Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Методическое пособие АКТУАРНАЯ МАТЕМАТИКА (МОДЕЛИ СТРАХОВАНИЯ) Издательство МГТУ имени Н.Э. Баумана ОГЛАВЛЕНИЕ Введение...............................................................................................3 1. Стационарная совокупность......................................................... 5 2. Страхование на чистое дожитие................................................... 8 3. Пожизненная рента...................................................................... 11 4. Отложенная пожизненная рента................................................ 13 5. Срочные страховые ренты.......................................................... 14 6. Страховое дисконтирование....................................................... 16 7. Контракты по страхованию жизни............................................ 18 8. Пожизненное страхование...........................................................19 9. Страхование жизни на срок........................................................21 10. Страхование жизни с ограниченным сроком выплат и смешанное страхование..........................................................22 11. Страховые резервы.....................................................................24 12. Монотонные страховые ренты................................................. 25 13. р-кратные страховые ренты.......................................................26 14. Общая схема страхования жизни............................................. 29 Задачи........................................................................................... 32 Ответы и решения......................................................................39 Приложение.......................................................................................48 Список рекомендуемой литературы............................................... 60 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ______________________ им. Н.Э. БАУМАНА______________________ АКТУАРНЫЙ ИНФОРМАЦИОННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ ЦЕНТР АКТУАРНАЯ МАТЕМАТИКА (модели страхования) Методическое пособие Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 2004 УДК 368.3(075.8) Б Б К 65.9(2)261.7 АЗ 8 Рецензент А Л . Грешилов А38 Актуарная математика (модели страхования): М етодичес­ кое пособие / В.Н. Баскаков, И.Г. Зорина, Г.Д. Карташов и др. - М.: И зд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. - 60 с. ISBN 5-7038-1838-9 Представлены краткие теоретические сведения, реш енные типовые примеры п о различным видам контрактов страхования ж изни, условия задач для самостоятельного реш ения и реш ения к ним. П особи е ориентировано на интересующ ихся актуарной математикой, студентов и слушателей институтов повышения квалификации. УДК 368.3(075.8) ББК 65.9(2)261.7 Валерий Нмиколаевич Баскаков Ирина Григорьевна Зорина Геннадий Дмитриевич Карташов Владимир Викторович Новиков Любовь Евгеньевна Соломатина АКТУАРНАЯ МАТЕМАТИКА Редактор Е.К. Кошелева Корректор М.А. Василевская И зд. лиц. № 020523 от 25.04.97. П одписано в печать 28.05.01. Ф ормат 60x84/16. Бумага офсетная. Печ. л. 3,75. Уел. печ. л. 3,49. Уч.-изд. л. 3,29. Тираж 600 экз. Изд. № 1. Заказ № 3 £ , Издательство М ГТУ им. Н .Э . Баумана. 107005, М осква, 2-я Бауманская, 5. ISB N 5-7038-1838-9 © М ГТУ им. Н .Э . Баумана, 2004 ВВЕДЕНИЕ В страховании объектом анализа являются вероятностные процес­ сы. Например, в различных контрактах личного страхования (жизни или смерти) последовательность взносов страхователя (или страховые выплаты) имеет вид потока регулярных платежей. Существенным явля­ ется тот факт, что выплата денег ставится в зависимость от условия — от жизни или смерти застрахованного, так что количество платежей в потоке заранее неизвестно. Такие ренты называются условными (contin­ gent annuity) или страховыми. Они используются для анализа различных типов страховых контрактов. В страховом деле принято различать страхование жизни (куда отно­ сится страхование жизни и смерти) и страхование «нежизни» (различ­ ные типы страхования транспорта, расчет и страхование технических рисков, космическое страхование и т.д.). Ниже будут рассмотрены лишь простейшие виды контрактов личного страхования, однако прин­ ципы расчетов для них являются универсальными и легко переносятся на более сложные случаи. Итак, страховые контракты относятся к специальному виду финан­ совых контрактов и представляют собой в простейшем случае сделку между двумя субъектами (лицами): страхователем — лицом, которое страхуется, и страховщиком —лицом, которое страхует страхователя от определенного риска. В страховании жизни риск, который страхуется, относится к жизнедеятельности страхователя и определяется такими со­ бытиями, как смерть, болезнь, инвалидность, дожитие и т.п. В соответ­ ствии с заключенным страховым договором (контрактом) страхователь имеет право получить страховую сумму в случае наступления оговорен­ ного в контракте страхового события. В свою очередь, страхователь уп­ лачивает страховщику взнос, называемый премией {premium). Выплата страховой суммы, или премии, может иметь вид разового платежа, а может быть серией регулярных выплат, т. е. являться страховой рентой. Страховые события в страховании жизни относятся к событиям, для которых характерна статистическая устойчивость, т.е. частоты их наступления, при большом числе страховых контрактов, изменяются в малом диапазоне (закон больших чисел). Это позволяет применять ве­ роятностные и статистические методы для оценки премий и резервов по большой группе однородных страховых контрактов. 3 В основе расчетов размера премий лежит принцип эквивсыентности обязательств страхователя и страховщика, состоящий в следующем: если вероятность наступления страхового события равна q, страховая сумма равна S, то размер теоретической (или, как еще говорят, чистой, или нетто-) премии, определяется из равенства Р= q S. Реальные, или брутто-премии, содержат так называемую нагрузку, цель которой со­ стоит в компенсации расходов компании по осуществлению страховой деятельности, создании дополнительных резервов, получении прибыли и т.п. Ограниченность объема методического пособия и многообразие су­ ществующих на страховом рынке видов контрактов не позволили авто­ рам обсудить многие из них в данной работе. Тем не менее, наиболее часто встречающиеся виды контрактов рассмотрены в этом пособии до­ статочно подробно. Более полное изложение можно найти, например, в работах, приведенных в списке рекомендуемой литературы. 4 1. СТАЦИОНАРНАЯ СОВОКУПНОСТЬ Для создания простейшей математической модели реального населения используется гипотеза стационарного населения, со­ гласно которой смертность и рождаемость данного населения постоянны и не зависят от времени. Таким образом, числен­ ность населения и его возрастная структура также постоянны , так как миграционные процессы исключаются. В действительности население, конечно, не является стацио­ нарным, но при стабильной социально-эконом ической обста­ новке, когда рождаемость и смертность сбалансированы, эта модель дает возможность получить достаточно надежные оценки для показателей таблиц смертности. В условиях стационарности населения 1Х— это число лиц, д о ­ стигающих ежегодно возраста х; dx — число лиц, умирающих ежегодно между возрастом х и (х + 1); Lx — число лиц, имеющих в данный момент возраст из промежутка [х, х + 1] и, согласно гипотезе стационарного населения, параметр Lx не меняется со временем. Пример 1.1. Пусть популяция описы вается моделью стаци­ онарной совокупности и ежегодная рождаемость составляет 500 человек. С колько в этой популяции людей в возрасте между 20 и 30 годами? Решение. Для совокупности лиц, численность которой отли­ чается от табличной, можно пользоваться таблицами смертнос­ ти, вводя предварительно масштабный множитель к. В нашем примере его находят из условия к • /0 = 500, т. е. к = 5 0 0 //0. Тогда число лиц, чей возраст лежит в промежутке между 20 и 30 года­ ми, составит N = (Г20 - Т30) = 4 872 чел. U 'о Центральным коэф фициентом смертности тх называется от­ нош ение числа умерших за год в возрасте между х и (х+1) к 5 числу живых лиц этой возрастной группы. При условии равно­ мерности распределения смертей в возрастном промежутке cL 2 между х и (х+1) верна формула тх = -у- = -г—— . Откуда X 2 + тх ^ ~ Ях ( 1.1) В более общ ем случае миграция населения учитывается вве­ дением различных поправок. Так, если vx — число лиц, ежегодно покидающих данную возрастную группу, то формула для qx примет вид 2 тх Ях — ^ 5 * 2 + тх + ух (1-2) где ух = vx/ L x. При некоторых дополнительных условиях теория стационар­ ного населения дает хорошие результаты в применении, напри­ мер, к штату сотрудников предприятия или любой другой совокупности лиц с подходящими ограничениями. Пусть числен­ ность сотрудников предприятия постоянна. Пополнение осущест­ вляется за счет лиц точного возраста а, а выбытие происходит в возрасте b = а + п или в случае смерти. Через Т обозначают число лиц возраста х и старше в данный момент времени. Тогда в каждый момент времени полное число лиц совокупности Ь- 1 L = Г - Ть = -г (1а + + X 1а +к - Зная среднюю (остаточную) *= 1 продолжительность жизни в°х в возрасте х, которая обычно приво­ дится в таблицах смертности, можно записать зависимость между ТX иX/ в виде ТX - XI Xе°. Пример 1.2. К ом пания поддерживается в стационарных усло­ виях ежегодным приемом на работу трехсот человек в возрасте 20 лет. Считая пенсионны й возраст равным 60 годам, найти: а) численность штата компании; б) число ежегодно выходящих на пенсию сотрудников; в) число пенсионеров. 6 Решение. Масштабный множитель в данном примере находят из равенства к ■300 = /20; а) численность штата компании * = * (Гж - Тм) = М «•;„ - ^ =11 200 чел.; 20 20 б) число ежегодно выходящих на пенсию сотрудников ком­ пании I N x = к /60 = 300 -f- = 255 чел.; 20 в) наконец, число пенсионеров компании N2 = к Г60 = 300 !р- е60 = 4 550 чел. ■ 20 Более адекватная, а значит сложная, модель учитывает воз­ можность выбытия из штата компании не только в случае смер­ ти или выхода на пенсию, но и по другим причинам. Дня расчетов необходимо знать долю лиц, покидающих каждую воз­ растную группу. Пример 1.3. В штат компании ежегодно принимаются 700 человек в возрасте 20 лет. Из них 20 % покидают компанию через 10 лет, еще 10 % — через 20 лет, 5 % — через 30 лет, остав­ шиеся работают до пенсии (60 лет). Требуется найти: а) число сотрудников компании; б) число пенсионеров; в) число ежегодно умирающих сотрудников. Решение. Масштабный множитель в данном примере к = 7 0 0 //20; а) N = ( Т20 - 0,2 Тт - 0,08 - 0,036 Т50 - 0,684 Т60) ~ = 20 = 21 712 чел; б) N { = к ■0,684 Т60 = 0 , 6 8 4 Т60 = 6 670 чел.; 20 7 в) поскольку в компанию ежегодно принимаются 700 чело­ век, выбывают из всех возрастных групп к (0,2 /30 + 0,08 /40 + + 0,036 /50 + 0 ,6 8 4 /60 = 624) живых сотрудника, а общая числен­ ность постоянна, остальные выбывают по случаю смерти. А именно, N2 = ~ ^ - (/20 - 0,2 /30 - 0,08 /40 - 0,036 /50 - 0,684 /60 = 76 чел).И '20 2. СТРАХОВАНИЕ НА ЧИСТОЕ ДО Ж И ТИ Е (pure endowment) Для контрактов данного вида страховое событие, влекущее выплату страховой суммы, состоит в дожитии застрахованного до конца указанного срока. В случае смерти застрахованного в период действия контракта сумма не выплачивается и премия не возвращается. К ак производится расчет чистой единовременной премии по такому контракту? Как принято в актуарной практике, страхуемую сумму ус­ ловно принимаю т за 1. Тогда вычисленная премия будет указы­ вать относительную долю, которую она составляет в страховой сумме, а значит, для любой конкретной суммы величину соот­ ветствующей премии получают умножением этой суммы на «единичную» премию. Пусть имеется группа из 1Х страхователей возраста х Если п — срок контракта, то по условию каждый из доживших до возраста х + п получит сумму 1. В среднем до возраста х + п доживут, со­ гласно таблицам смертности, 1х+п человек. Суммарные обязатель­ ства компании в этом случае составят величину 1Х+п. Однако эта сумма относится к моменту времени, отстоящему от момента за­ ключения контракта на и лет. Текущая стоимость этих обяза­ тельств при выбранной технической процентной ставке будет равна где v = 1 „ — дисконтныи множитель, „ соответствующий про­ центной ставке /. Так как исходное число застрахованных равно 1х, обозначая величину единичной премии через пЕх, получим, что общая стоимость премий составит I пЕх. Уравнивая обяза­ тельства и активы, получим, 1х »Е Х ~ V Y lX +■ Л- И з этого уравнения имеем f — v" • I1х +п. П^х 1х Заметим, что величина (2.1) ' у представляет собой условную веX роятность прх дожития до возраста х + п лица, достигшего возрас­ та х. Тогда формулу для премий (2.1) можно переписать в виде пЕх = Vя • прх . (2.2) Формула (2.2) представляет собой формулу для математичес­ кого ожидания случайной величины z, которая равна текущей стоимости суммы контракта при факте дожития и нулю — в противном случае. Для упрощения вычислительной работы при актуарных расче­ тах были введены так называемые коммутационные функции, для которых составлены таблицы. Важнейшие из функций таковы: DX = v " /X 5: N X = D X+ D X + . 1 +... + Dсо ,’ /П Х+ 1 1 С =v d , х х М X = С X + С X + .I +... + С со . (2.3) Коммутационные функции строятся на основе заданной таб­ лицы смертности и при заданных значениях процентной ставки. Таблицы коммутационных функций играли большую роль в до­ компьютерную эпоху, поскольку значительно сокращали объем вычислительной работы. Ныне их роль заметно меньше, так как непосредственное вычисление их с помощью компьютера зна­ чительно быстрее, чем поиск по таблице. К тому же таблицы 9 этих функций приводились лишь для ограниченного диапазона процентных ставок, поскольку для каждой процентной ставки требуется своя таблица. При использовании компьютера этой проблемы не существует. Тем не менее, знакомство с коммута­ ционными функциями по-прежнему является необходимым эле­ ментом актуарного образования. В приложении приведена таблица коммутационных функций (табл. 3), соответствующая таблице смертности (табл. 1) и про­ центной ставке 4,5 %. Замечание. В отечественной литературе вместо термина «коммутационные функции» используют устаревший термин — коммутационные числа. Мы будем использовать эти термины как синонимы, хотя термин «коммутационные функции» более точен. С использованием коммутационных функций формула еди­ новременной премии для чистого дожития будет иметь вид Е _ Dx +n „Их- Dx ’ Замечание. Величина пЕх обозначение: (2.4) v } имеет и другое, более сложное, А 1 . х :п| Пример 2.1. Найти единовременную чистую премию кон­ тракта на дожитие для 18-летнего мужчины сроком на 20 лет и на сумму 10 тыс. руб. Решение. Единичная премия Следовательно, р = 10 000 • 0,399 311 = 3 993,1 руб.И 10 Пример 2.2. Вычислить премию контракта на дожитие для 18-летней женщ ины сроком на 20 лет и на сумму 10 тыс. руб. Решение: ^*38 _ 11 723,3 _ Л(-ъп « Л Du ~ 29 022,7 “ 4639’36 РУб - Таким образом, стоимость контракта на дожитие для ж ен­ щ ин выше, чем для мужчин, поскольку вероятность дожития для женщ ин также выше, поэтому для женщ ин более вероятна выплата страховой суммы.■ Страхование на чистое дожитие редко используется изолиро­ ванно, но часто является составной частью других контрактов. Этот вид страхования делает страховой полис относительно до­ рогим, если срок страхования не очень большой. Пример страхования на дожитие показывает взаимодействие обоих факторов: процентной ставки и смертности. Здесь налицо принцип солидарной ответственности страхователей, так как смертность приводит к тому, что доля взносов (премий) умер­ ших перераспределяется между доживш ими в момент окончания срока действия контракта, создавая для них дополнительную прибыль помимо той, что обеспечивается процентами. Так, в примере 2.1 премия р = 3993,1 руб, помещ енная под 4,5 % годо­ вых, через 20 лет даст накопленную стоимость в размере 3993,1 ■(1,045)20 = 9629,01 руб. Ф актор смертности увеличивает эту сумму до 10 тыс. руб. 3. ПОЖИЗНЕННАЯ РЕНТА Во многих случаях люди предпочитают получать не отдель­ ную сумму, а регулярный доход. В случае, когда такие регуляр­ ные выплаты осуществляются в течение всей жизни застрахованного, говорят о пожизненной ренте. Периодичность выплат ренты может быть произвольной: годовой, ежемесяч­ ной, ежеквартальной и т.д. Для простоты мы будем иметь в виду годовой период. В зависимости от срока выплат различают ренты обы кновен­ ную и авансированную. Если рента покупается лицом в возрасте х в момент заключения контракта и выплачивается в конце каждого года дожития, т.е. в моменты 11 х + \, х + 2 , х + 3, то она называется обыкновенной пожизненной рентой. Выплаты прекращаются в случае смерти застрахованного. Н аш ей целью, как и в случае страхования на дожитие, будет нахождение актуарной стоимости пожизненной ренты, т.е. вели­ чины единовременной чистой премии, которую должен запла­ тить страхователь для того, чтобы страховая компания могла обеспечить выплату пож изненной ренты. Величину ежегодной выплаты будем считать единичной (например, 1 руб.). Пусть 1Х ли ц в возрасте х заключат контракт на пожизненную ренту с годовыми выплатами в 1 руб. Актуарную стоимость такой ренты обозначим через ах. Тогда в момент заключения контрактов суммарные поступления страховой компании соста­ вят /х ах. Баланс между поступлениями и выплатами будет выполнен при условии, что (3.1) где (о — предельный возраст в таблице смертности. гч 1 \ Выражая из равенства (3.1) ах и учитывая, что /Х + П — = прх , по лучим сокращ енную формулу для ах в коммутационных терминах: ах Nx + I (3.2) Авансированная пожизненная рента отличается от обыкновен­ ной лиш ь сроками выплат. П о этой ренте каждая выплата осу­ ществляется в начале каждого года контракта, начиная с момента его заключения. Актуарную стоимость авансированной (единичной) ренты обозначают ах. У равнения для этой величины получают на основе таких же, что и приведенные выше, рассуждений. Единственным отличи­ ем будет то, что первые выплаты будут произведены сразу после заключения контракта, тогда 12 lx + 1 2 lx + 2 ах = 1 + v — i— + V — ;— + ... + v to - x k - x (3.3) ■X Используя коммутационные функции, можно записать (3.4) Значения ах часто указывают вместе с коммутационными числами. Стоимости пожизненных рент двух типов связаны со­ отнош ением Пример 3.1. Найти стоимость пожизненной ренты с годовы­ ми выплатами в 10 тыс. руб. для лица в возрасте 50 лет. Рас­ смотреть случаи обыкновенной и авансированной рент. Решение. В табл.З приложения находим, что ах = 14,895 933. Следовательно, стоимость авансированной ренты с годовыми выплатами 10 тыс. руб. 10 000 • а50 = 148 959,33. Тогда стоимость обыкновенной ренты 10 000 • (й50 - 1) = 138 959,33 р у б .Я Замечание о терминологии. В этой главе речь идет об услов­ ных, или страховых, рентах. К ним применяю т терминологию, используемую и для детерминированных рент. Термин страхо­ вая рента и аннуитет, как указывалось, синонимы. А вансиро­ ванную ренту называют также приведенной, или пренумерандо. Обыкновенную ренту называют рентой постнумерандо. 4. ОТЛОЖЕННАЯ ПОЖИЗНЕННАЯ РЕНТА Этот вид ренты отличается от рассмотренных выше тем, что выплаты по ней осуществляются не в год заключения контракта, а спустя указанное в контракте число лет. Так, если контракт заключается лицом в возрасте х, а величина отсрочки составляет 13 т лет, то первая выплата будет сделана в возрасте х + т + 1 для обыкновенной ренты и в возрасте х + т - для авансированной (приведенной) ренты. Актуарную стоимость единичной отложенной ренты обозна­ чают символом т\ах . Стоимость приведенной (единичной) ренты обозначают т\ах: Nx +т + 1 /а | \ (4Л) Пример 4.1. М ужчина в возрасте 40 лет покупает пож изнен­ ную ренту (пенсию ), выплаты которой начинаю тся с 65 лет. Если пенсия составляет 15 тыс. руб. в год, то какова ее стои­ мость р ? Решение. П оскольку х = 40 и х + т + 1 = 65, то т = 24, сле­ довательно, р = 15 ООО • 24|й4о = 15 ООО • = = 15 ООО • f f l f l j j = 40 064,63 руб. ■ Замечание о терминологии. Отложенную ренту называют также отсроченной, а неотложенную — немедленной. 5. СРОЧНЫЕ СТРАХОВЫЕ РЕНТЫ Рассмотрим разновидность контракта страхования на дожи­ тие, заключаемого с лицом в возрасте х. В соответствии с кон­ трактом выплаты будут производиться в течение п лет при условии ж изни застрахованного, выплаты прекращаются, если застрахованный умирает. Рента, выплачиваемая по такому кон ­ тракту в возрасте х + 1, ... , х + п лет, носит название обыкновен­ ной срочной страховой ренты; ее стоимость обозначают а ^ и вычисляют по формуле О х: п\ 14 Dx +1 + . ■. + Dx н Dx N,Х + 1 JVX, + п + 1 Dx (5.1) Замечание. Срочную ренту также называют временной. Пример 5.1. Рассчитать стоимость 16-летней страховой ренты с ежегодными выплатами в 12 тыс. руб. для 27-летней женщ ины. Nyo - N 45 „ _ а ^ щ = -------- ул--= 114 567,72 руб Я ' ^27 Если первая выплата по срочной ренте осуществляется сразу же после заключения контракта, то ренту называют авансирован­ ной срочной рентой. Первая выплата производится в возрасте х; стоимость единичной ренты для возраста х на срок п лет обо­ значают а —ц и рассчитывают через коммутационные ф ункции по правилу Решение: •■ Nx — Nx+ п <2ТГЦ = ------^ ------ • Dx /с (Ь.2) Пример 5.2. Какова стоимость 5-летней авансированной ренты в 5 тыс. руб. для 18-летнего юноши? T V io Решение: 5 ООО ■а ^ - N 2з _ = 5 ООО-1^ — - = 22 857,5 руб.Я Если срок первой выплаты по контракту отложен на т лет и для страхователя возраста х будет производиться при условии дожития в годы х + т + 1, х + т + 2, ... , х + т + п, то такую ренту называют обыкновенной отложенной срочной рентой; ее стоимость обозначают т\пахи находят по правилу Nx + т + 1 — Nx +т + и + 1 т\п а х = --------------------2)Г------------------- • /г 11 Соответственно авансированной отложенной срочной рентой на­ зывают ренту с выплатами в возрасте х + т, ... , х + т + п - 1 лет, при условии, что застрахованный доживет до этого возраста. Стои­ мость авансированной отложенной ренты рассчитывают следую­ щим образом: •• N' xЛ т+ lit т ~ лN'xА ++ ffl т "Т + Г1 п т\„ах = ---------- ------------ . /С Л \ (5.4) Пример 5.3. Рассчитать стоимость 5-летней страховой ренты в 3 тыс. руб. для 14-летнего человека, если первую выплату он получит в 17 лет. Отдельно рассмотреть случаи обыкновенной и авансированной рент. 15 Решение. В данном обыкновенной ренты случае х = 14, п = 5, т = 3. Тогда для N - N 3 ООО • З|5а 14 = 3 ООО ■— ^ — - = 12 875,77 руб.; D \4 для авансированной ренты N. 7 3 ООО ■з|5й14 = -----jz------ = 12 766,35 руб.И 14 Следующие формулы для рассмотренных ранее видов рент нетрудно получить и полезно запомнить: ах = а Щ ' \ ~ й Ы| + «Iй*’ = «- i|«x- (5.5) Пример 5.4. Найти стоимость 10-летней ренты в 20 тыс. руб. для 50-летней женщ ины, если первая выплата приходится на возраст: а) 50 лет; б) 51 год; в) 66 лет. Решение: а) р = 20 000 • 50 ~ 66 = 153 359,46 руб.; V 50 б) р = 20000 • N , - N„ — - = 14 095,72 руб.; и 50 в) р = 20 000 • - в2~ N n = 84 205,43 руб.Н ^50 6. СТРАХОВОЕ ДИСКОНТИРОВАНИЕ Нахождение современной (приведенной) стоимости будущих платежей называют дисконтированием. Эта операция позволяет срав­ нивать финансовые результаты контрактов, различающихся по вели­ чине и срокам, приводя их к одному моменту времени t = 0. Рассмотрим сначала дискретный детерминированный случай. Современное значение (при t = 0) потока платежей с,, с2, ... сп, соверш енных в моменты времени tp 16 ... tn„ составит p . v. = с , v (fj) + С2 v (t2) + ... + Сп v (Г ) = п X с. v (Л), где v — дисконтны й множитель, соответствующий заданной по­ стоянной процентной ставке i. Пусть Т — целое положительное число. Если выплаты от­ срочены на период Т, то выражение для приведенной стоимости отсроченного контракта будет иметь вид П Р- V. = VT ■ X Су V (tj), (6 1 ) т „ ~ где v — дисконтны и множитель, «отвечающий» за отсрочку по­ тока платежей. В актуарных расчетах важны не только процентная ставка, но и параметры, зависящ ие от демографических факторов, таких как смерть, дожитие и т.д. Существует специальная процедура вычисления современной стоимости страховых контрактов, ана­ логичная процедуре дисконтирования, в которой дисконтны й множитель имеет специальный вид: „ г Dx +т ТЕХ = v jpx = D . Д ля детерминированных дисконтных множителей справед­ ливо равенство V" + " = V” ■V . Аналогичное равенство вы полня­ ется и для страховых дисконтных множителей m+пЕх — тЕх • щЕх- (6.3) Использование страхового дисконта можно сформулировать в виде «правила отсрочки» [8]: стоимость отсроченного обяза­ тельства для возраста х равна произведению страхового дисконт­ ного множителя, соответствующего периоду отсрочки Т, и стоимости этого обязательства для застрахованного в возрасте х + Т при условии, что застрахованный дожил до этого возрас­ та, т.е. VX = TEX - Vx + T . Пример 6.1. Какую часть стоимости полиса немедленной по­ ж изненной ренты должен заплатить страхуемый в возрасте 30 лет, если он желает отложить выплаты до 50-летнего возраста? 17 Решение. Согласно правилу дисконтирования, стоимости н е­ медленной и отложенной рент связаны соотношением А' = (D5Q/ D 30) ■А. Таким образом, А ' / А = D50/ D 3Q = 0,388.■ 7. КОНТРАКТЫ ПО СТРАХОВАНИЮ Ж ИЗНИ В предыдущих разделах основным страховым событием, обу­ словливавшим выплаты страховых сумм, являлось дожитие за­ страхованного лица до определенного возраста (как в случае страхования на дожитие) или же сам факт ж изни при выплате страховых рент. В этом разделе будут рассмотрены контракты, в которых страховым событием является смерть застрахованного. Страхование ж изни позволяет за относительно небольшую плату (премию) обеспечить наследникам значительный доход в случае смерти застрахованного. Рассмотрим следующий пример. Пример 7.1. Пусть 10 тыс. лиц в возрасте 18 лет покупают страховой полис сроком на год. По условиям страхования в слу­ чае смерти застрахованного лица в течение года его бенефициа­ рий (получатель страховой суммы) получит 1 тыс. руб. Согласно таблице смертности, вероятность для 18-летнего не дожить до 19 лет составляет 0,001 78. Таким образом, из 10 тыс. застрахован­ ных около 18 человек не доживут до 19 лет и, следовательно, компания выплатит 18 тыс. руб. в среднем по этим полисам. Это означает, что для обеспечения выплат достаточно взноса в 1,8 руб. с каждого застрахованного. Эта сумма разительно отли­ чается от стоимости полиса на дожитие. Стоимость такого поли­ са на ту же сумму (1 тыс. руб.) и на тот же срок (один год) составит 1000 ■(1 - 0,001 78) = 998,22 руб.И Конечно, это связано с тем, что вероятность прожить 1 год для 18-летнего намного больше, чем вероятность умереть. При расчете стоимости полиса мы не учитывали возможности полу­ чения дополнительной прибыли за счет инвестирования полу­ ченных премий. В страховых расчетах по страхованию жизни, особенно на большой срок, процентная ставка учитывается так же, как и для страховых рент. Наш ей целью будет определение чистых премий, или неттопремий, для различных контрактов. Отметим, что для страхования жизни мы будем рассматри­ вать два вида оценок: полную актуарную стоимость контракта, которая представляет величину одноразовой премии, а также оценку периодически выплачиваемых сумм — регулярных пре­ 18 мий. Естественно, что текущая стоимость такой последователь­ ности регулярно выплачиваемых премий совпадает (в среднем) с полной актуарной стоимостью контракта или с одноразовой премией. Страхование жизни имеет две основные формы: пожизненное и на срок. При этом страхование на срок часто комбинируют со страхованием на дожитие. Такого рода страхование называют сме­ шанным. Конкретные типы контрактов различаются еще схемой выплаты премий. Так, пожизненное страхование на значительную сумму имеет большую полную стоимость и редко предусматривает оплату в виде единовременной премии. Как правило, премии вы­ плачиваются или в течение всей жизни (straight life), или в течение определенного срока после заключения контракта (limited pay life). 8. ПОЖ ИЗНЕННОЕ СТРАХОВАНИЕ Пожизненное страхование на случай смерти предусматривает выплату страховой суммы после смерти застрахованного лицу, ука­ занному в контракте, — бенефициарию. Как правило, выплата осу­ ществляется сразу же после установления факта смерти. Для упрощения изложения мы рассмотрим этот вид страхования при ус­ ловии, что выплата страховой суммы осуществляется в конце года смерти застрахованного. Найдем сначала актуарную стоимость Ах контракта такого вида, при условии, что страховая сумма равна 1. Как уже говорилось, это средняя текущая стоимость страховой суммы, срок выплаты которой неизвестен. Тогда £0- X+ I -Н ... -f* V ( 8 .1) где /. — число лиц в возрасте х, заключивш их контракт; dx — число лиц, умерших в возрасте х. Учитывая, что dx+ k ~1 - кЯх= - к Р х - Я х + к , получим со - х V AX = L А *+ 1 v kPx - q x+k- ( 8 .2 ) 19 С использованием коммутационных функций получается «упрощенная формула» для Ау : (8.3) Значения Ах приведены в таблицах коммутационных ф унк­ ций. Обычно в них указаны значения Ах для страховых сумм, являю щ ихся «стандартными», например 1 тыс. руб. Таким обра­ зом, 1000 • Ах указывает величину премии на 1 тыс. единиц страховой суммы. Пример 8.1. Найти стоимость единовременной премии Р по пожизненному страхованию на 10 тыс. руб. для 18-летнего за­ страхованного. Решение: Р = 10 000 ■А п = 10 • 118,41638 = 1184,16 руб.И К ак уже отмечалось, очень малое число полисов страхования жизни оплачивается одноразовой премией. Чаще оплата полиса производится регулярными, например ежегодными, выплатами в течение всей ж изни застрахованного. Найдем величину этих вы­ плат для пож изненного страхования. Пусть Р — величина еже­ годных премий для страхования жизни, причем будем считать, что премия выплачивается в начале страхового года. Тогда (8.4) где Р — чистая годовая премия для пожизненного страхования на единичную страховую сумму. Учитывая, что я 20 NX * DX получим ещ е о д н о вы раж ение для Р : Рх = # . -/Ух (8-5) Пример 8.2. Какова ежегодная (чистая) премия по страхова­ нию ж изни на 10 тыс. руб. для 30-летнего мужчины? Решение: 10 000 • Рзо= 10000- = 10 000 • 9 Q g |f f ^ = 92,51 руб .1 Величину ежегодной премии вычисляли при условии ее по­ стоянства в течение всей жизни. Таким образом, Рх зависит только от возраста заключения контракта, но не от времени вы ­ платы. 9. СТРАХОВАНИЕ Ж И ЗН И НА СРОК В контрактах этого рода фиксируется срок п его действия, так что для страхуемого возраста х страховая сумма вы плачива­ ется только в том случае, если застрахованный умрет, не дожив до возраста х + п. П ри этом обычно считают, что страховая сумма выплачивается в конце года смерти застрахованного. Тогда одноразовая премия для единичной суммы контракта для этого вида контрактов М х - М х+ п л ~ Dx (9 1) ‘ ‘ Если премии выплачиваются ежегодно в начале каждого года, то последовательность их выплат образует срочный страхо­ вой аннуитет: где Р^-гц ~ величина ежегодной премии, 21 Пример 9.1. Н айти одноразовую и годовую премии 5-летне­ го полиса страхования ж изни на сумму 10 тыс. руб. для 30-лет­ ней женщ ины. Решение. Одноразовая премия М ,п - М , = 10 ООО • 2507,669 - 2400,887 = 63,25 руб. 16 882,4 Годовая премия - = 10 000 • М 2507,669 - 2400,887 = 13,83 руб.И 333 813,9 - 256 571,4 10. СТРАХОВАНИЕ Ж ИЗНИ С ОГРАНИЧЕННЫМ СРОКОМ ВЫПЛАТ (limited payment life insurance) И СМЕШ АННОЕ СТРАХОВАНИЕ Ж ИЗНИ Премии по страхованию ж изни могут выплачиваться пож из­ ненно, а могут — только на протяжении какого-то ограниченно­ го срока. В последнем случае должен быть указан период t, на протяжении которого страховая сумма будет полностью выпла­ чена. Застрахованное лицо возраста х в начале каждого года вы­ плачивает ежегодную премию ,РХ, величина которой определяется формулой Пример 10.1. Н айти ежегодные премии для контракта с сум­ мой 10 тыс. руб., если возраст застрахованного мужчины 18 лет, а период оплаты контракта — 20 лет. Решение: Р = 10 00020P lg = 10 0 0 0 -гг— L 18 = 8 8 ,4 1 р у б .1 38 Контракты по смеш анному страхованию ж изни являю тся комбинацией срочного страхования ж изни и страхования на до­ житие на тот же срок. Страховая сумма выплачивается: бенефициарию , если застрахованный возраста х не доживет до х + п лет; застрахованному, если он дожил до х + п лет. Стоимость контракта по смеш анному страхованию обознача­ ется А__ , и складывается из суммы стоимости контракта по X: страхованию жизни и стоимости контракта на дожитие, т.е. А__ , = А!__, + А!__, что может быть записано с использованием х : п\ х : п\ х :щ коммутационных чисел в виде Мх - Мх+ п + Dx +n Dx • ( 10.2) Пример 10.2. Н айти разовую премию смеш анного страхова­ ния в 10 тыс. руб. для 30-летнего мужчины сроком на 20 лет. Решение: А = 10 000 А___ , = 10 000 зогщ + А п ---- ------- = 425,78 руб.И Z>30 ’ Контракт по смеш анному страхованию может быть оплачен не единовременным платежом, а ежегодными премиями, размер каждой из которых Р-_^ находят по формуле А р , xTnl хтц йхТЦ Mv - М х +D х+п х +п N х - N х +п пnЧ^ ■ Пример 11.3. Н айти ежегодную премию по смешанному страхованию на сумму 50 тыс. руб. для 40-летнего мужчины со сроком до 65-летнего возраста. Решение: Р = 50 ООО ■Р щ щ = 50 ООО = 1 261,83 р у б Я 11. СТРАХОВЫЕ РЕЗЕРВЫ Теперь найдем соотнош ения для резервов в два последова­ тельных года. Поскольку йX= а + X 1 ,5 подставляя это выражение в формулу ,V 1 X = АX+ 1. - РX ■аX+ 1 ’ получим равенство ,V 1 X + РX = АX+ I, - РX ■аX+t,. Используя рекуррентные соотнош ения для премий и рент Ax +t = V -<IX+, + V -Px+, ' Ax +t+V ах + t = V ' РХ+I ' \ + t + 1 ’ после несложных преобразований получим GК + Р ) • ( ! + / ) = <?х +, + рх+ 24 t+\Vx . (11.1) Формула (11.1) показывает, что сумма резерва и премии на начало года вместе с процентами за этот год равна сумме годо­ вых выплат и резервов на конец года. Если заменить рх +1 на 1 - qx+t, то получим + Р х ) ' (1 + 0 - t^ x + Qx + t ■ (1 — t+ 1 Ht)- ( 1 1 -2 ) Формула (11.2) показывает, что сумма резерва и премии вместе с процентами за год равны резерву следующего года и превышению страхуемой суммы (единичной) над стоимостью полиса. Если рас­ сматривается не единичная сумма контракта, а произвольная, ска­ жем S, то последовательные резервы, рассчитанные для этой суммы, связаны равенством (tV+ Р ) О + i) = t+ Я ( S - / +\ У), (11-3) где через V и Р обозначены резерв и годовая премия для кон ­ трактов любого вида. 12. М ОНОТОННЫЕ СТРАХОВЫЕ РЕНТЫ Ренты, рассмотренные выше и связанные с выплатами стра­ ховых сумм или премий, были постоянны ми, т.е. не изменялись во времени. В этом разделе мы рассмотрим переменные, напри­ мер, возрастающие или убывающие ренты. Начнем с пожизненной возрастающей ренты, при которой в первый год выплачивается единичная сумма — 1, во второй год — 2 и т.д. Рассмотрим вначале авансированную (ренту). Теку­ щую стоимость этой ренты обозначают (I а)х , (/а ), = 7 * . Dx (12.1) Для случая срочной возрастающей ренты текущая стоимость . г ... Sx - Sx + п — п • Nx +п ( 7 * % ^ = ----------------- Wx----------------- • / п т\ ( 1 2 .2 ) О быкновенная возрастающая рента отличается от авансиро­ ванной отсрочкой на один год, таким образом, 25 U а)хх = “V 7 Г ^ • (7 й) X —+ 1г -1 : п\ х ИЛИ ( / а)х = ^ С оответственно для справедлива формула . срочной (12.3) возрастаю щей ' (1<*Ьгптц ренты (12.4) ИЛИ , т s (/ а ) ^ + 1 — S x +п + 1 — п ■ N x + п + 1 = ------------------------- л ------------------------- • д / п л ,\ ( 1 2 '4 ) Перейдем теперь к убывающим рентам. Естественно, что можно говорить лиш ь о срочных убывающих рентах. Текущее значение стоимости убывающей ренты находят по формуле (D 13. = - ~jV*-+-1 ~- ^ + S l- +п +2. (12.5) КРАТНЫЕ СТРАХОВЫЕ РЕНТЫ На практике обычным делом является взимание месячных премий в оплату страхового контракта, однако встречаются контракты и с полугодовыми или ежеквартальными взносами. Многие ренты, такие как пенсии или стипендии, выплачиваются чаще, чем раз в год. Оцен­ ки актуарной стоимости таких рент выражаются через коммутацион­ ные числа с помощью функции дожития для дробных возрастов. Рассмотрим, например, обыкновенную пожизненную ренту, выплачиваемую р раз в году, при этом общая годовая выплата со­ ставляет единичную сумму [4, 6]. Таким образом, величина одно­ кратной выплаты равна 1/р. Актуарную стоимость такой ренты получают актуарным дисконтированием отдельных выплат (как и для детерминированных рент); ее обозначают d£> и вычисляют по формуле 26 т ( о - X) Величину tpx для дробных значений t легко найти в случае аналитического задания функции дожития, в противном случае применяется метод интерполяции, дающий приближенную оценку искомой актуарной стоимости ренты в виде (13.1) В случае авансированной пож изненной ренты, выплачиваемой р раз в год с одноразовой выплатой суммы \ / р в начале каждо­ го периода выплат, мы получим ренту, текущая стоимость а ^ которой связана с текущей стоимостью обыкновенной ренты равенством = я® + 1/р. Учитывая соотнош ение (13.1), полу­ чаем выражение для приближенного вычисления р-кратной авансированной пож изненной ренты: Пример 13.1. Найти стоимость ежемесячной пенсии в 500 руб., выплачиваемой в начале каждого месяца, начиная с 60 лет. Оценка производится в момент достижения этого возраста. Решение. Годовая пенсия составляет 500 • 12 = 6 000 руб. Тогда стоимость пенсии будет (Йб0_М)= 6 000 • а{^ ] = 6 000 ■(й, 6 5 3 , 4 2 Р у б 'И Перейдем теперь к отложенным рентам, т.е. таким, выплаты по которым отложены на п лет. Если х — возраст застрахованно­ го, то в соответствии с правилом дисконтирования получают формулы для текущей стоимости отложенной обы кновенной и авансированной рент соответственно: 27 Н ако н ец , п о скол ьку срочная рен та мож ет быть представлена виде р азн о сти н ем едлен н ой и отлож енной: в а¥ГЦ = аТ Ц аТ7Ц - а(х ] Ц ах ]’ оц ен ка для р -к р атн о й срочной р ен т ы будет иметь вид W а ТГЦ = а1ГЦ + г л Р ~ 1. п 0 ~ пЕ х) j п р '^ггпI = + ’ \ (1 (13'4) _ ~ 2 р ~ - Пример 13.2. Н айти стоим ость еж емесячной стипендии в 250 руб., вы плачиваем ой 5 лет студенту по достиж ении им 18летнего возраста. Выплаты осущ ествляю тся в конце каждого месяца. Решение: (р) 02) . г 12-1 аТГЪ1 - <3теТТЗ|“ °Ш 51 + (1 - 5-С18) ■ jV)9 — N 24 24 ~D n + Стоимость стипендии тем самым составит 250 - 12 - 4,46 = = 13 380 руб. Вернемся к обы кновенной пож изненной ренте. Рассматри­ ваемый выше параметр р — частота выплаты ренты в год, при этом, как уже говорилось, размер однократной выплаты состав­ ляет величину 1/ р. Если р устремить к бесконечности, то в пре­ деле получится так называемая непрерывная рента, стоимость которой находят по формуле ах = Нш = ах + 1 / 2 . Для авансированной ренты верно: ах - Нш а^] = ах - 1/2. Таким образом, ах = - 1/2 = ах + 1 /2 .И (13.5) Найденные вы ш е выражения для /7-кратных рент позволяют получить выражение для величины регулярных премий по стра­ ховым контрактам, вносимым р раз в год. П ринцип здесь тот же, что и в случае годовых выплат: вместо годовой ренты рас­ сматривают /ькратную ренту того же типа, т.е. пожизненную, 28 срочную, отложенную и т.д. Например, А — актуарная стои­ мость пожизненного страхования на единичную сумму в возрас­ те х. Если этот контракт оплачивается равными платежами р раз в год в конце каждого периода, то выплаты премий являю тся ркратной обыкновенной пожизненной рентой. Если P f — вели­ чина премии за период, то = Ах/ а х \ Пример 13.3. Найти величину ежемесячных премий для п о ­ жизненного страхования женщ ины в возрасте 30 лет, если стра­ ховая сумма составляет 1 0 тыс. руб. Решение: 1 2 Р й (з02)= 10 ООО А30, п 10 ООО 0,1485 ^ (12) откуда Р = 12 3 1 4 56~ = 6,41 руб., поскольку а30 « Мяп * а - 11/24 = 19,315, ^430 = = 0,1485. 14. ОБЩАЯ СХЕМА СТРАХОВАНИЯ Ж ИЗНИ (variable life) Рассмотрим одну общую схему контрактов по страхованию жизни. Схема задается последовательностью страховых сумм сх, с2, сп, ..., причем сумма сп выплачивается в конце «-го года после заключения контракта, если застрахованный умер в этом году. Если Тх — время оставшейся продолжительности ж изни, то сумма с„ будет выплачена, если п - 1 < Тх < п. Вероятность этого события P r [ n - 1 < Тх < п ] = „ _ 1рх - дх + я_ у Если через Z обозначить текущую стоимость выплаченной страховой суммы, то она будет представлять собой случайную дискретную величину, причем значение z= v" • сп эта величина принимает с вероятностью п _ хр ■qx +n _ r Таким образом, актуарная стоимость контракта 29 и+ 1 '«+1 (14.1) Н аконец, используя коммутационные числа, можно записать ®- х „ л X"* х+п A = L Ся+1 • _ д Г и =0 ^ (14-2) Стоимость Л можно выразить через стоимость отсроченных годовых контрактов: п|1 = п| ■ Тогда имеем со - X А - X сл + 1 • nil Д о л=О В общем случае, т.е. для произвольных выплат, выражение для А упростить невозможно. Рассмотрим, однако, два частных случая — возрастающих и убывающих выплат. Для стандартного возрастающего пож изненного страхования с, = к, к - 1 ,2 , ..., со —х, при этом формула (14.2) примет вид {1А)х = % Д ля срочного страхования с возрастающими выплатами ск = к, к = 1, 2, ..., я, формула (14.2) прим ет вид 30 (144) , , т RX - R. X + r t - и • M X + >ч 1 Л ' ------------- DX--------------' (/ ^ <14-5> Наконец, для смеш анного страхования с возрастающими страховыми суммами и выплатой при дожитии страховой суммы п имеем очевидную формулу = (1 А )ЗГГЙ1 + п • А Х -. - ’ ( 1 4 .6 ) п\ которую можно переписать в виде . т Rx ~ Rx +п — п ■М х +п = + п • D x +п ъ ------------------------------------------- . ( 1 4 .7 ) Рассмотрим теперь случай убывающих страховых сумм для чистого страхования ж изни на срок. Тогда ск+1 = п - к, к = 0,1, ..., п - 1. Стоимость контракта такого вида будет такова: , п д п 1 = ■ Мх — Rx + 1 + Rx + п + 1 W ■ ( 1 4 .8 ) Между монотонными рентами и монотонными контрактами страхования ж изни есть связь, аналогичная той, что была уста­ новлена для постоянных рент и контрактов (level life policy): (IA )x = ax - d ■(Га)х . 31 ЗАДАЧИ 1. Пусть имеется 1 тыс. человек, возрастной состав которых таков: 200 человек в возрасте 20 лет; 400 человек в возрасте 30 лет; 200 человек в возрасте 40 лет; 150 человек в возрасте 50 лет; 50 человек в возрасте 60 лет. Какова ожидаемая численность группы через 5 лет? 2. Сколько дней рождения каждый год отмечается сотрудника­ ми большой компании, которая поддерживается в стационарном состоянии ежегодным приемом 600 сотрудников в возрасте 22 лет (пенсионный возраст составляет 65 лет)? 3. Пусть ш тат большой компании можно рассматривать как стационарную совокупность. Ежегодно на работу принимаются 200 человек в возрасте 18 лет. Считая пенсионный возраст рав­ ным 65 годам, найти: а) численность штата компании; б) число ежегодно выходящих на пенсию; в) число пенсионеров. 4. Больш ая ком пания имеет штат сотрудников из 10 тыс. че­ ловек и поддерживает его в стационарных условиях ежегодным приемом на работу новых сотрудников в возрасте 22 лет. Чет­ верть из вновь принятых увольняются в возрасте 30 лет, треть оставшихся увольняются в 40 лет, а оставшиеся работают до пенсии (65 лет). а) Сколько новых сотрудников принимается на работу каж­ дый год? б) По смерти каждого сотрудника выплачивается 1 тыс. руб. Каков годовой размер выплат? 5. Ш тат ком пании из 30 тыс. человек является стационарной совокупностью. Ежегодно на работу принимаю тся сотрудники в возрасте 25 лет. Проработавш им 20 лет выплачивается премия в 3 тыс. руб. Считая пенсионны й возраст равным 60 годам, найти: 32 а) число ежегодно принимаемых сотрудников; б) размер ежегодно выплачиваемой премии. 6. На фабрике работают преимущественно женщины в возрасте от 20 до 60 лет. Будем считать штат фабрики стационарной сово­ купностью. Пусть ежегодно на работу принимаются 1 тыс. ж ен­ щ ин в точном возрасте 20 лет. Из них 20 % покидают фабрику через 10 лет, 15 % оставшихся — через 20 лет, а все остальные ра­ ботают до пенсии (60 лет). Выразить через функцию 1к: а) численность работающих на фабрике; б) число сотрудниц, покидающих фабрику в возрасте 40 лет; в) число пенсионерок; г) число ежегодно умирающих сотрудников. 7. Ш тат большой компании является стационарной совокуп­ ностью, ежегодно на работу принимаю тся 500 человек в возрас­ те 18 лет. Четвертая часть их покидает компанию в возрасте 30 лет, одна треть оставшихся покидает компанию в возрасте 40 лет, а остальные работают до пенсии (60 лет). К ом пания выпла­ чивает сотрудникам, проработавшим 20 лет, по 1,5 тыс. руб., проработавшим 35 лет — по 4 тыс. руб., кроме того, по случаю смерти выплачивается 1 тыс. руб. Найти: а) общее число сотрудников компании; б) размер суммарных годовых выплат по смерти; в) годовой размер выплат компании за долгую службу. 8. Члены некоего профсою за представляют собой стационар­ ную совокупность, и их численность составляет 25 тыс. человек. Д ля вступления в профсоюз необходимо иметь диплом о полу­ чении соответствующего образования. Д ля этого учебное заведе­ ние ежегодно принимает известное число учащихся в возрасте 17 лет. В возрасте 22 лет они сдают экзамен, и успешно сдавшим вы­ дается диплом. Те, кто не сдал экзамен с первой попытки, продол­ жает обучение и через год снова сдает экзамен. Потерпевшие неудачу и на этот раз не принимаются в профсоюз никогда. П ен­ сионный возраст составляет 60 лет. Уровень прохождения экзаме­ нов с первой попытки составляет 65 % и 25 % — со второй. Найти: а) число ежегодно набираемых учащихся; б) годовое число учащихся, успешно сдающих экзам ен с пер­ вой и второй попыток соответственно. 9. Имеется группа из N женщ ин в возрасте 20 лет, застрахо­ вавших свою жизнь на 5 лет на 1 тыс. руб. (в случае смерти на­ следники получают 1 тыс. руб., доживш ие не получают ничего). К аков размер единовременной премии по контракту? 33 10. Имеются N мужчин в возрасте 40 лет, застраховавших свою жизнь на 15 лет на 3 тыс. руб. Каков размер ежегодной премии (премия вносится один раз в год в начале года)? Срав­ ните с размером разовой премии. 11. Н айти стоимость страхования на дожитие до 60 лет муж­ чины в возрасте 40 лет на сумму 10 тыс. руб. 12. Найти единовременную премию страхования на дожитие 18-летнего мужчины до 60-летнего возраста на сумму 10 тыс. руб. 13. Н айти стоимость страхования на дожитие до 60 лет муж­ чины в возрасте 40 лет на сумму 10 тыс. руб., если процентная ставка / = 9 %. 14. Какую сумму получит 18-летний мужчина через 20 лет, если единовременная чистая премия контракта была 5 тыс. руб.? 15. Какова должна быть процентная ставка контракта, чтобы, внося сумму 5 тыс. руб., 18-летняя женщ ина через 20 лет полу­ чила 15 тыс. руб? 16. Найти ожидаемую современную стоимость чистого дожи ­ тия со страховой суммой в 50 тыс. руб. для застрахованного мужчины 55 лет в каждом из следующих случаев: а) срок страхования 10 лет, процентная ставка — 4,5 % годо­ вых; б) в тех же условиях, что и по п. а), но срок страхования — 15 лет; в) объясните, почему полученное значение в п. а) больше, чем в п. б). 17. Найти используя данные таблицы смертности (см. табл. 1 в приложении). 18. Найти стоимость пожизненной ренты с годовыми выпла­ тами в 10 тыс. руб. для лица в возрасте 30 лет. Рассмотреть слу­ чаи обы кновенной и приведенной рент. 19. Л ицо, застраховавшее свою жизнь на 200 тыс. руб., уми­ рает. Его 60-летняя вдова решает на деньги, полученные от страховки, обеспечить себе пожизненную приведенную ренту. Какова величина годовых выплат по этой ренте? 20. При страховании от несчастных случаев жертвы получают страховую сумму в качестве возмещения. По желанию часть или вся сумма может быть обращена (конвертирована) в ренту. К а­ кова величина ежегодного дохода от пожизненной приведенной ренты, если она составляет 2 /3 суммы страховки в 696 тыс. руб. от несчастного случая для 28-летнего строителя? 34 21. П ри рождении внука бабушка откладывает ему 20 тыс. руб., чтобы с 30-летнего возраста он получал ежегодную ренту. К аков будет размер ренты? 22. Пятнадцатилетняя девушка получает наследство в 30 тыс. руб. Она предполагает поступить в университет в возрасте 21 года и покупает ренту с выплатами, начиная с этого возраста, для обеспечения образования и последующего трудоустройства. Какова величина R ежегодных выплат? 23. Н айти стоимость единовременной премии Р по пож из­ ненному страхованию на 10 тыс. руб. для 30-летнего застрахо­ ванного. 24. Стоимость единовременной премии Р — 10 тыс. руб. На какую сумму молодому человеку 18 лет застраховать свою жизнь? 25. Какова ежегодная (чистая) премия по страхованию ж изни на 10 тыс. руб. для 18-летнего мужчины? 26. 18-летний мужчина платит каждый год по 100 руб. К ако­ ва будет страховая сумма при достижении страхового события? 27. 30-летний мужчина платит каждый год по 100 руб. К ако­ ва будет страховая сумма при достижении страхового события? 28. Одноразовая премия 5-летнего полиса страхования ж изни для 30-летней женщ ины равна 120 руб. Какая сумма будет полу­ чена при достижении страхового события? 29. Годовая премия 5-летнего полиса страхования ж изни для 30-летней женщ ины равна 10 руб. Какая сумма будет получена при достижении страхового события? 30. Страховая ком пания заключает следующий контракт с ж енщ иной 50 лет: если страхователь умрет в течение последующих 10 лет, еди­ ничная страховая сумма в 10 тыс. руб. будет выплачена в конце года ее смерти; если страхователь проживет по крайней мере 10 лет, выплата страховой суммы будет произведена в конце года смерти. Покажите, что современная стоимость такого контракта за­ писывается в следующем виде: 10 000 • (Л50 + Л^.-щ)П 31. Покажите, что ох: 5, = Z п- 1 v m-lx + m/ l x, ах:ц = Т< v" • /х + л/ ( г 32. Предположим, что соответствующая страховка в виде обыкновенной ренты выплачивается в случае дожития страхова­ теля возраста х: если страхователь доживет до конца первого года, то выплачивается 1 тыс. руб.; если страхователь доживет до конца второго года, выплачивается 3 тыс. руб.; если страхова­ тель доживет до конца третьего года, выплачивается 6 тыс. руб. Найти выражение для ожидаемой современной стоимости этих выплат и оцените ее, предполагая, что х = 30, а страхуемое лицо — мужчина. 33. Предположим, что соответствующая страховка в виде обы кновенной ренты выплачивается в случае смерти страховате­ ля возраста х: если стархователь умрет в течение первого года, то выплачивается 1 тыс. руб.; если страхователь умрет в течение второго года, выплачивается 3 тыс. руб.; если стрхователь умрет в течение третьего года, выплачивается 6 тыс. руб. Найти выражение для ожидаемой современной стоимости этих выплат и оцените ее, предполагая, что х = 50, а страхуемое лицо — женцина. 34. Предположим, что мужчина 37 лет приобрел контракт на страхование ж изни. В случае смерти наследникам страховая сумма выплачивается в виде следующей монотонной возрас­ тающей ренты: 1 тыс. руб. в конце года смерти, 2 тыс. руб. в конце следующего года, 3 тыс. руб. в конце следующего года и так далее, до того момента, когда общая сумма выплат не будет равна 15 тыс. руб. Найти стоимость такого контракта. 35. Покажите, что т\ах = v m прх ах+т. 36. Покажите, что т\Ах = v прх Ах +т. 37. Найти современную стоимость выплаты контракта с мужчи­ ной 47 лет на дожитие до 70-летнего возраста в размере 15 тыс. руб. 38. Ж енщ ина возраста 45 лет покупает полис смешанного страхования со сроком страхования 20 лет, при котором выплата в размере 10 тыс. руб. производится в конце года смерти, если это произойдет во время срока страхования, и в размере 20 тыс. руб, если она доживет до конца срока страхования. Найти раз­ мер единовременной премии такого страхового контракта. 39. Найти годовую премию контракта на 10 тыс. руб. для 18­ летнего застрахованного с оплатой до 65-летнего возраста. 40. Найти единовременную премию смешанного страхования в 20 тыс. руб. для 20-летней женщ ины на 10 лет. 36 41. П осчи тать еж егодную прем ию по см еш анн ом у страхова­ н ию суммы 50 тыс. руб. для 36-летнего м уж чины со сроком до 60-летнего возраста. 42. Д окаж ите, что для ф и к си р о в ан н о й неотри цательной п р о ­ ц ен тн о й ставки А-^т-jf явл яется не возрастаю щ ей ф ун кц и ей от ср о к а страхования п. Д айте и нтуитивное объяснени е этого р е ­ зультата. 43. Н айти стоим ость ед и новрем ен ной прем ии по п о ж и зн е н ­ ном у страхованию н а 1 тыс. руб.: для 30-летней ж ен щ и н ы ; для 30-летнего муж чины . 44. Н айти еж егодны е прем ии для суммы 50 тыс. руб., если возраст застрахованного м уж чины 20 лет, а период оплаты к о н ­ тр акта составляет 15 лет. 45. Н айти годовую премию контракта на 12 тыс. руб. для 18-лет­ него застрахованного с оплатой до 60-летнего возраста. 46. Н айти величину резерва н а кон ец пятого страхового года для 10-летнего см еш ан н ого страхования на 10 тыс. руб., если в м ом ент заклю чен и я кон тракта застрахованном у было 18 лет. 47. Н айти стоим ость еж ем есячной пенсии в 300 руб., в ы п л а­ чиваем ой с 60 лет. О ц ен ка п роизводится в м ом ент дости ж ен и я этого возраста. 48. Н айти стоим ость еж ем есячной стипендии в 200 руб., в ы ­ плачиваем ой 5 лет студенту по дости ж ен и и им 18 лет. В ы платы ~ в конце каждого месяца. 49. П осчитать величину еж ем есячны х премий п ож и зн ен н ого страхования для девуш ки в возрасте 20 лет, если страховая сумма составляет 50 ты с. руб. 50. Н айти разм ер еж ем есячной прем ии, которая д олж н а вы ­ плачиваться по п оли су см еш анн ого страхования ж и зн и со стра­ ховой сум м ой 50 тыс. руб. П олис приобретен м уж чиной в возрасте 40 лет сроком н а 15 лет. 51. 30-летн яя ж ен щ и н а покупает п ож и зн ен н ое страхование за еж енедельную прем ию в 15 руб. с периодом уплаты до 60 лет. К акова страховая сумма по этому кон тракту,' вы плачиваем ая сразу же по наступлении страхового случая? 52. М уж чина 40 лет покупает кон тракт на случай смерти на срок 20 лет. В случае см ерти вы плачивается страховая сумма, 37 равная 100 тыс. руб. Найти величину премии, выплачиваемой поквартально равны ми суммами в течение всего срока стархования. 53. У 30-летней женщ ины имеется контракт на смешанное страхование ж изни на сумму 20 тыс. руб., выплачиваемую сразу по смерти или по дожитии до 55 лет. Посчитать размер ежеме­ сячной премии, рассроченной на весь период страхования. 54. 40-летний мужчина покупает себе пожизненную ежеме­ сячную пенсию, выплаты которой начнутся по достижении им 60-летнего возраста и составят 6 тыс. руб. в год. Каков размер премии по такому контракту? ОТВЕТЫ И РЕШ ЕНИЯ - 200 1- / 25 / ‘ 20 ,400 ,200 ,150 ,50, по. (35 + / ^45 + / h s + I 65 - 984 чел. '30 ‘ 40 2- ^=у° (Т22- Т65) ho *22 ‘ 50 hi *22 '60 (1224 - /654) 600 (97 672 • 50,589 - 74 261 • 13,036) = 24 407 чел. 97 672 3. а) N = ^ (Г18 - Г63) = 200 (е ° - ^ е6°5) = '18 '18 = 200 (54,382 - | | | | у б) 200 • 13,036) = 8 902 чел. = 151 чел. '18 ч 200 . о 1 в) Т " 4s e 65 = 1 975 чел. ‘18 4. а) 10 ООО = ^ (Г22 - 0,25 Т 30 - 0,25 Г40 - 0,5 Гб5) = '22 = 97 672 (97 672 • 50,589 - 0,25 • 97 027 ■42, - 0,25 ■95 907 • 33,335 - 0,5 • 74 261 ■13,036) = = 10 000 = 26,8 N ; N = 373 чел. б) Число ежегодно умерших сотрудников есть разность между числом поступивших и числом выбывших во всех возрастных группах. 39 TV, = - ^ Г (97 672 - 0,25 ■97 027 - 0,25 ■95 907 - 0,5 ■74 261) = у I Ь /2 = 47 чел. ■ 1 тыс.руб. = 47 тыс. руб. 5. 30 ООО = ^ ( / 25 4 - /60 4) = '2 5 = 7V (47,710 - 1 1 ^ 1 1 -16,383) = 33,72 TV; 7V « 890 чел. 890 97 432 6. 97 432 45 а) N — . ' 94 787 = (/2о е20 - 0,2 866 /30 е30 чел. ■3 ООО = 2 598 тыс. руб - 0,12 0,68 /40 640 /60 е60); '20 б) JV, - «г» 0,12; 20 ч 1 000 , о п в) - р - /60 е6о 0,68; 20 г) J_00g (/20 _ 0,2 /30 - 0,12 - 0,68 /б0). '20 7. а) "^ (/lg elg 0,25 /30 £300,25 /40е400,5 /60е60), 18 б) ^ ( / ]8 - 0,25 /30 - 0,25 /40 - 0,5 Q • 1 000 руб. И18О 9. 5 d2Q = I20 ~ h 5 Ао - ^25J 5*720 = ----/---“ ■ ^ 3 “ ФУППЫ в 7V женщ ин в '2 0 среднем умрут D = N 5q20 , и наследники кал-сдой получат 1 тыс. руб., так что общ ие расходы составят = 1 0 0 0 Л^5#20, а премии составят = S / N = 1 000 5 <?20 = 1,82 руб. 10. Разм ер обязательств страховой ком пании составит S = 3 000 Л^ 15^40 . Размер разовой премии составляет 3 000 | 5 <740 = 244,95 руб. При ежегодных взносах первую премию 40 выплатят все N мужчин, вторую — N поступления составят р и активы, /40 + ... + /54 I40 3 000 l5q40 получаем р человек. Тогда общие чо /40 + ... + I54 Уравнивая обязательства 244,95 = 16,85 руб. 14,541 ‘40 и . а! 40T2S1 D6o 10 713,4 Z>40 ~ 29 969,£ 0,357 473 1, /> = 10 000 £ = 3574,731 руб. р = 10 000 = 3574,731 руб. 12. В этом примере х = 18, х + п = 60, п = 60 - 18 = 42. Таким образом, р = 10 000 А ш щ 10 000 60 = 10 000 18 10 713,4 22 402,5 = 1300,13 руб. М еньш ая величина премии в даном примере свя­ зана с большей продолжительностью контракта и, следователь­ но, с меньшей вероятностью дожития страхователя до требуемого контрактом возраста. 13. 1L х: п\ баланса / уравнения = v" / \ ' Л /Х+ 11 / 20 150 281 1 п 160 ■0,17843 = 0,15 382. 1X J + К Ч о U + 0,09у - 174 315 Из р = 10 000 А___ , = 1538,29 руб. г 407Щ 14. А ^ 369,991 = 0,132 39, №20] 2794,671 __ , = 10 000 • 0,132 39 = 1323,9 руб, откуда S= ” aL 5000 0,399 311 12 521,57 руб. 18У201 41 15. П оскольку 5000 = 15 ООО л\ ~ Р - , то 5 0 0 0 _____ А~ » 1_ s " 15 ООО " ’ ’ А п „ 0,333 33 в то же время А'-г1 = v „рх , откуда V = —--------Х' П1 20.Pl 8 /1 .,п 20Pl8 20 / 20^18 ( 1 + 0 = А 0,333 ^33 = > оv + о ' Ц 0,333 33’ Х + П ^38 2аРп 9 7 5 5 7 А f 1 1+ / А О О А'Г/' 98 566 " ° ’088 976' /0,988 976 _ 20, = 4/2,966 98 - 1 = 0,0559 0,333 33 или / = 5,6 % годовых. /= а) 50 000 7794 5 14 2 2 1 ,5 б) 50 000 *3g . 9 = 27 403,74; = 18 823,13. 14 2 2 1 ,0 п л1 Аз 26 004,0 А 0<гп гп 17• Л?Щ - /)40 - 29 969,8 " 0,867 18. По табл. 3 приложения находим, что <з30 = 19,115 702. Отсюда а30 = д30 —1 —18, 115 702. Следовательно, стоимость авансированной ренты с 10 тыс. руб. годовыми выплатами равна 10 000 а30 = 191 157,02 руб., а стоимость обыкновенной ренты составляет 10 000 а30 = 181 157,02 руб. 19. В этом примере известна текущая стоимость всей ренты. Если R — величина годовых выплат, то R аЫ) = 200 ООО, откуда R = 200 000 або 20. 42 200 000 11,907 684 = 16 795’88 руб- R а2! . | • 696 000 = 464 000. n 464 000 464 000 „ П1 , П/1 ,. Л = " 1 ^ Г = Ж 4 б 0 75 = 23 9 1 6 ’9 4 р у б - 21. R = 20 ООО = 20 ООО = 20 ООО • 0,204 516 9 = = 4090,138 руб. N 7. - n 7, 30 000 = R а6 /5 а 15’ .,, а6 /5 а,= -----„-----15 П 22. В данном случае J 15 525 608,5 - 409 533,6 „ _ = ----------33"209^--------- = 3 ’495’ „ 30 000 = У495~ " ’ откуда . РУ^' 23. Р = 10 ООО ^зо = 10 • 176,83621 = 1768,6 руб. 0 Р 10000 п л л л п п ^ „ 24. S = — = — -— = 84 447,83 руб. A i& ° 25. 10 ООО Plg = 10 ООО M ,Q Q7^7 SOI = 10 ООО = 57,842 руб. мп 26. 100 = Р = S Р .я - S ■-гг~ = S ■0,005 784 2. 18 N 18 5 ‘ о Ш Ш Г 1 7 Ш -475 т 5 27. 100 = Р = S Р30 = S = S ■0,009 250 8. ^зо 0 8 - Ю 8 ° 9 ,8 7 5 руб. 28. — д и ~ ” - !20 руб. -У= 120 2507,669 - 2400,887 70Ш_?р1 1и Л ^зоТЗ! о м ж ~ и ъ> N 30- N 35 = 0,00138 S. Отсюда S = 18 972,19 руб. „ 2507,669 - 2400.887 333 813.9 - 256 571.4 “ . = 7246,38 руб. U,UU1Зо 43 32. lx S = v 1 ■4 +1 + v 2- 3 . / x + 2 = v 3- 6 - / x + 3. *— +1 . v + — *-— + 2 ■3 л v 2 + —j— ■6v . 5о = — x V= x 1,045 x = 0,95693, v 2 = 0,91572, v 3 = 0,8762966. ’ S = W W (96 941 ' 0,95 693 + 3 ' 96 853 = 6 • 96 762 • 0,87621) = 8941,73 руб. ° ’91 572 + 33. lx S = dx - I ■v + dx+1 ■3 v 2 + dx +2 ■6 ■v 3. 0 d dx + 1 2 dx +2 j 5 = — v + —j— ■3 v + —j— • 6 ■v = *x = oO ubi ‘x (298 • 0,956 93 + 3 • 317 • 0,915 72 + + 6 ■3396 • 0,876,296 6) = 48,93 руб. 34. 5 лет, авансированная возрастающая рента. , т-S Dyi + 21>з8 + 3Z>39 + 4Z>40 + 5D41 3775] = ^ = 7954 558 4 = ^ | 7 6з р у = 12,89 15 тыс. руб. = 12 879,15 руб. 37. .V= = ■1 ■ 15 ООО = 15 000 ^ = V47 15000И й = 3748' 14 38. S = 10 000 ylL_, + 20 000 4 l _ , = х : п\ М. , - М „ = 10 000 —^ ---- + 20 000 х:щ Z),, = . 10 000 2 156.2К - М 73.327 + 2„ 000 | | М 44 = 7 976>82 ру6. м 30 + D30 D20 20 „„о 2 7 4 7 .8 W - 2507,669 и- 16 882,4 = ^ m f n ^ 26 523,9 м36- м( д 60 60 41. Р = 50 ООО Р ^ щ ~ 50 ООО 40. ^ = 2 0 ООО А ^ щ = 20 ООО М ,20 N 36 ~ N 60 7948,5 - 5219,880 + 10 713,4 = 1 277,37 руб. = 50 ООО 653 730,2 - 127 571,8 Mi _зо 43. р = 1000 Ао 1АЛГ. 8 408,291 п/г о/i «г ^мужч —ЮОО ^ ^— 176,84 руб. 1ПЛЛ 2 507^669 1/|0 г . . к Рженш ~ Ю00 ^ ~ 148,54 руб. 1 ^^10 —■M'iz 44. р = 50 000 /*!_. == 50 000 = N 2 Q - N 35 еп »»» 9 477,262 - 8 024,770 - 50 000 1525 855>4 _ 691 534>0 87,05 руб. ^18 “ Мб0 = 12 000 N ^18 ~ ^60 9 757,801 - 5 219 = 34,92 руб. 12 000 1 686 971,4 - 127 571,£ 45. р = 12 000 р 47. Годовая пенсия составит 3600 руб., т.е. стоимость пенсии 3600 а(6‘02) * 3600 (йб0 - ~ ~ ) = 41 217,66 руб. 48. 12 • 200 Л12> = 2400 n 2400 19 - n D 18 24 1 - 49. 50 000 p ^ = 50 000 ^ + В 23 D 18 (1 U 24 - -£>23/ A s) л 10 704,85 руб. J M -20 ДГ 11 20 - 2 4 24. = 254,44 руб. n 20 45 Nx - N x +n 50. а■тгц: Д. М 4о ~ Щ 5 + D 55 Д 40 7626,856 - 5979,425 + 14 221,6 = 0,5295. 29 969,8 12 iZ Р а(П) "40П51 12 Р ^40 * N 55 д 55 П. 40 24 д Д 40 518 852,7 - 191 400,7 29 969,8 1 14 221,6) 29 969,8J 11 24 J 12 Р - 0,04955 — это годовая выплата. Ежегодная премия х : п\ 12 Р Р' х : п\ = 50 ООО АМО т -: , 15j ..(12) Й4 5 Т Щ * = 50 000 Л40. 15[ , откуда Р = 206 руб. 51. 5 2 , 2 ™ , . ••(52) _ jV30 ~ Na iv60 _ Л _ АоЛ 51 flT OTзо] 30l " V /)30/ ТШ J)П.. в ,, ' ' 104 30 I 333 813,9 -_ 54 147,3 Л 3995,3 > 51 = 16,19124. 16 882,4 ^ 16 882,4 J 104 - ат = ЖЗО! ^ зо - м т Д зо 2 507,669 - 1 663,557 16 882,4 52р = 0,003 — это за страховую сумму 1 - 52 • 5000 руб. 15 р у б - ? S = = 260 000. м 7 626,856 - 5 219,880 „ ..(4) 52' --------- 29 9 6 ^ 8 --------- = 4 ^ ^ = 46 М 40 - М 60 д 40 = 0,0803133. AlX ~ MX + h * r / D ( л \ "^ Х + Л Д 4 J А. Г518 852,7 - 127 571,8 29 969,8 = 0,006 267,185. 10 713,4j 29 969,8' ~ p L 4p /7 3 8J 100 000 P = 6267,19 руб. = 1 566,8 руб. 53. ^ x : n\ A/y —M , „ + ,n = 0,346 436 584 II 12^ ^ i2* ( w (1■ 12p M)=l2p 333 813,9 - 77 585,8 16 882,4 N x +n A "-(I Dx+n^ 11 5183,5 Л 11 U p - 14,8596 16 882,4' 24, 0,346 436 584 Pi = 14^8596^-----20------= 46^ 28 руб. = 38,86 руб., т.е. 12n oхil., ; я} = 20 ООО А__ х : л, = 0,3464. 7 II 14,8596 47 ПРИЛОЖЕНИЕ Английская таблица смертности № 14 1980-82 Т аблица Возраст Ж енщины ITI X ‘х 9Х 0 10000 .01271 71.043 100000 .00984 77.002 1 98729 98645 .00085 70.956 70.016 .00072 .00045 76.766 .00051 99016 98945 98594 .00038 69.051 98900 4 98557 .00035 68.077 98869 .00031 .00025 5 98522 .00032 67.101 98844 .00022 72.896 6 7 8 98490 .00030 66.123 98822 .00020 71.913 98461 .00027 65.141 98802 .00019 70.927 98434 .00025 64.160 9 10 98409 98385 .00024 .00024 98783 98764 98746 .00019 .00018 .00018 69.941 68.954 67.966 И 98362 98338 .00024 .00026 .00029 14 98312 98283 15 98250 2 3 12 13 48 Мужчины 4х 63.176 75.820 74.855 73.878 62.191 61.206 98728 .00018 66.979 60.221 98710 .00018 59.237 98693 .00019 65.991 65.002 .00034 58.254 98675 .00022 64.014 .00041 57.274 98653 .00026 63.028 16 98210 .00053 56.297 98628 .00030 62.044 17 98158 .00102 55.326 98598 .00033 61.062 18 98057 .00111 54.382 98566 .00035 60.082 19 97948 53.442 98531 .00035 59.103 20 .00102 .00093 .00087 52.496 98497 .00035 58.124 51.545 98462 .00036 57.144 98427 .00036 56.164 98392 .00037 55.184 .00081 50.589 49.631 48.671 98356 98318 .00038 54.204 .00039 53.225 98280 .00041 52.245 98239 98197 98153 98105 .00043 51.267 .00045 .00048 .00052 49.311 48.335 21 97849 97757 22 97672 23 24 97591 97511 25 97432 .00081 47.710 26 97353 27 97273 .00082 .00083 46.749 45.787 .00084 .00086 44.824 .00088 .00083 .00081 28 97192 29 30 97110 97027 31 .00091 42.899 41.936 98054 .00056 32 96941 96853 .00094 40.974 98000 .00060 47.359 46.385 33 96762 .00099 40.012 97941 .00065 45.413 43.862 50.288 1 Продолжение Мужнины табл Ж енщ ины 96666 ~ .00105 .00071 44.442 .00113 39.051 38.092 97877 96656 97807 .00078 43.474 96455 96337 .00123 37.134 97732 .00085 42.507 .00134 41.543 .00148 .00165 97649 97557 .00093 96208 96065 36.179 35.227 .00103 40.581 34.279 97457 .00114 39.622 95907 .00184 33.335 97346 .00127 38.667 95731 .00206 32.395 .00141 37.715 95534 .00231 31.461 97223 97086 .00157 36.768 95313 .00260 30.532 96933 .00176 35.825 95066 .00293 29.611 96763 .00196 34.887 94787 94472 .00332 .00376 28.696 27.790 96573 96361 .00219 .00245 33.955 33.028 94117 .00425 26.893 96125 .00274 93717 .00481 26.006 95862 .00305 32.108 31.195 .00545 25.129 24.264 95569 95244 .00378 30.289 29.390 23.411 94884 22.571 94486 .00419 .00465 28.500 27.618 26.744 93266 92758 .00340 92187 .00615 .00694 91548 .00781 90833 90037 .00877 21.744 94047 .00514 .00982 20.932 93564 .00567 25.580 89152 .01098 20.135 19.353 93034 .00624 25.025 92453 .00686 24.178 18.586 17.836 91819 .00752 .00824 23.342 .00901 21.698 88173 .01224 87094 .01361 85909 84612 .01509 .01670 83199 81666 1 22.515 17.101 91129 90379 .01843 .02028 16.383 89564 .00986 20.890 15.681 .01077 80010 .02229 .01176 20.093 19.307 78226 .02448 14.995 14.326 88681 87726 86695 .01284 18.530 76312 .02687 13.672 85582 .01400 17.765 74261 72071 .02949 .03238 84384 83095 .01528 .03555 81708 .01669 .01828 17.010 16.266 69738 13.036 12.417 11.815 67259 .03903 11.232 80214 .02008 64634 .04285 10.668 78603 .02212 14.813 14.106 61864 .04703 10.123 58955 .05160 9.597 76864 74987 .02443 .02704 13.414 12.737 | : ; 15.533 49 Окончание М ужчины Возраст X (с 72 73 74 75 76 77 78 55913 52749 49480 46123 42703 39246 35781 32343 28965 25682 22528 19537 16737 14153 11805 9706 7863 6274 4928 3810 2898 2169 1597 1156 821 571 388 257 165 102 61 34 19 9 4 2 1 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 50 Ж енщ ины 4 .05658 .06198 .06783 .07416 .08096 .08827 .09610 .10445 .11334 .12278 .13278 .14333 .15440 .16591 .17776 .18986 .20215 .21453 .22693 .23929 .25153 .26374 .27632 .28971 .30430 .32044 .33844 .35853 .38087 .40551 .43241 .46140 .49214 .52414 .55667 .58874 .61896 табл. 9.092 8.607 8.143 7.699 7.275 6.872 6.489 6.126 5.782 5.458 5.152 4.865 4.596 4.345 4.112 3.895 3.693 3.506 3.331 3.167 3.012 2.863 2.718 2.574 2.431 2.288 2.145 2.004 1.865 1.729 1.597 1.471 1.350 1.236 1.129 1.029 .935 72959 70772 68416 65886 63178 60294 57236 54010 50623 47089 43426 39661 35829 31978 28165 24459 20925 17625 14608 11910 9550 7531 5841 4457 3346 2473 1797 1281 893 605 396 248 148 83 43 21 9 4 1 9х 4 .02998 .03329 .03698 .04110 .04566 .05072 .05637 .06271 .06982 .07779 .08669 .09661 .10750 .11922 .13160 .14448 .15772 .17116 .18468 .19814 .21143 .22442 .23703 .24914 .26096 .27331 .28715 .30330 .32252 .34538 .37231 .40349 .43881 .47780 .51960 .56277 .60521 .64382 .67391 12.077 11.435 10.811 10.207 9.622 9.059 8.516 7.994 7.495 7.020 6.570 6.146 5.749 5.381 5.042 4.731 4.446 4.186 3.949 3.733 3.534 3.352 3.182 3.020 2.864 2.706 2.545 2.380 2.210 2.038 1.866 1.698 1.535 1.380 1.234 1.100 .976 .862 .755 1 Таблица 2 Стандартная таблица смертности. 1980 Возраст М ужчины л: ‘х 185890 dx 111 185113 184913 184732 184551 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 184376 184210 184052 183905 183765 Женщины 1000 ■qx 1000 ■ qx dx 188 200 181 4.18 1.08 lx 65135 64947 57 2.89 0.88 0.98 64890 181 0.98 175 166 158 147 140 136 134 0.95 0.90 0.86 0.80 0.76 0.74 0.73 0.77 64837 64786 53 51 50 0.79 0.77 64736 64687 64640 64593 64548 64503 49 47 47 45 45 44 0.76 0.73 0.73 0.70 0.70 0.68 64459 64415 44 0.68 0.85 46 48 0.71 0.75 51 55 0.79 0.86 0.82 11 183629 183495 12 13 183354 183198 14 183017 181 210 0.99 1.15 64369 64321 15 16 182807 243 1.33 64270 182564 276 58 0.90 182288 181984 304 1.51 1,67 64215 17 18 64157 61 0.95 324 1.78 64096 0.98 19 20 21 22 23 24 181660 181322 180977 180631 180290 179955 1.86 1.90 64033 63968 63901 25 26 27 179309 338 345 346 341 335 328 318 310 63 65 67 68 70 71 73 74 76 28 178999 178693 306 304 77 80 1.21 1.26 29 30 178389 178084 1.71 1.73 177776 1.78 63145 82 85 88 1.30 1.34 31 305 308 316 63469 63392 63312 63230 32 33 34 35 177460 325 1.83 63057 177135 176797 338 354 372 1.91 2.00 2.11 62966 62872 179627 176443 141 156 1.91 1.89 1.86 1.82 1.77 1.73 1.71 1.70 63833 63763 63692 63619 63545 62773 91 94 9 104 1.02 1.05 1.06 1.10 1.11 1.15 1.16 1.20 1.39 1.44 1.49 1.57 1.66 51 Продолжение Возраст X 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 Мужчины 1х 176071 175677 2.24 62669 62559 175255 174803 174315 452 488 2.58 62441 62314 62176 173789 173217 172600 171932 171212 572 617 668 720 170433 169594 168692 51 165564 52 53 54 164355 163047 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 ‘х 2.40 167724 166682 58 Женщины 1000 • дх 422 49 50 55 56 57 4, 394 161627 160082 158406 156591 154635 152534 150281 147864 145270 142482 139481 136253 132789 526 779 839 902 968 1042 1118 2.79 3.02 3.29 3.56 3.87 4.19 4.55 4.92 5.32 5.74 6.21 6.71 1209 1308 7.30 1420 1545 1676 1815 8.71 9.56 1956 2101 2253 2417 2594 2788 3001 3228 3464 3698 3930 4154 129091 125161 121007 4377 116630 4608 112022 4851 107171 102064 5107 5373 табл. 7.96 10.47 11.46 12.49 13.59 14.77 16.08 17.54 19.19 21.06 23.14 25.42 27.85 30.44 33.19 36.17 39.51 43.30 47.65 52.64 62026 61862 61684 61493 61289 61071 60839 60593 60331 60052 59754 59437 59098 58735 58347 57933 57494 57032 56549 56043 55512 54950 54348 53695 52984 52211 . 51376 50481 49530 dx 110 1000 ■дх 118 127 1.89 2.03 138 150 2 21 2.41 164 178 2.64 2.88 191 204 218 232 246 3.10 3.32 3.56 3.80 4.04 262 4.32 4.62 4.96 279 298 317 339 363 388 414 439 462 483 506 531 562 602 653 711 773 835 48522 895 951 1008 1073 47449 46299 45055 1150 1244 1357 1.76 5.31 5.70 6.14 6.61 7.10 7.58 8.04 8.47 8.95 9.47 10.12 10.96 12.02 13.24 14.59 15.99 17.42 18.84 20.35 22.11 24.24 26.87 30.12 2 О к о н ч а н и е табл Возраст Мужчины х dx 1000 ■ qx 2 Женщины 1000 • qx >х 74 96691 5626 58.19 75 91065 5845 64.18 76 85220 6011 70.54 40601 1745 42.98 77 79209 6109 77.13 38856 1867 48.05 78 73100 6133 83.90 36989 1977 53.45 79 66967 6097 91.04 35012 2078 59.35 80 60870 6016 98.83 32934 2173 65.98 81 54854 5896 107.49 30761 2264 73.60 82 48958 5740 117.24 28497 2348 82.39 83 43218 5543 128.26 26149 2420 92.55 84 37675 5284 140.25 23729 2463 103.80 85 32391 4954 152.94 21266 2469 116.10 86 27437 4557 166.09 18797 2430 129.28 87 22880 4108 179.55 16367 2346 143.34 88 18772 3628 193.27 14021 2218 158.19 89 15144 3139 207.28 11803 2053 173.94 90 12005 2662 221.74 9750 1860 190.77 91 9343 2214 236.97 7890 1648 208.87 228.77 43698 1483 33.94 42215 1614 38.23 92 7129 1807 253.47 6242 1428 93 5322 1448 272.08 4814 1211 251.56 94 3874 1146 295.82 3603 1006 279.21 95 2728 900 329.91 2597 824 317.29 96 1828 703 384.57 1773 666 375.63 97 1125 540 480.00 1107 526 475.16 98 >/■> оо 385 658.12 581 381 655.77 99 200 200 1000.00 200 200 1000.00 53 Таблица 3 Коммутационные числа Годовая процентная ставка 4,5 Мужчины Возраст а 1000 ■Ах 12512.420 21.659132 67.31088 11768.878 21.679409 66.43767 11585.732 21.633356 68.42087 151.780 11427.122 21.582978 70.59006 3331973.8 140.429 11275.343 21.530311 72.85820 147952.7 3177216.3 127.471 11134.912 21.474536 75.25993 141454.1 3029263.5 116.103 11007.441 21.415170 77.81635 135246.7 2887809.3 103.368 10891.339 21.35265 80.52944 129319.3 2752562.5 94.207 10787.971 21.285011 83.42121 9 123656.3 2623243.3 87.574 10693.765 21.213986 86.47973 10 118243.8 2499587.0 82.571 10606.190 21.139260 89.69762 1L 113069.4 2381343.0 83.143 10523.620 21.060892 93.07219 12 108117.3 2268273.8 88.026 10440.478 20.979757 96.56625 13 103373.5 2160156.0 97.735 10352.451 20.896618 100.14610 14 98824.3 2056782.4 108.511 10254.716 20.812527 103.76720 15 94460.1 1957958.3 20.727876 107.41255 16 90271.3 1863498.0 120.156 130.597 10146.205 10026.049 20.643068 111.06447 17 86254.4 1773225.8 137.651 9895.452 20.558087 114.72401 18 82402.5 1686971.4 140.390 9757.801 20.472342 118.41638 19 78713.6 1604568.9 140.149 9617.411 20.384890 122.18227 20 75183.9 1525855.4 136.892 9477.262 20.294973 126.05440 21 71809.4 1450671.6 131.377 9340.370 20.201685 130.07162 22 68585.8 1378862.1 123.902 9208.994 20.104196 134.26971 23 65508.4 1310276.3 116.481 9085.092 20.001641 138.68583 24 62571.0 1244767.8 109.136 8968.610 19.893679 143.33489 148.23246 X 54 Nx сх 0 Dx 185890.0 4026216.0 743.541 1 177141.6 3840326.0 183.146 2 169330.4 3663184.3 158.610 3 161880.0 3493853.5 4 154757.3 5 6 7 8 К 25 59767.4 1182196.8 101.252 8859.475 19.779946 26 57092.5 1122429.3 94.454 8758.222 19.659849 153.40417 27 54539.5 1065337.0 89.221 8663.768 19.533315 158.85312 28 52101.7 1010797.3 84.821 8574.547 19.400475 164.57333 29 49773.3 958695.6 81.435 8489.726 19.261262 170.56805 30 47548.5 908922.4 78.695 8408.291 19.115702 176.83621 31 45422.2 861373.9 77.262 8329.596 18.963707 183.38147 Продолжение В озраст табл. 3 М ужчины Мх а 1000 • л х 76.041 8252.334 18.805498 190.19418 75.677 8176.293 18.640885 197.28281 731118.1 75.846 8100.616 18.469969 204.64289 37803.7 691534.0 76.271 8024.770 18.292745 212.27455 36 36099.5 653730.2 77.303 7948.500 18.109097 220.18281 37 34467.7 617630.7 79.231 7871.196 17.919103 228.36429 38 32904.2 583163.0 81.209 7791.966 17.723038 236.80741 39 31406.1 550258.8 83.901 7710.757 17.520759 245.51782 40 29969.8 518852.7 86.540 7626.856 17.312527 254.48486 41 28592.7 488882.9 90.056 7540.315 17.098185 263.71491 42 27271.4 460290.2 92.958 7450.260 16.878156 273.18992 43 26004.0 433018.9 96.308 7357.302 16.651984 282.92918 44 24787.9 407014.8 99.334 7260.995 16.419874 292.92449 45 23621.2 382226.9 102.846 7161.660 16.181529 303.18802 46 22501.2 358605.7 105.998 7058.813 15.937210 313.70890 47 21426.2 336104.5 109.050 6952.816 15.686606 324.50049 48 20394.5 314678.3 111.990 6843.767 15.429567 335.56922 49 19404.3 294283.8 115.360 6731.777 15.165925 346.92232 274879.5 118.444 6616.417 14.895933 358.54874 X Dx »х 32 43389.0 815951.6 33 41444.5 772562.7 34 39584.2 35 50 18453.3 51 17540.2 256426.2 122.569 6497.974 14.619306 370.46084 52 16662.4 238886.0 126.895 6375.405 14.336866 382.62327 53 15817.9 222223.6 131.828 6248.509 14.048831 395.02667 54 15005.0 206405.7 137.257 6116.681 13.755829 407.64394 55 14221.6 191400.7 142.483 5979.425 13.458490 420.44797 56 13466.7 177179.1 147.655 5836.942 13.156869 433.43640 57 12739.1 163712.5 152.274 5689.287 12.851176 446.60023 58 12038.3 150973.4 156.518 5537.013 12.541132 459.95143 59 11363.3 138935.1 160.614 5380.495 12.226603 473.49567 5219.880 11.907684 487.22915 60 10713.4 127571.8 164.886 61 10087.2 116858.4 169.340 5054.995 11.584851 501.13100 62 9483.5 106771.2 174.168 4885.654 11.258681 515.17658 97287.8 179.401 4711.486 10.930092 529.32643 63 8900.9 64 8338.2 88386.9 184.661 4532.086 10.600212 543.53187 65 7794.5 80048.6 189.628 4347.424 10.269896 557.75589 55 Продолжение Возраст X 56 табл. 3 Мужчины Ас Мх а 1000 ' Ах 571.97293 66 7269.2 72254.1 193.721 4157.795 9.939741 67 6762.5 64984.9 197.009 3964.075 9.609646 586.18763 68 6274.3 58222.5 199.271 3767.067 9.279584 600.40089 69 5804.8 51948.2 200.926 3567.796 8.949182 614.62870 70 5353.9 46143.4 202.421 3366.870 8.618643 628.86235 71 4920.9 40789.5 203.920 316.448 8.288977 643.05858 72 4505.1 35868.6 205.436 2960.529 7.961756 657.14937 73 4105.7 31363.5 206.829 2755.092 7.639057 671.04542 74 3722.0 27257.8 207.242 2548.263 7.323340 684.64099 75 3354.5 23535.7 206.038 2341.021 7.016127 697.87028 76 3004.0 20181.2 202.765 2134.983 6.718050 710.70628 77 2671.9 17177.2 197.197 1932.218 6.428819 723.16106 78 2359.6 14505.3 189.447 1735.021 6.147220 735.28731 79 2068.6 12145.6 180.224 1545.574 5.871453 747.16248 80 1799.3 10077.0 170,172 1365.349 5.600572 758.82731 81 1551.6 8277.8 159.596 1195.177 5.334860 770.26916 82 1325.2 6726.1 148.683 1035.581 5.075467 781.43923 83 1119.5 5400.9 137.397 886.898 4.824505 792.24638 84 933.9 4281.4 125.337 749.501 4.584615 802.57663 85 768.3 3347.6 112.449 624.164 4.357000 812.37811 86 622.8 2579.2 98.983 511.715 4.141478 821.65896 87 497.0 1956.5 85.388 412.732 3.936687 830.47760 88 390.2 1459.5 72.164 327.343 3.740412 838.92963 89 301.2 1069.3 59.748 255.180 3.549785 847.13838 90 228.5 768.1 48.487 195.431 3.361231 855.25802 91 170.2 539.6 38.590 146.944 3.170520 863.47039 92 124.3 369.4 30.140 108.354 2.972609 871.99295 93 88.8 245.1 23.112 78.214 2.761284 881.09319 94 61.8 156.3 17.504 55.102 2.528488 891.11786 95 41.7 94.5 13.155 37.598 2.268264 902.32348 96 26.7 52.8 9.833 24.443 1.977854 914.82941 97 15.7 26.1 7.228 14.610 1.660404 928.49942 98 7.8 10.4 4.931 7.382 1.327158 942.84966 99 2.6 2.6 2.451 2.451 1.000000 956.93780 Продолжение табл. 3 I Ж енщины Возраст мх а 1000 • Ах 179.904 3541.571 21.959574 54.37277 52.197 3361,666 21.966155 54.08934 1303051.6 46.444 3309.469 21.928878 55 69461 57 43101 X Dx 0 65135.0 1430336.9 1 2 62150.2 1365201.9 59421.7 3 56816.4 1243630.0 42.767 3263.026 21.888555 4 54327.0 1186813.4 40.123 3220.259 21.845722 59.27544 5 51947.5 1132486.5 37.627 3180.137 21.800605 61.21831 б 49672.9 1080539.1 34.537 3142.510 21.753100 63.26410 7 47499.3 1030866.4 33.050 3107.973 21.702761 65.43195 8 45420.8 983367.1 30.281 3074.923 21.650128 67.69850 70.09709 9 43434.6 937946.3 28.977 3044.642 21.594425 10 41535.3 894511.6 27.113 3015.666 21.536186 72.60491 11 39719.6 852976.3 25.945 2988.553 21.474962 75.24132 12 37983.2 813256.8 25.957 2962.607 21.410953 77.99782 13 36321.6 775273.5 25.919 2936.651 21.344686 80.85133 14 34731.6 738951.8 26.353 2910.732 21.276060 83.80643 15 33209.6 704220.3 27.196 2884.380 21.205298 86.85370 21.132621 89.98335 16 31752.4 671010.6 27.444 2857.184 17 30357.6 639258.3 27.621 2829.740 21.057609 93.21357 18 29022.7 608900.6 27.298 2802.119 20.980147 96.54919 19 27745.6 579877.9 26.952 2774.821 20.899792 100.00928 20 26523.9 552132.3 26.585 2747.869 20.816416 103.59979 21 25355.1 525608.5 25.820 2721.284 20.729871 107.32678 22 24237.5 500253.3 25.435 2695.464 20.639675 111.21067 23 23168.3 476015.8 24.687 2670.030 20.545990 115.24493 24 22145.9 452847.6 24.289 2645.343 20.448330 119.45045 25 21168.0 430701.6 23.562 2621.054 20.346823 123.82150 2597.492 20.240975 128.37963 26 20232.9 409533.6 23.157 27 19338.5 389300.7 22.451 2574.335 20.130893 133.11991 28 18483.3 369962.2 22.321 2551.885 20.016068 138.06462 29 17665.0 351479.0 21.894 2529.563 19.896898 143.19622 30 16882.4 333813.9 21.718 2507.669 19.772868 148.53729 31 16133.7 316931.5 21.516 2485.952 19.644055 154.08430 32 15417.4 300797.8 21.291 2464.436 19.510225 159.84722 33 14732.2 285380.3 21.046 2443.144 19.371137 165.83653 34 14076.8 270648.1 21.211 2422.098 19.226542 172.06319 57 Продолжение Возраст 58 табл. 3 Ж енщ ины X Я* а 1000 ■Ах 35 13449.4 256571.4 21.323 2400.887 19.076781 178.51247 36 12848.9 243122.0 21.582 2379.564 18.921586 185.19562 37 12274.0 230273.0 22.155 2357.982 18.760985 192.11135 38 11723.3 217999.0 22.818 2335.872 18.595306 199.24598 39 11195.7 206275.7 23.726 2313.010 18.424565 206.59828 40 10689.9 195080.0 24.679 2289.283 18.249084 214.15486 41 10204.8 184390.1 25.820 2264.605 18.068886 221.91471 42 9739.6 174185.3 26.818 2238.784 17.884275 229.86460 43 9293.4 164445.7 27.537 2211.967 17.694978 238.01592 44 8865.6 155152.4 28.145 2184.430 17.500444 246.39320 45 8455.7 146286.7 28.781 2156.285 17.300353 255.00940 46 8062.8 137831.0 29.310 2127.504 17.094669 263.86645 47 7686.3 129768.1 29.741 2098.193 16.883058 272.97855 48 7325.6 122081.8 30.311 2068.453 16.665182 282.36091 49 6979.8 114756.3 30.888 2038.141 16.441206 292.00583 50 6648.3 107776.5 31.571 2007.253 16.211028 301.91779 51 6330.5 101128.1 32.138 1975.683 15.974796 312.09045 52 6025.7 94797.7 32.888 1943.545 15.732121 322.54053 53 5733.4 88771.9 33.700 1910.657 15.483375 333.25201 54 5452.8 83038.6 34.470 1876.957 15.228667 344.22032 55 5183.5 77585.8 35.196 1842.488 14.967832 355.45233 56 4925.1 ' 72420.3 35.714 1807.292 14.700695 366.95597 57 4677.3 67477.2 35.966 1771.578 14.426547 378.76141 58 4439.9 62799.9 35.982 1735.612 14.144403 390.91131 59 4212.7 58360.0 36.072 1699.630 13.853223 403.45013 60 3995.3 54147.3 36.224 1663.557 13.552888 416.38319 429.71707 61 3787.0 50152.0 36.688 1627.333 13.243246 62 3587.2 46365.0 37.607 1590.645 12.925044 443.41948 63 3395.1 42777.8 39.037 1553.037 12.599705 457.42931 471.66564 64 3209.9 39382.6 40.673 1514.001 12.269107 65 3031.0 36172.7 42.316 1473.327 11.934243 486.08553 66 2858.2 33141.7 43.742 1431.011 11.595454 500.67456 67 2691.3 30283.6 44.866 1387.270 11.252202 515.45566 68 2530.6 27592.2 45.620 1342.404 10.903498 530.47177 69 2376.0 25061.6 46.272 1296.784 10.547861 545.78609 Окончание Возраст 3 табл. Ж енщ ины а 1000 • Ах 70 2227.4 22685.6 47.135 1250.511 10.184790 561.42086 71 2084.4 20458.2 48.342 1203.376 9.815154 577.33822 X ** Сх 72 1946.3 18373.9 50.042 1155.034 9.440645 593.46532 73 1812.4 16427.6 52.237 1104.993 9.064013 609.68388 74 1682.1 14615.2 54.629 1052.765 8.688582 625.85075 75 1555.1 12933.1 56.894 998.127 8.316820 641.85961 76 1431.2 11378.1 58.863 941.233 7.950028 657.65445 77 1310.7 9946.9 60.266 882.370 7.588946 673.20353 78 1194.0 8636.2 61.069 822.104 7.232987 688.53183 79 1081.5 7442.2 61.425 761.035 6.881263 703.67782 718.64470 80 973.5 6360.6 61.467 699.610 6.533703 81 870.1 5387.1 61.283 638.144 6.191218 733.39272 82 771.4 4517.0 60.820 576.860 5.855809 747.83619 83 677.3 3745.6 59.986 516.040 5.529959 761.86795 84 588.2 3068.3 58.423 456.055 5.216584 775.36257 85 504.4 2480.1 56.043 397.632 4.916666 788.27768 86 426.7 1975.7 52.783 341.589 4.630524 800.59962 87 355.5 1549.0 48.764 288.806 4.357175 812.37051 88 291.4 1193.5 44.118 240.043 4.095249 823.64959 89 234.8 902.1 39.077 195.925 3.842362 834.53933 90 185.6 667.3 33.879 156.848 3.595701 845.16115 91 143.7 481.7 28.725 122.969 3.351958 855.65730 92 108.8 338.0 23.818 94.244 3.106699 866.21877 93 80.3 229.2 19.329 70.425 2.854542 877.07735 94 57.5 148.9 15.366 51.096 2.589374 888.49590 95 39.7 91.4 12.044 35.731 2.304276 900.77273 96 25.9 51.7 9.315 23.687 1.996407 914.03051 97 15.5 25.8 7.040 14.372 1.667685 828.18579 98 7.8 10.3 4.880 7.331 1.329411 942.75266 99 2.6 2.6 2.451 2.451 1.000000 956.93780 59 СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Баскаков В.Н., Карташов Г.Д. Введение в актуарную математику. М.: Издво МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997. В печати. 2. Баскаков В .К , Карташов Г.Д. М етодические указания к реш ению задач по актуарной математике (модели дожития). М.: И зд-во МГТУ им. Н .Э . Баума­ на, 1997. 48 с. 3. Баскаков В.Н ., Зорина И.Г., Карташов Г.Д., Соломатина Л.Е. Актуарная математика (элементы ф инансовой математики). М.: И зд-во МГТУ им. Н.Э. Ба­ умана, 2000. В печати. 4. Гербер Ч. Математика страхования жизни: Пер. с англ., М.: М ир, 1995. 156 с. 5. Фалин Г.И ., Фалин А.И. Введение в актуарную математику. М.: И зд-во М оск. ун-та., 1994. 85 с. 6. Четыркин Е.М. Методы финансовы х и коммерческих расчетов. М.: Busi­ ness. Речь, Дело, 1992. 320 с. 7. McCutcheon J.J., Scott W.F. An introduction to the M athematics o f Finance. Butterworth-Heinemarm Ltd. Oxford, 1986. 460 p. 8. Касимов Ю .Ф. Начала актуарной математики (для страхования ж изни и пенсионны х схем). Зеленоград, Н ТФ Н И Т, 1994. 183 с. 60