Учебное пособие «Математические методы управления рисками

Министерство образования Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ
Институт информационных систем управления
Одобрено
Президиумом НМС ГУУ
В. И. СОЛОВЬЕВ
кандидат экономических наук, доцент
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
УПРАВЛЕНИЯ РИСКАМИ
Учебное пособие
для студентов всех специальностей
Москва — 2003
ББК 65.26я73
УДК 336.6 (075.8)
6Н1
С60
Соловьев В. И. Математические методы управления рис>
ками: Учебное пособие / ГУУ. – М., 2003. – 100 с.
Пособие посвящено упрощенному изложению основных идей
финансовой и актуарной математики как количественной основы
управления финансовыми и страховыми рисками. Рассматривается
финансовая арифметика, теория оптимального портфеля, теория це>
нообразования основных и производных финансовых инструментов,
теория стоимости фирмы и структуры капитала, модель оценки ос>
новных активов, современные подходы к измерению риска (VaR и
RAROC) и др. Изложение теоретических результатов иллюстриру>
ется примерами практических задач, многие из которых решаются с
применением пакета Microsoft Excel. От читателя требуется владение
лишь базовыми понятиями теории вероятностей и математической
статистики.
Пособие предназначено для студентов экономических специаль>
ностей. Может быть полезно аспирантам, преподавателям, научным
сотрудникам, специалистам>практикам, интересующимся математи>
ческими методами управления рисками.
Библиогр. 48 назв. Табл. 3. Ил. 15.
Ответственный редактор
заведующий кафедрой прикладной математики,
доктор экономических наук, профессор
В. А. КОЛЕМАЕВ
Рецензенты
д>р физ.>мат. наук, профессор В. В. ШЕВЕЛЕВ (МИТХТ)
канд. экон. наук Б. Г. МИХАЛЕВ (ЗАО «Баркли Строй»)
 В. И. Соловьев, 2003
 ГОУВПО Государственный университет управления, 2003
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемое пособие написано на основе лекций по финансовой ма>
тематике, которые автор читает в течение нескольких лет студентам эко>
номических специальностей Государственного университета управления
и ряда других московских вузов, а также практическим финансовым ме>
неджерам и бухгалтерам, повышающим свою квалификацию и полу>
чающим второе высшее образование.
При подготовке пособия автор ставил себе целью предложить наибо>
лее простое изложение основных идей современной финансовой и акту>
арной математики как количественной основы принятия финансовых
решений и управления финансовыми рисками.
В отличие от большинства существующих учебников и учебных по>
собий по финансовой математике финансовой арифметике здесь уделя>
ется достаточно мало внимания, взамен предлагается изложение ключе>
вых идей современной финансовой теории, базирующихся на математи>
ческих результатах: теории оптимального портфеля, теории ценообразо>
вания основных и производных финансовых инструментов, теории стои>
мости фирмы и структуры капитала, модели оценки основных активов,
современным подходам к измерению риска (таким как стоимость риска
VaR и доходность с учетом риска RAROC), психологии отношения к рис>
ку и др.
При этом автор старался сделать книгу максимально доступной чи>
тателю, владеющему, кроме школьного курса математики, лишь основа>
ми теории вероятностей и математической статистики (например, в объ>
еме пособия [17]).
Изложение теоретических результатов иллюстрируется большим
числом примеров практических задач, многие из которых решаются с
применением пакета Microsoft Excel.
Книги и статьи, повлиявшие на автора в процессе освоения финансо>
вой математики, приведены в списке литературы. Кроме этих книг автор
ориентировался при подготовке пособия на собственный опыт руково>
дства проектами по разработке информационных систем для ряда круп>
нейших российских и зарубежных банков и финансовых компаний.
Автор выражает благодарность М. В. Самоявчевой, выявившей мно>
гие опечатки и неточности в рукописи пособия. Конечно, всю ответствен>
ность за оставшиеся неточности несет только автор, который будет бла>
годарен читателям, сообщившим ему о замеченных ошибках и опечатках
на кафедру прикладной математики Государственного университета
управления.
4
ВВЕДЕНИЕ
Издавна в качестве средства оплаты товаров и услуг вы>
ступают д е н ь г и. Еще в середине третьего тысячелетия до н. э.
они появились у шумеров в виде кусочков и слитков серебра. В
VII в. до н. э. в Лидии были изобретены м о н е т ы, т. е. металли>
ческие предметы, на которых отчеканены масса и качество ме>
талла; в конце IX в. н. э. в Китае появились б у м а ж н ы е
д е н ь г и; на рубеже XVI ~ XVII вв. появились б е з н а л и ч >
н ы е д е н ь г и; в современной экономике значительную часть
денежной массы составляют э л е к т р о н н ы е д е н ь г и.
Деньги являются самым важным практическим примером
о т н о ш е н и я э к в и в а л е н т н о с т и, поскольку посредством
денег можно обменять любые товары. Это отношение эквива>
лентности заложило основы рынка еще в Нововавилонском цар>
стве более 2500 лет тому назад. Вместе с деньгами у шумеров
появилась и арифметика.
Каждое государство в качестве непременного атрибута вы>
пускает свои собственные деньги, деньги других государств на>
зывают валютой.
Переход товара от одного владельца к другому сопровож>
дается п о т о к о м
п л а т е ж е й. Эти платежи могут
осуществляться в наличной форме, в безналичной или в
электронной. В последних двух случаях посредниками между
продавцами и покупателями выступают б а н к и.
Банки обслуживают сферу обращения: во>первых, накап>
ливая наличная выручка розничной торговли и сферы обслу>
живания, которая возвращается затем населению и предпри>
ятиям в виде заработной платы, пенсий и пособий, во>вторых,
обеспечивая обращение безналичных и электронных денег.
Банки существенно увеличивают возможности потребите>
лей, давая одним возможность откладывать свое потребление
на будущее путем с б е р е ж е н и й, а другим — брать в долг и
расширять свои бюджетные возможности путем получения
к р е д и т о в.
5
Банки обслуживают и производственную сферу, во>
первых, обслуживая р а с ч е т н ы е с ч е т а предприятий и
осуществляя безналичные расчеты между ними, а во>вторых,
предоставляя предприятиям кредиты.
При нехватке собственных средств коммерческие банки бе>
рут в долг у других банков, прежде всего, у г о с у д а р с т >
в е н н ы х б а н к о в, образующих государственную резервную
систему. Кроме кредитования коммерческих банков, государст>
венные банки аккумулируют налоговые поступления от насе>
ления, предприятий и организаций, а также обслуживают
предприятия бюджетной сферы. При нехватке средств в госу>
дарственных банках государство может провести дополнитель>
ную д е н е ж н у ю э м и с с и ю (при недостатке денег это нор>
мально, а при избытке — приводит к и н ф л я ц и и) или вы>
пустить о б л и г а ц и и г о с у д а р с т в е н н о г о з а й м а (т. е.
взять в долг у населения).
Крупный бизнес, как правило, невозможно организовать и
развивать в одиночку, только на собственные средства, по>
скольку в любом бизнесе материальные затраты осуществля>
ются до того, как продукция будет произведена и продана, кро>
ме того, производственные мощности необходимо поддержи>
вать, модернизировать и расширять. В простейшем варианте
для развития бизнеса предприятие может получить банковский
кредит. Но есть другая форма развития бизнеса — за счет
и н в е с т и ц и й.
Инвестиции можно организовать путем выпуска ц е н н ы х
б у м а г. Например, несколько инвесторов могут сообща открыть
бизнес, сложив свои капиталы в определенных долях. Под>
тверждением долевого участия в бизнесе, в управлении им, в
распределении прибыли и т. п. служат а к ц и и — каждый ин>
вестор получает такую долю от общего числа выпущенных ак>
ций, какой капитал он внес; каждая акция дает инвестору право
на определенное число голосов при принятии ключевых реше>
ний об управлении бизнесом. Для широкого привлечения капи>
тала организуются о т к р ы т ы е а к ц и о н е р н ы е о б щ е с т в а.
Другим примером ценных бумаг являются о б л и г а ц и и:
покупатель облигации получает документальное свидетельство
задолженности эмитента облигации в четко определенном раз>
мере, но не права участия в управлении бизнесом.
Многих инвесторов покупка ценных бумаг привлекает не
только и не столько участием в управлении бизнесом и распре>
6
делении прибыли (в случае акций) или возможностью получения
фиксированного дохода от инвестиций (в случае облигаций), а
возможностью совершения инвестиционных операций — извле>
чения дохода от покупки и продажи по разным ценам.
Деньги, кредиты и ценные бумаги представляют собой три
типа финансовых инструментов, а финансовый рынок пред>
ставляет собой систему (организованную или неформальную)
торговли финансовыми инструментами на основе четких пра>
вил. Рынок — это не обязательно какое>то место типа фондовой
биржи, где встречаются покупатели и продавцы, в качестве
рынка могут выступать (и активно выступают) телекоммуника>
ционные и компьютерные сети. В нормально функционирую>
щей экономике финансовые рынки обслуживают производст>
венную систему, способствуя развитию производства и про>
движению товаров от производителей к потребителям.
Любые финансовые решения характеризуются тем, что до>
ходы и расходы разнесены во времени и, как правило, не могут
быть точно предсказаны теми, кто эти решения принимает. По>
этому при принятии финансовых решений необходимо учиты>
вать два важнейших фактора — время и риск.
При проведении любой финансовой операции обязательно
должно быть определено в р е м я ее совершения: ведь деньги,
полученные сегодня, уже можно непосредственно использовать,
тогда как ту же самую денежную сумму, полученную через оп>
ределенный срок, можно будет использовать только по истече>
нии этого срока, поэтому стоимость денег изменяется во време>
ни — денежные суммы, поступающие в будущем, являются ме>
нее ценными, чем аналогичные суммы, поступающие в более ран>
ние сроки.
Любая операция, протекающая во времени, сопряжена с
р и с к о м, который заключается в том, что вполне возможно не>
соответствие между теми результатами, которых мы ожидаем
от осуществления операции, и теми результатами, которые
произойдут на самом деле.
В 60>е гг. XX в. мировые финансовые рынки отличались вы>
сокой стабильностью, процентные ставки были очень устойчи>
выми, а обменные курсы валют — вообще фиксированными,
начиная с Бреттон>Вудской конференции 1944 г.
В 70>е гг. XX в. произошли события, в результате которых
ситуация на финансовых рынках кардинально изменилась:
7
всемирный нефтяной кризис, вызванный политикой ОПЕК (Ор>
ганизации стран — экспортеров нефти, Organization of the Pe>
troleum Exporting Countries) — законодателя цен на нефть, по>
влек за собой мировой валютно>финансовый кризис, и в 1973 г.
Бреттон>Вудскую систему фиксированных обменных курсов
сменили современные плавающие курсы. В 1971 г. Государст>
венное казначейство США окончательно отменило практику
покупки и продажи золота по фиксированной цене 35 долл. за
унцию золота, в результате чего доллар сильно обесценился —
нынешняя цена золота составляет 300 ∏ 400 долл. за унцию.
Кроме того, в это время существенно изменился профиль
деятельности ведущих компаний: если раньше наибольший до>
ход обеспечивали корпорации>гиганты, которыми были, в основ>
ном, крупнейшие производственные компании, где требовалось
громоздкое и дорогостоящее оборудование и было занято очень
много работников, то в современной экономике господствуют
фирмы, занимающиеся интеллектуальным бизнесом, прежде
всего оказанием информационно>технологических услуг. Такие
интеллектуальные компании нуждаются в гораздо меньшем
объеме основных фондов и в гораздо меньшем числе сотрудни>
ков, но и деятельность их очень рискована: если сегодня фирма
производит программный продукт, пользующийся успехом на
рынке (и ее акции высоко котируются на рынке), то нет никакой
гарантии, что завтра не появится нового, лучшего продукта, ко>
торый вытеснит с рынка существующий; если в кратчайшие
сроки не появится идеи создания новой программы, востребо>
ванной на рынке, то такая информационно>технологическая
компания обанкротится (и ее акции ничего не будут стоить).
В таких условиях торговля финансовыми инструментами
стала чрезвычайно рискованной.
Естественно, все это привело инвесторов к необходимости
у п р а в л е н и я р и с к а м и: определению источников рисков,
оценке рисков, уменьшению и переносу рисков. В особой степе>
ни это относится к рискам, обусловленным неопределенностью
будущих значений цен.
Очень важны в управлении рисками п р о и з в о д н ы е
ф и н а н с о в ы е и н с т р у м е н т ы, к которым в первую оче>
редь относятся фьючерсы и опционы. Фьючерс — это двусто>
ронний контракт, одна из сторон которого обязуется поставить
в определенный момент в будущем определенное количество
8
товара по фиксированной цене, а другая сторона контракта
обязуется купить данный товар в данный момент времени по
данной цене. Опцион — это двусторонний контракт, одна из
сторон которого обязуется продать (или купить) в определен>
ный момент в будущем определенное количество товара по
фиксированной цене, а другая сторона контракта п о л у ч а е т
п р а в о, но не обязанность, купить (соответственно продать)
данный товар в данный момент времени по данной цене (естест>
венно, вторая сторона в момент подписания договора платит
первой определенную денежную сумму). Производные финан>
совые инструменты дают возможность уберечься от будущих
изменений рыночных цен.
Управление рисками невозможно без количественных под>
счетов, обеспечивающих оценку эффективности и риска опера>
ций. Фундаментом управления рисками, как и финансовой тео>
рии в целом, является математика. Многие блестящие идеи в об>
ласти теории финансов, за которые Г. Марковиц, Р. Мертон,
Ф. Модильяни, М. Миллер, П. Самуэльсон, Дж. Тобин, У. Шарп и
М. Шоулз получили Нобелевские премии в области экономики,
основаны на математических выводах из четко сформулирован>
ных предположений. Эти идеи обсуждаются в данной книге.
О росте активности на финансовых рынках говорят следую>
щие данные. На Нью>йоркской фондовой бирже в 1987 г. в день
продавалось в среднем 190 000 000 акций, в 1995 г. эта цифра
возросла до 350 000 000, в 2003 г. —до 1 410 000 000 акций.
Еще динамичнее развивается торговля производными фи>
нансовыми инструментами. Хотя фьючерсы и опционы исполь>
зуются в качестве финансовых инструментов очень давно, ор>
ганизованная торговля началась лишь в 70>х гг. XX в., напри>
мер, организованная торговля опционами открылась впервые в
1973 г. на Чикагской опционной бирже. В день ее открытия
26 апреля 1973 г. было заключено 911 опционных контрактов,
через год в день продавалось более 20 000 контрактов, в 1987 г.
дневной оборот составил около 700 000 опционных контрактов (в
2003 г. продавалось в среднем 735 000 опционов в день).
При таких больших объемах заключаемых контрактов ди>
намика стоимостей ценных бумаг неминуемо становится сто
хастической, т. е. носящей с л у ч а й н ы й характер, связан>
ный с большим количеством участников рынка, различием их
интересов, различной реакцией на изменение цен, различной
9
интерпретацией получаемой информации и т. п. Необходимость
учета влияния случайных факторов на стоимости ценных бумаг
привела к появлению с т о х а с т и ч е с к и х м о д е л е й фи>
нансовых рынков и финансовых инструментов.
Стохастическое моделирование рынка ценных бумаг осно>
вано на т е о р и и э ф ф е к т и в н о г о р ы н к а, которая пред>
полагает, что рынок эффективно реагирует на обновление ин>
формации. На эффективном рынке мгновенно происходит кор>
рекция цен, которые становятся с п р а в е д л и в ы м и, не остав>
ляя участникам рынка арбитражных возможностей, а участни>
ки такого рынка однородны в своих установках и однородно ин>
терпретируют поступающую информацию, мгновенно коррек>
тируя свои решения при поступлении новой информации.
Конечно, возможности математики в управлении рисками и
финансами не безграничны: математика не может позволить
т о ч н о спрогнозировать будущие значения рыночных цен и
позволить выстроить гарантированную стратегию выигрыша;
может идти речь только о вероятностных прогнозах (которые,
по слухам, многие научные группы математиков успешно про>
дают, а биржевые игроки покупают и используют). Ситуация с
рисками точно такая же, как с погодой: мы не в состоянии вли>
ять на ход погодных явлений или хотя бы прогнозировать их на
значительное время вперед (последнее считается в современ>
ной науке принципиально невозможным). Но мы можем сшить
себе теплую одежду и построить дома, оснащенные устройст>
вами отопления и кондиционирования, благодаря чему значи>
тельно меньше зависеть от капризов погоды. Вот и в практиче>
ских приложениях вероятностной финансовой математики речь
идет о том, чтобы меньше зависеть от будущей динамики ры>
ночных цен.
10
ГЛАВА 1. ДЕНЬГИ И БАНКОВСКИЕ СЧЕТА
§ 1.1. СХЕМЫ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ
Основным институтом, обслуживающим финансовые рын>
ки, являются банки. Одной из основных банковских операций
является обслуживание банковских счетов: в определенные
моменты времени банк обязуется добавлять к денежной сумме,
лежащей на банковском счете, некоторый п р о ц е н т. Проценты
могут быть простыми или сложными и начисляться n раз в год
либо непрерывно.
Пусть в начальный момент времени на банковском счете
лежит сумма B0, и на эту сумму в конце каждого года начисля>
ется процент i (т. е. доля от п е р в о н а ч а л ь н о й суммы B0), то>
гда в конце первого года сумма на счете составит
B1 = B0 + B0i = B0(1 + i),
в конце второго года —
B2 = B0(1 + i) + B0i = B0(1 + 2i),
в конце t>го года (t — целое) —
Bk = B0(1 + ti).
Такая схема называется схемой простых процентов.
Исторически такая схема была самой первой, но она допуска>
ет простую возможность для владельца банковского счета зарабо>
тать больше, чем предлагает банк: например, за два года можно
увеличить
сумму
не
до
B0(1 + 2i),
а
до
2
2
B0(1 + i) = B0(1 + 2i + i ) > B0(1 + 2i), а за t лет (t — целое) не до
t
B0(1 + ti), а до B0(1 + i) > B0(1 + ti), для этого нужно в конце каждого
года снимать со счета всю сумму, включая только что начислен>
ные проценты, и тут же открывать новый счет и класть на него
всю эту сумму!
Банки, конкурирующие между собой, естественно, предос>
тавили вкладчикам возможность проводить такую операцию
«переоткрытия счета» автоматически; такая схема называется
11
схемой сложных процентов и предполагает начисление про>
цента не на первоначальную сумму B0, а на сумму, лежащую на
счете после последнего начисления процентов, таким образом,
через (целое число) t лет при использовании схемы сложных
процентов на счете будет лежать сумма
Bk = B0(1 + i)t.
В конкурентной борьбе за вкладчиков банки предлагали все
новые и новые возможности, например, начисление процентов
не в конце года, а n раз в год. При этом, прежде всего, необходи>
мо как>то сравнивать условия, предлагаемые различными бан>
ками, и для этого договорились всегда называть клиентам про
центы годовых — процентную ставку i, выплачиваемую за год.
Если за год выплачивается процент i, то за n>ю часть года в
случае п р о с т ы х п р о ц е н т о в, очевидно, будет выплачи>
ваться процент in = i/n, и через t лет (т. е. через [nt] начислений
процентов) на счете будет лежать сумма
iˆ
Ê
Bt = Bt 1 + [nt]
Ë
n¯
(1.1.1)
(здесь число t может быть уже как целым, так и дробным; квад>
ратными скобками [x] обозначена целая часть числа x — наи>
меньшее целое число, не превосходящее x).
Рассчитаем процентную ставку in, выплачиваемую за n>ю
часть года в случае сложных процентов. За год сумма B0 увели>
чивается до B0(1 + i), с другой стороны, если n раз за этот год
начислялся процент in по схеме сложных процентов, то к концу
года сумма B0 должна превратиться в B0(1 + in)n. Таким образом,
заключаем, что
B0(1 + i) = B0(1 + in)n
или
1 + i = (1 + in)n,
(1.1.2)
откуда
in = (1 + i)1/n – 1.
(1.1.3)
Отсюда следует, что если за год выплачивается процент i, а
в год осуществляется n процентных выплат, то в случае слож>
ных процентов через t лет (т. е. через n[t] + [n{t}] начислений
процентов) на счете будет лежать сумма
12
Bt = B0 (1 + in )
n [t ]+[ n { t }]
= B0 ((1 + i)
)
1/ n n [t ]+[ n { t }]
[ t ]+
= B0 (1 + i)
[ n { t }]
n
(здесь, как и ранее, число t может быть как целым, так и дроб>
ным; квадратными скобками [x] обозначена целая часть числа
x, а фигурными скобками {x} — дробная часть x: {x} = x – [x]).
Итак, в случае с л о ж н ы х п р о ц е н т о в, начисляемых n
раз в год,
[t ]+
Bt = B0 (1 + i)
[ n { t }]
n
.
(1.1.4)
Дальнейшая конкуренция банков за вклады привела к схеме непрерывных процентов. Пусть сложные проценты начис>
ляются n раз в год, а t = m/n — рациональное число (m и n —
натуральные), тогда
Bt = B0 (1 + in )m = B0 ((1 + i)1/ n ) = B0 (1 + i)m / n = B0 (1 + i)t .
m
Поскольку любое вещественное положительное число t мо>
жет быть сколь угодно точно приближено рациональным чис>
лом m/n, и предполагая зависимость Bt от i и t непрерывной,
получим формулу начисления н е п р е р ы в н ы х п р о ц е н т о в:
Bt = B0(1 + i)t
(1.1.5)
для любого t > 0.
При этом интенсивностью процентов d называется мгно>
венная относительная скорость накопления средств на банков>
ском счете при непрерывном начислении процентов:
Bt +Dt - Bt
B0 (1 + i)t +Dt - B0 (1 + i)t
(1 + i)Dt - 1
d = lim
= lim
= lim
;
DtÆ0
DtÆ0
DtÆ0
Bt Dt
B0 (1 + i)t Dt
Dt
вспомнив в т о р о й з а м е ч а т е л ь н ы й п р е д е л
ax - 1
lim
= ln a ,
xÆ0
x
заключаем, что
d = ln (1 + i).
(1.1.6)
Из формул (1.1.5) ~ (1.1.6) следует, что
Bt = B0edt.
(1.1.7)
Рис. 1.1.1, на котором представлены графики функций
= (1 + ti) и vt(непр.) = (1 + i)t, дает возможность убедиться в
(прост.)
t
v
13
том, что при t < 1 простые проценты растут быстрее, чем слож>
ные и непрерывные, а при t > 1 — медленнее.
vt
1+i
1
t
0
1
Рис. 1.1.1. Сравнение силы роста простых процентов (тонкая линия)
и непрерывно начисляемых процентов (жирная линия)
При расчетах за неполное число лет иногда применяется
комбинированная схема сложных и простых процентов — за
целое число лет начисляются сложные проценты, а за остаток
года — простые:
Bt = B0 (1 + i)[t ] (1 + {t}i)
Если сумма Bt, лежащая на банковском счете в момент вре>
мени t, отрицательна (при этом говорят, что на счете образова>
лась к о р о т к а я позиция), подразумевается, что банк креди>
тует вкладчика на сумму |Bt|, взимая за это тот же самый про>
цент i, который начисляется на счета с положительной суммой
(с д л и н н о й позицией). Очевидно, модели (1.1.1), (1.1.4), (1.1.5)
и (1.1.7) описывают и случай короткой, и случай длинной пози>
ции на банковском счете.
П РИМЕР 1.1.1. Через сколько лет удвоится сумма, поло>
женная в банк под i = 10% годовых, если начисления на банков>
ский счет производятся по схеме: а) простых процентов; б)
сложных процентов?
Решение. Через t лет исходная сумма B0 в случае простых процентов
превратится в Bt = B0(1 + [t]i), а в случае сложных процентов — в Bt =
= B0(1 + i)[t]. Чтобы ответить на вопрос, необходимо решить неравенства:
а) B0(1 + [t]i)
2B0;
б) B0(1 + i)[t]
2B0
или
а) 1 + [t]i
2;
откуда получаем:
1 1
=
= 10 ;
а) [t]
i 0,1
14
б) (1 + i)[t]
б) [t]
2,
ln2
ln2 0,693
=
=
ª 7,29 .
ln(1 + i) ln1,1 0,095
Таким образом, в случае простых процентов сумма удвоится через
10 лет, а в случае сложных процентов — через 8 лет.
Заметим, что в случае непрерывных процентов сумма удвоится за
7,29 лет, т. е. приблизительно за 7 лет и 3,5 мес. ‰
П РИМЕР 1.1.2. В день рождения сына родители положили
на его банковский счет 50 000 руб. Какая сумма будет на счете к
восемнадцатилетию сына, если банк начисляет сложные про>
центы по ставке i = 10%?
Решение. По формуле (1.1.4) получаем: B18 = 50 000(1 + 0,1)18 =
= 50 000 ◊ 5,5599173 = 277 995,87 руб. = 277 995 руб. 87 коп. ‰
Многие банки в современной России привлекают заемщи>
ков, пользуясь их недостаточной финансовой грамотностью. Это
иллюстрирует
П РИМЕР 1.1.3. Потребитель взял в кредит 1 000 000 руб. и
должен вернуть через полгода эту сумму и 20% от нее (за поль>
зование кредитом). Какую ставку сложных годовых процентов
взимает данный банк?
Решение. По формуле (1.1.2) имеем: 1 + i = (1 + i2)2, где i — годовая
процентная ставка, а i2 = 20% =0,2 — ставка, выплачиваемая за полгода.
Отсюда i = (1 + i2)2 – 1 = (1 + 0,2)2 –1 = 0,44. Таким образом, если заемщик
выбирает между банком, который взимает 16% годовых и требует гаран>
тий поручителей или оставления залога, и данным банком, то плата за от>
сутствие гарантий составит 44% – 16% = 28% годовых (от 1 000 000 руб.
это составит 280 000 руб. — значительную сумму)! ‰
§ 1.2. ПРИВЕДЕННАЯ СТОИМОСТЬ ДЕНЕГ
Предположим, что мы должны выплатить в момент t > 0 в
будущем некоторую сумму Bt, и у нас есть возможность вос>
пользоваться банковским счетом, по которому начисляется i
процентов годовых. Какую сумму B0 можно положить на счет
сегодня (в нулевой момент времени), чтобы к моменту t иметь на
счете в точности требуемую сумму?
Очевидно, суммы B0 и Bt связаны равенством (1.1.1) в случае
простых процентов, равенством (1.1.4) — в случае сложных
процентов, и равенством (1.1.5) — в случае непрерывных про>
центов. Для этих трех случаев получаем, соответственно,
Ï Bt
,
простые проценты,
Ô
i
Ô1 + [nt]
Ô
n
B0 = Ì
[ n { t }] ˆ
Ê
ÔB (1 + i)-ÁË [t ]+ n ˜¯ ,
сложные проценты,
Ô t
ÔÓBt (1 + i)- t = Bt e -dt , непрерывные проценты.
(1.2.1)
(1.2.2)
(1.2.3)
15
Таким образом, ценность денег постоянно меняется во вре>
мени; 1 000 000 руб., выплаченный (не важно, нам или нами) се>
годня — это совсем не то же самое, что тот же 1 000 000 руб., вы>
плаченный через 10 лет. Сегодня этой суммой можно воспользо>
ваться (хотя бы для получения процентного дохода от вложения
на банковский счет), а десятилетний срок ожидания довольно>
таки долог. Если мы отложим использование данной суммы на 10
лет, и на этот срок положим ее в банк (который для определенно>
сти, платит 10% годовых), то через 10 лет у нас будет не
1 000 000 руб., а 1 000 000(1 + 0,10)10 = 2 593 742 руб. 46 коп. — бо>
лее чем в 2,5 раза больше!
Поэтому сравнивать, складывать и производить любые
другие операции над денежными суммами можно только в том
случае, когда эти суммы рассматриваются в о д и н и т о т
ж е м о м е н т в р е м е н и. При этом нужные операции необхо>
димо производить не над рассматриваемыми денежными сум>
мами, а над их с о в р е м е н н ы м и э к в и в а л е н т а м и.
В реальных условиях обычно используются схемы слож>
ных или непрерывных процентов; при этом сумма Bt в момент
времени t > 0 имеет в момент времени t0 = 0 ценность B0, опре>
деляемую соответствующей из формул (1.2.2) ~ (1.2.3). Если
t < 0, то формулы (1.2.2) ~ (1.2.3) приведут просто к сумме B0,
н а к о п л е н н о й за срок | t | = –t. Итак, вне зависимости от зна>
ка t ценность в настоящий момент времени суммы Bt, выплачи>
ваемой в момент времени t, определяется формулами
(1.2.2) ~ (1.2.3). Эта ценность B0 денежной суммы Bt в настоящий
момент времени называется приведенной (или современной)
стоимостью суммы Bt. Приведенная стоимость единичной
суммы обозначается vt; в случае сложных процентов
vt = (1 + i)
[ n { t }] ˆ
Ê
- Á [t ]+
˜
Ë
n ¯
,
(1.2.4)
а в случае непрерывного начисления процентов
vt = (1 + i)–t = e–dt.
(1.2.5)
Всюду далее в этом пособии мы будем считать, что банк на>
числяет н е п р е р ы в н ы е п р о ц е н т ы.
Величина
v = (1 + i)–1
16
(1.2.6)
называется коэффициентом дисконтирования, при этом в
случае непрерывного начисления процентов из формулы (1.2.3)
следует, что
B0 = Btvt.
Поскольку начальный момент времени может быть выбран
произвольно, ценность суммы Bt1 в момент времени t2 определя>
ется формулой
Bt2 = Bt1 vt1 -t2 ,
откуда
Bt1 vt1 = Bt2 vt2 ;
(1.2.7)
формула (1.2.7) выражает одинаковую ценность обеих сумм в
момент времени t0 = 0.
П РИМЕР 1.2.1. Что предпочтительнее: получить 10 000 че>
рез два года или 12 000 через три года, если банк начисляет
сложные проценты по ставке i = 10% годовых?
Решение. По формуле (1.2.4) приведенная стоимость первой суммы
10 000
равна
= 8264 руб. 46 коп., а приведенная стоимость второй сум>
(1 + 0,1)2
12 000
мы —
= 9015 руб. 78 коп., поэтому второй вариант оказывается
(1 + 0,1)3
предпочтительнее первого. ‰
§ 1.3. ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ
Потоком платежей называется последовательность
(t ; B ),(t ; B ), (t ; B ), …, (t ; B ), … ,
0
t0
1
t1
2
t2
n
tn
(1.3.1)
где tk — моменты времени, Btk — платежи, происходящие в со>
ответствующие моменты tk (k =0, 1, 2, … , n, …); поток платежей
может быть к о н е ч н ы м (если последовательность (1.3.1) со>
стоит из конечного числа n платежей) или б е с к о н е ч н ы м
(в противном случае).
Потоки платежей удобно изображать графически, при этом
положительные величины платежей, соответствующие денеж>
ным п о с т у п л е н и я м, изображаются стрелками, направлен>
ными вверх, а отрицательные величины платежей, соответст>
вующие денежным в ы п л а т а м, — стрелками, направленными
вниз (рис. 1.3.1).
П РИМЕР 1.3.1. Предположим, что мы должны вернуть два
долга: 14 000 руб. через год и 6000 руб. через два года и хотим
17
погасить свою задолженность досрочно, сегодня. Какую сумму
мы должны выплатить, если ставка банковского процента равна
i = 10%?
Решение. Поток платежей, соответствующий условиям данного при>
мера, изобразим на рис. 1.3.2.
Bt
Btn
Bt3
t
0
t0
t1
Bt0
t2
t3
···
tn
···
Bt1
Bt2
Рис. 1.3.1. Поток платежей
Предположим, что кредитор предлагает нам просто осуществить се>
годня платеж, равный суммарному долгу: B1 + B2 = –14 000 + (–6000) =
= –20 000 руб. Если бы мы сегодня поместили эту сумму x = 20 000 руб. в
банк, то через год она превратилась бы в x(1 + i) = 20 000(1 + 0,1) =
= 22 000 руб. Из этой суммы мы бы выплатили первый долг 10 000 руб., а
оставшиеся 22 000 – 10 000 = 12 000 руб. оставили бы на банковском счете,
тогда еще через год на счете будет 12 000(1 + 0,1) = 13 200 руб., из кото>
рых мы заплатим долг 6000 руб., при этом у нас на счете останется
13 200 – 6000 = 7 200 руб. Видно, что согласившись выплатить просто
сумму долгов, мы существенно переплатили бы!
Bt
t
0
–4958,68
–12 727,27
1
2
B2 = –6 000
B1 = –14 000
Рис. 1.3.2. Поток платежей в примере 1.3.1
Найдем теперь справедливый размер x нашей сегодняшней выпла>
ты. Через год сумма x превратится в x(1 + i), и из этой суммы мы выпла>
тим первый долг B1 = –14 000 руб. Остаток x(1 + i) + B1 еще через год пре>
вратится в (x(1 + i) + B1)(1 + i) = x(1 + i)2 + B1(1 + i), из которых мы вы>
18
платим второй долг B2 = –6000 руб., после чего на счете останется
x(1 + i)2 + + B1(1 + i) +B2. Если этот остаток будет положителен, то такая
операция несправедлива по отношению к должнику, а если он будет от>
рицателен — то по отношению к кредитору. Таким образом, справедли>
вая сумма x должна определяться из условия x(1 + i)2 + B1(1 + i) +B2 = 0,
что дает
x = –(B1(1 + i)–1 + B2(1 + i)–2).
В нашем примере
B2 ˆ
Ê B
Ê -14 000 -6000 ˆ 14 000 6000
x = -Á 1 +
= -Á
+
=
+
=
2˜
Ë 1 + i (1 + i) ¯
Ë 1 + 0,1 (1 + 0,1)2 ˜¯
1,1
1,21
= 12 727,27 + 4958,68 = 17 685,95 руб. = 17 685 руб. 95 коп.;
при этом первое слагаемое 12 727 руб. 27 коп. — это абсолютная величина
современной стоимости первого долга, а 4958 руб. 68 коп. — абсолютная
величина современной стоимости второго долга. ‰
Пример 1.3.1 демонстрирует, что для того, чтобы оценить со>
временную стоимость потока платежей, необходимо все эти пла>
тежи привести по формуле (1.2.3) к начальному моменту време>
ни, после чего сложить полученные приведенные стоимости пла>
тежей. Можно обобщить этот результат и рассматривать стои>
мость потока платежей не только в настоящий момент времени,
но и в любой другой момент T: стоимостью потока платежей
(1.3.1) в момент времени T называется сумма платежей, дискон>
тированных (приведенных) к этому моменту:
при этом величина
B(T) = Â Btk (1 + i)T -tk ,
(1.3.2)
NPV = B(0) = Â Btk (1 + i)- tk
(1.3.3)
k
k
называется современной стоимостью потока платежей (1.3.1)
или его чистым приведенным доходом (Net Present Value), а
величина
n
NFV = B(tn ) = Â Btk (1 + i)tn -tk
(1.3.4)
k =1
называется накопленной стоимостью потока платежей (1.3.1)
к моменту tn или его чистым накопленным доходом к моменту
tn (Net Future Value); обычно рассматривают накопленную стои>
мость потока платежей к моменту п о с л е д н е г о платежа.
В пакете Microsoft Excel существует функция
NPV = ЧИСТНЗ(<i>; <массив Btk >; <массив tk>)
для вычисления современной стоимости потока платежей.
19
§ 1.4. РЕНТЫ
Рентой называется право на получение одинакового пла>
тежа C с одинаковой периодичностью; иными словами, рента —
это поток одинаковых платежей с одинаковыми промежутками
между платежами. Ограниченной рентой или аннуитетом
называется рента, состоящая из к о н е ч н о г о числа n одина>
ковых платежей C, выплачиваемых с одинаковой периодично>
стью, если платежи ренты никогда не заканчиваются, то такая
рента называется вечной. Если платежи ренты производятся
строго в конце года, такая рента называется годовой, иначе —
общей. Если платежи производятся в конце каждого периода,
то такая рента называется запаздывающей, а если в начале ка>
ждого периода — то упреждающей.
Вначале рассмотрим о г р а н и ч е н н у ю
запазды>
в а ю щ у ю г о д о в у ю р е н т у. Пусть i — годовая процентная
ставка. Поток платежей, соответствующий этой ренте, пред>
ставлен на рис. 1.4.1.
Современная стоимость такого потока платежей по форму>
ле (1.4.3) равна
n
NPV = B(0) = Â Bk (1 + i)
-k
k =1
n
= Â (C(1 + i)
k =1
= C ((1 + i)-1 + (1 + i)-2 + (1 + i)-3 +
-k
n
) = CÂ (1 + i)-k =
k =1
+ (1 + i)- (n-1) + (1 + i)- n )
или, с учетом обозначения (1.2.6),
+ vn -1 + vn ) .
NPV = C(v + v2 + v3 +
Bt
B1 = C B2 = C B3 = C
···
Bn – 1 = C Bn = C
···
0
1
2
3
t
n–1
n
Рис. 1.4.1. Поток платежей, соответствующий ограниченной годовой ренте
В скобках стоит сумма первых n членов геометрической
прогрессии с первым членом b1 = v и знаменателем q = v, эта
сумма равна
20
v+v +v +
2
3
+v
n -1
+ v = Sn =
n
b 1 (1 - q n )
1- q
=
v(1 - vn ) 1 - vn
1 - vn
1 - vn 1 - (1 + i)- n
=
=
=
=
=
,
i
i
1- v
1/ v - 1 (1 + i) - 1
поэтому
C(1 - (1 + i)- n )
NPV =
.
i
(1.4.1)
Величина
1 - (1 + i)- n 1 - vn
an @ i = v + v + v + + v + v =
=
, (1.4.2)
i
i
равная приведенной стоимости годовой ограниченной запазды>
вающей ренты, состоящей из n единичных платежей, называет>
ся коэффициентом приведения такой ренты.
Таким образом, современная стоимость годовой ограничен>
ной запаздывающей ренты, состоящей из n платежей в сумме C
каждый, равна
NPV = Can @ i ,
(1.4.3)
2
n -1
3
n
где an @ i определяется формулой (1.4.2).
При i = 0 формула (1.4.2) неверна, однако непосредственный
подсчет показывает, что
an @0 = n .
При увеличении срока ренты (при n Æ •) коэффициент
приведения годовой ограниченной запаздывающей ренты стре>
мится к пределу
a• @ i = lim an @ i
nƕ
1 - vn 1
= lim
=
nƕ
i
i
(поскольку v = (1 + i)–1 < 1); этот предел
1
i
представляет собой коэффициент приведения годовой в е ч >
н о й запаздывающей ренты.
Если в качестве нулевого момента времени выбрать момент
первого платежа запаздывающей ренты, то такая запаздываю>
щая рента может рассматриваться как упреждающая, поэтому
a• @ i =
21
современная стоимость годовой ограниченной у п р е ж д а ю >
щ е й ренты, состоящей из n платежей в сумме C каждый, равна
NPV = (1 + i)Can @ i = Can @ i ,
где величина
an @ i = 1 + v + v + v +
2
= (1 + i)an @ i
+v
3
n -1
1 - v- n
= (1 + i)
i
v + v2 + v 3 + + v n
=
=
v
1 - v-n 1 - v-n
=
=
i /(1 + i) 1 - v
равная приведенной стоимости годовой ограниченной упреж>
дающей ренты, состоящей из n е д и н и ч н ы х платежей, на>
зывается коэффициентом приведения такой ренты.
В случае о б щ и х рент принцип расчетов не изменяется,
лишь в n раз увеличивается общее число платежей и соответ>
ствующим образом корректируется процентная ставка: i заме>
няется на in (1.1.3); для о б щ е й запаздывающей и упреждаю>
щей рент получаем соответственно
Camn @ i ,
(1.4.4)
n
Camn @ i .
n
П РИМЕР 1.4.1. Банк выдал потребительский кредит в сум>
ме 50 000 руб. на полгода под i = 21% годовых, причем пога>
шаться кредит должен одинаковыми выплатами в конце
каждого месяца. Каким должен быть размер этой выплаты?
Решение. Поток платежей клиента банку представляет собой огра>
ниченную запаздывающую ренту, состоящую из n = 6 платежей в сумме
C каждый, причем платежи производятся в конце каждого месяца. По
формуле (1.1.3) процентная ставка, взимаемая за один месяц, равна
i12 = (1 + 0,21)1/12 – 1 = 1,016,
а современная стоимость данной ренты по формулам (1.4.4), (1.4.2) равна
NPV = Ca6 @ i
12
1 - (1 + i12 )-6
,
=C
i12
откуда
C=
NPV ◊ i12
.
1 - (1 + i12 )-6
Но современная стоимость данного потока платежей должна быть
равна сумме, взятой в долг, т. е.
22
NPV = 50 000.
Таким образом, получаем окончательно:
C=
NPV ◊ i12
50 000 ◊ 0,016
=
= 1761,23 руб.
1 - (1 + i12 )-6
1 - 1,016-6
Итак, искомый ежемесячный платеж равен С = 1761 руб. 23 коп. ‰
23
ГЛАВА 2. ИНВЕСТИЦИОННЫЕ ОПЕРАЦИИ
§ 2.1. АРБИТРАЖНЫЕ ОПЕРАЦИИ
Простейшая инвестиционная операция представляет со>
бой покупку и продажу некоторого актива. Если покупка и про>
дажа происходят одновременно на разных рынках (естествен>
но, по разным ценам), то такая операция называется арбит
ражной, если же моменты покупки и продажи не совпадают —
то спекулятивной. Более сложные инвестиционные операции,
связанные с потоком более чем двух платежей, называются ин
вестиционными проектами (рис. 2.1.1).
Инвестиционные операции
Арбитраж
Спекуляция
(покупка одновременно с продажей)
(покупка и продажа в разное время)
Длинная продажа
Короткая продажа
(покупка до продажи)
(продажа до покупки)
Инвестиционные
проекты
Рис. 2.1.1. Классификация инвестиционных операций
Приведем несколько примеров арбитражных операций. В
начале приватизационной кампании в России (начало 90>х гг.
XX в.) к уже существовавшему теневому рынку иностранной
валюты добавился теневой рынок приватизационных чеков (ко>
торые в народе называли «ваучерами»). Рынки эти действовали
подпольно в крупных российских городах, и автор хорошо пом>
нит момент, когда цена ваучера в Москве была ниже, чем в Ле>
нинграде, а цена доллара — выше. Многие предприимчивые
молодые люди приезжали в Москву, покупали ваучеры, ехали с
ними в Ленинград, продавали их там и на вырученные деньги
покупали доллары; затем в столице эти доллары продавались и
покупались ваучеры, после чего «предприниматель» ехал в го>
род на Неве и т. д. За непродолжительное время, в течение ко>
торого существовала разница в ценах одних и тех же активов в
разных городах, многие из студентов Московского университе>
та, в котором автор в то время учился, заработали таким спосо>
бом весьма значительные суммы.
24
Чуть позже стал активно развиваться рынок недвижимо>
сти. Одной из самых популярных операций на этом рынке была
операция по расселению коммунальных квартир. К примеру, в
центре Москвы в трехкомнатной квартире, рыночная стоимость
которой составляла, скажем, 100 000 долл., проживало три се>
мьи, которые очень хотели разъехаться и получить по отдель>
ной квартире. Риэлтор покупал этим семьям три однокомнат>
ных квартиры (в отдаленных от центра районах) по 20 000 долл.
каждая, а взамен получал квартиру стоимостью 100 000 долл.,
которую тут же продавал по рыночной цене. В результате все
оставались довольны — неискушенные жильцы коммунальной
квартиры, имевшие ранее по комнате, получали по отдельной
квартире, а риэлтор — прибыль в размере 100 000 – 3·20 000 =
= 40 000 долл. за вычетом скромных накладных расходов (объ>
явления о покупке и продаже, оформление документов и даже
организация переезда с оплатой транспорта обходились мень>
ше, чем в 1000 долл.).
Обратим внимание, что описанные примеры арбитражных
операций относятся ко времени, когда рыночные отношения
только начинали развиваться, и рынки были плохо организо>
ванными.
Главной особенностью арбитражных операций является
извлечение дохода п р и о т с у т с т в и и р и с к а, т. е. при пол>
ной определенности, поэтому арбитражные операции всегда
выгодны, если цена продажи превышает цену покупки.
В качестве аксиомы примем, что н а с о в е р ш е н н о м
р ы н к е арбитражных возможностей не существует. Р е >
а л ь н ы е р ы н к и при этом допускают возможность соверше>
ния арбитражных операций, но стремятся к тому, чтобы не до>
пускать арбитражных возможностей.
Как только за ленинградскими ваучерами и московскими
долларами начали выстраиваться длинные очереди, торговцы
повысили соответствующие цены, и возможность совершения
арбитражных операций исчезла.
Как только жильцы коммунальных квартир начали дога>
дываться, что риэлторы на сделках по расселению зарабаты>
вают намного больше, чем стоимость каждой из квартир, в ко>
торые эти жильцы разъезжаются, в договорах на оказание ри>
элторских услуг стали четко указывать вознаграждение риэл>
тора — либо фиксированную сумму, либо определенный про>
цент от стоимости продаваемой квартиры.
25
§ 2.2. СПЕКУЛЯТИВНЫЕ ОПЕРАЦИИ
Перейдем к рассмотрению спекулятивных операций —
длинной и короткой продажи.
Длинная продажа состоит в том, что некоторый актив вна>
чале покупается (например, в надежде на то, что в будущем це>
на на него возрастет), а затем (когда цена действительно воз>
растает) — продается.
Например, инвестор кладет некоторую сумму на банков>
ский счет (т. е. покупает банковский счет) и знает, что в соответ>
ствии с договором эта сумма через определенное время (после
начисления процентов) увеличится, и тогда деньги со счета
можно будет снять (т. е. продать купленный актив).
В качестве другого примера длинной продажи приведем
покупку акции в надежде на то, что компания, выпустившая
эту акцию, будет работать успешно, цена акции со временем
возрастет, и тогда ее можно будет продать.
Но возможна и иная спекулятивная операция — короткая
продажа: в этом случае инвестор вначале продает некоторый
актив, которого у него в н а л и ч и и н е т (например, в надеж>
де, что цена на этот актив в будущем понизится), а затем (через
некоторое время) приобретает этот актив на рынке и поставля>
ет его покупателю (если при этом надежды сбылись и актив
действительно упал в цене, то инвестор получает прибыль,
иначе остается в убытке).
Пусть текущая рыночная цена тонны бензина составляет
10 000 руб., и мы знаем, что на этой неделе в город прибудет
очень крупная партия бензина, которая будет продаваться по
8000 руб. за тонну. Если бы у нас был какой>либо запас бензина,
мы бы, конечно, постарались его как можно скорее продать по
текущей цене в 10 000 руб., чтобы не потерпеть убытков. А если
у нас бензина нет? Тогда мы можем одолжить у какого>нибудь
крупного торговца бензином несколько тонн (у него этот товар
все равно пока находится на складе и в ближайшую неделю
распродан не будет, а мы пообещаем ему за пользование каж>
дой тонной в течение недели заплатить по 200 руб.), этот бензин
тут же продать по 10 000 руб., а затем, когда ожидаемая круп>
ная партия бензина придет в город и средняя цена бензина по>
низится до 9000 руб. за тонну, — купить бензин по 9000 руб.,
вернуть торговцу этот бензин, а также по 200 руб. за пользова>
ние каждой тонной одолженного бензина. В результате мы б е з
в с я к и х д е н е ж н ы х в л о ж е н и й заработаем по 10 000 –
– 9000 – 200 = 800 руб. за каждую тонну бензина, которую нам
26
одолжил торговец. Если же наши ожидания не оправдаются, и
цена бензина, вопреки нашим ожиданиям, останется на преж>
нем уровне, то тогда нам придется купить бензин по 10 000 руб.,
вернуть торговцу этот бензин, а также по 200 руб. за каждую
тонну, — и на каждой тонне мы потеряем 200 руб. В случае же,
если рыночная цена повысится, мы потерпим еще большие
убытки. Как правило, чтобы уберечься от чрезмерных повыше>
ний цены в договоре на короткую продажу указывается, что в
случае неисполнения обязательств с нарушителя условий дого>
вора взимается штраф (в нашем случае, например, 5000 руб. за
тонну), тогда если цена повысится, но не выше, чем до
14 800 руб. за тонну, то нам проще будет этот бензин купить на
рынке, и наши потери окажутся (с учетом платы за пользова>
ние бензином) не более 5000 руб. за тонну, а в случае, когда цена
возрастет более чем до 14 800 руб., мы заплатим штраф, и наши
потери составят ровно 5000 руб. за тонну.
Аналогичная операция может быть проведена, если мы най>
дем кого>нибудь, кто согласится сегодня заплатить нам по
9800 руб. за тонну бензина, а сам бензин получить через неделю.
Если при длинной продаже актив не успел достаточно высо>
ко подняться в цене, то можно еще подождать, и такая операция
может продолжаться сколь угодно долго (до тех пор, пока инве>
стор не решит продать актив) — потому она и называется
д л и н н о й. При короткой продаже покупатель не согласится
ждать нас бесконечно долго; как правило, крайний срок операции
специально оговаривается, т. е. короткая продажа может про>
должаться лишь в течение к о р о т к о г о срока. Покупатель го>
тов ждать поступления купленного и уже оплаченного им бензи>
на в течение недели, но не в течение неопределенно долгого сро>
ка.
Короткая продажа возможна только н а о р г а н и з о в а н >
н ы х р ы н к а х, участники которых гарантируют исполнение
сделки определенными обязательствами. Например, сложно се>
бе представить торговца продовольственными товарами, со>
вершающего короткую продажу — ведь никто из покупателей
не поверит, что через три дня он принесет на это же место обе>
щанную колбасу.
Иное дело — организованные площадки по торговле цен>
ными бумагами, участники которых уплачивают значительный
вступительный взнос, обязуются соблюдать определенный ко>
декс поведения, и где есть действенные меры борьбы с наруши>
телями этого кодекса — о таком нарушителе информируются
все аналогичные площадки, и он уже ни на одной из них нико>
27
гда не сможет работать. Впрочем, и на таких площадках часто
стремятся избежать рисков, связанных с короткими продажа>
ми — если, например, короткая продажа совершается на бир>
же, инвестор должен положить на свой денежный счет на этой
бирже определенную долю от стоимости операции — маржу.
§ 2.3. ИНВЕСТИЦИОННЫЕ ПРОЕКТЫ
Инвестиционная операция, с которой связан поток плате>
жей, состоящий более чем из двух выплат, называется инве
стиционным проектом. Такие инвестиционные проекты могут
быть связаны с инвестициями в финансовые активы, но гораздо
чаще встречаются инвестиционные проекты, связанные с ре
альными инвестициями (т. е. не в финансовые инструменты, а
в основные производственные фонды), когда в течение доста>
точно длительного периода в проект производятся крупные
вложения, и лишь по прошествии определенного срока и при
успешном ходе проекта он начинает приносить доход, причем
величину дохода до того, как проект закончится, точно назвать
невозможно.
Реализация проекта основывается на принимаемых
решениях и должна осуществляться по заранее намеченному и
четко сформулированному плану, однако объективно сущест>
вующая и принципиально неустранимая неопределенность
внешней (по отношению к проекту) среды оказывает воз>
мущающее воздействие на движение к намеченной цели,
изменяя время (а иногда и принципиальную возможность)
осуществления запланированных событий, содержание этих
событий и их количественную (денежную) оценку, что может
привести к нежелательному развитию событий и повлиять на
конечный результат.
§ 2.4. ЭФФЕКТИВНОСТЬ И РИСК
ИНВЕСТИЦИОННЫХ ОПЕРАЦИЙ
2.4.1. И з м е р е н и е э ф ф е к т и в н о с т и
инвестиционных операций
Измерить эффективность инвестиционной операции можно
например, при помощи такой характеристики, как доход
St2 - St1 ,
28
т. е. разность между ценой St2 , по которой актив был продан в
момент t2, и ценой St1 , по которой он был куплен в момент t1.
Если оценивается эффективность инвестиционного проек>
та, то в доход включается не только сумма, уплаченная при по>
купке актива и сумма, полученная при его продаже, но и все
промежуточные выплаты по проекту.
Эта характеристика не очень удобна, поскольку, например,
следующие две операции:
• купить актив за 1000 руб. и продать его за 2000 руб.;
• купить актив за 1 000 000 руб. и продать его за
1 001 000 руб.
приносят инвестору одинаковый доход в 1000 руб., однако здра>
вый смысл подсказывает, что первая операция эффективнее
второй.
Поэтому вводят о т н о с и т е л ь н у ю характеристику эф>
фективности операции — доходность
St2 - St1
St1
,
которая равна отношению дохода к цене покупки.
Доходность первой из рассмотренных выше операций
1000
1000
составляет
= 100% , а доходность второй —
= 0,1% .
1000
1000 000
Доходность является вполне адекватной характеристикой
а р б и т р а ж н ы х операций, но в качестве характеристики
эффективности спекулятивных операций она не очень удобна,
поскольку, например, такие две операции:
• купить актив за 1000 руб. и продать его через год за
2000 руб.;
• купить актив за 1000 руб. и продать его через пять лет за
2000 руб.
имеют одинаковую доходность, равную 100%, при том, что пер>
вая операция явно эффективнее второй.
Поэтому вводят доходность в процентах годовых
St2 - St1
St1
◊
1
,
| t2 - t1 |
(где все сроки измерены в годах); если операция продолжалась
менее года, то доходность в процентах годовых вычисляют
29
обычно как доходность, умноженную на 365 и деленную на срок
проведения операции в днях.
1000 365
Первая из данных операций приносит
◊
= 100% го>
1000 365
1000 365
довых, а вторая —
◊
= 20% годовых.
1000 5 ◊ 365
Эта величина является наиболее употребительной
характеристикой эффективности с п е к у л я т и в н ы х опера>
ций, в частности, регулирующие органы требуют от инвестора
рассчитывать именно ее, однако и она не лишена недостатков.
Она никак не учитывает инфляцию, которой можно пре>
небречь в случае краткосрочных операций, но в случае дли>
тельных операций, например длительных инвестиционных
проектов, инфляция может оказаться весьма существенной.
Доходность в процентах годовых никак не учитывает нало>
гообложение, однако одну и ту же операцию может провести
закрытое акционерное общество, аккуратно уплачивающее на>
логи, составляющие в современной России 35% от дохода, и
предприниматель без образования юридического лица, упла>
тивший в начале года налог на вмененный доход (патент) в раз>
мере около 12 000 руб., который после этого считается полно>
стью уплатившим все налоги за всю свою деятельность в тече>
ние данного года. Кроме того, согласно законодательству многих
стран, некоторые инвестиционные операции облагаются нало>
гом, а другие — не облагаются.
Доходность в процентах годовых никак не учитывает про>
центную ставку, начисляемую на депозитные счета надежными
банками — а ведь при рассмотрении многих инвестиционных
проектов может иметь смысл рассматривать эффективную до
ходность — доходность в процентах годовых за вычетом про>
центной ставки (также в процентах годовых), начисляемой на>
дежным банком на сумму, лежащую на банковском счете в те>
чение соответствующего времени — имеет смысл инвестиро>
вать только в такие р и с к о в а н н ы е операции, эффективная
доходность которых положительна.
При расчете доходности в процентах годовых срок опера>
ции (в знаменателе) может исчисляться в к а л е н д а р н ы х
д н я х, и тогда в числителе должно стоять число 365, или в
р а б о ч и х д н я х — тогда в числителе должно стоять число
250 (число рабочих дней в году). В этом есть определенный
30
смысл — зачем учитывать дни, когда рынок не работает, и цены
финансовых инструментов не изменяются.
При анализе эффективности и н в е с т и ц и о н н ы х
проектов
все издержки и денежные поступления
приводятся к одному и тому же моменту времени (как правило,
начальному) и суммируются, в результате получается со>
временная стоимость NPV (1.3.3) потока платежей, соответст>
вующего данному инвестиционному проекту, или чистый при
веденный доход инвестиционного проекта.
Если разделить чистый приведенный доход проекта NPV
на абсолютную величину суммарных инвестиций, приведенных
к начальному моменту NPI, то получим доходность инвестици>
онного проекта:
 B (1 + i)
 B (1 + i)
- tk
r=
NPV
=
NPI
tk
k
k: Btk <0
- tk
.
tk
Часто бывает удобно оценивать эффективность инвестици>
онных проектов не с помощью чистого приведенного дохода, а с
помощью внутренней нормы доходности IRR (Internal Rate of
Return), которая определяется как решение i уравнения
NPV(i) = 0
или, согласно (1.3.3),
ÂB
tk
(1 + i)- tk = 0 .
(2.4.1)
k
Внутренняя норма доходности IRR равна такой процентной
ставке i банковского счета, которая обеспечивает поток плате>
жей с той же современной стоимостью, что и поток платежей,
соответствующий данному инвестиционному проекту.
Уравнение доходности (2.4.1) может, вообще говоря, иметь
несколько действительных корней. Интерпретировать как про>
центную ставку можно, конечно, только те из них, которые не
меньше –1. Если уравнение доходности имеет несколько корней
или не имеет ни одного корня, то считают, что внутренняя нор>
ма доходности не определена.
Внутреннюю норму доходности можно, конечно, использовать
и в качестве характеристики любой спекулятивной операции.
В пакете Microsoft Excel существует функция
31
IRR = ЧИСТВНДОХ(<массив Btk >; <массив tk>)
для вычисления внутренней нормы доходности.
П РИМЕР 2.4.1. Инвестиционный проект предполагает за>
траты 10 000 000 руб. 1 мая 2004 г. и 4 000 000 руб. 1 сентяб>
ря 2004 г. и последующие денежные поступления: 4 250 000 руб.
1 декабря 2004 г., 3 250 000 руб. 1 февраля 2005 г., 3 250 000 руб.
1 июня 2005 г., и 2 750 000 руб. 1 ноября 2005 г. и 2 750 000 руб.
1 февраля 2006 г. Найти чистый приведенный доход, доходность
и внутреннюю норму доходности данного проекта. Стоит ли реа>
лизовывать такой проект, если ставка непрерывных процентов,
выплачиваемых по банковскому счету, составляет i = 10%?
Решение. Расчеты с помощью Microsoft Excel приведены на рис. 2.4.1
(формулы, по которым проводились расчеты, приводятся справа от соот>
ветствующих ячеек).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
A
Платежи
>10 000 000
>4 000 000
4 250 000
3 250 000
3 250 000
2 750 000
2 750 000
B
Даты
01.05.2004
01.09.2004
01.12.2004
01.02.2005
01.06.2005
01.11.2005
01.02.2006
NPV =
809 078,96
NPI = –13 873 568,00
r=
0,058
IRR =
0,167
С
= ЧИСТНЗ(0,10; A2:A8; B2:B8)
= ЧИСТНЗ(0,10; A2:A3; B2:B3)
= ABS(B10/B11)
= ЧИСТВНДОХ(A2:A8; B2:B8)
Рис. 2.4.1. Расчеты в примере 2.4.1
Чистый приведенный доход проекта равен NPV = 809 078 руб. 96 коп.,
доходность проекта составила r = 0,058 = 5,8%, внутренняя норма доходно>
сти равна IRR = 0,167 = 16,7%, что превышает ставку банковского процента,
поэтому имеет смысл данный проект реализовывать. ‰
Обозначим буквой E некоторую обобщенную характеристи>
ку произвольной инвестиционной операции, которую назовем
эффективностью операции (в качестве E можно взять доход,
доходность в процентах от вложенной суммы, доходность в
процентах годовых, внутреннюю норму доходности и т. п.). Час>
то невозможно заранее точно предсказать эффективность той
или иной операции, и такие операции рассматривают как
32
с л у ч а й н ы е в е л и ч и н ы. При этом в качестве ожидаемой
эффективности такой инвестиционной операции используют
м а т е м а т и ч е с к о е о ж и д а н и е ME случайной величины E.
2.4.2. И з м е р е н и е р и с к а
инвестиционных операций
Под риском инвестиционной операции мы понимаем откло>
нение реальных значений эффективности инвестиционной опе>
рации от прогнозируемой эффективности (как в меньшую сто>
рону, так и в большую).
Если E — случайная эффективность инвестиционной опе>
рации, и в качестве ожидаемой эффективности операции мы
выбрали математическое ожидание ME случайной величины E,
то в качестве измерителя риска операции естественно взять
среднее квадратичное отклонение
s E = DE
(здесь DE — д и с п е р с и я случайной величины E); в финансо>
вой литературе этот показатель sE часто называют изменчиво
стью (или волатильностью) эффективности.
В последние годы стал популярен подход к измерению рис>
ка с помощью с т о и м о с т и р и с к а (Value>at>Risk, VaR).
Кратко поясним суть этого подхода.
Напомним, что квантилью уровня a случайной величины X
называется такое число ua, что
(2.4.2)
FX(ua) = a,
где FX(x) = P{X < x} — функция распределения случайной
величины X (формула (2.4.2) означает, таким образом, что
P{X < ua} = a, т. е. вероятность того, что случайная величина X
примет значение, меньшее чем ua, с вероятностью a); 100a%>ной
точкой случайной величины X называется такое число wб, что
FX(wa) = 1 – a
(2.4.3)
(т. е. P{X wa} = a — вероятность того, что случайная величина
X примет значение, не меньшее чем wa, с вероятностью a).
Квантили и процентные точки связаны между собой оче>
видным соотношением
ua = w1-a .
(2.4.4)
33
В пакете Microsoft Excel существуют статистические функ>
ции для вычисления критических границ наиболее распростра>
ненных случайных величин, например,
ua = НОРМОБР(<a>; <a>; <s>) —
квантиль уровня a случайной величины X ~ N(a; s).
Пусть случайная величина E имеет смысл дохода от инве>
стиционной операции (измеряемого, например, как NPV (1.3.3)
соответствующего потока платежей), эта операция продолжа>
ется в течение некоторого периода времени T, и мы хотим оце>
нить риск этой операции.
В практической деятельности для этого часто рассчитывают
показатель стоимости риска VaR: 100g%>ной стоимостью риска
данной инвестиционной операции за период T называется такое
число VaRg, что с вероятностью g убыток (–E) от проведения опе>
рации в течение данного периода будет не больше, чем VaRg:
P{–E
VaRg} = g
или
P{E
–VaRg} = g.
Но тогда, согласно формуле (2.4.3),
–VaRg = wg
или, окончательно, с учетом (2.4.4),
VaRg = –wg = –u 1 – g,
(2.4.5)
т. е. 100g%>ная стоимость риска — это число, противоположное
100g%>ной точке случайной величины E, что иллюстрируется
рис. 2.4.2.
34
fE(e)
g
1–g
e
–VaRg
0
Рис. 2.4.2. Стоимость риска
Несмотря на ряд недостатков этого показателя, активно об>
суждаемых в финансовых кругах, на сегодняшний день VaR
(2.4.5) является стандартом де>факто для оценки рыночных
рисков в банках и инвестиционных компаниях. Базельский ко>
митет по банковскому надзору рекомендует банкам резервиро>
вать (для покрытия возможных убытков) средства в размере, в
3 ∏ 5 раз превышающем VaR инвестиционного портфеля банка
(т. е. всех его операций).
П РИМЕР 2.4.2. Текущая цена акции равна 15 руб. Стои>
мость акции через 7 дней описывается случайной величиной
Y ~ N(16; 1). Рассчитать недельную 95%>ную стоимость риска
операции по покупке пакета 1000 таких акций и его последую>
щей продаже.
Решение. Доход от данной операции равен, очевидно, E = 1000(Y – 15),
и эта случайная величина E будет распределена по нормальному закону с
параметрами a = 1000, s = 1000. Найдем 95%>ную точку случайной величи>
ны E. Воспользуемся пакетом Microsoft Excel:
w0,95 = u1–0,95 = НОРМОБР(1 – 0,95; 1000; 1000) = –644,85,
поэтому VaR0,95 = –w0,95 = 644,85 ден. ед. ‰
Если при измерении эффективности учитывать стоимость
риска операции, то придем к показателю доходности с учетом
риска RAROC (Risk Adjusted Return on Capital): 100g%>ной до
ходностью с учетом риска RAROCg называется отношение
прибыли к сумме, достаточной (с заданной надежностью g) для
покрытия возможных убытков:
35
RAROC g =
NPV - NPI
.
VaR g
Рассматривать эффективности инвестиционных операций
как случайные величины можно не всегда, как правило, такой
подход неприемлем для инвестиционных проектов, связанных с
реальными инвестициями. Предположим, например, что инве>
стиционный проект состоит в строительстве жилого дома. Бу>
дущие потоки платежей заранее неизвестны, ведь можно лишь
прогнозировать изменения цен материалов, расценок работ
подрядчиков и, самое главное, цен продаваемых квартир, но нет
никакой гарантии, что прогнозы сбудутся. При этом рассмотре>
ние будущих платежей как случайных величин невозможно,
поскольку невозможно собрать достаточное количество стати>
стической информации: ведь мы впервые строим именно такое
здание именно в этом месте, а ранее квартиры в точно таких же
зданиях никто никогда не продавал. Учету риска таких инве>
стиционных проектов посвящен § 2.5, в котором рассматрива>
ются именно такие ситуации п р и н я т и я р е ш е н и й в у с >
л о в и я х н е о п р е д е л е н н о с т и.
2.4.3. П с и х о л о г и я о т н о ш е н и я к р и с к у
Предположим, что некто должен нам 100 000 руб. и ставит
нас перед выбором — мы можем либо просто получить эту сум>
му, либо сыграть в игру: подбросить монету, и если выпадет
орел, то получить 200 000 руб., а если выпадет решка — то ни>
чего не получить. Какое решение выберет читатель?
Математическое ожидание выигрыша в обоих случаях рав>
но 100 000 руб., среднее квадратичное отклонение в первом слу>
чае равно нулю, а во втором случае оно равно 100 000 руб. Когда
речь идет о значительных суммах, большинство людей отказы>
вается от игры, предпочитая получение гарантированного до>
хода. В этом проявляется н е р а с п о л о ж е н н о с т ь ч е л о >
в е к а к р и с к у.
Представим теперь, что мы должны кому>либо 100 000 руб.
и у нас есть две возможности: либо просто отдать долг, либо
подбросить монету и в случае выпадения орла отдать
200 000 руб. (они у нас есть, хотя расставаться с ними не хочет>
ся), а в случае выпадения решки ничего не отдавать. В этом
случае больше людей предпочтет игру.
Д. Канеман и А. Тверски, занимаясь изучением психологи>
ческих аспектов неприятия риска, предложили испытуемым
выбор между двумя операциями:
36
• получение дохода в 4000 долл. с вероятностью 0,8 (и ну>
левого дохода с вероятностью 0,2);
• гарантированное получение дохода в 3000 долл.
Хотя выбор рискованного варианта имеет более высокое
математическое ожидание (3200 долл. против 3000), 80% опро>
шенных предпочли гарантированные 3000 долл.
Затем испытуемым предложили выбор между потерей
4000 долл. с вероятностью 0,8 (и нулевыми потерями с вероят>
ностью 0,2) с одной стороны, и гарантированной потерей
3000 долл. — с другой. В этом случае 92% опрошенных выбрали
игру [13].
В другой работе [14] те же исследователи предложили ис>
пытуемым следующую задачу. Представим себе, что некоторый
небольшой городок стал жертвой редкого заболевания, которое
должно унести жизни 600 человек. Есть две программы дейст>
вий: первая обеспечивает гарантированное с п а с е н и е
200 человек, а вторая с вероятностью 1/3 может спасти всех, но
с вероятностью 2/3 она окажется бессильной и все погибнут.
Если мы избегаем риска, то предпочтем первую программу
(математические ожидания числа спасенных одинаковы и со>
ставляют 200 чел., при этом в первом случае риск нулевой, а во
втором случае он приблизительно равен 283 чел.). В указанном
эксперименте 72% опрошенных выбрали первую программу.
Посмотрим на ту же ситуацию с другой стороны — так она
была представлена другой группе испытуемых. Если принять
первую программу, то п о г и б н у т 400 человек из 600, если же
принять вторую программу, то с вероятностью 1/3 спасутся все,
но с вероятностью 2/3 эта программа окажется бессильной. Ис>
следователи сообщают, что 78% опрошенных предпочли риск>
нуть — они не смогли смириться с непременной потерей 400
жизней.
Результатом исследований А. Тверски стал вывод о том, что
на самом деле, люди «не столько избегают неопределенно
стей, сколько не приемлют потерь» [37, P. 75].
Р. Талер провел в двух школьных классах следующий
эксперимент,
демонстрирующий
зависимость
нашего
отношения к риску от начального богатства [3, С. 295]. В одном
классе он предложил школьникам вообразить, что они
выиграли по 30 долл., и теперь есть возможность поставить
9 долл. на выпадение орла при бросании монеты, т. е. получить
еще 9 долл. с вероятностью 0,5 либо проиграть 9 долл. с
вероятностью 0,5, — 70% опрошенных выбрали игру. В другом
классе был предложен такой выбор: вначале у учеников ничего
37
жен такой выбор: вначале у учеников ничего нет, а затем они
могут либо гарантированно получить 30 долл., либо вступить в
игру, в которой выиграть 21 долл. с вероятностью 0,5 или выиг>
рать 39 долл. с вероятностью 0,5, — в этом случае только 43%
выбрали игру.
За исследования психологии риска Д. Канеману в 2002 г.
была присуждена Нобелевская премия в области экономики.
§ 2.5. ПРИНЯТИЕ ИНВЕСТИЦИОННЫХ РЕШЕНИЙ
В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
2.5.1. П р и н я т и е р е ш е н и й
в условиях полной неопределенности
Предположим, что л и ц о, п р и н и м а ю щ е е р е ш е н и е,
может выбрать одну из возможных альтернатив, обозначенных
номерами i = 1, 2, … , m. Ситуация является полностью неопре
деленной, т. е. известен лишь набор возможных вариантов со>
стояний в н е ш н е й (по отношению к лицу, принимающему
решение) среды, обозначенных номерами j = 1, 2, … , n. Если бу>
дет принято i>e решение, а состояние внешней среды соответ>
ствует j>й ситуации, то лицо, принимающее решение, получит
доход
qij.
Матрица
Q = (qij) Œ Rm¥n
называется
матрицей
последствий (от реализации возможных решений).
Именно с такой ситуацией сталкиваются банки, когда
рассматривают возможность инвестиций в m проектов
(i =1, 2, … , m) и анализирует бизнес>планы этих проектов. При
анализе р и с к о в проекта можно классифицировать состояния
внешней среды в зависимости от рисков: макроэкономических,
экологических, социально>опасных, связанных с непредви–
денными срывами и др. В результате получится набор из n
таких состояний (j = 1, 2, … , n). Теперь можно составить
матрицу последствий Q (каждый элемент которой qij будет
представлять собой эффективность NPV i>го проекта при j>м
состоянии внешних условий) и выбрать проекты с
использованием критериев, описанных далее.
В з а и м о и с к л ю ч а ю щ и е п р о е к т ы следует сравни>
вать именно по значению NPV, а не IRR, поскольку последний
показатель существенно зависит от масштаба проекта:
возможна ситуация, когда один проект имеет более высокую
внутреннюю норму доходности, чем другой, обеспечивая,
38
скажем 30%>ный доход на вложенную сумму в 1000 руб., а
другой проект предполагает вложения в размере 1 000 000 руб.
и обеспечивает 20%>ную доходность — мы конечно же выберем
второй проект, хотя внутренняя норма доходности у него
меньше, чем у первого.
В ситуации с п о л н о й н е о п р е д е л е н н о с т ь ю могут
быть высказаны лишь некоторые рекомендации предваритель>
ного характера относительно того, какое решение нужно при>
нять. Эти рекомендации не обязательно будут приняты. Многое
будет зависеть, например, от склонности к риску лица, прини>
мающего решение. Но как оценить риск в данной схеме?
Допустим, мы хотим оценить риск, который несет i>e реше>
ние. Нам неизвестна реальная ситуация. Но если бы мы знали,
что осуществляется j>е состояние внешней среды, то выбрали бы
наилучшее решение, т. е. приносящее наибольший доход
q j = max qkj .
k =1,2,…,m
Значит, принимая i>e решение, мы рискуем получить не qj,
а только qij, т. е. если мы примем i>е решение, а во внешней сре>
де реализуется j>е состояние, то мы будем с о ж а л е т ь о
недополученном доходе в размере
rij = q j - q ij = max qkj - q ij
k =1,2,…,m
(2.5.1)
(по сравнению с тем, как если бы мы знали точно, что
реализуется j>е состояние внешней среды, и выбрали бы реше>
ние, приносящее наибольший доход q j = max qij ).
i =1,2,…,m
Матрица R = (rij) Œ Rm¥n, где сожаления rij рассчитаны по
формуле (2.5.1), называется матрицей сожалений (или матри
цей рисков).
П РИМЕР 2.5.1. Сидя в отправляющемся на курорт поезде,
перед самым отправлением Петя вдруг вспомнил, что, к а ж е т >
с я, забыл выключить дома утюг. Можно еще успеть сойти с поез>
да и исправить ошибку, но тогда пропадет путевка (10 000 руб.).
Если же уехать, утюг, если он действительно включен, может
стать причиной пожара, и тогда придется ремонтировать квар>
тиру (150 000 руб.). Петя не уверен, включен утюг или выключен.
Составить матрицу последствий и матрицу сожалений.
39
Решение. У Пети есть две стратегии: поехать отдыхать или вернуть>
ся домой. У внешней среды также есть два состояния: утюг выключен ли>
бо утюг включен.
Матрица последствий имеет вид
0
-150 000ˆ
Ê
Q=Á
.
Ë -10 000 -10 000 ˜¯
Составим матрицу сожалений. Максимум по первому столбцу равен
q1 = = max qi1 =0 , по второму — q2 =max qi 2 = -10 000 , поэтому
i =1,2
i =1,2
140 000ˆ
Ê 0
R=Á
.‰
0 ¯˜
Ë10 000
Не все случайное можно «измерить» вероятностью. Н е >
о п р е д е л е н н о с т ь — более широкое понятие. Неопределен>
ность того, какой цифрой вверх ляжет игральный кубик, отли>
чается от неопределенности того, каково будет состояние рос>
сийской экономики через 15 лет. Кратко говоря, уникальные
е д и н и ч н ы е случайные явления связаны с неопределенно>
стью, а м а с с о в ы е случайные явления обязательно допуска>
ют некоторые закономерности вероятностного характера.
Ситуация с полной неопределенностью характеризуется
отсутствием какой бы то ни было дополнительной информации.
Существуют следующие п р а в и л а — рекомендации по при>
нятию решений в таких ситуациях.
ПРАВИЛО ВАЛЬДА (ПРАВИЛО КРАЙНЕГО ПЕСС И М И З М А ) . Рассматривая i>e решение, будем полагать, что
на самом деле складывается ситуация, наихудшая с нашей точ>
ки зрения (т. е. приносящая наименьший доход ai = min q ij ) и
j =1,2,…,n
выберем решение i0 с наибольшим ai.
Итак, правило Вальда рекомендует принять такое реше
ние i0, что
ai0 = max ai = max
i =1,2,…,m
( min q ) .
i =1,2,…,m j =1,2,…,n
ij
Так, в примере 2.5.1 имеем: a1 = –150 000, a2 = –10 000. Теперь из двух
чисел (–150 000), (–10 000) находим наибольшее. Это (–10 000). Значит, пра>
вило Вальда рекомендует принять второе решение, т. е. вернуться домой.
СЭВИДЖА (ПРАВИЛО МИНИМАЛЬН Ы Х С О Ж А Л Е Н И Й ) . При применении этого правила ана>
лизируется матрица сожалений R. Рассматривая i>e решение,
будем полагать, что на самом деле складывается ситуация мак>
ПРАВИЛО
40
симальных сожалений bi = max rij , и выберем решение i0 с наи>
j =1,2,…,n
меньшим bi.
Итак, правило Сэвиджа рекомендует принять такое ре
шение i0, что
bi0 = min bi = min
i =1,2,…,m
( max r ) .
i =1,2,…,m j =1,2,…,n
ij
В примере 2.5.1 имеем: b1 = 140 000, b2 = 10 000. Из чисел 140 000,
10 000 находим наименьшее. Это 10 000. Значит, правило Сэвиджа так же,
как и правило Вальда, рекомендует принять второе решение, т. е. вер>
нуться домой.
П Р А В И Л О Г У Р В И Ц А взвешивает пессимистический и
оптимистический подходы к анализу неопределенной ситуации.
По правилу Гурвица, принимается решение i0, на котором
достигается максимум выражения
l min qij + (1 - l) max q ij ,
j =1,2,…,n
j =1,2,…,n
где l Œ [0; 1]. Значение l выбирается из субъективных соображе>
ний; если l приближается к единице, то правило Гурвица при>
ближается к правилу Вальда, при приближении l к нулю прави>
ло Гурвица приближается к правилу розового оптимизма.
Читатель может убедиться, что в примере 2.5.1 правило Гурвица при
l = 0,5 так же, как правила Вальда и Сэвиджа, рекомендует принять вто>
рое решение, т. е. вернуться домой.
2.5.2. П р и н я т и е р е ш е н и й
в условиях частичной неопределенности
Предположим, что в рассмотренной схеме известны веро>
ятности pj того, что реальная ситуация развивается по вариан>
ту j. Именно такое положение называется частичной неопреде
ленностью. При принятии решений в таких ситуациях можно
выбрать одно из следующих п р а в и л.
ПРАВИЛО МАКСИМИЗАЦИИ ОЖИДАЕМОГО ДОХ О Д А . Доход, получаемый при принятии i>го решения, явля>
ется случайной величиной Qi с рядом распределения
Qi
p
q i1 q i 2
p1 p2
q in
.
pn
Ожидаемый доход при принятии i>го решения оценивается
математическим ожиданием MQi соответствующей случайной
величины Qi. Правило максимизации ожидаемого дохода реко>
41
мендует принять решение, приносящее максимальный средний
ожидаемый доход.
П РИМЕР 2.5.2. Владелец груза должен выбрать одну из
двух альтернатив: страховать груз или не страховать. Риск за>
ключается в том, что с вероятностью 0,1 возможна катастрофа,
в результате которой груз будет утрачен. Если груз застрахо>
ван, то в случае его утраты владелец теряет стоимость груза
(95 000 руб.), но получает компенсацию 100 000 руб., если же ка>
тастрофы не произошло, он теряет 5000 руб, потраченные на
страховой полис. Если груз не застрахован, в случае катастро>
фы теряется его стоимость, при благополучном же исходе вла>
делец не несет никаких расходов. Какое решение принять?
Решение. У владельца груза есть две стратегии: страховать груз или
не страховать его. У внешней среды также есть два состояния: катастро>
фа произойдет либо не произойдет.
Матрица последствий имеет вид
0
-5000ˆ
Ê
Q=Á
.
0 ¯˜
Ë -95 000
Вероятности состояний внешней среды известны (p1 = 0,1, p2 = 0,9),
поэтому ряды распределения дохода при выборе первой и второй страте>
гии таковы:
- 5000
Q1 0
Q2 -95 000 0
,
.
p 0,1
p
0,9
0,1
0,9
При этом MQ1 = 0·0,1 + (–5000)·0,9 = –4500, аналогично MQ2 = –9500.
Таким образом, правило максимизации ожидаемого дохода рекомендует
принять первое решение, т. е. застраховать груз. ‰
ПРАВИЛО МИНИМИЗАЦИИ ОЖИДАЕМЫХ СОЖ А Л Е Н И Й . Сожаления при реализации i>го решения пред>
ставляются случайной величиной Ri с рядом распределения
Ri
p
ri1 ri 2
p1 p2
rin
.
pn
Ожидаемые сожаления оцениваются математическим ожи>
данием MRi соответствующей случайной величины Ri. Правило
минимизации ожидаемых сожалений рекомендует принять ре>
шение, влекущее минимальные средние ожидаемые сожаления.
Составим в условиях примера 2.5.2 матрицу сожалений. Максимум
по первому столбцу равен q1 = max qi1 = 0 , по второму — q2 = max qi 2 = 0 ,
i =1,2
поэтому матрица сожалений
42
i=1,2
5000ˆ
Ê 0
R=Á
.
0 ˜¯
Ë 95 000
Вычислим средние ожидаемые сожаления при указанных выше ве>
роятностях. Получаем MR1 = 4500, MR2 = 9500. Минимальные средние
ожидаемые сожаления равны 4500, они соответствуют первому реше>
нию — застраховать груз. ‰
2.5.3. О п т и м а л ь н о с т ь п о П а р е т о
Очень редко при принятии решений мы находимся в ситуа>
ции, когда решение принимается по единственному критерию,
гораздо чаще мы встречаемся с м н о г о к р и т е р и а л ь н о й
о п т и м и з а ц и е й, когда таких критериев много, например, по>
купая квартиру, мы хотим, чтобы она одновременно была как
можно ближе к центру города; имела как можно большую пло>
щадь и т. п. О сложности принятия решений в подобных ситуаци>
ях говорит и народная мудрость: «За двумя зайцами погонишь
ся — ни одного не поймаешь».
Несмотря на то, что приведенные в предыдущем пункте
примеры показали недостатки рассмотрения риска как неопре>
деленности (в особенности, когда речь идет об операциях, эф>
фективность которых можно измерить количественно, но не в
денежном выражении), на сегодняшний день считается аксиомой, что при принятии инвестиционных решений инвестор
старается одновременно достичь двух целей:
• получить наибольшую прогнозируемую эффективность;
• избежать риска.
При этом прогнозируемая (или ожидаемая) эффектив
ность операции измеряется математическим ожиданием слу>
чайной эффективности, а риск операции (понимаемый как от>
клонение реальных значений эффективности операции от про>
гнозируемых) измеряется средним квадратичным отклонением
эффективности.
Предположим, что некто должен нам 100 000 руб. и ставит
нас перед выбором — мы можем либо просто получить эту сум>
му, либо сыграть в игру: подбросить монету, и если выпадет
орел, то получить 200 000 руб., а если выпадет решка — то ни>
чего не получить. Какое решение выберет читатель?
Математическое ожидание выигрыша в обоих случаях рав>
но 100 000 руб., среднее квадратичное отклонение в первом слу>
чае равно нулю, а во втором случае оно равно 100 000 руб. Когда
43
речь идет о значительных суммах, большинство людей отказы>
ваются от игры, предпочитая получение гарантированного до>
хода. В этом проявляется н е р а с п о л о ж е н н о с т ь ч е л о >
в е к а к р и с к у.
Если мы в данной ситуации отказываемся от игры, то мож>
но сказать, что с нашей точки зрения случайная величина (до>
ход) Y с рядом распределения
Y 100 000
p
1
п р е д п о ч т и т е л ь н е е, чем случайная величина X с рядом
распределения
X 0 200 000
.
p 0,5
0,5
Сравним таким же образом случайную величину X со слу>
чайной величиной
Y1 95 000
p
1
и, если вновь предпочтен «стабильный» вариант, — со случай>
ной величиной
Y2 90 000
p
1
и т. д. Если, например, варианты X и Y2 показались нам эквива>
лентными (выбор какого>либо из них уже вызывает у нас за>
труднения), то можно считать 10 000 руб. платой за устойчи
вость, стабильность дохода.
Знание только математических ожиданий и средних квад>
ратичных отклонений случайных величин довольно>таки важ>
но при анализе группы случайных величин, оно помогает вы>
брать из множества случайных величин о п т и м а л ь н ы е п о
П а р е т о, отбросив заведомо «плохие».
Пусть на финансовом рынке существует возможность осу>
ществить несколько инвестиционных операций, ожидаемые
эффективности и риски которых известны и равны соответст>
венно ME1, ME2, … , MEn и s1, s2, … , sn. Говорят, что i>я операция
доминирует j>ю, если
44
ÏMEi MEj ,
Ì
ÔÓs i < s j
или
ÏMEi > MEj ,
Ì
ÔÓs i s j .
(2.5.2)
Операция называется оптимальной по Парето, если не
существует операций, которые бы ее доминировали.
П РИМЕР 2.5.3. Инвестор рассматривает четыре операции
со случайными эффективностями, описываемыми случайными
величинами E1, E2, E3, E4, заданными рядами распределения
E1 2
5
8
4
,
p 1/6 1/2 1/6 1/6
E2 2
3
4 12
,
p 1/2 1/6 1/6 1/6
E3 3
5
8 10
,
p 1/6 1/6 1/2 1/6
E4 1
2
4
8
.
p 1/2 1/6 1/6 1/6
Какие из этих операций оптимальны по Парето?
Решение. Ожидаемые эффективности и риски равны соответственно
ME1 = 4,81, s1 = 1,77, ME2 = 4,16, s2 = 3,57, ME3 = 7,00, s3 = 2,30, ME4 = 2,81,
s4 = 2,54. Нанесем точки (MEi; si) на единый график (рис. 2.5.1). i>я опера>
ция доминирует j>ю, если точка, соответствующая i>й операции, нахо>
дится на графике правее и ниже точки, соответствующей j>й операции.
Видно, что первая операция доминирует вторую и четвертую, третья
операция также доминирует вторую и четвертую. При этом первая опе>
рация не доминирует третью, а третья не доминирует первую. Первая и
третья операции, таким образом, оптимальны по Парето. ‰
Отметим, что операции, оптимальные по Парето, не обяза>
тельно являются «самыми лучшими» (и даже просто «хороши>
ми») — эти операции н е я в л я ю т с я х у д ш и м и. Выбор
операций среди оптимальных по Парето осуществляется на ос>
нове склонности к риску лица, принимающего решение.
В некоторых ситуациях предпочтительной оказывается
операция, в которой ожидаемая эффективность вообще
отрицательна. Например, если перед нами стоит выбор из двух
операций:
• потерять 1 руб.;
• с вероятностью 0,5 получить 1 000 000 руб. и с вероятно>
стью 0,5 потерять 100 000 руб.,
то обе эти операции окажутся оптимальными по Парето (ME1 =
= –1, s1 = 0, ME2 = 550 000, s2 = 450 000), но, скорее всего, мы
склонимся к выбору первой операции, несмотря на то, что
ожидаемый доход по ней составляет отрицательное число
(–1 руб.), тогда как ожидаемый доход от исполнения второй
45
операции составляет 550 000 руб. — слишком велик риск у
второй операции, слишком большими могут быть потери.
MEi
4
2
3
4
3
2
1
1
si
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Рис. 2.5.1. График «риск — доходность» в примере 2.5.1
Рассмотренный подход может быть применен и при
анализе других задач многокритериальной оптимизации.
В произвольной задаче выбора операции по нескольким
критериям операция i доминирует операцию j, если операция i
по каждому из критериев н е х у ж е операции j и хотя бы по
одному из критериев — строго л у ч ш е.
Операция i называется оптимальной по Парето, если не
существует операций, которые бы ее доминировали.
Например, в ситуации с частичной неопределенностью
можно рассмотреть в качестве критериев ожидаемый средний
доход MQ (операция i н е х у ж е операции j по этому крите>
рию, если MQi
MQj, и л у ч ш е операции j по этому критерию,
если MQi > MQj) и ожидаемые средние сожаления MR
(операция i не хуже операции j по этому критерию, если
MR i
MRj, и лучше операции j по этому критерию, если
MRi < MRj).
46
ГЛАВА 3. ФИНАНСОВЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ
§ 3.1. ОСНОВНЫЕ ФИНАНСОВЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ
3.1.1. О б л и г а ц и и
С целью привлечения денежных средств различные орга>
низации могут выпускать свои ц е н н ы е б у м а г и — облига>
ции и акции.
Ценная бумага понимается в общем как законодательно
признанное свидетельство права на получение ожидаемых в
будущем доходов при конкретных условиях.
Часто ценные бумаги называют также финансовыми инст
рументами. Три основных вида финансовых инструментов —
деньги, облигации и акции, существуют и другие виды ценных
бумаг.
Облигация представляет собой д о л г о в о е обязательст>
во — владелец (или держатель) облигации номинальной
стоимостью F, выпущенной на срок T лет, покупая ее по неко>
торой начальной цене P, получает от эмитента (организации,
выпустившей эту облигацию) подтверждение задолженности в
размере номинальной стоимости, которую эмитент обязуется
ликвидировать в момент погашения T. При этом номинальная
стоимость превышает начальную и, кроме того, обычно эмитент
обязуется периодически (как правило, раз в год, раз в полгода
или раз в квартал) выплачивать держателю облигации так на>
зываемый купонный доход C — определенный процент от но>
минальной стоимости.
Облигация с точки зрения инвестора очень похожа на
банковский счет:
• эмитент обязуется выплачивать купонный доход в раз>
мере, определенном при выпуске облигации (точно так же
банк обязуется выплачивать проценты по банковскому счету
в размере, определенном в момент заключения договора);
• инвестор покупает облигацию только в том случае, если
он уверен в платежеспособности эмитента, в том, что эми>
47
тент выполнит свои обязательства по погашению облигации
и выплате купонного дохода (точно так же и с банковским
счетом: инвестор положит деньги на счет, только если уве>
рен, что банк выполнит свои обязательства по возврату ос>
новной суммы и выплате процентов);
• государство осуществляет строгий контроль за эмитен>
тами облигаций, как и за коммерческими банками, тем са>
мым предоставляя покупателям облигаций, как и вкладчи>
кам банков, определенные гарантии.
Как назначить рациональную (справедливую) цену облига>
ции P, если ее номинальная стоимость равна F, до момента по>
гашения осталось T лет, и по облигации в конце каждого года
выплачивается купонный доход в размере C?
Рассмотрим поток платежей, связанный с такой облигацией
(рис. 3.1.1).
BT = C + F
Bt
B1 = C
B2 = C
B3 = C
···
BT – 1 = C
t
0
1
2
T–1
3
T
Рис. 3.1.1. Поток платежей, соответствующий облигации
Современная стоимость этого потока платежей равна сумме
стоимости годовой ограниченной запаздывающей ренты, со>
стоящей из T платежей в сумме C каждый [эта стоимость рас>
считывается по формуле (1.4.3)] и приведенной стоимости вы>
платы номинала в последний момент времени T [которую легко
рассчитать по формуле (1.2.3)]:
NPV = CaT @ i + F(1 + i)
48
-T
1 - (1 + i)- T
=C
+ F(1 + i)- T .
i
Именно эту величину и имеет смысл взять в качестве
справедливой цены такой облигации:
1 - (1 + i)- T
1 - vT
-T
P=C
+ F(1 + i) = C
+ FvT .
(3.1.1)
i
i
Поскольку номинальные стоимости различных облигаций
могут существенно различаться между собой (например, в
США выпускаются облигации с номинальными стоимостями от
25 долл. до 1 000 000 долл.), обычно принято говорить не о цене
облигации, а о ее курсе
P
—
(3.1.2)
F
выраженном в процентах отношении цены облигации к ее но>
миналу; при этом и купонные выплаты также выражают в до>
лях (процентах) от номинальной стоимости:
K=
C
.
F
Из формул (3.1.1) ~ (3.1.3) следует, что
c=
(3.1.3)
1 - (1 + i)- T
K=c
+ (1 + i)- T .
(3.1.4)
i
Чтобы измерить внутреннюю норму доходности по облига>
ции, купленной по данному курсу K, нужно, как обычно, решить
уравнение (3.1.4) относительно i.
Аналогичные формулы имеют место и для облигаций с бо>
лее частыми купонными выплатами.
В пакете Microsoft Excel существует функция
NPV = ДОХОД(<t0>; <t0 + T>; <c>; <P>; <F>; <m>; <b>)
для вычисления современной стоимости потока платежей от
покупки по цене P в момент t0 облигации номинальной стоимо>
стью F с погашением в момент t0 + T и купонными выплатами в
размере cF, выплачиваемыми m раз в год; при этом параметр b
означает способ расчета дат (при b = 0 считается, что в году 360
дней, а в месяце 30 дней, при b = 1 используется фактическое
количество дней и в году, и в месяце, при b = 2 используется
фактическое количество дней в месяце, а год считается равным
360 дням, при b = 3 используется фактическое количество дней
в месяце, а год считается равным 365 дням).
49
П РИМЕР 3.1.1. Чему равна текущая цена P облигации но>
минальной стоимостью F = 100 000 руб. с купонным доходом
c = 16% годовых (выплачиваемым в конце каждого года), если
до ее погашения осталось ровно 5 лет, а ставка банковского
процента равна i = 10%.
1 - (1 + i)- T
+
Решение. По формулам (3.1.1), (3.1.3) имеем: P = cF
i
1 - (1 + 0,12)-5
+F(1 + i)- T = 0,10 ◊ 100 000
+ 100 000(1 + 0,12)-5 = 92 790,45 руб. Итак,
0,12
справедливая цена такой облигации равна 92 790 руб. 45 коп. ‰
3.1.2. А к ц и и
Акция — это д о л е в о е обязательство: ее обладатель по>
лучает право долевого участия в управлении акционерной ком>
панией, выпустившей эти акции (каждой акции соответствует
определенное число голосов на ежегодном общем собрании ак>
ционеров — высшем органе управления компанией), в активах
и прибылях (дивидендах) этой компании.
Спекулятивные операции с акциями, как правило, обеспе>
чивают существенно большую доходность, чем банковские про>
центные ставки или купонные выплаты по облигациям. Так, в
России за 1996 г. цены на акции выросли в среднем более чем в
четыре раза, т. е. средняя доходность по операциям с акциями
была выше 300% годовых, что было намного выше доходности
по вложениям в банки или облигации (инфляция за этот год со>
ставила около 20%, и примерно такой процент (20% годовых)
начисляли надежные банки по депозитным счетам). Доходность
с учетом инфляции составила, таким образом, 280% годовых,
эффективная доходность — также 280% годовых.
Отметим, что средний рост стоимостей акций в четыре раза
не означает, конечно, что в с е акции подорожали в четыре
раза: цены некоторых акций росли очень быстро, другие акции
дорожали менее заметно, а какие>то акции даже упали в цене.
При этом заранее невозможно точное детерминированное пред>
сказание будущей доходности. Поэтому акции являются наибо>
лее рискованными ценными бумагами (вложения на банковский
счет и в облигации — менее рискованные операции: банковский
счет предполагает начисление заранее оговоренных процентов
в заранее оговоренные сроки и возврат вложенной суммы и на>
копленных процентов в заранее оговоренный срок, облигация
предполагает погашение по заранее оговоренной номинальной
50
стоимости в заранее оговоренный срок, а также выплату купон>
ного дохода в заранее оговоренные моменты времени, поэтому в
финансовой математике банковский счет и облигацию считают
б е з р и с к о в ы м и финансовыми инструментами, хотя, конеч>
но, и здесь присутствует риск, что мы все наблюдали на приме>
ре кризиса 1998 г.).
Предположим для простоты, что на рынке обращается о д >
н а ценная бумага (для определенности — акция), и ее стои>
мость в конце периода времени t составляет St.
Предположим также, что инвестор имеет возможность:
• размещать средства на банковском счете и брать с него в
долг;
• покупать и продавать акции.
Тогда для этого инвестора на рынке существует б е з р и с >
к о в ы й а к т и в (банковский счет) B и р и с к о в ы й а к т и в
(акция) S.
Будем считать, что проценты на банковский счет начисля>
ются по схеме сложных процентов с постоянной ставкой
i(t) = i = const, так что в конце каждого периода сумма на счете
увеличивается в (1 + i) раз:
Bt = Bt–1(1+i).
Будем предполагать, что операционные издержки, связан>
ные с переводом средств между активами, отсутствуют, а так>
же что активы являются безгранично делимыми, т. е. можно
купить и продать любую часть акции, положить на счет и снять
с него любую его часть.
Функционирующий по таким правилам рынок будем назы>
вать (B, S)рынком.
Рассмотрим поведение стоимости акции St на (B, S) рынке в
течение года, т. е. в течение промежутка времени [0; 1].
Предположим, что в течение данного периода времени стои>
мость акций может увеличиться в u раз или увеличиться в d раз
(уменьшиться в 1/d раз), причем d < 1 < 1 + i < u (рис. 3.1.2).
На идеальном рынке отсутствуют арбитражные возможно>
сти, т. е. невозможно извлечь безрисковый доход, больший чем
процент, начисляемый на банковский счет.
Предположение о том, что на рынке отсутствуют арбит
ражные возможности, означает, что математическое ожидание
цены акции на таком рынке к концу года MS1 должно совпадать
с суммой, которая оказалась бы на банковском счете к концу го>
51
да, если бы сумма S0 была в начале года положена на счет, т. е. с
суммой S0(1 + i):
MS1 = S0(1 + i).
St
S0u
S0
S0d
t
0
1
Рис. 3.1.2. Изменение цены акции за один период времени
Истинные вероятности того, что в течение данного периода
акция подорожает или подешевеет, нам неизвестны, но в пред>
положении отсутствия арбитражных возможностей можно с
помощью только что полученного условия вычислить так назы>
ваемые вероятности, нейтральные к риску: пусть p — веро>
ятность того, что в начале следующего периода цена акции ока>
жется равной S0u, тогда вероятность того, что цена акции будет
равна S0d, составит (1 – p); при этом
MS1 = S0up + S0d(1 – p).
Отсюда
S0up + S0d(1 – p) = S0(1 + i).
Разделим обе части этого равенства на S0:
up + d(1 – p) = 1 + i
или
(u – d)p + d = 1 + i,
поэтому
1+ i - d
.
(3.1.5)
u-d
Предположим теперь, что рассматриваемый промежуток
времени [0; T] разбит на n периодов, в каждом из которых стои>
мость акции может увеличиться в u или в d раз. Вероятность
того, что стоимость акции увеличится в u или в d раз, неизвест>
на, однако можно вновь воспользоваться принципом вероятно>
сти, нейтральной к риску. Основное отличие состоит в том, что в
соответствии с формулой (1.1.3) корректируются процентные
p=
52
ставки, т. е. в числителе формулы (3.1.5) вместо (1 + i) будет
(1 + i)T/n:
p(n)
(1 + i)T / n - d
=
u-d
(3.1.6)
(индекс (n) здесь означает, что проведена коррекция годовой
ставки с учетом того, что рассматриваемый отрезок времени
[0; T] разбивается на n периодов).
Процесс изменения цены акции в течение n периодов (для
случая n = 4) проиллюстрирован рис. 3.1.3.
4
S0u
St
S0u3
S0u2
S0u
S0
S0d
S0d 4
0
t
1
2
3
4
Рис. 3.1.3. Изменение цены акции в течение четырех периодов
При этом процесс изменения цены акции в течение n пе>
риодов можно представить как последовательность n незави>
симых испытаний, в которых успехом считается повышение
цены акции в u раз, а неудачей — ее понижение в 1/d раз. Если
в течение n периодов цена акции поднималась k раз и опуска>
лась (n – k) раз, то ее цена к концу последнего периода составит
Sn = S0ukdn – k. Вероятность наступления k повышений и (n – k)
понижений цены акции составит по ф о р м у л е Б е р н у л л и
Pn (k) = Ckn pk (1 - p)n -k .
Вероятность успеха p здесь имеет смысл оценить с помо>
щью нейтральной к риску вероятности p(n), определяемой фор>
53
мулой (3.1.6). Таким образом, цена акции к концу n>го периода
(т. е. в момент времени T) может принимать значения
Sn = S0ukd n – k с вероятностями
P{ST = S0 uk d n -k } = Ckn p(kn) (1 - p(n) )n -k ,
k = 0,1, 2, ... , n .
(3.1.7)
Данная модель (3.1.7), называемая биномиальной моделью
ценообразования акции, была предложена в 1979 г. Дж. Коксом,
Р. Россом и М. Рубинштейном [19].
П РИМЕР 3.1.2. Составим ряд распределения цены акции к
концу года, разбив этот год на четыре периода, если текущая
цена акции составляет S0 = 35 руб., годовая безрисковая про>
центная ставка составляет i = 10% и известно, что в каждом
периоде акция может возрасти в цене или упасть в цене в
u = 1,105 раз.
(1 + i)1/4 - d
=
Решение. Вероятность, нейтральная к риску, p(4) =
u-d
1,024 - 0,905
1
1
=
ª 0,595 , 1 – p(4) 0,405 (здесь d = =
ª 0,905 ). Теперь мы
1,105 - 0,905
u 1,105
можем составить ряд распределения цены акции к концу четвертого пе>
риода: цена принимает значения S0ukd 4 – k (k = 0, 1, 2, 3, 4) соответственно с
k
вероятностями P4 (k) = Ck4 p(4)
(1 - p(4) )4-k . Окончательно имеем:
S(4) 23,478 28,667 35,002 42,737 52,182
.‰
p
0,027 0,158 0,348 0,341 0,126
§ 3.2. ПРОИЗВОДНЫЕ ФИНАНСОВЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ
3.2.1. Ф о р в а р д ы и ф ь ю ч е р с ы
Банковский счет, акции и облигации называются основными
финансовыми инструментами. На их базе могут быть построе>
ны более сложные финансовые инструменты — производные.
Наиболее распространенные типы производных финансо>
вых инструментов — форварды, фьючерсы и опционы.
Форвард — это ценная бумага, представляющая собой со>
глашение о приобретении или продаже в определенный момент
времени в будущем определенной ценности по фиксированной
цене, определяемой в момент заключения контракта.
Форвардный контракт, заключенный на бирже, называется
фьючерсом. Биржа при этом берет на себя роль п о с р е д н и к а
между покупателем и продавцом, каждый из которых заключает
отдельный договор с биржей. Эти договоры являются с т а н >
54
д а р т и з о в а н н ы м и, т. е. их условия (количество и качество по>
ставляемого товара и т. п. одинаковы для всех участников).
П РИМЕР 3.2.1. Чему равна форвардная цена на облигацию
из примера 3.1.1 с датой форвардной поставки через год (т. е. за
4 года до погашения)?
Решение. Если мы не прогнозируем изменение процентных ставок,
то определить цену такого форвардного контракта очень просто: просто
найдем стоимость потока платежей, связанного с данной облигацией в те>
чение последних четырех лет до даты погашения, приведенную к концу
первого года:
B(1) = 0,10 ◊ 100 000
1 - (1 + 0,12)-4
+ 100 000(1 + 0,12)-4 = 93 925,30 руб.,
0,12
эта цена P = B(1) = 93 925 руб. 30 коп. и будет справедливой! ‰
3.2.2. О п ц и о н ы
Опцион — это ценная бумага, представляющая собой дого>
вор, по которому одна из сторон (продавец) продает опцион за
определенную премию, а другая сторона (покупатель или вла
делец) при этом п о л у ч а е т п р а в о (но не обязанность) в те>
чение срока, оговоренного в условиях опциона, либо купить оп>
ределенный актив по фиксированной цене, определяемой в мо>
мент заключения договора и называемой терминальной стои
мостью опциона (такой опцион называется опционом покупа
теля), либо продать актив по терминальной стоимости (такой
опцион называется опционом продавца). По срокам исполнения
опционы делятся на европейские и американские. Американ
ский опцион может быть предъявлен к исполнению в любое
время до истечения срока опциона, европейский опцион может
быть использован только в день истечения его срока.
Основным отличием фьючерсов и опционов является то, что
первый представляет собой о б я з а т е л ь с т в о покупки или
продажи актива по фиксированной цене, а второй — п р а в о.
Широко распространены и другие производные финансо>
вые инструменты, в частности, инструменты, производные от
производных, например, опцион на фьючерс.
Важно уметь рассчитывать стоимости производных финан>
совых инструментов, для чего создаются соответствующие ма>
тематические модели этих инструментов. Как мы видели в пре>
дыдущем пункте, рассчитать стоимость форвардного (или
фьючерсного) контракта достаточно просто.
С опционами дело обстоит несколько сложнее. Несмотря на
то, что такие финансовые инструменты известны достаточно
55
давно, организованная торговля ими началась только в 1973 г.,
когда в работах Ф. Блэка и М. Шоулза [4] и С. Мертона [29] была
впервые построена работоспособная математическая теория
ценообразования опционов.
Рассмотрим вначале ценообразование опционов в рамках
биномиальной модели Кокса — Росса — Рубинштейна.
Рациональной считается такая стоимость финансового ин>
струмента, которая исключает возможность арбитража без
риска; иными словами, доходность безрискового финансового
инструмента, имеющего рациональную стоимость, должна сов>
падать с доходностью банковского счета.
Найдем рациональную стоимость T стандартного евро>
пейского опциона покупателя. Очевидно, рациональная стои>
мость опциона в момент его исполнения совпадает с прибылью,
которую можно получить, исполнив опцион. Данный опцион
имеет смысл и с п о л н я т ь, т. е. пользоваться заложенным в
нем правом покупки акции по цене X, лишь в том случае, когда
рыночная цена Sn этой акции к моменту окончания срока дейст>
вия опциона, т. е. к концу последнего периода, будет больше X .
Если рыночная цена акции Sn окажется больше X, держатель
опциона, исполнив его, получит доход (Sn – X). Если же рыноч>
ная цена акции Sn окажется меньше X, держатель опциона про>
сто не будет его исполнять и получит нулевой доход. Таким об>
разом, если цена акции в момент исполнения опциона известна
и равна Sn, то доход от исполнения такого опциона составит
C(n) = max{Sn – X; 0}. Поскольку цена акции Sn является случай>
ной величиной, определяемой рядом распределения (3.1.7), до>
ход от исполнения опциона покупателя также является слу>
чайной величиной, которая принимает значения
ck = max{S0ukdn – k – X; 0}
(k = 0, 1, 2, … , n)
с вероятностями
Pn (k) = Ckn p(kn) (1 - p(n) )n -k .
Оценка опциона происходит перед началом первого перио>
да, поэтому для получения его рациональной стоимости T
достаточно дисконтировать ожидаемый доход от исполнения
опциона на срок его действия:
56
n
 max{S u d
k
T
=
M
(n )
T
(1 + i)
=
k =0
0
n -k
- X; 0}Ckn p(kn) (1 - p(n) )n-k
(1 + i)T
. (3.2.1)
Таким образом, рациональная стоимость T европейского
опциона покупателя со сроком погашения T (в годах) и ценой
исполнения X, выписанного на акцию с текущей ценой S0, опи>
сывается формулой (3.2.1), в которой i — банковская (годовая)
процентная ставка, срок действия опциона делится на n перио>
дов (в каждый из периодов цена акции, на которую выписан оп>
цион, может повыситься в u или в d раз), p(n) — вероятность,
нейтральная к риску, определяемая формулой (3.1.6).
П РИМЕР 3.2.2. Чему равна рациональная стоимость опциона
покупателя с терминальной стоимостью X = 40 руб. и сроком ис>
полнения 1 год, выписанного на акцию из условия примера 3.1.2.
Решение. Ряд распределения дохода от исполнения опциона при рас>
четах по четырехпериодной биномиальной модели имеет следующий вид:
(4)
p
0
2,737 12,182
.
0,027 + 0,158 + 0,348 = 0,533 0,341 0,126
Ожидаемый доход от исполнения опциона покупателя, равный ма>
тематическому ожиданию случайной величины C(4), составляет
4
M
(4)
k
= Â max{S0 uk d 4-k - X; 0}Ck4 p(4)
(1 - p(4) )4-k =
k =0
= 0 ◊ 0,027 + 0 ◊ 0,158 + 2,737 ◊ 0,341 ◊ 12,182 ◊ 0,126 = 2,468.
M (4) 2,468
=
ª 2,24 руб., т. е рацио>
Окончательно получаем
T =
1+ i
1 + 0,1
нальная стоимость такого опциона равна 2 руб. 24 коп. (что существенно
меньше текущей цены акции и цены исполнения опциона!). ‰
Пусть одновременно заключаются два опционных контрак>
та (опцион покупателя и опцион продавца) с одной и той же це>
ной исполнения X и одним и тем же сроком исполнения T на од>
ну и ту же акцию, стоимость которой в начальный момент равна
S0, банковская (годовая) процентная ставка равна i и пусть CT и
PT — рациональные стоимости этих опционов.
Рациональность стоимости означает, что из инструментов с
такой стоимостью невозможно создать безрисковый портфель,
доходность которого превысит безрисковую доходность. Если
PT – CT + S0 > X/(1 + i)T, то для получения безрисковой прибыли
можно использовать следующую торговую стратегию: одно>
57
временно продать акцию, продать опцион продавца на нее и ку>
пить опцион покупателя. Тогда в начальный момент времени
будет получена сумма PT – CT + S0, а в момент исполнения оп>
ционов необходимо будет выплатить сумму X, текущая стои>
мость которой составляет X/(1 + i)T. Таким образом, будет по>
лучен выигрыш по сравнению с безрисковыми вложениями в
банковский счет, что противоречит предположению о рацио>
нальности стоимости опционов. Аналогично, если PT – CT + S0
будет меньше, чем X/(1 + i)T, то для получения безрисковой
прибыли можно использовать следующую торговую стратегию:
купить акцию, купить опцион продавца на нее и продать опцион
покупателя. Тогда в начальный момент времени будет выпла>
чена сумма PT – CT + S0, а в момент исполнения опционов — по>
лучена сумма X, текущая стоимость которой составляет
X/(1 + i)T, т. е. данная стратегия принесет выигрыш по сравне>
нию с безрисковыми вложениями в банковский счет, что проти>
воречит предположению о рациональной стоимости опционов.
Полученные противоречия показывают, что для рациональной
стоимости T опциона покупателя и рациональной стоимости
PT опциона продавца справедлива теорема о паритете:
PT - CT + S0 =
X
.
(1 + i)T
Отметим, что данное соотношение паритета справедливо
т о л ь к о д л я е в р о п е й с к и х о п ц и о н о в.
Теперь легко вывести формулу для оценки опциона про>
давца: рациональная стоимость P T европейского опциона про>
давца определяется формулой
n
PT =
X + Â max{S0 uk d n -k - X; 0}Ckn p(kn) (1 - p(n) )n -k
k =0
(1 + i)T
- S0 .
В 1973 г. Ф. Блэк и М. Шоулз в работе [4] и Р. Мертон в рабо>
те [29] получили следующую формулу для оценки рациональ>
ной стоимости опциона покупателя:
T
= S0 F(y+ ) - X F(y- )e -dT ,
(3.2.2)
где
Ê
1 Ê S0
s2 ˆ ˆ
y± =
Á ln + T ËÁ r ± ¯˜ ¯˜ ,
2
s TË X
58
(3.2.3)
s — изменчивость доходности акций, d — интенсивность без>
рисковых процентов,
x
2
z
1
F(x) =
e 2 dz —
Ú
2p -•
функция нормального распределения.
Доказательство этой формулы довольно сложное, его можно
найти, например, в книге [36]. Обсудим с о д е р ж а т е л ь н ы й
с м ы с л формулы Блэка — Шоулза (3.2.2). Первое слагаемое
S0F(y+) есть не что иное, как текущая стоимость ожидаемого
дохода от исполнения опциона. Второе слагаемое [–XF(y–)e–dT]
представляет собой произведение цены исполнения опциона на
вероятность того, что он окажется выигрышным, дисконтиро>
ванное по безрисковому проценту к текущему моменту, т. е. не
что иное, как текущую стоимость ожидаемых расходов при ис>
полнении опциона. Таким образом, рациональная стоимость оп>
циона есть разница между текущим ожидаемым доходом от ис>
полнения опциона и текущими ожидаемыми расходами.
Важно отметить, что в формулу для оценки опционов не
входит ожидаемая доходность акции r; рациональная стоимость
опциона зависит лишь от стоимости акции в данный момент,
времени, оставшегося до исполнения опциона, цены исполнения
опциона, изменчивости доходности акции и безрисковой про>
центной ставки.
Т е о р е м а о п а р и т е т е о п ц и о н о в покупателя и про>
давца в модели Блэка — Шоулза принимает вид
PT – CT + S0 = Xe–dT,
а аналог формулы для е в р о п е й с к и х о п ц и о н о в п р о >
д а в ц а записывается так:
P T = X F(- y- )e -dT - S0 F(- y+ ) ,
(3.2.4)
где y+ и y– определяются соотношением (3.2.3).
Формула (3.2.1) при u = es T / n , d = 1/u и n Æ • переходит в
формулу Блэка — Шоулза — это и дает ответ на вопрос, кото>
рый уже, наверное, задал себе любознательный читатель: от>
куда берутся u и d в биномиальной модели стоимости акции?
Теория оценки производных инструментов имеет широкие
приложения, выходящие далеко за пределы рынка ценных бу>
59
маг. Банки и инвестиционные компании, разрабатывающие но>
вые производные инструменты, в том числе по заказу клиентов,
используют описанную методику для оценки рациональной
стоимости этих инструментов. Аналогичные методы могут быть
использованы для оценки страховых контрактов и гарантий,
так как они являются своего рода производными инструмента>
ми, предоставляя своим держателям право, но не обязательство
их использования.
Эти методы могут быть использованы и при оценке эффек>
тивности реальных инвестиций (см. § 4.1).
Метод, предложенный Ф. Блэком, М. Шоулзом и С. Мер–
тоном, причисляют к самым крупным достижениям экономиче>
ской теории XX в. Его авторы М. Шоулз и Р. Мертон были удо>
стоены Нобелевской премии в области экономики за 1997 г.
(Ф. Блэк умер в 1995 г.).
§ 3.3. ПОРТФЕЛЬ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ
3.3.1. О п т и м и з а ц и я п о р т ф е л я
финансовых инструментов
Рассмотрим ситуацию, когда в некоторый момент времени t
инвестор может часть своих средств оставить на банковском
счете, а другую часть потратить на приобретение ценных бумаг.
Портфелем финансовых инструментов на (B, S)>рынке назо>
вем вектор
p = (x0 , x1 , x2 ,…, xn ) ,
(3.3.1)
где x0 Œ R — доля капитала инвестора, вложенная в безриско>
вый актив (банковский счет или облигацию), xk Œ R — доля ка>
питала инвестора, вложенная в акцию с номером k
(k = 1, 2, … , n), при этом, очевидно,
n
x0 + Â xk = 1 .
k =1
Числа xk могут быть как положительными, так и отрица>
тельными, в последнем случае инвестор берет средства в долг с
банковского счета либо совершает короткую продажу акций
(конечно, эти числа могут быть и нулевыми).
Э ф ф е к т и в н о с т ь портфеля финансовых инструментов
p вычисляется, очевидно, как
n
Ep = x0 i + Â xk Ek ,
k =1
60
где i — эффективность банковского счета (процентная ставка),
Ek — эффективность k>й акции (ее доходность).
Ожидаемой эффективностью портфеля финансовых ин>
струментов называется математическое ожидание его эффек>
тивности, а риском портфеля — среднее квадратичное откло>
нение его эффективности.
Возникает з а д а ч а о п т и м и з а ц и и п о р т ф е л я с це>
лью получения максимальной эффективности при минималь>
ном риске. К сожалению, одновременно этого достичь невоз>
можно, поэтому инвестор, оптимизирующий свой портфель,
должен выбрать один из критериев:
• либо м и н и м и з и р о в а т ь р и с к s p = DEp при за>
данном уровне эффективности портфеля,
• либо м а к с и м и з и р о в а т ь о ж и д а е м у ю э ф ф е к >
т и в н о с т ь MEp при заданном уровне риска портфеля.
В общем случае математическая формулировка задачи
м и н и м и з а ц и и р и с к а портфеля ценных бумаг при задан>
ной допустимой ожидаемой эффективности rp выглядит так:
n
Ê
ˆ
D Á x0 i + Â xk Ek ˜ Æ min ,
Ë
¯
k =1
(3.3.2)
n
Ê
ˆ
M Á x0 i + Â xk Ek ˜ = rp ,
Ë
¯
k =1
n
x0 + Â xk = 1,
k =1
xk Œ R (k = 0,1, 2, … , n).
Воспользовавшись тем, что квадратный корень — возрас>
тающая функция, и применив свойства математического ожи>
дания и дисперсии, эту модель можно переписать в виде
n
n
ÂÂ s
kl
xk xl Æ min ,
(3.3.3)
k =1 l =1
n
ix0 + Â rk xk = rp ,
k =1
n
x0 + Â xk = 1,
xk Œ R (k = 0,1, 2, … , n),
k =1
где rk = MEk — ожидаемая эффективность k>й акции
(k = 0, 1, 2, … , n), skl = cov(Ek; El) — ковариация эффективностей
k>й акции и l>й (k = 0, 1, 2, … , n, l = 0, 1, 2, … , n); очевидно, что
s kk = DEk = s k2 .
61
Отметим, что любой портфель p (3.3.1) можно представить в
виде
p = x0e + (1 - x0 )y ,
(3.3.4)
где
e = (1, 0, 0, …, 0) —
безрисковый портфель, совпадающий с банковским счетом,
x ˆ
x1
x
Ê
y = Á 0,
, 2 ,… , n ˜ —
1 - x0 ¯
Ë 1 - x0 1 - x0
чисто рисковый портфель, не содержащий безрисковых вло>
жений.
Рассмотрим вначале чисто рисковый портфель
y = (0, x1 , x2 ) ,
состоящий из двух акций с ожидаемыми эффективностями
r1 = ME1 и r2 = ME2, рисками s1 и s2 и ковариацией s12 = cov(E1; E2).
Поскольку x1 + x2 = 1, то можно ввести обозначение x = x1,
при этом x2 = 1 – x1 = 1 – x, и тогда эффективность такого
портфеля можно выразить как
Ey = x1E1 + x2E2 = xE1 + (1 - x)E2 ,
ее математическое ожидание
MEy = M(x1E1 + x2E2 ) = xME1 + (1 - x)ME2 = r1x + r2 (1 - x) ,
дисперсия
DEy = D(x1E1 + x2E2 ) = x12DE1 + x22DE2 + 2x1x2 cov(E1 ; E2 ) =
(3.3.5)
= x2s12 + (1 - x)2 s 22 + 2x(1 - x)s12 ,
а задача (3.3.3) для этого портфеля будет иметь вид
x2s12 + (1 - x)2 s 22 + 2x(1 - x)s12 Æ min ,
r1x + r2 (1 - x) = rp , x ΠR.
Уравнение r1x + r2 (1 - x) = rp говорит о том, что каждой вы>
бранной инвестором ожидаемой эффективности портфеля rp
будет соответствовать ровно одно значение переменной x:
x=
а значит, ровно один портфель
62
rp - r2
,
r1 - r2
r -r ˆ Ê r -r r -r ˆ
Ê r -r
y = Á 0, p 2 ,1 - p 2 ˜ = Á 0, p 2 , p 1 ˜ ,
r1 - r2 ¯ Ë r1 - r2 r2 - r1 ¯
Ë r1 - r2
(3.3.6)
при этом дисперсия эффективности этого портфеля будет за>
висеть от его ожидаемой эффективности по формуле
DEy = x2s12 + (1 - x)2 s 22 + 2x(1 - x)s12 =
(3.3.7)
s (r - r )(r - r )
Êr -r ˆ
Êr -r ˆ
= Á p 2 ˜ s12 + Á p 1 ˜ s 22 - 2 12 p 1 2p 2 =
(r1 - r2 )
Ë r1 - r2 ¯
Ë r2 - r1 ¯
2
2
2
2
(rp - r2 )s1 ) + ((rp - r1 )s 2 ) - 2s12 (rp - r1 )(rp - r2 )
(
=
.
(r1 - r2 )2
Рассмотрим два частных случая.
Пусть вначале акции а б с о л ю т н о к о р р е л и р о в а н ы,
т. е. r(E1; E2) = ±1, откуда с учетом определения коэффициента
cov(E1 ; E2 )
корреляции r(E1 ; E2 ) =
получаем, что s12 = cov(E1; E2) =
s1s 2
= ±s1s2.
В этом случае по формуле (3.3.7)
DEy
2
2
(rp - r2 )s1 ) + ((rp - r1 )s 2 ) ∓ 2((rp - r2 )s1 )((rp - r1 )s 2 )
(
=
=
(r1 - r2 )2
2
(rp - r2 )s1 ∓ (rp - r1 )s 2 )
(
=
(r1 - r2 )2
(график зависимости DEy от rp при r12 = ±1 и различных соот>
ношениях между r1, r2, s1 и s2 представлен на рис. 3.3.1, а ~ г), по>
этому инвестор можно выбрать ожидаемую эффективность
портфеля rp так, чтобы числитель в последнем выражении об>
ратился в нуль, т. е.
(rp - r2 )s1 ∓ (rp - r1 )s 2 = 0
или
rp* =
r2s1 ∓ r1s 2
,
s1 ∓ s 2
при этом дисперсия портфеля (а значит, и его риск) обратится
в нуль!
63
DEy
s 22
s12
rp
rp*
0
r1
r2
а) r12 = 1, r1 < r2, s1 < s2, r2 / r1 < s2 / s1
DEy
s
2
2
s12
~
rp
rp*
0
r1
r2
б) r12 = 1, r1 < r2, s1 < s2, r2 / r1 > s2 / s1
DEy
s12
s22
~
rp
0
r1
rp*
r2
в) r12 = 1, r1 < r2, s1 > s2
DEy
s
2
1
s22
~
rp
0
rp*
r1
r2
г) r12 = –1
DEy
s 22
s12
s2y*
0
~
rp
r1
rp*
r2
д) r12 π ±1
Рис. 3.3.1. Зависимость дисперсии портфеля от его ожидаемой эффективности
64
В соответствии с (3.3.8) такой портфель нулевого риска бу>
дет задан вектором
r s ∓ rs
Ê r2s1 ∓ r1s 2
ˆ
- r2 2 1 1 2 - r1
Á
˜ Ê
s1 ∓ s 2
s1 ∓ s 2
s2
s1 ˆ
y * = Á 0,
,
,
.
˜ = Á 0,
r1 - r2
r2 - r1
Ë
¯ Ë s 2 ∓ s1 s1 ∓ s 2 ¯˜
Отметим, что выбор портфеля нулевого риска не всегда бы>
вает оправдан. Действительно, если r12 = 1, r1 < r2, s1 < s2,
r2 / r1 < s2 / s1, то несмотря на нулевой риск, такой портфель
имеет эффективность ниже, чем каждая из ожидаемых эффек>
тивностей акций r1 и r2 (см. рис. 3.3.1, а), а в случае, когда r12 = 1,
r1 < r2, s1 < s2, r2 / r1 > s2 / s1, портфель нулевого риска будет во>
обще иметь отрицательную эффективность (см. рис. 3.3.1, б) —
составив такой портфель, мы гарантированно окажемся в
убытке!
Пусть теперь акции а б с о л ю т н о н е к о р р е л и р о в а н ы,
т. е. r(E1; E2) = 0, откуда s12 = 0.
В этом случае дисперсия портфеля по формуле (3.3.5) равна
DEy = x2s12 + (1 - x)2 s 22 + 2x(1 - x)s12 =
(3.3.8)
= x2s12 + (1 - x)2 s 22 = (s12 + s 22 )x2 - 2xs 22 + s 22 .
Формула (3.3.8) задает квадратичную функцию от x, гра>
фик которой представляет собой параболу с ветвями, направ>
ленными вверх, и вершиной в точке минимума
Ê *
s 22
s12s 22 ˆ
ÁË x = s 2 + s 2 ; DEy* = s 2 + s 2 ˜¯ .
1
2
1
2
*
Такой портфель y , обеспечивающий минимальный риск
s y* =
s1s 2
s +s
2
1
2
2
< min{s1 ; s 2 } ,
задается вектором
Ê
s 22
s12 ˆ
y = Á 0, 2
,
,
Ë s1 + s 22 s12 + s 22 ¯˜
*
а его эффективность равна
r1s 22 + r2s12
Œ[min{r1 ; r2 }; max{r1 ; r2 }] .
E =
s12 + s 22
*
p
65
График зависимости DEy от rp при r12 = 0 представлен на
рис. 3.3.1, д.
В общем случае зависимость дисперсии портфеля от его
ожидаемой эффективности описывается формулой (3.3.7), гра>
фик такой зависимости при произвольном r(E1; E2) π ±1 пред>
ставляет собой параболу, как и на рис. 3.3.1, д.
Теперь учтем возможность безрисковых вложений и заим>
ствований.
Вспомним, что согласно формуле (3.3.4) любой портфель p
может быть представлен в виде
p = x0e + (1 - x0 )y ,
где y — некоторый чисто рисковый портфель.
При этом
MEp = M(x0 E0 + (1 - x0 )Ey ) = x0ME0 + (1 - x0 )MEy = ix0 + MEy (1 - x0 ) ,
и если задано требуемое значение ожидаемой эффективности
портфеля rp = MEp , то
x0 =
MEy - rp
MEy - i
, 1 - x0 =
rp - i
,
MEy - i
поэтому
Ê r -i ˆ
DEp = D(x0 E0 + (1 - x0 )Ey ) = (1 - x0 ) DEy = Á p
DEy .
˜
M
E
i
Ë
¯
y
2
2
откуда
s p = 1 - x0 s y =
rp - i
sy .
MEy - i
Зависимость sp от rp при различных значениях r12 будет
изменяться от прямой, проходящей через точки (r1; s1) и (r2; s2)
[при r(E1; E2) = 1] до ломаной, проходящей через точки (r1; s1),
( Ep* ; 0) и (r2; s2) [при r(E1; E2) = –1]; в общем случае [при произ>
вольном r(E1; E2) π ±1] такой график представляет собой гипер>
болу (рис. 3.3.2, а).
На рис. 3.3.2, б заштрихованы все возможные варианты риско>
вых портфелей, составленных из двух акций. На том же графике
отметим точку (i; 0), соответствующую безрисковому портфелю
e = (1, 0, 0).
66
sp
s2
r=1
r π ±1
s1
r = –1
0
rp*
r1
r
r2
а) зависимость риска от ожидаемой эффективности при различных r
sp
C(pM)
A(p0)
rp
B(e)
0
i
rM*
б) множество портфелей с безрисковой составляющей
Рис. 3.3.2. Определение рыночного портфеля
Будем теперь составлять портфель p = x0e + (1 - x0 )y , обес>
печивающий данный уровень эффективности rp .
Его р и с к о в у ю с о с т а в л я ю щ у ю мы можем выбрать
произвольно из заштрихованной области, а б е з р и с к о в а я
с о с т а в л я ю щ а я портфеля фиксирована: это портфель e,
соответствующий точке (i; 0).
При произвольном выборе рисковой составляющей y порт>
фель p = x0e + (1 - x0 )y будет представлять собой в ы п у к л у ю
к о м б и н а ц и ю точки e и точки y, т. е. будет лежать на пря>
мой, соединяющей эти точки. Множество всех таких прямых
соответствует области внутри угла ABC на рис. 3.3.2, б (так как
эффективность
x0 i + (1 - x0 )MEy = x0 me + (1 - x0 )my
портфеля p будет представлять собой выпуклую комбинацию
эффективностей портфелей e и y, а риск
s p = 1 - x0 s y = x0 ◊ 0 + (1 - x0 )s y = x0 s e + (1 - x0 )s y
67
портфеля p будет равен абсолютному значению выпуклой ком>
бинации рисков портфелей e и y). Правая граница этого множест>
ва (выделенная на рис. 3.3.2, б жирной линией и соответствующая
портфелям, оптимальным по Парето) проходит, очевидно, через
точку B(e) и касается заштрихованной области в некоторой точке
C(pM). Портфель y = pM, соответствующий точке касания, называ>
ется рыночным (или касательным) портфелем.
Выбирать портфель p мы будем, конечно же, из множества
портфелей, оптимальных по Парето (т. е. как выпуклую комби>
нацию p = x0e + (1 - x0 )p M безрискового актива и рыночного
портфеля); этому множеству соответствует жирная линия BC
на рис. 3.3.2, б, которая называется линией рынка капитала
(Capital Market Line). Каждому заданному значению rp i бу>
дет соответствовать свой о п т и м а л ь н ы й п о р т ф е л ь p, со>
ответствующий минимальному значению риска sp, которого мож>
но достичь с использованием безрисковых вложений и заимство>
ваний. Видно, что при всех rp π rp* риск оказывается ниже, чем у
чисто рискового портфеля y с той же ожидаемой эффективно>
стью (при rp = rp* портфель p будет целиком состоять из акций,
просто совпадая с чисто рисковым портфелем y).
В общем случае (при произвольном количестве акций в
портфеле) аналитическое решение задачи (3.3.2) описывается
формулами
n
rp - i
*
-1
*
x =
S (r - i), x0 = 1 - Â xk* ,
(3.3.9)
T -1
(r - i) S (r - i)
k =1
где
Ê x1* ˆ
Ê r1 ˆ
Ê iˆ
Ê s11 s12
Á x* ˜
Á r2 ˜
Á i˜
Á s 21 s 22
*
x = Á 2 ˜, r = Á ˜, i = Á ˜, S = Á
Á ˜
Á ˜
Á ˜
Á
Á x* ˜
Á
˜
Á
˜
ÁË s
s n2
Ë rn ¯
Ë i¯
Ë n¯
n1
s1n ˆ
s 2n ˜
˜,
˜
s nn ˜¯
а риск такого оптимального портфеля подчиняется формуле
s p* =
rp - i
(r - i)T S -1 (r - i)
,
(3.3.10)
из которой видно, что зависимость риска оптимального портфе>
ля s p* от эффективности этого портфеля rp является линейной.
Доказательство формул (3.3.9) ~ (3.3.10) довольно громозд>
кое, его можно найти, например, в книге [36], но в практической
68
работе гораздо проще воспользоваться инструментом «Поиск
решения» пакета Microsoft Excel.
П РИМЕР 3.3.1. С каким наименьшим риском можно дос>
тичь 20%>ной эффективности инвестиций, если есть возмож>
ность банковских вложений и заимствований по ставке i = 10%
годовых, а на рынке ценных бумаг обращаются две акции, их
ожидаемые эффективности равны соответственно r1 = 16% и
r2 = 23%, риски s1 = 5%, s2 = 14%, а коэффициент корреляции
доходностей данных акций равен r12 = 0,36?
Решение. Введем данные в рабочий лист Microsoft Excel, как показано
на рис. 3.3.3, а. Пусть ячейки B9 и B10 соответствуют долям рисковых
вложений x1 и x2, в ячейку B8, соответствующую доле безрисковых вло>
жений x0, введем формулу, соответствующую разности всех вложений
(единицы) и вложений в акции x1 и x2, в ячейку B12 введем формулу для
ожидаемой эффективности портфеля MEp, а в ячейку B13 введем форму>
лу для дисперсии эффективности портфеля DEp; учтем здесь, что s12 =
= r12s1s2 (эти формулы приводятся справа от соответствующих ячеек).
Воспользуемся инструментом «Поиск решения». Для этого выберем в
меню «Сервис» пункт «Сервис | Поиск решения…», и в появившемся окне
(рис. 3.3.3, б) укажем, что мы хотим установить целевую ячейку $B$14 (в
которой рассчитывается дисперсия портфеля) равной минимальному
значению, изменяя ячейки $B$10:$B$11 (в которых находятся доли рис>
ковых составляющих портфеля), причем в задаче присутствует ограни>
чение $B$13 = $B$7. После нажатия на кнопку «Выполнить» в рабочем лис>
те произойдут изменения: в ячейках B9, B10 и B11 появятся значения
x0* = -0,3908, x1* = 1,1543, x2* = 0,2365 , в ячейке B13 будет рассчитана ожи>
даемая эффективность портфеля (она равна требуемой эффективности
rp = 0,20 , а в ячейке B14 появится рассчитанное значение дисперсии эф>
фективности портфеля DEp= 0,0058. При этом риск портфеля равен
s p = 0,0058 ª 0,076 = 7,6% . Интерпретация оптимального решения x0* =
= -0,3908, x1* = 1,1543, x2* = 0,2365 такова: необходимо 23,65% потратить на
приобретение акций второго вида, взять банковский кредит в размере
39,08% от общей суммы собственных средств, после чего все оставшиеся
после покупки акций второго вида собственные средства вместе со сред>
ствами, полученными в кредит, вложить в покупку акций первого вида.
Результаты работы программы представлены на рис. 3.3.3, в.
М н о ж и т е л ь Л а г р а н ж а, который приводится в «Отчете по ус!
тойчивости», равен l = 0,116; это означает, что увеличение эффективно>
сти rp заданного портфеля на 1% приведет к тому, что риск оптимального
портфеля, обладающего такой эффективностью, увеличится приблизи>
тельно на 0,1161 ª 0,341% . ‰
69
A
B
С
1
2
3
4
i=
r1 =
r2 =
s1 =
0,10
0,16
0,23
5
s2 =
0,14
6
r12 =
0,36
7
8
9
10
11
12
13
rp =
0,20
x0 =
x1 =
x2 =
1,00 =1!B10!B11
MEp=
14
DEp=
0,05
0,10 =B9*B1+B10*B2+B11*B3
0,00 =B10^2*B4^2+B11^2*B5^2+2*B10*B11*B6*B4*B5
а) ввод исходных данных
б) окно «Поиск решения»
A
B
С
1
2
3
4
i=
r1 =
r2 =
s1 =
0,10
0,16
0,23
5
s2 =
0,14
6
r12 =
0,36
7
8
9
10
11
12
13
rp =
0,20
MEp=
14
DEp=
x0 =
x1 =
x2 =
0,05
–0,3908 =1!B10!B11
1,1543
0,2365
0,2000 =B9*B1+B10*B2+B11*B3
0,0058 =B10^2*B4^2+B11^2*B5^2+2*B10*B11*B6*B4*B5
в) результаты
Рис. 3.3.3. Расчеты в примере 3.3.1
70
Можно поставить и другую задачу — задачу м а к с и м и >
з а ц и и о ж и д а е м о й э ф ф е к т и в н о с т и портфеля при
заданном максимальном допустимом риске s p :
n
Ê
ˆ
M Á x0 i + Â xk Ek ˜ Æ min ,
Ë
¯
k =1
(3.3.11)
n
Ê
ˆ
D Á x0 i + Â xk Ek ˜ = s p ,
Ë
¯
k =1
n
x0 + Â xk = 1,
k =1
xk Œ R (k = 0,1, 2, … , n).
Задачи (3.3.2) и (3.3.11) были поставлены и успешно решены
Г. Марковицем [24] в 1952 г. для частного случая отсутствия без>
рискового актива (x0 = 0) и обобщены Дж. Тобином [38],
У. Шарпом [43], Дж. Линтнером [22] и др. Дж. Тобин стал лауреа>
том Нобелевской премии в области экономики в 1981 г., Г. Марко>
виц и У. Шарп стали Нобелевскими лауреатами в 1990 г.
Осталось отметить, что реальные инвесторы, обладая ин>
формацией об оптимальных портфелях, как правило, прини>
мают решения о составлении портфелей акций, исходя из соб>
ственной интуиции; решения эти в большинстве случаев прино>
сят больше дохода, чем если бы инвесторы строили оптималь>
ные портфели по схеме, рассмотренной в этом параграфе.
3.3.2. М о д е л ь о ц е н к и о с н о в н ы х а к т и в о в
Для построении оптимального портфеля необходимо знание
математических ожиданий и взаимных ковариаций эффектив>
ностей акций. Для этого, казалось бы, можно воспользоваться
прямым статистическим подходом: поскольку данные о коти>
ровках акций на торговых площадках доступны в сети Интер>
нет, можно в качестве оценок математических ожиданий MEk,
волатильностей sk и ковариаций cov (Ek; Ej)взять их выборочные
аналоги — соответственно
T
ek =
Âe
kt
t =1
T
T
,ˆ
sk =
 (e
- ek )
T
2
kt
t =1
T
, cov(Ek ; Ej ) =
 (e
kt
- e )(e jt - e )
t =1
T
,
где ekt — эффективность акции с номером k в день с номером t.
Но не так все просто!
71
Если даже считать, что на рынке обращается 500 акций
(ровно столько акций представлено в популярном фондовом ин>
дексе Standard & Poor’s 500 — см. далее; на самом деле, акций
на рынке обращается больше), то если взять данные за месяц
(22 рабочих дня, по одной котировке в день), то получится
220 ◊ 500 = 11 000 чисел, а оценить нужно 500 средних ek , 500 во>
латильностей ˆ
s k и 124750 ковариаций cov(Ek ; Ej ) — точность
полученных таким способом оценок будет весьма низкой. Если
брать более длительные промежутки времени, то точность оце>
нок все равно будет невысокой в силу того, что рыночная конъ>
юнктура меняется очень быстро, иногда за неделю происходят
весьма и весьма значительные изменения! Что же делать?
Выход довольно прост: рассматривать зависимость эффек>
тивностей акций от каких>либо в е д у щ и х ф а к т о р о в, объ>
ективно характеризующих ф и н а н с о в ы й р ы н о к в ц е >
л о м. В качестве такого ведущего фактора можно взять, напри>
мер, цены на энергоносители; все компании пользуются энерги>
ей — и в технологических процессах, и в процессе перевозок,
поэтому эффективность работы компаний напрямую зависит от
изменений цен на энергоносители.
Рассмотрим зависимость эффективности акции E от неко>
торого ф а к т о р а F; в простейшем случае такую зависимость
можно представить в виде модели л и н е й н о й р е г р е с с и и
Ek = ak + bkF + ek,
(3.3.12)
где k — номер акции, ak и bk — некоторые постоянные, а
ek ~ N(0; sek) — случайный эффект влияния на доходность Ek не>
контролируемых факторов.
Коэффициент bk имеет смысл чувствительности доходности
Ek данной акции к изменениям рыночного фактора F.
В качестве F часто выбирают какой>либо фондовый ин
декс — среднее взвешенное курсов акций важнейших эмитен>
тов рынка акций; чаще всего используются следующие фондо>
вые индексы:
• индекс Доу — Джонса — первый в мире фондовый индекс,
предложенный в 1884 г. журналистом Ч. Доу и его партнером по
выпуску газеты Wall Street Journal Э. Джонсом; в настоящее время
рассчитываются индексы Доу — Джонса для различных групп
компаний, например, индекс Dow Jones Industrial рассчитывается
72
по 30 крупнейшим промышленным корпорациям США
(http://indexes.dowjones.com/);
• индекс Standard & Poor’s 500 — взвешенный по рыночной
стоимости индекс 500 акций крупнейших американских компаний,
из которых 400 относятся к промышленности, 40 — к энергетике,
40 — к сфере финансов, а оставшиеся 20 — к транспорту
(http://www.standardandpoors.com/);
• индекс обыкновенных акций Financial Times — самый пер>
вый фондовый индекс в Европе, появившийся на страницах газеты
Financial Times в 1935 г.; рассчитывается как средняя геометриче>
ская котировок акций 100 ведущих британских компаний
(http://www.ftse.com/);
• индекс РТС; рассчитывается по данным 62 акций (в кон>
це 2003 г.), обращающихся в Российской торговой системе
(http://www.rts.ru/);
• индекс S&P/RUX; рассчитывается по данным 46 акций
(в конце 2003 г.), обращающихся в Российской торговой системе
(http://www.rts.ru/);
• индекс AK&M; рассчитывается по данным 36 (в конце
2003 г.)
ведущих
российских
эмитентов
акций
(http://www.akm.ru/).
Если в модели (3.3.12), в которой в качестве F выбран некото>
рый фондовый индекс, равный усредненной доходности различ>
ных акций, обращающихся на рынке, и оценка значения b ока>
зывается больше единицы, это означает, что данная акция явля>
ется агрессивной, т. е. ее доходность растет в среднем быстрее,
чем доходность по рынку в целом; если оценка b оказывается
меньше единицы, это означает, что данная акция является обо
ронительной, ее доходность растет в среднем медленнее, чем
доходность по рынку; для некоторых ценных бумаг оценка ко>
эффициента b близка к нулю, это значит, что ожидаемая доход>
ность данной бумаги не зависит (или почти не зависит) от пове>
дения рынка. Возможны случаи положительных и отрицатель>
ных коэффициентов b, в этих случаях доходность данной акции
изменяется соответственно в том же направлении, что и доход>
ность по рынку в целом или в противоположном направлении.
Если в модели (3.3.12) в качестве F выбрать
F = rM – i,
73
где rM — доходность касательного портфеля pM, i — процентная
ставка безрисковых вложений и заимствований, то получим
следующую регрессионную модель:
Ek = ak + bk(rM – i) + ek.
Рассмотрим портфель p, в который входит k>я акция с до>
лей xk и рыночный портфель pM с долей (1 – xk); его доходность
будет равна
Ep = xkEk + (1 – xk)rM,
дисперсия доходности
DEp = xk2 s 2k + (1 - xk )2 s 2M + 2xk (1 - xk )s k, M ,
среднее квадратичное отклонение (риск)
s p = xk2 s 2k + (1 - xk )2 s 2M + 2xk (1 - xk )s k, M .
(3.3.13)
Производная
dEp
= Ek - rM ,
dxk
из равенства (3.3.13) получаем, что
xk2 s 2k - s 2M + s k, M - 2xk s k, M
ds p
,
=
2 2
2 2
dxk
xk s k + (1 - xk ) s M + 2xk (1 - xk )s k, M
поэтому
2 2
2 2
dEp (Ek - rM ) xk s k + (1 - xk ) s M + 2xk (1 - xk )s k, M
.
=
ds p
xk2 s k2 - s 2M + s k, M - 2xk s k, M
Точка касательного портфеля означает, что в k>ю акцию
вложена доля xk = 0, поэтому в этой точке
dEp (Ek - rM )s M
=
.
s k, M - s 2M
ds p
(3.3.14)
Но кривая в этой точке касается прямой, соединяющей точ>
ки e и pM, наклон которой равен
dEp rM - i
=
.
sM
ds p
Приравняв правые части (3.3.14) и (3.3.15), получим:
74
(3.3.15)
(Ek - rM )s M rM - i
=
.
s k, M - s 2M
sM
откуда
(Ek - rM ) =
rM - i
(s k, M - s 2M )
2
sM
или
Ek = i +
s k, M
(rM - i) .
s 2M
Окончательно получаем, что для произвольной акции с но>
мером k
Ek - i = bk, M (rM - i) ,
где bk, M =
s k, M
s 2M
(3.3.16)
, а свободный член равен безрисковой процентной
ставке i.
Модель (3.3.16), описывающая зависимость премии за риск
Ek – i для данной акции с номером k от премии за риск rM – i по
рынку в целом, называется моделью оценки основных активов
(Capital Asset Pricing Model). Она была предложена в 1964 г.
У. Шарпом (Нобелевским лауреатом 1990 г.) в работе [43]. Ли>
ния, которая задается уравнением (3.3.16) называется рыноч
ной линией ценной бумаги (Security Market Line).
Кроме очевидной задачи, отмеченной в начале пункта, есть и
еще одно важное практическое применение модели оценки ос>
новных активов, которое заключается в том, что данная модель
может позволить выявить н е в е р н о о ц е н е н н ы е акции: если
реально наблюдаемая доходность акции выше (или ниже) той, что
определяется моделью оценки основных активов, то такая акция
называется недооцененной (соответственно переоцененной); эта
разница образуется в результате рыночного неравновесия и
должна со временем исчезнуть. Таким образом, представляется
выгодной покупка недооцененных акций в ожидании повышения
их доходности, а также игра на высокодоходных, но переоценен>
ных, акциях (которая, конечно, может быть только краткосроч>
ной).
П РИМЕР 3.3.2. Табл. 3.3.1 содержит данные о значениях до>
ходности некоторой акции E и доходности рыночного портфеля
rM за последние 10 дней.
Таблица 3.3.1
75
Изменения доходностей акции и рыночного портфеля
t
rM, t
Et
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,13 0,15 0,11 0,12 0,14 0,13 0,15 0,13 0,14 0,17
0,16 0,21 0,13 0,14 0,15 0,14 0,24 0,15 0,18 0,23
Какой коэффициент b имеет данная акция, если ставка
банковского процента равна 10% годовых?
Решение. Вначале перейдем от доходностей к премиям за риск:
табл. 3.3.2.
Таблица 3.3.2
Изменения премии за риск для акции и для рыночного портфеля
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t
rM, t – i 0,03 0,05 0,01 0,02 0,04 0,03 0,05 0,03 0,04 0,07
Et – i 0,06 0,11 0,03 0,04 0,05 0,04 0,14 0,05 0,08 0,13
Введем данные табл. 3.3.2. в рабочий лист Microsoft Excel, как показа>
но на рис. 3.3.4, а и воспользуемся программой «Регрессия» инструмента
«Анализ данных». Для этого выберем в меню «Сервис» пункт «Сервис | Ана!
лиз данных…», и из появившегося списка программ анализа данных выбе>
рем программу «Регрессия». В появившемся окне (рис. 3.3.4, б) укажем,
что значения зависимой переменной (премии за риск для данной акции
Y = = E – i) содержатся в интервале $C$1:$C$11(«Входной интервал Y»),
значения независимой переменной (премии за риск для рыночного порт>
феля x = rM – i) содержатся в интервале $B$1:$B$11 («Входной интервал
X»), в первой строке указанных диапазонов находятся наименования пе>
ременных («Метки»), а уравнение регрессии Y = bx + e не содержит сво>
бодного члена («Константа — ноль»). Результаты выведем на новый рабо
чий лист, запросим также построение графика подбора.
Поясним смысл наиболее важных результатов работы программы
(рис. 3.3.4, в).
Регрессионная статистика:
1. Множественный R = 0,88 – такова, судя по наблюдениям, степень
линейной зависимости премии за риск для данной акции Y = E – i от пре>
мии за риск для рыночного портфеля X = rM – i, (множественный R – это
r(X; Y) = 0,88 ).
оценка коэффициента корреляцииˆ
2. R!квадрат = 0,77 – судя по наблюдениям, 77% вариации котиров>
ки акции Y связано с линейным влиянием курса доллара .
Дисперсионный анализ:
1. В п е р в о й таблице приведены результаты, необходимые для
проверки гипотезы H0: b = 0 (неизвестный параметр b линейного уравне>
ния регрессии Y = bx + e равен нулю). Если Значимость F больше требуе>
мого уровня значимости a (как привило, принимают a = 0,05), то гипоте>
зу H0 принимают: линейное уравнение регрессии Y = bx + e лишено
смысла и отвергается; если же Значимость F меньше a, гипотезу H0 отвер>
76
гают: регрессионная модель правомерна. В примере Значимость F соста>
вила 0,0006 — значит, модель правомерна.
2. Во в т о р о й таблице:
а) Y!пересечение = 0 — это оценка свободного члена уравнения регрессии,
б) Коэффициент rM – i = 1,99 – это оценка коэффициента b,
77
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B
rM –
i
0,03
0,05
0,01
0,02
0,04
0,03
0,05
0,03
0,04
0,07
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
E–
i
0,06
0,11
0,03
0,04
0,05
0,04
0,14
0,05
0,08
0,13
б) окно «Регрессия»
а) ввод исходных данных
A
1
2
3
4
5
B
C
D
E
F
G
ВЫВОД ИТОГОВ
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Регрессионная статистика
Множественный R
R!квадрат
Нормированный
R!квадрат
Стандартная ошибка
Наблюдения
0,88
0,77
0,66
0,019
10
Дисперсионный анализ
df
Регрессия
Остаток
Итого
1
9
10
SS
0,0111
0,0032
0,0141
MS
0,0111
0,0004
Коэффициен
Стандарт
tста
ты
ная ошибка тистика
0
#Н/Д
#Н/Д
1,99
0,15
13,26
16
17 Y!пересечение
18 rM – i
F
Значимость F
30,32
0,0006
Pзна
чение
#Н/Д
0,0000003
E–i
0,10
0,05
rM – i
0
0,02
0,04
0,06
в) результаты
Рис. 3.3.4. Расчеты в примере 3.3.2
78
Нижние
95%
#Н/Д
1,65
Верхние
95%
#Н/Д
2,33
Окончательно линейное уравнение регрессии принимает вид:
Y = bx + e = 1,99x + e
или
E – i = b(rM – i) + e = 1,99(rM – i) + e.
Во второй строке этой таблицы приведена 95%>ная интервальная
оценка параметра b: 1,65 < b < 2,33.
Подведем итог. Модель
E – i = 1,99(rM – i) + e
зависимости премии за риск для данной акции Y = E – i от премии за
риск для рыночного портфеля x = rM – i правомерна, так как гипотеза
H0: b = 0 отвергается при 5%>ном уровне значимости. Полученное урав>
нение регрессии имеет достаточно хорошие характеристики:
ˆ
r(X; Y) = 0,88 близок к своему максимальному значению, равному едини>
це. Поэтому уравнение можно использовать для прогноза премии за риск
для данной акции Y = E – i при известном значении премии за риск для
рыночного портфеля x = rM – i.
Точечная оценка параметраˆ
b = 1,99 говорит о том, что при увеличе>
нии (rM – i) на единицу можно ожидать роста премии за риск для данной
акции (E – i) на 1,99, при этом с 95%>ной гарантией премия за риск для
данной акции не увеличится более, чем на 2,33 и менее, чем на 1,65.
График подбора, также приведенный на рис. 3.3.4, в, демонстрирует
соответствие модели (жирная прямая) и реальных наблюдений (точки). ‰
3.3.3. С т о и м о с т ь ф и р м ы и с т р у к т у р а к а п и т а л а
Предположим, что мы владеем некоторым бизнесом (фир>
мой) и хотим этот бизнес продать. Возникает важный вопрос оп>
ределения с т о и м о с т и этого бизнеса. Если фирма представ>
ляет собой открытое акционерное общество, его акции торгуются
на бирже, и мы владеем 100% акций, то вопрос этот решается
очень просто: стоимость фирмы равна рыночной цене одной ак>
ции, умноженной на количество выпущенных акций. Если мы
владеем не всеми акциями фирмы, а некоторой их долей, то на>
ша доля стоит ровно столько, сколько стоят наши акции. Следу>
ет, конечно, учесть тот факт, что многие компании имеют дол>
говые обязательства перед банками и держателями облигаций:
рациональная стоимость такой фирмы должна быть получена
как сумма стоимости всех акций фирмы и суммы долгов.
Итак, если wS — доля акций в структуре капитала фирмы,
St — суммарная стоимость всех акций в настоящий момент
времени, wB — доля долговых обязательств в структуре капи>
тала фирмы, Bt — суммарная стоимость всех долгов компании в
79
настоящий момент времени, то средняя взвешенная стоимость
капитала WACC (Weighted Average Cost of Capital) определя>
ется как
WACC = wSSt + wBBt.
(3.3.17)
Можно решать и о б р а т н у ю з а д а ч у: вначале опреде>
лить стоимость фирмы, а затем вычесть стоимость долговых
обязательств и разделить остаток на количество акций компа>
нии — при этом мы получим рациональную стоимость одной
акции. Если рыночная цена акции окажется ниже этой величи>
ны, то такие акции имеет смысл приобрести, потому что в на>
стоящий момент рынок их недооценивает, но со временем их
цена должна стать ближе к рациональной стоимости.
П РИМЕР 3.3.3. Фирма имеет капитал, в структуре которо>
го 30% составляют облигации и 70% — акции. Всего было выпу>
щено по 10 000 акций и облигаций, текущая рыночная цена од>
ной акции равна 1000 руб., а текущая рыночная цена облигации
равна 400 руб. Чему равна средняя взвешенная стоимость ка>
питала этой фирмы?
Решение. По формуле (3.3.17) имеем:
= 0,3◊10 000◊400 + 0,7◊10 000◊1000 = 8 200 000. ‰
WACC = wSSt + wBBt. =
Акционерные общества создаются для извлечения доходов,
доходы эти выплачиваются акционерам в форме дивидендов,
поэтому стоимость компании должна совпадать с современной
стоимостью всех будущих дивидендов по акциям и процентных
выплат по облигациям. Если бизнес имеет форму, отличную от
корпорации (акционерного общества), то его стоимость можно
рассчитать точно так же — как современную стоимость потока
платежей, соответствующего деятельности фирмы. Можно
пойти и другим путем: исходя из информации о стоимости со>
поставимого акционерного общества.
П РИМЕР 3.3.4. Бизнес одного из первокурсников состоит в
том, что он установил копировальный аппарат в здании универ>
ситета. Одна копия стоит 3 руб., студенты заказывают в сред>
нем 20 000 копий в год. Оборудование обошлось предпринима>
телю в 40 000 руб., при этом ежегодные расходы на амортиза>
цию равны 10 000 руб., арендная плата за университетское по>
мещение составляет 20 000 руб., а ставка банковского процента
равна 10%. Стоит ли открывать такой бизнес, если считать, что
через пять лет, когда предприниматель закончит университет,
этот бизнес придется продать, а срок службы копировального
аппарата составляет 10 лет (для упрощения расчетов принять
80
предположение, что поступление доходов и осуществление
расходов происходит строго в конце каждого года)?
Решение. В конце каждого года из будущих десяти лет предпринима>
тель будет получать доход
C = 20 000◊3 – 10 000 – 20 000 = 30 000 руб.
Чистая приведенная стоимость потока платежей, поступающих за
весь период работы фирмы, по формуле (3.3.1) равна
30 000(1 - 1,1-10 )
NPV =
= 184 337,01= 184 337 руб. 01 коп.,
0,1
и поскольку открытие такого бизнеса обходится всего в NPI = 40 000 руб.,
бизнес это выгоден.
Через пять лет стоимость бизнеса будет равна
30 000(1 - 1,1-5 )
NPV5 =
= 113 723,60 руб. = 113 723 руб. 60 коп. ;
0,1
именно за такую сумму справедливо продать бизнес. При этом суммар>
ный приведенный доход, который за пять лет будет получен владельцем
бизнеса, равен
30 000(1 - 1,1-5 )
NPV1-5 - NPI = -40 000 +
+ 113 723,60 ◊ 1,1-5 =
0,1
начальные
инвестиции
приведенный доход
от использования бизнеса
в течение пяти лет
приведенный доход
от продажи бизнеса
= -40 000 + 113 723,60 + 70 613,41 = 144 337,01 руб. = 144 337 руб. 01 коп.
Таким образом, бизнес открывать стоит. ‰
Обсудим теперь, каким образом стоимость фирмы зависит от
с т р у к т у р ы к а п и т а л а, т. е. от соотношения между wS и wB.
Рассмотрим две фирмы: А, которая имеет стоимость
VА ден. ед., финансируется только за счет выпуска акций общей
стоимостью SА ден. ед., и Б, которая имеет стоимость VБ ден. ед.,
финансируется и за счет выпуска акций общей стоимостью
SБ ден. ед., и за счет выпуска облигаций общей стоимостью
BБ ден. ед. С точки зрения эффективности бизнеса обе фирмы
абсолютно одинаковы, т. е. приносят инвесторам одинаковую
прибыль E ден. ед. за базовый период времени (например, за
год). Долговые обязательства рассмотрим самые простые: фир>
ма обязуется в течение бесконечно долгого периода времени
выплачивать кредитору ежегодные купонные платежи в раз>
мере rB, где B — сумма долга.
Пусть инвестор приобрел долю a акций фирмы А и запла>
тил за это aSА ден. ед.; при этом VА = SА, так как фирма А фи>
нансируется только за счет акций. В результате инвестор при>
81
обрел право на получение ежегодного дохода в размере
aE ден. ед., заплатив за это сумму aVА ден. ед.
Инвестор мог получить точно такой же доход aE ден. ед.,
если бы он приобрел долю a акций фирмы Б, заплатив за эту
долю aSБ = a(VБ – BБ) ден. ед., и долю a облигаций фирмы Б,
заплатил за эти облигации aBБ ден. ед. Тогда общая цена
покупки составит
aSБ + aBБ = a(VБ – BБ) + aBБ = aVБ ден. ед.,
а ежегодный доход, который будет получать инвестор в виде
дивидендов на купленные акции, будет равен E – rBБ ден. ед.,
купонный доход на все облигации, купленные этим инвестором,
составит raBБ ден. ед., таким образом, суммарный ежегодный
доход от покупки акций и облигаций будет равен
a(E – rBБ + raBБ = aE ден. ед.,
т. е. ровно столько же, как если бы инвестор приобрел долю a
акций фирмы А. Итак, в этом случае инвестор приобрел право
на получение ежегодного дохода в размере aE ден. ед., заплатив
за это сумму aVБ ден. ед.
Если цена фирмы А меньше цены фирмы Б (VА < VБ), то це>
на покупки доли a акций фирмы А составит aVА ден. ед., что
меньше цены покупки доли a акций фирмы Б и доли облигаций
этой фирмы (aVБ ден. ед.), а ежегодный доход, приносимый в
обоих этих случаях, одинаков (aE ден. ед.), поэтому никакой ра>
зумный инвестор не будет вкладывать капитал в фирму Б. В
случае VА > VБ аналогичные рассуждения приведут к тому, что
никто не будет инвестировать в фирму А. Поэтому стоимости
обеих фирм должны быть одинаковы:
VА = VБ.
(3.3.18)
Соотношение (3.3.18), называемое теоремой Модильяни —
Миллера, получено Ф. Модильяни (Нобелевским лауреатом
1985 г.) и М. Миллером (Нобелевским лауреатом 1990 г.) в ста>
тье [30].
Теорема Модильяни — Миллера говорит о том, что стои>
мость фирмы н а и д е а л ь н о м р ы н к е не зависит от струк>
туры капитала. Отметим, что мы привели простейший вариант
формулировки теоремы Модильяни — Миллера, не останавли>
ваясь подробно на условиях этой теоремы и лишь наметив схе>
му доказательства. Подробное обсуждение вопросов соотноше>
ния стоимости фирмы и структуры капитала н а р е а л ь н ы х
р ы н к а х проводится в сборнике [31].
82
ГЛАВА 4. УПРАВЛЕНИЕ РИСКАМИ
§ 4.1. ФИНАНСОВЫЕ РИСКИ
4.1.1. Р ы н о ч н ы е р и с к и
Повторим (см. п. 2.4.2), что риск инвестиционной опера>
ции — это отклонение реальных значений эффективности дан>
ной операции от ее прогнозируемой эффективности (как в
меньшую сторону, так и в большую).
Р ы н о ч н ы е р и с к и связаны с неопределенностью коле>
баний рыночной конъюнктуры и чувствительностью активов и
операций компании к этим колебаниям:
• ц е н о в ы е и в а л ю т н ы е р и с к и (состоят в воз>
можном сокращении выручки или росте расходов, связан>
ном с изменениями валютных курсов или цен товаров и ре>
сурсов),
• п р о ц е н т н ы е р и с к и (состоят в изменениях про>
центных ставок, выплачиваемых по активам с фиксирован>
ной доходностью — прежде всего, по банковским счетам и
облигациям),
• р и с к и л и к в и д н о с т и (состоят в изменениях степе>
ни ликвидности активов компании),
• п р о е к т н ы е р и с к и (состоят в неспособности компа>
нии осуществить инвестиционный проект точно в соответст>
вии с его планом) и т. п.
Рассмотрим несколько примеров.
П РИМЕР 4.1.1. С каким риском сталкивается российская
компания, производящая товар себестоимостью 900 руб., если
обменный курс евро к рублю составляет 30 руб. за евро, а
аналогичный товар в Германии производится с себестоимостью
30 евро?
Решение. Такая компания имеет дело с в а л ю т н ы м р и с к о м: ес>
ли, например, курс евро упадет до 29 руб. В этом случае немецкий товар
станет дешевле российского: его себестоимость в переводе на рубли будет
уже не 30◊30 = 900 руб., а 30◊29 = 870 руб., что даст немецкому производи>
телю существенное преимущество на российском и мировом рынках. ‰
83
П РИМЕР 4.1.2. С каким риском сопряжена покупка по но>
минальной стоимости 1000 ден. ед. 20>летней облигации очень
надежной корпорации, по которой в течение всех 20 лет до по>
гашения будет выплачиваться купонный доход в размере 12%
от номинальной стоимости?
Решение. Данная операция сопряжена с п р о ц е н т н ы м р и с к о м:
если, например, через 5 лет на рынке появятся такие же надежные обли>
гации другой компании, которые обеспечивают больший купонный доход,
например, 14%>ный (и продаются по номинальной стоимости), то никто не
заплатит за старую облигацию ее рациональную стоимость (3.1.1)
1 - (1 + i)- T
1 - 1,10-15
-T
P=C
+ F(1 + i) = 120
+ 1000 ◊ 1,10-15 ª 1152 руб. 12 коп.
0,10
i
или номинальную стоимость 1000 руб., поскольку за 1000 руб. можно ку>
пить новую облигацию, обеспечивающую более высокий доход.
Грубый подсчет показывает, что при неизменных остальных рыноч>
ных факторах старую облигацию удастся продать не дороже чем за
1 - 1,14-15
P = 120
+ 1000 ◊ 1,14-15 ª 877 руб. 16 коп. ,
0,14
при этом за счет процентного риска держатель старой облигации потеря>
ет 1152,12 – 877,16 = 274 руб. 96 коп. ‰
П РИМЕР 4.1.3. С каким риском сталкивается автолюбитель,
приобретающий автомобиль стоимостью 20 000 евро и имеющий
привычку менять автомобиль каждые три года, если стоимость
аренды такого же автомобиля составляет 4000 евро в год, а бан>
ковская процентная ставка равна 10% годовых, и как с этим рис>
ком можно бороться?
Решение. Автолюбитель сталкивается с ц е н о в ы м р и с к о м: не>
известно, по какой цене он сможет продать автомобиль через три года.
Сравним две возможности: покупку автомобиля и его продажу через три
года и аренду аналогичного автомобиля на те же три года. Прежде всего,
необходимо оценить современную стоимость арендных платежей: по
формуле (1.4.1)
4000(1 - 1,1-3 )
NPV =
= 9947,41 евро.
0,1
Если через три года автомобиль удастся продать дороже, чем за
(20 000 – 9947,41)1,13 = 13, 380 евро, то покупка с последующей продажей
выгоднее аренды, иначе — наоборот. В момент покупки автолюбитель не
может точно предсказать, какие цены сложатся на рынке подержанных
автомобилей через три года, и по какой цене можно будет продать его ав>
томобиль. Кроме того, в течение трех лет эксплуатации автомобиля воз>
можно наступление событий существенно уменьшающих цену его про>
дажи: возможные аварии или периоды слишком интенсивной эксплуата>
84
ции. Аренда избавит автолюбителя от этого ценового риска: он будет точ>
но знать, что за все время эксплуатации он заплатит три раза по
4000 евро, и современная стоимость такой трехлетней ренты составляет
не более и не менее чем 9947,41 евро.
Если дилер предлагает автолюбителю рассрочку под 10% годовых на
5 лет с одинаковыми ежегодными выплатами, то через три года остаток
задолженности составит
20 000 ◊ 0,1
4620
2
3
20 000 ◊ 1,13 (1
+
1,1
+
1,1
)
=
20
000
◊
1,1
=
1 - 1,1-5
1 - 1,1-5
= 26 620,00 - 12187,44 = 14 432,56 евро.
Если автолюбителю, владеющему автомобилем, удастся перепро>
дать автомобиль через три года дороже чем за 14 432,56 евро, то он оста>
нется в выигрыше по сравнению с тем, как если бы он арендовал автомо>
биль, иначе — в проигрыше.
Если бы заранее была известна цена перепродажи, то сделать выбор
между покупкой и арендой автомобиля очень легко, но цена эта неиз>
вестна, слишком много факторов на нее влияет. В случае покупки точно
предсказать чистую приведенную стоимость операции не представляется
возможным. Поэтому аренда автомобиля выступает средством избавле>
ния от риска: мы точно знаем, сколько, когда и кому мы заплатим, точно
знаем стоимость всех наших платежей. ‰
П РИМЕР 4.1.4. Известный автор, 90% предыдущих книг ко>
торого имели успех у читателей, запрашивает у киностудии
1 000 000 руб. за эксклюзивное право съемки фильма по недавно
написанной книге, которая через полгода должна выйти из пе>
чати. При этом стоимость съемки фильма равна 50 000 000 руб.
Если книга будет иметь успех, то доход от проката фильма со>
ставит 100 000 000 руб., в противном случае — 10 000 000 руб. С
какими рисками сталкивается киностудия и как от этих рисков
можно уберечься?
Решение. Риски, с которыми сталкивается киностудия, заключаются
в следующем. Если сегодня не приобретать у автора эксклюзивное право
съемки, а книга будет иметь успех, то автор, зная это, может потребовать
более высокой платы за право съемки фильма или вообще продать это
право другой киностудии. Если же купить право съемки сейчас, то книга
может оказаться неудачной, и тогда съемка фильма потеряет смысл —
фильм будет убыточным. Какой из вариантов реализуется на самом деле,
заранее неизвестно, но в данном случае киностудия может приобрести
реальный опцион: заплатив сегодня автору относительно небольшую
сумму (стоимость опциона), и отложив съемку фильма до того момента,
когда станет ясно, пользуется ли книга успехом, можно гарантировать,
что в худшем случае потери студии будут равны стоимости опциона
1 000 000 руб., а в лучшем случае студия получит доход в размере
100 000 000 –50 000 000 – 1 000 000 = 49 000 000 руб. Оценить рациональ>
ную стоимость такого реального опциона можно с помощью формулы
Блэка — Шоулза (3.2.4) и сравнить полученную оценку с суммой, запра>
шиваемой автором; на его предложение, естественно, имеет смысл со>
85
глашаться только если он просит не более рациональной стоимости оп>
циона. Подробнее о реальных опционах можно прочитать в книге [5]. ‰
4.1.2. К р е д и т н ы е и о п е р а ц и о н н ы е р и с к и
К р е д и т н ы е р и с к и связаны с возможной неплатеже>
способностью контрагентов компании.
П РИМЕР 4.1.5. С каким риском сталкиваются торговые
компании, высылающие заказчикам товары с оплатой по полу>
чении?
Решение. Такие компании сталкиваются с к р е д и т н ы м р и с >
к о м: покупатель может оказаться неспособным оплатить товар в момент
его получения, далее возможны различные варианты: либо покупатель
оплатит товар с опозданием, либо вернет его, либо не оплатит и не вернет.
Во всех этих случаях продавец несет убытки, предсказать точный размер
которых заранее невозможно. ‰
О п е р а ц и о н н ы е р и с к и связаны со спецификой про>
ведения операций (например, необходимостью расчетов в ино>
странной валюте).
П РИМЕР 4.1.6. С каким риском сталкиваются компании,
имеющие дочерние фирмы в других странах?
Решение. Такие компании сталкиваются с т р а н с л я ц и о н н ы м
в а л ю т н ы м р и с к о м: если, например, российская компания имеет
дочернюю фирму в США, стоимость чистых активов которой на 1 января
2004 г. составила 77 млн. долл., то при консолидации информации в го>
ловном офисе доллары необходимо перевести в рубли, и если в начале го>
да доллар стоил 30 руб., а в конце года — 29 руб., то стоимость активов
дочерней компании за этот год уменьшилась на (30 – 29)77 000 000 =
= 7 700 000 руб. Таким образом, бухгалтерский убыток составит
7,7 млн. руб. ‰
4.1.3. П р о ц е с с у п р а в л е н и я р и с к а м и
У п р а в л е н и е р и с к а м и обязательно должно включать
в себя такую последовательность действий:
• с о г л а с о в а н и е т р е б о в а н и й (например, собственни>
ки компании и менеджеры по управлению рисками могут иметь
разные предпочтения по рискам, и предпочтения менеджеров
необходимо согласовать с требованиями собственников);
• выявление рисков;
• оценку рисков;
• выбор приемов в о з д е й с т в и я н а р и с к и и их реа>
лизацию;
• о ц е н к у р е з у л ь т а т о в управления рисками.
86
При управлении к р е д и т н ы м и и о п е р а ц и о н н ы м и
р и с к а м и необходимо, во>первых, оценить вероятность воз>
никновения неблагоприятных событий и скорректировать пото>
ки платежей в соответствии с этими вероятностями, а во>
вторых, установить лимиты — предельно допустимые суммы
для расчетов с каждым контрагентом, в каждой валюте и т. п.,
эти лимиты должны соответствовать предельно допустимым
суммам наших потерь и превышать эти лимиты категорически
не следует.
Можно потребовать от контрагентов предоставления г а >
р а н т и й п л а т е ж е с п о с о б н о с т и. Оценка стоимости таких
гарантий может быть произведена на основе рассмотрения га>
рантии как реального опциона и вычисления рациональной
стоимости этого реального опциона.
Действительно, гарантия подобна о п ц и о н у п р о д а в ц а:
гарант должен осуществить предусмотренный договором пла>
теж, если эмитент этого договора окажется неплатежеспособ>
ным. Поэтому предоставление гарантии можно рассматривать
как продажу опциона продавца и оценивать стоимость предос>
тавления гарантии как рациональную стоимость этого опциона.
При управлении р ы н о ч н ы м и р и с к а м и удобнее всего
п е р е н о с и т ь эти риски. С тремя схемами переноса рисков
мы познакомимся в следующем параграфе.
§ 4.2. ТРИ СХЕМЫ ПЕРЕНОСА РИСКА
4.2.1. Д и в е р с и ф и к а ц и я
Принцип диверсификации означает распределение средств
между несколькими рискованными проектами вместо того, что>
бы инвестировать только в один рискованный проект. Суть ди>
версификации выражена известной поговоркой — «Не кладите
все яйца в одну корзину».
Ц е н т р а л ь н а я п р е д е л ь н а я т е о р е м а утверждает,
что среднее из достаточно большого числа независимых и при>
мерно одинаковых случайных слагаемых распределено по нор>
мальному закону, причем математическое ожидание среднего
будет равно среднему из математических ожиданий слагаемых,
а среднее квадратичное отклонение среднего будет в n мень>
ше среднего квадратичного отклонения слагаемых.
87
Данный факт позволяет воспользоваться принципом дивер>
сификации и существенно увеличить определенность будущего.
П РИМЕР 4.2.1. Строительная фирма для привлечения инве>
стиций в строительство нового дома собирается воспользоваться
банковским кредитом. Вероятность того, что какой>либо банк в
ответ на поступление бизнес>плана примет положительное ре>
шение о кредитовании фирмы, равна 0,3. Строительная фирма
обратилась в 100 банков. Какова вероятность того, что решение о
предоставлении кредита этой фирме примет хотя бы один банк?
Решение. Данную ситуацию можно рассматривать как последова>
тельность из n = 100 испытаний Бернулли, в которых успехом считается
принятие банком решения о кредитовании. Вероятность успеха в единич>
ном испытании равна по условию p = 0,3. Поскольку число испытаний n
велико, а произведение np = 30 > 10, можно воспользоваться и н т е >
г р а л ь н о й т е о р е м о й М у а в р а — Л а п л а с а: искомая вероят>
ность равна
1 - 100 ◊ 0,3
Ê 100 - 100 ◊ 0,3 ˆ
Ê
ˆ
P100 (1;100) ª F Á
F
=
˜
Á
Ë 100 ◊ 0,3 ◊ (1 - 0,3) ¯
Ë 100 ◊ 0,3 ◊ (1 - 0,3) ¯˜
= F(15,28) - F(-6,33) ª 0,99999999988 ª 1.
Диверсификация позволила увеличить вероятность получения кре>
дита с 30% почти до 100%, т. е. до практически полной определенности! ‰
Формирование оптимального портфеля финансовых инст>
рументов также является примером диверсификации: в опти>
мальном решении рисковая часть портфеля устроена так же,
как рынок в целом — если на рынке в целом акции некоторой
компании составляют 2%, то их доля в оптимальном портфеле
также должна быть равна 2%. Инвестор фактически может
лишь выбирать долю вложений в безрисковый актив: чем
больше эта доля, тем меньше эффективность портфеля и
меньше риск.
Диверсификация может позволить уменьшить риск, но
полностью избавиться от него, как правило, не удается: ведь на
самом деле различные проекты не являются независимыми!
4.2.2. Х е д ж и р о в а н и е
Хеджирование состоит в том, что на определенное время из
некоторого актива и некоторого количества другого актива со>
ставляется портфель, причем второй актив подбирается таким
образом, что одновременно с изменением стоимости базового ак>
тива в противоположную сторону меняется стоимость второго
(хеджирующего) актива.
88
Рассмотрим поток платежей
(1; B1), (2; B2), …, (T; BT),
Его современная стоимость по формуле (1.3.3) равна
T
P = NPV = Â Bt (1 + i)- t .
(4.2.1)
t =1
При этом
T
∂P
∂P
=
= -Â tBt (1 + i)- t -1 .
∂(1 + i) ∂i
t =1
Пусть
T
tBt
∂P / P
.
e=
= -Â
t
∂(1 + i)/(1 + i)
P
(1
+
i
)
t =1
(4.2.2)
Левая часть равенства (4.2.2) — это э л а с т и ч н о с т ь со>
временной стоимости рассматриваемого потока платежей к
изменению процентной ставки. Она показывает, что при
изменении процентной ставки i на 1% от (1 + i) современная
стоимость потока платежей меняется на e%. Но есть и другая
интеИз
рпретация
формулы
. (4.2.2) следует, что
T
Bt
= 1,
Â
t
t =1 P(1 + i)
при этом
wt =
Bt
—
P(1 + i)t
(4.2.3)
это доля современной стоимости потока, которую вносит пла>
теж, осуществляющийся в момент t. Таким образом, формулу
(4.2.2) можно переписать как
T
∂P / P
e=
= -Â twt ,
∂(1 + i)/(1 + i)
t =1
где wt определяются формулой (4.2.3) и
T
Âw
t
= 1.
t =1
89
Это означает, что эластичность современной стоимости по>
тока платежей e равна средневзвешенному времени платежей с
весами wt.
Дюрация определяется как
T
tBt
∂P / P
=
= -e .
t
P
(1
+
i
)
∂
(1
+
i
)/(1
+
i
)
t =1
T
d = Â twt = Â
t =1
Если иммунизировать портфель, т. е. сделать дюрации ак>
тивов и задолженностей равными, то можно избавиться от рис>
ка изменения процентных ставок. Эта теорема об иммунизации,
принадлежащая Нобелевскому лауреату 1970 г. П. Саму>
эльсону, рекомендует использование трех взаимосвязанных
п р а в и л х е д ж и р о в а н и я п р о ц е н т н о г о р и с к а:
• правило нулевого уровня: приведенная стоимость акти>
вов должна быть не меньше, чем приведенная стоимость
долгов;
• правило первого уровня: дюрация активов должна быть
не больше, чем дюрация долгов;
• правило второго уровня: р а з б р о с
T
V = Â wt (t - d)2
t =1
момента платежа активов должен превышать разброс мо>
мента платежа долгов.
Хеджирование рыночных рисков на рынке
а к ц и й можно проводить с помощью финансовых инструмен>
тов, производных от базового, при этом связь базового и хеджи>
рующего инструментов будет четко определенной. Рассмотрим
конкретный пример.
П РИМЕР 4.2.2. Российская фирма проводит на Украине
крупный консалтинговый проект. Согласно договору, расчет (в
размере 1 000 000 гривен) будет произведен в украинских грив>
нах по окончании работ (через 1 год). Текущий обменный курс
гривны равен 5 руб. Фирма опасается, что через год курс грив>
ны по отношению к российскому рублю уменьшится. Как убе>
речься от возможных потерь?
Решение. Чтобы уберечься от возможных потерь, связанных с
уменьшением курса гривны, фирма может перед началом проекта за>
ключить с каким>либо украинским банком форвардное соглашение на
продажу 1 000 000 гривен через год по курсу 5 руб. за гривну. Таким обра>
зом, что бы ни произошло с гривной, российская фирма получит ровно
90
5 000 000 руб. При этом, конечно, исполнитель проекта сознательно отка>
зывается не только от возможных потерь, но и от возможной дополни>
тельной прибыли (например, если курс гривны через год возрастет до
6 руб., то исполнитель получит не 6 000 000 руб, а 5 000 000 руб.).
Если же российская фирма до начала проекта заплатит украинскому
банку некоторую относительно небольшую сумму (например,
50 000 гривен) и заключит опционный контракт на продажу
1 000 000 гривен по курсу 5 руб. за гривну, то этим опционом можно будет
воспользоваться только в случае, если курс гривны через год уменьшится
по сравнению с текущим. Если же курс гривны повысится (например, до
6 руб.), то правом, заложенным в опционе, можно не пользоваться, а про>
дать 1 000 000 гривен по рыночной цене и получить 6 000 000 руб. ‰
Самым важным при хеджировании является определение
рациональной цены хеджирующего актива, которое при хед>
жировании производными финансовыми инструментами про>
изводится с использованием теории их ценообразования, рас>
смотренной в § 3.2.
4.2.3. С т р а х о в а н и е
Страхование, согласно А. Н. Ширяеву [47, С. 87], — это «со>
циальный механизм, позволяющий индивидуумам и организа>
циям компенсировать экономические потери, вызванные теми
или иными неблагоприятными обстоятельствами».
Довольно давно стало ясно, что самый эффективный способ
уменьшения потерь от неопределенностей — это объединение
отдельных людей и организаций в с т р а х о в ы е с о о б щ е с т >
в а, поскольку трудно предсказать время, место и характер со>
бытий, способных повлиять на экономическое состояние инди>
видуумов, вместе с тем, по з а к о н у б о л ь ш и х ч и с е л,
средние (или суммарные) потери большой группы индивидуу>
мов предсказать можно. В страховых сообществах каждый ин>
дивидуум вносит сумму, намного меньшую его возможного
ущерба, и в случае наступления ущерба убытки возмещаются
из средств, собранных всеми членами сообщества, в случае же,
когда для кого>то из членов страхового сообщества ущерб не
наступает, первоначально выплаченная этим индивидуумом
сумма распределяется между теми членами сообщества, кото>
рые понесли убытки.
Иными словами, страхование заменяет неопределенность
будущих возможных потерь вполне определенными (относи>
тельно небольшими) разовыми выплатами в определенные мо>
менты.
Первые формы страхования представляли собой страхова>
ние морских грузов и датируются примерно четвертым тыся>
91
челетием до н. э., зарождение страхования жизни относится
примерно к 600 г. до н. э.
Довольно быстро страховые сообщества трансформирова>
лись в с т р а х о в ы е к о м п а н и и, извлекающие прибыль из
страхования. В 1689 г. торговцы, судовладельцы и морские
страховщики стали собираться в кофейном магазине британца
Э. Ллойда для заключения страховых сделок по морским пере>
возкам. В 1774 г. Корпорация «Ллойдс» была официально ут>
верждена Королевским указом, а в 1871 г. — зарегистрирована
Актом Парламента. В настоящее время «Ллойдс» является
крупнейшей страховой корпорацией, оперируя почти со всеми
видами рисков. Сегодня компании типа «Ллойдс» страхуют
(кроме обычных видов рисков) ноги балерин, пальцы пианистов,
зубы фотомоделей, приемы для гостей на открытом воздухе от
потерь в ненастье и т. п.
В России первая страховая компания, «Страховое акцио>
нерное общество от огня», была организована в Сибири в 1827 г.
В 1835 г. появилось «Российское общество страхования капита>
лов и доходов», которое занималось страхованием жизни и фи>
нансовых операций.
Слово actuarius (актуарий) в Древнем Риме относилось к
тем, кто вел записи актов в Сенате, и к офицерам, которые опе>
рировали с военными счетами и вели контроль военных поста>
вок. В своей английской версии (actuary) это слово претерпева>
ло различные изменения, пока не стало обозначать эксперта по
математике страхования (или актуарной математике), ко>
торая, образуя теоретическую основу страхового дела, изучает
различные вероятностные характеристики возможного ущерба
и методы страхования от этого ущерба.
Первая математическая модель страхования была построе>
на, по>видимому, Т. Барруа в 1834 г., современные актуарные
модели восходят к Ф. Лундбергу, который в 1903 г. опубликовал
диссертацию «Approximerad framsröllning av sannolikhetsfunc>
tionen. Atersförsдkring av kollektivrisker», заложив основы ак>
туарной теории риска.
По договору страхования (или страховому полису) одна
сторона (страхователь) платит другой стороне (страховщикэ)
определенную денежную сумму (страховую премию), и за это
страховщик гарантирует возмещение возможных убытков стра>
хователя (в случае их возникновения). Смысл страхового полиса
состоит в том, что страхователь подвержен определенному рис
ку (который заключается в возможном наступлении некоторого
92
страхового случая) и стремится от этого риска защититься, а
задачей страховщика является предоставление такой защиты. В
качестве страхового случая может выступать болезнь, смерть,
автомобильная авария, потеря имущества при пожаре, потеря
финансовых средств при неблагоприятно складывающейся ры>
ночной ситуации, а также отмеченные выше переломы ног у ба>
лерин, пальцев у пианистов, зубов у фотомоделей и т. п. В стра>
ховом полисе указываются срок его действия, условия и способ
возмещения ущерба. Например, в полисе на страхование граж>
данской ответственности водителя транспортного средства
обычно указывается, что если в момент наступления страхового
случая (при аварии) водитель находился в состоянии алкоголь>
ного опьянения, то страховщик ответственности по полису не не>
сет. Если в указанный в полисе срок страховой случай не насту>
пил, страхователь теряет уплаченную премию.
Таким образом, страхование представляет собой еще одну
схему переноса риска — разделение риска между большой
группой страхователей. Три схемы переноса риска (диверси>
фикация, хеджирование и страхование) в определенном смысле
эквивалентны: мы чем>то жертвуем сегодня в обмен на возрас>
тание определенности будущих потоков платежей: при дивер>
сификации мы вкладываем часть денег в безрисковый актив,
при хеджировании мы обычно покупаем производный финан>
совый инструмент, при страховании мы оплачиваем договор
страхования.
Рассмотрим простейшую модель страхования, предло>
женную Т. Барруа в 1851 г. Пусть u1(x) — ф у н к ц и я п о л е з >
н о с т и страховой компании, u2(x) — функция полезности од>
ного из ее клиентов, s1 — капитал страховой компании, s2 — ка>
питал клиента, X — случайная величина стоимости возможного
ущерба, c — стоимость страхового полиса. Тогда страховая
компания согласится застраховать клиента в том случае, когда
u1(s1)
Mu1(s1 + c – X),
(4.2.4)
а клиент пойдет на страхование, только если
u2(s2 – с)
Mu2(s2 – X).
(4.2.5)
Пусть c1 — наименьшее число c, для которого верно (4.2.4), а
c2 — наибольшее из чисел c, для которых верно (4.2.5). Если
c2 < c1, то страхование невозможно. Если же c1 c2, то возникает
проблема выбора c из отрезка [c1; c2]. Если страховая компания
93
является монополистом, она, естественно, установит c = c2. При
наличии конкуренции (или при государственном контроле за
страхованием) c будет близко к c1.
Наибольшее развитие получило с т р а х о в а н и е ж и з н и.
Математические модели такого страхования мы и рассмотрим
ниже более подробно. Договор страхования жизни может быть
обязательным (в силу действия определенного закона) или
добровольным (по взаимному волеизъявлению страховщика и
страхователя), краткосрочным (как правило, на один год) или
долгосрочным.
Основным источником случайности в страховании жизни яв>
ляется неопределенность момента смерти отдельного человека.
Однако в случае, когда одновременно у одного и того же стра>
ховщика страхуется большая однородная (по возрасту, полу, ти>
пу профессии, месту проживания и т. п.) группа страхователей, в
силу закона больших чисел можно говорить об у с т о й ч и в о >
с т и о т н о с и т е л ь н ы х ч а с т о т и рассматривать продол
жительность жизни как неотрицательную случайную величину
X с функцией распределения F(x) = P{X < x}. В актуарной мате>
матике работают с так называемой функцией выживания
s(x) = P{X
x} = 1 – F(x),
(4.2.6)
которая равна вероятности того, что человек из данной одно>
родной группы проживет не менее x лет. Функция выживания
(4.2.6) предполагается монотонно убывающей (иначе в опреде>
ленных интервалах времени смерть будет невозможна) и не>
прерывной (иначе возможны моменты, в которые смерть насту>
пает с положительной вероятностью). Кроме того, функция вы>
живания (4.2.6) должна удовлетворять всем свойствам, которые
следуют из того, что F(x) = 1 – s(x) является ф у н к ц и е й
р а с п р е д е л е н и я случайной величины X.
Пусть
T(x) = X – x —
остаточное время жизни человека в возрасте x лет. Символом
t
px = P{T(x)
t}
обозначается вероятность того, что человек в возрасте x лет
проживет еще не менее t лет.
По определению условной вероятности
94
t
px = P{T(x) t} = P{ X
x + t| X
x} =
P{ X x + t}
=
P{ X x}
p0 s(x + t)
=
.
(
)
p
s
x
x 0
x +t
В таблицах продолжительности жизни рассматривается
группа новорожденных одного пола, проживающих в одинако>
вой местности, в количестве l0 чел. Пусть Xk — продолжитель>
ность жизни k>го человека из данной группы (k = 1, 2, … , l0). Ко>
личество доживших до возраста x обозначим L(x), и в таблицах
продолжительности жизни приводится математическое ожи>
дание случайной величины L(x):
l0
lx = ML(x) = Â P{ Xk
k =1
l0
x} = Â s(x) = l0 s(x) .
k =1
Фрагмент такой таблицы продолжительности жизни для
городского населения Российской Федерации в 1993 г. приведен
в табл. 4.2.1.
Таблица 4.2.1
Фрагмент таблицы продолжительности жизни
городского населения Российской Федерации в 1993 г.
x
0
1
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Женщины
Мужчины
x
s(x)
s(x)
lx
lx
100 000 1,00000 100 000 1,00000 55
98 324 0,98324 97 822 0,97822 60
97 922 0,97922 97 416 0,97416 65
97 790 0,97790 97 080 0,97080 70
97 623 0,97623 96 764 0,96764 75
97 278 0,97278 95 804 0,95804 80
96 832 0,96832 94 194 0,94194 85
96 296 0,96296 92 009 0,92009 90
95 572 0,95572 89 008 0,89008 95
94 474 0,94474 85 003 0,85003 99
92 831 0,92831 79 644 0,79644 100
90 335 0,90335 72 722 0,72722 110
Женщины
s(x)
lx
87 007 0,87007
82 469 0,82469
76 558 0,76558
67 118 0,67118
53 628 0,53628
36 986 0,36986
20 192 0,20192
7607 0,07607
1591 0,01591
237 0,00237
130 0,00130
0 0,00000
Мужчины
s(x)
lx
64 338 0,64338
54 864 0,54864
44 222 0,44222
32 706 0,32706
21 417 0,21417
11 814 0,11814
5113 0,05113
1571 0,01571
297 0,00297
48 0,00048
28 0,00028
0 0,00000
Простейший вид к р а т к о с р о ч н о г о с т р а х о в а н и я
ж и з н и заключается в следующем. Страхователь (некоторый
человек) платит страховщику (страховой компании) страхо
вую премию в сумме c ден. ед., а страховщик соглашается вы>
платить наследникам страхователя страховую выплату (или
страховое пособие) в сумме b ден. ед. в случае его смерти в те>
чение года (и не платить ничего в противном случае).
Величина страховой выплаты, конечно, должна быть много
больше страховой премии.
95
П Р И М Е Р 4.2.1. Вероятность смерти тридцатилетнего
мужчины составляет 0,006. Страховая компания заключила
10 000 договоров страхования с мужчинами в возрасте тридца>
ти лет, согласно которым в случае смерти застрахованного лица
в течение ближайшего года его наследникам в конце этого года
выплачивается 120 000 руб. Стоимость одного договора равна
1200 руб, а годовая ставка по банковским депозитам равна 20%.
Каковы вероятности следующих событий: а) к концу года стра>
ховая компания окажется в убытке; б) доход страховой компа>
нии превысит 4 000 000 руб.?
РЕШЕНИЕ. Пусть за год наступило K страховых случаев, тогда доход
страховой компании составит
120 000K
U = 10 000 ◊ 1200 = 100 000(120 - K)
1,2
Поэтому компания окажется в убытке (U < 0), если за год наступит
более 120 страховых случаев (т. е. от 121 до 10 000). Доход страховой ком>
пании превысит 4 000 000 руб. (U > 4 000 000), если за год наступит менее
80 страховых случаев. Вероятность наступления страхового случая
px = 0,006. Всего проводится n = 10 000 испытаний. Поскольку число ис>
пытаний т велико, можно воспользоваться интегральной теоремой Му>
авра – Лапласа:
121 - 60
Ê 10 000 - 60 ˆ
Ê
ˆ
P10 000 (121;10 000) ª F Á
F
=
˜
Á
Ë 60 ◊ (1 - 0,006) ¯
Ë 60 ◊ (1 - 0,006) ¯˜
Ê 9 940 ˆ
Ê 61 ˆ
= FÁ
F
ÁË 59,64 ˜¯ = F (1287,56) - F (7,90) ª 0,
Ë 59,64 ˜¯
т. е. страховая компания окажется в убытке с нулевой вероятностью;
80 - 60
0 - 60
Ê
ˆ
Ê
ˆ
F
P10 000 (0;80) ª F Á
ÁË 60(1 - 0,006) ˜¯ =
Ë 60(1 - 0,006) ˜¯
Ê
= F ÁÁ
ÁË
20 ˆ˜
60 ˆ
Ê
= F(2,589) - F(-7,77) ª 0,995,
˜ - FÁ59,64 ˜¯
59,64 ˜¯
Ë
значит, доход страховой компании превысит 4 000 000 руб. с вероятно>
стью 0,995, очень близкой к единице, т. е. почти наверное. ‰
Одной из важнейших задач актуарной математики являет>
ся вычисление соотношений между страховой выплатой b и
страховой премией c.
Пусть страховщик продал страхователям одного пола, одного
возраста (x лет), проживающим в одинаковой местности, n дого>
воров страхования, согласно которым в случае смерти страхова>
теля в течение ближайшего года его наследникам выплачивается
страховая выплата b ден. ед. Стоимость одного договора равна
c ден. ед., а годовая ставка безрисковых вложений составляет i.
96
В общем случае страховщик получит доход, не меньший u,
если разность U между суммарной страховой премией и сум>
марными страховыми выплатами за год окажется не менее u.
Суммарная страховая премия, которую получит страхов>
щик от всех n страхователей, равна, очевидно, C = nc ден. ед.
Пусть за год наступит K страховых случаев (умрет K человек
из n страхователей). Тогда суммарные страховые выплаты со>
ставят B = Kb ден. ед. Приведя их к настоящему времени (ум>
ножив на коэффициент дисконтирования v = (1 + i)–1), получим,
что искомая вероятность
{
u} = P nc -
P{U
Kb
1+ i
} {
u =P K
}
(nc - u)(1 + i)
.
b
Вероятность того, что любой страхователь, случайно вы>
бранный из n человек, которые приобрели полисы, умрет в те>
чение ближайшего года, можно найти по таблице продолжи>
тельности жизни для данной социальной группы:
px ∫ 1 px =
s(x + 1) lx +1
=
,
s(x)
lx
где lx — количество доживших до возраста x.
При этом страховые случаи не зависят друг от друга, и
можно рассмотреть биномиальную случайную величину
K ~ Bi(n; px) — количество смертей в группе из n страхователей.
При n Æ µ можно воспользоваться интегральной теоремой Му>
авра — Лапласа, согласно которой
Pn {K
-F
k} = Pn {0
K
k} = Pn (0; k) = F
Ê k - npx ˆ
ÁË np (1 - p ) ˜¯
x
x
Ê npx ˆ
Ê 0 - npx ˆ
Ê k - npx ˆ
=F
+ FÁ
- 1.
Ë 1 - px ¯˜
ËÁ npx (1 - px ) ¯˜
ËÁ npx (1 - px ) ¯˜
В частности,
P{U
{
u} = P k
Ê npx
+F Á
Ë 1 - px
Ê (nc - u)(1 + i)
ˆ
- npx
(nc - u)(1 + i)
Á
˜
b
= FÁ
+
˜
b
(1
)
np
p
Ë
¯
x
x
}
ˆ
Ê npx
Ê n(c(1 + i) - bpx ) - u(1 + i) ˆ
1
=
F
+
F
˜¯
ÁË 1 - p
ÁË
˜¯
b npx (1 - px )
x
.
ˆ
˜¯ - 1.
Таким образом,
97
P{U
u} = F
Ê npx
Ê n(c(1 + i) - bpx ) - u(1 + i) ˆ
+ FÁ
ÁË
˜¯
b npx (1 - px )
Ë 1 - px
ˆ
˜¯ - 1. (4.2.7)
Вт пакете Microsoft Excel для вычислений по формуле (4.2.7)
можно воспользоваться функцией
F(<x>) = НОРМРАСП(<x>; 0; 1; ИСТИНА).
Определим такое соотношение между страховой выплатой
b и страховой премией c на один договор, чтобы с вероятностью
g, близкой к единице, обеспечить страховой компании доход, не
меньший u. При этом P{U u} = g , поэтому по формуле (4.2.7)
получим, что
F
Ê n(c(1 + i) - bpx ) - u(1 + i) ˆ
= a.
ÁË
˜¯
b npx (1 - px )
где
Ê npx ˆ
a = 1+ g - FÁ
,
Ë 1 - px ˜¯
xa — квантиль уровня a стандартного нормального распределе>
ния N(0; 1).
Отсюда
xa =
n(c(1 + i) - bpx ) - u(1 + i)
.
b npx (1 - px )
или
c=u+
b(npx + xa npx (1 - px ))
.
n(1 + i)
(4.2.8)
Естественно, в реальных страховых компаниях стоимость
договора страхования складывается из теоретической оценки
страховой премии (4.2.8) и оценки средних транзакционных из>
держек на один договор. Первое из этих слагаемых одинаково
для всех страховых компаний, действующих на одном рынке, и
компания может обеспечить конкурентоспособность своих
страховых продуктов только за счет снижения транзакционных
издержек.
98
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Стоит внимательно относиться к практическому примене>
нию методов финансовой математики.
Во>первых, теория вероятностей обязательно предполагает
с т а т и с т и ч е с к у ю у с т о й ч и в о с т ь: устойчивость средних
значений, устойчивость относительных частот и т. п. В реаль>
ных задачах этот принцип статистической устойчивости вы>
полняется, конечно, не всегда. Если речь идет о разовых инве>
стиционных проектах, то вообще никакой статистической ин>
формации у инвестора нет, и потому применение вероятностно>
статистических методов бессмысленно, можно лишь пользо>
ваться правилами принятия решений в условиях неопределен>
ности, рассмотренными в § 2.5. Если речь идет о торговле на то>
варных рынках, то статистическая информация также есть не
всегда, поскольку на самом деле на рынке продаются н е а б >
с о л ю т н о и д е н т и ч н ы е товары, а, как правило, различаю>
щиеся по своим характеристикам. Только на рынке ценных бу>
маг можно говорить о статистической устойчивости, но на самом
деле данные, которые мы можем получить, — это данные о пове>
дении цен в прошлом, и однозначно гарантировать сохранение
прошлой динамики в будущем, вообще говоря, мы не можем.
В. Н. Тутубалин метко замечает, что ценные бумаги, в том
числе, опционы, являются мощным средством для достижения
некоего макроэкономического идеала, который состоит в том,
что все очень много работают и очень много зарабатывают, но
живут впроголодь, потому что все деньги вкладывают в ценные
бумаги; экономика же за счет этих вложений бурно развивает>
ся (см. [39, С. 8]). Если значительная часть инвесторов захочет
перестать «голодать» и перевести свои ценные бумаги в налич>
ные деньги и товары, то это приведет, конечно, к тому, что ни
денег, ни товаров им не хватит — к кризису.
Финансовая система является лишь одной из сторон эконо>
мики, и «д е л а ю т с я» деньги не в финансовой системе, а в ре>
альном секторе экономики — там где производятся станки, ав>
томобили, компьютеры, магнитофоны, продукты питания и т. д.
Только инвестиции в реальный сектор приводят к тому, что в
будущем растет национальное богатство, что приведет и к рос>
ту богатства инвесторов. Если же осуществлять т о л ь к о фи>
нансовые инвестиции, то кризиса не миновать!
99
ЛИТЕРАТУРА
1. Башелье Л. (Bachelier L.) Théorie de la spéculation // Annales de l’Ecole
Normale Supérieure. – 1900. – V. III. – № 17. – P. 21>86. (Англ. пер. в сб. The ran
dom character of stock market prices / Ed. P. H. Cootner. – Cambridge, USA: MIT
Press, 1964. – P. 17>78).
2. Белых Л. П. Основы финансового рынка: Учеб. пособие. – М.: Финансы,
ЮНИТИ, 1999.
3. Бернстайн П. Против богов: Укрощение риска. – М.: Олимп>Бизнес, 2000.
4. Блэк Ф., Шоулз М. (Black F., Scholes M.) The pricing of options and corpo>
rate liabilities // Journal of Political Economy. – 1973. – V. 81. – № 3. – P. 637>659.
5. Боди З., Мертон Р. Финансы: Учеб. пособие. – М.: Вильямс, 2000.
6. Брейли Р., Майерс С. Принципы корпоративных финансов: Учебник. –
М.: Олимп>Бизнес, 1997.
7. Галиц Л. Финансовая инженерия: инструменты и способы управления
финансовым риском. – М.: ТВП, 1998.
8. Голубин А. Ю. Математические модели в теории страхования: По>
строение и оптимизация. – М.: Анкил, 2003.
9. Грачева М. В. Анализ проектных рисков: Учеб. пособие. – М.: Финстат>
информ, 1999.
10. Де Ковни Ш., Такки К. Стратегии хеджирования. – М.: ИНФРА>М, 1996.
11. Джорион П. (Jorion P.) Value at Risk: The New Benchmark for Control>
ling Market Risk. – Chicago, USA: Irwin Professional, 1996.
12. Диксит А., Пиндайк Р. (Dixit A., Pindyck R.) Investment under uncer>
tainty. – Princeton, USA: Princeton University Press, 1994.
13. Канеман Д., Тверски А. (Kahneman D., Tversky A.) Prospect theory: An
analysis of decision making under risk // Econometrica. – 1979. – V. 47. – № 2. –
P. 263–291.
14. Канеман Д., Тверски А. (Kahneman D., Tversky A.) Choices, values, and
frames // American Psychologist. – 1984. – V. 39. – № 4. – P. 342–347.
15. Капитоненко В. В. Инвестиции и хеджирование: Учеб.>практ. посо>
бие. – М.: ПРИОР, 2001.
16. Капитоненко В. В., Золотарёва Н. Л. Финансовая математика в при>
мерах и задачах: Учеб. пособие / ГУУ. – М., 2002.
17. Карандаев И. С., Малыхин В. И., Соловьев В. И. Прикладная математи>
ка: Учеб. пособие. – М.: ИНФРА>М, 2002.
18. Касимов Ю. Ф. Основы теории оптимального портфеля ценных бу>
маг. – М.: Филинъ, 1998.
19. Кокс Дж., Росс Р., Рубинштейн М. (Cox J., Ross R., Rubinstein M.) Op>
tion pricing: a simplified approach // Journal of Financial Economics. – 1979. –
V. 7. – № 3. – P. 229>263.
20. Колемаев В. А. Математическая экономика: Учебник. – М.: ЮНИТИ>
ДАНА, 2002.
21. Кутуков В. Б. Основы финансовой и страховой математики: Методы рас>
чета кредитных, инвестиционных, пенсионных и страховых схем. – М.: Дело, 1998.
22. Линтнер Дж. (Lintner J.) The valuation of risk assets and the selection of
risky investments in stock portfolios and capital budgets // Review of Economics
and Statistics. – 1965. – № 2. – P. 13>27.
100
23. Малыхин В. И. Финансовая математика: Учеб. пособие. – М.: ЮНИТИ>
ДАНА, 2003.
24. Марковиц Г. (Markovitz H.) Portfolio selection // Journal of Finance. –
1952. – V. 1. – P. 77>91.
25. Мелкумов Я. С. Финансовые вычисления: Учеб. пособие. – М.: ИНФРА>
М, 2002.
26. Мельников А. В. Риск>менеджмент: Стохастический анализ рисков в
экономике финансов и страхования. – М.: Анкил, 2003.
27. Мельников А. В., Волков С. Н., Нечаев М. Л. Математика финансовых
обязательств: Учеб. пособие. – М.: ГУ ВШЭ, 2001.
28. Меньшиков И. С. Финансовый анализ ценных бумаг: Курс лекций. –
М.: Финансы и статистика, 1998.
29. Мертон Р. (Merton R. C.) Theory of rational option pricing // Bell Jour>
nal of Economics and Management Science. – 1973. – № 4. – P. 141>183.
30. Модильяни Ф., Миллер М. (Modigliani F., Miller M.) The cost of capital,
corporation finance and the theory of investment // The American Economic Re>
view. – 1958. – V. 48. – P. 261>297. (Рус пер. в сб. [31, С. 36>85]).
31. Модильяни Ф., Миллер М. Сколько стоит фирма? Теорема ММ. – М.:
Дело, 1999.
32. О’Брайен Дж., Шривастава С. Финансовый анализ и торговля ценны>
ми бумагами. – М.: Дело, 1995.
33. Рэдхэд К., Хьюс С. Управление финансовыми рисками. – М.: ИНФРА>М,
1996.
34. Рогов М. А. Риск>менеджмент. – М.: Финансы и статистика, 2001.
35. Самуэльсон П. (Samuelson P.) Rational theory of warrant pricing // In>
dustrial Management Review. – 1965. – V. 6. – P. 41>49.
36. Соловьев В. И. Стохастические модели математической экономики и
финансовой математики: Учеб. пособие / ГУУ. – М., 2001.
37. Тверски А. (Tversky A.) The psychology of risk // Sharpe. – 1990. – P. 73–
77.
38. Тобин Дж. (Tobin J.) Liquidity preference as behavior towards
risk // Review of Economic Studies. – 1958. – V. 1. – P. 65>86.
39. Тутубалин В. Н. Вероятностная финансовая математика: Новые тео>
ретические и прикладные возможности. – http://mech.math.msu.su/probab/
staff/stumat2/youngre.pdf, 2002.
40. Фалин Г. И. Математические основы теории страхования жизни и пен>
сионных схем. – М.: Анкил, 2002.
41. Фалин Г. И., Фалин А. И. Актуарная математика в задачах: Учеб. посо>
бие. – М.: Физматлит, 2003.
42. Четыркин Е. М. Финансовая математика: Учебник. – М.: Дело, 2000.
43. Шарп У. (Sharpe W.) Capital asset price: A theory of market equilibrium
under conditions of risk // Journal of Finance. – 1964. – V. 29. – № 3. – P. 425>442.
44. Шарп У., Гордон А., Бэйли Дж. Инвестиции: Учебник. – М.: ИНФРА>М,
1997.
45. Шведов А. С. Теория эффективных портфелей ценных бумаг: Пособие
для студентов, изучающих портфельную теорию и теорию финансовых дери>
вативов. – М.: ГУ ВШЭ, 1999.
46. Шведов А. С. Процентные финансовые инструменты: Оценка и
хеджирование. – М.: ГУ ВШЭ, 2001.
47. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики: В 2>х
т. – М.: ФАЗИС, 1998.
101