляемых ресурсов, то эффект проекта
может и возрасти. Частично устранить указанный недостаток можно, исчисляя денежные
поступления и расходы не в текущих, а в дефлированных ценах, т.е. ценах постоянного
среднего уровня (мы не будем касаться возникающей здесь проблемы правильного выбора
этого самого "среднего уровня").
Если (1.12) выполняется, то из теории линейных неравенств [11] следует,
что найдется такое k(s) > 0, что (ti) - (ti+ s) = k(s)(ti) для всех i. Но тогда
(t + s) = [1 - k(s)](t), так что функция (t) убывающая. Легко видеть, что
неотрицательным убывающим решением этого функционального уравнения
может быть только экспонента: (t)=e-rt, r > 0. Поэтому критерий эффекта (1.10)
имеет вид:
m
E  X    xi e  rt i ,
(1.13)
i0
что совпадает с (1.1), если положить E = er - 1. Величина r здесь обычно
именуется непрерывной ставкой дисконтирования, хотя было бы более
корректно именовать ее ставкой дисконтирования в непрерывном времени.
Выяснению структуры критерия эффекта для непрерывной модели
инвестиционных проектов посвящен следующий раздел.
22
1.7. Проекты в непрерывном времени
В этом разделе мы рассматриваем проекты, результаты которых
выражаются только потоками платежей (денежных доходов и расходов). Если
расчеты с поставщиками и покупателями производятся достаточно часто, эти
потоки удобно рассматривать в непрерывном времени. В этих целях обычно
вводят понятие интенсивности f(t), принимая, что в малом интервале времени
(t, t + dt) чистый доход составит f(t)dt. Однако потоки платежей кредитующим
банкам или строительным подрядчикам дискретны. Чтобы включить те и
другие потоки в одно функциональное пространство, оказывается удобным
описывать проекты на ином “языке”.
Ограничимся пока проектами, начинающимися в момент 0 и дающими
чистые доходы только в периоде t > 0. Как и в бухгалтерском учете, примем, что
расходы и доходы накапливаются на отдельных счетах, так что в любой момент
времени мы знаем накопленную к этому моменту сумму осуществленных
расходов и полученных доходов. Это позволяет охарактеризовать проект X
тремя функциями X+(t), X-(t) и X(t), обращающимися в 0 при t < 0 и
отражающими накопленные к моменту t соответственно доходы, расходы и их
разность (чистые доходы). Для дискретных проектов эти функции разрывные, и
здесь надо договориться, чему они равны в точке разрыва. Условимся считать,
что они непрерывны слева: X(t) = X(t - 0). В отличие от X(t), функции X+(t) и X-(t)
монотонные (неубывающие). Поэтому на любом луче (-, T] функция X(t) как
разность монотонных ограниченных функций имеет ограниченную вариацию,
которую мы обозначим VX(T).
Представление функции ограниченной вариации разностью монотонных
функций неоднозначно. Если в некоторый момент s одинаково увеличить
доходы и расходы по проекту X, то функции X+(t) и X-(t) при t > s увеличатся на
константу, и это отразится в бухгалтерском учете. Однако поток чистых
доходов и эффективность проекта, при этом не изменятся. Поэтому мы
отождествляем проекты с одинаковыми потоками чистых доходов X(t). Введем
в рассмотрение показатели (в [12] — чистые доходные и расходные платежи)
n
X   t   sup  max 0, X  ti   X  ti 1 ,
Z
i 1
n
X   t   sup  max 0, X  ti 1   X  ti  ,
Z
i 1
где супремумы берутся по всем наборам Z точек t0 < t1 < …< tn < t. Легко видеть,
что X+(t) и X-(t) — неотрицательные неубывающие функции и X(t) =X+(t) - X-(t).
При этом из всех представлений X(t) в виде разности неубывающих функций
данное обеспечивает наименьшую сумму их вариаций на любом луче (-, T],
равную вариации функции F: VX(T) = X+(T) + X-(T).
Проектам с конечным жизненным циклом отвечают у нас функции X(t),
постоянные при достаточно больших t. В то же время не хотелось бы исключать
из рассмотрения проекты с неограниченным жизненным циклом, прежде всего
— бессрочные депозиты. Однако проекты, обеспечивающие ежегодное
23
получение все больших и больших доходов в течение неограниченного срока,
практически нереальны, к тому же не вполне ясно, как их оценивать и
сравнивать. Заметим теперь, что совокупный доход, полученный по
бессрочному депозиту до момента времени t, с ростом t растет линейно.
Ограничимся поэтому такими проектами, для которых X+(t) и X-(t) с ростом t
растут не быстрее линейной функции.
Таким образом, при изложенном подходе проект X формализуется в виде
функции X(t), обращающейся в 0 при t < 0, непрерывной слева и имеющей на
любом луче (-, t] ограниченную вариацию VX(t), которая с ростом t растет не
быстрее, чем линейно: VX(t) < (t + 1)C при некоторой константе C. Эту
формализацию проекта назовем Ф-альтернативой (ФА), а класс таких
альтернатив обозначим через .
Слияние ФА X и Y естественно определить как сумму соответствующих
функций X(t) и Y(t), изменение масштаба реализации проекта X в k > 0 раз — как
умножение функции X(t) на k. При увеличении чистых доходов проекта X, при
переносе доходов на более ранние сроки или переносе расходов на более
поздние сроки проект явно улучшается, а функция X(t) увеличивается. Это
позволяет ввести отношение доминирования (») между некоторыми элементами
класса : X » Y, если X(t) > Y(t).
Как и раньше, E(X) будет обозначать эффект ФА X. Пусть Ds — ФА,
дающая непрерывно доход с интенсивностью 1 в течение неограниченного
срока, начиная с момента s (ей отвечает Ds(t) = max { 0, t - s } )4, Is — ФА, дающая
доход 1 в момент s (ей отвечает функция Is(t), равная 0 при t < s и 1 при t > s),
(s) = Е(Is).
Введем аксиомы, описывающие естественные, с экономической точки
зрения, свойства функционала E.
Согласованность. Получение дохода 1 в базовый момент времени 0 дает
эффект 1: E(I0) = (0) = 1.
Монотонность. Доминирующему проекту отвечает не меньший эффект:
X » Y  E(X) > E(Y). Поскольку Is » Ir при s < r, отсюда следует, что (s) не
возрастает по s.
Далее надо было бы ввести аксиому децентрализации (1.6), однако, в силу
справедливого и здесь Утверждения 1.1, мы можем сразу заменить ее
требованием аддитивности (1.7). Учитывая, что слиянию проектов X и Y
отвечает суммирование соответствующих функций X(t) и Y(t), это требование
можно записать так:
Е(X + Y) = Е(X) + Е(Y).
(1.14)
Напоминаем, что проекты и отвечающие им функции накопленного эффекта мы обозначаем
одинаковыми символами.
4
24
Отсюда несложно вывести и однородность критерия:
Е(kX) = kЕ(X).
(1.15)
Действительно, Е(X - Y) = Е(X) - Е(Y) в силу (1.14), так что (1.15) достаточно
доказать только для X(t) > 0 и k > 0. Далее, Е(2X) = Е(X) + Е(X) = 2Е(X),
Е(3X) = Е(X) + Е(2X) = 3Е(X) и т.д. Поэтому (1.15) справедливо при целых k. Но
тогда Е(X) = k-1Е(kX), так что (1.15) верно и для k, обратных к целым числам, а
значит — и для любых рациональных k > 0. Остается заметить, что величина
Е(kX) для X(t) > 0 не убывает по k, так что (1.15) верно и для иррациональных k.
Непрерывность критерия обеспечивается следующей аксиомой:
1) при малом изменении момента получения чистого дохода эффект
проекта меняется мало: (s) — непрерывна по s;
2) получение постоянного дохода в отдаленном будущем малоэффективно,
т.е. Е(Ds)  0 при s.
Выясним, какие функционалы удовлетворяют введенным аксиомам. ФА
H = I1 +...+ IT приносит доход 1 в моменты времени 1,2,..., T. Ее эффект, очевидно,
положителен,
но
не
больше,
чем
у
ФА
D0.
Поэтому
Е(H) = Е(I1) + . . . + Е(IT) = (1) + . . . + (T) < Е(D0), так что ряд (1) + (2) + ...
сходится и S(n) = (n) + (n+1) + ... + (2n)  0 при n  . Но 2S(n) > (2n+1)(2n),
так что (T+1)(T)  0 при T  . Поэтому и в силу аксиомы непрерывности при
достаточно больших T будет (T) < /(T+1) и Е(DT) < .
Пусть теперь X(t)   — неубывающая функция,
при t  T ,
 0
 X  t  при t  T ,
Y t   
Z t   
при t  T ;
 0
 X  t  при t  T .
Тогда X(t) = Y(t) + Z(t), Е(X) = Е(Y) + Е(Z), 0 < X(t) < (t + 1)C.
Поскольку (s) непрерывна, она равномерно непрерывна на [0,T], и можно
так разбить отрезок [0,T] точками 0=s0 < s1 <...< sn = T, чтобы при всех k было
|sk - sk-1|< /(T+1) и |(sk-1) - (sk)| < . На отрезке [sk-1, sk) проект Y дает чистый
доход xk = X(sk) – X(sk-1). Пусть Y и Y — проекты, дающие доходы xk
соответственно в точках sk-1 и sk. Тогда Y » Y » Y и Е(Y) > Е(Y) > Е(Y).
Представляя Y и Y линейными комбинациями проектов Isk и обозначив
k  (sk), получим:
E Y     k 1xk , E Y     k xk , E  Y   E Y     k 1   k  xk 
k
k
k
  x k  T  1    X  sk   X  sk 1   T  1  X  T   T  1  C .
k
k
Поскольку Е(Y) — верхняя, а Е(Y) — нижняя интегральная сумма для
25
T
интеграла Стилтьеса J T  X     t  dX  t  , отсюда следует, что они обе, а значит
0
и Е(Y), отличаются от JT(X) не более чем на C.
Далее, поскольку 0 < Z(t)< (t + 1)C, ФА Z менее эффективна, чем получение в
момент T дохода (T+1)C и доходов с интенсивностью C в последующем
периоде.
Но
тогда
0 < Е(Z) < C(T+1)(T) + CЕ(DT) < 2C,
так
что
| Е(X) - JT(X) | < C + 2C. При T   и   0 отсюда имеем:

E  X     t  dX  t  ,
(1.16)
0
причем интеграл, стоящий в правой части, сходится. Величины (t) здесь
естественно трактовать как коэффициенты дисконтирования (приведения
чистых доходов к базовому моменту времени 0).
Формула (1.16) доказана пока для неубывающих X(t). Применив ее к
функциям X+(t) и X-(t) и используя аддитивность интеграла Стилтьеса и
функционала Е, легко получить, что она верна для любых X(t)  . В частности,

E  D0     t  dt , поэтому аксиома непрерывности выполняется, если этот
0
интеграл сходится. Легко проверить и обратное: если (0) = 1 и функция (s) не
убывает, непрерывна и суммируема на [0,), то критерий (1.16) является
согласованным, монотонным, аддитивным и непрерывным. Таким образом,
общий вид критерия эффекта ФА дается формулой (1.16) при неотрицательной,
невозрастающей и суммируемой на [0,) функции (s).
Можно доказать, кстати, что критерий (1.16) непрерывен и в ином смысле:
если Xn(t)  X(t) при n   в любой точке t, где функция X(t) непрерывна и
VXn < (t + 1)C для всех t и n, то Е(Xn)  Е(X).
До сих пор мы рассматривали проекты, начинающиеся в момент 0. Однако
предыдущие рассуждения проходят и для проектов с иным моментом начала .
При этом интеграл в (1.16) будет браться по лучу [, ), охватывающему
жизненный цикл проекта. Поскольку X(t) = 0 при t < , этот интеграл можно
записать в виде, пригодном для любых проектов с конечным моментом начала:
EX 

   t  dX  t  .
(1.17)

Как и в разделе 1.5, можно дополнить систему аксиом требованием
инвариантности к сдвигу во времени и получить, что ей будут удовлетворять
только критерии с (t) = e-rt, r > 0:
26
EX 

e
 rt
dX  t  ,
(1.18)

являющиеся естественным обобщением критериев ЧДД (1.13), хотя и имеющие
несколько непривычный для экономистов вид.
В п. 1.3 мы говорили о разрывах во времени между товарными и
финансовыми потоками (лагах). Формула (1.18) позволяет обосновать метод их
учета. Рассмотрим эффект Q от производства продукции. Соответствующий
денежный поток включает выручку от продажи продукции и текущие затраты
на ее производство. Предположим, что этот поток начинается в момент 0 и
является достаточно “гладким”, так что в малом отрезке времени (t, t + dt)
стоимость произведенной продукции равна B(t)dt, стоимость потребленного
сырья — C(t)dt, прочие затраты — H(t)dt, где B(t) = C(t) = H(t) = 0 при t < 0. При
отсутствии лагов эффект от производства продукции был бы равен



Q0   e B  t  dt   e C  t  dt   e  rt dH  t  dt . Пусть теперь выручка поступает с
 rt
0
 rt
0
0
задержкой , сырье оплачивается через время  после его использования, а
прочие затраты осуществляются одновременно с производством продукции.
Тогда, если  и  малы, то



 rt
 rt
Q   e B  t   dt   e C  t    dt   e rt H  t  dt 
0






 rt
 rt
 rt
 Q0   e B  t   dt   e B  t  dt   e C  t    dt   e  rt C t  dt 
0
0




 r  t 
 r t 
 rt 

 Q0   B  t  e
e
dt   C  t  e    e  rt  dt 




0

 Q0 
 B t  de
0
0
 rt

  C  t  de
 rt


 Q0   e d B  t     e  rt d C t .
0
0
 rt
0
Входящие сюда величины B(t) и C(t) трактуются в экономике как
задолженности соответственно покупателей перед предприятием и предприятия
перед поставщиками, и рассматриваются как важные элементы соответственно
текущих активов5 и текущих пассивов.
Из полученной формулы видно, что для оценки эффекта проекта можно
условно отнести платежи за продукцию и сырье к моменту производства
В бухгалтерском учете задолженность покупателей продукции учитывается не по ее цене, как у
нас, а по себестоимости. Аналогичные расхождения с системой бухгалтерского учета могут возникать
и при учете других видов лагов.
5
27
продукции, включив в расчет денежные оттоки, отражающие изменения
текущих активов и пассивов. Другие виды задержек платежей рассматриваются
аналогично. Для “негладких” денежных потоков (например, получение и
погашение займов или оплата оборудования) проведенные выкладки “не
проходят” и их следует учитывать непосредственно, не “привязывая к
производству”.
Более близкий к реальности, чем (1.18), вид критериев мы можем получить
из следующих соображений. Обычно фирмы вкладывают средства в реальные
инвестиционные проекты не так уж часто. Зато в ходе их “обычной”
деятельности все время возникает то временный избыток, то временный
недостаток средств. Рациональное управление денежными ресурсами при этом
предполагает вложения в финансовые проекты, чаще всего — в срочные
депозиты или ценные бумаги (с целью их последующей продажи). Проекты
такого рода, назовем их “срочными депозитами”, позволяют вложить любую
сумму K в какой-то момент t и получить обратно “наращенную” сумму DK через
время h. Величина rth : (D - 1)/h отражает при этом доходность проекта (обычно
ее выражают в процентах в единицу времени). Очевидно, что из всех “срочных
депозитов” наиболее выгоден тот, доходность которого rth наибольшая, и
эффект этого проекта должен быть неотрицателен. Но тогда проекты с меньшей
доходностью, включая и тезаврацию (“хранение денег в чулке”), как менее
выгодные, должны иметь отрицательный эффект. Отсюда сразу же следует, что
rth > 0 и реализация проекта с доходностью rth дает нулевой эффект, т.е.
(t) = (1 + hrth)(t+h) и rth = [(t)/(t+h)-1]/h. Практика развитых стран показывает,
что при значениях h от 30 лет до 30 минут (что соответствует операциям
30-минутного кредитования) доходности меняются в не слишком больших
пределах. Поэтому естественно считать, что при h  0 величина rth имеет
конечный предел r(t). Но тогда r  t   ln  t  t , так что
 t

  t   exp   r ( s)ds  .
(1.19)
 0

Эта формула лучше отражает экономические реалии и позволяет учесть
тенденции изменения конъюнктуры финансовых рынков (например,
долговременную тенденцию к снижению ставки дисконтирования,
наблюдаемую во многих странах). В частном случае, когда r(t) = r = const, из
(1.19) получается прежняя экспоненциальная формула (t) = e-rt. Это позволяет
трактовать величину r(t) как переменную во времени непрерывную ставку
дисконтирования (термин “непрерывный” относится здесь не к свойствам
функции r(t), которая может быть и разрывной, а к непрерывному изменению
времени). Из изложенного видно, что она определяется максимальной
“мгновенной” доходностью “срочных депозитов”, доступных для Субъекта в
момент t. Ниже предложен иной подход к оценке эффективности проектов,
позволяющий конкретизировать влияние внешней среды на (t) и r(t).
28
1.8. Инвестиционный проект в системе управления активами фирмы
В расчетах эффективности конкретного проекта или программы ставка
дисконтирования выступает в качестве важного параметра “окружающей
экономической среды”, отражающего доходность наилучших альтернативных и
доступных направлений инвестирования. Однако сама эта ставка в чистом виде
в окружающей среде не присутствует (поэтому так трудно дать какие-либо
конкретные рекомендации о том, как ее оттуда “извлечь”), проявляясь с теми
или иными отклонениями в наблюдаемых финансово-экономических
показателях (процентных ставках, фьючерсных котировках и т.п.).
Чтобы прояснить влияние внешней среды на ставку дисконтирования,
необходимо вначале уточнить понятие направления инвестирования.
Оцениваемые нами инвестиционные проекты обычно эксклюзивны, неделимы и
нетиражируемы. Если данный проект обеспечил в некотором году получение
дохода 157 единиц, трудно надеяться, что найдется другой эффективный
проект, требующий в том же году именно таких вложений. Поэтому среди
направлений инвестирования обязательно должны быть такие проекты, куда
можно вложить любую сумму, например, вложения в ценные бумаги или
депозиты. Иными словами, под направлениями инвестирования следует
понимать делимые и тиражируемые инвестиционные проекты, в которые
можно вкладывать любой объем средств. При этом задача выбора наилучших
направлений вложений превращается в задачу оптимального управления
активами. Мы рассмотрим ее в дискретной постановке.
К числу активов мы относим денежные средства и финансовые
инструменты, приносящие доходы (например, банковские депозиты, акции или
облигации, права на получение определенного дохода в будущем). Такие
инструменты свободно обращаются и обмениваются друг на друга, а также
могут приносить определенные чистые доходы6 на протяжении срока владения
ими. Однако к числу ФТ могут быть отнесены и некоторые товары, например,
золото или нефть (но не, скажем, электроэнергия), в приобретение которых
также можно вкладывать средства, получая доход от последующей их продажи.
Говоря об обмене одних активов на другие, мы имеем в виду не только
операции купли/продажи за национальную валюту. Сюда относятся также
сделки в иностранной валюте, обмен имущества на акции, тезаврация (“простое
хранение”, “обмен актива на себя”), которое может быть сопряжено с затратами;
“обмен” депозита по истечении срока на новый депозит с тем же или иным
процентом. Операции по приобретению и продаже активов будем
рассматривать как финансовую деятельность фирмы (осуществляемую наряду с
ее основной, операционной деятельностью). Неразличимые между собой активы
(например, две акции одной и той же компании) мы относим к одному виду. Мы
Имеется в виду разность между доходами и расходами, связанными с владением активом, которая
может быть и отрицательной. Примером могут служить расходы по хранению актива или оплата услуг
депозитария акций, превышающая размеры выплачиваемых дивидендов.
6
29
считаем, что количество покупаемых или продаваемых фирмой активов
каждого вида на шаге t не ограничивается и не влияет на их цены (курсы) и
приносимые ими доходы. Это значит, что такие операции на каждом шаге будут
делимыми и тиражируемыми проектами.
Фирма, располагающая собственными средствами, может вкладывать их в
те или иные активы. Однако, если собственных средств недостаточно, она
может привлекать заемные средства. В этих целях фирма может выпускать
(эмитировать) обязательства, а затем погашать (выкупать) их. Типичным
примером выпуска обязательств является получение кредита. Такие операции
также можно рассматривать как реализации некоторых проектов, только на этот
раз они начинаются с получения денежных средств, а заканчиваются
осуществлением расходов (по погашению основного долга и уплате процентов).
Будем считать, что условия обязательства (сроки и порядок погашения,
процентные ставки) не зависят от его масштаба (размера). Это позволяет
рассматривать обязательства как делимые и тиражируемые проекты.
Обязательства с идентичными условиями и выпущенные на одном и том же
шаге, мы будем относить к одному виду.
Перейдем теперь непосредственно к построению дискретной модели
оптимизации финансовой деятельности фирмы. Модель описывает поведение
фирмы в расчетном периоде, включающем моменты времени 0, 1, … , T.
Расчетный период начинается в момент 0. Это тот момент времени, в котором
производится оценка проектов и формирование оптимальной финансовой
политики фирмы. Различные варианты поведения фирмы отличаются тем, какие
именно операции с активами и обязательствами и в каких объемах она
осуществляет в каждый момент времени. Но эти операции представляют собой
некоторые делимые и тиражируемые проекты. На этом основании мы
рассмотрим общую ситуацию, когда, наряду с “обычной”, операционной
деятельностью, фирма может реализовывать в разных масштабах некоторый
фиксированный набор делимых и тиражируемых проектов – назовем их
допустимыми. С каждым допустимым проектом i связан определенный
денежный поток. Например, для проекта, предусматривающего в момент t
вложение суммы A на депозит по ставке r и закрытие этого депозита в
следующий момент t+1, чистые доходы в моменты t и t+1 составят
соответственно -A и A(1+r). Будем считать, что:
 Доходы и расходы по проектам, начатым до начала расчетного периода,
включаются в денежный поток от операционной деятельности;
 Денежные средства, сложившиеся у фирмы к началу расчетного периода,
включаются в состав чистого операционного дохода в момент 0;
 Операционная деятельность и все допустимые проекты прекращаются не
позднее момента T.
Чистый доход от проекта i в момент t обозначим через cit, а чистый
30
операционный доход фирмы в момент t – через Ft. Как уже отмечалось, фирма
может реализовывать каждый из допустимых проектов в разном масштабе (с
разной интенсивностью). Масштаб, с которым реализуется проект i, обозначим
через xi. Для того, чтобы такая финансовая политика была реализуема,
необходимо, чтобы величины xi были неотрицательными и на каждом шаге,
кроме последнего, фирме хватало денежных средств, т.е., чтобы
соответствующий чистый доход (от проектов и операционной деятельности)
был неотрицательным. Это условие можно записать так:
(1.20)
 xi cit  Ft  0, t  T  .
i
Будем искать такую политику, которая обеспечивает максимальный чистый
доход KT на последнем шаге:
(1.21)
KT   xi ciT  FT  max .
i
Из экономических соображений очевидно, что система неравенств (1.20)
всегда имеет решение. Действительно, если на каком-то шаге, кроме
последнего, фирме не хватает денежных средств, то она может привлечь
заемные средства, выпуская какое-либо обязательство. Однако на последнем
шаге средств может не хватить. В таком случае максимальное значение целевой
функции окажется отрицательным.
Рассмотрим вначале частный случай, когда в начальный момент 0 фирма
располагает только денежными средствами в количестве K0 и не ведет никакой
операционной деятельности. Тогда 1 рубль начального капитала при
оптимальном вложении его в допустимые проекты даст доход (KT/K0). Таким же
должен быть и коэффициент приведения доходов, получаемых в момент 0, к
моменту T, и отвечающая ему ставка дисконтирования будет равна
E  T KT K0  1 .
(1.22)
Эта ставка, вообще говоря, зависит от длительности расчетного периода T.
В интересной работе [13] рассмотрено поведение KT при больших T для
ситуации, когда набор допустимых проектов в каждый момент времени один и
тот же (точнее, когда при переходе к следующему моменту времени денежные
потоки каждого из допустимых проектов просто сдвигаются во времени, но не
меняются по величине). Оно оказывается следующим.
Пусть fi() — чистый дисконтированный (по ставке ) доход проекта i,
реализуемого в масштабе 1, f     max fi    , причем f(0) > 0 > f()7. Пусть  —
i
наименьший положительный корень уравнения f() = 0 и h+1 — кратность этого
корня. Тогда с ростом T величина KT растет как (1+)T/Th, так что ставка
Это условие означает, что все проекты начинаются с расходов (так что ни один из проектов не
предусматривает выпуска обязательств), а по какому-нибудь проекту общая (не дисконтированная)
сумма доходов превышает общую сумму расходов.
7
31
дисконтирования (1.22) стремится к .
Далее, отношение K0/KT представляет собой коэффициент T приведения
(дисконтирования) доходов, получаемых в момент T, к началу расчетного
периода. Решая задачу для разных T, можно найти зависимость T от T, и она
может не быть экспоненциальной. Поэтому ставка, рассчитанная по формуле
(1.22), будет средней для расчетного периода. В то же время ставку
дисконтирования для конкретного момента t можно найти по формуле:
Et = t/t+1 - 1. Динамика Et зависит от конъюнктуры рынка и доходности
появляющихся на нем новых активов (возможно также, что, решая ту же задачу
при разных T, мы, получим разные значения Et при одном и том же t).
Пример 1.1. Предположим, что фирма может вкладывать средства только в
годовые и двухлетние депозитов и не может выпускать обязательства.
Пролонгирование депозитов не разрешается, а при преждевременном их
закрытии проценты не выплачиваются. Депозитные ставки (меняющиеся по
годам) указаны в следующей таблице.
Год
0
1
2
3,4,...
Ставка годовых депозитов, %
20
18
15
12
Ставка двухлетних депозитов, %
48
42
34
27
Расчеты по модели при разных T позволили рассчитать следующие
значения коэффициентов приведения и отвечающих им ставок дисконтирования
(в данном случае значения t одинаковы для любой длительности расчетного
периода T > t).
1
2
3
4
5
6
7
8
Год (t)
Коэффициент
0.8333 0.6757 0.5869 0.5042 0.4502 0.397 0.3545 0.3126
дисконтирования t
Ставка
20.0 23.3 15.1 16.4 12.0 13.4 12.0 13.4
дисконтирования Еt ,%
Оптимальная политика при этом оказывается следующей. Для четных T
надо все средства вкладывать в двухлетние депозиты, а в “промежуточные”
годы ничего не делать. Для T = 3 средства надо вложить сначала в годовой
депозит, а затем в двухлетний. Для нечетных T > 5 надо два раза вкладывать
средства в двухлетние депозиты, затем — в годовой, и после этого — снова в
двухлетние.
Заметим, что при больших T ставка дисконтирования периодически
колеблется, так что “предельной” ставки не существует. Вероятно, так будет
всегда, если рассматривать конечное число повторяющихся во времени типов
активов. В реальности ситуация иная. Это связано с двумя обстоятельствами.
Во-первых, финансовые операции производятся не раз в год, а ежедневно и
соответствующие “цены” (ставки) непрерывно меняются. Во-вторых, в
приведенной выше модели предполагалось, что некоторые активы нельзя
продать тогда, когда этого захочется. Между тем, на развитом рынке подобные
32
ограничения обходятся за счет привлечения разного рода вторичных
финансовых инструментов. ■
В общем же случае решение задачи (1.21)—(1.23) будет зависеть от
начального капитала фирмы, ее операционной деятельности и набора
доступных для нее делимых и тиражируемых проектов. Это значит, что норма
дисконта зависит не от только объективных, общерыночных, но и от
субъективных факторов.
При наличии инфляции найденные ставки Et будут ее отражать. Устранить
ее влияние можно, измеряя денежные средства, обменные курсы и доходности
активов на разных шагах в реальных (дефлированных, см. [1, 3]) ценах. Мы не
будем на этом останавливаться, отсылая читателя, например, к [1,3].
Задача (1.20)-(1.21) с очевидным ограничением на неотрицательность
величин xi представляет собой одну из задач линейного программирования.
Важную информацию о ее решении можно получить, рассматривая
двойственную задачу. Она имеет следующий вид:
(1.23)
 cit t  ciT  0, i ;
t T
 Ft t  FT  min.
(1.24)
t T
Неизвестные t в этой задаче неотрицательны и отражают изменение
критерия (1.21) при изменении правых частей ограничений (1.20) на малую
единицу. Например, величина 0 отражает прирост целевой функции задачи от
получения фирмой 1 рубля в начале расчетного периода. Мы трактуем значение
t как оценку (“ценность”) одного рубля доходов или расходов фирмы на
момент времени t.
Из теории линейного программирования следует, что:
 если существует оптимальное решение задачи (1.20)-(1.21), то существует
и решение двойственной задачи, причем значения целевых функций в обеих
задачах совпадают;
 если существует оптимальное решение задачи (1.20)-(1.21) и оно
предусматривает положительный масштаб реализации некоторого проекта i (т.е.
xi>0), то соответствующее неравенство (1.23) превращается в равенство;
 если в задаче (1.20)-(1.21) целевая функция неограниченна, то
двойственная задача не имеет решения.
В то же время ситуация, когда двойственная задача не имеет решения,
практически невозможна. Дело в том, что в этой ситуации к концу расчетного
периода фирма может накопить сколь угодно большое количество денежных
средств. Но сделать это можно, только если фирма привлекает заемные средства
и вкладывает их и в еще более доходные активы (тиражируемые проекты).
Разумеется, на практике таких ситуаций не возникает по двум причинам:
33
 Банки обычно ограничивают размеры выдаваемых кредитов, увязывая их
с финансовым положением фирмы;
 Проценты по выдаваемым займам обычно превышают доходность любых
тиражируемых проектов. Это очевидно, поскольку тогда заимодавцам будет
выгоднее самим вложить свои средства в высокодоходный тиражируемый
проект, а не предоставлять заем на менее выгодных условиях.
Будем поэтому считать, что двойственная задача имеет решение. В таком
случае оценка денежного потока от реализации любого допустимого проекта не
положительна. К тому же, если реализация этого проекта предусмотрена
оптимальной политикой, то оценка соответствующего денежного потока
должна быть равна нулю.
Предположим теперь, что фирма решает изменить свою операционную
деятельность и в дополнение к намеченным ранее действиям решает
реализовать малый инвестиционный проект X, генерирующий денежный поток
(x0,. . . , xT). Из определения двойственных оценок вытекает, что (при
соответствующем изменении оптимальной финансовой политики) целевая
функция задачи увеличится на величину KT   t xt .
t
Но получение фирмой 1 рубля в момент 0 увеличивает целевую функцию
задачи на 0. Отсюда следует, что реализация проекта X так же влияет на
целевую функцию, как и получение фирмой суммы KT 0 в начале расчетного
периода. Другими словами, с точки зрения долговременной стратегии для
фирмы безразлично, реализовать ли проект X или получить сумму KT 0 в
момент 0. Это позволяет трактовать указанную сумму как эффект проекта X,
оцененный в момент 0. Его можно записать в более привычной форме:
(1.25)
E  X    t xt ,
t
где
t
.
0

Введем в рассмотрение величины Et  t 1  1, отражающие темпы падения
t
коэффициентов дисконтирования (или, что то же, оценок денег t). На
основании изложенного выше мы трактуем величины t как коэффициенты
дисконтирования (приведения) чистых доходов, получаемых в момент t к
моменту 0, а величины Et – как ставки дисконтирования (уменьшение
“ценности” денег в момент t по сравнению с предыдущим моментом t-1).
Эффект проекта, определяемый формулой (1.25), теперь может трактоваться как
чистый дисконтированный (по ставкам Et) доход от реализации проекта. Так
t 
34
исчисленный эффект обладает следующими свойствами:
 он отражает сумму, получение которой8 в момент 0 эквивалентно
получению всего денежного потока проекта X;
 у любого допустимого проекта он не положителен, а если реализация
этого проекта предусмотрена оптимальной политикой, то равен нулю (условие
бесприбыльности и безубыточности).
На последнем имеет смысл остановиться особо. Предположим, что для
фирмы доступны две возможности:
1) вложить средства на депозит по ставке r в момент t-1 и закрыть его в
момент t и
2) получить кредит по ставке R в момент t-1 и погасить его в момент t.
Тогда из условия бесприбыльности и безубыточности находим:
t 1  1  r  t  0, t 1  1  R  t  0 ,
откуда получаем, что R > Et > r. Мы видим, что ставка дисконтирования лежит в
пределах между ставками размещения собственных и привлечения заемных
средств. Совпасть с одной из этих границ ставка дисконтирования может, если
соответствующее
направление
инвестирования
будет
предусмотрено
оптимальной политикой.
Обратим внимание, однако, что формула (1.25) применима для оценки
эффективности проекта только в случае, если этот проект является малым и не
сильно влияет на оценки активов. Впрочем, требование малости проектов, как
показано в п. 1.1, объективно необходимо и не связано конкретно с данной
моделью. Для “крупных” же проектов в данной модели эффект проекта надо
оценивать непосредственно, сравнивая значение целевой функции при двух
вариантах операционной деятельности - “без проекта” и “с проектом”.
8
Получение отрицательной суммы понимается при этом как расход.
35
2.
РИСК И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ
2.1. Понятия неопределенности и риска
Оценка эффективности проекта всегда подразумевает заблаговременную
оценку последствий его реализации, выраженных в форме денежных или
ресурсных потоков. Поэтому она является одной из форм прогнозирования, что
вносит в результаты оценки элемент неопределенности. Более того, оценив
проект как эффективный, отвечающий интересам Субъекта, мы не всегда
уверены, что он окажется таким, когда будет реализован, и тогда мы говорим о
риске, связанном с реализацией проекта. Однако количественный учет этих
факторов требует более конкретных определений.
Эффективность и реализуемость проекта обычно зависит от многих
характеристик самого проекта и “внешней среды”. Всю их совокупность
назовем условиями реализации проекта. Те условия, применительно к которым
выполняется оценка реализуемости и эффективности проекта, будем называть
сценарием (“обычные” расчеты эффективности выполняются при каком-то
одном, заданном сценарии). Говоря о риске и неопределенности, мы обычно
имеем в виду, что истинные условия реализации проекта точно неизвестны или
описаны недостаточно полно.
Неопределенностью называется неполнота и неточность информации об
условиях реализации проекта.
Тем самым, термин “неопределенность”, независимо от ее причин, мы
относим к условиям реализации проекта и, как следствие, к его затратам,
результатам и показателям эффективности.
Противоположным к понятию неопределенности является понятие
детерминированности. Проекты, информация об условиях реализации которых
полна и точна, называются д е т е р м и н и р о в а н н ы м и .
Иногда неопределенность понимается как отсутствие какой бы то ни было
информации об условиях реализации проекта, но тогда учет неопределенности
сводится к нереалистичному требованию получения полной информации. Наш
подход иной, он ориентирован на наиболее полное использование всей
имеющейся информации о возможных условиях реализации проекта и “степени
их возможности” (не будем пока конкретизировать этот термин). Иными
словами, упор делается не на отсутствие, а на наличие информации, и вместо
неконструктивных рассуждений о возможности разных сценариев реализации
проекта на первый план выдвигается их описание, отделение возможных
сценариев от невозможных.
Не следует думать, что неопределенность связана только с неточным
предвидением будущего — она может “таиться” и в настоящем и в прошлом.
Скажем, эффективность проекта разработки газового месторождения во многом
зависит от объема запасов газа, который неизвестен проектировщикам, но не
36
зависит от проектных решений и от завтрашней погоды. Нередко при
разработке проекта используются зависимости между разными его
параметрами, полученные при обработке статистических данных. Неточность
подобных зависимостей также влияет на эффективность проекта. Наконец,
неполной может быть исходная информация об уже осуществленных действиях
и аналогичных проектах.
Естественно, что факторы неопределенности необходимо учитывать и при
корректировке хода реализации проекта на основе поступающей новой
информации. Это существенно усложняет проектирование и повышает
требования к составу проектных материалов. Если проект не предусматривает
механизма корректировки, он превращается в план-расписание, где указано, что
и когда каждый участник должен делать. Иногда такие “жесткие” планы
уместны, однако они рассчитаны на один “штатный” сценарий и чаще всего
реализовать их не удается. Поэтому лучше, чтобы проектные материалы
содержали гибкий “план-инструкцию”, предусматривающий согласованные
действия участников как в “штатных”, так и в “нештатных” ситуациях (такую
“гибкость” обеспечивают, в частности, условия договоров между участниками
проекта или соглашений о разделе продукции).
Возможные изменения условий реализации проекта участник может
оценить по-разному. Одни, несущественные, изменения (дождливое лето при
реализации проекта, не связанного с сельским хозяйством, задержка
строительства на неделю и т.п.) мало влияют на поведение участников, затраты
и результаты. Другие изменения участник может оценить как сильно
улучшающие или ухудшающие его положение. Здесь поведение участника
может измениться, это может повлиять и на весь ход реализации проекта.
Наиболее опасны такие изменения условий реализации, когда возникает
опасность прекращения проекта или его значительной корректировки.
Возможность таких изменений обычно трактуется как риск. Поэтому далее риск
рассматривается, как “частный случай” неопределенности, возможность
“плохих” для кого-либо условий реализации проекта.
Под риском понимается возможность возникновения условий, приводящих
к негативным последствиям для участника проекта.
Заметим при этом, что, в отличие от неопределенности, понятие риска
субъективно. Действительно, одни и те же условия реализации проекта один
участник может оценить как неблагоприятные, а другой — как благоприятные.
Поэтому каждый участник видит в проекте “свои” риски (скажем, кредитор
видит риск непогашения кредита, а заемщик — риск его неполучения или
несвоевременного получения).
Неполнота или неточность информации об условиях реализации проекта
часто выражается в терминах вероятностей. Это допустимо, когда речь идет о
технических или природных процессах, типа отказов оборудования или
землетрясений. Однако теория вероятностей и основанная на ней
математическая статистика имеют дело со статистическими ансамблями,
37
поведение которых можно оценить и предсказать “усредненно”, а не
индивидуально для каждого элемента. Между тем, в экономике и
проектировании мы часто имеем дело с эксклюзивными, неповторяющимися и
существенно нестационарными процессами и отсутствие представительной
статистики ограничивает возможности строгого применения вероятностных
методов. К тому же и на практике неопределенность отдельных параметров
проекта часто выражается иначе, например, в интервальной форме (см. разделы
4-6). Поэтому вероятностную формализацию параметров проекта в ряде случаев
нельзя признать ни обоснованной, ни единственно возможной, а
неопределенные условия реализации проекта не всегда допустимо называть
случайными. Это значит, что термины “неопределенный” и “случайный”
отнюдь не синонимы, а случайность, как нам представляется, есть лишь
частный вид неопределенности.
Трактовка риска, изложенная выше, отнюдь не оригинальна. Так, под
страховым риском обычно понимают “гипотетическую возможность
наступления ущерба (страхового случая)” [14], а под банковским —
“ситуативную характеристику деятельности любого банка, отображающую
неблагоприятные последствия в случае неудачи” [15] или “стоимостное
выражение вероятностного события, ведущего к потерям” [16]. Между тем, в
финансовом анализе риск трактуется иначе. Так, в учебнике [17] говорится:
“...определим риск как степень определенности или неопределенности,
связанной с получением ожидаемых в будущем доходов. . . Крайняя степень
риска, очевидно, выражается в том, что компания не сможет выполнить свои
обязательства по обслуживанию долга . . . Анализ рискованности основывается
на выяснении исторически сложившегося характера неустойчивости прибыли и
денежных потоков”. Тем самым, во главу угла ставится анализ прошлой
деятельности фирмы. Представляется, однако, что при оценке проекта надо
учитывать не столько исторические факторы, сколько рискованность
осуществления предусмотренных проектом действий. Это обусловлено рядом
причин.
1. В конечном счете нас интересует не столько финансовое положение
фирмы, сколько то, как и насколько на него повлияет реализация проекта,
то есть не сам по себе риск, связанный с деятельностью фирмы, а его
изменение за счет реализации проекта. Такой подход требует понимать
риск как приростную категорию и заставляет акцентировать внимание не
на прошлом, а на будущем.
2. Реализация относительно малого проекта, как рискованного, так и
безрискового, в крупной фирме обычно несущественно влияет на
доходность ее акций. Поэтому при оценке проекта необходимо учитывать
только риски, непосредственно связанные с проектом, но не с иной
деятельностью фирмы.
3. Сколь бы плохи ни были финансовые показатели фирмы, хороший,
38
эффективный инвестиционный проект в принципе может их улучшить 9.
Наоборот, если финансовые показатели фирмы достаточно хороши и
устойчивы, то рискованный проект может все испортить.
Другая трактовка понятия риска пришла в финансовый анализ и
инвестиционное проектирование из математики. Здесь считается, что риск
ценной бумаги определяется, в первую очередь, нестабильностью ее
доходности, которая “отражает как денежные поступления — проценты или
дивиденды, так и приращение капитала (т.е. доходы от приращения курсовой
стоимости)” [18, с.140]. Отсюда делается вывод, что “риск инвестиций означает,
что величина будущих доходов непредсказуема. Этот разброс возможных
результатов обычно измеряют стандартным отклонением” [там же, с.160].
Другими словами, под риском здесь понимаются любые, положительные или
отрицательные отклонения доходности проекта от средней. Эта трактовка
риска типична для большинства западных ученых и специалистов и ей
начинают обучать еще с первых курсов вузов. Так, в учебнике [19],
ориентированном на введение в специальность студентов экономических и
других гуманитарных специальностей американских университетов, по этому
поводу прямо говорится: “В повседневной жизни слово “риск” употребляется
для описания такого возможного в будущем события, которое является
нежелательным. Так, мы говорим о риске смерти, риске пожара и т.д.
Откажемся от ограничения, связанного с нежелательностью, и будем
использовать слово “риск” в отношении любого возможного в будущем
события, желательного или нежелательного. Таким образом, параллельно с
риском смерти мы будем говорить о “риске” остаться в живых и т.д.”. Указанная
трактовка риска, связывающая его с “колеблемостью”, разбросом возможных
эффектов проекта, реализована, например, в модели оценки капитальных
активов (САРМ) и широко распространена в западной литературе (см.,
например, [18]). Немного более осторожна трактовка риска в учебнике по
финансовому менеджменту: “Мы определяем рискованность инвестиционного
проекта как отклонение потока денежных средств для данного проекта от
ожидаемого. Чем больше отклонение, тем проект считается более рискованным”
[20]. Здесь говорится уже не о среднем, а об ожидаемом денежном потоке,
однако в дальнейшем под ним все равно понимается математическое ожидание.
Между тем, увязка риска с разбросом возможных эффектов может не
соответствовать “здравому смыслу”. Пусть, например, утром вам предлагают
участвовать в проекте, заплатив 1 рубль. Если вы соглашаетесь, завтра вы
получаете неопределенную сумму — в пределах от 10 до 20 рублей. Очевидно,
что такой проект выгоден и не грозит вам никакими неприятностями, хотя и
сопряжен с “математическим” риском. Вечером перед вами извиняются: нужно
Для этого может понадобиться предусмотреть в проекте необходимые меры по изменению
системы управления предприятием, например, смены руководства, и это такой же неотъемлемый
элемент проекта, как и строительство нового цеха (ибо без того и без другого не будут достигнуты
требуемые результаты).
9
39
подтвердить ваше согласие, поскольку ситуация изменилась и ваш
неопределенный доход теперь будет лежать в пределах от 10 до 20000 рублей.
Любой разумный человек скажет, что проект не ухудшился (см. по этому поводу
раздел 4), хотя разброс эффекта вырос на три порядка! Таким образом,
возможные колебания доходов по проекту не могут рассматриваться как
факторы снижения его эффективности.
2.2. Учет неопределенности и риска в проектной практике
Учет неопределенности, т.е. возможности различных сценариев реализации
проекта, меняет подход к оценке его эффективности. В детерминированной
ситуации проект эффективен, если вложения в него дают больший доход по
сравнению с другими, альтернативными и доступными для Субъекта. В
условиях неопределенности это уже не так: при “плохом” сценарии вложений
может потребоваться больше, а доход окажется меньше. Здесь “эффективность”
следует понимать иначе: проект надо считать эффективным, если участие в нем
предпочтительнее, чем отказ от него (и вложение тех же средств в лучшую
альтернативу), а критерий эффективности должен измерять такую
предпочтительность количественно. С другой стороны, он должен отражать
эффекты проекта при всех возможных сценариях его реализации. Это значит,
что и содержание и методы определения критериального показателя здесь иные.
Поэтому целесообразно дать ему и иное название — ожидаемый эффект. Этот
термин был введен в Комплексной методике оценки экономической
эффективности хозяйственных мероприятий, разработанной по поручению
ГКНТ СССР и АН СССР в 1982 г., но официально не утвержденной. Авторы
выбрали термин, понятный проектировщикам и экономистам-практикам, но
применимый и тогда, когда неопределенность информации о проекте не носит
вероятностного характера10. Далее этот термин использовался в ряде
публикаций и был принят в утвержденных Рекомендациях [1]. В то же время в
теории полезности используется более точный, но менее наглядный термин
“детерминированный эквивалент” неопределенного эффекта [21]. Отметим
также, что “ожидаемый эффект” не является ни частным случаем, ни синонимом
термина “ожидаемая полезность”, используемого только в ситуации
вероятностной неопределенности [5, 8].
Возможность различных сценариев реализации проекта обычно
учитывается при разработке проектных материалов. Практически используются
два способа такого учета.
1. Проект оценивается при каком-то одном, специально подбираемом
В приложениях к Комплексной методике приводились примеры таких ситуаций и предлагались
соответствующие методы расчета ожидаемого эффекта. Обоснования этих методов изложены и в
данной книге.
10
40
“базовом”11 сценарии. Возможность реализации других сценариев
учитывается надлежащим подбором параметров базового сценария. По
существу, здесь ожидаемый эффект принимается равным “обычному”
эффекту проекта при базовом сценарии. Данный способ достаточно широко
распространен и допустим на начальных стадиях разработки проектов. Он во
многом базируется на экспертных оценках и не всегда дает достаточную
точность.
2. При оценке проекта учитываются все возможные сценарии и “степень их
возможности”. Анализ результатов реализации каждого сценария покажет, с
каким риском сопряжен проект. Теоретически так можно адекватно учесть
любые виды рисков, однако это требует увеличения объема расчетной работы
и более детальной информации о взаимосвязях основных характеристик
проекта и “окружающей среды” и характере их неопределенности. В
настоящее время “сценарный” подход регламентируется рядом федеральных
нормативных документов и все чаще используется для обоснования
технической и финансовой реализуемости и эффективности проектов.
Рассмотрим подробнее особенности применения первого способа.
Учесть этим способом факторы неопределенности и риска удается только
приближенно, предусматривая в базовом сценарии разного рода резервы и
запасы. Так, в “обычных” промышленных проектах в составе запасов сырья и
материалов учитывается страховой запас, хотя сам факт его создания
предполагает, что в ходе реализации проекта возможны непредвиденные
задержки поставок. Общеизвестно, что в ходе строительства также могут
возникнуть непредвиденные ситуации и потребуется изменять проектные
решения или переделывать уже выполненные работы. Поэтому в сметах на
капитальное строительство предусматривается и резерв средств на
непредвиденные расходы. Другое дело, что размер такого резерва по
российским строительным нормам обычно не более 2-3% стоимости
строительства, тогда как возможные ошибки в определении этой сметной
стоимости на стадии обоснования инвестиций могут достигать 20-30%, а на
стадии ТЭО — 7-10% (и именно в таких размерах предусматривается указанный
резерв иностранными инвесторами, реализующими свои проекты в России).
Определенные резервы и запасы предусматриваются и при проектировании
текущих затрат. Пытаясь учесть возможность “нештатных” условий
эксплуатации объектов и стремясь снизить негативные их последствия,
проектировщики вводят запасы в технические параметры объекта (например,
коэффициенты запаса прочности конструкций), а также предусматривают
разного рода страхование. Снижение рисков, связанных с “нештатным”
поведением участников проекта, обеспечивается системой договоров между
ними (включающих и имущественные гарантии), не позволяющих участнику
Говорить о “проектном сценарии” или “проектных условиях реализации” не очень удобно: в
проектных материалах полезно рассматривать несколько сценариев, и тогда их все придется называть
“проектными”, хотя “базовым” будет только один.
11
41
“досрочно выйти из проекта” или снижающих потери от этого.
Однако все указанные меры связаны с дополнительными затратами. Чтобы
выяснить, оправданы ли они, повышают ли они эффективность проекта, надо
сравнивать разные варианты проекта не только при базовом, но и при других
сценариях. Дело в том, что эффективность указанных мер проявляется как раз в
“нештатных” ситуациях, тогда как “при нормальных условиях” они лишь
снижают ЧДД участников. Поэтому все имеющиеся рекомендации по этому
поводу сводятся к плохо формализуемому требованию закладывать в базовый
сценарий умеренно пессимистические значения всех параметров проекта.
Несмотря на неконкретность, этот принцип во многих случаях успешно
применяется на практике, позволяя достаточно точно оценивать эффективность
проектов, особенно на ранних стадиях их разработки.
Обратим теперь внимание, что денежные потоки базового сценария следует
рассматривать как условные, специально подобранные для возможно более
точного отражения реально возможных (при разных сценариях) потоков с
учетом “степени их возможности”. Более того, иногда параметры базового
сценария не отвечают никаким возможным условиям реализации проекта 12, так
что его вообще нельзя считать сценарием в нашем понимании этого термина.
Поэтому ЧДД базового сценария становится условным показателем,
агрегирующим (пусть не слишком хорошо) все возможные значения ЧДД
проекта и его вполне правомерно трактовать как ожидаемый эффект проекта.
1. Разумеется, свести все факторы риска и неопределенности к надлежащей
корректировке денежных потоков ни теоретически, ни практически
невозможно, так что “метод базового сценария” следует рассматривать как
приближенный. К тому же в некоторых ситуациях формирование умеренно
пессимистических
значений
параметров
проекта
оказывается
затруднительным и нетривиальным.
2. После ввода предприятия в эксплуатацию цены могут измениться так, что
производить продукцию станет нерентабельно. На этот случай в проекте
можно предусмотреть переход на производство другой продукции (например,
на том же оборудовании). Однако структура затрат на производство при этом
изменится. Здесь неясно, какие именно “умеренно пессимистические”
значения выручки от продаж и затрат на производство следует заложить в
расчеты.
3. Застраховаться от некоторых видов рисков практически невозможно
(особенно в России, где рынок страховых услуг еще не развит). В то же время
наступление соответствующих страховых событий может привести к
прекращению проекта. Как учесть это, устанавливая “умеренно
Пусть, например, с вероятностью 0.1 в каждом году может произойти отказ оборудования,
вследствие чего чистый доход уменьшится на 200. Чтобы учесть это, к годовым затратам добавляют
математическое ожидание указанных потерь (2000.1=20) или несколько большую сумму. Однако,
если произойдет отказ, соответствующие затраты составят 200, в противном случае затрат не будет,
так что добавленная сумма не отвечает никакой из возможных ситуаций.
12
42
пессимистический” уровень доходов, неясно.
4. Проект предусматривает разработку и применение новой техники. Поэтому
его реализация должна начаться с проведения опытно-конструкторских работ
(ОКР). Ясно, что при оценке эффективности проекта нельзя исходить из
удачного завершения ОКР. Если же учитывать возможность их негативного
исхода и последующего прекращения проекта, то неясно, какие денежные
потоки здесь можно рассматривать как “умеренно пессимистические”.
Чтобы как-то учесть подобные факторы неопределенности, многие авторы
(особенно зарубежные) предлагают ввести “запас” в еще один важный параметр
проекта — ставку дисконтирования (которая до сих пор являлась
“безрисковой”), увеличив ее на величину так называемой “премии за риск”.
Такой способ чрезвычайно широко распространен, однако, по нашему мнению,
недопустим по ряду причин.
1. Некоторые риски в проекте уже учтены за счет создания различных запасов и
резервов. Поэтому во избежание повторного счета “премия за риск” должна
учесть только “все остальные” риски, однако неясно, как это сделать
практически: ни в одну из известных формул или таблиц для определения
“премии за риск” размеры запроектированных резервов и запасов не входят.
2. Имеющиеся рекомендации связывают “премию за риск” с несколькими
“ключевыми” характеристиками проекта (цель проекта, новизна применяемой
техники, технологии или производимой продукции, финансовое положение
участников проекта, структура вкладываемого капитала и т.п.). У вариантов
проекта, идентичных по всем этим характеристикам, но различающихся
размерами резервов и запасов, размеры премии за риск будут одинаковы, хотя
риски, связанные с их реализацией, будут разными. То же самое будет, если
один вариант предусматривает страхование или высокие санкции к
партнерам, не выполняющим принятые по проекту обязательства, а второй —
нет. К тому же неясно, при какой именно норме дисконта надо определять
оптимальные размеры резервов и запасов.
3. Изменение ставки дисконтирования в равной мере отразится при
дисконтировании доходов и расходов по проекту. Между тем, в одних
случаях (например, при снижении цен на производимую продукцию)
рискованными будут только доходы, в других (например, при удорожании
приобретаемого оборудования или потребляемого сырья) — только расходы,
а, например, возможность поломки оборудования делает рискованными и
доходы и расходы. Конкретное соотношение между рискованными доходами
и расходами практически невозможно отразить в величине “премии за риск”.
4. Увеличение ставки дисконтирования снижает оценку рискованных
предстоящих доходов по сравнению с такими же по величине безрисковыми.
Однако при этом снижаются и оценки предстоящих затрат, хотя обычно
имеет место риск их увеличения, а не уменьшения.
5. Проект, предусматривающий применение новой техники или технологии,
43
безусловно, рискованный, даже при детерминированном объеме
первоначальных затрат. Основной риск такого проекта связан с периодом
освоения новой техники или технологии. Если же освоение пройдет успешно,
то уже через несколько лет построенное предприятие ничем, в том числе и
риском, не будет отличаться от всех других. Другими словами, в данном
проекте риск локализован во времени, а не распределен по всему периоду
применения новой техники. Такой риск нельзя учесть, корректируя ставку
дисконтирования, одинаковую для всех лет этого периода.
6. Можно понять желание уменьшить эффект рискованного проекта по
сравнению с безрисковым, имеющим те же базовые денежные потоки.
Однако при этом увеличение ставки дисконтирования иногда не уменьшает
эффект, а увеличивает его.
Пример 2.1. Денежные потоки рискованного проекта А (по годам)
следующие: -195; +800; -725; +55; +45; +25. Легко проверить, что при E < 110%
проект эффективен. Альтернативный проект Б требует инвестиций 195 и дает
постоянный гарантированный годовой доход 22 в течение неограниченного
срока. При безрисковой норме дисконта E=10% проект Б лучше: его
ЧДД = +22/0.1-195 = 25, тогда как у проекта А ЧДД = 20.68. Однако инвестор
решает оценить проект А, увеличив ставку дисконтирования до 18%. Тогда его
ЧДД увеличивается до 29.90 и проект А становится лучше, чем Б: введение
премии за риск привело к отказу от более выгодной альтернативы. ■
7. В детерминированной ситуации выбор момента приведения не влиял на
результат сравнения проектов. При учете риска в ставке дисконтирования
ситуация меняется и результат сравнения проектов становится зависящим от
выбора момента приведения.
Пример 2.2. Чистые доходы по двум альтернативным проектам приведены
в следующей таблице.
Год 1
Год 2
Год 3
Проект А
-1900
-1870
4840
Проект Б
-4025
2880
2880
Проект А не сопряжен с риском, для его оценки используется ставка
дисконтирования Е = 0.15. В отличие от А, проект Б сопряжен с риском и на
этом основании ставка дисконтирования принята здесь более высокой: Е = 0.2.
Приводя разновременные чистые доходы к году 1, получаем следующие
значения эффектов:
E(А) = -1900 -1870/1.15 + 4840/1.152 = 400;
E(Б) = -4025 + 2880/1.2 + 2880/1.22 = 375 < E(А).
Таким образом, проект А лучше, чем Б. Иной результат получится, если
приведение осуществлять к наиболее раннему моменту получения доходов
(году ввода предприятия в эксплуатацию), т. е. к году 2:
E(А) = -19001.15 -1870 + 4840/1.15 = 440;
44
E(Б) = -40251.2 + 2880 + 2880/1.2 = 450 > E(А).
Разберемся, почему так получилось. Повышение ставки дисконтирования
должно было бы снизить ценность неопределенных будущих доходов по
сравнению с детерминированными. Однако при приведении к году 2 так не
произошло, ибо неопределенный доход 2880 по проекту Б учтен с тем же
коэффициентом (1.0), что и детерминированный расход 1870 по проекту А. То
же самое будет и при приведении чистых доходов к году 1: неопределенные
расходы года 1 по проекту Б будут учтены с тем же коэффициентом 1.0, что и
детерминированные расходы этого года по проекту А. ■
Таким образом, введение “премии за риск” в ряде случаев приводит к
ошибкам при оценках и сравнении проектов.
Указанные выше проблемы снимаются, если условиться оценивать
эффективность проекта, рассматривая все возможные сценарии его реализации.
Каждому сценарию отвечает при этом какой-то детерминированный поток
затрат и результатов, а неопределенность проявляется только в том, что этот
сценарий может осуществиться, но может и не осуществиться. Отсюда сразу же
следует, что для оценки эффективности проекта при фиксированном сценарии
его
реализации
необходимо
использовать
безрисковую
ставку
дисконтирования.
Пытаясь учесть множественность сценариев реализации проекта, на
практике оценку эффективности базового сценария нередко дополняют так
называемой “проверкой устойчивости”. При этом отдельные параметры проекта
“раскачивают” относительно базового уровня, выясняя, при каких изменениях
параметра ЧДД проекта становится отрицательным. Информация о “степени
возможности” таких изменений при этом не используется, а величина
ожидаемого эффекта по результатам расчетов не уточняется. Подобные расчеты
полезны, но неточны, ибо не позволяют учесть взаимозависимость разных
параметров проекта (это приводит к нереальности рассмотренных “сценариев”)
и возможность одновременного изменения нескольких параметров. Кроме того,
риск ухудшения значения "раскачиваемого" параметра при этом учитывается
дважды: непосредственно в самом расчете и в размерах резервов и запасов,
которые остались теми же, что и в базовом варианте.
Между тем, зная затраты и результаты проекта при всех (или хотя бы при
наиболее типичных) сценариях его реализации, можно более адекватно учесть
факторы неопределенности и риска. Для этого необходимо агрегировать
соответствующие возможные (интегральные) эффекты в обобщающий
показатель ожидаемого эффекта проекта. Метод агрегирования при этом
определяется имеющейся информацией о характере неопределенности условий
реализации проекта. Далее мы рассмотрим различные виды неопределенности и
выясним, что каждому из них отвечает свой “язык” описания проектов и
операций над ними и свой метод определения ожидаемого эффекта.
В заключение обратим внимание на то, что учет факторов
45
неопределенности и риска предъявляет повышенные требования к описанию
содержания проекта и составу проектных материалов.
В ходе реализации проекта внешние условия могут измениться (не по вине
участников) так, что реализация намеченного графика окажется невозможной. В
подобной ситуации ход реализации проекта придется корректировать, и его
участники должны, хотя бы в общих чертах, знать, как это будет сделано. Для
этого проектные материалы должны превратиться из плана-расписания
(каковым они сейчас являются) в план-инструкцию, диктующую поведение
участников в “нештатных” ситуациях (см. п. 2.1). Поэтому в проектных
материалах должен быть описан механизм адаптации к меняющимся условиям.
Другими словами, должно быть указано, что при возникновении такой-то
ситуации производятся, например:
 корректировка цен и условий оплаты производимых участником работ
(услуг, продукции), например, индексация цен;
 “страхующие” мероприятия (например, на случай изменения цен на
отдельные товары и услуги);
 изменение состава участников;
 перенос каких-то “затратных операций” на более поздний срок, к
примеру, задержка платежей за получаемое сырье, услуги, изменение графика
погашения задолженности по займам, более позднее обновление оборудования
или освоение новой продукции;
 получение внешней (например, государственной или банковской)
финансовой поддержки.
В детерминированной ситуации оценка реализуемости проекта и срока его
прекращения однозначна. В условиях неопределенности это не так, ибо момент
нарушения условий реализуемости (т.е. момент прекращения проекта) может
зависеть от сценария. Дело в том, что прекращать проект целесообразно тогда,
когда это даст участникам (или "главному участнику") наибольший эффект.
Если же условия реализации проекта в разных сценариях разные, то задавать
момент прекращения проекта календарной датой нельзя — при “плохих”
сценариях проект лучше завершить раньше, при “хороших” — позже. В этой
связи момент завершения проекта правильнее определять в проектных
материалах четко сформулированными условиями, считая одновременно, что
до этого момента проект реализуем (в том числе — финансово реализуем).
Условия прекращения проекта можно подразделить на “нормальные” и
“катастрофические”.
Так, “нормальными” условиями прекращения проекта могут быть:
 прекращение спроса на производимую продукцию или установление
запрета на ее производство;
 износ основных зданий, сооружений и оборудования, делающий
невыгодным их модернизацию, ремонт или реконструкцию;
46
 исчерпание разрабатываемого по проекту месторождения или
убыточность дальнейшей его разработки;
 отсутствие источников финансирования проекта на том или ином шаге
расчетного периода;
 предусмотренная проектом реализация на сторону имущества, созданного
в ходе проекта (например, продажа жилого дома после завершения его
строительства).
К “катастрофическим” условиям прекращения проекта относятся:
 стихийные бедствия, аварии и отказы оборудования, в том числе из-за
нарушений технологической дисциплины;
 существенные изменения законодательства;
 негативные изменения рыночной конъюнктуры (например, резкое снижение
цен на продукцию, связанное с появлением более эффективных способов ее
производства);
 выход финансовых показателей за допустимые пределы, свидетельствующий
о финансовой несостоятельности предприятия;
 возникновение недопустимых социальных последствий проекта.
Важно так же иметь в виду, что с прекращением проекта связаны
определенные действия — ликвидационные процедуры (при закрытии шахт —
рекультивация территории и переселение семей шахтеров, при ликвидации
промышленного предприятия — распродажа активов и расчеты с кредиторами и
акционерами) и отвечающие им “ликвидационные” потоки затрат и результатов.
Это должно быть учтено и в компьютерных программах для расчетов
эффективности.
47
3. ВНЕШНЯЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ
Будем понимать под внешней неопределенностью (external uncertainty)
ситуацию, когда затраты и результаты проекта, а, следовательно, и его
денежные потоки и ЧДД зависят от неизвестного “состоянием природы” (“state
of world”). Такой вид неопределенности исследовался Сэвиджем (Savage L.J.)
[22], который определял природу как “объект, с которым связаны интересы
лица”, а состояние природы — как “описание природы, которое не оставляет
неописанными никаких значимых аспектов”. Как отмечено в [5],“состояния
служат для того, чтобы объединить все существенные для принятия решения
факторы, которые являются для лица, принимающего решение,
неопределенными. Они должны быть заданы так, чтобы состояние, которое
имеет место, не зависело от выбранного действия”. Так, ЧДД многих проектов
зависит от будущей динамики обменного курса доллара. Если проектировщик
получит какую-либо информацию об этой динамике, это сразу же повлияет на
оценку эффективности всех проектов, которые он разрабатывает, однако
считается, что реализация этих проектов на перспективный курс доллара не
повлияет (это естественно для “малых” проектов, см. п. 1.1). Другими словами,
все проекты в условиях внешней неопределенности оказываются в некотором
роде зависимыми, просто потому, что эффекты всех проектов зависят от одного
и того же фактора — состояния природы.
Согласно правилу поведения, предложенному еще Байесом (Bayes) [23],
сценариям следует приписать определенные (субъективные) вероятности и
оценивать проект по математическому ожиданию ЧДД, рассчитанному на
основе этих вероятностей. Такое байесовское правило впоследствии с
ординалистских позиций было обосновано Сэвиджем [22]. Ниже с
марджиналистских позиций мы дадим иное обоснование.
Исходным для нас будет пространство (множество) S, элементами которого
будут состояния природы s. Подмножества S, как и в теории вероятностей,
назовем событиями. Дополнение события V, т.е. множество {s: s  V, s  S}
обозначим через Vс. Любое представление множества S объединением
конечного числа непересекающихся непустых событий S = V1 ∪ ... ∪ Vn назовем
разбиением.
В условиях внешней неопределенности денежные потоки проекта и,
следовательно, его эффект однозначно определяются состоянием природы. Это
позволяет, следуя Сэвиджу, формализовать проект X как функцию X(s),
отображающую состояния природы (элементы S) в эффекты (точки числовой
оси). Такую формализацию проекта назовем В-альтернативой (ВА). Если
множество S конечно, ВА можно представить и вектором X = (x1,. . . , xn), каждая
i-я компонента которого отражает эффект проекта X при i-м состоянии природы
и может принимать любые вещественные значения. Проблема состоит в том,
чтобы сравнивать подобные ВА и выбирать лучшие из них. Критерий оценки и
48
сравнения ВА будем именовать ожидаемым эффектом. Ожидаемый эффект
ВА X мы, как и раньше, обозначаем E(X) — здесь он будет функционалом на
классе ВА. Мы рассмотрим три постановки соответствующих задач,
различающихся исходной информацией о пространстве состояний природы S.
3.1. Однородное пространство состояний природы
В этом п. мы предполагаем, что пространство S однородно — все состояния
природы равноправны, и о каждом из них известно только то, что оно
возможно, но информация о “степени такой возможности” отсутствует.
Используя идеи [24, 25, 26], выясним структуру критерия ожидаемого эффекта,
не предъявляя к нему чрезмерно жестких и не имеющих ясной экономической
интерпретации требований.
Начнем с области определения функционала. Поскольку структура
множества S может быть произвольной, было бы неестественно требовать от
функций X(s) непрерывности, гладкости или чего-нибудь в этом роде. В то же
время неясно, как сравнить проекты X1 и X2, если любом N найдется такое
состояние природы s, что X1(s) > X2(s) > N, и такое состояние природы r, что
X2(r) > X1(r) > N. По этой причине мы будем предполагать, что функции X(s)
равномерно ограничены на S.
Расстояния между ограниченными функциями удобно измерять в
равномерной метрике: X  Y  sup X  s   Y  s  . Таким образом, областью
sS
определения
функционала
E
будет
наделенное
равномерной
метрикой
пространство  функций, ограниченных на S.
Пусть 1S — ВА, дающая эффект 1 при любом s, и, стало быть,
детерминированная. Чтобы результаты оценки детерминированных проектов
разными методами не расходились, введем следующую аксиому
согласованности:
Е(1S) = 1.
(3.1)
Далее, хотелось бы, чтобы рост возможных эффектов проекта не уменьшал
его ожидаемого эффекта. Это выражается аксиомой монотонности:
X(s) > Y(s) s  Е(X) > Е(Y).
(3.2)
Последней будет аксиома аддитивности (1.7), которая будет иметь смысл,
если будет введена операция слияния (независимых) ВА. Очевидно, что
совместно реализовать проекты X и Y можно только при одном и том же
состоянии природы. Если бы это состояние s было известно, то эффект первого
проекта был бы равен X(s), эффект второго — Y(s), а их слияния — X(s) + Y(s).
На этом основании определим слияние ВА X и Y как ВА X   Y = X + Y,
характеризуемую функцией X(s) + Y(s). Тогда функционал Е будет аддитивным:
Е(X  Y) = Е(X) + Е(Y).
49
Между тем, проведенные рассуждения требуют уточнений. Суммировать
эффекты сливаемых проектов допустимо только, если эти проекты малы и
независимы. Первое требование естественно — крупные проекты нельзя
оценивать в отрыве от задаче оптимизации всей хозяйственной деятельности
Субъекта, а решения об их реализации должны приниматься централизованно.
Требование независимости проектов более серьезно. В детерминированном
случае оно означает, что реализация одного проекта не влияет на эффект
другого. Пытаясь сохранить это определение в условиях внешней
неопределенности, мы сталкиваемся с нечеткостью в понимании самого
термина “состояние природы”. До сих пор этот термин использовался для
описания среды, “внешней” по отношению к оцениваемому проекту. Возьмем,
однако, такие “явно независимые” проекты, как капитальный ремонт здания и
покупка акций “Роснефти”. Здесь ситуации ремонта здания и отказа от такого
ремонта надо было рассматривать как разные состояния природы по отношению
к проекту покупки акций. Аналогично, при оценке проекта ремонта здания
ситуации, когда акции “Роснефти” покупаются и не покупаются, также должны
считаться разными состояниями природы. Но тогда каждому из указанных
проектов отвечает свое множество состояний природы и их никак нельзя
формализовать элементами одного и того же функционального пространства.
Чтобы выйти из этого порочного круга, необходимо определять “состояния
природы” иначе, относя их к среде, “внешней” по отношению ко всей
совокупности рассматриваемых Субъектом проектов — окружению Субъекта.
Независимость проектов при этом будет означать, что реализация проектов не
влияет на окружение Субъекта. Но это невозможно даже теоретически — любая
деятельность Субъекта так или иначе изменяет его окружение. Между тем, если
рассматриваемые проекты локальны, то это “обратное” влияние мало и на
практике им часто можно пренебречь. Именно в таких ситуациях и
представляется правомерным децентрализованно оценивать проекты и,
следовательно, использовать для этого аддитивные критерии. Поэтому ниже мы
будем подразумевать только “практическую независимость” проектов, когда
реализация одного из них и отказ от этого практически не влияет на
результаты и затраты других проектов.
Для выяснения структуры функционала Е, удовлетворяющего изложенным
выше требованиям, необходимы некоторые сведения из функционального
анализа. Мы вынесли их в следующий подраздел.
Аддитивные монотонные функционалы в пространстве
ограниченных функций
Рассмотрим пространство B(S), состоящее из всех ограниченных функций
f  sup f  s  . Структура линейных
f(s) на S, и наделенное нормой
3.2.
s
функционалов
на
этом
пространстве
была
впервые
выявлена
Г.М.Фихтенгольцем и Л.В.Канторовичем [27, 28]. Изложим, следуя [28, гл. VI] и
50
[29], некоторые полученные ими результаты.
Пусть E(f+g) = E(f)+E(g), f(s) < g(s) s  E(f) < E(g), т.е. E(f) — аддитивный
монотонный функционал на B(S). Выясним его структуру, не требуя
обязательного выполнения равенства E(1) = 1.
1 при s V
Положим {V} = E(1V), где 1V  
— индикаторная функция
0 при s V
множества V; M = {S} = E(1S) = E(1). Тогда {V} > 0  V  S.
Если f(s) > 0, то из монотонности и аддитивности E следует, что E(tf) —
монотонная и аддитивная функция от t, так что E(tf) = tE(f). Это верно и для
любых f B(S), ибо любая ограниченная функция представима разностью
неотрицательных ограниченных функций. Ограниченность функционала E
вытекает из его монотонности и неравенства -||f|| < f < ||f||:
|E(f)| < E(||f||) = E(1)||f|| = M||f||.
(3.3)
Функционал E с такими свойствами является линейным и его норма, в силу
(3.3), не превосходит M. На самом деле она равна M, поскольку (3.3) обращается
в равенство при f = 1.
Пусть S = V1∪ ... ∪ Vn — любое разбиение, f — ступенчатая функция,
постоянная на каждом из множеств Vi: f(s) = fi при s  Vi. Тогда
f  f11V1  ...  f n1Vn , откуда в силу аддитивности имеем:
E(f1,, fn) = p1f1 + . . . + pnfn, pi = {Vi} > 0.
(3.4)
Отметим, что значение pi зависит только от “своего” Vi, а не от того, как и
на сколько частей разбито дополнение S\Vi. Подставив теперь в (3.4) f = 1Vi ∩ Vk , с
учетом изложенного получим, что {Vi ∪ Vk}= {Vi} + {Vk}. Отсюда следует,
что (V) является неотрицательной аддитивной функцией множества. Такую
функцию, определенную на всех подмножествах S, будем называть конечноаддитивной мерой или К-мерой (в [28] для этого использован более общий
термин “функция множества”). Если при этом {S} = 1, то К-меру  будем
называть нормированной или НК-мерой.
Итак, на ступенчатых функциях функционал E имеет вид:
E  f    f i Vi  , где  — некоторая К-мера. Пусть f(s)  B(S), ||f|| < D. Возьмем
i
разбиение отрезка [-D,D): -D = r0 < r1 <. . . < rn = D и положим   max  ri 1  ri  .
i
Множества Vi = {s  S | ri < f(s ) < ri+1} не пересекаются, и их объединение
совпадает с S, так что   Vi    S . Функции f   s    ri 1Vi  s  и
i
i
f   s    ri 11Vi  s  — ступенчатые, они принимают на каждом из множеств Vi
i
51
значения ri и ri+1 соответственно. Легко видеть, что f-(s) < f(s) < f+(s) и
||f+(s) - f-(s) || < . Кроме того, в силу линейности и по доказанному выше имеем:
E  f     ri  Vi  , E  f     ri 1 Vi  , так что  ri  Vi   E  X    ri 1 Vi  .
i
i
i
i
При этом разность правой и левой сумм здесь не превосходит {S}. Легко
убедиться также, что левая сумма не превосходит правой, хотя бы отвечающей
и другому разбиению. Поэтому при   0 обе суммы имеют один и тот же
предел, который называется интегралом Радона (Radon I.) [30] от f по К-мере .
Мы обозначаем его  f  s  ds . Таким образом:
S
E  f    f  s  ds .
(3.5)
S
Нетрудно доказать, что при любой К-мере  функционал (3.5) будет
линейным и монотонным. Более того, в силу (3.4) разным мерам  отвечают
разные функционалы. Таким образом, любой аддитивный монотонный
функционал на B(S) имеет вид (3.5).
Применим этот результат к ситуации, когда S — замкнутый отрезок,
например, [0,1], C(S) — пространство функций, непрерывных на S, наделенное
равномерной нормой, E(f) — аддитивный монотонный (и, следовательно,
линейный) функционал на C(S). По теореме Хана-Банаха [28] его можно
продолжить на B(S) с сохранением нормы. Тогда он окажется интегралом
Радона по некоторой К-мере . Однако здесь можно дать и иное, более удобное
его представление.
А именно, определим величину (s) как -меру отрезка [0,s]. Очевидно,
что функция (s) будет неотрицательной и монотонной по s на [0,1]. Легко
видеть также, что если f(s) — индикаторная функция любого полуинтервала
(a,b], то
1
b
0
a
 f  s d s   f  s d s  b   a .
Легко показать (см., напр. [28]), что интеграл (3.5) от непрерывной
функции f совпадает с интегралом Стилтьеса от нее по функции (s):
1
1
E  f    f  s  ds   f  s d s .
0
(3.6)
0
Таким образом, линейный монотонный функционал на C(S) имеет вид
интеграла Стилтьеса по некоторой монотонной функции (s) (это утверждение,
по существу, составляет основную часть теоремы Ф.Рисса (Riesz F.) [28, 29, 31]).
Однако один и тот же функционал E может порождаться различными
монотонными функциями (s). Так, интеграл Стилтьеса не изменится, если
исправить значения функции (s) в точках разрыва так, чтобы она стала
52
полунепрерывной справа.
Пусть теперь  — НК-мера. Превратим ее в другую НК-меру  на том же
отрезке S = [0,1] следующим способом:
 возьмем отвечающую мере  функцию (s) и, исправив ее значения в
точках разрыва надлежащим образом, превратим ее в полунепрерывную справа
функцию (s);
 для любого полуинтервала V= (a, b]  S положим {V} = (b) - (a). Для
любого объединения конечного числа непересекающихся полуинтервалов
положим (V1∪ ... ∪ Vn) = (V1) +...+ (Vn). При этом в силу полунепрерывности
 будет счетно-аддитивной функцией множеств, определенной на полукольце
полуинтервалов (т.е. полученное равенство будет верно и при n = );
 продолжим полученную функцию на -алгебру измеримых по Лебегу
подмножеств S так, чтобы она осталась счетно-аддитивной.
В результате мы получим “обычную” вероятностную меру на S., для
которой (s) будет функцией распределения. Легко проверить, что при этом
интеграл Стилтьеса (3.6) превратится в математическое ожидание случайной
величины  = f(s) по распределению , которое далее мы будем обозначать
M[ |] или M[].
Пусть теперь Q — полуоткрытый отрезок (0,1]. Поскольку C(Q) :=C(S), то
линейные монотонные функционалы на C(Q) также имеют вид (3.6), однако не
при любых мерах . Следующее утверждение является частным случаем
значительно более общего, относящегося к счетно-нормированным
пространствам (см. [28, гл. XI]).
Утверждение 3.1. Функционал (3.6) будет определен на C(Q), только если
(s) = 0 на некотором отрезке [0, h].
Действительно, если (s) = 0 при s  [0, h], то функционал (3.6) определен
для всех f  C(Q). С другой стороны, если (s) > 0 при всех s > 0, то найдется
непрерывная на (0,1] функция f(s), для которой f(s)   при s ↘ 0 и интеграл
(3.6) расходится. ■
3.3. Правильные критерии ожидаемого эффекта
Вернемся теперь к выяснению структуры правильных
критериев
ожидаемого эффекта E на . В силу п. 3.2 E является монотонным и
аддитивным функционалом, поэтому имеет вид интеграла Радона (3.5) по
некоторой К-мере . Кроме того, в силу аксиомы согласованности
{S} = E(1S) = 1, так что  — НК-мера. Таким образом,
E  X    X  s   ds  : M  X   .
S
53
(3.7)
Построенный функционал M (X |), сходный с математическим ожиданием,
назовем усреднением X по НК-мере  (в [5] используется термин
“математическое ожидание”). Легко проверяется, что он удовлетворяет
требованиям согласованности, аддитивности и монотонности, предъявляемым к
критерию ожидаемого эффекта, и к тому же однороден: M (1 |) = 1,
M (X + Y |) = M (X |) + M (Y |),
X(s) > 0  M (X |) > 0,
M (X|) = M (X|).
Поэтому функционал M линейный и имеет норму 1: M (X |) < ||X||, причем знак
равенства достигается при X = 1. Мы получили следующий результат.
Теорема 3.1. Критерий ожидаемого эффекта Е(X) на  будет монотонным,
согласованным и аддитивным, если и только если он имеет вид усреднения
функции X по некоторой НК-мере на множестве состояний природы S. В таком
случае он оказывается линейным в равномерной метрике и имеет норму 1. ■
Теорему 3.1 естественно рассмотреть в увязке с концепцией субъективных
вероятностей, ведущей начало от работ Байеса [23]. Если S состоит из конечного
числа состояний природы, то любая НК-мера становится “обычной”
вероятностной, поэтому в [5] и других работах по теории полезности
распределение  трактуется как вероятностная мера, а величина {V} — как
“субъективная” вероятность, приписываемая мерой  событию V. Однако, если
состояний природы бесконечно много, такая трактовка оказывается
некорректной:
 НК-меры, в отличие от вероятностных, не являются счетно-аддитивными
(мера объединения счетного числа непересекающихся событий не обязана
равняться сумме мер этих событий). Однако требование счетной аддитивности
не удается вывести из каких-либо правил рационального экономического
поведения;
 вероятностная мера определена не на всех подмножествах S, а только на
некоторой совокупности (-алгебре) таких подмножеств. Но если какому-то
множеству V состояний природы нельзя приписать меру, то нельзя и оценить
эффективность проекта 1A, являющегося индикатором этого множества. Между
тем, возможность оценивать и сравнивать любые проекты представляется более
важной, чем формально-математическое требование счетной аддитивности.
Опишем НК-меру, вероятностная трактовка которой лежит далеко от
традиционных экономических представлений. Пусть S — множество
натуральных чисел. Припишем любому конечному его подмножеству меру 0, а
любой арифметической прогрессии с разностью d — меру d-1. Нетрудно
убедиться, что свойство аддитивности здесь выполняется, а всё S имеет меру 113.
Некоторое сходство этой меры с вероятностной придает тот факт, что любые
прогрессии со взаимно простыми разностями будут здесь “независимы”: мера
Конечно, наше описание не полно, ибо мы не указали мер других подмножеств натурального
ряда; однако для наших целей в этом нет необходимости.
13
54
пересечения таких прогрессий равна произведению их мер. Эта мера
использована в интересной работе [32], относящейся к совершенно иной
тематике. Приведем два примера, связанных с ней, заметив при этом, что здесь
любой проект X характеризуется последовательностью {x1, x2, ...}, где xn —
эффект в состоянии n.
Пример 3.1. Пусть X = {x1, x2, ...}, xn  a при n  . Тогда X есть сумма
“конечного” проекта {x1, x2, ... , xn, 0, 0, ...} и “хвоста” {0, 0, ... , xn+1, xn+2, ...}. Первый
из них, очевидно, имеет нулевой ожидаемый эффект, а второй при больших n
будет сколь угодно близок к проекту {0, 0, ... , а, а, ...} с ожидаемым эффектом а.
Таким образом, здесь E  X   a  lim xn . ■
n
Пример 3.2. Пусть X = {2, 4, 9, 2, 4, 9, ...} (последовательность эффектов —
периодическая). Поскольку номера состояний природы, которым отвечает один
и тот же эффект, образуют арифметическую прогрессию с разностью 3,
получим, что Е(X) = (2+4+9)/3=5. ■
Приведем другой пример НК-меры, более близкий к инвестиционному
проектированию.
Пример 3.3. Пусть состояния природы отличаются только значениями
давления s. При этом с ростом давления эффект проекта x(s) растет, однако
используемое в проекте оборудование таково, что при достижении некоторого
давления S оно выходит из строя и эффект проекта резко снижается. Одним из
показателей эффективности такого проекта может быть величина x(S-0),
отражающая предельное значение эффекта проекта. Такой функционал является
монотонным и аддитивным, однако не может быть представлен как
математическое ожидание функции x(s) по какой-либо вероятностной мере, хотя
отвечает интересной НК-мере, приписывающей меру 1 любому отрезку, для
которого S является внутренней точкой или правой границей, и меру 0 —
любым другим отрезкам. ■
Трактуя меру  в (3.7) как вероятностную, обычно ссылаются на теорию
Сэвиджа [5, 22], что не вполне корректно. Дело в том, что построенная в этой
теории мера, хотя и названа автором вероятностной, на самом деле является
НК-мерой. Более того, множество S здесь обязано быть неисчислимым, а мера
— безатомной14. Это практически исключает байесовское поведение, ибо в
реальных расчетах невозможно учесть несчетное множество эффектов проекта,
возможных при разных состояниях природы. Поэтому, при всей теоретической
привлекательности подобной теории она едва ли применима на практике.
В то же время, мы не отрицаем субъективизма при определении
ожидаемого эффекта — разные Субъекты могут выбрать для описания одной и
той же внешней неопределенности разные НК-меры. Ниже при рассмотрении
По Сэвиджу, мера  безатомная, если для любого события V и любого числа [0,1] найдется
событие W  V такое, что (W) = (V). В частности, любое состояние природы имеет нулевую меру:
({s}) = 0.
14
55
других видов неопределенности выяснится, что соответствующие критерии
ожидаемого эффекта учитывают отношение Субъекта к неопределенности с
помощью априорно задаваемой, субъективной меры или, в крайнем случае,
числового параметра. Рассмотрим теперь проекты с векторными результатами,
зависящими от состояния природы.
Проект
X
такого
рода
формализуется
как
вектор-функция
X(s) = (x1(s), . . . , xm(s)) с ограниченными компонентами, а его ожидаемый эффект,
аналогично, оказывается монотонным аддитивным функционалом E на классе
таких функций. Используя “покоординатное” разложение X и аддитивность E,
легко получить, что
E(X) = E(x1(s), 0, . . . , 0) + ... + E(0, 0, . . . , 0, xm(s)).
При этом каждый из стоящих справа функционалов будет монотонным и
аддитивным, а значит, имеющим вид (3.5). Отсюда вытекает следующее
представление функционала:
E(X)=p1M(x1|1)+...+pmM(xm|m),
где i — некоторые НК-меры, p1=E(1,0,...,0),..., pm=E(0,...,0,1) — цены
соответствующих видов результатов проекта (см. п.1.5).
Аналогично, с использованием подходов п.1.7, могут быть рассмотрены и
проекты с результатами, зависящими от состояния природы и изменяющимися в
непрерывном времени.
Мы рассмотрели внешнюю неопределенность “в чистом виде”, когда нет
никакой информации о “степени возможности” состояний природы. Между тем,
иногда такая информация может иметься. Ниже будут рассмотрены две
подобные ситуации.
Пространство состояний природы, наделенное вероятностной
мерой
Подмножества пространства S мы, как и в теории вероятностей, называем
событиями. В однородном пространстве о “степени возможности” событий
ничего не известно. Между тем, на практике вероятности некоторых событий
(например, землетрясений) известны точно или приближенно. Спрашивается,
может ли это помочь при установлении субъективной НК-меры? Рассмотрим
поэтому ситуацию, когда пространство S наделено вероятностной мерой, т.е.
когда задана некоторая -алгебра A подмножеств S, и известны вероятности
3.4.
P{V} всех событий V A (у “неизмеримых” событий, не являющихся
элементами A, вероятность не определена). Хотелось бы, чтобы эта мера P была
как-то связана с мерой , входящей в критерий ожидаемого эффекта
E(X) = M (X|). Такую увязку обеспечивает следующая аксиома.
Монотонность по вероятностной мере. Более вероятному событию
отвечает более эффективный индикатор:
56
P{V} > P{W}  M (1V|) = E(1V) > E(1W| P) = M (1W|).
(3.8)
Поскольку M (1V|) = {V}, (3.8) дает: P{V} > P{W}  {V} > {W}. Отсюда
сразу следует, что P{V} = P{W}  {V} = {W}. Таким образом, {V} —
монотонная функция от P{V}: {V} = f(P{V}).
Пусть V∩W= . Тогда P{V ∪ W} = P{V} + P{W}, {V ∪ W} = {V} + {W}, так
что f(P{V} + P{W}) = f(P{V}) + f(P{W}). Итак, функция f оказывается аддитивной
и монотонной, причем f(1) = f(P{S}) = {S} = 1. Казалось бы, отсюда следует, что
f(p)  p, т.е. что {V} = f(P{V}) = P{V} для всех V A. Если бы это было так, то
мера , совпадающая с P на событиях из A, была бы продолжением P на
алгебру всех подмножеств S, а критерий M (X|) был бы монотонен по мере P.
На самом деле наше рассуждение не вполне корректно: область определения
функции f может быть такой “плохой”, что в ней, помимо линейных, найдутся и
другие аддитивные монотонные функции.
Пример 3.4. Пространство S включает 4 события: S, , V, W, (VW= S).
При этом P{V}=0.3, P{W}=0.7, {V} = 0.4, {W} = 0.6. Очевидно, что мера 
монотонна по P, но не совпадает с ней. ■
Пример 3.5. Пространство S является отрезком [0,1]. На -алгебре A
борелевских подмножеств S задана обычная лебегова мера L{} и зависящие от
параметра h  (0, 1/2) следующие вероятностные меры Ph: если V A и 1  V, то
Ph{V} = hL{V}, а мера точки 1 равна 1 - h. Здесь неравенство Ph{V} > Ph{W}
возможно только в трех случаях: 1) и V и W не содержат точки 1, причем
L{V} > L{W}; 2) и V и W содержат точку 1, причем L{V} > L{W}; 3) V содержит, а
W не содержит точку 1. Легко видеть, что в каждом из этих случаев будет
Pk{V} > Pk{W} для любого k  (0, 1/2). Конечно-аддитивное продолжение меры Pk
при k  h на множество всех подмножеств S будет К-мерой, не совпадающей с
Ph, но монотонной по ней.
Аналогичные меры Ph можно построить, если S состоит из счетного (а не
конечного!) множества элементарных событий Vn . Положим Ph{Vi} = h2-i при
i > 1, Ph{V1} = 1 - h/2. Здесь неравенство Ph{V} > Ph{W} будет возможно, только
если V1  W, но в этом случае будет Pk{V} > Pk{W} для любого k  (0, 1/2).
Поэтому конечно-аддитивное продолжение меры Pk при k  h на множество всех
подмножеств S будет К-мерой, не совпадающей с Ph, но монотонной по ней. ■
Для того, чтобы выполнялось равенство f(p)  p, и меры P и  совпадали на
A, надо наложить на A и P дополнительные требования.
Скажем, что мера P на A измельчаема, если существуют сколь угодно
большие n такие, что для каждого 1< k < n найдутся непересекающиеся события,
имеющие меры k/n и 1/n. Измельчаемыми будут безатомные меры и меры Ph из
примера 3.5 с h > 1/2. Еще одним примером будет мера P на множестве целых
57
чисел такая, что P{r} = 2-r при r > 0 (указанное свойство выполняется при
n = 2, 4, 8, ...).
Теорема 3.2. Если мера P измельчаема, то на A она совпадает с .
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть
мера
P
измельчаема.
Рассмотрим
непересекающиеся события U и V с мерами k/n и 1/n. Тогда
f((k+1)/n) = f(P{U} + P{V}) = f(P{U}) + f(P{V})= f(k/n) + f(1/n) при всех 1< k < n.
Отсюда и из f(1) = 1 получаем, что f(k/n) = k/n при всех k. Поскольку n здесь
может быть сколь угодно большим, а функция f монотонна, то f(p) = p при всех
p  [0, 1], так что {V} = P{V}  V A. ■
Интересно исследовать случай дискретных мер. Пусть S состоит из
счетного (а не конечного!) множества элементарных событий Vn , имеющих
вероятности pn = P{Vn} и занумерованных в порядке убывания этих
вероятностей (т.е. pn > pn+1 для всех n). Рассмотрение этой ситуации позволяет
высказать следующую гипотезу, которую пока не удалось ни доказать, ни
опровергнуть:
Гипотеза. Для того, чтобы меры  и P совпадали на A, необходимо и
достаточно, чтобы при всех n выполнялись неравенства:
pn < pn+1 + pn+2 + .... .
3.5. Пространство состояний природы, наделенное осуществимостью
Вторая модель предполагает наличие качественно иной информации о
"степени возможности" состояний природы. Общая идея модели такова.
Имеется конечное число состояний природы и группа экспертов, оценивающих
их осуществимость. Доля (s) экспертов, оценивших состояние s как
осуществимое, может рассматриваться как своеобразная мера "степени
осуществимости" состояния s. Например, если состояние s1 считают
осуществимым все эксперты, а состояние s2 — только половина их, то (s1) = 1,
(s2) = 1/2, так что сумма (s) по всем s  S может быть и больше 1. Величина
(s), отражающая “степень осуществимости” состояния s, может трактоваться
также как степень принадлежности s к множеству S (см. [33] и п. 5.1), или как
степень правдоподобия утверждения о возможности состояния s (см. [34] и
п. 6.1). Назовем (s) функцией осуществимости (ФО), а пару {S, } —
пространством, наделенным осуществимостью.
Критерий ожидаемого эффекта ВА имеет здесь тот же вид (3.7), однако
теперь он должен зависеть от ФО и мы будем обозначать его E( | ), а
отвечающую ему НК-меру — { | }. В частном случае, когда (s)  1, эту меру
обозначим просто {}. Как и в п. 3.4, мы ищем такой критерий E( | ), который
при разной информации об осуществимости состояний природы приводил бы к
согласованным в определенном смысле результатам. Для этого потребуются две
новые аксиомы, обеспечивающие естественное изменение ожидаемого эффекта
при тех или иных изменениях ФО. Каждая из них состоит из двух частей.
58
Аксиома регулярности:
Р1. Если (s) < (s) при s  V, (s) = (s) при s  Vс, то E(1V| ) < E(1V| ).
Заменив здесь V на его дополнение Vс, получим отсюда и из (3.1), что
неравенство E(1V| ) < E(1V| ) будет выполняться и тогда, когда (s) = (s) при
s  V, (s) > (s) при s  Vс.
Р2. Функционал E(1V| ) непрерывен по  в равномерной метрике:
E(1V| n)  E(1V| ), если || n- ||  0 при n  .
Аксиома сохранения равноэффективности:
С1. Пусть E(X | ) = E(Y | ) и X(s) = Y(s) при всех s  V. Тогда X и Y останутся
равноэффективными при любом варьировании ФО в пределах множества V.
С2. Если к тому же, (s) является константой вне V, то X и Y будут
равноэффективны при любом изменении этой константы.
Чтобы выявить структуру критерия, удовлетворяющего введенным
аксиомам, нам понадобится простая лемма.
Лемма 3.1. Пусть известно, что функции ai(v1, . . . , vn), i = 1 , . . . , n, не
обращаются в 0 одновременно, а каждое отношение hkm= ak/am зависит только от
vk и vm и не зависит от других переменных vi. Тогда найдутся такие
неотрицательные функции f1(v1),. . . , fn(vn), что векторы (a1,. . . , an) и (f1,. . . , fn)
пропорциональны при всех vi.
Д о к а з а т е л ь с т в о . По условию леммы hkm = hkm(vk, vm). Пусть величины i, m,
k, не совпадают и превосходят n. Зафиксируем какие-то значения v0i
переменных vi и заметим, что отношение hkm= hki/hmi не зависит от vi. Поэтому
hkm(vk, vm) = hki(vk, v0i)/hmi(vm, v0i). Положим теперь fk(vk) = hk1(vk, v01) для 1< k < n.
Тогда, для любых различных k и m, больших 1, будет: hkm= fk(vk) /fm(vm).
Подберем такую функцию f1(v1), чтобы это равенство было верно и при k = 1 или
m = 1. Действительно, пусть i и m больше 1. Тогда имеем:
h1m(vk, vm) fm(vm)= h1i (v1, vi)him(vi, vm) fm(vm)= h1i (v1, vi)fi (vi).
Поскольку левая часть здесь не зависит от vi, то правая часть тоже не
зависит от vi и является функцией только от v1 — обозначим ее через f1(v1).
Легко
проверить,
что
эта
функция
искомая.
Таким
образом,
hkm = ak/am = fk(vk) /fm(vm) при всех k и m, так что векторы (a1,. . . , an) и (f1,. . . , fn)
пропорциональны. ■
Зафиксируем
теперь
некоторое
разбиение
S = V1 ... Vn
и
будем
рассматривать только ступенчатые X и , постоянные на каждом Vi: X(s) = xi,
(s) = i при s  Vi. НК-меру множества Vi, отвечающую набору (1, 2,. . . ),
обозначим через i(1, 2,. . . ), а отношения k(1, 2,. . . )/m(1, 2,. . . ) — через
hkm. Заметим, что
E(X | ) = 0  x11(1, 2,. . . ) + x22(1, 2,. . . ) + ... .
(3.9)
Пусть ВА Z такова, что E(Z | ) = 0, z3 = z4 = . . . = 0. Изменив ФО на множествах
Vi (i > 2), мы получим новое пространство {S, }, наделенное осуществимостью,
59
в
котором
в
силу
2
С1
E(Z | ) = 0.
будет
Тогда
2
 zi i 1 ,2 ,3 ,4 ,...  0   zi i 1 ,2 ,11, ,...  0 ,
i 1
что возможно только,
i 1
если отношение h12 не зависит от 3, 4, ... и, значит, зависит только от 1 и 2.
Аналогично найдем, что hkm зависит только от k и m. Применив теперь лемму
3.1 к ненулевому неотрицательному вектору (1(1, 2,. . . ), 2(1, 2,. . . ), . . . ),
построим пропорциональный ему вектор (f1(1), f2(2), . . . ). Отсюда и из (3.9)
имеем:
(3.10)
E  X     0   xi fi  i   0 .
i
Поскольку функции fk определены с точностью до постоянного множителя
и их сумма отлична от 0, их можно выбрать так, чтобы выполнялось условие
нормировки: f1(1) + f2() +. . . = 1.
Для введенной выше ВА Z (3.10) дает: z1f1(1) + z2f2(2) = 0. При 1 = 2= 
отсюда имеем: z1f1() + z2f2() = 0. Из С2 следует, что, если это равенство верно
при одном , то оно будет верно и при любом . Поэтому
z1f1() + z2f2() = 0  z1f1(1) + z2f2(1) = 0.
Но
тогда
f1()/f1(1) = f2()/f2(1)
и,
аналогично, f1()/f1(1) = fk()/fk(1). Обозначим через u() общее значение этих
отношений. Тогда fk() = fk(1)u(), u(1) = 1. Подставив это в (3.10), найдем:
(3.11)
E  X    0   xi u  i  fi 1  0 .
i
Пусть теперь (s)  1, а {V| } = {V}. В этом случае в силу (3.9) имеем:
E  X 1  0   xi  Vi   0 . Отсюда в силу (3.11) и условия нормировки
i
получим, что fi(1) = {Vi}. Тогда (3.11) примет вид:
E  X    0   xi u  i   Vi   0 .
(3.12)
i
Пусть X — любая ВА X и E(X | ) = f. Тогда E(X - f1S | ) = 0 и, следовательно,
  xi  E  X   u  i   Vi   0 , откуда
i
E  X     xi u  i   Vi 


 u  i   Vi  .
i
В частности, E 1Vk   u  k   Vk 
(3.13)
i
 u  i   Vi  . Если {Vk} > 0, то эта
i
величина положительна и, в силу Р1 и Р2, является непрерывной неубывающей
функцией от k, что возможно, если и только если u() — непрерывная
неубывающая функция от .
Анализ (3.13) позволяет предположить, что в общем случае
60
 x  s u   s   ds
E  X   S
.
u

s

ds







(3.14)
S
Докажем это равенство сперва для X = 1V, когда оно принимает вид:
E(1V| ) =  u s  ds  u s  ds = f(V). Возьмем столь мелкие разбиения
V
S
V = V1∪ ... ∪ Vm, V = Vm+1∪ ... ∪ Vn, чтобы функция  менялась мало на каждом Vk, и
величины Pk  sup   s  и pk  inf   s  отличались меньше чем на  при всех k.
c
sVk
sVk
Положим (s) = Pk, (s) = pk при s  Vk  V и (s) = pk, (s) = Pk при s  Vk  Vс. Тогда
в силу Р1 и Р2 E(1V| ) < E(1V| ) < E(1V| ) и | E(1V| ) - E(1V| ) |  0 при   0. Но
функция  ступенчатая, поэтому в силу (3.13) имеем:

 

E(1V| ) > E(1V|) =   u pk Vk    u pk Vk    u Pk Vk  .
k  m
 k  m

k m
Учитывая, что функция u() непрерывна и монотонна, нетрудно проверить,
что при неограниченном измельчении разбиений множеств V и Vc правая часть
этого неравенства будет стремиться к f(V). Аналогично убеждаемся, что
E(1V| ) < f(V), поэтому E(1V| ) = f(V), что и доказывает искомое утверждение.
Поскольку функционал E(X | ) — линейный по X, равенство (3.14) будет
выполняться и для функций, отличающихся от 1V постоянным множителем, и
для суммы конечного числа подобных функций, т.е. для любой ступенчатой
X(s). Но любая ограниченная X(s) является пределом неубывающей
последовательности ступенчатых функций, так что в силу монотонности и
непрерывности E формула (3.14) будет справедлива и в этом случае, что и
требовалось доказать.
Нетрудно проверить, что функционал (3.14) удовлетворяет всем введенным
аксиомам, если функция u() обладает указанными свойствами. Мы доказали,
таким образом, следующую теорему.
Теорема 3.3. Критерий ожидаемого эффекта E(X | ) будет регулярным и
сохраняющим равноэффективность, если и только если он имеет вид (3.14), где
функция u() — положительная, непрерывная и неубывающая, u(1) = 1. ■
Выше мы предположили, что функция (s) всюду положительна.
Отказаться от этого, вообще говоря, нельзя. Действительно, если (s) > 0 только
на множестве нулевой -меры, то числитель и знаменатель в (3.14) обращаются
в нуль. Тем не менее, функционал (3.14) естественно продолжается на такие
пространства {S, }, где {s | (s) > 0} > 0. В этом случае естественно
потребовать, чтобы значения x(s) в тех точках, где (s) = 0, не влияли на
величину ожидаемого эффекта. Легко видеть, что это обеспечивается тогда и
61
только тогда, когда u(0) = 0.
3.6. От внешней неопределенности — к внутренней
В ситуации внешней неопределенности результаты реализации проекта
зависят от неизвестного состояния природы, что уместно, например, при учете
неопределенности перспективной динамики мировых цен и валютных курсов.
Здесь, оценивая и сравнивая различные проекты, Субъект знает, что все они
будут реализовываться при одном и том же (неизвестном Субъекту) состоянии
природы, и это состояние не будет зависеть от того, какие действия или
решения о реализации проектов принял Субъект. Поэтому, если бы случилось
чудо, и Субъект узнал результат реализации хотя бы одного из своих проектов,
он сразу получил бы информацию о результатах всех остальных.
Между
тем,
многим
проектам
присуща
своя
“внутренняя”
неопределенность. Например, Субъект сравнивает два варианта проекта,
различающиеся техническими решениями, причем в обоих объем инвестиций и
эксплуатационные издержки известны неточно. Даже, если он узнает точные
значения технико-экономических показателей одного варианта, это не повысит
точность оценки другого. Поэтому здесь неопределенность результата проекта
зависит от того, какое решение примет Субъект. Казалось бы, эту ситуацию
можно свести к внешней неопределенности, охарактеризовав “состояние
природы” показателями сразу двух вариантов, но этот путь заведет нас слишком
далеко. В процессе реализации проекта Субъект все время будет принимать те
или иные решения, влияющие и на стоимость строительства объекта и на
эксплуатационные характеристики — последствия этих решений также
придется включить в “состояние природы”. К тому же большая часть таких
решений носит виртуальный характер и к “природе” в обычном понимании
отношения не имеет: скажем, если Субъект выберет первый вариант проекта,
ему не нужно будет рассматривать и учитывать последствия решений, которые
он мог бы принять по второму варианту. Подобную ситуацию уместно описать
словами Маргарет Тэтчер: “90% наших забот касается того, что никогда не
случится”. Избежать ненужного “размножения состояний природы” здесь
можно, сказав, что неопределенность показателей в каждом варианте проекта
своя, т.е. она является “внутренней”, а не внешней.
Казалось бы, за этими рассуждениями должен следовать раздел,
посвященный
“внутренней”
неопределенности.
Увы,
сделать
это
затруднительно, ибо внутренняя неопределенность многообразна: для ее
описания мало сказать, что она имеет место в данном проекте, надо еще
уточнить, в какой форме она проявляется. Более того, как и в приведенном
выше примере, результаты проектов могут одновременно зависеть и от
неизвестного и общего для всех проектов состояния природы (скажем, от
динамики цен на продукцию и строительные работы) и от каких-то
индивидуальных для каждого проекта факторов, так что внутренняя
неопределенность может сочетаться с внешней. Ниже мы рассмотрим и такие
62
сочетания.
В популярной литературе внутренняя неопределенность обычно
понимается как вероятностная. Однако ее рассмотрение требует более сложной
аксиоматики и более глубокого математического аппарата, и мы исследуем ее
позднее, начав изложение с более простых в методическом и математическом
отношении моделей.
63
4.
ИНТЕРВАЛЬНАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ
Операции над множествами и отношения между ними. Выпуклые
множества и опорные функции
В дальнейшем нам понадобится иметь дело с конечномерными
множествами, поэтому в данном п. мы определим некоторые операции и
отношения между ними.
n-мерные множества состоят из точек или векторов, которые суммируются
и умножаются на число обычным способом:
(x1, ... , xn) + (y1, ... , yn) = (x1 + y1, ... , xn + yn), k(x1, ... , xn) = (kx1 ,... , kxn ).
Отношение доминирования векторов, обобщающее отношение > между
числами, мы ввели в п. 1.5: (x1, ... , xn) » (y1, ... , yn), если xi > yi для всех i. Дадим
аналогичные определения для множеств.
Определим, что множество A доминирует множество B (A » B), если любое
x  A доминирует какое-то y  B, а любое y  B доминируется каким-то x  A.
При таком определении отрезок [a, b] на прямой доминирует отрезок [c, d], если
и только если a > b, c > d. Очевидно так же, что из A » B и B » C следует A » C.
Определим сумму множеств A и B по Минковскому как множество A  B,
элементами которого будут всевозможные суммы точек x  A и y  B:
A  B : = { x + y | x  A, y  B}. Легко видеть, что эта операция коммутативна и
ассоциативна:
A  BB A; (A B) C=A (B C).
Операция умножения множества на число может определяться двояко.
"Собственно" умножение множества A на вещественное число k определяется
так. Множество kA образуется из произведений на k всех элементов A:
kA :={ kx | x  A }. Множество (-1)A будем обозначать также через -A . Вторую
операцию, k-кратное тиражирование () множества A мы определим только
для натуральных k, как сумму k одинаковых множеств A по Минковскому:
A k : A  ...  A . Нетрудно убедиться, что A k = kA для выпуклых A.
4.1.
k раз
Пример 4.1. Пусть A — множество, состоящее из двух точек 0 и 1. Тогда
kA включает только точки 0 и k, а Ak — все целые числа от 0 до k. ■
Легко проверить также, что обе операции умножения ассоциативны и
дистрибутивны относительно суммирования:
(kl)A  k(lA ); A (kl)  (A k)l;
k(A  B )=kA  kB ; (A  B )k = (A k)  (B k).
Наконец, важно и то, что при суммировании и умножениях отношение
64
доминирования сохраняется: из A » B следует, что A  C » B  C и kA » kB ,
A k » B k, если k > 0.
Обратим внимание, что действия, обратного к суммированию, вообще
говоря, не существует, и A  (-A )  . Исключение составляют одноточечные
множества, чем мы далее и будем пользоваться.
Уравнение Z k = A в общем случае может не иметь решений. Так,
например, трехточечное множество A = {0;1;3} не представимо в виде
Z 2 = Z  Z. Однако, если A — выпуклое, то уравнению Z k = A могут
удовлетворять много разных Z, включая и выпуклое множество (1/k)Z.
Например, если A — круг радиуса 2 с центром 0, то в качестве Z можно взять не
только множество (1/2)A, т.е. круг радиуса 1 с центром 0, но и окружность —
границу этого круга.
Расстояния между векторами будем измерять с помощью нормы
 x1 ,..., xn 
 max xi .
(4.1)
i
Расстояние между множествами определим по Хаусдорфу, как
максимальное из расстояний от точек одного множества до ближайших к ним
точек другого:


  A , B   max sup inf x  y , sup inf x  y  .
(4.2)
xB yA
 xA yB

Легко видеть, что расстояние между множествами такое же, как и между их
замыканиями. Нетрудно проверить также, что, если (A ,B ) < d, то
A  (dI) » B » A  (-dI).
Далее нам потребуется вспомогательная лемма.
Лемма 4.1. Пусть t1 +...+ tn = p1 +...+ pk , ti > 0 s, 0 < ps < h s, t0 = nh. Тогда
величины ps можно:
1) разбить на группы 0, ... , n (возможно, пустые) так, чтобы сумма
величин в каждой непустой группе i была не больше ti;
2) разбить на группы 1, ... , n (возможно, пустые) так, чтобы сумма
величин в каждой непустой группе i отличалась от ti не больше, чем на h.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим 2 случая.
1) Любое ps не меньше любого ti. Тогда k < n и ti < h i > 0. Здесь искомые
группы i формируются так: в 0 включаются все ps, 1,...,n — остаются
пустыми. Действительно, поскольку каждое ps < h, их сумма не превышает
nh = t0 . Искомые группы i формируются иначе: при s < k в группу s включается
только ps, остальные i остаются пустыми. Действительно, здесь 0 < ts < ps < h,
поэтому в каждой непустой группе 0< ps -ts < h.
2) Какое-то ps будет меньше какого-то ti. Изменив нумерацию величин ps,
65
мы можем считать, что pk < ti. Включим pk в группы i и i, после чего заменим ti
на ti-pk. Легко видеть, что новые наборы (t1,…, tn) и (p1,…, pk-1) удовлетворяют
условиям леммы. Будем проводить с ними те же операции, пока не окажется,
что k=0 или не возникнет случай 1. ■
Лемма 4.2. Пусть A  n — ограниченное множество диаметра d, B — его
выпуклое замыкание, p1+...+ pk = q и 0 < pi < h для всех i, D = (p1A)  ...  (pkA).
Тогда (D, qB) < nhd.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку qB замкнуто и содержит D, для этого
достаточно убедиться, что любая внутренняя точка x  qB отстоит от какой-то
точки y  D на расстояние, меньшее nhd. Но q-1x лежит внутри некоторого
n-мерного симплекса с вершинами vi  A, которые отстоят друг от друга не
больше чем на d. Поэтому
n
n
k
i 0
i 0
m 0
x   ti vi , ti  0,  ti  q   pm ; vi  A ,
vi  v0  d
i .
Используя лемму 4.1, разобьем величины pm на группы 0,...,n. Пусть i(m)
— номер группы, куда попало pm, xm = pmvi(m). Тогда xm  pmA и точка y = x1+...+ xk
— искомая. Действительно, y  D и
yx 
 pmvi m   ti vi 
m
i




p

t

  m i  vi 
i 0 

 pmi

n
n




    pm  ti   vi  v0    h vi  v0  nhd . ■
i 0 
i 1

 pmi

Как доказывается в выпуклом анализе [35, 36, 37], выпуклое множество A
однозначно характеризуется своей опорной функцией:
n
A *  p   sup p  x,
xA
p
n
,
(4.3)
где  — знак скалярного произведения. Эта функция выпукла вниз,
субаддитивна
(A*(p + q) < A*(p) + A*(q) ),
положительно
однородна
(A *(tp)=tA *(p) при t > 0) и отражает максимальную стоимость (ценность)
результатов ИА в ценах p. Обратно, любой выпуклой вниз и положительно
однородной функции f(p) отвечает ограниченное выпуклое замкнутое
множество f* = { x | p  x < f*(p) p  n}, так что (A*)* = A, (f*)* = f. Нетрудно
показать, что опорной к одноточечному множеству {I} является функция p  I, а
n
к единичному “шару” D = { x | || x || < 1} — функция D*(p) = || p ||* =  pi . Легко
i 1
видеть также, что (tA)* = tA* при t > 0. Кроме того, (A  B)* = A* + B*.
Действительно,
66
 A  B   p  
sup p  x  sup p   u  v  
xA  B
uA ,vB
 sup p  u  sup p  v  A   p   B  p  .
uA
vB
Поскольку опорные функции положительно однородны, они определяются
своими значениями на множестве Q = { p | || p ||* < 1} —единичном “шаре”
сопряженной нормы. Введем поэтому на классе опорных функций равномерную
норму:


f  sup f  p  p *  1 . Важные свойства выпуклых множеств и их
опорных функций даются следующими леммами.
Лемма 4.3. A  B  A*(p) > B*(p) p.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Импликация A  B  A*(p) > B*(p) следует из
определения (4.3). Обратно, т.к. A и B выпуклы и A*(p) > B*(p) p, то
A = { x | p  x < A*(p) p }  { x | p  x < B*(p) p } = B. ■
Лемма 4.4. (A , B ) < r  || A*(p) - B*(p) || < r .
Д о к а з а т е л ь с т в о . Если (A , B ) < r, то A содержит r-окрестность B, так
что A : = B  rD, где D — единичный “шар”. Отсюда в силу леммы 4.3 найдем:
A*(p) > (B  rD)*(p) = B*(p) + r || p ||* и, аналогично, B*(p) > A*(p) + r || p ||*, так что
|| A*(p) - B*(p) || < r . Те же рассуждения проходят и в обратную сторону, т.к. A и
B выпуклы. ■
Следствие. (A , B ) = || A*(p) - B*(p) || для выпуклых A и B.
Лемма 4.5. A » B  A*(p) > B*(p) при p » 0, A*(p) < B*(p) при 0 » p.
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Пусть A » B, x  B. Тогда найдется v  A такой, что
v » x . Поэтому при p » 0 имеем: p  x < p  v < A*(p). Максимизируя левую часть по
x, получим B*(p) < A*(p). Случай 0 » p рассматривается аналогично.
2. Пусть A не доминирует B. Тогда возможны два случая: либо найдется
точка x  B, которая не доминируется никакой точкой A, либо найдется точка
x  A, которая не доминирует никакой точки B.
Рассмотрим первый случай. Пусть K = { v | v » x }. Очевидно, что K выпукло и
не имеет общих точек с выпуклым множеством A. Поэтому существует
гиперплоскость, проходящая через x и отделяющая внутренность K от A. Это
значит, что найдется такой вектор p  0, что p(v - x) > 0 v  K, p(v - x) < 0 v  A.
Но в K имеются точки v со сколь угодно большими координатами, поэтому
первое неравенство возможно только, если p » 0. Теперь из второго неравенства
находим: px > pv v  A, и, поскольку A замкнуто, то px > A*(p). Но
B*(p) > px, поэтому B*(p) > A*(p). Аналогично, во втором случае будет
A*(p) > B*(p) при некотором p « 0. ■
Лемма 4.6. | A*(p) - A*(q) | < ||A*|||| p - q ||.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу субаддитивности опорной функции
67
A*(p) < A*(p - q) + A*(q).
Поэтому
A*(p) - A*(q) < A*(p - q) < ||A*|||| p - q ||.
Аналогично A*(q) - A*(p) < ||A*|||| p - q ||. ■
Следующая лемма заслуживает самостоятельного названия.
Лемма о вложенных выпуклых множествах [38]. Пусть Ai  n —
выпуклые замкнутые множества, A0  A1  ...  Ak, (Ai-1, Ai) = di, и множество Ak
имеет диаметр D. Тогда d1 + ... + dk < CDk1-1/n, где константа C зависит только от
n.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для n = 1 утверждение леммы тривиально: сумма
расстояний между вложенными друг в друга отрезками не больше длины
последнего отрезка Ak, т.е. D. Поэтому будем считать, что n > 1. Далее, в отличие
от всех других построений в этой книге, будем доказывать лемму, используя
обычную евклидову норму в n, и рассматривая опорные функции на
единичной сфере S этой же нормы (это повлияет только на значение константы
C). Поскольку всякое тело диаметра 1 можно поместить в шар того же радиуса15,
то, изменив при необходимости масштаб и начало координат, мы можем
ограничиться случаем, когда D = 1, а Ak  S.
Пусть fi(p) — опорная функция к Ai. Поскольку все Ai  S, то |fi(p)| < 1 на S.
Кроме того, в силу леммы 4.6, | fi(p) - fi(q) | < || p - q ||. Обозначим hi = fi - fi-1. Тогда
hi > 0 в силу леммы 4.3 и | hi(p) - hi(q) | < 2|| p - q ||. Поскольку (Ai-1, Ai) = di, то
||hi|| = di в силу леммы 4.4, поэтому найдется точка pi  S такая, что hi(pi) = di.
Пусть  — обычная евклидова мера (“площадь”) на сфере S, A = {S}.
Положим V  g    g  p   dp и оценим W= V(h1) + ... + V(hk) = V(fk) - V(f0).
S
1. Поскольку |fi(p)| < 1 на S, то V(fi) < A и W < 2A.
2. Обозначим через T пересечение S с шаром ||p - pi || < di/3. Очевидно, что
{T} > Bdin 1 при любом pi и некотором B. Пусть p  T. Тогда, в силу свойств hi,
hi(p) > hi(pi) - 2|| p - pi || > di/3. Поскольку вне T функция hi неотрицательна, то
V  hi    hi  p   dp   hi  p   dp   di 3  T    B 3 din .
S
T
k
Отсюда следует, что 2 A  W    B 3 din . Утверждение леммы и значение
i 1
константы C получается отсюда применением известного неравенства для
средних:
1n
1 k n 
 di  k  k  di 
i 1
 i 1 
k
1n
k
11 n
 k n
  di 
 i 1 
1n
 6A 


 B 
k 11 n . ■
Его можно поместить и в шар меньшего радиуса. Нахождение минимального такого радиуса
составляет предмет так называемой проблемы Юнга.
15
68
Для n = 2 нами в [39] получена более точная и уже не улучшаемая по
порядку оценка, в которой показатель степени у k снижен до 1/3.
4.2. Критерий Гурвица
Многие величины в экономических исследованиях определяются
недостаточно точно и часто характеризуются лишь интервалами их возможных
значений. Такую ситуацию оказывается удобным считать частным случаем
более общего вида неопределенности — интервальной (set-uncertainty)16, когда
об эффекте проекта X известно только множество A = AX его возможных
значений (не обязательно интервал), но не информация о распределении
возможного эффекта на этом множестве. Это, по-видимому, один из самых
простых видов внутренней неопределенности. С ординалистских позиций он
изучался нами в [40].
Интервальная неопределенность существенно отличается от внешней,
поскольку причины ее возникновения иные. Чаще всего эффект проекта зависит
от какого-либо параметра, о котором известны лишь пределы его изменения и
который не может быть отнесен к “окружающей среде”. Например, для
реализации проекта разработки нефтяного месторождения надо бурить
скважины. Поскольку расположение нефтяных пластов точно неизвестно,
некоторые скважины могут оказаться “сухими” (не попадут в пласт), и тогда
вместо них придется бурить другие скважины в другом месте. Эффект такого
проекта зависит от количества “сухих” скважин. Верхнюю границу этого
количества (k) указать можно – она ограничивается только “достаточно плохо
изученными” участками месторождения. Каждое нефтяное месторождение
уникально и имеет свою степень изученности, поэтому вероятностное описание
данной ситуации невозможно в принципе. К тому же количество “сухих”
скважин — неопределенное целое число, так что множество соответствующих
возможных значений эффекта не является отрезком. Рассматривать ситуации с
разным количеством “сухих” скважин как разные состояния природы, в
принципе, можно, но неудобно, поскольку на самом деле при каждом состоянии
природы должно быть точно известно, какие именно скважины окажутся
“сухими”. Но тогда таких состояний будет не меньше, чем число всевозможных
выборок из k “потенциально опасных” скважин (2k). Поскольку величина k
может достигать нескольких сотен, количество состояний природы становится
настолько большим, что придать каждому из них какие-то субъективные
вероятности становится практически невозможным.
В рассматриваемой ситуации ожидаемый эффект проекта полностью
определяется множеством возможных эффектов проекта. Это множество
естественно считать ограниченным. Действительно, совершенно неясно, как
сравнить проект, эффект которого может принимать любые значения, большие
Английский термин произведен от слова “set” (множество). Он точнее, но не имеет русского
эквивалента: в русском языке слова “множество” и “много” — однокоренные, а выражение
“множественная неопределенность” имеет совершенно иной смысл.
16
69
1, с проектом, эффект которых может быть любым числом, большим 2. На этом
основании ограничимся только проектами, формализованными в виде
ограниченных подмножеств числовой оси. Так формализованный проект
назовем И-альтернативой (ИА). Класс таких альтернатив обозначим через .
Заметим также, что любое ограниченное подмножество A числовой оси может
рассматриваться как формализация какого-то проекта, т.е. как некоторая ИА.
Ожидаемый эффект этого проекта обозначим E(X). Выясним его структуру.
Проект, которому отвечает одноточечное множество A = {h}, естественно
рассматривать как детерминированный, имеющий эффект h и, следовательно,
тот же ожидаемый эффект. Это позволяет сформулировать аксиому
согласованности следующим образом:
E({h}) = h.
(4.4)
Чтобы придать смысл аксиоме монотонности, введем на  отношение
доминирования (“не хуже”) так, чтобы соответствующее определение было
применимо и для других видов неопределенности. Естественно считать, что
проект X доминирует проект Y (X » Y), если любой возможный эффект проекта X
не меньше какого-то возможного эффекта проекта Y, а любой возможный
эффект проекта Y не больше какого-то возможного эффекта проекта X. В свете
определений п.4.1 это означает, что X » Y, если AX » AY. Теперь аксиома
монотонности принимает обычный вид: A » B  E(A) > E(B).
Операция “ ” слияния И-альтернатив вводится совсем не так, как для ВА.
Пусть X и Y — независимые ИА, которым отвечают множества соответственно
A и B. В нашей ситуации неопределенность — внутренняя, поэтому при слиянии
обоих проектов любой возможный эффект проекта X может сочетаться с
любым возможным эффектом проекта Y. Но тогда возможными эффектами
проекта X  Y будут суммы точек x  A и y  B, т.е. точки множества A  B. Это
определение суммы (она называется суммой множеств A и B по Минковскому)
позволяет придать смысл аксиоме аддитивности (1.7): Е( A  B ) = Е(A) + Е(B).
Выясним общий вид правильного (т.е. удовлетворяющего трем введенным
аксиомам, см. п. 1.5) функционала Е.
Пусть A — произвольное ограниченное множество,
m  A   inf x; M  A   sup x .
(4.5)
xA
xA
Пусть d > M(A) - m(A), B — открытый отрезок c концами m(A) и M(A), D —
открытый отрезок (-d, d). Тогда в силу аддитивности:
Е(A) = Е( A  D ) - Е(D), Е(B) = Е( B  D ) - Е(D).
(4.6)
Однако, как легко убедиться, обе суммы A  D и B  D являются одним и
тем же открытым отрезком с концами m(A) - d и M(A) + d. Отсюда и из (4.6)
следует, что Е(A) = Е(B). Таким образом, величина Е(A) зависит только от m(A)
70
и M(A) и мы обозначим ее F(m(A), M(A)).
Пусть A » B. Легко видеть, что в этом случае m(A) > m(B) , M(A) > M(B).
Отсюда и из аксиомы монотонности следует, что F(m, M) — неубывающая
функция своих аргументов. Далее, при суммировании множеств их верхние и
нижние
грани
соответственно
суммируются,
поэтому
F(m + m, M + M) = F(m, M) + F(m, M) в силу аддитивности Е. Таким образом,
функция F(m, M) — аддитивная.
Учтем теперь, что всякая монотонная аддитивная функция двух
переменных — линейная, т.е. F(m, M) = M + m при некоторых неотрицательных
 и . Остается принять во внимание, что в силу аксиомы согласованности
F(h, h)=h, поэтому  = 1 - ,   [0, 1].
Легко проверить, что полученный функционал m (A) + (1-)M(A)
правильный, откуда вытекает следующая теорема.
Теорема 4.1. Функционал Е(X) на  будет правильным, если и только если
он является средним арифметическим взвешенным из экстремальных значений
возможного эффекта:
(4.7)
E  X    sup x  1    inf x , (  [0, 1]). ■
xA X
xA X
Критерий (4.7) носит имя Л. Гурвица, впервые предложившего его в [41].
При  = 1/2 он симметричен в том смысле, что Е(-X) = -Е(X). Однако такой
критерий навряд ли пригоден на практике, поскольку возможные расходы
обычно оцениваются выше, чем такие же по величине доходы. Поэтому в [1]
рекомендовано использовать критерий Гурвица с  = 0,3.
4.3. Обсуждение критерия Гурвица. Теорема Каннаи-Пелега
Основным недостатком критерия Гурвица считается то, что он учитывает
только экстремальные значения возможного эффекта проекта, игнорируя
"промежуточные". На этом основан ряд контрпримеров, демонстрирующих
“некорректность” критерия. Приведем с небольшими сокращениями такой
пример из [42], который по сути показывает, что проект A с возможными
эффектами 1, 3 и 5, должен быть лучше, чем проект B с возможными эффектами
1, 2 и 5. Участник игры получает запечатанный конверт, вытаскивая его из
большой урны17. Далее он направляется к одной из двух симпатичных девушек
— брюнетке или блондинке, которая вскрывает конверт и выплачивает
выигрыш: по красному билету — 5 рублей, по желтому — 1 рубль. По зеленому
Слово “урна” здесь может ввести в заблуждение, ибо обычно им пользуются при описании
механизма появления случайных результатов. В нашем же случае эффект проекта — неопределенный,
но не случайный. Поэтому здесь уместнее считать, что цвет билета в конверте определяется
неизвестным участнику правилом, например, в зависимости от выражения его лица. Ситуация же,
когда цвет билета — случайный, но вероятности появления разных цветов неизвестны, отвечает
другому типу неопределенности и будет рассмотрена в п. 7.3.
17
71
билету брюнетка выплачивает 2 рубля, а блондинка 3 рубля. Если участникам
игры известны ее правила и у них нет никакой информации о количестве
билетов каждого цвета в урне, то представляется, что их рациональное
экономическое поведение заключается в том, чтобы с конвертом идти к
блондинке. Между тем расчет по критерию Гурвица дает одинаковые значения
ожидаемого эффекта в обоих случаях, что, как сказано в [42], “плохо
согласуется как со здравым смыслом, так и с теорией”. Между тем, “здравый
смысл” базируется только на интуитивных представлениях, а на них не всегда
можно полагаться. И в математике и в естественных науках известны случаи,
когда интуиция обманывает, подсказывая неверные решения. Это относится и к
данной ситуации.
Начнем с того, что и "обычный" критерий математического ожидания
случайного эффекта тоже страдает указанным недостатком, хотя и не в такой
мере. Действительно, пусть эффекты проектов X и Y зависят от случайного
параметра, равномерно распределенного на открытом отрезке (0,1). При этом,
если параметр принял значение z, то эффект проекта X также составит z. Эффект
проекта Y устроен иначе: он равен z+1, если число z рациональное, и z в
противном случае. Возможные эффекты проекта Y здесь плотно заполняют
отрезок (0,2), хотя математические ожидания эффектов у обоих проектов
одинаковы.
Вернемся теперь к указанным выше проектам A и B и приведем ряд
подтверждений их равноэффективности.
Начнем с того, что формулировка примера недостаточно четкая. Если после
вытаскивания конверта участник может пойти либо к брюнетке, либо к
блондинке, то такая неопределенность является не внутренней, а внешней.
Действительно, здесь состояние природы определено содержимым конверта и
не зависит от решения участника, как и должно быть в ситуации внешней
неопределенности. Но тогда, приписав трем цветам билета любые
положительные субъективные вероятности, участник убедится, что проект B
лучше.
Однако легко изменить пример так, чтобы он относился уже к внутренней
неопределенности. Для этого примем, что участник сначала решает, к какой из
девушек он пойдет, а затем вытаскивает конверт из урны, стоящей перед ней.
Учтем, кроме того, что в условиях интервальной неопределенности говорить о
вероятностях тех или иных ситуаций нельзя (данный пример можно изложить
иначе, приняв, что вероятности тех или иных выигрышей существуют, но
неизвестны участнику — эта ситуация рассматривается в п. 7.3).
1. Пусть E — критерий ожидаемого эффекта, растущий с ростом
промежуточных значений эффекта, так что E(A) > E(B). Пусть C — проект,
эффект которого может составлять только 1 или 5. От того, что мы скажем, что
его возможный эффект имеет три значения 1, 1 и 5, ожидаемый эффект проекта
не изменится — мы и так знаем, что эффект может быть равен единице, и от
повторения этого эффект 1 не сделается “более возможным”, а проект не станет
72
менее эффективным, чем C (обратим внимание, что здесь ситуации внешней и
внутренней неопределенности существенно различаются — два сценария с
эффектом 1 в условиях внешней неопределенности рассматриваются как
разные, тогда как в условиях внутренней неопределенности они
отождествляются). Тем не менее, обозначим полученный проект через D. Тогда
E(D) = E(C). То же справедливо и для проекта E с возможными эффектами 1, 5 и
5: E(E) = E(C). Увеличив до 2 второе из возможных значений эффекта проекта D,
мы получим проект B с возможными эффектами 1, 2 и 5. Если критерий E
действительно такой “хороший”, как мы предположили, то проект B должен
стать более эффективным, чем C: E(B) > E(D) = E(C). Однако тот же проект B
можно получить, уменьшив второе из возможных значений проекта E. При этом
проект должен стать менее эффективным: E(B) < E(E) = E(C). Таким образом,
E(B) > E(С) > E(B), что невозможно. То же самое будет и с проектом A. ■
Те же рассуждения можно “перевести на язык” упомянутой в примере
игры. Пусть, помимо прекрасных девушек, участник игры может обратиться к
не менее прекрасным юношам — брюнету и блондину, поступающим
аналогично, но выплачивающим по зеленым билетам соответственно 1 и 5
рублей. “Здравый смысл” подсказывает, что идти к брюнету хуже, чем к
брюнетке, а к блондину — лучше, чем к блондинке. Между тем, конечный
результат один и тот же — участник получит либо 1 рубль, либо 5 рублей. Тот
факт, что блондин выплачивает 5 рублей по красным и зеленым билетам, тогда
как брюнет — только по красным, значения здесь не имеет, ибо мы имеем дело
с не повторяющимся событием, и не знаем, чего больше — красных и зеленых
билетов в урне у блондина или красных билетов — в урне у брюнета. Обратим
внимание, что наш вывод не изменится даже, если мы разрешим участнику как
угодно переставить урны, стоящие перед разноцветными юношами и
девушками.
2. Пусть по проекту C участник по билету любого цвета получает 1 рубль,
по проекту D — получает 2 рубля по зеленому билету и 1 рубль — по билетам
других цветов. Очевидно, что проект D лучше. Изменим теперь ситуацию,
сказав, что по красным билетам участник получит 5 рублей. Проекты C и D при
этом превратятся в проекты E (с возможными эффектами 1 и 5) и B, но лучший
из них останется лучшим. Таким образом, проект B будет лучше E.
Пусть теперь по проекту F участник по билету любого цвета получает 5
рублей, по проекту G — получает 3 рубля по зеленому билету и 5 рублей — по
билетам других цветов. Очевидно, что проект F лучше. Изменим теперь
ситуацию, сказав, что по желтым билетам участник получит 1 рубль. Проекты F
и G при этом превратятся в проекты E (с возможными эффектами 1 и 5) и A, но
лучший из них останется лучшим. Таким образом, проект A оказывается хуже
проекта E, который, как показано выше, хуже, чем B. Поэтому, вопреки нашим
представлениям, проект A оказался хуже, а не лучше B. ■
3. Пусть K — проект, эффект которого может принимать только значения 1,
2 или 3. Тогда реализовать совместно проекты A и K выгоднее, чем B и K. Но
73
легко убедиться, что возможные эффекты у проектов A K и B K одни и те же
(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), стало быть ожидаемый эффект у них одинаков. На “игровом”
языке это выглядит так. Предложим участнику игры получить у организатора
игры другой билет с указанием суммы выигрыша — 1, 2 или 3 рубля. Тогда
общий его выигрыш по двум билетам может быть любым числом от 2 до 8
рублей, независимо от того, к какой из девушек он подойдет. ■
Но, может быть, игнорирование промежуточных значений эффекта вызвано
слишком жесткими требованиями к критерию? Ответ на этот вопрос получен
Я. Каннаи и Б. Пелегом (Y.Kannai, B.Peleg) в малоизвестной российскому
читателю работе [43], посвященной поиску “хороших” правил сравнения
И-альтернатив достаточно общего вида.
Рассматривается произвольное множество , на котором имеется линейное
упорядочение, т.е. бинарное отношение “” (“не хуже”), обладающее тремя
свойствами:
1) полнота: если x, y  , то x  y или y x (отсюда, в частности, вытекает
рефлексивность отношения “”: x  x x  );
2) транзитивность: если x  y, y  z, то x  z;
3) антисимметричность: если x  y, y  x, то x = y.
Например, в роли  может выступать множество вещественных чисел  c
отношением “>” на нем (множество
упорядоченных по величине их эффекта).
детерминированных
проектов,
Введем на  отношение “” (“лучше”). А именно, скажем, что x  y, если
x  y и x  y. Легко видеть, что это отношение транзитивно.
Пусть  — множество непустых конечных подмножеств . Примером
является множество И-альтернатив (проектов в условиях интервальной
неопределенности), каждая из которых характеризуется конечным множеством
возможных значений эффекта. Хотелось бы, чтобы любые элементы  (мы
обозначаем их A , B ,) тоже можно было бы сравнивать и упорядочивать. Для
этого на  должно быть задано свое полное, рефлексивное и транзитивное
отношение предпочтения “” (“не хуже”). Такое отношение, не обязательно
антисимметричное, называется совершенным упорядочением (различные виды
отношений предпочтения определяются и рассматриваются, например, в [5, 8]).
Допустим, что такое отношение существует. Тогда оно естественным образом
порождает отношения “” (“лучше”) и “~” (“эквивалентно”):
74
A  B, если A  B, но неверно, что B  A;
A ~B, если A  B и B  A.
Легко видеть, что оба эти отношения транзитивны.
Введем две аксиомы, обеспечивающие взаимную согласованность
упорядочений множеств  и . Первая из них требует, чтобы при включении в
непустое множество A нового элемента, лучшего (худшего) по сравнению со
всеми остальными, это множество “улучшалось” (“ухудшалось”).
КП1. Если включить в непустое множество A еще один элемент, лучший
(худший), чем все остальные, то оно “улучшится” (“ухудшится”). А именно,
если множество {a1 ,. . . , am} непустое, то:
xai i{x,a1,...,am}{a1,...,am};
aix i{a1,...,am}{x,a1,...,am}.
Из этой аксиомы вытекает следующая лемма, утверждающая, что
отношения между одноэлементными множествами будут такими же, как и
между их элементами (это позволяет считать детерминированные проекты
частными случаями недетерминированных).
Лемма 4.7. Если x, y  , x  y, то { x }  { y }.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Поскольку множество { y } не пусто и x  y, то в силу
КП1 должно быть { x , y }  { y } . С другой стороны, множество { x } не пусто и
x  y, так что в силу КП1 должно быть { x }  { x , y } . Но отношение “”
транзитивно, поэтому { x }  { y }. ■
Вторая аксиома требует, чтобы лучшее из двух множеств не становилось
худшим при включении в оба множества одного и того же нового элемента
(возможна и “обратная” формулировка — если два проекта могут дать один и
тот же результат x, то после исключения этой возможности лучший проект не
может стать худшим).
КП2. Если B, C  , B  C и x  B ∩ C, то { x } ∩ B  { x } ∩ C.
В силу этой аксиомы и леммы 4.7, например, проект {1,3,4} будет лучше
проекта {1,2,4}, что хотелось бы критикам критерия Гурвица.
Из введенных аксиом вытекает следующая лемма, напоминающая п.1
вывода критерия Гурвица (п.2 приведенного выше обсуждения “контрпримера”,
по существу, воспроизводит ее доказательство).
Лемма 4.8. Множества, различающиеся только “промежуточными”
элементами, эквивалентны: если A = {a1 ,. . . , am} — непустое конечное
множество, причем a1  a2  ...  am-1  am, то A ~ { a1, am}.
75
Д о к а з а т е л ь с т в о . При m = 2 утверждение леммы тривиально. Пусть m > 3.
Поскольку элементы ai перенумерованы в порядке “ухудшения” и в силу КП1
имеем: { a1 }  { a1 , a2 }, { a1 }  { a1 , a2 , a3 }, . . . , { a1 }  { a1 ,. . . , am-1 }. Включив am
в оба последних множества, в силу КП2 получим: { a1 , am }  { a1 ,. . . , am } = A .
Аналогично найдем { am-1 , am }  { am }, . . . , { a2 ,. . . , am }  { am }. Включив a1 в оба
последних множества, в силу КП2 получим: A = { a1 ,. . . , am }  { a1 , am }.
Таким образом, { a1 , am }  A  { a1 , am }, так что A ~{ a1 , am }. ■
Ответ на вопрос, как устроено “хорошее” отношение предпочтения “”,
дается следующей теоремой.
Теорема 4.2. (Каннаи-Пелег, [43]). Если в множестве  не менее 6
неэквивалентных элементов, то на нем не существует полного, транзитивного и
рефлексивного отношения “”, удовлетворяющего аксиомам КП1-КП2.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть, вопреки утверждению теоремы, на  существует
отношение “” с указанными свойствами. Возьмем 6 элементов  таких, что
a6  a5  ...  a1, и сравним множества { a4 } и { a2 , a5 }. Результат может быть
двояким: либо { a4 }  { a2 , a5 }, либо { a2 , a5 }  { a4 }. Теорема будет доказана,
если мы покажем, оба эти случая невозможны, т.е. указанные множества
несравнимы.
1. { a4 }  { a2 , a5 }. Тогда { a1 , a4 }  { a1 , a2 , a5 } в силу КП2. При этом, по
лемме 4.8, левая часть здесь эквивалентна { a1, a2, a3, a4 }, а правая —
{ a1, a2, a3, a4, a5 }, поэтому { a1, a2, a3, a4 }  { a1, a2, a3, a4, a5 }, что невозможно: a5
“лучше”,
чем
a1, a 2, a3, a4 ,
и
в
силу
КП1
должно
быть
{ a1, a2, a3, a4, a5 }  { a1, a2, a3, a4 }.
2. { a2 , a5 }  { a4 }. Но a4  a3, так что { a4 }  { a3 } в силу леммы 4.7.
Поэтому { a2 , a5 }  { a3 }. Включив a6 в оба множества и используя КП2,
получаем
{ a2 , a5 , a6 }  { a3 , a6 }.
Но,
в
силу
леммы
4.8,
{ a2 , a5 , a6 } ~ { a2, a3, a4, a5, a6 },
{ a3 , a6 } ~ { a3, a4, a5, a6 }.
Поэтому
{ a2, a3, a4, a5, a6 }  { a3, a4, a5, a6 }, что невозможно: a2 “хуже”, чем a3, a4, a5, a6 , и
{ a3, a4, a5, a6 }  { a2 , a3, a4, a5, a6 } в силу КП1.
Несравнимость { a4 } и { a2 , a5 } доказывает, что “хорошо” согласовать
упорядочения множеств  и  нельзя. ■
76
4.4. Принцип максимума энтропии
В ситуации интервальной неопределенности нам известно лишь множество
возможных значений эффекта проекта, но не вероятностное распределение (ВР)
на нем. При этом появляется желание как-то задать это распределение и, тем
самым, свести интервальную неопределенность к вероятностной. В этих целях в
[44, 45] предложен принцип максимума энтропии (maximum entropy principle,
принцип Гиббса-Джейнса): на множестве возможных значений эффекта
проекта надо задать то ВР, которое имеет наибольшую энтропию (в теории
информации она трактуется как мера неопределенности), после чего
использовать критерий математического ожидания (см. также [46]).
Так, для конечного множества возможных эффектов {a1 ,. . . , an} нужно
выбрать ВР {p1 ,..., pn} с максимальной “дискретной” энтропией H    pmlnpm .
m
Легко видеть, что такое ВР будет равномерным и отвечающий ему ожидаемый
эффект будет средним арифметическим из всех ai. Аналогично, если эффекты
проекта заполняют отрезок [m , M], плотность p(x) искомого ВР должна
M
максимизировать “непрерывную” энтропию H    p x  lnp x  dx . Это ВР тоже
m
равномерное и ему отвечает ожидаемый эффект (m + M)/2. Казалось бы, что
принцип максимума энтропии приводит к вполне приемлемым результатам.
Однако при его применении возникают новые проблемы.
Поскольку неопределенность эффекта связана с множественностью
сценариев реализации проекта, принцип максимума энтропии можно
применять, считая случайным либо эффект проекта, либо сценарий его
реализации. Поэтому принцип максимума энтропии можно применять либо к
эффектам, либо к сценариям. Увы, оба варианта плохи. Во-первых,
“оптимальное” ВР может не существовать. Так будет, если множество
сценариев (или возможных эффектов проекта) счетное. Во-вторых, этот
принцип может “игнорировать” отдельные важные сценарии или значения
возможного эффекта. Например, если при “нормальных” сценариях реализации
проекта его эффекты лежат на отрезке (10, 20), а при “аварии” эффект составит
-100, “дискретная” энтропия не имеет смысла, а максимизация “непрерывной”
приведет к распределению, приписывающему “аварийному” эффекту нулевую
вероятность. Кроме того, оба варианта принципа не обеспечивают роста
ожидаемого эффекта при улучшении проекта. Приведем примеры. Первые два
относятся к принципу максимума энтропии для эффектов, два следующих – к
аналогичному принципу для сценариев.
Пример 4.2. Разные сценарии реализации проекта отличаются значениями
неопределенного параметра x, которые могут лежать между 0 и 1. При сценарии
с параметром x эффект проекта равен x. Поэтому, используя принцип
максимума энтропии для эффектов, мы должны принять, что эффект проекта
77
равномерно распределен на (0, 1), так что ожидаемый эффект будет равен 1/2.
Пусть теперь проект улучшили и при сценарии с параметром x его эффект стал
равен 2x - x2. Поскольку возможные значения эффекта образуют тот же отрезок
(0, 1), данный принцип приводит к тому же значению ожидаемого эффекта. ■
Пример 4.3. Два эксперта оценивают проект, ориентируясь на разные
теории, описывающие технологический процесс, учитывая неопределенность
некоторых его параметров. По теории А эффект проекта меняется в пределах от
10 до 30, теория Б дает для его возможных значений интервал от 90 до 120 (о ВР
в этих интервалах и о вероятностях справедливости научных теорий ничего не
известно). Здесь множество A возможных значений эффекта состоит из двух
отрезков (10, 30) и (90, 120) общей длиной 50. ВР на A, имеющее наибольшую
энтропию, оказывается и здесь равномерным. Вероятность “попадания” эффекта
в интервал (10, 30) при этом будет равна 20/50 = 0.4, а для интервала (90, 120) эта
вероятность будет 0,6. Легко видеть, что такому ВР отвечает математическое
ожидание эффекта 0.4(10 + 30)/2 + 0.6(90 + 120)/2 = 71.
Пусть теперь технические решения проекта улучшены, отчего согласно
теории А все возможные эффекты проекта выросли в 1.5 раза, согласно теории Б
— увеличились на 3. Казалось бы, ожидаемый эффект должен вырасти. Однако
теперь возможные значения эффекта образуют два отрезка (15, 45) и (93, 123)
равной длины 30, поэтому каждый из них имеет вероятность 0.5.
Математическое
ожидание
эффекта
при
этом
составит
0.5(15 + 45)/2 + 0.5(93 + 123)/2 = 69 < 71. Итак, при улучшении проекта все
возможные значения эффекта увеличились, а ожидаемый эффект, исчисленный
данным методом, вопреки здравому смыслу уменьшился. ■
Пример 4.4. Имеется однопараметрическое семейство сценариев
реализации проекта А. При сценарии с параметром x эффект проекта равен 16x.
О величине x известно только, что она лежит между 0 и 1.
Используя принцип максимума энтропии для сценариев, мы должны
принять, что параметр x равномерно распределен на [0, 1], и тогда ожидаемый
эффект проекта будет равен 8.
После улучшения проект А превратился в более эффективный проект Б с
эффектом 16x + y, где y — другой неопределенный параметр, возможные
значения которого лежат между 1 и 3 - 2x. Теперь сценарии реализации проекта
Б определяются вектором (x , y), чьи возможные значения образуют множество
{0 < x < 1, 1 < y < 3 - 2x}. Вероятностное распределение вектора (x , y) на этом
множестве, имеющее максимальной энтропию, также будет равномерным и, как
легко видеть, при этом распределении величина 16x + y будет иметь
математическое ожидание 7 < 8, так что данный принцип потребует от нас
считать проект Б менее эффективным, чем А.
Между тем, формула Гурвица даст здесь корректные результаты, т.к. у
проекта А экстремальными значениями эффекта будут 0 и 16, у Б — 1 и 17. ■
Мы видим, что принцип максимума энтропии не согласуется с правилами
78
рационального экономического поведения (не выполняется аксиома
монотонности), так что данная попытка сведения интервальной
неопределенности к вероятностной оказывается неудачной.
4.5. Проекты с векторными интервальными результатами
Рассмотрим теперь интервальную неопределенность для проектов,
результаты которых разнородны и потому описываются n-мерным вектором
(разные его компоненты отвечают разным результатам проекта и потому могут
выражаться в разных единицах, например, одни — в рублях, другие — в
тоннах). Здесь каждый проект или (векторная) ИА X характеризуется своим
ограниченным множеством A = AX точек из n. Класс таких альтернатив
обозначим через n. Мы увидим, что понятия и методы, которые потребуются
для построения “хороших” для этой ситуации критериев ожидаемого эффекта,
понадобятся и при исследовании других видов неопределенности.
Одноточечное множество в n мы трактуем как детерминированный
проект. Для двух таких проектов введем особые обозначения: 0 = {(0,. . . , 0)},
I = {(1,. . . , 1)}.
Отношение доминирования на n определено в п. 4.1. При слиянии
независимых проектов каждый возможный результат одного проекта
суммируется с каждым возможным результатом другого, что означает
суммирование множеств по Минковскому
A  B = { x + y | x  A, y  B}.
Изменению масштаба проекта отвечает умножение множества на
неотрицательное число, т.е. гомотетия: tA = { tx | x  A }. Операции вычитания в
n нет, но одноточечные множества можно умножать на отрицательные числа,
поэтому, например, выражение A  (-I) имеет смысл. Расстояние между
множествами (по Хаусдорфу) мы определяем формулой (4.2).
Некоторые процессы изменения ИА во времени (сходные со случайными
процессами) описаны в разд. 8.
Ожидаемый эффект проекта X мы рассматриваем как функционал от AX и
обозначаем E(AX) или E(X). Как и раньше, потребуем, чтобы этот функционал
был правильным. При этом аксиомы монотонности и аддитивности, в свете
введенных определений, останутся такими же, как и в п. 4.2, однако аксиому
согласованности придется, не нарушая Утверждения 1.1, слегка изменить. Дело
в том, что измерять ожидаемый эффект в единицах какого-то одного вида
результатов проекта неудобно и мы примем за “единицу измерения”
детерминированный проект I = { (1, . . . ,1) }.
Тогда аксиома согласованности примет вид:
E(tI) = t при всех t.
79
Утверждение 4.1. Функционал с указанными свойствами непрерывен в
метрике .
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть (A ,B ) < d. Тогда, как показано в п. 4.1,
A  (dI) » B » A  (-dI),
откуда
E(A) + E(dI) > E(B) > E(A) + E(-dI)
в
силу
монотонности и аддитивности. Теперь аксиома согласованности дает искомое:
|E(A) - E(B) | < d. ■
Лемма 4.9. Если B — выпуклое замыкание A, то E(B) = E(A).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть d — диаметр A, L = NB = B N, K = A N. Тогда
(K, L) < nd в силу леммы 4.2, и L  ndI » K » L  (-n)dI. Но критерий E
правильный,
так
что
E (L ) + nd > E (K ) > E (L ) - nd.
Отсюда
nd > | E (K) - E (L) | = N| E (A) - E (B) |. При N это дает: E(B) = E(A). ■
Таким образом, всякое множество равноэффективно со своим выпуклым
замыканием. Выясним поэтому структуру функционала E (A) для ограниченных
выпуклых замкнутых множеств A  n.
Пусть  — множество положительно однородных и выпуклых вниз
функций. Поскольку каждая f   является опорной для какого-то выпуклого
замкнутого множества f*, определим функционал E*, положив E*(f) = E(f*) для
f  . Пусть L — линейная оболочка  ( не является линейным
пространством, поскольку разность выпуклых функций может не быть
выпуклой). Распространим E* на L с помощью формулы: E*(f - g) = E*(f) - E*(g).
Нетрудно убедиться, что это определение корректно — другому представлению
того же элемента отвечает то же значение функционала. Далее, легко убедиться,
что функционал E* на L — положительно однородный, аддитивный и, в силу
утверждения 4.1, непрерывный в равномерной метрике, а следовательно —
линейный. По теореме Хана-Банаха [28] его можно продолжить на более
широкое пространство непрерывных функций на Q с сохранением линейности.
Тогда, по теореме Ф. Рисса [28], он примет вид интеграла Стилтьеса от функции
f по какой-то функции ограниченной вариации (p), либо, что то же самое,
интеграла Лебега от функции f по некоторой счетно-аддитивной мере  на Q:
E   f    f  p  d   p    f  p    dp  . Выясним свойства этой меры.
Q
Q
Рассмотрим симплексы: T = { p | p » 0, || p ||* = 1 } и -T = { - p | p  T}, трактуя
векторы p  T как нормированные цены результатов ИА. При этом px имеет
смысл совокупной ценности этих результатов (если компонентами вектора x
являются объемы производимых и потребляемых ресурсов, то px будет чистым
доходом от этого производства в ценах p).
80
Пусть f(p) > g(p) при p  T, f(p) < g(p) при p  -T. Тогда f* » g* в силу леммы
4.5, откуда в силу монотонности E*(f) > E*(g). Это значит, что при увеличении f
на T или уменьшении ее на -T значение E*(f) не уменьшается, а функциям,
совпадающим на T ∩ (-T), отвечают одни и те же значения функционала.
Поэтому мера  неотрицательна на T, неположительна на -T и равна нулю вне
T ∩ (-T), так что E   f    f  p    dp    f  p    dp  . Заменив во втором
T
T
интеграле p на -p и обозначив получившуюся вторую меру через -, получим:
E   f    f  p    dp    f   p    dp  .
(4.8)
T
T
Поскольку E(I) = 1 в силу аксиомы согласованности, то E*(I*) = E*(pI) = 1.
Далее, функция pI равна 1 на T и -1 на -T, откуда и из (4.8) следует, что
{T} + {T} = 1. Положив  = {T}, представим меры  и  в виде:  = ,
= (1 - ). Тогда   [0,1], а меры  и  неотрицательны и {T} = {T} = 1. Это
позволяет рассматривать  и  как вероятностные меры на T.
Подставим теперь в (4.8) f = A* и учтем, что в силу (4.3)
A *  p   sup p  x, A *   p    inf p  x . Мы получаем:
xA
xA


E  A      sup p  x    dp   1      inf p  x    dp  .
(4.9)
 xA

x

A


T
T
Легко проверяется, что любой такой функционал на классе ИА является
монотонным, аддитивным и согласованным. Поэтому справедлива следующая
теорема (близкий результат получен в [47, гл.4] с использованием более
сложного математического аппарата).
Теорема 4.3. Функционал ожидаемого эффекта E на классе ИА является
правильным, если и только если он имеет вид (4.9), т.е. является средним
арифметическим взвешенным из математических ожиданий экстремальных
совокупных ценностей результатов ИА, исчисленных в некоторых случайных
нормированных ценах. ■
В частности, для детерминированной ИА A = {x} из (4.9) имеем:
E(A) = qx+(1-)qx = [q + (1-)q]x = qx,
(4.10)
где q   p  dp ; q   p  dp  . Такой вид критерия согласуется с формулой
T
T
(1.9) п. 1.5.
Однако, если A = {x, y}, x » y, то (4.9) дает: E(A) = px + (1-)py. Здесь
первое и второе слагаемые определяются, вообще говоря, при разных ценах на
результаты ИА (если вектор результатов проекта состоит из его чистых доходов
в разные моменты времени — при разных коэффициентах дисконтирования) —
это не совсем то, что хотелось бы получить. Поэтому принцип п. 2.2 сведения
неопределенности результатов проекта к неопределенности его эффекта
81
оказывается не более чем эвристическим. Он будет оправдан, только если
функционал удовлетворяет дополнительным требованиям. Наиболее простое из
них выражается аксиомой инвариантности при объединении, сходной с
аксиомой КП2 (п. 4.3):
Если x  A, y  A, E({ x }) = E({ y }), то E({ x } ∪ A ) = E({ y } ∪ A ).
Утверждение 4.2. Функционал (4.9) будет инвариантен при объединении,
если и только если при некоторых   [0, 1], q  T будет:
(4.11)
E  A    sup q  x  1    inf q  x ,
xA
xA
Д о к а з а т е л ь с т в о . Поскольку функционал (4.11) инвариантен при
объединении, остается доказать, что любой функционал (4.9) с этим свойством
имеет вид (4.11). Заметим для этого, что, в силу (4.10), E({ x }) = q  x. В
частности, E({hI}) = q  (hI) = h. Поэтому, если q  x = h, то E({ x }) = E({hI}). Пусть
A = {x1 ,. . . , xm} — любое конечное множество, hi = q  xi. Тогда, поочередно
заменяя каждое xi на hiI и используя инвариантность к объединению, получим:
E(A ) = E({ h1I, x2,. . . , xm}) = . . . = E({ h1I,. . . , hmI }). Но для одномерных множеств
{ h1I ,. . . , hmI } правильный критерий ожидаемого эффекта должен быть
E  A    sup hi  1    inf hi , что
критерием Гурвица (4.7). Поэтому
i
i
подтверждает (4.11). Остается заметить, что любое ограниченное множество A
является пределом конечных, а функционалы E и (4.11) непрерывны. Поэтому
формула (4.11) справедлива и в этом случае. ■
4.6. Смешанная — внешняя и интервальная неопределенность
Неопределенность реальных проектов обычно устроена достаточно сложно
и не описывается какой-то одной моделью. В частности, одни параметры
проекта могут зависеть от неизвестного состояния природы, а другие — от
каких-то факторов внутренней неопределенности. Ниже будет рассмотрена
ситуация такого рода.
Пусть S — однородное пространство состояний природы, которые теперь
определяют результаты проекта X неоднозначно: при состоянии s под влиянием
факторов интервальной неопределенности эффект проекта может быть любой
точкой некоторого множества A (s) = AX(s). Примем, что семейство {AX(s)}
равномерно ограничено, т.е. существует такое C, что A (s)  [ -C, C] при всех s.
Такую формализацию проектов назовем (одномерной) ВИ-альтернативой
(ВИА). Чтобы придать смысл аксиомам согласованности, монотонности и
аддитивности, введем следующие определения.
ВИА, у которой A (s)  {f} при всех s, мы отождествляем с
детерминированным проектом, имеющим эффект f.
ВИА, у которой все множества A (s) одноточечные, можно отождествить с
рассмотренными в главе 3 В-альтернативами. Например, такой будет ВИА 1V,
82
которая дает эффект 1 при s  V и 0 при s  V.
Будем говорить, что ВИА X доминирует ВИА Y (X » Y), если AX(s) » AY(s)
при всех s.
Слияние ВИА X  Y определим как ВИА, имеющую при каждом состоянии
природы s множество возможных эффектов AX(s)  AY(s).
Как и раньше, нас интересуют правильные (т.е. монотонные,
согласованные и аддитивные) критерии ожидаемого эффекта Е(V) на классе
ВИА. Их структура устанавливается аналогично п. 4.2.
Для любой ВИА X определим две ограниченные функции:
(4.12)
m  s, X   inf x; M  s, X   sup x .
xA X  s 
xA X  s 
Как и в п. 4.2, легко убедиться, что Е(X) зависит только от этих функций,
т.е. является функционалом, определенным на парах (m, M) ограниченных
функций на S. Легко проверить, что такой функционал монотонен и аддитивен,
и
в
силу
п. 3.2
—
представим
интегралом
Радона:
E  X    M  s, X   ds   m s, X  d ds , где  и  — некоторые
S
S
неотрицательные К-меры на S. При этом (V) будет ожидаемым эффектом
проекта, у которого m(s)  0, M(s) = 1V(s), а -(V) —ожидаемым эффектом
проекта, у которого M(s)  0, m(s) = - 1V(s).
Если X — детерминированная ВИА с эффектом 1, то отсюда и из аксиомы
согласованности найдем: {S} + {S} =1. Но {S} > 0, {S} > 0, так что число
  {S} лежит между 0 и 1. Тогда  = , = (1-), где  и  — НК-меры.
Теперь, в обозначениях (3.7), Е(X) принимает вид:
(4.13)
E  X   M  M  s, X     1    M  m  s, X    .
Легко проверяется, что такой функционал будет правильным при любых
усредняющих НК-мерах  и  и   [0,1]. Таким образом, справедлива
следующая теорема.
Теорема 4.4. Функционал Е на классе ВИА правильный, если и только если
он имеет вид (4.13), где  и  — НК-меры,   [0,1]. ■
83
5.
ПРОЕКТЫ С НЕЧЕТКИМИ РЕЗУЛЬТАТАМИ
5.1. Нечеткие величины и нечеткие альтернативы
В традиционном понимании множество A определяется своими
элементами, и принадлежность x к нему выражается характеристической
функцией 1A (x), равной 1 для xA и 0 при xA. Однако подобная дихотомия не
всегда имеет место в реальной жизни. Неясно, например, можно ли отнести 34летнего человека к множеству молодых людей, а человека ростом 180 см к
множеству высоких. Л. Заде в [48] ввел в рассмотрение нечеткие (размытые,
fuzzy) множества, где граница между входящими и не входящими в них
элементами размыта. Степень принадлежности  A (x) объекта x к такому
множеству A здесь может быть любым числом от 0 до 1. Сама функция A при
этом называется функцией принадлежности (ФП). Невозможность точно
отнести элемент к множеству есть проявление неопределенности, которая
связана не со случайностью, а с принципиальной невозможностью
традиционного описания размытого множества.
Рассмотрение нечеткой неопределенности проектов требует иного “языка”.
При этом более удобным оказывается говорить не о нечетких множествах, а о
нечетких результатах и эффектах проекта или о нечетких скалярных или
векторных величинах (НВ). Скалярная НВ X характеризуется при этом функцией
X(x) на  со значениями из [0, 1], что согласуется с трактовкой [49] нечеткого
числа, как нечеткого подмножества числовой оси. Тем самым, любые x
считаются “возможными” значениями НВ X, но каждое — со своей “степенью
возможности” (в данном случае — степенью принадлежности). Нечеткие
величины принципиально отличаются от случайных. Так, случайная величина,
равномерно распределенная на отрезке (2, 4), примет значение 3 с нулевой
вероятностью. В то же время есть много НВ, у которых любое x  (2, 4) имеет
степень принадлежности 1. Далее, сумма вероятностей всех значений
дискретной случайной величины равна единице. Для степеней принадлежности
дискретных НВ это не так. Кстати, наличие таких НВ показывает, что степень
принадлежности нельзя трактовать и как плотность вероятностного
распределения. Однако в [50] степень принадлежности трактуется иначе:
эксперты сомневаются, принадлежит ли x к множеству A, и величина  A (x)
отражает вероятность того, что эксперт отнесет x к этому множеству. Ряд
методов практического определения ФП описан, например, в [49].
Введем основные определения (некоторые из них отличаются от принятых
в теории нечетких множеств [49,50]). Назовем носителем X множество
supp X = { x | X(x) > 0}. НВ X называется финитной, если ее носитель ограничен, и
нормальной, если ФП принимает значения, сколь угодно близкие к 1:
84
sup  X  x   1 . В этом и следующем п. мы рассматриваем только финитные НА.
x
Важными характеристиками НВ являются ее строгие и нестрогие лебеговы
множества (в [49] — множества -уровня): L (|X) = {x | X(x) > } и
K (|X) = {x | X(x) > } при   [0,1). У нормальных НВ они непустые. Любое из
семейств {K (|)} и {L (|)} определяет НВ однозначно. Учитывая, что
L(|X)  L(|X) при  > , определим L(|X) как предел L (|X) при ↗ 1.
Назовем НВ X замкнутой, если замкнут подграфик ее ФП — множество
{ (x,) | X(x) <  }. Легко видеть, что НВ X замкнута, если и только если ее ФП
полунепрерывна снизу, т.е.  X  x   lim  X  z  . При этом множества K (|X)
zx
будут замкнутыми, а отображение   K (|X) — полунепрерывным снизу, т.е.
K (|X) будет пределом K (|X) при ↗ . Отсюда следует, что K (1|X)  .
Замкнув подграфик ФП X или, что то же, заменив ФП X(x) на lim  X  z  ,
zx
мы превратим НВ X в замкнутую НВ
— замыкание X. Легко видеть, что
L(|X)  L(| ). Замкнутую НВ, у которой лебеговы множества выпуклы (т.е.
являются отрезками), назовем стандартной.
Формализацию эффекта проекта X в виде нормальной НВ назовем
нечеткой альтернативой (Н-альтернативой, НА). Детерминированный проект с
эффектом b мы отождествляем с НА Ib, у которой ФП = 1 при x = b и ФП=0 в
противном случае.
Попытаемся придать смысл функциональной зависимости Y = F(X) между
НВ. Пусть x — одно из возможных значений X, имеющее степень
принадлежности X(x). Казалось бы, F(x) должно быть возможным значением
нечеткой величины Y с той же самой степенью принадлежности. Скажем,
умножение X на константу t можно определить формулой: tX(x) = X(x/t). Однако
так определить X2 уже нельзя. Пусть X(1)=1/3, X(-1)=1/2. Тогда Y = X2 может
принимать значение 1, но неясно, какую степень принадлежности приписать
этому значению. В теории нечетких множеств в подобных случаях
ориентируются на максимальное значение (в данном случае — 1/2). Это
позволяет определить Y = F(X), если Y  v  = sup  X  x  .
x: F  x  v
Рассмотрим проект с нечетким эффектом X и функцию F(x), равную 0 при
x > 0 и 1 при x < 0. Тогда НВ Y = F(X) будет равна 0, если проект X эффективен и
1 в противном случае. При этом значение 1 имеет степень принадлежности
Эта
величина
(наибольшая
степень
Y (1) = sup  X  x   sup  X  x  .
x: F  x =1
x 0
принадлежности отрицательных эффектов) может рассматриваться как мера
риска данного проекта.
НВ могут быть и векторными. Так, нечеткий вектор Z = (X, Y)
85
характеризуется ФП Z(v, w), отражающей степень принадлежности пары (v, w) к
множеству возможных значений Z. В общем случае n-мерный нечеткий вектор
задается своей ФП, определенной на n, и это так же естественно, как описание
случайного вектора многомерным распределением вероятностей.
Расстояние между НВ определим исходя из введенных в п. 4.5 расстояний
между соответствующими лебеговыми множествами:


  X , Y   sup  L   X  , L   Y  .
01
(5.1)
Выше (пп. 4.1 и 4.5) мы ввели отношение доминирования (“не хуже”)
между множествами чисел или векторов. Такое отношение можно ввести и для
нечетких скалярных величин. Аналогично п. 4.1 скажем, что НВ X доминирует
НВ Y (X » Y), если:
 для любого значения x величины X со степенью принадлежности,
меньшей 1, найдется не большее значение y величины Y с не меньшей степенью
принадлежности, т.е. такое, что y < x; Y(y) > X(x);
 для любого значения y величины Y со степенью принадлежности, меньшей
1, найдется не меньшее значение x величины X с не меньшей степенью
принадлежности, т.е. такое, что x > y; X(x) > Y(y).
Примечание. Особая оговорка о том, что степень принадлежности меньше
1, позволяет устанавливать отношение доминирования для величин, у которых
верхняя грань ФП не достигается.
Нетрудно убедиться, что это определение эквивалентно следующему, более
простому и применимому как для скалярных, так и для векторных НВ: X » Y,
если L(|X) » L(|Y) при всех   [0,1]. Доминирование одномерных множеств
здесь понимается в смысле п. 4.1 (в теории нечетких множеств отношение
доминирования вводится иначе), многомерных — в смысле п. 4.5.
Независимость НВ в соответствии с теорией нечетких множеств
определяется следующим образом:
Нечеткие величины X, ... , Y называются (взаимно) независимыми, если
нечеткий вектор Z = (X, ... , Y) имеет функцию принадлежности
Z(v, ... , w) = min { X(v), ... , Y(w) }.
(5.2)
Примечание. В [50] такой вектор трактуется как декартово произведение нечетких
множеств X, ... , Y. Отметим также, что данное определение независимости не согласуется
с упомянутой выше вероятностной трактовкой ФП.
Функцию от нескольких НВ можно определить как функцию от одного
нечеткого вектора с независимыми компонентами:
Z: f(X1,...,Xm), если  Z  v  =
sup
v  f  x1 ,..., xm 


min  X1  x1  ,...,  X m  xm  .
Отсюда вытекает важное для нас определение суммы НА, формализующее
операцию слияния независимых проектов (оно применимо и в многомерном
86
случае):
Z : X  Y, если  Z  v  = sup min  X  x  , Y  y  .
x  y v
Пример 5.1. Независимые НВ распределены на отрезках соответственно
(1, 3) и (7, 9) и имеют там ФП, равные 1 на правой половине отрезков и 1/2 — на
левой. Легко проверяется, что их сумма может быть представлена аналогично
— это будет нечеткая величина, имеющая ФП, равную 1 на правой половине
отрезка (8, 12) и 1/2 — на его левой половине. У полусуммы рассмотренных
величин ФП будет равна 1 на правой половине отрезка (4, 6) и 1/2 — на его
левой половине. ■
Как видим, при усреднении независимых НВ разброс возможных значений
не уменьшается. Более того, легко проверить, что если k стандартных нечетких
величин независимы и имеют одну и ту же ФП, то их среднее арифметическое
имеет ту же самую ФП (для случайных величин при k по закону больших
чисел аналогичные средние в определенном смысле стремятся к
математическому ожиданию). Это еще одно принципиальное отличие нечетких
величин от случайных. Некоторые процессы изменения нечетких величин во
времени (сходные со случайными процессами) описаны в разд. 8.
Из определения суммы легко вывести следующее утверждение.
Утверждение 5.1. L( | X Y) = L( | X) + L( | Y) для любых X и Y,
K( | X Y) = K( | X) + K( | Y), если X и Y замкнуты.
Нетрудно доказать также, что, если функция f(x1,...,xm) непрерывна или
удовлетворяет условию Липшица по совокупности переменных, то такими же
будут и функция f(X1,...,Xm) от m нечетких переменных и функция одного
нечеткого переменного f(X,...,X).
Обратим внимание на следующую особенность определения функции от
нечетких переменных. Пусть f(x1,...,xm) — некоторая функция m переменных,
g(x) = f(x, ... , x). Тогда в общем случае g(X)  f(X, ... , X) для произвольных НВ X. В
частности, X  (-X)  I0.
Заметим, что НА, у которых ФП равна 1 на каком-то ограниченном
множестве A и в 0 вне его, соответствуют И-альтернативам, введенным в п. 4.2.
При этом определения отношения доминирования и операции суммирования
для ИА и НА оказываются согласованными.
Операцию k-кратного тиражирования НА определим, как и в п.4.1:
X k : X  ...  X . При этом Xk = kX для стандартных X.
k раз
Поставим в соответствие любой скалярной НВ X диполь — векторфункцию (m, M), определенную на отрезке [0,1], компоненты которой
(-минимальное и -максимальное значения X) являются своего рода “левой” и
“правой” обратными функциями к X(x):
87
m   X   inf x; M   X   sup x .
xL   X 
xL   X 
(5.3)
Легко видеть, что функции m( | X) и M( | X) равномерно ограничены по ,
непрерывны при  = 1, m( | X) с ростом  не убывает, M( | X) — не возрастает, и
m( | X) < M( | X). Кроме того, они полунепрерывны справа при  < 1.
Действительно,
если
бы
имело
место,
например,
неравенство
m( | X) < m( + 0 | X), то для любого m( | X) < y < m( + 0 | X) было бы  < X(y) < ,
что невозможно.
Любая вектор-функция (m, M) с указанными свойствами будет диполем
стандартной НВ, у которой функция принадлежности равна  < 1 на отрезках
[ m(-0), m()] и [ M(), M(-0)] и равна 1 на отрезке [m(1), M(1)]. Для векторфункции (m( | X), M( | X) ) эта процедура дает выпуклое замыкание X —
стандартную НВ Xc с тем же диполем. На рис.1 показаны ФП некоторой НВ X и
(пунктиром) ее выпуклого замыкания Xc.
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
Рис. 1.
Обратим внимание, что если НВ X замкнута, то при  > 0 точки m( - 0 | X) и
M( - 0 | X) имеют степень принадлежности , они принадлежат множеству
K (|X) и являются его границами.
Отметим также, что слиянию НА отвечает сумма диполей, а k-кратному
тиражированию НА — умножение компонент диполя на k.
Полезно иметь в виду, что нечеткими величинами удобно описывать
объекты, “степень возможности” которых задана в шкале порядка.
Действительно, изменим шкалу степеней принадлежности, заменив значения
(x) на v((x)), где функция v(x) строго монотонна, v(0) = 0, v(1) = 1. При таком
преобразовании сами НВ изменятся, но расстояния между ними сохранятся,
доминирующая НВ останется доминирующей, а сумма НВ перейдет в сумму
преобразованных НВ.
88
5.2. Правильные критерии ожидаемого эффекта
В этом п. мы рассматриваем только скалярные финитные НА. Как и
раньше, мы ищем правильные (согласованные, монотонные и аддитивные)
критерии их сравнения Е(X). Докажем три простые леммы.
Лемма 5.1. | Е(X) - Е(Y) | < (X, Y).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть (X, Y) < d. Тогда по определению отношения
доминирования и расстояния между НА имеем X  Id » Y » X  I-d. Но критерий Е
монотонный, так что Е(X) + d > Е(Y) > Е(X) - d. Отсюда при d ↘ (X, Y) получаем
искомое. ■
Лемма 5.2. НА X и ее выпуклое замыкание равноэффективны.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть Z — НА, ФП которой равна 1 на отрезке [-1, 1] и
0 вне его. Легко проверить, что Z  X = Z  Xc, поэтому Е(X) = Е(Xc) в силу
аддитивности Е. ■
Лемма 5.3. НА с совпадающими диполями равноэффективны.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу леммы 5.2 достаточно доказать утверждение
только для замкнутой НА X, имеющей диполь (m, M). Но все замкнутые НА с
теми же диполями имеют одно и то же выпуклое замыкание, поэтому
достаточно доказать, что Е(X) = Е(Xc).
Сравним НА Z = Xc  Xc = Xc2 и Y = X  Xc (обратим внимание, что НА Z
отвечает
одновременной
реализации
двух
независимых
проектов,
характеризуемых одной и той же ФП, а не двукратному осуществлению одного
и того же проекта).
Обозначим
m( - 0 | X) = p, M( - 0 | X) = q.
Тогда
K ( | Xc) = [p, q],
а
c
K( | Z) = 2 K( | X ) = [2p, 2q].
Далее,
K( | X)  [p, q],
так
что
c
K( | Y) = K( | X ) + K( | X)  [p, q] + [p, q] = K( | Z). Обратно, K( | X) содержит
двухточечное множество {p, q}, поэтому
K( | Y) = K( | Xc) + K( | X) : = [p, q] + {p, q} = [2p, 2q] = K( | Z).
Таким образом, K( | Y) = K( | Z) при всех , т.е. X  Xc = Xc  Xc. Тогда
Е(X  Xc) = Е(Xc  Xc) и Е(X) = Е(Xc ) в силу аддитивности Е. ■
Из леммы 5.3 следует, что величина Е(X) является некоторым
функционалом F (m, M) от пары функций m( | X) и M( | X).
Пусть X и X1 — НА, имеющие диполи (m, M) и (m1, M1). Тогда, если
m() > m1() , M() > M1() при всех , то X » X1. Отсюда и из аксиомы
монотонности следует, что функционал F — монотонный.
Сумме НА отвечает сумма по Минковскому их лебеговых множеств L(|),
следовательно, и сумма их диполей. Отсюда и из аддитивности Е следует, что и
функционал F аддитивен.
Обратим внимание, что расстояние между стандартными НА согласовано с
89
равномерной нормой на классе диполей:


  X , Y   sup max m   X   m   Y  , M   X   M   Y  .
01
(5.4)
Поэтому в силу леммы 5.1 функционал F непрерывен в указанной норме.
Как и в п. 4.5, определим его на линейной оболочке класса диполей по формуле:
F (m-m1, M-M1) = F (m, M) - F (m1, M1). Легко видеть, что при этом он останется
линейным и монотонным. Продолжив его с сохранением нормы на
пространство всех ограниченных вектор-функций на [0,1], мы получим, что он
представим суммой интегралов Радона по некоторым неотрицательным Кмерам на отрезке [0,1]:
1
1
E  X   F  m, M    M  X  d   m X  d .
0
(5.5)
0
Оказывается, что здесь можно использовать меры  и  специального вида.
Возьмем, скажем, первый интеграл. Как и в п. 3.2, функцию M можно
представить пределом ступенчатых, которые к тому же будут монотонны и
полунепрерывны справа (в точке 1 — слева). Поэтому в соответствующие
интегральные суммы войдут только меры интервалов вида [, ) и [, 1]. Но эти
меры полностью определяются неубывающей на [0,1] функцией
() = {[0,)}, так как мера точки 1 при этом будет равна 1 - (1). В отличие
от теоремы Рисса, () может иметь разрывы второго рода и структура
интеграла оказывается своеобразной. Пусть, например, 0 <  < 1, () = 0.1 при
0 <  < , () = 0.5, () = 0.8 при  <  < 1 . Тогда
1
 M   X  d  = 0.1M(0 | X) + 0.4M( - 0 | X) + 0.3M( | X) + 0.2M(1 | X).
0
Если функция () непрерывна на [0,1], полученный интеграл Радона
превращается в интеграл Стилтьеса. Такую меру  назовем безатомной. Легко
проверить также, что разным () будут отвечать разные функционалы.
Заметим, наконец, что детерминированной НА I1 отвечает диполь (1,1).
Отсюда и из аксиомы согласованности имеем: { [0,1] } + { [0,1] } = 1. Теперь,
обозначив, как и в п. 4.5,   { [0,1] }, мы можем представить (5.5) в виде:
1
1
E  X     M   X   d   1     m   X   d  ,
0
(5.6)
0
где  и  — некоторые НК-меры, порожденные монотонными функциями с
указанными выше свойствами. Эти меры можно было бы назвать дважды
субъективными: они отражают как систему предпочтений Субъекта по
отношению к эффектам c разной степенью принадлежности, так и субъективизм
экспертов при выборе шкалы, в которой они измеряют степени принадлежности
90
возможных значений эффекта (при переходе к другой шкале меры  и 
меняются).
Нетрудно убедиться, что функционал (5.6) правильный при любых НКмерах  и  и   [0, 1], поэтому справедлива следующая теорема.
Теорема 5.1. Функционал Е(X) на классе НА будет правильным, если и
только если он имеет вид (5.6). ■
Для ИА, являющихся частными случаями НА, формула (5.6) превращается
в формулу Гурвица. Это значит, что при переходе от ИА к НА “меры”  и 1-,
приписываемые экстремальным значениям эффекта, "размазываются" по
отрезку [0,1], на котором лежат степени принадлежности возможных эффектов
(грубо говоря, каждой степени принадлежности при этом будет отвечать своя
доля указанных “мер”).
Укажем теперь важное обстоятельство, позволяющее существенно
облегчить расчеты эффективности проектов с нечеткими эффектами. Пусть
эффект проекта X — возрастающая функция от k независимых НВ:
X = f(X1,... ,Xk). Из введенных определений вытекает, что
m( | X) = f(m( | X1),... ,m( | Xk)), M( | X) = f(M( | X1),... ,M( | Xk)),
поэтому для расчета Е(X) не нужно перебирать все возможные сочетания
параметров Xi — достаточно рассмотреть только те, где параметры принимают
экстремальные значения с одной и той же степенью принадлежности. Скажем,
ожидаемый эффект проекта с нечеткими удельным расходом сырья и объемом
продаж определяется его возможными эффектами при -минимальном объеме
продаж и -максимальном расходе сырья и при -минимальном расходе сырья
и -максимальном объеме продаж (для разных ).
Пример 5.2. Проект требует единовременных инвестиций K, после чего
обеспечивает получение в течение T лет чистого дохода с постоянной
интенсивностью D. Интегральный эффект такого проекта (при непрерывной
T

ставке дисконтирования r) составляет: Э   K   De  rt dt  D 1  e  rT
0
 rK.
Функции принадлежности нечетких параметров K, D, T приведены на рис.2-4.
-минимальные значения эффекта определяется исходя из -минимальных D и
T и -максимального K, аналогично определяются -максимальные значения
эффекта. Построенная по этим данным функция принадлежности эффекта
представлена на рис.5.
91
(K)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
180
190
200
210
220
Инвестиции, К, тыс. руб.
230
D)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
22 24 26 28 30 32 34 36 38
D, тыс.руб./год
Рис.2
(T)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
20
Рис.3
(Э)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
22 24
Т, годы
26
-40
-20
0
20 40
60 80 100 120
Возможный эффект, Э, тыс.руб.
140 160
Рис.4
Рис.5
Назовем проект нечетким выигрышем (проигрышем), если его минимально
(максимально) возможный эффект равен 0 и имеет степень принадлежности 1.
Очевидно, что если X — нечеткий выигрыш, то -X — нечеткий проигрыш и
наоборот. Выясним, когда критерий (5.6) “симметричен” в следующем смысле.
Слабая симметричность. Нечеткие выигрыши X и Y равноэффективны,
если и только если равноэффективны нечеткие проигрыши -X и -Y.
Для критерия (5.6), удовлетворяющего этой аксиоме, очевидно, должно
быть 0 <  < 1, и в этом случае мы легко находим, что:
1
1
1
1
0
0
0
0
 M   X   d    M   Y   d    M   X   d    M   Y   d  ,
если только обе функции M( | X) и M( | Y) не возрастающие и обращаются в 0
при   1. Нетрудно убедиться, что это возможно только, если меры  и 
совпадают.
Чтобы функционал Е был симметричным “по-настоящему”, т.е. для
92
выполнения условия Е(-X)  -Е(X), необходимо, кроме того, чтобы было  = 1/2.
5.3. Асимптотически финитные нечеткие альтернативы
При описании реальных объектов и процессов с помощью нечетких
величин значения ФП устанавливаются, как правило, экспертно и потому их
нельзя рассматривать как точные. Хотелось бы, чтобы малые ошибки в
установлении ФП слабо влияли на оценку эффективности проектов, т.е. чтобы
НА с близкими ФП имели близкие ожидаемые эффекты. Это относится и к
таким ситуациям, когда мы говорим, что ФП вне некоторого интервала [-C,C]
равна 0, тогда как на самом деле ее значения там положительны, но малы.
Назовем НА X асимптотически финитной, если X(x)  0 при |x|  . ФП
таких НА может быть положительной при всех x. Для таких НА введем
равномерную метрику R  X , Y   sup  X  x   Y  x  . Выясним, при каких
x
условиях функционал E будет определен для всех таких НА и непрерывен в этой
метрике (R-непрерывен) в том смысле, что E(Xn)  E(X), если R(X,Xn)  0.
Теорема 5.2. Для того, чтобы функционал (5.6) был определен для всех
асимптотически финитных НА и R-непрерывен, необходимо и достаточно,
чтобы меры  и (1 -  ) были безатомными и обращались в 0 на некотором
отрезке [0, h], h > 0. При этом (5.6) будет суммой интегралов Стилтьеса от
функций (5.3):
1
1
E  X     M   X  d      1     m   X  d     ,
h
(5.7)
h
где () и () — непрерывные монотонные функции, (h) = (h) = 0,
(1) = (1) = 1.
Д о к а з а т е л ь с т в о . 1. Необходимость. Пусть Y(t) — НА, носитель которой
содержит только точки 0 и 1, причем Y(t)(0) = 1, Y(t)(1) = t. Тогда при s  t будет
R(Y(s), Y(t)) 0 и Е(Y(s))  Е(Y(t)) в силу R-непрерывности E. Но поскольку
| Е(Y(s)) - Е(Y(t)) | = | (s) - (t) |, то функция  непрерывна, а мера 
безатомная.
Пусть теперь (h) > 0 при всех h > 0. Рассмотрим НА Z = Z(h), у которой
Z(0) = 1, Z(x) = h при 0 < x< 1/[(h)] и Z(x) = 0 при прочих x. Если h  0, то
R(Z, I0)  0, так что E(Z)  E(I0) = 0. Однако это невозможно, ибо M(|Z) = 0 при
h <  < 1, M(|Z) = 1/[(h)] при  < h, а тогда в силу (5.6) имеем: E(Z) = 1.
Мера (1 -  ) рассматривается аналогично. ■
2. Достаточность. Пусть   1 и мера  удовлетворяет условиям теоремы.
1
Тогда
функционал
H  m    m   X   d 
h
93
определен.
Докажем
его
R-непрерывность. Пусть X — некоторая асимптотически финитная НА,
C = max { | m(1| X) | , | m(h/2| X) | }. Возьмем целое k>4C/, k>2/h, и такие точки 0 = h,
1, ... , k = 1, чтобы -мера каждого из отрезков i = (i -1 , i] равнялась 1/k. Пусть
 — длина наименьшего из отрезков i. Очевидно, что  < h/2. Чтобы доказать
теорему, покажем, что R(X, Y) <   |H (m( | X) ) - H (m( | Y) )| < .
Действительно, |x| > C  X(x) < h/2  Y(x)< h, так что | m(h | Y) | < C,
| m(1| Y) | < C. Далее, | X(x) - Y(x) | <  при всех x, и поэтому m(+ | Y) > m( | X).
Отсюда и в силу монотонности m имеем:
1
1
h
h
k
 m  i X   m  i 1 Y    i  
 m   X   d    m   Y   d   
i 1
1 

 k m 1 X   m  h Y    m  i X   m  i 1 Y   
i 1
i 2


k 1
k
k 1
k


 k 1 m 1 X   m  h Y    m  i 1 Y   m  i 1 Y   
i 1
i 2


-1
-1
= k { m(1|X) - m(h|Y) + m(1|Y) - m(h|Y) } < 4Ck < .
Аналогично,
учитывая,
что
m(+ | X) > m( | Y),
получим,
что
H (m( | X) ) - H (m( | Y) ) > - , что и завершает доказательство. Мера 
рассматривается аналогично. ■
Укажем способ экспертной оценки функций () и (). Рассмотрим НА
Xh, носитель которой содержит две точки 0 и 1, имеющих степень
принадлежности соответственно 1 и h. Очевидно, что E(Xh) = (h). Предложим
эксперту сравнить НА Xh с разными Ib. Очевидно, что Xh будет
предпочтительнее при малых b, а Ib — при больших b. Поэтому эксперт может
оценить такое b = b(h), при котором Xh и Ib будут равноэффективны, т.е.
величину b(h) = E(Xh). Повторив эту процедуру при разных h  (0,1], получаем
искомые оценки:  = b(1), () = b()/b(1). () оценивается аналогично.
5.4. Проекты с нечеткими векторными результатами
Доказанные выше теоремы переносятся и на векторные финитные и
асимптотически финитные НА, формализующие проекты с нечеткими nмерными результатами. Укажем основные изменения, которые при этом
возникают.
(А) Лебеговы множества L(|X) и K(|X), определяемые так же, как и в
одномерном случае, становятся n-мерными. Определение замкнутых и
стандартных НА и утверждение 5.1 сохраняются.
(Б) В одномерном случае все детерминированные НА пропорциональны, в
многомерном среди них, как и в п. 4.5, приходится выделять НА I = {1, . . . ,1}.
94
Она “заменяет” НА с эффектом 1 в аксиоме согласованности и при
доказательстве леммы 5.1, которое теперь будет базироваться на импликации:
(X, Y) < d  X  d I » Y » X  (-d)I.
(В) Место диполя (5.3) теперь займет введенная в п. 4.1 опорная функция
X   p,    sup x  p , не возрастающая по . Как и раньше, выпуклое
xL   X 
замыкание Xc определяется своей ФП, которая будет равна  < 1 на множестве
{x | X*(p, ) < xp < X*(p, -0) p}, и равна 1 на множестве {x | xp < X*(p, 1-0)
p}. Эта НА будет стандартной и иметь ту же опорную функцию. Лемма 5.3
справедлива и здесь: НА с совпадающими опорными функциями
равноэффективны. Это доказывается сравнением НА (Xc n)  Xc и (Xc n)  X.
Далее, рассуждая, как и в п. 5.2, получим, что Е(X) зависит только от
значений опорной функции на введенных в п. 4.5 симплексах
T = { p | p » 0, || p ||* = 1 } и -T = { p | 0 » p, || p ||* = 1 }, т.е. от пары полунепрерывных
справа по  функций:
M  p,  X   sup p  x; m  p,  X   inf p  x
(5.8)
x:  X  x  
x:  X  x  
(для  = 1 они определяются по непрерывности). Поэтому структура
функционала оказывается следующей.
Теорема 5.3. Функционал Е(X) на классе n-мерных НА будет правильным,
если и только если он имеет вид:
1
1
Е(X)    M   X   dp, d   1     m   X   dp, d  ,
T 0
(5.9)
T 0
где   [0, 1], а  и  — НК-меры на множествах [0,1] T.
(Г) Теорема 5.2 справедлива и в многомерном случае, однако
достаточность ее условий проверяется сложнее. В п. 5.3 при этом
1 k 1
использовалось, что величина  m  i 1 Y   m  i 1 Y  с ростом k стремится
k i 1
к нулю, поскольку входящая сюда сумма равномерно ограничена по k. В
многомерном
случае
здесь
появляется
другая
сумма
—


k 1
 Y   p, i 1   Y   p, i 1  , для которой последнее утверждение уже неверно.
i 1
Однако в силу леммы 4.4 ||Y*(p, i+1) - Y*(p, i-1)|| равно расстоянию между
выпуклыми замыканиями L(i+1|Y) и L(i-1|Y). Поэтому указанная сумма имеет
тот же порядок, что и сумма последовательных расстояний между вложенными
друг в друга выпуклыми множествами Lc(i|Y). Но такая сумма в силу леммы о
вложенных выпуклых множествах с ростом k растет не быстрее, чем k1-1/n. Тогда
ее произведение на k-1 с ростом k стремится к нулю, что и позволяет завершить
95
доказательство.
5.5. Интервально-нечеткая неопределенность
Поскольку ФП обычно задается на основе экспертных оценок, ее значения
не могут рассматриваться как точные, и имеющейся исходной информации
отвечает не одна ФП, а некоторое семейство возможных ФП. Такого рода
неопределенность назовем интервально-нечеткой (set-fuzzy uncertainty). Мы
рассмотрим наиболее простой ее частный случай, когда о ФП эффекта проекта X
известно только, что X+(x) > X(x) > X-(x), где верхняя и нижняя ФП X+(x) и X(x) — финитные и нормальные функции. Здесь проект X полностью
характеризуется парой (X+(x), X-(x) ) финитных нормальных функций, таких что
X+(x) > X-(x). Подобную формализацию назовем интервально-нечеткой
альтернативой (ИНА). В частном случае, когда X+ = X-, ИНА становится
“обычной” НА.
Чтобы перенести на ИНА данные в п. 5.1 определения, заметим, что ИНА X
можно рассматривать и как вектор (X+, X-) с нечеткими компонентами,
характеризуемыми ФП X+ и X-. Тогда ИНА (Ib, Ib) может трактоваться как
детерминированный проект с эффектом b, функция F(X) от ИНА определяется
как вектор (F(X+), F(X-) ), пара ИНА (X, Y) считается независимой, если будут
независимы обе пары (X+, Y+) и (X-, Y-) обычных НА, а отношение X » Y будет
означать, что X+» Y+, X- » Y-. Отсюда легко выводится и определение суммы
независимых ИНА: Z :  X  Y, если Z+  X+  Y+, Z-  X-  Y-.
Теперь, для установления структуры согласованных, монотонных и
аддитивных критериев ожидаемого эффекта на классе ИНА можно повторить
практически дословно рассуждения п. 5.2. В результате можно установить, что
величина Е(X) зависит только от диполей НА X+ и X-. Как и в п. 5.2,
соответствующий функционал F оказывается монотонным, аддитивным и
непрерывным в равномерной норме. Поэтому имеет место результат,
аналогичный (5.6):
1
1
E  X      M    X    d      m   X    d  
0
0
1
1
0
0
    M    X    d      m   X    d ,
где +, +, -, -— неотрицательные величины, в сумме равные 1, +, -, +, - —
некоторые НК-меры.
Если верхняя ФП совпадает с нижней, эта формула превращается в (5.6)
при  = + + -;  = (++  --)/;  = (++  --)/.
5.6. Нечеткие альтернативы, зависящие от состояния природы
Пусть теперь нечеткие параметры проекта и, значит, его эффект, зависят от
96
состояния природы s  S. Здесь степень принадлежности числа x к множеству
возможных эффектов проекта X (ФП) зависит от состояния природы, и мы
обозначаем ее через X(x, s). Такую НВ X назовем нормальной, если
sup  X  x, s   1 при всех s, и финитной, если ее лебеговы множества
x
L(, s|X) = { x | X(x, s) >  } при   [0,1) равномерно ограничены, т.е. существует
такое C, что X(x, s) = 0 при |x| > C. Положим, кроме того, L(1, s|X) = L(1-0, s|X).
Формализацию эффекта проекта X в виде нормальной финитной нечеткой
функции от состояния природы, назовем ВН-альтернативой (ВНА). ВНА, у
которой для всех s ФП = 1 при x = b и ФП=0 при x  b, мы отождествляем с
детерминированной величиной b.
Скажем, что проект X доминирует проект Y (X » Y), если L(, s|X) » L(, s|Y)
при всех s и   [0,1].
Суммирование проектов определяется, как и в п. 5.1:
Z : X  Y, если  Z  v, s  = sup min  X  x, s  , Y  y, s  .
x  y v
Расстояние между ВНА определим как максимальное (по состояниям
природы) из расстояний (5.1):


  X , Y   sup sup  L  , s X  , L  , s Y  .
s
01
Чтобы обеспечивать рациональное экономическое поведение Субъекта,
функционал ожидаемого эффекта Е на классе ВНА, как и ранее, должен быть
согласованным, монотонным и аддитивным. Структура таких функционалов
устанавливается аналогично п. 5.2.
Повторяя практически дословно доказательства лемм 5.1 и 5.3, можно
убедиться, что и в нашей ситуации ожидаемый эффект ВНА зависит только от
ее диполя — вектор-функции с компонентами
m  , s X   inf x; M  , s X   sup x ,
(5.10)
xL   , s X 
xL   , s X 
которая обладает теми же свойствами, что и в п. 5.2 при любом s.
При данном диполе (m, M) и состоянии природы s определим (x, s)
следующим образом: если m(1, s) < x < M(1, s), то (x, s) = 1; если x < m(0, s) или
x > M(0, s), то (x, s) = 0; если m(0, s) < x < m(1, s) или M(1, s) < x < M(0, s), то величина
(x, s) =  определяется как единственное решение неравенства соответственно
m(-0, s) < x < m(, s) или M(, s) < x < M(-0, s). ВНА с ФП (x, s) обозначим Xm, M.
Очевидно, что (m, M) будет и ее диполем.
При этом одновременной реализации ВНА Xm, M и Xm, M отвечает сумма
диполей (m, M) и (m, M), а Xm, M » Xm, M если и только если m > m, M > M.
Отсюда и из предыдущего следует, что Е(X) является монотонным и
аддитивным функционалом от диполя (m, M). На диполе (1,1), отвечающем
97
детерминированному проекту с эффектом 1, этот функционал, очевидно, равен
1. Поэтому в силу п. 3.2, п. 4.6 и (5.10) выражение для ожидаемого эффекта
примет вид:
EX 

S  0,1
M  , s X   ds, d   1   

S 0,1
m  , s X   ds, d  ,
(5.11)
где  и  — НК-меры,   [0,1].
Обратно, нетрудно показать, что любой функционал такого вида является
правильным, так что (5.11) дает общий вид правильных функционалов на
рассматриваемом классе ВН-альтернатив.
98
6.
ПРОЕКТЫ С РЕЗУЛЬТАТАМИ, НАДЕЛЕННЫМИ
ПРАВДОПОДОБИЕМ
Величины и альтернативы, наделенные правдоподобием.
Правильные критерии ожидаемого эффекта
Величины, наделенные правдоподобием (П-величины, ПВ, likelihooded
values), были впервые введены, по-видимому, в [34]. “Внешне” они похожи на
нечеткие: ПВ X (скалярная или векторная) характеризуется функцией X(x) со
значениями из отрезка [0, 1]. Однако теперь величина X(x) трактуется как
степень относительного правдоподобия утверждения, что x является
возможным значением X, а функция X(x) именуется функцией относительного
правдоподобия (ФОП). При этом X(x) = 0 отвечает неправдоподобным x,
X(x) = 1 — “заведомо (или наиболее) правдоподобным”. Нам понадобится также
функция X(x) = -ln X(x), принимающая при неправдоподобных x значение +
(такие функции иногда называются расширенными). Для более правдоподобных
x значение X(x) меньше, поэтому назовем X логарифмической функцией
неправдоподобия (ЛФН). Носитель ПВ X определим аналогично п. 5.1:
supp X = { x | X(x) <  }. Назовем ПВ X финитной, если ее носитель ограничен, и
нормальной, если inf  X  x   0 . Формализацию проекта, эффект которого
6.1.
x
является финитной нормальной П-величиной, назовем П-альтернативой (ПА).
Детерминированному проекту с эффектом b при этом отвечает ПА Ib, у
которой (b) = 0, (x) =  при x  b.
Казалось бы, что П-величины, как и нечеткие, формализуют только
субъективные представления о “степени возможности” тех или иных значений
неопределенной величины и потому ФОП должны задаваться экспертно. Между
тем, ПВ могут иметь и статистическое происхождение. Пусть наблюдается
реализация случайной (скалярной или векторной) величины , плотность
распределения которой p(, x) зависит от неизвестного параметра x. Одним из
наилучших методов оценки этого параметра в математической статистике
считается метод максимального правдоподобия [51], рекомендующий
принимать ту оценку x*, для которой величина p(, x) максимальна (таких
значений x* может быть несколько или бесконечно много). Любое другое
возможное значение x теперь можно охарактеризовать степенью относительного
правдоподобия (, x) = p(, x)/p(, x*), лежащей между 0 и 1 (это отношение
лежит в основе предложенного Нейманом и Пирсоном критерия проверки
статистических гипотез [51, 52]). Таким образом, неизвестный параметр
распределения наблюдаемого случайного вектора оказалось возможным
описать как П-величину.
Функции от ПВ определяется так же, как и для НВ:
99
Y = F(X), если Y  y   sup  X  x  или, что то же, Y  y   inf
x: F  x   y
x: F  x   y
 X  x .
В то же время независимость ПВ определяется совсем не так, как для НВ.
Рассмотрим П-вектор (X, Y), используя статистическую интерпретацию и
трактуя возможные значения его компонент x и y как оценки параметров
плотностей p(, x) и q(, y) распределений независимых случайных величин  и
, полученные по результатам их наблюдений. При параметрах (x, y)
правдоподобие этих наблюдений равно p(, x)q(, y), так что относительное
правдоподобие оценки (x, y) будет равно произведению относительных
правдоподобий ее компонент. Это позволяет дать следующее определение.
ПВ X, ... , Y называются (взаимно) независимыми, если П-вектор Z = (X, ... , Y)
имеет ФОП Z(x, y) = X(x) ... Y(y) или ЛФН Z(x, ... , y) = X(x) + ... + Y(y).
Примечание. В п.5.1 упоминалась данная в [50] трактовка степени принадлежности
X(x) как вероятности того, что эксперт отнесет x к множеству возможных значений НВ
X, а затем говорилось, что эта трактовка не согласуется с определением независимости
НВ. Зато по отношению к степеням правдоподобия X(x) такая трактовка представляется
вполне уместной и согласованной с приведенным выше определением их независимости.
Функцию от нескольких ПВ можно определить как функцию от одного
П-вектора
с
независимыми
компонентами:
V = f(X, ... , Y),
если
V  v   inf  X  x   ...  Y  y  . При этом для ПВ, как и для НВ, в общем
f  x,..., y  v
случае из g(x) = f(x,...,x) не следует, что g(X) = f(X,...,X).
Теперь слияние независимых П-альтернатив формализуется как сумма ПВ:
V :=X  Y, если V  v   inf   X  x   Y  y  .
x  y v
Некоторые процессы изменения П-величин во времени (сходные со
случайными процессами) описаны в разд. 8.
Определим лебеговы множества ПВ X несколько иначе, чем раньше:
L(|X) = { x | X(x) <  }. Поскольку inf  X  x   0 , то L(|X)   при  > 0.
Множество
top X  lim K   X 
0
x
назовем
вершиной
непрерывна, то X(x) = 0 при x  top X.
Расстояние между ПВ определим аналогично (5.1):
  X , Y   sup   L  , X  , L  , Y   .
0
ПВ
X.
Если
X(x)
(6.1)
Отношение доминирования на классе ПВ введем аналогично п. 5.1: ПВ X
доминирует НВ Y (X » Y), если:
 для любого значения w величины X со степенью правдоподобия, меньшей
1, найдется какое-то не менее правдоподобное и не большее значение v
величины Y, т.е. такое, что v < w; Y(v) > X(w);
 для любого значения v величины Y со степенью правдоподобия, меньшей
100
1, найдется какое-то не менее правдоподобное и не меньшее значение w
величины X, т.е. такое, что w > v; X(w) > Y(v).
Нетрудно убедиться, что это определение эквивалентно следующему, более
простому: X » Y, если L(|X) » L(|Y) при всех  > 0. Легко видеть также, что из
(X, Y) < d следует, что X  Id » Y » X  I-d.
Обратим внимание, что введенные в п. 4.2 И-альтернативы являются
частным случаем ПА: они отвечают ситуации, когда ФОП является
характеристической функцией некоторого подмножества A числовой оси (а
ЛФН равна 0 на этом множестве и  вне его).
Важной характеристикой ПВ X является надграфик ее ЛФН, т.е. множество
точек расширенной (т.е. включающей и точки вида (x,+) с конечными x)
плоскости epi X = { (x,u) | X(x) <  , u > X(x) }.
Заменив функцию X(x) на lim  X  z  , мы превратим ее в
zx
полунепрерывную снизу; которая будет ЛФН другой П-величины cl X —
замыкания X. Очевидно, что epi cl X будет замыканием epi X. Если cl X = X, то ПВ
X назовем замкнутой.
ПВ X назовем стандартной (СПВ), если ее ЛФН имеет выпуклый и
замкнутый надграфик, т.е. если она выпукла и полунепрерывна снизу. Легко
видеть, что ЛФН СПВ X непрерывна во внутренних точках supp X, так что
X(x) = 0 на некотором замкнутом отрезке.
Выпуклым замыканием ПВ X назовем СПВ Xc, у которой epi Xc является
выпуклым замыканием epi X. Очевидно, что epi Xc : = epi X, (Xc)c = Xc. Несложно
доказать (см. также [37]) следующее утверждение.
Утверждение 6.1. epi (X  Y)  epi X + epi Y и epi (X  Y) = epi X + epi Y для
замкнутых X и Y (сумма множеств, как и раньше, понимается здесь по
Минковскому).
Д о к а з а т е л ь с т в о.
1.
Пусть
(x,u)  epi X,
(y,v)  epi Y.
Тогда
u + v > X(x) + Y(y) > X  Y(x + y), так что (x + y, u + v)  epi (X  Y). Поэтому
epi X + epi Y  epi (X  Y).
2. Пусть множества epi X и epi Y замкнуты. Равенство epi (X  Y) = epi X + epi Y
будет доказано, если мы покажем, что для любого w, у которого X  Y(w) < ,
найдутся такие x и y, что w = x + y и X  Y(w) > X(x) + Y(y). Действительно, по
определению операции  для любого n найдутся такие xn и yn, что xn + yn = w и
X(xn) + Y(yn) < X  Y(w) + 1/n. Но supp X и supp Y замкнуты, поэтому
последовательность (xn , yn) содержит сходящуюся подпоследовательность, и мы
можем считать, что (xn , yn)  (x, y). Тогда x + y = w. Кроме того, epi X и epi Y
замкнуты, так что X(x) < lim  X  xn  , Y(y) < lim Y  yn  , откуда вытекает
n
n
искомое неравенство:
101
X(x) + Y(y) < lim [X(xn) + Y(yn)] < lim [X  Y(w)+ 1/n] = X  Y(w). ■
n
n
Операцию k-кратного тиражирования ПВ X хотелось бы определить, как и
раньше: X k : X  ...  X . Однако теперь Xk  kX, и неясно, как определять
k раз
Xk при нецелых k. Поэтому поступим иначе. Для целых k и замкнутых X из
доказанного
утверждения
следует,
что
epi Xk = kepi X,
и
потому
Xk(x)= kX(x/k). Это равенство мы примем за определение операции  для
всех k > 0 и любых X.
Поставим в соответствие каждой ПА X диполь — вектор-функцию
X*(t) = ( +(t), -(t) ) с компонентами
  t   X  t   sup  x  t  X  x    sup  x  t  ln X  x   ,
x
x
(6.2)
  t   X  t   inf  x  t  X  x    inf  x  t  ln X  x   .
x
x
Как видно из этих формул:
1) супремум и инфимум в (6.2) можно брать только по x  supp X;
2) для замкнутых ПА супремумы и инфимумы достигаются;
3) детерминированной ПА отвечает диполь-константа Ib*(t)  (b, b);
4) функция +(t) выпуклая вниз и невозрастающая, а -(t) — выпуклая
вверх и неубывающая;
5) функции +(t) и -(t) ограничены на (0, ) и имеют конечные пределы
при t  0 и при t  :
  0   sup  x x  supp X ,      sup  x x  top X ,
  0   inf  x x  supp X ,
Это
позволяет
считать
диполь
     sup  x x  top X .
вектор-функцией,
(6.3)
определенной
и
непрерывной на [0, +] . Класс диполей обозначим через .
18
Геометрическая интерпретация компонент диполя проясняется рис. 6.
Здесь опорные прямые к надграфику epi X функции X(x) имеют наклон 1/t и
пересекают ось x в точках A+ и A-, абсциссы которых являются значениями +(t)
и -(t).
Отметим, что луч [0, +] рассматривается здесь как замкнутое множество, что может показаться
некорректным. Однако непрерывность функции f(t) на [0, +] в данном случае понимается как
непрерывность функции f(-ln z) по z на замкнутом отрезке [0,1].
18
102
-(
X
epi X
-()
-(0)
O
+()
A-
x
A
top X
+
+(0)
supp X
Рис. 6
Компоненты диполя имеют и определенный экономический смысл. Так,
+
 (t) имеет смысл наибольшего из возможных эффектов проекта, уменьшенных
на сумму “штрафа” за их неправдоподобие (произведение ставки “штрафа” t на
логарифм степени правдоподобия эффекта). Аналогично, -(t) отражает
наименьший из возможных эффектов проекта, увеличенных на сумму “дотации”
(по ставке t) за их неправдоподобие. В этой трактовке величина t имеет смысл
экономической оценки неправдоподобия возможных эффектов проекта.
Из формул (6.3) и рис. 6 вытекает следующее утверждение.
Утверждение 6.2. +(t) > -(s) t, s > 0.
Следующие утверждения легко выводится из общих теорем выпуклого
анализа (см., например, [37]), однако для полноты картины мы приведем их
доказательства.
Утверждение 6.3. ПВ и ее выпуклое замыкание имеют один и тот же
диполь.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть X* = (+, -), (Xc)* = (+, -). Легко видеть, что при
выпуклом замыкании ПВ ее ЛФН не увеличивается, поэтому + < +. Докажем,
что + > +. Действительно, любая точка epi X лежит в полуплоскости
D = { (x, u) | x - tu < +(t)} в силу (6.2), так что epi X  D. Более того, по
определению +, имеются точки (x, u)  epi X со сколь угодно малой разностью
x - tu - +(t). Это значит, что epi X может принадлежать полуплоскости x - tu < h
только при h > +(t). Теми же свойствами по отношению к ПА Xc обладает и
полуплоскость D = { (x, u) | x - tu < +(t)}. Однако в полуплоскости D вместе с
множеством epi X лежит и его выпуклое замыкание, т.е. epi Xc. Поэтому D  D,
103
что возможно только при +(t) > +(t). Равенство + = + доказывается
аналогично. ■
Утверждение 6.4. Сумме ПВ отвечает сумма диполей, k-кратному
тиражированию ПВ — умножение диполя на k.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть Z = X  Y, V = Xk, X* = (+, -), Y* = (+, -),
Z* = (+, -), V* = (+, -). Тогда


  t   sup  z  t  Z  z   sup z  t inf  X  x   Y  y  
x y  z
z
z


 sup x  y  t  X  x   Y  y      t      t  ;
x, y
  t   sup  z  tk  X  z k   sup  ku  tk  X  u   k   t  .
z
u
Равенства  =  +  и  = k доказываются аналогично. ■
Методами выпуклого анализа [35, 36, 37] несложно доказать также, что
каждому диполю (+, -) отвечает единственная СПВ, имеющая ЛФН
   t   x x     t  


c
  x   sup max 
,
 . При этом диполю X* отвечает СПВ X .
t
t
t 0




Для СПВ X множество L(|X) при любом  > 0 является отрезком. Пусть
m( | X) и M( | X) — его концы. Тогда связь между функциями m( | X) и M( | X)
и компонентами диполя X* принимает вид:
  t   sup  M   X   t   ,   t   inf  m   X   t   ;


(6.4)


M   X   inf   t   t   , m   X   sup   t   t   .
t
t
-
-
-
-
-
Отношению доминирования (») между CПВ отвечает аналогичное
отношение покомпонентного доминирования диполей (>). А именно,
определим, что (+, -) > (+, -), если +(t) > +(t), -(t) > -(t).
Утверждение 6.5. Если X и Y — СПВ, то X » Y  X* > Y*.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть X* = (+, -), Y* = (+, -). Тогда из (6.4) легко
выводится, что
X* » Y*  +(t) > +(t), -(t) > -(t) 
 M( | X) > M( | Y), m( | X) > m( | Y)  L(|X) » L(|Y)   X » Y. ■
Рассматривая диполи как вектор-функции, будем использовать для них
равномерную норму:




X    ,   sup max   t  ,   t  .
t
(6.5)
Нетрудно убедиться, что расстояние между стандартными ПВ согласовано
с этой нормой: ||X* - Y*|| = (X, Y).
104
Как и раньше, мы ищем правильные (согласованные, монотонные и
аддитивные) критерии сравнения ПА — функционалы Е(X).
Лемма 6.2. ПА, имеющие одинаковые диполи, равноэффективны.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Поскольку соответствие между диполями и
стандартными ПА взаимно однозначное, лемма будет доказана, если мы
убедимся, что любая ПА X равноэффективна со своим выпуклым замыканием
Xc. Обозначим U  Xc  3, V  X  Xc  Xc. Покажем, что внутренности
надграфиков epi U и epi V совпадают.
Действительно, epi Xc : = epi X, так что epi U : = epi V, и нам остается доказать,
что любая точка (x, u), внутренняя для epi U, принадлежит и epi V. Но
epi U = 3epi Xc, поэтому точка (x/3, u/3) лежит внутри epi Xc, т.е. выпуклого
замыкания epi X. Поэтому она лежит внутри некоторого треугольника T,
вершины которого (xi, ui), i = 1, 2, 3, принадлежат epi X. Это значит, что
(x/3, u/3) = h1(x1, u1) + h2(x2, u2) + h3(x3, u3) при некоторых неотрицательных hi, в
сумме равных 1. Пусть для определенности h1 > h2 > h3, так что h1 > 1/3. Положим
g1 = (3h1 - 1)/2, g2 = (3/2)h2, g3 = (3/2)h3, и заметим, что все gi > 0 и g1 + g2 + g3 = 1.
Тогда точка (y, v) = g1(x1, u1) + g2(x2, u2) + g3(x3, u3) лежит в том же треугольнике T и,
следовательно,
(y, v)  epi Xc.
Но
(x1, u1)  epi X,
так
что
c
c
(x, u) = (x1, u1) + (y, v) + (y, v)  epi (X  X  X ) = epi V. ■
Итак, надграфики epi U и epi V имеют одинаковую внутренность, поэтому
при сдвиге каждого из них вправо соответствующая ПА становится
доминирующей: U  I » V, V  I » U при любом  > 0. Но тогда Е(U) и Е(V)
отличаются меньше, чем на . Поэтому Е(U) = Е(V), откуда в силу аддитивности
следует, что Е(X) = Е(Y). ■
Из леммы 6.2 следует, что ожидаемый эффект ПА X зависит только от ее
диполя, т.е. является некоторым функционалом F (+, -) на классе диполей .
Выясним его свойства.
(А) Как отмечалось при рассмотрении формулы (6.2), Ib*(t)  (b, b). Поэтому
в силу аксиомы согласованности должно быть F (b, b) = b.
(Б) Заметим, что при суммировании ПА в соответствии с утверждением 6.4
соответствующие диполи суммируются. Отсюда и из аддитивности Е следует,
что и функционал F аддитивен.
(В) Пусть (+, -) и (+, -) — некоторые диполи, (+, -) > (+, -), X и Y —
отвечающие им СПА. Тогда X » Y, откуда и из аксиомы монотонности следует,
что функционал F — монотонный.
Класс диполей  не является линейным пространством (разность диполей
может не быть диполем). Пусть  — линейная оболочка , т.е. пространство
разностей диполей, наделенное равномерной нормой (6.5) и отношением
105
покомпонентного доминирования. Продолжим функционал F на  формулой:
F (+- +, -- -) : F (+, -) - F (+, -). Легко проверить, что это определение
корректно (разным представлениям одного и того же элемента  отвечает одно
и то же значение функционала), и построенный функционал монотонен,
аддитивен и однороден. К тому же F непрерывен. Действительно, если
||(+, -)|| < d, то в силу монотонности и свойства (А) получим: |F (+, -)| < d.
Отсюда следует, что функционал F — линейный и его норма не больше 1. На
самом деле она равна 1, поскольку F (1, 1) = 1 = ||(1, 1)||.
Теперь, по теореме Хана-Банаха, продолжим F с сохранением нормы на
пространство вектор-функций, непрерывных на [0,]. Затем, как и в п. 4.5, из
теоремы Ф. Рисса [28] выводится, что существуют такое   [0, 1] и такие
субъективные
(отражающие
отношение
Субъекта
к
по-разному
19
правдоподобным эффектам) вероятностные меры  и  на [0,] , что:


F  ,   

0,
  t  d   t   1   

0,
  t  d   t  .
Чтобы найти теперь значение E(X), необходимо подставить в полученную
формулу диполь X*. С учетом (6.2) это дает:
EX 





 x  t  X  x   d   t .
sup  x  t  X  x    d   t   1     inf
x 
x


0,
0,

(6.6)
В силу утверждения 6.3 и леммы 6.2 эта формула будет справедлива не
только для стандартных, но и для произвольных ПА.
Легко убедиться, что функционал (6.6) будет монотонным, аддитивным и
согласованным при любых   [0, 1] и мерах  и  на [0,]. Поэтому
справедлива следующая основная теорема.
Теорема 6.1. Функционал ожидаемого эффекта на классе ПА будет
правильным, если и только если он имеет вид (6.6). ■
Для введенных в п. 4.2 ИА, которые являются частным случаем ПА,
критерий (6.6) превращается в критерий Гурвица.
Для не финитных ПА теорема уже неверна: в таких случаях функции +(t) и
-(t) могут обращаться в  при конечных t (например, для X(x) = |x|). Чтобы
исключить такую ситуацию, рассмотрим класс  ПВ, у которых ФОП убывает
на бесконечности быстрее любой экспоненты, а значит, ЛФН — растет быстрее,
чем линейно. Здесь, в отличие от финитных ПВ, +(t) и -(t) будут непрерывны
только на (0, ], но могут иметь бесконечный предел при t  0. Поэтому,
19
Эти меры в обычном их понимании несобственные, т.е. могут иметь атом в точке +.
106
используя утверждение 3.1, получаем следующий результат.
Теорема 6.2. Критерий (6.6) определен на , если и только если меры  и
(1 -  ) обращаются в 0 на некотором отрезке [0, h], h > 0.
6.2. Многомерный случай
Полученные результаты, как и в п. 5.4, переносятся и на случай, когда
результаты ПА не скаляры, а n-мерные векторы. Остановимся лишь на наиболее
существенных изменениях (см. также [34]).
(А) Лебеговы множества L(|X), определяемые так же, как и в одномерном
случае, становятся n-мерными. Определение отношения доминирования
сохраняется: X » Y, если L(|X) » L(|Y) при всех  > 0.
(Б) В качестве ПА Ib с эффектом b теперь используется ПА с вектором
результатов (b, . . . ,b).
(В) Роль диполя (6.2) будет играть сопряженная к ЛФН функция
X*(p, t) = sup p  x  t X  x    sup p  x  t  ln X  x  .
(6.7)
x
x
Она не возрастает по t, выпукла по p и t и имеет конечные пределы при
t  + и при t ↘ 0, поэтому мы считаем ее определенной на [0, +].
Стандартные ПА однозначно определяются своими сопряженными функциями.
А
именно,
функции
f(p, t)
отвечает
СПА,
имеющую
ЛФН
c
(x) = inf {h | th > px - f(p, t), t > 0, p}. К тому же X* = (X )*.
Важно отметить, что слиянию ПА отвечает сумма сопряженных функций, а
k-кратному тиражированию ПА — умножение сопряженной функции на k:
(X  Y)* = X* + Y*, (Xk)* = kX*.
(Г) Определим отношение доминирования для сопряженных функций:
X » Y, если X*(p, t) > Y*(p, t) при p » 0, X*(p, t) < Y*(p, t) при 0 » p. Тогда
утверждение 6.5 примет вид: X » Y  X* » Y*.
(Д) Лемма 6.2 принимает вид: ПА с совпадающими сопряженными
функциями равноэффективны. Для доказательства строятся ПА Z = Xc (n+1) и
Y = X  (Xc n, и показывается, что epi Z и epi Y имеют одинаковую
внутренность, так что Z и Y равноэффективны.
Другое доказательство основывается на аналоге леммы 4.2.
Лемма 6.3. Пусть носитель ПА X имеет диаметр d, p1+...+ pk = q и 0 < pi < h
i, а Z = (Xp1) ...  (Xpk), Y = qXc. Тогда (Z, Y) < (n+1)hd.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку множество epi Y замкнуто и содержит epi Z,
нам достаточно убедиться, что любая внутренняя точка x  L( | Y) отстоит от
какой-то точки y  L( | Z) на расстояние, меньшее (n+1)hd. Но тогда Y(x) <  и
x  L( | Y) при некотором  < . Далее, (x, ) принадлежит выпуклой оболочке
107
и
q epi X,
потому
представим
в
виде:
n 1
 x,     ti  vi , i  ,
где
i 1
n 1
k
i 1
s 1
ti  0,  ti  q   ps , а (vi,i)  epi X. Положим t0 = (n+1)h и, используя лемму
4.1, разобьем величины ps на группы 0, ... , n+1 (они могут быть пустыми) так,
чтобы сумма величин в каждой группе i была не больше ti. Пусть теперь
0 < 0 < (-)/t0, v0 — любая точка из L(0 | X). Обозначим через i(s) номер группы,
к которой отнесена ps, и положим xs = psvi(s). Тогда точка y = x1+...+ xk — искомая.
Действительно,
y  L( | Z),
поскольку
(vi, i)  epi X
i,
а
n 1
 psi (s)   tii  t00    t00   .
Кроме того, все точки vi отстоят друг от
i 1
s
друга не больше чем на d, так что
n 1
n 1
y  x   pm vi m    ti vi   pm vi m   v0    ti  vi  v0  

 i 1
m
i 1
m
n 1 
n 1



    pm  ti   vi  v0    h vi  v0   n  1 hd . ■
i 1 
i 1

 pmi

Докажем теперь, что E (Xc) = E (X). Пусть U = Xk и V = Xc k, d — диаметр
носителя X. В силу леммы 6.3 (при p1 = ... = pk = 1) имеем (U, V) < (n+1)d. Тогда
U  I(n+1)d » V » U  I-(n+1)d , и E (U) + (n+1)d > E (V) > E (U) - (n+1)d. Подставив
сюда E (U) = kE (X), E (V) = kE (Xc), получим | E (Xc) - E (X) | < (n+1)d/k. При k  это
дает: E (Xc) = E (X). ■
Заметим, что для ПА с неограниченным носителем последние рассуждения
не проходят даже в одномерном случае, и здесь может оказаться, что (U, V) = 
при всех k. Пусть, например, X(2m) = 4m при всех целых m, X(x) =  при прочих
x, k > 2. ПА V здесь имеет носителем луч x > 0, а V будет ломаной, соединяющей
последовательно точки (k2m, k4m). Пусть xm = (k+1/3)2m, m = (k+1)4m. Легко
проверить, что X(xm) = m, так что L(m | V) будет отрезком [0, xm]. Возьмем
теперь любую точку y  L(m | U) и докажем, что y < k2m. Действительно, здесь
k
y  2
i 1
mi
k
,
 4mi   m . Пусть, для определенности, m1 — максимальное из mi.
i 1
Если m1 < m, то неравенство y < k2m выполняется. Осталось рассмотреть случай,
когда m1 > m + 1. Положим 2m1  u . Тогда, используя неравенство между средним
арифметическим и средним квадратическим, получаем:
k
y  u  2  u 
i 2
mi
k
 k  1  4m
i
u
i 2
108
 k  1   m  u 2   f u  .
Легко проверить, что функция f(u) при u > 2m+1 убывает, так что

 k  1  k  1 4m  4m1 

y  f 2m1  2m1 
 2m1  2m
 k  1 k  3  2m1  2m k  2  k 2m ,
что и требовалось доказать. Итак, y < k2m, и поэтому расстояние между L(m | U)
и L(m | V) будет не меньше, чем xm - k2m = 2m/3, а эта величина может быть сколь
угодно большой.
(Е) Повторяя последующие рассуждения, получим, что Е(X) является
линейным монотонным функционалом с нормой 1 от X*. Поэтому в силу (Г)
Е(X) зависит только от значений X*(p, t) на симплексах T = { p | p » 0, || p ||* = 1 } и
-T = { p | 0 » p, || p ||* = 1 }, а структура правильных функционалов оказывается
следующей.
EX 
 1   


sup  p  x  t  ln X  x    d   p, t  

T  0,    x


T  0, 
 inf  p  x  t  ln
x
X
 d   p, t ,
 x 
где   [0, 1], а  и  — вероятностные меры на T  [0, +], которые могут быть
и несобственными. На классе нефинитных ПА, у которых ЛФП растет на
бесконечности быстрее, чем линейно, эти меры, как и в теореме 6.2, будут
сосредоточены на T  [h, +] при некотором h > 0. Компоненты случайного
вектора x при этом, как и раньше, могут трактоваться как случайные цены на
используемые в проекте ресурсы, а величина px — как случайная прибыль от
проекта.
Слабо непрерывные и состоятельные критерии ожидаемого
эффекта
Как и в п. 5.3, будем искать (в одномерном случае) функционалы
ожидаемого эффекта, которые мало меняются при небольших изменениях ФОП.
Назовем функционал E слабо R-непрерывным, если для любого  > 0 и C > 0
6.3.
существует такое  > 0, что
supp X  [-C,C], supp Y  [-C,C], sup  X  x   Y  x     | Е(X) - Е(Y) | < .
x
Структура таких функционалов дается следующей теоремой.
Теорема 6.3. Для слабой R-непрерывности функционала (6.6) необходимо
и достаточно, чтобы меры  (при   0) и  (при   1) не имели атомов в точках
0 и +.
Д о к а з а т е л ь с т в о . 1. Необходимость. Пусть функционал E слабо
R-непрерывен. Рассмотрим ПА X и Y = Y(h) с носителем, включающем две точки
109
0 и 1, причем X(0) = X(1) = Y(0) = 1, Y(1) = e-h. Легко видеть, что X* = (1,0),
Y* = (max [0, 1 - th] , 0), так что X* > Y*. Пусть h  0. Тогда  X  x   Y  x   0 и
E(Y)  E(X). Но в силу (6.6) имеем:
E  X   E Y  
1
1

max
1

th
,0
d

t

1








 ,

h
0,
так что (1/h)  1 при h  0 и мера  не может иметь атома в точке +.
Возьмем ПА X с носителем [0,1), имеющую ЛФН (x) = x/(1 - x), и построим
ПА Y = Yn с носителем [0,2), ЛФН которой n(x) совпадает с (x) при 0 <x <1 - 1/n
и равна (n + 1)2/(2 - x) - (n2 + 1) при 1 - 1/n < x < 2. Легко видеть, что X* = Y* при t > n2
, X* = (1 - 2 t + t, 0), Y* = (2 - 2(n+1) t + tn2 + t, 0) при меньших t.
Кроме того, |X(x) - Y(x)| < e-n, так что E(Y)  E(X) при n  . Но
E Y   E  X  
n2
 2  2  n  1


t  tn2  t   1  2 t  t d   t  
0
 2 n 2

 1  n t 
2
0
1  1 
d  t     2  .
4  4n 
При n   правая часть должна стремиться к нулю, так что (t)
непрерывна в нуле. Аналогично рассматривается и мера . ■
2. Достаточность. Пусть мера  не имеет атомов в точках 0 и +.
Проверим, что функционал E  X     X  t  d t  слабо R-непрерывен (для
0,
меры  рассуждения аналогичны). Для этого заметим, что теперь мера  —
собственная, а интеграл в выражении для E — обычный интеграл Стилтьеса по
функции распределения (t) на [0,).
Пусть  > 0, C > 0. (t) непрерывна в нуле, так что () <  при некотором
z
 > 0. Далее, (t)  1 при t  , поэтому найдется такое h, что
 1    t  dt  z
0
при всех z > h. Выберем теперь  = (C, ) из условий:  > 3;  > h2/C2;
ln  4C  ; ln  4  , и положим r = 4C/ln . Тогда имеем:
r
 C; r  ;   r   ;

C 

1    t   dt  C  ;   3 .
(6.8)
0
Теорема будет доказана, если мы убедимся, что из соотношений
supp X  [-C,C], supp Y  [-C,C], sup  X  x   Y  x   1 
x
110
(6.9)

вытекает
E   X   E  Y    X  t   Y  t   d   t   6C . При этом можно
0
ограничиться стандартными X и Y, ибо при выпуклом замыкании ПА их
ожидаемые эффекты не изменятся, а ограничения (6.9) сохранятся.
Оценим
X  t   Y  t  сверху. Первая оценка получается из свойств
диполей и (6.9): X  t   Y  t   X  t   Y  t  < 2С.
Вторую оценку получим, взяв u и v такие, что X(u) = Y(v) = 1. В силу (6.9) u
и v принадлежат пересечению supp X ∩ supp Y, так что | u - v | < 2C. Определим
теперь w = w(t) Тогда в соответствии с (6.2) получаем: tX(w) = w -  X t  из
условия: w - tX(w) = X  t  . < w - [u - tX(u)] = w-u < 2C. Отсюда при t > r найдем:
 X  w  e
 X  w
 e2C r  eln 2  1
Y  w   X  w  ln
 ln
так
что
 . При этом в силу (6.8) и (6.9):
 X  w
Y  w
 ln
 X  w

 X  w   Y  w   X  w 
 X  w


1
1 
2

 ln 1
,
  ln 1
 X  w  1 

w






X


X  t   Y  t   X  t   w  t Y  w  t Y  w   X  w  2t
аналогично, Y  t   X  t   2t
 . Поэтому X  t   Y  t   2t

и
 при t > r.
Эта оценка лучше предыдущей, если t < C  .
Используя (6.8), получаем искомое неравенство:
E   X   E  Y  


X

t 
 Y

0
r

 t  d   t    2Cd   t    min 2C ,
0
2r
 2C  r  
1    r   

2r
2
 2C  r  



r
C 

C 

2 1    t 
r

2t 
 d  t  

dt


1    t   dt  2C  2C  2C  6C . ■
0
Вернемся теперь к статистической трактовке ПА, упомянутой в п. 6.1.
Пусть эффект проекта X — известная функция f(r) от (векторного) параметра r.
Истинное значение параметра (r0) неизвестно и оценивается по N независимым
его случайным наблюдениям ri с известной плотностью распределения q(ri, r).
Тогда эффект проекта будет иметь ФОП  X  x   sup
N
f  r   x i 1
111
N
 q  ri , r  sup  q  ri , r  .
r
i 1
Хотелось бы, чтобы здесь имело место что-то вроде закона больших чисел, и
ожидаемый эффект проекта в некотором смысле стремился к истинному
значению f(r0) при N  . Такое свойство, по аналогии с математической
статистикой, можно назвать состоятельностью критерия ожидаемого эффекта.
К сожалению, получить необходимые условия состоятельности критерия (6.6)
не удается. Достаточные условия даются следующей теоремой.
Теорема 6.4 ([34]). Пусть выполняются следующие условия:
1) плотность q(w, r), как функция от r, равномерно по w ограничена в
некоторой выпуклой области G и равна 0 вне G;
2) функция q(w, r) дифференцируема и вогнута по r в области G. Более того,
существует такая функция (h), для которой отношение (h)/h монотонно
возрастает по h и стремится к нулю при h0, что для любых t и r из G
выполняется неравенство:
3) ln q(w, t) - ln q(w, r) < g(w, r)(t - r) - (||t - r||),
4) где g(, r) — градиент функции q(, r);
5) дисперсии всех компонент случайных векторов g(ri, r) при любом r из G
равномерно ограничены;
6) функция f(r) в области G удовлетворяет условию Липшица.
Тогда для каждого критерия (6.6) при любых  > 0 и  > 0 существует такое
N(, ), что при N > N(, ) вероятность события |E(X) - f(r0)| <  будет больше 1- .
6.4. П-альтернативы, зависящие от состояния природы
В пп. 4.6 и 5.6 мы рассмотрели ситуации, когда эффект проекта зависел от
факторов и внешней и внутренней неопределенности. Продолжим это
рассмотрение применительно к П-альтернативам. Здесь при состоянии природы
s эффект проекта X будет нормальной ПВ X(s), характеризуемой функцией
относительного правдоподобия (ФОП) X(x, s) или ее отрицательным
логарифмом (ЛФН) X(x, s) = -ln X(x, s). Значение X(x, s)[0,1] отражает теперь
степень правдоподобия утверждения о возможности получения эффекта x при
состоянии природы s. Такую формализацию проекта назовем ВП-альтернативой
(ВПА). Как и в п. 5.6, ограничимся финитными ВПА, для которых лебеговы
множества L(, s|X) = { x | X(x, s) <  } равномерно ограничены. Поскольку
L(, s|X)  L(, s|X) при  < , мы можем определить L(0, s|X) как предел L(, s|X)
при  ↘ 0.
Детерминированному проекту с эффектом b при этом отвечает ВПА Ib, у
которой для всех s будет (b, s) = 0, (x, s) =  при x  b.
Отношение доминирования и операция слияния ВПА вводятся обычным
способом:
X » Y, если L(|X) » L(|Y) при всех .
112
Z : = X  Y, если  Z  z, s   inf  X  x, s   Y  y, s 
x y  z
s.
Чтобы вести себя экономически рационально, Субъект, как и ранее, должен
использовать правильный критерий ожидаемого эффекта Е — в данном случае
он будет функционалом на классе ВПА. Структура таких функционалов
устанавливается, как и в п. 6.1.
(А) Если при каждом s заменить ПА X(s) на ее замыкание, мы получим
новую ВПА, которую естественно назвать замыканием ВПА X. Аналогично
можно определить Xc — выпуклое замыкание ВПА X.
Как и в п. 6.1, доказывается, что всякая ВПА равноэффективна со своим
выпуклым замыканием, и это позволяет далее ограничиться рассмотрением
только стандартных — выпуклых и замкнутых ВПА X.
(Б) Легко видеть, что стандартная ВПА X однозначно определяется своим
диполем X*(t, s) = ( +(t, s), -(t, s) ). Поэтому функционал E на классе ВПА можно
рассматривать как некоторый функционал F на классе диполей, наделенном
равномерной нормой. При этом слиянию ВПА отвечает суммирование диполей,
а доминированию ВПА — покомпонентное доминирование диполей. Отсюда
легко выводится аддитивность и монотонность F.
(В) Используя аддитивность, можно продолжить F на линейную оболочку
класса диполей с сохранением аддитивности и монотонности. Как и в п. 6.1,
полученный функционал оказывается линейным. Это позволяет представить его
в виде:


F  ,   

0,S
  t , s   dt , ds  1   

0,S
  t , s   dt , ds ,
(6.10)
где  и  — некоторые НК-меры,   [0, 1].
Обратно, нетрудно показать, что любой функционал такого вида является
правильным, так что (6.10) дает общий вид правильных функционалов на
рассматриваемом классе ВПА.
В то же время “полностью” свести меры  и  к вероятностным, как в
п. 6.1, не удается. Поэтому разным мерам  и  может отвечать один и тот же
функционал.
113
7. ВЕРОЯТНОСТНАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ
Понятие риска обычно связывается с вероятностной неопределенностью и
проблеме принятия решения в этих условиях посвящена большая литература. В
этой связи важно отметить работы [53, 54, 55], где аксиоматический подход
применен к измерению риска, т.е. к установлению структуры функционалов,
трактуемых как “риск” проекта. Знакомство с ними позволило более четко
сформулировать и постановку задач в настоящей книге. Тем не менее, учет
вероятностной неопределенности инвестиционных проектов имеет некоторую
специфику, которой до сих пор не уделялось должного внимания.
Случайные величины — более сложный математический объект, чем
нечеткие или наделенные правдоподобием, и поэтому аксиом согласованности,
монотонности и аддитивности для установления структуры критерия
ожидаемого эффекта здесь недостаточно. Мы видим два варианта расширения
аксиоматики. Вначале будет рассмотрен первый, идейно более простой, но
связанный с рядом технических трудностей. Второму, приводящему к более
широкому кругу критериев эффективности, посвящены пп. 7.6—7.9.
7.1. Случайные альтернативы и критерии их оценки
Ниже рассматриваются проекты со случайным эффектом. Мы не будем
различать проекты, имеющие одинаковое вероятностное распределение (ВР)
эффекта. Поэтому проект F мы отождествляем с функцией распределения F(x),
значения которой отражают вероятность того, что эффект проекта окажется не
больше x. Подобную формализацию проекта назовем случайной альтернативой
(СА). Обратно, любое ВР F на числовой прямой мы считаем распределением
эффекта некоторого проекта F. Ожидаемый эффект этого проекта,
обозначаемый Е(F), будет при этом функционалом на классе ВР.
Математическое ожидание, дисперсия и третий абсолютный центральный
момент ВР F обозначим соответственно через ЕF, DF и ТF. Точку плоскости с
координатами (ЕF, DF) назовем следом ВР F.
Частным случаем СА являются детерминированные альтернативы (ДА),
которым отвечают вырожденные ВР. Вырожденное ВР, сосредоточенное в
точке b, будем обозначать, как и раньше, Ib.
При сравнении СА обычно применяется критерий математического
ожидания случайного эффекта. Однако ряд экономистов его отвергают, ибо он
не учитывает разброс эффекта. В связи с этим в ряде прикладных работ
периодически предлагается критерий типа Е(F) = ЕF - k(F), где  F   D F  .
Некорректность такого критерия показана еще в [56]. Приведем другие
примеры.
Пример 7.1. Поскольку ВР I0 имеет детерминированный нулевой эффект,
должно быть Е(I0) = 0. Пусть эффект проекта G равен единице с вероятностью
p > 0 и нулю с вероятностью 1 - р. Легко видеть, что проект G предпочтительнее
114
I0, однако, если p достаточно мало, то Е(G) = p - k(p - p2)1/2 < 0 = Е(I0). ■
Пример 7.2. Пусть s > 0, P — распределение, имеющее атомы 1/2 в точках
2ks + 2s+ 1 и 2ks - 2s + 1. Тогда P и I1 равноэффективны (Е(P) = 1 = Е(I1) > 0), так что
безразлично, какой из них выбрать. Поэтому будем выбирать между P или I1,
бросая монету. Но эта процедура есть проект Q, обеспечивающий получение
эффектов 2ks + 2s+ 1, 2ks - 2s + 1 и 1 с вероятностями соответственно 1/4, 1/4 и
1/2. Для этого проекта ЕQ = 1 + ks, DQ = (k2 + 2)s2 и Е(Q) = 1 + ks{1- (k2 + 2)1/2}.
Поскольку k2 + 2 > 1 при любом k, то при достаточно большом s будет Е(Q) < 0.
Мы пришли к парадоксальному выводу: случайный выбор из эффективных и
равноэффективных проектов привел к неэффективному проекту. ■
Пример 7.3. Эффект проекта X положителен и его логарифм имеет нормальное
распределение со средним 0 и дисперсией 2S > ln(1+1/k2). Однако рассматриваемая формула
дает отрицательное значение ожидаемого эффекта: E  X   E  k   eS  k e4 S  e2 S  0 .
Более того, если увеличить вдвое любой возможный эффект проекта, эта величина умножится
на 2 и, стало быть, уменьшится. ■
Некорректен и критерий Е(F) = ЕF - kDF. Например, если эффект проекта
равновероятно принимает значения 2d и 0, то этот проект более эффективен,
чем I0, однако, если d достаточно велико, то его ожидаемый эффект будет
отрицательным (d - kd2 < 0).
Тот же недостаток присущ и критерию Е(F) = f(ЕF, DF), где f — любая
функция, имеющая производные fm и fD  0 хотя бы в одной точке (m, D).
Действительно, пусть F — ВР с атомами D/(D + h2) и h2/(D + h2) в точках m - h и
m + D/h (h > 0). Тогда ЕF = m, DF = D. Уменьшив первый атом на  > 0 и увеличив
на столько же второй, мы получим новое ВР G, которому должен отвечать
больший ожидаемый эффект. Однако это невозможно, поскольку
Е(G) - Е(F) = (h + D/h)[fm+ fD(D/h - h)] + o(), и эта величина отрицательна при
достаточно малых  и подходящем h. В [57] нами, в частности, показано, что
указанный недостаток нельзя устранить, заменяя дисперсию любым другим
“измерителем разброса” вида  u  x  EF  dF  x  , где u(x) — произвольная
гладкая функция, у которой sup u(x) = +, inf u(x) = -.
Высокую дисперсию эффекта часто связывают с риском реализации
проекта. Однако, это не так. Пусть эффект проекта А принимает значения +35 и
+10 с вероятностями соответственно 0,2 и 0,8, а проект Б дает эффекты -5 и +20
с теми же вероятностями. Нетрудно проверить, что математические ожидания и
дисперсии у эффектов обоих проектов одинаковы, причем проект А
безрисковый, тогда как реализация Б сопряжена с финансовым риском.
Указанные соображения объясняют неудачу многих попыток дополнить
критерий математического ожидания “волевыми” поправками, учитывающими
разброс эффекта. Мы применим для анализа этой проблемы марджиналистский
подход.
Понятие детерминированного проекта мы уже определили, что позволяет
115
придать смысл аксиоме согласованности.
Введем на классе СА отношение (первого стохастического) доминирования:
СА Q доминирует СА R (Q » R), если для любого v значения эффекта,
превышающие v, у СА Q будут не менее вероятны, чем у СА R. Иными словами,
Q » R означает, что Q(v) < R(v) v. Если случайные величины  и  имеют ВР Q и
R, а u(x) — ограниченная монотонно возрастающая функция, то
Q » R  M[u()] > M[u()].
Будем понимать независимость проектов как независимость их случайных
эффектов, предполагая к тому же, что независимых проектов достаточно много:
для любых ВР F и G найдутся независимые проекты, эффекты которых имеют
эти ВР. Это возможно только, когда неопределенность внутренняя и
случайность результатов каждого проекта порождается, грубо говоря, его
собственной “рулеткой” (при внешней неопределенности такая “рулетка” для
всех проектов одна и та же, что объясняет различия в определениях операции
слияния СА и ВА). Поскольку при слиянии независимых проектов их эффекты
суммируются, а распределение суммы независимых случайных величин есть
свертка распределений слагаемых, примем, что слияние независимых СА F и G
есть СА F  G, распределение которой есть свертка ВР F и G:

 F  G  x    F  x  t  dG  t  .

тиражирования СА: X
Теперь можно определить операцию k-кратного
k : X  ...  X .
k раз
Зафиксируем далее некоторое r (1 < r < 2) и определим расстояние между
распределениями формулой:

r
(Q, R) = EQ  ER +  x Q x EQ  R
(7.1)
 x ER d. x

Назовем ВР Р -ограниченным, если (P, I0) < . Очевидно, что след такого
ВР — конечный, а “хвосты” — “легкие” (т.е. Р(-x) и 1 - Р(x) достаточно быстро
убывают при x  +). Класс -ограниченных ВР с введенными на нем


отношением доминирования и операцией свертки обозначим через .
Введенные выше определения позволяют придать смысл аксиомам
согласованности, монотонности и аддитивности. Потребуем, кроме того, чтобы
критерий ожидаемого эффекта E удовлетворял следующей аксиоме
равномерной непрерывности: | E(P) - E(Q) | < ( (P, Q) ), где функция (t)
определена на [0,), (0) = 0 и t 2 r  t   0 при t  . Очевидно, что всем этим
аксиомам удовлетворяет критерий математического ожидания. Выясним, есть
ли другие правильные критерии.
Утверждение 7.1. ВР, близкие в метрике , имеют близкие следы.
116
Доказательство.



Пусть
(Q, R) = h.
Тогда
|EQ - ER| < h
и

x Q x  EQ  R  x  ER  dx  h. Кроме того, при любом z > 0 имеем:
r

DQ  DR  2






x R  x  ER   Q x  EQ dx 
z
 2  x dx  2
z
 2z2  2







2 x R  x  ER   Q x  EQ dx 


x R  x  ER   Q x  EQ dx 
x z


x z1r R  x  ER   Q x  EQ dx  2 z 2  2hz1r .
r
x z
2 r 1
Положив здесь z  h1  r 1 , найдем, что DQ  DR  4h   . ■
Далее нам понадобится следующая оценка расстояния между нормальными
распределениями. Пусть  — функция стандартного нормального
распределения, Q и R — нормальные ВР, у которых EQ = ER, DQ < DR. Тогда,
положив k  DQ DR , найдем:
r 1 
 x 
 x 

r   y
  
(Q, R) =  x  
 dx  2 DR2  y       y   dy 
 D 
 DQ 
 k

R 

0



r 1 
r 1  u
 y k u 2

 r  u 2
2 2
2
r
2
2

DR  y   e
du  dy 
DR    y dy  e 2 du 


 y


0
0 
uk


2 DRr 1

DR  DQ
r

r 1
1 k
r 1


u2

r 1
u e 2 du
0
r 1
2


r 1
2
 2 DR    2 DQ 
 r  1 


r 1
2
r 2


 2 

2 DR
 DR  DQ DR  DQ .


Для произвольных нормальных ВР отсюда легко получить, что
  Q, R   1  DR  DQ   max  ER  EQ , DR  DQ  .
(7.2)
Распределение Q назовем сильно ограниченным, если при некотором С > 1
имеют место неравенства: |EQ| < С, 1/С < DQ < С, TQ < C. Наименьшее С, при
котором эти неравенства имеют место, назовем радиусом распределения.
Лемма 7.1. Сильно ограниченные ВР с одинаковыми следами
равноэффективны.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим противное: пусть P и Q имеют радиус С,
EP = EQ, DP = DQ, но | E(P) - E(Q) | = h > 0. Рассмотрим распределения F = Pn и

  2  2 DR 
 DR  DQ
117
G = Qn. В силу аддитивности имеем:
| E(F) - E(G) | = n| E(P) - E(Q) | = nh .
(7.3)
Чтобы установить невозможность такого равенства при всех n, нам
потребуется следующее утверждение.
Утверждение 7.2. Существует B = B(С, r) такое, что
(F, G) < 2Bnr/2.
(7.4)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Ф — функция нормального распределения со
средним EF = EG и дисперсией DF = DG = nDQ > n/C. Оценим (F, Ф), используя
результат [58] (см. также [59, с. 190]): если F есть функция распределения
суммы n независимых случайных величин, имеющих третьи абсолютные
моменты Ti, а Ф — функция нормального распределения со средним EF и
дисперсией DF, то
F  x  EF  -   x  EF  
A Ti
i
,
(7.5)
1  x D 3 

F 


где A — некоторая абсолютная константа. В нашем случае, когда все Ti = TP < C,
а DF > n/C, эта оценка принимает вид:
F  x  EF  -   x  E F  
DF3
AnTP
 DF 
32
 x
32

AC 5 2 n 1 2
1 x C n
3
.
Поскольку EF = EФ, отсюда и из (7.1) имеем:
r

r r r
2
AC 5 2 x n 1 2 dx
y dy
r 2
2n2
 F ,    

2
AC
 1  y3  Bn ,
3
 1  x C n
0


(7.6)
где константа B зависит только от C. Аналогично (Ф, G) < Bnr/2. Поэтому
(F, G) < (F, Ф) + (Ф, G) < 2Bnr/2. ■
Отсюда и в силу аксиомы равномерной непрерывности имеем:
| E(F) - E(G) | < ( (F, G) ) < ( 2Bnr/2) = o(n), что противоречит (7.3). ■
Пусть F — -ограниченное ВР. Возьмем сильно ограниченное ВР с
функцией распределения, равной F(EF + k(x - EF)) при x  [-M, N], 0 при x < -M , и 1
при x > N. Легко показать, что при подходящих M, N и k это ВР будет сколь
угодно близко к F (в метрике ) и иметь тот же след. Отсюда и из леммы 7.1
следует, что ожидаемый эффект любого -ограниченного ВР зависит только от
его следа: E(F) = f(EF , DF).
При свертке ВР их математические ожидания и дисперсии суммируются,
откуда и из аддитивности E следует, что функция f аддитивна. К тому же она
непрерывна, ибо при малом (в метрике ) изменении ВР F его след, а также
118
ожидаемый эффект E(F) (в силу аксиомы равномерной непрерывности)
меняются мало. Такая функция может быть только линейной, поэтому найдутся
такие a и b, что:
f(EF, DF) = aEF + bDF.
(7.7)
Лемма 7.2. Для любых m > m, D > 0, D > 0 найдутся такие -ограниченные
ВР F и F, что EF = m, DF = D, EF = m,DF = D и F » F.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Ph, m, D — распределение со следом (m, D),
имеющее атомы D/(D + h2) и h2/(D + h2) в точках m - h и m + D/h. Тогда
распределения F = Ph, m, D и G = Ph, m, D будут искомыми, если только
h + D/h < m - m. ■
В силу утверждения 7.2 и (7.7) am + bD > am + bD при m > m и любых D и
D, что возможно только при b = 0. Отсюда в силу (7.7) имеем: E(F) = aEF, причем
a = E(I1) = 1 в силу аксиомы согласованности. Тем самым, мы доказали
следующую теорему.
Теорема 7.1. Согласованным, монотонным, аддитивным и равномерно
непрерывным критерием ожидаемого эффекта на классе ВР  является только
критерий математического ожидания ВР. ■
7.2. Случайные альтернативы, зависящие от состояния природы
Как и в пп. 4.6 и 5.6, где на эффект проекта влияли факторы и внутренней и
внешней неопределенности, рассмотрим ситуацию, когда случайный эффект
проекта F зависит от состояния природы и равномерно -ограничен, т.е. имеет
функцию распределения F(x,s), причем sup   F  , s  , I 0    . Такую
s
формализацию проекта назовем ВС-альтернативой (ВСА). При фиксированном
состоянии природы ВСА становятся “обычными” случайными альтернативами
(СА). Поэтому ВСА F, у которой F(x,s)  P(x), мы отождествляем с СА,
характеризуемой ВР P. ВСА, у которой F(x,s) = Ib(s) (x) при любом s, естественно
отождествить с рассмотренной в п. 3.1 В-альтернативой, характеризуемой
функцией b(s), а если при этом b(s)  b не зависит от s, — с детерминированной
альтернативой, имеющей эффект b.
Скажем, что ВСА F доминирует ВСА G (F » G), если F(x,s) < G(x,s) при всех
x и s.
Слиянием ВСА F и G назовем ВСА H = F  G, у которой
H(,s) = F(,s)  G(,s) при всех s.
Расстояние между ВСА определим как максимальное из расстояний между
соответствующими ВР:  F ,G  sup  F  , s ,G , s  .
s
Структура правильных (т.е. удовлетворяющих требованиям монотонности,
согласованности, аддитивности и равномерной непрерывности, имеющим
119
прежний смысл с учетом введенных определений) функционалов ожидаемого
эффекта на классе ВСА устанавливается во многом аналогично п. 7.1.
Назовем ВСА F сильно ограниченной, если при некотором C>1 и всех s
имеют место неравенства: |EF(,s)| < C, 1/C < |DF(,s)| < C, |TF(,s)| < C. Повторяя
рассуждения леммы 7.1, можно убедиться, что для сильно ограниченных F и G
из EF(,s) = EG(,s) и DF(,s) = DG(,s) следует, что E(F) = E(G). Далее используем
другую идею.
Пусть EF(,s) = EG(,s). Докажем, что E(G) < E(F) +  при любом  > 0.
Действительно, положим H = F  I. Тогда E(H)= E(F)+ и нам достаточно
убедиться, что E(G) < E(H). Поскольку EH(,s) > EF(,s) = EG(,s), в силу леммы 7.2
для каждого состояния природы s найдется такая пара -ограниченных ВР P(,s)
и Q(,s), что EP(,s) = EH(,s) и DP(,s) = DH(,s), EQ(,s) = EG(,s) и DQ(,s) = DG(,s),
P » Q. При этом, как показано выше, E(P) = E(H) и E(Q) = E(G), а в силу
монотонности E(P) > E(Q), откуда и следует искомое: E(H) > E(G). Аналогично
получим, что E(F) -  < E(G). Поэтому |E(F) - E(G)| < , что возможно только, когда
E(F) = E(G). Итак, EF(,s) = EG(,s)  E(F) = E(G).
Таким образом, ожидаемый эффект сильно ограниченной ВСА F зависит
только от функции mF(s) = EF(,s). Это верно и для любых ВСА, ибо они являются
пределами (в метрике ) сильно ограниченных. Но тогда ВСА F
равноэффективна с ВА, характеризуемой функцией mF(s), и поэтому ее
ожидаемый эффект описывается формулой (3.7):
E  F    E F  ,s ds ,
(7.8)
S
где  — некоторая НК-мера в пространстве состояний природы.
Нетрудно убедиться, что при любой такой мере функционал (7.8) будет
правильным, так что имеет место следующая теорема.
Теорема 7.2. Функционал ожидаемого эффекта на классе ВСА будет
правильным, если и только если он имеет вид (7.8). ■
7.3. Интервально-вероятностная неопределенность
Даже в тех (не очень частых, по нашему мнению) случаях, когда параметры
проекта можно считать случайными, соответствующие ВР устанавливаются на
основе обработки статистической информации и потому содержат
определенные ошибки. Поэтому здесь мы имеем дело не с одним “истинным”
ВР, а с некоторым множеством близких ВР. Такая ситуация отвечает другому
виду неопределенности — интервально-вероятностной (set-probabilistic
uncertainty).
В такой ситуации проект X характеризуется семейством X = {P}
вероятностных распределений, которые мы далее будем считать
-ограниченными.
Подобную
формализацию
проекта
назовем
120
ИС-альтернативой (ИСА). Класс таких ИСА обозначим через .
Детерминированному проекту с эффектом b при этом будет отвечать
семейство, состоящее из единственного вырожденного распределения Ib,
обозначаемое далее через Ib.
Семейство X = {Q} назовем -ограниченным, если существует такая
константа С, что (Q, I0) < С для всех Q  X, и сильно ограниченным, если
радиусы всех QX равномерно ограничены. Верхнюю грань этих радиусов
назовем радиусом семейства. Легко видеть, что сильно ограниченное семейство
не может содержать вырожденных ВР.
Назовем следом ИСА X множество tr X = {(EQ, DQ) | Q  X} следов входящих в
нее распределений. Легко видеть, что следами ИСА могут быть ограниченные
подмножества верхней полуплоскости и только они, причем следы сильно
ограниченных ИСА должны быть удалены от оси абсцисс на положительное
расстояние. Выпуклую оболочку множества tr X обозначим ctr X.
Отношение доминирования на  определим, как обычно: X » Y, если
любое ВР из X доминирует какое-то ВР из Y, а любое ВР из Y доминируется
каким-то ВР из X. Слияние ИСА определим, как и в п. 4.1:
X  Y = {P  Q | P  X, Q  Y}. Расстояние между ИСА определим по Хаусдорфу:


  X,Y   max sup inf   P,Q  ,sup inf   P,Q   .
QX PY
 PX QY

При этих определениях формулировки аксиом согласованности,
монотонности, аддитивности и равномерной непрерывности сохраняются. Ниже
выясняется структура правильных (удовлетворяющих этим аксиомам)
функционалов E(X) на .
Теорема 7.3. Функционал E на классе  правильный, если и только если
он имеет вид
E(X) =  s up EP   1   i nfEP , где   [0, 1].
PX
PX
(7.9)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что функционал (7.9) правильный. Для
доказательства обратного нам потребуется следующая лемма.
Лемма 7.3. Если ctr X = ctr Y, то E(X) = E(Y).
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Пусть вначале X и Y сильно ограничены, а их радиус
не больше C. Очевидно, при этом можно ограничиться случаем, когда ИСА Y
состоит из всех сильно ограниченных ВР со следами из ctr X. Пусть лемма
неверна и | E(X) - E(Y) | = h > 0. Как и в лемме 7.1, введем ИСА U = Xn и V = Yn.
Тогда
| E(U) - E(V) | = n| E(X) - E(Y) | = nh > 0.
(7.10)
121
Докажем, что это неравенство при всех n невозможно. Для этого, как и в
лемме 7.1, убедимся, что (U, V) = O(nr/2). Поскольку U  V, достаточно получить
такую оценку для расстояния от любого ВР P  V до какого-то подходящего ВР
Q  U. Но всякое P  V имеет вид: P = P1  ...  Pn, Pi  Y. Пусть mi = EPi, Di = DPi,
Ti = TPi . Тогда (mi, Di)  tr Y, EP   mi , DP   Di , |mi | < С, 1/С < Di < С, Ti < C.
i
i
Построим теперь ВР Q  X, достаточно близкое к Р.
Точка Н с координатами (EP/n, DP/n), очевидно, принадлежит ctr Y. Но ctr Y
является и выпуклой оболочкой tr X, поэтому найдется содержащий Н
треугольник с вершинами (mi, Di)  tr X, i = 1, 2, 3. Тогда Н будет выпуклой
линейной комбинацией его вершин:
3
 EP n ,DP n    ti  mi, Di , ti  0,
i 1
3
 ti  1.
i 1
Заметим теперь, что точкам  mi, Di  отвечают какие-то три распределения
Qi  X. Выберем целые ni из условий n1 + n2 + n3 = n, | nti - ni | < 1, и положим
Q=(Q1n1)  (Q2n2)  (Q3n3). Тогда
3
 EQ ,DQ    ni  mi, Di,
i 1
EQ  EP  3C ,
DQ  DP  3C .
(7.11)
Пусть Ф — стандартное нормальное распределение, а Ф1 и Ф2 —
нормальные (и принадлежащие семейству Y) распределения со следами
соответственно (EP, DP) и (EQ, DQ). Тогда (P, Q) < (P, Ф1) + (Ф2, Q) + (Ф1, Ф2).
Сумма первых двух членов здесь в силу (7.5) и (7.6) не превосходит Bnr/2, а
последнее слагаемое, в силу (7.2) и (7.11), допускает оценку:
 
  1 ,  2   1  DP  DQ   max  EP  EQ , DP  DQ   O n .
Отсюда и из (7.11) получим искомую оценку (P, Q) = O(nr/2).
2. Пусть теперь X — произвольная ИСА, Y — ИСА, образованная
нормальными ВР со следами из ctr X. Положим U = X  N, V = Y  N, где N ={Ф}
— семейство, состоящее из единственного стандартного нормального ВР Ф.
При этом дисперсии всех ВР из V больше 1, так что ИСА V сильно ограничена, а
ИСА U может быть представлена как предел (в метрике ) сильно ограниченных
ИСА. Из доказанного выше и непрерывности E следует, что E(U) = E(V). Но
тогда в силу аддитивности будет E(X) = E(Y). ■
Оказывается, что доказанную лемму можно существенно усилить.
Поставим в соответствие каждой ИСА X диполь — вектор (m, M) с
компонентами: m  X   inf EP ; M  X   sup EP .
PX
PX
Лемма 7.4. ИСА с одинаковыми диполями равноэффективны.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ИСА X отвечает диполь (m, M), а ИСА Y состоит
122
из всех нормальных распределений с дисперсией 1 и средними из отрезка
[m, M]. Утверждение леммы будет доказано, если убедиться, что E(X) = E(Y). При
этом можно ограничиться случаем, когда дисперсии всех распределений из X
больше положительной константы (в противном случае, как и в лемме 7.3,
следует рассмотреть ИСА U = X  {Ф} и V = Y  {Ф}).
Пусть  > 0, Y и Y — ИСА, включающие все нормальные ВР с дисперсией
1, средние которых лежат на отрезках соответственно [m - , M - ] и [m+ , M+ ].
Докажем, что E(X) > E(Y).
Действительно, если H = (a, D)  ctr X, то a > m - , и по лемме 7.2 найдутся
такие распределения PH и QH со следами (a, D) и (m - , 1), что PH » QH. С другой
стороны, для любой точки K = (b, 1)  tr Y найдется точка (a, D)  ctr X такая, что
a > b. Этой паре точек также соответствуют некоторые ВР RK и SK со следами
(b, 1) и (a, D) такие, что SK » RK. Образуем теперь семейства распределений U и V,
включив в первое семейство все ВР PH и SK, а во второе — все ВР QH и RK. Легко
видеть, что tr U = tr X, tr V = tr Y и U » V, так что E(X) = E(U) > E(V) = E(Y).
Аналогично убеждаемся, что E(X) < E(Y), так что E(Y) < E(X) < E(Y). Но
при   0 расстояния между Y, Y и Y стремятся к нулю, поэтому E(X) = E(Y). ■
Таким образом, ожидаемый эффект любой ИСА зависит только от
экстремальных значений математических ожиданий входящих в нее ВР.
Возьмем произвольную ИСА X. Заменим каждое P  X числом EP или, что то же,
вырожденным ВР IEP. Полученная новая ИСА X0 в силу леммы 7.4 имеет тот же
ожидаемый эффект: E(X0) = E(X). С другой стороны, ее можно трактовать как
введенную в п. 4.2 И-альтернативу и, более того, любая ИА может быть
получена таким способом из некоторой ИСА. Поэтому E(X0) имеет вид (4.7),
откуда и вытекает искомое представление (7.9) функционала E(X). ■
Приведем примеры применения построенного критерия.
Пример 7.4 (ср. пример 4.3). Нефтегазовое месторождение состоит из двух
пластов. Расчеты эффективности проекта X его разработки показали, что при
предложенной технологической схеме интегральный эффект может составлять
от 35 до 90 млрд.руб. При экспертизе проекта выяснилось, что такой результат
получен при условии, что тектонические нарушения и глинистые разделы
между пластами непроницаемы (далее — событие A), вероятность чего
экспертами оценена в размере 0.8. В противном случае (событие B) возможные
значения интегрального эффекта будут лежать в пределах от -15 до +15 млрд.
руб. Такой проект можно формализовать в виде следующей ИСА. При событии
A эффект проекта характеризуется семейством Y распределений,
сосредоточенных на отрезке [35, 90], при событии B — семейством Z
распределений, сосредоточенных на отрезке [-15, 15]. Поскольку событие A
имеет вероятность 0.8, а событие B — 0.2, то возможные распределения
эффекта проекта будут иметь вид смесей 0.8P + 0.2Q, где P Y, Q Z. У таких ВР
123
экстремальными
значениями
математических
ожиданий
будут
0.890+0.215 = 75 и 0.835-0.215 = 25. Поэтому при  = 0.3 ожидаемый эффект
проекта составит 0.375+0.725 = 40 млрд. руб. ■
Пример 7.5. Возможны n сценариев реализации проекта X, которым
отвечают значения эффекта соответственно a1,..., an. Известно, что каждый i-й
сценарий не менее вероятен, чем все последующие. Если обозначить через pi
(неизвестную) вероятность i-го сценария, то максимально возможное значение
математического ожидания эффекта Emax будет решением задачи:
Emax = p1a1 + ...+ pnan  max, p1 + ...+ pn = 1, p1 > p2 >. . . > pn > 0.
Докажем, что для каждого i имеются только две возможности: либо pi = 0,
либо pi = pi-1 = . . . = p1. Действительно, если это не так, сравним 1-й и i-й сценарии
и заметим, что не меньшее значение критерия p1a1 + ...+ pnan можно получить,
если немного увеличить вероятность сценария с большим эффектом и на
столько же уменьшить вероятность сценария с меньшим эффектом. Отсюда
следует, что E max  max
i
a1  ...  ai
a  ...  ai
. Аналогичная формула E min  min 1
i
i
i
справедлива для минимально возможного значения математического ожидания
эффекта. Отсюда находим: E(X) = Emax + (1-)Emin. ■
Пример 7.6 (В.И.Аркин). Возможны n сценариев реализации проекта X,
которым отвечают значения эффекта соответственно a1,..., an, причем a1 < . . . < an.
Известно, что 1-й и n-й сценарии не более вероятны, чем каждый из остальных.
Если обозначить через pi вероятность i-го сценария, то максимально возможное
значение математического ожидания эффекта Emax будет решением задачи:
Emax = p1a1 + ...+ pnan  max, p1 + ...+ pn = 1, 0 < p1, pn < p2 , . . . , pn.
Очевидно, что здесь p1 = 0, а pn равно либо нулю, либо какому-то pk
(1 < k < n). В первом случае оптимальным решением будет pn-1 = 1, во втором —
p2 = . . . = pn. Отсюда находим: E max  max an1 ,

a2  ...  an 
 . Аналогично получаем:
n 1 
 a  ...  an 1  и E(X) = E + (1-)E . ■
E min  min a2 , 1
max
min

n 1


Пример 7.7. Сценарий реализации проекта X определяется парой
случайных параметров (x, y). При сценарии с параметрами (xi, yk) эффект проекта
равен aik. Вероятности pi событий x = xi известны. Здесь семейство X состоит из
всех распределений {pik} вероятностей сценариев, для которых  pik  pi i .
k
Распределения с экстремальными значениями математического ожидания
эффекта  pik aik легко находятся, и мы получаем:
i ,k
E(X) =  pi  max aik  1    min aik  .
k
 k

i
124
Результат изменится, если появится дополнительная информация, что
параметры x и y независимы. Пусть qk — неизвестные вероятности событий
y = yk. Теперь вероятность сценария с параметрами (xi, yk) будет равна piqk и
E(X) =  max  pi qk aik  1    min  pi qk aik   max  pi aik  1    min  pi aik . ■
qk 
qk 
i ,k
k
i ,k
k
i
i
Мы видим, таким образом, что для определения ожидаемого эффекта
достаточно минимальной информации о большей или меньшей вероятности
отдельных сценариев или о независимости влияющих на эффективность проекта
факторов.
7.4. Нечеткая вероятностная неопределенность
Неопределенность эффекта ИСА характеризовалась семейством ВР, но все
ВР этого семейства считались как бы “одинаково возможными”. Ниже
рассматривается другая ситуация, когда у каждого из возможных ВР P своя
“степень возможности”, выражаемая степенью принадлежности X(P). Как и
раньше, все возможные ВР эффекта проекта будем считать -ограниченными.
Но тогда удобно считать, что возможным распределением эффекта проекта
может быть любое -ограниченное ВР, только некоторые из них имеют нулевую
степень принадлежности. Это значит, что теперь проект X может быть
однозначно охарактеризован функцией принадлежности (ФП) X(P), заданной
на классе -ограниченных ВР и принимающей значения от 0 до 1. Такую
формализацию проекта назовем нечеткой случайной альтернативой (НСА).
Класс НСА обозначим .
Основной характеристикой НСА X будут лебеговы множества:
L(|X) = { P | X(P) >  } для 0 <  < 1. По аналогии с п. 5.1 определим, что X » Y,
если L(|X) » L(|Y) при всех   [0,1), где доминирование семейств ВР
понимается в смысле п. 7.3. Расстояние между НСА определим по Хаусдорфу
аналогично п. 5.1:


  X,Y   sup  L   X  , L   Y  =
01


= sup max  sup
inf   P,Q  , sup
inf   P,Q  .
01
Y Q    X  P  
 X  P   Y Q 

Точно так же, по аналогии с пп. 5.1 и 7.3 определим операцию слияния
НСА: Z : = X  Y, если
(7.12)
 Z  P  = sup min  X  Q  , Y  R  .
Q , R: Q  R  P
Легко проверяется, что при слиянии НСА соответствующие множества
L(|) суммируются по Минковскому.
Структура согласованных, монотонных, аддитивных и равномерно
125
непрерывных критериев ожидаемого эффекта E(X) на классе  выясняется
аналогично п. 7.3.
Вначале, повторив доказательство леммы 7.3, найдем, что E(X) = E(Y), если
ctr L(|X) = ctr L(|Y) при всех . Поэтому ожидаемый эффект НВА зависит
только от семейства множеств ctr L(|X).
Далее, как и в лемме 7.4, убеждаемся, что ожидаемый эффект любой НСА
будет зависеть только от ее диполя — полунепрерывной справа на [0,1) векторфункции с компонентами:
m  X ,  
inf
m  inf EP  inf EP ,
 X  P  
P L   X 
 m, D  ctr L   X 
(7.13)
M  X ,  
sup
m  sup EP  sup EP ,
 X  P  
P L   X 
 m, D  ctr L   X 
доопределенной в точке  = 1 по непрерывности.
Пусть теперь X — произвольная НСА. Возьмем для каждого x множество
A (x) = {P  X | EP = x } и заменим все входящие в него ВР вырожденным ВР Ix,
сосредоточенным в точке x, приписав ему степень принадлежности
sup { X(P) | P  A (x) }. Мы получим новую НВА X' с тем же диполем, так что
E(X') = E(X). С другой стороны, ее можно трактовать как рассмотренную в п. 5.1
нечеткую альтернативу и, более того, любая НА может быть получена таким
способом из какой-то НСА. Поэтому E(X') имеет вид (5.6), откуда получаем:
1




E  X      sup EP   d   1      inf EP   d  ,
(7.14)
 X  P  

P






0 X
0
где  и  — некоторые НК-меры.
Нетрудно убедиться, что функционал (7.14) при любых НК-мерах  и  и
  [0, 1] удовлетворяет введенным аксиомам, поэтому справедлива следующая
теорема.
1
Теорема 7.4. Функционал ожидаемого эффекта E на классе  аддитивен
и удовлетворяет аксиомам согласованности, монотонности и непрерывности,
если и только если он имеет вид (7.14). ■
Другими словами, НСА X с нечетким случайным эффектом можно
заменить на НА X' с ФП X (x) = sup { X(P) | EP=x}. Теперь теорема 5.2 дает
необходимые и достаточные условия, обеспечивающие малые изменения
функционала (7.14) при малых изменениях ФП.
7.5.
Случайные альтернативы, наделенные правдоподобием
Пусть теперь все возможные ВР эффекта проекта X -ограничены и
равномерно удалены (в метрике ) от вырожденного ВР I0, но “степень
возможности” каждого из этих ВР выражается не степенью принадлежности,
126
как в п. 7.4, а степенью правдоподобия — числом между 0 и 1. Такой проект X
характеризуется функцией (относительного) правдоподобия (ФОП) X(P) или ее
отрицательным логарифмом X(P)=-ln X(P). Эту формализацию проекта
назовем случайной альтернативой, наделенной правдоподобием (ПСА). Класс
ПСА обозначим . Отличие ПСА от рассмотренных в разд. 6 П-величин такое
же, как отличие НВА от нечетких величин.
Основной характеристикой ПСА X будут лебеговы множества
L(|X) = { P | X(P) <  }, (0 <  < ). Множество L(|X) = supp X назовем носителем
X — оно включает все ВР с X(P) > 0. Как и в п. 6.1, определим, что X » Y, если
L(|X) » L(|Y) при всех , понимая доминирование семейств ВР в смысле п. 7.3.
Расстояние между ПСА определим аналогично п. 7.4 как максимальное
хаусдорфово расстояние между их лебеговыми множествами. Независимость
ПСА определим так же, как и в п. 6.1. Это позволяет определить операцию
слияния ПСА: Z : X  Y, если
Z  P  = sup  X  Q  Y  R  или  Z  P  = inf  X  Q   Y  R  .
Q , R: Q  R  P
Q , R: Q  R  P
Слияние k независимых “копий” ПСА X, как и раньше, обозначим X k.
Структура согласованных, монотонных, аддитивных и равномерно
непрерывных критериев ожидаемого эффекта устанавливается во многом
аналогично пп. 6.1 и 7.4.
Назовем следом ПСА X множество tr X следов всех ВР из ее носителя, а
тенью X — множество точек в 3 sh X = { (EP, DP, z)| z > X(P), P  supp X}.
Назовем нижнюю границу тени X(x, y) = inf { X(P) | P  supp X, EP = x , DP = y }
теневой функцией ПСА X (нижняя грань по пустому множеству считается
равной +, так что X(x, y) <  только на множестве tr X). Заметим, что если тень
sh X замкнута, то она совпадает с надграфиком теневой функции. Очевидно, что
одна и та же теневая функция (x, y) может отвечать разным ПСА. Одну из них,
H(), можно образовать из нормальных ВР, приписав распределению со следом
(x, y) степень правдоподобия exp{-(x, y)}. Носитель H() будет содержать ВР с
теми же следами, что и supp X, и к тому же не менее правдоподобные.
ПСА X и функцию X назовем обтекаемыми, если тень X выпукла и
замкнута. Можно доказать [37], что X обтекаема, если и только если она
выпукла и полунепрерывна снизу, а множество { (x, y) | X(x, y) <  } ограничено.
Пусть X — любая теневая функция. Выпуклое замыкание sh X будет
надграфиком некоторой функции, определенной на выпуклом замыкании tr X и
обтекаемой. Назовем ее выпуклым замыканием X и обозначим cX .
Лемма 7.5. ПСА с одинаковыми выпуклыми замыканиями теневых
функций равноэффективны.
127
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть (x, y) — теневая функция ПСА X, c — ее
выпуклое замыкание, Y = H(c) — построенная выше обтекаемая ПСА,
образованная нормальными распределениями и имеющая теневую функцию c.
Лемма будет доказана, если мы убедимся, что E(X) = E(Y). Предположим
вначале, что ПСА X сильно ограничена, т.е. все P  supp X имеют радиус не
больше C. : |EQ| < С, 1/С < DQ < С, TQ < C.
Допустим, что лемма неверна и |E(X) - E(Y)| = h > 0. Рассмотрим две ПСА
U = (Xn)  (Y3n) и V = Y4n, образованные суммированием независимых
копий
X
и
Y.
Поскольку
функционал
E
аддитивен,
то
| E(U) - E(V) | = n| E(X) - E(Y) | = nh > 0.
Утверждение леммы будет доказано, если выяснится, что это невозможно.
Для этого, как и в лемме 7.1, достаточно доказать, что при некотором B, не
зависящем от n (но, возможно, зависящем от C), будет (U, V) < Bnr/2, т.е. что для
любого ВР P, входящего в одно из множеств L(|U) и L(|V), найдется такое ВР
Q из другого, что (P, Q) < 4Bnr/2. Здесь потребуется рассмотреть две
возможности.
А. P  L(|U). Тогда P = P1 . . .  Pn  Q1 . . .  Q3n, где Pi  supp X,
Qm  supp Y,   X  Pi    Y  Qm    . Но Y = H(c), поэтому для каждого Pi
i
m
найдется такое нормальное ВР Ri  supp Y с тем же следом, что Y(Ri) < X(Pi) .
Пусть Q = R1 . . .  Rn  Q1 . . .  Q3n.
Тогда V  Q    Y  Ri    Y  Qm     X  Pi    Y  Qm    , так что
i
m
i
m
Q  L(|V). При этом Q – нормальное распределение, имеющее тот же след, что
и P. Чтобы доказать, что ВР Q — искомое, остается оценить (P, Q). Для этого
заметим, что P есть распределение суммы 4n независимых случайных величин,
у каждой из которых дисперсия лежит между C-1 и C, а третий центральный
абсолютный момент меньше C. Используя утверждение 7.2, можно оценить
расстояние между распределением P и нормальным распределением Q с тем же
следом: (P, Q) < B(4n)r/2 < 4Bnr/2.
Б. Пусть P  L(|V). Тогда P = P1 . . .  P4n, где Pi  supp Y,  Y  Pi    .
i
Учтем теперь, что ПСА V есть сумма 4n копий обтекаемой ПСА Y. Поскольку
при суммировании таких ПВА их тени суммируются по Минковскому, то
sh V = 4nsh Y. Возьмем z  (V(P) , ). Точка (EP, DP, z), очевидно, является
внутренней точкой sh V, т.е. выпуклого замыкания 4nsh X. Поэтому она
принадлежит и выпуклой оболочке 4nsh X. Но тогда (4n)-1(EP, DP, z) принадлежит
выпуклой оболочке sh X, т.е. лежит внутри некоторого тетраэдра, вершины
которого (x1, y1, z1), ..., (x4, y4, z4) принадлежат sh X. Поэтому найдутся ВР P1,..., P4
из
supp X,
для
которых
xm= EPm,
ym= DPm,
zm > X(Pm),
и
128
 EP , DP , z  
4
 m  xm , ym , zm  , 1 ++ 4 =1 и все m > 0. Примем для
4n
m 1
определенности, что 1 > 2 > 3 > 4. Тогда 1 > 1/4. Положим 1 : = (4/3)1 - 1/3,
m : (4/3)m
(m > 1).
Тогда
все
m > 0,
1 ++ 4 =1
и
4
1
1
3
 EP , DP , z    x1 , y1 , z1    x0 , y0 , z0  , где (x0, y0, z0) =   m  xm , ym , zm   sh Y .
4n
4
4
m 1
Поэтому найдется нормальное ВР P0 со следом (x0, y0), у которого
Y(P0) = (x0, y0) < z0. Докажем теперь, что ВР Q = (P1n)  (P03n) — искомое.
Действительно, при свертке ВР их следы суммируются. Поэтому
tr Q = n(x1, y1) + 3n(x0, y0) = (EP, DP) = tr P,
U(Q) < nX(P1) + 3nY(P0) < nz1 + 3nz0 = z < .
Таким образом, ВР Q имеет тот же след, что и P, и принадлежит L(| U).
Оценка (P, Q) < 4Bnr/2 получается теперь из утверждения 7.2.
Таким образом, для сильно ограниченных ПСА лемма верна. Но, поскольку
любое -ограниченное ВР есть предел (в метрике ) какой-то
последовательности сильно ограниченных ВР, то всякая ПСА будет пределом
какой-то последовательности сильно ограниченных ПСА. Поэтому в силу
аксиомы непрерывности лемма справедлива для произвольных ПСА. ■
Таким образом, ожидаемый эффект ПСА зависит только от выпуклого
замыкания ее теневой функции. Это позволяет далее рассматривать только
обтекаемые ПСА, у которых следы ограничены, а теневые функции выпуклы и
полунепрерывны снизу. Пусть X — такая ПСА. Тогда функция
 X  x   inf  X  x, y  — выпукла и полунепрерывна снизу. Образуем теперь
y
ПСА DX, носитель которой содержит только вырожденные распределения,
причем распределение Ix со следом (x, 0) имеет относительное правдоподобие
exp [-X(x)]. Легко видеть, что ПСА DX — обтекаема, так как ее теневая
функция равна X(x) при y = 0 и + при y  0.
Лемма 7.6. E(X) = E(DX).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Лемма будет доказана, если мы убедимся, что
E(X) > E(DX) - 2b и E(X) < E(DX) + 2b для любого b > 0.
Докажем первое неравенство (второе доказывается аналогично). Положим
Z = DX  I-2b, тогда E(Z) = E(DX) - 2b. Пусть Bxy — ВР со следом (x, y), имеющее
атомы y/(y +b2) и b2/(y +b2) в точках соответственно x - b и x + y/b. Образуем ПСА
Y только из таких ВР, положив Y(Bxy) = X(x, y). Теневые функции X и Y
совпадают, так что E(X) = E(Y). При этом любое Bxy  supp Y доминирует
вырожденное ВР Ix-2b  supp Z с тем же правдоподобием. Наоборот, пусть
Iz  supp Z, x = z + 2b. Поскольку X(x)<, найдется такое y, что X(x) = X(x, y). Но
тогда Iz будет доминироваться имеющим то же правдоподобие ВР Bxy  supp Y.
129
Это значит, что Y » Z и E(X) = E(Y) > E(Z) = E(DX) - 2b. ■
Остается заметить, что ПСА типа DX идентичны рассмотренным в п. 6.1
П-альтернативам, а структура правильных критериев их ожидаемого эффекта
дается формулой (6.6). Отсюда получим, что


E  X     sup  EP  t  ln X  P  d   t  

0,  P
(7.15)
 1     inf  EP  t  ln X  P   d   t .
0,


P
где  и  — некоторые НК-меры.
Нетрудно убедиться, что функционал (7.15) при любых НК-мерах  и  и
  [0, 1] удовлетворяет введенным аксиомам, поэтому справедлива следующая
теорема.
Теорема 7.5. Функционал ожидаемого эффекта E на классе  аддитивен
и удовлетворяет аксиомам согласованности, монотонности и непрерывности,
если и только если он имеет вид (7.15). ■
7.6. Критерий Массе
В модели вероятностной неопределенности п. 7.1 класс возможных ВР был
достаточно широк, а от критерия ожидаемого эффекта требовалось
сравнительно сильное свойство равномерной непрерывности. Соответствующей
системе аксиом удовлетворял только критерий математического ожидания,
которым математики обычно и пользуются. В то же время не хотелось бы
игнорировать и точку зрения ряда экономистов о целесообразности учета
“разброса” эффекта при сравнении проектов и оценке их эффективности. Здесь
может оказаться полезной предложенная в [57] иная модель вероятностной
неопределенности. Класс возможных распределений здесь yже, зато требования
к критерию ожидаемого эффекта слабее.
Назовем ВР Q конечным, если оно сосредоточено в конечном числе точек,
ограниченным — если оно сосредоточено на конечном отрезке, и
Л-распределением, если при любом t существует конечное математическое
ожидание M e Q  
tx

e
tx
dQ  x  . Под СА будем понимать теперь только

Л-распределения и класс таких ВР обозначим через . Сходимость (слабую) ВР
определим обычным способом [4]: последовательность функций распределения
Fn слабо сходится к F (Fn  F), если Fn(x)  F(x) для любой точки x, где функция
F непрерывна. Из теоремы Хелли-Брея [4] следует, что в этом случае
130


 u  x  dFn  x    u  x  dF  x 

для любой ограниченной непрерывной функции

u(x). Если же F является Л-распределением, то такое соотношение справедливо
и тогда, когда функция u(x) растет на бесконечности медленнее любой
экспоненты. Обратим внимание, что пределом последовательности
ограниченных или Л-распределений может быть ВР, не являющееся таковым.
Определение отношения доминирования мы сохраним: Q » R означает, что
Q(v) < R(v) для любого v. Если к тому же Q(v) < R(v) для некоторого v, скажем,
что Q строго доминирует R (Q  R). Слияние СА F и G мы по-прежнему
трактуем как свертку F  G. Выбирая случайно одну из СА F (с вероятностью q)
и G (с вероятностью 1 - q), мы получим новую СА — смесь F и G, которой
отвечает ВР qF + (1-q)G.
Потребуем, чтобы критерий ожидаемого эффекта E на классе 
Л-распределений удовлетворял следующей системе аксиом:
1) согласованность: E(Ib) = b, где Ib — вырожденное ВР, сосредоточенное в
точке b;
2) монотонность: Q  R  E(Q) > E(R);
3) непрерывность: если Fn  F, F  , то E(Fn)  E(F);
4) аддитивность: E(Q  R) = E(Q) + E(R);
5) слабая инвариантность к смешиванию (смесь равноэффективных ВР
имеет тот же ожидаемый эффект):
E(F) = E(G)  E(qF+(1-q)G) = E(F) при всех q  (0, 1).
Как самостоятельная аксиома, требование слабой инвариантности к
смешиванию было введено в [57] и позднее использовалось в [60, 61] и других
работах. Целесообразность введения этой аксиомы вытекает, в частности, из
примера 7.2.
Выясним структуру критериев, удовлетворяющих аксиомам 1-5
(правильных). Для этого вначале докажем три простые леммы.
Назовем набор {ei} знакопеременным, если среди величин ei есть
положительные и отрицательные, и заметим, что в этом случае система
 ei xi  0, xi  0 имеет ненулевое решение. Любое такое решение {xi}
i
назовем допустимым для {ei}.
Лемма 7.7. Пусть набор {ai} знакопеременный и любое допустимое для
него решение {xi} удовлетворяет неравенству  ci xi  0 . Тогда существует 
i
такое, что ci < ai для всех i, причем cm = am для некоторого m.
131
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим вначале, что какая-то из величин ai равна
нулю, например, a1 = 0. Тогда допустимым для {ai} решением будет x1 = 1,
x2 = x3 = … = 0, поэтому должно быть c1 < 0 = a1 при любом . На этом основании
можно ограничиться случаем, когда все ai отличны от нуля. Положим
 = max { сi /ai | ai > 0}. Для определенности будем считать, что a1 > 0,  = с1 /a1. В
этом случае ci < ai для всех i таких, что ai > 0. Докажем, что это неравенство
верно и тогда, когда ai < 0. Возьмем допустимое для {ai} решение: xi = 1, x1 = ai/a1, xk = 0 для k  1, i. Тогда ci - c1ai/a1 < 0, откуда следует, что ci < (с1 /a1)ai = ai,
что и требовалось доказать. ■
Очевидно, что лемма будет верна, если в ее формулировке заменить знак
“<” на “>”. Отсюда сразу же вытекает следующее утверждение.
Утверждение 7.3. Пусть набор {ai} знакопеременный и любое допустимое
для него решение {xi} удовлетворяет равенству  ci xi  0 . Тогда ci = ai при
i
некотором .
Далее нам понадобится и другое следствие леммы 7.7.
Утверждение 7.4. Пусть функция f(z) принимает значения разных знаков и
M[h()] < 0 для любой (скалярной или векторной) случайной величины  такой,
что M[f()] = 0. Тогда найдется такое , что h(z) < f(z) для всех z.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем любой набор {zi} такой, что f(z1) > 0 > f(z2).
Тогда найдется случайная величина с нулевым средним, принимающая только
значения f(zi). Это значит, что система  f  zi  pi  0, pi  0,  pi  1 разрешима
i
и
i
 hzi  pi  0 для любого ее решения. Поэтому в силу леммы 7.7 h(zi) < f(zi) i
i
при некотором . Но zi (i > 2) можно выбирать произвольно, поэтому h(z) < f(z)
для всех z. ■
Лемма 7.8. Пусть наборы {ai} и {br} знакопеременные и  cir xi yr  0 для
i ,r
любой пары допустимых для них решений {xi} и {yr}. Тогда найдутся такие i и
r, что
cir = ibr + rai , для всех i и r.
(7.16)
Если же ai = bi , cir = cri для всех i и r, то найдутся такие i , что
cir = iar + rai , для всех i и r.
(7.17)
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Пусть, для определенности, a1  0. Возьмем какой-то


допустимый набор {yr}. Поскольку    cir yr  xi  0 для любого допустимого
i  r

набора {xi}, то в силу утверждения 7.3 найдется такое , что  cir yr  ai i.
r
132
Но тогда
 cir a1  c1r ai  yr  0
для всех i и допустимых для {br} наборах {yr}.
r
Отсюда в силу утверждения 7.3 имеем: cira1 - c1rai = br r при некотором  = i.
Но тогда cir = rai + ibr, где r = c1r/a1, i = i/a1, что и доказывает (7.16).
2. Пусть ai = bi i, cir = cri i, r. Обозначим  : (1 - 1)/2a1, r : r + ar. Тогда
в силу (7.16) 1ar + ra1 = c1r = cr1 = ra1 + 1ar Отсюда r - r = 2ar, так что
r = r + ar, r = r - ar. Подставив это в (7.16), получим искомое равенство
(7.17). ■
Приступим теперь к установлению структуры функционалов E.
(А) Зафиксируем конечное число точек xm, включая 0, 1 и -1. Любое
конечное ВР F, сосредоточенное только в этих точках, опишем вектором F с
компонентами pm = F{xm}. Разобьем множество подобных векторов
T = {(p1, p2,...) | pi > 0, p1 + p2 + ... =1} на подмножества P, N и Z в зависимости от
того, будет ли ожидаемый эффект соответствующей СА больше, меньше или
равен 0. В силу аксиом 1-3 множества P и N не пустые и открыты в T, а Z также
не пусто и является разделяющей их границей, не имеющей внутренних точек.
Легко видеть, что из F, G  Z и аксиомы 5 следует, что qF + (1-q)G  Z. Далее,
если F, G  Z, то qF + (1-q)G  Z в силу аксиомы 5. Поэтому множество Z вместе с
любыми двумя точками содержит и соединяющий их отрезок. Это возможно
только если Z является пересечением T с некоторой гиперплоскостью M:
 vm pm  w. Положим u(xm) = vm - w и, в силу  pm  1, запишем уравнение
m
гиперплоскости иначе:
m
 u xm  pm  0 или, что то же: M[u(x) | F] = 0. Поскольку
m
P и N лежат по разные стороны M, можно считать, что левая часть этого
равенства положительна на P и отрицательна на N (в противном случае сменим
знак у функции u), так что


M[u(x) | F] = si gn u x(m p)m   si gn
(7.18)
E F ( .)
m

В частности, при F = I0 отсюда следует, что u(0) = 0. Пусть теперь F  Z,
pi > 0, pk > 0, xi > xk. Заменив pi и pk на pi -  и pk + , мы получим ВР G, строго
доминирующее ВР F (G  F). Но тогда E(G) > 0 и в силу (7.18) u(xi) > u(xk), так что
функция u(x) строго возрастающая и принимает значения разных знаков. Далее,
коэффициенты в уравнении гиперплоскости M определены с точностью до
положительного множителя. Выберем его из условия u(1) = 1.
(Б) Обратим теперь внимание, что функция u(x) определена только в точках
xi и построена применительно к определенному набору этих точек. Рассмотрим
более широкий набор точек xi, которому отвечают множества T, P, N и Z и
функция u(x). Тогда u(1) = 1 = u(1). Легко видеть также, что Z  Z, поэтому в
133
силу (7.18) из (p1, p2, . . . )  T следует
 u( xm ) pm  0   u( xm ) pm  0 .
m
Это
m
возможно только, если значения u(x) и u(x) в “старых” точках xm совпадают.
Таким образом, расширяя набор {xi} различными способами, мы однозначно
определим функцию u(x) с указанными выше свойствами при всех x.
(В) Выясним, как устроена u(x) при целых x. Пусть F и G — конечные ВР с
нулевым ожидаемым эффектом, сосредоточенные в целых точках, pm = F{m},
qr = G{r}. Тогда E(F  G) = 0, так что из
(7.19)
 u  m  pm  0, pm  0;  u  r  qr  0, qr  0
m
и условий нормировки
r
 pm   qr  1 следует, что
m
r
 u m  r  pmqr  0 .
(7.20)
m,r
Поскольку при умножении всех pm и qr на положительные числа
соотношения (7.19)—(7.20) сохранятся, условия нормировки можно опустить,
потребовав лишь, чтобы уравнения (7.19) имели ненулевые решения. Из
(7.19)—(7.20) и леммы 7.8 следует, что найдется функция (m) такая, что
u(m+r) = (m)u(r) + (r)u(m)
при
всех
m
и
r.
В
частности,
u(m+1) = (m)u(1) + (1)u(m), u(m+2) = (m)u(2) + (2)u(m). Исключив отсюда
(m), найдем, что величины u(m) удовлетворяют возвратному уравнению
второго порядка:
u(1)u(m+2) - u(2)u(m+1) + [u(2)(1) - u(1)(2)]u(m) = 0.
Поведение
u(m)
определяется
корнями
соответствующего
характеристического квадратного уравнения. Легко проверить, что равенства
u(0) = 0, u(1) = 1 и монотонность u(m) будут иметь место только в двух случаях:
1) характеристическое уравнение имеет кратный корень 1. Тогда u(m) = m;
2) характеристическое уравнение имеет два разных вещественных
различных корня, один из которых не больше, а второй — не меньше 1.
ehm  e km
Тогда динамика u(m) имеет вид: u m 
, где h и k
hk
неотрицательны, но одновременно не равны нулю;
Аналогичные формулы мы получим, взяв любое целое N и рассматривая
значения функции u(x) в точках вида m/N. Но при m, кратных N, мы должны
получить прежний результат. Это значит, что для всех рациональных x должно
быть либо u(x) = x, либо
ehx  e kx
u x  
, (h, k > 0, h + k > 0).
(7.21)
hk
Поскольку u(x) монотонна, (7.21) верно и при иррациональных x. Остается
заметить теперь, что функция u(x) = x получается из (7.21) предельным
134
переходом при k  0, h  0.
(Г) Пусть теперь F — произвольное ограниченное ВР с нулевым
ожидаемым эффектом. Оно сосредоточено на некотором отрезке [a, b). Разобьем
его на отрезки [ai, ai+1), каждый длиной не больше . Пусть pi = F{ [ai, ai+1) }.
Сосредоточив вероятность pi сначала в точке ai+1 а затем в точке ai для каждого
i, получим конечные ВР F и F такие, что F » F » F и, стало быть,
Е(F)  0  Е(F). Тогда в силу (7.18) получим  uai 1  pi  0   uai  pi или,
i
i
что то же, M[u(x) | F] > 0 > M[u(x) | F]. При   0 ВР F и F слабо сходятся к F, а
функция u(x) непрерывна и ограничена на [a, b). Поэтому M[u(x) | F] и
M[u(x) | F] стремятся к M[u(x) | F]. Итак, для ограниченных ВР имеем:
Е(F) = 0  M[u(x) | F] = 0.
(7.22)
(Д) Пусть теперь F — любое ограниченное ВР, Е(F) = b, G = F  I-b. Тогда в
силу аддитивности и согласованности Е(G) = 0, откуда и из (7.22) имеем:
0 = M[u(x) | G] = M[u(x - b) | F] = M[u(x - Е(F) ) | F].
При u(x) = x отсюда получаем критерий математического ожидания:
Е(F) = M[x | F] = ЕF. Если же u(x) задается формулой (7.21), то из того же
равенства после простых преобразований найдем:
ln ehx F   ln e kx F 
, (h, k > 0, h + k > 0).
(7.23)
E F  
hk
В частности, если одна из величин h и k равна 0, мы приходим к критерию
E(F) = { ln M[etx | F] }/t с положительным или отрицательным t. Такой критерий,
по-видимому, впервые был предложен П.Массе в [56], что позволяет назвать
(7.23) обобщенным критерием Массе. При t  0 он переходит в обычный
критерий математического ожидания.
(Е) Формула (7.23) будет верна для любого Л-распределения F.
Действительно, возьмем сходящуюся к F последовательность ограниченных ВР
Fn. Тогда Е(Fn)  Е(F). Но из Fn  F и F   следует, что M[etx | Fn]  M[etx | F] при
любом t, поэтому
lnM ehx Fn   lnM e kx Fn  ln ehx F   ln e  kx F 
.■
E  F   lim

n 
hk
hk
Остается заметить, что критерий (7.23) при любых неотрицательных h и k
будет правильным (удовлетворяющим аксиомам 1-5), так что имеет место
следующая теорема.
Теорема 7.6. Критерий Е(F) на классе  будет правильным, если и только
если он является критерием математического ожидания или обобщенным
критерием Массе (7.23). ■
До сих пор мы рассматривали критерии ожидаемого эффекта, слабо
135
инвариантные к смешиванию (смесь равноэффективных СА имеет тот же
ожидаемый эффект). В литературе нередко к сравнению СА предъявляется
более сильное требование: две равноэффективные СА останутся
равноэффективными, если смешать их с одной и той же третьей СА [57]. Мы
можем выразить это следующей аксиомой:
Сильная инвариантность к смешиванию:
E(F) = E(G)  E(qF + (1-q)H) = E(qG + (1-q)H) при любых H и q  (0,1).
Легко проверить, что критерии Массе и математического ожидания этой
аксиоме удовлетворяют. Оказывается, что других таких критериев вида (7.23)
нет.
Теорема 7.7. Функционал (7.23) при положительных h и k не может быть
сильно инвариантным к смешиванию.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что вопреки утверждению теоремы
критерий (7.23) при некоторых h > 0 и k > 0 сильно инвариантен к смешиванию.
Пусть F — распределение случайной величины, принимающей значения 1 и -1 с
вероятностями p и q. Тогда M[etx | F] = pet + qe-t. Пусть p и q — решение системы:
p > 0, q > 0, p + q = 1, peh  qe h  pe k  qek .
Легко проверить, что такие p и q существуют, и при этом20:
(7.24)
ch  h  k  2
E(F) = 0 = E(I0) ; M ehx F   M e kx F   
   1.
ch  h  k  2
В качестве G возьмем ВР, аналогичное F, для которого второе из равенств
(7.24) не выполняется и :  M ehx G   M e kx G   : .
Рассмотрим смеси H  0.5G + 0.5F и K  0.5G + 0.5I0, для которых

1

1
M ehx H  
; M ehx K  
; M e kx H  
; M e kx K  
.
2
2
2
2
В силу сильной инвариантности к смешиванию имеем: E(H) = E(K). Но тогда
M ehx H 
M ehx K 

из (7.23) вытекает, что
. Подставляя сюда найденные
M e kx H  M e  kx K 
    1

выше математические ожидания, найдем:
, откуда       1  0 ,
    1
что неверно. ■
Выясним, как обобщенные критерии Массе реагируют на разброс эффекта
проекта относительно его среднего значения. Начнем с того, что если H —
hk
DH . Поэтому при внесении в
нормальное распределение, то E(H) = E H 
2
20
Здесь и далее sh и ch — гиперболические функции.
136
случайный эффект проекта дополнительного нормального разброса ожидаемый
эффекта увеличится при h > k, останется неизменной при h  k и уменьшится при
h < k. Это верно и для любого центрально симметричного ненулевого “разброса”.
Утверждение 7.5. Пусть ВР H  I0 — центрально симметрично, т.е.
H(-x) = 1-H(x), а E(F) имеет вид (7.23). Тогда sign {E(H)} = sign (h - k).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим вначале, что E(H) имеет тот же знак, что и
M ehx H   M e kx H   M ehx  e kx H  . Но H центрально симметрично, и эта
величина
совпадает
с
M e hx  ekx H  ,
а
их
общее
значение
равно
1
M ehx  e hx  ekx  e kx H   M ch hx  ch kx H  , причем ch hx - ch kx для x  0
2
имеет тот же знак, что и h - k. ■
Таким образом, использование критериев с h > k отвечает интересам
экономических субъектов, склонных к риску. Наоборот, критерии с h < k
целесообразно использовать “осторожным”, не склонным к риску субъектам.
Выясним теперь, что происходит с критерием (7.23), если при той же
симметричной “форме” разброса H его “масштаб” увеличивается в t раз, т.е.
функция распределения H(x) переходит в H(x/t). Пусть f(t) — ожидаемый эффект
такого ВР.
Утверждение 7.6. С ростом t функция f(t) возрастает при h > k, убывает при
h < k, и остается постоянной при h = k.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку H центрально симметрично, то
M ehtx H 
M ch htx H 
h

k
f
t

ln

ln
.

 
M ch ktx H 
M e ktx H 
Продифференцировав это равенство по t и умножив на t, получим
M ux  sh ux H 
(h + k)tf(t) = (ht) - (kt), где (u): 
. Искомое утверждение будет
M ch ux H 
доказано, если мы убедимся, что функция (u) возрастает по u. Для этого
достаточно проверить, что u·(u) > 0. Вычисляя производную, приведем это
неравенство к виду:
M ux  sh ux H 
2
 M ch ux H   M ux  sh ux   ux  ch ux H  .


2
2
Оно верно, поскольку z shz + z chz > (z shz) /chz, а в силу неравенства Шварца
  ux  sh ux 2 
2
M ux  sh ux H   M ch ux H   M 
H. ■
 ch ux

2


137
7.7. Проекты со случайными векторными результатами
Результаты, полученные в п. 7.6, можно распространить на многомерный
случай (с моделью п. 7.1 этого сделать не удается, поскольку возникают
трудности с многомерным аналогом леммы 7.2). Изложим вкратце
соответствующие рассуждения.
Пусть n — класс случайных альтернатив, формализуемых как n-мерные Лраспределения, для которых M e
tx
Q  

e
tx
dQ  x  существует и конечно

при любом векторе t. Детерминированную СА с вектором результатов b будем
обозначать Ib. Введем для векторов отношения доминирования (») и строгого
доминирования ():
(x1, . . . , xm) » (y1, . . . , ym), если xi > yi i, (x1, . . . , xm) (y1, . . . , ym), если xi > yi i.
Тогда условия положительности и неотрицательности компонент вектора x
запишутся как x 0 и x » 0. Теперь введем отношение доминирования СА.
Положим A (b, q) : { t | q  t  b }. Скажем, что СА F доминирует G (F » G), если
F{A (b, q)} > G{A (b, q)} для любых b и q » 0. Если же при некоторых b и q здесь
имеет место строгое неравенство, скажем, что F строго доминирует G (F G).
Введенные
определения
позволяют
сохранить
без
изменений
формулировки аксиом 2-5 из п. 7.6. Аксиому согласованности с учетом
многомерности пространства придется скорректировать: E(Ib1) = b. При этом
ожидаемый эффект 1 будет иметь проект с детерминированным вектором
результатов 1 (все компоненты которого равны 1).
Структура
критериев,
удовлетворяющих
указанным
аксиомам,
устанавливается аналогично п. 7.6.
Вначале строится такая функция u(x), что u(x) > u(y) при x » y, u(0) = 0,


u(1) = 1 и sign  u (xm )pm  = M[u(x) | F] = sign {E(F)} для дискретных ВР F. При
m

этом существует функция (x) такая, что
u(x+y) = (x)u(y) + (y)u(x) при всех x и y.
(7.25)
Рассматривая функцию u(x) только на луче x = tv (v » 0, v ≠ 0) можно
убедиться, что она монотонна, и поэтому возможны только два типа таких
векторов e: для векторов первого типа u(tv) = c(v)t, (tv) = 1, c(v) > 0, для векторов
второго типа
h v t
k v t
h v t
k v t
u  tv   b  v  e    e    ,   tv   e    e    2 ,
(7.26)




где h и k неотрицательны, h + k > 0, b > 0. Здесь возможны три случая:
1) Все v » 0 — первого типа. Тогда для i-го координатного вектора vi имеем
138
u(tvi) = cit, ci > 0. Пусть c — вектор с компонентами ci. Тогда c 0.
Представив теперь любой вектор x линейной комбинацией
координатных и используя (7.25), получим:
u(x) = cx, (x) = 1,
(7.27)
1) Отсюда при x = 1 получим, что c1 = 1.
2) Все v » 0 — второго типа. Возьмем пару неколлинеарных таких векторов
f и g. Вычисляя функцию u(tf + tg) с помощью (7.25), легко убедиться, что
она будет иметь вид (7.26) только, если b(f) = b(g), и тогда
h(f + g) = h(f) + h(g), k(f + g) = k(f) + k(g). Пусть h и k — векторы с
компонентами соответственно h(vi) и k(vi). Тогда, представив любой
вектор x линейной комбинацией координатных и используя (7.25),
найдем, что h + k 0 и



u  x   b eh x  e k  x ,   x   eh x  e k  x

1) Отсюда при x = 1 получим, что b  e h1  e k 1

1

2.
(7.28)
.
2) Найдется вектор f » 0 первого типа и вектор g » 0 второго типа. Вычисляя
u(tf + tg) с помощью (7.25), легко убедиться, что вектор f + g не может
относиться ни к первому, ни ко второму типу, так что данный случай
невозможен.
Таким образом, для любого конечного ВР имеет место импликация,
аналогичная (7.22): Е(F) = 0  M[u(x) | F] = 0, где u(x) имеет вид либо (7.27), либо
(7.28). Как и в п. 7.6, предельным переходом можно получить, что это верно и
для любого ограниченного ВР.
Пусть теперь F — любое ограниченное ВР, Е(F) = w. Положим G = F  I-w1.
Тогда в силу аддитивности и согласованности Е(G) = 0, откуда
0 = M[u(x) | G] = M[u(x - w1) | F]. Подставляя сюда функции (7.27) и (7.28), после
простых преобразований получаем два выражения для w = Е(F), отвечающие
двум типам критериев ожидаемого эффекта:

Е(F) = M[cx |F], c 0, c1 = 1;

 


(7.29)
ln M eh x F   ln M e k  x F 




E F  
, h » 0, k » 0, h + k 0. (7.30)
h  k   1
Нетрудно убедиться, что первый критерий будет пределом второго, когда
векторы h и k надлежащим образом стремятся к 0.
Таким образом, имеет место следующая теорема.
Теорема 7.8. Функционал Е(F) на классе n будет согласованным,
монотонным, аддитивным, непрерывным и слабо инвариантным к смешиванию,
если и только если он имеет вид (7.29) или (7.30). ■
139
Имеет место и аналог теоремы 7.7.
Теорема 7.9. Сильно инвариантными к смешиванию будут критерии (7.29)
и (7.30), если только h = 0 или k = 0.
Первая часть теоремы очевидна, вторая доказывается так же, как и теорема
7.7 с использованием распределения F, сосредоточенного в точках e и -e, где e
— вектор, не ортогональный ни к h, ни к k.
7.8.
Предпочтение времени
Модель п. 7.7 применима к классу  дискретных проектов (см. п. 1.6) со
случайными результатами. Здесь i-я компонента (случайного) вектора
результатов проекта отражает чистый доход проекта x(ti) в момент времени ti.
Однако введенные ранее аксиомы не в полной мере отражают особенности
соизмерения разновременных чистых доходов. Так, в аксиоме согласованности
эффект 1 естественно приписать не проекту, дающему чистый доход 1 в
каждый из моментов ti, а (как в п. 1.6) проекту, дающему чистый доход 1
только в момент 0. Кроме того (как и в п. 1.6) целесообразно ввести
следующую аксиому.
Невыгодность задержки. Эффективный проект, начатый позднее, остается
эффективным, но его ожидаемый эффект уменьшается.
Легко убедиться, что в этом случае в (7.29) и (7.30) изменяется
коэффициент пропорциональности, каждая i-я компонента векторов c, h, k
становится функцией только от “своего” момента времени ti, причем все
компоненты векторов c и h + k становятся убывающими по ti. Поэтому
выражения для Е(F) принимают вид:


(7.31)
E  F   M   c  ti  x  ti  F  ,
 i


  h ti  x ti  
   k ti  xti   
1


i
E F  
F   ln M e i
F   , (7.32)
ln M e
h  0  k  0 



 


где h(t), k(t) > 0, а c(t) и h(t) + k(t) положительны и убывают по t.
Для детерминированного проекта F (7.31) принимает вид (1.10):
m
E  F    cti  xti  . Поэтому, как и в п. 1.6, невыгодность задержки будет
i0
обеспечена, только если c(t) = e-rt, где r — безрисковая ставка дисконтирования
(r > 0). Но тогда
m
m

E  F   M  e rti x  ti  F   M  D  F , r  F    e  rti M  x  ti  F  , (7.33)
i 0
 i 0

где D F ,r    xti e rti — случайный ЧДД проекта F. Таким образом, Е(F)
i
140
является математическим ожиданием ЧДД проекта, исчисленного по
безрисковой ставке дисконтирования r. Полученный результат чрезвычайно
важен. Дело в том, что многие российские и западные экономисты считают, что
в условиях, когда реализация проекта связана с риском, для дисконтирования
математических ожиданий чистых доходов следует использовать ставку
дисконтирования, увеличенную на так называемую “премию за риск”. Наше
исследование показывает, что это некорректно (см. также выше, п. 2.2).
Перейдем теперь к функционалу (7.32). Для детерминированного проекта F
имеем: E  F     1hti   k ti xti  , где = [h(0) + k(0)]-1. Отсюда и в силу
i
(1.13) получим:
h(t) + k(t) = e-rt := (t) , r > 0.
(7.34)
Утверждение 7.7. [h(t) - h(t+s) ] : [h(u) - h(u+s) ] = (t) : (u)  s > 0.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что утверждение неверно. Тогда
найдутся такие x0 и y0, что
 t  s x0   u  s y0  e rs t  x0   u y0   0 ,
h t   h t  sx0  h u  h u  s y0  1.
Возьмем проект F, дающий случайные чистые доходы  и  только в
моменты времени t и u. Пусть ln b — его ожидаемый эффект, b > 1. Тогда
аксиома невыгодности задержки дает:
h t  h u 
 k t  k u 
M e      be     F   0 


h t  s  h u  s 
 k t  s  k u  s 
 M e      be     F   0.


В силу утверждения 7.4 это возможно только, если найдется  = (s, b)
такое, что при любых x и y справедливо неравенство:
h t s xh u s y
 k t  s x k u  s y
h t xh u y
 k t x k u y
e      be       e      be      . (7.35)


При x  , y   отсюда следует, что  > 0, причем случай  = 0
невозможен. Теперь из (7.35) с учетом (7.34) находим:
 t  s  x  u  s  y
 t  x  u  y
h t   h t  s  x  h u   h u  s  y
be
be
 1  e

1 .
Подставив сюда x = Nx0, y = Ny0, найдем: b - 1 > eN(b - 1), что неверно при
больших N. ■
При u = 0 утверждение 7.7 дает: h(t) - h(t+s) = (t) [ h(0) - h(s) ]. Пусть
v(t) = h(0) - h(t). Тогда v(t+s) - v(t) = (t) v(s). Поменяв здесь местами t и s, найдем:
v(t+s) - v(s) = (s) v(t). Вычитая это равенство из предыдущего, получаем:
v(s) - v(t) = (t) v(s) - (s) v(t), откуда v(t)/[1 - (t)] = v(s)/[1 - (s)] , поэтому справа и
141
слева здесь стоит одна и та же константа . Итак, v(t) = [1- (t)], откуда
h(t) = h(0) -  + (t). Но тогда в силу (7.34) k(t) =  - h(0) + (1 - )(t). Такие
функции h(t) и k(t) будут неотрицательными при всех t только, если
0 <   h(0) < 1. При этом h(t) = (t) = he-rt, k(t) = (1 - )(t) = ke-rt, где h = > 0,
k = (1 - )> 0. Тогда функционал (7.32) примет вид:

 

hD F , r
 kD F , r
ln M e   F   ln M e   F 




, h , k > 0 . (7.36)
E F  
hk
Легко проверить, что функционалы (7.33) и (7.36) удовлетворяют всем
принятым аксиомам, так что справедлива следующая теорема.
Теорема 7.10. Функционал ожидаемого эффекта Е(F) на  будет
удовлетворять аксиомам 2-5 п. 7.6 и приведенным выше аксиомам
согласованности и невыгодности задержек, если и только если он имеет вид
(7.33) или (7.36). ■
7.9. Вероятностно-интервальная неопределенность
Рассмотрим еще одну ситуацию совместного воздействия факторов
вероятностной и интервальной неопределенности. Она возникает, например, в
лотерее с неопределенными выигрышами: вы знаете вероятность выигрыша
автомобиля или туристской путевки, но марка и возраст автомобиля, время и
маршрут поездки вам неизвестны. Здесь случайным является событие
выигрыша, но результатом будет неопределенный элемент из известного
множества. Далее, выше мы рассматривали отказы оборудования на
проектируемом объекте как случайные. Однако затраты на ликвидацию их
последствий в каждом случае свои, они оцениваются экспертно и поэтому
можно указать только интервал их возможных значений. Поэтому эффект x
проекта будет функцией двух переменных: случайной величины  и
интервальной величины . Если, например, x =  + , то значения x будут лежать
в некотором интервале со случайными концами. В более общем случае
неопределенный результат проекта окажется случайным ограниченным
подмножеством числовой оси  — своеобразной случайной величиной,
реализациями которой будут уже не числа, а множества 21. Формализациями
подобных проектов являются случайные интервальные альтернативы (СИА) и
мы будем выяснять структуру критериев их ожидаемого эффекта.
Прежде, чем вводить общие определения, рассмотрим важный частный
случай дискретных СИА.
Обозначим через [p1, A1; . . . ; pk, Ak] СИА, возможными результатами которой
Мы рассматриваем только одномерный случай, когда результат проекта — скалярный. Если же
иметь в виду всю совокупность финансовых, экологических и социальных результатов проекта,
указанные множества будут многомерными.
21
142
являются множества Ai из  с вероятностями pi. Ожидаемый эффект этой СИА
обозначим через E [p1, A1; . . . ; pk, Ak]. Детерминированный проект с эффектом b
также является дискретной СИА Ib = [1, {b}]. Естественно считать, что слиянием
СИА [p1, A1; . . . ; pk, Ak] и [1, {b}] будет [p1, A1+ {b}; . . . ; pk, Ak+ {b}].
Естественно потребовать также, чтобы ожидаемый эффект:
1) не уменьшался при замене любого Ai доминирующим множеством;
2) детерминированного проекта совпадал с его “обычным” эффектом:
E [1, {b}] = b;
3) слияния произвольной и детерминированной СИА равнялся сумме
ожидаемых эффектов этих СИА:
E [p1, A1+ {b}; . . . ; pk, Ak+ {b}] = E [p1, A1; . . . ; pk, Ak] + E [1, {b}].
Поэтому, если Ak+ {} » Bk » Ak+ {-}, то величины E [p1, A1; ...; pk, Ak] и
E [p1, B1; ...; pk, Bk] отличаются не более чем на . Приняв в качестве Bk замыкания
множеств Ak, получим отсюда, что СИА [p1, A1; ...; pk, Ak] и [p1, B1; ...; pk, Bk]
равноэффективны. Это позволяет в дальнейшем рассматривать только такие
СИА, возможными результатами которых являются ограниченные замкнутые,
т.е. компактные множества. По этому поводу уместно привести цитату из [47,
с.12-13]: “Принадлежат точки границы A самому A или нет? С точки зрения
эксперимента этот вопрос абсолютно бессмыслен, поскольку понятию точки,
принадлежащей границе ..., не отвечает никакой физической реальности...
Иными словами, если два множества A и A имеют одну и ту же внутренность и
одно и то же замыкание, то они неразличимы между собой .... и должны
рассматриваться как представляющие одну и ту же физическую реальность. Это
действительно минимальная уступка, которую физики вправе требовать от
математиков”.
При рассмотрении общей ситуации будем использовать некоторые
положения теории меры [47, 62, 63, 64].
Пусть  — пространство компактных подмножеств , играющее у нас роль
пространства элементарных событий. Для элементов этого пространства будем
использовать обозначения A, B,... . Расстояние  между элементами  будем
измерять по Хаусдорфу, т.е. по формуле (4.6).
Подмножества  назовем событиями. Радиусом события A назовем
величину | A | = sup { (A, {0} ) | A  A}. События с конечным радиусом назовем
финитными. d-окрестностью элемента A назовем событие A = {B | (B, A ) < d}.
Естественно назвать событие A открытым, если каждый элемент входит в него
вместе с некоторой своей окрестностью. Сумму событий определим по
Минковскому: A + B = {A + B | A  A, B  B}. Расстояние между событиями
143
определяется также по Хаусдорфу, с использованием введенного выше
расстояния между элементами  (при этом разные события находятся на
положительном расстоянии друг от друга22). Метрическое пространство всех
финитных событий обозначим 2.
Определим теперь СИА F как финитную (точнее — имеющую компактный
носитель) вероятностную меру на 2 или счетно-аддитивную функцию F{A},
заданную на борелевской -алгебре  финитных событий (т.е. на минимальной
-алгебре, содержащей все открытые финитные события) и обращающуюся в 0
на событиях достаточно большого радиуса (иной способ задания случайных
множеств описан в [47, гл.2]). Класс СИА обозначим через .
Пусть C() — класс непрерывных на  функций, наделенный равномерной
нормой. Тогда любая функция u(A )   имеет конечное математическое
ожидание по финитной мере F, которое мы будем обозначать M[u(A )| F] или
 u  A  F d A  . Очевидно, что это линейный функционал на C(),
положительный для положительных u(A ) и равный 1 при u(A )  1.
Соответствующий аналог теоремы Ф.Рисса утверждает, что любой такой
функционал является математическим ожиданием по некоторой финитной
вероятностной мере на 2.
СИА Ib, приписывающая вероятность 1 одноточечному множеству {b},
естественно отождествить с детерминированной величиной b.
СИА [1, A ] , приписывающая вероятность 1 какому-то компакту A, назовем
вырожденной. Такие СИА отвечают ситуации интервальной неопределенности.
СИА, для которой соответствующая мера сосредоточена только на
финитных событиях, состоящих из одноточечных множеств, отвечает обычной
случайной альтернативе (или ВР на прямой).
Сходимость (слабая) СИА определяется обычным образом: мы говорим,
что Fn  F, если
 u A  Fn dA    u A  FdA 
для любой непрерывной на 
функции u(A ).
Как и в п. 7.1, под слиянием СИА F  G естественно понимать свертку мер
F и G, однако определение свертки нетривиально, т.к. для множеств и их
семейств не определена операция, обратная к сложению. Мы дадим два
эквивалентных определения свертки.
22
Если бы среди элементов  были незамкнутые подмножества , то расстояние между разными
событиями могло бы оказаться нулевым.
144
Определение 1. Пусть F = [p1, A1; . . . ; pk, Ak] и G = [p1, A1; . . . ; pk, Ak] —
дискретные СИА. Определим F  G как дискретную СИА, приписывающую
множеству Ai + Bk вероятность piqk (если некоторые суммы Ai + Bk совпадают,
для соответствующего множества произведения piqk суммируются). Поскольку
любую (не обязательно финитную) вероятностную меру на 2  можно
представить слабым пределом дискретных мер, свертка произвольных мер
определяется как слабый предел сверток соответствующих дискретных. ■
Определение 2. Пусть u(A) - функция, непрерывная на . Рассмотрим
функцию
u(A + B),
непрерывную
  u  A + B  F d A G d B
является
по
A
и
линейным
B.
Очевидно,
функционалом
что
от
u,
положительным для положительных u и равным 1 при u(A )  1. Определим
F  G как финитную вероятностную меру, порождающую этот функционал. ■
Вероятностно-интервальная неопределенность не совпадает с интервальновероятностной (п. 7.3), что видно из следующего примера.
Пример 7.8. Пусть СИА F сосредоточена на двух отрезках [1, 2] и [3, 6],
имеющих равные вероятности 0.5. Казалось бы, ее можно отождествить с ИСА
F — семейством всех ВР, имеющих атомы 0.5 в каких-то точках этих отрезков.
Но тогда СИА F  F надо отождествить с ИСА F  F. Легко видеть, что F F
приписывает отрезкам [2, 4] и [6, 12] вероятность 0.25, а отрезку [4, 8] —
вероятность 0.5. Тогда эту СИА надо было бы отождествить с семейством ВР,
имеющих атомы 0.25 в каких-то точках отрезков [2, 4] и [6, 12] и атом 0.5 в
какой-то точке отрезка [4, 8]. В этом семействе будет и ВР Q, имеющее атомы
0.25, 0.5 и 0.25 в точках соответственно 2, 4 и 12. Между тем ИСА F  F
устроена иначе: она является семейством сверток распределений из F, а
распределение Q в виде такой свертки не представляется23. Более того, Q
вообще не является сверткой каких-либо распределений, поэтому СИА
[p1, A1; . . . ; pk, Ak] нельзя отождествлять и с семейством всех ВР, приписывающих
отрезкам Ai вероятности pi. ■
Как и раньше, хорошие критерии ожидаемого эффекта E(F) на  должны
быть согласованными (E(Ib) = b) и аддитивными. Уже этих требований
достаточно, чтобы существенно упростить задачу.
Поставим каждому A   в соответствие отрезок с концами (4.5):
Семейство F состоит из двухточечных распределений. Допустим, что одно распределение
сосредоточено в точках a и b, а другое – в точках c и d, причем a, c [1, 2], b, d [3, 6]. Тогда их свертка
будет сосредоточена в точках a+c, a+d, b+c и b+d. Точка 2 при этом может получиться только, если
a= c= 1, а точка 12 – только при b= d= 6. Но тогда ни a+d, ни b+c не будут равны 4.
23
145
m A   inf x ; M  A   sup x .
x A
x A
Формула
F^(B) = F{A | (m(A ), M(A ))  B} при
заданной СИА F определяет меру F^ на полуплоскости m < M, индуцированную
отображением A  (m(A ), M(A )). Назовем ее теневой мерой СИА F. Среди
многих СИА с этой теневой мерой выделим одну — стандартный прообраз F^,
которая сосредоточена только на замкнутых отрезках и приписывает каждому
множеству таких отрезков {[m, M]} меру, равную F^-мере соответствующего
множества точек плоскости. Обозначим эту СИА через Fc.
Лемма 7.9. СИА с совпадающими теневыми мерами равноэффективны.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно убедиться, что любая СИА F
равноэффективна со стандартным прообразом Fc своей теневой меры.
Поскольку СИА F и Fc финитны, они сосредоточены только на подмножествах
некоторого отрезка [-N, N]. Пусть H — вырожденная СИА, приписывающая
вероятность 1 отрезку [-N, N]. Тогда, как и в п. 4.2, легко убедиться, что меры
H  F и H  Fc сосредоточены только на событиях, состоящих из отрезков типа
[m(A ) - N, M(A ) + N], и приписывают каждому из них одну и ту же вероятность.
Поэтому E(H F) = E(H Fc), откуда в силу аддитивности функционала E
получаем: E(F) = E(Fc). ■
Из леммы видно, что значение E(F) определяется только теневой мерой F^,
т.е. является каким-то функционалом D(F^). Но задача сравнения ограниченных
ВР на плоскости в более широкой постановке уже рассматривалась в п. 7.7.
Чтобы применить результаты этого п., необходимо переформулировать
соответствующие аксиомы.
Под согласованностью критерия D(F^) здесь понимается, что для меры,
сосредоточенной в точке (b, b), значение функционала равно b.
Аксиомы аддитивности и слабой инвариантности к смешиванию имеют
прежний вид, поскольку, если они выполняются для E, то будут выполняться и
для D. Аксиому непрерывности сформулируем так: Fn^  F^  D(Fn^)  D(F^).
Ввести разумным способом на  отношение доминирования не удается.
Однако для прообразов теневых мер на плоскости оно вводится аналогично
п. 7.7. Положим A (b,q): = { (m, M) | qm + (1-q)M  b }. Определим, что F  G и
F^  G^ означают одно и то же, а именно, что F^{ A (b,q)} > G^{ A (b,q)} для
любых b и q  [0, 1], причем для каких-то b и q здесь имеет место строгое
неравенство.
Тогда
аксиома
монотонности
примет
вид
п. 7.6:
F^  G^ D(F^ ) > D(G^ ).
Теперь все условия теоремы 7.8 выполнены, и она приводит к следующему
результату.
Теорема 7.11. Всякий согласованный, монотонный, аддитивный,
146
непрерывный и слабо инвариантный к смешиванию функционал Е(F) на 
относится к одному из следующих типов:
Е(F)=M[cm(A ) + cM(A ) | F], c, c > 0, c + c= 1;

 

hm A  hM  A 
 km A  k M  A 
ln M e  
F   ln M e  
F




,
E F  
h  h  k  k 
где h, h, k, k >0, h + h + k + k > 0. ■
Другими словами, вид критерия ожидаемого эффекта Е(F) определяется не
“всей” мерой F, а только индуцируемой ею теневой мерой на плоскости (m, M), а
значение этого критерия зависит от совместного распределения экстремальных
значений эффекта проекта.
147
8. ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ
Отдельные параметры инвестиционных проектов меняются во времени.
При этом часто бывает так, что значение параметра в какой-то момент времени
зависит от его “истории”. В этом разделе излагаются три модели, описывающие
подобную ситуацию, для чего нам потребуется новый математический объект
— интеграл Римана-Минковского. Мы определим его, следуя [47], где такой
интеграл был введен, уточнив ряд моментов в доказательствах.
8.1. Интеграл Римана-Минковского
Рассмотрим замкнутое n-мерное множество V(t), непрерывно зависящее от
параметра t  [a, b]. Пусть R — разбиение отрезка [a, b]: a = t0 < t1< ...< tm = b,
i = |ti-ti-1|, (R) — максимальное из i. Назовем набор T = {1, ... , m} допустимым
m
для
R, если
i  [ti-1, ti], и
положим
J(V(t)| R, T)   iV  i  . Величину
i 1
b
J V  t  R , T  ,
 RM  V  t  dt :  lim
R  0
если она существует, назовем интегралом
a
Римана-Минковского (RM-интегралом) от V(t) по отрезку [a, b]. Выпуклое
замыкание множества будем отмечать верхним индексом c.
Теорема 8.1. RM-интеграл lim J V  t  R , T  существует и является
 R 0
выпуклым и замкнутым множеством. При этом
b
b
 RM   V  t  dt   RM   V c  t  dt .
a
(8.1)
a
Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим вначале ряд частных случаев.
(А) Множество V(t) = V выпукло, замкнуто и не зависит от t. Поскольку
gV + hV = (g+h)V при g, h > 0, то J(V(t)| R, T) = (b - a)V при любых R и T. Таким
b
образом, здесь  RM   Vdt = (b - a)V = (b - a)Vc.
a
(Б) V(t) выпукло и замкнуто при каждом t. Поскольку отображение t  V(t)
непрерывно, то оно равномерно непрерывно, так что для любого  найдется
такое  = (), что |t - t| < , t, t  [0,1]  (V(t), V(t))< . Напомним, что, как и в
п. 4.5, расстояние здесь хаусдорфово, определяемое по (4.6) в соответствии с
расстоянием (4.5) в n.
Пусть R - такое разбиение, что (R) < , R - более мелкое разбиение, а
наборы T и T допустимы соответственно для R и R. Докажем, что расстояние
между J(V(t)| R, T) и J(V(t)| R, T) не превосходит (b - a). Для этого заметим, что
148
каждый из отрезков i при разбиении R делится на более мелкие отрезки il, и
каждом из них выбирается своя точка il. В таких обозначениях имеем:
m
J(V(t)| R, T)   ilV  il  . Кроме того, поскольку множества V(i) выпуклы и
i 1 l
m
m
i 1
i 1 l
замкнуты, то J(V(t)| R, T)   iV  i    ilV  i  . Но, как отмечалось выше,
(V(i), V(il))<  для всех i и l. Поэтому (ilV(i), ilV(il))< il . Отсюда и из
неравенства треугольника (см. п. 4.5) получаем:
(J(V(t)| R, T), J(V(t)| R, T)) <  il    b  a   .
i ,l
Пусть теперь (R ) < , а R — произвольное разбиение с (R) < . Взяв
любое разбиение R, более мелкое, чем R и R, из доказанного получим, что
(J(V(t)| R, T), J(V(t)| R, T)) <
< (J(V(t)| R, T), J(V(t)| R, T)) + (J(V(t)| R, T), J(V(t)| R, T)) < 2(b - a).
Поэтому при (R )  0 для семейства множеств J(V(t)| R, T) = J(Vc(t)| R, T)
выполняется критерий Коши, и оно имеет предел, который будет выпуклым
замкнутым множеством. Таким образом, искомый RM-интеграл существует и
b
здесь, и к тому же (J(V(t)| R, T),  RM   W  t  dt )< (b - a) при (R ) < .
a
(В) Множество V(t) = V не зависит от t, но не обязательно выпуклое. Здесь в
силу леммы 4.2 (J(V| R, T), (b - a)Vc) < (n+1)C(R), где C — диаметр множества V.
b
Таким образом, при (R)  0 имеем: J(V| R, T)  (b - a)V =  RM   V сdt .
c
a
(Г) Перейдем теперь к рассмотрению общего случая.
Пусть R — такое разбиение, что (R) < . Тогда в силу (Б) имеем:
b
(J(V (t)| R, T),  RM   V c  t  dt )< (b - a).
c
(8.2)
a
Разбив, как и в (Б), каждый из отрезков i на достаточно мелкие отрезки il,
можно получить разбиение R такое, что (n+1)C(R)</m. Возьмем допустимый
для него набор T, выбрав точки il  il. Из (V(i), V(il))<  и  i    i l
  V  ,  V     .
    V    ,   V     < (n+1)C(R ) < /m

найдем:
il
l
il
l
il
i
l
i
l
il
С
i
c
il
l
i
149
в
другой
силу
(В).
стороны,
Отсюда


 iV c  i  ,  ilV  il  < /m + i. Суммируя эти неравенства по i, получим:
l
(J(Vc(t)| R, T), J(V(t)| R, T) ) < (1 + b - a), откуда и из (8.2) следует, что
b


   RM   V c  t  dt , J V  t  R , T     2 1  b  a   . При   0 это дает искомое:


a


b
J(V(t)| R, T)   RM   V c  t  dt . ■
a
Нетрудно убедиться в следующих свойствах RM-интеграла:
b
c
b
 RM   V  t  dt   RM   V  t  dt   RM   V  t  dt
a
a
при a < c < b,
c
b
b

 

 RM   U  t   V  t  dt   RM   U  t  dt    RM   V  t  dt  ,

 

a
a
a
b
b
b
a
a
U  t   V  t    RM   U  t  dt   RM  V  t  dt ,
b
b
a
a
U(t) » V(t)   RM   U  t  dt »  RM   V  t  dt .
Пусть V*(t, p) — опорная функция 7.2 для множества V(t), J(p) — опорная
b
функция интеграла
 RM   V  t  dt .
Вспоминая, что сумме множеств отвечает
a
сумма их опорных функций, и применяя это правило к интегральным суммам
b
RM-интеграла, после перехода к пределу получим J  p    V   t , p  dt . Таким
a
образом, RM-интегралу отвечает обычный интеграл от опорной функции
интегрируемого множества. Это соответствие взаимно однозначно, поскольку
выпуклое замкнутое множество однозначно определяется своей опорной
функцией. Отсюда легко получить и следующую формулу, удобную для
преобразований кратных интегралов:
b
s
b b




RM
f
s
RM
V
t
dt
ds

RM
f
s
ds
(8.3)
          
       V t  dt ,
t
a
a
a



где f — произвольная неотрицательная непрерывная (или даже кусочнонепрерывная) функция.
150
8.2.
Процессы с независимыми интервальными приращениями
t
Рассмотрим RM-интеграл X(t) =  RM   V  u du как функцию верхнего
0
предела интегрирования, т.е. как неопределенный процесс, используя
следующую схему. Пусть проект в момент 0 дает нулевой вектор результатов.
Далее результаты проекта изменяются только в моменты времени ti,
увеличиваясь на неопределенный вектор из множества (ti - ti-1)V(ti-1). Тогда
множества возможных результатов проекта в разные моменты времени будут
связаны соотношением: X(ti) = X(ti-1) (ti - ti-1)V(ti-1). Таким образом, прирост
результатов проекта за период (ti-1, ti ) является интервальным вектором (ИА) и
не зависит от подобных изменений в других интервалах. Предельное поведение
так построенного неопределенного процесса X(t) описывает рассматриваемый
интеграл. При таком подходе описание функции X(t) можно представить в
“дифференциальной форме”:
X(t+dt) = X(t)  V(t)dt, X(0) = 0.
(8.4)
Более наглядно представить характер такого решения можно в одномерном
случае. Из (8.1) следует, что при этом мы можем ограничиться стандартными
ИА V(t), которые полностью определяются границами своих носителей —
функциями m(t) и M(t), непрерывными в силу непрерывности V(t). Легко
t
t

проверяется, то тогда носителем ИА X(t) будет отрезок   m  u  du,  M  u  du  .
 0

0
Если начальным условием (8.4) сделать X(0) = X0, решением того же
t
уравнения будет X(t) = X0   RM   V  u du . Это множество будет выпуклым
0
только, если таковым является X0 .
Дальнейшие обобщения возникают в ситуации, когда “приращения” X(t)
зависят от самого X(t). Пусть I —тождественный, а A — произвольный
невырожденный линейный оператор в n-мерном пространстве, X0 — выпукло, а
динамика X(t) описывается уравнением:
X(t+dt) = (I + Adt) X(t)  V(t)dt, X(0) = X0,
(8.5)
Применив к обеим частям (8.5) оператор e   , получаем
 A t  dt
e   X(t+dt) = e At X(t)  e At V(t)dt с точностью до малых второго порядка.
Поэтому Y(t) = e At X(t) удовлетворяет уравнению типа (8.4), и решением (8.5)
t



At 
будет: X(t) = e  X 0   RM   e  AuV  u  du  .


0


Совершенно иным будет решение очень похожего уравнения:
X(t+dt) = X(t)  AdtX(t)  V(t)dt, X(0) = 0, которое, конечно, правильнее записывать
 A t  dt
151
t
в интегральной форме: X(t) =  RM    AX  u  V  u du . Причина в том, что
0
равенство X  BX = (I + B)X при произвольных операторах B может не
выполняться. В одномерном случае такая ситуация для рассматриваемого
уравнения возникает при A = - k < 0. Чтобы выяснить структуру решения, здесь об
ИА V(t) достаточно знать только функции m(t) и M(t). Если обозначить границы
носителя X(t) через h(t) и H(t), то имеем:
t
t
0
0
h  t     m  u   kH  u   du, H  t     M  u   kh  u  du .
Решением этой системы уравнений будет:
t
t
0
0
h  t     m  t  u  chu  M  t  u  shu  du , H  t     M  t  u  chu  m t  u  shu  du.
Применение RM-интегралов к оценке эффективности проектов
проиллюстрируем ситуацией, когда поток чистых доходов по проекту гладкий и
характеризуется меняющейся во времени интенсивностью X(t). Начальная
интенсивность X(0) = X0 — известная выпуклая интервальная величина, а ее
последующие изменения - интервальные величины, динамика которых
описывается уравнением типа (8.4). ЧДД такого потока (при ставке
дисконтирования r) в силу (8.3) будет равен:

t
 





  rt
1
 RM    X 0   RM  V  u  du e dt  r X 0   RM     e rt dt V u  du 


0
0
0


u







 r  X 0   RM   e ruV  u  du  .


0


1 
8.3. Процессы с независимыми нечеткими приращениями
Изложенный выше подход применим и к нечетким векторным величинам
(НВ). Далее мы ограничимся замкнутыми (т.е. имеющими замкнутый
подграфик, см. п. 5.1) НВ. Если измерять расстояние между ними в метрике
(5.1), то сходимость последовательности {Xi} означает равномерную по 
сходимость лебеговых множеств K (|Xi).
Рассмотрим снова уравнение (8.4) для X(t) в условиях, когда V(t) —
замкнутая НВ, непрерывно зависящая от t. RM-интеграл здесь определяется
аналогично и обладает аналогичными свойствами. Это доказывается
повторением рассуждений п. 8.1 для интегральных сумм J(K ( | V(t) ) | R, T),
которые в силу равномерной ограниченности всех K ( | V(t) ) сходятся
равномерно к соответствующим RM-интегралам. В результате мы получим, что
лебеговы множества X(t) будут RM-интегралами от соответствующих лебеговых
152
множеств V(t):


t



t



L  X  t    RM   L  V  u  du, K  X  t    RM   K  V  u  du,    0,1 .
0
0
Поэтому решением рассматриваемого уравнения будет стандартная НВ.
Иными словами, и в этой ситуации нечеткие приращения можно заменять их
выпуклыми замыканиями. Но стандартная НВ V однозначно определяется своей
опорной функцией V   p,  sup x  p  max x  p , близким НВ
x K   V 
x L   V 
отвечают близкие опорные функции, а при суммировании НВ их опорные
функции суммируются. Поэтому RM-интегрированию НВ отвечает обычное
интегрирование по Риману их опорных функций:
X

t
 p,t    V   p,u du .
0
Пример 8.1. Проект требует единовременных затрат K = 127, после чего
обеспечивает непрерывное получение доходов. В начальный момент
интенсивность получения доходов составляет f0 = 30. За малое время dt эта
интенсивность снижается на vdt, где v — скорость снижения интенсивности,
стандартная нечеткая величина, сосредоточенная на отрезке (1,3) и имеющая
там степень принадлежности v(x)=cos2[(x-2)/2]. При достижении нулевой
интенсивности доходов проект прекращается. Определим функцию
принадлежности ЧДД проекта при непрерывной ставке дисконтирования r=0,1.
Учтем при этом, что искомый ЧДД будет стандартной нечеткой величиной и
нам достаточно найти отвечающий ей диполь.
Рассчитаем вначале -минимальное и -максимальное значения v:
2
2
m   v   2  arccos  ; M   v   2  arccos  .


Заметим теперь, что если бы интенсивность доходов снижалась бы со
временем с постоянной скоростью x, то она менялась бы по линейному закону и
в момент t составляла f0 - xt. При этом ЧДД проекта был бы равен

 K   e rt max 0, f 0  xt dt 
0
f0
x
 K  2 1  e rf0 x  .
r
r
Учтем теперь, что из всех реализаций проекта, имеющих степень
принадлежности не меньше, чем , наименьший ЧДД будет у той, где скорость
снижения интенсивности — минимально возможная со степенью
принадлежности , т.е. равна m( | z). Для такой реализации ЧДД проекта можно
рассчитать по приведенной выше формуле и он составит
153
rf0
3



m z  
m z  
f0
30
m  z 
m  z 



.
K 
1 e

 127 
1 e
2
r

 0.1
0.01 

r




3

M  z  
30
M  z 
Аналогично найдем -максимальный ЧДД:
1  e
.
 127 
0.1
0.01 



Функция принадлежности нечеткого ЧДД данного проекта, отвечающая
полученным компонентам его диполя, представлена на следующем рисунке.
Степень принадлежности
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-20
0
20
40
60
80
Возможный эффект
■
Процессы с независимыми приращениями, наделенными
правдоподобием
Попытка определить RM-интеграл от П-величин так же, как для нечетких
величин,
оказывается
неудачной.
Рассмотрим,
например,
сумму
8.4.
m
U =  1 mV =[(1/m)V]m. Если бы V была стандартной нечеткой величиной, эта
i 1
сумма (в силу Vk = kV) была бы равна V, однако для стандартных ПВ это уже
не так: как показано в п. 6.1, Vk(x) = kV(x/k), но kV(x) = V(x/k). Поэтому
U(x) = mV(x) и ее пределом при m будет 0 для x  top V и  для x  top V.
Анализ сложившейся ситуации показывает, что в интегральных суммах
RM-интеграла от П-величин должна использоваться операция тиражирования, а
не умножения. Определим поэтому:
m
J(V(t)| R, T) = V  i 
i 1
Доказательство
b
 RM  V  t 
a
b
i ,  RM   V  t 
dt:  lim J V t  R ,T  .
a
существования
такого
  R  0
предела
и
равенства
b
dt   RM   V c  t 
dt проводится аналогично теореме 8.1, только
a
154
в пункте (В) вместо леммы 4.2 используется лемма 6.3.
Учтем теперь, что в силу п. 6.2 стандартная ПВ X однозначно определяется
своей сопряженной функцией: X*(p, t) = sup p  x  t X  x , причем сумме ПВ
x
отвечает сумма сопряженных функций, а k-кратному тиражированию ПВ —
умножение сопряженной функции на k. Отсюда легко выводится, что
RM-интегрированию ПВ отвечает интегрирование их сопряженных функций по
Риману. 
155
9. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Рассмотрение различных видов неопределенности инвестиционных
проектов и методов ее учета в расчетах эффективности позволяет сделать ряд
выводов принципиального характера.
1. Эффективность проекта оценивается с позиций какого-то его участника
(включая государство и общество) и выражает соответствие проекта его
целям и интересам.
2. Под неопределенностью следует понимать неполноту и неточность
информации об условиях реализации проекта. Понятие риска выражает
возможность возникновения неблагоприятных ситуаций. Оно субъективно
— ситуации, неблагоприятные для одного участника проекта, могут быть
благоприятны для другого.
3. Учет неопределенности и риска в расчетах эффективности теоретически и
практически возможен. Он предполагает рассмотрение различных
возможных сценариев реализации проекта и использование критериев
эффективности, обеспечивающих рациональное экономическое поведение
Субъекта. Вид подобных критериев зависит от имеющейся информации
об условиях реализации проекта. Другими словами, нельзя учитывать
неопределенность, не имея никакой информации о ней.
4. Неопределенность многообразна и разные ее виды (некоторые из них мы
рассмотрели) учитываются по-разному. В некотором роде “базовыми”
видами неопределенности можно считать внешнюю и внутренние —
интервальную и вероятностную. Внешняя неопределенность одна и та же
для всех проектов и не зависит от решений Субъекта, тогда как
внутренняя — своя для каждого проекта и меняется при изменении
решений Субъекта. Полезным может оказаться и описание внутренней
неопределенности в терминах нечетких величин или величин, наделенных
правдоподобием. В моделях реальных проектов можно учитывать и
совместное влияние факторов внешней и внутренней неопределенности.
5. Многие считают, что в условиях риска и неопределенности нужно
использовать возможно более простые формулы и методы оценки
эффективности. Однако такое мнение ошибочно. Расчеты эффективности
с учетом неопределенности методически и технически сложнее, чем в
детерминированной ситуации. Для них необходимы специальные
нормативы, устанавливаемые субъектом, с чьих позиций оценивается
проект: при внешней неопределенности эту роль играют “субъективные
вероятности” (точнее — нормированные конечно-аддитивные меры в
пространстве состояний природы); при интервальной неопределенности
— параметр оптимизма-пессимизма в критерии Гурвица и т.д. В то же
время учет риска путем корректировки ставки дисконтирования во многих
случаях приводит к ошибочным решениям.
156
Методы оценки эффективности инвестиционных проектов много лет
используются в задачах оценки стоимости имущества и бизнеса. Учет факторов
неопределенности при решении этих задач имеет свою специфику, поэтому в
данной книге эти вопросы не рассматривались. Однако важно, что и в этих
задачах неопределенность многообразна и может быть описана с помощью
изложенного в книге аппарата. В связи с этим нельзя не отметить, что, в отличие
от проектировщиков, оценщики в подавляющем большинстве понимают под
неопределенностью только вероятностную неопределенность, хотя во многих
случаях неопределенность результатов оценки более адекватно было бы
описывать иными моделями.
Автор не ставил задачу изложить полную и законченную теорию
ожидаемого эффекта (если таковую вообще можно построить), тем более — в
форме учебника. Естественно, что некоторые важные вопросы остались за
пределами нашего рассмотрения, а на другие просто не удалось получить ответ.
Поэтому желательно, чтобы читатели, нашедшие здесь полезные для себя идеи,
попытались развить их дальше. Представляется, что знакомство с
представленной теорией будет способствовать усилению внимания экономистов
к фундаментальным проблемам математического обоснования экономических
моделей и к изложенному в книге математическому аппарату, поможет
проектировщикам избежать ошибок при разработке и обосновании
инвестиционных проектов, а также заинтересует математиков возможностями
приложения функционального анализа к решению актуальных экономических
задач.
157
ЛИТЕРАТУРА
1. Методические рекомендации по оценке эффективности инвестиционных проектов:
(Вторая редакция) / Министерство экономики РФ, Министерство финансов РФ, ГК РФ по
строительству, архитектуре и жилищной политике. М.: Экономика, 2000.
2. Беренс В., Хавранек П.М. Руководство по подготовке промышленных техникоэкономических исследований. М.: АОЗТ “Интерэксперт”, 1995.
3. Виленский П.Л., Лившиц В.Н., Смоляк С.А. Оценка эффективности инвестиционных
проектов: Теория и практика. М.: Дело, 2001. - 4-е издание, исправленное и дополненное. М.:
Дело, 2008.
4. Ротарь В.И. Теория вероятностей. М.: Высшая школа, 1992.
5. Фишберн П. Теория полезности для принятия решений. М.: Наука, 1978.
6. Rotar’ V. On a statistical approach to choice under uncertainty // Journal of Risk and
Uncertainty, 1994, July.
7. Rotar’ V. Preferences and metric structures of spaces of alternatives // Mathematical Social
Sciences, 1994, July.
8. Кирута А.Я., Рубинов А.М., Яновская В.Б. Оптимальный выбор распределений в
сложных социально-экономических задачах (вероятностный подход). Л.: Наука, 1980.
9. Лурье А.Л. Экономический анализ моделей планирования социалистического хозяйства.
М.: Наука, 1973.
10. Хачатуров Т.С. Эффективность капитальных вложений. М.: Экономика, 1979.
11. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике.
М.: Мир, 1964.
12. Ованесов А., Четвериков В. Поток платежей. МЭНД — мощное оружие аналитика //
Рынок ценных бумаг, 1997. №12.
13. Presman E.L., Sonin I.M. Grows rate, internal rate of return, and financial bubbles / Working
Papers #WP/2000/103. Moscow, CEMI Russian Academy of Sciences, 2000. 33p.
14. Vaugham E.J. Risk management. NY etc.: Wiley, 1997.
15. Кумок С.И. (ред.). Мой банк. М.: Московское финансовое объединение, 1996.
16. Жуков Е.Ф. (ред.). Банки и банковские операции. М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.
17. Хелферт Э. Техника финансового анализа. М.: Аудит, ЮНИТИ, 1996.
18. Брейли Р., Майерс С. Принципы корпоративных финансов. М.: Тройка-Диалог, 1997.
19. Нейман Ю. Вводный курс теории вероятностей и математической статистики.
М.: Наука, 1968.
20. Ван Хорн Дж.К. Основы управления финансами. М.: Финансы и статистика, 1996.
21. Fishburn P.C. Implicit Mean Value and Certainty Equivalence // Econometrica, 1986. Vol. 54.
№5.
22. Savage L.J. The foundation of statistics, Wiley, New York, 1954.
23. Bayes Tomas. Facsimilles of two papers by Bayes. In: An Essay Toward Solving a Problem in
the Doctrine of Chances, with Richard Price’s Foreword and Discussion / With Commentary by
Edward C. Molina // Phil. Trans. Royal Soc., 1763.
24. Debreu G. Representation of a preference ordering by a numerical functions. In: Thrall R.M.
and oth. (eds.): Decision processes. Wiley, New York, 1954.
25. Luce R.D., Tukey J.W. Simultaneous conjoint measurement: a new type of fundamental
measurement // J. Math. Psychology, 1964. V.1.
158
26. Luce R.D. Two extension of conjoint measurement // J. Math. Psychology, 1966. V.3.
27. Fikhtengolz G.M., Cantorovitch L.V. Sur les operations lineaires dans l’espace des fonctions
bornees // Studia Math., 1935. V.5.
28. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных
пространствах. М.: Физматгиз, 1959.
29. Шилов Г.Е., Гуревич Б.Л. Интеграл, мера и производная (общая теория). М.: Наука,
1967.
30. Radon I. Theorie und Anwendungen der absoluteadditiven Mengenfunktionen //
Sitzungsbericht Akad. Wiss. Wien, 1913. V.122. Abt. IIa, s.1295-1438.
31. Riesz F. Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen // Math. Ann., 1910. V.69.
32. Кубилюс И. Вероятностные методы в теории чисел. Вильнюс: Гос. издательство
политической и научной литературы, 1959.
33. Zadeh L.A. Fuzzy sets // Information and Control, 1965. V.8.
34. Смоляк С.А. О сравнении альтернатив, параметры которых характеризуются функциями
правдоподобия // Экономика и математические методы, 1996. Т.32. Вып.1.
35. Fenchel W. On conjugate convex functions // Canad. J. Math., 1949. V.1.
36. Рокафеллар Т. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.
37. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.
38. Смоляк С.А. О правилах сравнения нечетких альтернатив // Экономика и
математические методы, 1993. Т.29. Вып.4.
39 Смоляк С.А. Оценка k-толщины плоских выпуклых множеств. Экономика и
математические методы, 1996. Т.32. Вып.3.
40. Смоляк С.А. О правилах сравнения вариантов хозяйственных мероприятий в условиях
неопределенности. В сб.: Исследования по стохастической теории управления и
математической экономике. М.: ЦЭМИ АН СССР, 1981.
41. Hurwicz L. Optimality Criteria for Decision Making under Ignorance // Cowles commission
papers, 1951, No 370.
42. Лившиц В.Н. Маргинальные рассуждения и инженерно-экономическая практика //
Экономика и мат. методы, 1999. Т.35. №4.
43. Kannai Y. and Peleg B. A note on the extension of an order on a set to the power set // Journal
of Economic Theory, 1984. V.32.
44. Janes E.T. Information Theory and Statistical mechanics // Th. Physical Review. 1957. V.106.
45. Janes E.T. Prior Probabilities // IEEE Transactions on systems sciences and cybernetics, 1968.
V.4. № 3.
46. Лившиц В.Н. Оптимизация при перспективном планировании и проектировании.
М.:Экономика, 1984.
47. Матерон Ж. Случайные множества и интегральная геометрия. М.: Мир, 1978.
48 Zadeh L.A. Fuzzy sets // Information and Control, 1965. V.8.
49. Поспелов Д.А. (ред.). Нечеткие множества в моделях управления и искусственного
интеллекта. М.: Наука, 1986.
50. Модели принятия решений на основе лингвистической переменной / А.Н.Борисов,
А.В.Алексеев и др. / Рига: Зинатне, 1982.
51. Кендалл М.Дж., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука, 1973.
52. Neyman J. and Pearson E.S. On the use and interpretation of certain test criteria for the
purposes of statistical inference // Biometrica, 1928. V.20A.
159
53. Pollatsek A., Tversky A. A Theory of risk // Journal of Mathematical Psychology, 1970. V.7.
54. Krantz D.H., Luce R.D., Suppes P., Tversky A.. Foundation of Measurement, vol.1. New York:
Academic Press, 1971.
55. Rotar’ V.I., Sholomitsky A.G. On the Pollatsek—Tversky Theorem on Risk // Journal of
Mathematical Psychology, 1994. V.38. No 3.
56. Массе П. Критерии и методы оптимального определения капиталовложений.
М.: Статистика, 1971.
57. Смоляк С.А. Об учете разброса эффекта при расчетах экономической эффективности в
условиях неопределенности. В сб.: Модели и методы стохастической оптимизации.
М.: ЦЭМИ АН СССР, 1983.
58. Бикялис А. Оценки остаточного члена в центральной предельной теореме // Литовский
математический сборник, 1966. Т.6. №3.
59. Петров В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин.
М.: Наука, 1987.
60. Dekel E. An Axiomatic Characterization of Preferences under Uncertainty: Weekening the
Independence Axiom // J. Economic Theory, 1986. V.22.
61. Chew S.H. Axiomatic Utility Theory with the Betweeness Property // Annals of Operation
Research, 1989. V.19.
62. Халмош П. Теория меры. М.: ИЛ, 1953.
63. Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей. Основные понятия. Предельные
теоремы. Случайные процессы. М.: Наука, 1967.
64. Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967.
160