Глава 13. Облигации F

!
1
1
i
1
1.
!
1
1
Глава
1
13.1.
1
1
'1
1
1
13. Облигации
Общие характеристики облигаций
Ценная бумага с фиксированным доходом
- бумага, по которой
эмитент (заемщик) соглашается произвести ряд платежей, сроки и
размеры которых оговариваются в контракте.
Ценные бумаги с фиксированным доходом можно разделить на
две категории:
1
!
i1
'\
-долговые обязательства (облигации),
.-
привилегированные акции.
По долговому обязательству заемщик осуществляет процентные
J
~
выплаты. Мы будем называть ценные бумаги, представляющие со­
j
бой долговые обязательства, облигациями .
!
j
j
1
1
1
.Облигация -
на получение номинальной стоимости об,лигации ШLи иного имуществен­
ного эквивалента от лица, выпустившего облигацию, в предусмотрен­
ный ею срок.
Облигация
1
!
ценная бумага, удостоверяющая право ее держателя
-
это долговая ценная бумага, дающая право ее дер­
жателю на получение фиксированного дохода, в виде регулярных
процентных платежей.
Простой облигацией (или просто облигацией) будем называть лю­
1
1
бую долговую ценную бумагу, не дающую ее держателю никаких
1
имущественных и личных неимуrцественных прав, кроме получения
i
1
1
,\
фиксированного дохода.
·
.
Ключевой характеристикой любой облигации является срок до
погашения
(term to тatиrity) -
период, по истечении которого заемщик
полностью обязан выплатить взятую взаймы сумму· . Срок до погаше­
лия обычно измеряется в годах, ниже его мы будем обозначать через
т. Срок погашения обозначает дату, к которой долг должен быть пол­
ностью выплачен.
Сумма, которую эмитент соглашается выплатить в дату погаше­
ния, называется номинальной стоимостью, или сум.мой погашения
(par
value, maturity value,face value), обли2ации. Будем обозначать ее F
181
Часть
111. Активы с фиксированной доходностью
Купонные выплаты (соироп) по облигации
- это периодические
процентные выплаты, производимые держателю облигации в тече­
ние срока жизни облигации.
Промежуток между двумя последовательными купонными вы­
платами называется купонным периодом. Его длину в годах будем
обозначать
Если купонные выплаты производятся ежемесячно, то
h.
h = 1/12, если ежеквартально, то h
h = 1/2, если раз в год, то h = 1.
=
1/4, если раз в полугодие -
Купонный период определяет таКже кратность/=1/h :купонных
выплат в году. Так поугодовой купонный период h = 1/2 означает что
купоны выплачиваются дважды (/ · 2) в г6д. · В свою очередь крат­
ность годовых выплат определяет длину купонного периода h = 1/f
По отношению к облигации под купоном часто понимается
годовая купонная ставка (соироп rate), т.е. процентная ставка, которая
после умножения на номинальную стоимость дает денежную величи­
ну годовой купонной выплаты. В дальнейшем купонную ставку будем
обозначать с.
Если с - купонная ставка облигации, а F - номинальная стоимость
облигации, то купонные выплаты облигации: за период
c<h> =с .р. h.
h будут равны
Если купонный период год, то говорят о Годовых купонных. вы­
платах. В дальнейшем суммарные купонные выплаты за один. год бу­
дем обозначать С. Очевидно, что
C=c-F.
Купонные выплаты за период и суммарные купонные выплаты
за год связаны соотношением
c<h> = C·h.
Таким образом каждая облигация В характеризуется набором па­
раметров: номиналом
ной ставкой
Шiат
-f
- F,
сроком до погашеiiия - т, годовой купон­
с, купонным периодом
-
- h или частотой купонных вы­
Этот факт коротко мы будем записывать в виде В=
<F, т, с, f>.
Рыночная процентная ставка. Величина, характеризующая доход­
ность определенного класса активов для данного (равновесного) со­
стояния рынка, называется рыночной ставкой (будем обозначать ее
i).
Она складывается под влиянием спроса и предложения на финансо­
вые активы с одинаковым уровнем риска. При изменении этого со­
стояния рыночная ставка меняется. Таким образом, рыночная ставка,
как правило,
-
переменная величина, хотя может колебаться в узких
пределах (т. е. быть относительно устойчивой) для кратковременных
· промежутков.
182
Глава
13.
Облигации
Стоимость облигации и ставка купона. Стоимость облигации на­
прямую связана со ставкой купона. Если зафиксировать рыночную
процентную ставку, то облигации с высокой купонной ставкой стоят
доро:Же, чем аналогичные (по сроку до погашения и номиналу) с низ­
кой купонной ставкой. Купонная ставка - один из параметров, ха­
рактеризующих облигацию,- постоянная величина. В момент выпу­
ска облигаций она, как правило, устанавливается на уровне рыночной
процентной ставки. При равенстве рыночной и купонной ставки сто­
имость облигации совпадает с номиналом. В этом случае говорят, что
облигация котируется по номиналу, саму облигацию называют но­
минальной, а купонную ставку называют также текущей.
Стоимость облигации и рьточная процентная ставка. Стоимость
облигации с заданным сроком до погашения является функцией став­
ки купона и процентной ставки. Стоимость облигации связана обрат­
ной зависимостью с уровнем рыночных процентных ставок. При рос­
те процентных ставок стоимость облигации падает. И наоборот, если
процентные ставки уменьшаются, то стоимость облигации растет.
Существуют облигации, по которым в течение всего срока до по­
гашения не :цроизводится никаких выплат. Вместо этого и номинал,
и проценты выплачиваются в день погашения. Такие облигации на­
зываются бескупонными (чисто дисконтными) облигациями, или обли­
гациями с нулевым купоном (zero-coиpon
bonds).
Инвестор при вложе­
нии в бескупонные облигации получает проценты в виде разности
между номиналом и ценой покупки.
Ценная бумага с плавающей ставкой
-
это ценная бумага, купон­
ная ставка по которой периодически пересматривается.
Итак, составим таблицу классификаций облигаций:
Классификация облигаций по типу купона
. Процентные выплаты
Тип облигации
Сроки выплат
Ставка
С фиксированным
купоном
Периодические
(напр., каждые 6 месяцев)
Не меняется
(напр. 5%)
С rшавающим купоном
Периодические
Меняется
С нулевым купоном
В дату погашения
0%
~
Пример 13.1. Купонная ставка облигации равна 10%, а номинал
облигации равен $1 ООО. Найти размер купонных выплат по этой
облигации. Купонный период
-
год.
Решение. Мы имеем с= 10% =О, 1. Номинал облшации F $1000. Зна­
чит кynoirnыe вьпшаты по такой облшации С=с ·F= $1000·0,1 =$100.
183
Часть!!!. Аюпивы с фиксированной доходностью
13.2.
Курс облигации
Покупатель, приобретая облигацию, предоставляет эмитенту
ссуду, т.е. он является кредитором. Рыночная цена облигации Рмо­
жет отличаться от ее номинальной стоимости
F.
Величина
к= р ·100%
(13.1)
F
называется курсом облигации.
l(ypc облигации - цена, выраженная в процентах от ее номинала
МО)Кет меняться со временем. Обычно значения курса (или котиров-
ка) указывается без знака процентов.
·
Пример 13.2. Определить рыночную цену облигации, если курс
облигации
95,
а номинальная стоимость (номинал)
Решение. Мы имеем F= $1000, К=
формулу (13.1), получаем Р = $950.
95,
$1000.
подставляя эти значения в
13.3. Поток платежей по облигации
Цена любого финансового инструмента (актива) равна текущей
стоимости ожидаемого денежного потока от этого финансового ин­
струмента. Таким образом, для определения цены необходимо:
-
оценить ожидаемый денежный поток;
оценить соответствующую ставку дисконтирования (требу-
емую доходность).
Первый шаг в вычислении цены облигации
-
определение ее де­
не)lrnого потока. Поток платежей (денежный поток) для купонной
облигации состоит из:
-
периодических купонных выплат до даты погашения;
выплаты номинала в дату погашения.
Пусть с
-
купонная ставка облигации;
мость облигации, размер купонной выплаты
период, т
-
срок до погашения, а М
= mf -
F-
номинальная стои­
c<h)' h = 1/f- купонный
общее число купонных
периодов до погашения.
Поток платежей по купонной облигации имеет вид
cF= {(1, c/h>),(2, с2 (h)), ... ,(м, см(h))},
где
ck<h) = c<h), для k-1, ... , М-1, и ck<h) = c<h> + Fдля k =
М
Ниже, если не оговорено противное, временная шкала - годовая.
Примечание: На всех рисунках, изображающих потоки плате:Жей
облигации, в дальнейшем по умолчанию предполагается, что едини­
ца измерения временной шкалы год.
184
Глава
13.
Облигации
На рисунке ниже изображен поток платежей по купонной обли­
гации.
c<h>
о
2h
h
Рис.
c<h>
-
c<h)+F
(т-l)h
mh
13.1. Поток платежей по купоююй облигации
Если не оговорено противное, будем считать :купонные вьпшаты
годовыми, так что h = 1 и М = т. Поток платежей по такой облигации
представлен на рисунке нюке.
о
Рис.
13.2.
с
с
с
c+F
1
2
т-1
т
Стандартный поток платежей по купонной облигации
Пример 13.3. Найти поток платежей облигации, если купонная
ставка облигации равна 10%, а номинал облигации равен $1000. Ку­
понный период
1,5 года.
Решение. Мы имеем с= 10% = 0,1, купонный период h = 1/2, ко­
личество купонных периодов до погашения М = 3. Номинал обли­
гации F = $1 ООО. Значит купонные выплаты по такой облигации
Ch) = с· F h = $1ООО·О,1·1/2 = $50.
50
50
50+ 1ООО
-
о
Пример
13.4.
полгода. Срок до погашения облигации
1/2
3/2
1
Найти поток платежей облигации, если купонная
ставка облигации равна 20%, а номинал облигации равен
до погашения облигации
$1000. Срок
3 года.
Решение. Так как подразумевается, что купонный период равен
году, то число купонных периодов до погашения М
облигации
F= $1000 и с= 20%. Значит,
облигации С= c·F= $i000·0,2 = $200.
=
3~ Номинал
купонные выплаты по такой
13.4. Внутренняя цена облигации
Внутренняя цена (стоимость) облигации
нежного потока, задающего облигацию,
-
-
тек:уrцая стоимость де­
определяется путем сло­
жения следующих двух значений:
185
Часть
11!. Активы с фиксированной доходностью
текущей стоимости :купонных выплат,
текущей стоимости номинала (или суммы погашения).
Стоимость облигации может быть получена дисконтированием
будущих Шiатежей по облигации относительно выбранной процент­
ной ставки.
Если ih - процентная ставка дисконтирования за купонный период
h, то внутренняя цена Р облигации вычисляется по формуле:
c<h)
р = (1
.
+ lh)
+
c<h)
(1 + ih)
·
2
c<h)
м
+ ... +
(1 + ih) -
1
+
c<h> + F
(1 + ih)
м
(13 2)
.
Используя формулу для суммы геометрической прогрессии можно
получить сокращенную формулу для стоимости облигации:
Р = c_<h)
lh
[1-
1
(1 + ih)M
]+
F
= c_<h)
1h
(1 + i11 )M
+
[F - c_<h)]
1
1h
(1 + ih)M
(1з.2')
Пример
13.5. Определить внутреннюю цену облигации, заданной
параметрами: т = 4 года, с= 7%, F= $100, h =l, относительно ставки
i = 10% по формулам (13.2) и (13.2')
Решение. Размер :купонной выплаты С= c·F= $7. Купонные вы­
платы годовые и М= т = 4. Подставляем данные в формулу (13.2):
р=
= $90 49
7 +
7
+
7
+ 7 +100
(1+0,1) (1+0,1) 2 (1+0,1) 3 (1+0,1) 4
.
'
•
Аналогичным образом, подставляя параметры в формулу (13.2') получим
Р=7·(1+0.1)4-1+
0,1
100
(1+0,1) 4
=$9049.
'
Рыночная цена облигации складывается под взаимодействием спро­
са и предложения и зависит от множества различных факторов, как
относящихся к самой облигации (срок погашения, купонная ставка и
т. п.), так и внешних по отношению к ней (экономическая конъюнк­
тура, уровень инфляции, налоги, транзакционные издержки и т. п.).
Если рыночная цена облигации выше внутренней цены облига­
ции, облигация считается переоцененной. Если рыночная цена ниже
внутренней, облигация называется недооцененной.
Формулы (13.2) и (13.2') задают стоимость Р=Р(В) облигации В
как функцию ее параметров
Pt(B)
= PV,(F,
с,/; Т,
i).
Для практических целей важно знать характер зависимости сто­
имости облигации от этих параметров.
186
Глава
13.
Облигации
Свойство
1. Цена облигации монотонно убывает при росте процентной ставки.
.
Это утверждение достаточно очевидно, поскольку согласно фор­
муле
(13.2)
стоимость есть конечная сумма слагаемых вида
1/(1 + i )k,
каждое из которых убывает с ростом ставки.
На рис.
13.3 приведен график зависимости . стоимости от рыноч­
ной ставки для трех облигаций с одинаковым номиналом F= 100,
сроком погашения 1О лет и годовыми купонами для трех значений
купонной ставки: с=5%, с=10%, с=20%.
р
300
250
200
150
100
\
' '' '' --
•,
50
--
'•
"-....
•, ....
......... ........
,
-
""""
.............. _--...- "" - - "" -
. . . ------=-:._:.::•.::_-_":.....-:
i
о 4------..-----т----т----т-----..
0%
10%
20%
30%
40%
50%
- - - - - с 5% - - - - - - с=10% - - с-20%
· Рис.13.3
Из графика видно, что максимальное значение Рmах цены дости-
гается в точке i =О и равно, как следует из формулы
(19.2')
сумме ку-
понных выплат и номинала
Р
тах
=пС+F.
При рыночной ставке равной купонной цена облигации становится равной номиналу:
Р=
F,
если
i=
с.
Если рыночная ставка больше купонной, то цена облигации ме­
ньше номинала и говорят что она продается с дисконтом ( discoипt):
P<F,
если
i
>с.
Если рыночная ставка меньше купонной, то цена облигации
больше номинала и говорят, что она продается с премией (рrетiит).
Р
>F, если i < с.
Зависимость облигации от срока до погашения носит более
сложный характер. Рассмотрим сначала случай целочисленного срока
погашения, т.е. когда облигация оценивается на купонную дату.
187
Часть
III.
Активы с фиксированной доходностью
Свойство 2. Стоимость облигации возрастающая функция срока до
погашения, если ставка купона больше рыночной и убывающая в против­
ном случае. При равенстве купонной и· процентной ставок ее стоимость
не зависит от срока до погашения.
На рис. 13 .4 изображен график зависимости стоимости от срока
погашения для трех облигаций с одинаковым номиналом
F 100,
го­
довыми купонами по ставке с=5%, с-10%, с=20%, при рыночной
ставке 10% годовых
р
220
170
120 - ......
..
...
......
......
............
.........
.............................................
..............................
...&· ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
70
'
•••
'
•••••••
•••••••••••••••••••••••••••
20
т
1
1
20
10
-30 о
с=5%
•
•
с=10%
Рис.
'с=20%
13.4
р
500
400
200
.
.
.. .. - - •
•
о
.• •• • .
•
••
300
100
40
30
8
...
•
••
А.
•
А.
е : А А д • - • • •
r: -0%
•
А
-
-
•
•
...
.6.
j.
'
-
-
-
-
•
...
-с
1
20%
30%
• i = 5% ... i =10% - i 20%
10%
Рис.
40%
13.5
Таким образом, при равенсiпве купонной и рыночной ставок обли­
гация будет продаваться по номиналу й ее цена не будет зависеть от
188
Глава
13.
Облигации
срока погашения. Однако цена облигации, продающейся с дискон­
том или с премией, будет меняться . Цена дисконтной облигации nри
приближении к поrашению возрастает (в предположении, что требу­
емая доходность не изменяется). Противоположное происходит с
облигацией, продающейся с премией. Для обеих этих облигаций в
момент погашения цена будет равна номиналу. ,
Свойство
3.
Цена облигации линейно зависит от номинала и купон­
ной ставки.
На рис. 13.5 приведен график зависимости стоимости от купон­
ной ставки для трех облигаций с одинаковым номиналом F= 100,
сроком погашения 10 лет и рыночной ставке 10% годовых
Таким образом цена, облигации мо:жет измениться вследствие:
а) изменения рыночной ставки (требуемой доходности)
б) приближения к дате погашения, для облигации продающейся
с премией или с. дисконтом без каких-либо изменений рыночной
ставки.
13. 5.
Накопленный купон,
чистая и полная цена облигации
Накопленный процент. Когда инвестор покупает облигацию между
купонными выплатами, то он должен компенсировать продавцу обли­
гации купонный процент, накопленный со дня последней купонной
выплаты. Эта сумма называется накопленным процентом (купоном).
Если накопленный купон не выплачивается, говорят, что обли­
гация котируется по чистой цене
(clean price,flat price).
Для вычисления накопленного процента определяется число
дней между датой последней купонной выплаты и датой покупки
облигации (расчетной датой). На облигационных рынках различных
стран существуют различные соглашения об определении числа
дней. Эти соглашения называются соглашениями о числе дней
(days.__ coиnt_ coпveпtioпs) или временными правилами.
Введем следующие обозначения. Обозначим через д =
(d,
т, у)
или коротко текущую дату, или дату оценки облигации.
Пусть также
д2
= (d2, т2 ,у2 ) -
д =
1
(dp inl'y 1)
дата выплаты предыдущего,
а
следУющего купона относительно текущей даты.
Накопленный процент вычисляется следующим образом:
А!= С· (D /У),
где А1 - накопленный процент;
D "'--число дней между датами д 1 · и д;
У - число дней в году;
189
Часть
111. Активы с фиксированной доходностью
С - размер годового купона.
Существуют различные способы (временные правила) вычисле­
ния числа дней
(D)
между двумя датами и числа дней в году (У) ..
Для вычисления срока между датами может быть использовано
одно из перечисленных ниже правил:
Правшо АСТ/365 (Используется в Великобритании, Японии)
Предполагается, что в году
тами
D
365 дней, т.е.
У=
365. Срок между да­
задается как точное (фактическое) число дней между двумя
датами.
Для определения точного числа дней между двумя датами ис­
пользуют таблицу порядковых номеров дат (см. приложение П). По­
кажем на примере, как пользоваться этой таблицей.
Пример
13.6. Найти накопленный процент, если дата оценки
облигации 20 октября, а дата выплаты предыдущего купона - 15 ию­
ня, этого же (невисокосного) года. Правило АСТ/365. Купонный
(годовой) rшате:ж равен
$100.
Решение. Согласно таблице П приложения,
в году, а
20
октября
-
15 июня - 166-й день
293-й день. Значит, срок в днях между этими
датами
D = 293 - 166 =127.
Накопленный процент
А!= (DxC)/ У= 12~~~оо
Пример
13.7.
= 34,79.
Найти накопленный процент, если
выплаты предьщущего купона,
25.07.02 -
15.04.01 -
дата
дата оценки облигации
Правило АСТ/ 365. Купонный платеж равен $100.
Решение. Согласно таблице П,
25 .07.О1 -
15.04.01 -
106-й день в году, а
207-й день. Период между этими датами МО1IШО разбить на
проме)кугокот 15.04.01до01.01.02 и с 01.01.02до
между
15.04.01
25.07.02. Число дней
и
01.01.02
D = 365 - 106 = 259 дней.
Число дней с 1.01.02 до 25.07.02 равно порядковому
25.07.02, или D = 207 дней.
Итого:
D = 259 + 207 = 466 дней.
номеру даты
Накопленный процент
А!= (DxC)/ У=
~~~оо = 127,67.
46
Банковское правилоАСТ/360 (Используется в США, Франции)
Предполагается, что в году 360дней, т.е. У= 360. Срок между да­
тами D задается как фактическое число дней между двумя датами.
190
Глава
Пример
13.8.
Найти накопленный процент, если
выплаты предьщущего купона,
Решение. Согласно таблице П,
15.04-
Облигации
15.04.01 -
дата
дата оценки облигации
25.07.02 -
Правило АСТ/ 360. Купонный платеж равен
13.
$100.
106-йдень в году, а25.07
-
207-йдень.
Этот срок между датами можно разбить н;а срок с
01.01.02 и с 1.01.02 по 25.07.02.
15.04.01
до
Число дней с 15.04.01до01.01.02
Число дней с
D = 365 - 106 = 259 дней.
1.01.02 до 25.07.02 равно поряДковому номеру даты
25.07.02
Итого:
D=
D= 207 дней.
259 + 207 = 466 дней.
Накопленный · купон
AI~ (DxC)/ У=
Правило
30/360
46
~~~оо = $129,44.
(Используется Федеральными агентствами и кор­
порациями США)
Предполагается, что в году
тами
360 дней, т.е.
У=
360.
Срок между да­
D вычисляется по правилу
((у2
Пример
13.9.
-
у 1 )х360)
+ ((т 2 -
т 1 )х30)
+ (d2 - d1).
Найти накопленный процент, если
15.04.01 -
дата
выплаты предьщущего купона,
25.07.02 - дата оценки облигации.
Правило 30/360. Купонный платеж $100.
Решение. Срок в днях D между датами вычисляется по правилу
D = ((у2 - у 1 )х360) + ((т 2 ~ т 1 )х30) + (d2 - d1) =
= (02-0l)x360) + ((07 -
04)х30)
+ (25 - 15) = 460 дней.
Накопленный процент
AI= (D С)/ У=
х
4
бО·lОО
= $127 ' 7 .
360
Правило ЗОВ/360 (Используется в Германии, Голландии)
Предполагается, что в году 360 дней, т.е. У= 360. Рассмотрим на­
чальную d .т .у и конечную d2 .т 2 .у2 даты. Срок между датами D вы­
1 1 1
числяется по правилу:
Если
d1 равно 31, то изменить его на 30.
Если d2 равно 31, то изменить er,o на 30.
Тогда число дней между датами равно:
((у2 -у 1 )х360)
+ ((т2 - m1)x30) + (d2 - d1).
191
Часть 111. Активы с фиксированн6й доходностью
Пример 13.10. Найти накопленный процент, если 31.03.01 - дата
выплаты предыдущего купона, 25. 07 .02 - дата оценки облигации
Правило 30/360. Купонный платеж равен $100.
Решение. Так как d1 равно 31, то меняем его на 30. Срок ме:жду да­
тами D вычисляется по правилу
D=
=
+
(02-0l)x360) + ((07 ((у2 - у 1 )х360)
((т 2 -
m1)x30) + (d2 ~ d) =
ОЗ)хЗО)
+ (30 - 25)= 485 дней.
Накопленный процент (купон)
AI= (DxC)/ У= 485·100/360 = $134,7.
Правило АСТ/АСТ (Казначейство США, Франция, Австралия)
В этом правиле предполагается, что срок между датами
D задает­
ся как действительное число дней между двумя датами, а У - это чи­
сло дней в текущем купонном периоде, умноженное на число купон­
ных платеж:ей в году.
Пример
13.11.
Найти :Накопленный процент, если 31.03.01-дата
выплаты предьщущего купона,
25.07.02 - дата оценки облигации.
Правило АСТ/АСТ. Купонная выплата $100. Год не високосный.
Решение. По умолчанию, купонный период - год. Значит, Урав­
но числу дней в невисокосном году, т.е. У= 365. Порядковый номер
даты 31.03.01 в году равен 90, а порядковый номер даты 25.07.02 176. Значит,
D · 365 - 90 + 176 = 451 день.
Накопленный процент (купон)
AJ= (DxC)/ У= 451х$100/365 = $123,5.
Полная (грязная) и чистая цены облигации. Полная цена облигации Р
равна текущей стоимости будущего потока платежей облигации на
момент оценки. Для этого сначала по формуле
(13.2)
находят стои­
мость облигации Р1 на дату выплаты предьщущего предыдущего купо­
на, а затем накопленную стоимость к моменту оценки облигации, т.е.
Р = Р1 (1
где
+ i)т,
(13.3)
Р - полная цена облигации на дату ее оценки;
Р - цена облигации на дату выплаты предыдущего купона;
1
i-
рыночная процентная ставка (эффективная годовая);
Т - срок в годах от предьщущей купонной даты до даты оценки.
Капитализация по формуле
(13.3)
использует обычно правило
А СТ/365, поэтому получаем формулу
D
р=
192
pl (1 +i) Jбj
'
Глава
где
D-
13.
Облигации
точное число дней между предыдущей :купонной датой и да­
той оценки.
Чистая цена облигации = полная цена облигации
-
. накоплею-tый процент,
(13.4)
0 = P-Al,
т.е.
Р
где Р0 -чистая цена облигации, Р- полная цена облигации, А!- на­
копленный купон.
Замечание. При определении накопленного купона используют­
ся различные временные правила, тогда как капитализация обычно
осуществляется по правилу АСТ/365 илиАСТ/АСТ.
Пример 13.12. На 25.08.00 найти чистую и nолную цену облига­
ции с датой погашения
15.03.02, номиналом
$1000и годовыми купо­
нами по ставке 8%, если рыночная процентная ставка равна
довых. Правило -АСТ/360.
10%
го­
Решение. Порядковый номер даты
15.03.00 равен 74, а порядковый
номер даты 25.08.00 - 237, значит точный срок между датами 15.03.00
и 25.08.00 равен 237- 74 = 163 дня. Накопленный купон равен
А!= (DxC)/ У= 163х80/360 = 36,22.
Полная цена Р облигации равна капитализации цены Р1 облига­
ции (на дату выплаты предыдущего купона, т.е. на
оценки облигации (т.е. на
P=P1
на дату
25.08.00)
D
365
(1+i)
= P1 (1+i)
163
365
= 1,04Р1'
i = 10% = 0,1 - рыночная процентная ставка.
(13.2) находим цену облигации на 15.03.00
где
~ = С +С+\=
(1 + i)
15.03.00)
(1 + i)-
Согласно формуле
80 + 80+100? = $ 965 , 29 .
(1 +0,1) (1 +0,1)
Отсюда находим полную
и чистую
цены облигации.
Р= 1,04Р1
Р0
=1,04·965.29 = $1003,90
= P-AI= 1003,90-36.22 = $967,68
13.6. Доходность)): погашению
(ДКП)
С ценой облигации связана ее доходность. Существуют две ос­
новные меры доходности облигации: текущая доходность и доход­
ность к погашению.
Текущая доходность. Текущая доходность у<с>
(current yield) равна от­
ношению годового купонного дохода к рыночной цене облигации Р:
13175
193
Часть
111. Активы с фиксированной доходностью
у<с>
Пример
=
С/Р.
13.13. Найти текущую доходность 15-летней 7%-ной ку­
понной облигации с номиналом
$1000,
продающейся за
Решение. Размер купонной выrmаты С=
Таким образом, текущая доходность равна
у(с)
=
$769,40.
c·F= $1000-0,07 = $70.
70
= 0,091=9,1 % .
769,4
Доходность к погаи1ению. Если Р- текущая рыночная цена облига­
ции, то доходность к погашению (дкп) облигации равна процентной
ставке у11 за купонный период, удовлетворяющей уравнению:
р = .c<h> + c<h> 2 + ... + c<h> м 1 + c<h> + Fм .
(1 + у/1) (1 + у h)
(1 + уh) (1 + уh)
(13.5)
ДКП служит мерой оценки эффективности инвестиции в обли­
гацию. Обычно ДКП за купонный период приводят к году (нормиру­
ют) либо по схеме простых процентов и тогда говорят о номинальной
годовой ДКЛ (с периодом начисления h):
y(h)
= yh/h,
(13.6)
либо по схеме сложных процентов и тог.да говорят об эффектив­
ной годовой ДКЛ:
(13.7)
Пример
13.14. Облигация со сроком погашения два года имеет но­
минал
$1000 и купонную ставку 10%. Если купоны вьпшачиваются раз
в год, то какова цена облигации при доходности к погашению · 14%. ·
Решение. По условию задачи т = 2 года, с= 10%, F= $1000. Зна­
чит размер купонных выrmат
С=
Согласно формуле
ставки у=
C·F= $1000·0,1 = $100.
(13.1)
находим цену облигации относительно
14%.
р=
Пример
13.15.
100 + 1100
(1 +О,14) (1 +О,14) 2
=
934 13
' ·
Облигация со сроком погашения два года имеет
номинал $1000 и купонную ставку 10%. Купоны выrmачиваiотсЯ раз
в год, цена .облигации .$900. А) Найти доходность к погашению.
Б) Найти номинальную и эффективную годовые ДКП при той же це­
не, если купоны выrmачиваются дважды в году.
Решение. А) По условию задачи т = 2 года, с= 10%, Е = $1000,
Р = $900. Подставляя эти значения в формулу (13.1), получаем
194
Глава
100 + 1100 (1+ у) (1+ у)2 -
13.
Облигации
900
или
9(1+ у) 2
Полагая
-
(l+y)- 11
=О.
( 1+у) = а и решая квадратное уравнение
9а 2 -а-11=0,
находим положительный корень (1+у)=а=1,1624. Отсюда находим
доходность к погашению у= О, 1624, или
16,24%.
Б) В этом случае уравнение для у= у 112 имеет Bи,If:
50 +
(1 + у)
50
(1 + у) 2
+ 50
+ 1050
(1 + у) з . (1 + у) 4
= 900.
Решая (приближенно) это уравнение, получим у= у 112 =
8,021 %. Тог­
да номинальная ДКП равна
y(l/2)=2· 8,021 %=16,041%,
а эффективная у<эФ>= у< 2 >=(1+0,8021) 2 -1=16,684%.
Связь между осповпыми параметра.ми облигации. Из равенства
( 13 .1)
следуют соотношения:
1.
Соотношение между ДКЛ, купоююй ставкой и ценой.
Соотноп1ение между купонной ставкой, доходностью к погаше­
нию и ценой облигации показано в таблице.
Соотношение между купонной ставкой, текущей доходностью,
доходностью к погашению и ценой облигации
Облигация
Соотношение
продается
По номиналу
Купонная ставка= текущая доходность= доходность к погашению
С дисконтом
Купонная ставка
С премией
2.
<текущая доходность <доходность к погашению
Купонная ставка >текущая доходность >доходность к погашению
Соотношение ме:нсду ценой и ДКЛ.
Цена изменяется в направлении, противоположном направле­
нию изменения ДКП. ДКП изменяется в направлении, противопо­
ложном направлению·изменения цены.
3.
Соотношение между ценой и количеством купонных периодов до
погашения.
Цена связана прямой зависимостью с величиной купонной ставки.
4. Соотношение между ценой и количеством купонных периодов до
погашения.
13*
195
Часть
III. Активы с фиксированной доходностью
Цена дисконтной облигации свя~ац~ обратной зависимостью с
числом купонных периодов, цена премИальной облигации связана
прямой зависимостью с числом купонных периодов, цена номиналь­
ной облигации не зависит от числа купонных периодов до погашения.
5.
Соотношение между ДКЛ и купонной ставкой.
ДКП связана прямой зависимостью с величиной купонной ставки.
6.
Соотношение между ДКЛ и количеством купонных периодов до
погашения.
ДКП дисконтной облигации связана прямой зависимостью с ко­
личеством купонных периодов до погашения, ДКП премиальной
облигации связана обратной зависимостью с числом купонных пе­
риодов, ДКП номинальной облигации не зависит от числа купонных
периодов до погашения.
Задачи к главе
1.
13
Купонная ставка облигации равна
20%,
а номинал облигации
равен $3000. Найти размер купонных выплат по этой облигации. Ку!
лонный период
-
квартал.
2. Купонная ставка облигации равна 15%, размер :купонных вы­
плат по облигации равен $150. Найти номинал облигации. Купон­
ный период - полгода.
3. Определить номинал облигации, если курс облигации 90, ары­
ночная цена облигации $1500.
4. Номинальная стоимость облигации - 200 млн. руб. Куплено 10
облигаций по курсу 90. Определите стоимость покупки.
5. Номинальная стоимость облигации - 200 тыс. руб. Продажная
цена - 185 тыс. руб. Определите курс облигаций.
6. Найти поток платежей облигации, купонная ставка которой
равна 20%, а номинал равен 3000. Срок облигации 3 года. Купонный
период - полгода.
7. Найти поток платежей облигации, купонная ставка которой
равна 16%, а размер купонных выплат равен $80. Срок до погашения
облигации 4 года. Купонный период - квартал.
8. Определить внутреннюю цену облигации, заданной параме­
трами: т = 5, с= 7%, F= $1000, относительно ставки i = 10%. Как из­
менится цена, если купоны выплачиваются 2 раза в год?
9. Купонная ставка облигации равна 15%, а размер годовых ку­
понных выплат равен $150. Срок до погашения облигации 4 года. Ры­
ночная процентная ставка 20%. Найти внуrреннюю стоимость обли­
гации. Как изменится цена, если срок погашения станет 5 лет?
10.
196
Найти накопленный процент по облигации с номиналом
Глава
12.
Инструменты денежного рынка
если 25.07.01 - дата выплаты предьщущего купона, 10.05.02 дата оценки облигации. Правило АСТ/365. l(упонные выплаты
$1000,
полугодовые и равны
$300.
11. Найти накопленный процент по облигации с номиналом
$1000, если 10.08.01 - дата выплаты предьщущего купона, 10.12.01 дата оценки облигации. Правило 30/360. Купонные выплаты годовые
и равны $500.
12. На 8.05.00 найти чистую и полную цену облигации с датой по­
гашения 20.07 .02, номиналом $5000 и годовыми купонами по ставке
10%, если рыночная процентная ставка равна 15% годовых. Правило
АСТ/365.
.
13. ОблигаЦия задана параметрами: т = 5 лет, с= 7%, F= $1000.
Определите ДКП облшации, если она продается по номиналу. Как из­
менится ДКП облигации, если срок до погашения уменьшится до 2 лет?
14. Облигация задана параметрами: т = 3 года, с = 10%,
F= $1000. Определите ДКП облигации, если она продается по курсу
95.
Как изменится ДКП облигации, если купонная ставка увеличит­
ся до
15%?
15. Облигация задана параметрами:
т
= 6 лет, с= 10%, F= $1000.
Определите ДКП облигации, если она продается по курсу
11 О.
Как
изменится ДКП облигации, если купоны будут выrшачиваться: а)
раза, б)
16.
2
4 раза в году?
Две облигации с одинаковыми номиналами, сроками пога­
шения и с :купонными ставками
ются на рынке по ценам
ной ставкой
18%
10%
и
20%
соответственно котиру­
$60 и $87. Сколько стоит облигация с купон­
(с тем же номиналом и сроком погашения) если
ДКП этих облигаций совпадают?