ЗАДАЧИ ДЛЯ ОЛИМПИАДЫ ПО АСТРОНОМИИ

ЗАДАЧИ ДЛЯ ОЛИМПИАДЫ ПО АСТРОНОМИИ
2010/2011 уч. год, 2 вариант
7 - 8 класс
1.
Почему от молодой Луны виден пепельный свет, а в моменты
солнечных затмений он не виден?
2.
Почему на Земле или любой другой планете происходит смена дня и
ночи?
Конечно, скажете вы, потому что она вращается вокруг оси. Но это далеко не
полный ответ. Подумайте:
-может ли так быть, что планета вращается вокруг оси, а смены дня и ночи не
происходит?
-может ли так быть, что планета не вращается вокруг оси, а смена дня и ночи
происходит?
Если хотя бы один раз вы скажете "да", то вам придётся поискать новый,
более полный ответ на вопрос, при каких условиях нигде на планете не
происходит смена дня и ночи.
3. Известно, что из-за атмосферной рефракции в любом месте Земли Солнце
раньше встаёт и позже заходит. Значит, вся наша планета получает больше
солнечной энергии, чем получала бы при отсутствии рефракции. Так откуда
же берётся дополнительная энергия?
4. При каком положении Луны можно наблюдать наиболее продолжительные
затмения звёзд Луной – когда она вблизи апогея или перигея?
5. В повести Стругацких «Полдень, XXII век» герой попадает на планету
Леонида, очень похожую на Землю:
"Среди мигающих звёзд неторопливо прошло через зенит яркое белое
пятнышко. Комов приподнялся на локтях, следя глазами за ним. Это был
"Подсолнечник"
–
полуторакилометровый
десантный
звездолёт
сверхдальнего действия. Сейчас он обращался вокруг Леониды [по круговой
орбите] на расстоянии двух мегаметров от поверхности. Стоит подать
сигнал бедствия, и оттуда придут на помощь."
Насколько хорошим зрением обладал Комов? Обычно считается, что
предельное разрешение глаза зоркого человека составляет 1′ (одну угловую
минуту).
6. РАТАН-600 (РАдиоТелескоп Академии Наук) ведёт наблюдения небесных
объектов с различными величинами α (прямые восхождения) при
прохождении ими меридиана. α2 - α1 = Δα. Через какое время будет
наблюдаться второй объект после первого? Дайте точный ответ для Δα = 90°.
1
9 класс
1. Во время полного солнечного затмения 9 марта 1997 года в Читинской
области видимые угловые радиусы Луны и Солнца составляли ρЛ = 16'41" и
РС = 16'07" соответственно. Используя эти данные, оцените, какое
максимальное время можно было наблюдать полное солнечное затмение.
Эффекты, связанные с суточным вращением Земли, при вычислениях не
учитывайте,
2. В созвездии Ориона, на расстоянии 120 световых лет от нас, земные
астрономы обнаружили звезду, по всем параметрам аналогичную Солнцу.
Цивилизация "зелёных человечков", живущая на одной из планет,
обращающейся вокруг той звезды, также заинтересовалась нашим Солнцем.
Измерения параллакса нашего Солнца, произведённые астрономами той
цивилизации (согласно их классическим правилам измерения параллакса),
дали результат 0,039". Найти продолжительность года у зелёных человечков.
3. Может ли на какой-либо гипотетической планете быть так, чтобы сезоны
года сменялись на всей планете синхронно, а не как на Земле, где в северном
и южном полушариях они сменяются в противофазе?
4. Для наблюдения Полярной звезды телескоп направлен таким образом, что
Северный полюс мира находится точно на краю поля зрения, а Полярная
звезда в своём суточном движении проходит точно через центр поля зрения.
Часовой механизм остановлен. Оцените продолжительность времени, в
течение которого Полярная звезда будет проходить через поле зрения от
одного его края до другого.
5. В чём причина того, что от новолуния до полнолуния порой проходит на
сутки больше, чем от этого полнолуния до следующего новолуния? Бывает
ли обратная ситуация, когда период от новолуния до полнолуния длится на
сутки меньше, чем от этого полнолуния до следующего новолуния?
6. Абсолютной звёздной величиной планеты называют её блеск для случая,
когда она освещается Солнцем с расстояния 1 а.е. и наблюдается
наблюдателем также с расстояния 1 а.е. при нулевом фазовом угле
(наблюдатель как бы находится в центре Солнца). Оцените абсолютную
звёздную величину Луны. Известно: расстояние от Земли до Луны 384 000
км, видимая звездная величина Луны в полнолуние -12,7m.
10 класс
1. Обе компоненты двойной звезды принадлежат спектральному классу АЗ
(температура 9500 К). Спутник на 8 звёздных величин слабее. Главная звезда
с массой 2 массы Солнца видна в фокусе эллипса, который описывает
спутник. Большая полуось эллипса видна под углом 2,5". Период обращения
звезды – 177 лет. Оцените приблизительно расстояние до звёзд.
2
2. Найдите звёздную величину Луны в новолуние (когда есть только
пепельный свет). Видимые с Земли звёздные величины Солнца и Луны в
полнолуние равны -26,8m и -12,7m соответственно, радиус Земли 6400 км,
радиус Луны 1740 км, альбедо Земли 0.37, альбедо Луны 0.067.
3. В феврале 2001 года космический аппарат NEAR впервые осуществил
мягкую посадку на астероид Эрос. Скорость опускания аппарата на
поверхность Эроса составила 2 м/c. Если бы удар оказался упругим, то на
какую высоту подпрыгнул бы аппарат от удара? Для упрощённых расчётов
считать астероид шаром с диаметром 30 км и средней плотностью вещества ρ
= 3000 кг/м3.
4. Некоторая звезда имеет координаты α = 6 часов, δ = +23,5°. Однако, как
известно, координаты всех звёзд медленно меняются из-за прецессии земной
оси (ось Земли описывает конус за период около 26 тысяч лет). Какие
координаты (α, δ) будет иметь эта звезда через 6500 лет?
5. Найти период обращения планеты по круговой орбите вокруг Солнца, с
которой звёздная величина Солнца равна звёздной величине Луны в
полнолуние. Видимая звездная величина Солнца на Земле -12.8m , Луны на
Земле -12.7m
6. Округляя видимую яркость звёзд до одной звёздной величины, можно
получить, что на небе примерно 250 звёзд имеет 4-ю звёздную величину (в
фотографической области спектра), 700 звёзд – пятую, 1900 – шестую, 5300 –
седьмую и 14600 – восьмую. Звёзды какой звёздной величины (из
перечисленных) вносят наибольший вклад в суммарный световой поток?
11 класс
1. Наблюдаемая астрономами на Земле разность звёздных величин в синей и
жёлтой областях спектра, называемая показателем цвета звезды, B-V, равна
0,22. Этот показатель цвета искажён поглощением межзвёздной пылью,
которое ослабляет свет звезды. В спектральном диапазоне B свет ослабляется
в αb = 2,5 раза, в диапазоне V – в αV = 2 раза. Найдите истинный показатель
цвета звезды (в отсутствие поглощения). К какому классу может
принадлежать эта звезда?
2. Для того, чтобы измерить годичный параллакс ядра нашей Галактики,
предложено построить радиоинтерферометр с далеко отстоящими антеннами
и наблюдать «точечный» радиоисточник в ядре. Каким примерно должно
быть расстояние D между антеннами, если предполагается вести наблюдения
на длине волны λ≈ 1 см?
3. Как астрономы могут узнать расстояние до скопления звёзд, параллакс
которого не удаётся измерить непосредственно?
4. Происходят ли на экваторе Луны:
а) заход Солнца.
3
б) заход Земли.
Если нет, то почему? Если да, то можно ли исходя из общеизвестных данных
оценить, сколько длятся эти явления? Оцените то, что возможно.
5. Где-то в нашей Солнечной системе летает тёмный астероид. Длина волны,
на которую приходится максимум энергии его излучения, может изменяться
в три раза. Определите эксцентриситет орбиты этого небесного тела.
6. Шаровое звездное скопление имеет возраст около 10 миллиардов лет,
радиус 30 пк и состоит из миллиона звёзд. Оцените характерные
относительные скорости звёзд скопления.
Решения задач
7 - 8 класс
1. Пепельный свет Луны – это отраженный Луной свет Земли. Он исходит и от
молодой Луны и от Луны в моменты солнечных затмений. Но, в момент
полного затмения небо вблизи Луны ярко освещено солнечной короной.
Поэтому, на фоне темного ночного неба пепельный свет Луны виден, а на
фоне ярого света солнечной короны - нет.
2. Чтобы нигде на планете день не сменялся ночью, требуется одновременное
выполнение трёх условий:
А. Угловые скорости орбитального и осевого вращения должны совпадать
Б. Ось вращения планеты должна быть перпендикулярна плоскости орбиты
(эклиптики);
В. Планета должна иметь круговую орбиту, чтобы угловая скорость
орбитального вращения не менялась в течение года.
Нарушение любого из этих условий является достаточным для того, чтобы на
планете была смена дня и ночи.
3. Нетрудно видеть, что из-за рефракции на Землю попадают те лучи Солнца,
которые прошли бы мимо Земли, если бы свет распространялся в атмосфере
прямолинейно. Значит, Земля просто перехватывает немного более широкий
пучок солнечного света, чем перехватывала бы при отсутствии атмосферы.
"Недополучает" энергию область пространства, расположенная за Землёй.
4. Продолжительность затмения звёзд Луной тем продолжительнее, чем
больше угловой размер её диска и чем меньше угловая скорость её
перемещения по небу. По второму закону Кеплера линейная скорость Луны
меньше в апогее, чем в перигее в Ra/Rp раз. Угловая скорость
пропорциональна V/R, поэтому она в апогее меньше в (Ra/Rp)2 раз. Поэтому,
хотя видимый диаметр Луны в апогее меньше в (Ra/Rp) раз, это не
компенсирует более значительного уменьшения угловой скорости. Поэтому
наиболее продолжительные затмения будут, когда Луна в апогее.
5. Поскольку звездолёт проходил через зенит, расстояние до него было как
раз 2 млн метров, или 2000 км. Объект размером в 1,5 км виден с такого
4
расстояния под углом 3438'·1,5/2000 = 2,6'. Заметим, что звездолёт показался
Комову «пятнышком», а не «звёздочкой», т.е. представлялся ему объектом со
вполне различимым угловым размером. Обычно это бывает тогда, когда
угловой размер превосходит разрешающую способность глаза как минимум
почти в два раза. Это говорит о том, что разрешение глаза Комова было по
крайней мере примерно в два раза лучше, чем 2,6', то есть не хуже 1,3' - 1,5'.
Это значит, что зрение у него было (как минимум) вполне хорошим.
6. Второй объект будет наблюдаться после первого через время, за которое
небесная сфера повернётся на угол Δα. Поскольку на 360° небесная сфера
ч
м
с
поворачивается за 23 56 04 (звёздные сутки), на угол Δα она повернётся за
ч
м
с
ч
м
с
время Δt = Δα · 23 56 04 / 360°. Для Δα = 90° это составит 5 59 01 .
9 класс
1. Полное солнечное затмение соответствует такому взаимному
расположению Луны и Солнца на нашем небе, при котором диск Луны
полностью покрывает диск Солнца. Лунный диск движется относительно
солнечного с определенной скоростью, в первом приближении равной
u ≈ 360º /29.5 сут ≈ 0,51 угл.сек./сек.
Очевидно, что максимальное время полного солнечного затмения будет в
случае, когда центр лунного диска проходит через центр солнечного. В этом
случае время между вторым и третьим контактами (то есть началом и
окончанием полного затмения) лунный диск пройдёт относительно
солнечного угловое расстояние
δ = 2(ρл - ρс ) = 68"
Время полного затмения составит


u

68' '
 134 ñåê
0.51
Примечание: этот ответ получен в первом приближении, без учёта вращения
Земли вокруг своей оси. (Все вычисления произведены относительно центра
Земли, а не относительно её поверхности).
2. Для землян параллакс (годичный) какого-либо объекта – это (по
определению) угловой размер большой полуоси земной орбиты
(расположенной перпендикулярно направлению на объект), видимый с этого
объекта. Очевидно, что для "зелёных человечков" параллакс Солнца – это
угловой размер большой полуоси орбиты их планеты, видимой с Солнца. То
есть, π = А/L, где π = 0,039" – параллакс Солнца, L = 120 св.лет - расстояние
от звезды "зелёных человечков" до Солнца, А - большая полуось орбиты
планеты "зелёных человечков". Тогда А = π·L. Период обращения планеты Т
можно определить из III закона Кеплера. Учитывая, что звезда "зелёных
человечков" по всем параметрам – в том числе и массе – аналогична Солнцу,
получаем:
5
Т/ТЗ = (А/АЗ)3/2 = (π·L/АЗ)3/2 ,
где ТЗ и АЗ - период обращения вокруг Солнца и большая полуось орбиты
Земли. Считая, что год равен периоду обращения планеты вокруг звезды
получаем:
Т = ТЗ·(π·L/АЗ)3/2 =
= 1 год · (0,039"/206265" · 120 лет · 365,25 сут/лет · 86400 сек/сут · 3·108
м/сек / 1,496 · 1011 м)3/2 = 1 год · 1,443/2 ≈ 1,72 года.
3. Да, может. Для этого планета должна иметь нулевой наклон экватора к
плоскости орбиты, а сама орбита – заметный эксцентриситет (то есть, она
должна заметно отличаться от круговой). Тогда сезоны, зависящие только от
потока тепла, будут по всей планете определяться только её положением на
орбите, а значит, будут везде меняться синхронно
4. Из условия следует, что радиус поля зрения телескопа равен расстоянию
Полярной звезды от полюса мира (примерно 44 угловые минуты). Обозначим
положение полюса мира точкой P, центра поля зрения – точкой O, точки
появления Полярной в поле зрения – точкой C. Треугольник POC –
равносторонний, каждая сторона которого равна радиусу поля зрения.
Отсюда угол CPO равен 60°, или 1/6 окружности. Значит, Полярная
перемещается по окружности от C до O ровно 24 : 6 = 4 часа, а полная
продолжительность её наблюдения в поле зрения – вдвое больше. Ответ: 8
часов.
5. Главная причина – эллиптичность лунной орбиты и связанная с этим
неравномерность движения Луны по орбите, поскольку, согласно II закону
Кеплера скорость движения спутника по орбите тем меньше, чем больше
расстояние от центрального тела. Поэтому максимум такого эффекта
наступает тогда, когда направление на Солнце перпендикулярно большой
оси лунной орбиты и апогей орбиты Луны приходится примерно на первую
четверть. Очевидно, что и обратная ситуация возможна, – в том случае, когда
на первую четверть приходится перигей лунной орбиты.
6. Расчёт можно провести по формуле Погсона, считая что сумма расстояний
Солнце-Земля (r) и Земля-Луна (R) практически равна 1 а. е.. По формулы
Погсона
m - М = -2.5lg(E1/E2) = -2,5·lg(R/r)2 = 5·lg(r/R) = 5 lg(0,00257) = -12,95m ≈ 13m.
M = -12.7m+13m = +0,3"'
10 класс
1. Поскольку разность звёздных величин 8, то ясно, что главная звезда (2М\)
находится на Главной Последовательности, а спутник – белый карлик, масса
которого не более 1Мс . По третьему закону Кеплера
A3
M m
T2
6
если работать в системе единиц а.е. – год – Мс . Подставив (2 + 1) Мс и 177
лет в эту формулу, получим, что А ≈ 50 а.е. Поскольку 50 а.е. видно под
углом α = 2,5", то расстояние до звёзд можно найти
tg 
A
 ''
A  206265

r
 4.1  10 6 a.e.  20 пк
''
r 206265

2. Найдем, во сколько раз Земля в «полноземлие» светит ярче, чем Луна в
полнолуние:
(АЗ/АЛ)·(RЗ/RЛ)2 раз = 70 раз
Это соответствует разности звёздных величин 2,5·1g70 = 4,6, то есть звёздная
величина Земли в "полноземелие" составляет:
-12,7m - 4,6m = -17,3m.
Именно свет Земли в "полноземелье" освещает Луну в новолуние. Таким
образом, если Солнце со звёздной величиной -26,8m является причиной
блеска -12,7m Луны в полнолуние (разница 14,1m), то для новолуния
аналогично получаем ответ:
-17,3m + 14,1m = -3,2m.
3.Поскольку удар упругий, аппарат отскочит от поверхности с той же
скоростью, с которой он ударился о неё. Чтобы оценить высоту подъёма,
необходимо оценить ускорение на поверхности:
Предполагая, что аппарат отскочит от астероида на небольшую высоту –
такую, что изменением величины ускорения свободного падения можно
пренебречь, высоту можно найти из закона сохранения энергии
отсюда
4. Координаты данной звезды – это координаты Солнца в точке летнего
солнцестояния. Следовательно, звезда находится на эклиптике. Плоскость
эклиптики не меняется со временем, так что звезда всегда будет на
эклиптике.
Точка весеннего равноденствия, от которой отсчитывается α, совершает
обход эклиптики за 26000 лет навстречу годовому движению Солнца, то есть
α всех звёзд растёт. Поэтому через четверть периода прецессии (6500 лет)
звезда будет иметь α = 6 + 6 = 12 часов. Точка на эклиптике с таким α – это
точка осеннего равноденствия.
Ответ: α = 12 часов, δ = 0°.
7
5. Для того, чтобы видимая звёздная величина Солнца увеличилась на Δm,
необходимо, чтобы световой поток уменьшился в 10Δm/2.5, следовательно,
наблюдателю надо удалиться от Солнца в (10Δm/2.5)1/2 = 10Δm/5 раз, то есть
Rx
 10 m / 5
R3
По III закону Кеплера квадрат периода обращения планеты пропорционален
кубу большой полуоси её орбиты (в данном случае – радиуса орбиты).
Сравнивая нашу гипотетическую орбиту с орбитой Земли, получаем:
Откуда следует
R
Tx  T3  x
 R3
3
2

  T3 10 m / 5



3
2
 T310
3
m
10
Разность звёздных величин Луны и Солнца составляет Δm = -12,7 - (-26,8) =
14,1. Получаем ответ: Tх = 1 год · 103*14.1/10 ≈ 17000 лет.
6. Звёзды данной звёздной величины в 2,512 раз слабее предыдущей. Но их
суммарный поток пропорционален полному числу звёзд. Поэтому звёзды,
более слабые на одну звёздную величину, давали бы точно такой же световой
поток, если бы их было в 2,512 раз больше по числу. В действительности мы
имеем, что
Число звёзд 5-й звёздной величины больше чем 4-й в 700/250 = 2,80
раза,
Число звёзд 6-й звёздной величины больше чем 5-й в 1900/700 = 2,71
раза,
Число звёзд 7-й звёздной величины больше чем 6-й в 5300/1900 = 2,79
раза,
Число звёзд 8-й звёздной величины больше чем 7-й в 14600/5300 =
2,75 раза.
Поскольку все отношения больше 2,512, вклад звёзд каждой
последующей звёздной величины (в пределах рассматриваемого интервала
величин) растёт с увеличением звёздной величины.
Ответ: восьмой звёздной величины.
11 класс
1. Если ослабление, выраженное в звёздных величинах обозначить через Ab
и АV (для соответствующих диапазонов), то:
8
( B  V ) 0  B0  V0  ( B  AB )  (V  AV )  ( B  V )  ( AB  AV )  ( B  V )  (2.5 lg a B  2.5 lg aV ) 
( B  V )  2.5 lg
aB
2.5
 0.22  2.5 lg
 0.22  0.24  0.02
aV
2
Это звезда класса А с температурой около 10000 К.
2. Поскольку расстояние до ядра не превышает 10 килопарсек (это должно
быть известно участникам Олимпиады), ожидаемый параллакс от ядра
составляет не менее 1/104, или 10-4 угловой секунды. Чтобы его можно было
измерить, разрешающая способность радиоинтерферометра должна
соответствовать этой величине. Разрешающая способность обусловлена
дифракцией электромагнитных волн, и составляет β ≈ λ/D (если β выражено
в радианах), или же β ≈ 2·105 λ/D (в угловых секундах). Из условия β ≈ 10-4
получаем D ≈ 2·109 λ, что составляет около 20 тысяч километров для λ = 1
см. Размера Земли не хватает. Антенны следует располагать на околоземных
орбитах.
3. Есть несколько способов, хотя все они не очень точные. Наиболее часто
используемые – следующие:
а) По светимости ярчайших звёзд, которая в свою очередь определяется по их
спектральному классу. Для молодых рассеянных скоплений ярчайшими
являются голубые сверхгиганты класса O или B, для шаровых – красные
гиганты.
б) По диаграмме «звёздная величина – спектр (или цвет)», совмещая
положение главной последовательности на этой диаграмме с её положением
на диаграмме Герцшпрунга-Рессела, построенной для звезд поля с известным
расстоянием.
в) По цефеидам, если они наблюдаются в скоплении.
4. Солнце на Луне совершает один оборот по небосклону за 29,53 суток – за
время, равное периоду обращения Луны вокруг своей оси. Диаметр
солнечного диска, видимый с Луны, такой же, как и видимый с Земли –
около полуградуса. Продолжительность захода Солнца на экваторе – это
время, за которое оно переместится на свой диаметр. Если перемещение на
360° происходит за 29,53 суток = 708,7 часов, то на 0,5° – за 708,7·0,5°/360° ≈
1 час.
Что же касается захода Земли, то в первом приближении она там
никогда не заходит и не восходит, а либо висит на одном месте, либо не
видна, поскольку период обращения Луны вокруг своей оси равен периоду ее
обращения вокруг Земли. Однако, при более точном рассмотрении
оказывается, что из-за эллиптичности лунной орбиты, её движение вокруг
Земли происходит неравномерно; в то же время движение вокруг своей оси –
равномерно. Это приводит к либрациям, то есть, к тому, что Луна обращена к
нам не точно одной точкой, а немного "качается". А для лунного
9
наблюдателя это означает, что Земля немного гуляет по небу, удаляясь порой
на несколько градусов от своего среднего положения. В результате – есть на
Луне территории, где действительно можно наблюдать восходы и заходы
Земли – это такие территории, где упомянутое среднее положение находится
вблизи горизонта.
Для вычисления продолжительности захода Земли необходимо знать
величины либрации
5. При равенстве потоков энергии, поглощённой от Солнца и излученной
астероидом (как абсолютно чёрным телом):
Qпоглощ ~ Qизлуч
-2
При этом, Qпоглощ ~ r , а Qизлуч ~ Т4. Здесь г – гелиоцентрическое расстояние
астероида, Т – его температура (абсолютная, в Кельвинах). Из этих
соотношений следует, что Т ~ г-1/2 .
Для перигелия Rп = а(1-е), а для афелия Rа = а(1+е), где а – большая полуось
орбиты астероида, е – её эксцентриситет.
По закону Вина
λа / λп = Тп / Та.
Из приведенных соотношений вытекает, что
(λа / λп)2 = (1+е)/(1-е).
При λа/ λп = 3, получаем е = 0,8.
6. Возраст шарового скопления очень велик, он сопоставим с возрастом
нашей Галактики. За это время шаровое скопление не распалось, значит,
составляющие его звёзды гравитационно связаны. Характерная скорость
звезды, находящейся вблизи края скопления, должна быть порядка первой
космической скорости. Среднюю массу звёзд скопления примем
равной массе Солнца, то есть масса скопления – 106 MС или 2·1036 кг, радиус
равен 30 пк или 9,3·1017 м. Первая космическая скорость равна
V
GM
 1.2 *10 4 м / с
R
или 12 км/c.
Критерии оценки
Работы оцениваются по 9-и бальной шкале, от 0 до 8. Оценки до 5 баллов
ставятся за правильное понимание сути вопроса, и выбор пути решения.
Максимальная оценка ставится за полное правильное решение со всеми
расчетами, правильный ответ и его анализ, выводы. Оценки от 5 до 7 ставятся за
работы, в которых допущены ошибки в ходе вычислений, ошибки в размерностях
величин, или опущенный анализ ответа.
Продолжительность работы – достаточно 4 часов.
10