ФИО_____________________________ группа

Экзаменационная работа по теории игр 2014 года. Решения.
Задача 1. Рассмотрим следующую игру.
U
[p]
[q]
x
U
1-x
D
D
U
U
D
[1-p]
[1-p]
D
Заметим, что внизу для игрока 1 действие R дает выигрыш не меньше 2, а действие L
дает максимум 1. Отсюда следует, что строить СБР можно только зафиксировав внизу
действие R.
а. Найдите все скрывающие совершенные байесовские равновесия (СБР).
Возьмем скрывающую стратегию RR игрока 1. По правилу Байеса на равновесном
пути получается q  0.6 . Значит, справа игрок 1 будет играть U (вверх): ожидаемый
выигрыш 0.6 больше 0.4 (вниз). Отклоняться игроку 1 вверху нет смысла ни при каком p ,
поскольку действия RU приводят к выигрышу 3, а выбрав L игрок 1 больше 2 получить не
может.
1
Достроим СБР вне равновесного пути (слева). При p  слева игрок 2 выберет U , а
2
1
при p  слева игрок 2 выберет D . Получили семейство скрывающих СБР:
2
1
1
{RR,UU , p  , q  0.6} , {RR, DU , p  , q  0.6} .
2
2
Формально есть еще семейство скрывающих СБР с использованием смешанных
1
стратегий {RR, (U  (1   ) D)U , p  , q  0.6} , 0    1 . (Это для пункта в.)
2
б. Найдите все выявляющие СБР.
Рассмотрим выявляющую стратегию LR. Получаем p  1, q  0 . Слева игрок 2 играет
U, а справа D. Отклоняться сверху игроку 1 нет смысла, поскольку 2>1. Получили
выявляющее СБР {LR,UD, p  1, q  0}.
в. Найдите все СБР в смешанных стратегиях.
Игрок 1 может иметь смешанную стратегию поведения с ненулевыми вероятностями
только сверху. Для этого нужно, чтобы одинаковыми были ожидаемые выигрыши при
выборе сверху L и R. Поскольку снизу все равно игроком 1 будет выбираться R, то p  1 .
Значит, слева игрок 2 будет играть U. Тогда справа ожидаемый выигрыш должен быть
равен 2 (как при LU). Это может быть только при смешанной стратегии игрока 2 справа
(0.5 U  0.5  D) . Такая стратегия будет оптимальной только при q  0.5 . Это позволяет
найти вероятность x выбора L в смешанной стратегии x  L  (1  x)  R по правилу Байеса
0.6  (1  x)
1
1
на равновесном пути:
 x .
0.6  (1  x)  0.4 1 2
3
1
2
1
1
1
Получили СБР: {(  L   R) R,U ( U  D), p  1, q  } .
3
3
2
2
2
Задача 2. Предприниматели A и B являются владельцами Фирмы, причем каждому
из них принадлежит половина Фирмы. Они решили, что лучше, чтобы владелец был
только один, а другой получил бы некоторую компенсацию. Для этого они согласились на
следующую процедуру. Сначала A назначает цену p . Затем B решает, купить у A его
долю по цене p или продать A свою долю по цене p . Ценность единоличного владения
Фирмой для предпринимателей A и B равна v A и vB , соответственно. Выигрыш того, кто
стал единоличным владельцем, равен ценности владения минус p , а выигрыш
продавшего свою долю равен p .
а. Пусть величины v A и vB общеизвестны. Какая цена будет соответствовать
совершенному по подыграм равновесию Нэша (СПРН) в соответствующей игре?
v
v
Ясно, что B будет покупать при vB  p  p  p  B и продавать при p  B . При
2
2
v
покупке доли B по минимальной цене выигрыш A равен v A  B , а при продаже своей
2
v
доли по максимальной цене выигрыш A равен B . Если vB  vA , то для A выгодно
2
vB
v
продать свою долю за
и получить выигрыш B . При vB  vA для A выгодно купить
2
2
vB
vB
долю B за
и получить выигрыш v A  . В любом случае СПРН соответствует цена
2
2
vB
.
2
б. Предположим теперь, что ценность владения фирмой является приватной
информацией каждого предпринимателя. При этом общеизвестно, что v A и vB являются
независимыми случайными величинами, равномерно распределенными на [0,1] . Найдите
СБР соответствующей игры. Будет ли это СБР скрывающим или выявляющим?
1
, (назначать p  0.5 для A заведомо невыгодно,
2
поскольку B продаст за такую и несколько меньшую цену) и запишем ожидаемый
v
выигрыш A с учетом того, что B купит чужую долю при p  B и продаст свою долю при
2
v
p B :
2
v
v
EvB ( p | p  B )  E vB (vA  p | p  B )  p  (1  2 p)  (vA  p)  2 p  p(1  2vA  4 p) .
2
2
v 1
Максимум ожидаемого выигрыша достигается при p  A  . Это СБР будет
4 8
1
3
8 p 1
выявляющим. Увидев цену p,  p  , предприниматель B будет знать, что vA 
,
8
8
2
Фиксируем цену p, 0  p 
но эта информация не влияет на его решение, поскольку его выигрыш от типа
предпринимателя A не зависит.
Задача 3. Есть два типа работников: хороший и плохой. Хороший работник
приносит нанимателю доход 100, а плохой – 40. Как это принято в модели Спенса,
предположим, что наниматель платит работнику зарплату, равную ожидаемому доходу от
его найма.
До найма на работу каждый решает, сколько лет учиться. Затраты на один год
обучения для работника любого типа равны 10. Работник предъявляет нанимателю
диплом, где указано, сколько лет он учился. Кроме этого наниматель предлагает
работнику пройти некоторый тест, про который известно, что хороший работник всегда
его успешно проходит, в то время как вероятность успешного прохождения теста плохим
работником равна 0.5 .
а. Найдите все выявляющие СБР, в которых работники разных типов выбирают
разные сроки обучения и получают разную зарплату. (Не забудьте указать представления.)
В выявляющем СБР плохому работнику незачем учиться: он и так получит 40,
сэкономив на плате за обучение. Пусть в выявляющем СБР хороший решает учиться e
лет, а плохой – 0 лет. Мы также знаем, что хороший всегда проходит дополнительный
тест, а плохой проходит его с вероятностью 0.5. Итак, наниматель сталкивается с одной из
трех ситуаций: (1) приходит работник с e годами обучения в дипломе, который прошел
тест, (2) приходит работник с 0 лет обучения, прошедший тест, (3) приходит работник с 0
лет обучения, не прошедший тест. Ясно, что наниматель будет платить 100 в первом
случае и 40 во втором и третьем.
Чтобы e соответствовало СБР, хорошему работнику должно быть невыгодно
притворяться плохим, а плохому – хорошим.
Хорошему выгодно казаться хорошим при 100 10e  40  e  6 .
Плохому работнику нет смысла казаться хорошим, тратя на образование e лет
жизни, при 40  0.5 100  0.5  40  10e  e  3 .
Итак, при любом e между 3 и 6 получаем выявляющее СБР, если представления
нанимателя имеют вид: не менее e лет в дипломе и пройденный тест, значит работник
хороший, иначе – плохой.
б. Будем теперь считать, что хороший работник успешно проходит тест с
вероятностью 0.999 . Найдите все выявляющие СБР, в которых работники разных типов
выбирают разные сроки обучения и получают разную зарплату.
В выявляющем СБР у плохого по-прежнему 0 в дипломе, а у хорошего – e  0 .
Однако, теперь наниматель может столкнуться с одной из четырех ситуаций: (1) e в
дипломе тест пройден, (2) e в дипломе тест провален, (3) 0 в дипломе и тест пройден, (4)
0 в дипломе и тест провален. В выявляющем СБР требуемого типа только у хорошего
должно быть e в дипломе и только у плохого – 0 в дипломе. Значит, наниматель должен
платить в случаях 1 и 2 зарплату 100 (даже, если тест провален, то в СБР данного типа он
не может платить хорошему 40), а в случаях 3 и 4 – 40. Таким образом, наниматель
вынужден не обращать внимания на тест.
Хороший выберет e , а не 0, как и прежде, при 100 10e  40  e  6 . Но теперь
плохой выберет 0, а не e , только при 40  100  10e  e  6 . Итак, остается только СБР с 6
годами обучения при представлениях нанимателя: если не менее 6 дет в дипломе, то
хороший, иначе – плохой, независимо от прохождения дополнительного теста.
Задача 4. Рассмотрим следующую экономическую ситуацию, которая развивается в
течение двух периодов. В периоде 1 фирма 1 действует на рынке как монополист. Перед
началом периода 2 фирма 2, зная выпуск фирмы 1 периода 1, решает для себя вопрос:
выйти ей на рынок или нет. Если фирма 2 не выходит на рынок, то ее выигрыш (прибыль)
считается равным нулю, а фирма 1 в периоде 2 продолжает действовать как монополист.
Если фирма 2 решает выйти на рынок, то в периоде 2 обе фирмы одновременно назначают
выпуски (как в дуополии Курно). Цена на продукцию в каждом периоде определяется
согласно обратной функции спроса P(Q)  a  Q , где Q есть суммарный объем выпуска
продукции в данном периоде, причем a  24 .
Затраты фирмы 1 в каждом периоде равны c1 (q1 )  c1  q1 , где q1 – ее выпуск
продукции в данном периоде. Общеизвестно, что величина предельных затрат c1 для
фирмы 1 одна и та же в периодах 1 и 2 и может принимать одно из двух значений:
высокие затраты cH  12 с вероятностью   0.25 или низкие затраты cL  6 с
вероятностью 1    0.75 . При этом фирма 1 точно знает величину c1 .
Если фирма 2 решит выйти на рынок в периоде 2, то ее затраты на выпуск продукции
q2 составят c2 (q2 )  f  c2 q2 . Общеизвестно, что ее фиксированные затраты f , связанные
с выходом на рынок, равны 8, а предельные затраты c2 равны 12.
Предполагается, что фирма 1 стремится максимизировать суммарную прибыль (без
дисконтирования), полученную в двух периодах. Фирма 2 стремится максимизировать
ожидаемую прибыль периода 2.
а. Рассмотрим отдельно период 1. Найдите оптимальные выпуски монополиста q1H и
q1L для высоких и низких затрат, соответственно. Вычислите выигрыш монополиста в
обоих случаях.
Как известно (стр.21 моего учебника 2010), оптимальный выпуск монополиста равен
a  c1
 a  c1 
, поэтому q1H  6 , а q1L  9 . Выигрыш монополиста равен 
 . Положим
2
 2 
1H  36 и 1L  81 .
б. Рассмотрим отдельно период 2, предполагая, что фирма 2 принимает решение о
выходе на рынок, зная предельные затраты c1 фирмы 1. Найдите все равновесия Нэша
(РН) для случая высоких и низких затрат и вычислите соответствующие выигрыши фирм.
Найдем сначала РН без учета фиксированных затрат фирмы 2, а затем проверим,
выгодно ли фирме 2 выходить на рынок. Нетрудно проверить (например, стр. 125), что
при заданных предельных затратах c1 и c2 равновесный выпуск фирмы i равен
a  2ci  c j
, j  2  i. .
3
При высоких затратах выпуски получаются равными 4, а выигрыши – равными 16
для обеих фирм. С учетом фиксированных затрат для фирмы 2 получается выигрыш
16  8  6 . При монопольном выпуске q1H  6 фирмы 1 наилучший ответ фирмы 2
соответствует выпуску 3 и выигрышу фирмы 2, равному 9, что больше фиксированных
затрат, равных 8. Значит, монополия фирмы 1 – это не РН. Следовательно, при высоких
затратах единственное РН – это дуополия с выходом фирмы 2 на рынок.
При низких затратах в РН выпуск фирмы 1 равен 8, а выпуск фирмы 2 равен 2. Без
учета фиксированных затрат это приводит к выигрышу 4 для фирмы 2. Значит, если
фирма 2 знает, что у фирмы 1 низкие затраты, то ей не выгодно выходить на рынок,
поскольку 4  8 . Значит, единственное РН в этом случае – монополия фирмы 1.
в. Найдите равновесие Байеса-Нэша (РБН) в дуополии Курно, которая возникнет в
периоде 2, если фирма 2 решила выйти на рынок при нулевых фиксированных затратах
( f  0 ), полагая, что случаи высоких и низких затрат фирмы 1 реализуются с
вероятностями   0.25 и 1   , соответственно. Вычислите ожидаемый выигрыш фирмы
2 и выигрыши фирмы 1 при высоких и низких затратах в этом РБН.
Воспользуемся формулами со стр. 125, поменяв нумерацию игроков.
2
a  2cH  c2 1  
19

 cH  cL    4.75
3
6
4
a

2
c

c

31
L
2
q1* (cL ) 
  cH  cL    7.75
3
6
4
a

2
c


c

(1


)
c
5
2
H
L
q2* 
  2.5
3
2

*
*
q1   q1 (cH )  (1   )q1 (cL )  7
q1* (cH ) 
2
 19 
u1H  (a  cH  q1* (cH )  q2* )q1* (cH )     22.5625
 4
2
 31 
u  (a  cL  q (cL )  q )q (cL )     60.0625
 4
L
1
*
1
*
2
*
1
2
5
u2  (a  c2  q1  q )q     6.25
2
Итак, при нулевых затратах выигрыш фирмы 2 в этом РБН равен 6.25. Однако в
реальности f  8 , поэтому, если добавить право выбора фирмы 2 входить на рынок или
нет, то она в СБР откажется выходить на рынок, поскольку ожидаемый выигрыш при
входе меньше фиксированных затрат на вход: 6.25  8 .
г. Установите, существует ли скрывающее СБР, в котором фирма 1 в периоде 1
выбирает q1L (из пункта а.) независимо от того, высокие или низкие у нее затраты;
представления фирмы 2 таковы, что она считает вероятность высоких затрат равной
  0.25 при выпуске q1L фирмой 1 в периоде 1 и равной 1 при любом другом выпуске;
фирма 2 не выходит на рынок, а фирма 1 в периоде 2 ведет себя как монополист при
соответствующих затратах.
По правилу Байеса на равновесном пути после выбора q1L  9 фирмой 1 в первом
периоде представления в скрывающем СБР должны совпадать с исходными: вероятность
высоких затрат равна  . Вне равновесного пути при выборе фирмой 1 в периоде 1
выпуска q1  q1L доопределим представления фирмы 2 так, что она с вероятностью 1


*
2
*
2
считает, что у фирмы 1 высокие затраты. Тогда после выбора q1L  9 фирма 2 не будет
выходить на рынок (см. пункт в.), а после q1  q1L ей будет выгодно выходить на рынок
(см. пункт б.), образуя с фирмой 1 дуополию.
Осталось проверить, что фирме 1 любого типа невыгодно отклоняться.
При низких затратах фирма 1 в обоих периодах действует как монополист, получая
81  81  162 (см. а.). Больше этого она получить не может, поэтому при низких затратах
ей отклоняться заведомо невыгодно.
При высоких затратах в периоде 1 фирма 1 выбирает q1L  9 , что дает ей выигрыш
(24 12  9)  9  27 , зато в периоде 2 она, как монополист, получает 36 (см. а.). Если фирма
1 в периоде 1 сыграет как монополист, то получит 36, но потом ей придется
довольствоваться выигрышем 16 в дуополии (см. б). Поскольку 27  36  63  36  16  52 ,
то и при высоких затратах фирме 1 отклоняться невыгодно. Получили требуемое СБР.
д. Установите, будет ли существовать скрывающее СБР, описанное в пункте г., при
увеличении фиксированных затрат до f  17 .
При f  17 фирме 2 невыгодно выходить на рынок (17>16 см. б.), даже если она
точно знает тип фирмы 1. Поэтому фирме 1 при высоких затратах нет смысла
маскироваться: можно смело выступать в роли монополиста в периоде 1. Это разрушает
скрывающее СБР как в г., но приводит к выявляющему СБР.
е. Установите, будет ли существовать скрывающее СБР, описанное в пункте г., при
снижении фиксированных затрат до f  5 .
При f  5 фирме 2 в ответ на скрывающую стратегию ( q1L для обоих типов из а.)
фирмы 1 выгодно выходить на рынок, поскольку 6.25  5 . Но тогда фирме 1 при высоких
затратах становится выгодно отклониться и сыграть как монополист q1H  6 в периоде 1 и
потом в дуополию с фирмой 2 в периоде 2, поскольку 27  22.5625  49.5625  52  36  16
(см. г.). Итак, скрывающее СБР исчезает, но выявляющее СБР остается.