A, n, i - Белорусский государственный университет

ПРЕДИСЛОВИЕ
Инвестиции − это вложения денежных средств в различные активы с
целью получения прибыли, т. е. процесс создания нового капитала. Принято разделять инвестиции на реальные (иначе, имущественные или производственные) и финансовые (нематериальные).
Реальные инвестиции осуществляют, например, предприниматели,
создавая свои предприятия, фирмы, закупая те или иные средства производства. Реальные инвестиции связаны также с рынком недвижимости,
инноваций, патентных прав.
Финансовые инвестиции − это покупка физическими или юридическими лицами ценных бумаг различных эмитентов. В этом случае
приток денег в бизнес происходит опосредованно, через инвестиции в
ценные бумаги.
Инвестиция – это любой инструмент, с помощью которого можно
разместить средства, рассчитывая сохранить их и обеспечить доход. Более
точно, инвестиции − это обмен определенной сегодняшней стоимости на
возможно неопределенную будущую стоимость.
В ходе инвестиционного процесса происходит перемещение средств
от тех, кто имеет избыточные денежные ресурсы (инвестор), к тем, кто в
них нуждается, что имеет большое значение для экономического роста. В
инвестиционном процессе участвуют как институциональные, так и индивидуальные инвесторы. Вознаграждение за инвестиции может поступить
либо в форме текущих доходов, либо в форме прироста капитала.
Инвестор преследует определенные цели − цели инвестирования:
• обеспечить рост вложений, рост рыночной (курсовой) стоимости
бумаги, рост капитала.
• обеспечить доходность вложений, т. е. обеспечить получение текущего дохода в виде дивиденда или процента.
• обеспечить безопасность вложений, т. е. гарантировать отсутствие
риска потери капитала (как вложенных средств, так и предстоящих
доходов).
Цели эти достаточно противоречивы: например, самые безопасные
ценные бумаги (краткосрочные государственные обязательства) являются
наименее доходными. Ценные бумаги, подверженные значительным ценовым колебаниям, являются и самыми ненадежными объектами инвестиций.
Ликвидность ценной бумаги, т. е. быстрое для держателя ценной
бумаги превращение ее в деньги, − одна из целей инвестиций. При покупке ценной бумаги инвестор должен отвечать на вопрос, достаточно ли ликвидна ценная бумага?
3
Таким образом, инвестор сначала должен определить цели инвестирования, а затем проанализировать доступные инвестиционные инструменты (проекты) и отобрать наиболее приемлемые, исходя из сформулированных целей (сформировать свой инвестиционный портфель).
Инвестиционный проект − последовательность взаимосвязанных
инвестиций, растянутых во времени, и доходов от них, тоже растянутых
во времени.
Инвестиционный анализ – это анализ показателей эффективности
инвестиционных проектов и анализ надежности вложений в эти проекты.
Экономическое образование предполагает овладение современными
методами инвестиционного анализа, включающими описание инвестиционных инструментов и их математических моделей, моделей простейших
финансовых операций, финансовых потоков, методов финансовой (актуарной) математики. Инвестиционный анализ сегодня − краеугольный камень подготовки экономистов, банковских работников.
Учебное пособие содержит систематизированное изложение методов
инвестиционного анализа, используемых на финансовом рынке, на рынке,
где товаром являются наличные деньги, кредиты, ценные бумаги. Овладение методами инвестиционного анализа необходимо для проведения разнообразных расчетов, с которыми сталкиваются финансисты-аналитики,
экономисты в банках, инвестиционных отделах производственных и коммерческих фирм.
В первых двух главах при рассмотрении финансовых операций
простейшего вида вводятся основные понятия финансового анализа:
простейшая (элементарная) финансовая операция, относительный рост
(интерес), дисконт, простая и сложная ставки процента, простая и сложная учетные ставки, номинальная ставка, комбинированная схема начисления процента, эффективная ставка, эквивалентные ставки, непрерывное начисление процентов и сила роста, доходность финансовой
операции, наращенная сумма, дисконтирование и современная стоимость, замена платежей и т. д. Приведены примеры использования введенных понятий при расчетах платежей и при нахождении различных
показателей финансовых операций.
В третьей главе рассматриваются реальные инвестиции (инвестиционные проекты, кредитные и коммерческие контракты), в которых имеют
дело с потоками платежей. На основе понятия современной стоимости капитала вводятся основные показатели эффективности инвестиционных
проектов (NPV, IRR, рентабельность, окупаемость) и обсуждаются способы их вычислений. Для платежей, образующих постоянную ренту пост
4
нумерандо, проводится расчет наращенной суммы и современной стоимости ренты для разных вариантов платежей и начислений процентов. Результаты используются при решении задач, связанных с планированием
погашения долгосрочной задолженности при анализе кредитных и коммерческих контрактов, аренды оборудования.
В четвертой главе рассматриваются такие инвестиционные инструменты, как вложения в долговые и долевые ценные бумаги.
В пятой главе рассматриваются вопросы страхования финансовых
рисков. Основное внимание уделяется математическим моделям страхования, как краткосрочного, так и долгосрочного.
Шестая глава содержит сжатое изложение портфельной теории лауреатов Нобелевской премии по экономике Марковица, Тобина, Шарпа.
Здесь изложение максимально приближено к практике деятельности белорусских и российских банков. Так, модели управления активами и пассивами банка учитывают действующие обязательные нормативы.
Учебное пособие содержит большое число примеров, что позволяет
самостоятельно овладеть соответствующими навыками. В ряде случаев
рассмотренные примеры имеют самостоятельное значение.
Пособие рассчитано на студентов экономических и финансовоэкономических факультетов, а также магистров и представляет собой семестровый курс лекций, который авторы в течение ряда лет ведут в Белорусском государственном университете и Ставропольском государственном
техническом университете. Часть материала может быть использована математиками, изучающими курс «Математические методы в экономике», а
также будет полезна финансовым специалистам различного уровня.
Введение. ПРЕДМЕТ ИНВЕСТИЦИОННОГО АНАЛИЗА
Инвестиции – вложение капитала с целью получения прибыли. Инвестиционный анализ является самостоятельной дисциплиной теории финансов. Практически все финансовые решения от простейших финансовых расчетов до отбора крупных финансовых проектов основываются на
правилах, вытекающих из теории финансов. Современная теория финансов базируется на трех гипотезах и пяти действительно крупных теориях
(моделях), предложенных в последние десятилетия.
Во-первых, это гипотеза о совершенности рынков капитала (perfect
capital markets), включающая отсутствие налогов, транспортных затрат, затрат
на информационное обеспечение, наличие большого числа покупателей и
продавцов, вследствие чего действия отдельных субъектов не влияют на цены.
Во-вторых, это гипотеза об эффективности (информационной)
рынков (efficient markets hypothesis, EMH), которая требует выполнения
четырех условий:
1) информация становится доступной всем субъектам рынка одновременно и ее получение не связано с какими либо затруднениями;
2) отсутствуют трансакционные затраты, налоги и другие препятствующие совершению сделок факторы;
3) сделки, совершаемые отдельными физическими или юридическими лицами, не могут повлять на общий уровень цен;
4) все субъекты рынка действуют рационально, стремясь максимизировать ожидаему выгоду.
Очевидно, что все эти четыре условия не соблюдаются ни на одном
реальном рынке. Поэтому гипотеза EMH подразделяется на три уровня: слабая
форма (weak form), умеренная форма (semistrong form) и сильная форма (strong
form), отличающиеся степенью учета в текущих рыночных ценах информации.
Сильная форма EMH предполагает, что в текущих рыночных ценах отражена
вся информация: и общедоступная, и доступная лишь отдельным лицам, − т. е.
сверхдоходы не могут получить даже посвященные менеджеры.
Умеренная форма гипотезы EMH предполагает, что текущие рыночные цены отражают не только изменение в прошлом, но также и всю остальную общедоступную информацию. Из умеренной формы гипотезы
EMH, в частности, вытекает, что аналитики, имеющие доступ лишь к
общедоступной информации, не могут добиться результатов, существенно
превышающих среднерыночные.
Слабая форма гипотезы EMH подразумевает, что вся информация,
содержащаяся в прошлых изменениях цен, полностью отражена в текущих
6
рыночных ценах. Если на фондовом рынке имеется слабая форма гипотезы EMH, то бессмысленно заниматься техническим анализом.
В-третьих, это гипотеза компромисса между риском и доходностью. При умеренной форме эффективности рынка, когда в ценах отражена вся информация и, следовательно, стоимости ценных бумаг не содержат никаких искажений, альтернативы заключаются в том, что более высокие доходы сопряжены с более высоким риском.
Эти три гипотезы, в той или иной мере имеющие отношение к совершенности рынков капитала и невозможности получения сверхдоходов, позволили построить ряд изящных теорий. Несмотря на жесткость исходных
гипотез (предпосылок), данные теории при применении к реальным рынкам
дают вполне удовлетворительные результаты, видимо и по той причине, что
мы просто не умеем в логических построениях «смягчать» исходные предпосылки. Перейдем к перечислению основных теорий (моделей) инвестиционного анализа.
Во-первых, теория дисконтированных денежных потоков (Discounted
Cash Flow, ВСF), включающая модели и методы анализа:
1) расчета прогнозируемых денежных потоков;
2) оценки степени риска для денежных потоков;
3) включения оценки риска в анализ (метод безрискового эквивалента или метод скорректированной на риск ставки дисконта);
4) определения приведенной стоимости денежного потока с помощью техники расчета временной ценности денег.
Во-вторых, теория структуры капитала (модели Модильяни и Миллера)
о том, что стоимость любой фирмы определяется исключительно ее будущими доходами и, следовательно, не зависит от соотношения акционерного и
заемного капитала. Точнее, Модильяни и Миллер доказали с помощью теории арбитражных операций, что способ привлечения средств в фирму на совершенных рынках капитала при нулевом налогообложении не влияет на ее
будущую стоимость. Позднее теория Модильяни−Миллера модифицирована
в теорию компромисса между экономией от снижения налоговых выплат и
затрат от финансовых затруднений (tax saving-financial costs tradeoff theory)
В-третьих, теория инвестиционного портфеля (модель Марковица−Тобина), а также теория оценки доходности финансовых активов
(Capital Asset Pricing Model, CAPM), разработанная Шарпом.
В-четвертых, теория ценообразования опционов (модель Блэка−Шоулза − Black-Scholes Option Pricing Model, OPM).
В-пятых, теория агентских отношений, позволившая формализовать
конфликты интересов собственников капитала и менеджеров – лиц, которым предоставлено право принятия решений.
7
Глава 1
АНАЛИЗ ПРОСТЕЙШИХ ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ.
ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ
1.1. Исчисление процентов
Практически все финансовые расчеты связаны с исчислением процентов. Введем понятия, необходимые в дальнейшем для проведения таких
расчетов.
q
Процент А от A0 ( q% , или q = % ):
100
q% =
A
A
100, или q =
.
A0
A0
(1.1)
Очевидно, что
q
A = % A0 = qA0 ,
100
A0 =
(1.2)
A
A
100 =
.
q%
q0
(1.3)
Это определение соответствует пропорции:
A0 − 100 ,
A
− q%
⇒
A q%
=
.
A0 100
i
Процент изменения величины А ( i% , или i = % ):
100
i% =
A − A0
100 ,
A0
или
i =
A − A0
.
A0
(1.4)
Отсюда находим
A = A0 +
i%
i 

A0 = A0  1 + %  ,
100
100 

или
(1.5)
A = A0 + iA0 = A0 ( 1 + i ).
Формулы (1.5) позволяют вычислять конечное значение величины,
если известны начальное значение A0 и процент ее изменения i.
Если известны конечное значение A и процент ее изменения i, то начальное значение A0 будет даваться формулой
A0 =
A
A
=
100.
1 + i 100 + i%
(1.6)
8
Далее в тексте, в условиях задач и примеров, мы будем отождествлять
i = 0,45 и 45 %, но если в формуле написано i% , то надо подставлять 45 %,
а если i, то 0,45.
Пример 1.1. Если начальное значение A0 = 4 , конечное A = 5 , то величина A изменилась на
5−4
= 0 ,25 = 25% (увеличилась на 25 %).
4
Если начальное значение A0 = 5 , а конечное A = 5 , то величина А изi=
менилась на
i=
4−5
= −0 ,2 = −20% (уменьшилась на 20 %).
5
Говорят еще: 5 больше 4 на 25 %, а 4 меньше 5 на 20 %.
Заметим уже здесь, что в инвестиционном анализе, чтобы не иметь
дело с отрицательными процентами в последнем случае вводят понятие
относительной скидки d (см. параграф 2). Она составит
d=
5−4
= 0 ,2 = 20% .
5
Пример 1.2. Зарплата Х при переводе с должности доцента на должность декана была увеличена на 50 %. На сколько процентов уменьшится
зарплата Х, если он будет возвращен на прежнюю должность?
Пусть A0 − зарплата доцента, i = 50% = 0 ,5 , тогда зарплата декана
A = A0 ( 1 + i ) = 1,5 ⋅ A0 .
Уменьшение зарплаты при обратном переводе составит
d=
1,5 A0 − A0 1
= ≈ 33 ,3%.
1,5 A0
3
Обозначим через
∆A = A − A0
(1.7)
изменение величины A в абсолютных единицах, тогда
i
∆A = % A0 = iA0 .
100
Если A0 = 4 , i = 0 ,25 , то ∆A = 0 ,25 ⋅ 4 = 1.
9
(1.8)
Отметим, что в формуле (1.5) множитель 1 + i , стоящий в скобках, показывает, во сколько раз возросла величина A. Если величина A увеличилась в 1,4 раза, то она возросла на i = 1,4 − 1 = 0 ,4i% = 40% .
Поэтапное изменение величины. Схема сложных процентов.
Пусть величина A подвержена поэтапному изменению, когда внутри этапа
она не меняется, а в конце каждого этапа скачком изменяется на одно и то
же число процентов − i% . Если A0 − начальное значение величины A, то:
в конце первого этапа значение A станет равным
A1 = A0 (1 + i ),
в конце второго этапа
A2 = A1 ⋅ (1 + i ) = A0 ⋅ (1 + i ) 2 ,
в конце третьего этапа
A3 = A2 ⋅ (1 + i ) = A0 ⋅ (1 + i ) 3 ,
и т. д. В конце n-го этапа A примет значение
n
i 

An = A0 (1 + i ) = A0  1 + %  .
100 

n
(1.9)
Формула (1.9) называется формулой сложных процентов , а рассуждения, приводящие к ней − схемой сложных процентов . Множитель (1 + i ) n в (1.9) показывает, во сколько раз возрастает величина A
за n этапов, и называется множителем наращения по схеме сложных
процентов
q = (1 + i ) n =
An
.
A0
(1.10)
Процент изменения i за этап в финансовом анализе называют
ставкой сложных процентов (см. параграф 2.1). Если известны A0 , An
и n, то из (1.9) можно найти i, предполагая, что имеет место схема
сложных процентов
1
1


A
An n
n

n
i = ( ) − 1, или i% = ( ) − 1 100.

 A0
A0


(1.11)
Иногда конечное значение величины будем обозначать A (без индекса n).
10
Пример 1.3. Если A0 = 4 , i=50 %=0,5, то через четыре этапа значение
A станет равным
A = 4 ⋅ (1 + 0,5 )4 = 4 ⋅ 1,5 4 = 4 ⋅ 5,0625 = 20,25;
т. е. величина A возрастет в q = (1 + 0,5) 4 = 5,0625 раза.
Обратно, если A0 =4, A=20,25, то при схеме сложных процентов и
n=4, процент изменения величины за этап составит
1
 20,25  4
i =

4
 − 1 = 1,5 − 1 = 0,5 = 50%.

Пусть i − процент изменения за этап при схеме сложных процентов.
Обозначим через iT − процент изменения величины A через n этапов. Выразим iT через i и n. Для этого дважды запишем выражение для конечного
значения A через A0 .
A = A0 ⋅ (1 + i ) n и A = A0 ⋅ (1 + iT ).
Приравнивая правые части, находим
iT = (1 + i ) n − 1,
или
(
)
iT % = ( 1 − i ) n − 1 ⋅ 100.
(1.12)
Пример 1.4. Финансовая компания «Русская недвижимость» в
1993 году по текущим вкладам использовала схему сложных процентов. При этом этапом были сутки, суточная ставка процента i=0,45
%=0,0045. Через месяц (31 день) сумма вклада возрастет на
iT = (1 + 0,0045) 31 − 1 = 1,0045 31 − 1 ≈ 0,149 = 14,9% ,
через год на
iT = 1,0045 365 − 1 ≈ 5,149 − 1 = 4,149 = 414,9% .
Сумма вклада за месяц возрастет в
q = 1,0045 31 = 1,149 раз,
за год в
q = 1,0045 365 ≈ 5,149 раз.
11
Пример 1.5. Под темпом инфляции понимают относительный прирост цен за период. Фраза «Инфляция идет в темпе 10 % в месяц» означает, что имеет место схема сложных процентов, этапом в которой является
месяц, за каждый месяц цены увеличиваются на 10 %. За год цены возрастут на
iT = (1 + 0,1) 12 − 1 = 1,112 − 1 ≈ 3,1384 − 1 = 2,1384 = 213,84%,
или в
q = 1,112 = 3,1384 раза.
При темпе инфляции 3 % в месяц, за год цены возрастут на
iT = 1,03 12 − 1 ≈ 1,4258 − 1 = 0,4258 − 1 = 42,58%,
или в
q = 1,03 12 = 1,4258 раза.
При темпе 1 % в месяц
iT = 1,0112 − 1 = 1,1268 − 1 = 0,1268 = 12,68%,
q = 1,1268 .
При использовании схемы сложных процентов (1.9) и известных A0 ,
An и i часто приходится находить число этапов n. Это можно сделать, логарифмируя (1.9) по любому основанию, например, основанию натурального логарифма. Находим
A 
ln n 
A
A 
ln q
ln n  = n ⋅ ln(1 + i ) ⇒ n =  0  =
.
ln(1 + i ) ln(1 + i )
 A0 
(1.13)
Весьма часто находят число этапов n(2), по истечению которых величина A удвоится, т. е. такое n при котором An = 2 A0 .
Для этого случая имеем из (1.13)
n( 2) =
ln 2
.
ln(i + 1)
(1.14)
Если i << 1, или i% << 100, то, оставляя в разложении
ln(1 + x) = x −
x2 x3 x4
+
−
+ ...
2
3
4
12
− первый член и пренебрегая остальными, т. е. полагая
ln( 1 + i ) ≈ i
и учитывая, что ln 2 ≈ 0,69 ≈ 0,7 , получим
n( 2 ) =
0,7 70
=
.
i
i%
(1.15)
Формула (1.15) известна как «правило семидесяти».
Пример 1.6. Инфляция на группу табачных изделий идет в темпе 3,5
% в месяц. Через какое время цена сигарет удвоится?
Tак как i=3,5 % 1/мес.=0,0035 1/мес. << 1 , то
n( 2) =
70
= 20 месяцев.
3,5
Сейчас, в эпоху компьютеров, роль «правила семидесяти» менее
значима, и расчет для произвольных значений i легко провести по формуле (1.14).
Если An = qA0 , то формула
n( q ) =
ln q
ln(i + 1)
(1.16)
дает число этапов, по истечению которых величина A увеличивается в q
раз при схеме сложных процентов.
Пусть величина A подвержена поэтапному изменению, а i1 , i2 ,... −
процент изменения величины A на 1-м, 2-м и т. д. этапах. Через n этапов
значение A станет равным
An = A0 (1 + i1 )(1 + i2 ) × .... × (1 + i n ).
(1.17)
Величина A увеличится в
q = (1 + i1 )(1 + i2 ) × ... × (1 + in ) раз, или на iT %, где
iT = (1 + i1 )(1 + i2 ) × ... × (1 + i n ) − 1.
(1.18)
Пример 1.7. На первом этапе величина A возросла на 25 %, на втором
− новое значение A уменьшилось на 20 % . Процент изменения величины А
за два этапа составит
iT = (1 + 0,25)(1 − 0,20 ) − 1 =1,25·0,80-1=1-1=0.
Через два этапа, при таком ее изменении, значение величины A станет
равным исходному.
13
Эффективным значением ief для формулы (1.17) называется такой
постоянный процент изменения величины на всех этапах, который через n
периодов дает то же значение An , что и схема (1.17). Таким образом, для
заданных A0 и An
An = A0 (1 + ief ) n .
(1.19)
Приравнивая правые части (1.17) и (1.19), получим
1
ief = [(1 + i1 )(1 + i2 ) × .... × (1 + in )]n − 1.
(1.20)
Пример 1.8. Если на первом этапе величина A увеличилась на 21 %,
на втором на 69 %, то эффективная ставка для этих этапов составит
ief = ( 1 + 0 ,21 )( 1 + 0 ,69 ) − 1 = 1,21 ⋅ 1,69 − 1 = 1,1 ⋅ 1,3 − 1 = 0,43 = 43%.
Иногда эффективную ставку называют еще средним процентом (для
схемы сложных процентов).
1.2. Простейшая финансовая операция, ее характеристики
Важным понятием в инвестиционном анализе является понятие простейшей (элементарной) финансовой операции. Под этим понимают однократное предоставление в долг некоторой суммы A0 c условием, что
через время T заемщик вернет сумму AT . Заметим, что в простейшей операции имеют дело с двумя платежами (капиталами): начальным платежом A0 и конечным AT .
В зависимости от того, какой из капиталов ( A0 или AT ) берут за основу, эффективность операции характеризуют одной из следующих величин:
1) Интерес по операции, относительный рост, процентный рост по
iT %
), который есть отношение приращения капи100
тала AT − A0 к начальному капиталу A0 :
операции ( iT % или iT =
A − A0
A − A0
iT % = T
100 или iT = T
.
A0
A0
(2.1)
Учитывая, что
AT = A0 + iT A0 = A0 (1 + i0 )
(2.2)
I T = ∆A = AT − A0 = iT A0 ,
(2.3)
и
14
говорят, что сделка описывается с позиции «начальная сумма A0 плюс
интерес I T ».
Доход кредитора по операции принято обозначать I T и называть процентными деньгами (или, кратко, процентами), так что
AT = A0 + I T .
(2.4)
Конечную сумму AT называют наращенной суммой, множитель
(1 + iT ) − множителем наращения.
d
2) Относительная скидка, дисконт по операции ( d T % или d T = T % )
100
есть отношение приращения капитала AT − A0 к конечному капиталу AT :
A − A0
A − A0
100 или d T = T
.
dT % = T
AT
AT
(2.5)
Учитывая, что
A0 = AT − AT d T = AT (1 − d T )
(2.6)
A0 = AT − I T , I T = AT d T ,
(2.7)
и
говорят, что инвестиционная сделка описывается с позиции «конечная
сумма минус скидка», а величину A0 называют дисконтированной суммой
или дисконтированным капиталом.
Пример 1.9. Кредит в сумме 2 млн руб. выдан с условием, что заемщик через полгода вернет 4 млн руб.
Интерес, или процентный рост по операции за полгода составит
iT =
4−2
= 1 = 100% .
2
Если кредит в сумме 5 млн руб. выдан на год с дисконтом 20 % (дисконтная ссуда), то это означает, что заемщик получит
A0 = 5(1 − 0,2) = 4 млн руб.,
а через год вернет 5 млн руб.
Кредит в 5 млн руб., выданный в виде процентной ссуды на год
под 20 %, означает, что заемщик получит 5 млн руб., а через год вернет кредитору
AT = 5(1 + 0,2) = 6 млн руб.
15
Пример 1.10. Облигация номиналом 1000 руб., сроком обращения
полгода, размещается по цене 800 руб. Говорят, что облигация размещается с дисконтом
dT =
1000 − 800
= 0,2 = 20% по курсу 80 %=100-20.
1000
Владелец облигации через полгода, гася ее по номиналу, получает доход в виде дисконта 1000-800=200 руб.
Из определений (2.1) и (2.5) можно получить связь между характеристиками iT и d T
iT =
dT %
dT
, или iT % =
100,
1 − dT
100 − d T %
dT =
(2.8)
i
iT
, или d T % = T % 100.
1 + iT
1 + iT %
Если по операции d T = 0,2 = 20% , то из (2.8) находим, что для этой
операции iT = 0,25 = 25% , и, наоборот, если iT = 0,25 = 25% , то дисконт по
ней d T = 0,2 = 20% .
Обычно в условиях сделки (кредит, депозит и т. д.) оговаривают ставку процента или дисконт за базовый промежуток времени, обычно год.
Базовые характеристики будем обозначать без индекса T:
• i − годовая ставка процента, годовая ставка наращения;
• d − годичный дисконт, называемый еще учетной ставкой или годовой учетной ставкой.
Связь между базовыми характеристиками i и d и временными iT и d T
оговариваются (явно или неявно) в условиях сделки. Как правило, для
рассматриваемых операций простейшего вида используют:
• схему простых процентов;
• схему сложных процентов;
• комбинированную схему;
• схему с непрерывным начислением процентов.
Годовая ставка процента i (ставка наращения) задается, если по операции известна начальная сумма, на которую производят начисление процентов. Расчет на основе задания ставки процента i называют декурсивным или «расчет на 100».
Учетная ставка d по операции задается, если по ней известна конечная
сумма и надо произвести скидку с конечной суммы. Расчет на основе задания учетной ставки d называют антисипативным или «расчет со 100».
16
Эти ставки измеряются в процентах и в виде десятичной или натуральной дроби. В последнем случае они в условии сделки фиксируются с
точностью
1
1
или
.
16
32
1.3. Продолжительность краткосрочной сделки
Продолжительность инвестиционной сделки бывает самой различной −
от одного дня до нескольких десятков лет. Операции длительностью
менее года называют краткосрочными, более года − среднесрочными и
долгосрочными.
Обозначим через t продолжительность сделки в днях, через T − продолжительность ее в годах, тогда
T=
t
,
K
(3.1)
где К=360 или 365(366) − временная база.
Продолжительность сделки в днях t определяют или приближенно
или точно, но в обоих случаях первый и последний дни считаются за один
(первый не считается, последний считается).
При приближенном подсчете t все месяцы считаются одинаковыми по
30 дней.
Пример 1.11. Начало сделки − 18.01, конец − 4.03. Продолжительность
сделки в днях при приближенном подсчете составит
t= 12+30+4= 46 дней.
При точном подсчете число дней сделки считается по календарю с
учетом продолжительности каждого месяца.
При точном подсчете t=13+28+4=45 дней.
Если начало сделки − 4.07, а конец − 18.09, то:
по приближенной схеме t=26+30+18=74 дня,
по точной схеме t=27+31+18=76 дней.
При приближенном способе подсчета проделывают такие «вычисления»:
для первого примера:
t=
4 18 4 − 18 ( 4 + 30 ) − 18 16
−
=
=
=
= 46 дней,
3 1
3−1
( 3 − 1) − 1
1
для примера 2:
t=
18 4 18 − 4 14
− =
=
= 74 дня.
2
9 7 9 −7
17
При точном подсчете числа дней сделки всем датам в году присваиваются порядковые номера от 1 (1 января) до 365 (31 декабря), если год не
високосный. Для рассмотренного примера 18.01 имеет порядковый номер
18, а 4.03 − 63.
Продолжительность операции t=63−18=45 дней.
Продолжительность операции T в годах находится по формуле (3.1),
причем:
при базе К=360 дней, t может находиться приближенно (метод
точно (метод
360
), или
360
365
);
360
при базе К=365 дней, t находится точно (метод
365
).
365
1.4. Схема простых процентов
Схема простых процентов используется, как правило, для краткосрочных сделок, т. е. сделок с T<1 года. По некоторым операциям (например, по потребительскому кредиту) схема простых процентов используется независимо от ее длительности.
При простых процентах начисления ведутся на одну и ту же начальную сумму, и величина процентных начислений пропорциональна длительности сделки. Таким образом, при схеме простых процентов
iT = iT = i
t
,
K
(4.1)
если по операции задается ставка процентов годовых i;
аналогично
dT = dT = d
t
,
K
(4.2)
если по операции задается учетная ставка d.
Для схемы простых процентов основные расчетные формулы получаются из формул параграфа 1.2 с учетом (4.1) и (4.2).
Наращенная сумма находится по формуле
AT = A0 ( 1 + iT ) = A0 ( 1 + i
t
)
K
(4.3)
и состоит из сумм основного долга A0 и процентных денег
I T = A0 iT = A0 i
t
.
K
IT
:
(4.4)
18
Пример 1.12. Кредит в 2 млн руб. (процентная ссуда) выдан с
20.01.1994 по 20.03.1994 года под 120 % годовых. Какова сумма погасительного платежа и величина процентных начислений?
Длительность операции составит:
t=11+28+20=59 дней − при точном подсчете;
t=10+30+20=60 дней − при приближенном подсчете.
Находим величину погасительного платежа AT при K=365 и t=59
59 

AT = 2 1 + 1,2
 = 2 ,387945 млн руб.= 2387,945 тыс. руб.
365 

Доход кредитора по операции или процентный платеж по ней
I T = 2387 ,945 − 2000 = 387945 руб.
При базе К=360 и t=60
60 

AT = 2 1 + 1,2
 = 2 ,4 млн руб.
360 

I T = 2 ,4 − 2 = 0 ,4 млн руб. =400 тыс. руб.
Можно сначала находить
I T = 2 ⋅ 1,2
60
= 0 ,4 млн руб.,
360
а затем величину погасительного платежа
AT = 2 + 0 ,4 = 2 ,4 млн руб.
Из (4.3) и (4.4) и из примера видно, что кредитору выгодна схема,
при которой величина
t
будет наибольшей. Это достигается выбором
K
базы K=360 и подсчетом t по схеме, дающей для заданных дат платежей наибольшее значение числа дней. Отметим еще, что если в схеме
простых процентов используется база К=360, то говорят, что начисляются обыкновенные проценты (с точным или приближенным числом
дней ссуды). Если же К=365, то говорят, что начисляются точные проценты. В обоих случаях годовую ставку процента i называют еще
ставкой простых процентов.
В сделках часто предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки при использовании схемы простых процентов. Если в течение времени T1 ставка была i1 , в течение времени T2 ставка i2 и т. д., то
наращенная на конец срока сумма определяется по формуле
AT = A0 (1 + i1T1 + i2T2 + ... + inTn ) = A0 (1 + ∑ i K TK ).
19
(4.5)
Пример 1.13. Кредит предусматривает следующий порядок начисления процентов: в первом квартале используется ставка 16 % годовых, в
каждом следующем на 1 % больше. Необходимо определить множитель
наращения за 1,25 года. Находим
1 + ∑ i K T K =1 + 0 ,16
1
1
1
1
1
+ 0 ,17 + 0 ,18 + 0 ,19 + 0 ,20 = 1+0 ,225=1,225.
4
4
4
4
4
В финансовой практике часто возникает задача определения начального платежа A0 при известной величине конечного платежа AT и длительности операции T. Если по операции задана ставка простых процентов
i, то из (4.3) находим
A0 =
AT
=
1 + iT
AT
t
1+ i
K
(4.6)
.
Пример 1.14. Через 120 дней после подписания контракта должник
уплатит 1,8 млн руб. Какова первоначальная сумма долга, если кредит выдан под 60 % годовых? Временную базу принять равной 360 дням.
Согласно (4.6) находим
A0 =
1,8
1 + 0,6
120
360
=
3
= 1,5 млн руб.
2
Формулы (4.3) и (4.6) - количественное выражение в рамках простых процентов важнейшей экономической концепции − концепции изменения ценности денег во времени. Мудрость «время − деньги» и
«деньги сейчас лучше, чем деньги завтра» − отражение сути формул
(4.3) и (4.6). Тысяча рублей сейчас дороже, чем тысяча рублей, полученных, например, через год. И дело не в инфляции или риске неполучения денег через год (хотя и эти моменты существенны), а суть в том,
что в рыночной экономике деньги − капитал: в рыночной экономике
деньги могут быть инвестированы и принести доход в будущем. При
ставке 20 % годовых депозит в 1000 руб. через год превратится в
1000 (1+0,2)=1200 руб.
И обратно, 1200 руб., которые будут через год, сегодня стоят только
1000 руб., так как 1000 =
1200
.
1 + 0,2
20
Вычисления по формуле (4.6) − это нахождение сегодняшней стоимости A0 будущего капитала AT в рамках схемы простых процентов.
Итак, A0 − сегодняшняя, говорят еще современная стоимость (Present
Value), будущего капитала AT . Нахождение A0 по формуле (4.6) называется дисконтированием, точнее дисконтированием с помощью ставки
простых процентов. Далее мы увидим, что дисконтировать, т. е. находить
современную стоимость, можно, задавая учетную ставку d или ставку
сложных процентов.
При разработке условий контрактов или их анализе возникает необходимость находить срок ссуды при заданных A0 , AT и i. Из (4.3) и (4.4)
находим:
продолжительность в годах
AT
−1
AT − A0
A0
I
,
T=
=
=
i
A0 i
A0 i
(4.7)
продолжительность в днях
AT
−1
A0
AT − A0
I
K.
t=
K=
K=
i
A0 i
A0 i
(4.7a)
Пример 1.15. Какова должна быть продолжительность ссуды в днях,
чтобы долг 10 тыс. долларов вырос до 10,5 тыс. долларов при условии, что
на сумму долга начисляются простые проценты по ставке 8 % годовых?
По формуле (4.7) получаем
10,5
−1
10
t=
365 = 228 дней.
0,08
Если заданы платежи A0 и AT и продолжительность операции T, то
можно найти ставку простых процентов i, связывающую эти платежи.
Имеем
K
A − A0 1 AT − A0 K  AT
i
i= T = T
=
= 
− 1 .
T
A0 T
A0
t  A0
 t
(4.8)
В инвестиционном анализе ставка процента i применяется не только
как инструмент наращения суммы долга, но и в более широком смысле −
как измеритель степени эффективности финансовой операции или
21
коммерческо-хозяйственной деятельности. Ставка простых процентов i,
определенная формулами (4.8), есть годовая доходность операции в виде
ставки простых процентов, операции, которая из капитала A0 за время T
делает капитал AT .
Пример 1.16. Определить доходность в виде ставки простых процентов сделки, которая предусматривает погашение обязательства в сумме 10
млн руб. через 120 дней. Первоначальная сумма долга 8,5 млн руб.
10 − 8,5 360
⋅
≈ 0,529 = 52,9%;
8,5
120
10 − 8,5 365
б) при К=365, i =
⋅
≈ 0,537 = 53,7%.
8,5
120
а) при К=360, i =
Расчет платежей на основе задания простой учетной ставки. Напомним, что учетная ставка d задается, если известен конечный капитал
AT и надо произвести скидку с конечной суммы для вычисления начального капитала A0 . При схеме простых процентов простая учетная ставка d
дается формулами (4.2) и (2.5).
A − A 1 A − A0 K
d
d
d= T = T K= T 0 = T
.
T
t
AT T
AT
t
При заданных AT , d и T начальная сумма A0 дается формулой
A0 = AT (1 − dT ) = AT (1 − d
t
).
K
(4.9)
(4.10)
Вычисление A0 по формуле (4.10) называется дисконтированием или
учетом капитала AT с помощью простой учетной ставки d. Множитель
(1 − dT ) называют дисконтирующим множителем, иногда еще банковским
дисконтом. Очевидно, что формула (4.10) имеет смысл только, если
dT = d
t
< 1.
K
Разность
I T = AT − A0 = AT d
t
K
(4.11)
определяет доход кредитора по операции (с заданной учетной ставкой) в
абсолютных единицах и часто тоже называется дисконтом.
При расчете платежей на основе задания учетной ставки d временную
базу принимают, как правило, равной К=360.
22
Пример 1.17. Кредит 2 млн руб. выдан в виде дисконтной ссуды с
20.01 по 20.05. Учетная ставка 12 % годовых.
Это означает, что 20.01 заемщик получит (К=360, t=120)
A0 = 2(1 − 0,12
120
) = 1,92 млн руб.,
360
а 20.05 возвратит кредитору 2 млн руб.
Доход кредитора по операции (дисконт) составит
I T = 2 − 1,92 = 0,08 млн руб. = 80 тыс. руб.
Доходность этой операции для кредитора (простая ставка процента)
составит
i=
0,08 360
= 0,125 = 12,5%.
1,92 120
Если по операции длительностью T задана ставка процента i, то эквивалентная ей ставка d находится по формуле
d=
i
=
1 + iT
i
t
1+i
K
(4.12)
.
Обратно, при задании по операции учетной ставки, ставку процента i
можно найти по формулам
i=
d
=
1 − dT
d
t
1− d
K
=
dK
.
K − dt
(4.13)
Эти формулы следуют из (2.8), (4.1), (4.2).
Пример 1.18. Ставка процента по полугодовой кредитной операции −
100 % годовых. Эквивалентная ей учетная ставка d по этой операции составит
d=
1
≈ 0,67 = 67% .
1 + 1 ⋅ 0,5
Если d=12 % годовых и t=120 (пример 1.17), то
i=
0,12
1
1 − 0,12 ⋅
3
= 0,125 = 12,5% .
23
Бывает, что в сделке фиксируется дисконт dT по операции (см. 2.5), а не
учетная ставка. Тогда ставка простых процентов определяется формулой
i=
dT
dT K
=
.
T (1 − dT ) t (1 − dT )
(4.14)
Пример 1.19. Долговое обязательство размещается на полгода с дисконтом 20 %.
Доходность вложений денег в это обязательство в виде ставки простых процентов будет
i=
0,2
= 0,5 = 50% .
0,5(1 − 0,2)
При заданных A0 , d, T наращенную сумму AT находят по формуле
−1
A0
t 

AT =
= A0  1 − d  ,
1 − dT
K

1
t 

= 1 − d 
где
1 − dT 
K
−1
(4.15)
− множитель наращения по простой учетной ставке.
Бывают финансовые инструменты, где на сумму долга A0 начисляются простые проценты по ставке i за время T предоставления долга,
и этот инструмент учитывается по простой учетной ставке d за T1 до
срока погашения долга.
Полученная при учете сумма составит
A1 = A0 (1 + iT )(1 − dT1 ).
(4.16)
Пример 1.20. Долговое обязательство было учтено за 120 дней до его
погашения. При учетной ставке 18 % годовых сумма учета составила 1,8
млн руб.
Величина погасительного платежа по обязательству составит
AT =
1,8
120
1 − 0,18 ⋅
360
= 1,915 млн руб.
24
Пример 1.21. На долг 12 млн руб. начисляются проценты по простой
ставке 12 % годовых в течение 180 дней. Это долговое обязательство было
учтено банком за 60 дней до его погашения. Учетная ставка составила 10 %
годовых. Необходимо выяснить, каков доход банка по этой операции? Установить, какова доходность этой операции для банка?
Величина погасительного платежа по долговому обязательству:
AT = 12(1 + 0,12 ⋅
180
) = 12,72 млн руб.
360
Сумма учета, т. е., цена, уплаченная банком за долговое обязательство
A1 = 12,72(1 − 0,1 ⋅
60
) = 12,508 млн руб.
360
Доход банка в виде дисконта равен
I = 12,72 − 12,58 = 0,212 млн руб.=212 тыс. руб.
Доходность этой операции для банка, понимаемая как ставка простых
процентов, составит
i=
0,212 365
⋅
= 10,3%.
12,508 60
1.5. Потребительский кредит
Потребительский кредит служит для кредитования населения с целью
стимулирования спроса на товары. Предоставляют его банки и предприятия.
При расчете платежей по погашению потребительского кредита используется схема простых процентов независимо от срока кредита.
Схема 1. Платежи одинаковой величины, как правило, ежемесячные и
обеспечивают выплату и основного долга, и процентных начислений за
предоставленный кредит.
Пусть A0 − сумма кредита, выданного на T лет под i % годовых, m −
число платежей в году, обычно m=12.
Схема основана на рассуждении: через время T сумма долга с начисленными процентами составит A = A0 (1 + iT ).
За T лет платежи будут сделаны mT раз. Величина разового платежа Y
будет равна
Y=
A
A (1 + iT ) A0 + A0iT
= 0
.
=
mT
mT
mT
(5.1)
25
Пример 1.22. Потребительский кредит на сумму 1,2 млн руб. предоставлен на 6 месяцев под 12 % годовых. Необходимо найти величину месячного платежа.
Y =
1,2(1 + 0,12 ⋅ 0,5)
= 0,212 млн руб.
12 ⋅ 0,5
Ежемесячные выплаты составляют 212 тыс. руб.
Схема 1 достаточно жесткая по отношению к заемщику, т. к. в ней
процентные начисления делаются на весь срок T и на всю сумму кредита
A0 . Но каждая ежемесячная выплата уменьшает сумму долга, и начисления должны бы делаться на все меньшие суммы, а это должно привести к
меньшей величине месячного платежа.
Схема 2. Пусть A0 − величина кредита, i − ставка простых процентов,
l = mT − полное число платежей, m − число платежей в году, T − срок кредита (в годах),
1
A
A
− период платежей, 0 = 0 − величина платежа за
m
l
mT
этап в счет погашения суммы основного долга. Процентные выплаты за
этапы вычисляются по правилу:
i
− процентный платеж за 1-й период (меI 1 = A0
сяц), начисленный на всю сумму долга A0 .
m
A  i
A i  1

I 2 =  A0 − 0  = 0  1 − 
l m
m 
l

− процентный платеж за 2-й период, на
численный на оставшуюся сумму долга;
A  i
A i  2

I 3 =  A0 − 2 0  = 0  1 − 
l m
m 
l

− процентный платеж за 3-й период;
Ai 
K − 1
IK = 0 ⋅ 1 −
.
m 
l 
За последний этап K = l величина процентного платежа будет
Il = A0
i 1
. Общая величина процентных платежей
ml
K − 1
1
A i   1 
2

I = I1 + I 2 + ... + I l = 0  1 +  1 −  +  1 −  + ... +  1 +
 + ... +  .
l 
l
m  
l 
l

В квадратных скобках стоит сумма первых l членов геометрической
1
l
прогрессии, первый член которой a1 =1, последний − a l = .
26
a +a
Учитывая, что эта сумма равна S = 1 l l , получаем
2
I = A0
i l  1
lT 
1 
.
 1 +  = A0  1 +
m 2
l
2
mT 
(5.2)
Для суммы одного платежа получаем
A + I A0 + I
=
,
Y= 0
mT
l
(5.3)
где I дается формулой (5.2).
Пример 1.23. Найдем по формулам (5.2) и (5.3) величину месячного
платежа для задачи (1.22).
I = 1200
0,12 ⋅ 0,5 
1 
1 +
 = 42 тыс. руб.;
2
 12 ⋅ 0,5 
A0 = 1,2 млн руб.; Y =
1200 + 42
= 207 тыс. руб.
12 ⋅ 0,5
План погашения кредита (амортизационный план) будет выглядеть
так. Месячная выплата основного долга
A0
1200
=
= 207 тыс. руб.
l
12 ⋅ 0,5
Месячный взнос представляет собой сумму месячной выплаты основного долга и процентного платежа за данный месяц. Находим процентные
платежи по месяцам:
0,12
1

= 12 тыс.руб.;
I 2 = 1200 ⋅ 0,12 1 −  = 10 тыс.руб.;
12
 6
0,12 
2
0,12 
3
I 3 = 1200
 1 −  = 8 тыс.руб.; I 4 = 1200
 1 −  = 6 тыс.руб.;
12  6 
12  6 
0,12 
4
0,12 
5
I 5 = 1200
 1 −  = 4 тыс.руб.; I6 = 1200
 1 −  = 2 тыс.руб.
12  6 
12  6 
I1 = 1200
Месячные взносы:
за 1-й месяц 200+12=212 тыс. руб.; за 2-й месяц 200+10=210 тыс. руб.;
за 3-й месяц 200+8= 208 тыс. руб.; за 4-й месяц 200+6=206 тыс. руб.;
за 5-й месяц 200+4=204 тыс. руб.; за 6-й месяц 200+2= 202 тыс. руб.
Общая величина процентных платежей
I = I1 + I 2 + I 3 + I 4 + I 5 = 42 тыс. руб.
A +I
Величина месячного (одинакового) платежа Y = 0
= 207 тыс. руб.,
l
что меньше, чем по схеме 1.
27
1.6. Погашение краткосрочного долга по частям
Рассмотренный выше потребительский кредит − пример ссуды, которая
погашается по частям. С помощью частичных платежей погашаются различные краткосрочные обязательства, а термин «краткосрочные» здесь означает,
что на долг начисляются простые проценты. Если не оговорено иное, то используются обыкновенные (К=360) проценты с приближенным числом дней.
В основном используют два метода расчета платежей при погашении
долга по частям: актуарный метод и правило «торговца».
Актуарный метод (Actuarial method). Частичный платеж Y идет в первую очередь на погашение процентов, начисленных на дату платежа. Если
величина платежа превышает сумму начисленных процентов, то разница
идет на погашение основного долга. Остаток долга (непогашенный остаток)
служит базой для начисления процентов за следующий период и т. д.
Если платеж Y меньше начисленных процентов, то никаких зачетов в
сумме долга не делается, а поступление Y приплюсовывается к следующему платежу. Последний платеж в конце оговоренного срока должен
быть таким, чтобы задолженность стала равной нулю. Эту схему удобно
изобразить для наглядности графически (рис. 1.1).
A1
A0
Y1
A2
K1
Y2
A3
K2
Y3
T1
T2
T3
Рис. 1.1. Поток платежей по актуарному методу
Пусть кредит в размере A0 на Т лет и погашается тремя платежами
Y1, Y2 , Y3 с интервалами T1 , T2 , T3 .
На долг начисляются простые проценты по ставке i, так, что сумма
долга AT = A0 (1 + iT ) линейно растет со временем. Долг − стрелка вверх,
платежи − стрелки вниз.
28
Остаток задолженности для указанных моментов после уплаты составляет
K1 = A0 (1 + iT1 ) − Y1 ,
K 2 = K 1 (1 + iT2 ) − Y2 ,
K 2 (1 + iT3 ) − Y3 = 0 .
Пример 1.24. Ссуда 1,5 млн руб. выдана под 20 % годовых с 10.08.94
по 10.06.95 года. В счет погашения долга 10.12.94 года поступило 800 тыс.
руб. Найдем величину второго, погасительного платежа.
Имеем A0 = 1,5 , i = 0,2 , T1 =
4
6
, T2 = ,
12
12
4
6


Y1 = 0,8 , Y2 = 1,5(1 + 0,2) − 0,8  (1 + 0,2) = 0,88 млн руб.
12
12


Итак, второй погасительный платеж составил 880 тыс.руб.
Правило торговца (Merchant’s Rule). На сумму долга A0 начисляются проценты за все время Т предоставления кредита. Наращенная на
конец срока сумма равна
AT = A0 (1 + iT ).
На частичные платежи Y1, Y2 ,... с момента их поступления тоже начисляются проценты до конца срока. Наращенные суммы этих платежей будут
R1 = Y1 (1 + iT1 ) , R 2 = Y2 (1 + iT2 ) и т. д.
Величина последнего погасительного платежа Y находится из условия
сбалансированности операции:
Y = AT − ∑ R K = A0 ( 1 + iT ) − ∑ YK ( 1 + iTK ).
Пример 1.25. Для задачи (1.24) величина второго платежа, балансирующего платежи, найденная по методу торговца, составит
Y2 = 1,5(1 +
10
6
0,2) − 0,8(1 + 0,2) = 0,87 млн руб.,
12
12
что несколько меньше, чем в (1.24). Причину этого легко увидеть, если
сравнить структуру выражения для Y2 в обоих случаях, именно
[1 + i(T1 + T2 )] ≠ (1 + iT1 ) ∗ (1 + iT2 )...
29
1.7. Финансовые и коммерческие векселя
Вексель − письменное долговое обязательство, составленное в предписанном законом форме и дающее его владельцу безусловное право требовать по
наступлению срока или досрочно с лица, выдавшего или акцептовавшего обязательство, уплаты оговоренной в нем суммы − номинала (валюты) векселя.
Класс векселей достаточно многообразен: они отличаются по эмитенту, обслуживаемым сделкам, субъекту, производящему оплату.
По признаку эмитента различают казначейские и частные векселя. Казначейский вексель − краткосрочное долговое обязательство, выпускаемое
правительством при участии Центробанка со сроком погашения, как правило, от 90 до 180 дней. Частные векселя эмитируются корпорациями, финансовыми компаниями, коммерческими банками. Срок обращения − от
нескольких недель до нескольких месяцев. Специального обеспечения эти
бумаги не имеют, залогом их надежности выступает устойчивость финансового положения и авторитет векселедателя.
Финансовый вексель − обслуживает чисто финансовые операции: с помощью их оформляются ссудные сделки (краткосрочные кредиты). Финансовый
вексель отражает отношение займа денег векселедателем у векселедержателя
под определенные проценты. Разновидностями такого долгового обязательства
являются банковский, дружеский, бронзовый векселя.
Цель выпуска банковских векселей − привлечь в банковский оборот
свободные денежные средства. Схема обращения банковского векселя
представлена на рис.1.2.
Рис. 1.2. Схема обращения банковского векселя
Кредитор (юридическое или физическое лицо) покупает вексель по
дисконтной цене, а через определенное время погашает долговое обязательство по номинальной цене, имея доход, равный разности номинала и
цены приобретения.
Банковский вексель может быть использован векселедержателем как
средство платежа при расчетах с другими предприятиями, а также продан
на вторичном рынке ценных бумаг. В обоих случаях на оборотной стороне
векселя предусмотрена передаточная надпись.
30
Дружеский вексель выписывается тогда, когда один предприниматель
оказывает помощь другому предпринимателю, испытывающему финансовые
затруднения. Схема обращения дружеского векселя показана на рис.13.
Рис.1.3. Схема обращения дружеского векселя
Первый (векселедатель) выписывает вексель второму (первому векселедержателю), а он передает вексель третьему лицу (второму векселедержателю) в оплату своих обязательств. При наступлении срока платежа второй векселедержатель погашает долговое обязательство у векселедателя. Первый
векселедержатель рассчитывается с векселедателем по договоренности, когда
финансовое положение стабилизируется. Бронзовый (фиктивный) вексель
выдается в целях мошенничества − он выставляется и акцептируется несуществующими на деле фирмами. Возможен и другой вариант: два лица выставляют векселя друг на друга, после чего учитывают долговые обязательства в
разных банках, т. е. продают векселя банкам по цене, меньшей вексельной
суммы. При наступлении срока погашения, чтобы оплатить эти векселя, оба
лица вновь выставляют друг на друга новые векселя и учитывают их в других
банках. Схема эта показана на рис.1.4.
Рис. 1.4. Схема обращения бронзового векселя
31
Коммерческий или товарный вексель. В основе коммерческого (товарного) векселя лежит сделка по купле−продаже товара (товарная сделка).
Продавец (фирма А) поставляет покупателю (фирме В) товар, получает от последнего, при отсутствии у него свободных денег, обязательство уплатить через определенное время стоимость товара и проценты за отсрочку платежа.
Общий итог оплаты единой вексельной суммой фиксируется в документе. Таким образом, коммерческий вексель выступает как форма коммерческого кредита, предоставляемого друг другу предпринимателями, в отличие от банковского, выдаваемого банком. Первой в использовании товарного векселя была
Франция, затем ее примеру последовали Голландия, Германия. Сейчас в Германии доля векселя в финансовом обороте доходит до 25 %. С появлением товарного векселя торговцы вышли из зависимости у банкиров. Однако банки
играют самую активную роль в обращении коммерческих векселей, получая
свою долю прибыли (см. дальше операцию учета векселя, переучет векселей,
форфейтные сделки).
В зависимости от субъекта, производящего выплату вексельной суммы, различают простой и переводной векселя.
Простой вексель, иначе собственный вексель, или соло-вексель, выписывается в одном экземпляре покупателем товара поставщику. В простом векселе с самого начала участвуют два лица:
1) векселедатель, который сам обязуется уплатить по векселю;
2) векселедержатель, которому принадлежит право на получение
платежа по векселю.
Рис. 1.5. Схема обращения простого векселя
Первый векселедержатель может передать право на получение платежа по векселю второму векселедержателю по передаточной надписи. Такая необходимость возникает, например, если первый векселедержатель
приобретает материалы или услуги у другого лица и расплачивается с ним
векселем. Передаточная надпись называется индоссаментом и проставляется на оборотной стороне векселя или, если не осталось места, на аллонже. Аллонж − дополнительный лист, который приклеивается к векселю
для последующих передаточных надписей. Лицо, передающее вексель, −
32
индоссант; лицо, которому передается вексель, − индоссат. Если вексель
многократно передается из рук в руки по передаточной записи, то ответственность по нему для всех участвующих лиц является солидарной. При
неуплате по векселю в установленный срок протест в неплатеже выставляется против векселедателя.
Переводной вексель (тратта) − письменный документ, содержащий безусловный приказ векселедателя (трассанта) плательщику (трассату) уплатить определенную сумму денег в определенный срок и в определенном
месте векселедержателю (получателю по векселю), или по его приказу другому лицу. В переводном векселе изначально участвуют три лица:
1) векселедатель (трассант), который переводит (трассирует) платеж на
трассата;
2) трассат, являющийся плательщиком по векселю;
3) векселедержатель, имеющий право на получение платежа у трассата.
При совершении товарной сделки покупатель выставляет вексель в
двух экземплярах: первый (прима) отправляется трассату, второй (секунда) − продавцу товара. Схема обращения переводного векселя представлена на рис.1.6.
Рис. 1.6. Схема обращения переводного векселя
Второй экземпляр переводного векселя с помощью индоссамента (как и
простой вексель) может передаваться от одного векселедержателя другому.
Для уплаты трассатом по векселю необходимо, чтобы трассат осуществил акцепт векселя. Акцепт - письменное обязательство на переводном
векселе, которым трассат принимает документ к платежу. Акцепт может
быть произведен, начиная со дня выдачи векселя и кончая моментом наступления срока платежа. Если трассат не акцептировал вексель или не
33
заплатил по нему, то вексельную сумму платит трассант, а против трассата возникает протест в неплатеже.
Переводной вексель получил распространение во многих странах, в частности в Германии, но у нас предпочтение отдается простому векселю.
Доходность финансовых векселей. Как правило, финансовый вексель размещается с дисконтом, а погашается по номиналу. Пусть A0 − цена размещения векселя, а N = AT − цена погашения, равная номиналу векселя, T − срок обращения векселя. Доход вложившего деньги в этот вексель IT = N − A0 .
Доходность вложений в это долговое обязательство понимаем как
ставку простых процентов (годовую эффективность) i по этой операции (4.8)
I 1 I K N − A0 K
i= T = T =
.
A0 T
A0t
A0
t
Если по этой операции дисконт d T указан в процентах (долях), то доходность вложений рассчитывается по формуле (4.14)
i=
dT K
.
(1 − dT )t
Пример 1.26. В качестве примера банковского векселя рассмотрим
векселя эмиссионного синдиката (АвтоВАЗбанк, Инкомбанк, Конверсбанк). Период размещения серии 01−93 с 11.01.93 по 24.03.93 года. Дата
погашения 3.05.93 года. Цена размещения 8260 руб. при номинале 10000
руб., цена размещения не менялась в этот период.
1. Вексель куплен в первый день размещения 11.01.93 года. При точном определении числа дней сделки
t = 20 + 28 + 31 + 30 + 3 = 112 дней.
Доходность вложений (К=360) в эту ценную бумагу составит
i=
10000 − 8260 360
= 0,6771 = 61,71%.
8260
112
2. Вексель куплен в последний день 24.01.93 года.
t = 7 + 28 + 31 + 30 + 3 = 99 дней, i =
10000 − 8260 360
= 0,766 = 76 ,6%.
8260
99
Естественно, что годовая эффективность этой сделки (доходность) во
втором случае выше, чем в первом.
34
В качестве второго примера финансового векселя рассмотрим популярную в США ценную бумагу − вексель казначейства США (US Treasure
Bill). Это ценная бумага, гарантирующая выплату определенной суммы
(номинала) − 10 тыс.долларов в указанный срок (maturity) вплоть до 1 года
с момента покупки. Продажа трех- и шестимесячных векселей осуществляется на еженедельных аукционах, годичных − на ежемесячных аукционах.
Покупатель предлагает в заявке определенную цену и указывает желаемое
число векселей. На аукцион выставляется определенное число векселей и
удовлетворяются заявки, начиная с тех, в которых указана наибольшая цена. В аукционах участвуют дилеры правительственных ценных бумаг, которые перепродают их индивидуальным инвесторам через брокерские конторы и банки. Информация о купле−продаже векселей публикуется в финансовой прессе и заложена в компьютерную сеть. Для примера строка из
публикации от 25.05.84 г.
Mat.date
8,30
US Treasure Bills
Bid
Asked
Discount
9,74
9,66
Yield
10,0
Дата исполнения по векселю (Mat. date) 30 августа. Диллеры продавали (Asked) вексель с годичным дисконтом (учетной ставкой) – 9,66 % и
покупали (Bid) его с более высоким годичным дисконтом − 9,74 %. Так
как, продолжительность сделки составляет 97 дней, то по формуле (4.13)
находим доходность вложений инвестора (дилера) в эту бумагу
9 ,74
100
i=
≈ 0 ,10 = 10 %.
9 ,74 97
1−
⋅
100 360
Эта цифра и проставлена в последней колонке Yeld − годовая доходность.
Цена продажи на каждые 100 долл. номинала векселя равна
97
9,66 97 

= 97 ,40 долл.
Pa = 100 1 −
 = 100 − 9,66
360
100 360 

Цена покупки на каждые 100 долл. номинала векселя
Pb = 100 − 9,74 ⋅
97
= 97 ,38 долл.
360
Разница Pa − Pb =0,02 долл. составляет заработок дилера.
35
Если финансовый вексель размещается по номиналу, то по нему устанавливается годовая ставка процента i. Доход I T по такому векселю со
сроком погашения t дней составит
IT =
Nit
.
K
Пример 1.27. Вексель номиналом 10 тыс. руб. размещен по номиналу
на 90 дней под 50 % годовых. Цена такого векселя растет по закону
t 

AT = N  1 + i ,
K

а доход по нему составит I T =
0,5 ⋅ 10 ⋅ 90
= 1,25 тыс.руб.
360
Учет коммерческих векселей. Держатель коммерческого векселя (в
нашем примере фирма A) может хранить его до даты погашения, а затем
предъявить к оплате. Однако при недостатке денежных средств фирма А
может продать вексель банку, клиентом которого она является. Банк покупает (учитывает) вексель раньше срока исполнения по нему по цене
ниже номинала (с дисконтом) и имеет доход в виде дисконта и банковского сбора. Эта операция называется учетом векселя, а вексель в данной ситуации выступает инструментом получения наличных денег (рис.1.7).
Рис. 1.7. Схема учета коммерческого векселя банком
Векселедержатель (фирма А), учитывая вексель, освобождается от забот по возвращению долга, получает необходимые ему деньги, а банк, покупая чужой долг, имеет свою долю прибыли в виде дисконта и комиссионного сбора. Внедрение в хозяйственную практику вексельного обраще36
ния позволяет ускорить оборот оборотных средств, решить проблему неплатежей. Учет векселей производится на основе задания учетной ставки
d по этой операции.
Пусть N − номинал векселя, A0 − дисконтированная величина векселя,
иначе − сумма, уплаченная банком за вексель, I T − дисконт в пользу банка. Тогда:
IT = N − A0 = NdT = Nd
t
,
K
(7.1)
t 

A 0 = N  1 − d .
K

При учете векселей временная база К=360, поэтому формулы (7.1) с
учетом этого значения К часто пишут в виде:
IT =
Nt
36000
, где D =
.
d%
D
(7.2)
D называют процентный ключ (девизор), а величину Nt − процентное
число.
Пример 1.28. Вексель номиналом 30000 руб., сроком погашения 6.09,
учтен в банке 6.06. Учетная ставка составляет 9 % годовых. Найдем сумму, уплаченную банком за вексель и доход банка по этой операции.
Срок от даты учета до даты погашения составляет
t = 14 + 31 + 31 + 6 = 92 дня.
Доход банка в виде дисконта
IT =
30 ⋅ 9 ⋅ 92
= 0,690 тыс. руб. = 690 руб.
36000
Сумма, уплаченная банком за вексель
A0 = N − I T = 30 − 0,690 = 29,310 тыс. руб.
В практике западных банков этому расчету соответствует такая запись ( Va - принятое в мировой практике обозначение даты платежа).
Вексель учтен
30000
Va
6.06.93
Дисконт (92 дн. /9 %)
690
6.09.93
------------------------------------------------------------------- .
Дисконтированная
величина
29310
Va 6.06.93
37
Если по операции учета векселя известна дисконтированная величина
векселя A0 , то номинал векселя N и дисконт по нему I T будут находиться
по формулам
N=
где D =
A0
t 
AD

= 0 = A0  1 +
,
dt
−
D
−
t
D
t


1−
360
(7.3)
36000
− девизор (процентный ключ).
d%
A ⋅t
IT = N − A0 = 0 .
D−t
(7.4)
Пример 1.29. Вексель учтен 10.04, срок погашения 9.06, учетная ставка
6 %. Банк уплатил за вексель 5940 долларов. Необходимо найти вексельную
сумму и дисконт по векселю. Дисконт при учете векселя составит (t=60
дней):
IT =
5940 ⋅ 60
= 60 долл.,
6000 − 60
номинал векселя
N=5940+60=6000 долл.
Этому расчету соответствует запись
Вексель учтен
6000
Va 10.04.
Дисконт 60 дн. /6 %
60
09.06.
-------------------------------------------------------------------Дисконтированная
величина
5940
Va 10.04.
Центральный банк (ЦБ) может производить переучет (редисконтирование) векселей, учтенных коммерческими банками. Возникает
кредитование одним банком (ЦБ) другого (коммерческого). В результате этой финансовой операции дисконт, полученный при учете векселя, распределяется между двумя банками. Чтобы доход имели оба
участника сделки, необходимо, чтобы ставка, по которой производится переучет, была меньше учетной ставки коммерческого банка.
38
Пример 1.30. Вексель номиналом 100 тыс. руб. был учтен коммерческим банком за 72 дня до даты погашения при ставке 8 % годовых и переучтен ЦБ по ставке 6 % годовых за 30 дней до погашения. Сумма, полученная векселедержателем при учете векселя коммерческим банком за 72
дня до погашения,
72 

100 1 − 0,08
 = 98,4 тыс. руб.
360 

Сумма, полученная коммерческим банком при переучете векселя ЦБ,
30 

100 1 − 0,06
 = 99,5 тыс. руб.
360 

Доход коммерческого банка по этой операции
99,5−98,4=1,1 тыс. руб.
Доход, полученный ЦБ по операции,
100−99,5=0,5 тыс. руб.
Доходность этой операции для коммерческого банка (продолжительностью 72−30=42 дня)
i1 =
1,1 360
= 0 ,0958 = 9 ,58 %.
98 ,4 42
Доходность операции для ЦБ
i2 =
0 ,5 360
= 6 ,03 %.
99 ,5 30
Пример 1.31. Банк А имеет в редисконте у банка B на 18.06 три векселя: 250 тыс. руб. (Va 18.09), 300 тыс. руб. (Va 14.08), 230 тыс. руб. (Va 19.08)
и этими векселями погашает векселя, срок которых наступил, добавляя наличными недостающую сумму. Учетная ставка редисконта − 9 % годовых.
Укажем платежи, сделанные банком A. 18.06 банк А должен уплатить по
векселям 200+400+260=860 тыс. руб. Дисконтированная на эту дату вексельная сумма трех новых векселей составит
9 ⋅ 62 
9 ⋅ 57 
9 ⋅ 92 



250 1 −
 + 300 1 −
 + 230 1 −
 = 766,41 тыс. руб.
36000 
36000 
36000 



Для погашения 18.06 суммы 860 тыс. руб. должник должен наличными уплатить 860−766,41=93,59 тыс. руб.
Итак, платежи банка А будут (без учета затрат банка на оформление
сделки): 93,59 тыс. руб, (18.06); 250 тыс. руб. (18.09); 300 тыс. руб. (14.08);
230 тыс. руб. (19.08).
39
1.8. Ломбардный кредит
При ломбардном кредите заемщик обеспечивает получаемый кредит
ценными бумагами или материальными ценностями (залог). При этом в мировой практике принято, что величина ломбардного кредита не должна превышать 75−80 % номинальной стоимости залога. Если кредит обеспечен
ценными бумагами, его сумма рассчитывается исходя из 75−80 % текущей
курсовой стоимости данных ценных бумаг. Обычно ломбардный кредит выдается на трехмесячный срок в виде дисконтной ссуды. Пусть N − величина
залога, сумма кредита А=(0,75-0,80)N, продолжительность ссуды t в днях
считается точно, а T =
t
, d − годичный дисконт (учетная ставка), A0 −
360
получаемая заемщиком сумма. Кредит в размере А, выданный в виде дис

контной ссуды, означает, что заемщик на руки получит A0 = A 1 −
dt 
, а
K
через время t вернет сумму А. Доход кредитора − процентные начисления
на сумму А кредита
IT = AdT =
Ad% t
36000
.
Варианты выплаты долга: заемщик весь долг погашает вовремя; заемщик продлевает срок погашения на следующие три месяца; вовремя
выплачивает лишь часть долга, а оставшуюся часть погашает в следующем периоде. Если заемщик не погасит кредит вовремя, он, как правило,
должен рассчитаться с кредитором по увеличенной (штрафной) ставке в
течение всего времени просрочки платежа.
Пример 1.32. Для получения трехмесячного ломбардного кредита
клиент обратился 10.03 в банк и предоставил 150 акций, курсовая стоимость которых 3000 руб. Сумма кредита рассчитывается исходя из 80 %
их курсовой стоимости и возвращается заемщиком 10.06. Годовая ставка
(дисконт) − 9 %. Опишем платежи по этой операции.
Сумма залога N = 3000 ⋅ 150 = 450 тыс. руб.
Сумма кредита A = 0,8 ⋅ 450 = 360 тыс. руб.
Продолжительность ссуды с 10.03 по 10.06: t=92 дня.
Сумма, полученная заемщиком 10.03
92 

A0 = 360 1 − 0,9
 = 351,72 тыс. руб.
360 

Доход банка (без учета затрат на оформление кредита)
IT = 360 − 351,72 = 8,28 тыс. руб.
40
Пример 1.33. Предположим, что в примере 1.32 заемщик выплатил
10.06 только 60 тыс. в счет погашения долга и продлил погашение кредита
еще на три месяца. Укажем платежи заемщика в этом случае.
После уплаты 10.06 суммы 60 тыс. руб. остаток долга - 300 тыс. руб.
В практике западных стран начисленные на остаток долга проценты уплачиваются в тот же день, а остаток долга через три месяца. Начисленная
процентная сумма по ставке 9 % годовых на срок t=92 дня составит
300
92
= 6 ,9 тыс. руб.
36000
Итак, 10.06 платеж 60+6,9=66,9 тыс. руб. без учета стоимости услуг, а
10.09 − 300 тыс. pуб.
1.9. Замена платежей при простых процентах
Под заменой платежей на финансовом рынке понимают продление
(пролонгацию) срока платежа, замену нескольких платежей одним (консолидация платежей), замену одного платежа несколькими и т. п. При замене
платежей не должны пострадать обе стороны сделки − принцип финансовой
эквивалентности платежей. Математическое выражение принципа финансовой эквивалентности: две схемы платежей будут финансово эквивалентными, если, будучи приведены к одной дате, они оказываются равными.
Приведение платежей к одной дате (одному моменту времени) осуществляется путем дисконтирования к более ранней дате или, наоборот, путем наращения сумм платежей к более поздней дате. Дисконтирование или наращение может производиться или с помощью ставки процента i, или на основе задания учетной ставки d.
Консолидация платежей. Платежи заемщика S 1 , S 2 ,..., S n со сроками
V a1 , V a 2 ,..., V an заменяются одним со сроком Va0 − консолидация платежей. При замене платежей оговорена ставка процента − i % годовых. Необходимо найти сумму S0 консолидированного платежа.
Будем считать сроки упорядоченными, т. е. Va1 < Va 2 <...< Van .
1. Случай Va0 > Van . Тогда все платежи пролонгируются: платеж S 1
пролонгируется на t01 = Va0 − Va1 дней, платеж S 2 − на t02 = Va0 − Va 2 дней и
т. д. При использовании схемы простых процентов
 t

 t

 t

 t

S 0 = S 1  1 + 01 i  + S 2  1 + 02 i  + ... + S n  1 + 0 n i  = ∑ S K  1 + 0 K i . (9.1)
K 
K 
K 
K 




41
Пример 1.34. Два платежа S 1 = 100 тыс. руб., Va =12.02, S2 = 150 тыс.
руб., Va 2 =15.03 заменяются одним со сроком Va0 =5.04. Стороны договорились на замену платежей при i=50 % годовых. Найти величину консолидированного платежа. При точном определении числа дней
t01 = Va0 − Va1 = 5.04 − 12.02 = 95 − 43 = 52 дня;
t02 = Va0 − Va 2 = 5.04 − 15.03 = 95 − 74 = 21 день;
21
52




0,5  = 261,438 тыс. руб.
0,5  + 150 1 +
S 0 = 100 1 +
365
365




2. Случай Va1 ,Va 2 ,...,Vak < V0 < Vak +1 ,...,Van , т. е. первые К платежей
пролонгируются, а платежи, начиная с К+1-го, выплачиваются ранее намеченных сроков. В этом случае
k
n
t0 r 
t



S0 = ∑ S r  1 +
i  + ∑ S r  1 + 0r i 
K  r = k +1 
K 
r =1 
−1
.
(9.2)
Эту ситуацию изображают схемой, представленной на рис. 1.8.
Рис. 1.8
При приведении платежей к сроку Va0 в (9.2) в правой части суммируются К наращенных платежей и n дисконтированных платежей.
Пример 1.35. Три платежа S1 = 100 тыс.руб. (15.05), S2 = 150 тыс.
руб. (15.06) и S3 = 200 тыс.руб. (15.08) заменяются на один сроком на
1.08. Найти величину консолидированного платежа, если используются
простые проценты при ставке i=80 % годовых. Платежи S 1 и S 2 пролонгируются соответственно на
t01 = 1.08 − 15.05 = 213 − 135 = 78 дней,
t02 = 1.08 − 15.06 = 213 − 166 = 47 дней.
Платеж S 3 дисконтируется на t 03 = 15.08 − 1.08 = 14 дней.
78
47




S0 = 100 1 +
0,8  + 150 1 +
0,8  +
365
365




14


+ 200 1 +
0,8 
365


−1
= 476 ,594 тыс. руб.
42
При объединении обязательств можно применять учетные ставки d.
Дисконтирование и наращение на основе учетной ставки осуществляется
формулами (4.10) и (4.15).
Пример 1.36. Два векселя со сроками Va1 = 10.06 и S 1 =10 тыс. долл.,
V a 2 =1.08 и S 2 =20 тыс.долл. заменяются одним сроком на 1.10. Найти сумму
нового векселя, если по этой операции взята учетная ставка 8 % годовых.
Сроки пролонгации векселей составляют
t01 = Va0 − Va1 =274-161=113 дней,
t02 = Va0 − Va 2 =274-213=61 день.
Сумма нового векселя − это сумма наращенных по учетной ставке
значений S1 и S2 (К=360).
113


0,08 
S0 = 10 1 −
360


−1
61


+ 20 1 −
0,08 
360


−1
= 30,532 тыс. долл.
Определение срока консолидированного платежа. Рассмотрим задачу замены платежей, когда необходимо найти срок консолидированного
платежа при заданной его величине.
1. Платежи S 1 , S 2 ,..., S n сроками Va1 , Va 2 ,..., Van заменяются одним S 0 ,
причем величина платежа S0 равна сумме заменяемых платежей
S0 = S1 + S2 + ... + Sn .
(9.3)
Необходимо найти Va0 − дату консолидированного платежа S 0 при
условии (9.3), называемую еще средним сроком погашения ссуды. Рассмотрим случай, когда по операции задается ставка процента i, одинаковая для всех платежей.
В этом случае в качестве даты приведения удобно взять Van − дату
последнего платежа. По принципу финансовой эквивалентности
 t

 t
S1 1 + n1 i  + S2  1 + n 2
K
K 



 t
i  + ... + Sn  1 + nn
K


 t

i  = S0 1 + 0
K



i ,

(9.4)
где
t n1 = V an − V a1 , tn 2 = Van − Va 2 ,..., t nn = 0 , t 0 = V an − V a0 .
Эту ситуацию для наглядности можно изобразить схемой, представленной на рис. 1.9.
43
Рис. 1.9.
Из (9.4) получаем с учетом (9.3)
S 1t n1 + S 2 t n 2 + ... + S n −1t nn −1 = S 0 t 0 .
Отсюда
S t + S 2 t n 2 + ... + S n−1t nn −1 + S n 0
,
t 0 = 1 n1
S 1 + S 2 + ... + S n
(9.5)
V a0 = V an − t 0 .
Таким образом, средний срок погашения ссуды Va0 наступает на t 0
дней раньше срока последнего платежа Van , где t 0 находится по формуле (9.5).
Пример 1.37. Заемщик должен кредитору три различных суммы:
1000, Va1 = 11.03; 2000, Va 2 = 20.04; 5000, Va3 =6.05, − и желает погасить
долг единовременным платежом 8000 ед. Определить дату этого платежа,
если ставка процента i для всех платежей одинакова.
Учитывая, что
t31 = 6.05 − 11.03 = 126 − 70 = 56 ,
t21 = 6.05 − 20.04 = 126 − 110 = 16 ,
находим по (9.5)
t0 =
1000 ⋅ 56 + 2000 ⋅ 16 + 5000 ⋅ 0
= 11 дней.
1000 + 2000 + 5000
Дата заменяющего платежа будет
Va0 = 6.05 − 11 = 126 − 11 = 115 = 25.04.
Заметим, что в расчете по (9.5) знание ставки процента i не требуется.
Если по операции задается учетная ставка d, одинаковая для всех платежей, то, дисконтируя платежи с помощью учетной ставки к V a1 , найдем,
44
что срок консолидированного платежа (9.3) наступает через t 0 дней после
даты первого платежа, т. е.
V a0 = V a1 + t 0 ,
где
S 0 + S 2 t 21 + S 3 t 31 + ... + S n t n1
.
t0 = 1
S 1 + S 2 + .... + S n
(9.6)
Для примера 1.37 находим, что
t0 =
1000 ⋅ 0 + 2000 ⋅ 40 + 5000 ⋅ 56
= 45 дней,
8000
Va0 = 11.03 + 45 = 70 + 45 = 115 = 25.04.
2. Величина нового платежа S 0 не равна сумме заменяемых платежей,
т. е.
S0 ≠ ∑ S j .
В этом случае уравнение эквивалентности
 t 
S0 1 + 0 i 
K 

−1
 t 
= ∑ S r 1 + r i 
K 

r
−1
,
откуда





K
S0
− 1 .
Va0 = t0 = 
−1
tr 
 
 i
1
i
+
⋅


∑

K 
 r 

(9.7)
Пример 1.38. Платежи S 1 =10 тыс. долл. (15.05), S 2 =20 тыс. долл.
(15.06), S 3 =15 тыс. долл. (15.08) заменяются на S 0 =46 тыс. долл. Найти
дату этого платежа, если i=8 % годовых.
t 
 135


A0 = ∑ Sr  1 + r i  = 10 1 +
0 ,08 
K 
365



−1


+ 15 1 +
227

0,08 
365

−1
 166

0 ,08 
+ 20 1 +
365


=43,3 тыс. долл.
 46
 365
− 1
Va = t0 = 
= 285 = 12.10.
 43,3  0,08
45
−1
+
1.10. Инфляция и процентная ставка
Рассмотрим вопрос о процентной ставке в условиях инфляции. Под
инфляцией здесь будем понимать рост цены товара (группы товаров, потребительской корзины) во времени вследствие обесценивания денег.
Пусть годовой темп инфляции составляет r процентов, так что если С0 –
цена товара в начале сделки, то через год цена товара станет равной
C= C0( 1 + r ).
(10.1)
Рассмотрим в этих условиях простейшую ссудную сделку с предоставлением на год некоторой суммы А0. Если по ней установлена ставка
i % годовых, то через год наращенная сумма будет равна
A = A0 (1 + i ).
(10.2)
Ставка наращения i, устанавливаемая в условиях инфляции по этой
операции, называется номинальной или брутто–ставкой; она определяет
доходность операции i =
A − A0
в денежном измерении, именно через год
A0
наращенная сумма А будет на i % больше А0.
Под реальной ставкой процента b (обозначают еще i0) понимают доходность сделки (10.2) в товарном измерении. В начале сделки на сумму
А0 при цене С0 можно приобрести товара в количестве
m0 =
A
ед.
C0
Через год на сумму А при цене С можно приобрести товара в
количестве
m=
A A0 (1 + i )
1+ i
ед.
=
= m0
C C0 (1 + r )
1+ r
Доходность сделки (10.2) в товарном выражении (реальная доходность, реальная ставка процента по этой операции) составляет
b=
m − m0 1 + i
i−r
=
.
−1 =
m0
1+ r
1+ r
На сумму А в конце сделки можно приобрести товара на b процентов
больше, чем на сумму А0 в начале сделки, где
b=
i%−r%
i−r
, или b% =
.
1+ r
1+ r
Если i = 90 %, r = 60 %, то b =
(10.3)
90 − 60 30
=
= 18 ,75 % годовых.
1,6
1,6
46
Безинфляционная экономика. Пусть r=0 (инфляции нет). Для сделки с Т=1 год и ставкой наращения по ней i0 , имеем
А=А0(1+i0), i0 =
A − A0
.
A0
Так как С=С0 , то m =
A0
A
и m = = m0 ( 1 + i0 ).
C
C0
Тогда
b=
m − m0
= i0 , b = i0 .
m0
(10.4)
В безинфляционной экономике доходность операции в денежном и товарном измерениях совпадают. Реальную доходность сделки b в инфляционной экономике часто обозначают i0, чтобы подчеркнуть, что такую доходность имеет подобная операция в безинфляционной экономике.
Слабоинфляционная экономика. Пусть r << 1 (r % << 100), что имеет место в странах со стабильной рыночной экономикой. Тогда 1+ r≈1 и из
(10.3) получаем
b = i − r или i0 = i − r.
(10.5)
Если номинальная ставка по годовой оценке i=12 %, а r=2 %, то реальная ставка (доходность) сделки согласно (10.5) составит 10 % годовых.
Формула (10.3) дает
b=
12 − 2
10
=
= 9,8% годовых.
1 + 0,02 1,02
Нетрудно видеть, что реальная доходность, найденная по (10.5), на
r % больше найденной по (10.3), действительно
i−r 
(i − r ) − 

 1 + r  = r.
i−r
1+ r
Таким образом, в слабоинфляционной экономике реальная ставка
процента по финансовой операции (10.2) может быть определена по формуле (10.5). При этом результат будет завышен на r процентов. В экономике, где инфляция существенна ( r ≈ 1 ) вычисление реальной доходности
по формуле (10.5) дает сильно завышенное значение реальной доходности. Так, если i=90 %, r=60 %, что согласно (10.3) b=18,75 %, а согласно
(10.5) b=30 %.
47
Позитивная ставка. Пусть в инфляционной экономике ожидается
годовой темп инфляции r. Чтобы реальная доходность годовой финансовой сделки составила i0 процентов, надо номинальную ставку по сделкe
выбрать равной
i = i0 + r + i0 r.
(10.6)
Эта формула получается, если из (10.3) найти i и заменить b на i0. В
слабоинфляционной экономике
i = i0 + r.
(10.7)
Если номинальная ставка по операции выбрана в виде (10.6), а для
экономики с малым уровнем инфляции в виде (10.7), то такая номинальная ставка называется позитивной, т. е. скорректированной на инфляцию
и дающей заданное значение реальной доходности.
Так, если r=80 %, а i0=20 %, то позитивная ставка, обеспечивающая
эту реальную доходность, должна быть выбрана равной
i=0,2+0,8+0,2 ⋅ 0,8=1,16=116 % годовых.
Заметим, что выбор позитивной ставки в виде (10.6) означает, что в
наращенной сумме А (10.2) на инфляцию корректируется и сумма основного долга А0 , и доход кредитора IT. Действительно
A=A0(1+i)=A0(1+i0+r+i0r)=A0(1+r)+i0A0(1+r).
Здесь A0(1+r) − скорректированная на инфляцию сумма основного
долга; I0=i0A0 – доход кредитора в безинфляционной экономике по операции со ставкой наращения i0; IT=i0A0(1+r) − скорректированный на инфляцию доход кредитора по сделке.
Если позитивная ставка выбирается в виде (10.7) то
A=A0(1+i)=A0(1+i0+r)=A0(1+r)+i0A0 .
Это означает, что на инфляцию в этом случае корректируется только
сумма основного долга, но не доход кредитора.
Следует заметить, что выбор ставки процента в виде позитивной важен для первичных кредиторов, т. е. для кредиторов, предоставляющих в
долг свои собственные средства – это в основном население и предприятия. Финансовые посредники предоставляют в долг привлеченные средства, и для них источником доходов будет не непосредственно процентная
ставка, а цена услуг (процентная маржа); для них позитивная ставка не
более важна, чем любая другая. Услуги финансовых посредников – это
товар, и цена услуг в условиях инфляции должна расти согласно (10.1).
Если в отсутствии инфляции С0=1 %, то при r=100 %=1, С=2 %.
48
Отметим еще, что существует два основных способа защиты от инфляции участников финансового рынка: индексация и выбор ставки процента в виде позитивной.
Второй способ более удобен технически, но требует прогнозирования
и оценки темпов инфляции; при этом есть риск, что пострадает одна из
сторон при ошибочном прогнозе. Это приведет к тому, что в условиях инфляции характерным является краткосрочность сделок.
Индекс цен и темп инфляции. Под темпом инфляции r, напомним,
понимают относительный прирост цен за период. Выше в качестве периода мы рассматривали год, но это не обязательно, периодом может
быть месяц, квартал и т. д. Фраза «Инфляция идет в темпе r процентов в
месяц» означает, что ежемесячно цена возрастает на r процентов, так
что цена в начале и цена в конце каждого месяца связаны (10.1). Это
еще и означает, что имеет место схема сложных процентов, этапом которой будет месяц.
Пусть С0 – цена товара в конце некоторого периода, который мы
возьмем за базовый, так что С0 − это и цена товара в начале следующего
периода, первого после базового. Если на всех этапах темп инфляции одинаков (r=const), то через n этапов цена товара Сn станет равной
Сn= С0(1+r)n.
(10.8)
Если r1,r2,.....,rn – темп инфляции на первом, втором и т. д. этапах, то
Сn= С0(1+r1)(1+r2)...(1+rn).
(10.9)
Вместо цен удобнее оперировать с индексом цен J. Если С0 и С цена
товара в начале этапа (в конце предыдущего этапа) и в конце этапа соответственно, то согласно (10.1) имеем
J=
C
= 1 + r.
C0
(10.10)
Величина J называется индексом цен и формула (10.10) позволяет вычислить J, зная цены С0 и С или темп инфляции r в данном периоде. Величины
J1 =
C
C
C1
= 1 + r1 ; J 2 = 2 = 1 + r2 , J n = n = 1 + r
C n −1
C1
C0
(10.11)
называют еще цепными индексами цен.
Зная цепные индексы, можно находить темп инфляции в данном периоде, именно
r1 = J1 − 1, r2 = J 2 − 1,..., rn = J n − 1.
49
(10.12)
Величину
J(n) =
Cn
=( 1+r1 ), ( 1+r2 ), ...,( 1+rn )
C0
(10.13)
называют индексом цен за n периодов. Она равна произведению цепных
индексов
J (n) = J1 ⋅ J 2 ⋅ ... ⋅ J n .
(10.14)
Относительный прирост цен за n этапов, или, иначе, относительное
изменение индекса цен за n этапов r(n), можно вычислить по формулам
r( n ) = J ( n ) − 1
(10.15)
или
r(n) = J1 ⋅ J 2 ⋅ ... ⋅ J n − 1 = ( 1 + r1 )( 1 + r2 ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅( 1 + rn ) − 1.
(10.16)
Если на всех этапах темп инфляции одинаков, т. е. r1 = r2 = ... = rn ≡ r , то
и цепные индексы цен одинаковы: J 1 = J 2 = ... = J n ≡ J . В этом случае
J (n) = J n = (1 + r )n , J = n J (n) ,
(10.17)
r (n) = J − 1 = (1 + r ) − 1.
Зная J(n) и r(n), можно находить темп инфляции r (средний темп инфляции). Из (10.17) находим
r = n J (n) − 1, r = n J (n) + 1 − 1.
(10.18)
Пример 1.39. При постоянном темпе инфляции r=5 % в месяц, месячные индексы цен тоже будут постоянными и равными (10.10):
J=1+0,05=1,05.
Годовой индекс цен составит (10.17):
J(год)=1,0512=1,796.
За год прироста цен (индекс цен) составит (10.15):
r(год) = 1,796-1=0,796=79,6 %.
Так что месячному темпу инфляции 5 % соответствует годовой темп
инфляции 79,6 %.
Для r=10 % в месяц находим аналогично
J=1,1, J(год)=1,112=3,138, r(год)=3,138−1=2,138=213,8 %.
Если, наоборот, годовой темп инфляции составил 120 %, соответственно, годовой индекс цен составил 1+1,2=2,2, то :
а) средний квартальный индекс цен составит J = 4 2,2 = 2,20,25 = 1,218,
средний квартальный темп инфляции r=1,218−1=0,218=21,8 %;
б) средний ежемесячный индекс цен составит J = 12 2,2 = 2,21 / 12 = 1,068,
средний месячный темп инфляции будет r=1,068-1=0,068=6,8 %.
50
Таблица. Порядковые номера дат в году
дни
мес.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
янв.
фев.
март
апр.
май
июнь
июль
авг.
сен.
окт.
нояб.
дек.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
-
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
-
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
-
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
51
Глава 2
ПРОСТЕЙШИЕ ФИНАНСОВЫЕ ОПЕРАЦИИ.
СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ
2.1. Схема сложных процентов для простейших операций
Схема сложных процентов возникает при поэтапном изменении величины (см. параграф 1.1). Для простейшей операции с предоставлением в
долг на n лет суммы A0 под i процентов годовых это означает, что начисленные через год проценты не выплачиваются, а прибавляются к сумме
долга. Имеет место ежегодная капитализация вклада. Через n лет сумма
вклада An (наращенная сумма) будет равна
An = A0 (1 + i ) n .
(1.1)
Годовая ставка процента i называется в этом случае ставкой сложных
процентов. По смыслу получения формула (1.1) применима для целого
числа лет n. В инвестиционном анализе делается обобщение формулы
(1.1), а именно, если по простейшей операции, независимо от ее длительности T, платежи A0 и AT связаны формулой
AT = A0 ( 1 + i)T ,
(1.2)
то говорят, что для расчета платежей используется схема сложных процентов.
При использовании формулы (1.2) ставку сложных процентов i называют
еще, в зависимости от контекста эффективной ставкой, множитель (1+i)T −
множителем наращения по схеме сложных процентов. Очевидно,
A
q T = (1 + i ) T = T .
A0
(1.3)
Как и раньше, время T измерено в годах.
Пример 2.1. Вклад в сумме 100 тыс. руб. внесен в Сбербанк под 40 %
годовых. Через полгода сумма вклада составит:
а) схема простых процентов: AT =100( 1+0 ,4 ⋅ 0 ,5 )=120 тыс. руб.;
б) схема сложных процентов: AT =100( 1+0 ,4 )0 ,5=118 ,320 тыс. руб.
В случае краткосрочного вклада (T<1 года) для вкладчика (при заданной
величине годовой ставки i) более выгодны простые проценты, чем сложные.
При T=1,5 года получаем:
а) схема простых процентов: AT =100( 1+0 ,4 ⋅ 1,5 )=160 тыс. руб.;
б) схема сложных процентов: AT =100( 1+0 ,4 )1,5=165 ,650 тыс. руб.
В случае T>1 года для вкладчика более выгодна схема сложных процентов, чем схема простых процентов.
52
Если изобразить графически зависимость наращенной суммы AT от
времени T (при одинаковых A0 и i), то становится очевидным полученный
в примере (2.1) результат: при T>1 года наращенная по простым процентам сумма больше, чем по сложным, при T>1 года наращенная по сложным сумма больше, чем по простым.
Рис. 2.1. Зависимость наращенной суммы от времени
При T=1 году наращенные по этим схемам суммы одинаковы, т. к.
1+i >1, то показательная функция ( 1+i)T − возрастающая функция, причем зависимость ее от T очень сильная; большой срок T сделки приводит к
впечатляющим результатам даже при небольших ставках i.
Пример 2.2. Остров Манхэттен, на котором расположена центральная
часть Нью-Йорка, был выменян за 24 долл. Стоимость земли этого острова через 350 лет оценивалась примерно в 40 млрд долл. Первоначальная
сумма возрастает в 1,67 ⋅ 10 9 раз, что соответствует ставке сложных процентов ≈ 6 ,3 % годовых
q T =( 1+0 ,063 ) 350 1,9 ⋅ 10 9 .
При ставке 10 % годовых множитель наращения для T=100 лет составит:
а) простые проценты: q T =1+0 ,1 ⋅ 100=11;
б) сложные проценты: q T =( 1+0 ,1 )100 ≈ 13781.
При краткосрочных сделках схема сложных процентов может быть
навязана искусственно: если предположить, что кредитор после истечения
срока сделки изымает капитал вместе с начисленными процентами, а потом снова отдает в долг на тех же условиях всю сумму, то возникает схема
сложных процентов.
53
Пример 2.3. Сберегательный банк принимает вклад 100 тыс. руб. на
срок 3 месяца под 100 % годовых. Дважды используя 3-х месячный депозит, через полгода получаем сумму
2
3

AT =100 1+1 ⋅  =156 ,250 тыс. руб.
12 

Комбинированная схема. Если срок сделки T >1 и не является целым числом, то кроме схемы сложных процентов (1.2 из главы 1) по некоторым операциям может использоваться и используется комбинированная
схема: схема сложных процентов за целое число лет n и схема простых
процентов за остаток меньше года; именно, если
T=[T] + τ = n + τ , t < 1,
то
AT =A0( 1+i)n ⋅ ( 1+iф).
(1.4)
Пример 2.4. Вклад в сумме 100 тыс. руб. внесен в банк под 40 % годовых. Через 1,5 года наращенная по комбинированной схеме сумма составит
AT =100( 1+0 ,4 )1 ⋅ ( 1+0 ,4 ⋅ 0 ,5 )=168 тыс.руб.
Сравнивая этот результат с результатом примера (1.21), находим, что
самой выгодной при T>1 является для вкладчика комбинированная схема.
Переменные ставки. Вычисления по (1.2) предполагают, что на
протяжении срока сделки Т ставка процента i остается постоянной. Если в течение срока Т1 ставка процента была i1, в течение срока Т2 ставка была i2 и т. д., то
T
T
T
AT =A0 ( 1+i1 ) 1 ( 1+i 2 ) 2 ...( 1+i n ) n .
(1.5)
Пример 2.5. Срок ссуды − 5 лет. Первые 2 года ставка сложных процентов − 12 % годовых, в каждом следующем ставка увеличивается на
0,5 %. Множитель наращения за 5 лет составит
2
qT =1,12 ⋅ 1,125 ⋅ 1,13 ⋅ 1,135=1,81.
При схеме сложных процентов процентные начисления за время T по
простейшей операции (или интерес) находятся по формуле
i T =( 1+i)T -1=q T -1.
(1.6)
54
Для случая переменных ставок и сложных процентов
iT = ( 1 + i1 )T1( 1 + i2 )T2 × ... × ( 1 + in )Tn − 1.
(1.7)
Для случая комбинированной схемы
iT =( 1+i) n ( 1+it)-1.
(1.8)
Пример 2.6. При ставке сложных процентов 40 % годовых и T=1,5
года (пример 2.1) множитель наращения qT =1,6565, а процентные начисления составят iT =65 ,65% . В случае использования комбинированной схемы (пример 2.4) qT =1,68 , a iT =68%. Для примера (2.5) iT = 81%.
Нахождение начального платежа A0 по заданным AT , i, T по формуле
A0=
AT
(1.9)
( 1+i)T
называется дисконтированием капитала AT с помощью ставки сложных
процентов. Капитал A0 называется еще современной стоимостью капитала AT .Множитель
VT =
1
( 1+i)T
= q -1
(1.10)
T
называется дисконтирующим множителем или дисконт-фактором.
Формулы (1.2 и 1.9) − количественное выражение концепции изменения
ценности денег во времени по схеме сложных процентов.
Если ставка процента меняется в течение срока сделки, то дисконтирование осуществляется по формуле:
А0 =
АT
.
T
T
T
( 1+i1 ) 1 ( 1+i 2 ) 2 ...( 1+i n ) n
(1.11)
Пример 2.7. Через 5,5 лет вам для покупки дачи требуется 20 млн
руб. Какую сумму для этого надо сегодня положить в банк, если ставка
сложных процентов − 40 % годовых?
A0=
20
( 1+0 ,4 )
5 ,5
=
20
1,4
5 ,5
=3 ,143 млн руб.
Если банк использует комбинированную схему, то:
A0 =
20
(1 + 0,4) 5 ⋅ (1 + 0,4 ⋅ 0,5)
= 3,098 млн руб.
55
Понятие современной стоимости капитала − одно из важнейших
понятий инвестиционного анализа. На основе этого понятия вводится
целый ряд показателей эффективности долгосрочных инвестиционных
проектов: NPV, внутренняя норма доходности, срок окупаемости, показатель рентабельности; сравнение долгосрочных контрактов делается на
основе вычисления современной стоимости платежей (см. гл. 3).
Заменяя А0 и АТ на часто используемые обозначения PV≡А0 и FV≡АТ,
формулы (1.2) и (1.9) можно записать в виде
FV=PV(1+i)T
и
PV=FV(1+i)-T.
Здесь:
PV − современная стоимость денежной суммы (Present Value);
FV − будущая стоимость денежной суммы (Future Value), наращенная сумма.
Эти обозначения общеприняты, и их можно встретить, например, на
клавишах финансовых калькуляторов или при проведении финансовых
расчетов на компьютерах в среде EXCEL.
Определение срока сделки. Для простейшей операции при известных A0, AТ и ставке сложных процентов i продолжительность в годах
сделки находится по формуле:

ln AT
A0  ln qT

.
T=
=
ln ( 1+i)
ln ( 1+i)
(1.12)
Если qT = AT A0 =5, то при ставке сложных процентов i=15 % годовых время, необходимое для увеличения капитала в пять раз, составит
T=
ln 5
=11,5 года,
ln 1,15
тогда как при простых процентах и ставке i=15 % годовых
T=
5-1
= 26,7 года.
0,15
Ранее (см. параграф 1.1) мы уже обсуждали вопрос о времени удвоения современной стоимости денег при схеме сложных процентов.
56
2.2. Номинальная ставка процентов
В практике банков и финансовых компаний распространен вариант
схемы сложных процентов, когда капитализация вклада происходит
несколько раз в году: ежемесячно, поквартально, раз в полгода, а то и
ежедневно (см. пример 1.4). На практике очень часто при этом в условиях сделки оговаривается не ставка процента за период начисления, а
годовая ставка процента j и период начисления, например, «12 % годовых с поквартальным начислением процентов». Оговариваемая в
контракте годовая ставка процента j называется номинальной и служит
для определения ставки процента за период начисления. Пусть j − номинальная ставка, m − число начислений в году, тогда ставка процента
за период начисления находится по простым процентам, и равна j m .
За n лет будет mn начислений, поэтому наращенная за это время сумма составит
A0 = A0 (1 +
j nm
) .
m
(2.1)
Процентные начисления за T=n лет (интерес по операции) составят
iT = (1 +
j nm
) - 1.
m
(2.2)
Процентные начисления за год составят при этом не j процентов, а
ief = (1 + j
m
) nm - 1.
(2.3)
Годовая ставка ief для сделки с начислением по номинальной ставке j −
это ставка сложных процентов, которая за целое число лет T=n, даст наращенную сумму равную той, что дает формула (2.1).
Пример 2.8. Для вклада в 1 млн руб. и ставке 100 % годовых получаем для разных вариантов начислений:
1) срок T=n=2 года, поквартальное начисление процентов. Это означает, что j=100=1 1/год, m=4, j/m =0,25 − квартальная ставка.
а) наращенная за 2 года сумма составит
АT =1( 1+0 ,25 ) 2⋅4=1,25 8 =5 ,960464 млн руб.;
б) эффективная годовая ставка
ief
сложных процентов
ief = 1,25 4 - 1 = 2,441 - 1 = 1,441 = 144,1 % ;
57
в) за 2 года сумма вклада увеличивается в qT = 5,96 раз, или увеличится
на iT = 496 % (процентные начисления, интерес).
2) срок T=n=2 года, капитализация 2 раза в год, т. е. Т=2, j/m=50 %=0,5 −
полугодовая ставка процента, за 2 года будет 2 ⋅ 2 = 4 начисления.
а) наращенная за 2 года сумма
AT = 1(1 + 0,5)2⋅2 = 1,54 = 5,0625 млн руб.
б) эффективная ставка для этого варианта
ief = 1,5 2 - 1 = 1,25 = 125 % ;
в) за два года сумма вклада увеличится в qT = 5,0625 раз, или на
iT = 406,25%.
3) срок T=n=2 года, капитализация вклада 1 раз в год
АT = 1(1 + 1) 2 = 4 млн руб.
ief = i = 100 = 1 1
год;
qT = 4, iT = 3 = 300 %.
2.3. Сложная и номинальная учетные ставки
Напомним, что учетная ставка d задается по тем операциям, по которым начисления процентов производится на конечную сумму. При схеме
простых процентов величина начального платежа для сделки продолжительностью T дается формулой (4.10)
AT = AT (1- dT), dT < 1.
Вычисление по этой формуле называется учетом вклада или дисконтированием на основе задания простой учетной ставке d.
В практике учетных операций, если T>1 года, применяют и сложную
учетную ставку, когда учет вклада за T лет производится несколько раз.
При учете вклада один раз в году дисконтирование (учет) за T=n лет производится n раз, поэтому
A0 = AT (1 - d)T
(3.1)
и d называется сложной учетной ставкой, а множитель
VT = (1 - d)T
(3.2)
множителем дисконтирования.
58
Пример 2.9 Вексель на сумму 5 млн руб., срок платежа по которому
наступает через 4 года, продан с дисконтом по сложной учетной ставке
20 % годовых. Это означает, что вексель продан по цене
A0 = 5(1 - 0,2) 4 = 2,048 млн руб.
Дисконт по операции составляет
I T = 5 - 2,048 = 2,952 млн руб.
По схеме простых процентов и простой учетной ставке d=20 % годовых получаем
A0 =5(1-0,2×.4)=1 млн руб.;
IT =5-1=4 млн руб.
Видим, что для покупателя этого финансового инструмента более выгодна покупка по простой учетной ставке, чем по сложной.
С учетом того, что показательная функция ( 1-d)T − убывающая функция (0 < (1 - d) < 1) , зависимость дисконтированной суммы от времени, при
простой и сложной учетной ставке, будет такой, как показано на рис.2.2.
Рис. 2.2.
Если дисконтирование (учет вклада) происходит не один, а m раз в
году, то по таким операциям устанавливается номинальная учетная ставка
f. При этом ставка учета за период учета будет f m . За T=n лет учет будет
произведен mn раз, поэтому
A0 = AT  1 + f 
m

mn
(3.3)
.
Можно, как и в случае номинальной ставки процента, ввести эффективную учетную ставку def − такую сложную учетную ставку, которая за
время T дает тот же результат, что и (2.18).
59
m
Так как, 1 - d ef =  1 - f m  ,то


m
d ef = 1 -  1 - f  .
m

(3.4)
Пример 2.10. Для финансового инструмента примера 2.9 определим
продажную цену при поквартальном дисконтировании.
Имеем f=d=20=0 ,2; m=4 , f m =0,05; T=n=5.
A = 5 ⋅ (1 - 0,05) 4⋅4 = 5 ⋅ 0,95 16 = 2,200633 млн руб.
Дисконт, с которым куплен этот вексель,
A = 5 ⋅ (1 - 0,05) 4⋅4 = 5 ⋅ 0,95 16 = 2,200633 млн руб.
Эффективная учетная ставка составит
d ef = 1 − ( 1 − 0 ,05 ) 4 = 0 ,185 = 18 ,5 %.
При задании по сделке сложной учетной ставки или номинальной
учетной ставки наращение суммы дается формулами
AT =
A0
(1 - d )
T
;
AT =
A0
.
f
mn
(1 )
m
(3.5)
2.4. Эффективная ставка процентов
Финансовые сделки различаются по длительности и по схемам расчета
платежей: простые и сложные процентные ставки, простые и сложные
учетные ставки, номинальные процентные и учетные ставки и т. д. Чтобы
иметь возможность сравнивать эффективность сделок, осуществленных по
разным схемам, вводят понятие эффективной ставки процента − это годовая ставка сложных процентов, дающая тоже соотношение между начальным капиталом А0 и конечным АТ, что и принятая схема. Если известны
платежи по простой операции и срок сделки, то из (2.2) или (2.3) находим
выражение для определения эффективной ставки
A
ief =  T
 A0



1T
(4.1)
- 1.
Кроме того, что эффективная ставка − инструмент наращения капитала по сложным процентам, она служит мерой доходности сделки и имеет
название доходности сделки по схеме сложных процентов.
60
Пример 2.11. Для примера 2.1 при ставке простых процентов i=40 %
годовых, A2 =100 тыс. руб. было получено:
а) T=0,5 года, АТ =120 тыс. руб.
 120 
ief = 

 100 
1 0 ,5
- 1 = 1,2 2 - 1 = 0,44 = 44 %;
б) T=1,5 года, AT = 160 тыс.руб.
 160 
i ef = 

 100 
1 1,5
- 1 = (1,6 )2 3 - 1 ≈ 0,368 = 36,8 %.
Из расчета видно, что при T<1 года эффективная ставка, связывающая два платежа, больше, чем ставка простых процентов связывающая эти
платежи. Для T>1 года ситуация обратная: эффективная ставка для данных платежей меньше, чем ставка простых процентов для этих платежей.
Для примера 2.9: T=4 года, A0 =2,048, AT =5.
Для вычисления ief знание А0 и АТ не обязательно, если известна схема начислений и ее характеристики.
1. Схема простых процентов, i − ставка простых процентов
ief = (1 + iT)1 T - 1.
(4.2)
Для примера 2.11 получаем
i ef
= ( 1 + 0 ,4
⋅ 0 ,5 )
1 0 ,5
- 1 = 0 ,44 = 44 %, или
i ef = ( 1 + 0 ,4 ⋅ 1,5 )1 1,5 - 1 = 0 ,368 = 36 ,8 %.
Это означает, что для T=0,5 года доходность этой операции по схеме
простых процентов будет 40 % годовых или 44 % годовых по схеме сложных процентов. Для T=1,5 года доходность сделки − 40 % годовых по
простым процентам и 36,8 % годовых по сложным процентам.
2. Схема простых процентов, d − простая учетная ставка
1
i ef = ( 1 - dT ) T - 1 =
-
1
( 1 - dT )
1T
- 1.
Для примера 1.17:
d=12 %
1
1
120 1
= 0,12
, T=
= года;
год
год
160 3
ief =( 1-0 ,12
1 -3
) -1=( 0 ,96 ) -3 -1=0 ,13=13 %.
3
61
(4.3)
Найденная в 1.17 ставка простых процентов составила i=12,5 %.
3. Схема сложных процентов, j − номинальная ставка процента, m −
число начислений в году.
Эффективная ставка процента дается формулой (2.3)
ief = (1 + j
m
) m - 1.
См. пример (2.8).
4. Схема сложных процентов, d − сложная учетная ставка
d
ief =
.
1- d
(4.4)
Действительно:
A0 = AT ( 1 - d )T и AT = A0 (1 + ief )T .
Получаем,
1 + ief =
1
.
1- d
Отсюда следует 2.24.
Если d=20 %=0,2, то ief =0,25=25 %.
5. Схема сложных процентов, f − номинальная учетная ставка, учет
происходит m раз в году.
ief = (1 -
f -m
) -1.
m
(4.5)
Заметим, что при m=1, f=d формула (4.5) переходит в (4.4).
Для остальных случаев, формулы для ief можно получить по принятой
схеме.
2.5. Непрерывное начисление процентов
При капитализации вклада несколько раз в году принято, как указывалось, по операции задавать номинальную ставку процента j. Если начисления делаются m раз в году, то наращенная за T лет сумма дается
формулой (2.1), которую запишем так:
Am (T) = A0 (1 +
j mT
) .
m
Можно себе представить, что число начислений в году неограничено
возрастает, а период начислений неограничено уменьшается
(m → ∞ ,
1
→ 0 ). В этом случае мы приходим к непрерывному начислеm
62
нию процентов. Этот случай представляет интерес для теоретического
анализа финансовых проблем, например, при анализе долгосрочных инвестиционных проектов и моделей долгосрочного страхования жизни. В
практике финансового рынка вариант непрерывного начисления процентов встречается редко.
Если m неограниченно растет, то наращенную за время Т сумму найдем, переходя к пределу
A(T) = lim Am (T) = A0 lim (1+
m →∞
m→∞
j mT
) .
m
Переобозначим номинальную ставку, т. е. введем δ = j, а полагая m = xδ ,
воспользуемся известным из анализа вторым замечательным пределом
x
1

lim  1 +  = e ,
x
x →∞ 
где е=2,718... − основание натурального логарифма, находим
A(T) = A0 e δ T
δ%
= A0 e 100
⋅T
(5.1)
.
Формула (5.1) дает закон, по которому происходит наращение при
непрерывном начислении процентов. Постоянную δ называют силой роста. Найдем ее смысл.
Заметим, что
dA
1 dA d( ln A)
=д ⋅ A ⇒ д =
=
,
dT
dT
A dT
(5.2)
т. е. сила роста δ − отношение скорости роста капитала
dA
к текущему
dT
значению капитала А, или скорость изменения натурального логарифма
капитала.
Т. к. [ δ ] =
1
1 
, то   = год . Обозначим
год
δ 
1
ф=
д
(5.3)
и возьмем в (5.1) время T равным τ , т. е. положим T= τ =
A = A0 e = 2,718A0 ≈ 2,72A0 .
1
δ
, тогда
(5.4)
63
Таким образом, сила роста δ имеет следующий смысл: обратная
величина
1
есть время, по истечении которого капитал при непрерывδ
ном начислении процентов увеличивается в е=2,72 раза. Например,
при силе роста д=20 %
1
1
= 0,2 1 год за время ф=
= 5 лет капитал
год
0,2
возрастет в е=2,72 раза.
Найдем формулу для времени T(2), по прошествии которого капитал при непрерывном начислении процентов возрастает в 2 раза. В
формуле (5.1) полагаем A(T)=2A0, и, логарифмируя, находим
T( 2 )=
ln 2 0 ,69 70
=
≈
.
д
д
д%
(5.5)
Формула (5.5) справедлива для произвольных (не обязательно малых) δ и есть обобщение «правила семидесяти» (гл. 1 формула (1.15))
на случай непрерывного начисления процентов. При δ =10 % 1год капитал удвоится через время равное T(2) ≈
70
10
=7 лет. Этот расчет делает-
ся для быстрой оценки времени T(2). За время T проценты, начисленные на капитал, составят
δT - 1 .
(5.6)
iT = e
Эффективная ставка сложных процентов ief и сила роста, как легко
убедиться, сравнивая формулы (5.1) и (1.2), связаны формулами
ief = e δ - 1, δ = ln(1 + ief ).
(5.7)
Заметим, что при малых δ , когда δ <<1,
eд ≈ 1+д.
Из (5.7) получаем ief =d. В этом случае расчет роста капитала по схеме
сложных процентов по ставке ief и по схеме непрерывного начисления
процентов с силой роста d=ief дают практически одинаковый результат. Это
не так при больших d (не малых по сравнению с единицей).
Например, при d=100 % 1/год эффективная ставка составит
i ef = e - 1 ≈ 1,72 = 172 %,
а при
ief =100%
1/год = 1 1/год сила роста составит
d = ln(1 + 1) = ln 2 ≈ 0,69 = 69 % 1 год.
64
Пример 2.12. На сумму 5 млн руб. в течение 5 лет начислялись проценты (непрерывное начисление), сила роста d=10 % годовых. Сумма наращения на конец срока будет
A=5e 0 ,1⋅5=8 ,243606 млн руб.
Эффективная ставка этой сделки
i ef = e 0,1 - 1 ≈ 0,105 = 10,5 %.
Современная стоимость будущих денежных сумм при дисконтировании с помощью силы роста d может быть найдена по формуле
A0 = A( T )e −δT .
(5.8)
В обозначениях FV и PV для (5.1) и (5.8) имеем
FV = PV eδT ;
PV = FV e −δT .
Дисконтирование с помощью (5.8) особенно часто используется при математическом анализе моделей долгосрочного страхования жизни [5].
2.6. Доходность простейшей операции
Выше мы неоднократно отмечали, что доходность простейшей операции − это годовая эффективность вложений кредитора (инвестора) в эту
операцию. Количественная характеристика доходности:
а) ставка простых процентов;
б) ставка сложных процентов, иначе, эффективная ставка;
(см. формулы (4.8), (4.13), (4.14) гл. 1 и формулу (4.1) данной главы).
Существенное влияние на доходность оказывают налоги на доходы от
операции и комиссионные, удерживаемые кредитором при ссудных и
учетных операциях: налоги на доходы понижают доходность вложений,
взимание комиссионных − повышают доходность, т. к. фактически выданная сумма уменьшается.
Доходность простейшей операции с удержанием комиссионных.
Пусть сумма A0 выдается с условием, что через время T должник вернет
сумму AT, и пусть при выдаче кредита удерживаются комиссионные в
размере G. Фактически выдаваемая на руки сумма будет равна
A0' =A0 -G .
(6.1)
65
Доходность этой операции в виде ставки простых процентов i найдется из формулы для наращенной суммы
(A0 - G)(1+ i' T) = AT .
Откуда
A - A0 + G 1
i' = T
.
A0 - G T
(6.2)
Действительно, A0-G=A' 0 − вложения кредитора в операцию,
AT-A0+G=I' T − доход кредитора по операции, величина IT' /A0' =iT' − интерес за время T.
Доходность этой операции в виде ставки сложных процентов (эффективной ставки) найдется из формулы для наращения по сложным процентам
(A0 - G) ⋅ (1+ i'ef )Т = AT .
Откуда
1
 A  T
i'ef =  T  - 1.
 A0 - G 
(6.3)
Формулы (6.2) и (6.3) позволяют вычислить доходность простейшей
операции по известным платежам G, A0, AT и ее продолжительности T.
Пример 2.13. Кредит 8,5 млн руб. выдан на 120 дней. Сумма погасительного платежа 10 млн руб. Комиссионный сбор составляет 0,5 % от величины кредита.
Для кредитора доходность этой операции будет:
а) доходность − ставка простых процентов. Возьмем К=360,
G = 0 ,005 ⋅ 8 ,5 = 42 ,5 ⋅ 10 - 3 млн руб. = 42,5 тыс. руб.
i' =
10000 - 8500 + 42 ,5 360
⋅
= 0 ,547 = 54 ,7 %.
8500 - 42 ,5
120
Без учета комиссионного сбора доходность будет равна 52,9 % (см.
пример 1.16 гл. 1);
б) доходность − ставка сложных процентов.
360
 120
 10000
i'ef =

 8500 -425 
-1=0 ,653=65 ,3 %.
66
Выразим доходность операции с удержанием комиссионных через
характеристики сделки.
1. По операции установлена ставка простых процентов i. Доходность
в виде ставки простых процентов i' найдем из равенства
( A0 -G)( 1+i' ⋅ T)=A0 ( 1+iT).
Введем величину g =
(6.4)
G
− доля комиссионных в выдаваемом кредиА0
те, тогда G = gA0 . Из (6.4) получим
 1+iT  1 iT+g 1
i'=
-1 ⋅ =
⋅ .
1
-g
T
1
-g
T


(6.5)
Доходность в виде ставки сложных процентов ief найдем из равенства
(A0 - G)(1 + i'ef )T = A0 (1 + iT).
Полагая G = gA0 , находим
1
 1 + iT  T

i 'ef = 
− 1.
1
g


(6.6)
Пример 2.14. Для ссуды на T=1,5 года при простой ставке i=40 % и
g=0,5 % доходность по ставке простых процентов
i'=
0 ,4 ⋅ 0 ,5+0 ,005 1
=0 ,412=41,2 %;
⋅
1-0 ,005
0 ,5
по ставке сложных процентов
1
 1 + 0 ,4 ⋅ 0 ,5  0 ,5
- 1 = 0 ,455 = 45 ,5 %.
i'ef = 

 1 - 0 ,005 
2. По операции установлена ставка сложных процентов i. Доходность
по ставке сложных процентов найдем из равенства
(A0 - G)(1+ i'ef ) = A0 (1+ i)T .
Полагая G = gA0 , находим
i'ef =
1+ i
1
(6.7)
- 1.
(1 - g) T
67
Пример 2.15. Для i=40 %, g=1 %, T=5 лет доходность составит
i'ef =
1+0 ,4
( 1-0 ,1 )0 ,2
-1=0 ,4298 ≈ 43 %;
для T=10 лет
i'ef =
1+0 ,4
( 1-0 ,1 )
0 ,1
-1=0 ,415 ≈ 41,5 %.
3. По операции установлена простая учетная ставка d, а G = gAT . Доходность в виде ставки простых процентов найдем из равенства
AT (1 - dT - g)(1+ i' T) = AT .
Откуда

1
1
g + dT 1
i' = 
− 1  =
⋅ .
T  1 - d ⋅T - g
 1 - dT - g T
(6.8)
Доходность в виде ставки сложных процентов находится из равенства
1
 1  T

− 1.
AT ( 1-d ⋅ T-g)( 1+i'ef )=AT ⇒ i'ef =
1
-dT-g


(6.9)
Пример 2.16. Вексель учтен по ставке 10 % годовых за 160 дней до
его оплаты. При выполнении операции учета комиссионные составили
0,5 %. При K=360 дней доходность операции в виде ставки сложных процентов составит:
i'ef =
1
360
 160
- 1 = 0 ,12 = 12 %.
160

- 0 ,005 
 1 - 0 ,1 ⋅
360


Без учета комиссионных ief = 10 ,5 %.
Доходность простейшей операции с учетом налогообложения.
Частый пересмотр и несовершенство налоговых правил затрудняет детализацию многих ситуаций и получение рабочих формул для них. Поэтому
ограничимся основными результатами.
Пусть по простейшей операции длительностью T платежи будут A0 и
AT, тогда доходность ее в виде ставки простых процентов дается формуA -A 1
лой (4.8) гл. 1: i = T 0 ⋅ .
A0
T
68
Если g − ставка налога на доход AT-A0, то с учетом налогообложения
доходность в виде ставки простых процентов i ′′ будет
(A -A )( 1-g) 1
i" = T 0
⋅ ,
A0
T
(6.10)
т. е. если по операции установлена простая ставка i, то доходность операции в виде i” будет
i" =i( 1-g),
(6.11)
а наращенная сумма после выплаты налогов A′′ будет равна
A" =A0 ( 1+i" T)=A0 ( 1+i( 1-g)T).
(6.12)
Доходность в виде ставки сложных процентов дается формулой
(4.1) гл. 2
A
ief =  T
 A0
1
 T

− 1.

Если налог по ставке g начисляется на всю сумму дохода (за весь
срок), то наращенная сумма за вычетом налога равна
AT" = A0 + (AT - A0 )(1 - g) = AT - (AT - A0 )g.
(6.13)
Доходность с учетом налогообложения
 AT"
"
ief = 
 A0

1
 T


- 1= g +



1
AT
 T
( 1 - g )
- 1.
A0

(6.14)
Если по операции задается сложная ставка i, то
[
]
1
"
T
ief = g + ( 1 + i ) ( 1 - g ) T - 1,
а сумма AT" равна
[
(6.15)
]
AT" = A0 g + ( 1 + i )T ( 1 - g ) .
(6.16)
По законодательству, на настоящий момент доход в виде процентов от
инвестиций в долговые обязательства облагаeтся налогом на прибыль по
ставке 15 % для юридических лиц (кроме банков) и по ставке 12 % для физических лиц. При этом расчет и перечисление налога в бюджет осуществляет эмитент. Если доход по долговым обязательствам (облигациям и сер69
тификатам) выплачивается в виде дисконта, т. е. разницы номинальной и
продажной цены, то он облагается налогом по ставке:
35 % − для предприятий и организаций,
45 % − для бирж и брокерских контор.
При этом налог перечисляется в бюджет инвестором, а не эмитентом.
Доходы по государственным облигациям и иным государственным
ценным бумагам налогом не облагаются.
Доходы от реализации бумаг (разница цены продажи и цены покупки)
облагаются по ставке 35 % (или 45 %). Исключение составляют доходы
банка по размещению государственных долговых обязательств (ГКО), освобожденные от уплаты налогов.
Пример 2.17. Что более выгодно для АО, занимающегося производственной деятельностью: положить 10 млн руб. на депозитный вклад сроком
3 месяца под 120 % годовых или купить депозитный сертификат с доходом
100 % годовых со сроком обращения 3 месяца на ту же сумму?
Доход по депозитному вкладу после вычета налога по ставке
g=0,35=35 % составит 150 %:
I T" = 10 ⋅ 1,2 ⋅
3
( 1 - 0 ,35 ) = 1,95 млн руб.
12
Доходность (в виде простой процентной ставки) депозитного вклада
будет
i"=
1,95 12
⋅ =0 ,78=78 %,
10 3
или
i" =1,2( 1-0 ,35 )=0 ,78=78 %.
Депозитный сертификат − это процентная ценная бумага, поэтому
ставка налога на проценты g=1,5 %=0,15. Доход по нему после вычета налога составит
I T" =10 ⋅ 1 ⋅
3
( 1-0 ,15 )=2 ,125 млн руб.
12
Доходность вложений в депозитный сертификат с учетом налогообложения составит
i" =
2 ,125 12
⋅ =0 ,85=85 %,
10
3
или
i" =1( 1-0 ,15 )=0 ,85=85 % .
70
Государственные краткосрочные обязательства (ГКО). Доходность
этого вида долговых обязательств вычисляется особым образом, что и определяет необходимость отдельного рассмотрения доходности ГКО.
Эмитентом ГКО является Министерство финансов РФ, гарантом своевременного погашения обязательств выступает Центральный банк России.
Эмиссия ГКО осуществляется периодически в форме отдельных выпусков,
как правило, раз в месяц на срок три или шесть месяцев. Размещение первого выпуска состоялось 18.05.1993 и проводилось на аукционе Центробанка.
Владельцами ГКО могут быть юридические и физические лица: для каждого
выкупа отдельно устанавливаются ограничения на потенциальных владельцев. Номинальная цена ГКО − 100 тыс. руб., размещение происходит с дисконтом, погашаются ГКО по номиналу.
Каждый дилер-участник аукциона предварительно подает заявку, где
указывает объем и допустимую цену. Например, на торгах 15.08.1994
(SU210016rmfz) указываемые в заявках цены колебались в пределах
84,15−83,70 %. Цена отсечения (последняя цена) составила 83,72 %, заявки с
ценами меньше, чем 83,72 %, были отсечены. Как указывалось выше, доходы
по государственным ценным бумагам налогом не облагаются; поэтому, чтобы
сравнить доходность вложений инвестора в ГКО и в другие финансовые инструменты, для ГКО вычисляют доходность с учетом налоговых льгот. Это
означает следующее: доходность обязательств, по которым указан дисконт dT,
с каким размещается это обязательство, находится по формуле (4.14) гл. 1
i=
dT
d ⋅K
= T
.
T(1 - d T ) (1 - d) ⋅ t
Если взять, как рекомендовано Центробанком, ставку налога на доходы g=35 %=0,35, то для получения доходности ГКО с учетом льгот по налогообложению надо эту доходность разделить на 1-g, т. е. увеличить получаемый доход в 1/(1-g) раз. Таким образом, доходность ГКО с учетом
налоговых льгот находится по формуле
i=
dT
1
1
⋅ ⋅
,
(1 - d T ) T (1 - g)
(6.17)
или
i(%) =
dT (%)
K 1
⋅ ⋅
⋅ 100.
100 - dT (%) t 1 - g
(6.18)
Заметим, что 100- d T (%) − цена размещения. При вычислении доходности ГКО цена размещения принимается равной цене отсечения; в нашем
случае она равна 83,72 %. Дисконт dT(%), с которым размещается ГКО,
равен: dT (%) = 100-83,72=16,28 %.
71
Временная база принимается равной 365 дням. Дата погашения ГКО,
проданных 15.08.1994 года, определена 1.11.1994, что дает для продолжительности t=16+30+31+1=78 дней, поэтому
i(%) =
16,28 365
1
⋅
⋅
⋅ 100 = 139,99 % ≈ 140 %.
83,72 78 (1 - 0,35)
Это значение доходности и указано в финансовой публикации по торгам ГКО. Реальная доходность (без учета налоговых льгот) составит
i(%) =
16,28 365
⋅
⋅ 100 = 90,99 % ≈ 91 %.
83,72 78
Следует отметить высокую надежность вложений в ГКО и, учитывая
плотный график проведения торгов (котировок), их ликвидность.
Выбор ставки налога g=0,35 позволяет сравнивать эффективность
вложений в различные выпуски (более ранние и более поздние), но сравнивать эффективность вложений в ГКО и в другие альтернативные финансовые инструменты часто трудно. Возьмем, к примеру, коммерческий
банк, который получает доход от двух источников: от операций с ГКО и
от кредитования. Доход банка от кредитных операций облагается налогом
по ставке g=43 %, поэтому для банков целесообразно определять доходность ГКО с учетом налоговой льготы g=43 %. Допустим, что доходность
от кредитования составила 160 %, а доходность от операций с ГКО составила (пример выше): 140 % с учетом налоговой льготы 35 %, или 91 % −
реальная доходность, или 160 % при использовании налоговой льготы
43 %. С другой стороны, доходность кредитных операций с учетом налогообложения составит 160(1-0,43)=91 %.
Доходность ГКО − 140 % и доходность кредитных операций − 160 %
дают одинаковую реальную доходность 91 %. Необходимо иметь в виду
следующее соображение. Получая по кредитным операциям налогооблагаемый доход в середине квартала, банк может использовать некоторое
время 43 % денег, которые подлежат отчислению в бюджет, но позже, в
конце квартала. В случае ГКО доход, соответствующий разнице чистого
дохода в виде дисконта и скорректированного делением на 1-g, вообще
реально нигде не фигурирует.
Поскольку ГКО приносят прибыль, не облагаемую налогом, то для
банка возникает возможность законным путем минимизировать налоги.
Рассмотрим такой пример. Планируя получить прибыль 300 млн руб., облагаемую налогом, и имея возможность привлечь 1 млрд руб. на 3 месяца
под 120 % годовых, банк может вложить эти привлеченные средства в
ГКО. Пусть чистая доходность ГКО (16 выпуск) составила 98,77 % и прибыль при погашении составила 246,9 млн руб. (без учета комиссионных).
72
За пользование кредитом 1 млрд руб. в течение 3-х месяцев ему придется
уплатить 1000 ⋅
120 1
⋅ = 300 млн руб. Это банк сделает за счет планируемой
100 4
прибыли. Таким образом, банк получит 246,9 млн руб. прибыли, уже не облагаемой налогом. Если бы он не совершал подобной операции, то после
уплаты налога по ставке g=43 % на доход 300 млн руб. он имел бы всего
300(1-0,43)=171 млн руб. чистой прибыли.
Рассмотренные выше соображения позволяют сделать вывод, что о
доходности ГКО нельзя говорить как о независимой от прочих доходов и
расходов инвестора категории. Именно необлагаемость налогом прибыли
делает ГКО тесно связанной с прочими финансовыми операциями инвестора и со сроком получения дохода.
2.7. Простейшая операция с конверсией валют
Рассмотрим две простейших финансовых операции с конверсией национальной валюты (рубль) в валюту другой страны (СКВ) и обратной
конверсией:
K
i
T
K
K
j
T
K
0 → A (руб) 
1 S (скв)
а) S0 (скв) 


→ AT (руб) →
0
T
или
0 → S (скв) → S (скв) 
1 → A (руб).
б) A0(руб) 


0
T
T
Здесь: S0 − начальная сумма в СКВ;
A0 − начальная сумма в рублях;
K0 − курс обмена в начале операции (1 СКВ =К0 руб.);
i − ставка процента по рублевым вкладам (операциям);
j − ставка процента для данного вида СКВ;
K1 − курс обмена в конце операции;
T − срок сделки в годах;
ST − наращенная сумма в СКВ;
AT − наращенная сумма в рублях.
Операция а): обмен суммы S0 (в скв) по курсу K0 (руб/cкв) на A0 рублей,
наращение рублевой суммы по ставке наращения i за время T до суммы AT,
конверсия этой суммы по курсу K1 в исходную валюту на сумму ST (скв).
Если i ставка простых процентов по операции A0 → AT , то для конечной суммы ST можно записать
S T = S 0 ⋅ K 0 (1 + iT) ⋅
1
K1
(7.1)
.
73
Множитель наращения валютной суммы равен
qT =
K0
1 + iT
(1 + iT) =
K1
K
(7.2)
,
k
где K = 1 − отношение курсов валют в конце и начале операции.
k0
При фиксированных T, K0 и K1 множитель наращения линейно растет
с ростом i, а при фиксированных Т, К0 и i обратно пропорционален конечному курсу обмена K1.
Доходность этой операции в виде простой ставки процента найдется
по формуле 4.8 гл. 1
S - S0 1
i' = T
⋅ .
S0
T
С помощью (2.1) находим
K0
(1 + iT) - 1
K1
q -1
i' =
.
= T
T
T
(7.3)
k
С увеличением K = 1 эффективность (доходность) финансовой опеk0
рации а) с двойной конверсией падает (рис 2.3); при К=1 имеем qT = 1 + iT
и i' = i. При K >1 (точка b) i'<i, при K<1 (точка с) i'>i.
Рис. 2.3. Операции а)
При K 1=K 0 ( 1+iT ) получаем i'=0: сумма, наращенная по рублевой
операции по ставке наращения i, «съедается» соответствующим ростом
курса обмена, так что ST =S0.
74
Пример 2.18. На рублевый 3-месячный депозит помещается по схеме
а) 1000 долл. Курс продажи на момент открытия депозитного счета
руб.
руб.
K 0 = 4300
, ожидаемый через 3 месяца курс покупки – 4700
.
долл.
долл.
Простая ставка процента по рублевым депозитным 3-месячным вкладам −
100 % годовых, по долларовому вкладу − 10 % годовых.
Наращенная по схеме долл.−руб.−руб.−долл. за три месяца сумма будет
ST = 1000 ⋅
4300
3
( 1 + 1 ⋅ ) = 1143 ,6 долл.
4900
12
Доходность этой операции в виде простой ставки будет
1,1436 - 1
i' =
= 0 ,574 = 57 ,4 %.
3 12
Прямое наращение долларовой суммы по валютной ставке 10 %
годовых
ST = 1000( 1 + 0 ,1 ⋅
3
) = 1025 долл.
12
с доходностью, естественно, 10 % годовых.
Здесь нигде не учитываем комиссии.
руб.
При ожидаемом курсе обмена K1 = 4900
долл.
ST = 1000 ⋅
4300
3
( 1 + 1 ⋅ ) = 1096 ,9 долл.
4900
12
Это соответствует доходности i'=38,8 %.
В момент заключения контракта величина K1 неизвестна, и важнейшей является задача определения того критического значения K1=K1*, при
котором доходность операции с двойной конверсией равна доходности
валютного депозитного вклада, т. е. i'=j. При K1=K1* применение двойного конвертирования не дает никакой дополнительной выгоды.
Приравнивая множители наращения по этим операциям, находим
1 + jT =
K0
K 1*
(1 + iT) ⇒ K 1* =
1 + iT
K0 ,
1 + jT
(7.4)
или
*
1 + iT
*
* K1
, где K =
.
K =
1 + jT
K0
(7.5)
75
Пример 2.19. По данным примера 2.18 S0=1000 долл., К0=4300
руб.
,
долл.
T=1/4 года, i=100 % годовых, j=10 % годовых, находим
1 + 1 ⋅ 0 ,25
руб.
.
⋅ 4300 ≈ 5344
долл.
1 + 0 ,1 ⋅ 0 ,25
руб.
Найденное значение K *1 =5244
имеет следующий смысл. У владолл.
K 1* =
дельца долларовой суммы существует две альтернативные возможности
наращения этого капитала:
• поместить на долларовый депозит
• поместить на рублевой депозит, применяя конверсию валют в обоих
направлениях.
При указанных параметрах задачи владельцу валюты выгодней использовать первую возможность, если он ожидает, что обменный курс через 3 месяца станет больше 5244
курс будет меньше 5244
руб.
, и вторую возможность, если этот
долл.
руб.
.
долл.
Если по операции A0 → AT установлена ставка сложных процентов i,
то для суммы вместо (7.1) получаем
S T = S 0 ⋅ K 0 (1 + i)T
1
K1
(7.6)
.
Соответственно множитель наращения за T лет будет
qT
=
K0
(1 + i)T
T
(1 + i) =
K1
K
(7.7)
.
Естественно для измерения доходности этой операции использовать
эффективную ставку сложных процентов, определяемой 4.1 гл. 2
S
i'ef =  T
 S0
1
 T

- 1,

что с учетом 7.6 дает
i 'ef =
1+ i
K1 T
(7.8)
,
K
где, напоминаем, K = 1 . Видно, что с увеличением роста курса доходK0
ность операции a) падает.
76
Пример 2.20. Двухгодичная операция а) при ставке сложных процентов по рублевым вкладам 100 % годовых, в случае увеличения курса обмена за два года в
1+1
i'ef =
K1
= 1,6 раза, имеет доходность
K0
=0 ,58=58%.
1,6
K
Если K= 1 =2 , то i'ef = 0 ,41 = 41%.
K
0
K 1*
Значение K =
, при котором доходность i'ef равна доходности j,
K0
*
т. е. сложной ставке по долларовому депозиту, найдем, приравнивая
множители наращения
T
(1 + i)T
 1+ i 
 1+ i 
 K 0 , или K * = 

(1 + j) =
⇒ K 1* = 
*
1
+
j
1
+
j




K
T
T
.
(7.9)
Для i=100 % 1/год =11/год и j=10 % 1/год =0,11/год, T=2 года получаем
2
 1+ 1 
K =
 = 3,3.
 1 + 0,1 
*
Операция б):
j
K0
K1
A0 (руб) 
→ S0 (скв) → ST (скв) 
→ AT (руб).
Наращенная рублевая сумма находится по формуле
AT = A0
⋅
K1
(1+ jT).
K0
(7.10)
Множитель наращения рублевой суммы будет
qT =
K1
(1+ jT) = K(1 + jT).
K0
(7.11)
Доходность этой операции в виде ставки простых процентов i' дается
выражением
i' =
K(1 + jT) - 1
.
T
(7.12)
77
Рис. 2.4. Операция б)
Зависимость i' от K =
K1
приведена на рис. 2.4. При К=1 доходность
K0
операции б) равна j, т. е. i'=j; при К>1 i'>j, при К<1 i'<j.
Пример 2.21. На валютный депозит предполагается поместить
1 млн руб. по схеме б). При этом i=100 % годовых, j=10 % годовых,
Т=
руб.
руб.
3
1
= года, K 0 = 4300
, K 1 = 4700
.
12 4
долл.
долл.
Наращенная по схеме б) сумма в рублях составит
AT = 1 ⋅
1
4700
⋅ ( 1 + 0 ,1 ⋅ ) = 1,120 млн руб.
4
4300
Доходность этой операции
i' =
1,120 - 1
= 0 ,48 = 48%.
3 12
Но это существенно меньше доходности рублевого депозита (100 %
годовых).
Прямое инвестирование в рублевый депозит дает для наращенной
суммы
AT = 1 ⋅ ( 1 + 1 ⋅
1
) = 1,250 млн руб.
4
Найдем критическое значение роста курса обмена K
*
=
K 1*
, при коK0
тором двойное конвертирование рубля будет более выгодным, чем прямое
наращение по рублевому депозиту:
K 1* 1 + iT
K 1*
*
(1 + iT) =
.
=
(1 + jT), K =
K 0 1 + jT
K0
78
Для примера 2.21 имеем:
K* =
1 + 1 ⋅ 0,25
руб.
= 1,22 , или K 1* = 5244
.
долл.
1 + 0,1 ⋅ 0,25
Таким образом, если инвестор ожидает, что через три месяца курс
обмена увеличится более чем на 22 % и станет более 5244
руб.
, то ему
долл.
более выгодна будет операция б), нежели прямое наращение по рублевому
депозиту. В обратном случае более выгодно прямое наращение, как это
видно из примера 2.21. Выводы, которые сделаны в примерах 2.19, 2.20 и
2.21, справедливы при i>j.
2.8. Замена платежей при сложных процентах
Как и в случае простых процентов в параграфе 1.9, в основу замены
платежей при использовании схемы сложных процентов положен принцип финансовой эквивалентности платежей: новая схема платежей финансово эквивалентна старой, если после приведения платежей к одной дате
приведенные платежи оказались равными. Уравнение, которое записано
на основе этого принципа, называют уравнением эквивалентности.
Консолидация платежей. Если платежи S1,S1,...Sn со сроком Va1,
Va2,..Van (старая схема) заменяются одним S0 сроком Va0 (новая схема) при
использовании сложной ставки процента, то величина консолидированного платежа S0 находится по формуле
K
n
r=1
r=k+1
-T
T
S 0= ∑ S r ( 1+i) r + ∑ S r ( 1+i) r .
(8.1)
Эта формула записана для случая VaK <Va0<VaK+1, так что первые k
платежей пролонгируются, а остальные nk − дисконтируются по ставке
сложных процентов.
Пример 2.22. Платежи 1 млн руб. и 2 млн руб. со сроками уплаты два
и три года объединяются в один со сроком 2,5 года. При консолидации
используется ставка сложных процентов 20 % годовых. Сумма консолидированного платежа находится по (8.1), при этом первый платеж пролонгируется на 0,5 года, а второй платеж дисконтируется на 0,5 года.
S 0 = 1 ⋅ 1,2 0 ,5 + 2 ⋅ 1,2 -0 ,5 = 2 ,921200 млн руб.
Рассмотрим еще пример использования уравнения эквивалентности.
79
Пример 2.23. Сумма 100 млн руб. взята в долг под 5 % годовых на
5 лет с ежегодной капитализацией. Стороны согласились пересмотреть соглашение. Обязательство будет погашено по схеме: через два года будет
выплачено 30 млн руб., остальной долг гасится еще через 4 года. Найти
сумму окончательного платежа.
В качестве начального момента времени берем момент выдачи ссуды
100 млн руб. В этом случае уравнение эквивалентности это математическая запись выражения: 100 млн − это сегодняшняя стоимость выплаты
30 млн, произведенной через два года плюс сегодняшняя стоимость искомой суммы Z, произведенной через 6 лет.
100 =
30
2
( 1 + 0 ,05 )
+
Z
6
( 1 + 0 ,05 )
⇒
Z = 1,056 ( 100 - 30 ⋅ 1,05 - 2 ) = 97 ,544 млн руб.
Если при объединении платежей задана величина консолидированного платежа, то возникает задача определения его срока Т0.
Запишем уравнение эквивалентности в виде
-T
-T
S 0' (1+ i) 0 = ∑ S k (1+ i) k
(8.2)
.
k
Обозначим правую часть через Q, тогда Q = ∑ S k (1 + i)
-Tk
есть сего-
k
дняшняя стоимость всех заменяемых платежей. Левая часть (8.2) есть сегодняшняя стоимость заменяемого (консолидированного) платежа.
Логарифмируя (8.2), получаем
T0 =
ln(S 0 Q )
.
ln(1 + i)
(8.3)
Из (8.3) видно, что произвольно задать величину консолидированного
платежа S0 нельзя; надо чтобы было S 0 ≥ Q , в этом случае T0 ≥ 0.
Пример 2.24. Платежи 1 млн руб. и 2 млн руб. со сроками уплаты через
2 года и через 3 года заменяются одним в сумме 3 млн руб. При ставке сложных процентов − 20 % годовых срок этого платежа найдется так:
Q = 1 ⋅ 1,2 - 2 + 2 ⋅ 1,2 -3 = 1,852 млн руб.
Теперь находим
T0=
ln (3 1,852 )
=2 ,65 года = 2 года 7 мес 24 дня.
ln 1,2
80
2.9. Эквивалентные ставки
Выше неоднократно говорили об эквивалентности эффективной ставки
сложных процентов и других ставок и рассматривали методику получения
соотношений между эквивалентными ставками. Пусть А0 и АТ − платежи по
простейшей операции. А0 − начальная сумма, АТ − наращенная за время Т сумма, Т − срок операции в годах. Наращенная сумма АТ может быть получена из
начальной А0 за время Т с помощью различных схем начисления процентов использующих различные ставки. Все эти ставки будут эквивалентными, т. к.
приводят к одинаковым финансовым результатам, именно за время Т из суммы
А0 «делают» сумму АТ, или, наоборот, из суммы АТ − сумму А0. Ниже мы для
справки, без вывода, приведем соотношения эквивалентности ставок.
1) i − простая процентная ставка, d − простая учетная ставка
i
d
;
; d=
1 + Ti
1 - Td
2) i − простая, ief − сложная ставка процентов
i=
i=
( 1+ief )T
T
-1 ; ief =( 1+iT)1 T -1;
3) i − простая, j − номинальная ставка, m − число начислений в году при
использовании номинальной ставки
1 

( 1+ j m )mT -1
i=
; j=m ( 1+iT) mT -1 ;


T


4) d − простая учетная,
d=
1-( 1+ief )T
T
ief
− ставка сложных процентов
1
; ief =( 1-dT)T -1;
5) d − простая ставка, j − номинальная ставка, m − число начислений в год
1 

1-( 1+ j m )mT
d=
; j=m ( 1-dT) mT -1 ;


T


6) i − ставка сложных процентов, j − номинальная ставка
(
)
i=( 1+ j m )m-1 ; j=m m 1+i-1 ;
7) i − ставка сложных процентов, d − сложная учетная ставка
i=
d
i
; d=
;
1-d
1+i
8) i − ставка сложных процентов,
i= exp (д ) − 1 , д = ln ( 1+i).
д
− сила роста
81
Глава 3
АНАЛИЗ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ
«Раз уж должны быть на свете заимодавцы и должники, а люди столь жестокосердны, что не хотят ссужать безвозмездно, то ростовщичество должно быть дозволено».
Фрэнсис Бэкон
В этой главе будем рассматривать долгосрочные финансовые операции и коммерческие контракты, в которых имеют дело не с двумя платежами A0 и AT, как в простейшей операции, а с потоком платежей,
распеределенных во времени. Основная задача, которую необходимо
решать при инвестиционном анализе таких операций, – это нахождение
связи между платежами и показателями эффективности этих операций.
3.1. Современная стоимость платежей
В этой главе введем величины, характеризующие эффективность долгосрочных инвестиционных проектов, по которым платежи делаются в течение
ряда лет. Как уже отмечалось ранее (параграфы 1.4 и 2.1), ценность денежной
суммы меняется со временем, поэтому чтобы сравнивать суммы, вложенные
в некоторый инвестиционный проект в разные годы (или сравнивать полученные по этому проекту в разные годы доходы или доходы с расходами),
надо с помощью дисконтирования найти современную стоимость этих капиталов. Все показатели эффективности инвестиционных проектов строятся на
основе понятия сегодняшней (современной) стоимости платежей.
Дисконтирование капитала AT, или приведение этого капитала к начальному моменту времени, осуществляется на основе задания ставки
сложных процентов i по формуле (1.9) гл. 2.
A0 =
AT
T
(1 + i )
= AT VT .
(1.1)
Ставка сложных процентов i, с помощью которой осуществляется
дисконтирование, называется еще ставкой сравнения или ставкой дисконта, а множитель
VT =
1
(1.2)
( 1 + i )T
в (1.1) называется дисконтирующим множителем. Из (1.1) и (1.2) находим:
чем больше ставка i, тем меньше современная стоимость A0 будущего капитала AT, аналогично, чем больше Т, т. е. чем к более отдаленному мо82
менту времени относится платеж AT, тем меньше современная стоимость
этого платежа.
Пусть X0,X1,X2,...,Xn − затраты или инвестиции, сделанные в инвестиционный проект, (X0) − в начальный момент, (X1) – в течение первого года,
(X2) − второго и т. д.;
Y0,Y1,Y2,...,Yn − доходы, полученные в эти же годы от сделанных вложений. Реально доход Y0, как правило, отсутствует и написан он для симметрии дальнейших формул.
Все платежи X1,Y1;X2,Y2;… будем относить здесь к концу года. Тогда
величины
PV ( X ) = X 0 +
PV ( Y ) = Y0 +
X1
X2
Xn
,
+
+ ... +
n
( 1 + i ) ( 1 + i )2
(1+ i )
(1.3)
Yn
Y1
Y2
+
+ ... +
( 1 + i ) ( 1 + i )2
( 1 + i )n
имеют смысл приведенных затрат и приведенных доходов по этому проекту, т. е. современной стоимости (PV − Present Value) затрат и современной текущей стоимости доходов.
Пример 3.1. Предположим, что перед нами два варианта вложения капитала A и B. Вложение A приносит 100 долл. сейчас и еще 200 долл. в будущем году. Вложение B приносит 310 долл. только в будущем году. Какое
вложение капитала лучше? Ответ зависит от ставки процента. Если ставка
равна нулю, ответ очевиден – достаточно сложить доход:
PVA = 100+200=300; PVB = 0+310=310.
Поэтому следует предпочесть вложение B. Однако при ставке например, в 20 % получим противоположный результат:
PV A = 100 +
200
= 266 ,67 ;
1,20
PV B = 0 +
310
= 258 ,33.
1,20
Для большинства финансовых инвестиций затраты XК являются разовыми и осуществляются при покупке ценной бумаги по цене X0. Доходы
YT по ценным бумагам оговариваются при эмиссии ценных бумаг. Для
долговых ценных бумаг они в момент покупки известны, например, это
купонные платежи по купонной облигации. Для долевой ценной бумаги
(простой акции) размер будущих дивидендов по ней в момент покупки
неизвестен (см. гл. 4).
83
Для производственных инвестиционных проектов будем предполагать, что для проекта, рассчитанного на T лет, можно оценить инвестиционные затраты X0,X1,... Отдача от этих вложений, т. е. доход YK в году K, в
общем случае определяется так
YK = ( D − P ) − ( D − P − P1 )g .
Здесь: D − ожидаемый брутто-доход от реализации проекта, например, объем
выручки от продажи продукции; P − общие текущие расходы; P1 – расходы,
на которые распространяются налоговые льготы; g − ставка налога.
Выбор ставки процента. При определении современной стоимости
платежей по (1.3) важным моментом является выбор ставки сложных процентов i (ставки сравнения, ставки дисконта), по которой производится дисконтирование. В реальной жизни существует много ставок процента: номинальные, реальные, ставки до выплаты налогов, ставки после выплаты налогов, краткосрочные, долгосрочные ставки и т. д. Какую ставку следует взять
при вычислении по (1.3) для конкретного проекта, решает инвестиционный
управляющий, анализирующий данный проект: выбирая конкретное значение ставки i, например, выбирая в качестве i-ставку процента по кредитным
операциям, инвестиционный управляющий сравнивает анализируемый проект с доходностью кредитных операций. Отсюда и название − «ставка сравнения». Практически выбор i означает выбор конкретных ориентиров: доходность определенных видов ценных бумаг, доходность банковских операций, доходность финансового инструмента, который фирме уже приносит
доходность i и т. д.
Ставка процента показывает альтернативную стоимость фондов – стоимость альтернативного использования капитала. Поэтому каждый поток
платежей должен сравниваться с наилучшей альтернативой, имеющей сходные харктеристики с точки зрения налогового режима, риска, ликвидности.
Пример 3.2. Контракт предусматривает следующий порядок выплаты
кредита: 1.06.94 г. − 10 млн руб., 1.01.95 г. − 15 млн руб., 1.01.96г. − 20 млн
руб., 1.06.97 г. − 30 млн руб. Определить задолженность на 1.06.94 г., если
проценты начисляются по ставке сложных процентов i=40 % годовых. Задолженность на 1.04.94 г. равна стоимости всех платежей на эту дату и находится по (1.3). Обозначая задолженность X, находим
X = 10 +
15
( 1 + 0 ,4 )0 ,5
+
20
( 1 + 0 ,4 )1,5
+
30
( 1 + 0 ,4 ) 3
=
= 10 + 15 ⋅ 1,4 −0 ,5 + 20 ⋅ 1,4 −1,5 + 30 ⋅ 1,4 −3 = 45 ,684 млн руб.
84
При дисконтировании платежей могут использоваться различные
ставки для разных временных периодов. В этом случае
PV ( X ) = X 0 +
Xn
X1
X2
+
+ ... +
,
( 1 + i1 ) ( 1 + i1 )( 1 + i 2 )
( 1 + i1 )( 1 + i 2 )...( 1 + i n )
(1.4)
PV ( Y ) = Y0 +
Yn
Y1
Y2
+
+ ... +
.
( 1 + i1 ) ( 1 + i1 )( 1 + i 2 )
( 1 + i1 )( 1 + i 2 )...( 1 + i n )
3.2. Чистая приведенная стоимость (NPV)
Одним из самых популярных показателей эффективности инвестиционных проектов долгое время был (в докомпьютерную эпоху) показатель, который называется NPV − NetPresent Value. Варианты русских переводов:
чистый дисконтированный доход (ЧДД), чистый приведенный доход (ЧПД),
чистая приведенная величина денежных поступлений (ЧПВД) не очень
прижились. Если X0,X1,X2,... − инвестиционные затраты, а Y0,Y1,Y2,... − доходы от инвестиций, то
NPV=PV(Y)−PV(X),
(1.5)
или для нашего варианта платежей в конце года
NPV = ( Y0 − X 0 ) +
( Y1 − X 1 ) ( Y2 − X 2 )
(Y − Xn )
+
+ ... + n
,
1+i
( 1 + i )2
( 1 + i )n
(1.6)
или
n Y −X
K.
NPV = ∑ K
K
K =0 ( 1 − i )
Таким образом, NPV есть разность современной стоимости всех доходов
и современной стоимости всех затрат по инвестиционному проекту.
Напомним, что инвестиционный проект − это последовательность
взаимосвязанных инвестиций, растянутых на несколько временных периодов, отдача от которых (доходы) тоже растянуты во времени. Выбирая
в качестве нормы доходности (уровня доходности) некоторую ставку
сложных процентов i, находят PV доходов и PV затрат и разность между
ними, т. е. чистый приведенный доход, или NPV.
Если анализируются несколько альтернативных проектов, то более
выгоден с финансовой точки зрения тот, NPV которого больше. Если величина NPV рассматриваемого проекта отрицательна (NPV <0), то доходность этого проекта ниже стоимости капитала при ставке сравнения i, с
85
помощью которой проводилось дисконтирование, т. е. на рынке есть более привлекательные варианты инвестирования, например, помещение
этих денег в банк под i % годовых. Если NPV>0, то доходность проекта
больше, чем альтернативный вариант на финансовом рынке со ставкой i.
Очевидно, что из двух альтернативных инвестиционных проектов с равными инвестиционными затратами выбирается тот, который обеспечивает
наибольшее значение NPV.
Заметим, что в (1.6) первое слагаемое Y0 − X0 =−X0 < 0, так как Y0=0.
Для проектов, связанных с покупкой ценных бумаг, все остальные слагаемые в правой части (1.6) положительны, для других проектов − могут
быть как положительными, так и отрицательными. Чем больше i, тем
меньшую роль играют последние слагаемые в (1.6).
Пример 3.3. Контракт между фирмой А и банком B предусматривает,
что банк предоставляет в течение 3-х лет кредит фирме ежегодными платежами в начале каждого года в размере 1 млн долл. Фирма возвращает
долг, выплачивая 1 млн долл., 2 млн долл., и 1 млн долл. последовательно
в конце 3-го, 4-го и 5-го годов. Выгодно ли это банку, если ставка по кредитам этого банка составляет 10 % годовых?
Для банка этот контракт есть инвестиционный проект с характеристиками:
n=5 лет,
X0=X1=X2=1 млн долл.
X3=X4= =X5=0.
Y0=Y1=Y2=0. Y3=1 млн долл.,
Y4=2 млн долл.,
Y5=1 млн долл.
В качестве ставки сравнения (норматива доходности) естественно
взять ставку по кредитным операциям банка, i=10 % годовых. Вычисляем
NPV.
1
1
1
2
1
−
+
+
+
=
1 + 0 ,1 ( 1 + 0 ,1 ) 2 ( 1 + 0 ,1 ) 3 ( 1 + 0 ,1 ) 4 ( 1 + 0 ,1 ) 5
= 0 ,003 млн долл. = 3000 долл.
NPV = −1 −
При ставке сравнения i=12 % годовых NPV = −0,14 млн долл. = −140 тыс.
долл. Для банка этот контракт выгоден при i=10 % годовых, так как при
этом значении i NPV>0. Но если банк по кредитам использует 12 % годовых, то эта схема платежей будет для банка невыгодна, так как в этом
случае NPV<0.
86
Далее мы вернемся к вычислению NPV проектов с различными вариантами платежей.
Пример 3.4. Из трех инвестиционных проектов необходимо выбрать
наиболее прибыльный с точки зрения сегодняшней стоимости затрат и
доходов. Принять ставку сравнения i=100 % годовых. Проекты имеют
следующие характеристики: (XK − затраты, YK − доходы в году K)
NPV1
NPV2
NPV3
годы
XK тыс. руб.
YK тыс. руб.
XK тыс. руб.
YK тыс. руб.
XK тыс. руб.
YK тыс. руб.
0
30
1
20
2
20
−
−
−
60
20
−
−
40
40
10
20
100
20
100
−
3
−
4
−
−
−
−
200
400
−
−
−
320
400
Из трех проектов по этому критерию следует выбирать тот, для которого NPV будет больше. При i=100 % в год имеем
• проект 1: NPV1 = −30 −
20
20
320
−
+
= −5 тыс. руб.;
1 + 1 ( 1 + 1 ) 2 ( 1 + 1 )3
• проект 2: NPV2 = −60 −
20
100 − 20
200
400
−
+
+
= 0;
1 + 1 ( 1 + 1 ) 2 ( 1 + 1 )3 ( 1 + 1 )4
• проект 3: NPV3 = −40 +
10 − 40 100 − 20
400
+
+
= 15 тыс. руб.
2
3
1+1
(1 + 1)
(1 + 1)
Самым большим будет NPV третьего проекта, его и следует выбрать. Величина NPV для первого проекта отрицательна, его доходность меньше ставки
i=100 % годовых, доходность проекта 3 будет больше 100 % годовых.
3.3. Срок окупаемости
Одним из важных показателей эффективности вложений в производственный проект (производственные инвестиции) является величина, называемая сроком окупаемости проекта; под этим понимают промежуток
времени от начала реализации проекта, в течение которого сумма дисконтированных на начало реализации проекта чистых доходов равна сумме
инвестиций, дисконтированных на этот момент. Иногда дисконтируют на
момент завершения инвестиций. Таким образом, срок окупаемости пред87
ставляет собой время, необходимое для полной компенсации инвестиций.
Этот показатель рассчитывается на основе понятия современной стоимости платежей. Для примера рассмотрим случай, когда потоки платежей не
следуют какой-либо закономерности и платежи относятся к концу года.
Пример 3.5. Определить срок окупаемости проекта, если норма доходности (ставка сравнения) равна i=100 % годовых (X и Y указаны в условных единицах).
Годы
XK
YK
0
100
−
1
50
100
2
3
4
−
−
−
200
800
900
Находим сумму приведенных затрат и приведенных доходов за 1-й
год реализации проекта
PV ( X ) = 100 +
50
100
= 125; PV ( Y ) =
= 50;
1+1
1+1
PV(Y)<PV(X) − проект не окупается за первый год его реализации.
За два года реализации проекта:
PV(X)=125, PV ( Y ) =
100 200
+
= 100;
2
4
PV(Y)<PV(X) − окупаемости также нет.
За три года реализации проекта:
PV(X)=125, PV ( Y ) = 100 +
800
= 200;
8
PV(Y)>PV(X) − проект окупается в течение третьего года реализации.
Часть Х третьего года найдем из уравнения
100 +
1
800
X = 125 ⇒ X = 0 ,25 = .
4
8
Проект окупается за 2,25=2 1/4 года.
Позже мы рассмотрим нахождение срока окупаемости проекта, когда
доходы по нему представляют упорядоченный поток платежей.
Отметим, что срок окупаемости как мера эффективности проекта не
учитывает доходы, лежащие за его пределами, и поэтому не является всеобъемлющей характеристикой проекта. Обычно он служит не критерием
выбора проекта, а используется лишь в виде ограничения при принятии
решения: если срок окупаемости проекта больше, чем принятое ограничение, то он исключается из списка возможных инвестиционных проектов.
88
3.4. Внутренняя норма доходности
Внутренняя норма доходности (IRR, internal rate of return) − наиболее
распространенная характеристика (мера) эффективности инвестиционных
проектов, эффективности вложений. Внутренняя норма доходности, говорят еще − внутренний уровень доходности, − это такая ставка сложных
процентов, ставка сравнения, при которой NPV проекта равно нулю, т. е.
при которой сумма приведенных расходов равна сумме приведенных доходов. Иначе говоря, при начислении на инвестиции сложных процентов по
ставке, равной внутренней норме доходности, обеспечивается получение
дохода даваемого, данным проектом. Из сказанного следует, что внутренняя норма доходности находится из уравнения
NPV=0 или PV(X)=PV(Y).
(4.1)
С учетом (1.6) это уравнение запишется так:
Y − X 1 Y2 − X 2 Y3 − X 3
Y − Xn
Y0 − X 0 + 1
+
+
+ ... + n
= 0.
2
3
n
1+i
(1+ i )
(1+ i )
(1+ i )
(4.2)
Пусть капиталовложения (инвестиции) осуществляются только за
счет привлеченных средств, причем кредит получен по ставке i % годовых. Если IRR − внутренняя норма доходности проекта, т. е. IRR=i0 есть
решение уравнения (4.1) или (4.2), то разность i0 −i показывает эффект от
сделанных инвестиций: при i0=i доход, получаемый от инвестированного
капитала, только окупает инвестиции; при i0 < i инвестиции убыточны. Таким образом, если стоимость капитала проекта выше, чем IRR, то его вложение в проект неоправданно, так как текущая оценка затрат превысит текущую оценку будущих поступлений.
Нахождение i0 связано с решением нелинейного уравнения (4.2) с неизвестной величиной i. При наличии под рукой только калькулятора, значение i0 с заданной точностью легко найти методом последовательного
приближения.
Пример 3.6. Найти внутреннюю норму доходности i0 инвестиционного проекта, имеющего следующие характеристики: срок реализации − 3
года, X0=100, X1=50, X2=X3=0. Y0=0,Y1=100, Y2=200, Y3=800.
Подставляем эти значения в (4.2), находим, что для определения i0
нужно решить уравнение
50
200
800
1
4
16
+
+
− 100 = 0 , или
+
+
− 2 = 0.
1 + i ( 1 + i )2 ( 1 + i )3
1 + i ( 1 + i )2 ( 1 + i )3
89
В качестве нулевого приближения берем i=1, левая часть при этом
равна 1,5>0.Берем i=2, левая часть отрицательна и равна −0,63. Заключаем, что 1<i0<2. Берем i=1,5. Левая часть равна 0,064>0, заключаем, что
1,5<i0<1,6 и ближе к 1,5. Берем i=1,6, находим, что 1,5<i0<1,6. Заключаем, что i=1,55 с точностью 0,5=5 %. Итак, внутренняя норма доходности
этого инвестиционного проекта равна i0=1,55=155 %.
Решаем уравнение (4.2) методом Ньютона. Для этого умножим это
уравнение на (1+i)3, получаем
f(i)=0, где f(i)=(1+i)2+4(1+i)−2(1+i)3+16.
Если i0 − нулевое приближение, то
i1 = i0 −
f ( i0 )
− «первое приближение»;
f ' ( i0 )
i 2 = i1 −
f ( i1 )
− «второе приближение» и т. д.
f ' ( i1 )
Находим f′'(i)=−6(1+i)2+2(1+i)+4.
Полагаем i0=1. Имеем
f( 1 ) = 2 2 + 4 ⋅ 2 − 2 ⋅ 2 3 + 16 = 12;
f'( 1 ) = −6 ⋅ 2 2 + 2 ⋅ 2 + 4 = −16 ;
i1 = 1 +
12
= 1,75;
16
i 2 = 1,75 −
f( 1,75 )
= 1,55.
f'( 1,75 )
Стоимостью до 0,005 находим i0=1,55=155 %.
Если инвестиционный проект сводится к простейшей операции с начальной затратой X0 и доходом через n лет Yn, то равенство NPV=0 дает
(остальные XK и YK равны нулю):
1/ n
Y 
= 0 ⇒ i0 =  n 
X0 +
( 1 + i0 )n
 X0 
Yn
− 1,
что совпадает с определением эффективной ставки сложных процентов по
этой операции. Это означает, что в этом случае IRR есть доходность инвестиционного проекта по схеме сложных проектов.
В дальнейшем мы получим уравнения для нахождения IRR для случая, когда доходы образуют регулярный поток платежей.
90
3.5. Рентабельность инвестиционного проекта
Этот показатель представляет собой отношение приведенных доходов
PV(Y) к приведенным расходам PV(X). Часто он называется еще индексом
доходности или показателем рентабельности (provitability index). Обозначим его PI. Тогда
PI =
PV ( Y )
.
PV ( X )
(5.1)
Заметим, что при вычислении PV(X) и PV(Y), т. е. при дисконтировании платежей мы использовали ставку сложных процентов i, т. е. мы уже
заложили некоторый норматив рентабельности − i% годовых. Показатель
рентабельности P определяет некоторую дополнительную рентабельность,
сверх заложенной нормативной: величина
p = PI − 1 =
PV ( Y )
PV ( Y ) − PV ( X )
NPV
−1=
=
PV ( X )
PV ( X )
PV ( X )
(5.2)
показывает на сколько процентов приведенные доходы превышают приведенные расходы, т. е. дополнительную (сверх i) рентабельность проекта.
Если PI=1, то доходность вложений в проект точно равна нормативной,
внутренней, норме доходности, и дополнительной рентабельности нет
(PI−1=0). Если PI<1, то инвестиции нерентабельны, так как проект не
обеспечивает норматива рентабельности i % годовых. Другими словами,
при PI=1, i=i0, NPV=0; при PI<1, i>i0, NPV<0; при PI>1, i<i0, NPV>0.
Пример 3.7. Найдем рентабельность проекта 3 из примера 3.3. Имеем
при ставке сравнения i=100 % год-1
PV ( X ) = 40 +
PV ( Y ) =
40 20
+
= 65 тыс. руб.,
2
4
10 100 400
+
+
= 80 тыс. руб.
2
4
8
Показатель рентабельности P =
80
= 1,23.
65
Дополнительная рентабельность составит p= P−1=0,23=23 %.
Это означает, что за все три года реализации этого проекта приведенные доходы на 23 % больше приведенных затрат по проекту. Плановая же
(нормативная) доходность, заложенная при вычислении PV платежей, составляет 100 % годовых.
91
Далее для регулярного потока платежей мы получим формулы расчета показателя рентабельности при разных схемах платежей.
Вычисление всех четырех показателей эффективности: NPV, внутренней
нормы доходности, срока окупаемости, показателя рентабельности PI −
предполагает известными величинами YK и XK. Для производственных инвестиций в момент начала реализации проекта эти величины могут быть
оценены приблизительно. Для инвестиций в процентные долговые ценные
бумаги в момент покупки все платежи известны, и показатели эффективности можно вычислить. Элемент неопределенности возникает при выборе ставки сравнения, выборе уровня плановой доходности: со временем
экономическая ситуация изменится, изменится ситуация на финансовом
рынке, и та ставка процента, которая считалась приемлемой в момент анализа проекта, перестанет быть таковой.
Пример 3.8. Проанализировать инвестиционные проекты А и Б, вычисляя показатели эффективности проектов при двух значениях ставки
сравнения: i=10 % в год и i=15 % в год. Проекты задаются платежами, отнесенными к концу года (в условных единицах).
Проект А рассчитан на 6 лет, вложения осуществлялись в течение
первых двух лет и составили соответственно 100 и 200 ед. в год. Доходы
от этих вложений поступают в течение 3, 4, 5 и 6 лет и составляют соответственно 50, 150, 200 и 200 ед. в год.
Соответственно интерпретируется строчка для проекта Б. При ставке
сравнения i=10 % годовых находим для проекта А.
Годы / проекты
А
Б
1
2
−100
−200
−150
−50
3
50
4
150
5
200
6
200
7
−
50
100
100
200
200
100 150
+
= 214 ,9 ед.,
1,1 1,1 2
50
150 200 200
PV ( Y ) =
+
+
+
= 377 ,1 ед.
3
4
5
6
1,1
1,1
1,1
1,1
PV ( X ) =
Находим чистый приведенный доход или NPV
NPV=377,1 – 214,9=162,2 ед.
Находим показатель рентабельности и дополнительную рентабельность проекта P =
377 ,1
= 1,75.
214 ,9
92
Дополнительная (сверхплановой 10 % в год) рентабельность за 6 лет
реализации проекта составит
p = PI−1=1,75−1=0,75=75 %.
Находим срок окупаемости t проекта А при i=10 % в год. Видно, что
проект окупается в течение пятого года его реализации. Долю X пятого
года находим из уравнения
− 214 ,9 +
50
1,1
3
+
150
1,1
4
+
200
1,1
5
⋅ x = 0 , или − 74 ,88 + 124 ,18 ⋅ x = 0 ⇒ x = 0 ,6.
При i=10 % в год проект А окупается в течении 4,6 лет со дня начала
его реализации или за срок t=4,6−2=2,6 года с момента окончания инвестиций. Это время и возьмем в качестве срока окупаемости. Внутренняя
норма доходности i0 − это корень уравнения с неизвестным i:
−
100
150
50
150
200
200
−
+
+
+
+
= 0.
1 + i ( 1 + i ) 2 ( 1 + i ) 3 ( 1 + i ) 4 ( 1 + i ) 5 ( 1 + i )6
С помощью калькулятора подбором легко найти, что i0=0,31=31 %.
Аналогичные вычисления делаем для ставки сравнения i=15 %. Эти
же характеристики для двух ставок процента находим для проекта B. Результаты вычислений заносим в таблицу:
NPV (ед.)
PI
t (год)
i0 (%)
i=
A
162,2
1,75
2,6
31
10 %
B
163
1,73
4,3
25
i=
A
104,2
1,52
2,8
31
15 %
B
83,3
1,39
4,8
25
Сравниваем A и B при ставке сравнения i=10 % в год. Два показателя
(NPV и P) примерно одинаковые, по остальным двум (t и i0) предпочтение
следует отдать проекту A. При ставке i=15 % в год преимущество имеет
по всем показателям проект A.
По данным опроса, 103 крупнейшие нефтяные и газовые компании США
(1983 г.), 98 % фирм применяли в качестве основного или дополнительного,
по крайней мере, один из рассмотренных показателей эффективности, а многие − несколько. Данные приведены в таблице.
Внутренняя норма доходности
NPV
Другие методы
Измеритель эффективности
Основной
Вспомогательный
69
14
32
39
12
21
93
Естественно, что существуют нефинансовые критерии инвестиционных проектов, в том числе связанные с экологией и охраной труда (только
6 фирм из 103 заявили, что не существует нефинансовых критериев). По
данным опроса, 65 % фирм одобряли проект и тогда, когда он не отвечал
формальным инвестиционным критериям, но устраивал их по другим соображениям. Что касается мелких фирм (с ежегодными инвестициями менее 10 млн долл.), то только 25 % применяли рассмотренные показатели,
но отмечается, что эффективность многих проектов мелких фирм настолько очевидна, что они не нуждаются в инвестиционном анализе.
3.6. Потоки платежей, финансовая рента
Мы неоднократно отмечали, что многие операции на финансовом
рынке предполагают не разовые платежи, а некоторую их последовательность − потоки платежей. Потоки платежей могут быть регулярными и
нерегулярными. Выше мы при рассмотрении показателей эффективности
рассматривали нерегулярные потоки. Члены такого потока могут быть отрицательными (инвестиции) и положительными (доходы), величина платежей меняется произвольно, интервал между ними тоже произволен.
Поток платежей, все члены которого положительные величины, а
платежи следуют через одинаковые промежутки времени, называется финансовой рентой (просто рентой, или аннуитетом) независимо от назначения платежей. Рассмотренные в гл. 1 платежи в счет погашения потребительского кредита − пример финансовой ренты, процентные платежи по
купонной облигации − другой. Параметры финансовой ренты: период
ренты − промежуток времени между двумя последовательными платежами; срок ренты − время от начала первого периода ренты до конца последнего; величина (размер) отдельного платежа; ставка процента, по которой делаются начисления на платежи; число платежей в году; способ и
частота начислений процентов.
По количеству выплат в году ренты делятся на годовые (выплаты раз
в году) и p-срочные (p − количество выплат в году).
По количеству начислений процентов на протяжении года различают:
ренты с ежегодным начислением, с начислением m раз в году, с непрерывным начислением. Моменты начисления процентов могут совпадать с
моментами выплат членов ренты, могут не совпадать. Величина платежа
может быть одинакова − постоянная рента − или меняется по какому-либо
закону − переменная рента.
По вероятности выплат ренты делятся на верные и условные: верные
ренты подлежат безусловной выплате (например, выплаты в счет погашения
94
кредита). Число членов такой ренты заранее известно. Условная рента − выплаты зависят от наступления случайного события, а поэтому число членов ренты заранее неизвестно. К таким рентам относятся страховые аннуитеты − различные последовательные платежи в имущественном и личном страховании.
По продолжительности ренты делят на ренты с ограниченным сроком
(срок заранее оговаривается) и, следовательно, с конечным числом выплат
и на вечные ренты, когда срок операции весьма продолжителен и не оговаривается конкретными датами.
Если срок ренты начинается сразу после подписания сделки, то говорят о немедленной ренте; если устанавливается некоторый промежуток
времени (льготный период) после подписания сделки, в течении которого
рента не выплачивается, то говорят об отложенной ренте.
По моменту внесения платежа в пределах установленного периода:
если платежи осуществляются в конце периода, то рента называется
обыкновенной или постнумерандо, если в начале периода, то пренумерандо. Пусть контракт предусматривает поквартальное погашение задолженности в конце каждого квартала на протяжении трех лет платежами одинаковой величины. Это означает, что предусматривается постоянная,
квартальная, верная, ограниченная (трехлетняя) рента постнумерандо. Если первая выплата в счет погашения задолженности производится спустя
год после подписания контракта, то это − отложенная рента с годовым
льготным периодом.
Задачи с финансовыми рентами независимо от назначения и происхождения платежей можно разбить на 2 группы:
1) расчет наращенных сумм, если на платежи в течение всего срока
ренты начисляются проценты;
2) расчет современной стоимости ренты.
Получим формулы для расчета наращенных сумм и современной
стоимости постоянных рент постнумерандо при различных вариантах
платежей и начисления процентов.
Обозначим n − срок ренты, R − величина годового платежа.
§3.7. Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо
Годовая рента. Пусть в течение n лет в банк в конце каждого года
вносится сумма R (R=const). На взносы начисляются сложные проценты
по ставке i % годовых. Необходимо найти наращенную сумму (сумму
вклада) на момент последнего платежа. Рассуждаем так: на первый вклад
проценты начисляются n−1 год и на конец ренты наращенная сумма этого
вклада составит R(1+i)n−1, на второй вклад проценты начисляются n−2 го95
да, а наращенная сумма этого вклада − R(1+i)n−2 и т. д. На последний взнос
проценты не начисляются. Наращенная сумма ренты − это сумма наращенных сумм этих вкладов. Записывая члены в обратном порядке, получим для наращенной суммы S ренты
S = R + R ⋅ ( 1 + i ) + R ⋅ ( 1 + i )2 + ... + R ⋅ ( 1 + i )n −1 , или
(7.1)
S = R ⋅ Sn;i ,
где Sn;i = 1 + ( 1 + i ) + ( 1 + i )2 + ... + ( 1 + i )n −1 =
n −1
∑ ( 1 + i )K
K =0
есть сумма первых n членов геометрической прогрессии, первый член которой 1, а знаменатель − (1+i), поэтому
S n;i =
n −1
∑ (1+ i )
K
K =0
( 1 + i )n − 1
=
.
i
(7.2)
Величина Sn;i есть наращенная сумма постоянной ренты с n единичными платежами в конце года на конец ренты при ставке сложенных процентов i % годовых. Эта величина имеет два индекса: n, i указывающие на
срок ренты и величину процентной ставки. Учитывая формулу (7.1) для
наращенной суммы ренты S, множитель Sn;i называют коэффициентом наращения ренты. При наличии калькулятора его вычисление для любых n и
i не вызывает затруднений, раньше для этих целей использовали специальные таблицы для Sn;i.
Пример 3.9. Для обеспечения будущих предполагаемых расходов решено создать фонд. Для этого на счет в банке поступают в виде постоянной ренты постнумерандо взносы в течение пяти лет. Размер разового годового платежа 5 млн руб.
Размер фонда при ставке i=15 % годовых будет равен.
( 1 + 0 ,15 ) 5 − 1
S = 5 ⋅ S 5;15 = 5
= 33 ,712 млн руб.
0 ,15
Формула 7.1 связывает четыре величины S, R, n и i для годовой ренты.
При заданных S, i и T ≡ n размер разового годового платежа дается
формулой
R=
S
Sn;i
=
S ⋅i
( 1 + i )n − 1
=
S ⋅i
( 1 + i )T − 1
.
96
(7.3)
При заданных S, R, i продолжительность T=n ренты определяется
формулой
S

ln ⋅ i + 1 
R

.
T=
ln( 1 + i )
(7.4)
Если заданы S, R, n, то возникает задача определения ставки сложных
процентов i для годовой ренты из формулы (7.1), которую перепишем так:
S = R⋅
( 1 + i )n − 1
.
i
(7.5)
Разрешить это уравнение относительно i не представляется возможным.
Из численных методов решения этого уравнения для калькулятора подходит
метод итерации. Для его применения перепишем (7.5) в виде
1
n
S
S
i + 1 = ( 1 + i )n ⇒ i =  i + 1  − 1.
R
R

(7.6)
К уравнению (7.6) применим метод итераций по схеме: пусть i0 − нулевое приближение, тогда первое i1, второе i2 и т. д. приближения вычисляются по формулам i1= j(i0), i2 = j(i1), i3 = j(i2), ...... iK+1 = j(iK). Для нашего
случая получаем

S
i1 =  ⋅ i0 + 1 

R
1/ n

S
i K +1 =  ⋅ i K + 1 

R

S
− 1, i 2 =  ⋅ i1 + 1 

R
1/ n
1/ n
− 1,...
(7.7)
−1
Пример 3.10. Для создания через 5 лет целевого фонда в размере
100 млн руб. ежегодными платежами в конце года при ставке 20 % годовых величина разового платежа должна быть равна
R=
S
S 5;20
=
100
= 13,438 млн руб.
7 ,4416
Если S=100 млн руб., R=20 млн руб., T=3,8 года ставку i находим по
формулам (7.7). Полагаем i0=0,3, получаем: i0=0,3, i1=0,2727, i2=0,2540,
i3=2408, i4=0,2311, ... i21=i22=0,2000. Следовательно, i=0,20=20 % годовых.
Если начать с i0=0,1, то i1=0,1126, i2=0,1247, i3=0,1360 ,…, i26 = i27=0,2000.
Получаем опять i=0,20=20 %.
Сходимость медленная, но формула (7.7) позволяет написать простую
программу для программируемого калькулятора.
97
Годовая рента с начислением m раз в году. Платежи разовые в конце года величиной R. Начисление процентов m раз в году, номинальная
ставка j. За год начисления делаются m раз по ставке j/m, что соответствует годовой ставке сложных процентов (эффективной ставке) ief (см. формулу (2.3) гл. 2) :
ief = i = ( 1 + j m ) m − 1.
Заменим в (7.1) и (7.2) ставку i на это выражение, получим
S = R ⋅ S mn; j m ,
где S mn; j / m =
j

1 + 
m

(7.8)
mn
j

1 + 
m

m
−1
(7.9)
.
−1
Индексы коэффициента наращения (7.9) этой ренты имеют смысл: mn −
число начислений за n лет (число периодов начислений), j/m − ставка
сложных процентов за период начисления. Если n=5, m=4, j=20 % 1/год,
то S mn; j m = S 20 ;5 . При известных S, n, m, j размер годового платежа находим по формуле
R=
S
S mn; j m
(7.10)
.
При известных S, R, m, j срок этой ренты T=n находим по формуле
m
 S 
 
j
ln   1 +  − 1 + 1
m
 
 R 
,
T=
j

mln 1 + 
m

(7.11)
которую легко получить из (7.8) и (7.9).
Пример 3.11. Найдем величину годового платежа R, если n=5 лет,
S=100 млн руб.,j=20 % 1/год, начисления ежеквартальные (m=4). Тогда
mn =20, j/m=5=0,05.
R=
100
1,05 20 − 1
, S 20 ;5 =
= 7 ,67169 ,
4
S 20 ;5
1,05 − 1
R=13,035 млн руб., что меньше, чем в примере 3.9
98
Если ставится задача определения номинальной ставки j по заданным
S, R, m, n, то, вводя эффективную ставку сложных процентов
j

i = 1 + 
m

m
− 1,
перепишем (7.8) и (7.9) в виде (7.5)
( 1 + i )n − 1
S = R⋅
.
i
Методом итерации по формулам (7.7) находим эффективную ставку i,
затем по формуле
[
]
j = m ( i + 1 )1 / m − 1
(7.12)
вычисляем номинальную ставку.
Пример 3.12. Для S=100 млн руб., R=13,075 млн руб., n=5 лет, m=4
найти номинальную ставку j. Сначала находим итерационным методом
эффективную ставку сложных процентов по формуле 7.6
 100

i=
i + 1
 13,075

0 ,2
− 1.
Вычисления дают i=0,2155, тогда
[
]
j = 4 1,2155 0 ,25 − 1 ≈ 0 ,20 = 20 % годовых.
Заметим, что i=0,2155=21,55 % − это внутренняя норма доходности
по этой операции, рассматриваемой как инвестиционный проект.
Рента p-срочная. Рента выплачивается p раз в году равными суммами R/p, где R, как и раньше, величина годового платежа, проценты начисляются по сложной ставке i. Наращенную сумму S этой ренты проще всего найти, используя формулу (7.5). Рассуждаем так: перейдем к схеме
сложных процентов с периодом начислений, совпадающим с периодом
платежей − 1/p часть года. Всего периодов будет pn, ставка процента за
период начисления ip тогда равна
i p = ( 1 + i ) 1 / p − 1.
Имеем ренту постнумерандо с начислением в конце периода по ставке ip. В формуле (7.5) сделаем замену
R→
R
, i → i p , n → np .
p
99
Имеем
np
R ( 1+i p ) − 1 R ( 1 + i) n − 1
=
S= ⋅
,
p
ip
p ( 1 + i)1 /p − 1
или
(p)
S = R ⋅ S n;i ,
(p)
S n,i =
( 1 + i) n − 1
[
p ( 1 + i)
1 /p
]
−1
(7.13)
(7.14)
.
По данным S, n, i, p можно найти величину годового платежа для pсрочной ренты
R=
S
(p)
S n;i
(7.15)
.
При известных S, R, p, i срок p-срочной ренты T=n определяется
формулой
S

ln  ⋅ p ⋅ [( 1 + i)1 /p − 1 ]  + 1
R

T=
,
ln ( 1 + i)
(7.16)
которая получается обычным образом из (7.13).
Пример 3.13. Найдем наращенную за 5 лет сумму если R=10 млн
руб., p=2, i=20 % 1/год.
10 ( 1 + 0 ,2 ) 5 − 1
⋅
= 77 ,9673 млн руб.
S=
2 ( 1 + 0 ,2 )1 / 2 − 1
Если ставится задача определения ставки сложных процентов i pсрочной ренты по данным S, R, p, n, то проще всего это сделать применяя
итерационный метод для определения ip. Для проведения процесса итерации перепишем (7.13) в виде
1
 np
 Sp
i p =  i p + 1
 R

−1
1
 np
 Sp
(i p )1 =  (i p )0 + 1 
 R

(7.17)
1
 np
 Sp
− 1,(i p )2 =  (i p )1 + 1
 R

и т. д. Найдя ставку ip, находим ставку i по формуле
i = ( 1 + i p ) p − 1.
100
−1
Пример 3.14. Используем данные примера 3.12. Для ренты с параметрами R=10 млн руб., S=77,9673 млн руб., p=2, n=5 лет найти ставку
сложных процентов i.
Вычисляем сначала ставку ip методом итерации по формуле (7.17).
Возьмем в качестве нулевого приближения (ip)0=5 %=0,05. Тогда по схеме
(7.17) получаем:
(ip)1=0,05934, (ip)2=0,06770, (ip)3=0,7472, (ip)21 =(ip)22 =ip,
ip=0,09545=9,545 %.
Вычисляем по (7.18) ставку i.
i = ( 1 + 0 ,09545 ) 2 − 1 = 0 ,2 = 20 %.
Рента p-срочная с начислением m раз в году. Платежи, величиной
R/p, выплачиваются p раз в году, на платежи m раз в году начисляются
проценты при задании номинальной ставки j % годовых. Без вывода приведем формулу для наращенной суммы такой ренты
S=R
( 1 + j / m ) mn − 1
[
p (1 + j / m )
m/ p
]
−1
(7.19)
,
или
( p)
( p)
S = R ⋅ S mn
; j / m , S mn; j / m =
( 1 + j / m )mn − 1
[
]
p ( 1 + j / m )m / p − 1
.
(7.20)
Если p=m, т. е. если период поступления платежей (период ренты)
совпадает с периодом начисления, то
( 1 + j / m ) mn − 1
S=R
.
j
(7.21)
Эта формула очевидным образом следует из (7.19)
Рента с непрерывным начислением процентов. Платежи величиной R один раз в конце года. На платежи в течение n лет непрерывно начисляются проценты, задана сила роста d % годовых. Учитывая, что
i=ief=ed−1 получаем с помощью (7.5)
S = R⋅
Sn;δ =
e nδ − 1
eδ − 1
= R ⋅ S n ;δ ;
(7.22)
exp( nδ ) − 1
.
exp( δ ) − 1
(7.23)
101
Для p-срочной ренты с непрерывным начислением процентов, получаем аналогично
S=R
exp( nδ ) − 1
.
p [exp( δ / p ) − 1 ]
(7.24)
Пример 3.15. В условиях примера 3.8 на взносы непрерывно начисляются проценты. Данные ренты: R=5 млн руб., n=5 лет, d=20 % годовых.
S =5
exp( 5 ⋅ 0 ,2 ) − 1
= 38 ,804 млн руб.
exp( 0 ,2 ) − 1
При ежеквартальной выплате членов ренты получим
S =5
exp( 5 ⋅ 0 ,2 ) − 1
= 41,892 млн руб.
4 [exp( 0 ,2 / 4 ) − 1 ]
Выше были записаны формулы для вычисления наращенной суммы
ренты при различных вариантах поступления платежей (разные p) и различных вариантах начисления процентов (разные m). Размер наращенной
суммы для ренты с параметрами n=10, R=1 i=j=d=0,06=6 % 1/год при
различных p и m приведен в таблице (m= ∞ соответствует непрерывному
начислению процентов).
p=1
p=4
m=1
13,181
13,474
m=2
13,237
13,535
m=3
13,265
13,567
m=4
13,285
13,588
m= ∞
13,295
13,599
Если наращенную сумму S обозначить S(p;m), то S(1;1) означает наращенную сумму годовой ренты с ежегодным начислением; S(1;m) − наращенная сумма для годовой ренты с начислением m раз в году; S(p, ∞ ) −
наращенная сумма для p-срочной ренты с непрерывным начислением
процентов. Полезно при оценке различных вариантов иметь в виду следующие неравенства:
S ( 1;1 ) < S ( 1; m ) < S ( 1; ∞ ) < S ( p ;1 ) < S ( p; m ) <
m >1
p >1
p > m>1
(7.25)
< S ( p; m ) < S ( p ; m ) < S ( p; ∞ ).
p = m >1
m > p >1
Например, S(4;2) > S(2,4) при равенстве прочих условий.
102
3.8. Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо
Годовая рента. Долг в размере A руб. выплачивается в рассрочку в
течение n лет платежами одинаковой величины R в конце года − постоянная годовая рента постнумерандо. На долг начисляются проценты по
сложной ставке i % годовых. Необходимо для такой ренты установить
связь между A, R, i, n. При графическом изображении эта связь определяется требованием: размер долга A − это современная стоимость всех членов ренты (всех платежей в счет выплаты долга).
Имеем
A=
n
R
R
R
R
1
+
+
+ ... +
=R ∑
K
1 + i ( 1 + i) 2 ( 1 + i) 3
( 1 + i) n
K =1 ( 1 + i)
.
(8.1)
Величина
1 − ( 1 + i ) −n
=
a n;i = ∑
K
i
K =1 ( 1 + i )
n
1
(8.2)
называется коэффициентом приведения годовой ренты и имеет смысл PV
постоянной ренты с n единичными платежами в конце каждого интервала
и сложной ставкой i % за интервал (в нашем случае − год). Итак,
A = R ⋅ a n;i = R
1 − ( 1 + i ) −n
.
i
(8.3)
Формула (8.3) дает современную стоимость годовой постоянной ренты
постнумерандо. Размер годового платежа при заданных A, n, i:
R=
A
an;i
(8.4)
.
Если известны A, R, i, то срок ренты T=n легко найти из (8.3)
A 

ln 1 − ⋅ i 
R 

T =n=
ln( 1 + i )
−1
=
− ln( 1 − A / R ⋅ i )
.
ln( 1 + i )
(8.5)
Сформулированную в начале параграфа ситуацию можно рассматривать как инвестиционный проект с разовой инвестицией A руб. и доходами R руб. в виде постоянной годовой ренты постнумерандо. Тогда срок
103
ренты T, даваемый формулой (8.5), − это срок окупаемости проекта при
заданной ставке сравнения i.
Пример 3.16. Какую сумму надо положить в банк, чтобы иметь возможность в течение 10 лет выплачивать ежегодную (в конце года) сумму
20 тыс. долл., если на вклад начисляются проценты по сложной ставке 8 %
годовых? Искомая сумма − это современная стоимость годовой ренты постнумерандо с R=20 тыс. долл., n=10 лет, i=8 % в год =0,08 в год, определенная формулой (8.3).
1 − ( 1 + 0 ,08 ) −10
A = 20 ⋅
= 134 ,202 тыс. долл.
0 ,08
При i=12 % годовых эта сумма составит
1 − ( 1 + 0 ,12 )−10
A = 20 ⋅
= 113,005 тыс. долл.
0 ,12
Пример 3.17. На долг 10 млн руб. начисляются проценты по ставке 19
% годовых. Платежи в счет выплаты долга годовые, погашаются в конце года, в размере 3 млн руб. В течение каждого времени будет выплачен долг?
10


⋅ 0 ,19 
ln 1 −
3


T=
ln( 1 + 0 ,19 )
−1
= 6 лет.
При известных R, A, n вычисление ставки i − это нахождение внутренней нормы доходности этой операции, рассматриваемой как инвестиционный проект. Уравнение (8.3) не разрешимо относительно i. Для численного вычисления i с помощью калькулятора организуем процесс итерации. Для этого перепишем (8.3) в виде
i=
[
]
R
1 − ( 1 + i ) − n ..
A
(8.6)
Если i0 − ненулевое приближение, то
[
[
]
]
R
1 − ( 1 + i0 ) − n ,
A
R
i 2 = 1 − ( 1 + i1 ) −n ,
A
i1 =
.................................
iK +1 =
[
(8.7)
]
R
1 − ( 1 +i K )− n . .
A
104
Пример 3.18. Найти ставку i для постоянной годовой ренты постнумерандо, если: R=1 млн руб., A=2,990612 млн руб., n=5 лет.
Берем в качестве нулевого приближения i0=10 %=0,1. По формулам
(8.7) находим:
i1=0,1268, i2= 0,1503, i3=0,1684,...,i12=0,2000, i13= 0,2000.
Таким образом, с заданной точностью i=0,20=20 % годовых.
Годовая рента с начислением m раз в году. Платежи один раз в конце года, проценты начисляются m раз в год, по операции задается номинальная ставка j. Номинальной ставке j при начислении m раз в году соответствует эквивалентная ставка сложных процентов i (эффективная ставка), определяемая формулой 2.3 гл. 2. В формуле 8.3 сделаем замену
i → ( 1 + j / m ) m − 1.
Получим:
A=R
1 − ( 1 + j / m ) − mn
(1 + j / m )
m
= R ⋅ a mn; j m ,
−1
(8.8)
где
a mn; j m =
1 − ( 1 + j / m ) −mn
( 1 + j / m )m − 1
(8.9)
.
Рента p-срочная,начисление по ставке сложных процентов i. Платежи делаются p раз в году равными суммами R/p, где R − величина годового
платежа.
Поступаем так же, как при выводе формулы (7.13), получим
A= R
1 − ( 1 + i ) −n
[
]
p ( 1 + i )1 / p − 1
( p)
= R ⋅ a n;i
(8.10)
,
где
( p)
a n;i =
1 − ( 1 + i ) −n
p[( 1 + i )1 / p − 1]
(8.11)
.
Эти формулы позволяют вычислять современную стоимость (8.10)
или коэффициент приведения (8.11) p-срочной ренты постнумерандо.
105
Пример 3.19. В 1995 г. в Бхоноле (Индия) на химическом заводе компании «Юнион карбайд» произошла крупная авария. Эта американская
компания в качестве компенсации предложила выплатить пострадавшим
200 млн долл. в течение 35 лет. Предложение было отклонено. Найдем современную стоимость этих выплат.
Ежегодная выплата составляет 200/35=5,714 млн долл. Предположим, выплаты происходят ежемесячно, постнумерандо. Имеем: n=35
лет, R=5,714 млн долл., p=12. Возьмем для примера i=10 % годовых,
тогда
A = 5 ,714
1 − 1,1 −35
1 / 12
12( 1,1
− 1)
= 57 ,59 млн долл.
Это означает, что сумма 57,59 млн долл., положенная в банк над 10 %
годовых, обеспечит в течение 35 лет указанные выплаты.
Пример 3.20. Кредит 2 тыс. долл. выдан на 2 года под 9 % годовых с
условием ежемесячной выплаты долга одинаковыми платежами. Найти
сумму месячного платежа заемщика.
Из (8.10) находим величину месячного платежа с учетом, что P=12.
[
]
R A ( 1 + i )1 / p − 1 2( 1,09 1 / 12 − 1 )
=
=
= 91 долл.
−n
−2
p
1 − (1 + i )
1 − 1,09
За два года будет выплачено 2184 долл.: 2 тыс. в счет выплаты основного долга и 184 долл. − процентные начисления.
Рента p-срочная с начислением m раз в году. Платежи размером
R/p выплачиваются p раз в году. На платежи m раз в году начисляются
проценты. Задана номинальная ставка j. Современная стоимость таких
платежей равна
A=R
( p)
1 − ( 1 + j / m ) − mn
p [( 1 + j / m )
a mn; j / m =
m/ p
− 1)
( p)
= R ⋅ a mn; j / m ,
1 − ( 1 + j / m ) − mn
p [( 1 + j / m )
m/ p
− 1)
(8.13)
.
1 − ( 1 + j / m ) − mn
Если p=m, то A = R
j
106
(8.12)
.
(8.14)
Рента с непрерывным начислением процентов. Используем для
годовой ренты при непрерывном начислении процентов прием, который
был применен при выводе формулы (7.22). Если d − сила роста, то из (8.3)
получаем
A=R
1 − e − nδ
где an;δ =
= R ⋅ a n;δ ,
eδ − 1
(8.15)
1 − exp( −nδ )
.
exp( δ ) − 1
(8.16)
Для годовой ренты с начислением m раз в году при известных R, A, j,
m срок ренты n найдем из (8.8)
[
]
A

ln  ( 1 + j / m ) m − 1 
R

n=
m ln( 1 + j / m )
−1
(8.17)
.
Для p-срочной ренты из (8.10) получим
[
]
A


ln 1 − p ( 1 + i )1 / p − 1 
R


n=
ln( 1 + i )
−1
(8.18)
.
Для ренты с непрерывным начислением процентов из (8.15) имеем
n=
A


− ln 1 − p( e δ − 1 )
R


δ
(8.19)
.
Другие виды постоянных рент и переменные ренты мы здесь рассматривать не будем. Соответствующие формулы можно найти в [1] (см.
также параграф3.13).
3.9. Погашение долгосрочной задолженности
Любой вид долгосрочного долга будем называть займом или долгом.
Условия погашения долга предусматривают: срок займа, наличие льготного периода и его продолжительность, уровень и вид процентной ставки,
методы выплаты процентов и способы погашения основной суммы долга.
В долгосрочных займах проценты обычно выплачиваются на протяжении
всего срока займа; значительно реже они начисляются и присоединяются
к сумме основного долга. Основная сумма долга иногда возвращается одним платежом, чаще она выплачивается частями, в рассрочку. Все особенности облигационного займа будут рассмотрены в следующей главе.
107
Периодические платежи должника называются расходами по обслуживанию долга (расходами по займу) или срочными выплатами, и они включают в себя как сумму в счет погашения основного долга, так и текущие
процентные платежи. Для кредитора этот поток платежей есть доходы по
этой кредитной операции. В льготном периоде, который часто предусматривается условиями займа, основной долг не погашается, но выплачиваются проценты (иногда они присоединяются к сумме основного долга).
Погашение долга разовым платежом. Планирование погасительного фонда. Если по условиям займа должник должен вернуть сумму долга в конце срока в виде разового платежа, то очень часто в условиях контракта предусматривается создание должником погасительного фонда, как
гарантии погашения долга. Погасительный фонд создается из последовательных взносов должника на специальный счет в банке, на которые начисляются проценты.
Пусть D − сумма долга и на долг начисляются проценты по ставке
g % годовых, которые выплачиваются в размере gD ежегодно. Пусть R −
годовой платеж должника в счет создания погасительного фонда. Эти платежи делаются в конце года в течение n лет и на них начисляются проценты по сложной ставке i % годовых (годовая постоянная рента постнумерандо). Сумма этих взносов вместе с начисленными на платежи процентами должна быть равна сумме долга D.
Пусть Y − срочная выплата, т. е. годовая выплата должника по обслуживанию долга. Она состоит из платежа R в погасительный фонд и процентных выплат по долгу gD, т. е.
Y = gD+ R.
(9.1)
Оба слагаемых в правой части постоянны во времени.
Так как платежи R образуют годовую постоянную ренту постнумерандо и за n лет должна быть накоплена сумма D, то согласно (7.3)
( 1 + i )n − 1
D
R=
, где S n;i =
,
S n;i
i
поэтому
Y = gD +
D
S n;i
(9.2)
.
Повторим, что эта формула дает срочные выплаты должника для варианта, когда проценты начисляются на сумму долга, не прибавляются к
долгу, а выплачиваются.
108
Если условия контракта предусматривают присоединение процентов
к сумме долга, то при ставке сложных процентов g % годовых через n лет
сумма долга станет D(1+g)n, поэтому срочная выплата будет равна
Y=
D( 1 + g ) n
.
S n:i
(9.3)
Напомним, что на долг D начисляются проценты по ставке g, а на
платежи в погасительный фонд по ставке i. Рассматриваемый способ погашения долга − создание погасительного фонда − будет выгодно заемщику, если i>g, и тем выгоднее, чем больше разность g−i. Если i=g, то преимущества создания фонда пропадают.
Пример 3.21. Кредит в сумме 200 млн руб. выдан на 5 лет под 20 %
годовых при условии ежегодных процентных выплат по займу и разового
платежа через 5 лет. Для погашения долга создается погасительный фонд
и на инвестируемые в нем средства начисляются проценты по сложной
ставке − 22 % годовых.
Найти размер срочных выплат, если платежи в погасительный фонд −
постоянная годовая рента постнумерандо сроком на 5 лет.
Имеем D=200, g=0,2, n=5, i=0,22.
Находим S5;22=7,73958256, поэтому
Y = 0 ,2 ⋅ 200 +
200
= 65 ,84118 млн руб.
7 ,739583
Если по условию контракта предусматривается присоединение процентов на долг к сумме долга, то согласно (9.3) получим
200( 1 + 0 ,2 ) 5
Y=
= 64 ,301142 млн руб.
7 ,739583
Изменим несколько условие задачи. Пусть средства в фонд вносятся,
только последние четыре года сумма взносов будет несколько больше
R=
200
= 36 ,204 млн. руб.
S 4 ;22
Срочные выплаты составят:
Y1 = gD = 40 млн руб.,
Y2 = Y3 = Y4 = Y5 = 76 ,204 млн руб.
Мы рассматриваем случай, когда платежи R образуют годовую ренту
постнумерандо. При других вариантах будут другие формулы для коэффициента наращения ренты (см. параграф 3.7 этой главы).
109
Пример 3.22. Пусть D=200 млн руб., n=5 лет, проценты кредитору
выплачиваются ежегодно. Взносы в фонд делаются ежемесячно, на них
начисляются проценты по сложной ставке 22 % годовых. Годовая сумма
взносов составит для такой p-срочной ренты с p=12.
R=
D
)
S5( 12
;22
=
200
= 23 ,552 млн руб.
8 ,49199
Погашение долга в рассрочку. При значительных размерах задолженности долг часто погашается частями, в рассрочку. Такой метод погашения часто называют амортизацией долга. Используется в основном два
варианта погашения долга частями:
• погашение основного долга равными сумами (равными долями);
• погашение всей задолженности равными или переменными суммами по обслуживанию долга (срочными выплатами).
Рассмотрим 1-й способ: погашение основного долга равными суммами. Пусть долг в сумме D погашается в течение n лет. В счет выплаты основного долга ежегодно выплачивается d=D/n рублей. Размер долга последовательно уменьшается: D, D−d, D−2d, и т. д. Проценты, начисленные
на долг, точнее на остаток долга, также уменьшаются и в случае выплат
процентов в конце года они составят: gD, g(D−d), g(D−2d)... Это будет
арифметическая прогрессия с первым членом gD и разностью g−d. Срочные выплаты составят:
в конце первого года Y1=D0g+d
в конце второго года Y2=(D0−d)g+d=D1g+d
...........................................................………..
в конце года t
Yt=Dt−1g+d, t=1,2,......n.
(9.4)
Для симметрии формул обозначим D0=D, D1=D0−d, D2=D1−d и т. д.,
так что Dt − остаток долга на конец года t после выплаты суммы d за этот
год. Так как

Dt = D0 − td = D0  1 −

n−t
Dt = Dt −1
.
n−t +1
t
n−t

 = D0 
n
 n 
и Dt −1 = D0
n−t +1
, то
n
(9.5)
Эта рекуррентная формула позволяет последовательно вычислять остаток долга на конец года t. Напомним, что формулы (9.4) и (9.5) получены для случая, когда сумма выплачивается ежегодно в конце года, проценты начисляются и выплачиваются в конце года. Пусть взносы в счет
110
D
погашения основного долга делаются p раз в году в размере d = 0 , тaк
np
что за n лет выплаты происходят np раз, а начисление и выплаты процентов происходит в эти же периоды (с такой же частотой) по ставке g/p. В
этом случае срочные выплаты Yt за период с номером t (в конце этого периода) будут находиться по формуле
Yt = Dt −1
g D0
+
.
p np
(9.6)
Здесь Dt − остаток задолженности на конец периода с номером t. Нетрудно получить рекуррентную формулу, связывающую Dt и Dt−1. Так как
Dt = D0 − td = D0 − t
D0
 np − t 
t
 , то
) = D0 
= D0 ( 1 −
np
np
 np 
 np − t 
.
Dt = Dt −1 
np
t
1
−
+


(9.7)
Согласно этому методу погашения долга в рассрочку, срочные выплаты ((9.4) или (9.7)) в начале срока погашения выше, чем в конце этого
срока, что часто является нежелательным для заемщика.
Пример 3.23. Долг в сумме 10 млн руб. необходимо погасить последовательными равными суммами за 5 лет годовыми платежами постнумерандо. За заем выплачиваются проценты по ставке 10 % годовых. Составим план погашения задолженности. Годовой платеж в счет погашения
основного долга n=5, d=10/5=2 млн руб.
Так как D=D0=10 млн руб., то процентные платежи по годам будут
0,1⋅ 10 = 1 млн руб.;
0,1⋅ (10−2) = 0,8 млн руб.;
0,1⋅ (8−2) = 0,6 млн руб.;
0,1⋅ (6−2) = 0,4 млн руб.;
0,1⋅ (4−2) = 0,2 млн руб.
Год
1
2
3
4
5
Остаток долга Остаток долга
на начало года, на конец года,
тыс. руб.
тыс. руб.
10000
8000
8000
6000
6000
4000
4000
2000
2000
0
Расходы
по займу,
тыс. руб.
3000
2800
2600
2400
2200
111
Погашения Процентные
платежи,
долга,
тыс. руб.
тыс. руб.
2000
1000
2000
800
2000
600
2000
400
2000
200
Если по условиям займа предусмотрен льготный период длительностью L лет, то в случае, если начисленные проценты за этот период не выплачиваются, а присоединяются к сумме долга, то в конце льготного периода (на начало срока погашения) сумма долга станет равной D0(1+g)L.
Таким образом, в этом случае расчетные формулы остаются теми же, надо
только сделать замену D0 → D0 ( 1 + g ) L .
Рассмотрим теперь 2-й способ: погашение долга равными срочными
выплатами. В этом случае расходы должника по обслуживанию долга
(срочные выплаты) постоянны на протяжении всего срока его погашения;
при этом платежи по погашению долга растут по годам, а процентные начисления − уменьшаются.
Пусть задан срок n погашения ренты и ставка сложных процентов g,
начисляемая на долг. Срочные выплаты Y пусть образуют годовую ренту
постнумерандо, тогда согласно (8.4) этой главы
Y=
D0
D0 g
=
a n;g 1 − ( 1 + g) − n
(9.8)
,
где a n;g − коэффициент приведения годовой ренты постнумерандо сроком
n при ставке g (формула 8.2). Платежи в счет выплаты основного долга
образуют геометрическую прогрессию:
(9.9)
d1 = Y − D0 g , d 2 = d1( 1 + g ), d3 = d1( 1 + g )2 ,... d K = d1( 1 + g )K −1 .
Сумма этих платежей, т. е. сумма задолженности погашенной за t лет,
составит
t −1
S t = ∑ d 1 ( 1 + g ) K = d 1 S t ;g ,
(9.10)
K =0
где S t ;g дается формулой (7.2).
В справедливости (9.9) легко убедиться. Выражение для d1 следует из
определения d1 и Y. Для Y можно записать:
Y = d 1 + D0 g
Y = d 2 + ( D0 − d 1 )g
Y = d 3 + ( D0 − d 1 − d 2 )g
(9.11)
..................................................
Y = d t + ( D0 − d 1 − d 2 − ... − d t −1 )g .
Поэтому
d t +1 = d t ( 1 + g ), t=1,2.....(n-1 ),
(9.12)
откуда следует справедливость (9.9).
112
Пример 3.24. В условиях примера 3.23: D0=10 млн руб., n=5 лет,
g=10 в год найдем сумму срочных выплат в случае погашения долга равными срочными выплатами, выделив из нее суммы на погашение основного долга и процентные платежи. Вычисляем Y и d1:
10 ⋅ 0 ,1
= 2 ,637975 млн руб. = 2637 ,975 тыс. руб.
1 − ( 1 + 0 ,1 ) −5
d 1 = 2637 ,975 − 10000 ⋅ 0 ,1 = 1637 ,975 тыс. руб.
Остаток долга на начало второго года D1 = 10000 − 1637 ,975 = 8362 ,025.
Y=
Продолжив эти вычисления, составим план погашения долга
Год
1
2
3
4
5
Остаток долга на начало года, тыс. руб.
10000,000
8362,025
6560,252
4578,302
2398,157
Расходы по
Проценты, Погашение долга,
займу, тыс. руб. тыс. руб.
тыс. руб.
2367,975
1000,000
1637,975
2367,975
836,202
1801,773
2367,975
656,025
1981,950
2367,975
457,830
2180,145
2367,975
239,816
2398,159
Сумма всех чисел последней колонки, как и сумма (9.10) при t=5, дает сумму долга D=10000 тыс. руб.
Сравнивая примеры 3.23 и 3.24, можно отметить, что при втором способе
выплаты долга платежи заемщика в начале срока меньше, чем при первом
способе: по первому способу платежи за 1-й и 2-й годы составят соответственно 3000 и 2800, тогда как при втором способе ежегодные платежи составляют 2637,975. Вторая схема более выгодна для заемщика, чем первая. Если
нужно найти сумму погашенного долга, например, на конец 3-го года, то,
имея план погашения долга, надо сложить числа последней колонки
S3=1637,975+1801,773+1981,950=5421,697 тыс. руб.
В отсутствие этого плана для получения ответа воспользуемся формулой (9.10) S3=1637,975.S3;10=1637,975.3,31=5421,697 тыс. руб., что
практически совпадает с найденным заключением.
Можно аналогичным образом произвести расчеты и построить план
погашения долга и для других видов срочных платежей и начислений
процентов. Пусть теперь заданы расходы по обслуживанию долга (срочные выплаты) YK, требуется определить срок погашения долга. Для постоянной годовой ренты постнумерандо, используя 8.5, находим
D


− ln 1 − 0 ⋅ g 
Y


.
n=
ln( 1 + i )
(9.13)
113
Пример 3.25. Долг 10 млн руб. выдан под 10 % годовых. Условие погашения: ежегодные выплаты постнумерандо по 2500 тыс. руб. Определить срок погашения задолженности. Проценты на долг начисляются по
схеме сложных процентов. Имеем: D0=10000 тыс. руб., Y=2500 тыс. руб.,
i=10 %=0,1.
10000


− ln 1 −
⋅ 0 ,1 
2500
 − ln0 ,6

n=
=
= 5 ,3596 года.
ln( 1 + 0 ,1 )
ln1,1
Этот ответ означает, что 5 раз сумма 2500 тыс. рублей вносится в
конце года в течение первых пяти лет и эта же сумма вносится через 4 месяца 11 дней на шестом году срока ренты.
Если округлить срок ренты до 5 лет, то выплачиваемая ежегодно
сумма будет больше и составит
Y=
10000
= 2637 ,925 тыс. руб., как это и должно быть (пример 3.23).
d 5;10
3.10. Льготные займы и кредиты
В ряде случаев долгосрочные займы и кредиты выдаются по тем или
иным причинам на льготных для заемщика условиях. Это обычно низкая
(относительно ставки на рынке кредитов) процентная ставка в сочетании с
большим сроком займа и льготным периодом, что дает заемщику существенную выгоду. Кредитор в этих условиях несет определенные потери, так
как он мог бы инвестировать капитал на более выгодных условиях. Основная цель этого параграфа − дать методику оценки потерь кредитора,
представляющего льготные займы.
Основное понятие, вводимое для оценки потерь − грант-элемент
(или грант-дисконт).
Грант-элемент − это условная потеря кредитора, которая связана с применением более низкой процентной ставки, чем ставка кредитного рынка.
Грант-элемент как мера потери кредитора определяется в двух видах: абсолютный грант-элемент Г и относительный грант-элемент g.
Абсолютный грант-элемент рассчитывается как разность номинальной суммы займа D и современной стоимости платежей A по погашению
займов:
Г = D – A.
(10.1)
Проблема сводится к выбору надлежащей ставки процента (ставки
сравнения) i для определения современной стоимости A платежей.
114
Относительный грант-элемент g.
γ =
д
A
= 1− .
D
D
(10.2)
Очевидно, что
д = γ ⋅ D.
(10.3)
Для случая, когда долг и проценты по нему выплачиваются в виде постоянных срочных выплат для грант-элементов, можно получить рабочие
формулы.
Пусть заем выдан на n лет под g % годовых. На рынке долгосрочных
кредитов займы выдаются по ставке i % годовых. Срочные выплаты − постоянная годовая выплата постнумерандо. Срочная выплата равна
Y=
D
a n;g
.
(10.4)
Современная величина этих срочных выплат при ставке сравнения i
будет равна
A = Y ⋅ a n;i .
(10.5)
Коэффициент приведения в (10.4) и (10.5) дается для этого вида ренты формулой (8.2). Согласно (10.1) и (10.2) имеем

a n;i 
.
д = D − Y ⋅ a n;i = D 1 −

a n;g 

(10.6)
Для льготных займов g<i.
Пример 3.26. Льготный заем выдан на 10 лет под 4 % годовых. Погашение долга − равными срочными выплатами в конце года. Рыночная цена для
такого срока займа − 10 % годовых. Сумма долга − 100 млн долл.
Абсолютная величина грант-элемента, или условная сумма потерь для
кредитора, составит

a10 ;10
д = 100 ⋅  1 −
a10 ;4

−10


 = 100 ⋅  1 − 2 ⋅ 1 − 1,1


5 1 − 1,04 −10



 = 24 ,243 млн долл.


Относительная величина грант-элемента (часть этой суммы от величины долга) составит
γ=
24 ,243
= 0 ,2424 = 24 ,24%.
100
115
Пусть льготный заем предусматривает еще и льготный период
длительностью L лет. Рассмотрим вариант, когда в льготном периоде
должник выплачивает проценты по долгу.
В этом случае современная величина выплат по долгу есть сумма
современной величины процентных платежей в льготном периоде и современной стоимости срочных выплат Y в оставшееся время n−L лет,
поэтому
A = Dg ⋅ a L;i + Y ⋅ a n− L;i ⋅
1
( 1 + i )L
,
(10.8)
где срочные выплаты Y определяются формулой
Y=
D
an − L; g
(10.9)
.
Во втором слагаемом формулы (10.8) величина Y.an−L;i − отнесенная к
началу срока выплаты долга (к началу срока ренты) стоимость срочных
выплат. Умножение этой величины на (1+i)−L означает нахождение стоимости срочных выплат на момент выдачи ссуды. Подставляем (10.9) в
(10.8), находим
γ =1−


a n− L;i
A
= 1 −  g ⋅ a L;i +
⋅ ( 1 + i ) − L .
a n− L;g
D


(10.10)
Рассмотрим вариант, когда в льготном периоде проценты не выплачиваются, а начисляются и прибавляются к долгу, достигая значения
D0(1+g) к концу льготного периода. Этот долг затем погашается в течение
n−L лет срочными выплатами Y.
Размер срочных выплат в этом случае
Y=
D( 1 − g )
.
a n − L;g
(10.11)
Современная величина срочных выплат
A = Y ⋅ a n − L;i .
(10.12)
Теперь получаем
a n − L;i  1 + g  L
A
γ =1− =1−
⋅
 .
a n− L ;g  1 + i 
D
(10.13)
116
Пример 3.27. Пусть льготный заем 10 млн долл. выдан нa 10 лет под
3,8 % годовых. Заем предусматривает трехлетний льготный период. Ставка процента на рынке займов такой длительности − 8 % годовых. Имеем:
D=10 млн руб., n=10 лет, L=3 года, g=3,8 % 1/год, i=8 % 1/год.
1. В течение льготного периода выплачиваются проценты на долг.
Вычисляем:
a7;8=5,20637, a7;3,8=6,04667, a3;8=2,5771, (1+i)−3 =1,08−3 =0,79383.
 5 ,20637

г = 1− 
⋅ 0 ,74383 + 0 ,038 ⋅ 2 ,5771 = 0 ,2185 = 21,85 % .
 6 ,04667

Г = 2,185 млн долл.
2. Проценты в льготном периоде не выплачиваются, а присоединяются к сумме долга
3
5 ,20637  1,038 
⋅
γ = 1−
 = 0 ,2356 = 23 ,56%;
6 ,04667  1,08 
Г = 2,356 млн. руб.
Абсолютная величина грант-элемента Г и относительная g существенно
зависят от отношения i/g, увеличиваясь с ростом этого отношения.
Отметим, что абсолютный грант-элемент Г есть взятoе со знаком минус NPV этого проекта при ставке сравнения i, равной рыночной цене рассматриваемых кредитов. Действительно,
Г = −NPV = −(PV(Y) − PV(X)) = −(A−D) = (D−A).
Соответственно, относительная величина грант-элемента g есть взятое со знаком минус значение дополнительной рентабельности проекта
(формула (5.2) этой главы)
γ =1−
 PV ( Y )

PV ( Y )
A
=1−
= −
− 1 )  = − p ,
D
PV ( X )
 PV ( X )

где p - дополнительная (сверх заложенной нормативной, равной i % годовых) рентабельность проекта (отрицательные доходы − это положительные потери).
Беспроцентный заем. В практике долгосрочных займов встречается
вариант льготного займа, когда на сумму долга проценты не начисляются,
− беспроцентный заем. Условия беспроцентного займа могут предусматривать и льготный период, в течение которого погасительные платежи не
поступают − отсрочка платежа.
117
Потери кредитора, или грант-элементы, в этом случае определим, полагая, что капитал можно было бы разместить под i % годовых (рыночная
ставка кредита). Для случая годовой ренты постнумерандо:
a n;i
D
A
⋅ a n;i , γ = 1 − = 1 −
D
n
n
Y = D / n , A = Y ⋅ a n;i =
(10.14)
.
Если предусмотрен льготный период длительностью L лет, т. е. предусмотрена отсрочка платежей, то потери кредитора возрастают
γ =1−
a n − L;i
n−L
⋅
1
( 1 + i )L
(10.15)
.
Пример 3.28. Для беспроцентного займа, выданного на 10 лет, найти
потери кредитора, если на рынке кредитов размер ставки для такого срока
составляет 10 % годовых. Итак, n=10 лет, i=10 % 1/год. Относительный
грант-элемент равен
γ =1−
a10 ;10
10
=1−
6 ,14457
= 0 ,3855 = 38 ,55 %.
10
Если предусмотрен двухлетний срок отсрочки (L=2), то
γ =1−
a 8 ;10
8
( 1 + 0 ,1 ) − 2 = 0 ,449 = 44 ,9 %.
Если льготный период составляет три года, то
γ =1−
a7 ;10
10
1,1 −3 = 0 ,447 = 44 ,7 %.
Если i=10 % годовых, n=15 лет, L=0, то g=0,493=43,9 %, т. е. кредитор теряет почти 50 % суммы долга.
Значения относительных потерь Y в процентах для характерных сроков n займа и ряда рыночных ставок i в случае беспроцентного займа без
отсрочки (L=0) приведены в таблице.
Ставка i %
Cрок займа за n,
в годах
5
6
8
10
12
15
5
8
10
12
15
20
13,4
15,4
19,2
22,8
26,1
30,8
20,1
22,9
28,2
32,9
37,2
42,9
24,2
27,4
33,3
38,6
43,2
49,3
27,3
31,5
37,3
43,5
48,4
54,6
32,9
36,9
43,9
49,8
54,8
61,0
40,2
44,6
52,0
58,1
63,0
68,9
118
Пересмотр условий или реструктурирование долга. В отношениях
между странами (и на внутреннем рынке) часто возникает необходимость пересмотра условий возвращения долга из-за неспособности
должника выполнить свои обязательства по погашению долга. При
этом исходят из принципа: лучше потерять часть, чем потерять все.
Изменение условий обязательства по погашению долга называется реструктурированием долга.
Реструктурирование долга включает:
• прямое сокращение суммы долга;
• уменьшение размера ставки процента на долг;
• пересмотр сроков и порядка выплат процентов по долгу и сумм погашения основного долга, предоставление льготного периода и установление его величин.
Ясно, что реструктурирование долга ведет к уменьшению современной стоимости выплат по долгу, т. е. к потерям кредитора. Выбор различных вариантов реструктурирования долга заключается в оценке потерь
кредитора для каждого варианта, т. е. сводится к вычислению грантэлементов и их сравнению.
Приведем в качестве иллюстрации сказанного данные, взятые из [1]. Западные кредиторы предложили Польше пять вариантов реструктурирования
долгосрочной задолженности. Два из пяти вариантов таковы:
• первый вариант: погашение основной суммы долга разовым платежом через 30 лет, переменные ставки от 2,75 % годовых в первом
году до 5 % годовых в последнее десятилетие;
• второй вариант: льготный период равен 20 годам, погашение основной суммы долга осуществляется в последние 5 лет, выплаты
производятся по полугодиям равными суммами, начисление процентов от 4,5 % в первом году до 7,5 % годовых в последние 15 лет с
выплатой процентов по полугодиям.
При рыночной ставке процента i=12 % годовых: для первого варианта
потери кредитора в виде относительного грант-элемента составляют
g1=31 %, для второго варианта − g2=53 %.
3.11. Сравнение кредитных и коммерческих контрактов
Условия погашения долга могут различаться и по ставке процента на
долг, и по условиям выплаты долга и процентов, по наличию (отсутствию)
льготного периода, его продолжительности.
В коммерческой практике, в том числе во внешней торговле, сталкиваются с ситуациями, когда один и тот же товар (завод по производству кирпича, авиалайнер) можно купить у разных поставщиков, каж119
дый из которых предлагает свои условия продажи. Кредит при такой
сделке может быть предоставлен самим поставщиком (коммерческий
кредит) или третьей стороной (банком). Условия кредита (погашения
долга) должны обязательно приниматься во внимание, так как преимущество варианта с низкой ценой товара может быть нивелировано (перекрыто) невыгодными для покупателя условиями погашения долга:
процентная ставка, продолжительность льготного периода. В ситуации,
когда имеется несколько поставщиков товара, каждый из которых предлагает различные условия сделки (цену и условия кредитования), у покупателя возникает проблема выбора между ними, проблема сравнения
контрактов, предусматривающих различные условия, часто непосредственно трудносопоставимые финансовые условия. Для сравнения контрактов обычно используют прием приведения платежей к началу контракта, т. е. находят PV платежей, предусмотренных условиями соглашения, и сравнивают их. При вычислении PV платежей, естественно,
возникает проблема выбора ставки сравнения i, с помощью которой
производится дисконтированние платежей (см. параграф 3.2).
Принципиальная сторона этого вопроса разобрана в первых пяти
параграфах этой главы и рассматриваемых примерах. Особенности, возникающие при сравнении контрактов, связаны с вычислением размеров
платежей на основе условий контракта, условий погашения долга и разбираются здесь.
Рассмотрим сначала случай, когда продавец товара предлагает различные варианты погашения задолженности, а цена товара, следовательно, остается постоянной во всех вариантах.
Каждый вариант контракта оговаривает следующие условия погашения задолженности:
• авансовые платежи, их размеры и моменты выплат;
• продолжительность льготного периода;
• условия выплат процентов в льготном периоде;
• срок погашения задолженности;
• метод погашения задолженности.
Пример 3.29. Стоимость заказа на поставку и установку оборудования 800 млн руб. Фирма, выполняющая заказ, предлагает два варианта
выплат стоимости заказа.
Вариант 1. 1,5 % при заключении контракта, 5 % при пуске оборудования через 6 мес., остальной долг погашается в течение 5 лет равными
срочными выплатами в конце года. Льготный период не предусмотрен.
120
Вариант 2. 2,5 % при заключении контракта, 10 % при пуске оборудования через 6 мес., льготный период 6 мес. (с выплатой процентов в конце периода). Погашение задолженности в течение 8 лет равными срочными выплатами. Проценты на долг − 10 % годовых, ставка сравнения − 15 % годовых.
Имеем Р=800 млн руб. − цена товара, g=10 % 1/год, i=15 % 1/год.
Вариант 1. Сумма долга, которую предстоит погасить в течение 5
лет, составит
D = 800 − (0,05 . 800+0,05 . 800) = 720 млн руб.
Размер срочных выплат по обслуживанию долга составит при g=10 %
1/год (формула (9.8)):
Y=
720
= 189 ,934200 млн руб.
a 5;10
Находим современную стоимость PV на момент заключения контракта всех платежей при i=15 % 1/год.
( PV )I = A1 = 40 + 40 ⋅ 1,15 −0 ,5 + 189 ,9342 ⋅a 5;15 ⋅1,15 −0 ,5 =
= 671,015 млн руб.
Вариант 2. Сумма долга после двух авансовых платежей составит
D = 800 − (40 + 80) = 680 млн руб.
Проценты за льготный период по схеме сложных процентов составят
D( 1 + i ) L − D = 680 ⋅ ( 1,10 ,5 − 1 ) = 33 ,19 млн руб.
Размер срочных выплат (ежегодные расходы по обслуживанию долга)
680
= 127 ,462 млн. руб.
a 8 ;10
Находим PV платежей на момент заключения контракта.
( PV )II = A2 = 40 + 80 ⋅ 1,15 −0 ,5 + 33,19 ⋅ 1,15 −1 + 127 ,462 ⋅ a 8 ;15 ⋅ 1,15 −1 =
= 640 ,82 млн.руб.
А2<A1 − второй вариант более выгоден для покупателя.
В других ситуациях приходится сравнивать контракты, когда цена товара, предлагаемая разными продавцами, разная и поставка товара не разовая, а распределена во времени. Если соглашение предусматривает разовую поставку товара, то задолженность, которую надо погасить, определяется обычно на момент поставки; если поставки распределены во
времени, то на момент выполнения обязательств по поставкам.
121
Пример 3.30. Условия сравниваемых контрактов
Цена, млн руб.
Авансовые платежи, млн руб.
Срок поставки, лет
Срок кредита, лет
Льготный период, лет
Ставка процента, %
Вариант 1
10,5
2,0
1,0
8,0
2,0
10,5
Вариант 2
11,0
1,0
1,0
10,0
3,0
10,0
Аванс в обоих вариантах выплачивается при подписании контракта.
Срок кредита включает и льготный период. Годовые выплаты по погашению долга постоянны. Проценты в льготном периоде выплачиваются в
конце каждого года.
Пусть Р − цена товара, Q − авансовый платеж, t1 − срок поставки товара, L − длительность льготного периода, I − проценты в льготном периоде, R − размер срочных годовых платежей по обслуживанию долга, i −
cтавка приведения, g − проценты на долг.
R=
P−Q
,
a n;g
I = ( P − Q )g .
Современная величина платежей при ставке сравнения i % годовых
будет
A = Q + ( P − Q )ga L;i
1
t +L
t 1 + Ra n;i ( 1 + i ) 1 ,
(1 + i )
или
 a n;i
−( t + L )
−t 
A = Q + ( P − Q )
(1 + i ) 1
+ i ⋅ a L;i ⋅ ( 1 + i ) 1 .
 a n;g



Для контракта 1:
P−Q=8,5; g=10,5=0,105; t1 =1; n=8; L=2; i=15 % 1/год =0,15;
A1=8,189 млн руб.
Для контракта 2:
P−Q = 10; g = 10=0,1; t1 = 1; n = 10 ; L = 3; i = 15 % =0,15;
A2=7,871 млн руб.
Получим А2<A1. Для покупателя по финансовым критериям более
выгоден контракт 2.
122
Сравнение контрактов с помощью предельных значений параметров контракта. При выборе контракта может быть применен в некоторых случаях метод, основанный на расчете барьерных, иначе критических, предельных значений параметров контракта.
Допустим, что существует два варианта покупки товара в кредит: Р1 и g1
− цена и ставка процента за кредит по первому варианту, а Р2 и g2 − по второму. Пусть один из параметров по второму варианту (Р2 или g2) не объявлен.
В этом случае имеется возможность определить максимально значение этого
параметра, при котором второй вариант будет конкурировать с первым.
Пусть, например, Р1 < Р2. В этом случае ставится задача найти максимальное допустимое значение ставки g2. Обозначим ее g *2 . Тогда, при любой
ставке g 2 < g *2 , второе соглашение оказывается предпочтительнее. Заметим,
что проблема выбора при Р1 < Р2 имеется, если g1 > g2. Рассмотрим случай,
когда кредит погашается через n лет разовым платежом.
Итак, имеются два соглашения с условиями: P1,g1,n1 и P2,g2,n2. По
первому через n1 лет надо вернуть сумму, ( AТ )1 = P1 ( 1 + g 1 ) n1 , по второму − ( AT )2 = P2 ( 1 + g 2 ) n 2 .
Непосредственное сравнение этих сумм неправомерно, так как эти суммы относятся к разным моментам времени. Поэтому находим современную
стоимость этих сумм. Для этого используем ставку сравнения (приведения) i.
Имеем
 1 + g1 
A1 = P1 

 1+ i 
n1
n
и
 1 + g2  2
A2 = P2 
 .
 1+ i 
(11.1)
Предельные значения P2* или g2* находим из равенства А1=А2. Получаем
n
P1  1 + g1  1
*
n
2
g2 = ( 1 + i ) ⋅

 − 1,
P2  1 + i 
( 1 + g1 )n1
*
P2 = P1 ⋅
.
n2
n1 − n2
( 1 + g2 ) ⋅ ( 1 + i )
(11.2)
(11.3)
Для покупателя правила выбора контракта таковы: если g 2 > g *2 , то
предпочтительней первый вариант; если g 2 = g *2 , то контракты равноценны; если g 2 < g *2 , то второй предпочтительней.
Для цены P2 критерии отбора таковы: если P2 = P2* , контракты равноценны; если P2 < P2* , то второй контракт предпочтительней.
123
Пример 3.31. Данные соглашений: P1=200 млн руб., g1=15 % 1/год,
n1=5 лет., Р2= 230 млн руб., n2=5 лет.
Найдем предельную ставку g2*. В случае n1=n2=n из (11.2) получаем
P 
g *2 = ( 1 + g 1 ) 1 
 P2 
1/ n
− 1,
0 ,2
 200 
*
g 2 = 1,15
 − 1 = 0 ,119 = 11,9%.
 230 
Рассмотрим теперь случай, когда кредит погашается равными срочными выплатами. В этом случае для определения P2* и g *2 имеем:
P1
an ; i
an ; i
1
2
= P2
.
an ; g
an ; g
1 1
2 2
(11.4)
Откуда
an ; i ⋅ an ; g
2 2.
P2 = P1 1
an ; g ⋅ an ; i
1
1
(11.5)
2
Для определения g *2 получаем уравнение для определения сначала
an ; g =
2 2
1 − ( 1 + g*2 )− n2
g*2
P2 an2 ; i
=
⋅
⋅a
.
P1 an ; i n1 ; g 2
(11.6)
1
Затем находим и i*2 .
Пример 3.32. Данные соглашений: P1=200 млн руб., g1=10 % 1/год,
n1=6 лет. Погашение задолженности равными срочными платежами в
конце года. Для второго контракта P2=220 млн руб., n=8 лет. Необходимо
выяснить, при какой ставке процента на долг g *2 этот вариант может конкурировать с первым. Примем ставку сравнения i=15 % 1/год.
По формуле (11.6) находим
a*8 ;i2 =
220 a8 ;15
⋅
⋅ a6 ;10 = 5 ,6805 .
200 a6 ;15
Решаем уравнение
1 − ( 1 + g*2 )−8
g*2
= 5 ,6805 .
Находим g *2 =0,083=8,3 %.
Метод предельных параметров может быть применен и при других
вариантах соглашений: имеются авансовые платежи, есть льготный период и т. д.
124
3.12. Аренда (лизинг) оборудования
Аренда оборудования − частный случай производственного инвестирования. При этом и перед владельцем оборудования, и перед арендатором возникает ряд вопросов, ответы на которые требуют количественного
финансового анализа аренды оборудования. Для владельца оборудования
важно, каков должен быть размер арендной платы, чтобы был обеспечен
заданный норматив доходности сдачи в аренду, или, при заданной величине арендной платы, какова будет доходность сделки. Для арендатора, с
учетом ответа на эти вопросы, надо решить, что ему более выгодно: арендовать или купить оборудование.
Пусть оборудование стоимостью Р0 сдается в аренду на Т лет. Стоимость оборудования в конце срока аренды (остаточная стоимость) − Рт.
Определим размер разового арендного платежа R при условии, что платежи вносятся в конце года и что размер платежа R таков, что поток этих
платежей обеспечивает доходность этой операции (внутренний уровень
доходности) − i % годовых. Находим современную стоимость капитала Рт
(остаточной стоимости), взяв в качестве ставки приведения уровень i %
годовых, имеем
PV ( PT ) =
PT
T
(1+ i )
= PT ⋅ ( 1 + i ) −T .
(12.1)
Находим теперь современную стоимость суммы износа, она составит
P0 − PV ( PT ) = P0 − PT ( 1 + i )−T .
(12.2)
Размер годового платежа R находится из условия NPV=0, т. е. из условия: современная стоимость PV(R) потока арендных платежей равна современной стоимости суммы износа:
PV ( R ) = P0 − PT ( 1 + i )T .
(12.3)
Поток платежей R образует постоянную годовую ренту постнумерандо, поэтому согласно (8.3)
PV ( R ) = R ⋅ aT ;i ,
(12.4)
где aT;i − коэффициент приведения годовой, постоянной ренты. Получаем
теперь
P0 − PT ( 1 + i )−T = R ⋅ aT ;i .
(12.5)
Откуда
P0 − PT ( 1 + i )−T
R=
.
aT ;i
(12.6)
125
Величина годового платежа постнумерандо R, размер которого определяется (12.5), обеспечивает в течение Т лет доходность сделки − i % годовых.
Естественно, что доходность i должна быть больше нормы амортизации Р %
годовых. Разность i−P − важный параметр арендной операции.
Часто договор аренды предусматривает ремонт оборудования силами
владельца оборудования. Эти издержки не учитываются формулой (12.6),
но ее легко подкорректировать для этого варианта аренды: надо в (12.3) и
(12.6) сделать замену
P0 → P0 + PV ( X ),
где PV(X) − современная стоимость всех издержек на ремонт оборудования.
На начало аренды расходы на ремонт неизвестны, поэтому эти расходы на
практике добавляются к рассчитанной по (12.6) арендной плате.
Если арендные платежи образуют р-срочную ренту, то в (12.5) и
(12.6) надо поставить вместо aT ;i коэффициент приведения aT( P;i ) и под R
понимать размер годового платежа.
Пример 3.33. На момент предоставления в аренду стоимость оборудования 20 млн руб. Срок аренды − 3 года. Остаточная стоимость − 12 млн руб.
Норма доходности от вложения в оборудование заложена на уровне 20 % годовых. Имеем Р0=20 млн руб., РT=12 млн руб., Т=3 года, i=20 % =0,2 1/год.
1. Арендные платежи − разовые платежи R в конце года. Вычисляем R
согласно(12.6).
R=
20 − 12 ⋅ 1,2 −3 13 ,055556
=
= 6 ,197802 млн руб.
a3;20
2 ,106481
2. Арендные платежи − ежеквартальные выплаты в размере R/4.
R=
20 − 12 ⋅ 1,2 −3
)
a3( ;420
)
; a3( 4;20
=
1 − 1,2 − 3
4( 1,21 / 4 − 1 )
= 2 ,258470 млн руб.
R = 5,780708 млн руб.
Пусть теперь заданы арендные платежи R и ставится задача определения внутренней нормы доходности этой сделки. Рассмотрим случай
платежей в конце года. Тогда, переписывая уравнение (12.5) в виде:
1 − ( 1 + i )−T
P0 − PT ( 1 + i ) − R
= 0,
i
T
находим i методом дихотомии, т. е. «деления отрезка пополам».
126
(12.7)
Пример 3.34. Пусть Р0=20 млн руб., РT=12 млн руб. R=7 млн руб.,
Т=3 года. Полагаем, i0 =0,2, вычисляем левую часть:
20 − 12 ⋅ 1,2
−3
1 − 1,2 −3
−7
= −1,689 < 0.
0 ,2
Полагаем, i1=0,3, находим
20 − 12 ⋅ 1,3 −3 − 7
1 − 1,3 −3
= 1,825 > 0.
0 ,3
Вывод: i0<i< i1 . Полагаем, i2=0,25, левая часть при этом равна 0,192>0.
Вывод: 0,2<i<0,25 и ближе к 0,25. Продолжая этот процесс, находим
i=0,245=24,5 %. Норма доходности (уровень доходности) оборудования
для владельца составляет 24,5 % в месяц.
Решение арендатором вопроса «Арендовать или покупать оборудование?» базируется на следующих расчетах. После того как определены
арендные годовые платежи R (с включением в них расходов на ремонт
оборудования), находится современная стоимость этого потока платежей
PV(R)=R aT;i.
Затем находится современная величина потока платежей, связанных с
покупкой оборудования – П, и сравниваются величины PV(R) и П. Покупка более выгодна, чем аренда, если П < PV(R).
При нахождении PV платежей в качестве ставки приведения i следует
взять, очевидно, ставку долгосрочных кредитов, под которую даются
деньги на покупку оборудования.
Пример 3.35. Оборудование, стоимость которого 10 млн pуб., может
быть предоставлено в аренду сроком на 4 года, а может быть продано. Условия аренды: срок 4 года, арендные платежи − ежемесячные, в начале
каждого месяца (пренумерандо) в размере 210 тыс. руб/мес. Остаточная
стоимость оборудования − 4 млн руб.
Условия продажи: цена − 10 млн руб., авансовый платеж 20 % в начале сделки, остальной долг погашается в течение 5 лет годовыми постоянными платежами постнумерандо при ставке процента на долг − 6 % годовых. Рыночная ставка таких кредитов − 8 % годовых.
Вариант 1 − аренда оборудования.
Находим современную стоимость Р-срочной ренты пренумерандо
(Р=12), если R=210.12=2,520 млн руб.
)
PV ( R ) = R ⋅ a4( 12
;8 = 2 ,520 ⋅ 3 ,43188 = 8 ,648 млн руб.
127
Вариант 2 − покупка оборудования.
Авансовый платеж составит 0,2.10=2 млн руб. в начале сделки. Сумма
долга 10−2=8 млн руб. погашается в течение 5 лет годовыми платежами постнумерандо. Учитывая, что
R=
8
a 5;6
=
8
= 1,8992 млн руб.
4 ,212364
находим PV этих платежей и аванса:
PV = 2 + 1,8992 ⋅ a5;8 − 4( 1 + 0 ,08 )−5 = 6 ,860 млн руб.
Заметим, что для того, чтобы иметь возможность сравнивать эти два варианта, надо во втором случае вычесть PV остаточной стоимости оборудования. Сравнивая PV платежей по первому и второму варианту, находим, что
более выгодным будет купить оборудование, т. к. аренда обойдется дороже.
3.13. Другие виды ренты
Выше мы получили формулы для расчета наращенных сумм S и современной стоимости А постоянных рент постнумерандо (платежи одинаковой величины в конце периода). Приведем здесь без вывода для справки
формулы для расчета этих величин при других видах рент.
Постоянные ренты пренумерандо. Это означает, что платежи поступают в начале периода. Это приводит к тому, что число периодов начислений процентов на каждый член ренты на один больше, чем для ренты по..
стнумерандо. Обозначим: S − наращенная сумма ренты постнумерандо. S −
..
наращенная сумма ренты пренумерандо. А и A − соответственно современная стоимость рент постнумерандо и пренумерандо. Имеем:
а) постоянная годовая рента пренумерандо
..
..
..
S = S ( 1 + i ) = R ⋅ s n; i , где s n; i = s n; i ⋅ ( 1 + i ),
..
..
..
A = A( 1 + i ) = R ⋅ a n; i , где a n; i = a n; i ⋅ ( 1 + i );
(13.1)
б) постоянная рента пренумерандо с начислением m раз в году, j −
номинальная ставка
..
..
S = S( 1 + j/m) m = R ⋅ s
..
, s mn;j/m = s mn;j/m ⋅ ( 1 + j m ) m ,
nm; j m
..
..
..
A = A( 1 + j/m) m = R ⋅ a nm; j m , a mn;j/m = a mn;j/m ⋅ ( 1 + j m ) m .
128
(13.2)
в) Р-срочная рента, начисления по сложной ставке i
..
.. ( p ) .. ( p )
( p ) ⋅ ( 1 + i )1 p ,
1 p
S = S( 1 + i )
= R⋅S , S
=S
n;i
..
( p)
A = A( 1 + i )1 p = R ⋅ a&&n;i ,
n ;i
(13.3)
n ;i
( p)
( p)
a&&n;i = a n;i ⋅ ( 1 + i )1 p .
г) Р-срочная рента с начислением m раз в году
..( p )
..
.. ( )
p
( p)
m p
, S mn; j m = Smn
S = S( 1 + j / m )
= R⋅S
⋅ ( 1 + j / m )m
;j m
mn; j m
p
;
(13.4)
..
.. ( p )
( p)
( p)
A = A( 1 + j / m ) m p = R ⋅ a&&mn; j m , a mn; j m = a mn; j m ⋅ ( 1 + j / m ) m p .
Отложенная (отсроченная) рента. Отложенная рента − это рента,
выплаты по которой отложены на L лет относительно некоторого начального момента времени.
Для постоянной годовой ренты, отложенной на L лет с выплатами в
течение следующих n лет, современная стоимость на начальный момент
находится по формуле
A = R ⋅ an;i ( 1 + i )− L .
(13.5)
Здесь Ran;i − современная стоимость ренты, отнесенная к началу срока выплаты ренты. Умножая эту стоимость на ( 1 + i ) − L , приведем ее к начальному моменту времени.
Для отложенной ренты другого вида в этой формуле надо заменить
коэффициент приведения an;i на коэффициент приведения соответствующей ренты.
Вечная рента. Если срок ренты большой, то при теоретическом анализе
рент вводят понятие бесконечной (или вечной) ренты − ренты с неограниченным числом членов. Наращенная сумма такой ренты, если ее рассматривать
как предел частичной суммы ряда при n→ ∞ , стремится к бесконечности.
Современная стоимость такой ренты конечна и определяется путем предельного перехода (n→ ∞ ) в формулах параграфа 3.8. Например, для постоянной годовой ренты постнумерандо получаем для коэффициента привeдения
 1 − ( 1 + i ) −n
a ∞;i = lim

i

 1
= .
 i

129
Для различных способов платежей и начислений процентов получаем
для современной стоимости вечной, постоянной ренты постнумерандо:
1) годовая рента
A=
P
, R = iA;
i
(13.6)
2) р-срочная рента
A=
R
P [( 1 + i )
1/ p
− 1]
, R = AP [( 1 + i )1 / p − 1 ];
(13.7)
3) рента с начислением m раз в году
A=
R
( 1 + j / m )m − 1
; R = A[( 1 + j / m )m − 1 ];
(13.8)
4) Р-срочная рента с начислением Р=m раз в году
A=
R
; R = A ⋅ j.
j
(13.9)
Рента с периодом платежей больше года. Пусть Т − промежуток
времени между двумя последовательными платежами (членами ренты),
Т=2,3,4... лет, n − срок ренты, кратный Т, Y − величина платежа. Современная стоимость такой ренты при начислении один раз в год по ставке i:
a
1 − (1 + i )
A = n;i ⋅ Y = Y
.
T
ST ;i
(1 + i ) − 1
(13.10)
Постоянная непрерывная рента. Если платежи идут так часто, что
поток платежей можно считать непрерывным, то говорят о непрерывной
ренте. Формально формулы для этого случая можно получить совершая
предельный переход Р− ∞ в формулах для Р-срочной ренты. При начислении по сложной ставке i получаем:
• коэффициент приведения ренты
1 − ( 1 + i )− n
i
=
an;i =
an;i ;
ln( 1 + i )
ln( 1 + i )
• коэффициент наращения ренты
S n;i =
( 1 + i )n − 1
i
=
S n;i .
ln( 1 + i )
ln( 1 + i )
(13.11)
Если постоянная непрерывная рента предполагает и непрерывное начисление процентов, то при силе роста d получаем для этих коэффициентов
1 − exp( −δ n )
exp( δ n ) − 1
an;δ =
; S n;δ =
.
(13.12)
δ
δ
130
3.14. Ипотечные ссуды
Ипотека (mortgage), или ссуда под залог недвижимости − распространенный тип долгосрочного кредитования. Предоставляется такая ссуда для
строительства, реконструкции или приобретения жилых помещений или производственных зданий. Владелец имущества (mortgagor) получает ссуду у
кредитора (залогодержателя − mortgagee) и в качестве обеспечения возврата
долга передает последнему право на преимущественное удовлетворение своего требования из стоимости заложенного имущества в случае отказа от погашения или неполного погашения задолженности. Сумма ссуды обычно несколько меньше оценочной стоимости закладываемого имущества и определяется законом об ипотеке. В США, например, запрещено, за некоторыми
исключениями, выдавать ссуды, превышающие 80 % оценочной стоимости
имущества. Наиболее распространенными объектами залога являются жилые
дома, фермы, земля и другие виды недвижимости. Ипотечные ссуды выдаются коммерческими банками и специальными ипотечными банками (например,
земельными), различными ссудо-сберегательными ассоциациями.
Характерной особенностью ипотечных суд является длительный срок
погашения − в США до 30 лет и более.
Основными преимуществами ипотечных ссуд являются:
• сравнительно низкий кредитный риск кредитора при выдаче ссуды
(поскольку она надежно обеспечена недвижимостью);
• эти кредиты носят долгосрочный характер, что освобождает кредитора от частых переговоров;
• ипотечные ссуды обеспечивают банку стабильную клиентуру;
• закладные активно обращаются на вторичном рынке, что позволяет
повысить ликвидность активов.
Виды ипотечных ссуд различаются методами погашения задолженности.
Стандартная или типовая ипотека. Заемщик получает от кредитора
некоторую сумму D под залог недвижимости. Этот долг погашается вместе с
процентами равными ежемесячными платежами постнумерандо или пренумерандо. В договоре обычно устанавливается ежемесячная ставка процента, реже номинальная ставка. Месячная сумма взносов R − срочные выплаты. Согласно общепринятому правилу из этой суммы выплачиваются
проценты, а остаток идет на погашение долга.
Пусть n − срок погашения ссуды в годах, N=12n − общее число платежей за n лет, i − месячная ставка процента, R − месячная сумма взносов,
тогда для месячных взносов постнумерандо находим
D = R ⋅ a N ;i ,
(14.1)
где a N ;i − коэффициент приведения постоянной ренты постнумерандо.
131
Искомая величина взносов составит
R=
D
a N ;i
(14.2)
.
Если платежи следуют в начале месяца (образуют ренту пренумерандо):
R=
D
a N ;i
( 1 + i ).
(14.3)
Пример 3.36. Полная стоимость имущества − 125 млн руб. Чтобы
расплатится с продавцом за покупку имущества, покупатель под залог
этого имущества берет ссуду − 100 млн руб. и, добавляя свои средства −
25 млн руб., расплачивается с продавцом. Условия погашения ссуды:
ежемесячные срочные выплаты постнумерандо в течение 10 лет. На долг
ежемесячно начисляются проценты по годовой номинальной ставке − 12 %
годовых. Эту ситуацию поясняет схема
Полное число платежей N=12×10=120. Месячная ставка сложных процентов i=12/12=1 %=0,01. Находим ежемесячные срочные выплаты
R=
100000 100000
=
= 1434 ,710 тыс. руб.
a120 ;1 69 ,70052
Из этой суммы на выплату процентов в счет погашения основного
долга приходится по месяцам:
За 1-й месяц процентные начисления на сумму долга составят
100000×0,01=1000 тыс. руб.
На выплату основного долга приходится
1434,710−1000=434,710 тыс. руб.
Остаток долга на начало второго месяца будет
100000−434,710=99565,290 тыс. руб.
За 2-й месяц проценты на долг составят
99565,290×0,01=995,650 тыс. руб.
На выплату основного долга пошло
1434,710−995,650=439,060 тыс. руб.
Остаток долга на начало 3-го месяца составит
99565,290−439,060=99126,230 тыс. руб.
и т. д.
132
План погашение долга дается таблицей. Из таблицы видно, что в месячном платеже 1434,71 тыс. руб., доля расходов на выплату процентов со
временем уменьшается, а на погашения основного долга растет. В первом
месяце отношение этих выплат будет 1000:434,71=2,3, а в последнем
120-м месяце 14,210:1420,50=0,01.
Месяц
Остаток долга на
начало месяца,
тыс. руб.
100000,000
99565,290
99126,230
1
2
3
−
118
119
120
Месячный
взнос,
тыс. руб.
1434,710
1434,710
1434,710
Проценты на
долг,
тыс. руб.
1000
995,650
991,260
Погашение основного долга,
тыс. руб.
434,710
439,060
443,450
−
−
−
−
4219,350
2826,940
1420,500
1434,710
1434,710
1434,710
42,200
28,270
14,210
1392,510
1406,440
1420,500
Обозначим через dK сумму, идущую на погашение основного долга в
месяце с номером К. Для вычисления dK были ранее получены формулы
(9.10) и (9.12):
d K = d K −1 ( 1 + i ) = d 1 ( 1 + i ) K −1 ,
(14.4)
где К=2,3,...N, а d1=R−iD − выплата в счет погашения основного долга за
первый месяц кредита.
Так как последовательность d1,d2,...dN является геометрической прогрессией с первым членом d1 и знаменателем (1+i), то сумма
K
K
WK = ∑ dt = d1 ∑ ( 1 + i )t −1 = d1 ⋅ S K ;i ,
t =1
где S K ;i =
t =1
(14.5)
K
(1 + i ) − 1
− коэффициент годовой постоянной ренты постнуi
мерандо, есть сумма погашенного за К месяцев долга.
Остаток долга DK+1 на начало следующего месяца, т. е. месяца с номером К+1, будет даваться формулой
DK +1 = D − WK = D − d1 ⋅ S K ;i .
(14.6)
Пример 3.37. По данным примера 3.36: D=100 млн руб., i=1 %=0,01,
n=10 лет, находим:
1) выплату в 118-м месяце в счет погашения основного долга
d 118 = d 1 ( 1 + i )117 = 434 ,71 ⋅ 1,01117 = 1392 ,51 тыс. руб.
133
Эта сумма и проставлена в последней колонке таблицы задачи.
2) сумму погашенного долга за 117 месяцев
W117 = d1 ⋅ S117 ;1 = 434 ,71
1,01117 − 1
= 434 ,71 ⋅ 220 ,3329 = 95780 ,65 тыс. руб.;
0 ,01
3) остаток долга на начало 118-го месяца
D118 = D − W117 = 100000 − 95780 ,65 = 4219 ,35 тыс. руб.
В случае стандартной ипотеки (N=12n срочных выплат размером R) c
неполным погашением долга D и выплатой в конце срока остатка задолженности В, можно записать
D = Ra N ;i + B( 1 + i )− N .
(14.7)
Задавая величины D, i, N, мы получаем равенство, содержащее два
параметра R и В. По заданному размеру срочных выплат R находим величину заключительного платежа В:
B = ( D − Ra N ;i ) ⋅ ( 1 + i ) N .
(14.8)
По величине заключительного платежа В, определяем размер срочных
выплат R
R=
D − B( 1 + i )− N
.
a N ;i
(14.9)
Пример 3.38. По данным примера 3.36: D=100000 тыс. руб., i =1 % =
=0,01, n=10, N=120.
1) размер срочных месячных платежей R=1000 тыс. руб. Находим
размер заключительного платежа В.
B = ( 100000 − 1000 ⋅ a120 ;1 ) ⋅ 1,01120 =
= ( 100000 − 69700 ,52 ) ⋅ 3 ,3 = 100000 тыс. руб.;
2) размер заключительного платежа В=50000 руб. Размер месячных
срочных выплат составит
100000 − 50000 ⋅ 1,01 −120
=
R=
a120 ;1
=
100000 − 50000 ⋅ 0 ,30299
= 1217 ,350 тыс. руб.
69 ,70052
134
Глава 4
АНАЛИЗ ФИНАНСОВЫХ ИНВЕСТИЦИЙ
4.1. Рынки финансовых инвестиций
Рынки финансовых инвестиций представлены различными ценными
бумагами: долевыми, долговыми, производными. Затраты на приобретение ценных бумаг, долевое участие в предприятиях, займы другим предприятиям под векселя или иные долговые обязательства являются финансовыми вложениями или финансовыми инвестициями. Цель финансовых
инвестиций − получение дохода.
Выделяют долгосрочные (сроком более года) и краткосрочные (до года) финансовые вложения.
В зависимости от формы предоставления капитала и способа выплаты
дохода ценные бумаги делятся на долговые и долевые ценные бумаги.
Долговые ценные бумаги (обязательства) подтверждают отношения
займа между инвестором (кредитором) и лицом, выпустившим обязательство (эмитентом, должником). К долговым обязательствам относятся облигации, государственные займы, депозитные и сберегательные сертификаты банков, векселя. Эмитент облигаций и других долговых обязательств
должен в определенный срок выплатить и ссуду и проценты, которые остаются неизменными или варьируются незначительно. Проценты выплачиваются равными порциями на протяжении всего срока займа (по облигациям) или одновременно при погашении бумаги (сертификаты).
Долевые ценные бумаги (акции) удостоверяют право владельца на
долю в собственных средствах акционерного общества (АО). Эмиссия
акций − способ создания акционерного общества, выкупа государственного (муниципального) предприятия, увеличения уставного капитала АО. При удачном стечении обстоятельств капитал, вложенный в акции, может многократно увеличиться за счет роста стоимости акций и
за счет полученных дивидендов.
Из сказанного выше вытекает принципиальная разница между долевыми и долговыми ценными бумагами: покупая акцию, инвестор становится одним из собственников компании, выпустившей эту акцию; приобретая облигацию, инвестор получает статус кредитора.
Модели анализа ценных бумаг существенно зависят от их вида.
Ключевой моделью для анализа первичных ценных бумаг (Direct Claim
Securities) – акций, облигаций – является модель дисконтированного
денежного потока (Disconted Cash Flow, DCF). Основной моделью для
производных ценных бумаг (Indirect Claim Securities) является модель
ценообразования опционов.
135
Производные ценные бумаги закрепляют право их владельца на покупку или продажу акций и долговых обязательств: опционы, фьючерсные
контракты, приватизационные чеки. Стоимость производных ценных бумаг, как правило, привязывается к поведению других ценных бумаг, лежащих в их основе.
Опцион − ценная бумага, подтверждающая право на покупку или продажу определенного количества товара по фиксированной цене в определенный
момент времени. Товаром может быть что угодно: золото, иностранная валюта, акции, долговые обязательства и т. п. Опцион, по существу, является страховым полисом, обеспечивающим защиту от неожиданности. Купив акции и
одновременно опцион на их продажу (put option), инвестор гарантирует, что
даже если рыночная цена акций через год резко упадет, то потери при продаже будут ограничены. Купив опцион на покупку (call option), инвестор гарантирует защиту от роста цены на акцию выше указанной в опционе. Конечно,
за гарантии приходится платить, и опцион имеет цену (премию), зависящую
от степени неопределенности бумаги, которую он страхует.
Разница между курсом (ценой) форвардного контракта и валютным
курсом называется форвардной премией или форвардной скидкой (в зависимости от знака этой величины). Пусть Ft+1 – форвардный курс, установленный в период t на поставку в период t+1, а Et – наличный валютный курс в
период t, тогда форвардная скидка равна (Ft+1 – Et)/Et; эта величина является
скидкой, а не премией, если она положительна. Величина (Ft+1 – Et)/Et подобна ставке процента за весь срок действия контракта. В годовых для трехмесячного контракта это дает (Ft+1/Et)4, поскольку 1+(Ft+1 – Et)/Et = Ft+1/Et.
Контракт на поставку в будущем (фьючерс) − это обязательство
продавца доставить к определенной дате в определенное место определенное количество товара. Под словом товар понимается любой товар
(зерно, мясо, нефть либо ценные бумаги). В отличие от опциона фьючерсный контракт не право, а обязательство: от опционной покупки или продажи можно отказаться, контракт же надо выполнять.
Фьючерсы отличаются от форвардных контрактов по двум признакам:
они заключаются только для стандартизированных объемов и только на
определенную фиксированную дату, обычно на последний день квартала.
Форвардные контракты, напротив, могут заключаться для любого объема
валюты (сверх минимального уровня) и характеризуются заданным сроком, а не датой поставки. Важно отметить, что опционы не являются обязательством, т. е. владелец опциона может пропустить дату истечения
контракта, ничего не предпринимая. Опцион используется только в том
случае, если это выгодно его владельцу. Если он не используется, потери
владельца равны цене опциона. С другой стороны, держатель опциона
136
может получить прибыль, если, например, цена актива возрастет по сравнению с ценой использования актива.
Скидка в 2 % годовых относительно трехмесячного форвардного курса
означает, что (Ft+1/Et)4 =1,02, так что Ft+1/Et =1,004999, т. е. Ft+1 на 0,496 %
выше Et. Именно в таком виде форвардные курсы представляются в FT.
Рынок производных ценных бумаг достаточно богат и разнообразен. В
США и Англии для акций и облигаций выпускаются варранты, дающие
право на подписку дополнительных ценных бумаг корпорации. Многие
американские корпорации выкупают ценные бумаги − преимущественные
гарантии, − дающие владельцам обыкновенных акций первоочередные
права на покупку новых акций в размерах, пропорциональных стоимости
ранее приобретенных бумаг. Такие права определяют количество покупаемых акций, их стоимость, срок покупки. Ордер как ценная бумага удостоверяет право держателя на покупку не только акций данной компании, но и
облигаций, золота и других ценностей.
Производные ценные бумаги обеспечивают гибкость и развитие рынка
ценных бумаг, вовлечение в финансовый оборот дополнительных капиталов.
Государство эмитирует облигации, безоблигационные займы, т. е. долговые обязательства, а также производные ценные бумаги, в частности приватизационные чеки, опционы. Примером государственного опциона является
право, представляемое администрации приватизируемого предприятия, на
покупку 5-процентного пакета акций по номинальной цене.
Приватизация породила такую ценную бумагу, как приватизационный чек, или ваучер. Чек является государственным свидетельством о праве его владельца на долю в безвозмездно распределяемом государственном и муниципальном имуществе.
Органы местной администрации выпускают муниципальные облигации. Цель такого выпуска − аккумулировать свободные денежные средства населения и юридических лиц для реализации какого-то крупного проекта − строительства моста, спортивного комплекса и т. п.
АО может эмитировать как долевые, так и долговые, а также и производные ценные бумаги. АО создается путем объединения капиталов посредством выпуска акций, подтверждающих долевое участие каждого акционера в собственном капитале АО. Заемный капитал АО может формироваться не только за счет кредитов банка, но и путем выпуска корпоративных облигаций на срок не менее года, а также краткосрочных долговых обязательств типа векселей. Выпускает АО и производные ценные
бумаги (опционы, фьючерсные контракты).
Активным эмитентом ценных бумаг выступает банк, выпускающий,
как и АО, все виды ценных бумаг: долевые, долговые, производные. Соз137
даваясь в форме акционерного предприятия, банк эмитирует акции. Осуществляя займы, он выпускает депозитные и сберегательные сертификаты, финансовые векселя. При заключении сделок на срок банк может использовать опционы и фьючерсные контракты.
Инвестиционные компании и фонды имеют право выпускать долевые
и производные (но не долговые) ценные бумаги. При этом акции инвестиционных компаний, если они созданы в виде акционерных обществ, размещаются среди юридических лиц, а акции инвестиционных фондов −
среди юридических и физических лиц.
Сказанное выше в наглядной форме представлено на рис. 4.1.
Рис 4.1. Эмитенты финансовых активов
138
4.2. Классификация облигаций
Облигация (bond) − долговое обязательство эмитента, выпустившего данную ценную бумагу, уплатить владельцу облигации в оговоренный срок выкупную цену (как правило, номинальную стоимость облигации) и ежегодно (иногда 2 раза в год) (до погашения) − фиксированный или плавающий процент. Таким образом, облигация удостоверяет:
• факт предоставления владельцем бумаги денежных средств;
• обязательство эмитента вернуть долг через определенное время;
• право инвестора получать в виде вознаграждения за предоставленные денежные средства определенный процент от номинальной стоимости облигации.
Облигации − это ценные бумаги с фиксированным доходом (Fixed
Income Securities), или твердодоходные бумаги. Как инвестиционный
инструмент облигации способны отвечать различным инвестиционным
целям, принося текущий доход и/или потенциальный прирост капитала. Американец, владеющий государственными облигациями, получает
7−8 % годовых, канадец − 9−11 %, австралиец − до 15 % .
Проценты по облигациям выплачиваются как минимум один раз в
год в установленные сроки независимо от прибыли и финансового состояния эмитента (до выплаты дивидендов по акциям). Держатели облигаций имеют также преимущественное право на распределяемую
прибыль и активы общества при ликвидации его по сравнению с владельцами акций. Доход от облигаций обычно ниже, чем от других видов ценных бумаг, в то же время он более надежен. Невыполнение обязательств эмитента по выплате процентов по облигациям или по выкупу облигаций означает его банкротство. В связи со сказанным в облигации инвестируют свободные средства страховые компании, пенсионные фонды, различного рода инвестиционные фонды и т. д. В практике
применяются облигации разных видов. Классификацию облигаций дадим, основываясь на опыте зарубежных стран (см. рис. 4.2).
По государственным и муниципальным облигациям выплаты обеспечиваются гарантиями государства и муниципалитета; по облигациям
частных корпораций (corporate bonds) − залогом имущества, передачей
прав на недвижимость, доходами от деятельности корпорации. Эталоном надежности являются государственные облигации − ведь государство не может обанкротиться. Но чем меньше риск инвестора, вкладывающего средства в ценные бумаги, тем меньше и доход по ним. На
рынке облигаций государственные долговые обязательства являются
наименее доходными.
139
Рис. 4.2. Признаки классификации облигаций
140
За рубежом, наряду с государственными, распространены и муниципальные облигации. Одним из источников финансовых средств для
реализации крупных муниципальных проектов являются займы у населения посредством эмиссии облигаций местными органами. Для привлечения широких слоев индивидуальных инвесторов купонная ставка
этих облигаций должна быть близка к банковской ставке процента.
По надежности муниципальные облигации идут следом за государственными. Риск убытка по ним компенсируется более высокой (по
сравнению с государственными) доходностью этих облигаций.
Положение об акционерных обществах (АО) в РФ предоставляет
им право выпускать облигации на срок не менее одного года − корпоративные облигации.
Корпоративные облигации − твердодоходные бумаги, проценты по
которым должны выплачиваться не менее одного раза в год независимо
от финансового состояния АО. В РФ корпоративные облигации уже
имеют хождение на рынке ценных бумаг. Выпуск облигаций осуществляется тогда, когда средства требуются для конкретных целей (конкретного проекта), а доходы и расходы, ожидаемые в связи с финансируемым инвестиционным проектом, можно предсказать; при этом положение компании на рынке настолько устойчиво, что она может себе
позволить брать деньги взаймы.
Институциональные облигации выпускаются некоммерческими
организациями, к примеру, церквями, школами, больницами.
По сроку погашения номинала различают облигации с фиксированной датой погашения (term bonds); они бывают краткосрочные,
среднесрочные и долгосрочные.
Облигации без указания даты погашения называют еще бессрочными (perpetuities). При выпуске таких облигаций эмитент не связывает себя конкретным сроком, поэтому может выкупить их в любой момент. Примером таких облигаций могут служить консоли, выпущенные
в Великобритании во время войны с Наполеоном, французская рента. В
настоящее время бессрочные облигации не выпускаются.
По методу выплаты дохода преобладающим видом облигаций являются облигации, доход по которым выплачивается периодически,
процентные (или купонные) платежи, и которые в конце срока обращения выкупаются (гасятся) по номиналу. Заметим, что выкупаться облигации могут и по цене, отличной от номинала.
Корпоративные облигации иногда выпускаются с плавающей процентной ставкой, уровень которой определяется внешними условиями.
141
Если выплата процентов по облигации не предусматривается, то
говорят об облигациях с нулевым купоном (Zero Cupon Bonds).
Ранее мы подробно разбирали один из видов таких облигаций −
государственные краткосрочные обязательства (ГКО), которые размещаются с дисконтом.
Есть вид облигаций, проценты по которым выплачиваются в конце
срока обращения вместе с номиналом; в США − это сберегательные
облигации серии ЕЕ (Saving Bonds Series EE).
По способу выкупа облигации (погашения номинала) различают:
облигации, погашаемые разовым платежом (Bullets Bonds); облигации,
погашение которых происходит частями в течение некоторого временного интервала; облигации, которые гасятся по сериям, − серийные облигации: часто этот метод осуществляется с помощью лотерей.
При выпуске облигаций эмитент может застраховаться на случай
снижения ставки процента по долговым обязательствам: при эмиссии
облигаций делается оговорка о праве досрочного погашения займа с
выплатой сверх номинала определенного вознаграждения инвестору.
Погасив старый заем, эмитент может выпустить новые облигации с более низкой купонной ставкой.
По способу регистрации движения облигаций различают облигации именные и на предъявителя.
Именная облигация содержит наименование (имя) владельца
(держателя). По именным облигациям ведется специальный реестр их
владельцев. Утерянная именная облигация возобновляется за плату, а
на предъявителя − в порядке, установленном законодательством РФ
для восстановления права по утраченным документам на предъявителя. Наличие реестра владельцев по именным облигациям и своевременное внесение в него изменений при перепродаже бумаги инвесторами существенно облегчает работу с ними: эмитент на основе реестра высылает чеки держателям облигаций при наступлении очередного
срока платежа.
Выплата процентов по облигациям на предъявителя осуществляется на основе купонных платежей: держатель облигации отрезает очередной купон при наступлении срока платежа и предъявляет его в банк
для оплаты, однако бумаги на предъявителя требуют повышенной надежности хранения, так как они − желанная добыча для криминальных
элементов. В последние годы компании США перешли на выпуск
только именных облигаций. Ранее выпущенные облигации на предъявителя могут быть обменены на именные.
142
Пример 4.1. Государственные облигации Японии. Облигационный
рынок Японии по своему объему уступает только аналогичному рынку
США. Совокупный объем облигационной задолженности составлял в
1993 г. 285 трлн йен (2,7 трлн долл). Рынок облигаций в Японии представлен
государственными облигациями (40 %), банковскими облигациями (27 %),
облигациями государственных учреждений (11 %), муниципальными облигациями (7 %). Среди государственных облигаций большая часть приходится на облигации сроком два, пять, десять и двадцать лет. Государственные облигации разделяются на строительные облигации, используемые для
финансирования объектов социальной инфраструктуры, и облигации для
финансирования бюджетного дефицита.
Долгосрочные облигации выпускаются на срок до 10 лет. Эмитированные в течение того же календарного квартала, имеют одинаковый срок погашения. Например, облигации, выпущенные в октябре, ноябре, декабре
1993 г., погашаются в декабре 2003 г. Купонные выплаты − 2 раза в год.
Супердолгосрочные государственные облигации выпускаются на срок 20
лет с выплатой фиксированного процента 2 раза в год. Размещаются на
аукционной основе раз в 3 месяца.
Среднесрочные − от 2 до 3 лет. В 90-е годы регулярно раз в месяц выпускались двухлетние с купоном и пятилетние (бескупонные) облигации,
размещаемые с дисконтом. Вторичный рынок этих облигаций развит слабо, поскольку их приобретают физические лица и инвестиционные фонды
и оставляют их у себя до погашения.
Краткосрочные казначейские векселя размещаются на 3 и 6 месяцев
на ежемесячных аукционах. Объем каждого выпуска 1−1,5 млрд йен. Министерство финансов также выпускает двухмесячные финансовые векселя
для покрытия временного дефицита средств. В этом случае заявки от подписчиков принимаются по ставке, установленной на 12,5 базисных пунктов ниже официальной учетной ставки Банка Японии.
Облигации государственных учреждений − облигации, выпускаемые
на десять лет 35-ю государственными корпорациями (агентствами). Погашение гарантируется правительством. Выпускаются с целью займа
средств для реализации крупных муниципальных проектов.
Муниципальные облигации. Срок займа более 10 лет. Купонная ставка обычно на 10−40 пунктов выше, чем государственная облигация с тем
же сроком. Выпуски размещаются по открытой и закрытой подписке.
Облигации банков. Выпускаются 27 числа каждого месяца и являются
важным средством привлечения ресурсов банками долгосрочного кредита,
сельхозкредита и кооперативными банками. Купонная ставка по ним устанавливается по согласованию с министерством финансов.
143
Рейтинг облигаций. На рынках ценных бумаг большое внимание
уделяется надежности того или иного вида бумаг, в частности, надежности облигаций. Разработаны и действуют различные системы оценки и
шкалы для обозначения надежности ценной бумаги.
Инвестиции в большей или меньшей степени связаны с риском.
Выделяют два основных вида риска: кредитный (credit risk) и рыночный (market risk). Под кредитным риском понимают риск невыплаты
процентов по облигации и основной суммы долга (выкупной цены).
Рыночный риск, который называется процентным (interest rate risk),
связан с колебаниями рыночной цены облигации в связи с изменением
ставки процента на финансовом рынке (см. параграф 4.4, формула
(3.8)). Чем больше срок обращения облигаций, тем выше и кредитный
и процентный риски.
Кредитный риск характеризует кредитоспособность и надежность
эмитента ценной бумаги. Именно имея в виду кредитный риск, мы говорили выше о высокой надежности государственных облигаций. Сама
операция оценки качества облигации в отношении кредитного риска
называется рейтингом, и занимаются ею неправительственные, коммерческие компании.
Рейтинг облигации осуществляют главным образом компании
«Moody’s Corporate Bonds Rating» и «Standard and Poor’s», в Европе авторитетно рейтинговое агентство IBCA. Согласно Moody′s облигации по
степени надежности разбиваются на девять классов ААА, АА, А, ВАА,
ВА, В, САА, СА, С. Облигации, принадлежащие к классу ААА, определяются как абсолютно надежные; начиная с уровня В − как спекулятивные; это означает низкую уверенность в том, что эмитент может выполнить свои обязательства по выплате процентов и погашению облигаций,
это означает и то, что они считаются негодными для долгосрочных инвестиций. Облигации, принадлежащие к классу С и по которым рейтинг не
делается, называются бросовыми. По таким облигациям выплата процентов может быть приостановлена.
Standart&Poor′s разбивает долговые обязательства на 12 классов, убывающих по надежности: AAA, AA, A, BBB, BB, B, CCC, CC, C, DDD, DD, D.
Рейтинги облигаций служат ориентиром для инвесторов. Рейтинги
периодически пересматриваются и при ухудшении общего финансового
положения эмитента могут быть понижены.
Присвоение рейтинга − результат большой аналитической работы по
анализу финансового состояния эмитента, в ходе которого определяются
ключевые коэффициенты, по которым и судят о качестве бумаг эмитента.
144
4.3. Доходность облигаций
Основные характеристики (параметры) облигаций:
• номинальная цена (face value) или номинал облигации − N;
• купонная ставка или ставка процента (coupon rate) − g;
• дата погашения (maturity date);
• дата купонных платежей (выплаты процентов);
• выкупная цена облигации (redemption value) − F, говорят еще − финальная выплата.
Наиболее распространен вариант, когда облигация гасится по номиналу, т. е. F=N.
Процентные или купонные облигации приносят регулярный доход их
владельцам в виде фиксированного процента g от номинальной стоимости
облигации N, именно купонная ставка g определяет годовой доход Y, причем
g=
g (%)
Y
Y
, Y = g ⋅ N , g (%) = ⋅ 100, У =
⋅ N.
N
N
100
(3.1)
Таким образом, формула (3.1) определяет годовой доход в виде годовых процентных платежей по облигации. Если процентные выплаты по
купонам производятся р раз в году (р-срочная рента), то размер таких платежей Yp составит
Y p=
Y g⋅N
=
.
р
р
(3.2)
Пример 4.2. Пусть N=10000 руб., g=0,2=20 % годовых. Годовые
процентные (купонные) выплаты составят Y=0,2⋅10000=2000 руб.
Если платежи по купонной ставке производятся два раза в год, то
размер полугодовых платежей − 1000 руб.
С момента эмиссии и до погашения облигации продаются и покупаются
на рынке ценных бумаг по рыночным ценам. Рыночная цена Р облигации
может быть как равна ее номиналу, так и быть меньше или больше номинала.
Для облигации принято говорить не о рыночной цене Р в денежных единицах, а о курсе облигации К (или курсовой ее стоимости). По определению
курс облигации − ее цена в расчете на 100 денежных единиц номинала, т. е.
K=
P
⋅ 100.
N
(3.3)
Курсовая стоимость − это процент, который составляет цена облигации от номинала; она определяется этой же формулой.
145
Пример 4.3. Если облигация номиналом 10000 руб. имеет рыночную цену 12000 руб., то говорят, что ее курс 120 или ее курсовая стоимость 120 %.
Доход облигации за весь срок ее обращения складывается из регулярных купонных платежей и разности между ценой продажи (выкупной ценой) и ценой приобретения. Таким образом, облигации способны приносить и текущие поступления и прирост капитала.
Рыночная цена облигации, без учета накопленных по ней процентов,
называется еще чистой ценой (clean price). Если облигация приобретается
в промежутке между купонными платежами, то в нее включается и часть
купонного платежа за время от последней выплаты до момента продажи.
В этом случае говорят о полной или грязной цене (gross price). Для оценки
эффективности вложений в облигации вводят понятия «текущая доходность облигаций it», «полная или конечная доходность облигаций i» (говорят еще «ставка помещения»).
Текущая доходность облигаций. Текущая доходность облигаций
(current running yield) − это годовая эффективность, которую определяет
текущий годовой доход Y, приносимый облигацией, т. е. отношение текущего годового дохода Y к цене приобретения Р:
it =
Y
Y
, it (%)= ⋅ 100 .
P
P
(3.4)
Для купонной облигации годовой доход Y определяется купонной
ставкой g (см. (3.1)), поэтому для нее
it =
gN g
g(%)
= ⋅ 100=
,
P K
K
(3.5)
или
it (%)=
gN
g(%)
⋅ 100=
⋅ 100.
P
K
(3.5а)
Из (3.5) видно, что если купонная облигация приобретается по номиналу, ее текущая доходность равна купонной ставке, т. е. если P=N,
то it =g .
Пример 4.4. Пусть купонная ставка g=20 %, тогда при К=80,
it =
20
⋅ 100 = 25 % ; при К=100, it = 20 % ; при К=160, it = 12 ,5 %.
80
146
Рассмотрим теперь беcкупонную облигацию со сроком обращения Т и
размещаемую с дисконтом dt (или dt( %)). Доход по ней владелец получает
в конце срока обращения при ее погашении (доход в виде дисконта).
Пусть эта облигация гасится по номиналу, тогда годовой доход составит
N-P
, а текущая доходность такой облигации будет
T
N -P
,
it =
P ⋅T
(3.6)
или
it
=
d t (%)
1 100 - K 1
⋅ =
⋅ .
100 - d t (%) T
K
T
(3.6а)
Покупка беcкупонной облигации относится к простейшей операции с
начальным платежом Р и конечным N. Вычисление текущей доходности
вложений в такую облигацию по формуле (3.6) − это вычисление доходности простейшей операции в виде ставки простых процентов (см. гл. 1).
Заметим, что полученные формулы позволяют вычислить текущую доходность без учета налогообложения.
Пример 4.5. Облигация А со сроком погашения 1 год размещается с
дисконтом 40 %. Облигация Б со сроком погашения 3 года и купонной
ставкой 50 % размещается по номиналу. Облигация В погашается через 1
год по номиналу и при купонной ставке 40 % имеет рыночную цену 90 %.
Покупка какой из облигаций обеспечит ее держателю большую доходность за первый год (без учета налогов)?
Для облигации А: Т=1, d t (%)=40 %. По формуле (3.6а) получаем
it (%)=
40
⋅ 100=66 ,7 %.
100 -40
Для облигации Б: g=50 %, P=N или K=100. По формуле (3.5а) получаем
it (%)=
50
⋅ 100=50 %.
100
Для облигации В: K=90, T=1, g(%)=40 %. По этой облигации годовой
доход Y складывается из купонного платежа g.N и дохода от перепродажи
N−P, поэтому
it (%)=
g ⋅ N+(N-P)
g(%)+( 100 -K)
40+( 100-90 )
Y
100=
100=
100 =
100 ≈ 55 ,6 %.
90
P
P
K
Получаем it (A)>it (B)>it (ББ)
147
Инвестор, желающий вложить капитал в облигации, сделает это,
если доходность вложений в облигацию не меньше, чем в альтернативный проект той же надежности, в частности, не меньше доходности
депозитного вклада.
Для купонной облигации под доходностью будем понимать текущую доходность, определяемую формулой (3.5). Доходность депозитного вклада − банковская ставка процента iб . Равенство этих доходностей дает
g
g (%)
⋅ 100 = iб (%).
⋅ 100=iб , или
K
K
(3.7)
Отсюда
K=
g
g (%)
⋅ 100 или, K =
⋅ 100.
iб
iб (%)
(3.8)
Таким образом, курс облигации обратно пропорционален банковской
ставке iб. Если она возрастает, курс облигаций будет падать, а если
уменьшается − возрастать.
Увеличение ставки процента по депозитным вкладам увеличивает доходность этого канала вложений, он становится более привлекательным
для инвестора, чем облигации. На уменьшение спроса на облигации рынок
отреагирует уменьшением цены.
Пример 4.6. Облигация номиналом 10000 руб. и купонной ставкой 5 %
приобретена за год до погашения по курсу 95,46. Облигация гасится по номиналу. Оценить банковскую ставку процента в момент покупки.
Банковская ставка процента должна быть равна доходности облигаций.
Годовой доход по этой облигации складывается из купонного платежа и
разности выкупной и покупной цен.
Доходность облигации будет
iобл=
g ⋅ N+(N-P)
g(%)+( 100 − K )
У
⋅ 100=
⋅ 100=
⋅ 100.
p
P
K
Так как iобл=iб , то
iб =
g(%)+( 100-K)
5+4 ,54
⋅ 100=
⋅ 100=10 %.
95 ,46
K
148
Пример 4.7. АО выпускает облигации с купонной ставкой 8,5 % и
размещает их на первичном рынке по номиналу. Двумя годами ранее АО
выпустило облигации с купонной ставкой 8 %. Какова текущая стоимость
этих облигаций?
Курс ранее выпущенной облигации с купоном 8 % установится такой,
что доходности вложений в эти облигации будут одинаковы. В этом случае
инвестору все равно, какие облигации покупать. Обозначим
g 1=8 % , K 1=? , g 2=8 ,5 % , P2= N, (K 2=100 ).
Доходность вновь выпускаемых облигаций равна купонной ставке
i2= g2.
g
Доходность i1 ранее выпущенных облигаций будет i1 = 1 ⋅ 100.
K1
Равенство i1= i2 дает
g1
⋅ 100=g 2 ⇒
K1
K 1=
g
K 1= 1 ⋅ 100 ;
g2
8
⋅ 100=94 ,1.
8 ,5
Если учитывать налоги, выплачиваемые с доходов, то говорят о доходности с учетом налогообложения (см. главу 2).
Пример 4.8. Государственная облигация имеет купонную ставку 20 %.
Какова должна быть купонная ставка по облигации АО того же номинала,
чтобы с учетом налога на прибыль корпоративная облигация приносила
доход в 2 раза больше дохода по государственной облигации?
Пусть g1 − купонная ставка гособлигации, а g2 − облигации АО, N −
номинал облигаций. Доход (купонный) по государственным облигациям
налогом не облагается; доход по облигациям АО облагается по ставке
q =15 %=0,15.
По условию задачи имеем
2 g 1 N=g 2 N( 1-q) ⇒ g 2=
g 2=
2g1
;
1-q
2 ⋅ 0 ,2
=0 ,47=47 %.
0 ,85
Если облигации размещаются по номиналу, то текущая доходность
этих облигаций будет 20 % и 47 %, соответственно.
149
4.4. Полная доходность облигаций
Полная (total yield) или конечная доходность облигаций (говорят еще
ставка помещения):
а) учитывает доходы, приносимые облигацией за весь срок ее обращения;
б) определяет эффективность вложений в облигацию в виде ставки i
сложных процентов.
Покупка облигаций − это инвестиционный проект с разовой затратой Р
(цена облигации) и доходами по ней в виде купонных платежей и финальной
выплаты. Цена облигации Р на рынке − это современная стоимость всех будущих доходов Y по ней; таким образом, рыночная цена Р облигации и полная доходность i облигации связаны требованием (см. гл. 3)
NPV=0 или P = PV ( Y ).
(4.1)
Рассмотрим основной вид облигации − облигации с периодическими
купонными выплатами и погашением в конце срока по номиналу F=N.
Пусть g − купонная ставка, n − срок обращения облигации, Y=gN − годовой платеж, причем годовые платежи образуют постоянную годовую
ренту, i − полная доходность (IRR) вложений в облигацию, тогда цена облигации Р, купленной в день купонного платежа, дается формулой
n
Y
Y
Y
N
1
N
P=
+
+ ⋅⋅⋅ +
+
=gN ∑
+
,
K
n
1+i ( 1+i) 2
( 1+i) n ( 1+i) n
(
1
+i)
(
1
+i)
K =1
(4.2)
или
P = g ⋅ N ⋅ a n;i +
N
(1 + i )
n
(4.3)
,
1 - (1 + i ) -n
где a n;i =
− коэффициенты приведения этой ренты.
i
С учетом выражения для a n;i можно записать
P=
gN
(1 - (1 + i ) -n ) + N (1 + i ) -n .
i
(4.4)
Деля на N перейдем к курсу облигации К
[
]
K = ga n;i + (1 + i ) -n ⋅ 100 ,
(4.5)
g


K = V n + (1 - V n ) ⋅ 100.
i


(4.6)
или
Здесь V n = (1 + i ) -n .
150
Полученные формулы рассматриваемого вида облигаций связывают
цену Р (или курс К) облигации за n лет до ее погашения и ставку сложных
процентов i, которая есть ставка помещения или полная доходность облигации. Задавая ставку i можно вычислять (прогнозировать) цену (курс)
облигации в любой день купонного платежа за n лет до погашения. Если
задать курс (цену) облигации, то эти формулы позволяют найти ставку
помещения i (IRR проекта).
Пример 4.9. Купонная ставка корпоративной облигации − 10 % годовых, купонные платежи − в конце года, погашение по номиналу. Определить курс облигации за 5 лет до погашения, если ставка помещения i составляет: а) 12 %; б) 10 %; в) 8 % годовых.


10
а) K= 1,12 -5 + ( 1-1,12 -5 ) ⋅ 100=92 ,79;
12



10

б) K= 1,1-5 + ( 1-1,1-5 ) ⋅ 100=100;
10



10

в) K= 1,08+ ( 1+1,08 -5 ) ⋅ 100=107 ,98.
8


Из формул (4.5) и (4.6) следует, что курс облигации К растет линейно
с ростом купонной ставки g при фиксированных n и i.
При фиксированных n и g курс облигации уменьшается с ростом
ставки i. Для двух значений срока обращения n эта зависимость показана
на рис. 4.3.
Рис. 4.3.
Из рисунка видно, что:
• если i<g, то Р>N или К>100 (курс c премией);
• если i=g, то Р=N или К=100 (курс по номиналу);
• если i>g, то P<N или К<100 (продается с дисконтом).
151
Из рисунка можно вывести и следующее важное заключение: чем
больше срок обращения n облигации, тем зависимость курса К от ставки i круче, т. е. уменьшение курса с ростом рыночной ставки происходит более быстро.
Это объясняет тактику поведения инвесторов на рынке облигаций:
если ожидается повышение ставки i, инвесторы стараются заменить
долгосрочные облигации на облигации с меньшим сроком; если ожидается понижение ставки i, то происходит обратное.
Если срок облигации большой, то в (4.6), переходя к n → ∞ , получим
n
V →0 и
K=
g
g
⋅ 100 или i = ⋅ 100 ,
K
i
(4.7)
что совпадает с (3.5).
В этом случае текущая и конечная доходности совпадают.
Для облигации с погашением купона p раз в году, обычно по полугодиям или поквартально, получим
[
(p)
]
K= ( 1+i) -n +ga n;i ⋅ 100 ,
где
( P)
a n;i =
(4.8)
1 - (1 + i ) -n
− коэффициент приведения p-срочной ренты.
i


p (1 + i ) P - 1


В зарубежной практике для облигаций с полугодовыми и квартальными выплатами для дисконтирования применяется годовая номинальная ставка помещения, причем число дисконтирований в году принимается равным числу выплат купонного дохода. В этом случае связь курсовой стоимости и ставки помещения i будет даваться формулой


g
i
K= ( 1+ ) -pn+ a pn; i p  ⋅ 100 ,
p
p


(4.9)
где pn − число купонных выплат за n лет обращения облигации.
В качестве примера долгосрочной облигации рассмотрим расписки
казначейства США (US Treasury Notes) − долгосрочные государственные обязательства, срок обращения которых до 10 лет. Первичное размещение notes среди дилеров государственных ценных бумаг происходит по аукционной схеме, вторичная торговля идет через дилеров.
152
Пример 4.10. Расписка (notes) выпущена в июле 1993 г. Номинал −
1000 долл., купонная ставка − 10 %, полугодовые купонные выплаты. Дата
погашения − июль 1998 г. Каков курс продажи, если ставка помещения −
12 % годовых?
По условию:
g=10 % годовых, Р=2, i=12 % годовых, n=5, nP=10, i/p=6 %=0,06 1/год.
По формуле (4.9) находим
-10 

-10 0 ,1 1-( 1+0 ,06 )
K= ( 1+0 ,06 ) +
⋅
 ⋅ 100=92 ,64.
2
0
,
06


Рыночная цена облигации Р=926,4 долл.
Приведем пример публикации в финансовой прессе о ценах покупки
и продаже дилерами notes (май 1984 г.)
Rate
8S
Mat. Date
1986
31 Aug
Bid
91,3
Ask
91,7
Сhg
−,1
Yield
12,67
В первой колонке 8S означает, что купонная ставка − 8 % годовых,
купонные выплаты два раза в год (S − semianually − полугодичный). Дата
финальной выплаты (maturity date) − август 1986 г. Дилеры в мае 1984 г.
покупали (Bid) notes по курсу 91,3, а продавали (Ask) по курсу 91,7. Заметим, что при указании курса после точки указаны 32-е доли; т. е. курс покупки − 91
3
7
, курс продажи − 91 . В предпоследней колонке −,1 озна32
32
чает, что курс продажи на 1/32 ниже, чем на последних торгах. Полная
доходность (yield) составляет 12,67 % (ставка помещения).
По формуле (4.9), полагая n=2,25, g=8 %, i=12,67, P=2, находим:
K=91,09=91
3
.
32
Полную (конечную) доходность купонных облигаций с погашением по
номиналу иногда находят так. Определяют полный доход IT, приносимый облигацией за весь срок ее обращения, а он складывается из купонных платежей
и разности между последней выплатой и ценой приобретения:
IT = gNT + ( N − P ).
(4.10)
153
В качестве измерителя полной доходности облигации берут простую
ставку помещения iS (ставку простых процентов), определяемую формулой
I
1 gN + ( N - P )/T
,
iS = T ⋅ =
P T
P
(4.11)
или, переходя от цены облигаций Р к ее курсу К, формулой
K 

g + 1  T
 100 
,
iS =
K 100
или
is =
g (%) + ( 100 − K ) T
.
K
(4.12)
Заметим, что (4.11) можно переписать так:
(4.13)
N + gNT = P(1 + iS T ).
Слева стоит сумма всех платежей по облигации (заметим, что эти
платежи сделаны в разные моменты времени и такое суммирование − операция мало осмысленная) − «наращенная сумма»; справа − формула для ее
вычисления при задании ставки простых процентов.
Итак, для измерения доходности облигаций вводят величины: it − текущая доходность, i − полная (конечная) доходность в виде ставки сложных процентов (ставка помещения), iS − полная (конечная) доходность в
виде простой ставки помещения (простая ставка процента). Нетрудно убедиться, что
• если K<100, то g < it < i < i S ;
• если K=100, то g = it = i = i S ;
• если K >100, то g > it > i > i S .
Пример 4.11. Сравнить доходность двух облигаций. Облигация А:
купонная ставка − 10 % годовых, срок обращения 10 лет, приобретена по
курсу 113,4. Облигация В: купонная ставка − 5 % годовых, срок обращения 5 лет, приобретена по курсу 81. Купонные выплаты по облигациям −
один раз в конце года, погашаются по номиналу.
Облигация А: g=10 %, n=Т=10, К=113,4;
it =
10+( 100-113,4 )/ 10
10
⋅ 100=8 ,8 %, i=8 % , i S =
=7 ,6 %.
113,4
113,4
154
Облигация В: g=5 %, n=5, K=81;
it =
5+( 100 -81 )/ 5
5
⋅ 100=6 ,2 % , i=10 % , i S =
⋅ 100=10 ,9 %.
81
81
Ставка помещения i (ставка сложных процентов) находится как решение
уравнения (4.8) или (4.6). Результаты расчетов удобно свести в таблицу
Доходность
Купонная
доходность
Текущая
доходность
Полная
ставка
Полная
простая ставка
10
5
8,8
6,2
8
10
7,6
10,9
Облигации
А
В
Бескупонные облигации. Как указывалось выше, в параграфе 4.3,
доход по такой облигации владелец получает в конце срока обращения в
виде дисконта, т. е. разности между номиналом и ценой приобретения.
Доходность такой облигации в виде простой ставки процента (процентной
ставки помещения) дается формулой (3.6а)
i E(%)=i S (%)=
d t (%)
1
100 -K 1
⋅ ⋅ 100=
⋅ ⋅ 100 .
K
T
100-d t (%) T
Курс такой облигации всегда меньше 100. Доходность такой бескупонной облигации (размещаемой с дисконтом) в виде ставки помещения
(ставки сложных процентов) определяется формулой
P=N⋅
1
(1 + i )
n
, K = (1 + i ) -n 100.
(4.14)
Отсюда находим
-1
 K  n
i=
 - 1.
 100 
(4.15)
Пример 4.12. Облигация со сроком обращения 5 лет размещается с
дисконтом 55 %. Доходность облигации составит:
а) доходность в виде простой ставки помещения i S
iS =
55 1
⋅ ⋅ 100=24 ,4 %;
45 5
б) доходность в виде сложной ставки процента
-1
 45  5
i=
-1 = 0 ,45 -0 ,2 -1=0 ,173=17 ,3 %.

 100 
i < i S , так как К < 100 %.
155
Облигации с выплатой процентов и номинала в конце срока. По
такой облигации проценты по сложной ставкой g начисляются за весь срок
по схеме сложных процентов и выплачиваются одной суммой вместе с номиналом. Наращенная за n лет сумма составит N ( g + 1)n . Пусть i − доходность такой облигации в виде ставки сложных процентов. Она находится из
условия NPV=0 или равенства современной стоимости дохода по ней (наращенной суммы), цене облигации Р. Таким образом,
n
N ( g + 1) n
1+ g 
P=
, K =
 ⋅ 100.
 1+i 
(1 + i ) n
(4.16)
Отсюда находим
1
 K  n
i = (1 + g ) ⋅ 

 100 
−
(4.17)
- 1.
Пример 4.13. Облигация сроком на три года, которая приносит 10 %
годовых (от номинала), приобретена по курсу: а) 80; б)120. Номинал и
проценты выплачиваются в конце срока обращения единым платежом.
Доходность этих облигаций в виде ставки помещения (ставки сложных
процентов) составит:
а) i=1,1 ⋅ 0 ,8
−1
3 -1=0 ,185=18 ,5%;
б) i=1,1 ⋅ 1,2
−1
3 -1=0 ,656=6 ,56 %.
Доходность облигаций с учетом налогообложения. Рассмотрим вычисление доходности i' купонной облигации с погашением по номиналу с
учетом налогообложения доходов от владения облигацией и от операций с
ней. Пусть q1 − ставка налога на прирост капитала, q2 − ставка налога на
купонные доходы, тогда (N−P)q1 − налог на прирост капитала, gNq2 − налог на купонный доход, N−(N−P)q1 − финальная выплата, очищенная от
налога, qN(1−q2) − купонный платеж, очищенный от налога. Рыночная цена Р облигации равна современной стоимости доходов по ней с учетом
выплачиваемых налогов. Вместо (4.3) запишем:
P=
N-(N-P)q1
( 1+i')
n
(4.18)
+gN( 1-q 2 )a n;i' .
Здесь i' − ставка помещения с учетом налогообложения доходов. Переходя от цены облигации Р к ее курсу К, получим:
K=
( 1-q1 )( 1+i' ) -n+g( 1-q 2 )a n;i'
1-q1 ⋅ ( 1+i' )
-n
⋅ 100 .
156
(4.19)
Доходность i' есть решение этого уравнения с неизвестной величиной
i' и заданными q1, q2, n, g, K.
Пример 4.14. Для купонной облигации: g=5 % 1/год, n=5, K=81. Определить ставку помещения с учетом налогообложения при q1=35 %=0,35
и q2=15 %=0,15. Искомую доходность i' находим как корень уравнения
(4.19), которое с учетом данных задачи запишем в виде:
81=
0 ,65( 1+i' )-5+0 ,05 ⋅ 0 ,85 ⋅ ( 1-( 1+i' )-5 )/i
1-0 ,35( 1+i' )-5
.
Отсюда находим i'=7,9 % (i=10 %).
Доходность вечных облигаций. Интересной разновидностью облигаций являются облигации, выплаты по которым производятся в течение
неограниченно долгого времени. Их называют консолями или пожизненной рентой. Предположим, консоль должна ежегодно и бессрочно приносить y долларов. Тогда текущая стоимость этой консоли

y
y
y
y
1 
y+
+
+ ...+ =
+
+ ....

1 + i ( 1 + i )2
1 + i 
1 + i ( 1 + i )2

y
1
Откуда PV =
( y + PV ), или PV = . Итак, текущая стоимость
1+i
i
PV =
консоли, обещающей бесконечно долго приносить y долларов, должна
равняться y/i (сравни с (13.6)).
4.5. Сертификаты
Особый класс долговых обязательств образуют депозитные и сберегательные сертификаты.
Сертификат − письменное свидетельство эмитента о вкладе на его
имя денежных средств, удостоверяющее право держателя бумаги или его
правопреемника на получение по истечении установленного срока суммы
депозита или вклада и процентов по нему. Эмитентом сертификата может
быть только банк. Вкладчик средств или его правопреемник именуется
бенефициаром.
Депозитный сертификат − обязательство банка по выплате размещенных у него сберегательных вкладов.
Бенефициаром депозитного сертификата могут выступать только
юридические лица. Форма расчетов в покупке−продаже депозитных сертификатов, а также выплатам по ним − только безналичная.
157
Сертификат − срочная ценная бумага, выпускаемая на срок от 30 дней
до года (3, 6, 9, 12 месяцев). Срок обращения сберегательных сертификатов
может превышать год и ограничивается тремя годами. Краткосрочность, реализуемость, высокий уровень доходности делает сертификат в условиях инфляции весьма привлекательным для инвестора. Вкладчиками по сберегательному сертификату являются физические лица. Денежные средства по
сберегательному сертификату вносятся наличными.
Срочные сертификаты бывают отзывными и безотзывными. Если держатель ценной бумаги требует возврата денежных средств ранее установленного
срока, ему выплачивается пониженный процент, уровень которого определяется на договорной основе при взносе депозита или вклада.
Сертификат обеспечивает владельцу доходность на уровне объявленной процентной ставки в том случае, когда сертификат находится у владельца полный срок. Размещается он, как правило, по номиналу, проценты
начисляются по простой, реже по сложной ставке процента.
Пример 4.15. Депозитный сертификат номиналом 100 тыс. руб. размещен на 6 месяцев под 50 % годовых. Доходность в виде ставки простых
процентов, объявленная ставка 50 % годовых. Без учета налогообложения
и комиссии доход, приносимый сертификатом,
I T =100 ⋅ 0 ,5 ⋅
6
=25 тыс. руб.;
12
т. е. в конце срока бенефициар получит сумму
AT =100+25=125 тыс. руб.
Пример 4.16. Что более выгодно для АО: положить 10 млн руб. на депозитный вклад сроком на 3 месяца под 50 % годовых или купить депозитный сертификат с доходом 40 % годовых и сроком обращения 3 месяца?
Чистая прибыль по депозитному вкладу при ставке налога на доход
q=35 %=0,35 составит:
IT =10 ⋅ 0 ,5 ⋅
3
⋅ ( 1-0 ,35 )=812 ,5 тыс. руб.
12
Депозитный сертификат − ценная бумага и его доход облагается налогом
по ставке q=15 %=0,15. Поэтому чистый доход по сертификату составит
IT =10 ⋅ 0 ,4 ⋅
3
⋅ ( 1-0 ,15 )=850 тыс. руб.
12
158
Рассмотрим депозитный сертификат, приносящий проценты по простой ставке процента и который продается через некоторое время после
покупки до наступления срока погашения.
Пусть P1 − цена покупки сертификата, t1 − срок (в днях) до погашения,
P2 − цена продажи сертификата за t2 дней до погашения, К − временная
база, которую при вычислении доходности обычно полагают 365 дней.
t -t
Периодичность операции T = 1 2 . Доходность этой операции в виде
K
ставки простых процентов i или ставки сложных процентов ief − это доходность простейшей операции с платежами P1 и P2:
P -P 1 P -P
K
i= 2 1 ⋅ = 2 1 ⋅
,
P1 T
P1 t2-t2
(5.1)
K
 P  t -t
ief =  2  1 2 - 1.
 P1 
(5.2)
Обсудим, чем определяется цена сертификата P1 и P2. Следует учесть,
что при погашении сертификата владельцу выплачивается доход по фиксированному проценту, устанавливаемому при его эмиссии.
Пусть N − номинал сертификата, iC − объявленая при эмиссии простая
ставка процента по нему, T =
t
− срок обращения сертификата. При поK
гашении бенефициар получит сумму
N (1 + iC T ) = N (1 + iC
t
).
K
(5.3)
При продаже сертификата на вторичном рынке за t1 дней до погашения, расчет цены его P1 производится по текущей рыночной ставке процента i1, которая может не совпадать с объявленной ранее ставкой iC. Цена
сертификата за t1 дней до погашения − это дисконтированное по ставке i1
величина суммы (5.3) на этот момент, т. е.
P1 =
N (1 + iC ⋅ T )
.
t1
1 + i1 ⋅
K
(5.4)
Аналогично, за t2 дней до погашения при ставке процента на этот
момент i2:
P2 =
N (1 + iC ⋅ T )
.
t2
1 + i2 ⋅
K
(5.5)
159
Таким образом, принцип, по которому определяется цена Р, следующий: инвестор, покупающий сертификат, должен по нему получить доход,
равный доходу по другому финансовому инструменту той же срочности,
которая осталась до погашения приобретаемого сертификата.
Для доходности операции купли−продажи, подставляя (5.4) и (5.5) в
(5.1) и (5.2), получим
 K + i1t1  K
 1 + i1t1/K  K
i=
;
- 1
= 
- 1  ⋅
+
/
+
1
i
t
K
t
t
K
i
t
 t1 - t2
 1 2 

22
22
(5.6)
K
 K + i1t 1  t1 -t2

ief = 
- 1.
K
+
i
t

2 2
(5.7)
Пример 4.17. Шестимесячный депозитный сертификат номиналом
100 тыс. руб. и ставкой 30 % годовых продан через 2 месяца при рыночной ставке процента: а) 20 % годовых, б) 30 % годовых, в) 40 % годовых.
Цена сертификата на этот момент составит:
а) P1=
б) P1=
в) P1=
100( 1+0 ,3 ⋅
1+0 ,2 ⋅
1
3
100( 1+0 ,3 ⋅
1+0 ,3 ⋅
1
3
100( 1+0 ,3 ⋅
1+0 ,4 ⋅
1
3
1
)
2 =107 ,813 тыс. руб.;
1
)
2 =104 ,545 тыс. руб.;
1
)
2 =101,471 тыс. руб.;
Пусть теперь еще через 2 месяца сертификат продан его владельцем
при рыночной ставке 30 % годовых. Цена его на этот момент равна
100( 1+0 ,3 ⋅
P2=
1+0 ,3 ⋅
1
6
1
)
2 =109 ,524 тыс. руб.
Доходность операции купли−продажи составит:
а) P1=107,813 тыс. руб., P1=109,524 тыс. руб., t1-t2=2 мес., t1=4 мес.,
t2=2 мес., K=12 мес., i1=20 %, i2=30 %.
160
Согласно (5.1) и (5.2) находим
109 ,524 -107 ,813 12
⋅ =9 ,5 %;
i=
107 ,813
2
 109 ,524 
ief =

 107 ,813 
12
2
-1=9 ,9 %.
По формулам (5.6) и (5.7) имеем
 1+0 ,2 ⋅ 1
 12
3
i= 
-1 =9 ,5 %;
 1+0 ,3 ⋅ 1
 2
6 

 1+0 ,2 ⋅ 1 
3
ief =
 1+0 ,3 ⋅ 1 
6

12
2
-1=9 ,9 %.
Аналогично находим
б) i = 28,6% , ief = 32,4% , в) i=47 ,6% , ief =58 ,1% .
Если сертификат размещается по номиналу за t1 дней до погашения, а
продается владельцем за t2 дней до погашения, то доходность этой операции определяется формулами (5.6) и (5.7), где i1 − объявленная ставка
процента по сертификату, а P1=N.
Пусть сертификат перекупается по цене P1 за t1 дней до погашения
при рыночной ставке процента на этот момент i1, а погасится в конце
срока t, ic − объявленная ставка процента (при эмиссии) по сертификату. Из равенства
N( 1+iC ⋅
t
t
)=P1( 1+i ⋅ 1 )
K
K
(5.8)
находим доходность i этой операции в виде ставки простых процентов
t


⋅
N(
1
+i
) 
C

K -1 ⋅ K .
i= 

P
1

 t1


(5.9)
Доходность операции в виде ставки сложных процентов определяется
формулой
K
t  t1

⋅
(
+
)
N
1
i
C

K
ief = 
- 1.

P
1




(5.10)
161
Пример 4.18. Номинал сертификата − 500 тыс. руб., объявленная
ставка − 50 % годовых, срок обращения 6 месяцев, куплен через 2 месяца
за 550 тыс. руб. и погашен.
При погашении владельцем будет получена сумма
1
500(1 + 0,5 ⋅ ) = 675 тыс. руб.
2
Доходность этой операции для владельца составит
 675 
i=
- 1 ⋅ 3 = 0,682 = 68,2 %, или
 550 
3
 675 
ief = 
 - 1 = 84,5 %.
 550 
4.6 Классификация акций
Акция − долевая ценная бумага, выпускаемая акционерным обществом и удостоверяющая право собственности на долю в уставном капитале
АО. Эмиссия акций осуществляется при:
• учреждении АО и размещении акций среди его учредителей;
• приватизации государственных и муниципальных предприятий через акционирование и последующий выкуп акций у фонда государственного имущества;
• увеличение размеров уставного капитала АО.
Акции свидетельствуют о вкладе их держателей − акционеров − в уставный капитал АО. Акционеры являются коллективными собственниками имущества общества, что обеспечивает им получение прибыли от деятельности АО. Помещая деньги в акции, инвестор приобретает следующие права:
• владеть частью распределяемой прибыли АО, т. е. дивидендом;
• участвовать в управлении АО;
• получить часть стоимости активов общества при его ликвидации.
Отличительная особенность акций состоит в том, что они не имеют
установленного срока обращения; их владельцы получают дивиденды до
тех пор, пока акционерное общество успешно функционирует.
Акции различаются по эмитенту, объему реализации прав акционера,
способу обращения движения ценных бумаг (рис. 4.4).
Эмитентом акций могут выступать структуры, создаваемые как акционерные общества. С точки зрения реализации прав акционеров, акции
делятся на обыкновенные (простые) и привилегированные.
162
Рис.4.4. Классификация акций
Простая акция дает один голос при решении вопросов на собрании акционеров и участвует в распределении чистой прибыли после пополнения
резервов и выплаты процентов по облигациям и дивидендов по привилегированным акциям. Размер дивиденда на одну обыкновенную акцию определяется общим собранием акционеров. Если положение АО неустойчиво
или потребности развития требуют привлечения крупных средств, дивиденд по обыкновенным акциям может не выплачиваться.
Привилегированная акция право голоса не дает, если иное не предусмотрено в уставе АО. В отличие от обыкновенных акций при выпуске
привилегированных акций устанавливается фиксированный уровень дивиденда в виде фиксированного уровня процента (фиксированная ставка
дивиденда) от номинальной стоимости акции. «Привилегированность» заключается в том, что выплата дивидендов по этим акциям осуществляется
до распределения дивидендов на обычные акции.
По способу отражения движения акции делятся на именные и на
предъявителя. В РФ акции − именные ценные бумаги. В целом мировая
практика акционерного дела высказывается против акций на предъявителя: трудно управлять фирмой, не контролируя процесс движения капитала
и концентрации бумаг в руках отдельных инвесторов; необходимо эти ак163
ции снабжать купонами, что удорожает их выпуск; бумаги на предъявителя привлекательны для мошенников. Наличие нескольких этапов в жизни
акции обусловливает многообразие цен на нее.
Hоминальная стоимость. Уставный капитал АО в момент учреждения должен состоять из оговоренного числа акций, кратных десяти, с одинаковой стоимостью N, которая не может быть меньше 10 руб. Определяется она делением величины уставного капитала (УК) на количество выпускаемых акций Z, таким образом,
N=
УK
.
Z
(6.1)
Цена приобретения. Цена Р, по которой акция приобретается инвестором, называется ценой приобретения. Если акция приобретается у эмитента при первичном размещении, то цена называется эмиссионной, если
на вторичном рынке − рыночной. Эмиссионная цена может совпадать с
номинальной или отличаться от нее в любую сторону.
Рис.4.5. Диаграмма цен на акцию
Рыночная цена акции в расчете на 100 денежных единиц номинала
называется курсом
K=
P
⋅ 100.
N
(6.2)
Пример 4.19. УК инвестиционного фонда − 100 млн руб. и распределен среди 1 млн простых акций. Номинал акции 100 руб. Если рыночная
ее цена − 180 руб., то курс акции
K=
180
⋅ 100 = 180.
100
164
На фондовой бирже и на внебиржевом рынке акции реализуются по
рыночной цене, определяемой соотношением спроса и предложения. При
большом спросе рыночная (курсовая) цена может равняться цене предложения, но обычно она ниже ее. В течение рабочего дня биржи цена продажи определенной акции может меняться. Цена, по которой совершается
первая сделка, называется ценой открытия, последняя − закрытия. В течение дня устанавливается высшая и низшая цена на акцию.
Биржевой индекс отражает среднюю цену по группе акций и исчисляется на определенную дату. Для отображения динамики цен на фондовом
рынке рассчитывается индекс динамики цен. Пусть Р − рыночная цена бумаги на определенную дату, P0 − рыночная цена этой бумаги на предыдущую
дату. Индекс рыночной цены этой бумаги ip определяется формулой
iP =
P
P
, или iP (%) =
⋅ 100.
P0
P0
Пример 4.20. В сентябре рыночная цена акции составила 86,25 долл., в
апреле − 87,5 долл. Индекс динамики рыночной цены акции будет
iP =
87 ,5
= 1,0145 , или 101,45 %.
86 ,25
За месяц с сентября по октябрь рыночная цена акции возросла в
1,0145 раза, или увеличилась на
( 1,0145-1 ) ⋅ 100=101,45-100=1,45 %.
Если в сентябре цена составила 87,5 долл., а в октябре − 86,25, то индекс динамики цен этой акции составит
i P=
86 ,25
=0 ,9857=98 ,57 %.
87 ,5
За месяц цена возросла в 0,9857 раза, или увеличилась на
( 0 ,9857 -1 ) ⋅ 100=98 ,57 -100=-1,43 % ,
т. е. уменьшилась на 1,43 %.
Если необходимо найти динамику цен по группе бумаг, то оперируют
со средними ценами, т. е. с биржевыми индексами. В этом случае говорят об
индексе динамики биржевого индекса и находят его по формуле
iP =
P
P
, или iP (%) =
⋅ 100.
P0
P0
165
Так, для примера 4.20:
P0 = 134 , P=138,
138
i =
=1,0299=102 ,99 %.
P 134
За год биржевой индекс вырос на 2,99 %.
Биржевой индекс. При огромном количестве ценных бумаг, обращающихся на рынке, невозможно отследить закономерности изменения цен по каждой бумаге. Принято отслеживать изменение цен не по
каждой бумаге, а определенному их набору. Показатель, дающий среднюю цену акций по определенной совокупности компаний, называется
биржевым индексом.
Индексом является средняя для ряда величина. Для фондового индекса величинами являются относительные изменения цен ценных бумаг
компаний-участниц, для которых подсчитывается этот индекс. Рассмотрим различные методы вычисления инднкса усреднения, т. е. методы относительных изменений цен акций.
Большинство инвестиционных индексов подсчитывается как средневзвешенная арифметическая сумма стоимости отдельных отобранных акций (конституентов):
∑ wi Pi ,t Pi ,o
I( t ) = I( 0 ) i
∑ wi
,
i
где I(t) – биржевой индекс в момент времени t; Pi,t – стоимость ценной бумаги i в момент времени t; Pi,0 − стоимость ценной бумаги i в момент времени 0 (базовый момент времени от которого отсчитываются показатели
для вычисления индекса); wi – вес ценной бумаги i; I(0) − константа, относящаяся к начальной величине индекса на базовый момент времени 0.
Для фондовых индексов обычно в качестве веса используется капитализация ценных бумаг в момент времени 0. Но, так как изменения капитала для
ценных бумаг происходят во времени, например, количество акций в выпуске, введенные или изъятые ценные бумаги, вес, основанный на капитализации
в момент времени 0, становится устаревшим и непрезентативным. Для преодоления этого недостатка вес каждый раз должен корректироваться при изменении количества акций в выпуске, что достигается применением «после166
довательной смычки» индексов по новому капиталу с предыдущим индексом.
Тогда формула для инвестиционного индекса принимает вид:
∑ N i ,t Pi ,t
I( t ) = i
Bt
,
где Ni,t – количество акций, выпущенных компанией в момент времени t;
Bt – базовая величина в момент времени t.
Эта формула теперь является стандартом для подсчета фондовых
индексов.
Геометрические индексы. Геометрические индексы имеют базовой
формулой среднегеометрическое относительных ценовых изменений акций:
1
Pi ,t  n


I ( t ) = I ( 0 ) ⋅  ∏
 ,
P
 i i ,0 
где I(0) – величина индекса на базовый момент времени 0, иногда она равна 100.
Невзвешенный геометрический индекс легко подсчитывается, так
как для этого требуются только данные по ценам. Он представляет
индикацию краткосрочных ценовых движений, но обычно не подходит в
качестве базовой отметки для инвестиционной стратегии или
формирования инвестиционного портфеля.
Например, если стоимость одной акции падает до нуля, также себя
поведет и индекс. Следовательно, необходимо будет изменять отдельные
конституенты, чтобы этого избежать.
Теоретически представляется возможным построить средне-взвешенное
геометрическое. На практике, однако, это представляется довольно тяжеловесным и никогда не используется при подсчетах инвестиционных индексов.
На практике чаще всего применяется невзвешенный арифметический индекс:
Z
∑ Pi ,t
I ( t )= i=1
Z
,
где Pi − рыночная цена акции i-го наименования (компании) в момент
времени t; Z − число наименований акций, отобранных в группу; P −
средняя (по группе) рыночная цена или биржевой индекс;
Число Z (devisor) может быть числом не целым. Это связано с дроблением акций, ликвидацией одних компаний и образованием других.
167
Пример 4.21. Данные о рыночной цене и количестве акций трех компаний в 1992 и 1993 гг. приведены в таблице. Из таблицы следует, что в 1993 г.
произошло деление акций 1-й компании в отношении 1:2 (было 2 млн акций,
стало 4 млн), при этом рыночная цена новой акции стала 110 долл., вместо
210 долл.
№ компании
1
2
3
Рыночная цена, дол.
1992 г.
1993 г.
210
110
102
102
90
92
Количество акций, млн шт.
1992 г.
1993 г.
2
4
10
10
15
15
210 + 102 + 90
= 134 долл.
3
110 + 102 + 92
Средняя цена акций в 1993 г. составит
= 101,33 долл.
3
Средняя цена акций в 1992 г. составит P =
Эту величину трудно сравнивать с курсом акций этих компаний за предыдущий год, так как расчет не учитывает деления акций первой компании. В
1993 г. произошло деление акций 1-й компании в отношение 1:2.
Средняя цена акций в 1992 г. составит P =
Средняя цена акций в 1993 г. составит
210 + 102 + 90
= 134 долл.
3
110 + 102 + 92
= 101,33 долл.
3
Эту величину трудно сравнивать с курсом акций этих компаний за
предыдущий год, так как расчет не учитывает деления акций 1-й компании. Новый биржевой индекс акций этих компаний должен быть найден с
учетом дробления в пропорции 1:2, поэтому для расчета биржевого индекса этих акций в 1993 г. нужно в качестве веса цены акции 1-й компании взять коэффициент 2, получаем
P=
2 ⋅ 110 + 102 + 92
= 138 долл.
3
Чтобы при очередном расчете индекса не производить «взвешивание»
цены акции компании 1, введем коэффициент Z (делитель):
P=
110 + 102 + 92
= 138 ⇒ Z = 2,203.
Z
Это значение Z будет использоваться для расчета биржевого индекса
P +P +P
этих акций по формуле P = 1 2 3 до следующего дробления акций
Z
какой-либо компании.
168
Великобритания. Индекс Financial Times для обыкновенных акций
(часто передается аббревиатурой FT) составляется по 30 основным британским компаниям в сфере производства товаров и услуг, чьи акции выносятся
на широкую продажу. Он является невзвешенным геометрическим индексом, последовательно вычисляемым на протяжении биржевого дня. В
одноразовом использовании применяется для прослеживания колебаний
рынка обыкновенных акций, так как он быстро реагирует на рыночные изменения. Его основное использование заключается в историческом фиксировании состояния рынка с тех пор, как он был основан в 1935 году, хотя
полезными являются также и геометрические лимиты его построения. В настоящее время он заменен индексом FT-SE 100.
Актуарные ряды индексов FT-SE в Financial Times являются всеобъемлющими рядами индексов, которые освещают весь рынок обыкновенных акций от самых мелких до крупных компаний. Все индексы подсчитываются на
базе средневзвешенного арифметического с текущей рыночной капитализацией в качестве веса. В дополнение к капитальному и валовому индексам доходности подаются индексы среднего нетто-покрытия по дивиденду, валового дохода по дивиденду, соотношения рыночной цены акции к чистой прибыли компании из расчета на одну акцию и поправка «без дивиденда» для
каждого из индексов в серии. Покрытие по дивиденду и валовый доход по
дивиденду соответственно основаны на полученной в прошлый год прибыли
и показателях по заявленным дивидендам с учетом прогнозирования будущего дохода и будущих дивидендов.
Самый первый индекс в серии, известный под названием индекса Футси
(FT-SE 100), состоит из котировки рыночной капитализации 100 крупнейших
компаний, что насчитывает около 70 % общей капитализации рынка обыкновенных акций. Компании могут быть заменены раз в квартал в соответствии с
предопределенными правилами. Начало индексу было положено в 1984 году
с базовой стоимостью в 1000.
Индекс капитальной стоимости подсчитывается на базе реального
времени, что происходит последовательно на протяжении одного дня
(ежеминутно), и является основным показателем краткосрочных колебаний рынка обыкновенных акций. Этот индекс также является базой производных индексов для обыкновенных акций. Этот индекс также является
базой производных индексов для обыкновенных акций.
Средний индекс на основе 250 компаний (FT-SE 250) начали считать в
1992 году методом капитализации. Он охватывает 250 компаний, стоящих
ниже 100 крупнейших компаний. Компании заменяются каждый квартал.
Он подсчитывается в реальном времени и является базой производных
индексов для обыкновенных акций.
169
Индекс на основе 350 компаний (FT-SE 350) начали считать в 1992 году
как комбинацию индексов из 100 и 250 компаний, которые в совокупности
составляют около 90 % рынка. Подсчитываются субиндексы, которые базируются на официальной классификации котирующихся компаний, а также
для обыкновенных акций с высокой и низкой прибыльностью.
Индекс Смол-Кэп подсчитывается с учетом всех компаний ниже 350,
чьи акции находятся в активном обороте и имеют рыночную капитализацию
свыше 40 000 000 фунтов стерлингов. Количество компаний не фиксировано, как в случае вышеописанных индексов (процедура перекрестной смычки
позволяет варьироваться количеству компаний конституентов). В настоящий
момент в этот индекс входит около 500 компаний. Он подсчитывается на
момент закрытия биржевого дня.
Всеобщий актуарный акционерный индекс FT-SE. Самый первый серийный индекс, который начали подсчитывать с 1962 года. Он состоит из индекса на основе 350 компаний и индекса Смол-Кэп, поэтому количество компаний для его расчета варьируется. Он охватывает около 98 % общей рыночной
капитализации. Рассчитывается на момент закрытия биржевого дня. Субиндексы рассчитываются для экономических групп и секторов.
Фледжинг-индекс подсчитывается для остатка котирующихся компаний,
которые слишком малы, чтобы учитываться индексом Смол-Кэп, при условии, что хотя бы одна фирма выходит на рынок акций, и акции находятся в
обороте хотя бы на протяжении 50 дней за последние 6 месяцев.
Актуарные индексы с фиксированным процентом подсчитываются на
непрерывной основе с 1977 года. И индексы цен, и индексы доходности
ежедневно публикуются в Financial Times. Индексы относятся к традиционным и индексируемым облигациям государственного займа.
В индексы цен включаются 8 категорий индексов:
• традиционные облигации – доходности 5 лет; 5−15 лет; более
15 лет; бессрочные; все категории традиционных облигаций;
• индексируемые облигации − доходности 5 лет; более 5 лет; все
категории индексируемых облигаций.
Индекс, подсчитываемый для всех категорий, полностью включает все
охваченные облигации. Для каждой категории информация включает величину индекса, накопленный процент и поправку «без дивиденда» для календарного года на текущую дату. Последнее представляет собой сумму валовой прибыли, которая возникает из индекса для календарного года на текущую дату. Величины индексов подсчитываются с использованием «грязной» цены, т. е. включая накопленный процент. Включение накопленного
170
процента и поправки «без дивиденда» позволяют подсчитать прибыль по
индексу на брутто- и нетто-налоговой основе, которая составит:
I 2 − I 1 + ( 1 − T )( XD2 − XD1 ) − T ( ACC 2 − ACC1 )
,
I1
где I1, XD1, ACC1 − соответственно величины индекса «без дивиденда» на
определенную дату и накопленного процента на начало периода. Аналогично, I2, XD2, ACC2 − показатели на конец периода, а Т – коэффициент
налогообложения. Так как на начало каждого календарного года поправка
«без дивиденда» сводится к 0, подсчет XD2 -XD1 в формуле следует проводить отдельными элементами, если период подсчета захватывает конец
года. Разбиение периода на подинтервалы можно также предпринимать
для учета реинвестирования процентов.
Ценовые индексы вычисляются как взвешенные арифметические индексы, где весом выступает рыночная капитализация ценных бумаг при
использовании «грязной» цены. Индексы могут последовательно смыкаться для принятия во внимание новых выпусков, погашений и движений
ценных бумаг между категориями.
В индексы доходности включаются такие категории:
• традиционные облигации – купон с низким процентом (для 5-, 15-,
20-летних); купон со средним процентом (для 5-, 15-, 20-летних);
купон с высоким процентом (5-, 15-, 20-летних); бессрочные;
• индексируемые облигации – доходности 5 лет при коэффициенте
инфляции 5 %; более 5 лет при коэффициенте инфляции 5 %; доходности 5 лет при коэффициенте инфляции 10 %; более 5 лет при
коэффициенте инфляции 10 %.
Категории облигаций включают в себя полностью оплаченные облигации, кроме конвертабельных облигаций и облигаций фонда погашения,
которым доходности погашения осталось менее года.
Определение для купона с низким, средним и высоким процентом
выбирается так, что приблизительно 1/3 погашаемых облигаций попадает
под каждую категорию. Категории время от времени перераспределяются
для поддержания соотношения 1:3.
Для традиционных облигаций каждый индекс подсчитывается путем
подгонки кривой брутто-доходности при погашении облигаций определенной категории. (Все бессрочные облигации включены в каждый купонный
интервал для придания стабильности длинному концу кривой.). Например,
для облигаций с низким купоном кривая подгоняется под кривую для всех
171
низкокупонных облигаций, а доходность для 5, 15 и 20 лет берется с этой
кривой. Когда облигация имеет оптимальную дату погашения, используется самая ранняя или самая поздняя дата, каждая из которых дает наименьшую доходность при погашении. Для индексируемых облигаций каждый
индекс доходности представляет собой среднюю доходность по категории
облигаций. Наряду с их полезностью в описании общего уровня и характера структуры доходности на определенный момент времени, индексы доходности позволяют проводить сравнение с доходностью по обыкновенным акциям в виде меры контроля разницы между процентными ставками
по долгосрочным и краткосрочным операциям между облигациями и
обыкновенными акциями.
Мировой индекс FT/S & Р начали публиковать в 1987 году. Он охватывает 2362 вида акций в 26 странах, представляя рыночную капитализацию
около 70 % мирового рынка акций. Индекс имеет целью охватить почти
70 % рынка в каждой стране. Этот индекс является взвешенным арифметическим индексом и ежедневно публикуется Financial Times.
Величины индексов указываются для каждой из 26 стран по 5 индексов на страну. Они даются в 5 валютах: фунтах стерлингов, американских
долларах, японских иенах, немецких марках и местной валюте. Индекс в
местной валюте дает меру, лежащую в основе эффективности отдельного
рынка, а индексы в других валютах показывают эту же эффективность,
скорректированную на валютные колебания. В дополнении к индексам
для каждой страны публикуются индексы в отношении 11 региональных
групп стран, где страны-участницы взвешиваются путем рыночной капитализации. Наконец, публикуются мировые индексы в целом.
Компонентами индекса в Великобритании являются около 200 видов
акций. Акции, недоступные зарубежным инвесторам, в подсчет индекса
не включаются. Это не распространяется на большинство местных индексов, поэтому мировые индексы чаще всего являются более подходящими
для измерения эффективности, чем местные индексы. Они также имеют
преимущество в соответствии между странами и получаются легче, чем
некоторые местные индексы.
США. Среднеиндустриальный индекс Доу Джонса (DOW Jones), известный просто как «индекс Доу Джонса», охватывает 30 акций и систематически подсчитывается с 1928 года. Он является невзвешенным арифметическим индексом акций ведущих фирм промышленного сектора, но не в целом
американского рынка ценных бумаг. Впервые индекс рассчитал в конце
прошлого века Доу Джонс, редактор газеты «Уолл Стрит Джорнэл», сложив
172
рыночные цены 12 различных акций и поделив их сумму на 12, затем был
введен коэффициент Z, который пересматривается при каждом дроблении
акций компании, входящей в индексный набор.
Существуют еще 4 индекса Доу Джонса: индустриальный (DJIA),
транспортный (DJTA), коммунальный (DJUA) и составной (DJCA). При
подсчете индустриального (промышленного) индекса используются акции
30 крупных промышленных корпораций. На них приходится от 15 до 20 %
рыночной стоимости акций, котируемых на нью-йоркской фондовой бирже. Каждое утро значение индекса публикуется в газете «Уолл Стрит
Джорнэл». На бирже индекс вычисляется и публикуется каждые полчаса.
Транспортный индекс Доу Джонса характеризует курс акций 20 авиакомпаний, железнодорожных и автодорожных корпораций. Коммунальный индекс Доу Джонса исчисляется по курсам 15 компаний, занимающихся газои электроснабжением. Составной индекс Доу Джонса или «Индекс-65»,
объединяет три предыдущих индекса.
Стандард энд Пуэрс (Standard & Poor's 500 (S&Р 500)) является взвешенным арифметическим индексом и подсчитывается с 1942 года. Его составляют по 500 ведущим американским компаниям, представляющих разные сферы экономики во всех секторах рынка, и используют для измерения
эффективности фондовых портфелей американских акций.
Япония. Индекс Никкей Доу (Nikkei 500) подсчитывается с 1949 года
и является невзвешенньм арифметическим индексом. С момента его основания 500 его конституентов не претерпели значительных изменений, поэтому он не является репрезентативным индексом японского рынка акций.
Несмотря на это, он является наиболее широко используемым показателем краткосрочных колебаний японского рынка.
Индекс первой секции ТОПИК токийской фондовой биржи составляется
приблизительно по 1000 видам акций и подсчитывается с 1968 г. Он является
взвешенным арифметическим индексом. Конституенты представляют ведущие на рынке компании, поэтому индекс является более всеохватывающим,
чем Никкей, и больше подходит для анализа эффективности.
Германия. Дойче акстининдекс (Dax) является индексом реального
времени для 30 ведущих акций. Индекс DAХ-30 рассчитывается с учетом рыночной капитализации ценных бумаг
n
P = ∑ wi Pi Z , wi = Pi N i
i =1
n
∑ Pi N i ,
i =1
где Ni – количество i-х акций, находящихся во владении инвесторов по
объемам валового периода.
173
Индекс DAХ-30 приведен в таблице в правой колонке. В левой, с учетом отмеченных звездочкой компаний из DAX, приведен список индекса
Euro-50 ведущих европейских компаний.
DAX
8.12
Adidas-Salomon
68,45
Allianz*
393,88
BASF*
47,95
Bayer*
55,60
BMW
35,31
B.HypoVereinsbank*
56,00
Commerzbank
30,10
DaimerChrysler*
48,35
Degussa-Hüls
36,43
Dresdner Bank*
46,60
Deutche Bank*
90,25
E.ON AG
62,20
Epcos
115,89
Fresenius Med. Car
90,11
Henkel
70,43
Infineon Techno
51,78
Karstadť Quelle
33,74
Linde
52,50
Lufthansa
25,01
MAN
31,00
Metro*
48,55
Münchener Rück*
345,34
Preussag
41,32
RWE*
48,10
SAP
182,02
Schering
61,70
Siemens*
149,65
Telecom*
36,98
Thyssen-Krupp
17,00
VW
58,25
* Als deutshe Kurse auch im Euro Stoxx 50
Euro Stoxx 50
ABN-Amro (NL)
Aegon (NL)
Ahold (NL)
Alcatel (F)
Asicur. Generali (I)
Avetis (F)
Axa UAP (F)
Banco Bilbao (E)
Banco Santander (E)
BNP (F)
Canal Plus (F)
Carrefour (F)
Danone (F)
Endesa (E)
Enel (I)
Eni (I)
Fortis (B)
France Telecom (F)
ING (NL)
KPN NV (NL)
L’Oreal (F)
Moet Hennessy (F)
Nokia (FIN)
Philips (NL)
Pinault-Printemps (F)
Repsol (E)
Royal Dutch (NL)
Sanofi (F)
Societe Generale (F)
Suez Lyon Eaux (F)
Telecom Italia (I)
Telefonica (E)
Totalfina (B)
Unicredito Ital. (I)
Unilever (NL)
Vivendi (F)
8.12
25,62
47,78
34,08
73,35
40,65
84,00
153,30
-/-/91,90
145,60
63,15
143,60
-/4,06
6,27
35,25
96,60
83,31
16,10
86,05
73,50
65,30
44,30
214,10
-/63,36
61,35
66,40
187,00
13,49
-/149,00
4,35
64,35
75,20
Франция. Основной рыночный индекс (САС) состоит из 250 акций.
САС-40 составляется на основе 40 крупнейших акций.
174
Индексы собственности. Вычисление достоверных индексов требует
знания рыночных стоимостей конституентов на довольно частых интервалах времени. Здесь существует ряд проблем относительно получения такой информации:
• каждая собственность существует в единичном виде и ее рыночная
стоимость точно известна только при смене ее владельца;
• оценивание стоимости является субъективным и дорогостоящим
процессом;
• продажи определенных видов собственности проходят крайне
нерегулярно;
• договорные цены между покупателем и продавцом носят часто
конфиденциальный характер.
Существует два типа инвестиционных индексов собственности − индексы портфеля и показательные индексы.
Индексы портфеля являются показателями арендной стоимости, капитальной стоимости или суммарной прибыли реальной собственности,
которая сдается в наем. Различные индексы этого типы дают в достаточной мере различные результаты, так как лежащий в основе портфель будет варьироваться по объему, региональному распределению, значимости
сектора (офис, точка для розничной торговли и т. д.). Нормы прибыли
обычно будут взвешиваться с тем значением, что временное распределение и значимость потоков платежей в отдельном фонде собственности будет влиять на результат.
Показательные индексы имеют целью проследить колебания рынка
собственности в большей части путем оценивания максимальной полной
арендной стоимости определенного количества гипотетической собственности с непомерно высокой назначенной арендной платой. Основным назначением таких индексов является выявление краткосрочных колебаний
уровня рынка в отношении рент и доходов. Но индекс такого типа не является подходящим для оценивания эффективности портфелей, так как
инвестор не может идти в ногу с такими колебаниями, поскольку он содержит реальный портфель собственности.
§4.7. Доходность акций
Доход по обыкновенным акциям выплачивается в виде дивиденда. Величина дивиденда за год (размер дивиденда) определяется общим собранием
акционеров по предложению Совета директоров, но не может превышать величину, предложенную Советом. Промежуточные (квартальные, полугодовые) дивиденды объявляются Советом директоров. Основной источник вы175
платы дивидендов − чистая прибыль АО, т. е. прибыль, оставшаяся в распоряжении АО после уплаты налогов и других платежей в бюджет. По обыкновенным акциям дивиденды могут не выплачиваться, если прибыли нет, или
она направляется на другие цели − развитие производства, освоение рынков
сбыта, решение социальных проблем.
Пусть N − номинал акции, Ig − размер дивиденда (годовой или текущий доход в абсолютных единицах − рублях и т. д.). Величина
ig =
Ig
N
, или ig (%) =
Ig
N
⋅ 100
(7.1)
называется ставкой дивиденда по акции.
В отличие от обыкновенных акций при выпуске привилегированных
акций по ним устанавливается фиксированный уровень дивиденда в виде
ставки дивиденда ig. Ставка дивиденда, установленная по привилегированной акции, определяет годовой доход по ней
I g = ig ⋅ N =
ig (%)
100
⋅ N.
(7.2)
Пример 4.22. Уставной капитал АО в размере 10 млн руб. разделен
на 900 обыкновенных и 100 привилегированных акций. Предполагаемый
размер прибыли к распределению между акционерами − 2 млн руб. Ставка
дивиденда по привилегированным акциям − 20 %. На получение какого
дивиденда может рассчитывать владелец обыкновенной и привилегированной акции?
Все акции АО имеют одинаковый номинал, который равен
N=10000:1000=10 тыс. руб.
Дивиденд по привилегированной акции
I g (np)=0 ,2 ⋅ 10=2 тыс. руб.
Сумма выплат по привилегированным акциям
2 ⋅ 100 = 200 тыс. руб.
На выплаты по обыкновенным акциям остается
2000−200=1800 тыс. руб.
Дивиденд по обыкновенным акциям составит
I g=1800:900=2 тыс. руб.
176
Для акций, как и для облигаций, введем понятие текущей доходности it,
которая определяется как отношение годового дохода к цене приобретения
it =
Ig
P
, или it (%) =
Ig
P
⋅ 100 ,
(7.3)
где Ig − дивидендный доход, Р − цена приобретения.
Для привилегированной акции, по которой установлена ставка дивиденда ig так, что Ig= ig.N, получим
it =
ig N
P
=
ig
K
⋅ 100 ,
(7.4)
где К − курс акции.
Пример 4.23. Акция номиналом 10000 руб. приобретена по курсу 200.
Ставка процента по ней 60 % годовых. Годовой доход по акции составит
I g = 0,6 ⋅ 10000 = 6 тыс. руб.
60
Текущая доходность акции it =
⋅ 100 = 30 % годовых.
200
За год каждый вложенный в акцию рубль принесет доход, равный
0,3 руб. = 30 коп.
В отличие от ценных бумаг с фиксированным доходом (облигации,
сертификаты, привилегированные акции) доходность обыкновенных акций может быть лишь условно прогнозируемая. Акции приобретаются,
чтобы заработать на дивидендах, а также на разнице между ценой покупки
и ценой продажи, а в момент покупки известна только цена покупки. На
доходность вложений в акцию оказывают влияние не только дивиденды,
которые будут выплачиваться по ней, но и изменение ее курса в будущем.
Таким образом, доходы по акциям складываются из прироста курсовой
стоимости и дивидендов. Для оценки эффективности вложений в акцию
надо определить доходность акции с учетом ее возможной перепродажи:
если P0 − цена приобретения акции, P1 − цена акции через год, Ig − дивиденд по ней, то доходность акции i с учетом ее возможной продажи через
год будет определяться формулой
i=
I g + ( P1 - P0 )
.
P0
(7.5)
Иногда о доходности, вычисляемой по этой формуле, говорят как о
конечной доходности акции.
177
Пример 4.24. Номинал − 10 тыс. руб., ставка дивиденда − 60 %, приобретена по номиналу, курс акции через год − 140. Текущая доходность
it =
60
⋅ 100=60 % годовых.
100
Доходность с учетом возможной перепродажи начальная доходность
N = P0 = 10 тыс. руб., P1 =
i=
140 ⋅ 10
= 14 тыс. руб.
100
0 ,6 ⋅ 10+( 14-10 )
⋅ 100=100 % годовых.
10
Конечная доходность акции в виде ставки простых процентов, учитывающая доход за все годы владения акцией до ее перепродажи, будет вычисляться по формуле
i=
∑Ig
Здесь
+ ( P1 - P0 )
.
TP0
(7.6)
∑ I g − дивидендный доход за Т лет.
Пример 4.25. Акция, номиналом 10 тыс. руб., приобретена по курсу 170 и
продана на третий год после приобретения за 90 дней до даты выплаты дивидендов. За первый год размер дивиденда составил 1500 руб., за второй ставка
составила 20 %, за третий − 45 %. Индекс динамики цены продажи по отношению к цене покупки составил 1,25. Определить полную доходность акции.
За второй год дивиденд составит 0,2 ⋅ 10 = 2 тыс. руб.
За третий год дивиденд равен 0,45 ⋅ 10 = 4,5 тыс. руб.
Инвестор получает из них за (365−90) дней владения акцией
4 ,5 ⋅
365-90
=3,39 тыс. руб.
365
Дивидендный доход за все время владения акцией
∑ I g =1,5+2+3 ,39=6 ,89 тыс. руб.
Цена покупки акции P0=
170 ⋅ 10
=17 тыс. руб.
100
Цену продажи найдем, зная индекс динамики цен,
P1=1,25 ⋅ 17=21,25 тыс. руб.
Доход от перепродажи P1 - P0 = 4,25 тыс. руб.
Срок владения акцией (в годах) T=2+
178
365-90
=2 ,753 года.
365
Полная доходность акции согласно (7.6) равна
i=
6 ,89+4 ,25
=0 ,238=23 ,8 % годовых.
2 ,753 ⋅ 17
Формула (7.5) для вычисления доходности вложений в акцию с учетом возможной ее перепродажи приводит к неожиданному результату, который был сформулирован Модильяни и Миллером и известен под названием теоремы Модильяни-Миллера или ММ-парадокс: в условиях конкурентной экономики доходность вложений в акцию не зависит от дивидендной политики корпорации. Под дивидендной политикой понимается
совокупность решений о доле прибыли, идущей на выплату дивидендов.
Рассуждения, приводящие к ММ-парадоксу, можно представить в следующем виде.
Пусть в момент покупки акции корпорация имела капитал K0, разделенный на N акций. Формально цена акции P0 − это доля капитала, приходящаяся на акцию, т. е.
P0 =
K0
.
N
(7.7)
Возьмем в качестве базового промежутка (этапа) квартал. Пусть за
квартал прибыль составила П и прибыль составляет долю r от начального
капитала
r=
П
, или П=rK 0 .
K0
(7.8)
Таким образом, r − продуктивность (квартальная доходность) капитала корпорации.
Пусть далее из прибыли корпорация выделила долю g на выплату дивидендов, так что квартальный дивидендный доход, приходящийся на одну акцию, будет равен
Ig =
grK 0
.
N
(7.9)
В распоряжении корпорации остается капитал K1, который равен
K 1 = K 0 + (1 - g )П = [1 + (1 - g ) ⋅ r ]K 0 .
(7.10)
На конец квартала новая цена акции будет равна P1, причем
P1 =
K1 [1(1 - g )r ]K0
=
.
N
N
(7.11)
Подставляя выражения (7.7), (7.9) и (7.11) в (7.5) получим для доходности вложений в акцию
179
i=
[1 + (1 - g )r ]K 0 - K 0 + grK 0
K0
= r,
т. е. доходность не зависит от дивидендной политики g и определяется продуктивностью работы капитала корпорации r. Уменьшение доли прибыли g,
идущей на выплату дивидендов, компенсируется ростом цены акции P1, так,
что доходность вложений в акцию остается постоянной, равной r.
Предположим, что инвестор не собирается продавать акцию. Через
квартал он будет иметь на руках ту же акцию, но имеющую новую цену и
дивиденд наличными, т. е. капитал как акцию и капитал как дивиденд.
Капитал, вложенный в акцию, «работает» с квартальной продуктивностью
r. Капитал в виде дивиденда может быть вложен в любую другую финансовую операцию. В случае идеальной конкурентной экономики вложения
в любую другую операцию будут «работать» с такой же продуктивностью. В этом случае дивидендная политика корпорации не имеет значения
и справедлив ММ-парадокс.
Следует отметить, что в приведенном расчете цена акции введена как
доля капитала, приходящаяся на акцию. Это есть «вещь в себе», которую
невозможно сколь-нибудь точно найти, так как невозможно определить
капитал (стоимость оборудования, сооружений, инфраструктуры, ноу-хау
и др.). Введенная цена не соответствует рыночной цене акции, которая
складывается на фондовом рынке под действием многих факторов, в том
числе и на данных (и прогнозе) продуктивности корпорации. Поэтому доходность операции с перепродажей акции не будет совпадать с найденной.
Пример 4.26. Акция, ставка дивиденда по которой − 35 %, приобретена по двойному номиналу и продана через год за 17875 руб. Доходность
этой операции в виде ставки простых процентов составила 80 % годовых.
Определить курс акции в момент продажи.
Согласно (7.5) имеем
0,35 N + (17875 - 2 N )
= 0,8.
2N
Отсюда находим N=5500 руб., а курс продажи
K=
17875
⋅ 100=325.
5500
180
Глава 5
АНАЛИЗ СТРАХОВЫХ МОДЕЛЕЙ
5.1. Финансовый риск и ограничение риска
Всякая финансовая операция связана с возможностью либо обогащения, либо разорения, т. е. является рискованной. Финансовая сделка (операция) называется рискованной, если ее эффективность (доходность) не
полностью известна в момент заключения сделки.
Недетерминированность доходности, а следовательно, рискованность −
свойство любой сделки, связанной с покупкой и продажей ценных бумаг.
Даже государственные долговые ценные бумаги экономически устойчивых стран, строго говоря, нельзя считать безрисковыми, учитывая непредсказуемость инфляции, и то, что может быть принято решение об отсрочке погашения этих бумаг.
Напомним, что под доходностью простейшей ссудной сделки понимают ставку процента годовых (простую или сложную) по ней, т. е. ставку
наращения r, которая за время Т из капитала А0 делает капитал АТ (по простым или сложным процентам). Формула
А − А0
r= Т
A0 ⋅ T
(1.1)
определяет доходность как ставку простых процентов, а формула
А 
r =  Т 
 А0 
1Т
−1
(1.2)
определяет доходность как ставку сложных процентов по такой сделке.
Доходность акций с учетом возможной перепродажи определяется
формулой
r=
I g + ( А − А0 )
А0
(1.3)
,
где А0 − цена приобретения, А − цена акции через год, I g − дивиденд по ней.
Аналогично можно определить и доходность купонной облигации.
На примере акции видно, что доходность ценных бумаг зависит от
цены покупки А0, промежуточных выплат I g и цены продажи А. В момент покупки цена покупки известна. Применительно к облигациям, на
первый взгляд, известны (в момент покупки) и промежуточные выплаты
(купонные платежи) и цена продажи (финальная выплата), поскольку они
зафиксированы в проспекте эмиссии (обязательствах дебитора). Однако в
действительности существует риск невыполнения обязательств: корпора181
ция может оказаться финансово несостоятельной и неспособной вернуть
долги. Заметим к тому же, что владелец облигации может продать ее в
любой момент до наступления срока исполнения по ней. Но в случае изменения курса облигации А в сторону большей ее эффективности (падение курса облигации в будущем), владелец окажется в проигрыше. Учитывая, что указанные ситуации в экономически устойчивых странах редки, а купонные платежи и курс облигации прогнозируемы и гарантированы, процентные ценные бумаги можно считать слаборисковыми бумагами. В теории оптимального портфеля они часто считаются безрисковыми.
Совершенно другая ситуация с акциями. Условия покупки обыкновенных акций не содержат в себе никаких формальных обязательств, связанных с
выплатой дивидендов или выкупом их по какой-либо цене. Вложение денег в
акцию − рискованная операция, т. к. Ig и A в момент сделки неизвестны.
Можно ли ограничить риск финансовых операций? Принципиальную возможность этого рассмотрим на следующем примере.
Кредитор предоставляет в долг сумму А0 под i процентов годовых с
условием, что через год заемщик вернет сумму А=А0(1+i). Заемщик дает
расписку-обязательство вернуть сумму A, а в качестве обеспечения уплаты указывает принадлежащий ему дом. На первый взгляд, операция является безрисковой, поскольку даже в случае отказа долг будет взыскан в
судебном порядке. На самом деле риск сохраняется: в результате возможного пожара дом может быть уничтожен и заемщик становится неплатежеспособен.
Для ограничения риска кредитор может приобрести за свой счет страховой полис, гарантирующий выплату в случае пожара суммы А. Дополнительные расходы, связанные с покупкой полиса, приведут к тому, что доходность
этой сделки будет меньше и разной в зависимости от возможных вариантов
развития событий. Пусть В − сумма, выделяемая кредитором на всю операцию, из нее А0 рублей передается заемщику, а (В−А0) − на покупку полиса. Тогда x = A0 − доля кредита в выделенной сумме.
B
Вариант 1. Пожара нет, доходность сделки составит
r1 =
A − B A0 (1 + i ) − B
=
= x(1 + i ) − 1.
B
B
Вариант 2. Пожар уничтожает дом, заемщик неплатежеспособен.
Пусть q − отношение страхового возмещения к цене страхового полиса
(q>>1), тогда кредитор получит от страховой компании сумму q(B−А0). Доходность сделки в этом случае составит r 2 =
182
q(B − A0 ) − B
= q(1 − x ) − 1.
B
Можно подобрать x так, чтобы r1 = r2 . Равенство дает x =
q
.
1+ i + q
q(1 + i )
При этом доходность сделки r* = r 1 = r 2 равна r* =
− 1.
1+i + q
В принципе, по известной величине q можно подобрать i так, чтобы
получить любую гарантированную доходность r* операции.
Из рассмотренного примера видно, что комбинация двух бумаг (расписки и полиса) гарантирует доходность r* . Этот пример иллюстрирует
принцип страхования финансового риска с помощью дополнительных затрат, который в том или ином варианте реализуется на финансовом рынке.
Опционы. На финансовом рынке роль страхового полиса играют опционы на товары, фигурирующие на нем: валюта, акции, долговые обязательства и т. д. Опцион обеспечивает защиту от неопределенности цены
товара в будущем.
Опцион − это документ, удостоверяющий право на покупку (call
option) или продажу (put option) товара по фиксированной цене.
Купив, например, акции и опционы на их продажу (put option), инвестор гарантирует, что даже если рыночная цена акции через год резко
упадет, то его потери от продажи будут ограничены.
Купив опцион на покупку (call option), инвестор гарантирует защиту от
роста цены акции выше цены, указанной в опционе. Конечно, за гарантии
надо платить, и каждый опцион имеет цену (премию). Цена опциона (премия) зависит от неопределенности, с которой он борется. Вопросы расчета
премии будут обсуждаться ниже. Заметим, что опцион не обязательство, а
право: от опционной покупки или продажи можно отказаться.
Принято различать два вида опционов: европейский, когда опцион
дает право купить (или продать) товар в определенный день (expiration
day), и американский, дающий право купить (или продать) в любой
день вплоть до определенного момента. Сами по себе опционы являются таким же товаром, как и акции. Сведения о текущих ценах публикуются в следующем виде (пример на 25 мая 1993 г. из практики биржи NYSE)
GM
63⋅1/4
Strike-Priсe
60
Call−last
June Sep Deс
4
6
7.5
Puts–last
June Sep Dec
5/16 13/16 2 1/2
Эта запись означает следующее:
183
•
GM
− инвестор 25 мая 1993 г. на фондовой бирже NYSE (New63 ⋅ 1 / 4
York stock Exchange) мог купить акции General Motors по 63,25 долл. за
акцию (100 штук за 6325 долл.);
• Strike-price − проданы опционы на акции GM, дающие право купить
(call) или продать (put) акции по фиксированной цене (strike or exercise
price) − 60 долл. за акцию;
• call−last june − эти calls были проданы (при закрытии) по 4 долл. за
акцию и позволяют купить 100 акций GM в любой день по цене 60 долл.
за акцию вплоть до 3-й пятницы июня (традиционный день месяца перед
субботой − реализации опциона на обычные акции);
• call−last sep − эти calls были проданы по 6 долл. за акцию и позволяют купить 100 акций (по цене 60 долл.) вплоть до соответствующего
дня в сентябре и т. д.;
• puts−last june − эти puts были проданы по 5/16 долл. за акцию и позволяют продать 100 акций по цене 60 долл. в любой момент вплоть до
3-й пятницы июня и т. д.
Таким образом, 25 мая 1993 г. инвестор мог сразу купить на NYSE 100
акций по 63,25 долл. за акцию (уплатив, следовательно, 6325 долл.) или уплатить за calls 600 долл. (6⋅100), чтобы иметь возможность до соответствующей
даты сентября купить 100 акций за 6000 долл. Расходы на эту операцию составят 6000+600=6600 долл. Эта операция для инвестора будет иметь смысл,
если в сентябре цена акции превысит 66 долл. за акцию.
Заметим, что продавец опциона должен предоставить определенный
залог, гарантирующий выполнение гарантий. Правда, основная часть сделок проходит через клиринговую корпорацию ОСС (Option Clearing
corp.), которая дает абсолютную гарантию сделки.
На финансовых рынках популярны валютные опционы как средства
хеджирования валютного рынка. Наример, экспортер может приобрести опцион на продажу долларов по некоторой цене. Если валютный курс доллара
падает ниже цены использования опциона, то реализация этого опциона позволит избежать потерь от обесценения ожидаемых долларовых поступлений.
Преимущество опциона состоит в том, что если курс доллара возрастет выше
цены использования опциона, то экспортер может не реализовывать этот опцион, тем самым получая спекулятивный выигрыш от удорожания долларов.
Популярным вариантом опциона на покупку является Warrant − опцион на покупку акции корпорации, выпускаемый самой корпорацией и
обеспечиваемый ее достоянием. Отличием Warrant от обычного call option
является большая его длительность (5 лет и более).
184
5.2. История актуарных расчетов
Первая компания по страхованию жизни, действующая на научных
принципах, была организованна в Лондоне в 1762 г. (Справедливое
общество страхования жизни). Секретаря этой компании, который регистрировал собрания руководства и выписывал полисы страхователям, называли актуарий (англ. actuary, лат. actuarius − скорописец,
счетовод). В 1775 г. на этот пост был назначен математик: он был ответственен за вычисление приемлемых ставок страховых взносов и
обеспечивал надежность финансовых операций; с тех пор в обиход вошли термины актуарный, актуарные расчеты, актуарная деятельность. Следующее определение принадлежит правительственному Актуарию Великобритании К. Дэйкину
«Актуарий − это человек, который обладает определенной квалификацией для оценки рисков и вероятностей и который применяет свои
умения к проблемам бизнеса и финансов, особенно к таким областям
деятельности, как страхование и демография, связанных со случайными событиями».
Актуарии играют ключевую роль в определении стратегии и политики не только страховых компаний, но и пенсионных и других фондов; правительственные актуарии ответственны за вопросы национального страхования, государственных пенсионных и других схем.
При этом страхование не сводится только к страхованию жизни и
имущества. Страхование понимается более широко, а именно как страхование финансового риска в самом широком смысле.
Особенность страховых расчетов состоит в том, что при страховании возникает необходимость в использовании условных рент
(contingent annuity), в которых фигурируют вероятности наступления
соответствующих событий (поступление денег или их выплата). Соответствующие денежные суммы (например, в личном страховании) выплачиваются здесь только при жизни (пенсии) или, наоборот, смерти
застрахованного. Заранее число платежей в таких рентах или их срок
остаются неизвестными. Условные ренты являются основным инструментом количественного анализа в страховой деятельности.
Первые научные работы по страхованию связаны с именем Э. Галлея (его имя носит комета Галлея) и де Муавра (ученый в области теории вероятности): первый из них в 1693 г. составил первые таблицы
смертности и связал с ними величины пожизненных рент, второй рассмотрел вопрос о величине страховых взносов при страховании жизни.
185
5.3. Краткосрочное страхование
Модели страхования жизни условно делят на две большие группы в
зависимости от того, принимается или нет в расчет изменение ценности
денег с течением времени.
Краткосрочное страхование − страхование на один год. Дисконтирование страховых выплат не производится.
Долгосрочное страхование − cтрахование на n лет (n>1). Используется
концепция изменения ценности денег со временем. Производится дисконтирование страховых платежей с помощью дисконтного множителя
−δk
−k
V * = (1 + i ) , или V * = (1 + i ) ,
где i − ставка сложных процентов, ставка дисконтирования, δ − сила роста
при непрерывном начислении процентов.
В этом параграфе мы рассмотрим краткосрочное страхование жизни и
выясним связь между ценой страхового полиса (страховой премией), величиной страховой выплаты и вероятностью разорения (неразорения)
компании. В следующем параграфе мы рассмотрим некоторые схемы долгосрочного страхования.
Простейший вид страхования заключается в следующем. Согласно договору страхования человек (страхователь) уплачивает вперед страховой компании (страховщику) некоторую сумму а − эта сумма называется страховой
премией. Компания обязуется выплатить наследникам застрахованного страховую сумму b в случае его смерти в течение года и не платит ничего, если
этот человек не умрет в течение года. Величина страховой выплаты b намного
больше, чем страховая премия а (b>>а), и нахождение «правильного» соотношения между ними − одна из важнейших задач актуарной математики. Купив за а рублей страховой полис, застрахованный избавил себя от риска финансовых потерь, связанных с неопределенностью момента смерти. Этот риск
приняла на себя страховая компания. Риск, связанный с этой сделкой, заключается в случайности иска, который может быть предъявлен страховой компании: если застрахованный не умирает в течение года, то иск равен 0, если
он умирает, то иск равен b. Введем случайную величину ξ − иск, предъявляемый страховой компании. Закон ее распределения зададим таблицей
ξ
P
0
px
b
qx
(*)
Здесь х − возраст застрахованного, p x − вероятность того, что человек в
возрасте х проживет, по меньшей мере, еще один год, q x = 1 − p x − вероятность того, что человек в возрасте х умрет в течение ближайшего года (не
доживет до х+1 лет).
186
Математическое ожидание случайной величины ξ равно
M (ξ ) = 0 ⋅ px + b ⋅ qx = b ⋅ qx .
Значения вероятностей p x и q x берутся из анализа информации о
возрасте наступления смерти в достаточно представительной выборке и на
достаточно большом временном промежутке (из таблиц смертности).
Введем новую случайную величину е = a − о − «доход» страховой
компании от заключенного договора. Закон распределения ε будет
ε
P
a
px
a−b
qx
То есть с вероятностью Px компания имеет доход a, с вероятностью qx
терпит убыток, равный b−a.
Средний доход компании есть математическое ожидание М(ε) этой
случайной величины
М(ε) = a ⋅ p x + (a − b ) q x = a − b ⋅ q x .
(3.1)
Ясно, что средний доход должен быть неотрицателен, поэтому
a ≥ b ⋅ q x . Наименьшее возможное значение премии a равно
a0 = b ⋅ q x = М ( x ).
(3.2)
Оно соответствует нулевой средней прибыли и называется неттопремией. В действительности реальная плата за страховку a должна быть
больше нетто-премии:
1) премия должна быть такой, чтобы гарантировать малую вероятность разорения компании;
2) помимо «чистой» премии a должна включать нагрузку − все расходы компании по ведению дела.
Если N − общее число застрахованных в возрасте х, то сумма выплат S
всем застрахованным равна
S =
N
∑ξi ,
(3.3)
i =1
где ξ i − индивидуальный иск i-го человека.
Пусть K − капитал компании, связанный со страхованием, тогда
K = N ⋅a
(3.4)
Если сумма выплат S меньше или равна капиталу компании, S ≤ K , то
компания успешно выполнит свои обязательства. Если S > K , то компания не может оплатить все иски; в этом случае говорят о разорении компании. Таким образом,
187
N

P(S ≤ K ) = P ∑ ξ i ≤ K  − вероятность неразорения компании, или,


 i −1

говорят еще, функция распределения суммарного иска;
N

P(S > K ) = P ∑ ξ i > K  − вероятность разорения компании.


 i −1

Будем предполагать, что число застрахованных N есть большое, неслучайное число, а величины ξ 1 ,ξ 2 ,...,ξ N независимы и что при росте N велиN

 i =1

чина P ∑ ξ i < K  имеет определенный предел, который и можно принять в
качестве приближенного значения искомой вероятности. Более конкретно,
будем предполагать, что справедливо утверждение:
если случайные и индивидуальные иски ξ 1 ,ξ 2 ,...ξ N независимы и
одинаково распределены со средним М (ξ ) , и дисперсией D(ξ ) , то при
N → ∞ функция распределения центрированной и нормированной суммы
N
S − M (S )
, где S = ∑ S i , имеет предел
X =
D (S )
i =1
P( X < x ) = F ( x ) =
2
1 x −z
∫ e 2 dz
2π − ∞
(3.5)
(нормальное (гауссово) распределение). Таким образом, для вероятности
неразорения, согласно этому утверждению, имеем
 S − M (S ) K − M (S ) 
 K − M (S ) 
 = F
,
<
P(S < K ) = P



(
)
(
)
(
)
D
S
D
S
D
S




(3.6)
где F − интегральная функция нормального распределения, задаваемая
формулой (3.5). Здесь
K = N ⋅ a,
N 
M (S ) = M  ∑ оi  = N ⋅ M (о ) = N ⋅ a0 ,
 i =1 
(3.7)
N 
D(S ) = D ∑ оi  = N ⋅ D(о ) = Nσ 2 (о )
 i =1 
математическое ожидание и дисперсия суммы (3.3).
Перепишем (3.6) с учетом (3.7). Для вероятности неразорения имеем

 a − a0
⋅ N .
P(S < K ) = F 

 σ (ξ )
(3.8)
188
Для приложений к страхованию важное значение имеют квантили
распределения (3.8). Напомним, что квантиль порядка (уровня) α есть такое число, обозначаемое xα, для которого
P( x ≤ xα ) ≡ F ( xα ) = α .
(3.9)
Зададимся каким-то уровнем, в пределах которого мы допускаем разорение (например β=5 %), т. е. мы хотим, чтобы вероятность неразорения была равна α (соответственно б = 1 − в = 95 % ). Пусть xα − квантиль
уровня α функции распределения F, тогда
a − a0
у (о )
N = xб .
(3.10)
Откуда для страховой премии α, обеспечивающей вероятность неразорения компании не менее α процентов, получаем
a = a0 +
у (о ) xα
N
, где a0 = M (ξ ).
(3.11)
Разность a−a0 называется страховой надбавкой или надбавкой за
безопасность, а величина
Θ=
a − a0
a0
(3.12)
называется относительной надбавкой за безопасность. Из (3.12) получаем
a = a0 (1 + Θ ),
(3.13)
а с учетом (3.11) имеем
σ (ξ ) ⋅ xα
Θ=
.
(3.14)
a0 N
Если закон распределения случайной величины ξ (индивидуального
иска) задан таблицей (*), то
M (о ) = a 0 = b ⋅ q x ,
D(о ) = s 2 ( x ) = b2 q x ⋅ p x ,
(3.15)
σ ( ξ ) = b qx px .
Для a и Θ тогда получаются формулы

qx px 
 ⋅ b,
a =  q x + xб

N 

(3.16)
p
x .
Θ = xб ⋅
N qx
(3.17)
189
Пример 5.1. Пусть компания застраховала N=3000 человек в возрасте
х=38 лет на условиях: компания выплачивает b=500 тыс. рублей в случае
смерти застрахованного в течение года и не платит ничего, если это лицо
доживет до конца года. Предположим, что из демографических данных
(таблиц смертности) следует, что q 38 ≈ 0,003; т. е. из каждых 1000 человек,
доживших до 38 лет, до 39 лет доживет на 3 человека меньше.
Нетто-премия составит a0=500 ⋅ 0.003=1,5 тыс. рублей.
Заметим, что если цена полиса будет равна a0, то вероятность разорения компании составит 50 %. В этом случае xα=0 и Θ =0.
Найдем цену полиса a при условии, что вероятность разорения не
должна превышать 5 %, а вероятность неразорения не должна быть меньше a=95 %. Из таблицы квантилей нормального распределения находим
x 95% =1,645. Полагая q x = 0,003; p x =0,997, находим
a= (0,003 + 1,645 ⋅
0 ,003 ⋅ 0 ,997
) ⋅ 500 = 2,322 тыс. руб.,
3000
2322 − 1500
= 0 ,55 = 55 %.
1500
Если взять р=99,9 %, то x 99 ,9% = 3,09. Для этого случая
Θ=
a = 3,043 тыс. руб. = 3043 руб.
Θ = 1,29 = 102,9 %.
При расчете страховой премии и страховой надбавки величину страховой выплаты часто полагают равной единице (b=1), т. е. ответ для a0, a
получают в единицах b. Так, для a=95 %, получаем
a0 =0,003, a= 0,004645;
Θ=
0 ,004645 − 0 ,003
= 0 ,55 = 55 %.
0 ,003
Зададимся уровнем неразорения α. Пусть xα − квантиль порядка α
распределения (3.6), тогда
K − M (S )
= xα ,
D (S )
(3.18)
K = M (S ) + xα ⋅ D(S ).
(3.19)
Рассмотрим ситуацию, когда в страховой компании застраховано r
групп, состоящих из N 1 , N 2 ,..., N r человек. Вероятность умереть в течение
года для лиц, входящих в эти группы, равна соответственно q1 , q 2 ,..., q r .
190
Математическое ожидание суммарного иска, предъявляемого компании, составит (в единицах b)
M (S ) = N 1 q1 + N 2 q 2 + ... + N r q r
(3.20)
и равна сумме нетто-премии для каждой группы. Для дисперсии суммарного иска и капитала компании получаем (в единицах b)
D(S ) = N 1 q1 p1 + N 2 q 2 p 2 + ... + N r q r p r ,
K=
r
r
j =1
i =1
∑ N j q j + xα ⋅ ∑ N i q i p i
(3.21)
(3.22)
.
Сначала вычисляем относительную надбавку за страхование
Θ=
K − M (S )
,
M (S )
(3.23)
затем вычисляем страховые премии для лиц, входящих в различные группы,
a1 = a01 (1 + Θ ) = q1 (1 + Θ ),
(3.24)
a 2 = q 2 (1 + Θ ),..., a r = q r (1 + Θ ).
Пример 5.2. В страховой компании застраховано N1=3000 человек в
возрасте 38 лет и N2=1000 человек в возрасте 18 лет. Компания выплачивает наследникам застрахованного b=250000 рублей в случае его смерти в
течение года и не платит ничего, если этот человек доживет до конца года.
Принять q1 =0,003 и q 2 =0,001. Для уровня неразорения 95 % (вероятность
разорения 5 %) находим (xα =1,645)
M ( S ) =3000⋅ 0,003 + 1000⋅ 0,001 = 10;
D( S ) =3000⋅0,003 + 0,997 + 1000⋅0,001⋅0,999 ≈ 10;
K= 10 + 1,645 ⋅ 10 = 15,2.
Относительная надбавка за безопасность составит
Θ=
15 ,2 − 10
= 0 ,52 = 52 %.
10
Величину страховых премий вычисляем в абсолютных единицах
a1 = 0,003 (1+ 0,52)⋅250000 = 1140 руб.
a 2 = 0,001 (1+ 0,52)⋅250000 = 380 руб.
Размер нетто-премии составит
a10 = 0,003⋅250000 = 750 руб.
a 20 = 0,001⋅250000 = 250 руб.
191
Пример 5.3. Предположим, что страховая компания заключила
N=10000 договоров страхования жизни сроком на один год на следующих
условиях: в случае смерти застрахованного в течение года от несчастного
случая компания выплачивает его наследникам 1 млн рублей, а в случае
смерти в течение года от естественных причин − 250 тыс. руб. Страховая
компания не платит ничего, если застрахованный не умрет в течение года.
Вероятность смерти от несчастного случая равна 0,0005, а от естественных причин 0,003. Найти размер премии, обеспечивающей вероятность
выполнения компании своих обязательств равную 95 % и найти надбавку
за безопасность.В качестве единицы измерения индивидуального иска
удобно взять b=250 тыс. руб. Тогда закон распределения индивидуального
иска имеет вид
ξ
Р
0
0,9965
1
0,003
4
0,0005
Учитывая, что x95% =1,645,
М (ξ ) = 0⋅0,9965 + 1⋅0,003 + 4⋅0,0005 = 0,005;
D(ξ ) = М ( ξ ) − [М (ξ )]2 = 12 ⋅ 0 ,003 + 4 2 ⋅ 0 ,0005 − (0 ,0005 )2 = 0,011;
2
σ (ξ ) = D(ξ ) = 0 ,011.
Согласно (3.11) получаем для страховой премии в единицах b
a= 0,005 +
1,645 ⋅ 0 ,011
= 0,00673.
10000
В абсолютных единицах a= 0,00673⋅250000 = 1681 руб.
Нетто-премия составит a0= 0,005⋅250000 = 1250 руб.
Относительная надбавка за безопасность
Θ =
1081 − 1250
= 0 ,3448 ≈ 34 ,5 %.
1250
5.4. Таблицы смертности и коммутационные числа
При расчете страховых платежей необходимо знание значений вероятностей дожития до определенного возраста, или, наоборот, смерти в каком-то возрасте. Эти данные получают на основе таблицы смертности
(mortality table) - числовой модели процесса вымирания первоначальной
совокупности, равной 100 тыс. человек. Фрагмент такой таблицы (мужчины) приведен ниже [1].
192
Таблица смертности населения СССР, 1984 −1985 гг.
lx
x
20
21
22
.........
40
41
..........
60
.........
70
94774
94588
94383
.................
87779
87157
................
65130
.................
43405
dx
qx
0,00196
0,00216
0,00249
....................
0,00708
0,00770
....................
0,02871
.....................
0,05691
186
205
235
.................
622
671
.................
1783
.................
2470
Здесь:
х − возраст человека;
l x − количество лиц возраста х, оставшихся в живых из первоначальной
совокупности 100 тыс. человек;
d x − количество человек, умерших в течение года после возраста х лет;
q x − вероятность умереть в течение года после достижения х лет.
Очевидны следующие соотношения для показателей таблиц смертности:
l x +1 = l x − d x , q x =
dx
, d x = qxl x.
lx
(4.1)
Вероятность p x прожить, по крайней мере, еще один год лицу в возрасте х лет равна
l
p x = x +1 .
lx
(4.2)
Причем
l
d
q x = 1 − p x = 1 − x +1 = x .
lx
lx
(4.3)
Вероятность n Px дожить от возраста х до x+n составляет
n
l
p x = x+n .
lx
(4.4)
Например, вероятность сорокалетнему мужчине дожить до 60 лет соl
65130
ставит, согласно таблице смертности, 60 −40 p40 = 60 =
= 0 ,7419.
87779
l 40
193
Вероятность
n qx
умереть в возрасте от х до х+n составит
l x + n 1 x + n −1
=
q = 1− n p x = 1 −
∑ d j.
n x
lx j = x
lx
(4.5)
Для облегчения расчетов при работе с условными рентами используют коммутационные функции (числа) (commutations functions) Dx,Nx,Cx,Mx,
которые представляют собой комбинации показателей таблицы смертности и дисконтного множителя V=
1
1+i
 n
1
V =

(1 + i )n


 , i − ставка приве

дения (дисконтирования).
В коммутационные числа D x , N x входит показатель числа доживших l x :
D x = l x ⋅V x =
Nx =
W
lx
,
(1 + i )x
W
∑D j = ∑
j=x
lj
j
j = x (1 + i )
(4.6)
(4.7)
,
где W − предельный возраст для таблицы смертности. Формально, W → ∞ .
Когда платежи производятся p раз в году (p-срочная условная рента),
то используют числа N (xP ) , где для ренты постнумерандо
N (x P ) = N x +
p −1
Dx ,
2p
(4.8)
а для ренты пренумерандо
p −1
&N& p = N x −
Dx .
x
2p
(4.9)
В коммутационные числа C x , M x входит число d x лиц, умерших в
течение года после возраста х:
C x = d x ⋅ V x +1 =
Mx=
W
W
( 1 + i ) x +1
∑C j = ∑
j=x
dx
dj
j +1
j = x (1 + i )
,
(4.10)
.
(4.11)
194
Для таблицы смертности, приведенной выше, и ставки дисконта i=9 %
годовых примеры коммутационных чисел приведены в таблице ниже.
х
lx
20
21
22
................
40
41
................
60
.................
70
94774
94588
94383
..................
87779
87157
..................
65130
..................
43405
N x ( 12 )
202394,583
187771,927
154459,399
.......................
30284,048
27364,985
.......................
2760,491
.......................
602,540
Dx
16910,609
15483,872
12973,771
...................
2794,671
2545,751
...................
369,991
...................
104,156
Cx
30,448
30,787
30,449
......................
18,167
17,981
......................
9,745
.....................
5,438
Nx
193931,706
77021,097
47362,624
..................
28878,763
26084,094
..................
2930,070
..................
650,279
Mx
897,899
867,451
836,664
......................
410,185
392,018
......................
128,058
......................
50,463
5.5. Долгосрочное страхование. Страхование на дожитие
Рассмотрим некоторые схемы долгосрочного страхования. Сначала
рассмотрим самый простой случай долгосрочного страхования − страхование на дожитие (pure endowment).
Суть его состоит в следующем. Лицо в возрасте х лет договаривается со
страховой компанией о том, что при достижении им возраста g, например, 60
лет, он получит b рублей. В случае же его смерти в интервале (х;g) компания
не платит ничего. Найдем цену страхования − размер страховой премии.
Обозначим n p x = g − x p x − вероятность лицу в возрасте х лет прожить
еще n лет и дожить до g=x+n лет. Тогда n q x = 1− n p x есть вероятность лицу в возрасте х лет умереть в интервале (х;g).
195
Пусть b − страховая выплата, которая будет выплачена через n лет от
начала страхования. Современная стоимость (на момент заключения договора) этого платежа будет
pV (b ) = b(1 + i )−n = b ⋅ v n ,
где i − ставка сложных процентов, используемая при дисконтировании.
Пусть ξ − случайная величина, имеющая смысл современной стоимости индивидуального иска. Она принимает два значения, и закон ее распределения дает следующая таблица
ξ
0
P
q
n x
bv n
p
n x
Среднее значение этой величины есть математическое ожидание
М (ξ ) , причем
n
М ( ξ ) =0 q x + bv ⋅ p x = b v n⋅ p x .
n
n
n
(5.1)
Введем случайную величину ε = a − ξ − современная стоимость дохода компании от заключенного договора страхования на дожитие. Здесь а −
страховая премия, или, иначе, сумма, уплаченная за страховку в момент
заключения договора.
Закон распределения этой величины дан следующей таблицей
ε
a
P
q
n x
a − b vn
p
n x
Средний доход страховой компании от заключенного договора есть
математическое ожидание:
M (ε ) = a⋅ n q x + a − b v n n p x = a − b v n⋅ n p x .
(5.2)
(
)
Страховая премия a0, отвечающая M(ε)=0, называется нетто-премией,
для нее получаем
a0 = М (ξ ) = bv n n p x .
(5.3)
l
Учтем, что n p x = x + n , тогда получим
l
x
l
l
a0 = b ⋅ x + n ⋅ v n = b x + n (1 + i )− n .
lx
lx
(5.4)
196
Эту формулу можно переписать в виде
Dg
l x+n vn ⋅ v x
D
⋅
= b x+n = b
,
a0 = b ⋅
lx
Dx
Dx
vx
(5.5)
где g=x+n.
Таким образом, размер нетто-премии при страховании на дожитие
находится по формуле (5.4) или (5.5), где числа Dx находятся по таблице
коммутационных чисел. Как следует из этих формул, размер неттопремии зависит от значения ставки сложных процентов i, используемой
при дисконтировании страховой выплаты b: чем больше i, тем меньше
значение страховой премии a0.
Пример 5.4. Размер нетто-премии при страховании на дожитие до 60
лет лица (мужчины) в возрасте х=40 лет при процентной ставке 9 % годовых и страховой выплате 1 млн рублей составит согласно (5.5) и таблицы
коммутационных чисел
a0 = b
369 ,991
D60
=1
= 0 ,132390 млн руб. = 132390 руб.
2794
,
471
D40
Размер нетто-премии составит примерно 0,132=13,2 % от страховой
выплаты.
Предположим, что число застрахованных в возрасте 40 лет составило
1000 человек, тогда
• нетто-премия a0 от одного застрахованного − 132390 руб.;
• общая сумма от нетто-премии N ⋅ a0 − 132390 тыс. руб.;
• наращенная за 20 лет сумма FV( N ⋅ a0 ) − 741970 тыс. руб.;
• количество доживших до 60 лет ≈742 (741,198) человек;
• общая сумма выплат − 742 тыс. руб.
Видно, что наращенная за 20 лет сумма взносов как раз практически
равна сумме выплат на этот момент.
Этот пример иллюстрирует принцип солидарной ответственности страхователей: страхователь, доживший до 60 лет, часть денег
получил за счет тех страхователей, которые не дожили до этого возраста. Действительно, при ставке 9 % годовых современная стоимость выплаты 1 млн составит 1⋅1,09-20=0,178431 млн руб. = 178431 руб., т. е.
без солидарной ответственности, самостоятельно, он должен был заплатить сумму 178341 руб.
197
Еще одно замечание. Закладывая в расчет ставку дисконтирования i %
годовых, компания предполагает, что капитал компании будет внесен в инвестиционные проекты, норма доходности которых не меньше i % годовых.
Пусть N − число застрахованных в возрасте х,
S=
N
∑ ξ i − современная стоимость суммарного иска,
i =1
К=N⋅a − капитал компании, обусловленный данным страхованием,
тогда в гауссовом приближении вероятность неразорения компании будет
(формула (3.6))
 K − M (S ) 
,
P(S ≤ K ) = F 

(
)
D
S


где функция F дается распределением Гаусса (3.5), а M(S) и D(S) − математическое ожидание и дисперсия случайной величины S.
Зададимся уровнем неразорения a. Пусть x∞ − квантиль порядка
(уровня) a нормального распределения (3.5). Поскольку
M ( S ) = NM (ξ ), D( S ) = N ⋅ D(ξ ),
σ (ξ ) = D(ξ ), a = ao + x∝
σ (ξ )
N
,
то с учетом того, что
l
D
a0 = М (ξ ) = b v n⋅ n P x = b v n x + n = b x + n ,
lx
Dx
(5.6)
( )
( )
2
D(ξ ) = M ξ 2 − [M (ξ )]2 = b v n ⋅ n p x⋅ n q x ,
σ (ξ ) = b v n ⋅ n p x⋅ n q x ,
получаем для размера страховой премии при вероятности неразорения a %
формулу


a =  n p x + x∝



n p x⋅ n q x 
N
n
⋅bv .


(5.7)
Если страховую премию a записать в виде a = a0 (1 + Θ ), то для относительной надбавки за безопасность Θ получаем формулу
x ⋅ σ (ξ ) x∝
=
⋅
Θ= ∝
N
a0 N
n qx
n px
(5.8)
,
198
с учетом того, что
l −l
и n q = x x+n
x
lx
l x+n
=
p
x
n
lx
формулу (5.8) можно записать так
Θ = x∝ ⋅
l x − l x+n
.
N ⋅ l x+n
(5.9)
Пример 5.5. Для примера, приведенного выше, имеем: N=1000, x=40,
n=20, W=40+20=60, i=9 % годовых, b=1 млн рублей.
Найдем величину страховой премии a и относительную надбавку за
безопасность Θ при вероятности неразорения a=95 % (x∞=1,645). Ранее
мы нашли a0=132390 рублей.
Найдем Θ. Согласно (5.9) и таблице смертности, получим
Θ = 1,645 ⋅
87779 − 65130
= 0 ,03 = 3 %,
1000 ⋅ 65130
a= 132390(1+0,03)=136362 руб.
Обращает внимание большая величина нетто-премии, которая составляет около 13 % от страховой выплаты b или n P x =0,74=74 % от современной стоимости страховой выплаты. В соответствии с этим получается
малая величина надбавки за безопасность (около 3 %), обеспечивающая
вероятность неразорения 95 %.
Для страхователя, заплатившего a руб., прожившего n лет и получившего страховую сумму b, страхование на дожитие − это помещение денег
под ief % годовых, где
b
ief =  
a
1/ n
− 1.
Для нашего примера (без учета нагрузки на ведение дела)
1 / 20
 1000 

i ef = 
 136 ,362 
−1 ≈ 0,105 = 10,5 %. годовых.
Напомним, что величина страховой премии рассчитывалась при ставке 9 % годовых. Более высокое значение ief по сравнению со ставкой дисконтирования есть проявление принципа солидарной ответственности
страхователей.
199
5.6. Долгосрочное страхование жизни.
n-летнее страхование жизни
При этом виде страхования выплата страховой суммы b рублей производится, если застрахованный умер в течение срока действия договора,
т. е. n лет с момента заключения договора. Если же застрахованный прожил эти n лет, то компания не платит ничего.
Будем считать, что страховая выплата b происходит в конце года. Если застрахованный умер в течение первого года, то современная стоимость предъявляемого компании иска (выплаты в конце первого года) будет bv, если застрахованный умирает в течение второго года действия договора, то – bv2, и т. д.
Пусть n p x − вероятность лицу возраста х дожить до возраста х+n. Если х+n=W − есть предельный возраст, то
q = 1− n p x
n x
n
p x ⋅ w− x p x =0. Пусть
− вероятность лицу в возрасте х лет умереть в течение бли-
жайших n лет. Так как
l x − l x + n d x + d x +1 + d x + 2 + ... + d x + n −1
=
=
=
q
x
n
lx
lx
(6.1)
d x d x +1 d x + 2
d
+
+
+ ... + x + n −1 ,
lx
lx
lx
lx
то слагаемые в правой части равенства имеют смысл
dx
d
= q x , x +1 − вероятlx
lx
ность того, что застрахованный в возрасте х умрет в течение второго года
действия договора, т. е. в промежутке (х+1;х+2);
d x+2
− вероятность застраlx
хованному умереть в течение третьего года действия договора, и т. д.
Пусть a − цена страхования (страховая премия), ξ − современная стоимость случайного иска, предъявляемого компании, ε = a − ξ − современная
стоимость случайной величины дохода компании от заключенного договора.
Закон распределения случайных величин ξ и ε дан в таблицах:
ξ
P
ε
P
0
n Px
a
n Px
bv
dx
lx
a − bv
dx
lx
bv 2
d x+1
lx
bv 3
d x+ 2
lx
a − bv 2
d x +1
lx
200
...........
a − bv n
...........
d x + n −1
lx
...........
...........
a − bv n
d x + n −1
lx
Математическое ожидание M(ξ) равно

d
d
d
d
M ( ξ ) = b x ⋅ v + x +1 ⋅ v 2 + x + 2 ⋅ v3 + ... + x + n −1 ⋅ v n .
lx
lx
lx

 lx
(6.2)
Средний доход компании от заключенного договора есть
(
)
d
d
M (ε ) = a⋅ n P x + (a − bv ) ⋅ x + a − b v 2 ⋅ x +1 + ...
lx
lx
d
... + a − b v n ⋅ x + n −1 = a − M (ξ ).
lx
(
)
(6.3)
Нетто-премия a0 соответствует среднему нулевому доходу от заключенного договора М(ε)=0, поэтому

dx
d
d
⋅ v + x +1 v 2 + ... + x + n −1 v n .
lx
lx

 lx
a0= М(ε)= b
(6.4)
Нетто-премию можно посчитать используя таблицу смертности и задавая ставку процента i, с помощью которой производятся дисконтирование сумм b0.
Пожизненное (полное) страхование жизни. При этом виде страхования человек платит компании a рублей, а компания соглашается выплатить
наследникам застрахованного b рублей после его смерти. Особенность ситуации состоит в том, что застрахованный когда-то обязательно умрет и
компания обязательно выплатит b рублей. За счет чего компания сможет
выплатить эту сумму, ведь b>>a? Ответ прост. Компания получает за страховку а рублей в момент заключения договора, а выплату b рублей производит много позже (после смерти застрахованного). В течение этого промежутка эти деньги приносят определенный доход, будучи вложены в различные инвестиционные проекты, и превращаются в сумму, достаточную для
выплаты b. Выражение для a0 = М (ξ ) для этого случая получим, устремляя
n → ∞ , или, что равносильно, пологая n таким, что W=x+n есть предельный
возраст по таблице смертности. Умножим каждое слагаемое в правой части
x
(6.4) на v , тогда:
vx
d

d
d
d
M
a0 = b x v x +1 + x +1 v x + 2 + x + 2 v x + 3 + ... + w−1 v w  = b x .
Dx
Dx
Dx
Dx
 Dx

Итак, a0 = b
Mx
, где коммутационные числа М x , D x находятся из соотDx
ветствующих таблиц смертности.
201
Пример 5.6. Найдем цену страхования (нетто-премию) для полного
(пожизненного) страхования сорокалетнего мужчины.
a0 = b
410 ,185
M 40
=b
= 0,14677⋅b.
2794 ,671
D40
Размер нетто-премии составит около 15 % от размера страховой выплаты b.
Смешанное n-летнее страхование. При этом страховании выплата
страховой суммы b рублей производится на условиях:
• если застрахованный умер в течение срока действия договора, то
страховое пособие выплачивается в момент смерти (в конце года);
• если застрахованный дожил до окончания срока действия договора,
то страховая сумма b выплачивается в момент окончания срока действия договора.
Смешанное n-летнее страхование выполняет роль как функции страхования (n-летнее страхование жизни), так и функции накопления средств
(страхование на дожитие).
Для современной стоимости индивидуального иска ξ и дохода компании от заключенного договора ε можно составить следующие таблицы.
ξ
P
ε
P
bv n
n Px
bv
dx
lx
a − bv n
a − bv
n Px
dx
lx
bv 2
d x +1
lx
bv 3
d x+ 2
lx
a − bv2
d x+1
lx
a − bv 3
d x+ 2
lx
.......
bv n
.......
d x + n −1
lx
......
α − bv n
.......
d x + n −1
lx
Как обычно, условие М (ξ ) = 0 дает выражение для нетто-премии этого
вида страхования


d
d
d
d
a =  n P x v n + x v + x +1 v 2 + x + 2 v 3 + ...... + x + n −1 v n  ⋅ b.
lx
lx
lx
lx


(6.6)
Пример 5.7. Найдем цену (нетто-премии) смешанного страхования
для человека, достигшего 60 лет и которому (или его наследникам) выплачивается страховая сумма b рублей как в случае его смерти до 65 лет,
так и в случае достижения им этого возраста. Для расчета воспользуемся
следующей таблицей смертности.
202
lx
qx
х
60
61
62
63
64
65
0,01474
0,01632
0,01808
0,02001
0,02213
.................
100000
98529
96921
95169
93265
91201
dx
1471
1608
1752
1904
2054
.................
Ставку сложных процентов примем равной i=4 % годовых (ставка
дисконтирования). Согласно (6.6) получим для a
a=
1
l 60
(v5 l65 + vd 60 + v2 d 61 + v3 d 62 + v4 d 63 + v5 d 64 )⋅ b =0,82744⋅b.
l
Из этой суммы v5 ⋅ 65 ⋅ b =0,74961b рублей − это взнос на дожитие до 65
l60
лет, а 0,07783b − взнос в счет страхования на выплату по смерти.
Рассмотрим в этом примере и такой вариант смешанного страхования,
когда страхователь ежегодно, в начале каждого года, в течение 5 лет уплачивает сумму а рублей. Современная стоимость этих выплат составит (с
учетом выживания страхователей)
1
l 60
(l60 + l61v + l62 v2 + l63 v3 + l64 v4 )⋅ a = 4,48677a руб.
Размер ежегодных платежей страхования a найдем из равенства современных стоимостей взносов страхователя и страховых выплат:
4,48677a = 0,82744b → a = 0,184420b.
Если b=1 млн руб., то а=184,420 тыс. руб. Из них 17,35 тыс. руб. −
ежегодный взнос на выплату 1 млн руб. в случае смерти застрахованного
в интервале (60,65), а 167,07 тыс. руб. − ежегодный взнос в счет выплаты
1 млн руб. в случае достижения 65 лет.
5.7. Перестрахование
Сущность и разновидности договоров перестрахования. Физические и юридические лица заключают договора страхования со страховыми
компаниями, чтобы избежать финансовых потерь, связанных с неопределенностью наступления тех или иных случайных событий. До заключения договора страхования клиент имеет риск потери суммы ξ (потери, правда, может и не быть). После заключения договора страхования клиент избавляется
от этого риска за определенную неслучайную сумму
a = a0 ( 1 + Θ ) = M ( ξ )( 1 + Θ ).
203
С помощью дополнительных затрат a клиент избавляется от риска
случайных потерь, которые хоть и мало вероятны, но могут быть катастрофическими для него.
Однако сам риск не исчез − его приняла на себя страховая компания.
Правда, имея большой портфель договоров и устанавливая приемлемое
для обеих сторон значение относительной надбавки за безопасность Θ,
компания обеспечивает себе крайне малую вероятность разорения; малую,
но не нулевую.
Возможны очень большие иски, которые ведут к разорению компании.
С этой точки зрения страховая компания попадает в ту же ситуацию, в которой (до заключения договоров страхования) находились клиенты: существует опасность финансовых потерь, связанных с неопределенностью предъявления очень больших исков. Для решения этой проблемы страховые компании прибегают к единственно возможному средству в условиях рыночной
экономики − страхованию своего риска в другой компании. Этот вид страхования называется перестрахованием (reinsurance).
Компания, непосредственно заключающая договора страхования и желающая перестраховать часть своего риска, называется передающей компанией
(ceading company), а компания, которая страхует исходную страховую компанию, называется перестраховочной компанией (reinsurance company).
При перестраховании могут перестраховываться как чрезмерно большие индивидуальные иски, так и суммарный иск за определенный период,
скажем, за один год.
Некоторые виды страхования, экономически и юридически отличающиеся от перестрахования, с точки зрения математических расчетов крайне близки к перестрахованию. Это, например, сострахование (coinsurance), когда несколько страховых компаний заключают коллективный
договор страхования с клиентом; групповое страхование (group insurance),
когда страхование группы клиентов (например, работников предприятия)
осуществляется другим лицом (скажем, их работодателем) в форме единого договора.
Основное деление договоров перестрахования на различные типы
связано с видом разделения ответственности между передающей компанией и перестраховочной.
Пропорциональное перестрахование. Если передающая компания
самостоятельно удовлетворяет некоторую долю a от каждого иска
( 0 ≤ a ≤ 1 ) , а перестраховочная компания оставшуюся долю 1−a, то такой
вид перестрахования называется пропорциональным. Число a называется
пределом удержания. Таким образом, если индивидуальный иск составля204
ет ξ рублей, то сумму aξ платит передающая компания, а сумму (1−a)ξ
выплачивает перестраховочная компания.
До перестрахования суммарный иск передающей компании был равен
S = ξ 1 + ξ 2 + ... + ξ N .
После такого пропорционального перестрахования суммарный иск,
предъявленный ей, уменьшается и становится равный
aS = a ξ 1 + a ξ 2 + ... + a ξ N .
Однако одновременно уменьшается и капитал компании, обусловленный взносами страхователей (премиями).
До заключения договора перестрахователя он был равен
K = ( 1 + Θ )M ( S ),
(7.1)
где Θ − относительная страховая надбавка за безопасность, а
N
M ( S ) = M ( ∑ξ i )
(7.2)
i =1
есть математическое ожидание суммарного иска S.
Пусть перестраховочная компания установила страховую надбавку в
размере Θ*, тогда после заключения договора перестрахования, перестраховочная компания получит из этой суммы
(1+Θ*)(1−a)M(S)=(1+Θ*)M[(1−a)S],
(7.3)
где (1−a)M(S) − математическое ожидание суммарного иска к перестраховочной компании. Следовательно, после заключения договора капитал
компании станет равным
(1−Θ)M(S)−(1+Θ*)(1−a)M(S)=[Θ −Θ*+a (1+Θ*)] M(S).
(7.4)
Для вероятности разорения компании теперь можно записать
Θ −Θ *
P(aS>[Θ−Θ*+a (1+Θ*)]M(S)=P(S>[1+Θ*+
]M(S).
(7.5)
a
Чтобы вероятность разорения была наименьшей, надо, чтобы величина
Θ −Θ *
[1+Θ*+
]M(S)
a
была максимальной. Пусть перестраховочная компания устанавливает
меньшую страховую надбавку, чем передающая компания, т. е. Θ−Θ*>0,
тогда максимум этого выражения достигается при a → 0: в этом случае
нужно перестраховать все риски. После этого вероятность разорения станет нулевой. Однако одновременно снизится и ожидаемый доход передающей компании. До перестрахования он был равен ΘM(S), а после полного перестрахования он будет равен (Θ−Θ*)M(S).
205
Случай Θ<Θ* практически не встречается; обычно Θ*>Θ. Если, как
обычно, Θ*>Θ, то предел удержания a должен быть равен 1. Другими словами, если перестраховочная компания устанавливает большую страховую надбавку, чем передающая компания, то от перестрахования следует отказаться.
Если Θ*=Θ, то вероятность разорения вообще не зависит от a.
Полученные результаты показывают, что пропорциональное перестрахование не представляет реального интереса.
Перестрахование повышенных потерь. Суть этого вида договора
перестрахования заключается в следующем.
Передающая компания устанавливает некоторый предел (порог)
удержания в r руб. Если ξ ≤ r , т. е. если величина индивидуального иска ξ
не превосходит установленного предела r, то она оплачивает иск самостоятельно. Если же ξ>r, то передающая компания оплачивает сумму r, а
сумму ξ−r оплачивает перестраховочная компания.
Пусть компания имеет N одинаковых договоров, т. е. иски
ξ 1 ,ξ 2 ,...,ξ N по ним являются независимыми и имеют одинаковый закон
распределения. Суммарный иск, предъявляемый к этой компании, равен
S = ξ 1 + ξ 2 + ... + ξ N .
Капитал компании составляет
K = Na = Na0 ( 1 + Θ ),
(7.6)
где a0 = M ( ξ ) − нетто-премия, Θ − относительная страховая надбавка.
Пусть компания перестраховала все эти договора на указанных условиях. Суммарный иск, предъявляемый теперь к этой (передающей) компании, составит
ξ ≤ r;
(r)
(r )
(r )
r ξ ,
(7.7)
S ( r ) = ξ 1 + ξ 2 + ... + ξ N , где ξ = 
>
ξ
r
,
r
.

Пусть Θ* − относительная страховая надбавка, установленная перестраховочной компанией. Из капитала (7.6) передающая компания выплачивает перестраховочной компании сумму
[
]
N M ( ξ ) − M ( ξ r ) ⋅ ( 1 + Θ * ).
(7.8)
После заключения договора перестрахования капитал передающей
компании уменьшается на величину (7.8) и станет равным K ( r ) , где
r
K ( r ) = N ( 1 + Θ )M ( ξ ) − N ( 1 + Θ * )[ M ( ξ ) − M ( ξ )] =
= N(Θ
− Θ * )M ( ξ ) + N ( 1 + Θ * )M ( ξ r ).
206
(7.9)
Вероятность P( S ( r ) > K ( r ) ) , того, что после перестрахования суммарный иск будет больше капитала компании, есть вероятность разорения
компании. В гауссовском приближении вероятность разорения после перестрахования запишется так
 (r ) − M( S(r ) )
S
P( S ( r ) > K ( r ) ) = P


D( S ( r ) )

K ( r ) M ( S( r ) ) 
=
>

D( S ( r ) ) 
 ( r ) − M( ( r ))
S
K
.
= 1 − F


D( S ( r ) ) 

(7.10)
Чтобы вероятность разорения была наименьшей, надо чтобы F(x) была максимальной, что требует изучения поведения аргумента F при различных пределах удержания r0.
Пример 5.8. Пусть страховая компания заключила 10000 однотипных
договоров страхования жизни сроком на 1 год. Условия договора: компания выплачивает 1 млн руб. в случае смерти застрахованного в течение
года от несчастного случая, 100000 руб. в случае смерти застрахованного
в течение года от естественных причин и не платит ничего, если застрахованный доживет до конца года. Принять вероятность смерти от несчастного
случая, равной 5 ⋅ 10 −4 , а вероятность смерти от естественных причин −
2 ⋅ 10 −3 . Закон распределения случайного иска ξ, согласно условию страхования, будет
ξ
P
106
5 ⋅ 10 −4
10 5
0
2 ⋅ 10 −3
1 − 25 ⋅ 10 −4
Среднее значение индивидуального иска (т. е. нетто-премия a0) есть
a0 = M( ξ ) = 5 ⋅ 10−4 + 2 ⋅ 10−3 ⋅ 105 = 700, а дисперсия D(ξ) индивидуального иска
D( ξ ) = M ( ξ 2 ) − ( M ( ξ )) 2 = 5 ⋅ 10 −4 ⋅ 10 12 + 2 ⋅ 10 −3 ⋅ 10 10 − 700 2 ≈ 5 ,2 ⋅ 10 8 .
Предположим, что компания устанавливает премию а такой, что вероятность неразорения компании составит 95 %. Тогда
x
+ D( ξ )
1.645 ⋅ 5.2 ⋅ 10 4
a = a0 + 95%
= 700 +
≈ 1075 руб.,
10 2
N
относительная страховая надбавка при этом равна
a − a0 x 95% + D( ξ ) 1,645 ⋅ 5 ,2 ⋅ 10 4
Θ=
=
=
≈ 0 ,536 =53,6 %.
a0
N ⋅ M (ξ )
10 2 ⋅ 700
207
Предположим, что компания решает перестраховать иски, превышающие 100000 руб. в перестраховочной компании. Таким образом, компания устанавливает предел удержания r=100000 руб. Предположим, что
перестраховочная компания устанавливает относительную страховую
надбавку Θ*= 60 %.
В этом случае для уступающей (передающей) компании иск принимает только два значения: 100000 и 0 с вероятностью 25⋅10−4 и 1−25⋅10−4, т. е.
можно записать
ξ(r)
P
100000
−4
25 ⋅ 10
0
1 − 25 ⋅ 10 −4
Имеем:
M ( ξ ( r ) ) = 10 5 ⋅ 25 ⋅ 10 −4 = 250 ;
D( ξ ( r ) ) = 25 ⋅ 10 −4 ( 1 − 25 ⋅ 10 −4 ) ⋅ 10 10 = 25 ⋅ 10 6 .
До перестрахования капитал компании был
K = N ⋅ a ≈ 10750000 руб.
Из этого капитала уступающая компания передает перестраховочной
сумму (плата за перестрахование) согласно (7.8)
10000(700−250)(1+0,6)=7200000 руб.
После перестрахования капитал передающей компании станет равен
K
( r ) = 1075 ⋅ 10000 − 7200000 = 3550000 руб.
Вероятность разорения передающей компании после заключения договора перестрахования станет согласно (7.10)
 3550000− 2500000
 = 1 − F( 2,1 ) ≈ 0,018 = 1,8%.
P( S ( r ) > K ( r ) ) = 1 − F 
3
5 ⋅ 10 ⋅ 100


Таким образом, за счет перестрахования компании удалось снизить
вероятность разорения с 5 % до 1,8 %. Конечно, это достигнуто за счет
увеличения капитала компании на 7200000 руб. и потерь в ожидаемом доходе, которые равны разности между капиталом компании после заключения договора перестрахования и ожидаемым суммарным иском после заключения договора перестрахования.
Меняя предел удержания r, можно изменять и капитал компании, и
вероятность ее разорения. Можно показать, что при r=160000 тыс. руб.
вероятность разорения будет наименьшей и равной 1,6 %. При этом доход
компании K ( r ) − M ( S ( r ) ) будет равен 1230000 руб., т. е. будет даже
больше, чем при r = 100000, когда он был равен 1050000 руб.
208
5.8. Аннуитеты в пенсионном страховании
Здесь мы рассмотрим возникновение условных рент (страховых аннуитетов) при пенсионном страховании на базе негосударственных пенсионных фондов (НПФ).
С финансово-экономической точки зрения обеспечение пенсиями по
старости на базе НПФ есть для страхователей пенсий особого рода инвестиционный проект. Инвестиционные затраты по нему представляют
взносы в фонд (накопления). Затем эти аккумулированные средства инвестируются фондом в слабо рисковые проекты; происходит наращение
вложенных средств за счет доходов от этих проектов. На втором этапе
имеет место получение страхователями инвестиционных доходов в виде
пенсий от сделанных вложений.
Особенность этого инвестиционного проекта состоит в использовании принципа солидарной ответственности страхователей при определении зависимости выплачиваемых пенсий от взносов в фонд.
До 1917 года в России пенсионным обеспечением старости занимались учреждения под названием «пенсионные и эмеритальные кассы».
Следует отметить, что в рамках НПФ в России практикуют два основных метода обеспечения пенсиями:
а) страховой (коллективное и индивидуальное страхование пенсий).
При расчете платежей используются условные ренты и принцип солидарной ответственности страхователей;
б) сберегательный, точнее трастовый, − представляет покупку финансовой верной ренты, когда, покупая эту ренту сегодня, человек обеспечивает тем самым рентные платежи в будущем. Здесь нет места солидарной
ответственности страхователей. Этот метод обеспечения старости лишь с
большой натяжкой можно назвать пенсионным. Вместо терминов «премия» точнее будет говорить о «взносах» для покупки ренты и «доходах» −
рентных платежах. За рубежом подобного рода операции осуществляются
банками или другими финансовыми институтами и, во всяком случае, их
не относят к деятельности пенсионных фондов.
Рассмотрим различные аннуитеты, с которыми приходится иметь дело при страховом обеспечении пенсии (страховые аннуитеты).
Пожизненные аннуитеты постнумерандо. Пусть х − возраст страхователя, W − предельный возраст в таблице смертности ( pW =0). Рассмотрим годовую, пожизненную ренту постнумерандо. Платежи (пенсии) начислены в размере b рублей. По условию, следовательно, пенсии выплачиваются немедленно, один раз в конце года в размере b рублей, пока жив
страхователь. В год смерти пенсия не выплачивается.
209
Современная стоимость такого аннуитета с учетом вероятности выживания в соответствующем году обозначается a x (b ) и равна


l x +1
l
l
⋅ v + x + 2 ⋅ v 2 + ... + x +W ⋅ vW − x  ⋅ b =
a x (b ) = 
 lx
lx
lx

b W −x
∑ l x+ j ⋅ v j .
l x j =1
(8.1)
x
Умножим это выражение на 1 = v и, учитывая определение коммутаvx
ционных чисел D x и N x , получаем для годовой, пожизненной ренты постнумерандо
W −x
b W −x
N
+
x
j
⋅v
=
= x +1 ⋅ b .
a x (b ) =
D
∑
∑
l
+
x
j
+
x
j
D x j =1
Dx
l x ⋅ v x j =1
b
(8.2)
Через ax обозначим стоимость аннуитета с единичными платежами,
т. е. сb=1. Таким образом,
ax =
N x +1
.
Dx
(8.2а)
На практике пенсионные выплаты производятся ежемесячно (рсрочная рента с р=12).
Если по-прежнему b − размер годового платежа, то 1/12b − размер месячного платежа.
Стоимость такой страховой, годовой, пожизненной, немедленной
ренты с ежемесячными платежами постнумерандо обозначается a (x12 ) и с
учетом формулы (8.2) находится по формуле
αx
( 12 ) (b ) = N x
( 12 )
Dx
(8.3)
b,
где числа N x ( 12 ) определяются формулой
N x ( 12 ) = N x −
11
⋅ Dx
24
(8.4)
и могут быть взяты из таблицы коммутационных чисел.
Если страхователю в возрасте х лет пенсия будет выплачиваться начиная с возраста х+n, то такая рента называется отложенной на n лет, и
стоимость отложенного на n лет пожизненного, годового аннуитета постнумерандо обозначается n a x (b ) и находится по формуле
n a x (b ) =
m− x
b
lx v
x
∑ l x + n+ j ⋅ v x + n+ j =
j =1
N x + n +1
⋅ b.
Dx
210
(8.5)
Для этого аннуитета единичными платежами (b=1) получаем
n ax =
N x + n−1
.
Dx
(8.5а)
Стоимость отложенного на n лет пожизненного аннуитета с ежемесячными платежами постнумерандо будет вычисляться по формуле
n ax
n ax
( 12 )
( 12 ) (b ) = N x + n +1 ⋅ b ,
(8.6)
Dx
( 12 ) = N x + n −1 .
Dx
(8.6а)
Пример 5.9. 1) Стоимость немедленного пожизненного аннуитета постнумерандо для сорокалетнего мужчины при ежегодной выплате b рублей составит (с учетом приведенной таблицы смертности и i=9 % годовых)
a40 (b ) =
26084 ,094
N 41
⋅ b = 9,33351⋅b руб.
⋅ b=
2794 ,671
D40
2) Стоимость отложенной на 5 лет ренты (х=40, i=9 % годовых, n=5)
5 a 40 (b ) =
15452 ,619
N 46
⋅b =
b=5,52932⋅ b руб.
2794 ,671
D40
3) Стоимость немедленного пожизненного аннуитета с ежемесячными выплатами постнумерандо 1/12b рублей равна
a40
( 12 ) (b ) = N 40
( 12 )
D40
⋅b =
27364 ,985
b=5,81535⋅ b руб.
2794 ,671
Пожизненные аннуитеты пренумерандо. Пенсии обычно выплачиваются в виде рент пренумерандо (платежи в начале расчетного периода). Для
..
стоимости a x (b ) немедленного годового пожизненного аннуитета пренумерандо получаем с учетом вероятности соответствующих платежей.
W −x
∑ l x+ j ⋅ v ∞
..
 l x l x +1

j =0
l
v + ... + W vW − x  = b
a x ( b ) = b +
lx
lx
l x vx
 lx

=
N
D x + N x +1
⋅ b = x ⋅ b.
Dx
Dx
(8.7)
211
Для единичных платежей
..
Nx
.
Dx
ax =
(8.7a)
Сравнивая (8.7) и (8.2), находим, что
..
..
a x (b ) = a x (b ) + b , или a x = a x + 1.
(8.8)
..
Стоимость n a x (b ) отложенного на n лет пожизненного годового аннуитета пренумерандо будет находиться по формуле
..
..
N x+n
N
b, n a x = x+n .
n a x(b ) =
Dx
Dx
(8.9)
При выплате пенсий помесячно, в начале месяца, для стоимости пожизненного аннуитета получаем формулы:
• немедленный аннуитет
a 12
x (b ) =
.. ( 12 )
Nx
Dx
.. ( 12 )
b, a x
=
.. ( 12 )
Nx
Dx
;
(8.10)
• отложенный на n лет аннуитет
.. ( 12 )
.. ( 12 )
12
.. 12
..
N x+n
N x+n
b , n a x (b ) =
,
a x (b ) =
Dx
Dx
(8.11)
где
.. ( 12 )
11
= Nx −
Nx
Dx .
(8.12)
24
Пример 5.10. Для случая х=40, n=5, i=9 % годовых получаем
..
a 40 (b ) =
..
5 a 40
(b ) = N 45 b =
.. ( 12 )
a 40
28878 ,765
N 40
b=
b = 10,3351b;
2794 ,61
D40
D40
(b ) =
.. ( 12 )
N 40
D40
17194 ,989
b = 6,15278b;
2794 ,671
b = (10,3351− 11/24)2b = 9,87677b.
212
Ограниченные страховые аннуитеты. Немедленный, ограниченный,
годовой аннуитет постнумерандо. Выплаты производятся немедленно, но
не пожизненно, а в течение t лет в конце года в размере b рублей. Стоимость такого аннуитета a x ,t , очевидно, есть разность стоимостей двух пожизненных аннуитетов: пожизненного a x и отложенного на t лет t a x (b ) :
a x;t (b ) =
a x;t =
N x − N x +t +1
⋅ b;
Dx
(8.13)
N x − N x +t +1
.
Dx
(8.13a)
Аналогично находим для выплат пренумерандо
..
a x ;t
..
a x ;t
(b )= N x
=
− N x +t
Dx
⋅ b;
(8.14)
N x − N x +t
.
Dx
(8.14a)
Для отложенных ограниченных аннуитетов постнумерандо и пренумерандо имеем для b = 1
=
n a x ;t
..
n a x ;t
=
N x + n − N x + n+t +1
;
Dx
(8.15)
N x + n − N x + n +t
.
Dx
(8.16)
Пример 5.11. Для сорокалетнего мужчины стоимость годового страхового пожизненного аннуитета пренумерандо, отложенного на двадцать
лет, т. е. с выплатами с 60 лет, будет равна
..
20
a 40 (b ) =
2930 ,07
N 60
b=
b = 1,04845 b
2794 ,671
D40
Стоимость не пожизненного аннуитета, а с выплатой в течение 10 лет,
начиная с 60 лет, равна
..
20
a 40 ;10 (b ) =
N 60 − N 70 2930 ,07 − 650 ,279
= 0 ,81576 b.
2794 ,671
D40
213
5.9. Расчеты страховых нетто-премий и пенсий.
Расчет нетто-премий по величине пенсий
Будем считать заданной величину пенсии b рублей в год или 1/12b в
месяц.
Если пенсия покупается разовым платежом человеком в возрасте х
лет, то размер страховой нетто-премии а равен стоимости аннуитета,
соответствующего условиям выплат пенсии.
Размер нетто-премии для различных условий дают в этом случае
формулы §5.8. Заметим, что коэффициент перед b в этих формулах принято называть нетто-тарифом.
Пример 5.12. Найдем размер единовременной нетто-премии, которую
должны выплатить мужчине в возрасте 40 лет при заключении пожизненного пенсионного контракта, предусматривающего выплаты пенсий с 60
лет ежегодно, пренумерандо, в размере 10 млн руб. в год. Имеем пожизненный, отложенный, годовой аннуитет пренумерандо:
a=
..
a ⋅ 10 =
20 40
N 60
⋅ 10 = 10,484500 млн руб.
D40
Если бы пенсия страховалась не в 40 лет, а в 60, то при единовременной
оплате этого страхового аннуитета величина нетто-премии составит
..
a = a 40 ⋅ 10 =
N 60
⋅ 10 = 79,193 млн руб.
D60
Страхование пенсии в рассрочку. В практике страхования премии
часто выплачиваются не разовыми платежами, а в рассрочку, в виде
ряда последовательных платежей. Эти платежи страхователя в счет
обеспечения будущих пенсий представляют собой страховые аннуитеты, причем ограниченные (на время рассрочки) страховые аннуитеты.
Вместе с тем пенсии также представляют собой страховые аннуитеты.
Принцип эквивалентности финансовых обязательств требует равенства
стоимостей этих аннуитетов.
Пусть P − годовая сумма взносов страхователя (P − нетто-премия).
Пусть взносы страхователя − немедленный, ограниченный сроком t
лет, годовой аннуитет постнумерандо. Тогда a x;t (P ) = a x;t ⋅ P − стоимость этого аннуитета.
Пусть b − годовой размер пенсии и пенсионные выплаты представляют пожизненный, отсроченный на n лет годовой аннуитет постнумерандо.
214
Если L − срок выхода на пенсию, то L=x+n или n=L−x. Стоимость такого
аннуитета будет n a x (b ) = bn ⋅ a x .
Согласно принципа финансовой эквивалентности обязательств
a x;t (P ) = n a x (b ),
(9.1)
или
N x − N x +t +1
N
P = x + n +1 b.
Dx
Dx
Отсюда находим
P =b⋅
N x + n+1
N L +1
=b
.
−
−
N x N x + t +1
N x N x + t +1
(9.2)
Пусть, например, возраст при заключении страхового контракта х=40
лет, рассрочка выплаты нетто-премии t=10 лет, пенсии начинают выплачивать с L=60 лет, т. е. n=60−40=20. Размер ежегодных платежей страхователя в течение 10 лет составит (при разовой пенсии b рублей)
P=b
N 61
.
−
N 40 N 51
Если оба аннуитета предусматривают годовые платежи пренумерандо, то
..
..
требование a x ;t (P ) = n a x (b ) дает
N x − N x +t
N
P = x + n b.
Dx
Dx
Откуда находим
P=
N x+n
NL
.
b=
−
−
N x N x +t
N x N x +t
(9.3)
Здесь L=x+n − срок выхода на пенсию.
Пример 5.13. Пусть возраст при заключении контракта х=40 лет, нетто-премия в размере P рублей выплачивается пренумерандо, в рассрочку,
в течение t=5 лет.
Пенсия пожизненная, годовая, пренумерандо выплачивается начиная
с L=60 лет. Размер пенсии b=10 млн/год, тогда согласно (9.3) имеем
P=
2930 ,07
N 60
10 =
10 = 2,5083 млн руб.
28878 ,765 − 17194 ,989
N 40 − N 45
215
Расчет размера пенсий по сумме взносов. Выше мы находили размер платежей страхователя пенсии при заданной величине размера пенсии. Здесь будем находить размер пенсионных выплат при известных выплатах страхователя.
Если премия выплачивается единовременным платежом, или выплачивается в рассрочку, причем взносы одинаковы, то размер пенсии находится из равенств типа (9.1).
Рассмотрим теперь случай, когда взносы в течение k лет различны: P1 , P 2 ,.. P k .
Первый взнос P1 можно рассматривать как единовременную премию,
обеспечивающую пенсию в размере b1, второй взнос P2 обеспечивает пенсию в размере b2 и т. д. Пусть взносы и пенсии выплачиваются в начале
года. Тогда, согласно (8.9),
N
N
..
= x+n = L .
a
n x
Dx
Dx
L=x+n - срок выхода на пенсию, поэтому
P1 =
NL
NL
NL
bk .
b1 , P 2 =
b2 ,..., P k =
D x + n−1
Dx
D x −1
Общая сумма пенсий b составит
b = b1 + b 2 + ... + b k =
K
∑b j =
j =1
K P ⋅D
j
x + j −1
∑
NL
j =1
⋅b =
1 1
∑ P j ⋅ D x + j −1 .
N L j =1
(9.4)
Пример 5.14. Пусть платежи на пенсионный счет страхователя (мужчины) поступают в течение k=5 лет пренумерандо. Первый взнос − 150 тыс.
рублей сделан в возрасте 40 лет, второй взнос − 200 тыс. рублей и т. д. согласно таблице. Пенсия выплачивается с 60 лет. Расчеты дают
х
40
41
42
43
44
Pj
bj
150
200
400
300
800
173,07
173,76
316,39
215,88
523,46
Годовой размер пенсии, выплачиваемой с 60 лет, за счет этих пяти
взносов составит
b=143,07+173,76+316,39+215,88+523,46=1372,56 тыс. руб.
216
§5.10. Сберегательное (трастовое) обеспечение пенсий
Напомним, что сберегательное обеспечение пенсий означает покупку
лицом, заинтересованным в обеспечении старости, соответствующей вечной
ренты (см. параграф 5.8). Соответствующие формулы для современной стоимости различных рент приведены в пособии [1].
При сберегательном методе обеспечения пенсии нет места принципу солидарной ответственности страхователей, когда при расчете стоимостей платежей ренты размер платежей увязывается с вероятностью этого платежа. В
силу этого стоимость сберегательного обеспечения пенсии выше стоимости
страхового обеспечения пенсии при прочих равных условиях.
Другой особенностью сберегательного обеспечения пенсий является
то, что оно предусматривает наследование остатков на счете участника в
случае его смерти, тогда как страховые схемы не предусматривают такого
наследования.
Рассмотрим следующий пример расчета стоимости ренты при сберегательном способе ее обеспечения. Пусть пенсия будет выплачиваться с возраста L в течение n лет в виде годовой ренты пренумерандо. Эта рента покупается единовременным (разовым) платежом, когда покупателю будет L лет, т. е.
речь идет о стоимости немедленной ренты. Если b − размер годового платежа
(пенсии) ренты, то ее стоимость P на момент покупки равна
P = b ⋅ a n;i (1 + i ),
где a n +i =
(10.1)
1 − (1 + i )− n
− коэффициент приведения годовой постоянной ренты
i
постнумерандо.
Если договор заключается в возрасте х лет, т. е. за ф= L − x лет до выплаты пенсий, то речь идет об отсрочке на τ лет ренте. Размер единовременного
платежа в счет покупки этой ренты τ P составит
ф
фP = P ⋅ v = b ⋅ a n;i v
τ −1 .
(10.2)
Пример 5.15. Пусть выплаты пренумерандо (пенсии один раз в начале года) производятся в размере 10 млн рублей, тогда при i=9 % годовых,
n=15 лет, L=60 лет, получаем
а) для немедленной ренты P=10⋅ a15 ;9 (1 + 0,009) = 87,862 млн руб.
б) для отложенной на 30 лет выплате пенсий, т. е. когда эта рента покупается разовым платежом человеком за 30 лет до возраста L=60 лет:
− 29
= 7 ,218 млн руб.
30 P = 87,862 ⋅ 1,09
217
Если бы речь шла о страховом обеспечении пенсии, то стоимость
..
a 60 ;15 (10) годовой пенсии пренумерандо, которая выплачивается с 60 лет,
т. е. посмертно, после покупки была бы равна:
..
N − N 75
а) P = a 60 ;15 ⋅ 10 = 10 ⋅ 60
= 72,300 млн руб.;
D60
..
N − N 75
б) τ P = 30 a 30 ;15 ⋅ 10 = 10 ⋅ 60
= 3,849 млн руб.
D30
218
Глава 6
ОПТИМАЛЬНЫЙ ИНВЕСТИЦИОННЫЙ ПОРТФЕЛЬ
6.1. Простейшая модель портфеля
Основная цель инвестора − максимизация чистого дохода (NII) при
сохранении допустимого уровня риска. Предполагается, что инвестор
оценил потенциальную доходность с учетом налогов и риска каждого доступного ему инструмента. Далее ему необходимо принять решение по каждому инструменту, т. е. сформировать свой инвестиционный портфель
как набор в определенных количествах некоторых инструментов. Всякий
инвестор стремиться диверсифицировать (разнообразить) свои инструменты с целью ограничить риск. Редко инвестор прибегает к случайной
диверсификации, спонтанно выбирая инструменты. Как правило, инвестор
целенаправленно диверсифицирует, т. е. подбирает инструменты, наиболее адекватно отвечающие его целям. Предположим, что налоги, расходы,
связанные с осуществлением сделок, например, с конвертацией валют, а
также любые другие расходы учтены в доходности. В наиболее общей
форме оптимальное формирование портфеля на некоторый период времени состоит в максимизации функции
NII=f1(x1)+f2(x2)+…fn(xn),
где fi(xi) − ожидаемые процентные доходы, если значения функции fi(xi) положительны; или процентные затраты, если значения функции fi(xi) отрицательны при вложении заимствованных xi единиц капитала на i-м рынке.
Если xi>0, то i − активная операция; если xi<0, то i − пассивная операция. Вектор (x1,x2,…,xn) пропорций дробления капитала называют инвестиционным портфелем. Предполагается, что инвестору доступны n финансовых инструментов (депозиты, ГКО, КО, векселя, кредиты, опционы, форвардные контракты и т. п.). Инвестор должен выбрать масштабы xi операций по каждому типу финансовых инструментов i, основываясь на их ожидаемой доходности и риске. Основное ограничение − балансовое уравнение:
x1 + x2 + K + xn = 0.
x1 + x 2 + ... + x n = 1.
Возможны двусторонние ограничения по масштабам работ по каждому финансовому инструменту:
a i ≤ x i ≤ b i , i = I,...,n,
а также по диверсификации капитала, т. е. по масштабам операций на
однотипных рынках:
r( I ) ≤
∑ xi
i∈ I
≤ R ( I ), I ∈ { I 1 ,K , I s },
219
где r(I) и R(I) − соответственно минимально и максимально возможные объемы операций на рынках с номерами из множества I (например, I1 − рынки валютных ГКО, I2 − рынки ГКО России и Беларуси, I3 − рынки ГКО всех стран
СНГ и т. д., I4 − рынок инвестиционных кредитов и т. п.).
Пример 6.1. Рассмотрим упрощенную модель управления всего двумя
активами − ГКО и кредитами, − т. е. необходимо определить xГКО и xкр −
пропорции раздела ресурсов A=1 банка между указанными двумя финансовыми инструментами, если средняя годовая доходность на рынке ГКО
равна 35 % при нулевом риске, а на рынке кредитов – 60 %. Риск потери
не только кредита, но и самих процентов, оценивается в 10 %. Получаем
задачу максимизации доходности:
0⋅35xГКО+(0,90⋅60xкр – 0,1⋅1,6xкр ) = 0,35xГКО + 0,38xкр
при ограничениях
xГКО, xкр ≥ 0; xГКО +xкр ≤ 1;
0⋅xГКО + 1⋅xкр ≤ 10K (достаточность капитала, например, K=0,06⋅A);
xГКО ≥ 0,3 (ликвидность).
Множество портфелей, удовлетворяющих ограничениям, представлено на рис. 6.1 заштрихованной областью.
Оптимальный портфель имеет координаты (x0ГКО=0,4; x0кр=0,6), т. е.
при заданных условиях банк, направив 40 % доходных активов в ГКО и
60 % в кредиты, будет иметь наибольший процентный доход, равный
36,8 % (с учетом риска) на единицу доходных активов.
xкр
1
xo
0,35xГКО + 0,38xкр = const
0,6
0,3
0,4
1
Рис. 6.1.
220
Основной недостаток данной модели − ее статичность. Денежные
потоки на различных рынках могут изменяться во времени под воздействием резких изменений в доходности или риске. Поэтому данная модель применима либо как индикативная в стратегическом планировании, либо как модель управления казначейством, т. е. в краткосрочном
управлении ресурсами. Следует заметить, что вопрос распределения
сроков инвестирования неоднозначен и определяется при выборе общей стратегии банка: лестницы или равномерного распределения,
краткосрочного или долгосрочного акцента, «штанги» процентных
ожиданий.
Управление портфелем предполагает не только выбор начального
портфеля, но, если необходимо, изменение его структуры, т. е. на самом
деле портфельную задачу необходимо рассматривать в динамике.
6.2. Модель активных и пассивных операций банка
Рассмотрим в качестве примера простейшую модель управления активными и пассивными операциями банка. Для удобства в модели переменные разбивают на две группы: отдельно переменные для пассивов и
переменные для активов. В этом случае модель оптимального управления
активами и пассивами преобразуется в следующую: требуется сформировать портфель активов (a1,a2,…an) и пассивов (l1,l2,…,lm) банка, максимизирующий чистый процентный доход
n
m
i =1
j =1
NII = ∑ a i k i − ∑ l j r j → max,
где ki – доходность актива вида i, rj − процентные расходы по привлечению пассива типа j при соблюдении следующих простых ограничений:
1) активы и пассивы не могут быть отрицательными:
a i ≥ 0 , i = 1, n; l j ≥ 0 , j = 1, m;
2) необходимо выполнение уравнения баланса:
n
∑ ai
i =1
≤
m
∑lj
+ K,
j =1
где К − собственный капитал инвестора.
Если в качестве инвестора выступает банк, то необходимо также выполнение обязательных ограничений, установленных центробанком.
221
Приведем пример таких ограничений для некоторого условного центробанка:
1) по достаточности капитала
n
∑ k i ai ≤ 10 K ,
i =1
где ki − установленный норматив риска для i-го вида актива;
2) по ликвидности
∑ u i ai
i∈I s
−
∑ s jl j
≥ 0,
i∈J s
где ui − коэффициент ликвидности актива i, sj − риски одновременного снятия по всем пассивам j; Is, Js − соответственно перечень активов и пассивов
со сроком погашения до s месяцев (таких ограничений может быть несколько для s=0,3,6,12; I0,J0 отвечают высоко квалифицированным активам
и пассивам);
3) по нормативу предельного размера межбанковского кредита:
∑
i∈I мбк
a i + 0 ,5
∑ ai
≤ K,
i∈I гар
∑l j
≤ K,
j∈J мбк
где Iмбк, Jмбк − соответственно остатки задолженности по предоставленным
и привлеченным кредитам; Iгар − гарантии, выданные другим банкам;
4) по нормативу риска на инвестиции в уставные фонды
∑ ai ≤ 15 K ,
i = I инв
где Iинв − номера инвестированных активов;
5) по риску крупных кредитов
∑ ai
≤ 5K ,
i = I кр
где Iкр − активы, отвечающие кредитам, превышающим 0,15 K;
6) по риску заемщиков
∑ ai ≤ 0 ,2 K ,
s = 1,...S ,
i=I з
где Iз − активы, отвечающие кредитам и забалансовым обязательствам
одного крупного заемщика s.
222
Могут вводиться также дополнительные ограничения, сформулированные менеджерами или собственниками банка, исходя из представляемой стратегии развития:
• лимиты на отдельные активные и пассивные операции:
a imin ≤ a i ≤ a imax , i = 1, n;
l min
≤ l j ≤ l max
, j = 1, m;
j
j
• масштабирование активных операций, т. е. запрет дробления капитала, например, вида:
aj ∈ {0;10 млрд;20 млрд;30 млрд};
• групповые ограничения по смежным или однотипным пассивным и
активным операциям:
rl ( J ) ≤
ra ( I ) ≤
{
}
∑l j
≤ Rl ( J ), J ∈ J 1 ,..., J p ;
∑ ai
≤ Ra ( I ), I ∈ I 1 ,..., I q .
j∈J
i∈I
{
}
Функции rl, Rl, ra, Ra гарантируют диверсификацию капитала.
Достоинство данной модели в том, что она рассматривает портфели активов и пассивов как единое целое для достижения главной цели банка −
максимальной прибыльности при приемлемом уровне риска. Такой подход соответствует менеджменту современного банка. Хотя, безусловно,
можно рассматривать отдельно оптимизационные задачи для управления
пассивами и активами банка.
6.3. Модели диверсификации портфеля Марковица-Тобина
Инвестор, определяя доходность проекта, должен также оценивать
рисковость. Согласно словарям, риском называется «шанс неблагоприятного исхода, опасность; угроза потерь». Таким образом, приобретая
финансовые активы и надеясь на их высокую доходность, инвестор рискует. Различают риск и неопределенность. Риск имеет место тогда, когда некоторое действие может привести к нескольким взаимоисключающим исходам с известным распределением их вероятностей. Если
же такое распределение не известно, то соответствующая ситуация рассматривается как неопределенностьЖелание иметь наиболее прибыльный портфель всегда вступает в противоречие с желанием обеспечить
вложения с наименьшим риском.
223
Пример 6.2. В таблице представлена доходность по трем инвестиционным инструментам в зависимости от будущего состояния экономики.
Состояние
Экономики
Глубокий спад
Незначительный
спад
Стагнация
Незначительный
подъем
Сильный подъем
Ожидаемая
доходность, k
2
Дисперсия, σ
Среднеквадраичное отклонение, σ
Коэффициент
вариации
Вероятность
состояния
0,05
0,15
ГКО,
%
10
10
0,2
0,5
10
10
8
6
5
10
0,1
10
10
5
20
−
Корпоративные
Облигации, %
12
10
Инвестиционый
проект, %
−2
4
и
и
и
В приведенном примере инвестиции в ГКО, очевидно, являются безрисковыми. При других видах инвестиций имеется риск получить доходность, отличную от ожидаемой, которая вычисляется по формуле
N
k ож = ∑ k s Ps ,
(3.1)
s =1
где ks – доходность при s−м возможном исходе, Ps – вероятность появления s−го исхода, N – число возможных исходов.
Как измерить риск отдельного инвестиционного инструмента? Для
этого используют стандартные вероятностные характеристики. Дисперсия
(вариация)
σ
2
N
= ∑ ( k s − k ) 2 Ps
s =1
измеряет меру разброса возможных исходов. Чем выше дисперсия, тем
больше разброс. Неудобство дисперсии состоит в том, что она измеряется
в «процентах в квадрате». Поэтому чаще используют другой измеритель
доходностей (стандартное среднеквадратичное) отклонение, которое есть
квадратный корень из дисперсии:
σ=
N
∑ ( k s − k ) 2 Ps .
s =1
224
Как правило, чем выше ожидаемая доходность, тем больше величина среднеквадратичного отклонения. Рассчитать риск, приходящийся
на единицу доходности, можно при помощи коэффициента вариации,
который представляет собой отношение среднеквадратичного отклонения к ожидаемому значению доходности σ / k . Чем выше коэффициент
вариации, тем больше риск владения инвестиционным активом.
В отличие от доходности, риск портфеля (как стандартное отклонение доходности портфеля) не является средневзвешенным значением
из стандартных отклонений включаемых в него инструментов. Только
если доходность всех инструментов движется синхронно, то среднеквадратическое отклонение доходности портфеля будет равно средневзвешенному значению среднеквадратических отклонений отдельных
инструментов. При любой другой зависимости между движением цен
(и, соответственно, изменением доходности) диверсификация будет
сокращать риск. Наилучший результат диверсификации достигается,
например, если составляющие активы портфеля отрицательно коррелируют: увеличение доходности по одному сопровождается падением
доходности по другому.
Для оценки тесноты связи двух активов i и j используются два показателя: ковариация covij и корреляция ρij. Для N наблюдений отклонений доходности по двум активам ковариация рассчитывается следующим образом:
1 N
Vij =
∑ ( k si − k ож .i )( k sj − k ож . j ).
n − 2 s =1
Тогда для коэффициента корреляции имеем
ρ ij = Vij / σ i σ j ,
или для коэффициента ковариации
Vij = ρ ij σ i σ j .
Для абсолютно независимых активов коэффициент корреляции равен − 1.
Дисперсия доходности портфеля рассчитывается как дисперсия суммы
случайных величин. Таким образом, для портфеля (x1,…,xn) имеем
n
n
n
Dk p = D[k 1 x1 + k 2 x 2 + ... + k n x n ] = ∑ D[k i xi ] + ∑ ∑ cov( xi k i , x j k j ) =
i =1
n
n
n
= ∑ xi2 Dk i + ∑ ∑ xi x j cov( k i , k j ).
i =1
i =1 j =1
225
i =1 j =1
Для портфеля P введем обозначения
V p = Dk p ,
Vi2 = Dk i ,
⎧⎪
Vi2 ,
i= j
Vij = ⎨
,
cov(
k
,
k
),
i
j
≠
⎪⎩
i j
получим
Dk p = V p =
n
n
∑ ∑ xi x jVij .
i =1 j =1
j ≠i
Как мы уже отмечали, наилучший результат диверсификации достигается, если активы отрицательно коррелируют. Например, если портфель
состоит из двух активов i и j с ρ ij = −1, то дисперсия такого портфеля равна нулю, а оптимальная стратегия портфеля, очевидно, требует выполнения соотношения:
xi : x j = σ j : σ i , т. е. xi = σ j /( σ i + σ j ), x j = σ i /( σ i + σ j ).
Очевидно, что риск портфеля возрастает с ростом требуемой ожидаемой доходности. При наличии капитала, взятого в долг, можно сформировать портфель практически с любой ожидаемой доходностью, но при этом
и риск будет неограниченно расти.
Инвестор должен заботиться о характеристиках портфеля в целом, а
не о некоторых отдельных его компонентах или о каком-либо одном активе. Актив, который рискован сам по себе, может быть достаточно надежным в портфеле с другими активами, которые компенсируют его риск. Как
соразмерить в оптимальном портфеле прибыль и риск?
Сегодня для этой цели существуют сотни математических моделей,
алгоритмов и компьютерных программ оптимального управления активами и пассивами (Asset s& Liability Management − ALM), основанных на
синтезе стохастических и оптимизационных методов.
Впервые же модель портфеля с критериями доходности и риска была
предложена Г. Марковицем в 1951 г. Ее наиболее важное положение заключается в том, что оптимальная инвестиционная стратегия должна предусматривать диверсификацию портфеля, т. е. владение портфелем, который объединял бы определенные количества различных финансовых активов из их широкого набора. Позднее, в 1990 году, вместе с М. Миллером и
У. Шарпом, Г. Марковиц был удостоен Нобелевской премии по экономике
за исследование финансовых рынков и развитие теории принятия решения
в области капиталовложений.
226
Стандартная модель Г. Марковица состоит в следующем. Предполагается, что
1) инвестор оценивает активы по двум показателям: среднему (ожидаемому) доходу на единицу вложенных средств и стандартному
отклонению случайной величины доходности, которое характеризует риск инвестирования;
2) не существует затрат на совершение сделок;
3) отсутствуют ограничения на короткие продажи;
4) все активы бесконечно делимы, т. е. существует возможность их
покупать и продавать в любом объеме.
Необходимо найти доли (x1,…,xn) капитала, вложенного в инвестиционные инструменты из n возможных, минимизирующих дисперсию доходности портфеля P:
Vp =
n
n
∑ ∑ Vij xi x j
→ min,
(3.2)
i =1 j =1
где Vij – коэффициент ковариации случайных величин доходности i−го и j−го
инструментов, т. е. это есть риск от включения в портфель i и j инструментов. При этом должны соблюдаться следующие два условия. Первое,
гарантирующее заданное значение Kp ожидаемой доходности − взвешенной средней величины возможных доходов, где весами являются доли
портфеля, инвестированные в каждый из активов:
n
∑ k jx j = KP ,
(3.3)
j =1
где kj − ожидаемая доходность в j-м финансовом секторе. Ожидаемая доходность единицы j-го актива kj рассчитывается как математическое ожидание
случайной величины (см.(3.1)). Второе условие − доли всех инструментов в
сумме должны давать единицу:
n
∑xj
= 1.
(3.4)
j =1
Сформулированная модель допускает с помощью множителей Лагранжа
решение в виде явной формулы. Построим его с помощью метода множителей Лагранжа. Перепишем все соотношения задачи в матричной форме:
Vp=xVxT; kx=kp; Ix=1,
причем kp является произвольной фиксированной величиной, а матрица
ковариаций V и вектор ожидаемых доходностей k заданы.
227
Введем функцию Лагранжа:
L = xVxΤ + λ0 ( I Τ x − 1 ) + λ1 ( k Τ x − k p ).
Здесь символ T означает транспонирование матрицы или векторстроки в вектор столбец.
Решение поставленной задачи ((3.2)−(3.4)) на условный экстремум
должно удовлетворять соотношению
∂L
= 0 , что эквивалентно уравнению
∂x
2Vx = −λ0 I − λ1 k ,
откуда получаем (матрица V − положительно определенная, а следовательно, неособая), что
λ
λ
x = − 0 V −1 I − 1 V −1 k .
2
2
Подставив полученное выражение относительно x в основные ограничения задачи, приходим к двум уравнениям относительно множителей λ0, λ1:
λ
λ
− 0 I Τ V −1 I − 1 I Τ V −1 k = 1,
2
2
λ
λ
− 0 k Τ V −1 I − 1 k Τ V −1 k = k p .
2
2
Решив систему и подставив найденные значения λ0, λ1, находим явное
представление для оптимальной структуры портфеля:
x* = V −1
k p ( IJ 12 − kJ 1 ) + kJ 12 − IJ 2
2
J 12
− J1J 2
,
где J1=ITV−1I; J2=kTV−1k; J12=ITV−1k.
Решение линейно относительно kp. Отсюда следует, что
T
V *p = x* Vx*
является
выпуклой
вниз
функцией
kp,
и
это
же
верно
для
среднеквадратичного отклонения σ *p = V *p .
Если на переменные x наложено условие неотрицательности, то исходная задача ((3.2)−(3.4)) превращается в задачу квадратичного программирования. Введем дополнительные множители µ=(µj, j=1 ,…, n), соответствующие каждому неравенству x j ≥ 0.
228
Решение, выраженное через эти множители, представлено в виде
1
⎫
⎧
x* = V −1 ⎨CΤ ( CV −1CΤ )−1 [ d + CV −1µ ] − µ ⎬,
2
⎭
⎩
где введены обозначения для матриц
dT={1,kp}, CT={IT,kT},
а множители µ и x* удовлетворяют условиям вида
µ j x*j = 0 ; µ j ≥ 0 ; x*j ≥ 0 , т. е. либо µj =0, либо xj*=0.
При изменении kp изменяется число переменных xj*, равных нулю, но
остальные переменные определяются из системы уравнений, в которую kp
входит линейно. Это свойство влечет за собой кусочно-линейный характер
зависимостей оптимальной структуры портфеля x*(kp) (от ожидаемой доходности портфеля kp). Ясно, что для минимизации риска при формировании портфеля только из двух активов i и j необходимо положить
σ 2j − Vij
*
xk =
.
σ 2j + σ i2 − 2Vij
В практических приложениях модели иногда меняют местами целевую функцию и ограничение доходности, т. е. рассматривают задачу максимизации ожидаемой доходности
n
∑ k j x j → max
j =1
при условии (3.4) и фиксированном уровне риска Vp
n
n
∑ ∑ Vij xi x j = V p .
i =1 j =1
Две сформулированные модели Марковица фактически есть два
разных подхода к анализу двухкритериальной задачи
(3.5)
V p = ∑ ∑ Vij xi x j → min;
n
K p = ∑ k j x j → max;
(3.6)
j =1
при одном условии (3.4).
Точнее, это есть два метода поиска эффективных (оптимальных по
Парето) портфелей в задаче (6.1)−(6.3). Для поиска других эффективных
портфелей можно применить любые другие методы многокритериальной
оптимизации.
229
Пример 6.3. Пример портфеля из двух активов. Пусть возможности по инвестированию ограничиваются двумя видами ценных бумаг.
Первый актив − евробонды − характеризуются доходностью 20 % и риском 10 %. Второй актив − ГКО своей страны, ожидаемая величина доходности равна 30 %, риск – 20 %. Величины доходности и риска нескольких
вариантов портфеля, составленного из акций этих двух видов, приведены
в таблице.
Евробонды
ГКО
Доходность
Риск
Портфели
А
Б
В
Г
20 %
40 %
50 %
60 %
80 %
60 %
50 %
40 %
28 %
26 %
25 %
24 %
16,71 % 13,74 % 12,45 % 11,35 %
Д
Е
Ж
80 %
150 %
−30 %
20 %
130 %
−50 %
22 %
33 %
15 %
9,96 % 25,26 % 15,33 %
Е
Kp
П
30%
Г В
А
Д
20%
Ф
Ж
V
10%
20%
На рисунке по вертикали откладывается ожидаемая доходность финансовых активов, по горизонтали – стандартное отклонение доходности
(риск). Точка Ф соответствует активам только из евробондов, точка П –
активам только из ГКО. Точки А, В, Г, Д, Е, Ж соответствуют комбинациям риска и доходности, обеспечиваемыми различными портфелями, составленными из активов евробондов и ГКО. Эффективные портфели лежат на кривой Е-П-А-В-Г-Д.
Эффективными (оптимальными по парето) называются те портфели,
для которых не существует портфеля с высшей доходностью и меньшим
уровнем риска. Максимальный эффект диверсификации достигается посредством объединения в портфеле отрицательно коррелированных вложений. Отрицательно коррелированные вложения могут компенсировать
неудачи одних инструментов за счет повышенной доходности других.
230
Иногда в модель Марковица ((3.2)−(3.4)) добавляют безрисковый актив x0 c доходностью k0. Полученная модель Тобина
Vp =
n
n
∑ Vij xi x j → min,
∑
i =1 j =1
n
n
j =0
j =0
∑ k jxj = kp, ∑ xj =1
также допускает простое решение.
В матричной форме приходим к задаче:
⎧
⎫
min⎨ xΤ Vx k Τ x + k 0 x0 = k p , I Τ x + x0 = 1⎬ .
⎩
⎭
Вновь воспользуемся функцией Лагранжа:
L = xΤ Vx + λ0 ( I Τ x + x0 − 1 ) + λ1 ( k Τ x + k 0 x0 − k p ).
Условия минимума
∂L
∂L
=0;
=0
∂x
∂x0
приводят к системе линейных уравнений
2Vx + λ0 I + λ1 k = 0 ; λ0 + λ1 k 0 = 0 ,
из которой находим
λ
λ0 = −λ1 k 0 ; x = V −1 ( Ik 0 − k ) 1 .
2
С другой стороны, исключая x0 из ограничений задачи, получаем
I − IΤ x =
1
( k p − k Τ x ) , или ( k − k 0 I )Τ x = k p − k 0 .
k0
Подстановка сюда x дает уравнение для λ1, из которого этот множитель определяется в явном виде:
λ1 = −
2( k p − k 0 )
( k − k 0 I )Τ V −1 ( k − k 0 I )
,
что в свою очередь позволяет преобразовать в явное выражение структуру
оптимального портфеля:
V −1 ( k − k 0 I )
x =
( k p − k 0 ).
Τ
−1
( k − k0 I ) V ( k − k0 I )
*
Существенно, что величина kp входит только в скалярный множитель
при x*. Следовательно, структура рисковых вложений не зависит от kp:
x*
n
∑ x*j
=
V −1 ( k − k 0 I )
I Τ V −1 ( k − k 0 I )
.
j =1
231
Дисперсия доходности оптимального портфеля вычисляется по определению
V *p = x*Τ Vx* = ( k p − k 0 ) 2 g −2 ,
где для краткости введено обозначение g 2 = ( k − k 0 I )Τ V −1 ( k − k 0 I ).
Отсюда следует линейность связи между ожидаемой эффективностью
оптимального портфеля и ее среднеквадратичным отклонением:
σp*=g−1(kp*−k0) или kp*=k0+gσp*.
При x0=0 оптимальный портфель в модели Тобина состоит только из рисковых инструментов, а следовательно, должен быть оптимальным также и
среди возможных вариантов только рисковых инструментов. Однако минимум
дисперсии доходности всех портфелей, содержащих только рисковые ценные
бумаги, для различных соответствующих им ожидаемых эффективностей дается решением задачи Марковица. Таким образом, точка M на прямой
kp*=k0+gσp*, соответствующая x0=0, должна лежать и на кривой σp*(kp). Более
того, это единственная общая точка этой прямой и эффективной кривой в силу
единственности оптимального портфеля рисковых ценных бумаг. Поэтому
прямая σp*=g−1(kp*−k0) должна касаться кривой σp*(kp) в этой точке M (см. рис.
6.2). Наклон линии CML отражает совокупное отношение инвесторов к риску.
CML
kp
M
km
K k0
σm
σp
Рис. 6.2. Линия рынка капитала (Capital market line − CML)
Теми же свойствами обладает решение задачи Тобина при введении
дополнительных ограничений неотрицательности переменных. Решение
может быть представлено в виде:
Τ −1
( k p − k 0 ) −1
1 −1 ( k − k 0 I )( k − k 0 I ) V
−I]⋅µ,
V ( k − k0 I ) + V [
x =
2
2
2
g
g
*
где µ=(µj , j=1 ,…, n) – множители, удовлетворяющие совместно с компонентами x* условиям дополняющей нежесткости µjxj*=0.
232
Ненулевые множители определяются совместно с ненулевыми компонентами x* из линейной системы уравнений, правая часть которой пропорциональна kp−k0. Отсюда вытекает, что вектор x* пропорционален kp−k0, а
следовательно, структура оптимальных рисковых вложений должна зависеть от этого скалярного множителя.
Хотя гипотеза Тобина о возможности чисто безрисковых вложений
практически некорректна, можно доказать, что при наличии слаборисковых вложений (с явно меньшим среднеквадратичным отклонением эффективности, чем у остальных) решение задачи Марковица оказывается близким к решению задачи Тобина, построенной с учетом пренебрежения риском. Тем самым структура сильнорисковых вложений окажется почти не
зависящей от склонности инвестора к риску.
При равенстве информации и возможностей формирования портфеля
справедлива теорема независимости Тобина: при наличии возможности
занимать и давать взаймы по безрисковой процентной ставке выбор
портфеля инвестором не зависит от его отношения к риску. В этом случае лучший портфель из рисковых активов (точка М) будет лучшим для
всех инвесторов. Инвесторы лишь склонны выбирать пропорции безрисковых активов и рискового портфеля М.
Первый недостаток модели − обилие входных данных, которые трудно
получить. Второй недостаток − статичность. Поэтому необходим динамический мониторинг портфеля – систематический анализ эффективности инвестиционных инструментов и их оценка. Он должен приводить к изменениям
состава и структурных пропорций портфеля для устранения и замены инструментов, которые не отвечают поставленным перед ними целям.
6.4. Модель Шарпа (САРM)
Кратко опишем модель ценообразования на рынке капиталов (Capital
Asset Pricing Model – CAPM). Модель принадлежит У. Шарпу (независимо ее открыли также Дж. Линтнер и Дж. Моссин). Она строится на тех же
предположениях, что и модель Марковица. Кроме того, предполагается,
что финансовые рынки совершенны, т. е. все инвесторы имеют равный
доступ к информации и одинаково оценивают доходность и риск каждого
актива. Таким образом, модель строится на следующих предположениях:
• все инвесторы максимизируют свою ожидаемую полезность и с
этой целью осуществляют инвестиции в активы;
• не рассматривается динамика принятия решений, учитывается
только один период, одинаковый для всех инвесторов;
233
• выбор из альтернативных вариантов инвестирования осуществляется по соотношению ожидаемой доходности и риска (измеряемого
стандартным отклонением);
• инвесторы – противники риска;
• все инвесторы владеют одинаковой информацией о вероятностном
распределении ожидаемой доходности по активам, и вероятностное распределение является нормальным;
• на рынке имеются неограниченные возможности инвестирования и
займа денег по единой безрисковой процентной ставке;
• отстутствуют трансакционные издержки обращения активов;
• дивидендные выплаты и прирост капитала облагаются налогами
одинаково;
• на рынке отсутствует возможность влияния на рыночную цену актива отдельными инвесторами через большой объем сделок;
• все активы высоколиквидны и бесконечно делимы, т. е. инвестор
может купить часть акции.
Заметим, что знаменитый финансовый спекулянт Д. Сорос подвергал
это предположение критике. Он считал, что инвесторы, добывая и анализируя информацию о финансовом рынке, тем самым влияют на него (финансовый аналог принципа ___________________). Вместе с тем модель
CAPM полезна на практике, ибо для крупных финансовых институтов, учитывая их масштабы деятельности, операционные издержки по сравнению с
объемом операций незначительны, возможности по заимствованию и коротким продажам достаточно велики, доступ к рыночной информации практически неограничен. Некоторые сравнивают модель CAPM с моделями механики
без учета трения, которые, тем не менее, определяют главные особенности
изучаемых явлений. Таким образом, основа модели − предположение о
рациональном поведении участников рынка, имеющих равные
информационные и финансовые возможности, идентичные целевые
установки и однородные ожидания, приводит к такому механизму
формирования цен активов на рынке, при котором достигается состояние
равновесия. На совершенном рынке все инвесторы, поступая рационально и
используя одни и те же прогнозные значения доходности K и риска V, независимо от своего богатства (капитала) и отношений предпочтения, составляют
один и тот же портфель рискованных активов, которому соответствует
точка M (рыночный портфель) с доходностью km и риском σm.
Лауреат Нобелевской премии У. Шарп в 1964 году выделил две составляющие общего риска любого актива (этот риск количественно может
быть измерен дисперсией от ожидаемого значения):
234
1) специфический риск корпорации (риск эмитента), т. е. диверсифицируемый риск (total risk), который устраняется комбинацией ценных бумаг в портфеле;
2) недиверсифицируемый (систематический или рыночный) риск
(market risk).
Диверсифицируемый риск связан с финансовым положением эмитента
рассматриваемой ценной бумаги с присущим ему коммерческим и финансовым риском. Рыночный риск возникает по независящим от эмитента причинам, т. е. не является свойственным только данной корпорации – эмитенту
ценной бумаги. Компонентами рыночного риска являются риск покупательской способности, процентный риск. Так как, формируя портфель, инвестор
может исключить специфический риск (подбирая активы, коэффициент корреляции которых не равен +1), то риск хорошо диверсифицированного портфеля будет зависеть от рыночного риска включенных в этот портфель ценных
бумаг. Комбинируя активы в портфель, инвестор тем самым сокращает риск,
т. е. уменьшает дисперсии по портфелю. С увеличением числа активов в
портфеле риск портфеля снижается очень быстро. При уменьшении числа
активов снижение риска замедляется, так как все больше активов положительно коррелируют друг с другом. Этот эффект показан на рис. 6.3.
Риск портфеля
Специфический
риск
Общий риск
Рыночный риск
Число активов
в портфеле
Рис. 6.3.
Значительное сокращение специфического риска может быть достигнуто уже формированием небольшого портфеля (порядка 30 различных
инвестиционных инструментов). Абсолютное нивелирование специфического риска требует включения в портфель всех активов, обращающихся
на рынке, т. е. формирование рыночного портфеля.
Бета-коэффициенты. У. Шарп ввел концепцию β для измерения рыночного риска актива. Чтобы оценить, как включение нового актива в дивер235
сифицированный портфель повлияет на его риск, не столь важно знать общий
риск этого актива σ2общий. Достаточно знать рыночный риск σ2m и определить,
насколько чувствителен данный актив по отношению к движению рынка
(σ2p=σ2m). Эта чувствительность измеряется β-коэффициентом. Пусть βj показывает уровень отклонения инструмента j по отношению к рыночному портфелю. Коэффициенты βj инструмента j можно определить как
βj =
V jm
,
2
σm
где Vjm – ковариация между доходностью акций и рыночной доходностью,
определяемой по динамике рыночного индекса (индекса фондового рынка, на котором котируется данная акция); σ2m − дисперсия рыночной доходности. Смысл коэффициента βj прост − он показывает влияние ситуации на рынке на судьбу ценной бумаги j.
Модель оценки долгосрочных активов (Capital Asset Princing Model –
CAMP). Модель утверждает, что на конкурентных рынках капитала в состоянии равновесия (когда все ценные бумаги и активы оцениваются рынком верно) премия за риск инвестирования в актив j находится в прямой зависимости от чувствительности этого актива к движению рынка (т. е. от βj):
k j − k 0 = β j ( k m − k 0 ),
где (km−k0) – рыночная премия за риск.
Эта зависимость риска и доходности по конкретному активу j
k j = k 0 + β ( k m − k 0 ),
(4.1)
представленная графически на рис. 6.4, носит название характеристической прямой ценной бумаги (Security Market Line – SML).
kj
Характеристическая прямая
j-го актива
αj
Доходность рынка, km
Рис. 6.4.
236
По оси абсцисс откладывается оценка риска (β-коэффициент), по оси
ординат – ожидаемая доходность инструмента с учетом риска. Для безрискового актива β-коэффициент равен нулю.
Таким образом, β-коэффициент есть наклон линии, отражающей зависимость доходности акции от доходности рынка. Уравнение (4.1) позволяет сделать важный вывод: премия за риск любой ценной бумаги, включенной в оптимальный портфель, пропорциональна премии за риск, связанный
с портфелем в целом. Акции с β меньше единицы и больше нуля движутся
в том же направлении, что и рынок, но более медленно. Рынок можно рассматривать как портфель из всех акций, и, следовательно, средняя акция
на рынке (среднего риска) имеет коэффициент β =1.
Коэффициент βj позволяет предсказать, как изменится цена актива j (возрастет или снизится) при знании поведения рынка. Прогноз поведения цены
актива (через β) позволяет оценить риск инвестирования и ожидаемую доходность. Чем больше βj, тем больше и ожидаемая доходность по сравнению с
рыночной доходностью.
β-коэффициент портфеля есть средневзвешенный коэффициент β ценных
бумаг, включенных в портфель. Чем больше риск портфеля, тем больше
должна быть компенсация в виде повышения доходности. При эффективно составленном портфеле диверсифицируемый риск активов, включаемых в него,
можно не учитывать, на этот риск не предусматривается компенсация в виде
повышения доходности. Только рыночный риск (или β-риск, систематический
риск) должен быть компенсирован.
Итак, движение цены акции определяется систематическим и несистематическим риском. Систематический риск, обусловленный макрофакторами, присущ всем акциям рынка.
Характеристическая прямая (4.1) отражает связь ожидаемой (равновесной) доходности kj акции j и ожидаемой доходности рынка km. Степень
зависимости графически представляется наклоном характеристической
прямой (рис. 6.4), численное значение равно тангенсу угла, образуемого
прямой с горизонтальной осью.
Однако, состояние равновесия, даже если допустить, что выполняются все предположения модели CAMP, это всего лишь та доходность, к которой стремится на рынке акция j. Фактическая средняя доходность может
отклоняться.
В отличие от ожидаемых значений (лежащих на характеристической
прямой), на рис. 6.4 большинство значений несколько отклоняются из-за
влияния случайных, несистематических факторов. Каждая точка отражает
237
превышение над доходностью (или понижение), связанное с движением
рынка, на величину нерыночной составляющей доходности.
Фактические значения доходности объясняются следующим образом.
Изменения kj с течением времени в соответствии с характеристической
прямой отражают влияние рыночных факторов. Эти факторы оказывают
систематическое воздействие на ценную бумагу j. Отклонения от характеристической прямой отражают влияние специфических для корпорации j
факторов.
Разница между фактической доходностью актива j и равновесной
ставкой доходности, предписанной коэффициентом βj, называют коэффициентом альфа (αj). Величина αj, которая может быть как положительной, так и отрицательной, характеризует недооцененность или переоцененность акции j.
Следует отметить, что понятие изменения доходности для акции отражает изменение и рыночной цены, и дивидендов. При рассмотрении
рыночного портфеля дивидендная составляющая доходности может быть
измерена как средняя дивидендная доходность рыночного индекса.
Прямая SML отражает выбор среднего инвестора в равновесии (инвестору нет необходимости продавать или покупать данные акции), когда
требуемая доходность по акции (или рисковому активу) равна ожидаемой
доходности. Если ожидаемая доходность по акции j превышает требуемую данным инвестором, то он предпочтет приобрести большее количество акций j.
Если большее число инвесторов сочтут, что акции j недооценены (цена низка и ожидаемая доходность kj высока), то повышение спроса на акции j вызовет рост цены, что приведет к падению ожидаемой доходности.
Покупка акций j прекратится, когда ожидаемая доходность сравняется с
требуемой и установится равновесие.
Таким образом, равновесное состояние на рынке складывается в результате корректировки инвесторами структуры индивидуальных портфелей и давления через спрос и предложение на курсы ценных бумаг. Располагая информацией о курсах ценных бумаг, инвесторы имеют возможность рассчитать ожидаемые доходности по ним и коэффициенты корреляции. Подход CAMP позволяет рассчитать требуемую доходность. До тех
пор, пока ожидаемая доходность не сравняется с требуемой, общий спрос
на конкретную ценную бумагу не совпадет с предложением, что отразится
на движении цены.
Наклон прямой SML отражает отношение к риску на данном рынке (в
данной экономике), так как показывает выбор среднего инвестора. Чем
238
меньше среднерыночный инвестор склонен к риску, т. е. чем больше угол
наклона прямой SML, тем:
1) больше премия за риск по любому рисковому активу (в том числе
по всем акциям);
2) выше требуемая доходность по всем рисковым активам.
Чем больше риск, тем больше в общем случае премия за риск. При
меньшей слонности к риску инвестор требует бόльшую премию за фиксированный уровень риска β * ( k 2 > k 1 ).
kj
SML
M
K
Равновесная ситуация
βj
1
Рис. 6.5.
Факторы, оказывающие влияние на положение прямой SML.
1. Влияние инфляции. Безрисковая доходность CAMP является номинальной, т. е. включает две составляющие: реальную безрисковую доходность (ставку процента) и ожидаемую инфляцию. При росте ожидаемой
инфляции номинальная безрисковая доходность растет, что приводит к
изменению положения прямой SML, как показано на рис. 6.5 (сдвиг прямой SML по оси ординат).
2. Изменение склонности к риску. Фактор изменения отношения к
риску меняет наклон прямой SML. Рис. 6.5 показывает изменение положения SML при возрастании неприятия риска. Возрастает рыночная премия
за риск (km−k0), что приводит к росту требуемой рыночной доходности с
km1 до km2. Требуемая доходность по другим рискованным ценным бумагам и портфелям также растет, но с учетом степени влияния систематического риска (чем меньше оценка систематического рика – значение
β-коэффициента, тем меньше будет рост доходности).
3. Изменение β-коэффициента. Корпорация может менять меру систематического риска (β-коэффициент) через:
• комбинацию реальных активов;
• изменение доли заемного капитала в общем капитале.
239
Кроме того, β-коэффициент подвержен влиянию внешних факторов,
таких, как изменение конкурентного состояния отрасли, ограничения по
производству со стороны государства. Все эти изменения отражаются на
изменении требуемой доходности.
Уравнение SML по активу j : k j = k 0 + β ( k m − k 0 ) утверждает, что
требуемая (и соответственно в равновесии ожидаемая) доходность актива j
включает две компоненты: доходность безрискового актива и премию за
риск. Премия за риск инвестирования в актив j зависит от: 1) премии за
риск рыночного портфеля (по этому портфелю, состоящему из всех активов рынка, β=1 и премия равна km−k0); 2) значения β-коэффициента по
рассматриваемому активу j. Если βj=1, то требуемая доходность по активу
j совпадает со средней доходностью по всем активам, т. е. равна доходности рыночного портфеля. Если βj>1, то премия за риск по активу j выше
рыночной премии за риск на множитель β и соответственно выше общая
требуемая доходность.
На практике отсутствует возможность оценки ожидаемых значений
доходности как по конкретной бумаге, так и по рыночному портфелю.
Теоретическая посылка оценки коэффициента βj по ожиданию будущих
изменений заменяется оценкой по прошлым наблюдениям поведения доходности kj и km. Насколько прошлые изменения могут быть гарантией будущего развития (часто ожидания инвесторов основываются на вероятностном распределении прошлых результатов), настолько βj может стать индикатором изменения kj в зависимости от изменения km.
Модель рассматривает зависимость премии за риск по ценной бумаге j
от премии за риск по рыночному индексу: αj – доходность ценной бумаги j
при нулевой доходности рынка, т. е. когда влияние рыночного риска отсутствует. Соответственно, αj показывает, какую доходность ценная бумага обеспечит владельцу за диверсифицируемый (специфический) риск. В
некотором смысле это дополнительная премия по сравнению с безрисковым активом для случая нулевой премии за рыночный риск. При нулевой
премии за рыночный риск каждая ценная бумага в состоянии рыночного
равновесия будет иметь нулевые значения α-коэффициентов. Средневзвешенная α-коэффициентов всех ценных бумаг равна нулю, при этом по
некоторым бумагам значение может быть положительным, а по некоторым – отрицательным. Графически α-коэффициент равен отрезку, отсекаемому на оси ординат.
Прямая, отражающая зависимость доходности акции j от фондового
индекса, строится на основе регрессионного анализа (минимизируется
сумма квадратов отклонений значения наблюдаемых точек на графике и
240
соответствующих точек, лежащих на прямой). Обобщенным показателем
степени связи доходности акций и индекса яляется коэффициент детерминации, или коэффициент корреляции, R2. Например, численное значение
R2=0,8 показывает, что 80 % вариации доходности акции может быть
объяснено изменениями доходности индекса. При большом количестве
наблюдений и близости точек к характеристической прямой R2 →1.
Рыночная модель, описываемая уравнением (4.1), и CAMP, описываемая
уравнением (4.2), являются однофакторными моделями оценки требуемой доходности по ценной бумаге. Отличие этих моделей состоит в следующем:
1) в рыночной модели фактором является рыночный (фондовый) индекс,
а в CAMP – рыночный портфель, который охватывает большее количество
рисковых финансовых активов, чем те, что включены в фондовый индекс;
2) рыночная модель в отличие от CAMP не является равновесной;
3) теоретически β-коэффициент рыночной модели не сопадает с
β−коэффициентом СAMP (в рыночной модели он отражает чувствительность к рыночному индексу, а в CAMP – к изменению рыночного портфеля). Однако из-за невозможности оценить β-коэффициент по отношению к
рыночному портфелю в CAMP на практике используется β-коэффициент
из рыночной модели.
6.5. Арбитражная модель оценки ожидаемой доходности
CAMP представляет однофакторную модель, в которой риск является
функцией β-коэффициента, т. е. по прошлым данным строится однофакторная модель вида
k j = α j + β j km + u,
(4.2)
где фактором является завивимость доходности ценной бумаги j от фондового индекса (доходности рыночного индекса km), αj и βj являются истинными
оценками α и β, u – случайная переменная.
Арбитражная теория (Arbitrage Princing Theory – APT), предложенная
Россом, утверждает, что доходность акции зависит от многих факторов:
частично от макроэкономических факторов и частично от факторов,
влияющих на специфический (диверсифицируемый) риск. Доходность
рыночного портфеля (как в CAMP) может быть лишь одним из факторов.
Арбитражная модель – это альтернатива CAMP, она не определяет
конкретное число факторов и их значимость для данной акции, так как для
каждой акции значимыми будут свои факторы. Факторами могут быть
фондовый индекс (как в CAMP рыночный портфель), валовый национальный продукт, цены на энергоносители, процентная ставка и др. Например,
исследования по американскому рынку выявили в числе значимых макро241
экономических факторов такие, как изменения в отраслевом производстве, инфляция, индивидуальное потребление, предложение денег и процентная ставка. Агентство Salomon Brother при оценках по многофакторной модели включает в рассмотрение пять факторов: инфляцию, темп
роста валового национального продукта, процентную ставку, индекс изменения цен на нефть, темп роста расходов на оборону.
Обобщенно можно выделит три группы факторов, обязательно включаемых в арбитражную модель:
1) показатели общей экономической активности (это может быть темп
роста промышленного производства, темп роста усредненных продаж,
темп роста ВНП);
2) показатели, отражающие инфляцию;
3) показатели процентной ставки (разница между долгосрочной и краткосрочной ставками, ставка доходности фондового (рыночного) индекса).
Идея компенсации большего риска по сравнению с безрисковыми активами в модели APT остается неизменной. Если есть безрисковый вариант займа и инвестирования (этот вариант обеспечивает доходность или
стоимость капитала при займе денег в размере k0), то:
• за больший риск инвесторы требуют бόльшую доходность;
• получение повышенной доходности означает наличие факторов риска.
Инвесторы на рынке стремятся увеличить доходность портфеля без
увеличения риска. Такая возможность может быть реализована через арбитражный портфель, т. е. формирование портфеля путем одновременной
продажи акции по относительно высокой цене и покупки этих акций в
другом месте по относительно низкой цене. Такая операция позволит инвестору, не вкладывая средства, получить безрисковый доход.
Арбитражные возможности появляются, если по акциям или портфелям
с одинаковой чувствительностью к факторам ожидается различная доходность. Инвесторы устремляются к получению безрискового дохода, и возможность арбитража исчерпывается. Таким образом, в равновесии акции и
портфели с одинаковой чувствительностью к факторам имеют одинаковые
значения ожидаемой доходности (с поправкой на специфический риск).
Преимуществом APМ является меньшее число предположений о поведении инвестора на рынке по сравнению с CAPM. Предполагается, что фактическая доходность любой акции j является линейной функцией r факторов:
k *j = k i + b j1 F1 + b j 2 F2 + ... + b jr Fr + u j ,
где k *j – фактическая доходность по акции j; k j − ожидаемая доходность акции j; b ji − чувствительность доходности акции j к фактору i (иногда исполь242
зуется термин «факторная нагрузка»); Fi − значение фактора i;
uj −
случайная величина (с нулевым средним значением) как компонента специфического риска по акции j.
В модели рассматриваются портфели из имеющихся на рынке акций.
Предполагается, что число включенных в рассмотрение акций значительно
превышает число факторов r. Теоретически можно сформировать такой
портфель, чтобы он был безрисковым и чистые инвестиции в нем были нулевыми. Такой портфель должен иметь нулевую ожидаемую доходность,
поскольку в противном случае возникнут арбитражные операции, в результате которых цены на активы будут меняться до тех пор, пока ожидаемая
доходность портфеля не станет равной нулю. Рассмотрим построение арбитражного портфеля при отсутствии дополнительного инвестирования
(деньги для покупки ценных бумаг образуются через продажу других ценных бумаг). Например, пусть индивид имеет портфель акций и хочет заработать на арбитражных операциях. Инвестор не предполагает инвестировать в изменение долей акций в имеющемся портфеле. Изменение портфеля достигается изменением стоимости акции i в портфеле. Это изменение
обозначим через wj. wj показывает вес акции j в арбитражном портфеле.
Нулевое инвестирование означает, что ∑ w j = 0. Безрисковость портфеля
требует отсутствия систематического и несистематического риска.
Доходность портфеля из n акций равна взвешенной сумме доходности
по отдельным акциям, включенным в портфель:
k p = ∑ w j k *j = ∑ w j k j + ∑ w j b j1 F1 + ... + ∑ w j b jr Fr + ∑ w j u j .
Элиминирование систематического риска достигается через подбор wj
таким образом, чтобы для каждого фактора j взвешенная сумма мультипликаторов br была равна нулю (мультипликаторы систематического риска
по каждому фактору дают средневзвешенное нулевое значение):
∑ w j b jr = 0 по каждому фактору от 1 до r. Чувствительность портфеля к
фактору j равна средневзвешенной чувствительности акций, включенных
в портфель. Рассмотрение большого числа активов в портфеле позволяет
устранить специфический риск и при большом значении n взвешенная
сумма ∑ w j u j = 0.
Таким образом, диверсификация портфеля позволяет записать выражение для доходности портфеля без последнего слагаемого специфического риска. Итоговое выражение доходности портфеля:
k p = ∑ w j k *j = ∑ w j k j + ∑ w j b j1 F1 + ... + ∑ w j b jr Fr .
243
Фактически построен портфель с нулевым β по каждому фактору, для
него не требуется дополнительных инвестиций (какие-то значения wj положительны, что означает покупку акций, какие-то – отрицательны, что
означает продажу). Систематический риск устранен. Если доходность kp
положительна, то портфель является арбитражным, и инвестор будет
стремиться построить его. Покупка и продажа определенных акций на
рынке большим числом инвесторов приведут к изменению цен и повлияют на ожидаемую доходность.
В ситуации равновесия доходность построенного портфеля (и всех
других арбитражных портфелей) должна быть нулевой kp =0.
Тогда из линейной алгебры следует, что вектор ожидаемой доходности kj может быть представлен как линейная комбинация вектора постоянных значений (коэффициентов λ) и вектора мультипликаторов. Должно
существовать r+1 постояных коэффициентов λ0 , λ1 , λ 2 ,..., λ r , таких, которые позволят разложить ожидаемую доходность акции i:
k j = λ0 + λ1b j1 + ... + λ r b jr ,
где b ji − чувствительность доходности акции i к фактору j.
Для интерпретации коэффициентов λ рассмотрим безрисковый актив j с
доходностью kjk0 − постоянная величина, и чувствительность к факторам у
нее нулевая b0i = 0 для всех i=1,…. Следовательно, k 0 = λ0 . Теперь выражение для kj можно представить в виде премии к безрисковому активу:
k j − k 0 = λ1b j1 + ... + λ r b jr .
Получаем экономический смысл для коэффициентов λi − это премия
за риск (цена риска) в равновесии для фактора i. Пусть σ i − ожидаемая
доходность портфеля с единичной чувствительностью к другим факторам.
Такой портфель носит название чистого факторного портфеля. Тогда выражение цены риска принимает вид λi = σ i − k 0 .Коэффициент λ показывает избыточную доходность (по сравнению с безрисковой доходностью) по
чистому факторному портфелю. Это премия за факторный риск. В итоге
для представления арбитражной модели получим версию с премиями за
факторный риск:
k j = k 0 + ( σ 1 − k 0 )b j1 + ( σ 2 − k 0 )b j 2 + ... + ( σ r − k 0 )b jr .
Заметим, что полученное уравнение аналогично уравнению SML и является его многомерным аналогом.
244
Литература
1. Аванесов А.Т., Ковалев М.М., Руденко В.Г. Финансово-экономические
расчеты: анализ инвестиций и контрактов. Мн.: БГУ, 1998.
2. Бригхем Ю., Гапенский Л. Финансовый менеджмент. СПб.: Экономическая школа, 1997. Т. 1–2.
3. Гитман Л., Джанк М. Основы инвестирования. М.: Дело, 1997.
4. Едронова В.Н., Мизковский Е.А. Учет и анализ финансовых активов.
М.: Финансы и статистика, 1995.
5. Кочович Е. Финансовая математика. Теория и практика финансовобанковских расчетов. М.: Финансы и статистика, 1994.
6. Мертенс А. Инвестиции. Киев: Киевское инвестиционное агентство,
1997.
7. Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и
риск. М.: Инфра, 1994.
8. Сорос Д. Алхимия финансов. М.: Инфра-М, 1996.
9. Теплова Т.В. Финансовый менеджмент: управление капиталом и инвестициями. М.: ГУВШЭ, 2000.
10. Фалин Г.И., Фалин А.И. Введение в актуарную математику (математические модели в страховании): Учеб. пособие. М.: Изд-во МГУ, 1994.
11. Четыркин Е.М. Финансовая математика. М.: Дело ЛТД, 2000.
12. Шарп У., Александер Г., Бейли Дж. Инвестиции. М.: Инфра, 1997.
245
Оглавление
Предисловие
Введение. Предмет инвестиционного анализа
Глава 1. Анализ простейших финансовых операций. Простые проценты
1.1. Исчисление процентов
1.2. Простейшая финансовая операция, ее характеристики
1.3. Продолжительность краткосрочной сделки
1.4. Схема простых процентов
1.5. Потребительский кредит
1.6. Погашение краткосрочного долга по частям
1.7. Финансовые и коммерческие векселя
1.8. Ломбардный кредит
1.9. Замена платежей при простых процентах
1.10. Инфляция и процентная ставка
Глава 2. Простейшие финансовые операции. Сложные проценты
2.1. Схема сложных процентов для простейших операций
2.2. Номинальная ставка процентов
2.3. Сложная и номинальная учетные ставки
2.4. Эффективная ставка процентов
2.5. Непрерывное начисление процентов
2.6. Доходность простейшей операции
2.7. Простейшая операция с конверсией валют
2.8. Замена платежей при сложных процентах
2.9. Эквивалентные ставки
Глава 3. Анализ инвестиционных проектов
3.1. Современная стоимость платежей
3.2. Чистая приведенная стоимость (NPV)
3.3 Срок окупаемости
3.4. Внутренняя норма доходности
3.5. Рентабельность инвестиционного проекта
3.6. Потоки платежей, финансовая рента
3.7. Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо
3.8. Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо
3.9. Погашение долгосрочной задолженности
3.10. Льготные займы и кредиты
3.11. Сравнение кредитных и коммерческих контрактов
3.12. Аренда (лизинг) оборудования
3.13. Другие виды ренты
3.14. Ипотечные ссуды
Глава 4. Анализ финансовых инвестиций
4.1. Рынки финансовых инвестиций
4.2. Классификация облигаций
4.3. Доходность облигаций
4.4. Полная доходность облигаций
4.5. Сертификаты
4.6. Классификация акций
4.7. Доходность акций
Глава 5.Анализ страховых моделей
5.1. Финансовый риск и ограничение риска
3
6
8
8
14
17
18
25
28
30
40
41
46
52
52
57
58
60
62
65
73
79
81
82
82
85
87
89
91
94
95
103
107
114
119
125
128
131
135
135
139
145
150
157
162
175
181
181
5.2. История актуарных расчетов
5.3. Краткосрочное страхование
5.4. Таблицы смертности и коммутационные числа
5.5 Долгосрочное страхование. Страхование на дожитие
5.6. Долгосрочное страхование жизни. n-летнее страхование жизни
5.7. Перестрахование
5.8. Аннуитеты в пенсионном страховании
5.9. Расчеты страховых нетто-премий и пенсий. Расчет нетто-премий по величине
пенсий
5.10. Сберегательное (трастовое) обеспечение пенсий
Глава 6. Оптимальный инвестиционный портфель
6. 1. Простейшая модель портфеля
6.2. Модель активных и пассивных операций банка
6.3. Модели диверсификации портфеля Марковица-Тобина
6.4.Модель Шарпа (CAMP)
6.5. Арбитражная модель оценки ожидаемой доходности
Литература
185
186
192
195
200
203
209
214
217
219
219
221
223
233
241
245