АНАЛИЗ СТРАХОВЫХ КОНТРАКТОВ С ОТДЕЛЬНОЙ И АГРЕГИРОВАННОЙ ФРАНШИЗОЙ Пичугина Ольга Валерьевна,

АНАЛИЗ СТРАХОВЫХ КОНТРАКТОВ С ОТДЕЛЬНОЙ И
АГРЕГИРОВАННОЙ ФРАНШИЗОЙ
Пичугина Ольга Валерьевна,
к.э.н, доцент, ФГБОУ ВПО
"Пятигорский государственный лингвистический университет";
Коверченко Анастасия Артемовна,
студентка ФГАОУ ВПО
«Северо-Кавказский федеральный университет», филиал в г. Пятигорске;
Холодова Екатерина Николаевна,
к.т.н., доцент, ФГАОУ ВПО
«Северо-Кавказский федеральный университет», филиал в г. Пятигорске
[email protected]
Аннотация: В работе проведено исследование страховых контрактов
с отдельной и агрегированной франшизой.
Ключевые слова: страховой рынок, стратегии, выплаты, риск
Abstract. The paper analyses the structure of insurance
contracts with
separate and aggregate franchise.
Keywords: insurance market, strategies, payments, risk
В данной работе выяснена структура оптимального страхового
контракта для одного риска в присутствие другого независимого риска.
Показано, что при фиксированном размере страховой премии страховые
полисы раздельного типа обеспечивают индивидууму меньшие страховые
выплаты при высоких совокупных уровнях нескольких источников убытков
и большие страховые выплаты при незначительных убытках. Исследован
спрос на страхование отдельными и совокупными страховыми контрактами в
условиях, когда страховая премия является переменной по выбору
потребителя. В данной работе проведем анализ влияние формы страховых
контрактов на потребительский спрос на страховые условия. Установлено,
повышает или снижает объединенная франшиза спрос на страховые услуги.
СЛЕДСТВИЕ I. При условиях, определенных в Предложении 2 из [1],
если имеет место неравенство
I is  I *
s
, то выполняется I j  0
, i  j.
Следовательно, в каждом случае, если страховые выплаты при оптимуме 2-го
порядка больше страховой выплаты, которой соответствует оптимум 1- го
порядка, по одному из страховых полисов выплата не происходит.
СЛЕДСТВИЕ 2. При условиях, определенных в Предложении 2, если
каждая из случайных величин Х1 и Х2 имеет область возможных значений,
состоящую из двух точек, причем одна из них - нуль, то
1.
I 1s  I 2s  I * всякий раз, когда инциденты случаются;
2.
I is  I * для i = I или 2 всякий раз, когда только инцидент i
случается.
Следовательно, оптимумам 2-го порядка соответствуют более низкие
страховые выплаты, чем страховые выплаты, соответствующие оптимумам 1го порядка, при условии, если происходят два инцидента. В случае только
одного инцидента, страховые выплаты, соответствующие оптимумам 2-го
порядка, больше страховых выплат, соответствующих оптимумам 1-го
порядка.
Проведем
анализ
влияние
формы
страховых
контрактов
на
потребительский спрос на страховые условия. Установим, повышает или
снижает объединенная франшиза спрос на страховые услуги. В [1] доказано,
что оптимальные формы страховых контрактов предполагают совокупную
франшизу, что ведет к следующим оптимальным страховым выплатам:
d1
d
Z1
I 1s
УБЫТОК
b
I 1*
I 1s
УБЫТОК
I 1*
d
d2
Z2
X2
I *1.(xИллюстрация
0, x1  x2  d2 ).
Рис.
Предложения
[1]
1 , x2 )  max(
X1
Однако на практике совокупная франшиза применяется достаточно
нечасто, то есть реальный страховой контракт не является оптимальным 1го порядка.
Рассмотрим принятую в актурных расчетах линейную функцию,
определяющуе пошлину
k ( E )  k 1 ( E )  k 2 ( E )  (1  c ) E ,
в которой с – фактор, определяющий нагрузку. Если страховая компания
предлагает страховой контракт, имеющий оптимум 1-го порядка, задача
потребителей записывается следующим образом:
d  arg max   U (W  min( x1  x 2 , d )  P )dF1 ( x1 )dF2 ( x 2 )
при условии:
P  (1  c)   max( 0, x1  x 2 , d )dF1 ( x1 )dF2 ( x 2 )
Условие 1-го порядка по франшизе d имеет следующий вид:
(1  c)   U (W  min(x1  x 2 , d )  P)dF1 ( x1 )dF2 ( x2 )  U (W  d  P),
причем знак равенства имеет место, если величина франшизы удовлетворяет
неравенству:
d<Z1+Z2
т.е. если потребитель приобретает страховку.
Если страховая компания предлагает страховой контракт, имеющий
оптимум 2-го порядка, то задача для потребителей формулируется
следующим образом:
d i  arg max   U (W   min( xi , d i )  P1  P2 )dF1 ( x1 )dF2 ( x2 )
i 1, 2
при условии
Pi  (1  c )  max( 0 , x i  d i ) dF i ( x i ),
i  1, 2
Аналогично, условие оптимума 2-го порядка по франшизам di
принимает вид:
(1  c)   U (W 
 (min(x
m
, d m )  Pm ))dF1 ( x1 )dF2 ( x2 ) 
m 1, 2
(1)
  U (W  d i  min( x j , d j )  P1  P2 )dF j ( x j )
Причем равенство имеет место, если di < Zi , т.е. если потребитель
покупает страховку, противостоящую возможному убытку Хi.
Заметим, что если С = 0, индивидуум выбирает полное страхование в
любом случае, т.е. d = d1 =d2 = 0. Полные расходы на страховую премию в
этом случае одинаковы в обоих исследуемых случаях соответствующих
оптимумам 1-го и 2-го порядка:
Р=Р1+Р2
В Предложении 3 и Следствии 3 из него мы исследуем относительное
влияние на затраты на страховую премию малого отклонения от значения
С=0.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Оптимальная реакция не принимающих риск
потребителей на малое увеличение фактора нагрузки удовлетворяет следующему свойству:
dP
dc
c 0 
d ( P1  P2 )
dc
c 0
Доказательство. При c = 0 имеем d = d1 =d2 = 0 и, следовательно
P  P1  P2  EX 1  EX 2  P0 .
Сначала вычислим значение производной от страховой премии Р в
точке c = 0
dP
dc
c 0
Вычисляя полную производную от условия (40) при достаточно малых
значениях фактора нагрузки С , чтобы гарантировать, что покупается
частичная страховка (что соответствует условию d < Z1 + Z2) получаем
выражение
dd
dc
c 0

U (W  P0 )
1

,


F1 (0) F2 (0)U (W  P0 ) F1 (0) F2 (0) R(W  P0 )
в котором R (W  P0 ) - коэффициент Эрроу - Пратта.
Далее заметим, что
dP
dc
c0
 E ( I )  (1  F1 (0) F2 (0))
 E ( x1  x 2 ) 
dd
dc
c 0

1  F1 (0) F2 (0)
.
F1 (0) F2 (0) R (W  P0 )
Теперь вычислим производную
d ( P1  P2 )
dc
Чтобы
вычислить
эту
c 0
.
производную,
необходимо
продифференцировать систему двух уравнений (1) по d1 , d2 , и С . При С = 0
перекрестная производная целевой функции по переменным d1
и
d2
исчезает, и получается следующая диагональная система уравнений:
F1 ( 0) R (W  P0 ) dd 1  0 dd 2  (1  F1 (0 )) dc ,
0 dd 1  F2 ( 0) R (W  P0 ) dd 2  (1  F2 ( 0)) dc.
Эта система приводит к следующему решению:
dd i
dc
c 0 
1  Fi (0)
.
Fi (0) R(W  P0 )
Поэтому
dPi
dc
c 0
 E[ I is ]  (1  Fi (0))
dd i
dc
c 0
 E[ x i ] 
1  Fi (0)
,
Fi (0) R (W  P0 )
и результат Предложения непосредственно вытекает из последнего
равенства. ■
СЛЕДСТВИЕ 3.
Если фактор нагрузки достаточно мал, полная страховая премия при
двух
различных
контрактах
превосходит
премию,
соответствующую
страховой премии при совокупной франшизе.
При достаточно большом спросе на страхование Предложение 1 и
Следствие 3 показывают, что разделение франшиз увеличивает спрос на
страхование. Интересный результат получается, если рассмотреть
малое
уменьшение страхового покрытия при малом увеличении фактора нагрузки c
от нуля. Рассмотрим эффект от уменьшения премии на один рубль.
Поскольку уровень покрытия будет лишь на малую величину меньше, чем
полная страховка, потребитель будет иметь небольшое количество риска в
конечном
благосостоянии,
которое
достаточно
хорошо
дисперсией. Предположим, что случайные величины Х1 и Х2
измеряется
нормально
распределены. Пусть p обозначает вероятность того, что Хi = О, i = 1,2. Для
малых с > 0 совокупная франшиза уменьшится до
d  (1  p 2 ) 1 ,
в то время как отдельные франшизы каждая уменьшатся до
d i  0.5(1  p) 1
Эти франшизы предполагают дисперсию в полном благосостоянии,
равную
P2
 
1 p2
2
для страховых контрактов с совокупной франшизой и равную
 s2 
0,5 p
1 p
для страховых контрактов с раздельными франшизами. Нетрудно видеть,
что σ2< σ2s. Это означает, что уменьшение страховой премии на 1 рубль
приводит к большему увеличению дисперсии благосостояния индивидуума
при отдельных франшизах, чем при совокупной франшизе. Другими словами,
более дорого сокращать страховое покрытие при отдельных страховых
контрактах и, следовательно, оптимальное покрытие при отдельных
контрактах будет выше.
Следует заметить, что этот результат справедлив только при малом
значении фактора нагрузки с . Предложение 2 показывает, что при больших
посреднических издержках, соответствующих большим значениям фактора
нагрузки с, имеет место противоположный полученному в Предложении 3
результат. Рассмотрим два вида риска, при которых спрос на страховой
контракт, имеющий оптимумы 2-го порядка, равен нулю. Такая ситуация
может иметь место при достаточно большом значении фактора нагрузки с .
Предположим, что имеют место следующие соотношения:
(1  c)   U (W  x1  x2 )dF1 ( x1 )dF2 ( x2 ) 
(42)
  U (W  Z1  x2 )dF2 ( x2 )
и
(1  c)   U (W  x1  x2 )dF1 ( x1 )dF2 ( x2 ) 
(43)
  U (W  x1  Z 2 )dF1 ( x1 )
Из условия (1) следует, что d1=Z1 и, d2=Z2 , т.е. P1= Р2 =0, Заметим, что
для потребителя безразлично, покупать или не покупать малое количество
страховки по риску 2.
ПРEДЛОЖЕНИЕ 2. Предположим, что фактор нагрузки достаточно
велик, чтобы сделать индивидуума безразличным между самострахованием
обоих рисков или покупкой малого количества страховки по одному из двух
рисков (т.е. условия (2) и (3) выполняются). Тогда, если предлагаются
страховые контракты с объединенной франшизой, индивидуум имеет
положительный спрос на страхование, т.е.
P  P1  P2  0
Доказательство. Предположим, что d=Z1 +Z2 , так что Р =0. Условие
(1  c)   U (W  min(x1  x 2 , d )  P)dF1 ( x1 )dF2 ( x2 )  U (W  d  P),
принимает вид:
(1  c )   U (W  x1  x 2 ) dF1 ( x1 )dF2 ( x 2 ) 
(4)
 U (W  Z 1  Z 2 ).
Используя условие (3), перепишем условие (4) в следующем виде:
 U (W  x
1
 Z 2 ) dF1 ( x1 )  U (W Z1  Z 2 )
Имеет место противоречие, поскольку неравенство
U (W  x1  Z 2 )  U (W  Z 1  Z 2 )
справедливо при всех x1 < Z1 в силу предположения о неприятии риска
индивидуумом. ■
Таким образом, несмотря на то, что в рассматриваемых условиях
отсутствует спрос на страхование с отдельными франшизами, на страховые
контракты
в
смысле
оптимума
1-го
порядка
может
существовать
положительный спрос. В условиях, когда имеется ненулевая вероятность
того, что совместное действие двух источников риска приводит к
значительному убытку, существует возможность положительного спроса на
страховые полисы с совокупной франшизой, даже если каждый риск в
отдельности слишком мал для того, чтобы вызвать спрос на страховые
полисы с отдельными франшизами. По непрерывности, если существует
незначительный спрос на страховые полисы с отдельными франшизами, то
страховые полисы с агрегированными франшизами повысят спрос на
страхование. Из Предложения 2 следует еще один результат: если в
обозначенных в нем условиях спрос на страховые полисы с совокупной
франшизой отсутствует, то спрос на страховые полисы с отдельными
франшизами также отсутствует.
Литература
1. Мурадова С.Г., Агаян Ш.А., Крахмалев Д.П. Структура страхового
контракта при страховании одного риска в присутствие другого
независимого
риска
//
Управление
экономическими
системами
(электронный научный журнал), 2014. - № 32 (62).
2. Гербер X. Математика страхования жизни: Пер. с англ. – М.: Мир, 1995.
3. Страховое дело: Учебник. Л.А. Орланюк – Малицкая. М.: ACADEMA.
2003.